Nauki ścisłe nie tylko dla orłów

Dziwne kwadraty

2013-03-01T07:46:00.001-08:00

Najmłodszym miłośnikom królowej nauk zdarza się dokonywać zaskakujących odkryć. Na przykład odejmując od siebie kolejne kwadraty liczb naturalnych (0, 1, 4, 9, 16, 25,…), otrzymujemy kolejne liczby nieparzyste (1, 3, 5, 7, 9,…). To może dziwić, bo wydaje się, że ciąg potęg powinien „przyspieszać” w jakiś bardziej wyszukany sposób niż numeracja domów po jednej stronie ulicy. Wystarczy jednak zapisać równanie na różnicę sąsiednich kwadratów:

n^2 – (n–1)^2 = 2n – 1

i wszystko staje się jasne – wynikiem jest wzór na liczby nieparzyste. Stąd wniosek: każda liczba nieparzysta jest różnicą dwóch kwadratów. Czy każda parzysta również? Nie, w tym przypadku różnicami są tylko wielokrotności czterech (4, 8, 12, 16, 20,…). A zatem różnica kwadratów może być każdą liczbą oprócz określonych wzorem 4k + 2 (2, 6, 10, 14, 18,…). Albo inaczej: każdą, którą można przedstawić jako iloczyn dwu liczb nieparzystych lub dwu parzystych. Z tym sformułowaniem wiąże się prosta metoda znajdowania wszystkich sposobów przedstawienia danej liczby jako różnicy dwóch kwadratów.

Weźmy liczbę 2013. Z jej rozkładu na czynniki pierwsze (3 × 11 × 61) wynika, że można ją zapisać jako iloczyn dwu liczb nieparzystych na cztery sposoby:

61 × 33, 183 × 11, 671 × 3, 2013 × 1.

Tyle samo będzie sposobów przedstawienia jej jako różnicy dwóch kwadratów, a do każdego bezpośrednio prowadzi wzór:

[(a + b)/2]^2 – [(a – b)/2]^2

gdzie a i b są parą czynników tworzących iloczyn. Tak więc dla liczb 61 i 33 otrzymamy:

[(61 + 33)/2]^2 – [(61 – 33)/2]^2 = 47^2 – 14^2

Trzy kolejne sposoby, uzyskane po podstawieniu do wzoru czynników, to:

97^2 – 86^2 , 337^2 – 334^2 i 1007^2 – 1006 ^2.

Cztery sposoby dla tak dużej liczby to niewiele, skoro najmniejszą z „czworaczkami” jest 96. Wśród liczb mniejszych od 2013 trzy (1440, 1680, 1920) dają się zapisać jako różnica kwadratów aż na tuzin sposobów. Z powyższego wzoru wynika też interesująca własność liczb pierwszych: można je zapisywać jako różnicę kwadratów tylko w jeden sposób, a kwadraty te są zawsze dwoma kolejnymi.

Na przykład: 13 = 7^2 – 6^2 , 2011 = 1006^2 – 1005^2 .

W teorii liczb zagadnieniem znacznie bardziej obszernym i trudniejszym niż różnice kwadratów są ich sumy. Najbardziej ogólne pytanie brzmi: które liczby mogą być sumami n kwadratów? Ogólną odpowiedzią jest twierdzenie Lagrange’a: jeśli n = 4, to wszystkie. Każdą liczbę naturalną można zapisać w postaci sumy czterech kwadratów liczb całkowitych. Gdybyśmy jednak ograniczyli się do kwadratów liczb dodatnich, czyli pominęli zero, to w twierdzeniu zamiast n = 4 pojawiłoby się n ≤ 4. Jest bowiem nieskończenie wiele liczb, których nie sposób przedstawić jako kwartetu kwadratów bez skorzystania z zer. Należą do nich, poza większością liczb jednocyfrowych – oprócz 4 (1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 ) i 7 (2^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 ) – na przykład 32 i 56; 32 = 4^2 + 4^2 , a 56 = 6^2 + 4^2 + 2^2 – innych możliwości bez zer nie ma (dla n ≤ 4), a zatem jeśli n ma być równe 4, to zapisy trzeba uzupełnić zerami, czyli: 32 = 4^2 + 4^2 + 0^2 + 0^2 oraz 56 = 6^2 + 4^2 + 2^2 + 0^2 . Poza tym, jeśli nie uwzględniać zer, to sumą n ≤ 4 kwadratów nie obsłuży się liczby 1.

