tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333Tue, 21 May 2013 05:07:19 +0000Concurso de SecundariaenlacesñandúIMOproblemasOMEEl PaisPodcastestalmatRadioiberoamericanaEntrevistaCanguro MatemáticoIMCmathcampconcursolibrosmiguel hernandezrecursosOpen MatemáticoprimariaOlimpiada de MayoEncuentro PreolímpicoprimerciclomatematicassegundociclointernacionalolimpiadabachilleratoEste blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.http://problemate.blogspot.com/noreply@blogger.com (Proble Mático)Blogger635125tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-7371346187660629010Sun, 07 Apr 2013 21:35:00 +00002013-04-10T15:38:15.062+02:00problemasprimerciclomatematicas<p>Fase estatal de la XXIII Olimpiada de Matemáticas (2012)</p><p>En el patio de un Instituto hay 70 chicos alineados en 7 filas y 10 columnas. Cada uno da la<br /> mano a todos los que están a su alrededor -por ejemplo, el que está situado en una esquina<br /> daría la mano a tres compañeros- ¿Cuántos saludos hubo en total?</p><p>Y en el caso de que formasen m filas y n columnas, ¿cuántos saludos habría en total?</p><p>Solución: próximamente</p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/M3nyWldP0ak" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2013/04/fase-estatal-de-la-xxiii-olimpiada-de.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)16tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-7870438141668397667Tue, 19 Mar 2013 22:41:00 +00002013-04-07T23:16:21.720+02:00problemasprimariamatematicas<p>Fase autonómica de la XXIII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2012</p><p>Dos granjeras han vendido las gallinas en el mercado, y han obtenido ambas la misma cantidad de dinero.</p><p>Si yo hubiese vendido las mías -dijo la primera- al precio que has puesto tú las tuyas, habría obtenido 100 monedas.</p><p>Si yo hubiera puesto el mismo precio que tú, nada más habría obtenido 36 monedas -dijo la segunda.</p><p>¿Cuántas gallinas habría vendido cada una, si en total no han llegado a vender una docena?</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com.es/2013/04/gallinas-en-el-mercado.html">Solución</a></p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/50aJs-F8qm8" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2013/03/gallinas-en-el-mercado.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)4tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-6578782022723537808Sat, 09 Mar 2013 17:17:00 +00002013-03-19T23:35:11.180+01:00problemasprimerciclomatematicas<p>Fase estatal de la XXIII Olimpiada de Matemáticas (2012)</p><p>a) Empezando por el número 26, construimos una lista de números de la siguiente forma: cada número es la suma de los cuadrados de los dígitos del número anterior. Es decir, el segundo número de la lista es el 40, el tercero es 16, el cuarto es 37 y así sucesivamente.</p><p>Si empezamos por el número 2012 ¿cuál será el número que ocupa el lugar 2.012?</p><p>b)En la sucesión de números: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6,...</p><p>¿Cuál sería el término que ocupa el lugar 2012?</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com.es/2013/03/el-ano-2012.html">Solución</a></p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/eprQHZablAI" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2013/03/el-ano-2012.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)3tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-8409456375658061130Fri, 22 Feb 2013 21:55:00 +00002013-03-02T09:23:14.158+01:00problemassegundociclomatematicas<p>Fase autonómica de la XXIII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2012</p><a href="http://3.bp.blogspot.com/-M3bSXvkk8KE/USfousUtjVI/AAAAAAAABZM/yG2Bz66krQY/s1600/triararo.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="http://3.bp.blogspot.com/-M3bSXvkk8KE/USfousUtjVI/AAAAAAAABZM/yG2Bz66krQY/s320/triararo.png" /></a><br /> <p>En un triángulo similar al del dibujo, se ha trazado una linea que divide a la base en dos partes que están en relación 2 a 3 (es decir, que la de la derecha mide 3/5 del total y la de la izquierda, 2/5 del total), y divide al lado de la izquierda en dos partes que están en relación 1 a 2 (la de arriba mide la mitad que la de abajo).</p><p>El triángulo pequeño que así se forma tiene un área de 8 u².</p><p>Averigua lo que medía el triángulo grande original (antes de dividirlo).</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com.es/2013/03/areas-y-triangulos.html">Solución</a></p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/6l4HQZRLDPY" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2013/02/areas-y-triangulos.