Research Blogging - Mathematics - Italian

Integrali doppi e volume dei solidi di rotazione

2012-05-19T13:58:44Z

Un metodo per calcolare il volume di un solido di rotazione come un integrale doppio, proposto da due matematici spagnoli. Esso può essere considerato una generalizzazione dei due classici metodi dei dischi e dei gusci cilindrici, se l’integrale doppio è calcolato mediante ciascuna delle due possibili applicazioni del teorema di Fubini....

Jorge Martín-Morales, & Antonio M. Oller-Marcén. (2012) Volumes of Solids of Revolution. A Unified Approach. Submitted to Mathematical Intelligence. arXiv: 1205.2204v1

Passeggiando sopra un toro

2012-05-11T03:28:00Z

Vincent Borrelli, Said Jabrane, Francis Lazarus e Boris Thibert sono riusciti per la prima volta a realizzare l'immagine di un toro piatto in tre dimensioni. Ovviamente il lettore, spaesato, si chiederà Cosa è un toro piatto? Da un punto di vista strettamente matematico il toro piatto (in originale flat torus) è un toro che non presenta alcuna curvatura (gaussiana) sulla sua superficie. Da un punto di vista grafico un toro piatto è sostanzialmente una superficie chiusa al cui interno attraversando il lato ad esempio destro (ma anche andando verso l'alto) ti ritrovi ad uscire dal lato sinistro (o dal basso) del foglio, un po' come PacMan nel suo labirinto: Se invece andiamo nelle tre dimensioni potremmo provare a costruire questa strana entità piegando un foglio di carta in forma cilindrica, ma non riusciremmo a incastrarlo in un toro senza l'allungamento della carta stessa. Costruire dunque un toro piatto in 3 dimensioni non è cosa banale, nonostante si possa, usando semplicemente le formule, definire un oggetto geometrico di questo tipo semplicemente con due parametri reali $u$, $v$ tali che $u, v \in ]0, 2 \pi]$(1): \[(u, v) \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \left ( \cos (u+v), \sin (u+v), \cos (u-v), \sin (u-v) \right )\] la cui miglior visualizzazione prima del lavoro di Borelli-Jabrane-Lazarus-Thibert è quella che segue: La sfida ai tori piatti fu affrontata da Nash e Kuiper negli anni Cinquanta del XX secolo: Nash e Kuiper dimostrarono l'esistenza di una rappresentazione che non perturba le lunghezze nel toro piatto quadrato [il toro di PacMan!]. Per molto tempo, questa esistenza rimase una sfida all'immaginazione dei matematici. Ma dimostrare e mostrare sono due concetti a volte chiaramente distinti in matematica. Ciò è ben spiegato dall'allegoria del ladro: assumiamo che un gruppo di persone si raccolga intorno ad un gioiello in una stanza chiusa. Supponiamo poi che in un dato momento la luce venga e che il gioiello scompaia alla riaccensione della luce. Allora abbiamo dimostrato che un ladro si nasconde tra gli astanti, ma non possiamo mostrarlo. Sebbene le dimostrazioni di Nash e Kuiper siano un po' più che "esistenziali", non forniscono una procedura sufficientemente esplicita per consentire la visualizzazione (o semplicemente per una descrizione mentale) del toro piatto quadrato.(2) Trai Settanta e gli Ottanta (sempre del XX secolo!), il Premio Abel Gromov estrasse un metodo dal lavoro di Nash e Kuiper, proponendo la così detta integrazione convessa (convex integration), uno strumento molto utile che (...) non solo produce l'esistenza di una soluzione, ma fornisce anche una costruzione efficace.(2) Partendo proprio da questo metodo, Borelli, Jabrane, Lazarus e Thibert sono riusciti a realizzare un algoritmo che permette di disegnate il tanto agognato toro. I matematici erano perplessi dai lavori di Nash e Kuiper. Questi lavori potevano infatti mostrare l'esistenza di oggetti la cui regolarità era problematica, se non paradossale. Essi dovevano essere lisci e ruvidi allo stesso tempo... In effetti, l'analisi matematica delle immagini rivela una superficie appartenente a due mondi antagonisti; la superficie liscia e i frattali, infinitamente spezzati. Quando ingrandiamo, si osservano invariabilmente increspature a scale sempre più piccole. Ogni increspatura, anche detta ruga, appare liscia quando vista da lontano, ma ma il loro accumularsi crea un oggetto con un aspetto ruvido e frattale.(2) Concludendo: Dimostrare che l'integrazione convessa può essere implementata apre nuove prospettive nella matematica applicata, in particolare nella risoluzione di sistemi differenziali provenienti dalla fisica e dalla biologia. Più nello specifico, le immagini rivelano una classe di oggetti la cui struttura si trova a cavallo tra le superfici lisce e i frattali. Tali oggetti potrebbero giocare un ruolo centrale nell'analisi delle forme. Potrebbero anche risolvere alcuni paradossi ancora non spiegati.(2) Leggi anche: Wikipedia | phys.org (1) The Flat Torus in the Three-Sphere (2) A flat torus in three dimensional space (pdf) | Hevea Project Borrelli, V., Jabrane, S., Lazarus, F., & Thibert, B. (2012). Flat tori in three-dimensional space and convex integration Proceedings of the National Academy of Sciences DOI: 10.1073/pnas.1118478109...

