Research Blogging - Mathematics - Spanish

Decoración islámica cuasiperiódica con regla y compás.

2012-02-02T12:05:11Z

Torre Azul de Magarheh (Irán) Hace unos meses y con motivo de la concesión del premio Nobel de química a Daniel Shechtman, hablábamos del arte geométrico islámico y cómo los patrones de diseño bidimensionales correspondían a las pautas de los cuasicristales. Esos patrones se habrían formado por teselación con azulejos, de abajo a arriba. Ahora Rima al Ajlouni, de la Tech University de Texas (EE.UU.), afirma haber encontrado ejemplos perfectos de estructuras cuasiperiódicas en la decoración de tres edificios medievales islámicos y demuestra que la construcción de los mismos no se realiza por teselación, apuntando que es necesario tan sólo regla y compás. Los resultados se publican en Acta Crystallographica Section A [1]. Desde que se descubriesen los cuasicristales en los años 80 del siglo XX tanto científicos como especialistas en artes decorativas se habían dado cuenta de la semejanza entre la decoración de algunos lugares de culto islámicos y las estructuras geométricas cuasiperiódicas. Una característica fundamental compartida es que las pautas son diferentes dependiendo del tamaño de la región observada. En 2007 Peter Lu (Harvard) y Paul Steinhardt (Princeton) informaron [2] en Science de que habían encontrado un ejemplo de patrón geométrico del siglo XV en Isfahán (Irán) que representaba una teselación de Penrose casi perfecta. Tal y como explicamos en Arte islámico y cuasicristales, los investigadores concluían que los artesanos probablemente hubiesen creado los patrones usando un conjunto de azulejos de distintas formas, cada uno decorado con líneas que se unían para formar la estructura final. Es decir, que el motivo se construía por leyes locales, con azulejos que se podían dividir y solapar. Ninguno de los métodos propuestos por distintos investigadores ha conseguido explicar, sin embargo, como estos artesanos terminaban proporcionando una armonía general a sus diseños. Madraza al Attarin de Fez (Marruecos) Al Ajlouni afirma haber encontrado tres ejemplos de patrones cuasiperiódicos sin imperfecciones en edificios medievales islámicos. El primer patrón es el conocido como “rueda de carro” y es característicos de la arquitectura selyúcida (un imperio que se extendió desde Turquía a Afganistán). Al Ajlouni encuentra ejemplos en el Santuario de los Imames (Darb-i Imam, 1453), precisamente el edificio que más estudiaron Lu y Steinhardt, y la Mezquita del Viernes (también llamada mezquita jameh, o gran mezquita; alrededor de 1100), ambos en Isfahán. El segundo patrón aparecería en las paredes interiores del patio de la madraza al-Attarin (1323) de Fez (Marruecos, 1323). Finalmente, el tercero, también estudiado por Lu y Steinhardt aparece en la paredes externas de la Torre Azul (Gunbad-i Kabud, 1197) en Maragheh (Irán). La autora muestra en el artículo que los antiguos diseñadores islámicos fueron capaces de resolver los problemas a rangos grandes que origina la cuasiperiodicidad. En los tres ejemplos considerados, Ajlouni reconstruye los patrones y muestra que el tamaño de la figura “semilla” central es proporcional al tamaño del marco general del patrón. No sólo eso, también demuestra que pueden construirse empleando tan sólo regla y compás. "Semilla" y desarrollo del patrón de la Torre Azul de Magarheh Si bien el hallazgo es interesante, lo es más desde el punto de vista matemático, revelando el nivel alcanzado por los artesanos islámicos, que químico o de ciencia de los materiales, como pretende la autora. La estructura de los cuasicristales ya ha sido determinada con gran precisión, experimental y matemáticamente (la cuestión candente es cómo crecen de esta manera, pero este es otro tema). Referencias: [1] Al Ajlouni, R. (2012). The global long-range order of quasi-periodic patterns in Islamic architecture Acta Crystallographica Section A Foundations of Crystallography, 68 (2) DOI: 10.1107/S010876731104774X [2] Lu, P., & Steinhardt, P. (2007). Decagonal and Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture Science, 315 (5815), 1106-1110 DOI: 10.1126/science.1135491...

Al Ajlouni, R. (2012) The global long-range order of quasi-periodic patterns in Islamic architecture. Acta Crystallographica Section A Foundations of Crystallography, 68(2). DOI: 10.1107/S010876731104774X

Lu, P., & Steinhardt, P. (2007) Decagonal and Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture. Science, 315(5815), 1106-1110. DOI: 10.1126/science.1135491

Programación genética, próximamente en tu supermercado.

