PURA MATEMÁTICA

ESTUDANDO O BINÔMIO DE NEWTON

2016-10-29T18:38:00.002-07:00

DIVISÃO DE POLINÔMIO POR MONÔMIO

2016-09-07T06:12:00.000-07:00

Na divisão de polinômio por monômio, dividimos cada termo do polinõmio pelo monômio .
Vejamos os exemplos:
a) ( 8m⁴ + 6m^{3 –}12m² ) : ( - 2m²)=
8x⁴: ( - 2x²) + 6m³ : ( - 2m²) – 12m²: (-2m²)=
- 4m² - 3m + 6
Então,   ( 8m⁴ + 6m^{3 –}12m² ) : ( - 2m²)= - 4m² - 3m + 6

b) ( 36 m²n³ - 48m⁵n⁴ – 60m²n² ) : ( 4mn²)=
36 m²n³ : 4mn² - 48m⁵n⁴ :   4mn² – 60m²n² : 4mn²
9mn – 12m⁴n² - 15m
Logo, ( 36 m²n³ - 48m⁵n⁴ – 60m²n² ) : ( 4mn²)= 9mn – 12m⁴n² - 15m
                               ATIVIDADE

1. Efetue as divisões:

a) ( 32y³ + 18x² – 12x) : ( -2x) =

b) ( 16x³y³ + 12x²y³ – 24xy) : ( -4xy) =

c) ( 6t⁴y⁵ – 15t³y⁴+ 21t⁴y⁶) : (3t²y³)

d) ( 2,5mn + 1,5m²n³- 3,5m⁴n⁴) : (-5mn)

e) ( - 20m³n⁴ – 40m⁶n³- 32m⁶n⁵) : (4mn³)

2. Qual o resultado da divisão ( 5t³v² – 8t²v³) : ( - 2t²v³) ?

3. Qual o valor numérico de ( 10p² – 6p³) : (2p). Quando p = 2,2 ?

a) – 4,52 b) – 3,52 c) + 5,23 d) + 52,3 e) nda

     Leia também
    Divisão de polinômio por polinômio
    Equações irracionais
    Equações irracionais
Estudando função do 1º grau em lR.

QUESTÕES DE VESTIBULARES COM POLINÔMIOS

2016-09-06T03:08:00.000-07:00

1) (UEL) Dividindo-se o polinômio x⁴ + 2x³ - 2x² - 4x - 21 por x + 3, obtêm-se:

a) x³ - 2x² + x -12 com resto nulo;
b) x³ - 2x² + 3 com resto 16;
c) x³ - x² -13x + 35 e resto 84;
d) x³ - x² - 3x + 1com resto 2;
e) x³ - x² + x -7 e resto nulo; X

2. Considerando que p(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2k, para que valores de k temos p(2) = 4?

p(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2k
p(2) = 4
2 . 2³ – k . 2² + 3 . 2 – 2k = 4
16 – 4k + 6 – 2k = 4
– 4k – 2k = – 16 – 6 + 4
– 6k = –18 . (–1)
6k = 18
k = 3

Temos que o valor de k é igual a 3.

3. (Ita) A divisão de um polinômio P(x) por x²- x resulta no quociente 6x²+5x+3 e resto -7x. O resto da divisão de P(x) por 2x+1 é igual a:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5 X

4. (Cesgranrio) O resto da divisão do polinômio P(x)=(x²+1)² pelo polinômio D(x)=(x- 1)² é igual a:

a) 2

b) 4

c) 2x -1

d) 4x -2

e) 8x -4 X

Divisão de polinômio por polinômio
Subtração de polinômios.
Exercício resolvido multiplicação de polinômios

DIVISÃO DE POLINÔMIO POR POLINÔMIO passo a passo

2016-09-05T11:31:00.000-07:00

Vamos calcular por meio de exemplos, uma regra prática par efetuar a divisão de polinômios.
Vamos efetuar a divisão ( 6x³ - 11x² + 12x - 15) : ( 3x² - x + 4 )

*Os polinômios devem estar em ordem decrescente em relação ao grau da variável.

* Dividimos o primeiro termo (6x³) por 3x².Obtemos 2x.

* Multiplicamos 2x pelos termos do divisor, colocando o resultado com sinal trocado sob o dividendo. A seguir adicionamos os termos semelhantes e baixamos o termo seguinte.

* Repetimos todo o procedimento com o resto parcial até que o resto tenha grau menor que o divisor.

SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS

2016-09-03T16:40:00.000-07:00

Vamos calcular:
a) (4x² + 5x + 10) - (6x² - 8x +9) Para resolver essa subtração devemos trocar o sinais dos termos do       segundo parêntese fazendo jogo de sinais.
+ + = +
-   - = +
- + = -
+ - = -

(4x² + 5x + 10) - (6x² - 8x +9)
4x² + 5x + 10 - 6x² + 8x - 9 Fazemos a redução de termos semelhantes.
4x² - 6x² + 5x + 8x + 10 - 9
-2x² +13x + 1

b) (9y³ - 3y²+ 5y + 7 ) - (- 4y² + 11y - 5)
9y³ - 3y²+ 5y + 7  + 4y² - 11y + 5
9y³ - 3y² + 4y² + 5y - 11y + 7 + 5
9y³ + y² - 6y + 12

c) ( 5y²+ 6y - 4 ) - (- 8y² - 11y + 12) - (4y² - 5y + 1)
5y²+ 6y - 4 + 8y² + 11y - 12 - 4y² + 5y - 1
5y² + 8y² - 4y² + 6y + 11y + 5y -4 -12 - 1
13y² - 4y² + 22y - 17
9y² + 22y - 17

Método prático

PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO DE POLINÔMIOS

2016-09-02T18:57:00.000-07:00

EXERCÍCIO RESOLVIDO MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIO POR POLINÔMIO

2016-09-01T19:41:00.000-07:00

EQUAÇÕES INCOMPLETAS 2º GRAU - EXERCÍCIO RESOLVIDO

2016-08-31T17:26:00.002-07:00

Equações do tipo ax² + c = 0
Exemplos:
1. Resolver em lR a equação 2x² - 18 = 0.
Pelo método prático isolamos o 2x² no primeiro membro e levamos o -18 para o 2º membro com o sinal trocado.

Então as raízes são -3 e + 3.
2. Resolver em lR a equação 4x² - 12 = 0 .

Então as raízes são

3. Resolver em lR a equação 49x² - 16x = 0.

EQUAÇÕES INCOMPLETAS: EXERCÍCIO RESOLVIDO

2016-08-29T18:05:00.001-07:00

A resolução de equações incompletas do 2º grau
Equações do tipo ax² + bx = 0
Exemplos:
1. Resolver em lR a equação x² - 4x = 0.
Colocando o fator comum x em evidência, obtemos: x( x - 4 ) = 0.

Quando o produto de dois número reais é igual a zero, então pelo menos um dos fatores é igual a zero.
Portanto: x . (x - 4 ) = 0
x= 0
ou
x - 4 = 0
x = 4
Logo, as raízes são 0 e 4.

2. Resolver em lR a equação 3x²- 15x -= 0.
3x²- 15x = 0
3x ( x - 5 ) = 0

3x = 0
x = 0

x - 5 = 0
x = 5
Logo, as raízes são 0 e 5.

3. Resolver em lR a equação 3 ( x - 2 )² = 12.

3 (x - 2)² = 12 Primeiro vamos desenvolver o quadrado da diferença de dois termos.
3( x² - 4x + 4 ) = 12
3x² - 12x + 12 - 12 = 0
3x² - 12 = 0
3x (x - 4 ) = 0
3x = 0
x = 0

x - 4 = 0
x = 4
Logo, as raízes são 0 e 5.

4. Resolver em lR a equação

Logo, as raízes são 0 e 3.

5. Resolver em lR a equação x(x +2 ) = 4x.

x(x +2 ) = 4x
x² +2x = 4x
x² + 2x - 4x =0
x² - 2x = 0
x( x- 2 ) = 0
x = 0
x-2 = 0
x = 2

Logo, as raízes são 0 e 2.

EQUAÇÕES IRRACIONAIS

2016-08-27T11:26:00.002-07:00

ESTUDANDO FUNÇÃO DO 1º GRAU EM R

2016-08-25T18:51:00.000-07:00

GRÁFICO DA EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Vamos construir o gráfico da função:

Atribuímos valores quaisquer a x e obtemos, pela substituição, os valores correspondentes de y.

Veja:

y= - x +1 Função decrescente, a = -1 <0 .="" p="">

A seguir, localizamos no plano cartesiano os pontos que representam cada par ordenado. Observe que os pontos estão alinhados. Quanto mais pares ordenados da função representarmos mais pontos alinhados e obteremos.

Todos os pontos que representam os pares ordenados dessa função formam seu gráfico, que é uma reta.

Uma função y= ax + b é crescente quando a > 0, nesta função a = 1>0.

Esboço do gráfico da função y = x + 2

Se em y = ax + b temos b = 0, a função assume a forma y = ax. Neste caso, recebe o nome de função linear e passa pela origem do sistema cartesiano.

EQUAÇÕES DO EXPONENCIAIS

2016-08-24T19:35:00.000-07:00

Toda equação em que a incógnita se aparece no expoente de uma ou mais potência é chamada de Equação exponencial.
Exemplos de equações exponenciais:
2^x = 4
2^x + 4 = 20
3^x = 27
2^x+1 = 32
A resolução de uma equação exponencial, basta aplicar algumas técnicas para igualar as bases e depois igualamos os expoentes.

Vejamos os exempos:

1. Resolva as equações abaixo:
a) 2^x = 256
2^x = 2⁸

   X = 8
S = { 8 }
b) 2^{x + 15} = 1024
    2^{x + 15} = 2¹⁰
   x + 15 = 10
   x = 10 – 15
   x = – 5
S = { - 5 }

2 ^{4x + 1} . 8 ^{–x + 3} = 16^–1
2 ^{4x + 1} . 2 ^{3(–x + 3)} = 2 ^-4
2 ^{4x + 1} . 2 ^{–3x + 9}= 2^-4
4x + 1 – 3x + 9 = – 4
4x – 3x = –1 – 4 – 9
x = - 14

S = { 14 }

ATIVIDADE COM RADICAIS

2016-08-23T18:25:00.000-07:00

ARCOS CÔNGRUOS OU CONGRUENTES

2016-02-11T15:58:00.001-08:00

EXERCÍCIO COM PROBABILIDADE

2015-12-07T18:30:00.001-08:00

EXERCÍCIO COM PORCENTAGENS

2015-11-26T16:56:00.001-08:00

AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA 7º ANO

2015-11-26T16:43:00.000-08:00

CÁLCULO DE MODA E MEDIANA

2015-11-01T15:20:00.000-08:00

MODA

MODA de um conjunto é o valor que aparece com mais frequência.

Exemplos:

7, 8, 9, 7, 5, 7, 9, 7, 5, 7, 10

A moda é 7, pois ele repetiu 5 vezes.

12, 14, 10, 12, 23, 10, 12, 10, 16

As moda são 10 e 12 pois ambos repetiram 3 vezes.

3, 6, 9, 4, 5, 7, 10, 1, 12, 11

Não existe moda. Cada valor se apresentou uma vez.

Nos exemplos percebemos que há conjunto com mais de uma moda e outros em que não existe moda.

MEDIANA

Quando os valores de um determinado conjunto estão em ordem crescente, a mediana é o elemento que ocupa o termo central.

Exemplo:

10, 12, 18, 20, 32, 45, 54

O 20 é o termo central, então 20 é mediana.

Se um conjunto tiver um número par de elementos, a mediana será a média aritmética entre os dois elementos centrais.

Exemplo:

10, 12, 18, 20, 24, 32, 45, 54

O 20 e o 24 são os termos centrais, então a mediana será a .

média aritmética entre 20 24.

20 + 24 = 44 = 22

2 2

Logo, 22 é a mediana.

Observe que a mediana pode ser um valor que não faz parte do conjunto.

ATIVIDADE

O jogadores de um time de basquete têm as seguintes medidas: 2,12 m; 2,11 m; 2,08 m; 2,10m ; 2,13 m; 2,12 m.

a) Qual é a moda?

2,12 m; 2,11 m; 2,08 m; 2,10m ; 2,13 m; 2,12 m.

A moda é 2,12 m, pois é a altura que mais repete.

b) Qual é a mediana?

2,12 m; 2,11 m; 2,08 m; 2,11m ; 2,13 m; 2,12 m.

2,08 m; 2,10 m; 2,11m; 2,12 m; 2,12 m; 2,13 m

2,11+ 2,12 = 2,23 2,11m

2 2

Então, a mediana é 2,11m.

MÉDIAS ARITMÉTICA E PONDERADA

2015-10-28T12:37:00.001-07:00

MÉDIA ARITMÉTICA

A média aritmética de vários números é a soma desses números dividida por quanto forem esses números.

Exemplo:

Um time de futebol marcou o seguinte número de gols em 5 partidas:

Partidas	1ª	2ª	3ª	4ª	5ª
Pontos	4	2	1	3	2

Qual foi a média aritmética de gols por partida?

Dizemos que a média aritmética de gols foi de 2,4 gols por partida.

MÉDIA PONDERADA

A média ponderada de dois ou mais números é o quociente da soma dos produtos desses números pela soma dos respectivos pesos.

OBS: Ponderar significa dar peso.

Exemplo:

O quadro abaixo mostra as notas obtidas em Matemática por um aluno:

Trabalhos = Nota 8 (peso 2)

Simulado = Nota 6 (peso 3)

Prova escrita = Nota 9 (peso 5)

Qual a média final desse aluno?

Temos:

Então a média final é 7,9.

EXERCÍCIO COM FATORAÇÃO

2015-10-25T13:35:00.000-07:00

1. Fatore os polinômios abaixo: (fator comum em evidencia).

a) ax + ay + az = a( x + y + z)

b) 4m² + 6am = 2m(2 m + 3a)

c) 7xy² - 21x²y = 7xy( y – 3x )

2. Escreva a forma fatorada dos polinômios abaixo: (diferença de dois quadrados):

a) 9x² - 16 = (3x + 4) (3x – 4)

b) 25 - 4a²m⁶ = (5 + 2am³) ( 5 - 2am³)

c) 81b⁴ - 36 = ( 9b² - 6) ( 9b² + 6)

3) Se x+y = 10 e x – y = 4. Qual é o valor de x² - y² ?

x² - y² = (x – y) (x + y)

10 . 4 = 40

4. Fatore cada Trinômios quadrados perfeitos abaixo.

a) x² - 4x + 4 = ( x – 2 )² b) x² - 6x + 9 = ( x – 3 )²

c) a² – 10a + 25 = ( a – 5 )² d) m² + 8m + 16 = ( x + 4 )²

6. Qual das expressões abaixo não pode ser fatorada?

a) x² + x c) 2x – 5 x

b) 4 – 9y² d) x² - 8x + 16

TESTE COM EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

2015-10-25T13:30:00.000-07:00

TESTE COM EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

1. 1. Para representar números desconhecidos utilizamos letras do alfabeto. Como podemos representar a expressão usando apenas símbolos matemáticos?

2. 2. José faz pequenos fretes urbanos com van, cobrando uma taxa inicial de R$ 40,00 e mais R$ 6,00 por quilômetros rodado. Indique por x o número de quilômetros rodados, qual é a expressão que representa o preço cobrado por José?

a) 40 – 6x

b) 40x + 6

c) 40 + 6x x

d) 40 – 6x

e) Nda

3. 3. Com base na questão 2, responda:

Quanto José cobrará para fazer um frete de 6 quilômetros ?

a) R$ 76,00 x

b) R$ 46,00

c) R$ 67,00

d) R$ 246,00

e) Nda

4. 4. Qual é o perímetro da figura abaixo:

a) 21xy x

b) 16x + 5y

c) 5x + 16y

d) 12xy + 9y

e) nda

EXERCÍCIO RESOLVIDO COM ANÁLISE COMBINATÓRIA

2015-10-01T16:48:00.002-07:00

01 - (UDESC SC) Uma mala, para ser aberta, precisa de uma senha composta por quatro algarismos. Ana foi viajar com essa mala e quando foi abri-la, percebeu que esquecera a senha. Ela lembrava que o primeiro algarismo era o 1, que não havia algarismos repetidos e que o 4 aparecia em alguma posição.O número máximo de tentativas diferentes para Ana abrir a mala é:

Pelo PFC: 1 4 __ __

1 __4 _

1 __ __ 4

Como são 9 algarismos retirando o 1 sobram 8 possibilidades para o segundo algarismo e 7 possibilidades para o terceiro algarismo e restam três possibilidades para o 4 que tem que parecer em qualquer posição.

8 . 7 . 3 = 168

a) 504

b) 56

c) 28

d) 168 x

e) 126

02 - (Unifacs BA) Considere-se que os lados dos quadrados, na malha, representam trechos de ruas de uma cidade e que uma pessoa esteja na esquina A, de duas dessas ruas tentando chegar a um restaurante na esquina B, passando por C, pelo menor trajeto possível. Nessas condições, sabendo-se que ela só pode andar ao longo dos lados dos quadrados, pode-se afirmar que o número de caminhos diferentes que podem ser percorridos?

03 - (PUC RS) Numa estante da Biblioteca, encontram-se cinco livros de Física Quântica de autores diferentes, seis livros de Física Médica de autores diferentes e quatro livros de Física Nuclear, também de autores diferentes. Um grupo de alunos, para realizar uma pesquisa, precisa consultar dois livros de Física Quântica, três livros de Física Médica e um livro de Física Nuclear. O número de escolhas possíveis para essa consulta é

Vamos encontrar as combinações possíveis de 5 livros de física quântica 2 a 2, 6 de física médica 3 a 3 e 4 de física nuclear 1 a 1, ou seja:

a) 8400 x b) 800 c) 204 d) 144 e) 34

ESTUDANDO PARA A OBMEP

2015-04-25T17:19:00.001-07:00

1. Calcule a diferença – Considere dois números naturais, cada um deles com três algarismos diferentes. O maior só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares. Se a diferença entre eles é a maior possível, qual é essa diferença?
(a) 997 (b) 777 (c) 507 (d) 531 (e) 729

Solução – A opção correta é (e).
Para que a diferença seja a maior possível devemos escolher o maior número de três algarismos pares diferentes e o menor número de três algarismos ímpares diferentes. O maior número de três algarismos pares diferentes é 864 e o menor número de três algarismos ímpares diferentes é 135. A diferença entre eles é
864 − 135 = 729

2. População – Em 1998, a população do Canadá era de 30,3 milhões. Qual das opções abaixo representa a população do Canadá em 1998?
(a) 30 300 000 (b) 303 000 000 (c) 30 300 (d) 303 300 (e) 30 300 000 000

Solução: A opção correta é (a). Como 1 milhão = 1 000 000, temos 30,3 milhões = 30,3 × 1 000 000 = 30 300 000.

3.. Réguas em 15 minutos – Uma certa máquina é capaz de produzir oito réguas por minuto. Quantas réguas essa máquina consegue produzir em 15 minutos?
(a) 104 (b) 110 (c) 112 (d) 128 (e) 120

Solução: A opção correta é (e). Se a máquina produz oito réguas em um minuto, em 15 minutos ela produzirá 8×15 = 120 réguas.

4. Alturas iguais – Luíza, Maria, Antônio e Júlio são irmãos. Dois deles têm a mesma altura. Sabe-se que
• Luíza é maior que Antônio; • Maria é menor que Luíza;
• Antônio é maior do que Júlio; • Júlio é menor do que Maria.

Quais deles têm a mesma altura?
(a) Maria e Júlio
(b) Júlio e Luíza
(c) Antônio e Luíza
(e) Antônio e Maria
(d) Antônio e Júlio
A opção correta é (e). Usaremos a notação a < b, que significa que a é menor do que b ou, equivalentemente, que b é maior do que a. Assim, a < b < c significa que a é menor do que b e b é menor do que c. Para simplificar, vamos denotar a altura de cada um dos irmãos pela letra inicial de seu nome. Do enunciado temos: (i) L é maior do que A (L > A ou, equivalentemente, A < L); (ii) M é menor do que L (M < L); (iii) A é maior do que J ( A > J ou, equivalentemente, J < A); (iv) J é menor do que M (J < M). De (i) e (iii) segue que J < A < L. Portanto, os irmãos de mesma altura não estão entre Júlio, Antônio e Luíza. De (ii) e (iv) segue que J < M < L. Portanto, os irmãos de mesma altura não estão entre Júlio, Maria e Luíza. Logo, a única opção é que Antônio e Maria tenham a mesma altura.

ATIVIDADE COM FUNÇÕES INVERSAS

2015-04-22T00:52:00.001-07:00

COMO ENCONTRAR A INVERSA DE UMA FUNÇÃO

2015-04-18T20:57:00.001-07:00

Função Inversa

A função inversa tem por finalidade criar funções a partir de outras. Uma função só terá inversa se for bijetiva.
Sejam os conjuntos A = {–2,–1,0,1,2} e B = {5, 6, 7, 8, 9} e a função A→B definida por f(x) = x + 7, veja o diagrama dessa função abaixo:

f(x) = x + 7

f (-2)= -2 + 7= 5 f (-1)= -1 + 7= 6 f( 0)= 0 + 7 = 7

f(1 )= 1 + 7= 8 f(2)= 2 + 7= 9

Então: f = { (–2, 3) ; (–1, 4) ; (0, 5) ; (1, 6) ; (2, 7)}
Essa função é bijetiva, pois cada elemento do conjunto A ( domínio) está em correspondência com um único elemento em B , veja que o conjunto B é o conjunto imagem da função. Então podemos dizer que essa função é bijetiva, logo admite inversa.
A sua função inversa é indicada por f^–1(x).

Para encontrar a função inversa f^-1(x) de f(x), basta seguir os seguintes passos:

1º. Troque f(x) por y

2º . Troque x por y x por x ( onde tiver x, coloque y e onde tiver y coloque x).

3º. Faça as operações indicadas.

Veja os exemplos:

1. Encontre a inversa das funções abaixo:

Atividade próximo post.