Problemas Matemáticos

Segunda sesión de la IMO 2009

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Thu, 16 Jul 2009 14:10:00 +0000

Y aquí están los problemas de la segunda sesión. Debo recordar que las soluciones, si las escribo, no estarán disponibles hasta dentro de bastante tiempo. En esta ocasión he obtenido los enunciados de la página oficial de la IMO.

Problema 4. Sea ABC un triángulo con AB = AC. Las bisectrices de los ángulos CAB y ABC cortan a los lados BC y CA en D y E, respectivamente. Sea K el incentro del triángulo ADC. Supongamos que el ángulo BEK = 45◦. Determinar todos los posibles valores de CAB.

Problema 5. Determinar todas las funciones f del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los enteros positivos tales que, para todos los enteros positivos a y b, existe un triángulo no degenerado cuyos lados miden a, f (b) y f (b + f (a) − 1).

(Un triángulo es no degenerado si sus vértices no están alineados).

Problema 6. Sean a₁, a₂, ..., a_n enteros positivos distintos y M un conjunto de n − 1 enteros positivos que no contiene al número s = a₁ + a₂ + · · · + a_n . Un saltamontes se dispone a saltar a lo largo de la recta real. Empieza en el punto 0 y da n saltos hacia la derecha de longitudes a₁ , a₂, ..., a_n , en algún orden. Demostrar que el saltamontes puede organizar los saltos de manera que nunca caiga en un punto de M .

Primera sesión de la IMO 2009

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Wed, 15 Jul 2009 16:30:00 +0000

Ya se conocen los problemas de la primera sesión. Si no cuento con ayuda, no creo que pueda poner una solución fácil de entender, porque no dispongo de mucho tiempo. La versión que pongo aquí la he obtenido del Portal Mathlinks.

Problema 1. Sea n un entero positivo y sean a₁, a₂, ..., a_k (k ≥ 2) enteros distintos del conjunto {1, 2, ..., n}, tales que n divide a a_i(a_i+1-1), para i = 1, 2, ..., k-1. Demostrar que n no divide a a_k(a₁-1).

Problema 2. Sea ABC un triángulo con circuncentro O. Sean P y Q puntos interiores de los lados CA y AB, respectivamente. Sean K, L y M los puntos medios de los segmentos BP, CQ y PQ, respectivamente, y Γ la circunferencia que pasa por K, L y M. Se sabe que la recta PQ es tangente a la circunferencia Γ. Demostrar que OP = OQ.

Problema 3. Sea s₁, s₂, s₃, ... una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tal que las subsucesiones s_s₁, s_s₂, s_s₃, ... y s_s₁+1, s_s₂+1, s_s₃+1, ... son ambas progresiones aritméticas. Demostrar que la sucesión s₁, s₂, s₃, ... es también una progresión aritmética.

Más información sobre la IMO 2009

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Mon, 13 Jul 2009 16:50:00 +0000

Hoy, martes 14 de julio, deberían haber llegado a Bremen los participantes en la Olimpiada Matemática Internacional. El primer acto oficial en el que participan es la ceremonia de apertura. Mañana tendrán la primera prueba, que rápidamente estará en Internet a disposición de todos.

He contactado con algunos del equipo español, y me han comentado que han estado preparando la prueba hasta hace relativamente poco. Moisés Herradón Cueto, al que entrevisté hace casi un año, Alberto Merchante González y Jaime Roquero me han comentado que la preparación ha sido dura pero necesaria, y que me contarán detalles del desarrollo de la prueba en Bremen para que los ponga aquí.

A Moisés ya lo conceréis los veteranos del blog, aunque a la vuelta de Alemania, trataré de que nos ponga al día.

Jaime ha estudiado hasta 2º de Bachillerato en Liceo Francés de Madrid, que por lo visto tiene una gran tradición en las pruebas de matemáticas, ya que ha dado varios participantes en la IMO. Desde sexto de primaria ha participado en diversos concursos, aunque nunca con tanto éxito. Tiene intención de hacer Matemáticas y Física en París. El año pasado ya participó en la Olimpiada Matemática Española, y muestra predilección por los problemas de teoría de números, aunque también le gusta la geometría y la combinatoria.