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)1tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-6255524703464977286Mon, 18 Feb 2013 17:57:00 +00002013-02-20T20:26:38.406+01:00problemasOMEbachilleratomatematicas<p>Fase local de XLIX Olimpiada Matemática Española, 2012/13</p><p>Dado un numero entero n escrito en el sistema de numeración decimal, formamos el numero entero k restando del numero formado por las tres ultimas cifras de n el numero formado por las cifras anteriores restantes.</p><p>Demostrar que n es divisible por 7, 11 o 13 si y solo si k también lo es.</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com.es/2013/02/criterio-de-divisibilidad.html">Solución</a></p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/EQNKK4O5l1M" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2013/02/criterio-de-divisibilidad.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)1tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-5109351379021859551Mon, 11 Feb 2013 10:50:00 +00002013-02-18T18:53:22.317+01:00problemasprimariamatematicas<p>Fase autonómica de la XXIII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2012</p><p>¿Cuántos números naturales de tres cifras verifican que el producto de la cifra de las unidades por la de las decenas coincide con la cifra de las centenas?</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com.es/2013/02/numero-de-tres-cifras.html">Solución</a></p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/Jt4yWK2jhZA" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2013/02/numeros-de-tres-cifras.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)3tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-294042028983085001Thu, 07 Feb 2013 09:14:00 +00002013-02-07T10:42:21.604+01:00problemasprimerciclomatematicas<p>Fase estatal de la XXIII Olimpiada de Matemáticas (2012)</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://1.bp.blogspot.com/-8YoM-gq7nEc/URNwBqNN5bI/AAAAAAAABYY/KcC7TaETlss/s1600/tarta1.png" imageanchor="1" style="clear:right; float:right; margin-left:1em; margin-bottom:1em"><img border="0" height="300" width="300" src="http://1.bp.blogspot.com/-8YoM-gq7nEc/URNwBqNN5bI/AAAAAAAABYY/KcC7TaETlss/s320/tarta1.png" /></a></div><p>Ana quiere repartir una tarta cuadrada de 30 centímetros de lado entre 5 personas, de forma que reciban la misma cantidad de tarta. El primer corte lo hace partiendo del centro del cuadrado hasta el borde de la tarta, a 10 centímetros de una esquina.</p><p>Si el resto de cortes los hace también en línea recta y partiendo del centro ¿cómo corta la tarta?</p><p>Si imponemos la condición de que la longitud de borde de la tarta correspondiente a cada trozo sea un número entero, y que los trozos tengan la misma cantidad, ¿entre cuántas personas podría hacerse el reparto?</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com.es/2013/02/repartiendo-la-tarta.html">Solución</a></p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/gH7s1O7fW6g" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2013/02/repartiendo-la-tarta.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)2tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-5298440529585742451Fri, 01 Feb 2013 15:36:00 +00002013-02-01T16:52:57.587+01:00problemassegundociclomatematicas<p>Fase autonómica de la XXIII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2012</p><p>Encuentra todos los valores enteros de n que hacen que la expresión n/(20 - n) sea un cuadrado perfecto.</p><p>Espero que no tengas que probar muchos valores diferentes en esa expresión para encontrarlos, sino que emplees un método más directo.</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com.es/2013/02/cuadrados-con-condiciones.html">Solución</a></p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/xygOvl-x3HQ" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2013/02/cuadrados-con-condiciones.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)0tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-23004054634102391Wed, 23 Jan 2013 18:09:00 +00002013-01-24T19:12:42.244+01:00problemasOMEbachilleratomatematicas<p>Fase local de XLIX Olimpiada Matemática Española, 2012/13</p><p>Prueba que las sumas de las primeras, segundas y terceras potencias de las raíces del polinomio de tercer grado x³ + 2x ² + 3x + 4 valen lo mismo.</p><p>He decidido retomar la publicación de problemas en el blog, aunque sea de manera más espaciada. Al menos publicaré un problema por semana, rebuscando entre los de competición y preparación, de diferentes niveles, y poniendo una solución en cuanto pueda.</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com.es/2013/01/raices-que-suman-lo-mismo.html">Solución</a></p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/hp_fPEKD220" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2013/01/raices-que-suman-lo-mismo.