tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333Fri, 27 Jan 2012 22:38:30 +0000Concurso de SecundariaenlacesñandúIMOproblemasOMEEl PaisPodcastestalmatRadioiberoamericanaEntrevistaCanguro MatemáticoIMCmathcampconcursolibrosmiguel hernandezOpen MatemáticoprimariaOlimpiada de MayoEncuentro PreolímpicoprimerciclomatematicassegundociclointernacionalolimpiadabachilleratoEste blog está escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publico las soluciones. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.http://problemate.blogspot.com/noreply@blogger.com (Proble Mático)Blogger611125tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-8516613144476537559Fri, 27 Jan 2012 22:35:00 +00002012-01-27T23:38:30.669+01:00problemasbachilleratomatematicasEl Pais<p>Concurso de El Pais, octubre de 2011</p><p>Un número es elegante si al sumar los cuadrados de sus cifras, repetir la esta misma operación sobre el resultado obtenio, e iterar este proceso suficientes veces obtenemos finalmente 1.</p><p>Por ejemplo, el número 9.100 es elegante, ya que, primero, 9² + 1² + 0² + 0² = 82. Siguiendo el proceso: 8² + 2² = 68. Iterando una vez más: 6² + 8² = 100. Y, por último, 1² + 0² + 0² = 1.</p><p>El desafío consiste en encontrar infinidad de parejas de números consecutivos tal que ambos sean elegantes.</p><p>Solución: próximamente</p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-8516613144476537559?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/1TqHPiWwTW8" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/01/numeros-elegantes.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)0tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-5091602579663742949Sun, 15 Jan 2012 21:55:00 +00002012-01-15T22:56:23.415+01:00problemasOMEbachilleratomatematicas<p>Fase local de XLVIII Olimpiada Matemática Española, 2011/12</p><p>Sea ABCD un cuadrilátero convexo y P un punto interior. Determinar qué condiciones deben cumplir el cuadrilátero y el punto P para que los cuatro triángulos PAB, PBC, PCD y PDA tengan la misma área</p><p>Solución: próximamente</p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-5091602579663742949?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/Kpm6Qy0kv3o" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/01/cuadrilateros-especiales.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)2tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-6450281850702630491Sat, 07 Jan 2012 22:45:00 +00002012-01-08T00:09:52.183+01:00problemassegundociclomatematicas<p>Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><p>A los habitantes de Torrelandia se les asigna un número de DNI que tiene nueve dígitos.</p><p>A Pitágoras Pi, le han asignado un número que tiene una curiosa particularidad.</p><p>Está formado por nueve cifras distintas, todas del 1 al 9.</p><p>Es divisible entre 9.</p><p>Si le quitamos las última cifra, el número que queda es divisible entre 8.</p><p>Si le quitamos las dos últimas cifras, es divisible entre 7.</p><p>Si le quitamos las tres últimas cifras, es divisible entre 6.</p><p>Y así sucesivamente, hasta que le quitamos las ocho últimas cifras, en cuyo caso es múltiplo de 1, por supuesto.</p><p>¿Podrías indicar cuál es ese número?</p><p>Solución: próximamente</p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-6450281850702630491?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/rNHe2wgA1W0" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/01/el-dni-en-torrelandia.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)6tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-7503679901193584935Sun, 11 Dec 2011 21:30:00 +00002012-01-27T23:34:01.236+01:00problemasbachilleratomatematicasEl Pais<p>Concurso de El Pais, octubre de 2011</p><p>Una persona necesita urgentemente 5.000 euros y los puede conseguir jugando a un juego de azar que consiste en apostar una cantidad de dinero, que ha de ser siempre múltiplo de 1.000, de tal manera que, si gana, recupera lo apostado y consigue además otro tanto.</p><p>El jugador parte con 1.000 euros y juega siempre en cada apuesta de la manera más arriesgada posible para lograr su objetivo, dentro de la lógica (por ejemplo: si tiene 2.000 euros se jugará los 2.000, mientras que si hubiera conseguido 3.000 euros no los jugaría en su totalidad, sino que apostaría únicamente 2.000 euros, ya que en el caso de ganar conseguiría los 5.000 euros y si perdiera se quedaría con 1.000, con la posibilidad de volver a jugar).</p><p>La pregunta es: ¿Qué probabilidad tiene de conseguir los 5.000 euros?</p><p>NOTA IMPORTANTE: Se supone que en cada lance la probabilidad de perder o de ganar es la misma.</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2012/01/apuesta-arriesgada.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-7503679901193584935?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/xakNpFTgCY8" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/12/apuesta-arriesgada.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)6tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-7511456748316906039Sat, 10 Dec 2011 08:00:00 +00002011-12-10T23:45:41.456+01:00problemasprimerciclomatematicas<p>Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><div style="float: right; margin: 0pt 0pt 10px 10px; cursor: pointer; width: 310px;"><p><a href="http://4.bp.blogspot.com/-FOqvJsKlBkw/TuPgDCu2c_I/AAAAAAAABVY/-XYiS2O953s/s1600/sees01.png" imageanchor="1" style="margin-left:1em; margin-bottom:1em"><img border="0" height="277" width="300" src="http://4.bp.blogspot.com/-FOqvJsKlBkw/TuPgDCu2c_I/AAAAAAAABVY/-XYiS2O953s/s320/sees01.png" alt="Escalera de cubos" title="Escalera de cubos" /></a></p><p class="pie">Escalera de cubos</p></div><p>Un grupo de cubos están apilados contra una esquina formando una escalera, de forma que en cada nivel hay un cubo más en cada lado.</p><p>En la figura se muestra una escalera con cuatro niveles. En ella son visibles 27 de las caras de los cubos.</p><p>¿Cuántas caras serían visibles si la escalera tuviera 10 niveles?</p><p>Solución: próximamente</p><br /> <br /><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-7511456748316906039?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/wlX9BCbQ-A4" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/12/escalera-de-cubos.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)7tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-6154813128448927357Sun, 04 Dec 2011 19:51:00 +00002011-12-10T08:48:23.687+01:00problemasprimariamatematicas<p>Fase provincial de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><div style="float: right; margin: 0pt 0pt 10px 10px; cursor: pointer; width: 310px;"><p><a href="http://3.bp.blogspot.com/-WNVWu-Mw-No/TtvVV5gyoaI/AAAAAAAABVM/uEGpzX1z1vI/s1600/trpr13.png" imageanchor="1" style="margin-left:1em; margin-bottom:1em"><img border="0" height="294" width="300" src="http://3.bp.blogspot.com/-WNVWu-Mw-No/TtvVV5gyoaI/AAAAAAAABVM/uEGpzX1z1vI/s320/trpr13.png" alt="cárcel cuadrada" title="cárcel cuadrada" /></a></p><p class="pie">cárcel cuadrada</p></div><p>En una prisión hay 32 prisioneros repartidos en ocho celdas de superficie cuadrada, como se ve en el dibujo.</p><p>En cada una de las celdas de las esquinas sólo hay un preso, y en cada una de las celdas intermedias encontramos siete presos.</p><p>El carcelero cuenta cada noche los prisioneros que hay en cada lado del cuadrado y se asegura de que sean nueve. Una vez que ha hecho el recuento se va a la oficina a controlar las cámaras del exterior.</p><p>Un día cuatro prisioneros consiguieron fugarse sin ser descubiertos. Cuando el carcelero hizo su recuento nocturno no se dio cuenta de nada porque el número de prisioneros de cada lado seguía siendo nueve.</p><p>1) ¿Qué hicieron los prisioneros para burlar al carcelero? ¿Cómo se situaron los presos en las celdas?</p><p>2) Una semana después, volvieron a huir otros cuatro prisioneros y el carcelero tampoco se dio cuenta, pues sus cuentas siguieron siendo correctas. ¿Cómo le volvieron a engañar?</p><p>3) La última semana, después de un recuento sin incidentes del carcelero, llega el alcaide y descubre que sólo hay 20 prisioneros. ¿Cómo puede ser que otros cuatro prisioneros se escaparan sin que el carcelero se diera cuenta?</p><p>Solución: próximamente</p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-6154813128448927357?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/-dA1NebSzQc" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/12/la-fuga.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)6tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-5212344001727322312Thu, 01 Dec 2011 22:00:00 +00002011-12-11T22:33:15.281+01:00problemasbachilleratomatematicasEl Pais<p>Concurso de El Pais, septiembre de 2011<br /> </p><p>Cuando se quiere elegir a un representante entre varios candidatos, muchos dirían que las matemáticas que intervienen en el proceso se reducen a contar el número de votos. Sin embargo, en cuanto se examina la situación con un poco de detalle, se ve que surgen fenómenos extraños.</p><p>Imaginemos que, en unas elecciones a las que se presentan siete candidatos, uno de ellos recibe el 40% de los votos, y que el 60% restante se reparte de igual manera entre los otros seis. Sin pensarlo dos veces declaramos ganador por mayoría simple al primer candidato. Ahora bien, si pidiéramos a los votantes que dijeran no solo cuál es su candidato preferido, sino también quién es el que menos les gusta, podría darse la circunstancia de que todos aquellos que no han votado al candidato ganador lo colocasen en último lugar. Y entonces se habría declarado ganador a un candidato que es... ¡el que menos gusta por mayoría absoluta!</p><p>Este fenómeno se conoce como paradoja de Borda, en honor al matemático e ingeniero francés Jean-Charles de Borda, que vivió en el siglo XVIII. Precisamente con la intención de que el resultado de las elecciones se ajustase mejor a los gustos de los votantes, Borda introdujo un nuevo método de recuento en el que cada elector coloca a todos los candidatos en orden de preferencia. Por cada votante, si el candidato está en la última posición recibe un punto; si está en la penúltima, dos; en la tercera por el final, tres; y así sucesivamente. A continuación se suman todos los puntos y se declara ganador al que más tiene.</p><p>Por ejemplo, en una elección en la que cuatro personas eligen entre tres candidatos A, B y C ordenados del siguiente modo:</p><p>Votante 1: A>B>C</p><p>Votante 2: C>B>A</p><p>Votante 3: B>C>A</p><p>Votante 4: A>B>C</p><p>Así, el candidato A recibe 3+1+1+3=8 puntos, B recibe 2+2+3+2=9 y C recibe 1+3+2+1=7, luego se declara ganador a B. Ahora bien, el método de Borda da un ganador que podría ser distinto del ganador por mayoría. De hecho, si solo hubiésemos tenido en cuenta el candidato preferido, el ganador habría sido A, que tiene 2 votos, en lugar de 1 como B y C.</p><p>Y el desafío de la semana es el siguiente: supongamos que n candidatos se presentan a unas elecciones, ¿qué porcentaje de apoyos tiene que recibir como mínimo un ganador por mayoría para que podamos asegurar que también sería el ganador si el recuento de los votos se hubiera realizado según el método de Borda?</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/12/paradoja-electoral.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-5212344001727322312?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/Y5GR8kMRtI0" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/12/paradoja-electoral.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)1tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-8275524561827118393Sun, 20 Nov 2011 21:45:00 +00002012-01-15T22:51:14.456+01:00problemasOMEbachilleratomatematicas<p>Fase local de Cataluña de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11</p><p>Denotamos por S(n) la suma S(n) = 2010n²⁰¹⁰ - 2009n²⁰⁰⁹ + ... + 4n⁴ - 3n³ + 2n² - n.</p><p>Comprobad que el número T = S(1) + S(2) + S(4) + S(5) + S(6) + S(7) + S(8) + S(9) es positivo, y calculad la cifra de las unidades.</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2012/01/polinomio-de-grado-2010.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-8275524561827118393?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/Ged8wuVxsRY" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/11/polinomio-de-grado-2010.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)0tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-8821466317786591924Sun, 13 Nov 2011 19:30:00 +00002012-01-08T00:10:23.104+01:00problemassegundociclomatematicas<p>Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><p>En Torrelandia, a los condenados a muerte, se les ofrece una última oportunidad de salvar su vida.</p><p>Deben escoger una ficha de una urna en la que hay 55 fichas y dejarla sobre una mesa. Si su cara oculta es blanca, el condenado salvará su vida, mientras que si es negra, directamente se le lanza a una balsa con cocodrilos hambrientos.</p><p>En cierta ocasión, la urna contenía 16 fichas con ambas caras blancas, 25 fichas con una cara blanca y otra negra y 14 con ambas caras negras. El condenado extrajo una ficha y la colocó sobre la mesa, resultando que su cara visible era blanca.</p><p>¿Cuál era en ese momento la probabilidad de salvarse?</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2012/01/en-un-pais-imaginario.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-8821466317786591924?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/PVAFaySfS3g" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/11/en-un-pais-imaginario.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)10tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-6625914097174314643Thu, 10 Nov 2011 21:55:00 +00002011-12-01T23:03:24.097+01:00problemasbachilleratomatematicasEl Pais<p>Concurso de El Pais, septiembre de 2011</p><p>El desafío de esta semana trata de operaciones con números muy grandes. Concretamente, vamos a tomar un número N que, escrito en base 10, tenga 100 cifras. El primero de sus 100 dígitos no puede ser 0, pero por lo demás no hay ninguna restricción.</p><p>A continuación separamos N en dos números: el formado por las 50 primeras cifras, que llamaremos A; y el formado por las 50 últimas cifras, que llamaremos B.</p><p>El desafío consiste en identificar todos los números N para los que se cumple que N=3AB. Como ejemplo, si en vez de trabajar con un número inicial de 100 cifras, lo hiciéramos con uno de dos, valdría el 24, ya que 24=3x2x4. En este caso, sería fácil hacer la comprobación en todos los números de dos cifras (entre el 10 y el 99) y descubriríamos que solo el 24 y el 15 cumplen la condición que se exige. Sin embargo, en el problema que planteamos la comprobación de todos los números no podría hacerse, ni siquiera por ordenador, en el plazo requerido. Es necesario, por tanto, un razonamiento matemático.</p><p>Así, la solución que nos enviéis tiene que contener dos cosas. La primera es una relación de los números N que cumplan la igualdad anterior (N=3AB), si es que hay alguno, y no hace falta que nos digáis cómo los habéis obtenido. La segunda es un razonamiento que demuestre que no hay más soluciones, es decir, que esos son todos los números de cien cifras que cumplen la igualdad. </p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/12/numeros-grandes.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-6625914097174314643?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/ZYZHwmJ7fyw" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/11/numeros-grandes.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)1tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-8379096099578026615Sun, 06 Nov 2011 22:55:00 +00002011-12-10T08:58:36.469+01:00problemasprimerciclomatematicas<p>Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><p>Se hace la siguiente lista de números: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, ...</p><p>Es decir, primero se coloca el primer entero positivo, después los dos primeros, después los tres, y así sucesivamente.</p><p>Determina qué número ocupa la posición 2011.</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/12/numeros-en-fila.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-8379096099578026615?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/iOB-ybrl4mM" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/11/numeros-en-fila.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)2tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-865863525761532117Thu, 03 Nov 2011 21:20:00 +00002011-12-04T20:48:41.234+01:00problemasprimariamatematicas<p>Fase provincial de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><p>Tenemos tres balanzas equilibradas.</p><p>En una de ellas, una jarra equilibra el peso de una botella.</p><p>En otra, una jarra equilibra a una taza y su plato.</p><p>En la tercera, tres platos de los de taza equilibran dos botellas.</p><p>¿Cuántas tazas (sin plato) equilibrarán una jarra?</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/12/el-peso-correcto.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-865863525761532117?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/e4C0J_2-vvM" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/11/el-peso-correcto.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)3tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-6190008804843622580Mon, 31 Oct 2011 15:57:00 +00002011-11-10T22:54:56.772+01:00problemasbachilleratomatematicasEl Pais<p>Concurso de El Pais, septiembre de 2011</p><p>En un colegio dos alumnos que son porteros de fútbol deciden organizar un partido. Ellos han de elegir 10 jugadores cada uno entre 20 de sus compañeros.</p><p>Para ello los 20 jugadores se ponen en fila y cada uno de los porteros ha de ir escogiendo alternativamente uno de los dos jugadores que se encuentran en el extremo de la fila.</p><p>Los porteros conocen el número de goles que cada uno de los jugadores ha marcado en un torneo anterior y el objetivo de ambos es conseguir un equipo que haya marcado más goles que el otro.</p><p>Pues bien, la primera parte del desafío consiste en demostrar que el primero que elige tiene una estrategia para no perder nunca. Es decir, que puede haber empate pero siempre podrá elegir un equipo que sume tantos o más goles que el rival independientemente de cómo se coloquen los jugadores y de los goles que hayan marcado.</p><p>La segunda parte del desafío es la siguiente: ¿Existe una estrategia análoga para el primero o para el segundo en elegir si escogen entre un grupo de 21 jugadores? (se entiende que se quedará un chico sin jugar).</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/11/elegir-un-equipo-goleador.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-6190008804843622580?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/tDHzItRfDaI" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/10/elegir-un-equipo-goleador.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)0tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-3548603808151347092Wed, 26 Oct 2011 21:50:00 +00002011-11-20T22:26:08.993+01:00problemasOMEbachilleratomatematicas<p>Fase local de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11</p><p>Denotamos por N = {1, 2, 3, ...} el conjunto de números naturales excluido el cero, y por N^∗ = {0, 1, 2, 3, ...} el conjunto de números naturales incluido el cero.</p><p>Encontrar todas las funciones f:N → N^∗ que sean crecientes, es decir f(n) ≥ f(m) si n > m, y tales que f(nm) = f(n) + f(m), para todo n, m ∈ N.</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/11/funciones-naturales.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-3548603808151347092?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/8ZEt3uH5TiI" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/10/funciones-naturales.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)0tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-2071517758712415398Thu, 20 Oct 2011 21:30:00 +00002011-11-14T09:26:03.415+01:00problemassegundociclomatematicas<p>Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><p>Con el frío del invierno un estanque de forma rectangular se ha congelado.</p><p>Unos niños, jugando, han lanzado una piedra que ha quedado en un punto de la superficie, sobre el hielo.</p><p>Antonio dice que basta calcular tres longitudes desde la piedra a tres de las esquinas del rectángulo para saber cuánto valdrá la cuarta distancia.</p><p>¿Puedes ayudarle a calcular esa cuarta distancia en función de las otras tres?</p><p>Llama a, b, c a las tres distancias y encuentra la última, x.</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/11/el-estanque-helado.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-2071517758712415398?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/-ouvSHAerzI" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/10/el-estanque-helado.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)1tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-3399476540100673944Sun, 16 Oct 2011 17:40:00 +00002011-10-30T10:44:43.129+01:00problemasbachilleratomatematicasEl Pais<p>Concurso de El Pais, septiembre de 2011</p><div style="float: right; margin: 0pt 0pt 10px 10px; cursor: pointer; width: 310px;"><p><a href="http://3.bp.blogspot.com/-nGksnKJxWmo/TpsW_UhYgpI/AAAAAAAABUc/Rn2XHfAkZTg/s1600/elpais13.png" imageanchor="1" style="margin-left:1em; margin-bottom:1em"><img border="0" height="284" width="300" alt=" Superficie a construir" title=" Superficie a construir" src="http://3.bp.blogspot.com/-nGksnKJxWmo/TpsW_UhYgpI/AAAAAAAABUc/Rn2XHfAkZTg/s320/elpais13.png" /></a></p><p class="pie">Superficie a construir</p></div><p>El desafío de esta semana consiste en describir qué superficie se obtiene pegando los lados del mismo color de la figura plana que se muestra en la imagen que vemos junto al texto.</p><p>Al pegar cada pareja de lados (los rojos, los azules,...etc) el sentido de las flecha debe coincidir; la circunferencia verde tiene que pegarse con la arista verde identificando el punto señalado en la circunferencia con los extremos de la arista; además suponemos que la figura está hecha de un material que podemos deformar todo lo que queramos (¡siempre y cuando no lo rompamos!).</p><p>Puesto que el material del que está hecha la figura es totalmente deformable, podríamos construir muchas superficies distintas, algunas de ellas muy difíciles de describir, pero habrá una que será la más simple de todas. Veamos un estudio matemático de mediados del siglo XIX que puede ayudar a dar con la solución.</p><p>Las superficies se clasifican en superficies con bordes, como el cilindro o la banda de Moebius, y en superficies sin bordes, como la esfera o un flotador.</p><p>Los matemáticos del siglo XIX demostraron que cualquier superficie de una sola pieza, sin bordes, que no sea infinita (un ejemplo de superficie infinita sin bordes es un plano infinito) y que se pueda construir sin problemas en nuestro espacio tridimensional (sin cortarse a sí misma) se puede deformar, sin romperse, en una de las siguientes superficies: o en una esfera, o en un flotador, o en un flotador para 2 personas, o en un flotador para algún número finito de personas con un agujero para cada persona.</p><p>En cuanto a las superficies con bordes, siempre se podrán deformar o en la cinta de Moebius o en una de las anteriores -la esfera, el flotador...- a la que se le ha recortado una cantidad finita de discos; o en combinaciones que no detallamos aquí de estas dos primeras posibilidades. Así por ejemplo, un pantalón se puede deformar hasta ser una esfera a la que le recortamos 3 discos.</p><p>Por tanto, pegando -sin retorcer innecesariamente- los lados del mismo color de la figura de tal manera que el sentido de las flechas coincida y deformándolo todo lo que sea necesario -se puede estirar, contraer...- se puede conseguir exactamente una de las superficies modelo que acabamos de enumerar. La pregunta es: ¿cuál es esa superficie? </p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/10/construyendo-superficies.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-3399476540100673944?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/hsQM_AYWHI0" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/10/construyendo-superficies.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)0tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-5574719059162622088Sat, 15 Oct 2011 15:30:00 +00002011-11-06T23:51:12.657+01:00problemasprimerciclomatematicas<p>Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><p>El director de un colegio se fue de vacaciones a la ciudad de Santander.</p><p>Durante sus días de vacaciones se cumplieron las siguientes afirmaciones:</p><p>- Llovió siete veces por la mañana o por la tarde.</p><p>- Cuando llovió por la tarde la mañana estuvo despejada.</p><p>- Hubo exactamente cinco tardes despejadas y seis mañanas despejadas.</p><p>¿Cuántos días estuvo de vacaciones el director?</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/11/las-vacaciones-del-director.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-5574719059162622088?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/K6P54Dn7WEc" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/10/las-vacaciones-del-director.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)2tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-4115850459757756696Fri, 07 Oct 2011 20:50:00 +00002011-11-03T20:27:43.628+01:00problemasprimariamatematicas<p>Fase autonómica de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><p>Esta noche la mayoria de jóvenes campistas han pedido para cenar tortilla de patatas.</p><p>Fran y Pere son los encargados de pelar un par de sacos con un total de 600 patatas.</p><p>Fran consigue pelar 8 patatas por minuto y Pere 5 patatas por minuto, por lo que le toca quedarse 16 minutos más pelándolas.</p><p>¿Cuántas patatas pela cada uno?</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/11/campamento-de-verano-en-los-pirineos.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-4115850459757756696?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/Kdivi2t9_iU" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/10/campamento-de-verano-en-los-pirineos.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)5tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-8162678770215639227Sun, 02 Oct 2011 20:40:00 +00002011-10-16T19:19:47.852+02:00problemasbachilleratomatematicasEl Pais<p>Concurso de El Pais, septiembre de 2011</p><div style="float: right; margin: 0pt 0pt 10px 10px; cursor: pointer; width: 310px;"><p><a href="http://2.bp.blogspot.com/-yyzW64_2erI/TojLfcDahZI/AAAAAAAABUU/mONqauxkSfY/s1600/elpais12.png" imageanchor="1" style="margin-left:1em; margin-bottom:1em"><img border="0" height="241" width="300" alt="Alfombras triangulares" title="Alfombras triangulares" src="http://2.bp.blogspot.com/-yyzW64_2erI/TojLfcDahZI/AAAAAAAABUU/mONqauxkSfY/s320/elpais12.png" /></a></p><p class="pie">Alfombras triangulares</p></div><p>En una habitación de planta rectangular hay dos alfombras triangulares, una rosa y otra verde, colocadas como se muestra en la figura, de forma que un lado de cada alfombra tapa uno de los lados no paralelos y el vértice contrario llega hasta el lado paralelo al que tapa.</p><p>Se sabe que el área de la parte no cubierta por las alfombras (coloreada en amarillo) mide 4,2 m².</p><p>¿Cuánto mide el área del cuadrilátero determinado por la superposición de las dos alfombras (sombreado en negro en la imagen)?</p><p>La respuesta debe incluir, además del área expresada en metros cuadrados, el razonamiento seguido para llegar a la solución.</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/10/dos-alfombras-triangulares.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-8162678770215639227?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/6WNU2EHR-rw" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/10/dos-alfombras-triangulares.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)2tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-7610107489072954286Sun, 25 Sep 2011 20:10:00 +00002011-10-22T19:48:45.375+02:00problemasOMEbachilleratomatematicas<p>Fase local de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11</p><p>Saber cuál es la ultima cifra de 2009²⁰¹¹ es muy fácil, pero ¿cuántos ceros preceden a esa ultima cifra?<br /> </p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/10/ceros-anteriores.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-7610107489072954286?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/pyHoiAK12Dk" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/09/ceros-anteriores.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)0tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-2328179971111593511Mon, 19 Sep 2011 21:00:00 +00002011-10-20T23:31:13.532+02:00problemassegundociclomatematicas<p>Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011<br /> Calcula la suma de:<br /> 2011² -2010² + 2009² -2008² +................+3² – 2² + 1²<br /> </p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/10/sumando-y-restando-cuadrados.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-2328179971111593511?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/73E3qLe5YeM" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/09/sumando-y-restando-cuadrados.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)2tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-4610448747091056600Sat, 17 Sep 2011 21:15:00 +00002011-10-02T22:10:57.708+02:00problemasbachilleratomatematicasEl Pais<p>Concurso de El Pais, agosto de 2011</p><p>Tenemos una mesa rectangular y un número suficientemente grande de círculos, todos del mismo tamaño. Se consideran dos tipos de distribuciones de círculos sobre el tablero:</p><p>La primera consiste en poner los círculos sobre la mesa, con su centro dentro de ella, de forma que no se superpongan (sí puede haber contacto) y además de forma que no quepa ningún otro círculo. En ese caso diremos que se ha <b>llenado</b> la mesa.</p><p>En la segunda distribución, los círculos sí pueden superponerse y se debe conseguir que todos los puntos de la mesa estén en alguno de ellos (es decir, que no quede a la vista ningún punto del tablero). En ese caso, diremos que se ha <b>tapado</b> la mesa.</p><p>El desafío consiste en demostrar que si la mesa se puede <b>llenar</b> con un número n de círculos, entonces se puede <b>tapar</b> con 4n de ellos.</p><p>NOTA IMPORTANTE: El planteamiento del desafío no dice nada sobre las medidas de los círculos ni de la mesa, que son totalmente arbitrarias. No se trata por tanto de calcular el número de discos o el tamaño que deberían tener, sino de justificar que la afirmación de que una mesa que se llena con n círculos se tapa con 4n círculos es siempre cierta. Sin embargo, podemos tomar como unidad la medida del círculo, para fijar conceptos.