Prof.: Marcos Vilela Garcia

2016-04-26T15:08:00.002-07:00

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA EM VÍDEO AULAS

fonte da imagem: pensevestibular.com.br

Bons Estudos!

2016-04-21T11:57:00.000-07:00

PROGRESSÃO ARITMÉTICA EM VÍDEO AULAS

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Bons Estudos!

As 11 mais belas equações matemáticas

2013-05-16T09:50:00.001-07:00

Fonte: Universo Racionalista

Por Cesar Grossmann em 31.01.2013 as 17:00

Equações matemáticas não são apenas úteis – também podem ter uma beleza própria. Muitos cientistas admitem ter preferência por uma ou outra fórmula não só por causa da função, mas pela sua forma, e as verdades simples e poéticas que contém.

Algumas equações, como E=mc² de Einstein, roubam as luzes dos holofotes, mas existem equações menos famosas que têm mais apelo entre cientistas. O LiveScience perguntou a físicos, astrônomos e matemáticos quais suas equações favoritas, e o resultado pode ser conferido a seguir:

11. Equação da Relatividade

A equação acima foi formulada por Albert Einstein como parte da revolucionária Teoria Geral da Relatividade, em 1915. A teoria mudou a forma como os cientistas entendem a gravidade, ao descrever a força como sendo uma deformação no tecido do espaço-tempo.

O astrofísico Mario Livio, do Space Telescope Science Institute, que escolheu esta equação como sua favorita, aponta que toda a genialidade de Einstein está nela.

“O lado direito da equação descreve o conteúdo de energia do nosso universo, incluindo a energia escura que descreve a aceleração cósmica, e o lado esquerdo descreve a geometria do espaço-tempo. A igualdade reflete o fato que na relatividade geral de Einstein, a massa e energia determinam a geometria, e concomitantemente a curvatura, que é uma manifestação do que chamamos gravidade”, diz Livio.

Kyle Cranmer, físico da Universidade Nova Iorque (EUA), acrescenta que a equação revela a relação entre espaço-tempo, matéria e energia. “Esta equação diz como tudo está relacionado – como a presença do sol deforma o espaço-tempo de forma que a Terra se mova em torno do mesmo em uma órbita, etc. Também diz como o universo evoluiu desde o Big Bang e prediz que devem haver buracos negros nele”.

10. O modelo padrão

Uma das teorias dominantes da física, o modelo padrão descreve a coleção de partículas fundamentais que se acredita fazerem nosso universo.

A teoria pode ser resumida em uma equação chamado modelo padrão lagrangiano (em homenagem a Joseph Louis Lagrange, um matemático e astrônomo francês do século 18), que foi escolhida pelo físico teórico Lance Dixon no Laboratório Acelerador Nacional SLAC na Califórnia (EUA) como sua equação favorita.

“Ela tem descrito com sucesso todas as partículas elementares e forças que temos observados no laboratório até hoje – exceto a gravidade, e isto inclui, é claro, o bóson de Higgs recentemente descoberto, que é o phi na fórmula. Ela é consistente com a mecânica quântica e a relatividade especial”, disse Dixon.

A teoria do modelo padrão ainda não foi unificada com a relatividade geral, e esta é a razão dela não descrever a gravidade.

9. O Cálculo

As equações anteriores descrevem aspectos particulares do universo, mas esta pode ser aplicada a todas as situações. Trata-se do teorema fundamental do cálculo, é o fundamento do método matemático conhecido como cálculo, e une duas ideias: o conceito de integral e o conceito de derivada.

“Em termos simples, ela diz que a mudança geral de uma quantidade contínua, como a distância percorrida, sobre um determinado intervalo, é igual à integral da taxa de mudança daquela quantidade, ou seja, a integral da velocidade”, aponta Melkana Brakalova-Trevithick, chefe do departamento de matemática da Universidade Fordham (EUA), que escolheu esta equação como sua favorita. “O teorema fundamental do cálculo permite que a gente determine a alteração geral sobre um intervalo baseado na taxa de mudança sobre o intervalo inteiro”, diz.

As sementes do cálculo vêm de tempos antigos, mas a maior parte dele foi apresentado no século 17 por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz (independentemente). Newton usou o cálculo para descrever o movimento dos planetas em torno do sol e Leibniz criou o cálculo para descobrir a área de gráficos de funções (por exemplo, calcular a área delimitada pela linha representada pela função seno e o eixo das abscissas, ou “x”).

8. Teorema de Pitágoras

O velho e conhecido teorema de Pitágoras, que todo estudante aprende, aponta que, para qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa (o lado maior) é igual à soma dos quadrados do comprimento dos outros dois lados.

“O primeiro fato matemático que me maravilhou foi o teorema de Pitágoras”, disse a matemática Daina Taimina, da Universidade Cornell (EUA). “Eu era uma criança e me parecia tão incrível que ele funcionava na geometria e funcionava com números!”.

7. Equação de Euler

Esta equação simples captura um fato puro sobre a natureza das esferas. “Ela diz que, se você cortar a superfície de uma esfera em faces, arestas e vértices, e chamar de F o número de faces, E o número de arestas, e V o número de vértices, você sempre vai ter V -E + F = 2″, diz Colin Adams, um matemático no Williams College, em Massachusetts (EUA).

“Por exemplo, pegue um tetraedro, consistindo de quatro triângulos, seis arestas e quatro vértices”, explica Adams, “se você soprar com força dentro de um tetraedro com faces flexíveis, você vai curvá-lo em uma esfera, ou seja, de certa forma, uma esfera pode ser cortada em quatro faces, seis arestas, e quatro vértices. E podemos ver que V – E + F = 2. O mesmo vale para uma pirâmide com cinco faces, quatro triangulares e uma quadrada – oito arestas e cinco vértices -, e muitas outras combinações de faces, arestas e vértices”.

6. Relatividade Especial

Einstein de novo aparece na nossa lista, desta vez com a fórmula da relatividade especial, que descreve como o tempo e o espaço não são conceitos absolutos, mas relativos, dependendo da velocidade do observador. A equação acima mostra como o tempo dilata, ou contrai, conforme uma pessoa se move mais rápido em qualquer direção.

“O ponto é que ela é realmente muito simples”, diz Bill Murray, um físico de partículas no laboratório CERN, em Genebra. “Não tem nada aí que um estudante não consiga fazer, não tem derivadas complexas, nem álgebra linear. Mas o que ela incorpora é uma forma totalmente nova de ver o mundo, uma atitude em relação à realidade e nosso relacionamento com ela. Subitamente, o cosmos rígido e imutável é varrido para longe e substituído por um mundo pessoal, relacionado com o que você observa. Você se move de uma posição de fora do universo, olhando para baixo, para ser um dos componentes dentro dele. Mas os conceitos e a matemática podem ser compreendidos por qualquer um que queira”, explica.

Murray disse que preferia as equações da relatividade especial às equações mais complicadas da outra teoria de Einstein. “Eu nunca consegui seguir a matemática da relatividade geral”, conta.

5. 1 = 0,9999999….

Esta equação simples, que declara que a quantidade 0,999, seguida por uma sequência infinita de noves, é igual a um, é a equação favorita do matemático Steven Strogatz, da Universidade Cornell.

“Eu adoro como ela é simples – todo mundo entende o que ela diz – e como é provocativa”, diz Strogatz. “Muitas pessoas não acreditam que isto possa ser verdadeiro. É também lindamente equilibrada. O lado esquerdo representa o início da matemática, o lado direito representa os mistérios do infinito”, comenta.

4. Equações Euler-Lagrange e teorema de Noether

Cranmer, da Universidade Nova Iorque, aponta que estas são equações bastante abstratas, mas extremamente poderosas. “O legal é que esta maneira de pensar sobre física tem sobrevivido a grandes revoluções da área, como a mecânica quântica, a relatividade, etc”.

Nesta equação, o L vem de “lagrangiana”, que é uma medida de energia em um sistema físico, como molas, alavancas ou partículas fundamentais. “Resolver esta equação te diz como o sistema vai evoluir com o tempo”, diz Cranmer.

Uma derivação da equação lagrangiana é chamada de teorema de Noether, em homenagem à matemática alemã do século 20, Emmy Noether. Segundo Cranmer, o teorema é fundamental para a física e mostra a importância da simetria. “Informalmente, o teorema diz que se o seu sistema tem uma simetria, então há uma lei de conservação correspondente. Por exemplo, a ideia que as leis fundamentais da física são todas as mesmas hoje e amanhã (simetria temporal) implica que a energia é conservada. A ideia que as leis da física são as mesmas aqui e no espaço exterior implicam que o momento é conservado. A simetria é talvez o conceito motriz da física fundamental, principalmente devido à contribuição de Noether”, conclui.

3. Equação Callan-Symanzik

“A equação de Callan-Symanzik é uma equação vital dos primeiros princípios a partir de 1970, essencial para descrever como expectativas ingênuas falham em um mundo quântico”, explica o físico teórico Matt Strassler, da Universidade Rutgers (EUA).

É uma equação com numerosas aplicações, entre elas permitir aos físicos estimar a massa e o tamanho do próton e do nêutron, que fazem parte do núcleo dos átomos.

A físcia básica diz que a força gravitacional e a força elétrica entre dois objetos é proporcional ao inverso do quadrado da distância entre eles. Em um nível básico, o mesmo é verdadeiro para a força nuclear forte, que mantém unidos prótons e nêutrons no núcleo atômico, e mantém os quarks juntos para formar prótons e nêutrons. Entretanto, minúsculas flutuações quânticas podem alterar a dependência que a força tem da distância, o que tem consequências dramáticas com a força nuclear forte.

“Ela impede que esta força diminua em grandes distâncias, e faz com que ela prenda quarks e combine-os para formar prótons e nêutrons no nosso mundo”, aponta Strassler. “O que a equação Callan-Symanzik faz é relacionar este efeito dramático e difícil de calcular, importante quando a distância é próxima do tamanho de um próton, para efeitos mais sutis mas fáceis de calcular, que podem ser medidos quando a distância é muito menor que um próton”.

2. Equação da superfície mínima

A equação da superfície mínima codifica as belas bolhas de sabão que formam em estruturas de arame quando você as mergulha em água com sabão, aponta o matemático Frank Morgan, do Williams College. “O fato que a equação é ‘não linear’, envolvendo potências e produtos de derivadas, é a dica codificada de forma matemática para o comportamento surpreendente das películas de sabão. Contraste esta equação com equações diferenciais parciais lineares mais familiares, como a equação do calor, a equação da onda, e a equação de Shrödinger para a física quântica”.

1. A reta de Euler

Glen Whitney, fundador do Museu da Matemática em Nova Iorque, escolheu outro teorema geométrico, um que tem a ver com a linha de Euler, que recebeu este nome em homenagem ao matemático e físico suíço do século 18, Leonhard Euler.

“Comece com qualquer triângulo, desenhe o menor círculo que contenha o triângulo e encontre seu centro. Encontre o centro de massa do triângulo – o ponto onde o triângulo, se fosse cortado em uma folha de papel, se equilibraria sobre a ponta de um alfinete. Desenhe as três alturas do triângulo (as linhas que partem de cada canto, perpendiculares ao lado oposto), e encontre o ponto em que elas se encontram. O teorema afirma que todos os três pontos que você encontrou sempre estão sobre uma única linha reta, chamada de ‘reta de Euler‘ do triângulo”, explica Whitney.

Segundo Whitney, o teorema esconde a beleza e o poder da matemática, que geralmente revela padrões surpreendentes em formas familiares e simples.[LiveScience]

Questões de Matemática para Concursos

2012-03-01T09:07:00.001-08:00

Segue na postagem os links para download das qustões para você se preparar para nova maratona de concursos.

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Lei de Murphy

2011-11-30T18:18:00.000-08:00

A Lei de Murphy é um adágio popular da cultura ocidental que afirma: "Se alguma coisa pode dar errado, com certeza dará" ou "Se há mais de uma maneira de se executar uma tarefa ou trabalho, e se uma dessas maneiras resultar em catástrofe ou em consequências indesejáveis, certamente essa será a maneira escolhida por alguém para executá-la". Ela é comumente citada (ou abreviada) por "Se algo pode dar errado, dará" ou ainda "Se algo pode dar errado, dará errado da pior maneira, no pior momento e de modo a causar o maior estrago possível".

É oriunda do resultado de um teste de tolerância à gravidade por seres humanos, feito pelo engenheiro aeroespacial norte-americano Edward A. Murphy.Ele deveria apresentar os resultados do teste; contudo, os sensores que deveriam registrá-lo falharam exatamente na hora, porque o técnico havia instalado os sensores da forma errada.Frustrado, Murphy disse "Se este cara tem algum modo de cometer um erro, ele o fará". Daí, foi desenvolvida a assertiva: "Se existe mais de uma maneira de uma tarefa ser executada e alguma dessas maneiras resultar num desastre, certamente será a maneira escolhida por alguém para executá-la". Mais tarde, o teste obteve sucesso. Durante uma conferência de imprensa, John Stapp, americano nascido no Brasil, que havia servido como cobaia para o teste, atribuiu ao fato de que ninguém saiu ferido dos testes por levarem em conta a Lei de Murphy e explicou as variáveis que integravam a assertiva, ante ao risco de erro e consequente catástrofe, e enunciou a lei como "Se alguma coisa pode dar errado, ela dará".

fonte wikipédia

As 100 melhores Leis de Murphy

1. Se alguma coisa pode dar errado, dará. E mais, dará errado da pior
maneira, no pior momento e de modo que cause o maior dano possível.

2. Um atalho é sempre a distância mais longa entre dois pontos.

3. Nada é tão fácil quanto parece, nem tão difícil quanto a explicação do
manual.

4. Tudo leva mais tempo do que todo o tempo que você tem disponível.

5. Se há possibilidade de várias coisas darem errado, todas darão - ou a que
causar mais prejuízo.

6. Se você perceber que uma coisa pode dar errada de 4 maneiras e conseguir
driblá-las, uma quinta surgirá do nada.

7. Seja qual for o resultado, haverá sempre alguém para:
a) interpretá-lo mal. b) falsificá-lo. c) dizer que já o tinha previsto em
seu último relatório.

8. Quando um trabalho é mal feito, qualquer tentativa de melhorá-lo piora.

9. Acontecimentos infelizes sempre ocorrem em série.

10. Toda vez que se menciona alguma coisa: se é bom, acaba; se é ruim,
acontece.

11. Em qualquer fórmula, as constantes (especialmente as registradas nos
manuais de engenharia) deverão ser consideradas variáveis.

12. As peças que exigem maior manutenção ficarão no local mais inacessível
do aparelho.

13. Se você tem alguma coisa há muito tempo, pode jogar fora. Se você jogar
fora alguma coisa que tem há muito tempo, vai precisar dela logo, logo.

14. Você sempre encontra aquilo que não está procurando.

15. Quando te ligam: a) se você tem caneta, não tem papel. b) se tem papel
não tem caneta. c) se tem ambos ninguém liga.

16. A Natureza está sempre à favor da falha.

17. Entre dois acontecimentos prováveis, sempre acontece um improvável.

18. Quase tudo é mais fácil de enfiar do que de tirar.

19. Mesmo o objeto mais inanimado tem movimento suficiente para ficar na sua
frente e provocar uma canelada.

20. Qualquer esforço para se agarrar um objeto em queda provocará mais
destruição do que se deixássemos o objeto cair naturalmente.

21. A única falta que o juiz de futebol apita com absoluta certeza é aquela
em que ele está absolutamente errado.

22. Por mais bem feito que seja o seu trabalho, o patrão sempre achará onde
criticá-lo.

23. Nenhum patrão mantém um empregado que está certo o tempo todo.

24. Toda solução cria novos problemas.

25. Quando político fala em corrupção, os verbos são sempre usados no
passado.

26. Você nunca vai pegar engarrafamento ou sinal fechado se saiu cedo demais
para algum lugar.

27. Os assuntos mais simples são aqueles dos quais você não entende nada.

28. Dois monólogos não fazem um diálogo.

29. Se você é capaz de distinguir entre o bom e o mal conselho, então você
não precisa de conselho.

30. Ninguém ficará batendo na sua porta, ou telefonando para você, se não
houver trabalho algum a ser feito.

31. O trabalho mais chato é também o que menos paga.

32. Errar é humano. Perdoar não é a política da empresa.

33. Toda a idéia revolucionária provoca três estágios: 1º. é impossível -
não perca meu tempo. 2º. é possível, mas não vale o esforço 3º. eu sempre
disse que era uma boa idéia.

34. A informação que obriga a uma mudança radical no projeto sempre chega ao
projetista depois do trabalho terminado, executado e funcionando
maravilhosamente (também conhecida como síndrome do: "Porra! Mas só
agora!!!").

35. Um homem com um relógio sabe a hora certa. Um homem com dois relógios
sabe apenas a média.

36. Inteligência tem limite. Burrice não.

37. Seis fases de um projeto: Entusiasmo; Desilusão; Pânico; Busca dos
culpados; Punição dos inocentes; Glória aos não participantes.

38. Conversas sérias, que são necessárias, só acontecem quando você está com
pressa.
39. Não se dorme até que os filhos façam cinco anos.

40. Não se dorme depois que eles fazem quinze.

41. O orçamento necessário é sempre o dobro do previsto. O tempo necessário
é o triplo.

42. As variáveis variam menos que as constantes.

43. Pais que te amam não te deixam fazer nada. Pais liberais, não estão nem
ai para você.

44. Entregas de caminhão que normalmente levam um dia levarão cinco quando
você depender da entrega.

45. O único filho que ronca é o que quer dormir com você.

46. Assim que tiver esgotado todas as suas possibilidades e confessado seu
fracasso, haverá uma solução simples e óbvia, claramente visível a qualquer
outro idiota.

47. Qualquer programa quando começa a funcionar já está obsoleto.

48. Nenhuma bola vai parar em um vaso que você odeia.

49. Só quando um programa já está sendo usado há seis meses, é que se
descobre um erro fundamental.

50. Crianças nunca ficam quietas para tirar fotos, e ficam absolutamente
imóveis diante de uma câmera filmadora.

51. Nenhuma criança limpa quer colo.

52. A ferramenta quando cai no chão sempre rola para o canto mais
inacessível do aposento. A caminho do canto, a ferramenta acerta primeiro o
seu dedão.

53. Guia prático para a ciência moderna: a) Se se mexe, pertence à biologia.
b) Se fede, pertence à química. c) Se não funciona, pertence à física. d) Se
ninguém entende, é matemática. e) Se não faz sentido, é psicologia.

54. O vírus que seu computador pegou, só ataca os arquivos que não tem
cópia.

55. O número de exceções sempre ultrapassa o numero de regras. E há sempre
exceções às exceções já estabelecidas.

56. Seja qual for o defeito do seu computador, ele vai desaparecer na frente
de um técnico, retornando assim que ele se retirar.

57. Se ela está te dando mole, é feia. Se é bonita, está acompanhada. Se
está sozinha, você está acompanhado.

58. Se o curso que você desejava fazer só tem n vagas, pode ter certeza de
que você será o candidato n + 1 a tentar se matricular.

59. Oitenta por cento do exame final que você prestará, será baseado na
única aula que você perdeu, baseada no único livro que você não leu.

60. Cada professor parte do pressuposto de que você não tem mais o que
fazer, senão estudar a matéria dele.

61. A citação mais valiosa para a sua redação será aquela em que você não
consegue lembrar o nome do autor.

62. Caras legais são feios. Caras bonitos não são legais. Caras bonitos e
legais são gays.

63. A maioria dos trabalhos manuais exigem três mãos para serem executados.

64. As porcas que sobraram de um trabalho nunca se encaixam nos parafusos
que também sobraram.

65. Quanto mais cuidadosamente você planejar um trabalho, maior será sua
confusão mental quando algo der errado.

66. Tudo é possível. Apenas não muito provável.

67. Em qualquer circuito eletrônico, o componente de vida mais curta será
instalado no lugar de mais difícil acesso.

68. Qualquer desenho de circuito eletrônico irá conter: uma peça obsoleta,
duas impossíveis de encontrar, e três ainda sendo testadas.

69. O dia de hoje foi realmente necessário?

70. A luz no fim do túnel, é o trem vindo na sua direção.

71. A vida é uma droga. E você ainda reencarna.

72. Se está escrito "Tamanho Único", é porque não serve em ninguém.

73. Se o sapato serve, é feio!

74. Nunca há horas suficientes em um dia, mas sempre há muitos dias antes do
sábado.

75. Todo corpo mergulhado numa banheira faz tocar o telefone.

76. A beleza está à flor da pele, mas a feiúra vai até o osso!

77. A informação mais necessária é sempre a menos disponível.

78. A probabilidade do pão cair com o lado da manteiga virado para baixo é
proporcional ao valor do carpete.

79. Confiança é aquele sentimento que você tem antes de compreender a
situação.

80. A fila do lado sempre anda mais rápido.

81. Nada é tão ruim que não possa piorar.

82. O material é danificado segundo a proporção direta do seu valor.

83. Se você está se sentindo bem, não se preocupe. Isso passa.

84. No ciclismo, não importa para onde você vai; é sempre morro acima e
contra o vento.

85. Por mais tomadas que se tenham em casa, os móveis estão sempre na
frente.

86. Existem dois tipos de esparadrapo: o que não gruda, e o que não sai.

87. Uma pessoa saudável é aquela que não foi suficientemente examinada.

88. Você sabe que é um dia ruim quando: O sol nasce no oeste; você pula da
cama e erra o chão; o passarinho cantando lá fora é um urubu; seu bichinho
de cerâmica te morde.

89. Por que será que números errados nunca estão ocupados?

90. Mas você nunca vai usar todo esse espaço de Winchester!

91. Se você não está confuso, não está prestando atenção.

92. Na guerra, o inimigo ataca em duas ocasiões: quando ele está preparado,
e quando você não está.

93. Tudo que começa bem, termina mal. Tudo que começa mal, termina pior.

94. Amigos vêm e se vão, inimigos se acumulam.

95. "Pilhas não incluídas"

96. Você só precisará de um documento quando, espontaneamente, ele se mover
do lugar que você o deixou para o lugar onde você não irá encontrá-lo.

97. As crianças são incríveis. Em geral, elas repetem palavra por palavra
aquilo que você não deveria ter dito.

98. Uma maneira de se parar um cavalo de corrida é apostar nele.

99. Toda partícula que voa sempre encontra um olho.

100. Um morro nunca desce.

(fonte: Luiz Ferraz Neto)

^{Referências:}

^{http://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Murphy}

^{http://www.humornaciencia.com.br/miscelanea/murphy.htm}

Equações Concursos

2011-11-25T08:36:00.001-08:00

Dominando Equações Parte I

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Equações

O primeiro indício do uso de equações está relacionado, aproximadamente, ao ano de 1650 a.C., no documento denominado Papiro de Rhind, adquirido por Alexander Henry Rhind, na cidade de Luxor - Egito, em 1858. O papiro de Rhind também recebe o nome de Ahmes, um escriba que relata no papiro a solução de problemas relacionados à Matemática.

Os gregos deram grande importância ao desenvolvimento da Geometria, realizando e relatando inúmeras descobertas importantes para a Matemática, mas na parte que abrangia a álgebra, foi Diofanto de Alexandria que contribuiu de forma satisfatória na elaboração de conceitos teóricos e práticos para a solução de equações.
Diofanto foi considerado o principal algebrista grego, há de se comentar que ele nasceu na cidade de Alexandria localizada no Egito, mais foi educado na cidade grega de Atenas. As equações eram resolvidas com o auxílio de símbolos que expressavam o valor desconhecido. Observe o seguinte problema:

“Aha, seu total, e sua sétima parte, resulta 19”.
Note que a expressão Aha indica o valor desconhecido, atualmente esse problema seria escrito com o auxílio de letras, as mais comuns x, y e z. Veja a representação do problema utilizando letras: x + x/7 = 19.

Introdução às equações de primeiro grau

Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícil da Matemática.

Sentença com palavras	Sentença matemática
2 melancias + 2Kg = 14Kg	2 x + 2 = 14

Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir daqui, a Matemática se posiciona perante diferentes situações e será necessário conhecer o valor de algo desconhecido, que é o objetivo do estudo de equações.

