O. Leguay's shared items in Google Reader

La rocambolesque histoire de l'équation quintique

2011-10-25T08:00:00Z

Il a vécu moins longtemps que James Dean, et pourtant, il aura eu le temps de rater deux fois l'entrée à Polytechnique (une sombre histoire de chiffon jeté à la tête de l'examinateur), de faire de la prison et de révolutionner l'histoire de l'algèbre avec [...]

Castor informatique

2011-10-11T16:46:00Z

le Kangourou des mathématiques sévit depuis des lustres ; un concurrent arrive:
Le Castor informatique .

Afin de faire découvrir aux jeunes l'informatique et les sciences du numérique, la première édition française du concours Castor informatique se déroulera la semaine du 14 au 18 Novembre 2011.
Le concours comporte quatre niveaux (6e-5e / 4e-3e / 2nd / 1ère-Term).
(Ci-contre, un exemple des question posées .)
Il couvre divers aspects de l'informatique : information et représentation, pensée algorithmique, utilisation des applications, structures de données, jeux de logique, informatique et société.
Ce concours international est déjà organisé dans 14 pays européens qui partagent une banque commune d'exercices. Environ 235 000 élèves ont participé à l'épreuve 2010.
Entièrement gratuit
Organisé en salle informatique sous la supervision d'un enseignant
45 mn pour 15 à 18 questions
Quatre niveaux : 6e-5e / 4e-3e / 2nd / 1ère-Term
Du 14 au 18 Novembre 2011. L'enseignant choisit le moment de la semaine qui lui convient
Participation individuelle ou par binôme
Aucune connaissance préalable en informatique n'est requise
Inscriptions des enseignants coordinateurs ouvertes jusqu'au 2 Novembre

Vingt ans d'IgNobel en mathématiques

2011-10-02T08:00:00Z

Le 29 septembre dernier, la cérémonie des IgNobel a pour la 21e fois parodié la remise des prix Nobel en récompensant les recherches scientifiques les plus improbables, les découvertes les plus absurdes ou les prouesses les plus nuisibles. La fournée des [...]

Two new videos by James Tanton

2011-09-26T13:32:05Z

After a hiatus of several months Dr. Tanton is making videos again. Here are two new ones.

Lulu has two children. You are told that at least one of her children is a boy who was born on a Tuesday. What is the probability that her other child is also a boy?

The answer will surprise you!

Here is a cute geometry puzzle: Imagine you are an archeologist and have come across just a small section of a rim of an ancient wheel. What size wheel did it come from?

This is a great puzzle to give to geometry students too. Hand out a picture of an arc of a circle and ask if is possible to find the measure of that arc using only basic tools - and them have students actually do it.

(x=2 or x=-2) implies x^2=-4?

2011-09-19T08:11:32Z

Just a question asked by a student, Thomas.

multiply the above, yield

strange?

He puzzled that, why we need to do something like:

to obtain

instead of considering the product of

and directly?

The above procedure may be found under the context of forming equation, like

“Determine a quadratic equation with roots and .”

The crucial idea is, for real numbers and ,

( or ) if and only if .

Note that, ZERO plays a crucial role to maintain the equivalence of the two statements ( or ) and .

Let me make it clear, as for example,

the statement ( or ), DOES NOT imply .

( or ) is true even if ( and ) (say), hence, in this case, (not 6).

Further, the statement ( and ) implies indeed. However, DOES NOT imply ( or ), because, may imply other cases like ( and ), ( and ), and so on.

We see that

( or ) DOES NOT imply .

or we say,

( or ) is not equivalent to .

Back to the original question,

( or ) is not equivalent to .

however,

( or ) is equivalent to ( or ) and hence equivalent to .

Inauguration d'une sculpture à Valenciennes

2011-09-17T05:05:00Z

Ce week-end consacré aux "journées du patrimoine" est, sur Valenciennes, l'occasion de découvrir la nouvelle sculpture d'Alain Valtat, institulée "Juste construction" "comme une construction mathématiquement juste" précise l'artiste. Il classe son oeuvre dans une lignée d'"abstraction géométrique"

Elle est visible place du 8 mai 1945 depuis une dizaine de jours. Sa structure en métal rappelle la passé sidérurgique du valenciennois.

Le site de l'artiste ici

Un article de la Voix du Nord qui y est consacré ici

Fête de la science 2011 à la cité des géométries

2011-09-12T06:00:00Z

La cité des géométries proposera des expositions lors de la fête de la science 2011 :
- du 3 au 16 octobre 2011 à la Maison Folie Place Vauban - Maubeuge
- du 17 au 21 octobre 2011 à la Gare Numérique - Jeumont.