2012-01-25T06:29:51Z

Yogur de “frutas del bosque”, refresco de “naranja”, champú de “limón”, limpiador de “pino”, hidratante de “aguacate”. El diseño de aromas, los sabores de la comida y la bebida envasada y los olores de los productos de limpieza, cosmética y demás, es un negocio multimillonario. Las grandes compañías internacionales de aromas invierten millones de euros todos los años en investigación y desarrollo, incluyendo una gran cantidad de ensayos con paneles de consumidores. Pero sacar algo en claro de los resultados de los paneles es muy difícil. Las preferencias de los sujetos pueden variar tanto que no aparece ningún patrón evidente. La salida obvia a esta dificultad sería recoger suficientes datos acerca de cada sujeto como para poder filtrar después las inconsistencias. El problema está precisamente en recoger esos datos de forma fiable. Después de oler 40 muestras ni tú sabes qué te gusta o te deja de gustar. Así, los ejecutivos de las empresas se ven tomando decisiones en base a un conjunto de datos pequeño y poco fiable. Una solución a este problema es usar las matemáticas, en concreto modelos matemáticos que compiten entre sí para ajustarse a los datos disponibles y que después pueden combinarse para producir modelos aún más precisos. Puede que te suene al funcionamiento de la evolución de los seres vivos y es que hablamos de programación genética. Un equipo de investigadores encabezado por Kalyan Veeramachaneni, del MIT (EE.UU.), ha abordado el reto de analizar los resultados de un panel de la empresa suiza Givaudan. Los 69 sujetos evaluaron 36 combinaciones diferentes de 7 sabores básicos a los que asignaban una puntuación en función de su atractivo olfativo. Los resultados aparecen publicados en Genetic Programming and Evolvable Machines. Los investigadores generaron al azar para cada sujeto un conjunto de ecuaciones matemáticas que predecía las puntuaciones en función de 7 variables, los sabores. Cada conjunto se evaluó en función de 2 criterios: precisión y simplicidad. Un conjunto que, por ejemplo, predice las preferencias de un sujeto con bastante precisión usando una sola variable (la concentración de mantequilla, por caso) sería mucho más útil que otro que fuese ligeramente más preciso pero que requiriese una manipulación matemática compleja por incluir las 7 variables. El proceso es iterativo: una vez que todos los conjuntos de ecuaciones han sido evaluados, los peores son eliminados; y a los supervivientes se les combina al azar para crear una nueva generación de ecuaciones, que vuelve a ser evaluada. Todo el proceso se repite unas 30 veces, hasta que converge en un conjunto de ecuaciones que se ajustan bien a las preferencias de un solo sujeto. Una vez que las preferencias de cada persona tienen una expresión matemática fiable, es sencillo encontrar pautas. De esta manera los sujetos pueden clasificarse en grupos en función de gustos que tienen una expresión en lógica matemática pero que son difícilmente detectables de otra manera dentro del enjambre de datos. Por ejemplo, hay un grupo de sujetos que muestran una gran predilección por la canela o la nuez moscada, pero no por ambos sabores combinados. Tendría sentido, pues, que la empresa pusiese en el mercado dos productos, uno para los amantes de la canela y otro para los de la nuez moscada, pero cometería un grave error si comercializase uno sabor a canela con toques de nuez moscada como sugeriría un análisis tradicional. Este resultado puede parecer pobre, pero si tenemos en cuenta que para cada una de las 36 combinaciones alguien le dio la nota máxima y otro la mínima, el resultado es espectacular. Como los investigadores no tenían la posibilidad de comprobar con los miembros del panel la validez de sus modelos en nuevos sabores, tuvieron que idear una forma de hacerlo. Con lo que habían aprendido diseñaron un conjunto de ecuaciones que representaba el conjunto de preferencias “reales” de varios sujetos ficticios. Introduciendo entonces las condiciones de contorno que implican los diseños de las pruebas de los paneles de consumidores, demostraron que sus algoritmos podían predecir los resultados. Paradójicamente, lo más interesante para las empresas puede que sea el método de validación de los resultados más que los propios algoritmos: los diseños de las pruebas serían manifiestamente mejorables, por una parte y, por otra, una vez “modelado” un sujeto lo puedes incorporar a una base de datos que, debidamente mantenida y actualizada, te permitiría extrapolar resultados con mucha mayor fiabilidad. Esta entrada es una participación de Experientia docet en la VI Edición del Carnaval de la Tecnología que acoge Scientia y en la Edición 2.X del Carnaval de Matemáticas que organiza Resistencia Numantina. Referencia: Veeramachaneni, K., Vladislavleva, E., & O’Reilly, U. (2012). Knowledge mining sensory evaluation data: genetic programming, statistical techniques, and swarm optimization Genetic Programming and Evolvable Machines DOI: 10.1007/s10710-011-9153-2...

Veeramachaneni, K., Vladislavleva, E., & O’Reilly, U. (2012) Knowledge mining sensory evaluation data: genetic programming, statistical techniques, and swarm optimization. Genetic Programming and Evolvable Machines. DOI: 10.1007/s10710-011-9153-2

La certeza de aparecer en un mapa.

2011-11-25T06:52:03Z

Imagina que coges un mapa del mundo y lo despliegas sobre una mesa. Da igual donde esté la mesa, porque ya esté en Punta del Este, Maracaibo, Houston, Ushuaia, Múnich o Bormujos, en lo alto de un monte o en el fondo del mar, podemos afirmar que el lugar donde esté aparece en el mapa. Diciéndolo un poco más formalmente: siempre habrá un punto del mapa que corresponda exactamente con el lugar físico que representa. ¿Te parece obvio?¿Sí? Pues no lo es; al menos en matemáticas hay que demostrarlo. Esta idea tan aparentemente evidente implica conceptos mucho más complejos que son difíciles de demostrar matemáticamente. Y esto es lo que se acaba de conseguir de forma muy elegante. Pero vamos por partes. Ese punto del mapa que corresponde a la localización donde está el mapa es lo que en matemáticas se llama un punto fijo. Dada una función, un punto fijo será aquel valor de la variable x para el que f(x)= x, es decir, la función toma el mismo valor que la variable. Lo que ha demostrado el equipo encabezado por Uri Bader, del Technion (Israel), es un teorema de la existencia de puntos fijos que la generaliza a todo tipo de mapas, ya sea un plano del metro de Medellín o los mapas de los espacios usados en física cuántica. Dado que el número de mapas posibles es infinito, la prueba tenía que hacer uso de toda el refinamiento de las matemáticas. El resultado aparece publicado en Inventiones mathematicae. En 2008 apareció un artículo de 30 páginas, todas en jerga matemática, que casi llegaba a la prueba. Barry Edward Johnson, que fue el matemático que formuló el teorema en 1964 con Ringrose en un artículo titulado Derivations of operator algebras and discrete group algebras, trabajó en el “problema de la derivación” hasta su muerte en 2002 sin encontrar la prueba. La que ahora presentan Bader et al. apenas ocupa un par de páginas (el artículo completo con referencias tiene 6) y supone un cambio radical a la hora de afrontar el problema. Cuando los matemáticos se han enfrentado al problema de la derivación una de las dificultades mayores para hallar una prueba ha sido la de encontrar todos los puntos fijos. Para visualizarlo mejor, imagina que tu objetivo es calcular el centro de gravedad de cualquier objeto, de manzanas a planetas, de sofás a moléculas, reales o imaginarios. La tarea se hace imposible y por eso esta vía se hacía impracticable. Lo que los investigadores han hecho es un tiro por elevación, en vez de disparar directamente al blanco, usar un mortero, primero subimos y después bajamos: probar el teorema primero para otros espacios paralelos (espacios de Banach L1 y sus análogos no conmutativos) y extaer la prueba del problema de la derivación como corolario. Un resultado contraintuitivo, pero tremendamente elegante que tendrá probablemente sus aplicaciones a largo plazo en física y econometría, donde los puntos fijos suelen aparecer. Esta entrada es una participación de Experientia docet en la Edición 2.8 del Carnavalde matemáticas que alberga Cuanta Ciencia Referencia: Bader, U., Gelander, T., & Monod, N. (2011). A fixed point theorem for L 1 spaces Inventiones mathematicae DOI: 10.1007/s00222-011-0363-2...

