Research Blogging - Mathematics - German

Knoten und Komplexitätstheorie

2012-05-02T17:07:19Z

Unentknotbarkeit läßt sich (wahrscheinlich) in polynomieller Zeit überprüfen....

Greg Kuperberg. (2011) Knottedness is in NP, modulo GRH. ArXiv. arXiv: 1112.0845v1

Waldhausens 'Virtual Haken'-Vermutung

2012-03-12T15:30:00Z

Ende 2009 hatten wir mal über neuere Entwicklungen zur 'Virtuell Haken'-Vermutung berichtet. Auf einer Konferenz am Poincaré-Institut in Paris soll heute ein Beweis dieser Vermutung von Ian Agol angekündigt worden sein....

Ian Agol, Daniel Groves, & Jason Manning. (2012) The virtual Haken conjecture. ArXiv. arXiv: 1204.2810v1

Marktradikale Pilze: Occupy Waldboden

2011-11-13T11:23:15Z

Zur Zeit stecke ich in der Uni in meinem Modul über Mykologie, also über die Wissenschaft von den Pilzen. Und erfreulicherweise kann ich damit mein Botanik-Pflichtmodul abhandeln, obwohl mittlerweile bekannt ist, dass Pilze evolutionär näher mit Tieren als mit Pflanzen verwandt sind (manchmal profitiert man davon, dass Traditionen auch in der Wissenschaft nur langsam aussterben). Im Rahmen des Moduls muss ich irgendwann auch einen Seminar-Vortrag über mutualistische Symbiosen, also jene Symbiose-Beziehungen in denen beide Partner davon profitieren, von Pflanzen und Pilzen halten. Die bekanntesten Pflanzen-Pilz-Mutualismen dürften dabei wohl die Flechten und die Mykorrhiza-Pilze sein. Die Flechten sind mutualistische Organismen die aus der Kombination von Pilzen und Grünalgen und/oder Cyanobakterien bestehen. Der Pilz profitiert von der Photosynthese-Leistung seines Partners, während die pflanzlichen Partner vor allem davon profitiert, dass er vor zu schnellem austrocknen geschützt ist. Die Mykorrhiza-Pilze gehen ihre Symbiose mit Pflanzen ein. Man schätzt das gut 80 % der Gefäßpflanzen in einer solchen Symbiose leben. Bei dieser Form der Symbiose besetzen die Pilze das Wurzelsystem und tauschen dort Nährstoffe mit ihren Wirtspflanzen aus. Die Pilze können dabei unter anderem Stickstoff und Phosphat aus dem Boden aufnehmen und an die Pflanze weitergeben, währen die Pflanze den aus der Photosynthese gebundenen Kohlenstoff weitergeben kann. Darüber hinaus gibt es auch gute Hinweise darauf, dass die Pilze auch in der Abwehr von Pflanzenfressern, welche ihren Wirt bedrohen könnten, nützlich sein können. In wie weit solche Mykorrhiza-Pilze als Parasiten oder positive Symbiose-Partner funktionieren ist dabei allerdings von vielen Faktoren abhängig. Unter anderem davon welche Art von Pilz es ist, welche Art von Wirtspflanze es ist, welche Art von Pflanzenfresser die Wirtspflanze bedroht, welche anderen Mykorrhiza-Pilze an dem gleichen Wirt zu finden sind, wie die Nährstoff-Bedingungen in dem Boden sind und natürlich dürfen auch die Gene hier nicht fehlen, denn Wirt und Pilz können inkompatibel sein. Und so verwundert es einen dann auch nicht mehr, dass die möglichen Beziehungen von Mykorrhiza-Pilzen zu ihren Wirtspflanzen ihre Hochs und Tiefs haben und von beiderseitigem Vorteil bis zu Parasitismus reichen können. Damit reicht es auf jeden Fall für ein “It's complicated” bei Facebook. Aber gerade die Mutualismen sind es, die aus evolutionärer und spieltheoretischer Sicht eine gute Erklärung benötigen. Denn oft findet man bei Mutualismen, dass ein Partner den anderen mehr oder weniger „versklavt“ bzw. überproportional von der Beziehung profitiert und daher seinen Partner lenken kann bzw. muss. Bei den Flechten ist es beispielsweise so, dass der Pilz extrem stark von seinem „Partner“ profitiert, da der Pilz selbst meist nicht einmal mehr alleine lebensfähig ist, während dies andersherum für die Algen/Bakterien meist kein Problem ist. Dementsprechend wirkt der Pilz extrem stark auf seinen Photosynthese-Freund ein. Die Frage wieso man eine Erklärung für dieses Verhalten braucht und auch die Frage nach den Symbiosen der Mykorrhiza-Pilze lässt sich mit dem Gefangenendilemma ganz anschaulich darstellen. Über das iterierte Gefangenendilemma hatte ich vor einiger Zeit bereits etwas geschrieben. Aber zur Auffrischung noch einmal das Grundproblem: Alice und Bob haben zusammen eine Bank überfallen und werden danach von der Polizei aufgeschnappt. Allerdings reichen die Beweise nicht aus um die