Składaniem liczb z kwadratów zajmowało się od starożytności wielu znanych matematyków. Ta pozornie prosta czynność przypomina realizowanie przez hurtownię zamówień na jakieś towary dostępne w paczkach, zawierających po 1^2 , 2^2 , 3^2 ,…, n^2 sztuk. Jeśli hurtownia jest „matematyczna”, czyli paczek różnej wielkości jest zawsze pod dostatkiem, a magazynier zna twierdzenie Lagrange’a, to w każdej wysyłce znajdą się co najwyżej cztery paczki. Kłopot polega tylko na ustaleniu, ile najmniej i jakie konkretnie. Temat okazał się wyzwaniem i przez wieki obrósł w wiele podtematów, bo zamówienia mogą być specyficzne. Gdyby na przykład klient zażyczył sobie z 2 sztuk towaru, to przy ograniczeniu przesyłki do dwóch paczek pojawiłby się najbardziej znany podtemat, czyli twierdzenie Pitagorasa, a ściślej tzw. trójki pitagorejskie określone równaniem

x^2 + y^2 = z^2 .

Dla małych z nietrudno wybrać odpowiednie paczki z x^2 i y^2 towarami – zakładając, że dla dwóch paczek będzie to możliwe. Gdyby jednak zamówienie opiewało np. na 2013^2 = 4 052 169 sztuk, to należałoby skorzystać z podanych przez Euklidesa wzorów, które pozwalają generować trójki pitagorejskie (x, y, z) z pary liczb naturalnych m i n, spełniających trzy warunki (jedna z nich jest nieparzysta, a druga parzysta; obie są względnie pierwsze, czyli nie mają wspólnych dzielników; m>n):

x = m^2 – n^2 , y = 2mn, z = m^2 + n^2

Z trzeciego wzoru wynika, że problem z z^2 sztukami towaru sprowadza się do z sztuk, czyli trzeba się najpierw uporać z pozornie prostszym podziałem 2013 na dwa kwadraty.

Dzieląc dowolny kwadrat przez 4, otrzymamy resztę 1 dla kwadratu nieparzystego lub 0 – dla parzystego. Suma dwóch kwadratów powinna więc być albo wielokrotnością czterech, gdy oba kwadraty są parzyste, albo mieć postać 4a + 1 (parzysty i nieparzysty) lub 4a + 2 (oba nieparzyste). Gdyby więc zamówiono 2011 lub 2015 sztuk, to dwie paczki z kwadratami na pewno by nie wystarczyły, bo obie te liczby są postaci 4a + 3. Czy w przypadku 2013 = 4a + 1 wystarczą? Okazuje się, że także nie. Żaden z kilku dowodów niemożności zapisania określonych liczb (innych niż postaci 4a + 3) jako sumy pary kwadratów nie jest na tyle krótki, ani prosty, aby go tu przedstawić, ale wszystkie sprowadzają się do łatwego, podanego w XVII wieku przez Girarda i Fermata, sposobu ustalenia, czy taki zapis jest możliwy. Należy rozłożyć daną liczbę na czynniki pierwsze i sprawdzić, czy liczba każdego z czynników, wyrażających się wzorem 4a + 3, jest parzysta –pamiętając, że parzyste jest także zero. W rozkładzie 2013 = 3 × 11 × 61 takimi czynnikami są 3 i 11, ale każdy występuje raz, czyli – niestety – dwie paczki nie wystarczą. A trzy?

Już w III wieku Diofantos zauważył, że żadna liczba postaci 8m + 7 nie może być sumą trzech kwadratów. Fermat podał pełny warunek: tercet kwadratów jest wykluczony tylko w przypadku liczb 4 n (8m + 7) dla m i n ≥ 0. Łatwo sprawdzić, że taką liczbą jest 2012 (n = 1, m = 62), natomiast 2013 nie, więc tercety są możliwe i to aż cztery:

2013 = 43^2 + 10^2 + 8^2 = 38^2 + 20^2 + 13^2 = 35^2 + 28^2 + 2^2 = 34^2 + 29^2 + 4^2 .

Zapewne magazynier w hurtowni wybrałby ostatni, bo największa paczka jest w nim mniejsza niż w trzech pozostałych.