Plus de renseignements disponibles ici ...

The Grounde of Artes by Robert Recorde

2011-09-10T19:00:00Z

A page from Robert Recorde's The Grounde of Artes (1543) dealing with various "rules of practice" in arithmetic. See more pages.

The Grounde of Artes by Robert Recorde

cloois: The knight can visit each square on a chess board...

2011-09-11T00:18:05Z

cloois:

The knight can visit each square on a chess board exactly once. Sure. (Chess.com:sb)

La règle de trois

2011-09-11T06:00:00Z

Source : Une page très complète et passionnante sur la règle de trois, tirée du site de Jean-Luc Bregeon.

Suite à une agréable discussion téléphonique que j'ai eu avec la journaliste Anne-Elisabeth Bertucci, un court article sur la règle de trois est paru dans Ouest France mercredi 7 septembre 2011. Cela m'a donné l'occasion de réfléchir (en dilettante) sur les raisons possibles du "blocage" qui, d'après la journaliste, toucherait spécifiquement la règle de trois. Qu'y a-t-il donc de particulier avec cette règle de trois ?

La règle de trois est une méthode (en fait un ensemble de méthodes) permettant de résoudre des problèmes de recherche de quatrième proportionnelle. Un exemple classique de tel problème est celui des recettes de cuisine : s'il faut 6 oeufs pour faire un gâteau de 8 parts, combien faudra-t-il d'oeufs pour faire un gâteau de 12 parts ?

La méthode classique pour résoudre ce type de problème est le passage par l'unité (on cherche combien il faut d'oeufs par personne) :

S'il faut 6 oeufs pour 8 personnes, il en faut 8 fois moins pour une personne, soit 6/8. Pour 12 personnes, il en faudra 12 fois plus, soit 12*6/8 = 9.

Cette méthode a l'avantage de ne jamais convoquer plus de 2 nombres à la fois : on cherche d'abord le nombre unitaire (en oeuf par personne) en utilisant 6 et 8, puis on cherche le résultat à partir de là en utilisant 6/8 et 12. Le problème est bien décomposé, les opérations sont simples, et le calcul "fait sens" (même si 6/8 d'oeuf peut être un peu déroutant...)

A l'opposé de cette méthode pleine de sens, longue mais simple, une des méthodes liées à la règle de trois est le produit en croix, illustrée ici sur un calculateur en ligne. Elle consiste à utiliser le fait que si le nombre d'oeuf (6 dans un cas, x à trouver dans l'autre) est proportionnel au nombre de personnes (8 dans un cas, 12 dans l'autre), alors on doit avoir 6*12 = 8*x. Cette formule est certes pratique, et fournit ainsi (pourvu qu'on sache résoudre les équations élémentaires) une réponse rapide à notre recherche de quatrième proportionnelle. Son énorme défaut est qu'elle n'a aucun sens : quel sens pourrait-on en effet donner à ces termes, obtenus en multipliant un nombre d'oeufs par un nombre de personnes ? Pire : on multiplie le nombre d'oeufs dans une situation 1 et le nombre de personnes dans une situation 2 !

La règle de trois peut aussi être apprise par coeur sous la forme x = 6*12 / 8 (dans notre exemple). Calculer x revient alors à faire un calcul mémorisé, calcul faisant intervenir 3 nombres à la fois. Or, la mémoire à court terme est limitée (une personne adulte à la mémoire un peu faible retient au maximum 5 items), et est très sensible aux tâches concurrente. Si je dois retenir 5 nombres, je n'aurai aucune difficulté. Mais retenir 5 nombres tout en calculant quelque chose sur ces nombres, c'est une autre paire de manches. Il est tout à fait possible que le fait qu'il faille, avec cette règle de trois, effectuer un calcul et retenir 3 nombres en même temps soit "trop" pour les enfants à la mémoire de travail faible.

Récemment et jusqu'aux programmes de 2008 du primaire, on favorisait chez les élèves les résolutions "intelligentes" des problèmes de proportionnalité, plutôt que l'utilisation d'une règle de trois apprise. Dans notre exemple, il suffit de voir que 12, c'est 50% de plus (ou la moitié en plus, ou 3/2 de) 8. Il faut donc aussi augmenter de 50% le nombre d'oeufs. Dans d'autres cas, c'est une autre solution qui sera préférable. Au final, l'élève se retrouve avec une longue liste de propriétés de la proportionnalité qu'il peut utiliser et qu'il doit, au coup par coup, sélectionner en fonction des données du problème. Comme on l'imagine, seuls les bons élèves y arrivent.

