Okruchy matematyki

Kula - objętość - pole powierzchni

2012-06-04T12:45:00.001-07:00

Kulą nazywamy figurę obrotową powstałą w wyniku obrotu półkola dokoła prostej zawierającej średnicę półkola.

Oznaczenia:
$r$ - promień kuli
$S$ - powierzchnia kuli
$V$ - objętość kuli

Wzory:
$$S=4\pi r^2$$ $$V=\frac{4}{3}\pi r^3.$$

Zadania
1. W sześcian o boku $a$ wpisano kulę. Oblicz jej objętość i pole powierzchni.
2.Na sześcianie o boku $a$ opisano kulę. Oblicz jej objętość i pole powierzchni.
3. Na czworościanie foremnym o boku $a$ opisano kulę. Oblicz jej objętość.
4. W czworościan foremny o boku $a$ wpisano kulę. Oblicz jej pole powierzchni.

Stożek obrotowy - objętość - pole powierzchni

2012-06-04T09:04:00.001-07:00

Stożkiem obrotowym nazywamy figurę geometryczną powstałą w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego dokoła prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych.

Oznaczenia:
$h$ - wysokość stożka
$r$ - promień podstawy stożka
$l$ - tworząca stożka
$P$ - pole podstawy
$B$ - pole powierzchni bocznej
$S$ - pole powierzchni całkowitej
$V$ - objętość

Wzory:
$$P=\pi r^2$$ $$B=\pi rl$$ $$S=\pi r^2+\pi rl=\pi r(r+l)$$ $$V=\frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Zadania

1. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej stożka wiedząc, że średnica podstawy ma długość $2$ a kąt rozwarcia stożka ma miarę $\frac{\pi}{3}$.
2. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym o polu $8$. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej stożka.
3. Wyznaczyć kąt rozwarcia stożka wiedząc, że pole powierzchni bocznej jest dwa razy większe od pola podstawy tego stożka.
4. Przez punkty dzielące wysokość stożka na trzy równe części poprowadzono płaszczyzny równoległe do podstawy stożka. Wiedząc, że objętość stożka jest równa $V$ obliczyć objętości poszczególnych części.

Rozwiązania:
4. Niech $V_1,\ V_2,\ V_3$ będą objętościami figur $f_1,\ f_2,\ f_3.$ oczywiście $V_1+V_2+V_3=V.$

Ponieważ $f_1\sim(f_1\cup f_2\cup f_3)$ w skali $3$ i $f_1\sim(f_1\cup f_2)$ w skali $2$ więc $\frac{V}{V_1}=3^3\wedge\frac{V_1+V_2}{V_1}=2^3.$ Stąd $V_1=\frac{1}{27}V\wedge V_2=\frac{7}{27}V$. Z równości $\frac{1}{27}V+\frac{7}{27}V+V_3=V\Rightarrow V_3=\frac{19}{27}$. Ostatecznie $$V_1=\frac{1}{27}V$$ $$V_2=\frac{7}{27}$$ $$V_3=\frac{19}{27}.$$

Walec obrotowy - objętość - pole powierzchni

2012-06-03T16:25:00.000-07:00

Walcem obrotowym nazywamy figurę geometryczną powstałą w wyniku obrotu prostokąta dokoła prostej zawierającej jeden z jego boków.

Oznaczenia:
$r$ - promień podstawy walca
$l$ - tworząca walca
$h$ - wysokość walca $/l=r/$
$P$ - pole podstawy walca
$B$ - pole powierzchni bocznej walca
$S$ - pole powierzchni całkowitej walca
$V$ - objętość walca

Wzory:
$$P=\pi r^2$$ $$ B=2\pi r h$$ $$ S= 2\pi r^2+2\pi r h=2\pi r(r+h)$$ $$V=\pi r^2 h.$$
Zadania
1. Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości $2\sqrt2$. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej walca.
2. Przekątna przekroju osiowego walca ma długość $4$ i tworzy z podstawą walca kąt $\frac{\pi}{3}$. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej walca.
3. Obliczyć objętość i pole powierzchni walca opisanego na sześcianie o boku $2\sqrt3$.
4. Wysokość walca jest dwa razy większa od jego promienia. Obliczyć stosunek pola podstawy do pola powierzchni całkowitej tego walca.
Rozwiązania

1. Przekątna $d$ kwadratu o boku $a$ spełnia warunek: $d=a\sqrt2$, przy czym $a=2r=h$.

$2\sqrt2=a\sqrt2$. Zatem $a=2$ stąd $r=1\wedge h=2$.

$V=2\pi$ oraz $S=6\pi$.
2. Oznaczenia jak na rysunku.

$2r=\frac{1}{2}d=2$ stąd $r=1$ i $h=\frac{d\sqrt3}{2}=2\sqrt3$.
Po podstawieniu do wzorów mamy:
$$V=2\pi\sqrt3\qquad S=2\pi(1+2\sqrt3)$$.

Ostrosłupy - objętości - pola powierzchni

2012-06-01T07:42:00.001-07:00

Oznaczenia

P - pole powierzchni podstawy
B - pole powierzchni bocznej
h - wysokość
S - pole powierzchni całkowitej
V - objętość

Ostrosłupy prawidłowe

Inne Ostrosłupy

$$V=\frac{1}{3}P\cdot h\qquad S=P+B$$.

Zadania
1. Krawędź czworościanu foremnego ma długość $a$. Obliczyć jego objętość.
2. W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym wysokość jest równa $2\sqrt{3}$. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\frac{\pi}{3}$. Obliczyć objętość i pole powierzchni bocznej ostrosłupa.
3. Wszystkie krawędzie prawidłowego czworokątnego ostrosłupa mają długość $a$. Obliczyć objętość ostrosłupa.

Rozwiązania:
1. $V=\frac{1}{3}P\cdot h$, gdzie $P=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ - pole trójkąta równobocznego o boku $a$.

Wysokość $h$ obliczymy z trójkąta $FCD$.

$|FC|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ - wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$.

Punkt $E$ jest punktem przecięcia środkowych trójkąta, więc $|EC|=\frac{2}{3}|FC|=\frac{a \sqrt{3}}{3}$. Na podstawie tw. Pitagorasa $h^2=a^2- (\frac{a \sqrt{3}}{3})^2=\frac{2a^2}{3}$.

Dalej $h= \frac{a \sqrt{6}}{3}$ i $$V=\frac{a^3 \sqrt{2}}{12}.$$
2. Oznaczenia jak na rysunku.

Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt foremny, który składa się z sześciu równobocznych trójkątów o boku długości $a$. Zatem $P=6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{3a^2\sqrt3}{2}$.
Powierzchnia boczna składa się z sześciu trójkątów równormiennych o podstawie $a$ i wysokości $h'$. Zatem $B= 6\cdot\frac{1}{2}a\cdot h'=3a\cdot h'$. Pozostaje obliczyć $a$ oraz $h'$.
$|OK|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ - wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$ i
$|OK|=h ctg{\frac{\pi}{3}}=2\sqrt3\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=2$, więc $\frac{a\sqrt{3}}{2}=2$ stąd $a=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
W trójkącie $KOW\ h'=2|OK|=4$.

$V=\frac{1}{3}P\cdot h=\frac{1}{3}\cdot8\sqrt3\cdot2\sqrt3=16$.

$B= 3a\cdot h'=3\cdot\frac{4\sqrt{3}}{3}\cdot4=16\sqrt{3}$.

Twierdzenie o dwusiecznej kąta trójkąta

2012-05-31T14:31:00.001-07:00

Twierdzenie
Dwusieczna kąta trójkąt dzieli jego bok na odcinki proporcjonalne do pozostałych boków trójkąta.

Założenie: $CD\ $ jest dwusieczną kąta $\angle{C}$.
Teza: $\frac{p}{q}=\frac{a}{b}$.
Dowód. Oznaczenia jak na rysunku. Poprowadźmy prostą ${BE}\parallel{CD}$.
$|\angle{CBE}|=|\angle{BCD}|=\phi \wedge |\angle{CEB}|=|\angle{ACD}|=\phi$, więc trójkąt $BCE$ jest równoramienny i $|EC|=|BC|=a$. Na podstawie twierdzenia Talesa$$\frac{p}{q}=\frac{a}{b}.$$

Zadania

1. Mając dane długości boków $a,b,c$ trójkąta $ABC$ obliczyć długości odcinków na jakie dwusieczna kąta $\angle{C}$ podzieliła bok $AB$.
2. Obliczyć długość odcinka jaki brzeg trójkąta $ABC$ wyciął z dwusiecznej kąta $\angle{C}$, mając dane długości boków trójkąta $a,b,c$.

Rozwiązania

1. Niech szukane odcinki mają długości $p,q$. Na podstawie tw. o dwusiecznej kąta mamy $\frac{p}{q}=\frac{a}{b} \wedge p+q=c$. Rozwiązując układ równań otrzymamy $$p=\frac{ac}{a+b}\qquad q=\frac{bc}{a+b}.$$
2. Wskazówka.
Zastosować tw. cosinusów w $\Delta ABC$ dla obliczenia $cos\angle{A}$ oraz w $\Delta ADC$.

