Números y algo mas...

865 - Rebus matemático I

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Fri, 10 Feb 2012 01:00:07 PST

¿Qué hace pitágoras?

864 - Una Maravillosa igualdad

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Sat, 11 Feb 2012 05:39:52 PST

14ⁿ + 16ⁿ + 45ⁿ + 54ⁿ + 73ⁿ + 83ⁿ = 3ⁿ + 5ⁿ + 28ⁿ + 34ⁿ + 65ⁿ + 66ⁿ + 84ⁿ

^{Esta igualdad se da para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Encontrado por Philippe Fondanaiche

863 - Problema de las Olimpiadas Brasileras

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Wed, 08 Feb 2012 01:00:09 PST

Dado un número natural N, multiplicamos todos sus dígitos, repetimos este procedimiento hasta que quede un solo dígito al cual llamamos primitivo de N.

Por ejemplo para 327:
3x2x7 = 42, y 4x2 =8. Por lo tanto el primitivo de 327 es 8.

Calcular la suma de los dígitos del mayor número natural con todos los dígitos diferentes cuyo primitivo sea impar.

Problema de las Olimpiadas Brasileras

862 - Cumpliendo en vacaciones II

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Tue, 07 Feb 2012 01:00:01 PST

- ¿Y que tal el cumpleaños ?
- Bien, vino mas gente de la que creía.
- ¿Cuántos fueron?
- Mirá para que tengas una idea, en un momento, el cumpleañero Gustavo fue a buscar la torta y la probabilidad de que ninguna de las personas que estábamos en el patio haya nacido en enero y febrero era del 1%.

861 - Cumpliendo en vacaciones I

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Mon, 06 Feb 2012 05:05:05 PST

- Hoy es el cumpleaños de mi hijo Gustavo
- Felicidades!
- Gracias, este año se lo celebramos el mismo día de su cumpleaños, cuando era chico como su cumpleaños cae en fecha de vacaciones escolares se lo festejábamos en Marzo, cuando empezaban las clases.
- Siempre el mismo problema con los que cumplen en vacaciones.
- Justamente ese es el problema de hoy.
- ¿ Festejar o no festejar ?
- No, no, quería saber, suponiendo que la probabilidad de nacer cualquier día del año es la misma,
¿Cuál es la probabilidad de que una persona haya nacido en enero o febrero? (en % con dos decimales)

Pd: Feliz cumple Gus!
Pd 2 : A ver si lo resolvés!

860 - Asombrosa igualdad con pi

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Sat, 04 Feb 2012 07:39:30 PST

Un nanosiglo son aproximadamente pi segundos

visto aquí

859 - Los últimos serán los primeros...

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Fri, 03 Feb 2012 04:32:07 PST

107769423558897243

x 4

-------------------------

431077694235588972

Se pueden ver mas ejemplos en la secuencia A166320

858 - Diez millones de números

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Thu, 02 Feb 2012 04:12:27 PST

- El otro día me di cuenta de que si tengo dos dos , la suma me da igual que el producto, ya que 2+2= 2x2 = 4
- Sos un genio.
- No creo, porque a todos los que se los comenté me dijeron que ya lo sabían.
- Para mi sos un genio
- Después seguí buscando y encontré diez números en los que su suma era igual a su producto.
- Genio !
- Bueno, gracias pero no es para tanto, los encontré en una revista. Eran ocho unos, un dos y un diez.
- A ver, suma = 8x1 + 2 + 10 = 20, producto = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 10 = 20. Si, la suma es igual al producto, sos un genio!
- Claro que no me conformé y encontré que ocho unos y dos cuatros también tenían su suma igual a su producto.
- Ahá, y adonde querés llegar?, me tengo que ir a ver el partido...
- Quería saber si podía encontrar diez millones de números que tuvieran una suma igual a su producto
- Claro, yo conozco por lo menos seis soluciones
- GENIO!

