Problemas Matemáticos

Coloreado mínimo en 5x5

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sun, 09 Jul 2017 17:13:00 +0000

Publico mi primera entrada en el nuevo blog: Coloreado mínimo en 5x5

Cambios importantes

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sat, 08 Jul 2017 17:13:00 +0000

Hace tiempo que no escribo en el blog. La falta de tiempo no me deja planificar los problemas y la redacción como hacía antes, así que había dejado de escribir totalmente. Sin embargo, hace unos meses, dos cosas que han sucedido me han hecho buscar un hueco para retomar este proyecto, aunque con un enfoque algo diferente.

Por un lado, conocí al grupo Dimates, de la Universidad de Alicante. Son un grupo excelente de personas que me animaron a unirme a ellos en sus actividades de divulgación matemática. Participar en un grupo te aporta el estímulo para sacar algo más de tiempo a la agenda. Yo creía al principio que sólo ayudaría en actividades que tuviesen ya en marcha, pero lo que me propusieron fue sumar este blog a su conjunto de iniciativas.

Por otro lado, cuando empecé a darle vueltas a la manera de hacerlo, al comentarlo con mis alumnos, me encontré un apoyo inmediato, y un grupo de voluntarios (Sol, Camila, Millán, Laura y Juan Camilo) se ofrecieron a colaborar, aunque al principio no tuviésemos claro cómo.

Al final, la idea es que yo selecciono y redacto, de momento, y ellos se dedican a buscar fallos al texto, ofrecer alternativas y plantear dudas. Confío que, con el tiempo, algunos colaboradores hagan sus propios textos. Y con el grupo de Dimates, hemos creado un blog donde publicaré los problemas a partir de ahora.
Intentaré poner enlaces a todas mis entradas en ese blog desde aquí, por si queréis seguir leyéndome, pero no sé si podré mantener mucho éste. Gracias por leerme y por vuestros comentarios.

Una sucesión recursiva

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Mon, 16 Jan 2017 21:14:00 +0000

Tercer problema del viernes de la fase local de la Olimpiada Matemática Española de 2017

Se considera la función f: N -> Z definida como sigue:

f(n) = -f(n/2) si n es par

f(n) = f(n-1) + 1 si n es impar

para n ≥ 0.

Demostrar que f(n) es múltiplo de 3 si, y sólo si, n es múltiplo de 3, y hallar el menor número n que cumple f(n) = 2017.

Solución: próximamente

Un triángulo con un extraño tipo de centro

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Thu, 04 Feb 2016 07:35:00 +0000

Quinto problema del viernes de la fase local de la Olimpiada Matemática Española de 2016

En un triángulo ABC, la bisectriz por A, la mediana por B y la altura por C son concurrentes, y además, la bisectriz por A y la mediana por B son perpendiculares.

Si el lado AB mide una unidad, hallar cuánto miden los otros dos lados.

Aclaramos a preguntas de los participantes que concurrentes significa que los tres segmentos se cortan en un único punto, no en tres, como suele ocurrir con tres rectas no paralelas.

Solución

Formas de colorear un polígono

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sun, 17 Jan 2016 19:26:00 +0000

He pensado en escribir mi propia forma de resolver los problemas de la fase local de la Olimpiada Matemática y publicarlos, que tengo un poco abandonado el blog.

Empiezo por el más difícil a mi juicio, que es el sexto del viernes.

Sexto problema del viernes de la fase local de la Olimpiada Matemática Española de 2016

¿De cuántas formas se pueden colorear los vértices de un polígono con n ≥ 3 lados usando tres colores de forma que haya exactamente m lados, 2 ≤ m ≤ n, con los extremos de colores diferentes?

Solución

Resultados del curso 2014/15

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Fri, 04 Sep 2015 09:07:00 +0000

Hace tiempo que no publico en el blog, y no es por falta de ganas, sino por cuestiones de tiempo y personales. Durante este curso han pasado muchas cosas en el aspecto de los concursos de problemas, y pronto volveré a poner los problemas más curiosos que he encontrado recientemente.