Graniastosłupy - objętości - pola powierzchni

2012-05-31T05:49:00.001-07:00

Oznaczenia:

P - pole podstawy
B - pole powierzchni bocznej
h - wysokość
S - pole powierzchni całkowitej
V - objętość

$$V=P\cdot h\qquad S=2P+B$$

Zadania

1. Przekątna sześcianu jest o dwa dłuższa od przekątnej jego ściany. Obliczyć objętość i pole powierzchni sześcianu.
2. Wszystkie ściany równoległościanu są rombami o boku $a\ $ i kącie ostrym $\alpha.\ $ Obliczyć objętość równoległościanu.
3. W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym krawędź podstawy jest równa $a$, zaś najdłuższa przekątna graniastosłupa jest cztery razy większa od najkrótszej przekątnej jego podstawy. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.
4. Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o bokach długości 2 i 4 oraz kącie ostrym $\frac{\pi}{3}$. Krótsza przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\frac{\pi}{6}$. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

Rozwiązania

2. Oznaczenia jak na rysunku.

Z trójkąta $ALA'\qquad |AL|=a\cdot cos\alpha$, z trójkąta $AKL\qquad |AK|=\frac{|AL|}{cos\frac{ \alpha}{2}}=\frac{a\cdot cos\alpha}{cos\frac{ \alpha}{2}}$, z trójkąta $AKA'$ $h=\sqrt{a^2-|AK|^2}=\sqrt{a^2 -\frac{a^2\cdot cos^2\alpha}{cos^2\frac{\alpha}{2}}}=\frac{a}{cos\frac{ \alpha}{2}}\sqrt{cos^2\frac{\alpha}{2}-cos^2\alpha}$.
Zatem $V=P \cdot h=a^2 sin\alpha\cdot\frac{a}{cos\frac{ \alpha}{2}}\sqrt{cos^2\frac{\alpha}{2}-cos^2\alpha}=2a^3sin\frac{\alpha}{2} \sqrt{sin\frac{3\alpha}{2}sin\frac{\alpha}{2}}.$

$S=6a^2sin\alpha.$

4. Oznaczenia jak na rysunku.

W trójkącie $ABD\qquad d^2= 16+4-16cos\frac{\pi}{3}=12$, więc $d=2\sqrt{3}$.
W trójkącie $BDD'\qquad h=d\cdot tg\frac{\pi}{6}=2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=2$.
$P=4\cdot2sin\frac{\pi}{3}=4\sqrt{3},\ B=(4+2+4+2)h=24$.

$V=P\cdot h=4\sqrt{3}\cdot 2=8\sqrt{3}\qquad S=2P+B=8\sqrt{3}+24.$

Pola figur płaskich - wzory - zadania

2012-05-28T07:01:00.000-07:00

Oznaczenia

$a_1+a_2+...+a_n=2p \ -\ $ obwód

$r\ $ - promień okręgu wpisanego

$R\ $ - promień okręgu opisanego

$P\ $ - pole

1. Wielokąt opisany na okręgu

$$P=p\cdot r$$

2. Trójkąt

$$P=\frac{1}{2}ah_a \\$$

$$P=\frac{1}{2}absin\gamma \\$$

$$P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\$$

$$ P=\frac{abc}{4R} \\$$

$$ P=2R^2 sin\alpha sin\beta sin\gamma$$

3. Równoległobok

$$P=a\cdot h=absin\alpha$$

4. Romb

$$P=ah=\frac{1}{2}de=a^2sin\alpha$$

5. Trapez

$$P=\frac{a+b}{2}\cdot h$$

Zadania

1. Środkowe dzielą trójkąt o polu P na sześć "małych" trójkątów.Obliczyć pola tych trójkątów.

2. Obliczyć stosunek wysokości trójkąta mając dane długości jego boków $a=6,\ b=7,\ c=8.$

3. Trójkąt o bokach długości $a,b,c\ $ podzielono prostą równoległą do boku $c\ $ na części o równych polach. Obliczyć długości boków każdej z tych części.

4. Obliczyć promień okręgu opisanego i pole trójkąta o bokach długości 2,3,4.

5. Dane są trzy różne proste równoległe. Odległość środkowej od skrajnych wynosi $a\ $ i $b.$ Wierzchołki trójkąta równobocznego leżą na tych trzech prostych.Obliczyć jego pole.

Rys. do zadania nr 5.

Rozwiązania:

2. $P= \frac{1}{2}ah_a= \frac{1}{2}bh_b= \frac{1}{2}ch_c=3h_a= \frac{7}{2}h_b=4h_c$
$h_a=\frac{1}{3}P,\ h_b=\frac{2}{7}P,\ h_c=\frac{1}{4}P$

$h_a:h_b:h_c=\frac{1}{3}:\frac{2}{7}:\frac{1}{4}=28:24:21.$

3. Posłużmy się rysunkiem

$\Delta_{KLC}\sim \Delta_{ABC} \wedge P_{KLC}=\frac{1}{2}P_{ABC}\Rightarrow \frac{P_{KLC}}{P_{ABC}}=k^2=\frac{1}{2}\Rightarrow k=\frac{\sqrt{2}}{2}$
/stosunek pól figur podobnych równy jest kwadratowi skali ich podobieństwa/.
Części to trójkąt $KLC\ $ o bokach $x=c\frac{\sqrt{2}}{2},\ y=b\frac{\sqrt{2}}{2},\ z=a\frac{\sqrt{2}}{2}\ $ oraz trapez $ABLK\ $ o bokach $c, v=a-a\frac{\sqrt{2}}{2}, x=c\frac{\sqrt{2}}{2}, u=b-b\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Suma miar kątów wewnętrznych, liczba przekątnych n - kąta

2012-05-25T04:42:00.001-07:00

Suma miar kątów wewnętrznych n-kąta wypukłego

Jeżeli poprowadzimy z jednego z wierzchołków np. z $A_1\ $ wszystkie przekątne, to n-kąt zostanie podzielony na (n - 2) trójkątów. Suma miar kątów wewnętrznych n-kąta jest równa sumie miar kątów wszystkich (n - 2) trójkątów zatem wynosi $$(n-2)\cdot 180^0.$$

Liczba przekątnych n-kąta wypukłego

Każda para spośród n wierzchołków n-kąta wyznacza przekątną lub bok n-kąta. Jest ich $\frac{n(n-1)}{2}\ $ - liczba dwuelementowych kombinacji n-elementowego zbioru. N spośród nich, to boki. Ilość przekątnych wynosi $\frac{n(n-1)}{2}-n=\frac{n(n-2)}{2}.\ $ Ostatecznie $$\frac{n(n-2)}{2}.$$

Zadania

1. Obliczyć sumę miar zewnętrznych
    a) trójkąta,
    b) czworokąta,
    c) n-kąta.

Rozwiązanie p. b)

Miary kątów wewnętrznych czworokąta $ABCD\ $ są równe $\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta\ $ a miary kątów zewnętrznych odpowiedno $180^0-\alpha,\ 180^0-\beta,\ 180^0-\gamma,\ 180^0-\delta.$

Suma miar wszystkich kątów zewnętrznych wynosi: $2(180^0-\alpha+180^0-\beta+180^0-\gamma+180^0-\delta)=2[720^0-(\alpha+\beta+\gamma+\delta)]= \ $ $2(720^0-360^0)=720^0$.

2. Ile wierzchołków ma wielokąt, którego liczba przekątnych jest
a) 5 razy
b) k razy
większa od liczby jego boków.

Trójkąty - środkowe, symetralne, dwusieczne - zadania

2012-05-23T15:08:00.001-07:00

Nierówność trójkąta

Liczby $a,\ b,\ c\ $ są długościami boków pewnego trójkąta wtedy i tylko wtedy, gdy $$|a-b|<c<a+b.$$

Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta

Prosta $k\ $ tworzy z ramionami $AC\ $ i $BC\ $ trójkąta kąty o mierze $\alpha\ $ i $\beta\ $ (kąty naprzemianległe wewnętrzne). Stąd $\alpha+\beta+\gamma=180^0 .$

Środkową trójkąta nazywamy odcinek, którego końcami są: wierzchołek trójkąta i środek przeciwległego
boku.

Twierdzenie
Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Dzieli on środkowe w stosunku $\frac{1}{2}.\ $
Dowód części twierdzenia.
Niech punkty $K\ $ i $M\ $ będą środkami boków $BC\ $ i $AB\ $ trójkąta $ABC,\ $ a punkt $O\ $ punktem przecięcia tych środkowych.

Poprowadźmy prostą $KN\ $ równoległą do $CM.\ $ Proste te przecinają ramiona $\angle{ABC},\ $ więc odcinki wyznaczone na ramionach kąta są proporcjonalne. $\frac{|NB|}{|NM|}=\frac{|KB|}{|KC|}=1\ $ zatem $|NB|=|NM|.\ $ Te same proste przecinają również ramiona $\angle{BAK}\ $ zatem $\frac{|OK|}{|OA|}=\frac{|MN|}{|MA|}=\frac{1}{2}.\ $
Aby wykazać, że punkt $O\ $ jest punktem wspólnym trzech środkowych można posłużyć się rachunkiem wektorów.
Punkt przecięcia środkowych nazywamy środkiem ciężkości trójkąta.

Zadanie

Obliczyć długość środkowej trójkąta prostokątnego poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego mając dane długości przyprostokątnych $a\ $ i $b.\ $

Zadanie

W trójkącie środkowe $AK\ $ i $BL\ $ są prostopadłe. Mając dane długości boków $|BC|=a\ $ i $|AC|=b\ $ obliczyć długość trzeciego boku.

Zadanie

Niech $a\ ,b,\ c\ $ oznczają długości boków trójkąta, a $s_a,\ s_b,\ s_c\ $ długości środkowych poprowadzonych do tych boków. Wykazać, że $$\frac{3(a+b+c)}{4}<s_a+s_b+s_c<a+b+c. $$

Dowód.

W oparciu o nierówność trójkąta (rys. 1.) mamy: $2s_c<a+b.\ $ Podobnie wykazujemy, że $2s_b<a+c\ $ i $2s_a<b+c.\ $ Dodając nierówności stronami i dzieląc przez 2 otrzymujemy: $s_a+s_b+s_c<a+b+c.\ $

Rys. 1

Drugą część nierówności wykażemy w oparciu o rys. 2.

Rys. 2

W trójkątach wyznaczonych przez punkty $A,B,C\ $ i punkt przecięcia środkowych mamy:
$a<\frac{2}{3}s_b+\frac{2}{3}s_c,\ b<\frac{2}{3}s_a+\frac{2}{3}s_c,\ c<\frac{2}{3}s_a+\frac{2}{3}s_b.\ $ Dodając nierówności stronami i mnożąc obie strony przez $\frac{3}{4}\ $ otrzymamy tezę postawioną w zadaniu.

Twierdzenie

Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Jest on środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Dowód.
Niech $k,\ l\ m\ $ będą symetralnymi boków trójkąta jak na rysunku. Niech $k\cap l=\{O\}\Rightarrow|OB|=|OC| \wedge|OA|=|OC| \Rightarrow|OA|=|OB| \Rightarrow O\in l.\ $
Tym samym punkty $A,\ B,\ C\ $ są równo odległe od punktu $O\ $ więc leżą na okręgu o środku $O.$

Twierdzenie

Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Jest on środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt

Wysokością trójkąta nazywamy odcinek, którego jednym końcem jest wierzchołek trójkąta a drugim prostokątny rzut tego wierzchołka na prostą zawierającą bok przeciwległy.