Borrelli, V., Jabrane, S., Lazarus, F., & Thibert, B. (2012) Flat tori in three-dimensional space and convex integration. Proceedings of the National Academy of Sciences. DOI: 10.1073/pnas.1118478109

Semplificazioni econometriche: l'equazione della massaia

2012-05-02T04:55:00Z

Ovvero Una prima lezione di econometria di John Siegfried(1), o meglio ancora, partiamo da una delle equivalenze più semplici in assoluto, una di quelle che, per essere dimostrata, ha bisogno di un tomo intero, una di quelle che alla massaia non servono poi così tante complicazioni, la citatissima $1+1=2$. Ebbene, è possibile, con una serie di procedimenti successivi, scrivere questa famosissima equazione in modi via via più semplici. Come? Iniziamo! Si parte con due ben note uguaglianze: \[1 = \ln e\] \[1 = \sin^2 q + \cos^2 q\] A queste due aggiungiamo anche la seguente serie: \[2 = \sum_{n_0}^\infty \frac{1}{2^n}\] e allora l'equazione della massaia possiamo così semplificarla: \[\ln e + \sin^2 q + \cos^2 q = \sum_{n_0}^\infty \frac{1}{2^n}\] Attenzione, adesso, che arrivano un paio di passaggi delicati: sia l'1 sia il numero di Nepero possono essere scritti in maniera più proficua come \[1 = \cosh p \sqrt{1-\tanh^2 p}\] \[e = \lim_{\delta \rightarrow \infty} \left ( 1 + \frac{1}{\delta} \right)^\delta\] Usando queste ultime la nostra equazione della massaia assume una forma già molto più chiara e semplice dell'inizio: \[\ln \left ( \lim_{\delta \rightarrow \infty} \left ( 1 + \frac{1}{\delta} \right)^\delta \right ) + \sin^2 q + \cos^2 q =\] \[= \sum_{n_0}^\infty \frac{\cosh p \sqrt{1-\tanh^2 p}}{2^n}\] A questo punto utilizziamo le nostre ultime carte che sono rappresentate dalla relazione $0! = 1$ e da una relazione matriciale. Invece, però, di utilizzare la relazione usata da Siegfried, che prevede di sfruttare il fatto che, data una matrice $X$ l'inversa della sua trasposta coincide con la trasposta della sua inversa, utilizziamo l'uguaglianza sui determinanti, ovvero \[\det X^T = \det X\] E così la nostra equazione della massaia raggiunge il massimo grado di chiarezza e semplicità! \[\ln \left ( \lim_{\delta \rightarrow \infty} \left ( \left ( \det X^T - \det X \right )! + \frac{1}{\delta} \right)^\delta \right ) + \sin^2 q + \cos^2 q =\] \[= \sum_{n_0}^\infty \frac{\cosh p \sqrt{1-\tanh^2 p}}{2^n}\] Si possono utilizzare altri percorsi e altri metodi per semplificare l'equazione della massaia, ma resta certo che per il giovane econometrico questi saranno ovvi una volta che avrà compreso i principi di base. (1) Siegfried, J. (1970). A First Lesson in Econometrics Journal of Political Economy, 78 (6) DOI: 10.1086/259717 (pdf via tumblr)...

Siegfried, J. (1970) A First Lesson in Econometrics. Journal of Political Economy, 78(6), 1378. DOI: 10.1086/259717

Aritmetica col trucco

2012-04-18T11:57:56Z

Problemini matematici col trucco per abituare i ragazzi a pensare prima di fare calcoli....

Tanya Khovanova. (2012) Tricky Arithmetic. talk at the Gathering for Gardner, 2012. arXiv: 1204.3112v1

