tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333Sun, 27 May 2012 20:05:21 +0000Concurso de SecundariaenlacesñandúIMOproblemasOMEEl PaisPodcastestalmatRadioiberoamericanaEntrevistaCanguro MatemáticoIMCmathcampconcursolibrosmiguel hernandezOpen MatemáticoprimariaOlimpiada de MayoEncuentro PreolímpicoprimerciclomatematicassegundociclointernacionalolimpiadabachilleratoEste blog está escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publico las soluciones. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.http://problemate.blogspot.com/noreply@blogger.com (Proble Mático)Blogger620125tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-7608415678509215628Sun, 27 May 2012 20:05:00 +00002012-05-27T22:05:21.986+02:00problemasbachilleratomatematicasEl Pais<p>Concurso de El Pais, noviembre de 2011</p><div style="float: right; margin: 0pt 0pt 10px 10px; cursor: pointer; width: 310px;"><p><a href="http://3.bp.blogspot.com/-OKt5MiO5LeE/T8KIUYJdTUI/AAAAAAAABWk/OvvXospA9Lo/s1600/elpais.png" imageanchor="1" style="margin-left:1em; margin-bottom:1em"><img border="0" height="310" width="300" alt="Colina cónica" title="Colina cónica" src="http://3.bp.blogspot.com/-OKt5MiO5LeE/T8KIUYJdTUI/AAAAAAAABWk/OvvXospA9Lo/s320/elpais.png" /></a></p><p class="pie">Colina cónica</p></div><p>Dos hermanos gusanitos de seda han discutido quién de los dos llega antes a casa desde un punto que está en la base de una colina. La colina tiene forma de cono recto con una base circular de 1 metro de radio y una ladera de longitud 2 metros. La casa se encuentra en el punto diametralmente opuesto a aquel en el que se encuentran los gusanitos.</p><p>Uno de los gusanitos es más astuto y sabe calcular el camino más corto, mientras que su hermano es más alegre y escoge el primer camino que encuentra, la base del cono.</p><p>Sin embargo, ninguno de los dos sabe que en su casa les está esperando una golondrina muerta de hambre que se comerá al primero que llegué. En el instante que el gusanito alegre echa a andar el astuto se pone a calcular la trayectoria óptima, en lo que emplea exactamente 3 minutos. Una vez la tiene empieza su camino.</p><p>Suponiendo que los dos gusanos se desplazan con la misma velocidad de 1 mm/s, el desafío consiste en determinar quién será la víctima de la golondrina ¿el gusanito alegre o el gusanito astuto?</p><p>Para que la respuesta sea considerada correcta habrá que indicar no sólo el gusanito-víctima, sino también los cálculos que han llevado a la conclusión.</p><p>Solución: próximamente</p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-7608415678509215628?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/4xIEXsdmHbk" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/05/dos-gusanitos.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)0tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-8796472180861421151Wed, 25 Apr 2012 09:50:00 +00002012-04-26T00:05:48.497+02:00problemasprimerciclomatematicas<p>Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><div style="float: right; margin: 0pt 0pt 10px 10px; cursor: pointer; width: 310px;"><p><a href="http://1.bp.blogspot.com/-KgMtYQB1TZA/T5h0hkUgrII/AAAAAAAABWQ/UrRKNWVAJLU/s1600/pres01.png" imageanchor="1" style="clear:right; float:right; margin-left:1em; margin-bottom:1em"><img border="0" height="235" width="300" src="http://1.bp.blogspot.com/-KgMtYQB1TZA/T5h0hkUgrII/AAAAAAAABWQ/UrRKNWVAJLU/s320/pres01.png" alt="Triángulo dividido" title="Triángulo dividido" /></a></p><p class="pie">Triángulo dividido</p></div><p>Dentro de cierto triángulo ABC, escogemos un punto concreto D de la base AC, y un punto E del lado BC, que cumplen una curiosa relación.</p><p>En la figura resultante, tenemos que AB mide lo mismo que BC y BD mide lo mismo que BE.</p><p>Calcula la medida del ángulo x, que forma ED con CD, sabiendo que el ángulo entre BD y BA forma 40 grados.</p><p>Solución: próximamente</p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-8796472180861421151?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/MXXTtzlH5mI" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/04/los-angulos-del-triangulo.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)4tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-2318822596457709649Tue, 17 Apr 2012 21:00:00 +00002012-04-17T23:00:00.530+02:00problemasprimariamatematicas<p>Fase autonómica de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><p>Cuatro famosos futbolistas discuten sobre quién fue el autor del último gol que le dio el triunfo a uno de sus equipos.</p><p>Andrés dice "Roberto es el autor del gol".</p><p>Roberto dice "Cristiano es el autor del gol".</p><p>Cristiano dice que Roberto ha mentido al decir que él ha sido el que ha metido el gol.</p><p>Leo dice que él no marcó el último gol.</p><p>Sabiendo que sólo uno de ellos dice la verdad ¿puedes averiguar quién fue el autor del gol?