Pero lo que quiero recoger en esta entrada es el resultado del trabajo de los alumnos de mi centro y de aquellos que conozco de otros, con idea de apoyarles y animarles a continuar participando en los concursos de matemáticas, aprendiendo nuevas ideas y métodos para atacar los problemas que se encuentren.

Como todos los años, iniciamos el curso con la Olimpiada Española de Matemáticas, destinada a alumnos de Bachillerato o de segundo ciclo de la ESO.

La participación en esa prueba suele ser amplia, en esta ocasión participaron 5 personas, aunque otras tantas fueron invitadas a acudir, y decidieron no participar por problemas de tiempo.

Los resultados no fueron tan buenos para nuestro centro como en otras ocasiones, consiguiendo un séptimo puesto (Adrián Lillo Pinto, de 4º de ESO), un noveno (Carlota Seijo Fernández, de 2º de Bachillerato, ganadora de la pasada edición), y un duodécimo (Teresa Mondría Terol, de 4º de ESO). Las otras dos participantes, Alma y Marina, corrieron peor suerte en esta prueba.

Los ganadores en la edición quincuagésimo primera fueron Javier Vicente Juan Poveda y Clemente Juan Oliver, ambos del Colegio Sagrada Familia de Elda. Javier ha cursado 2º de Bachillerato, pero Clemente aún está en 1º de Bachillerato y puede presentarse el año que viene. En tercer lugar, quedó Guillermo Gallud Baños, del IES San Blas de Alicante, también de 2º de Bachillerato. Lograron accésit (cuarto y quinto puesto) David Pérez Alberto, del Colegio Inmaculada Jesuitas de Alicante y Javier Francés Falip, del Colegio La Salle de Alcoy, ambos de 2º de Bachillerato.

El siguiente evento en el que implicamos a nuestros alumnos fue el Open Matemático (Torneo abierto de resolutores de problemas organizado por el Colectivo Frontera), en el que participábamos por primera vez. Fue complicado fomentar la participación, fundamentalmente por falta de experiencia, pero varios alumnos disfrutaron del desarrollo del concurso a lo largo de varias semanas. Lamentablemente, no se dieron cuenta de que saltarse alguna participación te penaliza en la puntuación final.

El ganador absoluto del concurso fue Pablo Gómez Toribio, del Tháder de Orihuela.

Nuestro primer alumno clasificado lo hizo entre los cuartos, Manuel Gómez Pérez, pero también tuvimos en puestos importantes a Teresa Mondría Terol, quinta, Pablo Duque Dorado (posición absoluta 49-60), junto a Carlota Seijo Fernández, Marina López Sánchez (82-97),e Inés Hernández Pastor y Gonzalo Pons Delgado (98-117), aunque también participaron otros muchos alumnos de forma menos regular.

En el mes de marzo llegó la Prueba Canguro, donde participaron un total de 24 alumnos del centro, obteniendo una puntuación promedio más alta que otros años. En principio, parece que fue algo general, pues los premios absolutos se situaron algo más alto de lo habitual, de forma que sólo tuvimos uno, Teresa Mondría Terol, séptima nacional en su nivel. De todas formas, varios participantes se quedaron rozando el límite de los premios, por ejemplo, Shuwei Zhu quedó a sólo 6,25 puntos del último premiado de su categoría, y María Salinas Mayans a menos de nueve puntos.

Después, en abril, se celebró la primera fase de la Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, en la que llevamos muchos años participando en sus niveles A y B (ESO). En esta prueba tuvimos un gran éxito, ya que se logró clasificar para la segunda fase una cantidad mayor que ningún otro año. También quiero citar que tuvimos otro récord menos visible, y es el número de voluntarios que pidieron participar, que ascendió a 10 personas en segundo ciclo, y a nada menos que 36 en primer ciclo. Es curioso que la clasificación en la prueba que tuvimos que preparar para seleccionar a la gente, clasificó a gente en último lugar que luego estuvieron entre los mejores.