Twierdzenie

Proste zawierające wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie. (punkt ten nazywamy ortocentrum trójkąta)

czworokąty i okręgi

2012-05-20T15:17:00.001-07:00

Pomocne twierdzenia przy rozwiązywaniu zadań.

Twierdzenie o okręgu wpisanym w czworokąt.

Rys. 1.

W czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe.

Założenie: W czworokąt jest wpisany okrąg.
Teza: Sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe.
Dowód. Oznaczenia jak na rys. 1. $|AB|+|CD|=p+q+m+n\ $ i $|AD|+|BC|=p+q+m+n\ $ zatem
$|AB|+|CD|=|AD|+|BC|.$
Dowód twierdzenia odwrotnego pozostawiam czytelnikom.

Twierdzenie o okręgu opisanym na czworokącie.

Rys. 2.

Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów czworokąta są równe.

Założenie: Na czworokącie jest opisany okrąg.
Teza: Sumy miar przeciwległych kątów czworokąta są równe.
Dowód. Oznaczenia jak na rys. 2. $|\angle{BAD}|=x\ $ i $|\angle{BCD}|=y.\ $ Miary kątów środkowych opartych na tych samych łukach co kąty $\angle{BAD}\ $ i $\angle{BCD}\ $ są dwukrotnie większe i wynoszą odpowiednio $2x\ $ i $2y.\ $ $|\angle{BAD}|+|\angle{BCD}|=x+y=\frac{1}{2}(2x+2y)=\frac{1}{2}\cdot 360^0=180^0,\ $ co kończy dowód.
Dowód twierdzenia odwrotnego pozostawiam czytelnikom.

Twierdzenie Ptolemeusza

W czworokącie wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych jest równy sumie iloczynów długości przeciwległych boków.

$|AC|\cdot|BD|=|AB|\cdot|CD|+|BC|\cdot|AD|. \\$

Zadanie

Przeciwległe boki czworokąta wpisanego w okrąg leżą na przecinających się prostych. Proste przecinają się pod kątami $\alpha\ $ i $\beta.\ $Obliczyć miary kątów czworokąta.

Rozwiązanie. Oznaczenia jak na rysunku. Miary kątów wewnętrznych czworokąta przy wierzchołkach $A,B,C,D,\ $ to $|\angle{A}|,|\angle{B}|,|\angle{C}|,|\angle{D}|.\ $ Ponieważ czworokąt $ABCD\ $ jest wpisany w okrąg więc$|\angle{A}|+|\angle{C}|=|\angle{B}|+|\angle{D}|=180^0.\ $
W trójkątach $ADL\ $ i $CDK\ $ mamy: $|\angle{A}|+|\angle{D}|+\beta=180^0\ $
i $|\angle{C}|+|\angle{D}|+\alpha=180^0\ $. Dodając stronami otrzymamy: $ |\angle{D}|=90^0-\frac{\alpha+\beta}{2}\ $ i dalej $ |\angle{B}|=90^0+\frac{\alpha+\beta}{2},\ |\angle{A}|=90^0+\frac{\alpha-\beta}{2},\ |\angle{C}|=90^0-\frac{\alpha-\beta}{2}.$

Zadanie

Wykaż, że jeżeli dwusieczne wewnętrznych kątów czworokąta przecinają się w czterech punktach, to na czworokącie wyznaczonym przez te punkty można opisać okrąg.
Rozwiązanie.

W czworokącie $ABCD\ $ suma miar kątów wewnętrznych wynosi $360^0,\ $ zatem
$2\alpha+2\beta+2\gamma+2\delta=360^0,\ $ stąd $\alpha+\beta+\gamma+\delta=180^0. $
Policzmy sumę miar przeciwległych kątów czworokąta $KLMN:\ \phi+\omega=180^0-(\alpha+\beta)+180^0-(\gamma+\delta)=360^0-180^0=180^0,\ $ zatem na czworokącie $KLMN\ $ można opisać okrąg.

Równoległoboki - własności - zadania

2012-05-18T00:39:00.002-07:00

Równoległobokiem nazywamy czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

Zadanie 1.

Oblicz pole równoległoboku mając dane długości jego przekątnych oraz kąt między nimi zawarty.

Rozwiązanie.

Niech w równoległoboku $ABCD\ $przekątne mają długości $d\ $oraz $e\ $ i kąt między nimi $|\angle{BOC}|=\alpha.\ $ Poprowadźmy proste równoległe do przekątnych równoległoboku przechodzące przez jego wierzchołki. Otrzymamy równoległobok $KLMN\ $ o bokach długości $d,\ e$ i kącie $\angle{KNM}|=\alpha$ i polu dwukrotnie większym od pola równoległoboku (KLMN składa się z ośmiu przystających trójkątów).

$P_{ABCD}=\frac{1}{2}P_{KLMN}=\frac{1}{2}de\cdot\sin\alpha.$

Zadanie 2.

Oblicz pole równoległoboku mając dane długości jego przekątnych oraz kąt ostry równoległoboku.

Rozwiązanie.

Niech przekątne mają długości $d\ $ oraz $e\ $ a kąt ostry $|\angle{BAD}|=\alpha.$

Z twierdzenia cosinusów $e^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha\ $ oraz $d^2=a^2+b^2+2ab\cos\alpha\ $Stąd

$d^2-e^2=4ab\cos\alpha=\frac{4ab\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha}\ $ i $ab\sin\alpha=\frac{e^2-d^2}{4ctg\alpha}.\ $ Ostatecznie $$P=\frac{1}{4}(d^2-e^2) tg\alpha.$$

Zadanie 3.

Dwusieczne kątów równoległoboku przecinają się w czterech punktach. Wykaż, że są to wierzchołki prostokąta.

Rozwiązanie.

Niech półproste $AL,\ BN,\ CN,\ DL\ $ będą dwusiecznymi kątów równoległoboku przy wierzchołkach $A,B,C,D,\ $ (rys. 3). Punkty $K,L,M,N,\ $ to punkty przecięcia wymienionych dwusiecznych.

Niech miary kątów równoległoboku przy wierzchołkach A i B będą równe $\alpha\ $ i $\beta.$
Oczywiście $\alpha+\beta=180^0.\ |\angle{AKB}|=180^0-(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2})=180^0-90^0=90^0.\ $ Analogicznie wykazujemy, że pozostałe kąty czworokąta KLMN są proste. Czworokąt, którego wszystkie kąty są proste jest prostokątem.

Zadanie 4.

Dane są boki równoległoboku $a,\ b\ $oraz kąt między nimi zawarty $30^0.\ $Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia dwusiecznych kątów tego równoległoboku.

Zadanie 5.

Wykaż, że w równoległoboku suma kwadratów długości jego przekątnych jest równa sumie kwadratów długości wszystkich jego boków.

Trapezy - własności - zadania

2012-05-15T12:14:00.000-07:00

Trapezem nazywamy czworokąt, który ma parę boków równoległych. Te boki nazywamy podstawami.

Zadanie 1.

Mając dane długości podstaw $ a \ $ i $b \ $ trapezu oblicz długość odcinka, którego końcami są środki ramion tego trapezu.

Rozwiązanie.

Niech $|AB|=a, \ |CD|=b, \ |KL|=s, \ \wedge\ K, \ L $ są środkami $ AD \ $ i $BC \ .$
$\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CL} \\
\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BL} \\
2\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+ \overrightarrow{0}\\
\overrightarrow{KL}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}),\\ $
/$\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{DC}\ $są równoległe i mają zwroty zgodne/
Wnioski: ${KL} \parallel {AB} \ $ i $$ s=\frac{a+b}{2} .$$ /średnia arytmetyczna/

Zadanie 2.

Dane są długości podstaw trapezu $|AB|=a,\ |CD|=b. \ $ Przekątne trapezu przecinają się w punkcie $O.\ $
Odcinek $KL \ $jest równoległy do pdstaw i przechodzi przez punkt $O. \ $ Końce odcinka należą do ramion trapezu.
a) Wykazać, że $|KO|=|LO|. \\$
b) Obliczyć długość $KL .$

Rozwiązanie.

Niech $|KO|=x,\ |LO|=y,\ |KL|=s.\ $ Z podobieństwa trójkątów $KOD \ $ i $ABD \ $ (kk)
$ \frac{x}{a}=\frac{|OD|}{|OD|+|OB|}=\frac{1}{1+\frac{|OB|}{|OD|}} =\frac{1}{1+\frac{a}{b}}=\frac{b}{a+b}\ \Rightarrow x=\frac{ab}{a+b} .\ $
Z podobieństwa trójkątów $LOC \ $ i $BAC \ $
$ \frac{y}{a}=\frac{|OC|}{|OA|+|OC|}=\frac{1}{\frac{|OA|}{|OC|}+1}=\frac{1}{\frac{a}{b}+1}=\frac{b}{a+b} \Rightarrow y=\frac{ab}{a+b} .\ $
Wnioski:
a) $x=y,$
b) $|KL|=s=x+y$ $$s=\frac{2ab}{a+b}.$$ /średnia harmoniczna/

Zadanie 3.

Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty o polach $P_1,\ P_2,\ S_1,\ S_2.\ $ Oznaczenia jak na rys. 3.
a) Wykazać, że $S_1=S_2.$
b) Mając dane $P_1,\ P_2\ $obliczyć pole trapezu $P.$
c) Znając stosunek podstaw $k=\frac{a}{b}\ $i pole trapezu $P\ $obliczyć $P_1,\ P_2,\ S=S_1=S_2.$

Rozwiązanie.