Equações do primeiro grau em 1 variável

Trabalharemos com uma situação real e dela tiraremos algumas informações importantes. Observe a balança:

A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas melancias com "pesos" iguais. No prato direito há um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia?

2 melancias + 2Kg = 14Kg

Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a equação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como:

2x + 2 = 14

Este é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é extremamente útil e aparece na maioria das situações reais. Valorize este exemplo simples.

Podemos ver que toda equação tem:

Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incognitas;
Um sinal de igualdade, denotado por =.
Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda;
Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.

No link Expressões Algébricas, estudamos várias situações contendo variáveis. A letra x é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa desconhecida e equação tem o prefixo equa que provém do Latim e significa igual.

2 x + 2	=	14
1o. membro	sinal de igualdade	2o. membro

As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação.

Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.

2x + 2 = 14	Equação original
2x + 2 - 2 = 14 - 2	Subtraímos 2 dos dois membros
2x = 12	Dividimos por 2 os dois membros
x = 6	Solução

Observação: Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os membros da equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. Este processo nos permite resolver uma equação, ou seja, permite obter as raízes da equação.

Exemplos:

A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim:
```
c + a = 22
c + (c - 4) = 22
2c - 4 = 22
2c - 4 + 4 = 22 + 4
2c = 26
c = 13
```
Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.
A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?
Solução: Identificaremos a população da cidade A com a letra a e a população da cidade com a letra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos escrever:
```
a + b = 100.000
3b + b = 100.000
4b = 100.000
b = 25.000
```
Resposta: Como a=3b, então a população de A corresponde a: a=3×25.000=75.000 habitantes.
Uma casa com 260m² de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m²?
Solução: Tomaremos a área de cada dormitório com letra x.
```
3x + 140 = 260
3x = 260 -140
3x = 120
x = 40
```
Resposta: Cada quarto tem 40m².

Exercícios: Resolver as equações

1. 2x + 4 = 10
2. 5k - 12 = 20
3. 2y + 15 - y = 22
4. 9h - 2 = 16 + 2h

Desigualdades do primeiro grau em 1 variável

Relacionadas com as equações de primeiro grau, existem as desigualdades de primeiro grau, (também denominadas inequações) que são expressões matemáticas em que os termos estão ligados por um dos quatro sinais:

<	menor
>	maior
<	menor ou igual
>	maior ou igual

Nas desigualdades, o objetivo é obter um conjunto de todas os possíveis valores que pode(m) assumir uma ou mais incógnitas na equação proposta.

Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais vale a desigualdade:

2x + 2 < 14

Para resolver esta desigualdade, seguiremos os seguintes passos:

Passo 1	2x + 2 < 14	Escrever a equação original
Passo 2	2x + 2 - 2 < 14 - 2	Subtrair o número 2 dos dois membros
Passo 3	2x < 12	Dividir pelo número 2 ambos os membros
Passo 4	x < 6	Solução

Concluímos que o conjunto solução é formado por todos os números inteiros positivos menores do que 6:

S = {1, 2, 3, 4, 5}

Exemplo: Para obter todos os números pares positivos que satisfazem à desigualdade

2x + 2 < 14

obteremos o conjunto solução:

S = {2, 4}

Observação: Se há mais do que um sinal de desigualdade na expressão, temos várias desigualdades "disfarçadas" em uma.

Exemplo: Para determinar todos os números inteiros positivos para os quais valem as (duas) desigualdades:

12 < 2x + 2 < 20

poderemos seguir o seguinte processo:

12	<	2x + 2	<	20	Equação original
12 - 2	<	2x + 2 - 2	<	20 - 2	Subtraímos 2 de todos os membros
10	<	2x	<	18	Dividimos por 2 todos os membros
5	<	x	<	9	Solução

O conjunto solução é:

S = {6, 7, 8, 9}

Exemplo: Para obter todos os números inteiros negativos que satisfazem às (duas) desigualdades

12 < 2x + 2 < 20

obteremos apenas o conjunto vazio, como solução, isto é:

S = Ø = { }

Desigualdades do primeiro grau em 2 variáveis

Uma situação comum em aplicações é aquela em que temos uma desigualdade envolvendo uma equação com 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 incógnitas x e y. Uma forma geral típica, pode ser:

a x + b y < c

onde a, b e c são valores dados.

Exemplo: Para obter todos os pares ordenados de números reais para os quais:

2x + 3y > 0

observamos que o conjunto solução contém os pares:

(0,0), (1,0), (0,1), (-1,1), (1,-1), ...

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

(1) Traçamos a reta 2x+3y=0;

(2) Escolhemos um par ordenado, como (1,1), fora da reta;

(3) Se (1,1) satisfaz à desigualdade 2x+3y>0, colorimos a região que contém este ponto, caso contrário, colorimos a região que está do outro lado da reta.

(4) A região colorida é o conjunto solução para a desigualdade.

Exercícios

Exercícios de Equações de 1º Grau

1) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?

2) Resolva as equações a seguir:

a)18x - 43 = 65

b) 23x - 16 = 14 - 17x

c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20

d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x² + 12

e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4

f) 4x (x + 6) - x² = 5x²

3) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.

4) Resolver as seguintes equações (na incógnita x):

a) 5/x - 2 = 1/4 (x 0)

b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc

Exercícios Resolvidos:

1) Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?

Solução:
n + n/2 = 150
2n/2 + n/2 = 300/2
2n + n = 300
3n = 300
n = 300/3
n = 100
Resposta: Esse número é 100.

2) A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 36. Qual é esse número?

Solução:
x - x/5 = 36
(5 x - x)/5 = 36
4x /5 = 36
4x = 36.5
4x = 180
x = 180/4
x = 45
Resposta: Esse número é 45.

3) O triplo de um número é igual a sua metade mais 20. Qual é esse número?

Solução:
3 m = m/2 + 20
6m/2 = (m+40)/2
6m = m + 40
6m - m =
5m = 40
m = 40/5
m = 8
Resposta: Esse número é 8.

4) O triplo de um número, mais 5, é igual a 254. Qual é esse número?

Solução:
3p + 5 = 254
3p = 254 - 5
3p = 249
p = 249/3
p = 83
Resposta: Esse número é 83.

5) O quádruplo de um número, diminuído de três, é igual a 99. Qual é esse número ?

6) Júlio tem 15 anos e Eva tem 17 anos. Daqui a quantos anos a soma de suas idades será 72 anos?

7) Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas. Determine o número de bicicletas e de carros.

8) A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é igual a 75. Quantos objetos há na caixa?

9) Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 90 empregados são brasileiros. Quantos são os empregados da fábrica?

10) Numa caixa, o número de bolas pretas é o triplo de bolas brancas. Se tirarmos 4 brancas e 24 pretas, o número de bolas de cada cor ficará igual. Qual a quantidade de bolas brancas?

11) Como devo distribuir R$ 438,00 entre três pessoas, de modo que as duas primeiras recebam quantias iguais e a terceira receba o dobro do que receber as duas primeiras?

12) Ao triplo de um número foi adicionado 40. O resultado é igual ao quíntuplo do número. Qual é esse número?

Exemplos:1º) 2x + 1 = 7
3 é a única raiz, então S = {3}

2º) 3x – 5 = –2
1 é a única raiz, então S = {1}

2. Resolução de uma Equação

Resolver uma equação é determinar todas as raízes da equação que pertencem a um conjunto previamente estabelecido, chamado conjunto universo.

1º) Resolver a equação:

x² = 4 em R

As raízes reais da equação são –2 e +2, assim:

2º) Resolver a equação:

x² = 4 em N

A única raiz natural da equação é 2, assim:

Na resolução das equações, podemos nos valer de algumas operações e transformá-las em equações equivalentes, isto é, que apresentam o mesmo conjunto solução, no mesmo universo.
Vejamos algumas destas propriedades:
P1) Quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, esta permanece verdadeira.

Consequência:

Observemos a equação:

x + 2 = 3

Subtraindo 2 nos dois membros da igualdade, temos:

x + 2 = 3 x + 2 -2 = 3 - 2

Assim:

x + 2 = 3 x = 1

P2) Quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de uma igualdade por um número diferente de zero, a igualdade permanece verdadeira.

Consequência:

Observemos a equação:

–2x = 6

Dividindo por –2 os dois membros da igualdade, temos:

Assim:

-2x = 6 x = -3

3. Equação do 1º Grau

Chamamos de equação do 1º grau as equações do tipo:

onde a e b são números conhecidos com a 0.

Exemplo:

3x – 5 = 0 (a = 3 e b = –5)

Para resolvermos uma equação do 1º grau, devemos isolar a incógnita em um dos membros da igualdade, usando as propriedades P1 e P2 do item anterior.

Exemplo:

3x – 5 = 0

3x - 5 3x - 5 + 5 = 0 + 5

3x - 5 = 0 3x = 5

3x = 5

Assim: 3x - 5 = 0

De modo abreviado, fazemos:

3x - 5 = 0 3x = 5

Assim:

Podemos estabelecer uma fórmula para resolver em R a equação:

Assim:

ax + b = 0 ax = -b

Exemplo:

Resolver em R a equação:

2x + 5 = 0

4. Problemas do 1º Grau

Problema é uma proposição a resolver, na qual figuram elementos conhecidos ou supostamente conhecidos, chamados dados, e elementos desconhecidos, chamados incógnitas.
Resolver um problema é determinar os valores das incógnitas que satisfazem às condições impostas pelo enunciado.
A resolução de um problema possui três fases:

1) Colocar o problema em equação;
2) Resolver a equação ou equações do problema;
3) Interpretar os resultados ou fazer uma discussão sobre eles.

Exercícios Resolvidos

Resolver as equações:

01. 3x – 5 = 2x + 6
Resolução

3x – 2x = 6 + 5
x = 11
S = {11}

02. 2 (x + 3) + 3 (x – 1) = 7 (x + 2)

Resolução

2x + 6 + 3x – 3 = 7x + 14
2x + 3x – 7x = 14 + 3 – 6
–2x = 11

Referências:

http://www.mundovestibular.com.br/articles/57/1/EQUACOES-DO-PRIMEIRO-GRAU/Paacutegina1.html

http://www.exatas.mat.br/equacao1.htm

http://aprovadonovestibular.com/equacao-de-primeiro-grau-achar-resposta-de-exercicios.html

http://pt.scribd.com/doc/2972252/Matematica-Exercicios-Resolvidos-Equacoes-Dicas-para-Resolucao

http://www.slideshare.net/edigleyg3/equaes-do-1-grau-exerccios

http://educadormatematico.wordpress.com/category/equacoes-de-1%C2%BA-grau/

http://www.somatematica.com.br/soexercicios/equacoes.php

http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/historia-das-equacoes.htm

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm21/equacoes.htm

http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq1g/eq1g.htm

Fatoração

2011-11-04T03:29:00.000-07:00

Assista ao vídeo e resolva os Exercícios

1) Fatore, colocando os fatores comuns em evidência:

Exemplos:
ax+2a = a(x+2)

a²-b² = (a+b)(a-b)

a² - 4ab + 4b² = (a-2b)²

2x²-2 = 2(x²-1) = 2(x+1)(x-1)

a) 3ax-7ay

b) x³ -x² + x

c) x³y² + x²y² + xy²

d) a²b² - ab³

e) a² + ab + ac + bc

f) x² - b²

g) x²-25

h) (x²/9 - y²/16)

i) x² + 4x + 4

j) a² + 6ab + 9b²

l) 144x²-1

m) ab + ac + 10b + 10c

n) 4a² - 4

o) x³y - xy³

p) x² + 16x + 64

q) 2x² + 4x + 2

r) ax³ + 2a²x² + a³x

1) Simplifique a expressão

a)	1
b)
c)
d)	c²
e)

2) Fatore: (a + 1)² + 2 (a + 1) + 1

a)	a (a + 4)
b)	(a + 1)²
c)	(a + 2)²
d)	(a - 2)²
e)	(a + 1) (a + 1 + 1)

3) Fatore x² - 4x + 4 + 3 (x - 2) (x + 1)

a)	(x - 2) + 3 (x - 1)
b)	(x - 2) (3x² - 5)
c)	5x - 7
d)	(x - 2) (4x + 1)
e)	(2x - 2) (2x - 5)

4) Fatore (x² + 9)² - 36x²

a)	3 (x² - 12x² + 3)
b)	(x + 3)² . (x - 3)²
c)	(x + 3) . (x - 3)
d)	(x - 3)² . (x - 3)²
e)	(x + 3)⁴

5) Fatore: x² + 6x + 9

a)	(x - 3)²
b)	(x + 3)²
c)	x² + 3
d)	(x - 9)²
e)	3 (x + 3)²

6) Fatore: x⁴ - y⁴

a)	(x² - y²) (x - y) (x - y)
b)	(x² + y²) (x + y) (x + y)
c)	(x² + y²) x²
d)	(x² + y²) y²
e)	(x² + y²) (x + y) (x - y)

7) Se a² - b² = 2 . (a - b)², a diferente de b, então b =

a)	a
b)	2a
c)	3a
d)	4a
e)	n.d.a

8) Se x² + y² = 1681 e x . y = 360, calcule x + y, sabendo que x e y são números positivos.

a)	49
b)	62
c)	54
d)	81
e)	124

9) Seja a expressão P = (x -1) (x + 2) - 2 (x + 2) (x - 5). Se Q = 2 (x + 2) (x - 5), simplifique o quociente

a)
b)
c)
d)
e)

10) Fatore a expressão E = a² + ba + 2a + 2b

a)	E = (a + b) (a + 2)
b)	E = (a + b) (a - 2)
c)	E = (a - b) (a - b)
d)	E = (a + b) (a + b)
e)	E = (a + 2b) (a - 2)

11) Fatore a expressão: 3xy + 3 - x - 9y

a)	(x - 3) . (3y - 1)
b)	(x - 3) . (x + 3)
c)	(x + 9) . (x - 9)
d)	(x - 3) . (9y + 1)
e)	(x - 3) . (3y + 1)

12) Fatore a expressão: abd - abe + acd - ace

a)	a² . (d + e) (b + c)
b)	a . (d + e) (b - c)
c)	a . (d - e) (b + c²)
d)	a . (d - e) (b² + c²)
e)	a . (d - e) (b + c)

13) Efetue o produto (x - y) . (x + y) . (x² + y²).

a)	x⁴ - y⁴
b)	x⁴ + 4x²y² + y⁴
c)	x⁴ - 2x²y² + y⁴
d)	x⁴ + y⁴
e)	x⁴ + 2x²y² + y⁴

14) Simplifique a expressão:

a)	78
b)	16
c)	4
d)	24
e)	64

15) O valor da expressão para a = 3,7 e b = 2,9 é:

a)
b)
c)
d)
e)	n.d.a.

16) Fatore: 9x² - 12x + 4

a)	(x + 2)²
b)	(6x + 3)²
c)	(3x - 2)²
d)	(3x + 2)²
e)	3 (3x² - 4x)

17) Fatore: (x + y)² - 2 (x + y) + 1

a)	(x + y)² - 2 (x + y)
b)	(x + y + 1)²
c)	(x - y)²
d)	2 (x + y) + 1²
e)	(x + y)² + (x - y)

18) Calcule

a)	100 . 50
b)	100 . 25
c)	2
d)	4
e)	25

19) Fatore: x² - 2xy + y² - z²

a)	(x - z + z) . (x - y - z)
b)	(x - y)² - z²
c)	(x - y)²
d)	(x - y) (x - y - z)
e)	(x - y - z)²

20) Fatore: 4x² - z² + 4xy + y²

a)	(2x - y - z)²
b)	(2x + z) (2x + y)
c)	(2x + y + z)²
d)	(2x + y)² - z²
e)	(2x + y + z) (2x + y - z)

21) Se x = + 1, calcule x² - 2x + 1.

a)	3
b)
c)	4 + 4
d)	4
e)	15

22) Se a . b = e a + b = -1,2, a expressão é igual a

a)	-0,6
b)	-0,5
c)	0,5
d)	0,6
e)	n.d.a.

23) Desenvolva (5x - 2y)²

a)	25x² - 4y²
b)	25x² + 4y²
c)	25x² - 10xy + 4y²
d)	25x² + 10xy + 4y²
e)	25x² - 20xy + 4y²

24) Simplifique .

a)
b)
c)
d)
e)

25) Fatore:

a)	(2x + )²
b)	(2x + )²
c)	(2x + 1)
d)	4 (x² - )
e)	(2x - )²

26) Fatore 3xy²z³ + 6xyz³ - 3xz².

a)	3xyz . (yz + 2yz + 1)
b)	3²x²y²z . (y²z + 2yz + 1)
c)	3xz² . (y²z + 2yz - 1)
d)	3x³ . (y²z + 2yz - 1)
e)	3xz³ . (y²z + 2yz + 1)

27) Fatore a expressão: -5x² + 25x

a)	-5x² . (x² + 5)
b)	-5x . (x + 5)
c)	-5x² . (x - 5)
d)	-5x . (x² - 5)
e)	-5x . (x - 5)

28) Fatore a expressão: 15xy² - 10x²y²

a)	10xy (3 + x)
b)	15x²y² (3 - x)
c)	5xy² (3 - x)
d)	5xy² (3 + x)
e)	5xy (3 - x)

29) Fatore a expressão: 27x³y³ + 81x²y⁴

a)	27x²y³ . (x + 3y)
b)	27x³y³ . (x + y)
c)	81xy . (x + 3y)
d)	81x²y² . (x - 3y)
e)	9x²y³ . (x - 3y)

30) Fatore a expressão: 14a²b³ + 17b³

a)	b . (7a² + 17)
b)	b³ . (14a² + 17)
c)	b³ . (7a² + 17)
d)	b² . (14a + 17)
e)	b² . (2a + 17)

31) Fatore a expressão: 11a³b² - 15a²b

a)	ab . (11ab - 10)
b)	a²b² . (11ab - 15)
c)	a²b . (11ab - 15)
d)	a²b . (11ab 15 15)
e)	a²b² . (11ab + 15)

32) Fatore a expressão: ax + a + x + 1

a)	(x - 1) . (a + x)
b)	(x + 1) . (a + 1)
c)	(x - 1) . (a + 1)
d)	(x - 1) . (a - 1)
e)	(x - 1) . (a - x)

33) Fatore a expressão: 3a + 6

a)	3a + 2
b)	3 . (a + 1)
c)	6 . (a + 2)
d)	3 . ( a + 2)
e)	3 . (a + 6)

34) Fatore a expressão: -2a² - 8a

a)	2a . (a + 4)
b)	2a . (a + 2)
c)	-2a . (2a + 4)
d)	-2a . (a + 4)
e)	-8a . (a + 4)

35) Simplifique a expressão E =

a)
b)
c)
d)
e)

36) Fatore: 16x⁴ - 25y²

a)	(2x² + 5y) . (2x² + 5y)
b)	(2x² + 5y) . (2x² - 5y)
c)	(4x² + 5y) . (4x² - 5y)
d)	(4x² - 5y) . (4x² - 5y)
e)	(4x² + 5y) . (4x² + 5y)

37) Fatore: 144 - h²

a)	(144 - h) (144 + h)
b)	(144 - h) (144 - h)
c)	(100 - h) (44 + h)
d)	(12 + h) (12 - h)
e)	(12 + h) (12 + h)

38) Fatore: 2y³ - 18y

a)	(y + 3)² (y - 3)³
b)	(y + 3)³ (y - 3)³
c)	2y . (y + 3) (y - 3)
d)	2y . (y + 3)³
e)	2y . (y + 3) (y + 3)

39) Fatore: 2t² - 288

a)	(t + 12) (t - 12)
b)	(t + 287) (t - 1)
c)	2 . (t + 12) (t - 12)
d)	2 . (t + 12) (t + 12)
e)	2 . (t - 12) (t - 12)

40) Fatore: ( x + y )² - z²

a)	(x + y + z)² . (x + y + z)
b)	(xyz)² + (x - y - z)²
c)	(x - z) . (y - z)²
d)	(x + y + z) . (x + y - z)
e)	(x - y - z) . (x - y - z)

41) Fatore: a² - b² + a + b

a)	(a + b) . (a - b + 1)
b)	(a + b) . (a - b)
c)	(a - b) . (a - b)
d)	(a + b)² . (a + b + 1)²
e)	(a - b)² . (a - b -1)²

42) Se x e y são números reais distintos, então:

a)	(x²+y²)/(x-y) = x+y
b)	(x²-y²)/(x-y) = x+y
c)	(x²+y²)/(x-y) = x-y
d)	(x²-y²)/(x-y) = x-y
e)	Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.

43) Fatorando a² - b² obtemos:

a)	a. b+ 3 (a+ b+ c)
b)	3. a- b. c
c)	(a + b) (a - b)
d)	a. b+ c
e)	n.d.a

44) Fatorando x² + 2y² + 3xy + x + y obtemos:

a)	(2x - y ).(x - 2y +3)
b)	( x + y ) . (x + 2y + 1)
c)	(2x + y) . (x + y -3 )
d)	x + y (2. x .y)
e)	2x +y (x + 2y + 1)

45) Fatorando x²y - xy² obtemos:

a)	y. x (2- 3)
b)	x (x+ 5)
c)	5.x ( 3 - y )
d)	xy (x - y)
e)	N.d.a

46) Fatorando 12 a²b + 18 a b² obtemos:

a)	(2 .a + 2b ) . (3.a .2b)
b)	(a. b)( 3a. 2+ b)
c)	( 2+ a. b).(3.a . 2.b)
d)	2+ a. 3b (2+ a- 3.b)
e)	(2 .a + 3b ) . (6 a b)

47) (Puc) - Se Simplificarmos a expressão Quanto vamos obter ?

a)
b)	x - y
c)
d)
e)	n.d.a

48) Simplificando a seguinte expressão obtemos:

a)	-3
b)	5
c)	1
d)	2
e)	-1

49) Fatorando 6a²b + 8a obtemos:

a)	2.a ( 3ab + 4 )
b)	4.a ( 6ab + 2 )
c)	2.a + b. 2
d)	2.a.b
e)	3.b (2. b+ a. 4)

50) Simplificando a seguinte expressão obtemos:

a)
b)
c)
d)
e)

Fatoração Gabarito dos extras
Questão 1	C
Questão 2	C
Questão 3	D
Questão 4	B
Questão 5	B
Questão 6	E
Questão 7	C
Questão 8	A
Questão 9	C
Questão 10	A
Questão 11	A
Questão 12	E
Questão 13	A
Questão 14	E
Questão 15	A
Questão 16	C
Questão 17	B
Questão 18	C
Questão 19	A
Questão 20	E
Questão 21	A
Questão 22	C
Questão 23	E
Questão 24	D
Questão 25	A
Questão 26	C
Questão 27	E
Questão 28	C
Questão 29	A
Questão 30	B
Questão 31	C
Questão 32	B
Questão 33	D
Questão 34	D
Questão 35	B
Questão 36	C
Questão 37	D
Questão 38	C
Questão 39	C
Questão 40	D
Questão 41	A
Questão 42	B
Questão 43	C
Questão 44	B
Questão 45	D
Questão 46	E
Questão 47	A
Questão 48	C
Questão 49	A
Questão 50	C

Referências:

http://www.exatas.mat.br/exercicios/fatoracao.htm

http://www.profcardy.com/cardicas/exercicios/

Operação com Frações

2011-10-25T04:20:00.000-07:00

Concurso FCC

Adição e subtração de frações:

1) Verificar se os denominadores são iguais. Se forem iguais, basta somar ou subtrair o numerador. Vejam os exemplos:

2) Caso os denominadores sejam diferentes, devemos encontrar o mmc e transformar em frações de mesmo denominador para depois efetuarmos as operações.

a)

O mmc de 6 e 3 é igual a 6. Transformemos numa fração equivalente de denominador 6.

Podemos agora somar, pois as frações possuem o mesmo denominador. Após a soma, se possível, simplifiquem.

O mmc de 6 e 4 é igual a 12. Vamos transformar e em frações equivalentes de mesmo denominador 12.

Assim:

Multiplicação de frações:

Multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador. Se necessário, simplifique o produto.

Divisão de frações:

Na divisão de frações, vamos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Se necessário, simplifique.

01) (UFRGS) O valor da expresão é:
    (A) -4
    (B) 1/9
    (C) 1
    (D) 5/4
    (E) 9

Estes exercícios devemos somente substituir os valores dados e achar a resposta.