La panorama est donc le suivant concernant les problèmes de recherche de 4ème proportionnelle : on a le choix entre

1. Faire apprendre une méthode pleine de sens (dans certains cas) mais longue et qui, au final, sera simplement une recette apprise par coeur par les élèves moyens

2. Faire apprendre une règle pratique et simple mais vide de sens (l'une des nombreuses règles de trois), et qui charge peut-être trop la mémoire de travail pour les élèves ayant l'empan mnésique le plus bas.

3. Favoriser la compréhension de la notion de proportionnalité et l'utilisation de procédures dépendant de la situation, ce qui est la manière la plus intelligente de faire, mais laisse inévitablement de côté les élèves faibles ou moyens...

...en attendant la solution miracle.

La technologie de demain

2011-09-10T04:11:00Z

Voilà une publicité espagnole démontrant un produit technologique étonnant qui, à mon avis, présentent de très grands avantages que n'ont pas les tablettes (iPod, iPad) ou même les liseuses. Hélas, on n'en mentionne pas le prix.

Découpage d'Airy et théorème de Pythagore

2011-09-04T05:00:00Z

Un découpage élégant qui date du dix-neuvième siècle et permet d'illustrer le théorème de Pythagore. Les trois pièces du puzzle peuvent être accrochées ensemble pour en faire un jouet d'un seul tenant.

- Objet du mois / Piste verte

Une superbe présentation d'histoire des distances en astronomie par Terence Tao

2011-08-29T07:10:45Z

Terence Tao, médaillé Fields, professeur à UCLA, fait une conférence de vulgarisation intitulée

The Cosmic Distance Ladder

Il met cette présentation à la disposition de tous sur son blog

http://terrytao.wordpress.com/2010/10/10/the-cosmic-distance-ladder-ver-4-1/

On peut voir la vidéo de cette conférence sur YouTube

http://www.youtube.com/watch ?v=7ne0GArfeMs

On peut télécharger ici la version pdf de sa présentation

Les mécanismes de Tchebychev

2011-08-27T05:00:00Z

Une exposition virtuelle

- Billets des habitués / Géométrie et Topologie, Interactions des mathématiques

Mathematical model predicts weight with varying diet, exercise changes; Findings challenge one-size-fits-all weight assumptions

2011-08-25T23:31:31Z

Researchers have created a mathematical model -- and an accompanying online weight simulation tool -- of what happens when people of varying weights, diets and exercise habits try to change their weight. The findings challenge the commonly held belief that eating 3,500 fewer calories -- or burning them off exercising -- will always result in a pound of weight loss.

Je continue avec l'apprentissage dynamique

2011-08-25T13:50:00Z

Je ne sais pas si je m'approche d'un but ou si je m'égare mais je continue...

Je viens de réaliser une carte de l'apprentissage dynamique ainsi qu'un court texte explicatif pour en faciliter l'interprétation. Il est à lire avec le travail que j'ai déjà réalisé sur les logos et la présentation des processus d'apprentissage simultanément à la présentation des contenus.

August 2011 Week 1 Posts Summary

2011-08-06T16:01:14Z

Mathematics and Multimedia Mathematics and Multimedia Carnival 13 Paper Folding: Extracting the Cube Root of a Number Calculating the volume of pizza GeoGebra 4.0 Sneak Peek 8: The Probability Calculator July 2011 Top Posts Wolfram launches computational document format My … Continue reading →

Institutrices : Un modèle parfait

2011-07-29T17:15:00Z

Un clin d'oeil à ce billet fort intéressant de notre précieux Prof masqué, voici les règlements des institutrices du début du siècle dernier.

On pouvait bien se saouler le dedans de pathétique.

Growing number of children ‘don’t know their own name’ when starting school

2011-07-30T08:32:50Z

This is an article in The Telegraph. Some quotes:

The problem is most acute in deprived areas, where researchers found half of youngsters have communication difficulties when starting school.

Jean Gross, the government’s communication champion for children, said she discovered the problem while speaking to head teachers in Hull and London.

“They told me that they had seen a number of cases of children arriving for their first day at school who did not know their name or that they even had a name.” [...]

“We do have a problem. Anecdotally, it’s getting worse from what head teachers say.”