beiden für den Bankraub zu verurteilen. Wenn also beide schweigen, dann kommen sie davon bzw. bekommen nur eine kleine Strafe (für zu schnelles Fahren bei der Flucht/unerlaubter Waffenbesitz/was man halt so in Verbindung mit einem Bankraub noch für Verbrechen begehen könnte). Die Verurteilung für den Bankraub klappt nur, wenn mindestens einer der beiden eine Aussage macht und den anderen belastet. Wenn nur einer der beiden eine Aussage macht, dann kommt derjenige der geplaudert hat straffrei davon, der andere sitzt eine volle Strafe ab. Machen jedoch beide eine Aussage, dann müssen auch beide ins Gefängnis und ihre Strafe absitzen (die jedoch pro Nase geringer ist als die Strafe die man absitzen muss, wenn man von dem Anderen verpfiffen wird). Alice und Bob werden getrennt voneinander verhört und haben keine Möglichkeit zu erfahren ob der jeweils andere ihn verraten hat oder nicht. Um das ganze anschaulicher zu machen schauen wir uns die Tabelle oben mal an. Wichtig: Die Zahlen sollen hier keine Haftstrafen darstellen sondern einen zu erwartenden Gewinn. Also: Je größer die Zahl, desto besser für den Spieler. Der zu erwartende Gewinn für Alice ist in Grün dargestellt, der zu erwartende Gewinn für Bob in Rot. Wie sollten sich jetzt also beide Spieler verhalten, um das bestmögliche Ergebnis zu erzielen? Wenn wir uns die Tabelle so anschauen, dann könnte man meinen, dass das beste Ergebnis die beiderseitige Kooperation ist, immerhin gibt es da insgesamt 6 Punkte zu gewinnen. Aber schauen wir uns doch einmal an, was für jeden Spieler die Beste Option ist: Wenn Bob kooperiert, dann ist es für Alice das beste Bob zu verraten, da sie dort 5 anstatt 3 Punkte bekommt (straffrei ausgeht anstatt für kleinere Verbrechen bestraft zu werden). Falls Bob sie verrät, dann sollte sie ihn auch verraten, denn dann bekommt sie 1 statt 0 Punkte (sie bekommt eine kleinere Strafe anstatt alleine die volle Strafe). Und analog funktioniert das auch für Bob, der sich die gleichen Gedanken macht. Damit endet man, zumindest wenn man von rational denkenden Spielern und nur einer Spielrunde ausgeht, dabei, dass beide Spieler einander verraten. Da gegenseitiger Verrat die einzige stabile Strategie ist, kommt es nicht zu der global optimalen Lösung: Der Kooperation. Dieser Fall, in dem kein Spieler etwas dadurch gewinnen kann, dass er seine Strategie alleine ändert, wird – nach ihrem Entdecker John Nash – das Nash-Gleichgewicht genannt. Was das ganze jetzt mit den Mutualismen von Pflanzen und Pilzen zu tun hat? Ersetzen wir doch einfach mal Alice durch Pflanze und Bob durch Pilz. Eine Pflanze hätte genauso einen Vorteil, wenn sie ihren Pilz-Partner verrät. Sie bekommt Phosphat von dem Pilz, muss aber keinen Zucker teilen. Und wenn der Pilz seine Kooperation einstellt, dann wäre es erst recht die beste Option den Zucker-Transport zum Pilz einzustellen. Und andersrum ist es genauso für den Pilz: Ohne Gegenleistung den Zucker bekommen ist besser als die eigenen Ressourcen zu teilen, und wenn der Pflanzen-Partner nicht teilt, dann sollte man das selbst auch nicht tun. Eine mathematische Umsetzung des Nash-Gleichgewichts für die Evolutionsbiologie hat John Maynard Smith in den 80er Jahren veröffentlicht. Sein Konzept sind die Evolutionary Stable Strategies, welche Strategien beschreibt welche, wenn sie einmal in einer Population von Individuen fixiert sind, nicht durch andere Strategien verdrängt werden können. Einer Theorie wieso sich der Mutualismus von Mykorrhiza-Pilzen und Pflanzen dann seit Millionen von Jahren halten kann ist E. Toby Kiers mit seinen Kollegen auf den Grund gegangen. Üblicherweise findet man nämlich, dass Pflanzen mehr als einen Mykorrhiza-Pilz als Symbiose-Partner haben, genauso wie die Pilze ihrerseits Verbindungen zu mehr als einer Pflanze aufrecht erhalten können. Ihre Theorie ist, dass es eine Art freien Markt gibt, über den die Rohstoffe zwischen den verschiedenen Pilzen und Pflanzen getauscht werden können. Und auf diesem Markt tauscht man seine Waren dann mit jenen Partnern, die einem die besten Konditionen bieten. Um zu testen ob dieser freie Markt für Pilz und Pflanze funktioniert, oder ob hier doch wieder die 99 % leiden müssen, haben sie sich auch ein Experiment überlegt....