</p><p>Nota: los nombres de los jugadores no guardan ninguan relación con jugadores reales, por supuesto.</p><p>Solución: próximamente</p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-2318822596457709649?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/il3Z6b1gink" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/04/el-gol-decisivo.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)7tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-1728309727948364894Sat, 07 Apr 2012 18:55:00 +00002012-05-27T21:51:25.296+02:00problemasbachilleratomatematicasEl Pais<p>Concurso de El Pais, octubre de 2011</p><p>Si lanzamos repetidas veces una moneda que no esté trucada y anotamos 1 cuando sale cara y 0 cuando sale cruz, conseguimos una serie de cifras binarias o bits que es aleatoria y no tiene sesgo. Por ejemplo, yo he conseguido una que empieza así:</p><p>0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1</p><p>Decimos que la serie no tiene sesgo porque en cada tirada la probabilidad de 1 es igual a la probabilidad de 0. Decimos que la serie es aleatoria porque nunca se puede adivinar el resultado que saldrá en la siguiente tirada, a diferencia de lo que, por ejemplo, pasa con estas otras series:</p><p>0 1 0 1 0 1 0 1....</p><p>0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1...</p><p>dentro de las cuales detectamos un patrón con el que, si conocemos unos cuantos bits de la serie, podemos adivinar cuál será el siguiente bit. (Apostaríamos tranquilos a que las dos últimas series no han sido obtenidas lanzando una moneda).</p><p>¿Para qué sirven las series de bits aleatorias y sin sesgo? Por ejemplo, para generar números aleatorios del tipo que se usan para sortear el ganador en cada desafío matemático de EL PAÍS. Pero esta semana no tenemos ninguna moneda. ¿Que podemos hacer?... Por suerte, hemos conseguido unas tabas.</p><p>La taba es un hueso que los mamíferos tenemos en el pie. Las de los corderos se usan para jugar desde tiempo inmemorial: aparecen en estatuas romanas y también en el cuadro Juegos de niños de Brueghel el Viejo. Los habitantes de algunos lugares de España mantienen una ancestral tradición de reunirse para apostar usando tabas. Por ejemplo, estas que me han prestado vienen de Colmenar Viejo, cerca de Madrid, en donde se juega con ellas los días de San Andrés y de Santa Lucía.</p><p>Cualquier taba está cargada porque no es simétrica respecto a su centro de gravedad y, aunque tiene cuatro formas distintas de caer, nosotros tendremos en cuenta dos posibles resultados. Vamos a lanzar repetidas veces una misma taba y anotamos 1 cuando queda hacia arriba la parte hundida del hueso y anotamos 0 si la taba cae de cualquier otra forma. La taba tiene carga, así que -casi seguro- obtendremos una serie aleatoria de bits con sesgo. Notemos que los tamaños y las formas de las tabas varían y por eso cada taba tiene su propia carga, distinta de las demás.</p><p>El desafío de esta semana es el siguiente: a partir de la serie aleatoria de bits conseguida lanzando repetidamente una misma taba, obtener una serie de bits -que necesariamente será más corta que la serie de partida- que no se pueda distinguir de la que produce una moneda sin trucar, es decir: obtener una serie de bits aleatoria y sin sesgo.</p><p>La solución a este desafío debe incluir una breve explicación de las operaciones y los pasos que llevan desde la serie de bits de la taba hasta una serie aleatoria de bits sin sesgo. La solución ha de funcionar usando una única taba, que puede ser cualquiera: por ejemplo, una de las tres que yo tengo aquí u otra taba que vosotros tengáis.</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com.es/2012/05/azarosa-taba.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-1728309727948364894?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/_rNVw7q3kUc" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/04/azarosa-taba.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)1tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-6658724183025807129Wed, 22 Feb 2012 17:00:00 +00002012-02-22T18:00:01.807+01:00problemasOMEbachilleratomatematicas<p>Fase local de XLVIII Olimpiada Matemática Española, 2011/12</p><p>Tenemos una colección de esferas iguales que apilamos formando un tetraedro cuyas aristas tienen todas n esferas. Calcula, en función de n, el número total de puntos de tangencia (contactos) que hay entre las esferas del montón.</p><p>Solución: próximamente</p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-6658724183025807129?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/SPOmbnSgOnk" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/02/esferas-amontonadas.