Nature loves math

Redshift par Patricia Barber

2013-03-07T13:46:00.001+00:00

Neutre : accessible à tous

Un petit changement de registre avec une chanson que l'on entend assez régulièrement à la radio en ce moment : Redshift de Patricia Barber (album Smash).

Née de parents musiciens, elle a un style de blues-jazz bien à elle mêlant parfois des inspirations très différentes, comme avec cette chanson plutôt sentimentale utilisant intelligemment un vocabulaire scientifique, le tout au rythme d'une Bossa-Nova...
Redshift nous emmène dans une balade interstellaire, comparant l'éloignement amoureux avec le décalage vers le rouge d'une étoile.

Retrouvez les paroles de cette chanson :

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Qu'est-ce qu'un nombre ? Episode 4 : Les secrets vertigineux de l'infini

2012-05-13T21:23:00.023+01:00

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« L'éternité, c'est long. Surtout vers la fin. »

Woody Allen (1935 - )

La lemniscate, symbole de l'infini

Qu'est-ce que l'infini ? Comment concevoir un concept par définition tellement immense que rien ne peut le contenir ?
Aussi surprenant que cela puisse paraître, la réponse n'est pas philosophique mais belle et bien mathématique.
Nous verrons qu'il est possible de définir l'infini de façon rigoureuse et consistante.
Nous verrons même qu'il existe de nombreux infinis différents : en fait il existe une infinité d'infinis différents !
Trois notions d'infinis jouent un rôle particulièrement important en mathématiques :
l'infini ordinal défini comme nombre plus grand que tous les nombres entiers, l'infini cardinal comme nombre d'éléments d'un ensemble infini, et enfin l'infini de l'analyse et des limites défini comme un point inatteignable.

Toutefois cette dernière notion d'infini est trompeuse, elle est plutôt liée au concept d'illimité, bien distinct de l'infini en réalité comme nous l'on appris Riemann et Einstein.
Bien sûr cela ne s'arrête pas là, et l'imagination des mathématiciens permet de concevoir bien d'autres notions d'infini, montrant ainsi que si les possibilités de l'esprit humain ne sont pas infinies, elles sont en revanche sans limite.

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Qu'est-ce qu'un nombre ? Episode 3 : les nombres rationnels

2012-02-01T14:42:00.004+00:00

Moyen : réservé aux amateurs

L'homme de Vitruve par Leonard De Vinci
Source Luc Viatour

Qu'est-ce qu'une fraction ?
Si la réponse à cette question est relativement aisée grace au concept de proportion, nous verrons que les nombres rationnels possèdent des propriétés surprenantes.
Il n'est pas très éclairant d'effectuer pour les nombres rationnels la distinction ordinal/cardinal que nous avons observé pour les nombres entiers, même s'il est toujours possible de la faire. En revanche la cardinalité soulève tout de même quelques questions : qu'est-ce qu'une quantité fractionnaire ? Pire, qu'est-ce qu'une quantité fractionnaire négative ?
Une fois ces questions éclairées, nous verrons quelques exemples célèbres de nombres non rationnels tels que $\pi$ et $\sqrt 2$. Nous aborderons ensuite quelques propriétés de structure et de topologie de l'ensemble des nombres rationnels.

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Le mythe du baromètre de Niels Bohr

2011-06-08T14:29:00.012+01:00

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Baromètre à eau
Source : Jean-Jacques MILAN
(Wikimedia commons)

En 1959 parait dans le magazine Pride de l'American College Public Relations Association un article intitulé Angels on a Pin, par Alexander Calandra, professeur de Physique à l'université de Washington à St. Louis dans le Missouri. Cet essai relate l'histoire d'un étudiant défiant toutes les attentes de son professeur sur une question simple de physique.

« A presque tous les niveaux, cet essai ne résiste pas à l'analyse critique. Je me demande pourquoi il est devenu si célèbre dans la communauté des Physiciens ? »
Donald Simanek, professeur émérite de Physique à l'université Lock Haven de Pennsylvanie.

Le titre serait une référence à la scolastique médiévale adepte de questionnements saugrenus comme combien d'anges peuvent danser sur la tête d'une aiguille ?
Personnellement, je vois dans cette fable une illustration de l'importance de la créativité dans les sciences, compétence qui n'est que trop rarement stimulée dans l'enseignement, voire systématiquement ignorée...

On attribue généralement le rôle principal de l'histoire au célèbre physicien quantique Niels Henrik David Bohr (1885 - 1962), prix Nobel de Physique en 1922 et l'arbitre au chimiste Sir Ernest Rutherford (1871-1937), prix Nobel de Chimie en 1908, même s'ils ne se sont probablement rencontré que bien après les études de Bohr.