857 - Un enigma

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Wed, 01 Feb 2012 01:30:02 PST

E⁶ + (NI)³ + (GMA)² = EENNGG

Reemplazar cada letra por un número para que la expresión sea matemáticamente correcta

856 - Fracciones pandigitales

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Mon, 30 Jan 2012 11:14:17 PST

La entrada de hoy es una variación de la entrada 837 en la que "hablé" de las números enteros de dos dígitos expresados como fracciones hechas por números que tuvieran en su composición una sola vez cada uno los dígitos del uno al nueve.
En esta ocasión veremos los enteros que son iguales a fracciones formadas por números que usan las cifras del cero al nueve. Con estas condiciones se pueden formar todos los números de dos cifras excepto los terminados en 1 (porqué?), el 10, el 48, el 75, el 82 y el 97. Yo encontré 437 fracciones de este tipo que generan enteros de dos cifras, y al igual que cuando se usan los dígitos del uno al nueve hay números que pueden expresarse en mas de una manera y otros en los que solo de una forma.

Así el 17 se puede formar de dieciocho formas diferentes :

105978 / 6234 = 17
107984 / 6352 = 17
125936 / 7408 = 17
126803 / 7459 = 17
130594 / 7682 = 17
135082 / 7946 = 17
136459 / 8027 = 17
137564 / 8092 = 17
140369 / 8257 = 17
140539 / 8267 = 17
140573 / 8269 = 17
142069 / 8357 = 17
147203 / 8659 = 17
153476 / 9028 = 17
153782 / 9046 = 17
154326 / 9078 = 17
157046 / 9238 = 17
162078 / 9534 = 17

en tanto que el 80 se forma de 46 formas distintas:

254960 / 3187 = 80

367120 / 4589 = 80

367280 / 4591 = 80

375120 / 4689 = 80

375280 / 4691 = 80

381520 / 4769 = 80

418960 / 5237 = 80

429680 / 5371 = 80

463120 / 5789 = 80

463280 / 5791 = 80

467120 / 5839 = 80

471360 / 5892 = 80

473280 / 5916 = 80

473680 / 5921 = 80

518320 / 6479 = 80

539280 / 6741 = 80

543120 / 6789 = 80

543280 / 6791 = 80

547120 / 6839 = 80

569840 / 7123 = 80

584960 / 7312 = 80

589120 / 7364 = 80

593280 / 7416 = 80

593680 / 7421 = 80

631520 / 7894 = 80

635280 / 7941 = 80

653920 / 8174 = 80

654320 / 8179 = 80

671520 / 8394 = 80

673520 / 8419 = 80

675120 / 8439 = 80

714560 / 8932 = 80

715360 / 8942 = 80

716240 / 8953 = 80

716320 / 8954 = 80

732480 / 9156 = 80

732640 / 9158 = 80

734560 / 9182 = 80

745280 / 9316 = 80

745680 / 9321 = 80

748160 / 9352 = 80

753280 / 9416 = 80

753680 / 9421 = 80

761840 / 9523 = 80

762480 / 9531 = 80

763280 / 9541 = 80

El 12, 13, 16, 28, 33, 49, 54, 57, 63, 64, 66, 67, 78, 79, 85, 96, y 99 se pueden expresar de una sola manera con este tipo de fracciones .

Me imagino que se imaginan cual es su tarea.

855 - Cuadrado hecho de cuadrados II

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Fri, 27 Jan 2012 02:00:00 PST

Encontrar un cuadrado el cual es la concatenación de un cuadrado de un número primo de tres cifras y un cuadrado de un compuesto de tres cifras

854 - Productos anagramas

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Thu, 26 Jan 2012 04:09:09 PST

Desde que era chico siempre me asombró que al multiplicar el cuatro o el siete por tres se obtuviera dos productos con los mismo dígitos pero en diferente posición.

3 x 4 = 12
3 x 7 = 21

Ahora que estoy un poco mas grande, no mucho, me sigue sorprendiendo que existan números que al multiplicarse por dos números distintos los productos sean uno una permutación del otro. Aparentemente se puede encontrar un número para cada par de números distintos siempre y cuando uno de dichos números no sea un múltiplo de diez del otro (es decir para n y n*10^m, no hay un número que al multiplicarlo por ellos den productos anagrama)

Hace dos años publiqué en la OEIS 8 secuencias basados en estos hechos.
El título de cada una de estas secuencias es:

a(n) es el menor número tal que a(n) multiplicado por n es un anagrama de a(n) * X

donde X toma en las distintas secuencias los valores del 2 al 9.