Niech $|\angle{AOB}|=\alpha.\ $Zauważmy, że $|\angle{AOD}|=180^0-\alpha\ $ i $sin(180^0-\alpha)=sin \alpha.$
a) $P_{ABD}=P_{ABC}$ /wspólna podstawa i równe wysokości/
$P_1+S_1=P_1+S_2$
$S_1=S_2.$
b) Ponieważ $S^2=S_1S_2=(\frac{1}{2}ps\cdot sin\alpha)(\frac{1}{2}qr\cdot sin\alpha)=(\frac{1}{2}pq\cdot sin\alpha)(\frac{1}{2}rs\cdot sin\alpha)=P_1P_2$, więc $S=\sqrt{P_1P_2}.$

$P_{ABCD}=P_1+S_1+S_2+P_2=P_1+2\sqrt{P_1P_2}+P_2=(\sqrt{P_1}+\sqrt{P_2})^2.$

c) Trójkąty $AOB\ $i $AOD\ $mają wspólną wysokość a stosunek ich podstaw jest równy $\frac{q}{s}=k\ $stąd $\frac{P_1}{S}=k\ $czyli $P_1=k \cdot S.$
Podobnie z parą trójkątów $AOD\ $i $COD.\ $Otrzymujemy $S=k\cdot P_2\ $i $P_2=\frac{1}{k}\cdot S.\ $
Zatem $P=P_1+2S+P_2=k \cdot S+2S+\frac{1}{k}\cdot S=\frac{S\cdot(k^2+2k+1)}{k}=S\cdot\frac{(k+1)^2}{k}. $Ostatecznie$$S=\frac{k}{(k+1)^2}\cdot P\ $$ $$P_1=\frac{k^2}{(k+1)^2}\cdot P\ $$ $$P_2=\frac{1}{(k+1)^2}\cdot P.$$

Zadanie 4.

Rys. 4.

Mając dane długości podstaw trapezu obliczyć długość odcinka łączącego środki jego przekątnych. Oznaczenia jak na rys. 4 $(a\geq b).$

Rozwiązanie.

$\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DL}$
$\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BL}$

$2\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{0}$
/Wektory $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}\ $są równoległe i mają zwroty przeciwne/
Wniski: $KL\parallel AB\ $ i $$s=\frac{a-b}{2}.$$

Egzamin maturalny z matematyki maj 2012 poz. rozsz.

2012-05-09T07:30:00.000-07:00

Zadanie 1. (4 pkt)

Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych.

Zadanie 2. (4 pkt)

Rozwiąż nierówność $x^4+x^2 \geq2x.$

Zadanie 3. (4 pkt)

Rozwiąż równanie $cos2x+2=3cosx.$

Zadanie 4. (6 pkt)

Oblicz wszystkie wartości parametru $m,\ $ dla których równanie $x^2-(m+2)x+m+4=0\ $ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1,\ x_2\ $ takie, że $x_1^4+x_2^4=4m^3+6m^2-32m+12.$

Zadanie 5. (6 pkt)

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64, to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie możliwości.

Zadanie 6 (6 pkt)

W układzie współrzędnych rozważamy wszystkie punkty $P\ $ postaci: $P=(\frac{1}{2}m+\frac{5}{2},m),\ $ gdzie $m \in<-1,7>.$ Oblicz najmniejszą i największą wartość $|PQ|^2,\ $ gdzie $Q=(\frac{55}{2},0).$

Zadanie 7 (3 pkt)

Udowodnij, że jeżeli $a+b \geq 0,\ $ to prawdziwa jest nierówność $a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2.$

Zadanie 8 (4 pkt)

Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy 12.

Zadanie 9 (5 pkt)

Dany jest prostokąt $ABCD,\ $ w którym $|AB|=a,\ |BC|=b,\ i \ a>b.\ $ Odcinek $AE\ $ jest wysokością trójkąta $DAB\ $ opuszczoną na jego bok $BD.\ $ Wyraź pole trójkąta $AED\ $ za pomocą $a \ $ i $ b.$

Zadanie 10. (5 pkt)

Podstawą ostrosłupa $ABCS\ $ jest trójkąt równoramienny $ABC.\ $ Krawędź $AS\ $ jest wysokością osrosłupa oraz $|AS|=8 \sqrt{210},\ |BS|=118,\ |CS|=131.\ $ Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 11. (3 pkt)

Zdarzenia losowe $A, \ B\ $ są zawarte w $ \Omega \ $ oraz $ P(A \cap B')=0,7 \ $ (A' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A, B' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B). Wykaż, że $P(A' \cap B) \leq 0,3.$

Odpowiedzi:

1. - 1, 0, 1, 2

2. $x \in (- \infty,0> \cup <1, \infty)$

3. $ x=- \frac{\pi}{3}+2k \pi \ \vee x=\frac{\pi}{3}+2k \pi \ \vee x=2k \pi,\ k \in C $

4. $ m = -\sqrt{14}, \vee m= \sqrt{14}$

5. $ (11 \frac{1}{9},-2 \frac{2}{9},\frac{4}{9}) \ lub \ (36,12,4) $

6. min $ = \frac{2045}{4} ,$ max $ = \frac{2605}{4}$

7. Dowód

8. 280

9. $$ P=\frac{ab^3}{2a^2+2b^2} $$

10. $ V=1760 \sqrt{210} $

11.Dowód

Rozwiązania niektórych zadań:

1. Można przyjąć, że szukane liczby to
$ n-1,\ n,\ n+1,\ n+2,\ n \in C\ \\
(n-1)^2+n^2+(n+1)^2=n+2 \\
n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1=n+2 \\
3n^2-n=0 \\
n(3n-1)=0 \\
n=0\ \vee \ n=\frac{1}{3} \not \in C.$
Szukane liczby: $-1,\ 0, 1,\ 2.$

5. Szukane liczby oznaczmy: $x,\ y,\ z.\ $Można przyjąć, że $x=a-r,\ y=a-8,\ z=a+r\ $
wówczas liczby $x,\ y+8,\ z\ $utworzą ciąg arytmetyczny, natomiast ciągi $(a-r,a-8,a+r)\ $oraz $(a-r,a,a+r+64)\ $będą ciągami geometrycznymi. Zatem
$ (a-8)^2=a^2-r^2\ \wedge\ a^2=(a-r)(a+r+64).\ $Stąd $3r^2-64r+256=0,\ $
$(r_1=\frac{16}{3} \wedge a_1=\frac{52}{9}) \vee (r_2=16 \wedge a_2=20).$
Odp. $(\frac{4}{9},\ -\frac{20}{9},\ \frac{100}{9})\ $lub $(4,\ 12,\ 36).$

6. $P=(\frac{1}{2}m+\frac{5}{2}, m)=(x, y) \\
\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{2}m+\frac{5}{2}=x \\ m=y \end{array}\right.\Rightarrow y=2x-5,\ x\in<2,\ 6>. $
Zbiór punktów $P\ $ to odcinek $AB\ $, gdzie $A=(2, -1),\ B=(6,\ 7).$

Ponieważ prosta prostopadła do $AB\ $ przechodząca przez punkt $Q\ $ przecina prostą $k\ $ poza odcinkiem $AB\ $ co wynika z obliczeń: pr.$QQ':y=-\frac{1}{2}(x-\frac{55}{2})$.
$\left\{\begin{array}{cc}- \frac{1}{2}x+\frac{55}{4}=y \\ y=2x-5 \end{array}\right. \Rightarrow x=\frac{15}{2}\notin<2,\ 6>$ więc szukane wielkości to:

max = $|AQ|^2=\frac{2605}{4} \\$

min = $|BQ|^2= \frac{2045}{4}.$

7. $a+b \geq 0 \wedge (a-b)^2 \geq 0 \Rightarrow (a+b)(a-b)^2 \geq 0 \Rightarrow

(a+b)(a^2-2ab+b^2) \geq 0 \Rightarrow \\ a^3-2a^2b+ab^2+a^2b-2ab^2+b^3 \geq 0 \Rightarrow

a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2.$

9. $\Delta AED \sim \Delta BAD$ w skali $k= \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2}}$ /stosunek przeciwprostokątnych/

$P_{AED}=k^2 \cdot P_{BAD}=(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2 \cdot \frac{1}{2}ab=\frac{ab^3}{2a^2+2b^2}$.

11.$(A \cap B') \cap (A' \cap B)=\emptyset \wedge \ ((A \cap B') \cup (A' \cap B)) \subset A \cup B$,

$ P(A \cap B')+P(A' \cap B) \leq P(A \cup B) \leq 1$,

$ P(A' \cap B) \leq 1-0,7=0,3$.

Egzamin maturalny z matematyki 2012 poz. podst.

2012-05-08T07:02:00.002-07:00

Odpowiedzi:

1.-----A, 2.-----B, 3.-----A, 4.-----B, 5.-----B, 6.-----C, 7.-----A, 8.-----A, 9.-----C,

10. -----D, 11.-----B, 12.-----B, 13.-----D, 14.-----D, 15.-----B, 16.-----C, 17.-----C,

18.-----B, 19.-----B, 20.-----A, 21.-----A, 22.-----A, 23.-----B, 24.-----C, 25.-----D.

26. $x \in(-\infty,-5) \cup (-3,+ \infty)\ ,$ 27. Uzasadn., 28. - 3, 29. $y=0,5x+6,\ $ 30. Uzasadn.,

31. $P(A)=\frac{17}{49}, $ 32. $x=14,\ y=126,\ z=378,\ $ 33. $V=\frac{32 \sqrt{3}}{3},\ $ 34. t = 2,5h.

Próbna matura z Operonem 2012 - matematyka

2012-05-08T02:46:00.001-07:00

Zadanie 1. (4 pkt)

Znajdź ujemne pierwiastki równania $||2x-1|-2|=4.$

Zadanie 2. (4 pkt)

Prostokąt o bokach długości $a, b\ $ jest podobny do prostokąta o bokach długości $a+5, b+5.\ $Wykaż, że te prostokąty są kwadratami.

Zadanie 3. (5 pkt)

Dla jakich $x\ $ liczby $\frac{1}{2tgx},\ cosx,\ sinx\ $ w podanej kolejności są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego?

Zadanie 4. (4 pkt)

Wykaż, że dla dowolnej liczby $a>0\ $ zachodzi nierówność

$$log^2(\pi \cdot a)+log^2(\pi+a) \geq \frac{2}{log_{\pi+a}10}-log_\pi \pi.\ $$

Zadanie 5. (5 pkt)

Wierzchołki trójkąta równobocznego $ABC\ $ leżą na paraboli, będącej wykresem funkcji $f(x)=x^2-6x.$ Punkt $C\ $ leży w wierzchołku paraboli. Znajdź współrzędne jednego z pozostałych wierzchołków trójkąta.

Zadanie 6. (4 pkt)

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa $2a.\ $ Miara kąta między przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej wychodzącą z tego samego wierzchołka jest równa $\alpha.\ $ Oblicz objętość graniastosłupa.