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A mathematician's lament

2011-02-20T18:25:00.009+00:00

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« Les plus désespérés sont les chants les plus beaux »

(Alfred de Musset, La nuit de Mai, 1835)


Les clefs du succès... Source : Photos Libres

A mathematician's lament (2002) est un article de Paul Lockhart, mathématicien réputé et professeur à l'école Saint Ann de Brooklin, New York. Ce n'est pas seulement une critique de l'enseignement des mathématiques aux états-unis. Dans ce texte l'auteur nous rappelle que les mathématiques sont aussi et surtout un art, tout comme la musique ou les arts plastiques. Je vous invite à le découvrir à travers un extrait de son introduction.

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Qu'est-ce qu'un nombre ? Episode 2 : les nombres entiers relatifs

2011-01-20T19:57:00.020+00:00

Facile : accessible aux curieux

Nombres négatifs
(Source Wikipedia commons)

Une quantité de -2 objets, un marathonien arrivant en -3ème position, des nombres plus petits que rien ?! Que signifient les nombres négatifs ?

La réponse à cette question n'est simple que si l'on est habitué à leur utilisation. Et pour la plupart d'entre nous, peu importe ce qu'ils sont réellement ou ce qu'ils signifient, le fait est que ces nombres sont pour nous bien pratiques !

Toutefois, pour les géomètres de la Grèce antique, aussi bien que pour les mathématiciens arabes et mêmes indiens - alors que ces derniers comprenaient déjà la signification du zéro et des nombres négatifs -, les solutions négatives d'une équation sont considérées comme contre-natures, absurdes même selon les termes de Nicolas Chuquet (~1450-1488) et ne seront véritablement acceptées qu'aux XIX et XXème siècles ! Tellement utiles, mais aussi très problématiques...

Nous allons voir que leur sens est plus subtil que l'on croit, et qu'il est éclairant de le baser sur la distinction entre nombres ordinaux et cardinaux que nous avons abordée dans le chapitre précédent sur les nombres entiers naturels.

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Icosien : Un jeu de théorie des graphes

2010-12-31T11:55:00.025+00:00

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Niveau 4 du jeu "Icosien" de Neamar

Icosien ¹ est un jeu de réflexion basé sur la théorie des graphes. Il fut inventé en 1857 par W.R.Hamilton (1805-1865), mathématicien génial qui - entre autres - reformula la mécanique dans un formalisme qui porte maintenant son nom, et créa les quaternions (que nous verrons dans un prochain article sur les nombres).

Nous nous intéresserons dans cet article à une adaptation en flash de ce jeu, réalisée par Neamar. Plus précisément, nous allons voir quelques explications des principes mathématiques qui se cachent derrière et une méthode de résolution des deux derniers niveaux du jeu.

ATTENTION SPOILER ALERT !

Si vous ne connaissez pas ce jeu, ne lisez pas l'article avant de l'avoir essayé !

Jouer d'abord au jeu Icosien de Neamar.

Vous avez aimé ce jeu et aimeriez en savoir plus sur la théorie des graphes ? Vous vous êtes arraché les cheveux sur les deux derniers niveaux et souhaitez en voir une solution détaillée ? Alors suivez le guide...

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Qu'est-ce que le temps ?

2010-12-07T20:30:00.017+00:00

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Cadran solaire de Saint Rémy de Provence Source : Wikipedia Commons

« Placez votre main sur un poêle une minute et ça vous semble durer une heure. Asseyez vous auprès d'une jolie fille une heure et ça vous semble durer une minute. C'est ça la relativité. »

Cette célèbre citation, attribuée à Einstein ¹ exprime bien l'aspect psychologique du temps. Le temps est indéniablement lié à nos sens, nous le perçevons à travers les durées, l'ordre et la simultanéité. Qu'en restera-t-il si nous lui enlevons ces propriétés ?

Le physicien et/ou le mathématicien s'intéressera à représenter le temps plutôt qu'à en sonder la nature. Pour lui le temps est avant tout un paramètre, c'est le degré de liberté des corps en intéraction ou en mouvement dans l'espace. Concrètement, ce paramètre permet de mesurer les durées (chronométrie), et de repérer l'ordre, la succession des évènements (chronologie). On représente mathématiquement ces propriétés : les durées sont des lieux dans un espace à une dimension, l'ordre est représenté en orientant cette droite.

Nous allons voir que cette représentation mathématique du temps comme une dimension supplémentaire à l'espace n'est pas l'apanage de la théorie de la relativité restreinte, et que la cinématique galiléenne s'exprime tout aussi bien dans ce cadre. Nous pourrons ainsi voir clairement les différences fondamentales entre les concepts de temps dans ces deux théories et tenterons de comprendre la géométrie qui se cache derrière le fameux changement de signe du "ds²" des mathématiciens. Nous verrons aussi qu'au cours de l'évolution de la science physique, le temps à progressivement perdu des propriétés que l'on croyait pourtant fondamentales...

