Números y algo mas...

855 - Cuadrado hecho de cuadrados II

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Fri, 27 Jan 2012 02:00:00 PST

Encontrar un cuadrado el cual es la concatenación de un cuadrado de un número primo de tres cifras y un cuadrado de un compuesto de tres cifras

854 - Productos anagramas

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Thu, 26 Jan 2012 04:09:09 PST

Desde que era chico siempre me asombró que al multiplicar el cuatro o el siete por tres se obtuviera dos productos con los mismo dígitos pero en diferente posición.

3 x 4 = 12
3 x 7 = 21

Ahora que estoy un poco mas grande, no mucho, me sigue sorprendiendo que existan números que al multiplicarse por dos números distintos los productos sean uno una permutación del otro. Aparentemente se puede encontrar un número para cada par de números distintos siempre y cuando uno de dichos números no sea un múltiplo de diez del otro (es decir para n y n*10^m, no hay un número que al multiplicarlo por ellos den productos anagrama)

Hace dos años publiqué en la OEIS 8 secuencias basados en estos hechos.
El título de cada una de estas secuencias es:

a(n) es el menor número tal que a(n) multiplicado por n es un anagrama de a(n) * X

donde X toma en las distintas secuencias los valores del 2 al 9.

Así por ejemplo la secuencia para X igual a cuatro es:

1782, 62937, 54, 1, 2826, 891, 3, 269631, 324, 2718, 4311, 3681, 37, 387, 25974, 4401, 477, 45, 48, 256437, 3393, 37, 26523, 3465, 3252, 3699, 34623, 2922, 27972, 27, 271, 284787, 27324, 25971, 263223, 26973, 25974, 2579247, 2514744

(Oeis A175693)

Así:
1782 x 1 = 1782 y 1782 x 4 = 7218
62937 x 2 = 125874 y 62937 x 4 = 251748
54 x 3 = 162 y 54 x 4 = 216
etcétera.

Hay veces que un mismo número cumple con la condición por ejemplo:
37 x 13 = 481 , 37 x 22 = 814, 37 x 4 = 148

Si escribimos estos números en un cuadro:

Sheet1


.		1	2	3	4	5	6	7	8	9
.	1	1	125874	1035	1782	142857	1386	1359	113967	1089
.	2	125874	1	1782	62937	5436	5175	774	891	9
.	3	1035	1782	1	54	36	41958	45	9	345
.	4	1782	62937	54	1	2826	891	3	269631	324
.	5	142857	5436	36	2826	1	9	279	252	2439
.	6	1386	5175	41958	891	9	1	693	27	594
.	7	1359	774	45	3	279	693	1	315	18
.	8	113967	891	9	269631	252	27	315	1	297
.	9	1089	9	345	324	2439	594	18	297	1
.
.		389350	202879	45265	338449	154135	50734	3487	385390	5116

vemos que a pesar de que los valores son distintos, curiosamente la suma de los valores para el uno es un anagrama de la suma de los valores para el ocho: 389350 - 385390

Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza el blog Resistencia Numantina

853 - Diferencia de edades

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Wed, 25 Jan 2012 02:00:07 PST

Pedro nació en el siglo diecinueve en tanto que su hermano Pablo en el siglo veinte.
Un día Pedro dijo:
- Mi edad es igual a la suma de los dígitos del año en el que nací
-La mía también -dijo Pablo

¿Que diferencia de edad había entre Pedro y Pablo?

Un problema de las olimpiadas rusas

852 - Hoy

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Tue, 24 Jan 2012 12:27:55 PST

6003003/250000

851 - Un problema belga

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Mon, 23 Jan 2012 01:00:11 PST

Encontrar tres números consecutivos x , y , z, tal que las diferencias de sus cubos den como resultado

ABC = z³ - y³
ACB = y³ - x³
ABC + ACB = z³ - x³

Este problema apareció en la revista Sphinx, dicha revista dedicada a las matemáticas recreativas, se publicó en Bélgica entre los años 1931 y 1939.