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)5tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-993610204195841629Fri, 17 Feb 2012 22:10:00 +00002012-02-17T23:14:20.918+01:00problemassegundociclomatematicas<p>Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><p>Cinco amigas de cuarto de ESO deciden hacerse una foto, cada una con un vestido de diferente color. En la foto, todas se colocan mirando a la cámara, de forma que la primera es la que está más a la izquierda, y la última la de la derecha. Con los siguientes datos, responde a la pregunta planteada.</p><p>Cada una es de una comunidad diferente, las cinco compran su ropa en una tienda diferente, beben una bebida distinta, y tienen un reloj de marca diferente.</p><p>1.- la catalana se sitúa en el primer lugar, junto a la que está vestida de azul.</p><p>2.- La que se sitúa en el centro bebe leche.</p><p>3.- La vasca va vestida de rojo.</p><p>4.- La manchega compra su ropa en H&M.</p><p>5.- La gallega bebe té.</p><p>6.- La vestida de verde se sitúa a la izquierda de la vestida de blanco.</p><p>7.- La vestida de verde toma café.</p><p>8.- La que lleva un omega compra su ropa en Sfera.</p><p>9.- La de amarillo lleva un reloj Swatch.</p><p>10.- La que lleva un Lotus se sitúa al lado de la que compra en Zara.</p><p>11.- La que compra en Berska se sitúa al lado de la que lleva un reloj Swatch.</p><p>12.- La que lleva un reloj Calvin Klein bebe cerveza.</p><p>13.- La andaluza lleva un reloj Cartier.</p><p>14.- La que lleva un reloj Lotus está al lado de la que bebe agua.</p><p>¿Cuál de ellas compra en Stradivarius? </p><p>Solución: próximamente</p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-993610204195841629?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/7hEpHHMprQw" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/02/cinco-amigas.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)7tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-424730931608941303Sun, 05 Feb 2012 21:50:00 +00002012-04-07T20:50:58.465+02:00problemasbachilleratomatematicasEl Pais<p>Concurso de El Pais, octubre de 2011</p><div style="float: right; margin: 0pt 0pt 10px 10px; cursor: pointer; width: 310px;"><p><a href="http://2.bp.blogspot.com/-XrmQfZGViX4/Ty7613dGjYI/AAAAAAAABVs/UO2B03Zfoa4/s1600/elpais1.png" imageanchor="1" style=" margin-left:1em; margin-bottom:1em"><img border="0" height="210" width="300" alt="Caja con forma de prisma" title="Caja con forma de prisma" src="http://2.bp.blogspot.com/-XrmQfZGViX4/Ty7613dGjYI/AAAAAAAABVs/UO2B03Zfoa4/s320/elpais1.png" /></a></p><p class="pie">Caja con forma de prisma</p></div><br /> <p>Cinco partículas están atrapadas en el interior de una caja con forma de prisma triangular. Su base es un triángulo equilátero de lado 60 cm., y su altura es 40 cm..</p><p>Demuestra que siempre podemos encontrar dos de estas partículas que están a menos de 50 centímetros.<br /> </p><p><a href="http://solumate.blogspot.com.es/2012/04/particulas-en-movimiento.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-424730931608941303?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/N_rexPMbR2A" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/02/particulas-en-movimiento.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)1tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-1073328222008161004Fri, 03 Feb 2012 22:40:00 +00002012-04-25T23:49:57.272+02:00problemasprimerciclomatematicas<p>Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><p>Ana vació sobre la mesa una caja de cerillas, distribuyéndolas en tres montones diferentes.</p><p>En esos montones había un total de 48 cerillas, pero observó lo siguiente: "Si del primer montón paso al segundo tantas cerillas como había en este último, y entonces del segundo paso al tercero tantas cerillas como había en este tercer montón, y después, del tercer montón paso al primero tantas cerillas como había en ese momento en el primero, al terminar este proceso los tres montones serán iguales".</p><p>¿Cuántas cerillas había al principio en cada montón?</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com.es/2012/04/las-cerillas.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-1073328222008161004?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/EkONHXdgMtc" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/02/las-cerillas.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)4tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-5666560283283423351Sun, 29 Jan 2012 20:45:00 +00002012-04-17T22:51:25.354+02:00problemasprimariamatematicas<p>Fase autonómica de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><p>El 20 de mayo se hizo entrega de los diplomas a la promoción de medicina de 2011.</p><p>Los organizadores del acto pensaron que, para acabar más pronto, los alumnos deberían subir al escenario en grupos.</p><p>Pero al tratar de agruparlos de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro, de cinco en cinco o de seis en seis, vieron que en todos los casos sobraba un alumno.</p><p>Sin embargo, agrupándolos de siete en siete, todos los grupos quedaban igual, con lo que el acto se llevo a cabo de esta forma.</p><p>Sabiendo que eran menos de 400 ¿podrías decir cuántos alumnos eran en la promoción?</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com.es/2012/04/entrega-de-diplomas.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-5666560283283423351?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/7x4HD0pgXsA" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/01/entrega-de-diplomas.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)11tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-8516613144476537559Fri, 27 Jan 2012 22:35:00 +00002012-02-05T22:43:46.724+01:00problemasbachilleratomatematicasEl Pais<p>Concurso de El Pais, octubre de 2011</p><p>Un número es elegante si al sumar los cuadrados de sus cifras, repetir la esta misma operación sobre el resultado obtenio, e iterar este proceso suficientes veces obtenemos finalmente 1.</p><p>Por ejemplo, el número 9.100 es elegante, ya que, primero, 9² + 1² + 0² + 0² = 82. Siguiendo el proceso: 8² + 2² = 68. Iterando una vez más: 6² + 8² = 100. Y, por último, 1² + 0² + 0² = 1.</p><p>El desafío consiste en encontrar infinidad de parejas de números consecutivos tal que ambos sean elegantes.</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2012/02/numeros-elegantes.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-8516613144476537559?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/1TqHPiWwTW8" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/01/numeros-elegantes.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)0tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-5091602579663742949Sun, 15 Jan 2012 21:55:00 +00002012-02-22T17:51:43.858+01:00problemasOMEbachilleratomatematicas<p>Fase local de XLVIII Olimpiada Matemática Española, 2011/12</p><p>Sea ABCD un cuadrilátero convexo y P un punto interior. Determinar qué condiciones deben cumplir el cuadrilátero y el punto P para que los cuatro triángulos PAB, PBC, PCD y PDA tengan la misma área</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2012/02/cuadrilateros-especiales.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-5091602579663742949?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/Kpm6Qy0kv3o" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/01/cuadrilateros-especiales.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)2tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-6450281850702630491Sat, 07 Jan 2012 22:45:00 +00002012-02-17T22:55:13.390+01:00problemassegundociclomatematicas<p>Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><p>A los habitantes de Torrelandia se les asigna un número de DNI que tiene nueve dígitos.</p><p>A Pitágoras Pi, le han asignado un número que tiene una curiosa particularidad.</p><p>Está formado por nueve cifras distintas, todas del 1 al 9.</p><p>Es divisible entre 9.</p><p>Si le quitamos las última cifra, el número que queda es divisible entre 8.</p><p>Si le quitamos las dos últimas cifras, es divisible entre 7.</p><p>Si le quitamos las tres últimas cifras, es divisible entre 6.</p><p>Y así sucesivamente, hasta que le quitamos las ocho últimas cifras, en cuyo caso es múltiplo de 1, por supuesto.</p><p>¿Podrías indicar cuál es ese número?</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2012/02/el-dni-en-torrelandia.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-6450281850702630491?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/rNHe2wgA1W0" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2012/01/el-dni-en-torrelandia.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)8tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-7503679901193584935Sun, 11 Dec 2011 21:30:00 +00002012-01-27T23:34:01.236+01:00problemasbachilleratomatematicasEl Pais<p>Concurso de El Pais, octubre de 2011</p><p>Una persona necesita urgentemente 5.000 euros y los puede conseguir jugando a un juego de azar que consiste en apostar una cantidad de dinero, que ha de ser siempre múltiplo de 1.000, de tal manera que, si gana, recupera lo apostado y consigue además otro tanto.</p><p>El jugador parte con 1.000 euros y juega siempre en cada apuesta de la manera más arriesgada posible para lograr su objetivo, dentro de la lógica (por ejemplo: si tiene 2.000 euros se jugará los 2.000, mientras que si hubiera conseguido 3.000 euros no los jugaría en su totalidad, sino que apostaría únicamente 2.000 euros, ya que en el caso de ganar conseguiría los 5.000 euros y si perdiera se quedaría con 1.000, con la posibilidad de volver a jugar).</p><p>La pregunta es: ¿Qué probabilidad tiene de conseguir los 5.000 euros?</p><p>NOTA IMPORTANTE: Se supone que en cada lance la probabilidad de perder o de ganar es la misma.</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2012/01/apuesta-arriesgada.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-7503679901193584935?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/xakNpFTgCY8" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/12/apuesta-arriesgada.