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Qu'est-ce qu'un nombre ? Episode 1: les nombres entiers naturels

2010-11-28T19:58:00.023+00:00

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« Dieu fit le nombre entier, le reste est l'oeuvre de l'Homme » Léopold Kronecker (1823-1891) ¹

Il n'existe pas de définition mathématique satisfaisante du concept général de nombre. En revanche, beaucoup de nombres particuliers peuvent être rigoureusement définis. Nombres entiers naturels, relatifs, nombres rationnels, réels, imaginaires, transcendants, algébriques, calculables, etc.
Dans cette saga, nous verrons plusieurs exemples de nombres et tenterons de les comprendre intuitivement et visuellement. Ce premier épisode est consacré aux nombres entiers naturels.

Le "nombre entier" est un concept qui répond à deux besoins : celui d'ordonner un ensemble d'éléments, et celui de comparer "en puissance" des ensembles, c'est-à-dire de les dénombrer.
Pour ce premier besoin, on définit les nombres dits ordinaux, pour le second les nombres cardinaux. Ces deux notions sont a priori deux facettes des mêmes objets, mais deux facettes bien différentes...

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Le père de la relativité : Einstein vs Poincaré

2010-11-08T14:58:00.033+00:00

Moyen : réservé aux amateurs

« Nous sommes comme des nains juchés sur des épaules de géants. »
Cette célèbre métaphore, attribuée à Bernard de Chartres, philosophe du XIIe siècle, et reprise entre autres par Newton et Pascal, est un hommage aux savants prédécesseurs et une reconnaissance du caractère cumulatif du savoir, et en particulier du savoir scientifique.

Nous rendons dans cet article hommage à Henri Poincaré, un mathématicien génial, penseur universel et physicien remarquable. Non pas en tentant de lui attribuer ce qui ne lui est pas dû, mais en reconnaissant quelques uns de ses nombreux apports à la théorie de la relativité restreinte, dont l'aspect primordial fut bel et bien établit par Albert Einstein.

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Le groupe de la relativité restreinte

2010-10-30T00:49:00.084+01:00

Moyen : réservé aux amateurs

H.Minkowski, Espace et temps, 1908.

Dans son interprétation moderne, le principe de relativité est profondément lié à la structure de groupe des transformations de Lorentz.

Nous allons décrire l'équivalence mathématique de ces deux points, et par la même occasion donner une description géométrique de ce qu'est un référentiel inertiel en relativité restreinte.

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Des groupes dans la vie quotidienne

2010-10-24T20:09:00.018+01:00

Facile : pour les curieux

La structure de groupe est un concept fondamental, dont l'usage dépasse largement les mathématiques. Il est très utilisé en physique, et nous verrons dans un prochain article un exemple de groupe important dans la théorie de la relativité restreinte.
Ici nous nous contenterons d'en donner la définition ainsi que quelques exemples simples.

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Non sérieusement, à quoi ça sert les maths ?

2010-10-18T19:27:00.011+01:00

Neutre : accessible à tous

Cette question qu'aucun mathématicien n'a besoin de se poser tellement elle lui semble évidente, ne l'est pas pour tous. En effet, c'est la première question que pose un non spécialiste au mathématicien. Ce blog aura pour objectif de tenter d'y apporter une réponse originale, à travers... la physique !

« La philosophie est écrite dans ce grand livre qui se tient constamment ouvert devant les yeux (je veux dire l'Univers), mais elle ne peut se saisir si tout d'abord on ne se saisit point de la langue et si on ignore les caractères dans lesquelles elle est écrite. Cette philosophie, elle est écrite en langue mathématique; ses caractères sont des triangles, des cercles et autres figures géométriques, sans le moyen desquels il est impossible de saisir humainement quelque parole ; et sans lesquels on ne fait qu'errer vainement dans un labyrinthe obscur. » G. Galilei, Il Saggiatore (L'essayeur), 1623.

Par le terme "philosophie" de cette célèbre citation, il faut bien sûr comprendre "philosophie naturelle", ce que nous appelons maintenant la "science physique". Notons aussi qu'au temps de Galilée, les mathématiques résident principalement dans la géométrie et ses figures. De nos jours les mathématiques sont aussi gouvernées par des règles de manipulation d'objets abstraits représentés par des symboles, "caractères" d'un langage formalisé, mais ce n'est bien sûr pas à ce langage que Galilée fait référence.

Une paraphrase courante de cette citation exprime que « la nature est un livre écrit en langage mathématique ». A mon sens, cette interprétation sous-entend un réalisme auquel il est imprudent d'adhérer de nos jours. Tant qu'à déformer les propos de l'auteur, je préfère considérer que « la nature est un livre que l'on ne sait décrypter que par le langage mathématique ».

De cette façon apparaît clairement le rôle des mathématiques : elles sont un raffinement et un prolongement de notre pensée, et résident donc à la base de notre compréhension du monde.

Bien sûr ce point de vue est discutable, et je vous invite à me critiquer !

A quoi ça sert les maths ?

2010-10-17T21:05:00.004+01:00

Je vous propose une petite expérience pseudo-scientifique, dont le but avoué (et avouable) sera de montrer par l'image l’utilité de la sus-nommée matière.

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