Lo spuntino

2012-04-15T15:45:00Z

Oggi è il compleanno di Leonardo Da Vinci, simbolo dell'Expo 2015 che verrà ospitato a Milano. Su The Pictorial Arts, Thom Buchanan pubblica una vignetta di Rowland B. Wilson, cartoonist che tra le altre cose ha realizzato vignette anche per Play Boy, dedicata proprio al genio italico: Questa? Oh, questa è giusto una piccola idea per un nuovo spuntino! Wilson associa, dunque, la pizza all'Italia, e l'associazione è più che naturale, anche se, a quanto sembra, la pizza non è nata in Italia: Contrariamente alle credenze popolari e ai numerosi stereotipi italiani, la pizza non ha avuto origine in Italia, ma in Grecia. Gli Antichi Greci, quando non lasciano i propri figli deformi in pasto ai lupi o si danno alla filosofia, avrebbero preso delle fette di pane e le avrebbero coperte di oli ed erbe con formaggio. Il termine greco-bizantino per questa creazione era pita, che significa torta. La torta moderna, tuttavia, ha avuto origine in Italia, con l'aggiunta di salsa di pomodoro, ma il formaggio non è stato aggiunto fino al 1889. Così, mentre gli italiani lo hanno perfezionato, si devono ringraziare i Greci di aver pensato questa fantastica unione tra grassi e carboidrati. I pignoli direbbero: hanno inventato le bruschette, che poi in Italia sono state trasformate in pizza, ma non sottilizziamo troppo: in fondo gli stessi statunitensi quando vengono in Italia credono di trovare le loro stesse pizze, senza pensare che forse le loro sono una variazione non proprio gustosa delle nostre. Abbandoniamo, però, per il momento queste discussioni di filosofia del cibo e concentriamoci un attimo sulla matematica della pizza. La vignetta di Wilson, infatti, mi ha ricordato dell'esistenza di un articolo del 2009 di Rick Mabry e Paul Deiermann sul taglio della pizza. La storia di questo problema matematico inizia nel 1967 con il Problema 660 di Leslie Upton(1) che notò che se si taglia un cerchio con 4 corde, allora i risultanti 8 pezzi possono essere divisi nei due insiemi mostrati nella figura seguente le cui aree totali risultano uguali(6): Il teorema della pizza If a circular pizza is divided into 8, 12, 16, ... slices by making cuts at equal angles from an arbitrary point, then the sums of the areas of alternate slices are equal. Cui si può aggiungere anche il successivo Lemma della pizza If two chords in a circle intersect at right angles, then the sum of the squares of the lengths of the four segments formed is a constant (the square of the length of the diameter). \[4r^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2\] La prima soluzione risale all'anno successivo, ad opera di Michael Goldberg(2) e coinvolge l'algebra. Egli, infatti, osservò che se ci sono $k \ge 4$ corde e $k$è dispari, allor al'area totale di un insieme di pezzi è uguale all'area totale dell'altro insieme(6). Nel 1994 Larry Carter e Stan Wagon realizzano, invece, una dimostrazione grafica del teorema(3), di cui vi presento la versione colorata presente su Commons: Dopo poco Allen Schwen generalizzò il risultato di Cartere Wagon a 6 corde(6): Infine nel 2012 Greg Frederickson(6) propone una generalizzazione con un algoritmo che permette di dimostrare il teorema per qualunque numero di corde. Vediamo, ad esempio, la dimostrazione per 8 corde: Non solo: grazie al metodo di Frederickson è anche possibile dimostrare il risultato del 2009 di Mabry e Deiermann(4), che mostrano come, se il numero di tagli è pari (a), le aree grigie e bianche sono uguali, se il numero di tagli è dispari (b), le due aree sono differenti: Come risultato accessorio, poi, si scopre che nel caso (a) il pezzo che contiene il centro della pizza è il più grande, mentre nel caso (b) possiamo distinguere tra due situazioni differenti: per 1, 2, 3, 7 e successivi tagli (passo 4) il pezzo più grande sarà sempre quello contenente il centro, mentre nel caso di 5, 9, 13 e successivi tagli (passo 5) il pezzo più piccolo sarà quello contenente il centro(4, 7). Esistono, poi, altri tre teoremi sempre legati alla pizza raccontati da Shailesh Shirali nel 2011(5). Il primo di questi teoremi parte dal numero $n$ di punti sulla circonferenza della pizza da cui far partire i tagli. Dato questo numero $n$ ci si può chiedere: quanti sono i pezzi che posso ricavare dalla pizza? La formula risolutiva alla domanda è la funzione \[f(n) = \binom{n}{4} + \binom{n}{2} + \binom{n}{0}\] dove \[\binom{n}{k}\] rappresenta le combinazioni di $n$ elementi presi $k$ alla volta. Il penultimo teorema, invece, stabilisce che, dato il taglio seguente dove ciascuno dei 6 angoli vale 60°, allora \[PA + PC + PE = PB + PD + PF\] L'ultimo teorema è il più vecchio di tutti, e ci riporta alle origini della pizza, che stabilisce che il volume occupato da una pizza di raggio $z$ e spessore $a$: pi $z$ $z$ $a$ E quindi, come dice il saggio, non mi resta che augurarvi... Buon appetito! (1) L. J. Upton, Problem 660, Math. Mag. 40 (1967) 163 (2) M. Goldberg, Divisors of a circle (solution to problem 660), Math. Mag. 41 (1968) 46 (3) Carter, L., & Wagon, S. (1994). Proof without Words: Fair Allocation of a Pizza Mathematics Magazine, 67 (4) DOI: 10.2307/2690845 (4) Mabry, R., & Deiermann, P. (2009). Of Cheese and Crust: A Proof of the Pizza Conjecture and Other Tasty Results American Mathematical Monthly, 116 (5), 423-438 DOI: 10.4169/193009709X470317 (pdf) (5)...

Carter, L., & Wagon, S. (1994) Proof without Words: Fair Allocation of a Pizza. Mathematics Magazine, 67(4), 267. DOI: 10.2307/2690845

Mabry, R., & Deiermann, P. (2009) Of Cheese and Crust: A Proof of the Pizza Conjecture and Other Tasty Results. American Mathematical Monthly, 116(5), 423-438. DOI: 10.4169/193009709X470317

Shirali, S. (2011) A pizza saga. Resonance, 16(5), 437-445. DOI: 10.1007/s12045-011-0049-5

Greg N. Frederickson. (2012) The Proof Is in the Pizza. Mathematics Magazine, 85(1), 26-33. DOI: 10.4169/math.mag.85.1.26

La matematica della sbucciatura delle arance

2012-04-07T02:11:39Z

La sbucciatura di un'arancia con andamento spirale crea una figura che, appiattita sul piano, è una spirale di Eulero (o di Cornu, o clotoide)....