El resultado de la fase comarcal fue que se clasificaron para la provincial Daniel Elvira López y Gema Santana Cartagena, del primer ciclo de la ESO, y Sebastián García Burgos, Manuel Gómez Pérez, Adrián Lillo Pinto, Teresa Mondría Terol y Shuwei Zhu del segundo ciclo de la ESO. Un total de 7 personas. También citaré a los alumnos de centros adscritos al nuestro, en primaria se clasificaron Eduardo Almarcha Roche, Manuel Galvañ Ruiz y Emilio Mondría Terol, todos ellos del centro Prácticas-La Aneja.

En la fase provincial también tuvimos un buen resultado, quedando Gema Santana Cartagena como segunda suplente de primer ciclo para la final (no le llamaron para participar) y Manuel Gómez Pérez (2º), Teresa Mondría Terol (5ª) y Shuwei Zhu (8ª), de segundo ciclo, clasificados para la final en Castellón. También se clasificó por primaria Manuel Galvañ Ruiz, del centro Prácticas-La Aneja.

En mayo, algunos de nuestros alumnos participa en la difícil Olimpiada de Mayo, que también usamos en clase como ejemplo de resolución de problemas, aunque ninguno de ellos se clasificó entre los 10 primeros de España en su nivel.

Un par de alumnos de primero de ESO se interesaron, a pesar de la dificultad de ser seleccionados y de participar, en la actividad Estalmat, pero no fueron seleccionados (ni siquiera, debido a las fechas en las que se hace la selección, tenemos la seguridad de que participaran en ésta).

Un problema muy complejo

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sun, 08 Mar 2015 20:04:00 +0000

Problema propuesto y descartado para la Olimpiada Internacional de Matemáticas

No suelo proponer problemas de este tipo, y sobre todo tan difíciles como éste, pero me ha parecido, por su planteamiento y su solución, muy original y repleto de ideas interesantes, así que aquí lo dejo, y pronto colgaré su solución.

Prueba que, para cada número positivo racional x, existen números enteros positivos a, b, c, d, de forma que (a³ + b³)/(c³ + d³) = x

Solución

Un sistema circular con tres variables

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Tue, 17 Feb 2015 19:38:00 +0000

Sexto problema del viernes de la Fase Local de la LI Olimpiada Española de Matemáticas 2015

Halla todas las ternas de reales positivos (x, y, z) que cumplan el sistema formado pos las siguientes tres ecuaciones:

2x√(x + 1) - y(y + 1) = 1

2y√(y + 1) - z(z + 1) = 1

2z√(z + 1) - x(x + 1) = 1

Solución

Cuatro puntos alineados

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sun, 15 Feb 2015 12:07:00 +0000

Quinto problema del viernes de la Fase Local de la LI Olimpiada Española de Matemáticas 2015

En una recta tenemos cuatro puntos A, B, C y D, en ese orden, de forma que AB = CD. El punto E es un punto fuera de la recta de forma que CE = DE.

Demuestra que el ángulo CED es doble que el ángulo AEB si y sólo si AC = EC.

Solución

Un producto de números enteros

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Thu, 12 Feb 2015 22:44:00 +0000

Cuarto problema del viernes de la Fase Local de la LI Olimpiada Española de Matemáticas 2015

Los enteros positivos x, y, z cumplen las dos igualdades siguientes:

x + 2y = z

x² - 4y² + z² = 310

Halla todos los posibles valores del producto xyz.

Solución

Torneo de baloncesto

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Wed, 11 Feb 2015 17:40:00 +0000

Tercer problema del viernes de la Fase Local de la LI Olimpiada Española de Matemáticas 2015

Un campeonato de baloncesto se ha jugado por sistema de liga a dos vueltas (cada par de equipos se enfrentan dos veces) y sin empate (si el partido acaba en empate hay prórrogas hasta que gane uno de los dos).

El ganador del partido obtiene 2 puntos y el perdedor 1 punto.

Al final del campeonato, la suma de de los puntos obtenidos por todos los equipos salvo el campeón es de 2015 puntos.