Alberto estudia bachillerato en el Ramiro de Maeztu, de Madrid. El año que viene hará 2º. Se presenta a competiciones matemáticas desde 6º de primaria, y en 2º de la ESO participó en la fase nacional de Olimpiada de ese nivel. Es el primer año que se presenta a este concurso, y sus problemas favoritos son los de geometría.

Como curiosidad, estaba revisando los países que mejor resultado obtuvieron el año pasado, y he encontrado numerosos participantes que vuelven. No me da tiempo a citar a todos, me he quedado en la octava posición, pero si tengo un rato pondré más.

Dongyi Wei (República Popular China): Obtuvo un oro en 2008, consiguiendo una puntuación perfecta.

Evan O'Dorney y Eric Larson (Estados Unidos de América) consiguieron plata en 2008. El primero de ellos aún tiene 15 años.

Sunkyu Lim (República de Corea), de 17 años. Obtuvo una plata muy alta, con una gran primera jornada, aunque en la segunda no obtuvo muchos puntos.

Un Song Ri (República Popular Democrática de Corea), oro en 2008. consiguió una puntuación perfecta, excepto el último problema, en el que no obtuvo ningún punto.

Melih Üçer (Turquía), de 16 años, consiguió plata en 2007 y oro en 2008, con 5 problemas perfectos. También Umut Varolgunes, de 18 años, obtuvo oro en 2008, con un punto más. De Turquía también son Fehmi Emre Kadan y Sureyya Emre Kurt (18 y 17 años), ambos plata el año pasado.

Actualización: Como nos recuerda uno de los lectores del blog en otra entrada, llama la atención la juventud de uno de los participantes de Perú, Raúl Arturo Chávez Sarmiento, de tan sólo 11 años. Es su primera participación, pero debido a su edad espero que gane mucha experiencia.

Raíces en común

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sat, 11 Jul 2009 22:45:00 +0000

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Dado un número natural n mayor que 1 , hallar todos los pares de números enteros a y b tales que las dos ecuaciones xⁿ + ax − 2008 = 0 y xⁿ + bx − 2009 = 0 tengan, al menos, una raíz común real.

Solución: próximamente

Juego con bolas

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Thu, 09 Jul 2009 21:55:00 +0000

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Una caja contiene 40 bolas. Dos amigos participan en un juego extrayendo, alternativamente, bolas de la caja.

Cada uno, en su turno, puede extraer cualquier cantidad de bolas de la caja que no sea superior a la mitad de las que hay. El que no pueda extraer ninguna bola respetando las reglas, pierde el juego.

Suponiendo que los dos juegan correctamente, ¿quién ganará, el primero o el segundo en jugar?

Explica la estrategia ganadora.

Solución: próximamente

IMO 2009 en Bremen

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Tue, 07 Jul 2009 21:15:00 +0000

Como todos los años por estas fechas, desde 1959, se celebra la edición de la Olimpiada Internacional de Matemáticas (IMO). Este año se celebra en Bremen (Alemania). El 10 de julio comienza a recibir al jurado, que seleccionará los problemas a los que se enfrentarán 575 concursantes de 105 países, más 3 que sólo enviarán observadores. La verdadera competición comenzará el día 15 con la primera sesión de la prueba.

Por si alguien aún no se ha enterado en qué consiste, se trata de un concurso de problemas matemáticos en los que participan países de todo el mundo. El formato se ha ido modificando con el tiempo, pero en la actualidad consiste en resolver 6 problemas, tres en una sesión y tres en otra. En ambas sesiones se supone que los problemas están ordenados en orden creciente de dificultad.

Como acuden representantes de todo el mundo, los problemas deben ser de una complejidad extraordinaria, aunque deben poderse resolver con pocos conocimientos previos. Esto, que parece contradictorio, ocasiona un largo proceso de selección de los problemas.

En esta ocasión, España participa con un equipo de seis chicos (el máximo permitido). El madrileño Moisés Herradón Cueto, de 17 años participa por segunda vez. En Madrid (2008) logró una mención honorífica, y aún puede volver a presentarse el año que viene.