Bader, U., Gelander, T., & Monod, N. (2011) A fixed point theorem for L 1 spaces. Inventiones mathematicae. DOI: 10.1007/s00222-011-0363-2

¿Encontrado el origen del lenguaje humano? (parte 2)

2011-05-06T09:37:00Z

Crítica del paper de Atkinson, Q. que dice haber probado que el origen del lenguaje humano fue en el sudoeste de África por medio de una correlación estadística entre distancia del origen presunto y pérdida de diversidad fonémica....

Atkinson, Q. (2011) Phonemic Diversity Supports a Serial Founder Effect Model of Language Expansion from Africa. Science, 332(6027), 346-349. DOI: 10.1126/science.1199295

Ha sido demostrada –estadísticamente– la existencia de un ancestro común universal?

2010-12-17T04:47:42Z

Hace algunos meses escribí sobre un artículo publicado por Douglas Theobald, quien hizo un estudio estadístico sobre la validez de la teoría del Ancestro Común Universal (UCA). Theobald usó 23 proteínas presentes en cuatro representantes de cada uno de los tres dominios de la vida (Arqueas, Bacterias y Eucarias) y con el uso tres pruebas estadísticas muy rigurosas, entre ellas el criterio de información de Akaike (AIC), demostró que la existencia de un UCA era 102680 (1 con 2680 ceros) veces más probable que el modelo de los ancestros múltiples. Sin embargo, T. Yonezawa de la Universidad de Fudan (Shanghái, China) y M. Hasegawa del Instituto de Matemática Estadística de Japón, mandaron una carta a Nature sobre sus apreciaciones acerca del trabajo de Theobald. Los investigadores asiáticos creen que el estudio hecho por Theobald no es lo suficientemente sólido como para desechar la hipótesis de los ancestros múltiples. Ellos usaron dos secuencias genéticas del ADN mitocondrial (cytb y nd2), las cuales no presentan ninguna homología –por no estar relacionados – y por lo tanto no comparten un ancestro común. Sin embargo, al hacer las mismas pruebas estadísticas que Theobald vieron que la hipótesis de que los dos genes compartían un ancestro común fue la aceptada, en base a los valores obtenidos de AIC. El modelo aceptado es aquel que tenga un menor valor de AIC. En este caso es del ancestro común ya que 10216<10271. Sin embargo, los dos genes no están relacionados ni presentan homologías. Yonezawa & Hasegawa creen que los resultados de Theobald no son concluyentes, ya que además no toma en cuenta la posibilidad de evolución convergente debido a la selección natural. Para los no muy conocedores del tema – de manera sencilla – la evolución convergente hace referencia a que dos organismos con líneas evolutivas completamente diferentes y distantes, pueden tener características similares, las cuales evolucionaron de manera paralela e independiente, sin la necesidad de un ancestro común entre ellas. Por ejemplo: El sistema de ecolocalización de los murciélagos se basa en una proteína llamada Prestina que se expresa en las células del pelo externo de sus orejas; este mismo sistema fue desarrollado por los delfines, que también tienen la proteína Prestina con una secuencia similar a la de los murciélagos, a pesar de ser dos especies completamente diferentes y distantes (evolutivamente hablando). La selección natural ha favorecido esta evolución convergente y los genes que codifican a estas Prestinas no tienen un mismo ancestro, sino ancestros independientes. [Current Biology, 20(2), R53-R54 (2010)]. Si Theobald hubiera considerado esto, tal vez la existencia de ancestros múltiples no hubiera podido ser descartada o la probabilidad de que ocurra no hubiera sido tan baja. Pero, Theobald no se queda callado y responde a Yonezawa & Hasegawa. Si bien está de acuerdo con que los modelos filogenéticos actuales no permiten introducir el efecto de la evolución convergente en sus análisis, lo que los investigadores asiáticos dicen sólo se cumplen para algunas proteínas. Por ejemplo, en las 23 proteínas que el usó para su estudio, todas las secuencias tienen una alta tasa de identidad (>55%) entre las especies representantes de los tres dominios. El grado de adaptación convergente necesario para producir miles de secuencias idénticas entre las 23 diferentes proteínas – producto de los múltiples ancestros – no se compara con la limitada convergencia a nivel molecular observada en ellas. Si bien son la selección natural y las condiciones biofísicas del entorno quienes pueden inducir a una correlación entre las secuencias, y no sólo la existencia de un ancestro común, Theobald dice que no necesariamente las proteínas con secuencias de aminoácidos idénticas o plegamientos y formación de estructuras terciarias similares cumplen las mismas funciones específicas. Hay muchos ejemplos de proteínas sin similaridad detectable en sus secuencias o plegamientos que cumplen las mismas funciones enzimáticas. Un claro ejemplo es la misma función que cumplen tres proteínas completamente diferentes: la subtilisina, tripsina y carboxipeptidasa, todas ellas proteasas (rompen enlaces peptídicos). Por otro lado, también hay muchos ejemplos de enzimas que tienen plegamientos y estructuras terciarias similares sin necesidad de tener secuencias idénticas. Con esto Theobald trata de decir que las secuencias requeridas para un determinado plegamiento, estructura terciaria y función es “casi” indiferenciable del azar y que algunas de las similaridades convergentes en las que se basa la hipótesis de los ancestros múltiples podría ser explicado también con el azar. En este último punto, personalmente, no estoy muy de acuerdo, ya que para mí el entorno biofísico y las relaciones químicas con las moléculas vecinas sí pueden influir en la presencia o no de un determinado aminoácido o guiar un determinado plegamiento, aunque este punto de vista reduccionista que tengo puede alejarse de la forma holística como debe verse la biología. En fin, Theobald reconoce que no ha probado todos los parámetros posibles para confrontar estas dos hipótesis y tampoco cree que su artículo es la “última palabra” sobre la existencia o no de un UCA, lo único que el resalta es las pruebas estadísticas sólidas que respaldan la mayor probabilidad de haber existido un UCA que múltiples ancestros. Referencias: Yonezawa, T., & Hasegawa, M. (2010). Was the universal common ancestry proved? Nature, 468 (7326) DOI: 10.1038/nature09482 Theobald, D. (2010). Theobald reply Nature, 468 (7326) DOI: 10.1038/nature09483 BioUnalm...

Yonezawa, T., & Hasegawa, M. (2010) Was the universal common ancestry proved?. Nature, 468(7326). DOI: 10.1038/nature09482

Theobald, D. (2010) Theobald reply. Nature, 468(7326). DOI: 10.1038/nature09483

La dimensión que no puede expresarse como un número entero.

2010-10-22T06:40:40Z

¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? (How Long Is the Coast Line of Britain?) [1] es un artículo publicado en 1967 por Benoît Mandelbrot (1924-2010) en la revista Science que marcó el inicio de una nueva forma de ver el mundo. A primera vista, la pregunta podría contestarse haciendo mediciones en fotografías por satélites o, para mayor precisión, desde un avión que vuele a lo largo de la costa o, para todavía más precisión, andando a lo largo de ella con una cinta métrica. Sin embargo, las respuestas obtenidas por estos métodos sólo serían aproximaciones sucesivas a la longitud de la costa de Gran Bretaña. Como señaló Mandelbrot, la longitud obtenida depende de la resolución de la medición, es decir, del tamaño de la curva más pequeña que se pueda ver en una fotografía o ser medible en el lugar. Como consecuencia la línea de costa no tiene una longitud determinable. Análogamente, tampoco un río tiene una longitud determinable. Si analizamos la curva de la costa o la del cauce del río encontraremos que, si las ampliamos, habrá partes de esas curvas que son idénticas con el todo, o muy cercanos a serlo; con una determinada escala de ampliación, el patrón se repetirá a sí mismo. De forma similar, cuanto más ampliamos la fotografía de una nube, más somos conscientes del apilamiento sin fin de estructuras similares más pequeñas que repiten la forma general de la propia nube [2]. El universo está repleto de formas que se repiten a sí mismas a escalas diferentes dentro del mismo objeto. En la terminología de Mandelbrot, se dice que esos objetos son autosimilares. En el mundo idealizado de las matemáticas, hay figuras bien definidas que son autosimilares y un número infinito de esas figuras pueden generarse por iteración de funciones. Estas figuras tienen propiedades sorprendentes, como que un perímetro sin límites rodee una superficie limitada, o que una superficie sin límites contenga un volumen cero; la explicación está en el hecho de que estas figuras no pertenecen al universo tridimensional que nuestro cerebro de primate percibe. La palabra fractal (creada por Mandelbrot) se creó con la intención de intentar describir una dimensión que no puede expresarse como un número entero; hoy día, sin embargo, “fractal” se suele entender como un conjunto que es autosimilar cuando se amplía. A diferencia de los fractales matemáticos, no existe ningún objeto en la naturaleza que pueda ser ampliado un número infinito de veces y que siga presentando la misma forma en cada detalle en ampliaciones sucesivas; una de las razones es que átomos y moléculas tiene tamaños finitos. A pesar de ello los modelos fractales pueden aportar aproximaciones útiles de la realidad en un número finito de escalas. Aparte del propio Mandelbrot [*], muchos científicos han aplicado los fractales como modelos explicativos de distintos fenómenos naturales que incluyen irregularidades a diferentes escalas (algunos ejemplos: redes [3], cinéticas de reacción química [4], ritmo cardíaco [5], estructura a gran escala del universo [6]). Hoy día los fractales se aplican al estudio de materias tan diversas como la mecánica de fluidos, la economía, la lingüística, la formación de cristales, las redes vasculares de los tejidos biológicos y el crecimiento de la población. Benoît Mandelbrot murió el 14 de octubre. In memoriam. Imagen: Isla del Conjunto de Mandelbrot es una cortesía de Alexis Monnerot-Dumaine. Este artículo es la participación de Experientia docet en el VII Carnaval de Matemáticas que este mes organiza El máquina de Turing.Referencias: [*] Mandelbrot, B.B. (1982). The Fractal Geometry of Nature. En español, La geometría fractal de la naturaleza. Tusquets (1997). [1] Mandelbrot, B. (1967). How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension Science, 156 (3775), 636-638 DOI: 10.1126/science.156.3775.636[2] LOVEJOY, S. (1982). Area-Perimeter Relation for Rain and Cloud Areas Science, 216 (4542), 185-187 DOI: 10.1126/science.216.4542.185[3] ORBACH, R. (1986). Dynamics of Fractal Networks Science, 231 (4740), 814-819 DOI: 10.1126/science.231.4740.814 [4]...