Zadanie 7. (5 pkt)

W konkursie Jaka to piosenka? uczestnik zna 12 spośród przygotowanych 20 piosenek. Prowadzący przedstawia mu 4 piosenki. Uczestnik musi odgadnąć tytuł co najmniej jednej piosenki, aby przejść do dalszego etapu konkursu. Oblicz prawdopodobieństwo, że uczestnik przejdzie do dalszego etapu konkursu. Wynik podaj z dokładnością do 0,01.

Zadanie 8. (4 pkt)

Oblicz, dla jakich wartości parametru $k\ $ punkt przecięcia prostych o równaniach $y=-x,\ y=x+k\ $ należy do koła o nierówności $(x+1)^2+(y+1)^2 \leq10.$

Zadanie 9. (6 pkt)

Wiadomo, że pierwiastkami wielomianu $W(x)=x^3+ax^2+bx+6\ $ są liczby $-1\ $ i $2.$

Rozwiąż nierówność $W(x)>0.$

Zadanie 10. (5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m\ $, dla których równanie $(m-1)x^2+2(m+1)x+4=0\ $ ma jedno rozwiązanie.

Zadanie 11. (4 pkt)

W trójkącie o polu $ \frac{1}{4}ab\ $dwa boki mają długości $a\ $ i $b.\ $ Znajdź długość trzeciego boku.

Odpowiedzi:
1. x = - 2,5
2. Dowód
3. $x=\frac{\pi}{3}+2k \pi \vee x=- \frac{\pi}{3}+2k \pi\ ,k \in C$
4. Dowód
5. $A=(3+\sqrt{3},-6) ,\ B=(3- \sqrt{3},-6)$
6. $V=4 \sqrt{2}a^3 \sqrt{tg^2 \alpha-1}$
7. $P(A)=0,9855...\approx 0,99$
8. $k \in <-4,4>$
9. $x \in (-1,2) \cup (3,+\infty)$
10. $m=1 \vee m=5$
11. $c=\sqrt{a^2+b^2-ab \sqrt{3}} \vee c=\sqrt{a^2+b^2+ab \sqrt{3}}.$

Próbna matura z matematyki 2012 poz.rozsz.

2012-04-30T07:21:00.003-07:00

Zadania przygotowane przez OKE w Poznaniu (styczeń 2012)

Zadanie 1.(4pkt)

Jednym z pierwiastków wielomianu $W(x)=x^3+mx^2+nx+2\ $ jest liczba 1. Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)\ $ przez dwumian $x+1\ $ jest równa 4. Oblicz współczynniki $m\ $ i $n\ .$

Zadanie 2.(4pkt)

Rozwiąż równanie $$cos^2x+sinxcos^2x=\frac{1+sinx}{4}\ $$ w przedziale $<0,2\pi>.$

Zadanie 3.(5pkt)

Uzasadnij, że $61^{16}<18^{24}.$

Zadanie 4.(5pkt)

Kulę o promieniu R przecięto dwiema równoległymi płaszczyznami w sposób przedstawwiony na rysunku. Przekroje mają promienie $r_1\ $ oraz $r_2\ $ i są odległe od siebie o $a.$ Liczby $r_1,a,r_2\ $ w podanej kolejności tworzą trzywyrazowy ciąg arytmetyczny, którego różnica jest równa 1. Suma wyrazów tego ciągu jest rowna 18. Znajdź długość promienia kuli.

Zadanie 5(5pkt)

Rozwiąż nierówność $|2x-4|+4x>|2x^2-4|.\ $

Zadanie 6.(5pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m\ $, dla których jedno rozwiązanie równania $$(m+1)x^2+2mx+1=0$$jest sinusem, a drugie cosinusem tego samego kąta?

Zadanie 7.(4pkt)

W układzie współrzędnych przedstawiony jest wykres funkcji $y=f(x),$ gdzie $f(x)=log_a(x-k)+m.$ Wyznacz wartości $a,k,m.$

Zadanie 8.(4pkt)

Pole trójkąta $ABC\ $ o danych wierzchołkach $A=(1,-2)\ $ oraz $B=(2,3)\ $ jest równe 4,5. Wyznacz współrzędne trzeciego wierzchołka wiedząc, że należy on do prostej o równaniu $ x+y -2= 0. $

Zadanie 9.(6pkt)

Na bokach $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$ obrano punkty $P$ i $Q$ takie, że $|AP|:|PC|=2:1$ oraz $|BQ|:|QC|=2:1.$ Odcinki $AQ$ i $BP$ przecinają się w punkcie $R.$ Wykaż, że pole czworokąta $CPRQ$ jest równe polu trójkąta $ARP.$

Zadanie 10.(4pkt)

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątne ścian bocznych, wychodzące z tego samego wierzchołka, mają długość $d$ i tworzą kąt o mierze $\alpha.$ Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Zadanie 11.

Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch jedynek lub trzech szóstek w doświadczeniu losowym, polegającym na pięciokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.

Odpowiedzi:

1. $m=o,\ n=-34$

2. {$\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{3}$}

3. Dowód

4. $R=5\sqrt{2}$

5. $(\frac{1-\sqrt{17}}{2},-1)\cup(0,3)$

6. $m=\frac{3+\sqrt{33}}{3}$

7. $a=3,\ k=-2,\ m=-1$

8. $C=(0,2)$ lub $C=(3,-1)$

9. Dowód

10.$d^3(1-cos\alpha)\sqrt{cos\alpha}$

11.$\frac{745}{3888}.$

Zadania maturalne 2011 poz. podst.

2012-04-28T04:15:00.001-07:00

Zadania zamknięte

Zadanie 1.(1 pkt)

Wskaż nierówność, którą spełnia liczba $\pi.\ $

$A.\ |x+1|>5\quad B.\ |x-1|<2\quad C.\ |x+\frac{2}{3} |\leq4\quad D.\ |x-\frac{1}{3}|\geq3$

Zadanie 2.(1pkt)

Pierwsza rata, która stanowi $9%\ $ceny roweru, jest równa $189\ $zł. Rower kosztuje

$A.\ 1701\ $zł. $B.\ 2100\ $zł. $C.\ 1890\ $zł. $D.\ 2091\ $zł.

Zadanie 3.(1pkt)

Wyrażenie $5a^2-10ab+15a\ $ jest równe iloczynowi

$A.\ 5a^2(1-10b+3)\quad B.\ 5a(a-2b+3)\quad C.\ 5a(a-10b+15)\quad D.\ 5(a-2b+3)$

Zadanie 4.(1pkt)

Układ równań $\left\{\begin{array}{cc}4x+2y=10 \\ 6x +ay=15\end{array}\right.\ $ ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli

$A.\ a=-1\qquad B.\ a=0\qquad C.\ a=2\qquad D.\ a=3\ $

Zadanie 5.(1pkt)

Rozwiązanie równania $x(x+3)-49=x(x-4)\ $ należy do przedziału

$A.\ (-\infty,3)\qquad B.\ (10,\infty)\qquad C.\ (-5,-1)\qquad D.\ (2,\infty)$

Zadanie 6.(1pkt)

Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności $\frac{3}{8}+\frac{x}{6}<\frac{5x}{12}\ $ jest

$A.\ 1\qquad B.\ 2 \qquad C.\ -1 \qquad D.\ -2\qquad$

Zadanie 7.(1pkt)

Wskaż, który zbiór przedstawiony na osi liczbowej jest zbiorem liczb spełniających jednocześnie następujące nierówności: $3(x-1)(x-5) \leq0 \ $ i $x>1.$

Zadanie 8.(1pkt)

Wyrażenie $\log_4(2x-1)\ $jest określone dla wszystkich liczb $x\ $ spełniających warunek

$ A.\ x \leq \frac{1}{2}\qquad B.\ x>\frac{1}{2} \qquad C.\ x \leq \frac{1}{2}\qquad D.\ x>0$

Zadanie 9.(1pkt)

Dane są funkcje liniowe $f(x)=x-2\ $ oraz $g(x)=x+4\ $ określone dla wszystkich liczb rzeczywistych $x.$ Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji $h(x)=f(x)\cdot g(x).$

Zadanie 10.(1pkt)

Funkcja liniowa określona jest wzorem $f(x)=-\sqrt{2}x+4.$ Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

$A.\ -2\sqrt{2} \qquad B.\ \frac{\sqrt{2}}{2} \qquad C.\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \qquad D.\ 2\sqrt{2}$

Zadanie 11.(1pkt)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)\ $, w którym $a_3=1\ $ i $a_4=\frac{2}{3}.$ Wtedy

$A.\ a_1=\frac{2}{3}\qquad B.\ a_1=\frac{4}{9}\qquad C,\ a_1=\frac{3}{2}\qquad D.\ a_1=\frac{9}{4}$

Zadanie 12.(1pkt)

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny $9a_n)\ $ o wyrazach dodatnich. Wtedy

$A.\ a_4+a_7=a_{10}\qquad B.\ a_4+a_6=a_3+a_8\qquad C.\ a_2+a_9=a_3+a_8\qquad D.\ a_5+a_7=2a_8$

Zadanie 13.(1pkt)

Kąt $\alpha\ $ jest ostry i $cos\alpha=\frac{5}{13}.$ Wtedy

$A.\ sin\alpha=\frac{12}{13}\ $ oraz $tg\alpha=\frac{12}{5}\qquad B.\ sin\alpha=\frac{12}{13}\ $ oraz $tg\alpha=\frac{5}{12}\ $ $ \qquad C.\ sin\alpha=\frac{12}{5}\ $ oraz $tg\alpha=\frac{12}{13}\qquad D.\ sin\alpha=\frac{5}{12}\ $ oraz $tg\alpha=\frac{12}{13}$

Zadanie 14.(1pkt)

Wartość wyrażenia $$\frac{\sin^2{38^o}+\cos^2{38^o}-1}{\sin^2{52^o}+\cos^2{52^o}+1}\ $$ jest rówwna

$A.\ \frac{1}{2} \qquad B.\ 0 \qquad C.\ -\frac{1}{2} \qquad D.\ 1 $

Zadanie 15.(1pkt)

W prostopadłościanie $ABCDEFGH\ $ mamy: $ |AB|=5,\ |AD|=4,\ |AE|=3.\ $ Który z odcinków $AB,\ BG,\ GE,\ EB\ $ jest najdłuższy?