Así por ejemplo la secuencia para X igual a cuatro es:

1782, 62937, 54, 1, 2826, 891, 3, 269631, 324, 2718, 4311, 3681, 37, 387, 25974, 4401, 477, 45, 48, 256437, 3393, 37, 26523, 3465, 3252, 3699, 34623, 2922, 27972, 27, 271, 284787, 27324, 25971, 263223, 26973, 25974, 2579247, 2514744

(Oeis A175693)

Así:
1782 x 1 = 1782 y 1782 x 4 = 7218
62937 x 2 = 125874 y 62937 x 4 = 251748
54 x 3 = 162 y 54 x 4 = 216
etcétera.

Hay veces que un mismo número cumple con la condición por ejemplo:
37 x 13 = 481 , 37 x 22 = 814, 37 x 4 = 148

Si escribimos estos números en un cuadro:

Sheet1


.		1	2	3	4	5	6	7	8	9
.	1	1	125874	1035	1782	142857	1386	1359	113967	1089
.	2	125874	1	1782	62937	5436	5175	774	891	9
.	3	1035	1782	1	54	36	41958	45	9	345
.	4	1782	62937	54	1	2826	891	3	269631	324
.	5	142857	5436	36	2826	1	9	279	252	2439
.	6	1386	5175	41958	891	9	1	693	27	594
.	7	1359	774	45	3	279	693	1	315	18
.	8	113967	891	9	269631	252	27	315	1	297
.	9	1089	9	345	324	2439	594	18	297	1
.
.		389350	202879	45265	338449	154135	50734	3487	385390	5116

vemos que a pesar de que los valores son distintos, curiosamente la suma de los valores para el uno es un anagrama de la suma de los valores para el ocho: 389350 - 385390

Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza el blog Resistencia Numantina

853 - Diferencia de edades

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Wed, 25 Jan 2012 02:00:07 PST

Pedro nació en el siglo diecinueve en tanto que su hermano Pablo en el siglo veinte.
Un día Pedro dijo:
- Mi edad es igual a la suma de los dígitos del año en el que nací
-La mía también -dijo Pablo

¿Que diferencia de edad había entre Pedro y Pablo?

Un problema de las olimpiadas rusas

852 - Hoy

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Tue, 24 Jan 2012 12:27:55 PST

6003003/250000

851 - Un problema belga

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Mon, 23 Jan 2012 01:00:11 PST

Encontrar tres números consecutivos x , y , z, tal que las diferencias de sus cubos den como resultado

ABC = z³ - y³
ACB = y³ - x³
ABC + ACB = z³ - x³

Este problema apareció en la revista Sphinx, dicha revista dedicada a las matemáticas recreativas, se publicó en Bélgica entre los años 1931 y 1939.

850 - Cuadrado hecho de cuadrados I

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Fri, 20 Jan 2012 02:00:08 PST

Encontrar dos números cuadrados los cuales son la concatenación de un cuadrado de un número compuesto de tres cifras y un cuadrado de un primo de dos cifras

849 - Perdido en la playa

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Wed, 18 Jan 2012 01:00:02 PST

En estas vacaciones Brian se perdió en la playa.
Como no encontraba a sus padres decidió ir en su búsqueda, para ello caminó un paso para el este, después hizo dos para el norte, tres para el oeste, cuatro para el sur, cinco para el este, seis para el norte, siete para el oeste, etc, etc, hasta que terminó haciendo 2012 pasos para el sur.

¿A cuantos pasos del punto de partida (aproximadamente) se encontraba Brian cuando dio el último paso?