Agora efetuando os calculos:

Resposta certa letra "E".

02) (UFRGS) A expressão é igual a:

(A)
(B)
(C)
(D)
(E)

Primeiro devemos fatorar todas as raízes:

Vamos agora dividir as raízes que têm mais de um fator:

As raízes que podemos tirar vamos tirar e as outras vamos transformar em potências:

Temos duas potências e ambas podem ser simplificadas:

Resposta certa letra "E".

03) (PUC-RS) A expressão é igual a:
    (A) 164
    (B) 83
    (C) 82
    (D) 45
    (E) 41

Utilizando as propriedades de potenciação, vamos substituir as potências pelos seus valores:

Agora devemos efetuar as operações. Lembrando que sempre primeiro as multiplicações, depois as somas.
Resposta certa, letra "E".

04) (UFSM) O valor da expressão é:
    (A) 3.10³
    (B) 3
    (C) 3.10
    (D) 9.10³
    (E) 27.10³

Para facilitar o cálculo, vamos transformar estes números em frações:

Agora podemos cortar alguma coisa:

Fatorando:

Resposta certa letra "C".

08) (UFSM) O valor da expressão é:
    (A)
    (B)
    (C)
    (D)
    (E)

Aplicando as propriedades, temos:

Racionalizando:

Racionalizando novamente:
Resposta certa, letra "A".

10) O valor da expressão
    (A)
    (B)
    (C)

Vamos aplicar as propriedades e fatorar os termos:

Resposta certa, letra "A"

Mais...

01 – Com 12 litros de leite, quantas garrafas de 2/3 de litros poderão ser cheias ?

02 – Coriolano faz um cinto com 3/5 de um metro de couro. Quantos cintos poderão ser feitos com 18 metros de couro ?

03 – Qual é o número cujos 4/5 equivalem a 108 ?

04 – Distribuíram-se 3 1/2 quilogramas de bombons entre vários meninos. Cada um recebeu 1/4 de quilograma. Quantos eram os meninos ?

05 – Para ladrilhar 2/3 de um pátio empregaram-se 5 456 ladrilhos. Para ladrilhar 5/8 do mesmo pátio, quantos ladrilhos seriam necessários ?

06 – Dona Solange pagou R$ 5.960,00 por 4/7 de um terreno. Quanto pagaria por 4/5 desse terreno?

07 – Luciano fez uma viagem de 1.210 km, sendo 7/11 de aeroplano; 2/5 do resto, de trem, 3/8 do novo resto, de automóvel e os demais quilômetros, a cavalo. Calcular quantos quilômetros percorreu a cavalo ?

08 – A terça parte de um número adicionado a seus 3/5 é igual a 28. Calcule a metade desse número ?

09 – Carolina tinha R$ 175,00. Gastou 1/7 de 1/5 dessa importância. Quanto sobrou ?

10 – Que número é necessário somar a um e três quartos para se obter cinco e quatro sétimos ?

11 – A soma de dois números é 850. Um vale 12/5 do outro. Quais são eles ?

12 – Se dos 2/3 de um número subtrairmos seus 3/7, ficaremos com 45. Qual é o número?

13 – A soma de três números é 30. O primeiro corresponde aos 2/3 do segundo e este, aos 3/5 do terceiro. Calcular o produto destes três números.

14 – Se 7/8 de um terreno valem R$ 21.000,00, qual é o valor de 5/48 do mesmo terreno?

15 – Qual é o número que se da metade subtrairmos 8 unidades ficaremos com 1/3 dele mesmo ?

16 – Da terça parte de um número subtraindo-se 12, fica-se com 1/6 do mesmo número. Que número é esse ?

17 – Qual é o número que retirando 48 unidades de sua metade, encontramos a sua oitava parte ?

18 – A diferença entre dois números é 90; um é 3/13 do outro. Calcular os números.

19 – A soma de dois números é 345; um é 12/11 do outro. Calcule-os.

20 – Seu Áureo tendo gasto 4/7 do dinheiro que possuía, ficou com 1/3 dessa quantia mais R$ 164,00. Quanto tinha o velho Áureo?

21 – Divida R$ 1590,00 em três partes de modo que a primeira seja 3/4 da segunda e esta 4/5 da terceira.

22 – Se eu tivesse apenas 1/5 do que tenho, mais R$ 25,00. teria R$ 58,00. Quanto tenho ?

23 – A nona parte do que tenho aumentada de R$ 17,00 é igual a R$ 32,50. Quanto possuo ?

24 – Zé Augusto despendeu o inverso de 8/3 de seu dinheiro e ficou com a metade mais R$ 4,30. Quanto possuía ?

25 – Repartir 153 cards em três montes de forma que o primeiro contenha 2/3 do segundo o qual deverá ter 3/4 do terceiro.

26 – Distribuir 3.717 tijolos por três depósitos de tal maneira que o primeiro tenha 3/4 do segundo e este 5/6 do terceiro.

27 – O diretor de um colégio quer distribuir os 105 alunos da 4ª série em três turmas de modo que a 1ª comporte a terça parte do efetivo; a 2ª, 6/5 da 1ª, menos 8 estudantes e a 3ª, 18/17 da 2ª. Quantos alunos haverá em cada turma ?

28 – Dividiu-se uma certa quantia entre três pessoas. A primeira recebeu 3/5 da quantia, menos R$ 100,00; a segunda, 1/4 , mais R$ 30,00 e a terceira, R$ 160,00. Qual era a quantia?

29 – Um número é tal que, se de seus 2/3 subtrairmos 1.036, ficaremos com 4/9 do mesmo. Que número é esse?

30 – Das laranjas de uma caixa foram retirados 4/9, depois 3/5 do resto, e ficaram 24 delas. Quantas eram as laranjas ?

31 – Marieta tinha R$ 240,00. Gastou um quinto dessa quantia, e, depois, a terça parte do resto. Com quanto ficou ?

32 – Repartir R$ 671,00 entre três pessoas de modo que a primeira seja contemplada com 2/5 do que receber a segunda e esta, 3/8 do receber a terceira.

33 – Dividir R$ 480,00 por três pessoas, de modo que as partes da primeira e da segunda sejam, respectivamente, 1/3 e 4/5 da parte a ser recebida pela terceira

34 – Argemiro tinha R$ 375,00. Despendeu 2/5, menos R$ 6,00; depois a terça parte do resto, mais R$ 18,00. Quanto sobrou ?

35 – Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda, em 12 horas. Que fração do reservatório encherão em uma hora, as duas juntas ?

36 – Uma torneira enche um reservatório em 2 horas e outra em 3 horas. Ambas, em que tempo enchê-lo-ão ?

37 – Uma torneira enche uma cisterna em 1/8 da hora e uma válvula o esvazia em 1/4 da hora. Abertas, em que tempo o reservatório ficará completamente cheio ?

38 – Uma torneira enche um depósito d’água em 1/14 da hora enquanto uma válvula pode esvaziá-lo em 1/9 da hora. Trabalhando juntas, em quanto tempo o líquido contido no depósito atingirá seus 5/6 ?

39 – Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda, em 10 horas. A primeira é conservada aberta durante 2/3 da hora e a segunda durante 1/2 hora. Que fração do reservatório ficará cheia ?

40 – Claudia fez 2/9 de um trabalho em 12 horas e Mariana, 4/7 do resto em 8 horas. Quantas horas levarão para fazer a mesma obra, se trabalharem juntas ?

41 – Taninha fez 2/5 de um bordado em 8 horas e Clarisse, 1/3 do resto em 6 horas. Em quanto tempo poderão concluí-lo, se trabalharem juntas ?

42 – Vó Marieta é capaz de fazer um bordado em 16 horas e tia Celeste, 5/7 do resto em 15 horas. Em quanto tempo aprontarão o bordado todo, se operarem juntas ?

43 – Roberval, um investidor no mercado de capitais, perdeu a quarta parte de um capital. Em outros negócios, ganhou o quíntuplo de R$ 30.000,00. Sendo a fortuna atual o dobro do capital inicial. Que capital era esse ?

44 – Um quitandeiro vendeu ao primeiro freguês 3/5 das melancias que tinha, mais quatro, e ao segundo, 1/3, também do total. Tendo o primeiro ficado com mais duas dúzias de melancias do que o outro, pergunta-se quantas melancias o comerciante possuía e com quantas ficou ?

45 – Andréa tem 2/9 do dinheiro necessário para comprar um apartamento, e seu marido, 3/11 dessa quantia. Se a essa importância o casal adicionar R$ 3.500,00 poderão comprar a casa própria. Qual é o preço do imóvel ? Quanto tem cada um deles ?

46 – Uma torneira enche um reservatório em 6 horas e outra, em 2 horas. Ambas, funcionando conjuntamente, em que tempo encherão o reservatório ?

47 – Uma torneira enche um tanque em duas horas e outra o esvazia em dez horas. O tanque estando vazio e abrindo-se as duas torneiras, em que tempo ficará ele completamente cheio ?

48 – Silvana executa um bordado em nove horas de trabalho e Fernanda, em doze horas. Com auxílio de Eliane, aprontam-no em quatro horas. Calcular o tempo em que Eliane faria o mesmo bordado sozinha.

49 – Alfredo pode pintar uma casa em sete horas de trabalho e seu irmão, em cinco horas. Juntos, que fração do trabalho executarão em uma hora ? Em quanto tempo farão todo a pintura da casa ?

50 – Um trem partiu do Rio com um certo número de passageiros. Na primeira parada, saltaram 3/7 dos passageiros e na quarta entraram 40 pessoas. Em outras estações saltaram 5/8 dos passageiros restantes. O trem chegou à estação final com 36 passageiros. Com quantos passageiros o trem partiu do Rio ?

51 – Um número vale 8/5 de um segundo ou 2/3 de um terceiro. Calcular os três números sabendo que sua soma é igual a 500.

52 – Cuidadosamente, Severina, a empregada dos “Cavalcante” arruma uma bela cesta de maçãs. O patriarca ao ver as maçãs toma para si 1/6 das frutas, sua esposa pega 1/5 das restantes, o filho mais velho pega para si 1/4 do restante, o filho do meio e o mais novo pegam, respectivamente 1/3 e 1/2 dos restantes. Quando Severina chega e percebe o cesto praticamente vazio, fica magoada com a gulodice dos patrões e decide pegar para si as 3 frutas restantes. Quantas eram as maçãs arrumadas originalmente por Severina ?

Resolução dos problemas

01) 18 garrafas
02) 30 cintos
03) 135
04) 14 meninos
05) 5.115
06) R$ 8.344,00
07) 165 km
08) 15
09) R$ 170,00
10)

11) 600 e 250
12) 189
13) 810
14) R$ 2.500,00
15) 48
16) 72
17) 128
18) 117 e 27
19) 180 e 165
20) R$ 1.722,00
21) R$ 397,50 , R$ 530,00 e R$ 662,50
22) R$ 165,00
23) R$ 139,50
24) R$ 34,40
25) 34 , 51 e 68
26) 945, 1260 e 1512
27) 35 , 34 e 36
28) R$ 600,00
29) 4.682
30) 108
31) R$ 128,00
32) R$ 66,00 , R$ 165,00 e R$ 440,00
33) R$ 75,00 , R$ 180,00 e R$ 225,00
34) R$ 136,00
35) 3/20
36) 1 horas e 12 minutos
37) 1/4 h ou 15 min
38) 1/6 h ou 10 min
39) 17/180
40) 13 h 30 min
41) 12 h
42) h

43) R$ 120.000,00
44) 75 e 1
45) R$ 6.930,00, R$ 1.540,00 e R$ 1.890,00
46) 1h 30 min
47) 2 h 30 min
48) 18 horas
49) 12/35 e 2 h 55 min
50) 98
51) 160 , 100 e 240
52) 18 maçãs

Referências:

http://www.exatas.mat.br/fracoes.htm

http://www.coladaweb.com/matematica/exercicios-de-fracoes

Racionalização

2011-10-25T03:52:00.000-07:00

Cooncurso FCC parte II

Racionalização

1) Racionalize o denominador de cada fração:

a)	p)
b)	q)
c)	r)
d)	s)
e)	t)
f)	u)
g)	v)
h)	w)
i)	x)
j)	y)
k)	z)
l)	a`)
m)	b`)
n)	c`)
o)	d`)

2) (Fuvest)

(a)
(b)
(c)
(d)
(e)

Resp: 2)D

Referências:

http://www.exatas.mat.br/exercicios/racionalizacao.htm

Exercícios Frações

2011-10-25T03:36:00.000-07:00

Concurso Fcc Parte I

1) Das figurinhas que eu possuía, ³/₇ eu perdi e ²/₅ foram dadas ao meu irmão, ficando 72 delas comigo. Quantas figurinhas foram dadas ao meu irmão?

2) Um grande depósito foi esvaziado a um terço da sua capacidade e mais tarde, do que sobrou foram retirados três quartos. Sabe-se que o reservatório ainda ficou com vinte mil litros de água. Qual é a capacidade total deste reservatório?

3) Se eu conseguir reduzir do valor de um produto, um quinto deste preço à vista e pagar R$ 128,00 por quatro das nove parcelas. Qual é o preço total do produto sem este desconto?

4) Dos frascos de xampu utilizados mensalmente por uma família, a mãe consome ⁷/₉ de um frasco, a filha caçula consome ¹/₃ de um frasco e a mais velha consome ³/₅ de um frasco, sendo que do total de mililitros ainda sobram 260 ml não consumidos. Visto que elas utilizam a menor quantidade necessária de frascos, qual é a capacidade em mililitros de cada frasco de xampu?

5) Meus dois sobrinhos me visitaram neste final de semana e lhes dei ⁴/₅ dos doces que eu possuía em casa. Um ganhou 10 doces e outro ganhou ⁷/₁₂ dos doces que eu dei. Quantos doces eu deixei de dar?
6) Um assentador de pisos consegue assentar todos os pisos de um salão em 24 horas. Um outro assentador consegue fazer o mesmo trabalho em 21 horas. Trabalhando juntos, conseguem realizar tal trabalho em quantas horas?

7) Para comprar um certo brinquedo, da quantia necessária João possui um terço e Maria possui um quarto. Dona Lurdes, a mãe deles, prometeu completar com os R$ 125,00 que faltam para eles completarem o valor. Quanto custa tal brinquedo?

8) Para transportar uma determinada carga, um caminhão A precisa de quatro viagens e um caminhão B precisa de cinco viagens. Trabalhando em conjunto com um caminhão C, eles conseguem transportar a carga em apenas duas viagens. Quantas viagens o caminhão C precisaria para transportar esta carga sozinho?

9) Um feirante vendeu metade das trezentas dúzias de laranjas que comprou, a R$ 2,00 a dúzia. Dois terços da outra metade vendeu a R$ 1,50 a dúzia e o restante vendeu a R$ 1,00 a dúzia. Qual é a fração das dúzias correspondentes a cada valor de venda e quanto o vendedor faturou na venda?

10) Cinco oitavos de três sétimos do valor de uma multa de trânsito que Zeca pé de chumbo recebeu, é igual a R$ 75,00. Qual é o valor da multa de trânsito referente à infração que Zeca pé de chumbo cometeu?

Resolução:

1) Das figurinhas que eu possuía, ³/₇ eu perdi e ²/₅ foram dadas ao meu irmão, ficando 72 delas comigo. Quantas figurinhas foram dadas ao meu irmão?

Do total de figurinhas que eu possuía, já não possuo mais, ou seja, estou sem delas, como demonstrado abaixo:

1 representa a fração total das figurinhas e é a fração que não está mais comigo. Subtraindo um valor do outro temos:

Logo representa a parte que ficou comigo.
Se soubéssemos o total de figurinhas e o multiplicássemos por , naturalmente iríamos obter 72, então se dividirmos 72 por iremos obter a quantidade total de figurinhas:

Se a quantidade total de figurinhas é igual a 420, então disto será:

Então:

Foram dadas 168 figurinhas ao meu irmão.

Primeiramente o reservatório foi deixado com da sua capacidade e depois reduziu-se este volume em do que havia restado, podemos então montar a seguinte sentença matemática:

Que pode ser resumida a:

Se multiplicarmos a capacidade total do reservatório por , iremos obter os 20000 litros que restam nele, obviamente realizando a operação inversa, se dividirmos os 20000 por iremos obter a capacidade total do depósito:

Portanto:

A capacidade total deste reservatório é de 240 mil litros.

3) Se eu conseguir reduzir do valor de um produto, um quinto deste preço à vista e pagar R$ 128,00 por quatro das nove parcelas. Qual é o preço total do produto sem este desconto?

Se de 1 que representa a fração total do preço do produto, subtrairmos do mesmo ficaremos apenas com :

As quatro das nove parcelas, equivalem a dos :

Ou seja, os R$ 128,00 equivalem a do preço total sem o desconto. Fazendo a operação inversa, se dividirmos esta quantia por esta fração, iremos obter o preço total do produto sem o desconto:

Temos então que:

O preço total do produto sem este desconto é de R$ 360,00.

4) Dos frascos de xampu utilizados mensalmente por uma família, a mãe consome ⁷/₉ de um frasco, a filha caçula consome ¹/₃ de um frasco e a mais velha consome ³/₅ de um frasco, sendo que do total de mililitros ainda sobram 260 ml não consumidos. Visto que elas utilizam a menor quantidade necessária de frascos, qual é a capacidade em mililitros de cada frasco de xampu?

Primeiramente devemos somar as três frações para obtermos a fração de frascos consumida por mês:

Ou seja, por mês é gasto um frasco inteiro, mais de outro frasco. Subtraindo esta fração de 1 (um frasco inteiro), teremos a fração que sobrou no frasco:

Dividindo os 260 ml por iremos obter o volume total de xampu de cada frasco:

Logo, mensalmente elas utilizam 2 frascos de 900 ml, sendo que do volume total 1800 ml, ainda restam 260 ml não utilizados. Se cada uma utilizasse um frasco à parte, utilizariam 3 frascos, o que seria mais que o mínimo necessário.

A capacidade de cada frasco de xampu é de 900 ml.

5) Meus dois sobrinhos me visitaram neste final de semana e lhes dei ⁴/₅ dos doces que eu possuía em casa. Um ganhou 10 doces e outro ganhou ⁷/₁₂ dos doces que eu dei. Quantos doces eu deixei de dar?

Se um dos sobrinhos ganhou dos doces que eu dei, o outro ganhou deles:

Como equivale a 10 doces, dividindo 10 por teremos o total dado de doces:

Se eu dei 24 doces, correspondentes a dos doces que eu possuía, então originalmente eu tinha 30 doces conforme calculado abaixo:

Ora, se dos 30 doces que eu possuía eu dei 24, obviamente fiquei com 6:

Assim sendo:

Eu deixei de dar 6 doces.

6) Um assentador de pisos consegue assentar todos os pisos de um salão em 24 horas. Um outro assentador consegue fazer o mesmo trabalho em 21 horas. Trabalhando juntos, conseguem realizar tal trabalho em quantas horas?

Sabemos que um dos assentadores consegue assentar do salão por hora, ao passo que o outro consegue assentar apenas neste mesmo período.
Trabalhando em conjunto, eles conseguem assentar do salão por hora, que corresponde à soma destas duas frações:

Em uma hora eles conseguem assentar do salão, basta dividirmos 1 (o salão todo) por esta fração para encontrarmos a resposta desejada:

11,2 horas equivalem a 11 horas e 12 minutos, as 11 horas correspondem à parte inteira e os 12 minutos à parte fracionária multiplicada por 60, já que temos 60 minutos em uma hora.
Então:

Trabalhando juntos, os assentadores conseguem realizar tal trabalho em 11 horas e 12 minutos.

7) Para comprar um certo brinquedo, da quantia necessária João possui um terço e Maria possui um quarto. Dona Lurdes, a mãe deles, prometeu completar com os R$ 125,00 que faltam para eles completarem o valor. Quanto custa tal brinquedo?

Se dividirmos a fração referente aos R$ 125,00 que serão fornecidos por Dona Lurdes, iremos encontrar justamente o valor do brinquedo, mas que fração é esta?
Sabemos que 1 corresponde ao valor total do brinquedo, desta forma se dele subtraímos a fração referente à parte de João, juntamente com a parte de Maria, teremos a parte referente aos R$ 125,00 que faltam:

Como dito, ao dividirmos R$ 125,00 por iremos descobrir quanto custa o tal brinquedo:

Desta forma:

Tal brinquedo custa R$ 300,00.

8) Para transportar uma determinada carga, um caminhão A precisa de quatro viagens e um caminhão B precisa de cinco viagens. Trabalhando em conjunto com um caminhão C, eles conseguem transportar a carga em apenas duas viagens. Quantas viagens o caminhão C precisaria para transportar esta carga sozinho?

Como sempre 1 representa o todo, neste caso equivale a toda a carga.
Como em conjunto os três caminhões fazem apenas duas viagens, em cada uma delas eles levam metade da carga ( ).
Segundo este mesmo raciocínio, o caminhão A transporta da carga por viagem, assim como o caminhão B transporta . Subtraindo de estas duas frações temos:

Ou seja, em cada viagem o caminhão C transporta da carga.
Concluímos então que para transportar toda a carga, o caminhão C precisaria de 20 viagens, que podemos calcular simplesmente dividindo 1 por :

Então:

O caminhão C precisaria de 20 viagens para transportar esta carga sozinho.

9) Um feirante vendeu metade das trezentas dúzias de laranjas que comprou, a R$ 2,00 a dúzia. Dois terços da outra metade vendeu a R$ 1,50 a dúzia e o restante vendeu a R$ 1,00 a dúzia. Qual é a fração das dúzias correspondentes a cada valor de venda e quanto o vendedor faturou na venda?

A fração correspondente ao preço de R$ 2,00 tiramos diretamente do enunciado: .
A fração correspondente ao preço de R$ 1,50 é obtido calculando-se de :

Se de 1, a fração correspondente às 300 dúzias, subtrairmos correspondente as laranjas vendidas a R$ 2,00 a dúzia e também correspondente as laranjas vendidas a R$ 1,50 a dúzia, encontraremos a fração que foi vendida a um real a dúzia:

Agora ao somarmos os produtos do número total de dúzias por cada uma das frações multiplicada por seus respectivos valores da dúzia, teremos o valor total faturado:

Portanto:

Na venda o feirante faturou R$ 500,00, sendo que ¹/₂ das 300 dúzias foram vendidas a R$ 2,00 a dúzia, ¹/₃ a R$ 1,50 a dúzia e ¹/₆ a R$ 1,00 a dúzia.

Este problema é bastante simples, basta refazermos as contas em ordem inversa. Primeiro dividimos R$ 75,00 por e depois dividimos por :

Logo:

O valor da multa de trânsito referente à infração é de R$ 280,00.

Referências:

http://www.matematicadidatica.com.br/FracaoExercicios.aspx#anchor_ex10

http://www.somatematica.com.br

Critérios de Divisibilidade

2011-10-25T03:27:00.000-07:00

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.

Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5.

Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.

Divisibilidade por 7

Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.

Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:

16592	Número sem o último algarismo
-16	Dobro de 8 (último algarismo)
16576	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

1657	Número sem o último algarismo
-12	Dobro de 6 (último algarismo)
1645	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

164	Número sem o último algarismo
-10	Dobro de 5 (último algarismo)
154	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

15	Número sem o último algarismo
-8	Dobro de 4 (último algarismo)
7	Diferença

A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.

Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:

426	Número sem o último algarismo
-2	Dobro do último algarismo
424	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

42	Número sem o último algarismo
-8	Dobro do último algarismo
34	Diferença

A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.

Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9.

Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.

Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).

Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero).

Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, então o número é divisível por 11.

Exemplo: 1353 é divisível por 11, pois:

Número	1	3	5	3
Ordem	ímpar	par	ímpar	par

O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número é divisível por 11.

Exemplo: 29458 é divisível por 11, pois:

Número	2	9	4	5	8
Ordem	ímpar	par	ímpar	par	ímpar

A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.

Exemplo: 2543 não é divisível por 11, pois:

Número	2	5	4	3
Ordem	ímpar	par	ímpar	par

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par é Sp=5+3=8 e como a diferença Si-Sp não é divisível por 11, o número original também não é divisível por 11.

Exemplo: 65208 é divisível por 11, pois:

Número	6	5	2	0	8
Ordem	ímpar	par	ímpar	par	ímpar

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5. Como a diferença Si-Sp=11, o número 65208 é divisível por 11

Divisibilidade por 13

Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.

Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.

1656	Número sem o último algarismo
+8	Quatro vezes o último algarismo
1664	Soma

Repete-se o processo com este último número.

166	Número sem o último algarismo
+16	Quatro vezes o último algarismo
182	Soma

Repete-se o processo com este último número.

18	Número sem o último algarismo
+8	Quatro vezes o último algarismo
26	Soma

Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.

Divisibilidade por 16

Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16.

Exemplos: 54096 é divisível por 16 pois 4096 dividido por 16 fornece 256, mas 45321 não é divisível por 16 pois 5321 não é divisível por 16.

Divisibilidade por 17

Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 17.

Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:

1859	Número sem o último algarismo
-40	Cinco vezes o último algarismo
1819	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

181	Número sem o último algarismo
-45	Cinco vezes o último algarismo
136	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

13	Número sem o último algarismo
-30	Cinco vezes o último algarismo
-17	Diferença

A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.

Divisibilidade por 19

Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 19.

Exemplo: 165928 é divisível por 19? Vamos verificar.

16592	Número sem o último algarismo
+16	Dobro do último algarismo
16608	Soma

Repete-se o processo com este último número.

1660	Número sem o último algarismo
+16	Dobro do último algarismo
1676	Soma

Repete-se o processo com este último número.

167	Número sem o último algarismo
+12	Dobro do último algarismo
179	Soma

Repete-se o processo com este último número.

17	Número sem o último algarismo
+18	Dobro do último algarismo
35	Soma

Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.

Exemplo: 4275 é divisível por 19, pois:

427	Número sem o último algarismo
+10	Dobro do último algarismo
437	Soma

Repete-se o processo com este último número.

43	Número sem o último algarismo
+14	Dobro do último algarismo
57	Soma

Repete-se o processo com este último número.

5	Número sem o último algarismo
+14	Dobro do último algarismo
19	Soma

Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19.

Divisibilidade por 23

Um número é divisível por 23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 23.

Exemplo: 185909 é divisível por 23? Vamos verificar.

18590	Número sem o último algarismo
+63	Dobro do último algarismo
18653	Soma

Repete-se o processo com este último número.

1865	Número sem o último algarismo
+21	Dobro do último algarismo
1886	Soma

Repete-se o processo com este último número.

188	Número sem o último algarismo
+42	Dobro do último algarismo
230	Soma

Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23.

Divisibilidade por 29

Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 29. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 29.

Exemplo: O número 8598 é divisível por 29?

859	Número sem o último algarismo
-24	Dobro do último algarismo
835	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

83	Número sem o último algarismo
-15	Dobro do último algarismo
68	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

6	Número sem o último algarismo
-24	Dobro do último algarismo
-18	Diferença

A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29.

Divisibilidade por 31

Um número é divisível por 31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 31.

Exemplo: 8598 é divisível por 31?

859	Número sem o último algarismo
+24	Triplo do último algarismo
883	Soma

Repete-se o processo com este último número.

88	Número sem o último algarismo
+9	Triplo do último algarismo
97	Soma

Repete-se o processo com este último número.

9	Número sem o último algarismo
+21	Triplo do último algarismo
30	Soma

A soma não é divisível por 31, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 31.

Divisibilidade por 49

Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 49. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 49.

Exemplo: 8598 é divisível por 49?

859	Número sem o último algarismo
+40	Cinco vezes o último algarismo
899	Soma

Repete-se o processo com este último número.

89	Número sem o último algarismo
+45	Cinco vezes o último algarismo
134	Soma

Repete-se o processo com este último número.

13	Número sem o último algarismo
+20	Cinco vezes o último algarismo
33	Soma

A soma não é divisível por 49, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 49.

Referências:

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/divisibilidade.htm

http://www.somatematica.com.br/fundam/critdiv.php

http://pt.wikipedia.org/wiki/Crit%C3%A9rios_de_divisibilidade

Matemática e Música

2011-10-10T07:11:00.000-07:00

Vale a pena acessar esse artigo!

somatematica.com

Do ponto-de-vista acústico, os sons utilizados para produção de música (excetuando os sons de alguns instrumentos de percussão) possuem determinadas características físicas, tais como oscilações bem definidas (freqüências) e presença de harmônicos. Entende-se, no caso, por oscilações bem definidas o fato de que um som musical, na grande maioria das vezes, ocorre de forma sustentada (pouco ou muito), de maneira que sua característica de oscilação se mantém por alguns ou muitos ciclos, diferentemente dos ruídos e outros sons não musicais.

No que diz respeito à presença de harmônicos cabe lembrar que a maioria dos sons musicais não ocorre apenas em seu modo mais simples de vibração (modo fundamental), pois são compostos sempre deste modo (fundamental) e de mais outros, chamados de modos harmônicos, que nada mais são do que o corpo vibrante oscilando também com freqüências múltiplas inteiras (x2, x3, x4, etc) da freqüência do modo fundamental.

Os teóricos da música com frequência usam a matemática para entender a estrutura musical e comunicar novas maneiras de ouvir música. Isto levou a aplicações musicais da teoria dos conjuntos, álgebra abstrata e teoria dos números. Os estudiosos da música também usaram a matemática para entender as escalas musicais, e alguns compositores incorporaram a proporção áurea e o número de Fibonacci em seu trabalho.^[1]

wikipedia.com

Conexões com a teoria dos conjuntos

A teoria musical dos conjuntos usa alguns dos conceitos da teoria matemática dos conjuntos para organizar os objetos musicais e descrever suas relações.

Para analisar a estrutura de uma peça musical (tipicamente de atonal) usando a teoria musical dos conjuntos, começa-se geralmente com um conjunto de sons, que podem formar motivos ou acordes. Aplicando operações simples como transposição e inversão descobre-se estruturas profundas na música. Esse tipo de operação é chamado de isometria, porque preserva os intervalos entre sons num conjunto.

Vídeos:

Conexões com a álgebra abstrata

Partindo dos métodos da teoria musical dos conjuntos, muitos teóricos expandiram para o uso da álgebra abstrata na análise musical. Por exemplo, as notas em uma oitava de temperamento igual formam um grupo abeliano com 12 elementos. É possível descrever o temperamento justo em termos de um grupo abeliano livre^[2].

Alguns teóricos propuseram aplicações musicais de conceitos algébricos mais sofisticados. O matemático Guerino Mazzola aplicou a teoria topos à música, mas o resultado é controvertido.

A escala cromática tem uma ação livre e transitiva de , com a ação sendo definida via transposição de notas. Logo, a escala cromática pode ser vista como um torsor para o grupo .

[editar] Conexões com a teoria dos números

A interpretação moderna do temperamento justo é inteiramente baseada no teorema fundamental da aritmética.

A proporção áurea e o número de Fibonacci

Acredita-se que alguns compositores escreveram sua música usando a proporção áurea e os números de Fibonacci para auxiliá-los.^[3]. Para o ouvinte, no entanto, não é possível determinar o quanto esse uso é intencional ou inconsciente.

Ernő Lendvai analisa os trabalhos de Béla Bartók como baseados em dois sistemas opostos: a proporção áurea e a escala acústica. Em Música para cordas, percussão e celesta, a progressão do xilofone no começo do terceiro movimento ocorre nos intervalos 1:2:3:5:8:5:3:2:1. O compositor francês Eric Satie usou a proporção áurea em Sonneries de la Rose Croix e outra peças, o que deu a sua música um senso de simetria.

A proporção áurea é notada também na organização das seções da música Reflets dans l'eau de Images pour piano, de Claude Debussy, organizada segundo intervalos de 34, 21, 13 e 8 (uma sequência de Fibonacci descendente), e o clímax se situa na posição φ.

Sistemas de afinação

Uma escala musical é um seqúência discreta de sons usados para fazer ou descrever música. A escala tem um intervalo de repetição, normalmente a oitava. Isto significa que para cada nota na escala temos um som correspondente uma oitava acima e uma oitava abaixo, apesar dos limites do ouvido humano para eles. Como estamos geralmente interessados nas relações ou razões entre as alturas (conhecidas como intervalos e não nas alturas precisas em si mesmas para descrever a escala, é comum nos refirmos a todas as alturas da escala em termos de sua razão a partir de uma altura particular, à qual é dada o valor um (escrita geralmente 1/1 quando se discute a entonação justa). Esta nota pode, mas não necessariamente, ser uma que funcione como tônica da escala. Para afinações que usam números irracionais (i.e., temperamentos), ou para comnparação do tamanho de intervalos, usa-se geralmente os cents.

Afinação pitagórica

Entonação justa

Nota	Razão	Intervalo
0	1:1	uníssono
1	135:128	segunda menor
2	9:8	segunda maior
3	6:5	terça menor
4	5:4	terça maior
5	4:3	quarta perfeita
6	45:32	trítono diatônico
7	3:2	quinta justa
8	8:5	sexta menor
9	27:16	sexta maior pitagórica
10	9:5	sétima menor
11	15:8	sétima maior
12	2:1	oitava

Matemática das escalas musicais

Temperamento igual

Amostras de sons

Frequência e altura

Percepção

Nota	Frequência (Hz)	Frequência Distância da nota anterior	Log frequência log₂ f	Log frequência Distância da nota anterior
lá₂	110.00	N/A	6.781	N/A
lá₂#	116.54	6.54	6.864	0.0833 (or 1/12)
si₂	123.47	6.93	6.948	0.0833
dó₂	130.81	7.34	7.031	0.0833
dó₂#	138.59	7.78	7.115	0.0833
ré₂	146.83	8.24	7.198	0.0833
ré₂#	155.56	8.73	7.281	0.0833
mi₂	164.81	9.25	7.365	0.0833
fá₂	174.61	9.80	7.448	0.0833
fá₂#	185.00	10.39	7.531	0.0833
sol₂	196.00	11.00	7.615	0.0833
sol₂#	207.65	11.65	7.698	0.0833
lá₃	220.00	12.35	7.781	0.0833

Identidade harmônica	Nome comum	Exemplo	Múltiplo de Freq. Fundamental	Razão (esta identidade/última oitava)
1	Fundamental	lá₂ - 110Hz	1x	1/1 = 1x
2	Oitava	lá₃ - 220 Hz	2x	2/1 = 2x (also 2/2 = 1x)
3	Quinta Perfeita	mi₃ - 330 Hz	3x	3/2 = 1.5x
4	Oitava	lá₄ - 440 Hz	4x	4/2 = 2x (also 1x)
5	Terça Maior	dó#₄ - 550 Hz	5x	5/4 = 1.25x
6	Quinta Perfeita	mi₄ - 660 Hz	6x	6/4 = 1.5x
7	"Sétima Perfeita"	sol#₄ - 770 Hz	7x	7/4 = 1.75x
8	Oitava	lá₅ - 880 Hz	8x	8/4 = 2x (also 1x)

Identidade Harmônica	Nome comum	Ponto Linear Escala Exponential	Ponto Linear Escala Normalizada (linear)
1	fundamental	1/1 = 1x	log₂(1.0) = 0.00
2	oitava	2/1 = 2x	log₂(2.0) = 1.00
3	quinta perfeita	3/2 = 1.5x	log₂(1.5) = 0.585
4	oitava	4/2 = 2x	log₂(2.0) = 1.00
5	terça maior	5/4 = 1.25x	log₂(1.25) = 0.322
6	quinta perfeita	6/4 = 1.5x	log₂(1.5) = 0.585
7	"sétima perfeita"	7/4 = 1.75x	log₂(1.75) = 0.807
8	oitava	8/4 = 2x	log₂(2.0) = 1.00

Referências:

http://www.somatematica.com.br

http://pt.wikipedia.org/wiki

youtube.com

Elipse

2011-08-26T04:23:00.000-07:00

Em geometria, uma elipse é um tipo de secção cônica: se uma superfície cônica é cortada com um plano que não passe pela base e que não intercepte as duas folhas do cone, a intersecção entre o cone e o plano é uma elipse. Para uma prova elementar disto, veja esferas de Dandelin.

Em alguns contextos, pode-se considerar o círculo e o segmento de reta como casos especiais de elipses, no caso do círculo, o plano que corta o cone é paralelo à sua base.

A elipse tem dois focos, que no caso do círculo são sobrepostos. O segmento de reta que passa pelos dois focos chama-se eixo maior, e o segmento de reta que passa pelo ponto médio do eixo maior e é perpendicular a ele chama-se eixo menor. Fixando o comprimento do eixo maior e diminuindo o comprimento do eixo menor, obtêm-se elipses cada vez mais próximas de um segmento de recta. A elipse é também a intersecção de uma superfície cilíndrica com um plano que a corta numa curva fechada.

As medidas da elipse são dadas pela metade dos eixos maior e menor sendo chamadas, respectivamente, de semi-eixo maior (a) e semi-eixo menor (b).

Equações

Coordenadas Cartesianas

Algebricamente, uma elipse é a curva no plano cartesiano definida por uma equação da forma

tal que , onde todos os coeficiente são reais, e onde mais de uma solução, definindo um par de pontos (x,y) na elipse, existe. O caso corresponde ao círculo.

Quando os eixos da elipse são paralelos aos eixos coordenados a equação anterior torna a forma mais simples:

onde (h,k) é o centro da elipse, e a e b são os semi-eixos da elipse.

Outras equações úteis:

1) Centro na Origem:

a) Eixo maior paralelo ao eixo x:

b) Eixo maior paralelo ao eixo y:

2) Centro como um vértice, geralmente apresentado como C(h,k):

a) Eixo maior paralelo ao eixo x:

b) Eixo maior paralelo ao eixo y:

Coordenadas polares

Em coordenadas polares, existem duas formas principais de se descrever a elipse:

a) Com origem no centro da elipse:

b) Com origem em um dos focos: , sendo e a excentricidade.

Essa forma é muito conveniente para aplicações em mecânica celeste, neste caso o ângulo é chamado de anomalia verdadeira e é representado pela letra grega (nu ou ni)

Coordenadas paramétricas

Área

A área interior de uma elipse é dada por , onde a representa o semieixo (metade do eixo) maior, e b corresponde ao semieixo menor.

[editar] Propriedade reflectora da elipse

As linhas FM e F'M formam ângulos iguais com a tangente à elipse no ponto M.

A elipse tem a propriedade de que a bissectriz do ângulo formado pelos dois focos e por um ponto qualquer da elipse (como vértice) é perpendicular à tangente à elipse nesse ponto.

Como consequência, qualquer raio luminoso ou onda sonora, que parta de um dos focos, será reflectido pela elipse na direcção do outro foco.

Curiosidades

Segundo esta propriedade, numa mesa de bilhar elíptica, qualquer choque entre duas bolas, acontecido num foco, será refletido e fará bater em uma terceira bola estacionada no outro foco.

Num plano de três dimensões, esse é o princípio da sala de sussurro que existe em museus e exposições: duas pessoas estacionadas nos focos de um elipsóide podem conversar entre si em voz baixa e mesmo assim serem ouvidas por uma pessoa estacionada no outro foco. No Capitólio dos Estados Unidos da América há uma sala elíptica onde a propriedade reflectora da elipse teria sido usada pelo presidente John Quincy Adams para escutar conversas que decorriam do outro lado da sala.

Outro fato curioso sobre as elipses é que, trabalhando com sua excentricidade (e=c/a), podemos obter tanto circunferências (casos de excentricidade nula e, portanto, com distância focal igual a zero) quanto segmentos de reta (casos de excentricidade igual a 1, ou seja, a distância focal coincide com o tamanho do eixo maior).

O acompanhamento por telescópio do reflexo da intensa luminosidade de uma supernova nos gases e poeira que se encontram sobre o elipsóide, cujos focos são a supernova e a Terra, tem permitido compreender melhor a estrutura do meio interestelar.^[1]

Primeira lei de Kepler

A primeira lei de Kepler afirma que a órbita dos planetas em redor do Sol é elíptica, estando o Sol num dos focos. Dos seis elementos orbitais necessários para descrever completamente a órbita do planeta dois são os parâmetros que definem a elipse.

Geometria Analítica

2011-08-12T15:35:00.000-07:00

A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650) (Renatus Cartesius, em Latim), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas.

Por aquilo que dela é ensinado nos livros escolares, pode-se explicar a geometria analítica de uma forma mais simples: a disciplina procura definir formas geométricas de modo numérico e extrair informação numérica dessa representação. O resultado numérico também pode, no entanto, ser um vector ou uma forma.

René Descartes criou as fundações para os métodos da geometria analítica em 1637 no apêndice intitulado Geometria do seu Discurso do Método. Este livro e os seus princípios filosóficos criaram as fundações para o cálculo, que foi mais tarde introduzido independentemente por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz.

Os temas importantes de geometria analítica incluem:

Espaço vectorial
Definição do plano
Problemas de distância
O produto escalar para obter o ângulo entre dois vectores
O produto vectorial para obter um vector perpendicular a dois vectores conhecidos (e também o seu volume espacial)
Problemas de intersecção

Alguns destes problemas envolvem álgebra linear.

A geometria analítica, no contexto da geometria algébrica, é também o nome da teoria das variedades complexas e dos mais gerais espaços analíticos. Está ligada à geometria algébrica, especialmente pelo trabalho de Serre.

Podemos relacionar os seguintes tópicos ao estudo da G.A.:

Estudo Analítico do Ponto
Plano Cartesiano
Distância entre dois pontos
Ponto médio de um segmento
Condição de alinhamento de três pontos

Estudo da Reta
Equação geral e reduzida da reta
Intersecção entre retas
Paralelismo
Perpendicularidade
Ângulos entre retas
Distância entre ponto e reta

Estudo da Circunferência
Equação geral e reduzida da circunferência
Posições relativas entre ponto e circunferência
Posições relativas entre reta e circunferência
Problemas relacionados à tangência

Estudo das Cônicas
Elipse
Hipérbole
Parábola Intersecção entre cônicas
Retas tangentes a uma cônica

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Para baixar mais livros da coleção:

http://www.geometriaanalitica.com.br/index.html

Referências:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_anal%C3%ADtica

http://www.brasilescola.com/matematica/geometria-analitica.htm

http://geometriaa.dominiotemporario.com/livros/av.pdf

http://www.geometriaanalitica.com.br/index.html

Todo Número elevado a 0 resulta em 1. Será? ...e Por quê?

2011-08-05T07:30:00.000-07:00

Por que todo número elevado a zero é um?

Para começar, sabemos que a potenciação é um caso específico da multiplicação, no qual todos os fatores são iguais. Por exemplo:

2 X 2 X 2 X 2 X 2

3 X 3 X 3 X 3 X 3

Nessa condição, escrevemos o valor do fator e na sua parte superior, à direita, um outro número que indica justamente quantas vezes o estamos multiplicando.

Esse número que é colocado na parte superior do fator é conhecido como expoente. Essa forma facilita bastante a escrita:

2 X 2 X 2 X 2 = 2⁴

3 X 3 X 3 X 3 X 3 = 3⁵

As propriedades surgem espontaneamente a partir das operações da multiplicação e da divisão com potências.

Para calcular (2⁵) X (2⁴), basta manter a base e somar os expoentes.

Pode-se verificar isso pela própria definição da potenciação:

Em (2 X 2 X 2 X 2 X 2) X (2 X 2 X 2 X 2) multiplica-se o fator 2 nove vezes (2⁹) e 4 + 5 = 9. Resumindo: (2< sup="">) X (2< sup="">) = 2 ^{5 + 4} = (2⁹).

Na situação inversa - de dividirmos em vez de multiplicarmos - temos ():() que no caso é igual a que por sua vez é , isso equivale a subtrair os expoentes.

Dessa forma, no caso da divisão, se tivermos bases iguais, manteremos a base subtraindo o expoente do dividendo ou numerador pelo expoente do divisor ou denominador.

Para o nosso exemplo teremos ():() =

É a partir dessa última propriedade que se produz a conseqüência de que todo número elevado a zero é igual a 1.

Em divisão com potências, em que as bases são iguais, teremos a divisão de dois números iguais e um número dividido por ele mesmo resulta sempre na unidade.

Um exemplo: se tivermos observamos que o dividendo é igual ao divisor e portanto a operação terá 1 como resultado.

Pela propriedade e assim concluímos que

Poderemos experimentar bases com todos os tipos de números - com a cautela de excluirmos o zero. Pelo fato de a regra ter se originado da divisão, e não esquecendo que um número nunca pode ser dividido por zero, a regra ficará mais precisa com o enunciado que todo o número diferente de zero elevado a zero terá como resultado o valor um.

Excessão à regra:

A expressão matemática 0º é muitas vezes considerada como uma forma indeterminada em Matemática. Outras vezes esta expressão é considerada, por convenção, como sendo igual a 1. Por exemplo, ela aparece quando se calcula o limite:

Lim f(x)^g(x)

quando x tende a 0 e Lim f(x)=Lim g(x)=0.

Uma forma indeterminada é o valor numérico que pode ser atribuído ao limite de uma função h=h(x) quando se substitui a variável x pelo valor numérico onde o mesmo será calculado, sem haver um trabalho mais aprimorado com a expressão envolvida com a função h=h(x).

As principais formas indeterminadas são:

0/0, 0.inf, inf/inf, 1^inf, inf-inf e 0º

onde inf significa "infinito".

Várias destas formas indeterminadas podem ser estudadas com o auxílio da Regra de L'Hôpital.

A função real f(x)=x^x possui uma descontinuidade em x=0, razão pela qual não é óbvio que se tenha que

f(0) = Lim f(x) = Lim x^x

quando x tende a 0.

Pode ser que, até mesmo este limite:

seja determinado e igual a 1 (uma escolha natural),
seja indeterminado, ou
nem mesmo exista.

Quando estamos calculando

Lim f(x)^g(x)

com x tendendo a 0 e lim f(x)=Lim g(x)=0, devemos fazer algumas exigências sobre as funções f e g.

Como a Regra de L'Hôpital tem íntima relação com o fato de uma f função ter desenvolvimento em série de potências (f ser analítica) em torno do ponto onde se calcula o limite, fica claro que quando esta propriedade é satisfeita nas vizinhanças deste ponto, então quase sempre é possível garantir que 0º=1.

Sem esta propriedade sobre o fato que a função deve ser analítica, nada podemos afirmar.

O fato citado acima pode ser observado se tomarmos a função definida por f(x)=exp(-1/x) se x>0 e f(x)=0 se x<0. (que não tem desenvolvimento em série de potências em torno de x=0) e g(x)=x.

Lim f(x)=0 e Lim g(x)=0 quando x tende a 0, mas:

Lim f(x)^g(x) = Lim [exp(-1/x)]^x = 1/e = 0,3679...

que obviamente não é igual a 1.

Substituindo o número e de Euler por 2, obteremos um resultado diferente, significando que poderemos obter o limite que desejarmos, assim, este limite é indeterminado.

Concluímos que, se x tende a 0 e Lim f(x)=0=Lim g(x), o limite

Lim f(x)^g(x) é indeterminado

e nem mesmo podemos afirmar que 0º possa ser 1.

Lim f(x)^g(x)

quando x tende a 0 e Lim f(x)=Lim g(x)=0.

As principais formas indeterminadas são:

0/0, 0.inf, inf/inf, 1^inf, inf-inf e 0º

onde inf significa "infinito".

Várias destas formas indeterminadas podem ser estudadas com o auxílio da Regra de L'Hôpital.

A função real f(x)=x^x possui uma descontinuidade em x=0, razão pela qual não é óbvio que se tenha que

f(0) = Lim f(x) = Lim x^x

quando x tende a 0.

Pode ser que, até mesmo este limite:

seja determinado e igual a 1 (uma escolha natural),
seja indeterminado, ou
nem mesmo exista.

Quando estamos calculando

Lim f(x)^g(x)

com x tendendo a 0 e lim f(x)=Lim g(x)=0, devemos fazer algumas exigências sobre as funções f e g.

Sem esta propriedade sobre o fato que a função deve ser analítica, nada podemos afirmar.

O fato citado acima pode ser observado se tomarmos a função definida por f(x)=exp(-1/x) se x>0 e f(x)=0 se x<0. (que não tem desenvolvimento em série de potências em torno de x=0) e g(x)=x.

Lim f(x)=0 e Lim g(x)=0 quando x tende a 0, mas:

Lim f(x)^g(x) = Lim [exp(-1/x)]^x = 1/e = 0,3679...

que obviamente não é igual a 1.

Substituindo o número e de Euler por 2, obteremos um resultado diferente, significando que poderemos obter o limite que desejarmos, assim, este limite é indeterminado.

Concluímos que, se x tende a 0 e Lim f(x)=0=Lim g(x), o limite

Lim f(x)^g(x) é indeterminado

e nem mesmo podemos afirmar que 0º possa ser 1.

Entendendo a Teoria da Relatividade

2011-07-29T11:42:00.000-07:00

A Teoria da Relatividade é a denominação dada ao conjunto de duas teorias científicas: a Relatividade Restrita (ou Especial) e a Relatividade Geral.

A Relatividade Especial é uma teoria publicada em 1905 por Albert Einstein, concluindo estudos precedentes do matemático francês Henri Poincaré e do físico neerlandês Hendrik Lorentz, entre outros. Ela substitui os conceitos independentes de espaço e tempo da Teoria de Newton pela ideia de espaço-tempo como uma entidade geométrica unificada. O espaço-tempo na relatividade especial consiste de uma variedade diferenciável de 4 dimensões, três espaciais e uma temporal (a quarta dimensão), munida de uma métrica pseudo-riemanniana, o que permite que noções de geometria possam ser utilizadas. É nessa teoria, também, que surge a ideia de velocidade da luz invariante.

O termo especial é usado porque ela é um caso particular do princípio da relatividade em que efeitos da gravidade são ignorados. Dez anos após a publicação da teoria especial, Einstein publicou a Teoria Geral da Relatividade, que é a versão mais ampla da teoria, em que os efeitos da gravitação são integrados, surgindo a noção de espaço-tempo curvo.

Assista aos Vídeos:

História

Albert Einstein fotografado por Oren J. Turner em 1947.

O princípio da relatividade foi surgindo ao longo da história da filosofia e da ciência como consequência da compreensão progressiva de que dois referenciais diferentes oferecem visões perfeitamente plausíveis, ainda que diferentes, de um mesmo efeito.

O princípio da relatividade foi introduzido na ciência moderna por Galileu e afirma que o movimento, ou pelo menos o movimento retilíneo uniforme, só tem algum significado quando comparado com algum outro ponto de referência. Segundo o princípio da relatividade de Galileu, não existe sistema de referência absoluto pelo qual todos os outros movimentos possam ser medidos. Galileu referia-se à posição relativa do Sol (ou sistema solar) com as estrelas de fundo. Com isso, elaborou um conjunto de transformações chamadas 'transformadas de Galileu', compostas de cinco leis para sintetizar as leis do movimento quando a mudanças de referenciais. Mas naquele tempo acreditava-se que a propagação eletromagnética, ou seja, a luz, fosse instantânea; e, portanto, Galileu e mesmo Newton não consideravam em seus cálculos que os acontecimentos observados fossem dissociados dos fatos. Esse fenômeno que separava a luz do som, aqui na Terra, seria mais acentuado quando observado a grandes distâncias, e já mostrava, em fins do século XIX, a importância de estabelecer normas aplicáveis a uma teoria do tempo.

Muitos historiadores e físicos atribuem a criação da famosa fórmula que explica a relação entre massa e energia ao físico italiano Olinto De Pretto, que, segundo especulações, desenvolveu a fórmula dois anos antes que Albert Einstein, e que teria previsto o seu uso para fins bélicos e catastróficos, como o desenvolvimento de bombas atômicas. Apesar disso, foi Einstein o primeiro a dar corpo à teoria, juntando os diversos fatos até então desconexos e os interpretando corretamente.

Postulados da relatividade

1. Primeiro postulado (princípio da relatividade)

As leis que governam as mudanças de estado em quaisquer sistemas físicos tomam a mesma forma em quaisquer sistemas de coordenadas inerciais.

Nas palavras de Einstein:

"...existem sistemas cartesianos de coordenadas - os chamados sistemas de inércia - relativamente aos quais as leis da mecânica (mais geralmente as leis da física) se apresentam com a forma mais simples. Podemos assim admitir a validade da seguinte proposição: se K é um sistema de inércia, qualquer outro sistema K' em movimento de translação uniforme relativamente a K, é também um sistema de inércia."

2. Segundo postulado (invariância da velocidade da luz )

A luz tem velocidade invariante igual a c em relação a qualquer sistema de coordenadas inercial.

A velocidade da luz no vácuo é a mesma para todos os observadores em referenciais inerciais e não depende da velocidade da fonte que está emitindo a luz nem tampouco do observador que a está medindo. A luz não requer qualquer meio (como o éter) para se propagar. De fato, a existência do éter é mesmo contraditória com o conjunto dos fatos e com as leis da mecânica.

Apesar do primeiro postulado ser quase senso comum, o segundo não é tão óbvio. Mas ele é de certa forma uma consequência de se utilizar o primeiro postulado ao se analisarem as equações do eletromagnetismo. Através das transformações de Lorentz pode-se demonstrar o segundo postulado.

Porém, é necessário dizer que Einstein, segundo alguns, não quis basear a relatividade nas equações de Maxwell, talvez porque entendesse que a validade destas não era ilimitada. Isto decorre da existência do fóton, o que tacitamente indica que as equações de campo previstas por Maxwell não podem ser rigorosamente lineares.

Consequências da relatividade especial

A relatividade especial tem consequências consideradas bizarras por muitas pessoas. Esta opinião é perfeitamente compreensível, pois estas consequências estão relacionadas a comparações entre observadores movimentando-se a velocidades próximas à da luz, e o ser humano não tem nenhuma experiência com viagens a velocidades comparáveis à velocidade da luz. Eis algumas das consequências:

O intervalo de tempo em um referencial em movimento em relação a um observador externo parece ser, para este, maior que o seu próprio intervalo de tempo. Explicando melhor, se um fenômeno periódico que no referencial de um dado observador inercial ocorre com um período T parece ocorrer em um período T' maior num referencial inercial movendo-se em relação a este.
Eventos que ocorrem simultaneamente em um referencial inercial não são simultâneos em outro referencial em movimento relativo (falta de simultaneidade).
As dimensões de objetos medidos em um referencial podem ser diferentes para um outro observador em outro referencial em movimento. Se um corpo está em movimento ao longo de um eixo, a dimensão do corpo ao longo deste eixo parecerá menor do que quando o mesmo corpo estiver parado em relação ao referencial do observador (contração dos comprimentos) .

Aparentes paradoxos da Relatividade Restrita

Gêmeos

Há aqui dois aspectos diferentes a serem considerados. O primeiro é que, no contexto da mecânica clássica, a dilatação temporal não existe, o que levaria o gêmeo que viajou na nave estranhar a disparidade dos tempos decorridos experimentados por ele e pelos que ficaram na Terra.

Porém, o real paradoxo aqui é o fato de que, mesmo se aceitando a dilatação temporal, o gêmeo que viajou pelo universo a bordo da nave, sob velocidades próximas à da luz, tem todo o direito (no escopo da RR) de alegar que a Terra é que se movia com velocidade próxima à da luz. Assim, ele acha que a Terra é que deveria ter tido o seu fluxo de tempo alterado.

O entendimento perfeito desse efeito, porém, só pode ocorrer se lembrar que a nave percorreu uma trajetória maior (considerando-se a trajetória no espaço-tempo) e, além do mais, ambos os referenciais em algum momento sofrem acelerações.

História

Albert Einstein fotografado por Oren J. Turner em 1947.

Postulados da relatividade

1. Primeiro postulado (princípio da relatividade)

As leis que governam as mudanças de estado em quaisquer sistemas físicos tomam a mesma forma em quaisquer sistemas de coordenadas inerciais.

Nas palavras de Einstein:

2. Segundo postulado (invariância da velocidade da luz )

A luz tem velocidade invariante igual a c em relação a qualquer sistema de coordenadas inercial.

Consequências da relatividade especial

O intervalo de tempo em um referencial em movimento em relação a um observador externo parece ser, para este, maior que o seu próprio intervalo de tempo. Explicando melhor, se um fenômeno periódico que no referencial de um dado observador inercial ocorre com um período T parece ocorrer em um período T' maior num referencial inercial movendo-se em relação a este.
Eventos que ocorrem simultaneamente em um referencial inercial não são simultâneos em outro referencial em movimento relativo (falta de simultaneidade).
As dimensões de objetos medidos em um referencial podem ser diferentes para um outro observador em outro referencial em movimento. Se um corpo está em movimento ao longo de um eixo, a dimensão do corpo ao longo deste eixo parecerá menor do que quando o mesmo corpo estiver parado em relação ao referencial do observador (contração dos comprimentos) .

Aparentes paradoxos da Relatividade Restrita

Gêmeos

Aprenda Lógica em Quatro Vídeos !

2011-07-28T05:40:00.000-07:00

Exercícios

Raciocinio Logico Prova 1 AFC 2002

51 - Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica, então:

a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil.
b) Lógica é fácil e Geografia é difícil.
c) Lógica é fácil e Geografia é fácil.
d) Lógica é difícil e Geografia é difícil.
e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.

53 - Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações:A loura: “Não vou à França nem à Espanha”. A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”. A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:

a) A loura é Sara e vai à Espanha.
b) A ruiva é Sara e vai à França.
c) A ruiva é Bete e vai à Espanha.
d) A morena é Bete e vai à Espanha.
e) A loura é Elza e vai à Alemanha.

54 - Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:

a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.

55 - Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol. Carmem não é cunhada de Carol. Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol. Logo,

a) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol.
b) Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem.
c) Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol.
d) Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol.
e) Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem.

56 - Cinco aldeões foram trazidos à presença de um velho rei, acusados de haver roubado laranjas do pomar real. Abelim, o primeiro a falar, falou tão baixo que o rei – que era um pouco surdo – não ouviu o que ele disse. Os outros quatro acusados disseram:Bebelim: “Cebelim é inocente”.Cebelim: “Dedelim é inocente”.Dedelim: “Ebelim é culpado”.Ebelim: “Abelim é culpado”.O mago Merlim, que vira o roubo das laranjas e ouvira as declarações dos cinco acusados, disse então ao rei: “Majestade, apenas um dos cinco acusados é culpado, e ele disse a verdade; os outros quatro são inocentes e todos os quatro mentiram”. O velho rei, que embora um pouco surdo era muito sábio, logo concluiu corretamente que o culpado era:

a) Abelim
b) Bebelim
c) Cebelim
d) Dedelim
e) Ebelim

57 - Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía e, ao sair de cada uma das lojas pagou R$ 2,00 de estacionamento. Se no final ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao sair de casa?

a) R$ 220,00
b) R$ 204,00
c) R$ 196,00
d) R$ 188,00
e) R$ 180,00

60 - A expressão dada por y = 4 (cosseno x) + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo de variação de y é:

a) -4
d) 0 <_y <4
e) 0

61 - Em um passeio de moto, um dos participantes vai de Curitiba a São Paulo a uma velocidade média de 50 Km por hora; após, retorna de São Paulo para Curitiba a uma velocidade média de 75 Km/h. Considerando todo o percurso de ida e volta, a velocidade média, em Km/h foi de:

a) 60
b) 62,5
c) 65
d) 70
e) 72,5
b) 0 < y <_8
c) -00

62 - Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: 80% são amarelos e 20% são vermelhos. Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foi controlada, verificou-se que 60% dos peixes vivos, no aquário, eram amarelos. Sabendo que nenhuma outra alteração foi feita no aquário, o percentual de peixes amarelos que morreram foi:

a) 20 %
b) 25 %
c) 37,5 %
d) 62,5 %
e) 75 %

64 - De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (aij) e B = (bij), ou seja, S = A + B.Sabendo-se que (aij) = i2 + j2 e que bij = (i + j)2,então a soma dos elementos da primeira linha da matriz S é igual a:

a) 17
b) 29
c) 34
d) 46
e) 58

65 - A remuneração mensal dos funcionários de uma empresa é constituída de uma parte fixa igual a R$ 1.500,00 mais uma comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$ 8.000,00. Calcula-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem sobre seu salário bruto (isto é, sobre o total da parte fixa mais a comissão). Em dois meses consecutivos, um dos funcionários dessa empresa recebeu, líquido, respectivamente, R$ 1.674,00 e R$ 1.782,00. Com esses dados, pode-se afirmar que as vendas realizadas por esse funcionário no segundo mês foram superiores às do primeiro mês em:

a) 8%
b) 10%
c) 14%
d) 15%
e) 20%

66 - Os números A, B e C são inteiros positivos tais que A < B < C. Se B é a média aritmética simples entre A e C, então necessariamente a razão (B - A) / (C - B) é igual a:

a) A / A
b) A / B
c) A / C
d) B / C
e) - (B/B)

67 - Em uma sala de aula estão 10 crianças sendo 6 meninas e 4 meninos. Três das crianças são sorteadas para participarem de um jogo. A probabilidade de as três crianças sorteadas serem do mesmo sexo é:

a) 15%
b) 20%
c) 25%
d) 30%
e) 35%

69 - A circunferência é uma figura constituída de infinitos pontos, que tem a seguinte propriedade: a distância de qualquer ponto P(x,y),da circunferência até o seu centro C(a,b) é sempre igual ao seu raio R. A forma geral da circunferência é dada por: (x - a)2 + (y - b)2 = R2. Assim, a equação da circunferência de centro na origem dos eixos e que passa pelo ponto (3,4) é:

a) x2 + y2 = 4
b) x2 + y2 = 9
c) x2 + y2 = 16
d) x2 + y2 = 25
e) x2 + y2 = 49

Gabarito

51 - B

53 - E

54 - A

55 - B

56 - C

57 - D

60 - E

61 - A

62 - D

64 - D

65 - E

66 - A

67 - B

69 - D

31 - A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e diferentes da matriz identidade. A matriz C é igual ao produto A Z B, onde Z é também uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a:

a) A-1 B C
b) A C-1 B-1
c) A-1 C B-1
d) A B C-1
e) C-1 B-1 A-1

32 - Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a:

a) 420
b) 480
c) 360
d) 240
e) 60

33 - Ana precisa chegar ao aeroporto para buscar uma amiga. Ela pode escolher dois trajetos, A ou B. Devido ao intenso tráfego, se Ana escolher o trajeto A, existe uma probabilidade de 0,4 de ela se atrasar. Se Ana escolher o trajeto B, essa probabilidade passa para 0,30. As probabilidades de Ana escolher os trajetos A ou B são, respectivamente, 0,6 e 0,4. Sabendo-se que Ana não se atrasou, então a probabilidade de ela ter escolhido o trajeto B é igual a:

a) 6/25
b) 6/13
c) 7/13
d) 7/25
e) 7/16

34 - O reino está sendo atormentado por um terrível dragão. O mago diz ao rei: “O dragão desaparecerá amanhã se e somente se Aladim beijou a princesa ontem”. O rei, tentando compreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógico da corte:

1. Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?

2. Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?

3. Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ontem, posso concluir corretamente que o dragão desaparecerá amanhã?

O lógico da corte, então, diz acertadamente que as respostas logicamente corretas para as três perguntas são, respectivamente:

a) Não, sim, não
b) Não, não, sim
c) Sim, sim, sim
d) Não, sim, sim
e) Sim, não, sim

35 - Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e Leo são, respectivamente:

a) Culpado, culpado, culpado.
b) Inocente, culpado, culpado.
c) Inocente, culpado, inocente.
d) Inocente, inocente, culpado.
e) Culpado, culpado, inocente.

Gabarito:

31 - C

32 - A

33 - E

34 - D

35 - B

31 - Um grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para escolher aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles irá ao Simpósio de Matemática do próximo ano. O grupo é composto de 15 rapazes e de um certo número de moças. Os rapazes cumprimentam-se, todos e apenas entre si, uma única vez; as moças cumprimentam-se, todas e apenas entre si, uma única vez. Há um total de 150 cumprimentos. O número de moças é, portanto, igual a:

a) 10
b) 14
c) 20
d) 25
e) 45

32 - Mauro, José e Lauro são três irmãos. Cada um deles nasceu em um estado diferente: um é mineiro, outro é carioca, e outro é paulista (não necessariamente nessa ordem). Os três têm, também, profissões diferentes: um é engenheiro, outro é veterinário, e outro é psicólogo (não necessariamente nessa ordem). Sabendo que José é mineiro, que o engenheiro é paulista, e que Lauro é veterinário, conclui-se corretamente que:

a) Lauro é paulista e José é psicólogo.
b) Mauro é carioca e José é psicólogo.
c) Lauro é carioca e Mauro é psicólogo.
d) Mauro é paulista e José é psicólogo.
e) Lauro é carioca e Mauro é engenheiro.

33 - Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a:

a) 80
b) 72
c) 90
d) 18
e) 56

34 - Carlos não ir ao Canadá é condição necessária para Alexandre ir à Alemanha. Helena não ir à Holanda é condição suficiente para Carlos ir ao Canadá. Alexandre não ir à Alemanha é condição necessária para Carlos não ir ao Canadá. Helena ir à Holanda é condição suficiente para Alexandre ir à Alemanha. Portanto:

a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.
b) Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.
c) Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.
d) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha.
e) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

35 - O sultão prendeu Aladim em uma sala. Na sala há três portas. Delas, uma e apenas uma conduz à liberdade; as duas outras escondem terríveis dragões. Uma porta é vermelha, outra é azul e a outra branca. Em cada porta há uma inscrição. Na porta vermelha está escrito: "esta porta conduz à liberdade". Na porta azul está escrito: "esta porta não conduz à liberdade". Finalmente, na porta branca está escrito: "a porta azul não conduz à liberdade". Ora, a princesa " que sempre diz a verdade e que sabe o que há detrás de cada porta " disse a Aladim que pelo menos uma das inscrições é verdadeira, mas não disse nem quantas, nem quais. E disse mais a princesa: que pelo menos uma das inscrições é falsa, mas não disse nem quantas nem quais. Com tais informações, Aladim concluiu corretamente que:

a) a inscrição na porta branca é verdadeira e a porta vermelha conduz à liberdade.
b) a inscrição na porta vermelha é falsa e a porta azul conduz à liberdade.
c) a inscrição na porta azul é verdadeira e a porta vermelha conduz à liberdade.
d) a inscrição na porta branca é falsa e a porta azul conduz à liberdade.
e) a inscrição na porta vermelha é falsa e a porta branca conduz à liberdade.

36 - Há três moedas em um saco. Apenas uma delas é uma Área para rascunho moeda normal, com "cara" em uma face e "coroa" na outra. As demais são moedas defeituosas. Uma delas tem “cara” em ambas as faces. A outra tem "coroa" em ambas as faces. Uma moeda é retirada do saco, ao acaso, e é colocada sobre a mesa sem que se veja qual a face que ficou voltada para baixo. Vê-se que a face voltada para cima é "cara". Considerando todas estas informações, a probabilidade de que a face voltada para baixo seja "coroa" é igual a:

a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4
d) 2/3
e) 3/4

38 - Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais. Sabe-se que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1 cm. Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 20 cm, então seu perímetro será igual a:

a) 40 cm
b) 35 cm
c) 23 cm
d) 42 cm
e) 45 cm

39 - O raio do círculo A é 30% menor do que o raio do círculo B. Desse modo, em termos percentuais, a área do círculo A é menor do que a área do círculo B em:

a) 51%
b) 49%
c) 30%
d) 70%
e) 90%

Gabarito

31-A

32-D

33-B

34-C

35-E

36-B

38-D

39-A

Limites

2011-07-21T07:19:00.000-07:00

Limites

Definição 2.1.1 Dados uma função e um ponto de acumulação a de B, diz-se que um número é limite de f em a, e se escreve:

quando vale a seguinte condição: Para todo , existe tal que:

(2.1)

Daremos preferência à primeira notação.
Não podemos abrir mão da condição de a ser ponto de acumulação de B, pois é ela que reflete a nossa idéia intuitiva inicial de que a possa ser aproximado por pontos de B distintos de a.
A definição de limite pode ser parafrazeada nos seguintes termos:

Definição 2.1.2 Dados uma função e um ponto de acumulação a de B, diz-se que é o limite de f em a, se para todo existe satisfazendo:

(2.2)

Observação 2.1.1 Notemos que não importa quão pequeno seja o número dado; se , é sempre possível encontrar de modo que a relação (2.1) valha.

Vamos analisar a Definição 2.1.1 num caso concreto. Consideremos a função

Note que f não está definida no ponto x=1. No entanto, para temos f(x)=2(x+1) e, portanto, é natural suspeitar que . Mostremos através da Definição 2.1.1 que este é o caso. De fato, se podemos escrever

|f(x)-4|=|2(x+1)-4|=2|x-1|.

Assim, dado , se escolhermos obtemos

ou seja, . Confira com a Figura 2.1.

**Figure:**

Com o exemplo acima e os que damos a seguir visamos exclusivamente clarificar a definição de limite. O objetivo de um curso de Cálculo não pode ser o de aprender a calcular limites usando a Definição 2.1.1. Daqui a pouco aprenderemos algumas propriedades que permitem ver, por exemplo, que de um modo muito mais direto do que o utilizado no item (3) abaixo.

Exemplo 2.1.1 (1) Se considerarmos f(x)=c (constante), temos talvez o exemplo mais simples deste capítulo:

Conferindo a definição de limite, dado , qualquer número se ajusta ao nosso objetivo, pois sempre teremos . (2) Se f(x)=x, temos . De fato, dado , se tomarmos temos a relação (2.1) imediatamente satisfeita com .
(3) . De fato, dado , para encontrar um que nos convenha, notemos que neste caso a=2 e . Assim, se tomarmos , temos:

(4) . De fato, dado , vamos procurar sob a restrição . Assim, implica 1<x<3 e, portanto, |x+2|<5. Logo, se , temos

Portanto, basta tomar . (5) . De fato, observemos que sempre ; confira com a Figura 2.1.1 Assim, dado , podemos tomar uma vez que, neste caso:

**Figure:**

(6) . A justificativa é inteiramente análoga à do exemplo anterior.

Uma consequência da Definição é 2.1.1 a unicidade do limite.

Proposição 2.1.1 Seja e suponhamos que exista o limite de f em um ponto a. Então ele é único.

Prova Suponhamos que e . Seja um número qualquer. De acordo com a Definição 2.1.1 - tomando no papel de - existem de modo que, se :

Escolhendo , então se e , as implicações acima acarretam

Da arbitrariedade de e de (2.5) segue-se que o número não negativo é menor do que qualquer número positivo, portanto , ou seja, Damos a seguir dois exemplos em que não existe o limite

Exemplo 2.1.2 (1) não existe. De fato, seja f(x)=x/|x|. Como f(x)=1, para x>0, se existisse teriamos . De modo análogo verificar-se-ia . Assim, os números 1 e -1 teriam de ser iguais a contrariando a unicidade do limite. (2) não existe. De fato, suponhamos, por contradição, que exista . Dado , digamos, , deve existir tal que

Portanto, se ,

Mas, se e , , temos e (veja o gráfico da função , para x>0, na figura a seguir). Observe, entretanto, que para suficientemente grande temos

o que contraria a condição (2.7). Logo, não existe .

**Figure:**

O item (1) do Exemplo 2.1.2 sugere um outro tipo de limite mais restrito, o limite à esquerda e o limite à direita: são os limites laterais. Para definir esses conceitos precisamos da noção de ponto de acumulação lateral, isto é,

Definição 2.1.3 Consideremos um ponto e um conjunto . Diz-se que a é um ponto de acumulação lateral de B, deixando B à esquerda, se a é ponto de acumulação de . Define-se analogamente ponto de acumulaçao lateral de um conjunto , deixando B à direita.

É claro que um ponto de acumulação lateral de um conjunto é um ponto de acumulação de B, pois de acordo com a Definição 1.1.6, todo ponto de acumulação de um subconjunto de um conjunto é um ponto de acumulação de B.
Podemos agora definir limite à esquerda de f em a em termos da restrição de f ao conjunto .

Definição 2.1.4 Consideremos uma função , e seja a um ponto de acumulação lateral de , deixando B à esquerda. O limite à esquerda de f em a é , se .

Denota-se: ou . Fica a cargo do leitor definir o limite à direita de f, quando x tende a a em termos de . Neste caso a notação é

Observação 2.1.2 Suponhamos que a seja ponto de acumulação lateral de , deixando B à esquerda e à direita simultaneamente. Se existir o limite de uma função , então existem ambos os limites laterais de f em a, mas a recíproca é falsa, como mostra o item (1) do exemplo 2.1.2.

Observação 2.1.3 Suponhamos que as condições assumidas na definição dos limites laterais de f, quando se cumpram. Neste caso, existe o limite de f em a se, e somente se, existem os dois limites laterais e ambos são iguais a , isto é,

Confira com o Exercício 7.

Embora quase inocente, a observação anterior é um bom recurso em muitas situações práticas. No item (1) do Exemplo 2.1.2 temos

porisso concluimos que o limite em questão não existe. Mais adiante, na demonstração do Teorema do Primeiro Limite Fundamental esse recurso será utilizado positivamente, isto é, para mostrar que um certo limite existe. Daqui em diante proporemos alguns exercícios mais práticos, visando treinar a manipulação das técnicas, e outros mais conceituais, procurando fixar as idéias importantes da teoria. O leitor deve se sentir desafiado por qualquer um que lhe inspire dificuldade.

EXERCÍCIOS

I - Calcule, caso existam, os limites abaixo. Se não existirem, determine a tendência da imagem ou justifique a não existência:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. f(x) sendo f(x) =

18. f(x) sendo f(x) =

RESPOSTAS

1)9/4 2) 2/3 3) 2 4) –1 5) 6) 0 7) 8) 3/2 9) 0 10) +

11) + 12) 13) –1 14) NE 15) 1/5 16) NE 17) NE 18) 1

II - Seja a função f definida por f(x)= Verifique se f é contínua nesse intervalo.

III - Seja a função f definida por f(x) = . Calcule m para que f seja contínua em zero.

IV – Sabendo que f dada por f(x) = para e , é uma função contínua em zero, calcule f(0).

V - A função f definida por f(x) = é contínua em 3 ? Justifique.

VI - Sendo f a função definida por f(x) = verifique:

a) se f é contínua em 1. Justifique.

b) se f é contínua em 0. Justifique.

VII - Esboce o gráfico cartesiano de uma função f que satisfaça simultaneamente as seguintes condições:

a) Dom f = IR

b) f apresenta uma descontinuidade essencial em 0;

c) f apresenta uma descontinuidade removível no 2 ;

d) f(x) = 0

e) f(x) = +

RESPOSTAS:

II) Sim III) m = 5/8 IV) 4 V) Não VI) a) Sim b) Não

REFERÊNCIAS:

http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/limites/limite.html

http://www.pucrs.br/famat/silveira/calculoa/m1/m1_lista2.htm

http://www.feg.unesp.br/~gsena/Orientacoes_Academicas/P%E1gina%20Pessoal/Exercicios%20resolvidos%20-%20limites.html#ex11

http://pt.scribd.com/doc/266877/Exercicios-resolvidos-de-calculo-I

http://www.slideshare.net/fernandoribeirao/lista-de-exercicios-limites

http://www.cmjf.com.br/cmjf24horas/aluno/arq_clubes/1180141663.pdf

http://pt.wikipedia.org/wiki/Limite

http://ginasiomental.com/material/12/limites.pdf

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/limites/limites.htm

Cilindros

2011-07-19T08:02:00.000-07:00

Cilindro

Em Matemática, um cilindro é o objeto tridimensional gerado pela superfície de revolução de um retângulo em torno de um de seus lados. De maneira mais prática, o cilindro é um corpo alongado e de aspecto roliço, com o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento.

O cilindro é também definido através de uma superfície quadrática, cuja função geradora é:

Para o cilindro circular, os valores de a e b, na equação acima, são iguais.

Há também a possibilidade do cilindro circular ser chamado de cilindro equilátero. Tal denominação ocorre quando a sua altura, também chamada de geratriz, equivale ao diâmetro da base.

Existem outras formas cilíndricas diferentes das comuns, como por exemplo o cilindro sinuzoidal obtido pela translação da função seno.

Aplicações práticas: Os cilindros abaixo sugerem alguma aplicação importante em sua vida?

A Construção de cilindros

Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r e tomemos também um segmento de reta AB que não seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no círculo.

Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R³, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro como a região sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um sólido usaremos aspas, isto é, "cilindro" e quando for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro.

A reta que contém o segmento AB é denominada geratriz e a curva que fica no plano do "chão" é a diretriz.

Em função da inclinação do segmento AB em relação ao plano do "chão", o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento AB for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz.

Objetos geométricos em um "cilindro"

Em um cilindro, podemos identificar vários elementos:

Base: É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases.
Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".
Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro".
Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.
Superfície Total: É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro.
Área lateral: É a medida da superfície lateral do cilindro.
Área total: É a medida da superfície total do cilindro.
Seção meridiana de um cilindro: É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.

Extensão do conceito de cilindro

As características apresentadas antes para cilindros circulares, são também possíveis para outros tipos de curvas diretrizes, como: elipse, parábola, hipérbole, seno ou outra curva simples e suave num plano.

Mesmo que a diretriz não seja uma curva conhecida, ainda assim existem cilindros obtidos quando a curva diretriz é formada por uma reunião de curvas simples. Por exemplo, se a diretriz é uma curva retangular, temos uma situação patológica e o cilindro recebe o nome especial de prisma.

Em função da curva diretriz, o cilindro terá o nome de cilindro: elíptico, parabólico, hiperbólico, sinuzoidal (telha de eternit).

Classificação dos cilindros circulares

Cilindro circular oblíquo: Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases.
Cilindro circular reto: As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo.
Cilindro eqüilátero: É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado.

Volume de um "cilindro"

Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.

V = A(base) h

Se a base é um círculo de raio r, e pi=3,141593..., então:

V = pi r² h

Exercício: Calcular o volume de um cilindro oblíquo com base elíptica (semi-eixos a e b) e altura h. Sugestão: Veja nesta mesma Página um material sobre a área da região elíptica.

Área lateral e área total de um cilindro circular reto

Em um cilindro circular reto, a área lateral é dada por A(lateral)=2pi.r.h, onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. A área total corresponde à soma da área lateral com o dobro da área da base.

A(total) = A(lateral) + 2 A(base) A(total) = 2 pi r h + 2 pi r² A(total) = 2 pi r(h+r)

Exemplo: Um cilindro circular equilátero é aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base, isto é h=2r. Neste caso, para calcular a área lateral, a área total e o volume, podemos usar as fórmulas, dadas por:

A(lateral) = 4 pi r² A(base) = pi r² A(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 6 pi r² Volume = A(base).h = pi r².2r = 2 pi r³

Exercício: Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume.

O que significa o nome "Matemática"?

2011-07-15T13:56:00.000-07:00

A matemática (do grego μάθημα, transl. máthēma, "ciência"/"conhecimento"/"aprendizagem"; e μαθηματικός, transl. mathēmatikós, "apreciador do conhecimento") é a ciência do raciocínio lógico e abstrato. A Matemática estuda quantidades, medidas, espaços, estruturas e variações. Um trabalho matemático consiste em procurar por padrões, formular conjecturas e, por meio de deduções rigorosas a partir de axiomas e definições, estabelecer novos resultados.

Em suma: Matema: ciência"/"conhecimento"/"aprendizagem"

Tica: técnicas, artes, lidar, ensinar

A Matemática vem sendo construída ao longo de muitos anos. Resultados e teorias milenares se mantêm válidos e úteis e ainda assim a matemática continua a desenvolver-se permanentemente.

Registros arqueológicos mostram que a matemática sempre foi parte da atividade humana. Ela evoluiu a partir de contagens, medições, cálculos e do estudo sistemático de formas geométricas e movimentos de objetos físicos. Raciocínios mais abstratos que envolvem argumentação lógica surgiram com os matemáticos gregos aproximadamente em 300 a.C., notadamente com a obra "Os Elementos" de Euclides. A necessidade de maior rigor foi percebida e estabelecida por volta do século XIX.

A Matemática se desenvolveu principalmente na Mesopotâmia, no Egito, na Grécia, na Índia, no Oriente Médio. A partir da Renascença o desenvolvimento da Matemática intensificou-se na Europa, quando novas descobertas científicas levaram a um crescimento acelerado que dura até os dias de hoje.

Há muito tempo busca-se um consenso quanto à definição do que é a matemática. No entanto, nas últimas décadas do século XX tomou forma uma definição que tem ampla aceitação entre os matemáticos: matemática é a ciência das regularidades (padrões). Segundo esta definição, o trabalho do matemático consiste em examinar padrões abstratos, tanto reais como imaginários, visuais ou mentais. Ou seja, os matemáticos procuram regularidades nos números, no espaço, na ciência e na imaginação e formulam teorias com as quais tentam explicar as relações observadas. Uma outra definição seria que matemática é a investigação de estruturas abstratas definidas axiomaticamente, usando a lógica formal como estrutura comum. As estruturas específicas geralmente têm sua origem nas ciências naturais, mais comumente na física, mas os matemáticos também definem e investigam estruturas por razões puramente internas à matemática (matemática pura), por exemplo, ao perceberem que as estruturas fornecem uma generalização unificante de vários subcampos ou uma ferramenta útil em cálculos comuns.

A Matemática é usada como uma ferramenta essencial em muitas áreas do conhecimento, tais como engenharia, medicina, física, química, biologia, e ciências sociais. Matemática Aplicada, ramo da matemática que se ocupa de aplicações do conhecimento matemático em outras áreas do conhecimento, às vezes leva ao desenvolvimento de um novo ramo, como aconteceu com Estatística ou Teoria dos jogos. O estudo de Matemática pura, ou seja, da matemática pela matemática, sem a preocupação com sua aplicabilidade, muitas vezes mostrou-se útil anos ou séculos adiante, como aconteceu com os estudos das cônicas ou de Teoria dos números feitos pelos gregos, úteis, respectivamente, em descobertas sobre astronomia feitas por Kepler no século XVII, ou para o desenvolvimento de segurança em computadores nos dias de hoje.

Assita ao vídeo:

Referências:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20070513111942AAVTkCZ

http://www.cassao.eti.br/portal/o-que-e-matematica

Esferas

2011-07-15T08:08:00.000-07:00

A esfera pode ser definida como "um sólido geométrico formado pelo conjunto de pontos contidos num espaço P e C (centro), em que a distância do centro ao ponto P seja menor ou igual ao raio dessa esfera, ou semelhante ao ponto C . A esfera também pode ser vista como um sólido de revolução, obtido pela rotação completa de um semicírculo em torno do eixo que contém um diâmetro, isso se chama semicircuferência, que também pode ser realizado em outros tipos de formas geometrica.

Uma esfera é um objeto dimensional perfeitamente simétrico. Na matemática, o termo se refere à superfície de uma rolha ou de uma terra. Na física, esfera é um coiso (usado muitas vezes por causa de sua simplicidade ou educado) capaz de colidir em outros objetos que ocupam espaço. Uma curiosidade que todos devem saber é que nem todo objeto redondo é uma esfera, ou seja , aquele que não tem nada dentro de si não é uma esfera é apenas uma demostração tipo bola de futebol, e exemplo de esfera é a terra , pois ela não é oca.

Quanto a geometria analítica, uma esfera é representada (em coordenadas retangulares) pela equação:

(x - a) 2 + (y - b) 2 + (z - c) 2 = r 2

em que a, b, c são os deslocamentos nos eixos x, y, z respectivamente, e r é o raio da esfera.

Área e Volume

hemisfério ou semi-esfera

A área de uma superfície esférica é:

O volume de uma esfera é dado pela fórmula

onde r é o raio da esfera e π é a constante pi.

Calota x Segmento Esférico

Parte azul: calota; parte branca: segmento esférico.

Calota seria metaforicamente "a tampa de uma laranja", demonstrada pela parte azul no desenho.

Área da calota:

Área do Segmento Esférico:

A s = A t - A c

Em que, As é a área do segmento, At área total da esfera e, Ac área da calota.

O volume do segmento é:

Fuso x Cunha

Em azul é o fuso, em cinza é a cunha.

Fuso é uma parte da esfera, podendo ser representada por "goma de mexirica" (metaforicamente).

Área do fuso:

α

é o ângulo do fuso.

O volume da cunha é:

Volume

O volume de uma semi-esfera é igual a soma dos volumes de discos, concêntricos e de espessura infinitesimal, empilhados ao longo do eixo x, de x = r (y = 0) até x = 0 onde o disco tem raio r (y = r).

Num dado x, o volume incremental (δV) é dado pelo produto da área transversal no ponto x pela largura (δx):

O volume da semi-esfera é o somatório de todos os volumes dos discos infinitesimais.

No limite em que δx se aproxima de zero fica:

Num dado x, um triângulo retângulo conecta x, y e r à origem, e pelo teorema de Pitágoras:

Substituindo y:

Calculando o integral:

Que é o valor da semi-esfera. Dobrando este valor temos o volume total da esfera:

Área

Uma vez provado o volume, podemos demostrar a área da superfice a partir deste resultado:

Derivando os dois lados da equação em relação a r:

Que pode ser abreviada como:

A área também pode ser obtida usando coordenadas esféricas. Um elemento de área da esfera, em coordenadas esféricas é dado por:

Portanto a área total será:

Equação da esfera em R³

Em geometria analítica, uma esfera com centro (x₀, y₀, z₀) e raio r é o lugar geométrico tal que:

Na forma parametrizada

Contribuição do estudo da esfera

O estudo da esfera geométrica, contribuiu bastante para desenvolvimentos eletronicos, mecanicos e mecatronicos, com seu estudo avançado sober a esfera, realizamos varios feitos, como calcular algo de mesma semelhança como o nosso próprio planeta, e participar de grandes construções como satélites espaciais, antenas parabólicas que emitem sinais e transmitem sinais semelhantes a ondas esfereograficas, e também teve contribuição em ciração de mapas, no qual a ANVISA e a NASA utilizam para mapas aéreos e espaciais para criar linhas e transportes aéreos, maquetes e cupulas são feitas a base de seu estudo para serem construidas, sem o estudo dessa forma geometrica não seria possivel desenvolver todas as tecnologias citadas, e teriamos um grande atraso tecnoloigco, pois a tecnologia depende bastante, não só dela mais de quase todas as formas geometricas possiveis.

Exercícios

http://www.supletivounicanto.com.br/docs/cd/Matem%E1tica/3%B0%20ano/08-esfera.pdf

01) Qual o volume de uma esfera de 30 cm de raio?

02) Uma esfera está inscrita num cubo cuja aresta mede 20 cm. Calcule a área da superfície esférica.

03) Tomando o raio da Terra 6400 km, calcule a área do “Globo” terrestre, em km².

04) Duas esferas de chumbo, uma de 3 cm e outra de 6 cm de raio, fundem-se e formam outra esfera. Calcule o raio dessa nova esfera.

05) Calcule o volume de uma esfera de 100p cm² de área.

06) Determine a área de uma esfera, sendo 2304p cm³ o seu volume.

07) Uma esfera tem 25p cm² de superfície. Em quanto devemos aumentar o raio para que a área passe a ser 64p cm²?

08) Qual é a área total e o volume de um recipiente semi-esférico de raio 3 cm?

09) Determine o volume de uma esfera cuja superfície tem uma área de 324p cm².

10) Calcule o volume de uma esfera cuja superfície tem uma área de 144p cm².

11) Quantos brigadeiros (bolinhas de chocolate) de raio 0,5 cm podemos fazer a partir de um brigadeiro de raio 1 cm?

12) Duas bolas metálicas, cujos raios medem 1 cm e 2 cm, são fundidas e moldadas em forma de um cilindro cuja altura mede 3 cm. Obtenha a medida do raio da base do cilindro.

13) Determinar o raio de uma esfera, sabendo que um plano determina na esfera um círculo de raio 20 cm, sendo de 21 cm a distância do plano ao centro da esfera.

14) O raio de uma esfera mede 53 cm. Um plano que secciona essa esfera determina nela um círculo de raio 45 cm. Determinar a distância do plano ao centro da esfera.

15) Determinar o diâmetro de um círculo cuja área é igual à superfície de uma esfera de raio r.

16) Determine o raio de uma esfera de superfície 36p cm².

17) Determinar a área do círculo da esfera cujas distâncias polares são de 5 cm e 3 cm.

18) Calcular a área de uma secção plana feita a uma distância de 12 cm do centro de uma esfera de 37 cm de raio.

19) Calcular a distância de uma secção plana de uma esfera ao centro da esfera sabendo que o círculo máximo tem área igual ao quádruplo da área determinada pela secção plana, e que o raio da esfera mede 17 cm.

20) O raio de uma esfera mede 41 cm. Determinar a razão entre as áreas das secções obtidas por dois planos, sendo de 40 cm e 16 cm a distâncias respectivas desses planos ao centro da esfera.

21) Determinar a área e o volume de uma esfera de 58 cm de diâmetro.

22) Calcular a distância polar de um círculo máximo de uma esfera de 34 cm de diâmetro.

23) Determinar o raio de uma esfera sendo 288p cm³ o seu volume.

24) Determinar a medida da superfície e do volume de uma esfera, sabendo que o seu raio mede 1/5 do raio de outra esfera cujo volume é 4500p cm³.

25) Determinar a medida do raio de um círculo máximo de uma esfera sabendo que o raio de um círculo menor desta mesma esfera mede 12 cm e que a distância polar deste círculo menor mede 15 cm.

26) Determinar a medida do raio de uma esfera sabendo que o raio de um círculo menor mede 5 cm e que sua distância polar mede 13 cm.

27) Uma bola de ouro de raio r se funde transformando-se em um cilindro de raio r. Determinar a altura do cilindro.

28) Um cone é equivalente a um hemisfério de 25 cm de diâmetro. Determinar a área lateral do cone sabendo que as bases do cone e do hemisfério são coincidentes.

29) Um sólido é formado por dois cones retos de volumes iguais, tendo como base comum um círculo de 6 cm de raio. A área do sólido é igual a superfície de uma esfera de raio 6 cm. Determinar a relação entre os volumes do sólido e da esfera.

30) Os raios de duas esferas concêntricas medem, respectivamente, 15 cm e 8 cm. Calcular a área da secção feita na esfera de raio maior por um plano tangente à outra esfera.

31) Determinar o diâmetro de uma esfera obtida da fusão de duas esferas de 10 cm de diâmetro.

32) Sabendo que o diâmetro de uma esfera é 3/5 do diâmetro de uma outra esfera, calcule a razão entre as áreas dessas duas esferas.

33) O que ocorre com o volume de uma esfera quando duplicamos a medida de seu raio? E quando triplicamos a medida do seu raio?

exercícios de fixação

1) Deseja-se construir um reservatório de água na forma de uma semi-esfera, em um terreno de dimensões 30 m por 40 m. O reservatório deverá ocupar 30% da área deste terreno. Calcule o volume de água em litros que poderão ser armazenados neste reservatório.

2) Calcule o volume de uma esfera inscrita em um cubo de área lateral igual a 64 m².

3) Encontre a relação entre o raio de uma esfera e a altura de um cilindro eqüilátero sabendo que a área total do cilindro é igual à da esfera.

4) Calcular a área de uma esfera sabendo que o perímetro do hexágono regular inscrito em um de seus círculos máximos mede 30 cm.

5) Calcular o volume de uma esfera circunscrita a um cone eqüilátero cuja altura mede 16 dm.

6) Um cilindro circular reto tem sua superfície total equivalente à superfície lateral de um prisma oblíquo cuja secção reta é um pentágono regular de lado igual a 3 m e a aresta lateral, 4p/3 m. Sabe-se que o perímetro da secção meridiana do cilindro vale 14 m. Qual o raio da base do cilindro?

7) Considere um retângulo, de altura y e base x, com x>y, e dois semicírculos com centros nos lados do retângulo. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região sombreada em torno de um eixo que passa pelos centros dos semicírculos.

8) Uma esfera de raio 10 cm é interceptada por um plano que dista 6cm de seu centro. Qual o comprimento da circunferência gerada pela interseção?

9) Uma laranja de 12 gomos iguais assemelha-se a uma esfera de raio R. Qual a área da superfície total de cada gomo?

10) Um cubo de aresta 10 cm tem os quatro vértices A, B, C e D de uma de suas faces, F, sobre a superfície de uma esfera S de raio r. Sabendo que a face oposta a F é tangente à esfera S no ponto P, calcule o raio r.

11) Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura 4r, raio da base r e espessura desprezível. Calcule a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das esferas.

12) Determine a razão entre os volume de uma esfera de raio R e o de um cubo nela inscrito.

1)
se o comprimento (ou perimetro do circulo) é igual a 2 . pi, então:

raio( r ) 2 . pi . r = 2 . pi
r = 1cm

calculamos o raio da secção
agora para calcular o raio( R ) da esfera, devemos usar o teorema de
Pitagoras relacionando o raio da secção, raio da esfera e a distancia
entre o centro da esfera e o plano alfa que secciona a esfera.

R² = 1² + (2 . raiz de 2)²
R² = 1 + 4 . 2
R² = 9
R = 3 cm

3) igualmente ao exercício acima, devemos aplicar a fórmula de pitágoras:

20² = 12² + r²
r² + 144 = 400
r² = 256
r = 16 cm

o exercicio pede a área da secçaõ ,que é um circulo
Logo temos:

16² . pi = 256 . pi cm²

Referências:

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/esfera/esfera.htm

http://pt.wikipedia.org/wiki/Esfera

http://www.infopedia.pt/$esfera-%28geometria%29

http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial23.php

http://sites.google.com/site/matematicanasoitavas/system/app/pages/search?q=esferas&scope=search-site

http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=556

http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=554

http://www.supletivounicanto.com.br/docs/cd/Matem%E1tica/3%B0%20ano/08-esfera.pdf

Pirâmides

2011-07-14T08:15:00.000-07:00

Uma pirâmide é todo poliedro formado por uma face inferior e um vértice que une todas as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares, e o vértice que une todas as faces laterais é chamado de vértice da pirâmide. O numero de faces laterais de uma pirâmide corresponde ao número de lados do polígono da base. Como exemplo das pirâmides da geometria espacial no dia-a-dia temos as pirâmides do Egito, uma das sete maravilhas do mundo antigo.

Uma pirâmide é classificada como reta quando todas as arestas laterais são congruentes, caso contrário ela é classificada como oblíqua. Uma maneira mais fácil de identificar uma pirâmide reta é quanto o centro da base da pirâmide está alinhado com o vértice superior da pirâmide, em outras palavras, é possível traçar uma reta do vértice ao centro do polígono na base da pirâmide. Uma outra maneira fácil de identificar uma pirâmide oblíqua é quando não existe esse alinhamento do vértice superior com o centro do polígono na base da pirâmide, ou seja, se traçarmos novamente a reta, ela não terminará no centro do polígono da base.

Identificação

Exemplo de Pirâmide Triangular

Dentre as pirâmides temos como principais:

Pirâmide Quadrada - aquela em que na base tem um quadrado.
Pirâmide Triangular - aquela em que na base tem um triângulo .
Pirâmide Quadrante - aquela em que na base tem um Quadrado invertido(na foto ao lado) .

Pirâmide Quadrangular - aquela em que na base tem um quadrado de ponta cabeça.

A identificação das pirâmides segue essa linha de raciocínio, ou seja, depende do formado da linha final do perímetro indicado aos locais de ponto e reta encontrado em uma pirâmide com forma de triângulos perfeito, fazendo assim a forma ser catastrófica se for aplicada de forma errada da pirâmide

Pirâmide regular

Pirâmide regular é uma pirâmide reta cuja base é uma região poligonal limitada por um polígono regular. Um polígono regular pode ser inscrito numa circunferência pegando assim, suas características. Assim, na base de uma pirâmide regular devemos observar certas características:

raio (r)- é a reta traçada do centro do polígono até um dos vértices inferiores.
aresta da base (ab) - corresponde aos lados do polígono da base.
apótema da base (a1) - é a reta traçada do centro do polígono da base até o meio de sua aresta.

Em geral, na pirâmide regular, ainda podemos observar:

altura da pirâmide (H) - é a reta traçada do vértice superior ao centro do polígono
aresta lateral (al) - corresponde a aresta dos lados das regiões triangulares da lateral da pirâmide.
apótema lateral (a2) - é a reta que divide o triângulo da lateral da pirâmide ao meio, formando dois triângulos retângulos simétricos. Ela sai do vértice percorrendo o triângulo lateral, acabando no fim das arestas da base.

Volume de uma Pirâmide

O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é:

Volume = (1/3) A(base) h

Exemplo: Juliana tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pirâmide regular com base quadrada. A curiosa Juliana quer saber o volume de perfume que o frasco contém. Para isso ela usou uma régua e tirou duas informações: a medida da aresta da base de 4cm e a medida da aresta lateral de 6cm.
Como V(pirâmide)=A(base).h/3, devemos calcular a área da base e a medida da altura. Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, temos que A(base)=a²=4cm.4cm=16 cm².

A altura h da pirâmide pode ser obtida como a medida de um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é dada pela altura L=6cm da aresta lateral e o outro cateto Q=2×R[2] que é a metade da medida da diagonal do quadrado. Dessa forma h²=L²-Q², se onde segue que h²=36-8=28 e assim temos que h=2R[7] e o volume será dado por V=(1/3).16.2R[7]=(32/3)R[7].

Seção Transversal de uma pirâmide

Seção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um plano paralelo à base da mesma. A seção transversal tem a mesma forma que a base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. A razão entre uma aresta da seção transversal e uma aresta correspondente da base é dita razão de semelhança.

Observações sobre seções transversais:

Em uma pirâmide qualquer, a seção transversal e a base são regiões poligonais semelhantes. A razão entre a área da seção transversal e a área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança.
Ao seccionar uma pirâmide por um plano paralelo à base, obtemos outra pirâmide menor (acima do plano) semelhante em todos os aspectos à pirâmide original.
Se duas pirâmides têm a mesma altura e as áreas das bases são iguais, então as seções transversais localizadas à mesma distância do vértice têm áreas iguais.

	V(seção)	Volume da seção até o vértice (volume da pirâmide menor)
	V(piram)	Volume da pirâmide (maior)
	A(seção)	Área da seção transversal (base da pirâmide menor)
	A(base)	Área da base da pirâmide (maior)
	h	Distância do vértice à seção (altura da pirâmide menor)
	H	Altura da pirâmide (maior)

Assim:

V(seção) V(base)	=	A(seção) A(piram)	·	h H

A(seção) A(base)	=	h² H²

Então:

V(seção) V(base)	=	h³ H³

Exemplo: Uma pirâmide tem a altura medindo 9cm e volume igual a 108cm³. Qual é o volume do tronco desta pirâmide, obtido pelo corte desta pirâmide por um plano paralelo à base da mesma, sabendo-se que a altura do tronco da pirâmide é 3cm?

Como

V(pirMenor)/V(pirâmide) = h³/H³
V(pirMenor)/108 = 6³/9³
V(pirMenor) = 32

então

V(tronco)=V(pirâmide)-V(pirMenor)= 108cm³-2cm³ = 76 cm³

Exercícios:

1) A base de uma pirâmide é um quadrado de aresta 3 cm. Sabendo que a altura da pirâmide mede 10 cm, calcule a medida do apótema da pirâmide.

2) A figura abaixo representa uma pirâmide quadrangular regular cuja aresta da base mede 10 cm. Determine o valor de “x”.

3) Numa pirâmide hexagonal regular, a aresta da base mede 2 cm. Sabendo-se que a área lateral da pirâmide é 30 cm², calcular o volume da pirâmide.

4) Calcule a aresta de um tetraedro regular de altura cm.

5) Numa pirâmide de base quandrangular, a medida do perímetro da base é 40 cm. Sabendo que a altura da pirâmide é 12 cm, calcule a área lateral dessa pirâmide.

Questões:

01. (EUMT - LONDRINA) O volume de ar contido em um galpão com a forma e as dimensões dadas pela figura abaixo é:

a) 300
b) 240
c) 225
d) 210
e) 180

02. (FEI - MAUÁ) Secciona-se uma pirâmide regular de altura h por um plano paralelo à base, a uma distância x do vértice. Pede-se x de modo que a áreas laterais da pirâmide se altura x e do tronco de pirâmide de altura h - x sejam iguais.

03. (MAUÁ) Dado o Tetraedro de aresta L, determine, em função de L, o volume V do cone circular circunscrito, isto é, do cone que tem vértice do Tetraedro e base circunscrita à face do Tetraedro.

04. (MAUÁ) Dado um Tetraedro regular de aresta L, determine, em função de L, a área lateral A do cilindro reto circunscrito, isto é, do cilindro que tem uma base circunscrevendo uma face do Tetraedro e altura igual à altura do Tetraedro.

05. (LONDRINA) O tetraedro regular ABCD tem centro O. O ângulo diedro de faces OAB e OAC mede:

a) 30°
b) 60°
c) 120°
d) 135°
e) 150°

06. (SJRP - JUNDIAI) Os vértices de um tetraedro regular de volume 1m³ são centros das faces de outro tetraedro regular. O volume deste outro tetraedro vale:

a) 1 m³
b) 3m³
c) 9m³
d) 27m³
e) 81m³

07. (MAUÁ) Na pirâmide VABC os ângulos AVB, BVC e CVA são retos. Calcular a distância de V ao Plano ABC sabendo-se que VA = VB = VC = 1m.

08. (OSEC) Um prisma e uma pirâmide tem bases com a mesma área. Se o volume do prisma é o dobro do volume da pirâmide, a altura da pirâmide será:

a) O triplo da do prisma.
b) O dobro da do prisma.
c) O triplo da metade da do prisma.
d) O dobro da terça parte da do prisma.
e) n.d.a

09. (UnB) Sejam Pi e P2 duas pirâmides de mesma altura. A base de Pi é um quadrado e a de P2 um triângulo de área igual a do quadrado. Então, a área lateral de Pi é:

a) sempre maior do que a de P2;
b) sempre menor do que a de P2;
c) sempre igual a de P2;
d) n.d.a.

Resolução:

01. B

02.

03.

04.

05. D

06. D

07.

08. C

09. D

REFERÊNCIAS:

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide.htm

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A2mide

http://www.google.com.br/search?q=exerc%C3%ADcios+pir%C3%A2mides&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:pt-BR:official&client=firefox-a

http://www.coladaweb.com/exercicios-resolvidos/exercicios-resolvidos-de-matematica/piramides

http://www.angelfire.com/falcon/solidosgeo/expiramides.htm

http://www.deldebbio.com.br/index.php/2008/08/26/piramides-piramides-parte-ii/

O último Teorema de Fermath

2011-07-04T09:22:00.000-07:00

Último teorema de Fermat

O Último teorema de Fermat, ou teorema de Fermat-Wiles, afirma que não existe nenhum conjunto de inteiros positivos x, y, z e n com n maior que 2 que satisfaça

O teorema deve seu nome a Pierre de Fermat, que escreveu às margens de uma tradução de Arithmetica de Diofanto, ao lado do enunciado deste problema:

"Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."

"Encontrei uma demonstração verdadeiramente maravilhosa disto, mas esta margem é estreita demais para contê-la."

Assista aos vídeos:

Após ter sido objeto de fervorosas pesquisas durante mais de 300 anos (a nota acima insinuava que uma demonstração elementar era possível — o que atiçou a curiosidade de todos), ele foi finalmente demonstrado em 1994 pelo matemático britânico Andrew Wiles. A grande maioria dos matemáticos acredita hoje que Fermat estava enganado: a prova utiliza ferramentas matemáticas bastante elaboradas da Teoria dos números — abrangendo curvas elípticas, formas modulares e representações galoisianas (termo derivado de Évariste Galois, matemático francês) — as quais ainda não existiam na época em que viveu Fermat.
Mais precisamente, Wiles provou um caso particular (para curvas ditas semi-estáveis) da Conjectura de Shimura-Taniyama-Weil, pois sabia-se já havia algum tempo que este caso implicava o teorema.
Este teorema não tem aplicação nenhuma per se: ele toma um valor importante, no entanto, devido às ideias e às ferramentas matemáticas que foram inventadas e desenvolvidas para prová-lo. Pode-se entender este teorema graficamente considerando-se a curva da equação

x n + y n = 1

quando

n > 2

, essa curva não passa por nenhum ponto com coordenadas racionais diferentes de zero

1.1 Quem foi Fermat?

Pierre Fermat viveu na França do século XVIII e era funcionário público na cidade francesa de Toulouse, a matemática para ele era um passatempo, dedicando seu tempo livre a mesma. Uma das características de Fermat que ficou famosa era o seu costume de apresentar a outros matemáticos problemas desafiantes, que muitas vezes deixavam seus contemporâneos irremediavelmente atolados na tentativa de solucioná-los. Foi com essa característica desafiadora e pesquisando autores gregos antigos que Fermat criou uma proposição muito semelhante ao teorema de Pitágoras, mas que diferente deste, não tinha uma solução, essa proposição atravessou os tempos e ficou conhecida como o último teorema de Fermat.

Um detalhe importante sobre Fermat é que ele era considerado um matemático amador, apesar da qualidade de sua produção ter sido excelente, assim sendo não havia uma preocupação por parte do mesmo de documentar o seu trabalho, visto que seu interesse pela matemática não era profissional, isto com certeza dificultou o estudo de sua obra, de excelente qualidade, mas feita de forma amadora. Essa característica da personalidade de Fermat ajudou a criar o mistério em torno do seu último teorema que não pode ser solucionado de imediato como os demais o foram.

1.2 As observações de Fermat

O mérito da descoberta desta proposição se deve ao seu filho mais velho, que percebeu várias notas de Fermat em um livro de Aritmética que pertencia a este, pois o mesmo tinha o hábito de fazer anotações em livros. Após a descoberta pelo filho, essas notas foram publicadas no livro Arithmetica de Diofanto Contendo Observações por P. de Fermat, em 1670, o livro apresentava 48 observações sem, no entanto, solucionar as demonstrações, que foram provadas ao longo do tempo, menos uma que justamente por ter sido a última, ficou conhecida como o último teorema de Fermat.

1.3 A dificuldade em encontrar a solução

A dificuldade surge quando Fermat, analisando observações a respeito do teorema de Pitágoras, se depara com a equação x²+y²=z². Substituindo o 2 por 3 percebeu que não havia solução, e substituindo o valor da potência por números maiores que 3 a equação continuava não apresentando solução. A partir daí chegou a uma outra equação mais geral xⁿ+yⁿ=zⁿ, onde n representa 3, 4, 5, ... que também não possuíam solução, ou seja, Fermat pegou um problema específico e o transformou em algo mais amplo capaz de representar uma gama maior de soluções que ainda precisavam ser demonstradas, já que n não está definido, a não ser pelo fato de ser maior que 2, sendo x, y e z números inteiros.

Fermat então escreveu a seguinte nota:

"É impossível para um cubo ser escrito como a soma de dois cubos ou uma quarta potência ser escrita como a soma de duas quartas potências ou, em geral, para qualquer número que é uma potência maior do que a segunda, ser escrito como a soma de duas potências com o mesmo expoente”.

Ao que se sabe, Fermat teria encontrado uma solução para o problema, como se observa na seguinte nota atribuída ao mesmo:

“Descobri uma demonstração maravilhosa desta proposição que, no entanto, não cabe nas margens deste livro”.

O problema é que, como se sabe, o matemático tinha o costume de anotar suas observações nas páginas dos livros que pesquisava não tendo, portanto a preocupação de formalizar tais considerações. Portanto o mistério de qual teria sido a tal “demonstração” de Fermat e a dificuldade em se encontrar a solução foram suficientes para manter o interesse dos matemáticos sobre tema por mais de 350 anos.

1.3.1 As tentativas ao longo dos tempos

O comentário de Fermat foi suficiente para manter várias gerações de matemáticos empenhados na tentativa de solucionar o problema ou de provar que ele é falso, uma solução definitiva só surgiu em 1994 como veremos mais adiante, mas até então isto não ocorreu e muitas tentativas de solucionar o problema foram empreendidas sem o sucesso esperado, porém com interessantes implicações para a matemática e para as ciências em geral. O primeiro grande questionamento desse problema e que todos faziam, era: como Fermat chegou a demonstração do mesmo? Já que ele não a deixou registrada, o que se sabe é que tal demonstração necessitava de um ferramental matemático que não estava disponível no século XVIII. Assim, novamente surge a dúvida se realmente Fermat teria encontrado uma demonstração para o teorema, porém foi essa dúvida que suscitou gerações de matemáticos a se empenharem na solução, produzindo muito material acadêmico que acabou contribuindo para o desenvolvimento da matemática, é o caso da descoberta da teoria dos Anéis Comutativos, que é, digamos, um "subproduto" do último teorema de Fermat.

Dentre os grandes matemáticos ao longo dos tempos que tentaram solucionar o problema podemos citar: Euler, Dirichlet (1828), Legendre (1830), Gabriel Lamé (1839), Sophie Germain, Kummer e mais recentemente, Wagstaff (1980).

Um fato interessante é que Kummer, em 1847, ao tentar demonstrar o teorema, criou o método dos divisores complexos, a que chamou números complexos ideais, contribuindo para o desenvolvimento da teoria dos números.

Nesse ponto o teorema de Fermat já era uma lenda no mundo acadêmico e amador, foram criados então vários concursos que visavam premiar aquele que fosse capaz de apresentar uma solução para o problema. Como exemplo, temos em 1908, o prêmio oferecido pelo professor Paul Wolfskehl da Real Academia de Göttingen, Alemanha, que oferecia um prêmio de 100 000 marcos à primeira pessoa que desse uma demonstração completa da conjectura de Fermat. Fato que não ocorreu, apesar de muitas provas terem sido enviadas, todas estavam incorretas, inclusive de matemáticos profissionais que chegaram a publica-las.

1.4 A solução nos dias atuais

Contemporaneamente, a primeira contribuição importante para o problema foi dada por dois matemáticos: Yutaka Taniyama e Goro Shimura. A conjectura apresentada pelos dois serviu de base para solução definitiva do problema, infelizmente um dos matemáticos, Yutaka Taniyama, cometeu suicídio em 1958, adiando ainda mais o desenvolvimento da solução. O desenvolvimento dessa conjectura não foi intencionalmente feito para solucionar o Último Teorema de Fermat, mas foi o que acabou acontecendo. Interessante notar que vários matemáticos partiram da tentativa de solucionar o problema e acabaram fazendo contribuições importantes para outras áreas da matemática, sem intenção de fazê-lo, já no caso dos dois matemáticos citados, o fato ocorreu às avessas, o que demonstra a subjetividade do campo matemático, que se assemelha a uma forma de arte em que a inspiração é tão ou mais importante do que o trabalho metódico e racional, que geralmente está associado a matemática.

Com isso, mais uma característica interessante da matemática surge, que é a inter-relação entre as suas diversas subáreas, visto que o conhecimento produzido em um campo pode ser utilizado em aplicações de outros, e que o trabalho matemático, principalmente o de vanguarda, sempre terá uma aplicação, mesmo que seja insuspeita a princípio, pois quem imaginaria que o trabalho de dois estudantes do final do século XX poderia ser utilizado na solução de um dos problemas mais instigantes da história da matemática?
Observa-se dessa forma, que a pesquisa teórica é a semente de todo o desenvolvimento científico, e que a matemática como base de todas as ciências naturais, é o ferramental básico de toda pesquisa, sem tal ferramenta não seria possível abstrair a mente e criar conjecturas necessárias para desenvolver as soluções e técnicas modernas que transformam a vida de toda a humanidade. O senso comum poderia dizer que tais conjecturas são inúteis, desprovidas de qualquer utilidade prática, mas sem elas não nenhuma das técnicas modernas que desenvolvem a sociedade seriam possíveis. E mesmo a resolução de um problema tão teórico como o "Último Teorema de Fermat" está intimamente ligado a todo esse processo de crescimento da sociedade, visto que se observa nele a mesma essência necessária para o progresso da sociedade e da vida humana.

A conjectura feita pelos dois matemáticos diz que para cada equação elíptica há uma forma modular correspondente; a relevância dessa conjectura reside no fato de que se a mesma estiver correta ela poderia ser aplicada ao Último Teorema de Fermat provando a sua veracidade. Ou seja, para provar se o Último Teorema de Fermat era ou não verdadeiro, deveria se provar primeiro a conjectura Taniyama-Shimura, e foi exatamente isso que Andrew Wiles fez, como veremos no próximo capítulo.

Pelo que foi dito acima, percebe-se que não é possível desenvolver um trabalho em matemática ou em qualquer outra área, sem a contribuição de outros pesquisadores, sendo sempre necessário consultar outras pesquisas de modo a encontrar algo que possa ser útil, pois a pesquisa matemática não se faz isoladamente mas através do intercâmbio de idéias entre diversas pessoas e o estudo minucioso de pesquisadores já consagrados pela relevância de seus trabalhos.

No presente caso, sem a contribuição de Yutaka Taniyama e Goro Shimura dificilmente se teria chegado a uma resolução do problema, como de fato ocorreu alguns anos depois, demonstrando desse modo a importância do intercâmbio de idéias no mundo matemático.

II – A DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA

A solução definitiva do teorema se deve a Andrew Wiles, um professor da Universidade de Princeton, que iniciou seu interesse pelo problema ainda menino na biblioteca pública de sua cidade natal. Mas só a partir de 1986 é que começou realmente o trabalho de solucionar o teorema, o detalhe é que a sua pesquisa foi feita em segredo, talvez temendo a pressão que sofreria diante de um problema tão famoso e de difícil solução. Assim sendo, durante sete anos publicou outros trabalhos, afim de não despertar suspeitas sobre o seu verdadeiro objetivo, e apesar de não ser sua meta principal, estes trabalhos acabaram tendo grande relevância acadêmica, unificando e criando novas técnicas matemáticas.

Mas foi a partir da análise da conjectura Taniyama-Shimura que Andrew Wiles percebeu que o teorema poderia ser solucionado, porém a conjectura necessitava ser comprovada, ficou claro então na mente de Wiles que a solução do teorema dependeria da comprovação da conjectura, na verdade Wiles não demonstrou o Último Teorema de Fermat, mas a conjectura Taniyama-Shimura, sendo que esta levou a aquela.

Finalmente, no dia 23 de junho de 1993, em uma Conferência no Sir Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences em Cambridge, Andrew Wiles, passados 356 anos desde a apresentação do teorema, faz o anúncio da descoberta de sua demonstração, para assombro de todos os presentes. Infelizmente havia uma pequena falha na sua demonstração, Wiles então se afasta por mais um ano, a fim de corrigir o erro e apresentar a nova demonstração reformulada.

Um detalhe deve ser lembrado nesse momento: para a maioria das pessoas, a matemática é uma ciência exata e perfeita, isso se deve a maneira como os professores, de modo geral, apresentam a matéria a seus alunos nas salas de aula, onde há sempre uma solução para cada problema e essas soluções se desenvolvem naturalmente sem percalços e nem dificuldades, pelos menos da maneira como são apresentadas, dando a impressão ao aluno que a dificuldade de encontrar uma solução para tais problemas é somente dele, que não tem capacidade para resolve-los. Esse tipo de matemática "higiênica" não deixa o aluno perceber que as dificuldades são normais na matemática e que até os grandes matemáticos se atolam na tentativa de solucionar os problemas. E que em matemática, tão importante quanto a solução de um problema é a maneira como se chega a ele, e é durante esse processo que ocorre a aprendizagem e não simplesmente obtendo uma resposta correta, que em si não significa nada, mas possui significado apenas se vier acompanhada de uma demonstração, pois é ai que reside o processo de aprendizado e onde algo de relevante pode ser notado. Como foi visto até aqui, várias contribuições foram feitas a matemática na tentativa de solucionar um problema, sem necessariamente atingir o objetivo principal.

Voltando à demonstração de Wiles, após a correção do erro detectado, foram necessários mais alguns meses para a apreciação da demonstração, que possuía cerca de 200 páginas, e após um período de suspense, a demonstração é finalmente aceita, sendo porém tão técnica que apenas alguns poucos no mundo todo eram capazes de compreendê-la, e Andrew Wiles (após receber um prêmio de 50 mil libras da Fundação Wolfskehl) entra para a história como o matemático que conseguiu demonstrar o teorema mais instigante e desafiador da história da matemática, que atravessou as épocas e ocupou a mente de grandes matemáticos ao longo desse período, “O Último Teorema de Fermat” foi definitivamente solucionado.

Referências:

http://criticanarede.com/lds_singh.html

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/fermat/ultimo_teorema.htm

http://books.google.com/books?id=nAE1o5AVpmkC&source=gbs_similarbooks_r&cad=2

http://www.somatematica.com.br/artigos/a16/p4.php

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%9Altimo_teorema_de_Fermat

http://www.google.com.br/search?hl=pt-BR&rls=com.microsoft:en-US&rlz=1I7PRFA_pt-BR&q=o%20%C3%BAltimo%20teorema%20de%20fermat&biw=1131&bih=593&um=1&ie=UTF-8&tbm=isch&source=og&sa=N&tab=wi

Números Primos

2011-06-21T08:02:00.000-07:00

Confira clicando no link

Boa Pesquisa!

Número Primos

"Wikipédia"

Um número natural é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores: o número um e ele mesmo^[1].

Nos inteiros, é um primo se ele tem exatamente quatro divisores: e . Uma definição um pouco mais técnica, que permite generalizar este conceito para outros conjuntos, é dizer que o conjunto dos divisores de p que não são inversíveis não é vazio, e todos seus elementos são produtos de p por inteiros inversíveis. Por definição,

0

1

- 1

não são números primos.

Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C..

A propriedade de ser um primo é chamada "primalidade", e a palavra "primo" também é utilizada como substantivo ou adjetivo. Como "dois" é o único número primo par, o termo "primo ímpar" refere-se a todo primo maior do que dois.

Se um número inteiro tem módulo maior que um e não é primo, diz-se que é composto. Por convenção, os números 0, 1 e -1 não são considerados primos nem compostos.

O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamadosfatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatoração).

Os 100 primeiros números primos positivos são:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541

Exemplos de decomposições:

Assista aos vídeos

Os átomos da aritmética

Os gregos foram os primeiros a perceber que qualquer número natural, exceto o 1, pode ser gerado pela multiplicação de números primos, os chamados blocos de construção". A primeira pessoa, até onde se sabe, que produziu tabelas de números primos foi Eratóstenes, no terceiro século a.C. Ele escrevia inicialmente uma lista com todos os números de 1 a 1000. Em seguida escolhia o primeiro primo, 2, e eliminava da lista todos os seus múltiplos. Passava ao número seguinte que não fora eliminado e procedia também eliminando todos os seus múltiplos. Desta forma Erastótenes produziu tabelas de primos, mais tarde este procedimento passou a se chamar de crivo de Eratóstenes.

Durante o século XVII os matemáticos descobriram o que acreditavam ser um método infalível para determinar se um número

N

era primo: calcule

2

elevado a potência

N

e divida-o por

N

, se o resto for

2

, então o número será primo. Em termos da calculadora-relógio de Gauss, esses matemáticos estavam tentando calcular

2 N

em um relógio com

N

horas. Em 1819, o teste dos números primos foi eliminado, pois funciona para todos os números até

340

, mas falha para . Exceção descoberta com uma calculadora-relógio de Gauss contendo 341 horas utilizada para simplificar a análise de um número como

2341

Teoremas dos números primos

Existem vários teoremas e estudos sobre os números primos, desde resultados tratados na matemática elementar, até conjecturas que não foram provadas.

Matemática elementar

Alguns resultados que podem ser demonstrados com ferramentas elementares (para ver as demonstrações, consulte Vianna^[1]):

Se um número primo divide um produto, mas não divide um dos fatores, então ele divide o outro fator
Se um número primo divide a potência de outro número, então ele divide este número
Se um número é múltiplo, então ele tem pelo menos um fator primo

Teoria dos números

Sabe-se que, à medida que avançamos na seqüência dos números inteiros, os primos tornam-se cada vez mais raros. Isto levanta duas questões:

O conjunto dos números primos seria finito ou infinito?
Dado um número natural $n$ , qual é a proporção de números primos entre os números menores que $n$ ?

A resposta à primeira questão é que o conjunto dos primos é infinito, um resultado conhecido na parte central dos Elementos de Euclides, que lida com as propriedades dos números. Na proposição 20, Euclides explica uma verdade simples porém fundamental sobre os números primos: existe um número infinito deles. Pode-se demonstrar, em notação moderna, da seguinte forma:

Suponha, por absurdo, que o número de primos seja finito e sejam os primos. Seja

P

o número tal que

P

= onde denota o produtório.

P

é um número primo, é necessariamente diferente dos primos , pois sua divisão por qualquer um deles tem um resto de 1.

Por outro lado, se

P

é composto, existe um número primo

q

tal que

q

é divisor de

P

Mas obviamente Logo existe um novo número primo.

Há um novo número primo, seja

P

primo ou composto; este processo pode ser repetido indefinidamente, logo há um número infinito de números primos.

Uma outra prova envolve considerar um número inteiro

n > 1

. Temos

n + 1

que, necessariamente, é coprimo de

n

(números coprimos são os que não têm nenhum fator comum maior do que 1). Provamos isto imaginando que a divisão do menor pelo maior tem resultado 0 e resto

n

e do maior pelo menor tem resultado 1 e resto 1. Assim,

n (n + 1)

tem, necessariamente, ao menos dois factores primos.

Tomemos o sucessor deste, que representamos como

n (n + 1) + 1

. Pelo mesmo raciocínio, ele é coprimo a

n (n + 1)

. Ao multiplicar os dois números, temos

[n (n + 1)] * [n + (n + 1) + 1]

. Como um de seus fatores tem pelo menos dois factores primos diferentes e é coprimo ao outro, o resultado da multiplicação tem pelo menos três factores primos distintos. Este raciocínio também pode ser infinitamente estendido.

A resposta para a segunda pergunta acima é que essa proporção é aproximadamente , onde $ln$ é o logaritmo natural.

Para qualquer inteiro k, existem k inteiros consecutivos todos compostos.

O produto de qualquer sequência de k inteiros consecutivos é divisível por k!

Se k não é primo, então k possui, necessariamente, um fator primo menor do que ou igual a .

Todo inteiro maior que 1 pode ser representado de maneira única como o produto de fatores primos

Grupos e sequências de números primos

Pierre de Fermat (1601-1665) descobriu que todo número primo da forma

4 n + 1

, tal como 5,13,17,29,37,41, etc., é a soma de dois quadrados. Por exemplo:

5 = 1 2 + 2 2,

13 = 2 2 + 3 2,

17 = 1 2 + 4 2,

29 = 2 2 + 5 2,

37 = 1 2 + 6 2,

41 = 4 2 + 5 2 .

Hoje são conhecidos dois grupos de números primos:

$(4 n + 1)$ - que podem sempre ser escritos na forma ( $x 2 + y 2$ );
e $(4 n - 1)$ - nunca podem ser escritos na forma ( $x 2 + y 2$ ).

Tratando-se de números primos é perigoso fazer uma generalização apenas com base numa observação, não solidamente comprovada matematicamente. Vejamos o exemplo: 31, 331, 3.331, 33.331, 333.331, 3.333.331 e 33.333.331 são primos mas 333.333.331 não é, pois (333.333.331 = 17 x 19.607.843).

Um olhar mais atento na forma como se distribuem os números primos revela que não há uma regularidade nesta distribuição. Por exemplo existem longosburacos entre os números primos, o número 370.261 é seguido de cento e onze^[2] números compostos e não existem^[3] primos entre os números 20.831.323 e 20.831.533. Essa irregularidade na distribuição dos números primos é uma das razões^{[carece de fontes]} de não existir uma fórmula matemática que produza todos os números primos^{[carece de fontes]}. Algumas fórmulas produzem muitos números primos, por exemplo

x 2 - x + 41

fornece primos quando ^[4]^[5]. Veja que para x = 41, a fórmula resulta em

412

que não é primo.

Não existe uma fórmula que forneça primos para todos os valores primos de

x

, de fato em 1.752 Goldbach provou que não há uma expressão polinomial em

x

com coeficientes inteiros que possa fornecer primos para todos os valores de

x

Não se sabe se há uma expressão polinomial

a x 2 + b c + c

com que represente infinitos números primos. Dirichlet usou métodos para provar que se

a

2 b

c

não têm fator primo em comum, a expressão polinomial a duas variáveis

a x 2 + 2 b x y + c y 2

representa infinitos primos, quando

x

y

assumem valores positivos inteiros.

Fermat pensou que a fórmula forneceria números primos para . Este números são chamados de números de Fermat e são comumente denotados por

F n

. Os cinco primeiros números são:

sendo todos primos.

Maior número primo conhecido

Atualmente o maior número primo encontrado é

2 43.112.609 - 1

descoberto no dia 23 de agosto de 2008, num projeto de computação distribuída pela Internet, oGIMPS, que usa o tempo ocioso do processador de computadores pessoais, procurando por números primos específicos, do tipo

2 p - 1

, em que

p

é primo, chamados primos de Mersenne. Este último primo encontrado é o primo de Mersenne de número 46 e tem 12.978.189 dígitos.

Aproximações para o n-ésimo primo

Como consequência do teorema do número primo , uma expressão assintótica para o n-ésimo primo p_n é:

p n ˜ n ln n .

Uma aproximação melhor é:

^[6]

O teorema de Rosser mostra que p_n é maior que n ln n. É possível melhorar esta aproximação com os limites ^[7]^[8]:

Referências:

http://www.google.com.br/search?aq=2&oq=n%C3%BAmer&sourceid=chrome&ie=UTF-8&q=n%C3%BAmeros+primos

http://www.somatematica.com.br/fundam/primos.php

http://www.google.com.br/search?q=n%C3%BAmeros+primos&hl=pt-BR&prmd=ivns&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ei=C7AATtyaM4nj0QGvqpXSDg&ved=0CCUQsAQ&biw=1152&bih=730

http://www.profcardy.com/cardicas/primos.php

http://www.colegioweb.com.br/matematica-infantil/numeros-primos.html

http://www.mundovestibular.com.br/articles/465/1/NUMEROS-PRIMOS/Paacutegina1.html

http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-primos.htm

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo

Equações do Segundo Grau

2011-06-06T07:06:00.000-07:00

Equações com Expoente 2

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Introdução às equações algébricas

Equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.

Exemplos:

a x + b = 0
a x² + bx + c = 0
a x4 + b x² + c = 0

Uma equação algébrica está em sua forma canônica, quando ela pode ser escrita como:

ao xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x1 + an = 0

onde n é um número inteiro positivo (número natural). O maior expoente da incógnita em uma equação algébrica é denominado o grau da equação e o coeficiente do termo de mais alto grau é denominado coeficiente do termo dominante.

Exemplo: A equação 4x²+3x+2=0 tem o grau 2 e o coeficiente do termo dominante é 4. Neste caso, dizemos que esta é uma equação do segundo grau.

A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)

Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.

O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

Seja a equação:

a x² + b x + c = 0

com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:

x² + (b/a) x + c/a = 0

Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:

x² + (b/a) x = -c/a

Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter:

x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:

[x+(b/2a)]2 = (b² - 4ac) / 4a²

Notação: Usaremos a notação R[x] para representar a raiz quadrada de x>0. R[5] representará a raiz quadrada de 5. Esta notação está sendo introduzida aqui para fazer com que a página seja carregada mais rapidamente, pois a linguagem HTML ainda não permite apresentar notações matemáticas na Internet de uma forma fácil.

Qualquer equação do 2º grau pode ser resolvida através da fórmula de Bháskara , o método usado anteriormente serve para facilitar a resolução de equações incompletas em b e em c, principalmente as incompletas em b que são muito mais fáceis de serem resolvidas daquela forma, pois o uso da fórmula de Bháskara naquele caso tornaria a solução mais complicada.

Demonstração da fórmula de Bháskara:

Dada a equação ax² + bx + c = 0 , multiplique os dois membros da equação por 4a:

(4a )(ax² + bx + c ) = (4a ) . 0

4a²x² + 4abx + 4ac = 0

4a²x² + 4abx = -4ac

Adicione b² aos dois membros da equação:

4a²x² + 4abx + b² = -4ac + b²

Observe que o primeiro membro dessa igualdade é um trinômio quadrado perfeito igual a (2ax + b)²

(2ax + b )² = b² - 4ac

Extraia a raiz quadrada dos dois membros da igualdade:

Resolver em R a equação 2x² - 10x + 12 = 0 :

Temos a = 2 , b = -10 e c = 12, então:

Relações entre os coeficientes e as raízes

Relação de soma

Sendo x₁ e x₂as raízes da equação do 2º grau, desejamos obter a relação de soma em função dos coeficientes (a , b , c)

Relação de produto:

Fatoração do trinômio do 2º grau

Sendo r₁ e r₂ as raízes do trinômio do segundo grau ax² +bx + c , temos que:

ax² + bx + c = a(x-r₁)(x-r₂)

Fatorar o trinômio do 2º grau

5x² - 3x – 2

Inicialmente determinamos as raízes do trinômio. As raízes são os números que atribuídos a variável x anulam o trinômio, isto é, 5x² - 3x – 2 = 0

Resolver em R a equação:

Obtenha as equações do 2º grau conhecendo as raízes:

a) 2 e 3

(x – 2)(x – 3) = x² - 3x – 2x + 6 = x² - 5x + 6

x² - 5x + 6 = 0

b)-1 e -2

(x + 1)(x + 2) = x² + 2x + x + 2 = x² + 3x + 2

x² + 3x + 2 = 0

Resolver em R a equação:

Condição de existência: x ≠ 0

O mmc dentre os denominadores 3² , 3x² e 3²x é o produto de todos os seus fatores, sendo que dentre fatores repetidos é escolhido o de maior expoente,isto é:

mmc( 3²,3x²,3²x) = 3²x² = 9x²

Multiplicando ambos os membros da equação por esse mmc,temos:

Resolver em R a equação:

Para o calculo do mmc dentre os denominadores, fatoramos cada um deles, obtendo:

2, 2²(x – 1) e (x + 1)(x – 1). O mmc é o produto de todos os fatores desses polinômios, sendo que dentre fatores repetidos é escolhido o de maior expoente, isto é:

mmc[2, 2²(x – 1), (x + 1)(x – 1)] = 2²(x + 1)(x – 1)

EXERCÍCIOS

1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:

a) x² + 9 x + 8 = 0 (R:-1 e -8)
b) 9 x² - 24 x + 16 = 0 (R:4/3)
c) x² - 2 x + 4 = 0 (vazio)
d) 3 x² - 15 x + 12 = 0 (R: 1 e 4)
e) 10 x² + 72 x - 64 = 0 (R:-8 e 4/5)
e) 5x² - 3x - 2 = 0
f) x² - 10x + 25 = 0
g) x² - x - 20 = 0
h) x² - 3x -4 = 0
i) x² - 8x + 7 = 0

RESOLVA AS EQUAÇÕES DE 2º GRAU

1) x² - 5x + 6 = 0 _____(R:2,3)
2) x² - 8x + 12 = 0 ______(R:2,6)
3) x² + 2x - 8 = 0______ (R:2,-4)
4) x² - 5x + 8 = 0 ______(R:vazio)
5) 2x² - 8x + 8 = 0_______ (R:2,)
6) x² - 4x - 5 = 0_______ (R:-1, 5)
7) -x² + x + 12 = 0_______ (R:-3, 4)
8) -x² + 6x - 5 = 0_______ (R:1,5)9) 6x² + x - 1 = 0______ (R:1/3 , -1/2)
10) 3x² - 7x + 2 = 0 ______(R:2, 1/3)
11) 2x² - 7x = 15 _______(R:5, -3/2)
12) 4x² + 9 = 12x______ (R:3/2)
13) x² = x + 12 ______(R:-3 , 4)
14) 2x² = -12x - 18 _____(R:-3 )
15) x² + 9 = 4x_____ (R: vazio)
16) 25x² = 20x – 4 ____(R: 2/5)
17) 2x = 15 – x² ______(R: 3 , -5)
18) x² + 3x – 6 = -8____ (R:-1 , -2)19) x² + x – 7 = 5 ____(R: -4 , 3)
20) 4x² - x + 1 = x + 3x² ___(R: 1)
21) 3x² + 5x = -x – 9 + 2x²____ (R: -3)22) 4 + x ( x - 4) = x _____(R: 1,4)
23) x ( x + 3) – 40 = 0 _____(R: 5, -8)
24) x² + 5x + 6 = 0 _____(R:-2,-3)
25) x² - 7x + 12 = 0 _____(R:3,4)
26) x² + 5x + 4 = 0 _____(R:-1,-4)
27) 7x² + x + 2 = 0 _____(vazio)
28) x² - 18x + 45 = 0 _____(R:3,15)
29) -x² - x + 30 = 0 _____(R:-6,5)
30) x² - 6x + 9 = 0 _____(R:3)
31) ( x + 3)² = 1_______(R:-2,-4)
32) ( x - 5)² = 1_______(R:3,7)
33)( 2x - 4)² = 0_______(R:2)
34) ( x - 3)² = -2x²_______(R:vazio)

35)Na equação 3x² - 12 = 0 as soluções são:
a)0 e 1
b)-1 e 1
c)-2 e 2 (x)d)-3 e 3
e)0 e 4

36) x² + 3x - 28 = 0 (R: -7,4)
37) 3x² - 4x + 2 = 0 (R: vazio)
38) x² - 3 = 4x + 2 (R: -1,5)

PROBLEMAS COM EQUAÇÃO DO 2° GRAU

1) A soma de um numero com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero. (R:9 e-10)

2) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse numero (R: 3 e -4)
3) O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. (R:1)

4) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número (R:10 e -8)

5) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número (R: 5)

6) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse número. Calcule esse número.(R: 0 e 4)

7) O quadrado menos o quádruplo de um numero é igual a 5. Calcule esse número (R: 5 e -1)

8) O quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 18. Qual é esse numero? (R: 6 e -3)

9) O dobro do quadrado de um número é igual ao produto desse numero por 7 menos 3. Qual é esse numero? (R:3 e ½)

10) O quadrado de um número menos o triplo do seu sucessivo é igual a 15. Qual é esse numero?(R: 6 e -3)

11) Qual o número que somado com seu quadrado resulta em 56? (R:-8 e 7)

12) Um numero ao quadrado mais o dobro desse número é igual a 35. Qual é esse número ? (R:-7 e 5)
13) O quadrado de um número menos o seu triplo é igual a 40. Qual é esse número? (R:8 e -5)

14) Calcule um número inteiro tal que três vezes o quadrado desse número menos o dobro desse número seja igual a 40. (R:4)

15) Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse número seja igual a 48. (R:8)

16) O triplo de um número menos o quadrado desse número é igual a 2. Qual é esse número? (R:1 e 2)

17) Qual é o número , cujo quadrado mais seu triplo é igual a 40? ( R: 5 , -8)

18) O quadrado de um número diminuido de 15 é igual ao seu dobro. Calcule esse número.
(R: 5 e -3)

19) Determine um número tal que seu quadrado diminuído do seu triplo é igual a 26. (R:7 e -4)

20) Se do quadrado de um número, negativo subtraimos 7, o resto será 42. Qual é esse número?
(R: -7)

21) A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo e o triplo desse número é 77. Calcule o número. (R: 7)

22) Determine dois números ímpares consecutivos cujo produto seja 143. (R: 11 e 13 ou -11, -13)

23) Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m² de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo? (R:15 cm)

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO INCOMPLETAS

Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções. Vejamos, através de exemplos, como se resolvem as equações incompletas do 2° grau

1° CASO – equações da forma ax² + c = 0, (b = 0)

Exemplos:

1) x² - 25 = 0
x² = 25
x = √25
x = 5
logo V= (+5 e -5)

2) 2x² - 18 = 0
2x² = 18
x² = 18/2
x² = 9
x = √9
x = 3
logo V= (-3 e +3)

3) 7x² - 14 = 0
7x² = 14
x² = 14/7
x² = 2
x = √2
logo V = (-√2 e +√2)

4) x²+ 25 = 0
x² = -25
x = √-25
obs: não existe nenhum número real que elevado ao quadrado seja igual a -25

EXERCÍCIOS

1) Resolva as seguintes equações do 2° grau

a) x² - 49 = 0 (R: -7 e +7)
b) x² = 1 (R: +1 e -1)
c) 2x² - 50 = 0 (R: 5 e -5)
d) 7x² - 7 = 0 (R: 1 e -1)
e) 5x² - 15 = 0 (R: √3 e -√3)
f) 21 = 7x² (R: √3 e -√3)g) 5x² + 20 = 0 (R: vazio)
h) 7x² + 2 = 30 (R: 2 e -2 )
i) 2x² - 90 = 8 (R: 7 e -7)
j) 4x² - 27 = x² (R:3 e -3)k) 8x² = 60 – 7x² (R: 2 e -2)
l) 3(x² - 1 ) = 24 (R: 3 e -3)
m) 2(x² - 1) = x² + 7 (R:3 e -3)n) 5(x² - 1) = 4(x² + 1) (R:3 e -3)
o) (x – 3)(x + 4) + 8 = x (R:2 e -2)

2° CASO: Equações da forma ax² + bx = 0 ( c = 0)

Propriedade: Para que um produto seja nulo é preciso que um dos fatores seja zero .

Exemplos

1) resolver x² - 5x = 0
fatorando x ( x – 5) = 0

deixando um dos fatores nulo temos x = 0

e o outro x – 5 = 0 , passando o 5 para o outro lado do igual temos x = 5

logo V= (0 e 5)

2) resolver: 3x² - 10x = 0
fatorando: x (3x – 10) = 0

deixando um dos fatores nulo temos x = 0

Tendo também 3x – 10 = 0
3x = 10
x = 10/3

logo V= (0 e 10/3)

Observe que, nesse caso, uma das raízes é sempre zero.

EXERCÍCIOS

1) Resolva as seguintes equações do 2° grau.

a) x² - 7x = 0 (R: 0 e 7)
b) x² + 5x = 0 (R: 0 e -5)
c) 4x² - 9x = 0 (R: 0 e 9/4)
d) 3x² + 5x =0 (R: 0 e -5/3)
e) 4x² - 12x = 0 (R: 0 e 3)
f) 5x² + x = 0 (R: 0 e -1/5)
g) x² + x = 0 (R: 0 e -1)h) 7x² - x = 0 (R: 0 e 1/7)
i) 2x² = 7x (R: 0 e 7/2)
j) 2x² = 8x (R: 0 e 4)
k) 7x² = -14x (R: 0 e -2)
l) -2x² + 10x = 0 (R: 0 e 5)

2) Resolva as seguintes equações do 2° grau

a) x² + x ( x – 6 ) = 0 (R: 0 e 3)
b) x(x + 3) = 5x (R: 0 e 2)
c) x(x – 3) -2 ( x-3) = 6 (R: 0 e 5)
d) ( x + 5)² = 25 (R: 0 e -10)
e) (x – 2)² = 4 – 9x (R: 0 e -5)f) (x + 1) (x – 3) = -3 (R: 0 e 2)

1) O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro tem?

2) Uma tela retangular com área de 9600cm² tem de largura uma vez e meia a sua altura. Quais são as dimensões desta tela?

3) O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha 20 anos atrás e igual a 2000. Quantos anos eu tenho agora?

4) Comprei 4 lanches a um certo valor unitário. De outro tipo de lanche, com o mesmo preço unitário, a quantidade comprada foi igual ao valor unitário de cada lanche. Paguei com duas notas de cem reais e recebi R$ 8,00 de troco. Qual o preço unitário de cada produto?

5) O produto da idade de Pedro pela idade de Paulo é igual a 374. Pedro é 5 anos mais velho que Paulo. Quantos anos tem cada um deles?

6) Há dois números cujo triplo do quadrado é a igual 15 vezes estes números. Quais números são estes?

7) Quais são as raízes da equação x² - 14x + 48 = 0?

8) O dobro do quadrado da nota final de Pedrinho é zero. Qual é a sua nota final?

9) Solucione a equação biquadrada: -x⁴ + 113x² - 3136 = 0.

10) Encontre as raízes da equação biquadrada: x⁴ - 20x² - 576 = 0.

1) Complete o quadro conforme o exemplo:

Equação	Coeficientes
Equação	a	b	c
6x²-3x+1=0	6	-3	1
-3x²=5/2+4x
y²=5y
6x²=0

2) Determine as raízes das seguintes equações:
a) x²-3x+2=0
b) 2y²-14y+12=0
c) -x²+7x-10=0
d) 5x²-x+7=0
e) y²-25=0
f) x²-1/4=0
g) 5x²-10x=0
h) 5+x²=9
i) 7x²-3x=4x+x²
j) z²-8z+12 = 0
2) Determine o valor de k nas equaçoes, de modo que:
a) x² - 12x + k = 0 , tenha duas raízes reais e iguais
b) 2x² - 6x +3k = 0, não tenha raízes reais
c) x² + kx + 4 = 0, tenha raízes reais e iguais
d) kx² - 2(k+1)x + (k+5) = 0, tenha duas raízes reais e diferentes
3) Complete o quadro:
Lembre-se: Soma das raízes de uma equação do 2º grau = -b/a
Produto das raízes de uma equação do 2º grau = c/a

Equação	Soma das raízes	Produto das raízes
x² - 6x + 9 = 0	6	9
x² - 2x + 3 = 0
2x² + 5x - 8 = 0
x² + 5x -24=0	-5	24
	5	-6
	-6	-3

4) Dê o conjunto solução das seguintes equações fracionárias:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
5) Dê o conjunto solução das seguintes equações literais:
a) x² - (a+1) + x = 0
b) x² - (a+m) + am = 0
c) y² - by - 2b³ = 0
d) ax² - (a²+1) + a = 0
e) x² - 3rx + 2r² = 0
6) Dê o conjunto solução das seguintes equações biquadradas:
a)
b)
c)
d)
e)
7) Resolução de equações irracionais:

Primeiramente devemos eliminar o radical

Eleve ambos os membros ao quadrado para eliminar o radical
Exemplo:

x - 1 = x² - 6x + 9
x² - 7x +10 = 0
Aplicando a fórmula de Bháskara, encontramos as raízes x=5, x`=2
Verificacão: Substitua os valores das raízes em ambos os membros e verifiquem se a igualdade é satisfeita
Para x=5
1º membro:
2º membro: x-3 = 5-3 = 2
Como o 1º membro é igual ao 2º membro, x=5 é solução da equação
Para x`=2
1º membro:
2º membro: x-3 = 2-3 = -1
Como o 1º membro é diferente do 2º membro, x`=2 não é solução da equação
Portanto, V={5}
Nunca esqueçam de fazer a verificação...
a)
b)
c)
d)
e)
8) (UFSC) A soma das raízes da equação x²-28/6 = 7x/2 - x/2 é?
Resposta: 8) 11

Referêcias:

http://www.google.com.br/search?hl=pt-BR&client=firefox-a&rls=org.mozilla%3Apt-BR%3Aofficial&biw=1024&bih=602&q=exerc%C3%ADcios++segundo+grau&aq=f&aqi=&aql=&oq=

http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrauExercicios.aspxhttp://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/funcoes/funcao_segundo_grau/funcao_segundo_grau_11_01_exercicios.php

http://www.google.com.br/url?sa=t&source=web&cd=3&ved=0CCsQFjAC&url=http%3A%2F%2Fwww.vestibular1.com.br%2Frevisao%2Fexercicios_resolvidos_equacao_2_grau.doc&ei=tdvsTZyOGtTOgAeUnOHXCQ&usg=AFQjCNG_jL0F4Y8k1QetErCdk4lsSbXxDw&sig2=8cim-Js0_0cDyqTsbuRslw

http://www.exatas.mat.br/equacao2.htm

http://www.exatas.mat.br/exercicios/equacao2.htm

http://www.brasilescola.com/matematica/equacao-2-grau.htm

http://quimsigaud.tripod.com/equacaodo2grau/

http://www.mundovestibular.com.br/articles/58/2/EQUACOES-DO-SEGUNDO-GRAU/Paacutegina2.html

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b)	q)
c)	r)
d)	s)
e)	t)
f)	u)
g)	v)
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j)	y)
k)	z)
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Prof.: Marcos Vilela Garcia

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