$A.\ AB \qquad B.\ BG \qquad C.\ GE \qquad D.\ EB $

Zadanie 16.(1pkt)

Punkt $O\ $ jest środkiem okręgu. Kąt wpisany $\alpha\ $ ma miarę

$A.\ 80^o\qquad B.\ 100^o \qquad C.\ 110^o \qquad D.\ 120^o $

Zadanie 17.(1pkt)

Wysokość rombu o boku długości $6\ $ i kącie ostrym $60^o\ $ jest równa

$A.\ 3\sqrt3 \qquad B.\ 3 \qquad C.\ 6\sqrt3 \qquad D\ 6 $

Zadanie 18. (1 pkt)

Prosta k ma równanie  y = 2x − 3 . Wskaż równanie prostej l równoległej do prostej
k i  przechodzącej przez punkt D o współrzędnych (−2,1) .

A. y = − 2x + 3 B. y = 2x + 1 C. y = 2 x + 5 D. y = −x  + 1

Zadanie 19. (1 pkt)

Styczną do okręgu $ (x −1)^2 + y^ 2 − 4 = 0$ jest prosta o równaniu

A. x =1 B. x = 3 C. y = 0 D. y = 4

Zadanie 20. (1 pkt)

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

A. $\sqrt6\ $ B. 3 C. 9 D. $3\sqrt3$

Zadanie 21. (1 pkt)

Objętość stożka o wysokości 8 i średnicy podstawy 12 jest równa

A. 124π B. 96π C. 64π D. 32π

Zadanie 22. (1 pkt)

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania
sumy oczek równej trzy wynosi

$A.\ \frac{1}{6} \qquad B.\ \frac{1}{9} \qquad C.\ \frac{1}{12} \qquad D.\ \frac{1}{18} $

Zadanie 23. (1 pkt)

Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: „Ile osób liczy twoja rodzina?”

Wyniki przedstawiono w tabeli:

Średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa 4. Wtedy liczba x jest równa

A. 3 B. 4 C. 5 D. 7

ZADANIA OTWARTE

Zadanie 24. (2 pkt)

Rozwiąż nierówność $3x^2-10x+3\leq0.$

Zadanie 25. (2 pkt)
Uzasadnij, że jeżeli $a+b=1\ $ i $a^2+b^2=7\ $,to $a^4+b^4=31.$

Zadanie 26. (2 pkt)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f.
Odczytaj z wykresu i zapisz:

a) zbiór wartości funkcji f,
b) przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca.

Zadanie 27. (2 pkt)

Liczby x, y, 19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym x+ y = 8.
Oblicz x i y.

Zadanie 28. (2 pkt)

Kąt α jest ostry i $$\frac{sin\alpha}{cos\alpha}+\frac{cos\alpha}{sin\alpha}=2.$$
Oblicz wartość wyrażenia $sin\alpha \cdot cos\alpha.$

Zadanie 29. (2 pkt)

Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB||CD . Na boku BC wybrano taki punkt E,
że |EC| = |CD| i |EB| = |BA| . Wykaż, że kąt AED jest prosty.

Zadanie 30. (2 pkt)

Ze zbioru liczb{1,2,3,...,7 } losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem.
Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez 3.

Zadanie 31. (4 pkt)

Okrąg o środku w punkcie S = (3,7) jest styczny do prostej o równaniu y= 2x −3. Oblicz
współrzędne punktu styczności.

Zadanie 32. (5 pkt)

Pewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów.
Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby
przechodzić o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.

Zadanie 33. (4 pkt)

Punkty K, L i M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi
długości 1 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta KLM.

Odpowiedzi:

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |10 | 11| 12| 13|14| 15| 16|17 |18| 19|20 |21|22 |23
C | B | A | D | D | B | C | B | A | D | D | C | A | B | C | B | A | C | B | D | B | D | D
24. $<\frac{1}{3},3>$
25. Dowód
26. <-2,3>, <-2,2>
27. x = -1, y = 9
28. 0,5
29. Dowód
30. $\frac{16}{49}$
31. $(\frac{23}{5}, \frac{31}{5})$
32. 28 km
33. $\frac{3\sqrt{3}}{8}.$

Zadania maturalne 2011 poz. rozsz.

2012-04-24T11:11:00.000-07:00

Zadanie 1. (4 pkt)

Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej $k$ liczba $k^6 − 2k^4 + k^2$ jest podzielna przez $36.$

Zadanie 2. (4 pkt)

Uzasadnij, że jeżeli $a\neq b,\ a\neq c,\ b\neq c\ $ i $a+b=2c$, to $\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-c}=2.$

Zadanie 3. (6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $ m$ , dla których równanie $x^2-4mx-m^3+6m^2+m-2=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1,\ x_2$ takie, że $(x_1-x_2)^2<8(m+1).$

Zadanie 4. (4 pkt)

Rozwiąż równanie $2sin ^ 2x-2sin ^2xcosx=1- cos x $ w przedziale $<0,\ 2\pi>.$

Zadanie 5. (4 pkt)

O ciągu $( x_n)$ dla $n ≥1$ wiadomo, że:
a) ciąg $(a_n )$ określony wzorem $a_n=3^{x_n}$ dla $n ≥1$ jest geometryczny o ilorazie $q = 27.$
b) $x_1+x_2+\ ...\ +x_{10}=145.$
Oblicz $x_1.$

Zadanie 6. (4 pkt)

Podstawa $ AB$ trójkąta równoramiennego $ABC$ ma długość $8$ oraz $|\angle BAC| = 30 °.$ Oblicz długość środkowej $AD$ tego trójkąta.

Zadanie 7. (4 pkt)

Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu $x^2+y^2+2x-2y-3=0$ poprowadzonymi przez punkt $A = (2,0).$

Zadanie 8. (4 pkt)

Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości
wszystkich krawędzi jest równa 24, jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej.
Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

. Zadanie 9. (4 pkt)
Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast
występują dwie dwójki i występują trzy trójki.

Zadanie 10. (3 pkt)

Dany jest czworokąt wypukły $ABCD$ niebędący równoległobokiem. Punkty $M, N$ są
odpowiednio środkami boków $AB$ i $CD.$ Punkty $P, Q$ są odpowiednio środkami przekątnych
$AC$ i $BD.$ Uzasadnij, że $ MQ\parallel PN.$

Zadanie 11. (6 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD.$ W trójkącie
równoramiennym $ASC$ stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy
$|AC|: |AS| = 6 : 5.$ Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

Zadanie 12. (3 pkt)

$A, B$ są zdarzeniami losowymi zawartymi w $Ω .$ Wykaż, że jeżeli $P(A) = 0,9$ i $P(B) = 0,7 ,$ to $P(A∩B') ≤ 0,3$ ($ B'$ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia$ B$).

Odpowiedzi:

1. Dowód,
2. Dowód,
3. $m\in(0,1)\cup(2,3)$,
4. $x\in\{0,\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4},2\pi\}$,
5. $x_1=1$,
6. $|AD|=\frac{4\sqrt{21}}{3}$,
7. $|\angle{BAC}|=90^0$,
8. $a=1$,
9. $192080$,
10. Dowód,
11.$sin\alpha=\frac{4\sqrt{82}}{41}$,
12. Dowód.

Zadania maturalne 2010 poz. podst.

2012-04-23T13:15:00.000-07:00

Poziom podstawowy

ZADANIA ZAMKNIĘTE

Zadanie 1. (1 pkt)

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności $ |x +7| >5.$

Zadanie 2. (1 pkt)

Spodnie po obniżce ceny o 30% kosztują 126 zł. Ile kosztowały spodnie przed obniżką?

A. 163,80 zł B. 180 zł C. 294 zł D. 420 zł

Zadanie 3. (1 pkt)

Liczba $(\frac{2^{-2}\cdot3^{-1}}{2^{-1}\cdot3^{_2}})^0$ jest równa

A. 1 B. 4 C. 9 D. 36

Zadanie 4. (1 pkt)

Liczba $\log_4{8}+ log_4 2 $ jest równa

A. 1 B. 2 C. $\log_4{6}$ D. $\log_4{10}$

Zadanie 5. (1 pkt)

Dane są wielomiany $W(x)= -2x^3+5x^2-3$ oraz $P(x)=2x^3+12x.$ Wielomian $W(x)+P(x)$ jest równy

A. $5x^2+12x-3$
B. $4x^3+5x^2+12x-3$
C. $4x^6+5x^2+12x-3$
D. $4x^3+12x-3$

Zadanie 6. (1 pkt)

Rozwiązaniem równania $\frac{3x-1}{7x+1}=\frac{2}{5}$ jest

A. 1 B. $\frac{7}{3}$ C. $\frac{4}{3}$ D. 7

Zadanie 7. (1 pkt)

Do zbioru rozwiązań nierówności $ (x− 2) ( x +3 ) < 0 $ należy liczba

A. 9 B. 7 C. 4 D. 1

Zadanie 8. (1 pkt)

Wykresem funkcji kwadratowej $f ( x ) = −3x ^2 + 3$ jest parabola o wierzchołku w punkcie

A. ( 3, 0) B. (0,3 ) C. (−3, 0) D . ( 0,-3)

Zadanie 9. (1 pkt)

Prosta o równaniu $ y=- x+(3m+3)$ przecina w układzie współrzędnych oś Oy w punkcie
( 0, 2 ) . Wtedy

A. $m=-\frac{2}{3}$ B. $m=-\frac{1}{3}$ C. $m=\frac{1}{3}$ D. $m=\frac{5}{3}$

Zadanie 10. (1 pkt)

Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji y = f (x) .

Które równanie ma dokładnie trzy rozwiązania?