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)7tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-7511456748316906039Sat, 10 Dec 2011 08:00:00 +00002012-02-03T23:35:26.516+01:00problemasprimerciclomatematicas<p>Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><div style="float: right; margin: 0pt 0pt 10px 10px; cursor: pointer; width: 310px;"><p><a href="http://4.bp.blogspot.com/-FOqvJsKlBkw/TuPgDCu2c_I/AAAAAAAABVY/-XYiS2O953s/s1600/sees01.png" imageanchor="1" style="margin-left:1em; margin-bottom:1em"><img border="0" height="277" width="300" src="http://4.bp.blogspot.com/-FOqvJsKlBkw/TuPgDCu2c_I/AAAAAAAABVY/-XYiS2O953s/s320/sees01.png" alt="Escalera de cubos" title="Escalera de cubos" /></a></p><p class="pie">Escalera de cubos</p></div><p>Un grupo de cubos están apilados contra una esquina formando una escalera, de forma que en cada nivel hay un cubo más en cada lado.</p><p>En la figura se muestra una escalera con cuatro niveles. En ella son visibles 27 de las caras de los cubos.</p><p>¿Cuántas caras serían visibles si la escalera tuviera 10 niveles?</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2012/02/escalera-de-cubos.html">Solución</a></p><br /> <br /><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-7511456748316906039?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/wlX9BCbQ-A4" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/12/escalera-de-cubos.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)10tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-6154813128448927357Sun, 04 Dec 2011 19:51:00 +00002012-01-29T21:35:41.901+01:00problemasprimariamatematicas<p>Fase provincial de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><div style="float: right; margin: 0pt 0pt 10px 10px; cursor: pointer; width: 310px;"><p><a href="http://3.bp.blogspot.com/-WNVWu-Mw-No/TtvVV5gyoaI/AAAAAAAABVM/uEGpzX1z1vI/s1600/trpr13.png" imageanchor="1" style="margin-left:1em; margin-bottom:1em"><img border="0" height="294" width="300" src="http://3.bp.blogspot.com/-WNVWu-Mw-No/TtvVV5gyoaI/AAAAAAAABVM/uEGpzX1z1vI/s320/trpr13.png" alt="cárcel cuadrada" title="cárcel cuadrada" /></a></p><p class="pie">cárcel cuadrada</p></div><p>En una prisión hay 32 prisioneros repartidos en ocho celdas de superficie cuadrada, como se ve en el dibujo.</p><p>En cada una de las celdas de las esquinas sólo hay un preso, y en cada una de las celdas intermedias encontramos siete presos.</p><p>El carcelero cuenta cada noche los prisioneros que hay en cada lado del cuadrado y se asegura de que sean nueve. Una vez que ha hecho el recuento se va a la oficina a controlar las cámaras del exterior.</p><p>Un día cuatro prisioneros consiguieron fugarse sin ser descubiertos. Cuando el carcelero hizo su recuento nocturno no se dio cuenta de nada porque el número de prisioneros de cada lado seguía siendo nueve.</p><p>1) ¿Qué hicieron los prisioneros para burlar al carcelero? ¿Cómo se situaron los presos en las celdas?</p><p>2) Una semana después, volvieron a huir otros cuatro prisioneros y el carcelero tampoco se dio cuenta, pues sus cuentas siguieron siendo correctas. ¿Cómo le volvieron a engañar?</p><p>3) La última semana, después de un recuento sin incidentes del carcelero, llega el alcaide y descubre que sólo hay 20 prisioneros. ¿Cómo puede ser que otros cuatro prisioneros se escaparan sin que el carcelero se diera cuenta?</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2012/01/la-fuga.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-6154813128448927357?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/-dA1NebSzQc" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/12/la-fuga.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)8tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-5212344001727322312Thu, 01 Dec 2011 22:00:00 +00002011-12-11T22:33:15.281+01:00problemasbachilleratomatematicasEl Pais<p>Concurso de El Pais, septiembre de 2011<br /> </p><p>Cuando se quiere elegir a un representante entre varios candidatos, muchos dirían que las matemáticas que intervienen en el proceso se reducen a contar el número de votos. Sin embargo, en cuanto se examina la situación con un poco de detalle, se ve que surgen fenómenos extraños.</p><p>Imaginemos que, en unas elecciones a las que se presentan siete candidatos, uno de ellos recibe el 40% de los votos, y que el 60% restante se reparte de igual manera entre los otros seis. Sin pensarlo dos veces declaramos ganador por mayoría simple al primer candidato. Ahora bien, si pidiéramos a los votantes que dijeran no solo cuál es su candidato preferido, sino también quién es el que menos les gusta, podría darse la circunstancia de que todos aquellos que no han votado al candidato ganador lo colocasen en último lugar. Y entonces se habría declarado ganador a un candidato que es... ¡el que menos gusta por mayoría absoluta!</p><p>Este fenómeno se conoce como paradoja de Borda, en honor al matemático e ingeniero francés Jean-Charles de Borda, que vivió en el siglo XVIII. Precisamente con la intención de que el resultado de las elecciones se ajustase mejor a los gustos de los votantes, Borda introdujo un nuevo método de recuento en el que cada elector coloca a todos los candidatos en orden de preferencia. Por cada votante, si el candidato está en la última posición recibe un punto; si está en la penúltima, dos; en la tercera por el final, tres; y así sucesivamente. A continuación se suman todos los puntos y se declara ganador al que más tiene.</p><p>Por ejemplo, en una elección en la que cuatro personas eligen entre tres candidatos A, B y C ordenados del siguiente modo:</p><p>Votante 1: A>B>C</p><p>Votante 2: C>B>A</p><p>Votante 3: B>C>A</p><p>Votante 4: A>B>C</p><p>Así, el candidato A recibe 3+1+1+3=8 puntos, B recibe 2+2+3+2=9 y C recibe 1+3+2+1=7, luego se declara ganador a B. Ahora bien, el método de Borda da un ganador que podría ser distinto del ganador por mayoría. De hecho, si solo hubiésemos tenido en cuenta el candidato preferido, el ganador habría sido A, que tiene 2 votos, en lugar de 1 como B y C.</p><p>Y el desafío de la semana es el siguiente: supongamos que n candidatos se presentan a unas elecciones, ¿qué porcentaje de apoyos tiene que recibir como mínimo un ganador por mayoría para que podamos asegurar que también sería el ganador si el recuento de los votos se hubiera realizado según el método de Borda?</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/12/paradoja-electoral.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-5212344001727322312?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/Y5GR8kMRtI0" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/12/paradoja-electoral.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)1tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-8275524561827118393Sun, 20 Nov 2011 21:45:00 +00002012-01-15T22:51:14.456+01:00problemasOMEbachilleratomatematicas<p>Fase local de Cataluña de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11</p><p>Denotamos por S(n) la suma S(n) = 2010n²⁰¹⁰ - 2009n²⁰⁰⁹ + ... + 4n⁴ - 3n³ + 2n² - n.</p><p>Comprobad que el número T = S(1) + S(2) + S(4) + S(5) + S(6) + S(7) + S(8) + S(9) es positivo, y calculad la cifra de las unidades.</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2012/01/polinomio-de-grado-2010.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-8275524561827118393?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/Ged8wuVxsRY" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/11/polinomio-de-grado-2010.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)0tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-8821466317786591924Sun, 13 Nov 2011 19:30:00 +00002012-01-08T00:10:23.104+01:00problemassegundociclomatematicas<p>Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><p>En Torrelandia, a los condenados a muerte, se les ofrece una última oportunidad de salvar su vida.</p><p>Deben escoger una ficha de una urna en la que hay 55 fichas y dejarla sobre una mesa. Si su cara oculta es blanca, el condenado salvará su vida, mientras que si es negra, directamente se le lanza a una balsa con cocodrilos hambrientos.</p><p>En cierta ocasión, la urna contenía 16 fichas con ambas caras blancas, 25 fichas con una cara blanca y otra negra y 14 con ambas caras negras. El condenado extrajo una ficha y la colocó sobre la mesa, resultando que su cara visible era blanca.</p><p>¿Cuál era en ese momento la probabilidad de salvarse?</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2012/01/en-un-pais-imaginario.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-8821466317786591924?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/PVAFaySfS3g" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/11/en-un-pais-imaginario.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)10tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-6625914097174314643Thu, 10 Nov 2011 21:55:00 +00002011-12-01T23:03:24.097+01:00problemasbachilleratomatematicasEl Pais<p>Concurso de El Pais, septiembre de 2011</p><p>El desafío de esta semana trata de operaciones con números muy grandes. Concretamente, vamos a tomar un número N que, escrito en base 10, tenga 100 cifras. El primero de sus 100 dígitos no puede ser 0, pero por lo demás no hay ninguna restricción.</p><p>A continuación separamos N en dos números: el formado por las 50 primeras cifras, que llamaremos A; y el formado por las 50 últimas cifras, que llamaremos B.</p><p>El desafío consiste en identificar todos los números N para los que se cumple que N=3AB. Como ejemplo, si en vez de trabajar con un número inicial de 100 cifras, lo hiciéramos con uno de dos, valdría el 24, ya que 24=3x2x4. En este caso, sería fácil hacer la comprobación en todos los números de dos cifras (entre el 10 y el 99) y descubriríamos que solo el 24 y el 15 cumplen la condición que se exige. Sin embargo, en el problema que planteamos la comprobación de todos los números no podría hacerse, ni siquiera por ordenador, en el plazo requerido. Es necesario, por tanto, un razonamiento matemático.</p><p>Así, la solución que nos enviéis tiene que contener dos cosas. La primera es una relación de los números N que cumplan la igualdad anterior (N=3AB), si es que hay alguno, y no hace falta que nos digáis cómo los habéis obtenido. La segunda es un razonamiento que demuestre que no hay más soluciones, es decir, que esos son todos los números de cien cifras que cumplen la igualdad. </p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/12/numeros-grandes.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-6625914097174314643?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/ZYZHwmJ7fyw" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/11/numeros-grandes.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)1tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-8379096099578026615Sun, 06 Nov 2011 22:55:00 +00002011-12-10T08:58:36.469+01:00problemasprimerciclomatematicas<p>Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><p>Se hace la siguiente lista de números: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, ...</p><p>Es decir, primero se coloca el primer entero positivo, después los dos primeros, después los tres, y así sucesivamente.</p><p>Determina qué número ocupa la posición 2011.</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/12/numeros-en-fila.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-8379096099578026615?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/iOB-ybrl4mM" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/11/numeros-en-fila.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)2tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-865863525761532117Thu, 03 Nov 2011 21:20:00 +00002011-12-04T20:48:41.234+01:00problemasprimariamatematicas<p>Fase provincial de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><p>Tenemos tres balanzas equilibradas.</p><p>En una de ellas, una jarra equilibra el peso de una botella.</p><p>En otra, una jarra equilibra a una taza y su plato.</p><p>En la tercera, tres platos de los de taza equilibran dos botellas.</p><p>¿Cuántas tazas (sin plato) equilibrarán una jarra?</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/12/el-peso-correcto.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-865863525761532117?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/e4C0J_2-vvM" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/11/el-peso-correcto.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)6tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-6190008804843622580Mon, 31 Oct 2011 15:57:00 +00002011-11-10T22:54:56.772+01:00problemasbachilleratomatematicasEl Pais<p>Concurso de El Pais, septiembre de 2011</p><p>En un colegio dos alumnos que son porteros de fútbol deciden organizar un partido. Ellos han de elegir 10 jugadores cada uno entre 20 de sus compañeros.</p><p>Para ello los 20 jugadores se ponen en fila y cada uno de los porteros ha de ir escogiendo alternativamente uno de los dos jugadores que se encuentran en el extremo de la fila.</p><p>Los porteros conocen el número de goles que cada uno de los jugadores ha marcado en un torneo anterior y el objetivo de ambos es conseguir un equipo que haya marcado más goles que el otro.</p><p>Pues bien, la primera parte del desafío consiste en demostrar que el primero que elige tiene una estrategia para no perder nunca. Es decir, que puede haber empate pero siempre podrá elegir un equipo que sume tantos o más goles que el rival independientemente de cómo se coloquen los jugadores y de los goles que hayan marcado.</p><p>La segunda parte del desafío es la siguiente: ¿Existe una estrategia análoga para el primero o para el segundo en elegir si escogen entre un grupo de 21 jugadores? (se entiende que se quedará un chico sin jugar).</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/11/elegir-un-equipo-goleador.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-6190008804843622580?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/tDHzItRfDaI" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/10/elegir-un-equipo-goleador.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)0tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-3548603808151347092Wed, 26 Oct 2011 21:50:00 +00002011-11-20T22:26:08.993+01:00problemasOMEbachilleratomatematicas<p>Fase local de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11</p><p>Denotamos por N = {1, 2, 3, ...} el conjunto de números naturales excluido el cero, y por N^∗ = {0, 1, 2, 3, ...} el conjunto de números naturales incluido el cero.</p><p>Encontrar todas las funciones f:N → N^∗ que sean crecientes, es decir f(n) ≥ f(m) si n > m, y tales que f(nm) = f(n) + f(m), para todo n, m ∈ N.</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/11/funciones-naturales.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-3548603808151347092?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/8ZEt3uH5TiI" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/10/funciones-naturales.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)0tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-2071517758712415398Thu, 20 Oct 2011 21:30:00 +00002011-11-14T09:26:03.415+01:00problemassegundociclomatematicas<p>Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011</p><p>Con el frío del invierno un estanque de forma rectangular se ha congelado.</p><p>Unos niños, jugando, han lanzado una piedra que ha quedado en un punto de la superficie, sobre el hielo.</p><p>Antonio dice que basta calcular tres longitudes desde la piedra a tres de las esquinas del rectángulo para saber cuánto valdrá la cuarta distancia.</p><p>¿Puedes ayudarle a calcular esa cuarta distancia en función de las otras tres?</p><p>Llama a, b, c a las tres distancias y encuentra la última, x.</p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/11/el-estanque-helado.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-2071517758712415398?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/-ouvSHAerzI" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/10/el-estanque-helado.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)1tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-3399476540100673944Sun, 16 Oct 2011 17:40:00 +00002011-10-30T10:44:43.129+01:00problemasbachilleratomatematicasEl Pais<p>Concurso de El Pais, septiembre de 2011</p><div style="float: right; margin: 0pt 0pt 10px 10px; cursor: pointer; width: 310px;"><p><a href="http://3.bp.blogspot.com/-nGksnKJxWmo/TpsW_UhYgpI/AAAAAAAABUc/Rn2XHfAkZTg/s1600/elpais13.png" imageanchor="1" style="margin-left:1em; margin-bottom:1em"><img border="0" height="284" width="300" alt=" Superficie a construir" title=" Superficie a construir" src="http://3.bp.blogspot.com/-nGksnKJxWmo/TpsW_UhYgpI/AAAAAAAABUc/Rn2XHfAkZTg/s320/elpais13.png" /></a></p><p class="pie">Superficie a construir</p></div><p>El desafío de esta semana consiste en describir qué superficie se obtiene pegando los lados del mismo color de la figura plana que se muestra en la imagen que vemos junto al texto.</p><p>Al pegar cada pareja de lados (los rojos, los azules,...etc) el sentido de las flecha debe coincidir; la circunferencia verde tiene que pegarse con la arista verde identificando el punto señalado en la circunferencia con los extremos de la arista; además suponemos que la figura está hecha de un material que podemos deformar todo lo que queramos (¡siempre y cuando no lo rompamos!).</p><p>Puesto que el material del que está hecha la figura es totalmente deformable, podríamos construir muchas superficies distintas, algunas de ellas muy difíciles de describir, pero habrá una que será la más simple de todas. Veamos un estudio matemático de mediados del siglo XIX que puede ayudar a dar con la solución.</p><p>Las superficies se clasifican en superficies con bordes, como el cilindro o la banda de Moebius, y en superficies sin bordes, como la esfera o un flotador.</p><p>Los matemáticos del siglo XIX demostraron que cualquier superficie de una sola pieza, sin bordes, que no sea infinita (un ejemplo de superficie infinita sin bordes es un plano infinito) y que se pueda construir sin problemas en nuestro espacio tridimensional (sin cortarse a sí misma) se puede deformar, sin romperse, en una de las siguientes superficies: o en una esfera, o en un flotador, o en un flotador para 2 personas, o en un flotador para algún número finito de personas con un agujero para cada persona.</p><p>En cuanto a las superficies con bordes, siempre se podrán deformar o en la cinta de Moebius o en una de las anteriores -la esfera, el flotador...- a la que se le ha recortado una cantidad finita de discos; o en combinaciones que no detallamos aquí de estas dos primeras posibilidades. Así por ejemplo, un pantalón se puede deformar hasta ser una esfera a la que le recortamos 3 discos.</p><p>Por tanto, pegando -sin retorcer innecesariamente- los lados del mismo color de la figura de tal manera que el sentido de las flechas coincida y deformándolo todo lo que sea necesario -se puede estirar, contraer...- se puede conseguir exactamente una de las superficies modelo que acabamos de enumerar. La pregunta es: ¿cuál es esa superficie? </p><p><a href="http://solumate.blogspot.com/2011/10/construyendo-superficies.html">Solución</a></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/3074638824000650333-3399476540100673944?l=problemate.blogspot.com' alt='' /></div><img src="http://feeds.feedburner.com/~r/ProblemasMatemticos/~4/hsQM_AYWHI0" height="1" width="1"/>http://problemate.blogspot.com/2011/10/construyendo-superficies.htmlnoreply@blogger.com (Proble Mático)0