848 - Otro como el 2012

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Tue, 17 Jan 2012 11:49:22 PST

El 2012 presenta esta particularidad : su cuadrado es una permutación del cuadrado del 2021 (2012+9) :

2012² = 4048144
y
2021² = 4084441

¿Cuál es el siguiente número N mayor a 2012 tal que su cuadrado es una permutación del cuadrado de N+9?

847- Feliz 2012

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Fri, 30 Dec 2011 04:19:00 PST

Les puedo decir:

Feliz raíz ( 4⁴ + 16⁴ + 22⁴ + 44⁴ )
ó
Feliz raíz (28⁴ + 32⁴ + 32⁴ + 34⁴)

ó Se los puedo decir con todos los dígitos:

Feliz  {(9+5)^8/4 + 307/1} * (6-2)

Feliz  {[6+7+(8*0)-1]²+359} * 4

Feliz  1024 + {(9 × 5) - 7} × {(6 × 3) + 8}

Feliz  0 + 12³+ (4*5*9) + (6+7) * 8

ó como me lo deseo Antonio:

Feliz (9*8*7-6+5)*4-3+2+1+0

ó Con capicúas:

Feliz 1881+331

ó Se los puedo decir con 2012's :

Feliz {(20-1)*2+2*0+12}*20*1*2 +(2*0+12)

En fin hay muchísimas maneras de decirlo, pero la idea es siempre la misma

Feliz 2012 y lo mejor de lo mejor para todos!

846 - Fin de año primo

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Thu, 19 Jan 2012 12:44:54 PST

Este año tuvimos una Navidad prima ya que 25122011 es un número primo, cosa que me enteré leyéndolo aquí.

Cuentan que Alberto I nació el 31 de diciembre del año 687 y murió el 31 de diciembre del año 787 en tanto que su bisnieto Roberto I nació doscientos años después de la muerte de su bisabuelo, el 31 de diciembre de 987 y falleció el 31 de diciembre de 1087 siendo lo curioso que estas cuatro fechas escritas de forma tradicional como así también en el estilo anglosajón son números primos :

Todos primos:

3112687 - 1231687 - 3112787 - 1231787
3112987 - 1231987 - 31121087 - 12311087

Parece que un pariente de ellos, Adalberto I nació también el último día del año y que dicha fecha expresada tanto de forma 3112aaaa como 1231aaaa forma números primos.
Según un horóscopo que le hicieron al nacer, pronosticaron que estará vivo el día de su cumpleaños 100 ya que ese día también será una fecha doblemente prima.

¿En que año nació Adalberto I?

845 - El 237

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Mon, 26 Dec 2011 02:30:00 PST

Veamos las primeras potencias del número 237:

237 ⁰= 1
237 ¹= 237
237 ²= 56169
237 ³= 13312053
237 ⁴= 3154956561
237 ⁵ = 747724704957

Si las concatenamos obtenemos 123756169133120533154956561747724704957 el cual es un número primo.
237 es el menor número que genera un primo al concatenar sus primeras seis potencias.

¿Otros ejemplos?

844 - Jugando con los números

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Thu, 22 Dec 2011 03:00:01 PST

Tomemos un número de cuatro cifras, como por ejemplo 2011.
Cambiemos ahora cada dígito por el dígito que le sigue, si el dígito es 9 lo cambiamos por 0, y los ceros que van apareciendo a la izquierda los eliminamos :
Así 2011 ----> 3122 ----> 4233 , etc
Seguimos haciendo este proceso hasta que el número se desvanezca :

2011, 3122, 4233, 5344, 6455, 7566, 8677, 9788, 899, 900, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 0,
Vemos que el 2011 logró persistir 19 pasos

Preguntitas:

- ¿Cuál es el número de cuatro dígitos que mas perdura? y el de cinco?
- ¿Cuál es el primo de cuatro dígitos que mas perdura? Como hay varios que perduran igual, pido el mas pequeño.