850 - Cuadrado hecho de cuadrados I

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Fri, 20 Jan 2012 02:00:08 PST

Encontrar dos números cuadrados los cuales son la concatenación de un cuadrado de un número compuesto de tres cifras y un cuadrado de un primo de dos cifras

849 - Perdido en la playa

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Wed, 18 Jan 2012 01:00:02 PST

En estas vacaciones Brian se perdió en la playa.
Como no encontraba a sus padres decidió ir en su búsqueda, para ello caminó un paso para el este, después hizo dos para el norte, tres para el oeste, cuatro para el sur, cinco para el este, seis para el norte, siete para el oeste, etc, etc, hasta que terminó haciendo 2012 pasos para el sur.

¿A cuantos pasos del punto de partida (aproximadamente) se encontraba Brian cuando dio el último paso?

848 - Otro como el 2012

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Tue, 17 Jan 2012 11:49:22 PST

El 2012 presenta esta particularidad : su cuadrado es una permutación del cuadrado del 2021 (2012+9) :

2012² = 4048144
y
2021² = 4084441

¿Cuál es el siguiente número N mayor a 2012 tal que su cuadrado es una permutación del cuadrado de N+9?

847- Feliz 2012

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Fri, 30 Dec 2011 04:19:00 PST

Les puedo decir:

Feliz raíz ( 4⁴ + 16⁴ + 22⁴ + 44⁴ )
ó
Feliz raíz (28⁴ + 32⁴ + 32⁴ + 34⁴)

ó Se los puedo decir con todos los dígitos:

Feliz  {(9+5)^8/4 + 307/1} * (6-2)

Feliz  {[6+7+(8*0)-1]²+359} * 4

Feliz  1024 + {(9 × 5) - 7} × {(6 × 3) + 8}

Feliz  0 + 12³+ (4*5*9) + (6+7) * 8

ó como me lo deseo Antonio:

Feliz (9*8*7-6+5)*4-3+2+1+0

ó Con capicúas:

Feliz 1881+331

ó Se los puedo decir con 2012's :

Feliz {(20-1)*2+2*0+12}*20*1*2 +(2*0+12)

En fin hay muchísimas maneras de decirlo, pero la idea es siempre la misma

Feliz 2012 y lo mejor de lo mejor para todos!

846 - Fin de año primo

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Thu, 19 Jan 2012 12:44:54 PST

Este año tuvimos una Navidad prima ya que 25122011 es un número primo, cosa que me enteré leyéndolo aquí.

Cuentan que Alberto I nació el 31 de diciembre del año 687 y murió el 31 de diciembre del año 787 en tanto que su bisnieto Roberto I nació doscientos años después de la muerte de su bisabuelo, el 31 de diciembre de 987 y falleció el 31 de diciembre de 1087 siendo lo curioso que estas cuatro fechas escritas de forma tradicional como así también en el estilo anglosajón son números primos :

Todos primos:

3112687 - 1231687 - 3112787 - 1231787
3112987 - 1231987 - 31121087 - 12311087

Parece que un pariente de ellos, Adalberto I nació también el último día del año y que dicha fecha expresada tanto de forma 3112aaaa como 1231aaaa forma números primos.
Según un horóscopo que le hicieron al nacer, pronosticaron que estará vivo el día de su cumpleaños 100 ya que ese día también será una fecha doblemente prima.

¿En que año nació Adalberto I?

845 - El 237

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Mon, 26 Dec 2011 02:30:00 PST

Veamos las primeras potencias del número 237:

237 ⁰= 1
237 ¹= 237
237 ²= 56169
237 ³= 13312053
237 ⁴= 3154956561
237 ⁵ = 747724704957

Si las concatenamos obtenemos 123756169133120533154956561747724704957 el cual es un número primo.
237 es el menor número que genera un primo al concatenar sus primeras seis potencias.

¿Otros ejemplos?

844 - Jugando con los números

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Thu, 22 Dec 2011 03:00:01 PST

Tomemos un número de cuatro cifras, como por ejemplo 2011.
Cambiemos ahora cada dígito por el dígito que le sigue, si el dígito es 9 lo cambiamos por 0, y los ceros que van apareciendo a la izquierda los eliminamos :
Así 2011 ----> 3122 ----> 4233 , etc
Seguimos haciendo este proceso hasta que el número se desvanezca :

2011, 3122, 4233, 5344, 6455, 7566, 8677, 9788, 899, 900, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 0,
Vemos que el 2011 logró persistir 19 pasos

Preguntitas:

- ¿Cuál es el número de cuatro dígitos que mas perdura? y el de cinco?
- ¿Cuál es el primo de cuatro dígitos que mas perdura? Como hay varios que perduran igual, pido el mas pequeño.