John Maynard Smith. (1982) Evolution and the Theory of Games. Cambridge University Press. info:/

Kiers, E., Duhamel, M., Beesetty, Y., Mensah, J., Franken, O., Verbruggen, E., Fellbaum, C., Kowalchuk, G., Hart, M., Bago, A.... (2011) Reciprocal Rewards Stabilize Cooperation in the Mycorrhizal Symbiosis. Science, 333(6044), 880-882. DOI: 10.1126/science.1208473

Nash, J. (1950) Equilibrium points in n-person games. Proceedings of the National Academy of Sciences, 36(1), 48-49. DOI: 10.1073/pnas.36.1.48

Knoten im Billard

2011-06-29T14:53:45Z

Heute auf dem ArXiv: "Every knot is a billard knot" von Koseleff und Pecker....

Jozef H. Przytycki. (2004) Symmetric knots and billiard knots. Chapter 20 of the book "Ideal Knots", Vol. 19 in Series on Knots and Everything, Ed. A.Stasiak, V.Katrich, L.Kauffman, World Scientific, 1999, 374-414. arXiv: math/0405151v1

Christoph Lamm, & Daniel Obermeyer. (1999) Billiard knots in a cylinder. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 8(3), 353-366. arXiv: math/9811006v1

Pierre-Vincent Koseleff, & Daniel Pecker. (2011) Every knot is a billiard knot. ArXiv. arXiv: 1106.5600v1

Verknotete Flüssigkeiten

2011-05-18T09:28:02Z

Verknotete Strömungslinien hängen zusammen mit Turbulenz und hydrodynamischer Instabilität. Eine in den "Annals of Mathematics" erscheinende Arbeit findet jetzt beliebig verknotete Strömungslinien für reibungsfreie, inkompressible Gase oder Flüssigkeiten....

Alberto Enciso, & Daniel Peralta-Salas. (2010) Knots and links in steady solutions of the Euler equation. Annals of Mathematics. arXiv: 1003.3122v2

Topologie von Flächen CLXVII

2011-05-13T15:58:54Z

In der Ebene lassen sich Graphen genau dann einbetten, wenn sie keine Unterteilung von K3,3 oder K5 enthalten. Man kann sich fragen, ob es einen analogen Satz auch für den Torus oder andere kompliziertere Flächen gibt, also ob man zu einer gegebenen Fläche S eine Menge von Graphen G1,...,Gn hat, so daß ein Graph G sich genau dann in S einbetten läßt, wenn er keine Unterteilung eines Gi als Teilgraphen enthält. Diese Frage ist ein Spezialfall der sogenannten Wagner-Vermutung: wenn eine Menge M von Graphen abgeschlossen bzgl. Teilgraphen und Unterteilungen ist, dann gibt es eine endliche Menge von Graphen G1,...,Gn, so daß ein Graph G genau dann zu M gehört, wenn er keine Unterteilung eines Gi als Teilgraphen enthält. Diese Vermutung wurde von Robertson und Seymour in einem 20-teiligen Artikel im J.Combin.Theory B bewiesen....