843 - Sumando primos

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Wed, 21 Dec 2011 03:00:13 PST

Ernesto estaba aburrido y es por eso que empezó a sumar los números primos:

2+3 = 5
2+3+5 = 10
2+3+5+7 = 17
2+3+5+7+11 = 28
2+3+5+7+11+13 = 41
2+3+5+7+11+13+17 = 58

Cuando la suma era un número primo, Ernesto lo anotaba.
Así los primeros números que anotó fueron: 5, 17, 41, etc

Mientras seguía sumando primos, notó que al sumar los primeros primos que figuraban en las sumas que había anotado, la suma obtenida no era prima, por ejemplo al sumar 5 obtuvo 10, al sumar 17 obtuvo 58, etc. Siguió haciendo estas sumas hasta que encontró un primo que había anotado y que al sumarlo obtenía un número primo

¿Cuál es ese primo?

¿Habrá mas coincidencias como esta?

842 - El 2012 y los polidivisibles

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Mon, 23 Jan 2012 04:38:12 PST

Ya se acerca el año 2012 y con él ya vendrán en los distintos blogs sobre matemáticas las características, propiedades y curiosidades del mismo.
Una de las propiedades del 2012 es que es un número polidivisible.

En matemáticas se define como número polidivisible a un número natural con las siguientes propiedades:
Sea el número abcde..., definido por sus dígitos, se dice que abcde... es polidivisible si:

Su primer dígito a no es 0.
El número formado por sus dos primeros dígitos ab es múltiplo de 2.
El número formado por sus tres primeros dígitos abc es múltiplo de 3.
El número formado por sus cuatros primeros dígitos abcd es múltiplo de 4.
etcétera.

Efectivamente para 2012 tenemos que

2 es divisible por 1

20 es divisible por 2

201 es divisible por 3

2012 es divisible por 4

Los números polidivisibles, más pequeños en base 10, con 1, 2, 3, 4, ... dígitos respectivamente son:

1, 10, 102, 1020, 10200, 102000, 1020005, 10200056, 102000564, 1020005640.

Estos números aparecen frecuentemente en problemas de las matemáticas recreativas. Un problema muy conocido es el que dice:

Ordenar los dígitos del 1 al 9 de forma tal que el número formado por los dos primeros dígitos sea múltiplo de 2, el fomado por los tres primeros dígitos sea múltiplo de 3, etcétera; y finalmente el número completo sea múltiplo de 9.

La solución de este problema es un número polidivisible de nueve dígitos, con la condición adicional de que contiene todos los dígitos y estos no se repiten. Hay 2.492 números polidivisibles de nueve dígitos, pero solo uno que satisface la condición adicional: 381654729

Hay un total de 20.456 números polidivisibles, siendo el mayor 3608528850368400786036725 el cual tiene 25 dígitos

Dentro de los números polidivisbles tenemos :

Polidivisibles capicúas : siendo el mayor 30000600003 (11 dígitos)
Polidivisbles formados solo por dígitos pares, siendo el mayor : 48000688208466084040 (20 dígitos)
Primos cuasi polidivisible: son números primos, polidivisbles hasta el anteúltimo dígito, el mas largo es 123606009012225672009013 (24 dígitos)

Les dejo ahora dos preguntas para que se diviertan buscando la respuesta:

Dentro de los polidivisibles hay exactamente 100 que tienen a 2012 como cadena dentro, siendo el propio 2012 el menor de estos, ¿Cuál es el mayor polidivisible terminado en 2012?

Existen polidivisibles terminados en 2009 como 123606009012225672009, sin embargo no los hay terminados en 2010 ni en 2011. ¿Cuál es el próximo año posterior a 2012 el cual tiene un polidivisible terminado como él?

Fuentes wikipedia, primepuzzles puzzle 174

Esta entrada forma parte de la edición 2.9 del carnaval de matemáticas, organizado en esta ocasión por Que no te aburran las mates

841 - Un nuevo castigo

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Mon, 19 Dec 2011 00:00:04 PST

El castigo que la maestra le dio a Bart fue el siguiente:
1) tenía que escribir los números del 1 al 2011
2) Debía suplantar dichos números por la suma de sus digitos
3) Repetir el paso dos hasta que queden solo números de una cifra
4) Contar cuantos 1, 2, 3 etc quedaron escritos
5) Sumarlos y decirle a la maestra la suma