También cuenta con experiencia previa Glenier Lázaro Bello Burguet, que participó en Hanoi (Vietnam) 2007, y el año pasado se tuvo que conformar con la medalla de plata en la Olimpiada Matemática Española.

Los participantes Ander Lamaison Vidarte y Alberto Merchante González participan por primera vez en una internacional, pero tan sólo tienen 16 años, por lo que es de esperar que este año les sirva de valiosa experiencia para futuras ediciones.

Por último, aunque no menos importante, Iván Geffner Fuenmayor y Jaime Roquero Giménez también acuden por primera vez, pero será la última debido a su edad.

Todos ellos obtuvieron medalla de oro en la pasada Olimpiada Matemática Española. Espero que tengan suerte y nos traigan alguna medalla más para España.

Les acompañará Ignasi Mundet Riera como tutor, veterano participante en estas pruebas (bronce en suecia en 1991), con gran experiencia, que fue el coordinador jefe el año pasado en la IMO de Madrid.

En calidad de jefa de la delegación, aunque los concursantes no la verán hasta después de la prueba, irá María Gaspar Alonso-Vega, que fue el año pasado vicepresidenta ejecutiva del Comité IMO 2008. También es presidenta de la Comisión de Olimpiadas de la Real Sociedad Matemática Española, y ha acompañado al equipo español en numerosas ocasiones.

Por último, España envía a un observador, Marco Castrillón López, que participó como concursante en 1990 y que también perteneció al comité organizador el año pasado. Como Ignasi, cuenta con bastante experiencia en este tipo de concursos.

Otro día hablaré de otros participantes de otros países, aunque no quiero despedir este breve artículo sin mencionar a una persona cuyo nombre me ha llamado la atención. Se trata de Lisa Sauermann, participante alemana de sólo 16 años que, pese a su juventud, ha obtenido plata en Hanoi (2007) y oro en Madrid (2008). Sin duda, un gran historial que la sitúan como favorita, más todavía si consideramos que juega en casa.

Olimpiada de educación física

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sun, 05 Jul 2009 08:30:00 +0000

Fase comarcal de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Un grupo de alumnos están formados en forma de cuadrado para realizar una exhibición de Educación Física. Como debían llevar a cabo dos actividades diferentes, el profesor los dividió en dos grupos en forma de rectángulo, uno de los cuales tenía 36 alumnos más que el otro. ¿Cuántos alumnos había en total al principio?

Sabemos que en esos rectángulos no hay menos de 30 ni más de 70 individuos.

Solución: próximamente

Cromos

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Thu, 02 Jul 2009 06:05:00 +0000

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Rafa y Mario coleccionan cromos de futbolistas. Rafa completó su álbum y Mario completó 3/4 partes del suyo.

Si entre los dos, pegaron 245 cromos, ¿cuántos cromos tiene el álbum?

Solución: próximamente

Planos y puntos en el espacio

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sun, 28 Jun 2009 09:00:00 +0000

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Determinar el mayor número de planos en el espacio tridimensional para los que existen seis puntos con las siguientes condiciones:

i) Cada plano contiene al menos cuatro de los puntos.

ii) Cuatro puntos cualesquiera no pertenecen a una misma recta.

Solución

Transporte escolar

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Thu, 25 Jun 2009 06:15:00 +0000

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Un instituto programa una excursión para sus alumnos.

El día señalado, les transporta a la estación de tren en n autobuses (donde n es un entero positivo mayor que 1 y no primo), donde ya estaban esperando 7 alumnos que viven muy cerca de allí. Los alumnos fueron distribuidos en 14 vagones del tren.

Los autobuses iban casi llenos (cabían en cada uno de ellos 52 personas) y todos ellos llevaban el mismo número de personas.

¿Cuántos alumnos iban en cada vagón, suponiendo que el número buscado es el menor que cumpla todas las condiciones anteriores, y que en cada vagón va la misma cantidad de alumnos?

Solución

La magia de los círculos

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sun, 21 Jun 2009 06:45:00 +0000

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Cuadrado con círculos

En la imagen aparece un cuadrado de lado una unidad en el que se inscribe primero un círculo, después cuatro, después nueve, y, finalmente, 16.

Calcula la relación en cada caso entre el área del cuadrado y la suma del área del total de círculos inscritos.

¿Cuál sería la relación si inscribiésemos 10x10 = 100 círculos en el cuadrado? ¿Por qué?

Solución

Una clase de deportistas

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Thu, 18 Jun 2009 15:55:00 +0000

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

En una clase todos los estudiantes practican algún deporte: 12 juegan al fútbol, 13 al baloncesto y otros 13 al tenis. Hay 3 estudiantes que practican los tres deportes, 8 que juegan al fútbol y baloncesto, 4 a baloncesto y tenis, y 2 que sólo practican fútbol.

¿Cuántos estudiantes hay en la clase?

Solución

Preparando el próximo curso

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Tue, 16 Jun 2009 09:50:00 +0000

En mi centro, el IES Miguel Hernández de Alicante, estamos ya preparando el final de curso, porque pronto empiezan las fiestas locales. Hemos escrito unas hojas para los alumnos con cierta capacidad para las matemáticas, preparándoles para las actividades en las que podrán participar el próximo curso.

Por si te interesa, pongo enlaces aquí mismo. Todos los problemas que menciono es probable que los veas aquí en breve tiempo, en diferentes categorías.

Entrada al artículo completo, tal y como lo hemos puesto en la página web.

El documento para los que empezarán 1º de ESO (nacieron en el año 97).

El documento para los que empezarán 2º de ESO (nacieron en el año 96).

El documento para los que empezarán 3º de ESO (nacieron en el año 95).

El documento para los que empezarán 4º de ESO (nacieron en el año 94).

El documento para los que empezarán 1º de Bachillerato (nacieron en el año 93).

El documento para los que empezarán 2º de Bachillerato (nacieron en el año 92).

Dos circunferencias en un paralelogramo

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sun, 14 Jun 2009 18:55:00 +0000

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

En el interior de un paralelogramo ABCD se dibujan dos circunferencias. Una es tangente a los lados AB y AD, y la otra es tangente a los lados CD y CB. Probar que si estas circunferencias son tangentes entre sí, el punto de tangencia está en la diagonal AC.

Solución

Pintando mapas

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Thu, 11 Jun 2009 07:15:00 +0000

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Mapa de cuatro

¿De cuántas maneras distintas se puede pintar un mapa de cuatro países como el del dibujo, si se dispone de 5 colores diferentes? El dibujo representa un rectángulo dividido en cuatro partes iguales por dos perpendiculares a los lados.

Cada país se puede pintar de un único color, con la condición de que sea diferente al de los países con los que tiene una línea que los separa. Un único punto no se considera una línea.

Solución

Padre e hijo

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sun, 07 Jun 2009 14:00:00 +0000

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

A principios del pasado mes de marzo, fue el cumpleaños de Antonio y de su hijo Marc. El padre, aficionado a las matemáticas, le dijo a su hijo: De aquí a 16 años tu edad será un cuadrado perfecto y, además, el cuadrado de mi edad coincidirá con el año en que nos encontremos".

¿Cuál es la edad actual de este padre y de este hijo?

Pista: tened en cuenta que este problema se plantea en abril del año 2009

Solución

El abuelo

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Thu, 04 Jun 2009 10:00:00 +0000

Fase provincial de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Un hombre de entre 50 y 70 años de edad, y con una cantidad realmente grande de nietos, dijo: “Cada uno de mis hijos tiene tantos hijos como hermanos, y el número combinado de mis hijos y mis nietos es exactamente mi edad”.

¿Qué edad tiene el abuelo y cuántos nietos tiene?

Solución

Una diferencia muy divisible

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sun, 31 May 2009 08:05:00 +0000

Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009

Probar que, para todo entero positivo n, n¹⁹ - n⁷ es divisible por 30.

Es decir, que la diferencia entre la potencia séptima y la decimonovena de cualquier entero positivo es un múltiplo de 30.

Solución

Simplificación

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Thu, 28 May 2009 07:30:00 +0000

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Mal método

Considera la fracción 16/64. Si simplificamos tachando la cifra 6, presente en las unidades del numerador y en las decenas del denominador, nos queda la fracción 1/4 que, inesperadamente, es equivalente a la anterior. Es decir, el método es absolutamente incorrecto, pero el resultado es cierto.

¿Puedes encontrar todas las fracciones, cuyos numerador y denominador tengan también dos cifras, que cumplan esta curiosa propiedad?

Solución

Cifras ausentes

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Mon, 25 May 2009 14:05:00 +0000

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

En la siguiente multiplicación, averigua las cifras que faltan:

ABC4DE*7 = 6743F56

Como siempre en estos casos, cada letra representa a una cifra.

Solución

La cadena

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sat, 23 May 2009 05:45:00 +0000

Fase comarcal de Alicante de la XX Olimpiada Matemática, 2009

Cadena de anillas

Silvia hace una cadena con argollas circulares, como se ve en la figura, introduciendo cada argolla dentro de la otra y encadenandola a la siguiente.

El diámetro del circulo interior de cada argolla es de 26 centímetros.

El diámetro del circulo exterior de cada argolla es de 30 centímetros.

Las argollas miden 2 centímetros de ancho.

a)¿Cuál es la máxima longitud en centímetros de la cadena de 3 anillas desde un extremo al otro?

b)Si Rafa hizo una cadena con anillas similares cuya longitud máxima era de 1070 centímetres, ¿cuántas usó en total?

Solución

Estalmat 2009

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Wed, 20 May 2009 17:30:00 +0000

Queda ya poco tiempo para inscribirse en la prueba de acceso. Como este año no me ha dado tiempo a pasar por todos los centros por los que pasé el año pasado, he decidido enviar una carta a los medios tradicionales de comunicación (prensa escrita), como última opción para llegar a ciertos centros. Puede que aún me pase por un par de centros más, pero creo que las personas que puedo informar directamente ya están informadas.

Por si alguien busca aún más información a través de Internet, voy a resumir qué es Estalmat y cuáles son sus objetivos. Si tienen alguna duda al respecto o quieren hacer alguna aclaración, pueden dejar un comentario y trataré de aclararla o preguntar a alguien que pueda ayudar.

El proyecto Estalmat (proviene de Estímulo del Talento Matemático), promovido por la Real Academia de Ciencias de España, consiste en detectar y potenciar el talento matemático en estudiantes jóvenes, concretamente de 12 a 13 años. En cada comunidad autónoma se desarrolla de una forma ligeramente distinta, por lo que si tienes interés en la manera en que cada una detecta a estos jóvenes y cómo organiza las reuniones, deberás de visitar su página web o ponerte en contacto con ellos. Está patrocinado por Fundación Vodafone España, entre otras empresas colaboradoras.

En el caso de mi comunidad, la Comunidad Valenciana, el proyecto está coordinado por la mayoría de las universidades de la comunidad. La labor con estos estudiantes se realiza durante dos años de forma más intensiva, tres horas semanales unos 20 sábados al año, y durante dos o tres años más con intervenciones menos frecuentes.

El proyecto, ahora y en esta comunidad, finaliza su segundo año de vida, es decir, sólo se ha trabajado con dos grupos: uno a lo largo de un único año y otro a lo largo de dos, hasta ahora. El día 23 de mayo, sábado, se celebra la clausura del curso, que ha sido muy interesante por lo que hemos aprendido y por lo que vamos preparando para futuros cursos.

Casi inmediatamente empieza la labor de selección de la siguiente promoción (la información está en la página de entrada a la web). Sólo hay hasta el día 27 para inscribirse en la prueba, que se celebra el día 30 (sábado) a las 10 de la mañana en los campus que convocan las pruebas. De los participantes se seleccionará una cierta cantidad de ellos, a los que se convocará a las reuniones de los sábados. Si te interesa, pongo aquí un enlace directo a la inscripción.

El principal problema en nuestra comunidad es la distancia, ya que si sólo creamos un grupo, los desplazamientos se vuelven muy largos y costosos. Es posible que este curso se organicen dos grupos para evitar el factor distancia.

La convocatoria del año pasado recibió más de 150 inscripciones, y he oído que este año puede que tenga una afluencia similar, pero no tengo cifras. Creo que tendremos entre las personas inscritas alumnos de mucha calidad.

Aquellos que no sean seleccionados, que no piensen que no valen para esto, o que carecen de eso que llamamos talento matemático. Es posible que ese día no tuviesen la inspiración necesaria, o bien que no entendieron los enunciados adecuadamente. Nuestros instrumentos de medida son necesariamente imprecisos, y mucha gente que podría entrar en este grupo, queda fuera. Si están en el rango adecuado de edad, pueden presentarse al curso siguiente, y si no, siempre pueden aprender por su cuenta. Seguir este blog puede ser una ayuda. Y este no es el único proyecto que hay en marcha para potenciar la formación en resolución de problemas. Ójala pudiésemos llegar a todos los que quieren aprender. Tal vez en un futuro no muy lejano.

Espero contribuir a ello

Algunos números son así

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Mon, 18 May 2009 14:30:00 +0000

III Concurso IES Miguel Hernández, 2008

¿Cuántos números enteros hay de tres cifras de forma que todas son distintas, y al escribirlo en orden inverso obtenemos un número mayor?

Un ejemplo de tales números es el 346, ya que el 643 es mayor.

Ten en cuenta que la primera cifra de un número de tres cifras no puede ser 0.

Solución

Punta de flecha

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Sat, 16 May 2009 08:20:00 +0000

III Concurso IES Miguel Hernández, 2008

Punta de flecha

En un cuadrado de área 4, dibujamos la siguiente figura coloreada uniendo sólo vértices con centros de los lados. ¿Qué área tiene?

La descripción de la figura con precisión dice así: El cuadrado (en el sentido de las agujas del reloj), DCBA, P es el centro de AD, Q el centro de BC, R el centro de DC, y M es el punto donde se cortan AQ y BP. La figura coloreada es el cuadrilátero ARBM.

Solución

Fase provincial de la olimpiada de la SEMCV

noreply@blogger.com (Proble Mático) — Wed, 13 May 2009 16:30:00 +0000

Como suele suceder por estas fechas, se ha celebrado la fase provincial de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana, organizada por la SEMCV. En esta ocasión no se han clasificado para la final, que tendrá lugar en Benicarló, alumnos de mi instituto, pero voy a dar cuenta de los detalles de la jornada en la provincia.

Parece ser que la jornada fue muy interesante para ellos, a tenor de lo que me contaron aquellos con los que hablé, a pesar de que, evidentemente, no todos se clasificaron para la final, y de que durante la prueba de calle llovió un poco, aunque no lo suficiente como para cancelar la actividad.

En la categoría de tercer ciclo de primaria se clasificaron dos personas de Alicante, Aitana Castro Tomás, del Enric Valor, y Carlos Martínez Rubio, del Azorín. También van dos estudiantes de L'Alfàs del Pi (David Chaparro Misó y Adrián Requena Gutierrez), uno de Alcoi (Aarón Solbes Kitagaki), otra de Denia (Mar Císcar Monsalvatje), y también de Orihuela (José María Albaladejo Sánchez) y de su pedanía La Aparecida (Francisco Cerezo Escudero). Como veis, repartidos por toda la geografía alicantina.

En la categoría de primer ciclo de secundaria, de nuevo van dos personas de Alicante, Pablo Coloma Arques, del Figueras Pacheco, y Jorge Torrente Sánchez, del Jaime II. También van estudiantes de San Vicente (Enrique Ruiz Carmona), Benidorm (Laura Peña Queralta), Orihuela (Daniel Nieves Roldán), Sant Joan (Moises Llinares Muñoz), Almoradí (Alejandro Lorenzo Martínez) y Elda (Sinforiano Cantos Trigo).

En la de segundo ciclo de secundaria, encontramos a tres estudiantes de Alicante, Carmen Gómez Escolar y Belén Llopis Mengual, del colegio Maristas, y Lluís Olivas Marco, del Figueras Pacheco. También encontramos a dos estudiantes de Orihuela, David Pardo Simón y Manuel Esquer Cerezo, del Colegio Jesús María San Agustín, y también estudiantes de Mutxamel (Jairo Blanes Ruiz), La Vila Joiosa (Antonio Moll Ramis) y Benidorm (Jorge Peña Queralta).

Enhorabuena a todos ellos, y que disfruten en Benicarló de la fase final.