Mandelbrot, B. (1967) How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Science, 156(3775), 636-638. DOI: 10.1126/science.156.3775.636

LOVEJOY, S. (1982) Area-Perimeter Relation for Rain and Cloud Areas. Science, 216(4542), 185-187. DOI: 10.1126/science.216.4542.185

ORBACH, R. (1986) Dynamics of Fractal Networks. Science, 231(4740), 814-819. DOI: 10.1126/science.231.4740.814

Kopelman, R. (1988) Fractal Reaction Kinetics. Science, 241(4873), 1620-1626. DOI: 10.1126/science.241.4873.1620

Ivanov, P., Amaral, L., Goldberger, A., Havlin, S., Rosenblum, M., Struzik, Z., & Stanley, H. (1999) Multifractality in human heartbeat dynamics. Nature, 399(6735), 461-465. DOI: 10.1038/20924

Luo, X., & Schramm, D. (1992) Fractals and Cosmological Large-Scale Structure. Science, 256(5056), 513-515. DOI: 10.1126/science.256.5056.513

Geometría algebraica para encontrar el equilibrio.

2010-06-17T17:39:45Z

Muchas reacciones químicas, de hecho la mayoría, tienen lugar en varios pasos intermedios elementales, y una descripción de la velocidad de reacción del conjunto del proceso implica la necesidad de resolver varias ecuaciones diferenciales de primer orden de forma simultánea. Un sistema de ecuaciones de este tipo sólo se puede resolver sin recurrir a aproximaciones en casos sencillos, hay que tirar de métodos numéricos en el resto de los casos.Una solución podría ser olvidarse de esas etapas elementales , pero si se obvian los pasos intermedios y sólo se consideran reactivos iniciales y productos finales se llegan a resultados que son diferentes de los observados experimentalmente. Consideremos ahora una red de reacciones químicas (RRQ) como la de la imagen, que implica a 7 especies y 14 reacciones químicas. Corresponde a la RRQ de la apoptosis celular inducida por receptor ¿Es viable un modelo matemático de esta RRQ? Muy probablemente sí. ¿Y será resoluble, incluyendo por métodos numéricos? Eso ya es más difícil de responder, pues, en general los métodos de resolución convencionales no son suficientes y hay que recurrir a la artillería pesada. Y eso es lo que ha hecho un equipo de científicos españoles de la Universidad de Navarra y del Hospital Clínico de Barcelona. Iván Martínez Forero, Antonio Peláez López y Pablo Villoslada han publicado en PLoS ONE un artículo en el que presentan un método basado en las técnicas de la geometría algebraica para simplificar los sistemas de ecuaciones de las RRQ, de tal manera que es posible localizar sus estados estacionarios, es decir, sus estados de equilibrio. Para entender dónde entra aquí el álgebra consideremos esta sencillísima cadena de reacciones: A→B→C. La velocidad de transformación de A en B está gobernada por la constante k1, y la de B en C por k2. Por lo tanto el modelo del proceso es así de simple: Esto es un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias (que es resoluble). Pero si nos fijamos, vemos que también es un conjunto de polinomios constituidos por monomios que representan las velocidades de producción y eliminación de las especies químicas. Y si tenemos sistemas de polinomios, tenemos matrices y vectores y anillos y cuerpos, tenemos álgebra en definitiva, y podemos aplicar sus métodos. Sólo hay un inconveniente, en RRQ complejas como la de la apoptosis, los polinomios no siempre son lineales. El sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de una RRQ se puede representar de forma muy sencilla:Donde N es la matriz estequiométrica, x es el vector de concentración y v es el vector de reacción. La matriz estequiométrica es una matriz m x r, donde m es el número de especies químicas y r el número de reacciones, en la que se representa la proporción de las distintas especies que intervienen en las reacciones de la RRQ. El vector de reacción representa lo que ocurre en la reacción. Así, por ejemplo, para A+B → C el vector adopta la forma [-1,-1,1]. Un aspecto importante en el método presentado por los investigadores es la consideración de las relaciones conservadas. Si s es el rango de N entonces el número de relaciones conservadas es m-s. La relación de conservación da lugar a clases de compatibilidad estequiométrica que tienen una gran importancia en el estudio de las soluciones del equilibrio de las RRQ. Si queremos hallar los puntos de equilibrio de la RRQ lo único que hemos de hacer, por tanto, es resolver la ecuación vectorial Es decir, nos enfrentamos a la necesidad de resolver varias variables de un sistema polinómico no lineal. El método se basa en definir un nuevo sistema de ecuaciones que incorpore las relaciones de conservación a una matriz estequiométrica reducida a su forma escalonada, es decir, se basa en la estructura misma de la red sin necesidad de simularla, ni de introducir parámetros. Entonces se calcula la base de Gröbner de este nuevo sistema usando un orden de eliminación. Esto da como resultado un conjunto de polinomios con forma escalonada que identifica la región de equilibrio. La gran limitación de este método es la capacidad de cálculo necesaria para obtener la base de Gröbner, lo que se puede resolver parcialmente dividiendo la RRQ en subredes. La geometría algebraica podría, entonces, predecir dónde aparecerá un determinado comportamiento dinámico en una RRQ, esto es, nos ayudará a encontrar el equilibrio.Referencia: Martínez-Forero, I., Peláez-López, A., & Villoslada, P. (2010). Steady State Detection of Chemical Reaction Networks Using a Simplified Analytical Method PLoS ONE, 5 (6) DOI:...