¿Cuántos partidos ha ganado el campeón?

Solución

Circunferencia entre dos rectas

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sun, 01 Feb 2015 19:32:00 +0000

Segundo problema del viernes de la Fase Local de la LI Olimpiada Española de Matemáticas 2015

Sean r y s dos rectas paralelas y A un punto fijo a igual distancia de ambas rectas. Para cada punto B de la recta r, sea C el punto de la recta s tal que el ángulo BAC mide 90 grados, y sea P el pie de la perpendicular desde A sobre la recta BC.

Demuestra que, independientemente de qué punto B de la recta r tomemos, el punto P está sobre una circunferencia fija.

Solución

Desigualdad entre cuadrados

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sat, 31 Jan 2015 22:36:00 +0000

Primer problema del viernes de la Fase Local de la LI Olimpiada Española de Matemáticas 2015

Demuestra que (ax + by)² ≤ ax² + by² para cualesquiera números reales x, y, con a + b = 1, a, b ≥ 0.

¿En qué casos se da la igualdad?

Esta entrada forma parte de una sección temática en la que daré una solución de todos los problemas del viernes del año 2015, escrita de forma puntual.

Solución

Un punto en la circunferencia

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sat, 09 Aug 2014 19:06:00 +0000

Cuarto problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2014 (Ciudad del Cabo, Sudáfrica)

Los puntos P y Q están en el lado BC del triángulo acutángulo ABC de modo que el ángulo PAB es igual al BCA y en ángulo CAQ es igual al ABC. Los puntos M y N están en las rectas AP y AQ respectivamente, de modo que P es el punto medio de AM y Q es el punto medio de AN.

Demostrar que las rectas BM y CN se cortan en la circunferencia circunscrita del triángulo ABC.

El cuarto problema, primero de la segunda sesión, suele ser el segundo en nivel de dificultad. Hay varios enfoques para este. Ánimo, intentadlo.

Solución: próximamente.

Único para cada sucesión positiva creciente

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Mon, 14 Jul 2014 21:05:00 +0000

Primer problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2014 (Ciudad del Cabo, Sudáfrica)

Sea a₀ < a₁ < a₂ < ... una sucesión infinita de números enteros positivos. Demostrar que existe un único entero n ≥ 1 tal que: a_n < (a₀ + a₁ + ... + a_n)/n ≤ a_{n + 1}

Este problema fue el primero de los propuestos en esa competición, y por tanto, el que mejor promedio obtuvo entre los participantes en el resultado.

Solución:

Cubo y triángulo

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sun, 27 Apr 2014 21:06:00 +0000

Fase autonómica de la XXIV Olimpiada de Matemáticas (2013)

Sea ABCDEFGH un cubo de arista 2. Sea P el punto medio de la arista EF.

Determina el área del triángulo APB y la medida del ángulo APB.

Nota: que yo sepa, es imposible averiguar la medida exacta del ángulo APB sin conocer técnicas trigonométricas (que se estudian uno o dos años más tarde del curso que cursan los concursantes), me gustaría que alguien me informase si esto no es así, pero en ese caso esta pregunta es muy poco adecuada para el nivel que se pretende que tenga esta prueba.

Solución: próximamente

Pesadas

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sun, 06 Apr 2014 20:46:00 +0000

Fase autonómica de la XXIV Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2013

El señor Manuel dice que con sus tres pesos, de 1 kg, 3 kg y 9 kg, y la balanza, puede separar los kilos de lentejas que quieras, siempre que no pasen de 13 kg.

Completa la tabla siguiente para comprobar cómo ha de pesar los kilos de lentejas.

Plato A	Plato B	Kilogramos de lentejas
		1
		2
		3
		4
		5
		6
		7
		8
		9
		10
		11
		12
		13

Solución

Desigualdad con dos variables

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Wed, 19 Mar 2014 08:54:00 +0000

Fase local de L Olimpiada Matemática Española, 2013/14

Sean x e y números reales entre 0 y 1.