Robertson, N., & Seymour, P. (2004) Graph Minors. XX. Wagner's conjecture. Journal of Combinatorial Theory, Series B, 92(2), 325-357. DOI: 10.1016/j.jctb.2004.08.001

Topologie von Flächen CLXVI

2011-05-06T14:53:52Z

Die drei kleinen Schweinchen und nochmal zum Jordanschen Kurvensatz. In einem alten Kinderspiel sollen die Häuser der drei kleinen Schweinchen H1, H2 und H3 jeweils mit einem Wasserwerk W, einem Elektrizitätswerk E und einem Heizkraftwerk H durch Leitungen so verbunden werden, dass die Leitungen sich nicht überkreuzen: Die Aufgabe ist nicht lösbar: man wird es nicht schaffen, die Leitungen kreuzungsfrei einzuzeichnen. Mathematisch formuliert man die Frage so: Gibt es eine Einbettung des vollständig bipartiten Graphen K3,3 (Bild unten) in die Ebene? ...

Thomassen, C. (1992) A characterization of the $2$-sphere in terms of Jordan curve separation. Proceedings of the American Mathematical Society, 115(3), 863-863. DOI: 10.1090/S0002-9939-1992-1124153-0

Höherdimensionale Expander

2011-03-28T13:48:59Z

Letzte Woche auf dem ArXiv erschien eine Arbeit von Gromov-Guth über höherdimensionale Verallgemeinerungen von Expander-Graphen, mit Anwendungen auf die Distortion von Knoten....

Gromov, M. (2009) Singularities, Expanders and Topology of Maps. Part 1: Homology Versus Volume in the Spaces of Cycles. Geometric and Functional Analysis, 19(3), 743-841. DOI: 10.1007/s00039-009-0021-7

Gromov, M. (2010) Singularities, Expanders and Topology of Maps. Part 2: from Combinatorics to Topology Via Algebraic Isoperimetry. Geometric and Functional Analysis, 20(2), 416-526. DOI: 10.1007/s00039-010-0073-8

LUBOTZKY, A., SAMUELS, B., & VISHNE, U. (2005) Explicit constructions of Ramanujan complexes of type. European Journal of Combinatorics, 26(6), 965-993. DOI: 10.1016/j.ejc.2004.06.007

Jacob Fox, Mikhail Gromov, Vincent Lafforgue, Assaf Naor, & Janos Pach. (2010) Overlap properties of geometric expanders. ArXiv. arXiv: 1005.1392v1

Matthew Kahle. (2010) Topological expanders. ArXiv. arXiv: 1012.5316v1

Misha Gromov, Larry Guth. (2011) Generalizations of the Kolmogorov-Barzdin embedding estimates. ArXiv. info:/arXiv: 1103.3423v1

Weniger Mädchengeburten um Gorleben und nach Tschernobyl?