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)2tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-4508415293474216189Mon, 30 Jul 2012 07:00:00 +00002012-07-30T09:00:03.879+02:00problemasrecursosbachilleratomatematicas<p>Aquí pongo unos cuantos ejercicios, extraídos del mismo artículo que los anteriores de la <a href="http://www.xeix.org/MATERIALS-DE-LES-SESSIONS-DE">Sociedad Balear de Matemáticas</a>, para que practiquéis los métodos vistos en los artículos anteriores:</p><p>(1): Encuentra todas las funciones f(x) tales que 3f(2 - x) + 2f(x) = x².</p><p>(2): Encuentra todas las funciones f : R&rarr;R que satisfacen la ecuación funcional f(x² + y) = f(x) + y² para todos los valores reales x e y.</p><p>(3): Determina todas las funciones f : R+&rarr;R tales que f(xy) = f(x)f(3/y) + f(y)f(3/x), con f(1) = 1/2.</p><p>(4): Determina todas las funciones f : Q&rarr;R tales que f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy.</p><p>(5): ¿Existe alguna función f : R&rarr;R tal que f(f(x)) = x² - 2?</p><p>(6): Resuelve la ecuación funcional f(xf(x) + f(y)) = y + f(x)².</p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/P1J8Jkx2FiM" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/07/ecuaciones-funcionales-iv.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)11tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-1118212698915759107Sun, 29 Jul 2012 21:15:00 +00002012-07-29T23:17:37.415+02:00recursosbachilleratomatematicas<p>Sigamos con los otros métodos para trabajar con ecuaciones funcionales. <br /> Por cierto, este manual está traducido y revisado del catalán a partir de un curso de la <a href="http://www.xeix.org/MATERIALS-DE-LES-SESSIONS-DE">Sociedad Balear de Matemáticas</a>.</p><p>El último método genérico que vamos a revisar para resolver ecuaciones funcionales consiste en partir de una solución evidente para encontrar las demás, o demostrar que es única. Generalmente se resta la que conocemos de la función alternativa (o se divide) para eliminar condiciones.<br /> Por ejemplo, imagina que buscamos todas las funciones f : R&rarr;R que cumplen f³(x) + (x² + x⁴ + x⁶ + ... + x²ⁿ)f(x) = 2x³ + x⁵ + x⁷ + ... + x^{2n + 1}.</p><p>Evidentemente, puesto que el polinomio aumenta un grado, es fácil buscar un polinomio de grado 1, en concreto f(x) = x, pero ¿será único?</p><p>Imagina que tienes otra solución diferente de f(x) = x. Llama a esta función g(x). Como también cumple la relación anterior, al restar ambas relaciones de forma ordenada, tenemos que f³(x) + (x² + x⁴ + x⁶ + ... + x²ⁿ)f(x) - g³(x) - (x² + x⁴ + x⁶ + ... + x²ⁿ)g(x) = 2x³ + x⁵ + x⁷ + ... + x^{2n + 1} - 2x³ - x⁵ - x⁷ - ... - x^{2n + 1}.</p><p>Evidentemente, al lado derecho de la igualdad, obtenemos 0, y queda, sacando factores comunes, f³(x) - g³(x) + (x² + x⁴ + x⁶ + ... + x²ⁿ)(f(x) - g(x)) = 0.</p><p>En este momento es cuando empleamos una factorización poco común, ya que a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²), como es fácil comprobar, y la igualdad anterior se transforma en (f(x) - g(x))(f²(x) + f(x)g(x) + g²(x)) + (x² + x⁴ + x⁶ + ... + x²ⁿ)(f(x) - g(x)) = 0. La factorización empleada también se puede utilizar en otras potencias, cambiando el segundo factor.</p><p>Evidentemente, puesto que g(x) y f(x) son funciones diferentes, según hemos supuesto, podemos dividir tranquilamente por el factor f(x) - g(x), quedando f²(x) + f(x)g(x) + g²(x) + x² + x⁴ + x⁶ + ... + x²ⁿ = 0.</p><p>Ahora observamos que en la expresión de la izquierda, todo son cuadrados, excepto la expresión f(x)g(x). Sin embargo, desde que estudiamos la ecuación de segundo grado conocemos la expresión a² + 2ab + b² = (a+b)², que funciona como una especie de truco para hacer desaparecer ese molesto término. En realidad, hay que hacer una pequeña variante. Observa las transformaciones: En nuestro caso, tenemos a² + ab + b² = a² + 2*ab/2 + b² = a² + 2*ab/2 + b²/4 + 3*b²/4 = (a + b/2)² + 3*b²/4.</p><p>De esta forma, la igualdad anterior queda de la forma (f(x) + g(x)/2)² + 3g²(x)/4 + x² + x⁴ + x⁶ + ... + x²ⁿ = 0. Y como todos los términos del primer término son mayores o iguales que cero, se trata de una situación imposible (tiene que suceder para todo valor de x, e incluso para x = 0, obligaría a que g(0) valga 0 y f(0) + g(0)/2 también). Es decir, que f(x) y g(x) han de ser totalmente iguales, lo que impediría dividir por f(x) - g(x) en el paso anterior.</p><p>En el próximo y último capítulo pondré unas cuantas ecuaciones funcionales para que practiquéis.</p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/SBdTU8EYyog" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/07/ecuaciones-funcionales-iii.