Calendriers et congruences

2011-08-02T09:58:20Z

Planète Gaïa, dans la République de Gaulle, année 2011 du Nouveau Calendrier Stellaire, l'Union Républicaine des Socialistes Réunis (URSR) a gagné les dernières élections planétaires et a imposé sa nouvelle politique du temps de travail. Désormais les salariés de toutes les nations devront prendre 3 jours de repos à la fin de chaque semaine : le vendredi, le samedi et le dimanche. Dans ce contexte social épanoui, la société du loisir fleurit et les jeux de logiques vont bon train...¹

Flow Soonlasting est professeur de mathématiques à l'Université Gaullienne des Sciences en la ville fleurie de Lutèce, capitale de la République. Bénéficiant du temps de loisirs dégagé par la nouvelle politique du temps de travail de l'URSR, il exerce ses neurones sur des jeux de logiques. Il a bien profité de son mois de juillet de 5 week-ends de trois jours, lui donnant ainsi 15 jours de repos, soit près de la moitié du mois. Flow se pose maintenant la question suivante : mais quand cela se reproduira-t-il ?²

Après y avoir réfléchi pendant quelques jours, Flow, a décidé de présenter ses réflexions à sa classe...

Mois de juillet 2011

Définitions, notations et conventions

Avant de commencer, quelques définitions, notations et conventions :

on dira qu'un mois est "complet en week-end" ou plus simplement "complet" lorsqu'on y trouve 15 jours de week-end ;
les jours de la semaine seront abrégés en lun, mar, mer, jeu, ven, sam et dim respectivement pour lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi et dimanche.
On ajoutera allègrement les jours entre eux en se basant sur leur ordre dans la semaine (lundi 1, mardi 2, etc... )³. Par exemple l'opération "lundi + 3 jours" donne jeudi, "dimanche + 2 jours" donnera mardi.⁴

A la recherche d'une caractérisation...

Ceci étant posé, on va chercher à caractériser ces mois complets. En examinant ce qui s'est passé en ce mois de juillet 2011, on peut d'emblée poser plusieurs constats :

Un mois complet est nécessairement un mois de 31 jours. Sinon, il manque soit un vendredi, soit un dimanche.
Un mois complet commence nécessairement par un vendredi. Idem, sinon, il manque un vendredi ou un dimanche.
Le premier jour de l'année 2011 est un samedi. Comme tous les jours se suivent les uns les autres (il n'y a pas de semaines dans lesquelles il manque un jour, même si ce serait certainement pratique par moment !), on peut affirmer que la prochaine année non bissextile (comme 2011) qui commencera par un samedi satisfera la question posée par l'énigme. Mais il faudra ne pas oublier de regarder ce qu'il advient des années bissextiles.

Ce constat #3 est capital est constituera notre base de départ. On va chercher à déterminer quels sont les mois complets en fonction du premier jour de l'année, pour les années bissextiles et les non bissextiles.

Pour cela, on commence par construire un calendrier annuel en ne considérant que le premier, le 28ème et le dernier jour du mois. Supposons que le 1er janvier d'une année quelconque soit un lundi. Son 28ème jour est alors un dimanche. En effet, à partir du premier jour du mois jusqu'au 28ème, il y a exactement 4 semaines, donc le 28ème correspond au dernier jour de la 4ème semaine du mois, c'est à dire un dimanche, puisque la première semaine commençait par un lundi. Ensuite, pour avoir le jour de fin de mois, on rajoute trois jours au dimanche (pour un mois de 31 jours), ce qui nous amène au mercredi.

En procédant de cette manière pour chaque mois, on construit les calendriers simplifiés suivants :

Calendrier simplifié pour les années non bissextiles

Calendrier simplifié pour les années bissextiles

Illustration de la congruence sur un mois de 31 jours

La congruence

Ce procédé de construction nous permet d'illustrer la notion de congruence. Alors, la congruence, quoi c'est ? C'est très simple. Chaque mois compte toujours 4 semaines complètes, plus quelques jours. Si on fait la division du nombre de jours par mois par le nombre de semaine (quatre), ça ne tombe jamais rond. Par exemple pour le mois de janvier, on obtient . Formulé autrement : dans chaque mois, il y a toujours 4 fois 7 jours auquel il faut ajouter le nombre de jours restants pour finir le mois.