Laurent Bartholdi, & André G. Henriques. (2012) Orange Peels and Fresnel Integrals. ArXiv. arXiv: 1202.3033v1

La classificazione dei gruppi finiti semplici

2012-03-30T03:13:00Z

Un gruppo è una collezione di elementi che obbediscono a certe regole. Per ogni gruppo possiamo costruire un certo numero di sottogruppi, in particolare i sottogruppi normali. Dato un gruppo $G$, un sottogruppo $K$ è normale se, per ogni elemento $g \in G$ \[gK = Kg\] o, banalizzando, se ogni elemento $g \in G$ commuta con ogni elemento $k \in K$. Ora, se l'insieme dei sottogruppo normali di un dato gruppo non banale $G$ è costituito solo dal gruppo banale e dal gruppo stesso, allora $G$ è un gruppo semplice. E se il gruppo $G$ è finito (il numero degli elementi del gruppo è finito), allora $G$ è un gruppo finito semplice. Con l'obiettivo di classificare i gruppi finiti semplici, Daniel Gorenstein, Ron Solomon e Richard Lyons anno iniziato negli anni Ottanta del XX secolo un programma per produrre una nuova e completa dimostrazione del teorema di classificazione(1): Ogni gruppo finito semplice è isomorfo a uno dei seguenti gruppi: Un gruppo ciclico con ordine primo; Un gruppo alternante (o alterno) di grado almeno 5; Un gruppo semplice di Lie, inclusi i gruppi di Lie classici, ovvero i gruppo lineari speciali, quelli unitari, simplettici, e quelli delle trasformazioni ortogonali su un campo finito; i gruppo eccezionali e i twisted groups, sempre di Lie (incluso il gruppo di Tits che non è propriamente un gruppo di Lie). I 26 gruppi semplici sporadici. Il lavoro è stato concluso da Michael Aschbacher e Stephen Smith nel 2004: l'ultimo capitolo della dimostrazione è stato descritto in un articolo non troppo tecnico da Aschbacher(6) e quindi in due monografie matematiche(7). La classificazione completa è stata infine pubblicata nel 2011 in The Classification of Finite Simple Groups: Groups of Characteristic 2 Type di Aschbacher, Lyons, Smith, e Solomon (Mathematical Surveys and Monographs, vol. 172). Questo lavoro ha vinto il Leroy P. Steele Prize come migliore esposizione matematica in questo 2012(9): In questo articolo, gli autori, che hanno svolto un lavoro fondamentale per la classificazione dei gruppi finiti semplici, offrono al pubblico matematico un'esposizione articolata e leggibile della classificazione delle caratteristiche dei gruppi di tipo 2. Una interessante ma non completa storia del teorema di classificazione si trova nell'articolo di Ron Solomon On Finite Simple Groups and Their Classification(4). Leggendo l'articolo possiamo vedere che già nel 1995 la lista di tutti i gruppi finiti semplici era completata, ma non c'era ancora una realmente completa dimostrazione che tutti i gruppi nella lista fossero gruppi finiti semplici (o che d'altra parte non ci fosse un qualche gruppo non compreso nella lista ma con le stesse caratteristiche e non isomorfo ai componenti del club). Così la dimostrazione di Aschbacher e Smith era necessaria per completare la classificazione e l'atlante delle rappresentazioni dei gruppi finiti. Nel 2001, poi, Solomon, all'alba della conclusione del lavoro, scrisse una breve storia della classificazione dei gruppi finiti semplici(5), e nella sezione dedicata alle applicazioni e sviluppi Thus the classification of all finite groups is completely infeasible. Nevertheless experience shows that most of the fionite groups which occur "in nature" - in the broad sense not simply of chemistry and physics, but of number theory, topology, combinatorics, etc. - are "close" either to simple groups(2) or to groups such as dihedral groups, Heisenberg groups, etc., which arise naturally in the study of simple groups. And so both the methodologies and the database of information generated in the course of the Classification Project remain of vital importance to the resolution of questions arising in other disciplines. La storia in effetti potrebbe influenzare altrediscipline, come ad esempio la fisica. Infatti uno dei gruppi finiti semplici è il gruppo E8, che abbiamo già esaminato ne L'universo in fiore. Un'altraconnessione è citata nel primo lavoro di Solomon riguardo alcuni gruppi semplici sporadici(1): i gruppi Monster. Seguendo Solomon, i gruppi Monster sono connessi con la teoria quantistica dei campi, e così ho provato a fare una ricerca riguardo l'asserzione, scovando Our Mathematical Universe: I. How the Monster Group Dictates All of Physics di Franklin Potter(8). Nell'articolo Potter prova a collegare il Monster group con il Modello Standard. L'idea, di principio, non è sbagliata: il Modello Standard ci presenta un universo costituito da alcune famiglie finite di fermioni, leptoni e bosoni, un numero finito di elementi, come i gruppi finiti. Inoltre le tre famiglie sono costituite da particelle elementari, o in altre parole: particelle fatte da se stesse, un po' come i gruppi semplici. Così dovrebbe essere possibile collegare il Modello Standard con alcuni gruppi finiti semplici, come uno dei gruppi Monster. Non saprei dire se la strada proposta da Potterè corretta o meno (ho letto velocemente il suo articolo), ma egli predice l'esistenza di due nuovi quark, uno a 80 GeV e uno a 2600 GeV, e questo è un ottimo strumento per dire se il Monster Group e il Modello Standard sono in qualche modo connessi. Potter invece sembra certo che la sua ipotesi è vera: In this brief article I have outlined specific connections between the mathematics of the Monster Group and fundamental physics particles and rules. These connections support the three hypotheses ERH, MUH, and CUH(3), so I conclude that the Universe is mathematical and that we live in the only possible one. I await the empirical confirmation by the discovery of the 4th quark family, particularly the b' quark at about 80 GeV. Hopefully, the wait will not be long. Approfondimenti sui gruppi finiti semplici: Philosophy of the Classification of Finite Simple Groups An enormous theorem: the classification of finite simple groups by Richard Elwes The most important people in calssification program was Daniel Gorenstein. Ho was a leader in the group and you can read a bibliography about his work in classification in the two Solomon's papers that I used for this post(4, 5) (1) Riguardo questi scrive: Like the elementary particles of physics, sporadic simple groups were often predicted several years before their existence was confirmed. For example, the Monster was predicted in 1973, but not constructed until 1980. (2) In questo senso possiamo intendere i gruppi finiti semplici come gli atomi della teoria dei gruppi. (3) ERH (External Reality Hypothesis): esiste una realtà fisica esterna completamente indipendente dagli umani; MUH (Mathematical Universe Hypothesis): la nostra realtà fisica esterna è una struttura matematica; CUH (Computable Universe Hypothesis):la struttura matematica che è la nostra realtà fisica esterna è definita da funzioni calcolabili. (4) Ronald Solomon (1995). On Finite Simple Groups and Their Classification. Notices of the American Mathematical Society 42 (02) (pdf) (5) Solomon, R. (2001). A brief history of the classification of the finite simple groups Bulletin of the American Mathematical Society, 38 (03), 315-353 DOI: 10.1090/S0273-0979-01-00909-0 (6) Michael Aschbacher (2004). The Status of the Classification of the Finite Simple Groups...