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)0tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-83047216348775552Sat, 28 Jul 2012 07:00:00 +00002012-07-28T09:07:54.421+02:00recursosbachilleratomatematicas<p>Vamos con los otros métodos para trabajar con ecuaciones funcionales. <br /> Por cierto, este manual está traducido y revisado del catalán a partir de un curso de la <a href="http://www.xeix.org/MATERIALS-DE-LES-SESSIONS-DE">Sociedad Balear de Matemáticas</a>.</p><p>Otra idea que podemos utilizar es buscar los ceros (valores en los que la función da 0), porque se puede simplificar mucho la expresión, o bien lugares donde valga 1, si en la ecuación funcional aparecen productos. Otro punto muy interesante son los puntos fijos, es decir, aquellos en los que f(x) = x.</p><p>Como ejemplo para este caso, tengo un problema que me trae muy buenos recuerdos, ya que me lo pusieron en la Olimpiada Internacional del 83. No fui capaz de hacerlo, y hubiera conseguido una medalla de bronce si sólo hubiese podido sacar un par de puntos en él.</p><p>Se trata de encontrar todas las funciones f : R+&rarr;R+ cuyo límite cuando la x tiende a infinito es cero (es decir, que su valor para x muy grandes es muy pequeño) y que cumplen la ecuación funcional f(xf(y)) = yf(x) para cualquier par de valores x e y.</p><p>Evidentemente, lo primero es probar con valores como 1, casos en los que la x y la y coinciden, con lo que obtenemos estos resultados: f(f(x)) = xf(1), f(xf(1)) = f(x), f(xf(x)) = xf(x). Este último resultado es el que sugiere buscar qué valores son puntos fijos, ya que si obtenemos, por ejemplo, que sólo hay uno, pongamos que vale a, sabremos que xf(x) = a, de donde f(x)= a/x.</p><p>Además, tenemos que f(f(1)) = f(1), es decir, que f(1) es un punto fijo. Si aplicamos la igualdad a y = f(1) y x = 1 (ya hay que tener imaginación), tenemos que f(1)*f(1) = f(1*f(f(1))) = f(f(f(1))), y por ser f(1) un punto fijo, tenemos que f(f(f(1))) = f(1). Luego f(1)² = f(1), y ese número, por ser positivo, sólo puede ser 1. Es decir, que f(1) = 1, y tenemos que 1 es un punto fijo y -si es el único- la función sería y = 1/x.</p><p>El problema, sin embargo, no está acabado ¿puede haber más puntos fijos?<br /> Imagina que a es un punto fijo con a > 1. Aplicando la ecuación, tenemos que a² también es un punto fijo (a*a = a*f(a) = f(a*f(a)) = f(a²)). Sin embargo, eso llevaría a encontrar puntos fijos cada vez más grandes, y no puede ser, por culpa del límite impuesto desde el principio.</p><p>Por último, si tenemos un punto fijo b menor que 1, tenemos que 1 = f(1) = f((1/b)*b) = f((1/b)f(b)) = b*f(1/b), por lo que f(1/b) = 1/b, y eso provoca que 1/b, mayor que 1, sería también punto fijo, lo que sabemos que no pasa.</p><p>En definitiva, que con estas condiciones, f(x) = 1/x es la única función existente.</p><p>Observa que si no exigimos que su tendencia en el infinito sea 0, la función f(x) = x también sería válida, y puede que más funciones también.</p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/LBBRiqpHyws" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/07/ecuaciones-funcionales-ii.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)5tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-7688936645874496926Sat, 07 Jul 2012 17:15:00 +00002012-07-07T19:27:17.391+02:00recursosbachilleratomatematicas<p>Aprovechando el problema anterior, voy a dar durante el verano una pequeña introducción a algunos de los temas que habitualmente salen en los concursos de problemas, dedicado a aquellos alumnos que tengan tiempo en verano para dar un pequeño repaso.</p><p>En esta primera ocasión, me voy a dedicar a una interesante familia de problemas, como son la ecuaciones funcionales. Este tipo de problemas sólo aparecen en competiciones de nivel alto, como la Olimpiada Española (nivel bachillerato).</p><p>Se trata de problemas en los que el objetivo es caracterizar, o calcular, la fórmula de una función, a partir de una o varias ecuaciones que afectan a valores particulares de la función, y a características como su tendencia, su continuidad, o propiedades similares.</p><p>Veamos un ejemplo:</p><p>Encuentra todas las funciones de Q en Q (f : Q&rarr;Q), que cumplan:</p><p>i) f(1) = 2</p><p>ii) f(xy) = f(x)f(y) - f(x + y) + 1.</p><p>Veamos a continuación algunas ideas para su solución.</p><p>- Substituir en las ecuaciones las variables por valores concretos, que tengan alguna importancia en la fórmula (generalmente, 0, 1, un entero cualquiera, el inverso de un entero, un número fraccionario, una raíz cuadrada, si tiene algún sentido...).</p><p>- Tratar de calcular algunos valores a partir de otros (inducción). A veces se pueden calcular mediante sumas los enteros, los inversos, las fracciones (y, por continuidad, los irracionales, ya que siempre tienen cerca una fracción).</p><p>En nuestro ejemplo, puesto que conocemos f(1) = 2, podemos calcular fácilmente f(2), tomando en la igualdad x = 1, y = 2.</p><p>Con un poco de habilidad, podemos determinar que para todo valor entero, se tiene que f(n + 1) = f(n) + 1 (cambiando x = 1, y = n, tenemos que f(n) = 2f(n) - f(n + 1) + 1, de donde se deduce esa igualdad). Por lo tanto, la función entre los enteros es una progresión aritmética de diferencia 1, y su fórmula es f(n) = n + 1.</p><p>Ya podemos pasar a los números inversos, de la forma 1/n, con n un entero, con un poco de trabajo, llegamos a probar tras un par de substituciones en la igualdad, que f(1/n) = 1/n + 1, y de ahí, a probar que para cualquier m, n enteros f(m/n) = m/n + 1. De forma que la única función que cumple el enunciado es f(x) = x + 1.</p><p>Otra de las formas de atacar el problema es detectar propiedades como la inyectividad (que dos valores distintos tienen imagen distinta) o la exhaustividad (que todo número es imagen de algún valor), que a veces tienen una aplicación en la solución.</p><p>Veamos otro ejemplo:</p><p>Encuentra todas las soluciones de la ecuación f(f(x)) = 0, sabiendo que f : R&rarr;R satisface la ecuación funcional x + f(x) = f(f(x)) para todo x.</p><p>Para solucionarlo, veamos que valores diferentes de x e y dan imágenes diferentes, ya que si f(x) = f(y), entonces f(f(x)) = f(f(y)), porque f(x) y f(y) son en realidad el mismo valor, y de la ecuación funcional se deduce que x = f(f(x)) - f(x) = f(f(y)) - f(y) = y.</p><p>Por eso, para cada resultado de la función sólo puede haber un valor que lo alcance.</p><p>Pero de la ecuación aplicada en el punto 0, deducimos que f(f(0)) = f(0) + 0 = f(0), por lo que tenemos dos puntos que dan el mismo resultado, luego f(0) = 0. De ahí, f(f(0)) = 0, por lo que es solución de la ecuación, y es la única también por la inyectividad.</p><p>Creo que esto ha quedado un poco largo. Dejaré para otro día la segunda parte y algunos ejercicios de ejemplo.</p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/vhParMURsFY" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/07/ecuaciones-funcionales-i.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)2tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-8698794894826149842Mon, 02 Jul 2012 20:30:00 +00002012-07-03T17:01:51.545+02:00problemasOMEbachilleratomatematicas<p>Fase local de XLVIII Olimpiada Matemática Española, 2011/12</p><p>Hallar todas las funciones continuas f : R+&rarr;R+ (reales positivas y de variable real positiva), que cumplen, para todo x real positivo, la condición x + 1/x = f(x) + 1/f(x).</p><p>Solución: próximamente</p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/NcLhF0dA57c" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/07/una-funcion-con-condiciones.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)8tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-5149851832362002591Sun, 03 Jun 2012 09:00:00 +00002012-06-03T11:00:07.652+02:00problemassegundociclomatematicas<p>Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><p>En el departamento de recursos humanos de una empresa, los candidatos a un puesto de trabajo han de contestar dos cuestionarios con el mismo número de preguntas.</p><p>Después de hacer los dos cuestionarios, a Josep le han dicho que en el primero había fallado 12 preguntas, y en el segundo había acertado la quinta parte. Si en total, entre las dos pruebas ha acertado el 75% de las preguntas, ¿cuántas preguntas tenía cada uno de los cuestionarios?</p><p>Solución: próximamente</p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/YKPVpXHllvg" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/06/enviando-curriculms.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)8tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-7608415678509215628Sun, 27 May 2012 20:05:00 +00002012-05-27T22:05:21.986+02:00problemasbachilleratomatematicasEl Pais<p>Concurso de El Pais, noviembre de 2011</p><div style="float: right; margin: 0pt 0pt 10px 10px; cursor: pointer; width: 310px;"><p><a href="http://3.bp.blogspot.com/-OKt5MiO5LeE/T8KIUYJdTUI/AAAAAAAABWk/OvvXospA9Lo/s1600/elpais.png" imageanchor="1" style="margin-left:1em; margin-bottom:1em"><img border="0" height="310" width="300" alt="Colina cónica" title="Colina cónica" src="http://3.bp.blogspot.com/-OKt5MiO5LeE/T8KIUYJdTUI/AAAAAAAABWk/OvvXospA9Lo/s320/elpais.png" /></a></p><p class="pie">Colina cónica</p></div><p>Dos hermanos gusanitos de seda han discutido quién de los dos llega antes a casa desde un punto que está en la base de una colina. La colina tiene forma de cono recto con una base circular de 1 metro de radio y una ladera de longitud 2 metros. La casa se encuentra en el punto diametralmente opuesto a aquel en el que se encuentran los gusanitos.</p><p>Uno de los gusanitos es más astuto y sabe calcular el camino más corto, mientras que su hermano es más alegre y escoge el primer camino que encuentra, la base del cono.</p><p>Sin embargo, ninguno de los dos sabe que en su casa les está esperando una golondrina muerta de hambre que se comerá al primero que llegué. En el instante que el gusanito alegre echa a andar el astuto se pone a calcular la trayectoria óptima, en lo que emplea exactamente 3 minutos. Una vez la tiene empieza su camino.</p><p>Suponiendo que los dos gusanos se desplazan con la misma velocidad de 1 mm/s, el desafío consiste en determinar quién será la víctima de la golondrina ¿el gusanito alegre o el gusanito astuto?</p><p>Para que la respuesta sea considerada correcta habrá que indicar no sólo el gusanito-víctima, sino también los cálculos que han llevado a la conclusión.</p><p>Solución: próximamente</p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/4xIEXsdmHbk" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/05/dos-gusanitos.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)2tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-8796472180861421151Wed, 25 Apr 2012 09:50:00 +00002012-04-26T00:05:48.497+02:00problemasprimerciclomatematicas<p>Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><div style="float: right; margin: 0pt 0pt 10px 10px; cursor: pointer; width: 310px;"><p><a href="http://1.bp.blogspot.com/-KgMtYQB1TZA/T5h0hkUgrII/AAAAAAAABWQ/UrRKNWVAJLU/s1600/pres01.png" imageanchor="1" style="clear:right; float:right; margin-left:1em; margin-bottom:1em"><img border="0" height="235" width="300" src="http://1.bp.blogspot.com/-KgMtYQB1TZA/T5h0hkUgrII/AAAAAAAABWQ/UrRKNWVAJLU/s320/pres01.png" alt="Triángulo dividido" title="Triángulo dividido" /></a></p><p class="pie">Triángulo dividido</p></div><p>Dentro de cierto triángulo ABC, escogemos un punto concreto D de la base AC, y un punto E del lado BC, que cumplen una curiosa relación.</p><p>En la figura resultante, tenemos que AB mide lo mismo que BC y BD mide lo mismo que BE.</p><p>Calcula la medida del ángulo x, que forma ED con CD, sabiendo que el ángulo entre BD y BA forma 40 grados.</p><p>Solución: próximamente</p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/MXXTtzlH5mI" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/04/los-angulos-del-triangulo.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)7tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-2318822596457709649Tue, 17 Apr 2012 21:00:00 +00002012-04-17T23:00:00.530+02:00problemasprimariamatematicas<p>Fase autonómica de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><p>Cuatro famosos futbolistas discuten sobre quién fue el autor del último gol que le dio el triunfo a uno de sus equipos.</p><p>Andrés dice "Roberto es el autor del gol".</p><p>Roberto dice "Cristiano es el autor del gol".</p><p>Cristiano dice que Roberto ha mentido al decir que él ha sido el que ha metido el gol.</p><p>Leo dice que él no marcó el último gol.</p><p>Sabiendo que sólo uno de ellos dice la verdad ¿puedes averiguar quién fue el autor del gol?</p><p>Nota: los nombres de los jugadores no guardan ninguan relación con jugadores reales, por supuesto.</p><p>Solución: próximamente</p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/il3Z6b1gink" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/04/el-gol-decisivo.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)9tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-1728309727948364894Sat, 07 Apr 2012 18:55:00 +00002012-05-27T21:51:25.296+02:00problemasbachilleratomatematicasEl Pais<p>Concurso de El Pais, octubre de 2011</p><p>Si lanzamos repetidas veces una moneda que no esté trucada y anotamos 1 cuando sale cara y 0 cuando sale cruz, conseguimos una serie de cifras binarias o bits que es aleatoria y no tiene sesgo. Por ejemplo, yo he conseguido una que empieza así:</p><p>0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1</p><p>Decimos que la serie no tiene sesgo porque en cada tirada la probabilidad de 1 es igual a la probabilidad de 0. Decimos que la serie es aleatoria porque nunca se puede adivinar el resultado que saldrá en la siguiente tirada, a diferencia de lo que, por ejemplo, pasa con estas otras series:</p><p>0 1 0 1 0 1 0 1....</p><p>0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1...</p><p>dentro de las cuales detectamos un patrón con el que, si conocemos unos cuantos bits de la serie, podemos adivinar cuál será el siguiente bit. (Apostaríamos tranquilos a que las dos últimas series no han sido obtenidas lanzando una moneda).</p><p>¿Para qué sirven las series de bits aleatorias y sin sesgo? Por ejemplo, para generar números aleatorios del tipo que se usan para sortear el ganador en cada desafío matemático de EL PAÍS. Pero esta semana no tenemos ninguna moneda. ¿Que podemos hacer?... Por suerte, hemos conseguido unas tabas.</p><p>La taba es un hueso que los mamíferos tenemos en el pie. Las de los corderos se usan para jugar desde tiempo inmemorial: aparecen en estatuas romanas y también en el cuadro Juegos de niños de Brueghel el Viejo. Los habitantes de algunos lugares de España mantienen una ancestral tradición de reunirse para apostar usando tabas. Por ejemplo, estas que me han prestado vienen de Colmenar Viejo, cerca de Madrid, en donde se juega con ellas los días de San Andrés y de Santa Lucía.</p><p>Cualquier taba está cargada porque no es simétrica respecto a su centro de gravedad y, aunque tiene cuatro formas distintas de caer, nosotros tendremos en cuenta dos posibles resultados. Vamos a lanzar repetidas veces una misma taba y anotamos 1 cuando queda hacia arriba la parte hundida del hueso y anotamos 0 si la taba cae de cualquier otra forma. La taba tiene carga, así que -casi seguro- obtendremos una serie aleatoria de bits con sesgo. Notemos que los tamaños y las formas de las tabas varían y por eso cada taba tiene su propia carga, distinta de las demás.</p><p>El desafío de esta semana es el siguiente: a partir de la serie aleatoria de bits conseguida lanzando repetidamente una misma taba, obtener una serie de bits -que necesariamente será más corta que la serie de partida- que no se pueda distinguir de la que produce una moneda sin trucar, es decir: obtener una serie de bits aleatoria y sin sesgo.</p><p>La solución a este desafío debe incluir una breve explicación de las operaciones y los pasos que llevan desde la serie de bits de la taba hasta una serie aleatoria de bits sin sesgo. La solución ha de funcionar usando una única taba, que puede ser cualquiera: por ejemplo, una de las tres que yo tengo aquí u otra taba que vosotros tengáis.</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com.es/2012/05/azarosa-taba.html">Solución</a></p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/_rNVw7q3kUc" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/04/azarosa-taba.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)1tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-6658724183025807129Wed, 22 Feb 2012 17:00:00 +00002012-07-02T13:48:03.870+02:00problemasOMEbachilleratomatematicas<p>Fase local de XLVIII Olimpiada Matemática Española, 2011/12</p><p>Tenemos una colección de esferas iguales que apilamos formando un tetraedro cuyas aristas tienen todas n esferas. Calcula, en función de n, el número total de puntos de tangencia (contactos) que hay entre las esferas del montón.</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com.es/2012/07/esferas-amontonadas.html">Solución</a></p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/SPOmbnSgOnk" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/02/esferas-amontonadas.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)5tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-993610204195841629Fri, 17 Feb 2012 22:10:00 +00002012-06-03T10:52:17.176+02:00problemassegundociclomatematicas<p>Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><p>Cinco amigas de cuarto de ESO deciden hacerse una foto, cada una con un vestido de diferente color. En la foto, todas se colocan mirando a la cámara, de forma que la primera es la que está más a la izquierda, y la última la de la derecha. Con los siguientes datos, responde a la pregunta planteada.</p><p>Cada una es de una comunidad diferente, las cinco compran su ropa en una tienda diferente, beben una bebida distinta, y tienen un reloj de marca diferente.</p><p>1.- la catalana se sitúa en el primer lugar, junto a la que está vestida de azul.</p><p>2.- La que se sitúa en el centro bebe leche.</p><p>3.- La vasca va vestida de rojo.</p><p>4.- La manchega compra su ropa en H&M.</p><p>5.- La gallega bebe té.</p><p>6.- La vestida de verde se sitúa a la izquierda de la vestida de blanco.</p><p>7.- La vestida de verde toma café.</p><p>8.- La que lleva un omega compra su ropa en Sfera.</p><p>9.- La de amarillo lleva un reloj Swatch.</p><p>10.- La que lleva un Lotus se sitúa al lado de la que compra en Zara.</p><p>11.- La que compra en Berska se sitúa al lado de la que lleva un reloj Swatch.</p><p>12.- La que lleva un reloj Calvin Klein bebe cerveza.</p><p>13.- La andaluza lleva un reloj Cartier.</p><p>14.- La que lleva un reloj Lotus está al lado de la que bebe agua.</p><p>¿Cuál de ellas compra en Stradivarius? </p><p><a href="http://solumate.blogspot.com.es/2012/06/cinco-amigas.html">Solución</a></p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/7hEpHHMprQw" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/02/cinco-amigas.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)7tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-424730931608941303Sun, 05 Feb 2012 21:50:00 +00002012-04-07T20:50:58.465+02:00problemasbachilleratomatematicasEl Pais<p>Concurso de El Pais, octubre de 2011</p><div style="float: right; margin: 0pt 0pt 10px 10px; cursor: pointer; width: 310px;"><p><a href="http://2.bp.blogspot.com/-XrmQfZGViX4/Ty7613dGjYI/AAAAAAAABVs/UO2B03Zfoa4/s1600/elpais1.png" imageanchor="1" style=" margin-left:1em; margin-bottom:1em"><img border="0" height="210" width="300" alt="Caja con forma de prisma" title="Caja con forma de prisma" src="http://2.bp.blogspot.com/-XrmQfZGViX4/Ty7613dGjYI/AAAAAAAABVs/UO2B03Zfoa4/s320/elpais1.png" /></a></p><p class="pie">Caja con forma de prisma</p></div><br /> <p>Cinco partículas están atrapadas en el interior de una caja con forma de prisma triangular. Su base es un triángulo equilátero de lado 60 cm., y su altura es 40 cm..</p><p>Demuestra que siempre podemos encontrar dos de estas partículas que están a menos de 50 centímetros.<br /> </p><p><a href="http://solumate.blogspot.com.es/2012/04/particulas-en-movimiento.html">Solución</a></p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/N_rexPMbR2A" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/02/particulas-en-movimiento.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)1tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-1073328222008161004Fri, 03 Feb 2012 22:40:00 +00002012-04-25T23:49:57.272+02:00problemasprimerciclomatematicas<p>Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><p>Ana vació sobre la mesa una caja de cerillas, distribuyéndolas en tres montones diferentes.</p><p>En esos montones había un total de 48 cerillas, pero observó lo siguiente: "Si del primer montón paso al segundo tantas cerillas como había en este último, y entonces del segundo paso al tercero tantas cerillas como había en este tercer montón, y después, del tercer montón paso al primero tantas cerillas como había en ese momento en el primero, al terminar este proceso los tres montones serán iguales".</p><p>¿Cuántas cerillas había al principio en cada montón?</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com.es/2012/04/las-cerillas.html">Solución</a></p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/EkONHXdgMtc" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/02/las-cerillas.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)5tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-5666560283283423351Sun, 29 Jan 2012 20:45:00 +00002012-04-17T22:51:25.354+02:00problemasprimariamatematicas<p>Fase autonómica de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><p>El 20 de mayo se hizo entrega de los diplomas a la promoción de medicina de 2011.</p><p>Los organizadores del acto pensaron que, para acabar más pronto, los alumnos deberían subir al escenario en grupos.</p><p>Pero al tratar de agruparlos de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro, de cinco en cinco o de seis en seis, vieron que en todos los casos sobraba un alumno.</p><p>Sin embargo, agrupándolos de siete en siete, todos los grupos quedaban igual, con lo que el acto se llevo a cabo de esta forma.</p><p>Sabiendo que eran menos de 400 ¿podrías decir cuántos alumnos eran en la promoción?</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com.es/2012/04/entrega-de-diplomas.html">Solución</a></p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/7x4HD0pgXsA" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/01/entrega-de-diplomas.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)13tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-8516613144476537559Fri, 27 Jan 2012 22:35:00 +00002012-02-05T22:43:46.724+01:00problemasbachilleratomatematicasEl Pais<p>Concurso de El Pais, octubre de 2011</p><p>Un número es elegante si al sumar los cuadrados de sus cifras, repetir la esta misma operación sobre el resultado obtenio, e iterar este proceso suficientes veces obtenemos finalmente 1.</p><p>Por ejemplo, el número 9.100 es elegante, ya que, primero, 9² + 1² + 0² + 0² = 82. Siguiendo el proceso: 8² + 2² = 68. Iterando una vez más: 6² + 8² = 100. Y, por último, 1² + 0² + 0² = 1.</p><p>El desafío consiste en encontrar infinidad de parejas de números consecutivos tal que ambos sean elegantes.</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2012/02/numeros-elegantes.html">Solución</a></p><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/1TqHPiWwTW8" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/01/numeros-elegantes.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)0