A. f(x) = 0 B. f(x) = 1 C. f(x) = 2 D. f(x) = 3

Zadanie 11. (1 pkt)

W ciągu arytmetycznym $(a_n) $ dane są: $a_3 =13$ i $a_5 = 39 .$ Wtedy wyraz $ a_ 1$ jest równy

A. 13 B. 0 C. −13 D. −26

Zadanie 12. (1 pkt)

W ciągu geometrycznym ( an ) dane są: $a_1 = 3$ i $a_4=24.$ Iloraz tego ciągu jest równy

A. 8 B. 2 C. $\frac{1}{8}$ D. $-\frac{1}{2}$

Zadanie 13. (1 pkt)

Liczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa

A. 7 B. 14 C. 21 D. 28

Zadanie 14. (1 pkt)

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha=\frac{3}{4}.$ Wartość wtrażenia $2-(\cos\alpha)^2$ jest równa

A. $\frac{25}{16}$ B. $\frac{3}{2}$ C. $\frac{17}{16}$ D. $\frac{31}{16}$

Zadanie 15. (1 pkt)

Okrąg opisany na kwadracie ma promień 4. Długość boku tego kwadratu jest równa

A. $4\sqrt{2}$ B. $2\sqrt{2}$ C. 8 D. 4

Zadanie 16. (1 pkt)

Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6, a ramię ma długość 5. Wysokość
opuszczona na podstawę ma długość

A. 3 B. 4 C. $\sqrt{ 34}$ D. $\sqrt{61 }$

Zadanie 17. (1 pkt)

Odcinki AB i DE są równoległe. Długości odcinków CD, DE i AB są odpowiednio równe
1, 3 i 9. Długość odcinka AD jest równa

A. 2 B. 3 C. 5 D. 6

Zadanie 18. (1 pkt)

Punkty A, B, C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Miara
zaznaczonego na rysunku kąta środkowego ASB jest równa

A. 120° B. 90° C. 60° D. 30°

Zadanie 19. (1 pkt)

Latawiec ma wymiary podane na rysunku. Powierzchnia
zacieniowanego trójkąta jest równa

A. 3200 $cm^2$

B. 6400 $cm^2$

C. 1600 $cm^2$

D. 800 $cm^2$

Zadanie 20. (1 pkt)

Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu y = −3x +5 jest równy:

A. $-\frac{1}{3}$ B. $ -3$ C. $\frac{1}{3}$ D. 3

Zadanie 21. (1 pkt)
Wskaż równanie okręgu o promieniu 6.

A. $^2+y^2=3$ B. $x^2+y^2=6$ C. $x^2+y^2=12$ D. $x^2+y^2=36$

Zadanie 22. (1 pkt)

Punkty A = (−5, 2 ) i B = ( 3, − 2 ) są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Obwód
tego trójkąta jest równy

A. 30 B. 4$\sqrt5$ C. 12$\sqrt5$ D. 36

Zadanie 23. (1 pkt)
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5 × 3 × 4 jest równe
A. 94 B. 60 C. 47 D. 20

Zadanie 24. (1 pkt)

Ostrosłup ma 18 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa
A. 11 B. 18 C. 27 D. 34

Zadanie 25. (1 pkt)

Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb x, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 5 jest równa 3. Wtedy
A. x = 2 B. x = 3 C. x = 4 D. x = 5

ZADANIA OTWARTE

Zadanie 26. (2 pkt)

Rozwiąż nierówność

$x^2- x -2 ≤ 0 . $

Zadanie 27. (2 pkt)

Rozwiąż równanie $x^3-7x^2-4x+28=0.$

Zadanie 28. (2 pkt)

Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku
(w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że |AD| = |BE| .

Zadanie 29. (2 pkt)

Kąt $\alpha$ jest ostry i $tg\alpha=\frac{5}{12}.$ Oblicz $\cos\alpha.$

Zadanie 30. (2 pkt)

Wykaż, że jeśli a > 0 , to $\frac{a^2+1}{a+1}\ge\frac{a+1}{2}.$

Zadanie 31. (2 pkt)

W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt
równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.

Zadanie 32. (4 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. Krawędź AD jest wysokością ostrosłupa (zobacz
rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa ABCD, jeśli wiadomo, że |AD| =12 , |BC| = 6 ,
|BD| = |CD| = 13.

Zadanie 33. (4 pkt)

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie
otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez 12.
Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Zadanie 34. (5 pkt)

W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu
ma powierzchnię 240$ m^2.$ Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350 $m^2$, oraz jest o 5 m
dłuższy i 2 m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.

Odpowiedzi:

C 6. D 11. C 16. B 21. D
B 7. D 12. B 17. A 22. C
A 8. B 13. B 18. A 23. A
B 9. B 14. A 19. C 24. D
A 10. C 15. A 20. B 25. D

26. $x\in<-3,1>$ 27. $x=-2\vee\ x=2\vee\ x=7$ 28. Wskazówka: trójkąty ADC i BEC są przystające
29. $\cos\alpha=\frac{12}{13}$ 30. Dowód 31. $15+3\sqrt{3}$ 32. 48 33. $P=\frac{1}{6}$
34. 12m x 20m i 14m x 25m lub 8m x 30m i 10m x 35m.

Zadania maturalne 2010 poz. rozsz.

2012-04-23T08:05:00.000-07:00

Poziom rozszerzony

Zadanie 1. (4 pkt)

Rozwiąż nierówność $|2x+4|+|x-1|\leq6.$

Zadanie 2. (4 pkt)

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania
$2\cos^2{x}-5\sin{x}-4=0$ dla $ \ x\in<o,2\pi>.$

Zadanie 3. (4 pkt)

Bok kwadratu $ABCD$ ma długość $1.$ Na bokach $ BC$ i $CD$ wybrano odpowiednio punkty $E$ i $F$
umieszczone tak, by $|CE|=2|DF|.$ Oblicz wartość $x = | DF|$ , dla której pole trójkąta $AEF$
jest najmniejsze.

Zadanie 4. (4 pkt)

Wyznacz wartości $a$ i $b$ współczynników wielomianu $W (x)=x^3+ax+ bx^2+1$ wiedząc,
że $W ( 2) =7$ oraz, że reszta z dzielenia $W(x )$ przez $ ( x − 3)$ jest równa $10.$

Zadanie 5. (5 pkt)

O liczbach $a, b, c$ wiemy, że ciąg $(a, b, c )$ jest arytmetyczny i $a + c =10$ , zaś ciąg
$( a + 1, b + 4, c + 19)$ jest geometryczny. Wyznacz te liczby.

Zadanie 6. (5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2 + mx +2 = 0$ ma dwaróżne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od $2m^2 −13 .$

Zadanie 7. (6 pkt)

Punkt $A = (− 2 ,5)$ jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym
$|AC |= |BC | .$ Pole tego trójkąta jest równe $15.$ Bok $ BC$ jest zawarty w prostej o równaniu
$y= x +1.$ Oblicz współrzędne wierzchołka $C. $

Zadanie 8. (5 pkt)

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji $ f (x )=\frac{1}{x^2}.$

Przeprowadzono prostą równoległą do osi $ Ox$ , która przecięła wykres tej funkcji w punktach $ A$ i $B. $ Niech $C = − (3, 1) .$ Wykaż, że pole trójkąta $ABC$ jest większe lub równe $2.$

Zadanie 9. (4 pkt)

Na bokach $BC$ i $CD$ równoległoboku $ABCD$ zbudowano kwadraty $CDEF$ i $BCGH$ (zobacz
rysunek). Udowodnij, że $AC = FG .$

Zadanie 10. (4 pkt)

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 3.

Zadanie 11. (5 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość $a.$ Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa $2\alpha .$
Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Odpowiedzi:

1. $<-3,1>$ 2. $x=\frac{7\pi}{6}\vee\ x=\frac{11\pi}{6}$ 3. $x=\frac{1}{4}$ 4. a = - 5 i b = 9
5. (26, 5, - 16) lub (2, 5, 8) 6.$m\in(-3,-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2,3)$ 7. C(- 3, - 2) lub C(5, 6) 8. Dowód 9. Dowód 10. $\frac{1}{3}$ 11. $V=\frac{a^3\cos\alpha}{12\sqrt{4(\sin\alpha)^2-1}}.$

Sentencje, opinie, powiedzenia

2012-03-29T08:10:00.002-07:00

Matematyka jest alfabetem, za pomocą którego Bóg opisał wszechświat.

Galileusz

Tyle jest w każdym poznaniu nauki, ile jest w nim matematyki.

Imanuel Kant

Matematyka zawiera w sobie nie tylko prawdę, ale i najwyższe piękno - piękno chłodne i surowe, podobne do piękna rzeźby.

Bertrand Russell

Bóg jest matematykiem.

Jan Kepler

Czysta matematyka to poezja logicznego myślenia.

Albert Einstein

Matematyka jest jak Sąd Najwyższy.Od jej decyzji nie ma odwołania.
Tobias Dantzig

Między duchem i materią pośredniczy matematyka.

Hugo Steinhas

Kwadratura koła, ...

2012-03-25T08:41:00.001-07:00

Antyczni mędrcy obok wielu wspaniałych osiągnięć przekazali potomnym trzy problemy, których nie potrafili rozwiązać. Są to zagadnienia znane pod określeniami: kwadratury koła, podwojenia sześcianu i trysekcji kąta.

1. Kwadratura koła

Problem kwadratury koła sprowadza się do rozwiązania zadania: Dane jest koło o promieniu r. Zbudować kwadrat o boku a, którego pole jest równe polu danego koła $a^2=\pi{r^2}$.Należy kreśląc proste lub okręgi zbudować odcinek $a=r\sqrt{\pi}$.

Zagadnieniem tym zajmował się już w drugim tysiącleciu p.n.e. pisarz faraona Amenemhata III. Twierdził, że kwadrat o boku równym $\frac{8}{9}$ średnicy koła ma pole równe polu tego koła.Czyli, że
$(\frac{16}{9}r)^2=\pi r^2$, stąd $\pi=\frac{256}{81}$ = 3,160... .Lecz $\pi$ = 3,14159... . Zatem błąd jest już na drugim miejscu po przecinku.
Nie potrafili uporać się z tym problemem także greccy filozofowie i matematycy - wśród nich Archimedes (287 - 212 r. p.n.e.). Archimedes wpisał w koło i opisał na nim sześciokąt foremny i dziewięciokrotnie podwajał liczbę jego boków. Następnie zamienił ten wielokąt na kwadrat. Otrzymana w ten sposób wartość dla $\pi$ była równa $3\frac{1}{7}$ albo $3\frac{10}{71}$. To jedno z najlepszych przybliżeń liczby $\pi$.
W późniejszych wiekach tym zagadnieniem zajmowali się miedzy innymi Fibonacci (XIIIw.), Viete (XVIw.), Leibniz (XVIIw.), Euler (XVIIIw.). Wśród nich najprostrzą "kwadraturę" podał polski matematyk A. Kochański (1631 - 1700).

Dopiero w 1882 r. Lindemann dowiódł, że liczba $\pi$ jest przestępna. Zapadło ostateczne rozstrzygnięcie. Kreśląc proste i okręgi nie da się zbudować odcinka długości $\pi$.