843 - Sumando primos

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Wed, 21 Dec 2011 03:00:13 PST

Ernesto estaba aburrido y es por eso que empezó a sumar los números primos:

2+3 = 5
2+3+5 = 10
2+3+5+7 = 17
2+3+5+7+11 = 28
2+3+5+7+11+13 = 41
2+3+5+7+11+13+17 = 58

Cuando la suma era un número primo, Ernesto lo anotaba.
Así los primeros números que anotó fueron: 5, 17, 41, etc

Mientras seguía sumando primos, notó que al sumar los primeros primos que figuraban en las sumas que había anotado, la suma obtenida no era prima, por ejemplo al sumar 5 obtuvo 10, al sumar 17 obtuvo 58, etc. Siguió haciendo estas sumas hasta que encontró un primo que había anotado y que al sumarlo obtenía un número primo

¿Cuál es ese primo?

¿Habrá mas coincidencias como esta?

842 - El 2012 y los polidivisibles

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Mon, 23 Jan 2012 04:38:12 PST

Ya se acerca el año 2012 y con él ya vendrán en los distintos blogs sobre matemáticas las características, propiedades y curiosidades del mismo.
Una de las propiedades del 2012 es que es un número polidivisible.

En matemáticas se define como número polidivisible a un número natural con las siguientes propiedades:
Sea el número abcde..., definido por sus dígitos, se dice que abcde... es polidivisible si:

Su primer dígito a no es 0.
El número formado por sus dos primeros dígitos ab es múltiplo de 2.
El número formado por sus tres primeros dígitos abc es múltiplo de 3.
El número formado por sus cuatros primeros dígitos abcd es múltiplo de 4.
etcétera.

Efectivamente para 2012 tenemos que

2 es divisible por 1

20 es divisible por 2

201 es divisible por 3

2012 es divisible por 4

Los números polidivisibles, más pequeños en base 10, con 1, 2, 3, 4, ... dígitos respectivamente son:

1, 10, 102, 1020, 10200, 102000, 1020005, 10200056, 102000564, 1020005640.

Estos números aparecen frecuentemente en problemas de las matemáticas recreativas. Un problema muy conocido es el que dice:

Ordenar los dígitos del 1 al 9 de forma tal que el número formado por los dos primeros dígitos sea múltiplo de 2, el fomado por los tres primeros dígitos sea múltiplo de 3, etcétera; y finalmente el número completo sea múltiplo de 9.

La solución de este problema es un número polidivisible de nueve dígitos, con la condición adicional de que contiene todos los dígitos y estos no se repiten. Hay 2.492 números polidivisibles de nueve dígitos, pero solo uno que satisface la condición adicional: 381654729

Hay un total de 20.456 números polidivisibles, siendo el mayor 3608528850368400786036725 el cual tiene 25 dígitos

Dentro de los números polidivisbles tenemos :

Polidivisibles capicúas : siendo el mayor 30000600003 (11 dígitos)
Polidivisbles formados solo por dígitos pares, siendo el mayor : 48000688208466084040 (20 dígitos)
Primos cuasi polidivisible: son números primos, polidivisbles hasta el anteúltimo dígito, el mas largo es 123606009012225672009013 (24 dígitos)

Les dejo ahora dos preguntas para que se diviertan buscando la respuesta:

Dentro de los polidivisibles hay exactamente 100 que tienen a 2012 como cadena dentro, siendo el propio 2012 el menor de estos, ¿Cuál es el mayor polidivisible terminado en 2012?

Existen polidivisibles terminados en 2009 como 123606009012225672009, sin embargo no los hay terminados en 2010 ni en 2011. ¿Cuál es el próximo año posterior a 2012 el cual tiene un polidivisible terminado como él?