Solomon, R. (2001) A brief history of the classification of the finite simple groups. Bulletin of the American Mathematical Society, 38(03), 315-353. DOI: 10.1090/S0273-0979-01-00909-0

Kehoe, E. (2012) 2012 Steele Prizes. Notices of the American Mathematical Society, 59(04), 1. DOI: 10.1090/noti826

Ritratti: Georg Cantor

2012-03-07T04:55:00Z

Quando si vede la classica immagine associata con la striscia di Moebius delle formiche che vi camminano di sopra, si potrebbe pensare che il simbolo dell'infinito, $\infty$, sia dovuto proprio a questa particolare curiosità matematica. In realtà il simbolo dell'infinito, $\infty$, è stato ideato dal matematico britannico John Wallis nel suo Arithmetica infinitorum pubblicato nel 1655(DFW). La matematica dell'infinito, e con essa tutta la matematica, avrebbe potuto prendere il volo già con Archimede, e magari lo avrebbe fatto se un certo soldato romano non avesse ucciso il grande matematico siciliano, ma dovette attendere un po' di secoli prima di incontrare i primi sfidanti dell'infinito (sia quello molto grande sia quello molto piccolo). In particolare furono i matematici del 1600, gente come Kepler, Galileo, Newton, Leibniz, il già citato Wallis, che costituirono le basi per i lavori successivi di Bolzano, Weierstrass e soprattutto Cantor. E fu proprio quest'ultimo, gigante che si poggiava sulle spalle di altri giganti(1) a fornire all'infinito un certo fascino... discreto! Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor nasce a San Pietroburgo il 3 marzo del 1845 da Georg Woldemar Cantor e Maria Bohm. La famiglia Cantor (e forse anche quella Bohm) era di origini ebraiche (e questo, probabilmente, ebbe un peso nella scelta del nome dei numeri transfiniti), sparpagliata un po' in tutta Europa e con una certa tradizione musicale (il cugino Joseph Grimm era un famoso concertista da camera della Russia dell'epoca). Non avrebbe, dunque, stupito se Georg, primo di sei figli, avesse intrapreso la carriera artistica (si dice che fosse bravo nel disegno(ADA) oltre a saper suonare il violino(DFW)), ma invece venne catturato dal fascino della matematica, probabilmente durante il periodo del ginnasio a Darmstadt (la famiglia si era trasferita in Germania quando Georg aveva 11 anni). E' di quell'epoca una lettera del padre di cui vi propongo questo passaggio tratto da Il mistero dell'alef: Concludo con queste parole: tuo padre, o meglio i tuoi genitori e i membri della tua famiglia in Russia, in Germania e in Danimarca tengono gli occhi puntati su di te in quanto primogenito, e si aspettano che diventi almeno un Theodor Schaeffer e in seguito, se Dio vuole, forse una stella che brilla sull'orizzonte della scienza. Cantor, dunque, aveva l'appoggio, nella sua scelta scientifica (appoggio che, secondo alcuni storici, fu ottenuto non senza molte difficoltà(DFW)), e in particolare matematica, del padre, un personaggio descritto come autoritario(ADA) che per alcuni fu la causa dei problemi psicologici di Georg (per altri, invece, furono le sue ricerche, ma questo, seguendo David Foster Wallace (DFW d'ora in poi), è probabilmente ingeneroso nei confronti della stessa genialità di Cantor). D'altra parte, come ricorda DFW, quando nel 1884 Cantor venne ricoverato per la prima volta, Georg aveva già concluso la maggior parte dei suoi lavori, mentre il suo secondo ricovero avvenne nel 1899, anno dopo il quale si potrebbe dire non si riprese più, entrando e uscendo con una certa regolarità dal manicomio, e impegnato non più nella matematica ma nel tentativo di dimostrare che le opere di Shakespeare non erano state scritte dal bardo ma, in realtà, da Bacone. Ad ogni modo, senza congetturare più di tanto sulla follia di Cantor, si possono fare giusto un paio di osservazioni: innanzitutto Georg, persona sicuramente ambiziosa, aveva iniziato i suoi studi con Weiertstrass e Kroeneker. In particolare quest'ultimo era stato il relatore delle sue tesi a Berlino e probabilmente consulente del primo lavoro importante di Cantor sul Teorema dell'Unicità. Quando però il suo allievo prese una strada più vicina a quella di Weierstrass, ovvero la strada per l'infinito, Kroeneker ne divenne uno dei più fieri avversari e questa avversione fu fondamentale, tanto quanto la voglia di Halle di tenerlo, quando Cantor provò a spostarsi all'Università di Berlino. Questi suoi tentativi, d'altra parte, furono probabilmente una delle cause del momentaneo allontanamento con Dedekind (Cantor voleva farsi sostituire dall'amico), uno dei suoi pochi amici, nonché uno dei pochi matematici a credere