2.Podwojenie sześcianu (zadanie delijskie)

Według starożytnej helleńskiej legendy na wyspie Delos panowała dżuma - "czarna śmierć".Przerażeni mieszkańcy wyspy udali się do świątyni boga Apolla błagać o ratunek. Apollo obiecał pomoc ale zażądał od mieszkańców wyspy podwojenia ofiarnego ołtarza w świątyni w Delos nie zmieniając jego kształtu. Ołtarz miał kształt sześcianu.
Niech a będzie długością krawędzi sześcianu, natomiast x długością krawędzi sześcianu podwojonego.
Ma być $x^3=2a^3$, stąd $x=a\sqrt[3]{2}$.

Jeśli przyjmiemy a = 1 problem sprowadzi się do zbudowania odcinka długości $\sqrt[3]{2}$. Jest to liczba algebraiczna stopnia 3.Według teorii konstrukcja tej liczby przy użyciu "cyrkla i linijki" nie jest możliwa.

3.Trysekcja kąta

Trysekcja kąta to problem podziału kąta na trzy równe części przy użyciu cyrkla i linijki. W przypadku ogólnym taka konstrukcja jest niewykonalna. Udowodnił to w 1837 r. P. Wantzel. Niektóre kąty np. $90^0$ łatwo podzielić na trzy równe katy.Jeżeli użyjemy innych przyrządów, np. linijki z dwoma zaznaczonymi punktami, to podział kąta ostrego na trzy równe części będzie możliwy.
Weźmy cyrkiel i linijkę z zaznaczonymi dwoma punktami X i Y.Zakreślmy okrąg o środku O i promieniu r = |XY|, gdzie O jest wierzchołkiem kąta $\alpha$ = $\angle$AOB, A i B to punkty wspólne okręgu i ramion kąta $\alpha$. Nakreślmy prostą OA i prostą l przechodzącą przez punkt B tak, aby punkt X należał do prostej OA i punkt Y należał do okręgu. Szukanym katem jest $\angle$AXB.

Liczby algebraiczne i przestępne

2012-03-21T14:20:00.000-07:00

Liczbą algebraiczną nazywamy liczbę, która jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu o współczynnikach całkowitych.
Liczbę, która nie jest liczbą algebraiczną nazywamy liczbą przestępną.
Interesującą historię i duże znaczenie w matematyce mają trzy liczby: oznaczone greckimi literami $\pi$, $\phi$ oraz literą e.

1. Liczba $\pi$ (ludolfina).

Liczba ta zawdzięcza swoją nazwę hol. matematykowi Ludolfowi van Ceulen (1540 - 1610), który obliczył jej przybliżoną wartość z dokładnością 35 cyfr po przecinku.
Liczba $\pi$ jest to stała matematyczna wyrażająca stosunek długości okręgu do jego średnicy.
Symbol $\pi$ wprowadził ang. matematyk W. Jones w 1706 r. a spopularyzował go szwajc. matematyk L. Euler. Liczba $\pi$ jest niewymierna. Niem. matematyk F. Lindemann wykazał w 1882 r., że liczba $\pi$ jest przestępna. Tym samym udowodnił nierozwiązalność słynnego w starożytności zagadnienia kwadratury koła.

2. Liczba $\phi$ (złota liczba).

A_______________C__________B

Punkt C dzieli odcinek AB w stosunku złotym, jeżeli |AC| : |CB| = |AB| : |AC|.
Złoty podział (łac. sectio aurea) jest nazywany też podziałem harmonicznym, złotą proporcją, boską proporcją (łac. divina proportio).
Niech |AC| = a, |CB| = b wówczas $\phi = \frac{a}{b} = \frac{a+b}{a}$ stąd $\phi = \frac{\phi + 1}{\phi}$(*) czyli $\phi^2 - \phi - 1 = 0 i \phi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,61803398...$.
Z równości (*) wynikają zależności:
$\frac{1}{\phi} = \phi - 1 \approx 0,61803398... oraz \phi^2 = \phi + 1 \approx 2,61803398...$.
Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję i stosowali go w architekturze i sztuce. Stosowali go architekci przy budowie świątyni Parthenon na Akropolu czy genialny rzeźbiarz starożytności Fidiasz w swoich dziełach. Godłem Pitagorejczyków była pięcioramienna gwiazda. W pięciokącie foremnym przekątne dzielą się w złotym stosunku.

Zadania

Oblicz: 1. $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}$ oraz 2. $\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}$
Rozwiązanie zad. 1.

Niech $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}$ = x, gdzie x > 0. Po podstawieniu i podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymamy $x^2$ - x - 1 = 0. Stąd x = $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ = $\phi$. Podobnie można rozwiązać zadanie drugie.

3.Liczba e (l. Nepera, l. Eulera

$$e =\lim_{n\to\infty}(1 + \frac{1}{n})^n$$ lub $$e = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}$$

Przybliżoną wartość l. e obliczył w 1728 r. szwajc. matematyk D. Bernoulli. e = 2,718281828.... Liczba e jest przestępna. Wykazał to w 1873 r. matematyk franc. Ch. Hermite. L. e ma duże zastosowanie w matematyce: jest podstawą logarytmów naturalnych $lnx=lg_ex$, jest podstawą funkcji wykładniczej $$e^x=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}$$

Średnie w matematyce

2012-03-19T13:36:00.003-07:00

Średnia S charakteryzująca liczby ${a_1,a_2,...,a_n}$ jest zawarta między najmniejszą a największą z danych liczb czyli
min{${a_1,a_2,...,a_n}$} $\leq$ S $\leq$ max{${a_1,a_2,...,a_n}$}. Najczęściej stosuje się średnią arytmetyczną, średnią geometryczną (proporcjonalną), i średnią harmoniczną.

1. Średnia arytmetyczna

$$S_a =\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$$.

2. Średnia geometryczna liczb dodatnich

$$S_g = \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}$$.

3. Średnia harmoniczna liczb dodatnich

$$S_h = \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}$$.

Średnie spełniają warunki:

$$S_h \leq S_g \leq S_a$$.

W przypadku dwóch liczb np. a i b średnie $S_a = \frac{a+b}{2}$, $S_g = \sqrt{ab}$, $S_h =\frac{2ab}{a+b}$ mają prostą interpretację geometryczną:
- w trapezie odcinek łączący środki jego ramion jest średnią arytmetyczną jego podstaw,
- odcinek równoległy do podstaw przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezu jest średnią harmoniczną jego podstaw,

- w trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest średnią geometryczną odcinków na jakie dzieli przeciwprostokątną.

$$e=\frac{a+b}{2}, \qquad f=\frac{2ab}{a+b}, \qquad h=\sqrt{pq}$$.

Zadanie

Kierowca przebył drogę z A do B z przeciętną prędkością $v_1$ = 75km/h, a z powrotem z B do A z prędkością $v_2$ = 25km/h. Oblicz średnią prędkość jazdy kierowcy na trasie A - B - A.
Wydaje się, że średnią prędkością będzie średnia arytmetyczna prędkości $v = \frac{v_1+v_2}{2}$ = 50km/h. Tak jednak nie jest. Zróbmy dokładne obliczenia :
Niech odległość z A do B wynosi s km. Wówczas $t_1$ = s/$v_1$ i $t_2$ = s/$v_2$. Są to czasy jazdy kierowcy z A do B oraz z B do A. Łączny czas jazdy to t = $t_1+t_2$ = s/$v_1$+s/$v_2$ = s($v_1+v_2$)/$v_1v_2$.
Stąd v = 2s/t = $\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$. Po podstawieniu danych otrzymujemy v = 37,5km/h.
Jak widać średnia prędkość jest średnią harmoniczną danych prędkości.
Ten sposób rozumowania można uogólnić.

Trochę o liczbach

2012-03-18T08:17:00.001-07:00

Powiedzenie "liczby całkowite stworzył dobry Bóg pozostałe są dziełem ludzi"podobno pochodzi od niemieckiego matematyka L. Kroneckera (1823 - 1891). Jednym z tych ludzi był grecki filozof Pitagoras.
Dzięki odkryciu twierdzenia o kwadracie przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, które obecnie znamy jako twierdzenie Pitagorasa, wykazał istnienie dotychczas nie znanych liczb.
Pojęcie liczby u Greków było utożsamiane z liczbą całkowitą dodatnią lub ułamkiem postaci $\frac{p}{q}$, gdzie p,q są liczbami całkowitymi dodatnimi.
Powstał problem: "każdej liczbie odpowiada odcinek, dla którego ta liczba jest jego długością, lecz nie dla każdego odcinka istnieje liczba która jest jego długością".

Takim odcinkiem jest np. przekątna kwadratu o boku 1. Niech d będzie długością przekątnej tego kwadratu. Wówczas
$d^2$ = $1^2$ + $1^2$ czyli $d^2$ = 2, ponieważ 1 < d < 2 bo $1^2$ = 1 i $2^2$ = 4 zatem d nie jest liczbą całkowitą. Znajdywano coraz lepsze przybliżenia liczby d: $\frac{4}{3}$ < d < $\frac{17}{12}$ bo

$\frac{16}{9}$ < $d^2$ < $\frac{289}{144}$ i.t.d. .

Mimo wysiłków nie znaleziono ułamka, którego kwadrat równałby się liczbie 2. Zrodziło się pytanie.Czy taki ułamek istnieje?
Odpowiedź na to pytanie dał następujący tok rozumowania:
Załóżmy, że istnieje nieskracalny ułamek $\frac{p}{q}$ gdzie p, q to liczby całkowite dodatnie, takie że kwadrat tego ułamka jest równy 2 czyli $p^2$ = 2$q^2$. Z tej równości wynika, że p dzieli się przez 2 i q dzieli się przez 2. Jest to sprzeczne z założeniem, że liczby p i q są względnie pierwsze. Sprzeczność jest skutkiem fałszywego założenia, że istnieje nieskracalny ułamek $\frac{p}{q}$, którego kwadrat jest równy 2.
Ten rodzaj dowodu nosi nazwę sprowadzania do absurdu (łac. reductio ad absurdum).

Dowód, że długości przekątnej kwadratu o boku 1 nie da się wyrazić dotychczas znanymi liczbami pojawił się pod koniec V wieku p.n.e., gdyż wiadomo,że nauczyciel Platona Teodor z Cyreny (V - IV w.p.n.e.) wykazał niewymierność liczb: $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, czy $\sqrt{17}$.