2011-02-27T08:30:00Z

Weniger Mädchen um Atomzwischenlager Gorleben! Ein signifikanter Unterschied, und er glaube nicht an einen Zufall, sagte Ralf Kusmierz dem NDR. Ist da irgendetwas dran?Stutzig machen muss ja schon, dass weder die Zahlen genannt noch die Studie verlinkt ist. Dass eine Suche nach den Autoren Hagen Scherb und Kristina Voigt vor allem Anti-Atom-Agitationsseiten zu Tage fördert die gierig die offenbar regelmäßig herausgegebenen Meldungen dieser Art wiedergeben. Unkritisch, versteht sich. Ein Blick in das NDR-Forum lässt dann schnell die Zweifel wachsen: Da finden sich gleich Leute, die anscheinend die Studie gefunden haben und festgestellt dass die angebliche signifikante Änderung 120:111 männliche gg weibliche Neugeborene betrifft. Eine lächerliche Statistik (die rate ist übrigens sowieso nicht 1:1, sondern eher 51:49). Ich würde mir das trotzdem gerne mal direkt ansehen, aber leider funktionieren die Server des Helmholtz-Zentrums München* nicht, jedenfalls kann ich seit Tagen die PDFs nicht erreichen. Ich würde das aber gerne selbst sehen. Wenn jemand in einem Interview etwas behauptet, dann ist das bedeutungslos. Ich muss ihm nicht glauben. Wenn es aber so eine steile These ist, dann möchte ich es selbst überprüfen, und das steht in der echten wissenschaftlichen Publikation. Ich möchte auch nicht, dass mir jemand meine Forschungsresultate glaubt, weil ich sage was ich herausgefunden habe. Ich will, dass er meine Methoden, Daten und Ergebnisse ansieht und sich davon überzeugen lässt. Nur so kann Wissenschaft funktionieren. Also begebe ich mich auf die der Suche nach echter Literatur (also veröffentlichten, peer-reviewten Papern), und finde ein Paper von 2007 von Hagen Scherb und Kristina Voigt, das in europäischen Geburtenraten nachschaut, ob das Tschernobyl-Unglück eine Verschiebung der Geburtenraten in Deutschland und Europa verursacht hat. Die Hypothese Die Basis jeder wissenschaftlichen Arbeit bildet eine gute Arbeitshypothese. In diesem Fall befassen wir uns mit dem Gedanken, dass Umwelteinflüsse Auswirkungen auf genetisch vererbte Merkmale haben können, speziell radioaktive Strahlung. Grundsätzlich kann Strahlung Verschiebungen in den Geschlechtern auslösen, wenn Mutationen auf dem X-Chromosom tödliche Gene erzeugen. Eine rezessive mutiertes Gen in Müttern würde z.B. nur männlichen Nachwuchs schaden, da die Töchter durch ein zusätzliches X geschützt werden. Der Zusammenhang ist aber keineswegs einfach, da er davon abhängt ob Mütter oder Väter stärker der Strahlung ausgesetzt sind. Die Richtung der möglichen Verschiebung in den Geschlechtern lässt sich also nicht ohne weiteres vorhersagen. Die Hypothese, auf der die Arbeit von Scherb&Voigt basiert, ist aber spezieller. In früheren Arbeiten wurde aus Beobachtungen die Verschiebung zu mehr männlichen Geburten in der europäischen Nachbarschaft von Tschernobyl postuliert. Die Studie möchte nun Länder in ganz Europa in den Geburtenraten nach einem solchen Trend suchen. Die Arbeitshypothese würde ich also als ausreichend motiviert bezeichnen; gerade solch ein großes Unglück bietet dann die Chance, eine ungewünschte große Statistik aufstellen zu können. Sprunghafte Linien Das Unglück von Tschernobyl geschah im April 1986, es müsste eine solche Verschiebung in der Geschlechterverteilung bei den Geburten also für 86/87 zu finden sein. Daher haben sich Scherb und Voigt die Geburtenraten aus europäischen Ländern (Tschechei, Dänemark, Finnland, Deutschland, Ungarn, Norwegen, Polen und Schweden, also ost- zentral- und nordeuropäische Länder) von 1982 bis 1992 angesehen, und als Größen für die Analyse den Anteil an männlichen Geborenen (liegt um 0.51) und die gemessene radioaktive Strahlenbelastung aus Cs-137-Messungen. In den nach Ländern aufgetrennten Zeitserien der Geburtenrate wurde zunächst ein Trend gesucht: Reproduziert nach Scherb&Voigt 2007 Wie man sieht, wurde zunächst ein linearer Trend an die Daten gefittet (vergessen wir erstmal den Sprung). Dieser zeigt eine leicht abnehmende Tendenz, also eine langfristige Verschiebung zu mehr Mädchengeburten. Ob dieser Trend jedoch "echt" ist, ist schwierig zu sagen. Solch einen Trend an lediglich 10 Jahre zu fitten ist nicht sonderlich aussagekräftig, und erinnert ein wenig an die Bemühungen