Różnych zagadnień i problemów dotyczących sum kwadratów jest wiele. Rozwiązywanie jednych rodzi kolejne pytania, a szukanie odpowiedzi stanowi jakby porządkowanie chaosu, czyli najczęściej powstają reguły lub wzory. Na przykład, dopiero w roku 1979 udowodniono, że każdą liczbę większą od 188 można przedstawić jako sumę co najwyżej pięciu różnych kwadratów, a 128 jest największą, która sumą różnych kwadratów być nie może.

Poniższe zadania dotyczą nie tylko składania liczb z kwadratów. Jedno z nich nawiązuje do jakby odwrotnego działania – partycji kwadratów.

1. Do hurtowni puzzli przyszły trzy zamówienia – na 72, 73 i 74 sztuki. Puzzle pakowane są w „kwadratowe” paczki. Magazynier obliczył, że każde zamówienie może zrealizować, wysyłając dwie paczki, ponieważ: 72 = 6 2 + 6 2 , 73 = 8 2 + 3 2 , 74 = 7 2 + 5 2 . Po tygodniu pojawił się inny tercet zamówień na n, n + 1 i n + 2 sztuki, z których każde także zostało obsłużone dwiema paczkami. Proszę znaleźć n, jeśli jego wartość była najmniejszą z możliwych, ale większą niż 72.

2. Zgodnie z najprostszą, szkolną definicją liczba trójkątna równa jest liczbie okręgów o jednakowej średnicy, którymi można wypełnić trójkąt równoboczny. Ciąg takich liczb (0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …) jest blisko spokrewniony z kwadratami, ponieważ kwadratem jest suma każdych dwu kolejnych wyrazów tego ciągu. Proszę znaleźć inny ciąg rosnący o takiej samej własności, w którym kwadratem (najmniejszym możliwym) będzie także każdy wyraz. W rozwiązaniu wystarczy podać pierwsze sześć wyrazów tego ciągu.

3. Wymieniona w Biblii i uchodząca za uosobienie szatana tzw. liczba Bestii, czyli 666, jest frapująca także z matematycznego punktu widzenia. Wiąże się z nią kilka arytmetycznych osobliwości. Na przykład, równa jest sumie kwadratów siedmiu pierwszych liczb pierwszych:

2^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 11^2 + 13^2 + 17^2 = 666

666 można przedstawić także jako „szatański” tercet sum dwóch, trzech i czterech kwadratów liczb całkowitych dodatnich. Suma dwóch kwadratów może być tylko jedna: 225 + 441. Jakie siedem kwadratów składa się na szczególne sumy trzech i czterech kwadratów równe 666 – takie mianowicie, w których wszystkie kwadraty są różne i występuje w nich pięć szóstek?

Świat bez liczb ujemnych.

2012-08-09T00:54:00.000-07:00

Jakże piękny byłby świat bez liczb ujemnych! Żadnych długów, strat i oczywiście algebry w szkole. I pomyśleć, że tak wyglądał świat jeszcze pięć wieków temu. Dziś uważamy liczby ujemne za coś oczywistego, ale nie zawsze tak było.

Historia liczb ujemnych jest jednym z ciekawszych rozdziałów w dziejach myśli matematycznej. Ilustruje ona proces rozwoju pojęć matematycznych, świadczy o współzależności zachodzącej pomiędzy rozwojem społecznych sił wytwórczych a postępem matematyki, potwierdza wreszcie tę podstawową tezę, że ostatecznym kryterium wartości teorii jest praktyka:

ludzkość dopóty broniła się przed uznaniem liczb ujemnych, dopóki nie wyłoniły się konkretne, uzasadnione potrzebami społecznej praktyki wytwórczej zastosowania tych liczb.

Matematycy świata antycznego nie zajmowali się liczbami względnymi. Grecy za liczby uznawali tylko liczby naturalne. Wprawdzie znali oni także ułamki, jednak ułamki nie były dla matematyków greckich liczbami; uważali je raczej za jednostki niższego rzędu - na podobieństwo podwielokrotności jednostek długości, ciężaru czy jednostek pieniądza.

Dopiero Diofantos z Aleksandrii w drugiej połowie III w. n.e. jako pierwszy spośród matematyków greckich potraktował ułamki na równi z innymi liczbami. Rozróżniał także liczby "dodawane" i "odejmowane", i znał reguły mnożenia tych liczb. Jednak Diofantos ograniczał się do przypadków, w których odjemna jest większa od odjemnika i - co ważniejsze - narzucał na rozpatrywane równania takie warunki, przy spełnieniu których pierwiastki były dodatnie. Pierwiastki ujemne, jeśli takie występowały, uważał Diofantos za niedopuszczalne i po prostu je odrzucał.