Mathématiquement cela s'écrit sous la forme de ce que l'on nomme une division entière :

Dans cette formule, 31 est appelé le dividende, 4 le diviseur, 7 est le quotient et 3 le reste (voir figure ci-contre). On dit que 31 est congru à 3 modulo 4, c'est à dire que quand on fait la division d'un mois de 31 jours en 4 semaines, il reste 3 jours, et on peut aussi l'écrire mathématiquement sous la forme suivante :

De la même manière, pour un mois de 30 jours, et on dit que 30 est congru à 2 modulo 4. Pour un mois de février de 28 jours, il y a exactement 4 semaines, on dit que 28 est divisible par 4, le reste dans la division entière est de 0.

Revenons à notre calendrier dont le premier jour de l'année est un lundi. Plusieurs constats intéressants :

une année non bissextile commençant par un lundi se termine aussi par un lundi. Donc l'année suivante débutera sur un mardi.
une année bissextile commençant par un lundi se termine par un mardi. Donc l'année suivante débutera sur un mercredi.

En généralisant les points 1 et 2 on peut affirmer que le premier et le dernier jour d'une année non bissextile sont identiques, et que le premier et le dernier jour d'une année bissextile sont consécutifs.

Maintenant, on peut faire la même raisonnement pour des années commençant par les autres jours de la semaine : mardi, mercredi, etc. Et il n'est pas nécessaire de reconstruire totalement les deux calendriers simplifiés mais uniquement d'effectuer un décalage sur les premiers jours de chaque mois.

Par exemple, si je suppose que l'année commence par un mardi, alors tous les jours suivants seront décalés d'un jour, il suffit donc d'avancer d'un cran tous les premiers jours de chaque mois, et tous les jours suivants. Le mois de février d'une année non bissextile commencera donc par un vendredi, le mois de mars par un vendredi, le mois d'avril par un dimanche, etc.

Suivant ce raisonnement, on peut chercher pour chaque jour de la semaine la présence d'un vendredi pour le premier jour d'un mois de 31 jours. On obtient les tables suivantes :

Occurence des mois complets en fonction du premier jour de l'année - Année non bissextile

Occurence des mois complets en fonction du premier jour de l'année - Année bissextile

Dans le tableau précédent, on constate que

seules les années non bissextiles commençant par un samedi (comme c'est le cas pour l'année 2011) ont leur mois de juillet complet ;
seules les années bissextiles commençant par un vendredi ont leur mois de juillet complet (le mois de janvier l'est aussi d'ailleurs).

A ce niveau du raisonnement, un petit récapitulatif s'impose. Pour trouver la prochaine année présentant un mois de juillet complet :

il nous faut donc chercher les années non bissextiles commençant par un samedi ou les années bissextiles commençant par un vendredi, sachant que :
une année non bissextile commence et se termine par le même jour, qu'une année non bissextile commence et se termine par deux jours consécutifs.

Ce critère de caractérisation va nous permettre de trouver une autre année avec un mois de juillet complet.

Application du critère

L'année 2011 a commencé par un samedi, l'année 2012 s'entamera donc par un dimanche. L'année 2012 étant bissextile, elle se terminera par un lundi, et donc l'année 2013 commencera sur un mardi. 2013 est non bissextile, donc le 1er janvier 2014 sera un mercredi. 2014 étant non bissextile, elle débutera sur un mercredi et donc 2015 commencera par un jeudi. Enfin, le premier jour de l'année 2016 sera un vendredi, qui aura donc le mois de juillet comme mois complet.

Il faudra donc attendre 2016 pour avoir un autre mois de juillet avec 15 jours de week-end.

Flow Soonlasting sait maintenant qu'il lui faudra attendre jusqu'en 2016 pour avoir de nouveau un mois de juillet avec 15 jours de week-end. Et vous, en suivant le même raisonnement que lui, saurez-vous trouver ou généraliser la méthode pour déterminer toutes les années à venir présentant un mois de juillet avec 15 jours de week-end ?

ce contexte relève bien évidemment de la science-fiction, et toute ressemblance avec des faits passés, présents ou à venir, ou des opinions personnelles serait bien évidemment le pur fruit du hasard...
Récemment, Guy Marion, du blog ABC Maths a publié une énigme qui m'a fait chauffé les neurones. Son "énigme de juillet 2011" part de ce constat : en considérant que le vendredi est un jour de week-end, on constate que le mois de juillet 2012 compte 15 jours de week-end. Cet évènement assez remarquable ne se produit que rarement. Question de Guy Marion : en quelle année cela se reproduira-t-il en juillet ?
plus rigoureusement, on peut définir un isomorphisme entre l'ensemble E constitué des jours de la semaine avec l'ensemble Z/7Z.
et c'est là que la congruence pointe le bout de son nez.