Martínez-Forero, I., Peláez-López, A., & Villoslada, P. (2010) Steady State Detection of Chemical Reaction Networks Using a Simplified Analytical Method. PLoS ONE, 5(6). DOI: 10.1371/journal.pone.0010823

Todas las formas de vida descienden de un mismo ancestro común?

2010-05-17T12:39:49Z

Según Darwin y su teoría de la evolución, todos los seres vivos descendemos de una forma de vida primordial. Es a partir de esto que nace la teoría del Ancestro Común Universal (UCA), la cual propone que todos los organismos vivos estamos genéticamente relacionados, siendo la principal premisa de la teoría moderna de la evolución. Las evidencias para los ancestros comunes son: la relación entre la filogenia y la biogeografía, la correspondencia entre la filogenia y los registros fósiles, la existencia de numerosos fósiles transicionales, la marcada similaridad entre las estructuras biológicas, la clasificación jerárquica de las características morfológicas y la congruencia entre las filogenias morfológicas y moleculares. Sin embargo, son dos las principales evidencias para un ancestro común universal: la similaridad en las biomoléculas que conforman a todos los organismos y la ‘casi’ universalidad del código genético. Douglas Theobald publicó el primer estudio con una base estadística sumamente sólida que avala la teoría del Ancestro Común Universal. Usando una serie de modelos computacionales y métodos estadísticos comparó las probabilidades de que las tres principales formas de vida: Bacteria, Arquea y Eucaria, descendieron de un mismo ancestro o de diferentes ancestros. Pero, ¿cuales fueron los datos que tomó? Todas las especies de los tres dominios comparten 23 proteínas universales, todas ellas relacionadas con la replicación, transcripción y traducción del ADN. Theobald tomó a cuatro representantes de cada dominio: Methanococcus jannaschii, Archaeoglobus fulgidus, Pyrococcus furiosus y Thermoplasma acidophilum (Arquea: A); Drosophila melanogaster, Homo sapiens, Caenorhabditis elegans y Saccharomyces cerevisiae (Eucaria: E) y Escherichia coli, Bacillus subtilis, Mycobacterium tuberculosis y Porphyromonas gingivali (Bacteria: B); y comparó las secuencias de estas 23 proteínas encontrando que eran más similares de lo que se podría esperar como producto del azar. Sin embargo, que sean similares no necesariamente quiere decir que compartan un ancestro común ya que las similaridades podrían ser el resultado de otros factores como la evolución convergente debido a la selección natural o las mutaciones. Theobald, para demostrar su hipótesis, usó las tres pruebas estadísticas más rigurosas que existen y pueden ser aplicadas para este estudio: La razón de verosimilitud logarítmica (log likelihood ratio), el criterio de información de Akaike (Akaike criterion information) y el factor de Bayes logarítmico (log Bayes factor). Comparó las probabilidades de que los tres dominios compartían un ancestro común (ABE), combinaciones de dos dominios compartan un ancestro común y el otro no (AB+E, AE+B, EB+A) o que ninguno de los dominios compartan un ancestro común (A+B+E). ¿Cual creen que fue el resultado? El modelo del ancestro común universal (UCA) fue 102680 (1 con 2680 ceros) veces más probable que el modelo de los ancestros múltiples. Esperen aquí debe haber un error, ¡¡¡¡10 a la 2680!!!!… uhmmm, ¿no será la referencia de la cita?… no, ese es el inconmensurable valor; o sea, la probabilidad de que los tres dominios evolucionaron de tres diferentes ancestros es de 1 en 102680. Y si a eso le añadimos que el hombre evolucionara de un ancestro diferente, ¿cual sería la probabilidad que esto ocurra?… 1 en 10 a la ~6000 (1:106000), y según la Ley de Borel, una probabilidad de 1 en 10 a la 50 (1:1050) significa: IMPOSIBLE… (PAM!!, tomen eso creacionistas). Aunque ellos dicen que la probabilidad de que un organismo se forme de la nada por puro azar es de 10 a la 340000000 (1:10340000000), jajaja… esta comprensión es totalmente errónea, ya que esta probabilidad es para formar un organismo vivo espontáneamente de “un sólo tiro”, pero la evolución no ocurre así, de un tiro, la evolución es un proceso gradual de lo más simple a lo más complejo de manera continua. Pero, el modelo del ancestro común universal explicaría los procesos de transferencia horizontal de genes y la endosimbiosis —que pudo haber dado origen a los eucariotas—, los cuales no siguen un patrón de árbol sino más de una tela de araña; aún así este modelo se ajustó muy bien y su probabilidad fue de 10 a la 3489 (1:103489) veces más probable que el modelo de los ancestros múltiples. Pero algo que el estudio de Theobald no pudo determinar es si es que sólo existió una única forma de ancestro común o varias formas que fueron extinguiéndose hasta quedar con sólo una, siendo esta la teoría que comparto con muchos investigadores. Me explico: Decir un Ancestro Común Universal (UCA), no nos referimos a un único individuo; el UCA corresponde a una población de organismos primordiales, y como toda población tienen sus diferencias genéticas (variabilidad); pero lo que yo creo es que existieron muchas poblaciones de UCAs diferentes, que vivieron en lugares y tiempos diferentes, los cuales evolucionaron paralelamente, pero al final sólo uno tuvo la capacidad de seguir evolucionando y formando todas las especies de seres vivos que hoy conocemos; mientras que los otros, se fueron extinguiendo a lo largo del tiempo. Nosotros y todos los organismos que viven actualmente somos el resultado de ese UCA, que el modelo de Theobald trata de explicar, pero que no puede determinar la existencia o no de otros UCAs que nunca llegaron a evolucionar. De ser cierta la hipótesis de los múltiples UCAs, abriría la posibilidad a la existencia de diferentes formas de vida en el universo, tal vez un UCA que no llegó a evolucionar en la Tierra si lo pudo hacer en otro lugar del universo. Es por esta razón que yo creo fehacientemente la existencia de diferentes formas de vida, muchas de ellas exóticas, que diseminadas por todo el universo. Suena a ciencia ficción mi teoría, pero, tiene todas las chances de ser posible ya que vivimos en un universo tan grande que existe la posibilidades para todo, tal vez un día lo demuestre y gane mi primer premio Nobel, quien sabe, de repente es una probabilidad de 1 en 10 a la 10000000000, pero hay una probabilidad… Y, además, una bonita lección de este artículo es que no se necesita de grandes cantidades de dinero para realizar un estudio y publicarlo en Nature, solo una computadora, internet, algunos programas estadísticos y una gran quemada de neuronas. Referencia: Theobald, D. (2010). A formal test of the theory of universal common ancestry Nature, 465 (7295), 219-222 DOI: 10.1038/nature09014 BioUnalm...

Theobald, D. (2010) A formal test of the theory of universal common ancestry. Nature, 465(7295), 219-222. DOI: 10.1038/nature09014

El amor no es suficiente: las matemáticas de las relaciones sentimentales.

2010-05-11T09:14:57Z

En un artículo publicado en PloS ONE, José Manuel Rey, de la Universidad Complutense de Madrid (España), propone un modelo matemático que explica, como una consecuencia mecanicista de la segunda ley de la termodinámica de las relaciones sentimentales, la aparente paradoja de que una unión entre personas semejantes cuidadosamente planeada para que dure para siempre termine probablemente en ruptura. El enamoramiento es un estado de enajenación mental transitorio con una base bioquímica. Sin embargo, la decisión de mantener una relación sentimental con alguien de quien te has enamorado debería ser una decisión mucho más racional. En general, la gente se embarca en este tipo de relaciones que implican un compromiso, muchas veces en forma de matrimonio, tras una sesuda consideración Y, sin embargo, las tasas de ruptura son increíblemente altas: existe, diríamos, un fracaso en la implementación del programa vital acordado. Esta es la “paradoja del fracaso”: el hecho de que ambos miembros de la pareja han planeado una relación duradera y se comprometen a trabajar para ella y la existencia de unas altas tasas de ruptura. Rey aborda en el artículo una aproximación matemática al problema, centrándose no en el análisis típico de los fallos en la relación, sino tomando la pareja como una unidad y basando su dinámica sentimental en el deseo de ser felices juntos para siempre. Lo que propone es un modelo matemático basado en la teoría del control óptimo para una pareja homógama (los miembros de la pareja se considera que poseen rasgos socioeconómicos semejantes) que se plantea una relación a largo plazo. La teoría del control óptimo, una extensión del cálculo de variaciones, es un método de optimización matemática para deducir políticas de control. Un control óptimo adopta la forma de un conjunto de ecuaciones diferenciales que definen los valores de las variables de control que minimizan un coste, lo que se llama una política de control. Rey define como variables dos funciones dependientes del tiempo: x(t), que representa el estado de la relación en el tiempo t, la sensación de que “la cosa va bien”, y c(t) , que es el esfuerzo hecho para mantener la relación (ésta es la variable de control). En la definición de c(t) Rey asume algo importante, que es continua. Y teniendo en cuenta que incluye cualquier acto diario que sirva para reforzar la relación (hacer preguntas, la escucha activa, hacer planes juntos, etc.), la continuidad de la función a lo mejor no puede asumirse tan alegremente para todo el rango de t. Rey establece en su modelo un sistema de dos ecuaciones diferenciales: la segunda ley de la termodinámica de las relaciones sentimentales, que afirma que una relación sentimental se deteriorará a menos que se aporte “energía” al sistema, y la ley de variación del esfuerzo óptimo, que no es más que la expresión del esfuerzo óptimo en el tiempo t Con las premisas anteriores se alcanzan dos conclusiones matemáticas fundamentales. La primera es que existe un punto de equilibrio (equilibrio sentimental) sensación-esfuerzo (feeling-effort), E, y éste es único. La segunda, que existe una única política de esfuerzo (de la variable de control que hablábamos más arriba) que lleva la sensación inicial x0 al equilibrio único E. Traducido significa que las relaciones a largo plazo con éxito existen y corresponden a las rutas de equilibrio de la dinámica de la relación. El nivel de esfuerzo que mantiene funcionando una relación feliz es siempre mayor que el nivel de esfuerzo que habría sido elegido óptimamente a priori (si solo contase el presente), es decir, si piensas que te esfuerzas es que debes esforzarte más. De aquí se deduce que una relación es viable si la diferencia entre estos dos esfuerzos, el effort gap, es tolerable. Y la principal conclusión, las relaciones sentimentales son intrínsecamente inestables: el amor no es suficiente, es necesario esforzarse.Referencia: Rey, J. (2010). A Mathematical Model of Sentimental Dynamics Accounting for Marital Dissolution PLoS ONE, 5 (3) DOI: 10.1371/journal.pone.0009881Este artículo es la participación de Experientia docet en el IV Carnaval de Matemáticas...

Rey, J. (2010) A Mathematical Model of Sentimental Dynamics Accounting for Marital Dissolution. PLoS ONE, 5(3). DOI: 10.1371/journal.pone.0009881

El genoma humano en 3D

2009-10-11T20:46:15Z

Los libros nos muestran la conformación estructural de nuestro genoma dividido en 23 pares de cromosomas, pero, en realidad, esta conformación sólo se da en un breve momento del ciclo celular, el resto del tiempo, el ADN está todo revuelto dentro del núcleo de la célula, altamente empaquetado, para que los casi dos metros que mide nuestro genoma, puedan caber en un espacio tan pequeño.

Pero, como hacen los genes para poder ser expresados en toda esta maraña altamente “desordenada”. La verdad es que, si bien parece que la organización del genoma es muy desordenada, no lo es. Por esta razón, conocer la organización de nuestros cromosomas en el núcleo es crítico para determinar las interacciones que hay entre los distintos genes ubicados en los distintos cromosomas, y los mecanismos de regulación de la expresión genética.

Lieberman-Aiden et. al desarrollaron un método para determinar que locus estaban espacialmente juntos en la configuración tridimensional de nuestro genoma. El método se llama Hi-C que consiste, básicamente, en ligar los locus cercanos, cortarlos, purificarlos y secuenciarlos paralelamente.

Los genes cercanos se unen usando formaldehído, el cual actúa a manera de goma, luego se cortan usando enzimas de restricción. Este corte deja pares de genes unidos y portando extremos pegajosos producto de la enzima de restricción, los cuales son usados para unirlos a sondas marcadas con biotina. Luego, los extremos son vueltos a unir en medios extremadamente diluidos, formándose una especie de anillos y portando un sitio de corte, justo en el sitio marcado con biotina, para que otra enzima de restricción abra la cadena. Luego estas regiones marcadas son purificadas y capturadas usando perlas con estreptavidina para luego ser secuenciados paralelamente y comparados con secuencias ya conocidas para determinar a que gen y cromosoma corresponden.

Luego, usando los datos de que locus están unidos espacialmente y a que cromosomas corresponden, se hizo una matriz de emparejamiento, de 1Mb de resolución, con ayuda de un programa informático. Se encontró una clara relación entre las distancias genéticas entre los locus (Pb de distancia entre un locus y otro dentro de un mismo cromosoma) con la probabilidad de estar juntos tridimensionalmente. A mayor distancia, menor probabilidad.

Las matrices de contacto fueron reproducibles, tanto con la misma enzima de restricción (HindIII) como con otra enzima (NcoII). Se observa, claramente, que los locus más cercanos están más en contacto que aquellos que están más distantes, tomando como ejemplo el cromosoma 14.

Las probabilidades de contacto de locus intracromosómicos son mayores que los contactos intercromosómicos, aún así, la distancia entre los locus sea de 200Mb. En cuanto a los cromosomas más pequeños pero ricos en genes, (cromosomas 16, 17, 18, 19, 20, 21 y 22) interactúan más veces entre ellos, que con los más grandes y con menor densidad génica.

Número de contactos intercromosomales cuantificados por pares (Observados/Esperados; 0.5 a 2.0). Los puntos rojos quiere decir que hay más contactos observados que esperados y los puntos azules que hay menos observados que esperados.

Se observó que las matrices de contacto adquirían un patrón cuadriculado y se distinguía claramente unos compartimientos. Gracias a esto se pudo hacer una aproximación a la forma de organización del genoma. Esta forma es increíble y extremadamente compleja, no se forma ningún tipo de nudo, no se entrelaza en ningún momento, como si fuera una pasta muy densa donde podemos coger uno de los fideos y estirarlos. Los fideos nunca se harán un nudo o entrelazarán con otros fideos. En términos matemáticos, la forma tridimensional del genoma es similar a la curva de Hilbert pero en tres dimensiones. El genoma se organiza de manera continua, sin entrelazarse o formarse nudos, lo que permite plegar y desplegar cualquier región del genoma de forma sencilla.

Arquitectura del genoma en tres escalas. Todas tienen el mismo patrón, pero uno dentro del otro (fractal). El primer globulo fractal, de unas cuantas Mb, pasa a formar monómeros para una segunda forma globular fractal, esta vez a nivel cromosómico, y esta, a su vez, forma monómeros de una tercera forma globular fractal, a nivel genómico, formando la estructura tridimensional del genoma.

Esta forma es solo un modelo, pero que puede responder muchas de las preguntas, sobre todo a como se expresan los genes si se encuentran altamente empaquetados. Este modelo permite que los genes se desplieguen y plieguen sin problemas ya que nunca se enredarán o se formarán nudos. Además, permite que los locus que están cerca tridimensionalmente puedan agruparse en sectores espaciales, las regiones azules se encuentran más distantes y las regiones rojas más cercanas. Sin dudas, este descubrimiento será de mucha importancia para entender como se regulan los genes, como interactúan con los potenciadores, silenciadores, componentes epigenéticos, factores de transcripción, etc.

Lieberman-Aiden, E., van Berkum, N., Williams, L., Imakaev, M., Ragoczy, T., Telling, A., Amit, I., Lajoie, B., Sabo, P., Dorschner, M., Sandstrom, R., Bernstein, B., Bender, M., Groudine, M., Gnirke, A., Stamatoyannopoulos, J., Mirny, L., Lander, E., & Dekker, J. (2009). Comprehensive Mapping of Long-Range Interactions Reveals Folding Principles of the Human Genome Science, 326 (5950), 289-293 DOI:

Lieberman-Aiden, E., van Berkum, N., Williams, L., Imakaev, M., Ragoczy, T., Telling, A., Amit, I., Lajoie, B., Sabo, P., Dorschner, M.... (2009) Comprehensive Mapping of Long-Range Interactions Reveals Folding Principles of the Human Genome. Science, 326(5950), 289-293. DOI: 10.1126/science.1181369