Fuentes wikipedia, primepuzzles puzzle 174

Esta entrada forma parte de la edición 2.9 del carnaval de matemáticas, organizado en esta ocasión por Que no te aburran las mates

841 - Un nuevo castigo

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Mon, 19 Dec 2011 00:00:04 PST

El castigo que la maestra le dio a Bart fue el siguiente:
1) tenía que escribir los números del 1 al 2011
2) Debía suplantar dichos números por la suma de sus digitos
3) Repetir el paso dos hasta que queden solo números de una cifra
4) Contar cuantos 1, 2, 3 etc quedaron escritos
5) Sumarlos y decirle a la maestra la suma

840 - Un problema del Pascal contest

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Thu, 15 Dec 2011 22:30:03 PST

Si nos dicen que el producto de N números consecutivos de cuatro cifras es divisible por 2010²,
¿Cuál es el menor valor posible de N?

Problema de1 2010 Pascal Contest.

839 - ¿Qué número soy?

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Wed, 14 Dec 2011 22:30:00 PST

Hay cinco declaraciones falsas y cinco verdaderas sobre el número secreto.
Cada par de declaraciones contiene una declaración falsa y una verdadera.
Encuentra las verdaderas, encuentra las falsas, y encontraras el número.

1a. Tengo 2 dígitos
1b. Soy par

2a. Contengo un "7"
2b. Soy un número primo

3a. Soy el producto de dos enteros impares consecutivos
3b. Soy uno más que un cuadrado perfecto

4a. Soy divisible por 11
4b. Soy uno más que un cubo perfecto

5a. Soy un cuadrado perfecto
5b. Tengo 3 dígitos

Visto aquí

838 - Un desayuno matemáticamente correcto

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Tue, 13 Dec 2011 23:00:04 PST

Te gustaría comerte este Bagel?

Si sigues las instrucciones que aquí te dan lo puedes lograr

837- Con todos los dígitos del 1 al 9

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Tue, 13 Dec 2011 01:00:01 PST

Usando los nueve dígitos es posible formar fracciones que den como resultado los siguientes valores : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 32, 35, 37, 38, 43, 44, 46, 52, 53, 59, 62, 66 y 68

Por ejemplo:

13458 / 6729 = 2
17469 / 5823 = 3
15768 / 3942 = 4
Hay resultados que pueden obtenerse con mas de una fracción como por ejemplo:

14 = 25746 / 1839
14 = 27384 / 1956
14 = 41538 / 2967
14 = 46158 / 3297
14 = 51492 / 3678
14 = 54768 / 3912
14 = 61572 / 4398
14 = 65982 / 4713

26 = 61854 / 2379
26 = 67314 / 2589
26 = 67418 / 2593
26 = 76518 / 2943
26 = 82654 / 3179
26 = 89726 / 3451
26 = 92846 / 3571

Estas últimas creo que le gustarán a un amigo de la casa.

En tanto que hay resultados que pueden obtenerse de una sola manera: 18, 22, 32, 37, 43, 46, 52, 59, 66 y 68

El desafío es encontrar estas únicas fracciones.

836 - Buscando un número

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Mon, 12 Dec 2011 01:30:00 PST

¿Qué número de tres cifras es 524 mas chico que la suma de todos los otros números de tres cifras?

835 - Porque es bueno saber matemáticas...

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Fri, 09 Dec 2011 05:22:04 PST

Por no saber un poco de matemáticas no ganó 15000 dólares...
Además el 70% del público del estudio tampoco sabía la respuesta...
La pregunta era bastante fácil:
¿Cuál de los siguientes números cuadrados es además la suma de dos números cuadrados mas pequeños?

A : 16
B : 25
C : 36
D : 49

834 - La Oeis llegó a las 200000 secuencias

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Wed, 07 Dec 2011 23:00:10 PST

La enciclopedia on-line de secuencias de número enteros (OEIS) no está interesado en secuencias de ADN ya que estas son muy desordenadas.
Sólo secuencias de números bien definidas, como los números de Fibonacci, los números pentagonales, o el número de piezas en que ud. puede cortar un bagel con un cuchillo haciendo n cortes son aceptables. La OEIS fue iniciada por Neil Sloane, un matemático de AT&T Labs, hace 47 años cuando era un estudiante recientemente graduado. En 2010 todavía estaba funcionando, y esencialmente sin la ayuda de nadie, pero con 50 nuevas secuencias que llegaban cada día se había convertido en demasiado trabajo para ser manejado por una sola persona.
Después de un difícil período de transición de dos años, la OEIS tiene ahora una vida nueva ya que es propiedad de una fundación sin fines de lucro (de la que Sloane es el presidente), tiene su propio sitio web, oeis.org. y funciona como un wiki. Fue lanzado el 11 de noviembre de 2010, momento en el que la enciclopedia tenía 180.000 secuencias.
El 1 de diciembre de 2011, tras un año de operación exitosa, se alcanzó un hito: la secuencia 200000-XX fue añadida. ¿Cuál es esta secuencia? La Secuencia A201463 es una lista de 25 números,
6, 10, 12, 14, 15, 18,. . ., 117, 144, con algunas características especiales, una de ellas es que la suma de sus recíprocos es 1. Este es un nuevo avance en un problema sobre fracciones planteado en el antiguo Egipto que tiene mas cuatro mil años. No es exactamente nuevo, ya que Sloane lo encontró en un volumen de 2006 del Journal of Discrete Mathematics. ¿Por qué no estaba esta secuencia en la OEIS ?
Probablemente, porque el autor del artículo no sabía de la existencia de la OEIS. Pero muchas otras personas si la conocen: la fundación de la Oeis tiene una lista de más de 2000 artículos, libros y páginas web que hacen referencia a ella, y el siguiente comentario es típico de los muchos que se han recibido: "Considero que la OEIS es uno de los notables recursos matemáticos en la web, gracias por sus enormes esfuerzos por mantenerla. "
La OEIS aún no ha decidido cómo celebrar este evento. En el año 2004 cuando se llegaron a las 100.000 secuencias, se lanzó una e-party
¿Qué sigue? Uno de los objetivos es difundir la noticia de que la OEIS existe, y que nadie en el mundo que tiene secuencia de números interesante (a menos que sea una secuencia de ADN)
debería presentarla. La Fundación OEIS ha estado en existencia por menos de dos años, tiene carácter benéfico en los EE.UU. y continuará necesitando fondos para asegurar su futuro.

Texto traducido de acá

833 - Igual a un múltiplo del "inverso" mas/ menos un primo

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Tue, 06 Dec 2011 23:30:01 PST

El número 21 es el menor número que es igual a un múltiplo de si mismo dado vuelta (2 x12) mas/menos (-3) un primo menor que él :

21 = 12 x 2 - 3

El siguiente es :

31 = 13 x 2 + 5

En este caso vemos que el número original también es primo.

La solución 13 = 31 x 6 - 173 no es válida ya que 173 a pesar de ser primo es mayor que 13.

Buscando solo primos que tengan esta propiedad el siguiente que cumple es el 41 y para el cual tenemos dos soluciones:

41 = 14 x 2 + 13

41 = 14 x 5 - 29

El primer primo que tiene cuatro soluciones es el 61:

61 = 16 x 2 + 29

61 = 16 x 3 + 13

61 = 16 x 4 - 3

61 = 16 x 5 - 19

¿Cuál es el primer primo que tiene cinco soluciones ? ¿y el primero que tiene seis?

832 - Error de cálculo

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Tue, 06 Dec 2011 12:44:39 PST

- ¿Cómo te fue en la prueba?
- Bien papá, solo había que multiplicar el número N por un número de dos cifras. Cuando consulté con Yamila, teníamos una diferencia de 36198 en el resultado. Después de revisar la cuentas nos dimos cuenta que ella había invertido los dígitos del número de dos cifras al copiarlo del pizarrón.
- Tengo dos opciones para el número N- dijo el padre - pero si me contestas la pregunta que te voy a hacer a continuación, te puedo decir exactamente cual era el número N

¿Qué le preguntó el padre?

831 - Las matemáticas y la publicidad

noreply@blogger.com (Claudio Meller) — Mon, 05 Dec 2011 04:21:23 PST

En el siguiente comercial:

El diálogo sería mas o menos así:

Comensal 1 : - Bueno, tenemos diez dólares, así que podemos comprar algo por $8 y algo de $2 o una cosa por $6 y otra de $4. Esas son las formas de dividir los $10.

Comensal 2 : - ó pueden comprar dos menúes de $4 y otro de $2

Comensal 3 : - ó cinco cosas de $2

Comensal 4 : - ó uno de $6 y dos de $2

Locutor : Bienvenidos a Denny. Con nuestro menúes de $2, $4, $6 y $8, estamos abiertos a todas las nuevas formas de ahorrar dinero.

En realidad ¿de cuántas formas pueden gastar estos muchachos los $10?

Lo ví acá