fin dall'inizio nelle ricerche di Georg (consideriamo che anche le ricerche di Dedekind lo portarono verso l'infinito). L'altro matematico e amico importante per Cantor fu Mittag-Leffler, fondatore di Acta Mathematica, la rivista che pubblicò praticamente tutti i suoi lavori. A questa ristretta cerchia di amici va aggiunta la moglie, Vally Guttmann, sposata nel 1974. La seconda osservazione va alle idee piuttosto fideistiche che Cantor poneva nei numeri transfiniti, idee forse alimentate dalla forte religiosità imparata dal padre, che quindi forse ebbe più un peso in questi aspetto del carattere del matematico tedesco che non nella sua follia. A conti fatti, però, nonostante il senso di assedio che circondava Cantor e l'isolamento accademico nella piccola Halle, i suoi risultati di furono eccezionali e lo portarono ad aprire le porte dell'infinito alla matematica. Queste porte hanno sicuramente... portato un po' di paradossi nella matematica, come ad esempio il teorema di Banach-Tarski: è innegabile che senza le scoperte di Cantor sull'infinito non sarebbe stato possible concepire un modo per moltiplicare una sfera in se stessa. Il primo passo logico (provando a seguire l'ordinamento di DFW) nell'avvicinamento all'ipotesi più famosa, l'ipotesi del continuo, è la dimostrazione del Teorema dell'Unicità, un particolare teorema sulle serie di Fourier: supponiamo di avere una data funzione $f (x)$ che può essere rappresentata attraverso una serie di funzioni trigonometriche; allora questa rappresentazione è unica. Fu proprio dimostrando questo teorema in un saggio del 1972 (revisionato per metà da Kroeneker, almeno fino a che quest'ultimo non si accorse della direzione dove stava andando il suo allievo) che Cantor fece per la prima volta i conti con l'infinito. In questo contesto, che pone le basi per la moderna teoria matematica degli insiemi, Georg introdusse il concetto di insieme derivato: sia $P$ un insieme di punti; allora l'insieme $P'$ è l'insieme derivato di $P$ se è costituito da tutti i punti di accumulazione di $P$, dove per punto di accumulazione di un insieme si intende un punto intorno al quale si trovano sempre una infinità di punti appartenenti all'insieme stesso. A questo punto, però, si scopre che esiste un secondo insieme derivato, il $P''$ che è il derivato di $P'$, e poi il $P'''$ che è il derivato di $P''$ e così via, ma non necessariamente all'infinito. Si possono infatti distinguere tra due tipi di insiemi: l'insieme $P$ di prima specie, per il quale la serie degli insiemi derivati ha una fine, ovvero esiste $n$ tale che $P^{(n+1)}$ non ha alcun membro (insieme vuoto); e l'insieme $P$ di seconda specie, per il quale la serie degli insiemi derivati è infinita, ovvero prosegue senza interrompersi. Per dimostrare il Teorema di Unicità, Cantor è interessato agli insiemi di prima specie, perché in questo caso la serie dei derivati avrà termine in un insieme senza punti di accumulazione, e quindi, dal teorema di Bolzano-Weierstrass, sarà finito e avrà un minimo in un certo punto. Minimo che esisterà anche per tutti gli insiemi precedenti della serie e, in particolare, per l'insieme di partenza $P$. E questo punto minimo coincide con il punto verso il quale convergono due serie trigonometriche rappresentative diventando così un'unica serie trigonometrica. Questo saggio, oltre a porre le basi per la teoria degli insiemi, e oltre a permettere a Cantor di sviluppare una sua teoria dei numeri irrazionali, avvicina il matematico tedesco al problema degli infiniti, perché non dimentichiamo che ci sono in giro anche gli insiemi $P$ di seconda specie. E' infatti a questo punto che è possibile derivare l'esistenza dei numeri transfiniti. Innanzitutto si prende un insieme $P$ di seconda specie. Il suo primo insieme derivato $P'$ può essere decomposto nell'unione di due sottoinsiemi $Q$, costituito da tutti i punti appartenenti ai derivati di prima specie di $P'$, ed $R$, costituito da tutti i punti in comune tra i derivati di $P'$, in pratica la loro intersezione. Partendo da qui, Cantor è in grado di dimostrare che $R = P^\infty$, ma poiché $P$ è di seconda specie, allora è possibile proseguire la serie con $P^{(\infty+1)}$, $P^{(\infty+2)}$ e così via, ma anche insiemi come $P^{(n\infty^\infty)}$, $P^{(\infty^{\infty+1})}$, $P^{(\infty^{n \infty})}$, ... Vediamo qui una generazione dialettica di concetti, che porta sempre più distante e in questo modo resta in sé libera da qualsiasi arbitrarietà(DFW) Ovvero siamo di fronte a delle vere entità matematiche, a una nuova classe di n...