der Klimawandelleugner, einen Nicht-Erwärmungs-Trend seit 1998 auszumachen. Die Fähigkeit, einen solch kleinen Trend zu messen hängt am Verhältnis Signal zu Rauschen. Und wenn man sich das Rauschen ansieht, also die Sprünge die die Kurve macht, dann würde ich einfach mal sagen dass hier das Rauschen den Trend völlig überdeckt. Ich verstehe hier nicht die Wal der Jahre 1982-1992. Ich würde vermuten, dass es kein großer Zusatzaufwand wäre, eine längere Zeitreihe zu erhalten wenn man schon diese Daten bekommt, und den linearen Trend mal an 20-30 Jahre zu fitten. Leider ist es online nicht ohne weiteres möglich, an diese Zeitreihen zu kommen, vor allem aufgeteilt nach Geschlecht, sonst hätte ich das schnell versucht. Mal sehen, vielleicht besorge ich mir die Reihen noch, oder hat jemand die zufällig? Wäre mal interessant zu sehen, was noch von diesem Trend übrig bleibt. Aber wie auch immer, zentral ist eine andere Sache hier: Dass die gefittete Kurve noch einen Sprung zwischen 1996 und 1987 enthält. Leider ist der Methodenteil sehr dünn und ich weiß nicht genau wie der Sprung berechnet wird, womöglich proportional zur Strahlenbelastung. Verwunderlich ist aber schon, wie man noch einen zusätzlichen Sprung in 1986/7 festsetzt, wenn ein solcher doch eigentlich das ist was man suchen möchte. Entschuldigt mich einen Moment. Schritte nach draußen. Türe schließt.OH MEIN GOTT WAS MACHEN DIE DENN DA???Türöffnen. Schritte. So da bin ich wieder. Wenn man sich die Kurven so anschaut, findet man schon einen Sprung in 1987, vor allem in den osteuropäischen Ländern und Deutschland. Allerdings finden sich ohne weiteres Sprünge, die ebenso groß sind, nach oben oder nach unten. Dass also in 1987 etwas Besonderes passiert sei, lässt sich aus dem Kurvenverlauf nicht vermuten. Diese zusätzliche Information jetzt dort hineinzustecken ist fragwürdig. Hier wäre mein Vorschlag: Man fittet eine Kurve, die in einem Jahr einen Sprung machen darf, nach oben oder unten. Dann fittet man blind: Man gibt nicht das Jahr des Sprungs vor, sondern lässt das mögliche Sprungjahr über den gesamten Zeitraum variieren und schaut, wo ein solcher Fit ein besonders gutes Ergebnis gibt. Würde dabei rauskommen, dass mit einem Sprung in 1987 tatsächlich bessere Fits herauskommen würden als mit einem nur linearen Trend, wäre dies wohl eine Aussage mit ein wenig Kraft. Allerdings ist ja hier der lineare Trend schon fragwürdig, aber das zusätzliche Modell würde noch einen Freiheitsgrad, einen weiteren freien Parameter, einführen und dies müsste in der Bewertung, ob linearer Trend oder Sprungmodell besser passen, berücksichtigt werden. Hier könnte z.B. eine Maßzahl wie das Bayesian Information Criterion (BIC) helfen, die Modelle mit mehr Parametern zusätzlich bestrafen. Die Art, wie hier diese Kurve unkritisch einfach so gefittet werde, finde ich sehr gedankenlos. Im Folgenden werden diese Kurven noch für alle europäischen Länder insgesamt gezeigt (mit 22 Millionen Geburten immerhin eine gute Statistik), und nur für die ostdeutschen Gebiete und Bayern: Reproduziert nach Scherb&Voigt 2007 Ha, da ist der Sprung doch gleich viel deutlicher und sticht gerade für Europa klar heraus! Aber Vorsicht, die y-Achse ist anders skaliert. Statt von 0.508 bis 0.518 geht sie nur noch von 0.512 bis 0.516. Ich erkenne keinen Grund, die Skalierung hier zu verändern, außer dass der Sprung so visuell beeindruckender erscheint. Aber warum ist z.B. Polen in den ersten Plots nicht auch so skaliert? Oder Deutschland? Die Ländergraphen haben eine interne konsistente Skalierung der y-Achse, und ich finde es wäre Aufgabe der Reviewer und des Editors gewesen, zu verlangen, diese in der zweiten Grafik fortzuführen....

SCHERB, H., & VOIGT, K. (2007) Trends in the human sex odds at birth in Europe and the Chernobyl Nuclear Power Plant accident. Reproductive Toxicology, 23(4), 593-599. DOI: 10.1016/j.reprotox.2007.03.008

Symmetrien im Unendlichen

2011-02-23T08:14:00Z

Wie lassen sich Symmetrien im Unendlichen fortsetzen, differenzierbar oder nicht? Diese Frage beantwortet ein Paper in den "Mathematischen Annalen"....

Kloeckner, B. (2009) Symmetric spaces of higher rank do not admit differentiable compactifications. Mathematische Annalen, 347(4), 951-961. DOI: 10.1007/s00208-009-0464-z