</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/10/llenar-y-tapar-un-rectangulo.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-4610448747091056600?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/tJHOu0OCUxk" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/09/llenar-y-tapat-un-rectangulo.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)0tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-8173112574569720439Fri, 16 Sep 2011 20:20:00 +00002011-10-15T17:28:44.463+02:00problemasprimerciclomatematicas<p>Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><p>Manel ha vendido dos bicicletas al mismo precio: 192€ cada una de ellas.</p><p>Una de las biciletas la ha vendido un 20% más cara de lo que le costó, pero la otra la tuvo que vender un 20% más barata.</p><p>Él piensa que no ha ganado ni ha perdido dinero.</p><p>¿Tiene razón? Justifícalo.<br /> </p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/10/el-precio-de-las-bicicletas.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-8173112574569720439?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/GMjtFiCij7k" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/09/el-precio-de-las-bicicletas.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)2tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-5422234499576293790Mon, 12 Sep 2011 07:00:00 +00002011-10-07T21:27:58.495+02:00problemasprimariamatematicas<p>Fase provincial de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><p>Un niño está jugando con su juego de bloques de construcción.</p><p>Después de hacer un castillo le sobran 4 bloques de 1cm de longitud, 3 bloques de 5cm de longitud y 3 de 25 cm de longitud.</p><p>En ese momento se pregunta: ¿De cuántas maneras diferentes podría combinar estos bloques para conseguir todas las longitudes posibles de al menos 1 cm?</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/10/los-bloques.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-5422234499576293790?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/DAMcQDCERdA" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/09/los-bloques.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)0tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-2682573493287917976Sat, 10 Sep 2011 21:45:00 +00002011-09-17T23:13:57.416+02:00problemasbachilleratomatematicasEl Pais<p>Concurso de El Pais, agosto de 2011</p><div style="float: right; margin: 0pt 0pt 10px 10px; cursor: pointer; width: 310px;"><p><a href="http://3.bp.blogspot.com/-sd9eUZV5eP0/TmvgidYEi_I/AAAAAAAABT0/vkud46Jk8cs/s1600/elpais10.png" imageanchor="1" style=" margin-left:1em; margin-bottom:1em"><img border="0" height="300" width="300" src="http://3.bp.blogspot.com/-sd9eUZV5eP0/TmvgidYEi_I/AAAAAAAABT0/vkud46Jk8cs/s320/elpais10.png" /></a></p><p class="pie">Octógono con cuatro distancias</p></div><p>En un cuadrado, es muy fácil observar que no podemos emparejar sus cuatro vértices, sin repetir ninguno, de forma que obtengamos 2 segmentos de longitud distinta. O bien podemos conseguir las dos diagonales, o bien dos de los lados, pero nunca podremos obtener un lado y una diagonal.</p><p>En cambio, en un octógono regular, sí que podemos emparejar sus ocho vértices, sin repetir ninguno, para obtener 4 segmentos de longitud distinta. Numerando los vértices del octógono del 1 al 8 en el sentido de las agujas del reloj, una forma de emparejarlos sería: (1,2), (3,6), (5,7) y (4,8).</p><p>El desafío consiste en decir si es posible emparejar los vértices de un polígono regular de 12 lados (un dodecágono regular), sin repetir ninguno, para obtener en este caso 6 segmentos de longitud distinta. En caso de que sí se pueda, hay que encontrar una combinación de 6 pares de vértices como la que hemos obtenido para el octógono. En caso de que no se pueda, hay que dar un razonamiento lógico que nos asegure por qué no.</p><p>NOTA IMPORTANTE: Recomendamos que no intentéis resolverlo probando todos los casos posibles. <br /> <br /> </p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/09/seis-distancias-en-doce-vertices.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-2682573493287917976?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/W-pj8EsHe9M" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/09/seis-distancias-en-doce-vertices.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)0