Gray, R. (1994) Georg Cantor and Transcendental Numbers. The American Mathematical Monthly, 101(9), 819. DOI: 10.2307/2975129

Il problema del bombo viaggiatore…

2012-02-13T07:23:31Z

Insetti davvero interessanti i bombi. La loro attività di impollinatori li rende un elemento indispensabile per ecosistemi naturali ed agricoltura, e per lungo tempo la loro capacità di volare è stata considerata un mistero dell’aerodinamica, a causa delle (apparentemente) insufficienti ampiezza e frequenza di battito delle ali ([2]). Più recentemente, uno studio ([1]) realizzato da [...]...

Lihoreau M, Chittka L, Le Comber SC, & Raine NE. (2012) Bees do not use nearest-neighbour rules for optimization of multi-location routes. Biology letters, 8(1), 13-6. PMID: 21849311

Jane Wang, Z. (2000) Two Dimensional Mechanism for Insect Hovering. Physical Review Letters, 85(10), 2216-2219. DOI: 10.1103/PhysRevLett.85.2216

I rompicapi di Alice: Quella sagoma di Arlecchino

2012-02-10T16:39:00Z

- Non sa fare una sottrazione - disse la Regina bianca. - Sei capace di fare una divisione? Dividi una pagnotta con un coltello... che risultato ottieni? - Suppongo che... - stava per cominciare Alice, ma la Regina rossa rispose per lei. - Pane e burro naturalmente...(1) (Attraverso lo specchio) Questo passaggio dal secondo romanzo di Alice di Lewis Carroll richiama ai tipici problemi di sezionamento molto diffusi sia nella matematica ricreativa, sia in quella seria. Uno dei più famosi, probabilmente noto già a Carroll, visto che nella sua biblioteca venne ritrovato il libretto The Fashionable Chinese Puzzle, è il tangram, un gioco di sezionamento proveniente dalla tradizione orientale, ideato da tale Tan, forse un saggio forse una divinità. Portato negli Stati Uniti dal capitano Donnaldson, il tangram ottenne il suo primo grande successo grazie al libro The Eighth Book Of Tan, la cui copertina è opera di Sam Loyd, noto divulgatore di giochi e puzzle matematici. (wiki) Il tangram è in pratica un quadrato che è stato dissezionato nel modo seguente (5 triangoli, 1 losanga e 1 quadrato): e partendo da questi è possibile costruire varie altre figure geometriche più o meno regolari. Tra queste ultime si ricordano in particolare il Cappellaio Matto e la Lepre Marzolina realizzate da Henry Dudeney nel suo Amusements in Mathematics Con i tangram, poi, si possono proporre alcuni piccoli interessanti paradossi di scomparsa (o di apparizione) come ad esempio quello che lo stesso Dudeney ha proposto nel già citato libro: Queste sono le sagome di due arlecchini che sono esattamente uguali a parte per un dettaglio: uno dei due ha un piede. Ora, entrambe le due figure sono costituite da sette tangrammi. Da dove viene, dunque, il piede del secondo arlecchino?(2) E questo è solo uno degli oltre 6500 problemi che sono stati scritti con il tangram. Limitandoci però alle sole figure più o meno regolari, è però possibile determinare il numero di figure geometriche convesse che si possono costruire con i pezzi del tangram. E visto che a trovare il risultato non sono stati due tipi qualunque, ma due ricercatori cinesi, Fu Traing Wang e Chuan-Chih Hsiung, la dimostrazione di quello che possiamo chiamare come il teorema del tangrammo(3) è assolutamente formale e non è certo frutto di una serie di tentativi. La dimostrazione si sviluppa in 4 paginette e parte dal canonico quadrato del tangram questa volta però suddiviso in 16 triangoli rettangoli isosceli. Innanzitutto si stabiliscono le proprietà dei 16 triangoli e dei poligoni convessi che si possono realizzare con essi. Definite infatti le ipotenuse come i lati irrazionali e i cateti lati razionali si può iniziare a costruire la dimostrazione. Innanzitutto i due ricercatori cinesi stabiliscono che partendo dai 16 triangoli rettangoli isosceli di cui sopra, il poligono convesso costruito sarà tale che almeno un lato razionale di un triangolo non è adiacente a un lato irrazionale di un altro triangolo. Da questo discende un secondo lemma, ovvero che in un poligono convesso costituito dai soliti 16 triangoli i lati saranno costituiti da lati di triangoli dello stesso tipo, ovvero o solo da lati razionali o solo da lati irrazionali e quindi così saranno rispettivamente chiamati i lati del poligono. In generale, poi, i lati razionali e i lati irrazionali di un poligono si alternano. A questi seguono due nuovi lemmi, anch'essi legati uno all'altro: il primo stabilisce in otto il numero massimo di lati per il poligono convesso che si può costruire con i 16 triangoli isosceli, il secondo stabilisce che il nostro poligono può essere inscritto all'interno di un rettangolo tale che o tutti i lati razionali o tutti i lati irrazionali del poligono appartengono ai lati del rettangolo. Ed ecco che fatti i calcoli, esaminate le condizioni, distinti i casi, siamo pronti per trovare i 20 poligoni possibili al variare di alcune variabili particolari (la lunghezza dei lati irrazionali e dei lati del rettangolo) e da questi scartare quelli non compatibili con il tangram, ottenendo così i 13 poligoni convessi cercati: (commons) Il libro di Dudeney, però, è ricco di problemi sulla dissezione, i più famosi dei quali sono sicuramente quelli dedicati alla croce greca, incominciando con quelli che permettono di trasformare la croce in un quadrato: E' anche possibile il procedimento opposto: Sempre partendo dal quadrato è possibile, dopo una opportuna suddivisione in 64 quadratini, effettuare la seguente ricostruzione(4): Se contiamo i quadratini del rettangolo conclusivo, scopriamo che questi sono 65, ovvero 5 x 13, quindi la domanda più che naturale è: da dove è venuto il quadrato in più? La soluzione ce la da Ian Stewart L'area non può cambiare quando si riassemblano i pezzi in un modo diverso. Quando formiamo il rettangolo, i pezzi non combaciano esattamente e manca un lungo parallelogrammo sottile (...)(5) Stewart fa notare come tutto il paradosso ruoti intorno a 3 numeri consecutivi di Fibonacci, 5, 8 e 13. E sempre sui numeri di Fibonacci basava i suoi paradossi geometrici il mago e matematico newyorkese Paul Curry, che si impegnò a far sparire un quadratino (ma anche due) dal quadrato di 64 di partenza). Ritornando invece al paradosso originale, è poi possibile scrivere una equazione che lo descrive, presente negli appunti di Carroll e successivamente ritrovata da Warren Weaver(6): \[n^2 - 3na + a^2 - 1 = 0\] Ciò che a questo punto ci manca, dopo aver dissezionato, fatto apparire e scomparire quadrati, è far crescere il numero di oggetti in nostro possesso, come ad esempio passare da un quadrato a due croci: o da una sfera a due sfere identiche a quella originale Quello di Banach-Tarski non è proprio un paradosso nel senso scientifico del termine, ma certo può esserlo nel senso comune del termine. Il punto, infatti, è che è quanto affermato da Stefan Banach e Alfred Tarski, matematici polacchi, in Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes (pdf) del 1924 è matematicamente corretto, ma non può essere applicato alla vita reale, come ad esempio in questa vignetta di xkcd (via Maurizio Codogno): o in questo video danese sulla moltiplicazione delle arance (via La rotta per Itaca): L'idea di fondo del teorema non è molto complessa: prendiamo una sfera nell'usuale spazio euclideo e la suddividiamo in tanti pezzetti che poi andiamo a ricomporre in due sfere identiche alla sfera di partenza. Il risultato è possibile grazie al particolare processo di scomposizione e di ricomposizione delle sfere adottato. Nume tutelare nel mio tentativo di spiegazione è, anche in questo caso, Ian Stewart(5)....

Wang, F., & Hsiung, C. (1942) A Theorem on the Tangram. The American Mathematical Monthly, 49(9), 596. DOI: 10.2307/2303340

Weaver, W. (1938) Lewis Carroll and a Geometrical Paradox. The American Mathematical Monthly, 45(4), 234. DOI: 10.2307/2302608