Nieco dalej posunęła się w zakresie arytmetyki liczb względnych matematyka hinduska. Brahmagupta z VI w. używał w rachunkach odpowiednika dzisiejszych liczb ujemnych, mianowicie liczb, które oznaczał za pomocą punktu stawianego nad liczbą. Matematycy hinduscy stosowali nadto odrębne nazwy do oznaczania liczb dodatnich i ujemnych; nazwy te są odpowiednikami naszych słów "majątek" i "dług". Matematycy hinduscy znali wreszcie ujemne pierwiastki równań, ale najczęściej je opuszczali, uzasadniając to tym, że " ludzie nie uznają liczb ujemnych".

Upłynęło wiele wieków, zanim dopiero w wieku XIII, a zwłaszcza w końcu wieku XV, matematycy zainteresowali się powtórnie liczbami względnymi, znajdując dla nich liczne zastosowania. w ten sposób dopiero po dziewięciu wiekach liczby ujemne zaczęły przenikać do matematyki i naszego życia, strasząc nas teraz swoim czerwonym kolorem na debecie konta.

Generator kroplowy Kelvina

2012-08-02T05:58:00.001-07:00

Generator kroplowy Kelvina to rodzaj generatora elektrostatycznego. Wykorzystuje on spadające krople wody do wytworzenia różnicy potencjału elektrycznego pomiędzy dwoma wzajemnie przeciwnie ładującymi się zbiornikami. Zasada działania opiera się na indukcji elektrostatycznej, a energia elektryczna wytwarzana jest przez pracę siły grawitacji.

Generator Kelvina został wynaleziony w 1867 roku przez Lorda Kelvina i stąd jego nazwa.

Budowa i działanie

Generator w wersji jednobiegunowej składa się ze uziemionego zbiornika górnego, w którego dnie umieszczono rurkę, z której kapie woda lub inna ciecz przewodząca prąd elektryczny. Poniżej otworu znajduje się naelektryzowane ciało, zazwyczaj w kształcie pierścienia. W wyniku indukcji elektrostatycznej rurka ze zbiornika górnego jest naelektryzowana ładunkiem o znaku przeciwnym do ładunku pierścienia. Poniżej pierścienia znajduje się kubek zbierający krople. Spadające krople oddają ładunek kubkowi, elektryzując go. Strumień wypływającej cieczy musi rozbić się na krople przed przejściem przez naelektryzowany pierścień lub tuż pod nim. Gdyby ciecz wypływała strumieniem aż do kubka w wyniku przewodzenia prądu przez ciecz kubek uległby rozelektryzowaniu. Wersja ta wymaga wstępnego naelektryzowania pierścienia i utrzymania tego naelektryzowania.
W wersji z dwoma kapiącymi układami pierścienie są połączone do przeciwnych kubków elektryzując się od nich. Wzrost naelektryzowania kubków zwiększa naelektryzowanie pierścieni zwiększając wydajność maszyny. Do rozpoczęciu pracy układ wymaga choćby niewielkiego naelektryzowania, które zazwyczaj występuje samoistnie.

Zagadka Einsteina

2012-07-31T12:54:00.000-07:00

Postanowiłem zamieścić pierwszą klasyczną zagadkę logiczną.

Legenda mówi, że zadanie to zostało wymyślone przez Einsteina.
Według niego 98% populacji nie jest w stanie go rozwiązać...

Ja rozwiązałem, a Wy?

Mówiąc o 98% myślę, że Einstein miał na myśli rozwiązanie tego zadania w pamięci. Tak czy siak kto rozwiąże ten może być z siebie dumny. W pamięci czy na kartce nie każdy ma tyle determinacji by zasiąść do jakiegokolwiek zadania.

5 ludzi zamieszkuje 5 domów (domy stoją w linii obok siebie, patrzymy na nie tak jak byśmy stali przed nimi) w 5 rożnych kolorach. Wszyscy palą papierosy 5 rożnych marek i piją 5 rożnych napojów. Hodują zwierzęta 5 rożnych rodzajów.

Norweg zamieszkuje pierwszy dom
Anglik mieszka w czerwonym domu
Zielony dom znajduje się po lewej stronie domu białego
Duńczyk pije herbatę
Palacz Rothmansow mieszka obok hodowcy kotów
Mieszkaniec żółtego domu pali Dunhille
Niemiec pali Marlboro
Mieszkaniec środkowego domu pija mleko
Palacz Rothmansow ma sąsiada, który pija wodę
Palacz Pall Malli hoduje ptaki
Szwed hoduje psy
Norweg mieszka obok niebieskiego domu
Hodowca koni mieszka obok żółtego domu
Palacz Philip Morrisow pije piwo
W zielonym domu pija się kawę

Możliwajest tylko jedna odpowiedź! Pytanie: Kto hoduje rybki?

Złoty podział

2012-07-31T04:00:00.000-07:00

Przyroda zaskakuje nas swoją złożonością i nieprzewidywalnością. A gdyby tak istniał sposób na odszyfrowanie jej zagadki i znalezienie uniwersalnego kodu dostępu do jej tajemnicy.

Od wieków mędrcy i filozofowie głowili się nad zagadką natury, szukali sensu istnienia i wzoru Stwórcy. I tak powstała koncepcja złotego podziału, który czcili starożytni widząc w nim coś nadprzyrodzonego i doskonałego.

Wielki astronom Kepler powiedział:

Geometria ma dwa cenne skarby: jeden z nich to twierdzenie Pitagorasa, drugi - podział odcinka w stosunku średnim i skrajnym. Pierwsze porównać do miary złota. Drugie jest niby kamień drogocenny.

Znana zasada złotego podziału polega na tym, że dowolna całość do części większej ma się tak samo jak część większa do części mniejszej. Zależność ta jest wyrażana liczbą złotego podziału - (fi)

Liczbą nazwano jedyna liczbę rzeczywistą , której odwrotność jest równa różnicy tej liczby i 1. Liczba złota ma ciekawe własności:

Aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej jedynkę.

Aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć jedynkę.

Pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus Wychowanek Szkoły Pitagorejskiej w V wieku p.n.e. , uważany notabene za odkrywcę niewspółmierności (ale to inny temat).

Jeśli założymy, że długość odcinka jest równa a, a długość pierwszej z dwóch części odcinka otrzymanych po podziale oznaczymy przez x, to długość drugiej części wynosi a - x.

Wtedy to zachodzi równość: a / x = x / (a-x).

Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję, którą chętnie realizowali w architekturze i sztuce. Złoty podział odcinka zapoczątkował więc poszukiwania nowych złotych obiektów. Powstał złoty prostokąt:

Kilka własności złotego prostokąta:
1) Jeżeli w dwudziestościan wpiszemy 3 wzajemnie do siebie prostopadłe złote prostokąty, to ich wierzchołki znajdą się w 12 wierzchołkach dwudziestościanu.
2) Jeżeli 3 złote prostokąty wzajemnie do siebie prostopadłe wpiszemy w dwunastościan foremny, to ich wierzchołki znajdą się w środkach ścian dwunastościanu.

3) Jeżeli od złotego prostokata ABCD odciąć kwadrat AEFD, to pozostała część EBCF jest również złotym prostokątem. Jeżeli od prostokąta EBCF odciąć kwadrat EBHG, to pozostałą częśćGHCF jest nadal złotym prostokątem itd. Widać, że położenia kolejnych złotych prostokatów zmieniają się, prostokąty jakby "obracają się".

Złote prostokąty: ABCD, EBCF, GHCF, GJKF, GJMN.

Z rysunku widać, że kolejne punkty wyznaczające złoty podział leżą na spirali. Zauważmy, że złote prostokąty obracają się nie tylko w kierunku zmniejszania się, ale i w kierunku wzrastania: z prostokąta GJML można otrzymać prostokat ABCD, z niego zaś dalsze coraz większe prostokąty złote. Biegun spirali logarytmicznej znajduje się w przecięciu przekątnych AC i AB.

I tu zaczynamy widzieć jak złoty podział powtarza wzory natury.Czy w tych liczbach zapisano Boskie piękno?

Jakościowa definicja kanonu estetycznego piękna występującego w naturze, została stworzona przez Tomasza z Akwinu, który pisał, że "... ludzkie zmysły znajdują przyjemność w kontakcie z przedmiotami zachowującymi właściwe proporcje". W spostrzeżeniu tym zawarta została relacja między poczuciem piękna a matematyką. Jak się okazuje relację tę daje się mierzyć i można odnaleźć ją w naturze.

Typowymi przykładami boskiego kanonu piękna są:

Liczby rozgałęzień wyrastających z łodygi rośliny.
Liczba płatków występujących w kwiatach niektórych roślin
Budowa muszli niektórych skorupiaków (Nautilius Pompilius).
Wzrost populacji królików
Struktura atomowa
Molekuły DNA
Struktura kryształu
Orbity planet i galaktyk
Układ zwojów w szyszce sosny
Proporcje powstające w wirach wodnych
Układ spiral tworzonych przez nasion słonecznika
Proporcje zachodzące pomiędzy poszczególnymi prądami powietrznymi tworzącymi huragany

Także w ciele ludzkim zauważono, że zarówno cała postać, jak i wiele poszczególnych części podlega prawom złotego cięcia:

Profil głowy. Podział głów z profilu na części charakterystyczne daje cały szereg stosunków bardzo bliskich podziału złotego.

Ręka i dłoń. Tu też można wskazać złote podziały.

Liście. W ich układzie na wspólnej gałązce można odnaleźć zastosowanie złotego cięcia. Między każdymi dwiema parami listków trzecia leży w miejscu złotego cięcia.

I tak w przyrodzie odnajdujemy dowody, jak niektórzy twierdzą Boskiego dotknięcia. Czy naprawdę Boskim zamysłem było stworzenie życie według jednego wzoru. Pewnie jeszcze długo ludzkość nie dowie się tego, lecz co jakiś czas ktoś odnajduje skrawek Tajemnicy, mając nadzieje, że ktoś inny poskłada to w sensowny wzór.

Jednym ze śmiałków był Leonardo Fibonacci (Leonardo z Pizy; ur. około 1175 r. - zm. 1250 r.) - włoski matematyk, który w 1202 roku jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików, podał ciąg liczb naturalnych: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181 ....

Ciąg Fibonacciego jest ciągiem addytywnym. Oznacza to, że każdy jego wyraz z wyjątkiem dwóch pierwszych powstaje poprzez dodanie do siebie dwóch wyrazów poprzednich u_n = u_n-1 + u_n-2. Otóż stosunek dwóch kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego w miarę wzrastania ciągu jest coraz bliższy wartości , np. 5/3=1,666 ; 34/21=1,619 ; 89/55=1,618 .

Współczynniki Fibonacciego występują także w okresach orbitalnych planet naszego układu słonecznego. Odległość księżyców od planety, wokół której krążą (dla systemów planetarnych o więcej niż jednym księżycu), pozostają w proporcjach opisanych przez odpowiednie potęgi liczby Φ

Czy to tylko przypadek? Nie sądzę. Jesteśmy częścią WIELKIEGO PLANU, elementem układanki, którą w końcu ułożymy i dowiemy się wszystkiego o tym kim jest nasz Stwórca. Może jest nie tylko wytworem naszej wyobraźni, może jest genialnym matematykiem, fizykiem i genetykiem.

Księga natury pisana jest w matematycznym języku.

" Liczba jest istotą rzeczy "

2012-07-30T07:47:00.002-07:00

Tytuł posta to cytat Pitagorasa (pan na zdjęciu obok), który zainspirował mnie do stworzenia tego bloga. Mam nadzieję, że się wam spodoba i każdy znajdzie tu coś dla siebie. Życzę miłe zabawy i pouczających przeżyć.

U źródeł powstania matematyki i fizyki leżały potrzeby życia takie, jak konieczność liczenia czy mierzenia. Wczesna matematyka i fizyka nie miały swoich nazw i były częścią filozofii. Miały charakter przemyśleń mędrców na temat otaczającego świata. W końcu stały się zbiorem praktycznych przepisów rachunkowych i geometrycznych mających na celu ułatwienie życia ówczesnych. Czasami do tych przepisów dołączano pewne spostrzeżenia, które nie miały bezpośrednich zastosowań, ale uważane za ciekawe, stawały się podwaliną do nowych obserwacji i zagadek nie tylko filozoficznych, ale przede wszystkim rachunkowych.

Nauki scisłe nie tylko dla orłów to strona, która opowie ci historie o ludziach tworzących naukę naszego gatunku. Dowiesz się wielu ciekawostek z pogranicza psychologii i fizyki.

Na łamach tego bloga znajdziesz ciekawe zagadki i zadania, które nie wymagają specjalistycznej wiedzy. Pozwalają jednak spojrzeć na nauki ścisłe pod nieco innym kątem. Fizyka i matematyka to nic innego jak świat nas otaczający. Im lepiej zrozumiemy prawa nim rządzące, tym bardziej świadomymi będziemy naszego w nim miejsca.