Probar que x³ + xy² + 2xy ≤ 2x²y + x² + x + y

Solución:

Agrupando tarjetas

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sun, 23 Feb 2014 22:00:00 +0000

XIX Olimpiada de mayo, 2013

Se tienen 600 tarjetas, 200 de ellas tienen escrito el número 5, 200 tienen escrito el número 2 y las otras 200 tienen escrito el número 1.

Usando estas tarjetas se quieren formar grupos de tal forma que en cada grupo la suma de los números sea 9.

¿Cuál es la mayor cantidad de grupos que se pueden formar?

Solución:

En la peluquería

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sun, 16 Feb 2014 20:19:00 +0000

Fase autonómica de la XXIV Olimpiada de Matemáticas (2013)

Dos productos para el cuidado del cabello contienen el 30% y el 3% de un principio activo, respectivamente.

Para su uso óptimo, hay que mezclarlos para obtener un nuevo producto que tenga el 12% de principio activo.

¿En qué proporción debemos mezclar ambos productos?

Solución

Salto generacional

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sun, 09 Feb 2014 22:24:00 +0000

Fase autonómica de la XXIV Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2013

El abuelo Joan tiene cuatro nietos. Cada uno de ellos es exactamente un año mayor que el que le sigue en edad. Un año, Joan se da cuenta de que sumando las edades de sus cuatro nietos, el resultado es su propia edad, que además es múltiplo de 11.

¿Cuántos años tiene Joan y sus nietos, suponiendo que tiene más de 50 años?

Solución

Desigualdad con raíces

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sun, 02 Feb 2014 20:44:00 +0000

Fase local de L Olimpiada Matemática Española, 2013/14

Sean a y b números positivos. Probar que a + b ≥ √(ab) + √((a² + b²)/2).

Por si no sabéis interpretar los símbolos de la página web, se trata de probar que la suma de dos números positivos es mayor o igual que la suma de la raíz de su producto más la raíz del promedio de sus cuadrados (también llamada media cuadrática).

Solución

Una lista de 100 números muy peculiar

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sun, 26 Jan 2014 21:37:00 +0000

XIX Olimpiada de mayo, 2013

¿Es posible escribir una lista de 100 números impares en una fila de forma que la suma de cada cinco números adyacentes sea un cuadrado perfecto y la suma de cada 9 números adyacentes también sea un cuadrado perfecto?

Solución

Creando espacios

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sun, 12 Jan 2014 22:35:00 +0000

Fase autonómica de la XXIV Olimpiada de Matemáticas (2013)

La figura ABCEFG es una habitación con las esquinas perpendiculares, en la que conocemos las medidas EF (20 metros), AB (10 metros) y que AG = GF. Su área total es de 280 metros cuadrados.

Queremos crear en esta habitación dos espacios de área igual mediante una pared AD, donde D es un punto de la pared EC. Calcula a qué distancia de C se encuentra ese punto.

Solución:

Áreas y perímetros

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sun, 17 Nov 2013 22:35:00 +0000

Fase comarcal de Valencia de la XXIV Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2013

Dividimos un cuadrado grande en dos cuadrados más pequeños y dos rectángulos iguales. Las diagonales de los rectángulos miden 13 centímetros, y los perímetros de los dos cuadrados internos son, respectivamente, 20 y 48 centímetros.

Hemos dibujado el conjunto junto a estas líneas para que lo puedas ver. Las diagonales de los rectángulos que hemos dibujado unen dos vértices de los cuadrados internos.

Como vemos en la figura, hemos hecho varias copias de la anterior y hemos sombreado algunas de las zonas internas. Calcula el perímetro y el área de cada una de ellas.

En la primera, rellenamos los dos medios rectángulos que se tocan en un vértice.

En la segunda, rellenamos los dos medios rectángulos que se tocan en un vértice y el cuadrado menor.

En la tercera, el cuadrado mediano, un rectángulo y la mitad del otro que está en contacto con el cuadrado mediano.

En la cuarta, el cuadrado pequeño, un rectángulo y la mitad del otro que está en contacto con el cuadrado pequeño.

Solución: