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Derivada de la suma o resta de dos funciones

2012-01-28T17:26:00.000-08:00

Teorema: \(\displaystyle\frac{d}{dx}\left(f(x)\pm{}g(x)\right)=\displaystyle\frac{d}{dx}f(x)\pm{}\displaystyle\frac{d}{dx}g(x)\)

Demostración: Supongamos que \(f'(x)\) y \(g'(x)\) existen, para el caso \((f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)\) se tiene lo siguiente

\(\begin{matrix}\displaystyle\frac{d}{dx}\left(f(x)+g(x)\right) & = & \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\displaystyle\frac{f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)-(f(x)+g(x))}{\Delta x} \\ \ & = & \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\displaystyle\frac{f(x+\Delta x)-f(x)+g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \\ \ & = & \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\displaystyle\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0}\displaystyle\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \\ \ & = & f'(x) + g'(x)\end{matrix}\)

El caso \((f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)\) es similar al anterior, se supone que las derivadas con respecto a \(x\) de \(f\) y \(g\) existen, luego por definición de límite se cumple que

\(\begin{matrix}\displaystyle\frac{d}{dx}\left(f(x)-g(x)\right) & = & \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\displaystyle\frac{(f(x+\Delta x)-g(x+\Delta x))-(f(x)-g(x))}{\Delta x} \\ \ & = & \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\displaystyle\frac{f(x+\Delta x)-f(x)-g(x+\Delta x)+g(x)}{\Delta x} \\ \ & = & \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\displaystyle\frac{f(x+\Delta x)-f(x)-(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x} \\ \ & = & \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\displaystyle\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} - \lim_{\Delta x \to 0}\displaystyle\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \\ \ & = & f'(x) - g'(x)\end{matrix}\)

Teoremas de la suma y diferencia de ángulos (Seno)

2012-01-24T17:57:00.000-08:00

Teorema: \(\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)\)

Demostración: En primer lugar de la fórmula de Euler se obtienen las siguientes igualdades:

\(\sin(a)=\displaystyle\frac{e^{ia}-e^{-ia}}{2i}\)

\(\cos(b)=\displaystyle\frac{e^{ib}+e^{-ib}}{2}\)

Multiplicando ambas ecuaciones obtenemos

\(\begin{matrix}\sin(a)\cos(b)= & \displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)\left(\displaystyle\frac{e^{i(a+b)}+e^{i(a-b)}-e^{-i(a-b)}-e^{-i(a+b)}}{2i}\right) \\ \ & \displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)\left(\sin(a+b)+\sin(a-b)\right)\end{matrix}\)

Ahora, de la misma fórmula de Euler obtenemos ecuaciones similares para \(\sin(b)\) y \(\cos(a)\)

\(\sin(b)=\displaystyle\frac{e^{ib}-e^{-ib}}{2i}\)

\(\cos(a)=\displaystyle\frac{e^{ia}+e^{-ia}}{2}\)

Multiplicamos de nuevo ambas ecuaciones y obtenemos

\(\begin{matrix}\sin(b)\cos(a)= & \displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)\left(\displaystyle\frac{e^{i(a+b)}+e^{-i(a-b)}-e^{i(a-b)}-e^{-i(a+b)}}{2i}\right) \\ \ & \displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)\left(\sin(a+b)-\sin(a-b)\right)\end{matrix}\)

Finalmente sumamos los dos resultados obtenidos

\(\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)\left(\sin(a+b)+\sin(a-b)\right)+\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)\left(\sin(a+b)-\sin(a-b)\right)= \sin(a+b)\)

Lo cual concluye la demostración. El caso \(\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a)\) es similar al anterior.

Matrices

2012-01-23T19:45:00.000-08:00

Conceptos básicos

Definición (Matriz)

Una matriz es un arreglo numérico bidimensional en forma de filas y columnas en la cual cada elemento posee un único lugar en el arreglo. Por lo general suele denotarse cada elemento de una matriz \(A\) como \((a_{ij})\) en donde \(i\) representa la fila y \(j\) la columna en la que está ubicado determinado número.

Forma general:

\(A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\)

Tipos de matrices

Definición (Matriz fila)

Una matriz \(A=(a_{ij})\) se dice que es una matriz fila si existe una única fila \(i\) en la matriz. Es decir, \(i\) debe ser un número constante y \(j\) puede variar en los reales; en tal caso la matriz \(A\) es de tamaño \((1\times{}k)\) con \(k=\max{\{j\}}\).

Ejemplo: \(A=\begin{pmatrix} 3 & 5 & 8 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz columna)

Una matriz \(A=(a_{ij})\) se dice que es una matriz columna si existe una única columna \(j\) en la matriz. Es decir, \(j\) debe ser un número constante e \(i\) puede variar en los reales; en tal caso la matriz \(A\) es de tamaño \((k\times{}1)\) con \(k=\max{\{i\}}\).

Ejemplo: \(A=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz rectangular)

Una matriz \(A=(a_{ij})\) se dice que es rectangular si \(i\neq{j}\). Es decir, toda matriz de tamaño \((m\times{}n)\) es rectangular si \(m\neq{n}\).

Ejemplo: \(A=\begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 3 & 7 & 1 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz cuadrada)

Una matriz \(A=(a_{ij})\) se dice que es cudrada si tiene el mismo número de filas y columnas. Es decir, toda matriz de tamaño \((n\times{}n)\) es cuadrada.

Ejemplo: \(A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 8 & 4 & 9 \\ 7 & 3 & 1 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz nula)

Una matriz \(A=(a_{ij})\) se dice que es nula si todos sus elementos son cero. Es decir, \(\forall{i},\forall{j}:(a_{ij})=0\).

Ejemplo: \(A=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz diagonal)

Una matriz \(A=(a_{ij})\) es diagonal si \(\forall{i},\forall{j}:a_{ij}={0} ~\mbox{ si }~ i\neq{j}\). Es decir, todos los elementos que no están en la diagonal principal son cero.

Ejemplo: \(A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz trinagular superior)

Una matriz \(A=(a_{ij})\) es triangular superior si \(\forall_{(i\gt{j})}:a_{ij}=0\). Es decir, todas las componentes por debajo de la diagonal son cero.

Ejemplo: \(A=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz triangular inferior)

Una matriz \(A=(a_{ij})\) se dice que es triangular inferior si \(\forall_{(i\lt{j})}:a_{ij}=0\). Es decir, todas las componentes por encima de la diagonal son cero.

Ejemplo: \(A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 5 & 8 & 1 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz escalar)

Una matriz diagonal \(A=(a_{ij})\) se dice que es escalar si todos sus elementos distintos de cero son iguales. Es decir, \(\forall{i},\forall{j}:a_{ij}=a_{i+1~j+1} ~\mbox{ para }~ i=j\).

Ejemplo: \(A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz identidad)

La matriz identidad \(I_n\) es una matriz escalar en la que sus componentes son solo unos. El orden de la matriz viene dado por \(n\).

Ejemplo: \(I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz traspuesta)

Sea \(A=(a_{ij})\) una matriz de tamaño \(n\times{}m\), la matriz transpuesta de \(A\) se define como \(A^t=(a_{ji})\) de tamaño \(m\times{}n\).

Ejemplo:

Sea \(A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}\), entonces \(A^t=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz Invertible)

Una matriz \(A=(a_{ij})\) se dice invertible, no singular, o regular si existe una matriz \(B=(b_{ij})\) del mismo tamaño tal que \(AB=BA=I_n\). En ese caso \(B\) se denomina la inversa de \(A\), o viceversa, y es común denotarla como \(A^{-1}\).

Ejemplo: Sea \(A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}\). \(A\) es invertible puesto que existe la matriz

\(A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{5}{7} & -\frac{3}{7} \\ -\frac{1}{7} & \frac{2}{7} \end{pmatrix}\) tal que

\(AA^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{5}{7} & -\frac{3}{7} \\ -\frac{1}{7} & \frac{2}{7} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz idempotente)

Sea \(A=(a_{ij})\) una matriz de orden \(m\times{n}\) tal que \(AA=A\). Entonces \(A\) se dice que es idempotente.

Ejemplo: Sea \(A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), entonces \(AA=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=A\)

Definición (Matriz involutiva)

Una matriz \(A=(a_{ij})_{m\times{n}}\) se dice que es involutiva si es tal que \(AA=I_n\). Si observamos el ejemplo anterior (Matriz idempotente) notamos que la matriz de ejemplo es también involutiva.

Definición (Matriz simétrica)

Una matriz \(A=(a_{ij})_{n\times{n}}\) se dice que es simétrica si verifica que \(A=A^{t}\).

Ejemplo: Sea \(A=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 4 \\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}\), entonces \(A^{t}=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 4 \\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz antisimétrica)

Una matriz \(A=(a_{ij})_{n\times{n}}\) se dice que es simétrica si verifica que \(A=-A^{t}\).

Ejemplo: Sea \(A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -4 \\ -1 & 0 & 2 \\ 4 & -2 & 0 \end{pmatrix}\), entonces \(-A^{t}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -4 \\ 1 & 0 & -2 \\ -4 & 2 & 0 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz ortogonal)

Una matriz \(A=(a_{ij})_{n\times{n}}\) es ortogonal si cumple que \(AA^{-1}=I_n\).

Ejemplo: Sea \(A=\begin{pmatrix} \cos{\theta} & \sin{\theta} \\ -\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}\)

Entonces \(AA^{-1}=\begin{pmatrix} \cos{\theta} & \sin{\theta} \\ -\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Determinantes

2012-01-23T09:17:00.000-08:00

Introducción

Definición (Matriz menor)

Sea \(A\) una matriz de tamaño \(n\times{}m\). La menor \(M_{ij}\) se define como la matriz resultante al eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\) de \(A\).

Ejemplo:

Sea \(A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 8 \\ 9 & 5 & 1 \end{pmatrix}\)

La menor \(M_{21}\) de \(A\) está dada por

\(M_{21}=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}\)

Definición (Determinante de una matriz \(2\times{}2\))

Sea \(A\) una matriz de \(2\) filas y \(2\) columnas definida por \(A=(a_{ij})_{2\times{}2}\). El determinante de \(A\), denotado por \(|A|\), o también det\(A\), se define como

\(|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{22} \\ a_{12} & a_{21} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)

Definición (Determimnante de una matriz \(3\times{}3\))

La definición de determinante de una matriz \(3\times{}3\) se hace de forma inductiva teniendo como base la definición de determinante de una matriz \(2\times{}2\), de manera análoga la definición general para una matriz \(n\times{}n\) toma como base las definición de una matriz \((n-1)\times{}(n-1)\).

Sea \(A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\)

Entonces \(|A|\) está dado por

\(|A|=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\)

Definición (Cofactor)

Sea \(A\) una matriz cuadrada de \(n\times{}n\). El cofactor \(ij\) de \(A\) está definido por

\(A_{ij}=(-1)^{i+j}|M_{ij}|\)

Ejemplo:

Sea \(A=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 8 & 4 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}\)

El cofactor \(A_{31}\) está dado por

\(A_{31}=(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 4 \end{vmatrix}=8\)

Definición (Determinante de una matriz \((n\times{}n)\))

Sea \(A\) una matriz cuadrada de tamaño \(n\times{}n\). El determinante de \(A\) está definido por

\(|A|=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{1k}A_{1k}\)

En donde \(A_{1k}\) representa el cofactor \(1k\) de la matriz \(A\), es decir

\(|A|=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{1k}(-1)^{1+k}|M_{1k}|\)

Desigualdades en valor absoluto

2011-12-04T12:11:00.001-08:00

Conceptos básicos

Definición (Valor absoluto)

El valor absoluto de un número real \(a\) está definido como la distancia entre dicho número y el punto origen de la recta real.

Entre otras cosas, es por esto que el valor absoluto de un número \(a\in\mathbb{R}\) nunca va a ir acompañado del signo negativo, pues no se puede pensar en distancias "negativas". Algo similar sucede con el famoso teorema de pitágoras, se sabe que si un triángulo es rectángulo en cualquiera de sus ángulos, entonces siempre se va a cumplir que \(a^2+b^2=c^2\), en donde \(a\) y \(b\) son catetos y \(c\) es el lado opuesto al ángulo recto (hipotenusa). ¿Cómo puede pensarse en la hipotenusa de un triángulo de catetos \(a=1\) y \(b=-1\)?, es evidente que geométricamente no existe una medida negativa para una figura plana, las coordenadas \((0,0)\) representan un único punto llamado origen en el espacio bidimensional y no hay nada más "pequeño" que eso, análogamente las coordenadas \((0,0,0)\) representan un punto en el espacio de tres dimensiones, y sería absurdo pensar en hallar el volumen de una esfera con \(r\lt{0}\). (No obstante, un triángulo como el mencionado antes podría tomar coordenadas negativas en el plano \(XY\), con lo cual sí se podría pensar en su hipotenusa).

Intervalos en valor absoluto

De acuerdo a la definición anteriormente dada es posible establecer dos grandes propiedades del valor absoluto respecto a las desigualdades.

\(\mbox{ Si } |x|\lt{a}\longrightarrow{}-a\lt{|x|}\lt{a}\)
\(\mbox{ Si } |x|\gt{a}\longrightarrow{}-x\gt{a}\vee{}x\gt{a}\)

Gracias a estas dos propiedades es posible desarrollar un número significativo de inecuaciones de la forma \(|f(x)|\lt{}g(x)\) o \(|f(x)|\gt{}g(x)\) siendo \(f(x)\) y \(g(x)\) funciones racionales.

Relación con la definición épsilon-delta de límite

Un caso especial de estas desigualdades son las desarrolladas en la definición general de límite \(\epsilon{}-\delta\), recordemos que la definición formal de límite establece que para cada \(\epsilon\) positivo, existe \(\delta\) positivo tal que \(|f(x)-L|\lt{}\epsilon\) cuando \(0\lt{}|x-a|\lt{}\delta\), para todo \(x\in{}Dom_f\).

Agreguemos una propiedad más a las dadas anteriormente

\(\mbox{ Si } a\lt{b}\lt{c}\longrightarrow{}a\lt{b}\wedge{}b\lt{c}\)

Con base en las propiedades (1.), (2.) y (3.) es muy fácil darnos cuenta que la dos desigualdades en la definición de límite representan entornos reales en la recta real; tomando \(0\lt{}|x-a|\lt{}\delta\) obtenemos

\(0\lt{}|x-a| \ \wedge{} \ |x-a|\lt{\delta}\longrightarrow\)
\(|x-a|\gt{0} \ \wedge{} \ -\delta\lt{x-a}\lt{\delta}\)

Para \(|x-a|\gt{0}\) obtenemos \(x\gt{a}\) y \(x\lt{a}\), lo cual está representado por la unión de intervalos \((-\infty,a)\cup{}(a,+\infty)\). Sea \(I_1\) este intervalo.

Para \(-\delta\lt{x-a}\lt{}\delta\) obtenemos \(a-\delta\lt{}x\lt{}a+\delta\) que es el intervalo abierto representado por \(I_2=(a-\delta,a+\delta)\).

Tal intervalo abierto suele llamarse entorno, es decir, el conjunto de puntos que "distan a un máximo" \(\delta\) del punto \(a\), y que contienen a ese mismo punto. Un entorno suele denotarse \(N(a,\delta)\), en donde \(a\) representa el centro y \(\delta\) el radio. (En realidad la máxima distancia al punto \(a\) es infinitamente cercana a \(\delta\) pero nunca ella misma).

Para finalizar, recordemos que en nuestra definición se deben cumplir las dos condiciones referidas a los intervalos \(I_1\) e \(I_2\), por lo cual debemos tomar la intersección entre estos dos conjuntos de puntos; este conjunto suele denotarse como \(0\lt{|x-a|}\lt\delta\), o también \((a-\delta,a)\cup{(a,a+\delta)}\) y se denomina entorno reducido.

Nota: Las definiciones (1),(2) y (3) también cumplen el condicional \(\longleftarrow\)

Límite de la suma o diferencia de dos funciones

2011-12-01T09:16:00.001-08:00

Teorema: Si \(\lim_{x\to{a}}f(x)=L\) y \(\lim_{x\to{a}}g(x)=M\) entonces se cumple que \(\lim_{x\to{a}}\left(f(x)\pm{g(x)}\right)=L\pm{M}\)

Demostración: Para el caso \(\lim_{x\to{a}}\left(f(x)+g(x)\right)=L+M\) por definción de límite debe cumplirse que

\((\forall\epsilon\gt{0})(\exists\delta\gt{0})(0\lt{|x-a|}\lt\delta\longrightarrow{|(f(x)+g(x))-(L+M)|\lt\epsilon}\)

Por otro lado, según la hipótesis para \(\frac{1}{2}\epsilon\gt{0}\) debe existir \(\delta_1\) tal que

\(0\lt{|x-a|}\lt\delta_1\longrightarrow{|f(x)-L|\lt\frac{1}{2}\epsilon}\)

Análogamente debe existir \(\delta_2\) tal que

\(0\lt{|x-a|\lt\delta_2}\longrightarrow{|g(x)-M|\lt\frac{1}{2}\epsilon}\)

Ahora consideremos \(\delta=\min(\delta_1,\delta_2)\), entonces

\(0\lt{|x-a|}\lt\delta\longrightarrow{|f(x)-L|\lt\frac{1}{2}\epsilon}\)

\(0\lt{|x-a|}\lt\delta\longrightarrow{|g(x)-M|\lt\frac{1}{2}\epsilon}\)

Además

\(\begin{matrix}|(f(x)+g(x))-(L+M)| & = & |(f(x)-L)+(g(x)-M)| \\ \ & \leq & {|f(x)-L|+|g(x)-M|}\end{matrix}\)

Por lo tanto

\(|(f(x)+g(x))-(L+M)|\lt{\displaystyle\frac{1}{2}\epsilon+\displaystyle\frac{1}{2}\epsilon}=\epsilon\)

De esta forma se ha demostrado que \(\lim_{x\to{a}}\left(f(x)+g(x)\right)=L+M\)

El caso \(\lim_{x\to{a}}\left(f(x)-g(x)\right)=L-M\) es similar al anterior, de la definición de límite debe cumplirse que

\((\forall\epsilon\gt{0})(\exists\delta\gt{0})(0\lt{|x-a|}\lt\delta\longrightarrow{|(f(x)-g(x))-(L-M)|}\lt\epsilon\)

Ahora, para \(\frac{1}{2}\epsilon\gt{0}\) debe existir \(\delta_1\gt{0}\) tal que

\(0\lt{|x-a|}\lt\delta_1\longrightarrow{|f(x)-L|}\lt\frac{1}{2}\epsilon\)

Análogamente para \(\frac{1}{2}\epsilon\gt{0}\) debe existir \(\delta_2\gt{0}\) tal que

\(0\lt{|x-a|}\lt\delta_2\longrightarrow{|g(x)-M|}\lt\frac{1}{2}\epsilon\)

Consideremos \(\delta=\min(\delta_1,\delta_2)\), entonces

\(0\lt{|x-a|}\lt\delta\longrightarrow{|f(x)-L|}\lt\frac{1}{2}\epsilon\)

\(0\lt{|x-a|}\lt\delta\longrightarrow{|g(x)-M|}\lt\frac{1}{2}\epsilon\)

Además

\(\begin{matrix}|(f(x)-g(x))-(L-M)| & = & |(f(x)-L)-(g(x)-M)| \\ \ & \leq & {|f(x)-L|+|g(x)-M|}\lt{\epsilon}\end{matrix}\)

Con lo cual queda demostrado el teorema.

Límite de una función lineal

2011-12-01T07:57:00.001-08:00

Teorema: Si \(b,m\in\mathbb{R}\) y \(f(x)=mx+b\) , entonces \(\lim_{x\to{a}}f(x)=ma+b\)

Demostración: De la definición de límite debe cumplirse que

\((\forall\epsilon\gt{0})(\exists\delta\gt{0})(0\lt{|x-a|}\lt\delta\longrightarrow{|f(x)-L|}\lt\epsilon)\)

Entonces

\(\begin{matrix}0\lt{|x-a|}\lt\delta & \longrightarrow & {|mx+b-(ma+b)|}\lt\epsilon \\ \ & \longrightarrow & {|mx-ma|}\lt\epsilon \\ \ & \longrightarrow & {|m(x-a)|}\lt\epsilon \\ \ & \longrightarrow & {|m||x-a|}\lt\epsilon\end{matrix}\)

De aquí se tienen dos casos, cuando \(m=0\) nótese que \(|m||x-a|\lt\epsilon\longrightarrow{0\lt\epsilon}\) con lo cual se cumple la definición.

Para \(m\neq{0}\) se tiene que \(0\lt{|x-a|}\lt\delta\longrightarrow{}|x-a|\lt\displaystyle\frac{\epsilon}{|m|}\) , luego valdría tomar \(\delta=\displaystyle\frac{\epsilon}{|m|}\). El argumento es el siguiente:

\(\begin{matrix}0\lt{|x-a|}\lt\delta & \longrightarrow{} & 0\lt{|x-a|}\lt\displaystyle\frac{\epsilon}{|m|} \\ \ & \longrightarrow{} & |m||x-a|\lt\epsilon \\ \ & \longrightarrow{} & |m(x-a)|\lt\epsilon \\ \ & \longrightarrow{} & |mx+b-ma-b|\lt\epsilon \\ \ & \longrightarrow & {|f(x)-(ma+b)|\lt\epsilon}\end{matrix}\)

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Límite de la función idéntica

2011-12-01T07:28:00.001-08:00

Teorema: Si \(f(x)\) es la función idéntica , entonces \(\lim_{x\to{a}}f(x)=a\)

Demostración: De la definición de límite debe cumplirse que

\((\forall\epsilon\gt{0})(\exists\delta\gt{0})(0\lt|x-a|\lt\delta\longrightarrow{|f(x)-L|\lt\epsilon})\)

Reemplazando \(f(x)=x\) y \(L=a\) tenemos

\((\forall\epsilon\gt{0})(\exists\delta\gt{0})(0\lt|x-a|\lt\delta\longrightarrow{|x-a|\lt\epsilon})\)

Lo cual indica que un valor razonable para épsilon sería \(\epsilon=\delta\). El argumento es el siguiente:

\(0\lt{|x-a|}\lt\delta\longrightarrow{0\lt{|x-a|}\lt\epsilon}\longrightarrow{0\lt{|f(x)-L|}\lt\epsilon}\)

Next Límite de una función lineal

Límite de una función constante

2011-12-01T00:30:00.001-08:00

Teorema: Si \(f(x)=c\) y \(c\in\mathbb{R}\), entonces \(\lim_{x\to{a}}f(x)=c\)

Demostración: De la definición de límite debe cumplirse que

\((\forall\epsilon\gt{0})(\exists\delta\gt{0})(0\lt|x-a|\lt\delta\longrightarrow{|f(x)-L|\lt\epsilon})\)

Pero \(f(x)=c\), luego \(0\lt{|x-a|}\lt\delta\longrightarrow{|0|\lt\epsilon}\) , es decir \(\epsilon\gt{0}\) y por lo tanto \(\lim_{x\to{a}}f(x)=c\)

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Unicidad de Límite

2011-11-30T22:59:00.001-08:00

Teorema: si una función tiene límite éste es único

Hipótesis: \(\lim_{x\to{a}}f(x)=L_1\)

Tesis: Si \(\lim_{x\to{a}}f(x)=L_2\) entonces \(L_1=L_2\)

Demostración: Supongamos que existen dos límites diferentes \(L_1\) y \(L_2\), por definición debe cumplirse que

\((\forall\epsilon\gt0)(\exists\delta_1\gt0)(0\lt|x-a|\lt\delta_1\longrightarrow{|f(x)-L_1|\lt\epsilon})\)

\((\forall\epsilon\gt0)(\exists\delta_2\gt0)(0\lt|x-a|\lt\delta_2\longrightarrow{|f(x)-L_2|\lt\epsilon})\)

¿Por qué se ha tomado un "único" épsilon?

Según la definición formal de límite, "Para todo \(\epsilon\) existe un \(\delta\), tal que ..." se establece que deben existir unos únicos \(\delta_1\) y \(\delta_2\) tales que se cumplan las definiciones anteriormente dadas. Como debe existir \(\delta\) tal que..., no es relevante en realidad el épsilon que tomemos, dado que para cada uno de ellos se sabe que existe algún delta, o lo que es lo mismo decir, dado un épsilon, deben existir dos deltas específicos en cada definición formalmente dada.

Aclarado lo anterior, consideremos \(\delta=\min{(\delta_1,\delta_2)}\), entonces \(\forall\epsilon\gt0,~\exists\delta\gt0\) tal que

\(0\lt|x-a|\lt\delta\longrightarrow{|f(x)-L_1|\lt\epsilon}\)

\(0\lt|x-a|\lt\delta\longrightarrow{|f(x)-L_2|\lt\epsilon}\)

Por lo tanto, de acuerdo a la definición de límite dada por entornos tenemos que \(\forall{x}\in{N_0(a,\delta)}\) se cumple que \(f(x)\in{N_1(L_1,\epsilon)}\) y \(f(x)\in{N_2(L_2,\epsilon)}\), pero esto no siempre se cumple puesto que \(L_1\neq{L_2}\). Un ejemplo concreto de esto podría ser el caso particular en que \(N_1\cap{N_2}=\emptyset\)

Por otro lado, tomando \(\epsilon=\displaystyle\frac{|L_1-L_2|}{2}\), tenemos que

\(\begin{matrix}|L_1-L_2|=|L_1-f(x)+f(x)-L_2| & \leq & {|L_1-f(x)|+|f(x)-L_2|} \\ \ & \leq & {\displaystyle\frac{|L_1-L_2|}{2}+\displaystyle\frac{|L_1-L_2|}{2}}\end{matrix}\)

Luego \(|L_1-L_2|\lt{|L_1-L_2|}\), lo cual es absurdo. Por lo tanto, se concluye que si existe un límite éste debe ser único.

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Introducción al Cálculo

2011-11-30T22:46:00.001-08:00

Conceptos básicos

Antes de empezar a estudiar el cáculo es necesario ya tener unos pre-conceptos claramente establecidos, se necesita dominar por lo menos el álgebra, algo de teoría de conjuntos, nociones básicas en teoría de números, funciones reales, desigualdades, entre otros aspectos que se detallarán más adelante. El libro Cálculo, de Louis Leithold presenta una introducción acertada y bastante minuciosa sobre el concepto de límite, se recomienda dar un repaso a este apartado.

Vamos a empezar entonces el estudio del cálculo desde la definición formal \(\epsilon-\delta\) de límite expresada como sigue:

Definición (Límite de una función real)

Sea \(a\in\mathbb{R}\); si para cada \(\epsilon\gt0\) existe un \(\delta\gt0\) tal que \(|f(x)-L|\lt\epsilon\) cuando \(0\lt|x-a|\lt\delta\), se dice que \(f(x)\) tiende al número real \(L\) cuando \(x\) tiende a \(a\). Más formalmente tenemos

\((\forall\epsilon\gt0)(\exists\delta\gt0)(0\lt|x-a|\lt\delta\longrightarrow{|f(x)-L|\lt\epsilon})\)

Es importante destacar que la definición anteriormente dada es válida para cada \(x\in\mathbb{R}\) en el dominio de la función, y que \(f(a)\) no necesariamente debe estar definida.

¿Qué representan los intervalos en valor absoluto presentados en la definición?

La desigualdad \(0\lt|x-a|\lt\delta\) determina un intervalo agujereado en la recta real, también llamado entorno, con centro \(a\) y radio \(\delta\). Análogamente la desigualdad \(|f(x)-L|\lt\epsilon\) determina un entorno con centro \(L\) y radio \(\epsilon\) en la recta real, en este caso en el eje \(OY\). De acuerdo a esto es posible transladar la definición de límite a la notación de entornos; si una función \(f(x)\) tiende al límite \(L\) cuando \(x\) tiende a \(a\), entonces para todo \(x\in{N_x(a,\delta)}\) se cumple que \(f(x)\in{N_y(L,\epsilon)}\), en donde \(N_i(m,n)\) representa un entorno centrado en \(m\) de radio \(n\) para la variable \(i\).

Para saber más sobre entornos e intervalos visita nuestra sección Desigualdades en valor absoluto

A continuación se demuestran formalmente algunas propiedades de los límites: