Rumah Belajar Andre [RBA]

PENCERMINAN ATAU REFLEKSI

2021-10-18T08:13:00.001-07:00

Halo sahabat belajar, salam cerdas...

Nah kali ini kita akan mempelajari materi kelas IX salah satu transformasi geometri yaitu pencerminan. Berikut ini adalah salah satu ilustrasi pencerminan.

Di dalam matematika, suatu titik bisa dicerminkan terhadap sumbu-x, sumbu-y atau suatu garis. Nah berikut ini adalah kumpulan dari rumus-rumus pencerminan.

dan untuk contohnya bisa kalian lihat di bawah ini.

UTS MATEMATIKA KELAS IX KURIKULUM 2013 SEMESTER 1 TAPEL 2020/2021

2021-10-06T07:57:00.002-07:00

Berikut merupakan soal UTS Matematika kelas IX kurikulum 2013 semester 1 dengan materi Bilangan Berpangkat, Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat.

SOAL PEMANTAPAN KELAS IX

2021-05-01T06:28:00.004-07:00

UTS MATEMATIKA SMP KELAS IX SEMESTER 2

2021-03-26T08:03:00.002-07:00

TEOREMA L'HOSPITAL

2021-03-22T06:44:00.002-07:00

Teorema L'Hospital merupakan cara alternatif untuk menyelesaikan masalah limit bentuk pecahan. Adapun syaratnya adalah

1. Limit yang kita kerjakan berupa limit pecahan $\left [\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} \right ]$

Contohnya: $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-8}{x-2}$

2. Hasil limit jika kita gunakan dengan cara substitusi hasilnya $\left [\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(a)}{g(a)}=\frac{0}{0} \right ]$

Contohnya: $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-8}{x-2}=\frac{2^3-8}{2-2}=\frac{0}{0}$

3. Hasil limit jika kita gunakan dengan cara substitusi hasilnya $\left [\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(c)}{g(c)}=\frac{\pm \infty}{\pm \infty} \right ]$

Teorema L'Hospital

Misalkan $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=\lim_{x\rightarrow c}g(x)=0$ . Maka $\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f''(x)}{g''(x)}=...=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f^n(x)}{g^n(x)}$

Catatan: $f'(x)$ merupakan turunan pertama dari $f(x)$, $f''(x)$ merupakan turunan kedua dari $f(x)$ dan seterusnya

Contoh:

1. Tentukan nilai dari $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+3x-10}{x^2+4x-12}=...$

Pembahasan

Jika kita menggunakan metode substitusi maka $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+3x-10}{x^2+4x-12}=\frac{2^2+3.2-10}{2^2+4.2-12}=\frac{0}{0}$. Karena hasilnya $\frac{0}{0}$ memenuhi syarat penggunaan Teorema L'Hospital.

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+3x-10}{x^2+4x-12}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x+3}{2x+4}=\frac{2x+3}{2x+4}=\frac{2.2+3}{2.2+4}=\frac{7}{8}$

2. Tentukan nilai dari $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=...$

Pembahasan

Dengan menggunakan metode substitusi maka diperoleh $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\frac{3^2-9}{3^2-3-6}=\frac{0}{0}$. Karena hasilnya $\frac{0}{0}$ maka tidak bisa digunakan metode substitusi. Jadi dalam kasus ini kita bisa gunakan Teorema L'Hospital.

$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2.3}{2.3-1}=\frac{6}{5}$

SOAL MATEMATIKA MATERI BANGUN RUANG SISI LENGKUNG

2021-03-12T06:20:00.003-08:00

Rumus Lengkap Turunan Trigonometri

2021-02-24T16:05:00.003-08:00

Rumus turunan fungsi trigonometri

$y'$ merupakan turunan pertama dari $y$, maka

$\bigstar\ y=sin\ x \Rightarrow y'=cos\ x$

$\bigstar\ y=cos\ x \Rightarrow y'=-sin\ x$

$\bigstar\ y=tan\ x \Rightarrow y'=sec^2\ x$

$\bigstar\ y=cotan\ x \Rightarrow y'=-cosec^2\ x$

$\bigstar\ y=sec\ x \Rightarrow y'=sec\ x.tan\ x$

$\bigstar\ y=cosec\ x \Rightarrow y'=-cosec\ x.cot\ x$

Perluasan rumus turunan fungsi trigonometri

Misalkan $y=sin\ (ax+b)$, maka tentukan turunannya

Penjelasan: Untuk kasus ini kita akan menggunakan turunan berantai, dimana jika $y=sin\ u$ maka $y'=(cos\ u).(u')$.

Misalkan $u=ax+b \Rightarrow u'=a$, dimana $u'$ merupakan turunan dari $u$. Maka $y=sin\ (ax+b)\Rightarrow y=sin\ u \Rightarrow y'=(cos\ u).(u')=cos\ (ax+b).a=a.cos\ (ax+b)$

Jadi $y=sin\ (ax+b)=a.cos\ (ax+b)$

Berdasarkan penjelasan di atas, maka dapat dirangkum sebagai berikut:

$\bigstar\ y=sin\ (ax+b) \Rightarrow y'=a.cos\ (ax+b)$

$\bigstar\ y=cos\ (ax+b) \Rightarrow y'=-a.sin\ (ax+b)$

$\bigstar\ y=tan\ (ax+b) \Rightarrow y'=a.sec^2\ (ax+b)$

$\bigstar\ y=cotan\ (ax+b) \Rightarrow y'=-acosec^2\ (ax+b)$

$\bigstar\ y=sec\ (ax+b) \Rightarrow y'=a.sec\ (ax+b).tan\ (ax+b)$

$\bigstar\ y=cosec\ (ax+b) \Rightarrow y'=-a.cosec\ (ax+b).cot\ (ax+b)$

Contoh soal:

1. Tentukan turunan dari $y=2cos\ x$

Pembahasan: Ingat kembali bahwa $y=kf(x) \Rightarrow y'=kf'(x)$

Jadi: $y=2cos\ x \Rightarrow y'=2(-sin\ x)=-2sin\ x$

2. Tentukan turunan dari $y=tan\ (2\theta-3)$

Pembahasan: Misalkan $u=(2\theta-3) \Leftrightarrow u'=2$

Jadi: $y=tan\ u$

$y'=u'.sec^2\ u$

$y'=2.sec^2\ (2\theta-3)$

TRANSFORMASI [Putaran/Rotasi]

2021-02-10T06:16:00.005-08:00

Rotasi atau perputaran adalah suatu perubahan kedudukan atau posisi objek dengan cara diputar lewat suatu pusat dan sudut tertentu. Untuk rumus rotasi bisa dilihat di bawah ini.

❤ Matriks transformasi rotasi dengan pusat $(0,0)$ dengan sudut putar $\alpha$

$R_{[0,\alpha]}=\begin{pmatrix}cos\ \alpha & -sin\ \alpha \\ sin\ \alpha& cos\ \alpha \end{pmatrix}$

Misalkan titik $(x,y)$ dirotasikan dengan pusat $(0,0)$ dengan sudut putar $\alpha$ akan menghasilan titik $(x',y')$ dimana $\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\ \alpha & -sin\ \alpha \\ sin\ \alpha& cos\ \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$

❤ Matriks transformasi rotasi dengan pusat $(a,b)$ dengan sudut putar $\alpha$

Jika titik $(x,y)$ dirotasikan dengan pusat $(a,b)$ dengan sudut putar $\alpha$ akan menghasilan titik $(x',y')$ dimana $\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\ \alpha & -sin\ \alpha \\ sin\ \alpha& cos\ \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b \end{pmatrix}$

❤ Beberapa bentuk perubahan langsung pada rotasi dengan pusat $(0,0)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),90^o]}}(-y,x)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),180^o]}}(-x,-y)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),270^o]}}(y,-x)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),-90^o]}}(y,-x)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),-270^o]}}(-y,x)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),-180^o]}}(-x,-y)$

PENTING

${\alpha}^0$ berlawanan arah jarum jam artinya sudutnya ${\alpha}^0$

${\alpha}^0$ searah jarum jam artinya sudutnya $-{\alpha}^0$

Contoh Soal

1. Titik $B(5,-1)$ dirotasikan terhadap titik $P(2,3)$ sejauh $90^0$ searah putaran jarum jam. Tentukan bayangan titik $B$ tersebut.

Pembahasan

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\ \alpha & -sin\ \alpha \\ sin\ \alpha& cos\ \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\ (-90^0) & -sin\ (-90^0) \\ sin\ (-90^0)& cos\ (-90^0) \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5-2\\-1-3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\ (90^0) & sin\ (90^0) \\ -sin\ (90^0)& cos\ (90^0) \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\-4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1& 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\-4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\0 \end{pmatrix}$

Jadi koordinat bayangan titik $B(5,-1)$ dirotasikan terhadap titik $P(2,3)$ sejauh $90^0$ searah putaran jarum jam adalah $B'(2,0)$

2. Persamaan bayangan kurva $y=x^2-2x-3$ oleh rotasi $[0,180^0]$ adalah ...

Pembahasan

Rotasi $[0,180^0]$ maksudnya rotasi dengan pusat $(0,0)$ dengan sudut putar sejauh $180^0$ berlawanan arah dengan jarum jam. Matriks rotasinya adalah $R_{[0,180^0]}=\begin{pmatrix}cos\ 180^0 & -sin\ 180^0 \\ sin\ 180^0& cos\ 180^0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & -0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}$.

Misalkan titik yang kita ambil di kurva $y=x^2-2x-3$ adalah $(x,y)$, maka titik $(x',y')$ adalah hasil rotasinya. Maka:

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & -(0) \\ 0& -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x\\-y \end{pmatrix}$

Jadi $x'=-x \Leftrightarrow x=-x' $ dan $y'=-y \Leftrightarrow y=-y' $, substitusi ke persamaan kurva

$y=x^2-2x-3$

$\Leftrightarrow -y'=(-x')^2-2(-x')-3$

$\Leftrightarrow -y'=(x')^2+2x'-3$

$\Leftrightarrow y'=-(x')^2-2x'+3$

hilangkan tanda aksennya, maka

$y'=x^2-2x+3$

Inilah hasil rotasi kurva $y=x^2-2x-3$ oleh rotasi $[0,180^0]$

Contoh Soal Mean, Median, Modus Data Bekelompok

2020-12-19T05:56:00.000-08:00

Perhatikan data berat badan siswa pada tabel di bawah.

Tentukan mean, median dan modus dari data di atas.
1. Mean
❤ Cara Pertama. Rumus → $\bar{x}=\frac{\sum x_if_i}{\sum f_i}$
Nilai tengah dicari melalui $\frac{1}{2}$ dari batas bawah + batas atas.
Nilai tengah kelas ke-1 $=\frac{1}{2}(41+45)=43$
Nilai tengah kelas ke-2 $=\frac{1}{2}(46+50)=48$
Nilai tengah kelas ke-3 $=\frac{1}{2}(51+55)=53$, dst
Jika dibuatkan dalam tabel akan seperti di bawah ini.

Maka: $\bar{x}=\frac{\sum x_if_i}{\sum f_i}=\frac{2970}{46}=59,4$

❤ Cara Kedua. Rumus → $\bar{x}=\bar{x_s}+\frac{\sum f_id_i}{\sum f_i}$

Misalkan rata-rata sementara $(\bar{x_s}=58)$. Ini adalah nilai tengah dari interval yang berada di tengah. Kalau memilih nilai rata-rata sementara yang lain boleh saja asalkan berupa nilai tengah pada interval yang disediakan. Jadi dapat dibuat tabel seperti di bawah ini.

Maka: $\bar{x}=\bar{x_s}+\frac{\sum f_id_i}{\sum f_i}=58+\frac{70}{50}=58+1,4=59,4$

❤ Cara Ketiga. Rumus → $\bar{x}=\bar{x_s}+l\frac{\sum f_ic_i}{\sum f_i}$

Rata-rata sementara tetap kita pilih $(\bar{x_s}=58)$. Tepi atas kelas pertama adalah $=45+0.5=45,5$. Tepi bawah kelas pertama adalah $=41-0,4=40,5$. Panjang kelas $(l)$ adalah $45,5-40,5=5$. Panjang kelas sama untuk setiap interval yaitu (5).

Maka: $\bar{x}=\bar{x_s}+l\frac{\sum f_ic_i}{\sum f_i}=58+5\left ( \frac{14}{50} \right )=58+1,4=59,4$.

2. Modus
Rumus → $M_o=TB_{M_o}+l\left ( \frac{d_1}{d_1+d_2} \right )$
Lihat tabel di bawah ini.

Yang isi kotak merah itu merupakan kelas modus, karena pada kelas tersebut memiliki frekwensi paling banyak yaitu 15.➤ $l=5$
➤ $d_1=15-6=9$
➤ $d_2=15-11=4$
➤ $TB_{M_o}=56-0,5=55,5$
Maka: $M_o=TB_{M_o}+l\left ( \frac{d_1}{d_1+d_2} \right )=55,5+5\left ( \frac{9}{9+4} \right )=55,5+3,46=58,96$

3. Median
Kelas median $=\frac{2}{4}N=\frac{2}{4}.50=25$. Ini dihitung dari frekwensi komulatif, data ke 25 itu berada di kelas mana.

Untuk mencari median lihat tabel berikut agar lebih jelas.

Maka: $Q_2=TB_2+l\left ( \frac{\frac{2}{4}N-f_{K_2}}{f_2} \right )=55,5
+5\left ( \frac{\frac{2}{4}50-13}{15} \right )=55,5+\frac{(25-13)}{3}=59,5$.
Untuk mencari kuartil 1/$Q_1$ dan kuartil 3/$Q_3$ caranya sama. Kelas $Q_1$ dan $Q_3$ dapat dicari dengan rumus $\frac{i}{4}N$, dengan (i) adalah menyatakan kuartil keberapa.

Ukuran Pemusatan Data Berkelompok

2020-07-09T05:24:00.000-07:00

Beberapa istilah dalam pemusatan data berkelompok yang perlu diketahui:
a. Kelas adalah kelompok-kelompok data yang berbentuk $a-b$
b. Batas kelas adalah nilai-nilai yang terdapat pada suatu kelas. Nilai ujung bawah = batas bawah dan nilai ujung atas = batas atas.
c. Tepi kelas.
⧫ Tepi atas kelas atau batas atas nyata adalah batas atas di tambah 0,5 [Jika data di catat dalam ketelitian satuan]
⧫ Tepi bawah kelas atau batas bawah nyata adalah batas bawah dikurangi 0,5 [jika data dicatat dengan ketelitian satuan]
d. Panjang kelas = tepi atas - tepi bawah
e. Titik tengah kelas = $\frac{1}{2}$ [tepi atas-tepi bawah]
f. Frekwensi adalah banyak data pada setiap kelas.

RATA-RATA/MEAN [$\bar{x}$]

Cara 1: Rumus → $\bar{x}=\frac{\sum x_if_i}{\sum f_i}$

Keterangan :
⧫ $\bar{x}$ adalah nilai rata-rata atau mean
⧫ $x_i$ adalah nilai tengah masing-masing interval. Contoh $x_3$ maksudnya adalah nilai tengah pada interval ke-3
⧫ $f_i$ adalah frekwensi pada masing-masing interval

Cara 2: Rumus → $\bar{x}=\bar{x_s}+\frac{\sum f_id_i}{\sum f_i}$

Keterangan :
⧫ $\bar{x_s}$ adalah nilai rata-rata sementara. Umumnya dipilih nilai tengah pada interval yang berada di tengah.
⧫ $d_i=x_1-\bar{x_s}$

Cara 3: Rumus → $\bar{x}=\bar{x_s}+l\frac{\sum f_ic_i}{\sum f_i}$

Keterangan:
⧫ $l$ adalah panjang kelas
⧫ $c_i$ adalah koding.

MODUS [$M_o$]

Rumus → $M_o=TB_{M_o}+l\left ( \frac{d_1}{d_1+d_2} \right )$

Keterangan:
⧫ $TB_{M_o}$ adalah Tepi bawah kelas modus
⧫ $d_1$ adalah selisih frekwensi kelas modus dan frekwensi kelas sebelumnya
⧫ $d_2$ adalah selisih frekwensi kelas modus dan frekwensi kelas sesudahnya
⧫ $l$ adalah panjang kelas

MEDIAN DAN KUARTIL [$Q_i$]

Rumus → $Q_i=TB_i+l\left ( \frac{\frac{i}{4}N-f_{K_i}}{f_i} \right )$
Median = Kuartil 2 atau $(Q_2)$

Keterangan :
$Q_i$ adalah tepi kelas bawah kuartil
$f_{K_i}$ adalah frekwensi komulatif sebelum kelas $Q_i$
$f_i$ adalah frekwensi kelas $Q_i$
$N=\sum f$

Pembahasan Soal SBMPTN Logaritma [1]

2020-07-06T06:55:00.001-07:00

Berikut merupakan soal-soal persiapan SBMPTN yang dapat kalian pelajari mengenai materi logaritma.

1. Penyelesaian dari pertidaksamaan $^3log\left | 6-3x \right |>1$ adalah ...

Pembahasan

$^3log\left | 6-3x \right |>1$

$^3log\left | 6-3x \right |>^3log3$

$\left | 6-3x \right |>3$

$(6-3x)^2>3^2$

$36-36x+9x^2>9$

$4-4x+x^2>1$

$x^2-4x+3>0$

$(x-3)(x-1)>0$

$x=3\ atau\ x=1$

$Jadi\ x<1\ atau\ x>3$

2. Jika $^3log2=a,\ ^2log5=b$, maka nilai $\frac{3+ab}{2+3a}$ sama dengan ...

Pembahasan

$\frac{3+ab}{2+3a}=\frac{3+^3log2.^2log5}{2+3.^3log2}$
$=\frac{3+^3log2.^2log5}{2+3.^3log2}$
$=\frac{^3log3^3+^3log5}{^3log3^2+^3log2^3}$
$=\frac{^3log27.5}{^3log9.8}$
$=\frac{^3log135}{^3log72}$
$=^{72}log135$

3. Himpunan nilai-nilai (x) yang memenuhi pertidaksamaan $^2log|x-2|<\ ^2log|3x-1|-1$, adalah ...

Pembahasan

$^2log|x-2|<\ ^2log|3x-1|-1$

$^2log|x-2|<\ ^2log|3x-1|-^2log2$

$^2log|x-2|<\ ^2log\frac{|3x-1|}{2}$

$|x-2|<\frac{|3x-1|}{2}$

$x^2-4x+4<\frac{9x^2-6x+1}{4}$

$4x^2-16x+16<9x^2-6x+1$

$5x^2+10x-15>0$

$(x-1)(x+3)>0$

$x=1\ atau\ x=-3$

$Jadi\ x<-3\ atau\ x>1$

4. Jika diketahui $(^alog\ x)^2-4(^alog\ x) +3\geq 0$ dan $a>1$, maka hubungan (a) dan (x) adalah ...

Pembahasan
$(^alog\ x)^2-4(^alog\ x) +3\geq 0$, misalkan $y=^alog\ x$ maka
$y^2-4y+3\geq 0$
$(y-3)(y-1)\geq 0$
$y=3\ atau\ y=1$, karena pertidaksamaan $[\geq]$ maka
$y\leq 1\ atau\ y\geq 3$
$y\geq 3\Rightarrow\ ^alog\ x\geq 3\Leftrightarrow x\geq a^3$
$y\leq 1\Rightarrow\ ^alog\ x\leq 1\Leftrightarrow x\leq a^1$

Pembahasan Soal SBMPTN Vektor [1]

2020-06-25T06:47:00.000-07:00

SBMPTN 2017

Diketahui vektor-vektor $\vec{a},\vec{b}$, dan $\vec{c}$ dengan $\vec{b}=(-2,1), \vec{b}\perp \vec{c}$ dan $\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=0$. Jika $\left | \vec{a} \right |=5$ dan sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah $\alpha$, maka luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung vektor $\vec{a}, \vec{b}$, dan $\vec{c}$ adalah ...

Pembahasan
$\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=0$
$\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}$
$\vec{b}.\vec{a}=\vec{b}.\vec{b}+\vec{b}.\vec{c}$
$\vec{b}.\vec{a}=(-2,1).(-2,1)+0$
$\vec{b}.\vec{a}=4+1=5$

$\vec{a}.\vec{a}=\vec{a}.\vec{b}+\vec{a}.\vec{c}$
$\left | \vec{a} \right |^2=\vec{b}.\vec{a}+\vec{a}.\vec{c}$
$25=5+\vec{a}.\vec{c}$
$20=\vec{a}.\vec{c}$
$\vec{c}$ adalah proyeksi vektor $\vec{a}$ pada $\vec{c}$, maka
$|\vec{c}|=\frac{\vec{a}.\vec{c}}{|\vec{c}|}$
$|\vec{c}|^2=\vec{a}.\vec{c}$
$|\vec{c}|^2=20$
$|\vec{c}|=2\sqrt{5}$
$L\Delta =\frac{1}{2}|\vec{b}|.|\vec{c}|=\frac{1}{2}.\sqrt{5}.2\sqrt{5}=5$

Vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ membentuk sudut tumpul $\alpha$ dengan $sin\ \alpha =\frac{1}{\sqrt{7}}$. Jika $|\vec{a}|=\sqrt{5}$ dan $|\vec{b}|=\sqrt{7}$ dan $\vec{b}=\vec{a}+\vec{c}$, maka $\vec{a}.\vec{c}=...$

Pembahasan
$sin\ \alpha =\frac{1}{\sqrt{7}}\rightarrow cos\ \alpha = \frac{-\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$, [gunakan segitiga]
    $\vec{b}=\vec{a}+\vec{c}$
    $\vec{b}-\vec{a}=\vec{c}$
    $\vec{a}.\vec{b}-\vec{a}.\vec{a}=\vec{a}.\vec{c}$
    $|\vec{a}|.|\vec{b}|.cos\ \alpha -|\vec{a}|^2=\vec{a}.\vec{c}$
    $\sqrt{5}.\sqrt{7}.\frac{-\sqrt{6}}{\sqrt{7}}-(\sqrt{5})^2=\vec{a}.\vec{c}$
    $-\sqrt{30}-5=\vec{a}.\vec{c}$

Diketahui vektor $\vec{a}=(4,6),\ \vec{b}=(3,4)$, dan $\vec{c}=(p,0)$. Jika $|\vec{c}-\vec{a}|=10$, maka cosinus sudut antara $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ adalah ...

Pembahasan
$|\vec{c}-\vec{a}|=\sqrt{|\vec{c}|^2+|\vec{a}|^2-2.\vec{a}.\vec{c}}$
$10=\sqrt{p^2+(4^2+6^2)-2.4.p}$
$100=p^2+52-8p$
$p^2-8p-48=0$
$(p+4)(p-12)=0$
$p=-4\ atau\ p=12$
♣ Untuk $p=-4$
      $\vec{b}.\vec{c}=|\vec{b}|.|\vec{c}|cos\ \alpha$
      $3.(-4)+4.0=5.4cos\ \alpha\Leftrightarrow cos\ \alpha=-\frac{3}{5}$
♣ Untuk $p=12$
     $\vec{b}.\vec{c}=|\vec{b}|.|\vec{c}|cos\ \alpha $
     $3.12+4.0=5.12cos\ \alpha\Leftrightarrow cos\ \alpha=\frac{3}{5}$

Diketahui tiga vektor $\vec{a},\vec{b}$, dan $\vec{c}$ dengan $|\vec{b}|=3,\ |\vec{c}|=4$, dan $\vec{a}=\vec{c}-\vec{b}$. Jika $\gamma$ adalah sudut antara vektor $\vec{a}.\vec{a}=25$, maka $sin\ \gamma=...$

Pembahasan
$\vec{a}=\vec{c}-\vec{b}$
$\vec{b}=\vec{c}-\vec{a}$
$\vec{b}.\vec{c}=\vec{c}.\vec{c}-\vec{a}.\vec{c}=|\vec{c}|^2-25=16-25=-9$
    $\vec{b}.\vec{c}=|\vec{b}|.|\vec{b}|cos\ \gamma$
    $-9=3.4.cos\ \gamma$
    $\frac{-3}{4}=cos\ \gamma\rightarrow sin\ \gamma=\frac{\sqrt{7}}{4}$

Pembahasan Soal SBMPTN Integral [1]

2020-06-18T05:35:00.000-07:00

SBMPTN 2018
Nilai $\int_{1}^{36}{\frac{3}{\sqrt{x}(3+\sqrt{x})^{\frac{3}{2}}}}dx$ adalah ...

Pembahasan
Misalkan:
$\int_{1}^{36}{\frac{3}{\sqrt{x}(3+\sqrt{x})^{\frac{3}{2}}}}dx$
$u=3+\sqrt{x}\Leftrightarrow \frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\Leftrightarrow du=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$
Untuk menyederhanakan perhitungan, kita ubah batasnya
untuk batas bawah $x=1\Rightarrow u=3+\sqrt{1}=4$
untuk batas atas $x=36\Rightarrow u=3+\sqrt{36}=9$
$=\int_{1}^{36}{\frac{3}{\sqrt{x}(3+\sqrt{x})^{\frac{3}{2}}}}dx$
$=\int_{1}^{36}{\frac{6}{(3+\sqrt{x})^{\frac{3}{2}}}}\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$
$=\int_{4}^{9}{\frac{3}{u^{\frac{3}{2}}}}du$
$=\int_{4}^{9}6u^{-\frac{3}{2}}du$
$=\left [ \frac{6}{-\frac{1}{2}}u^{-\frac{3}{2}} \right ]\begin{matrix}9\\\\4\end{matrix}$
$=-12\left [ \frac{1}{\sqrt{9}}- \frac{1}{\sqrt{4}}\right ]$
$=-12\left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{2} \right )$
$=-4+6=2$

SBMPTN 2018

Daerah (R) dibatasi oleh $y=\sqrt{x},\ y=-x+6$ dan sumbu-x. Volume benda padat yang di dapat dengan memutar (R) terhadap sumbu-x adalah ...

Pembahasan
Kalau di gambar, kedua fungsi berikut menjadi

Titik (A) adalah titik potong kedua grafik, maka

$\sqrt{x}=-x+6$

$x=x^2-12x+36$

$x^2-13x+36=0$

$(x-9)(x-4)=0\rightarrow x=9\ atau\ x=4$ pilih (x=4)

Karena benda putar, maka volumenya adalah
$V=\pi \int_{0}^{4}\left ( \sqrt{x} \right )^2dx+\pi \int_{4}^{6}(-x+6)^2dx$
$=\pi\left [\frac{1}{2}x^2 \right ]\begin{matrix}4\\ 0\end{matrix}+\left [\frac{1}{3}(-x+6) \right ]\begin{matrix}6\\ 4\end{matrix}$
$=8\pi +\frac{8}{3}\pi =\frac{32}{3}\pi $ satuan luas

Jika $f(x)=\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}6t^2dt$ maka $f'(x)=18$ untuk $x=...$

Pembahasan
$g(t)=6t^2$ merupakan fungsi genap, karena $g(-t)=6(-t)^2=6t^2=g(t)$. Maka
$f(x)=\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}6t^2dt=2\int_{0}^{\sqrt{x}}6t^2dt=\left [ 4t^3 \right ]\begin{matrix}{\sqrt{x}}\\ 0\end{matrix}=4t^{\frac{3}{2}}$

$f'(x)=4.\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$

$18=6\sqrt{x}$

$3=\sqrt{x}\Leftrightarrow x=9$

Jika nilai $\int_{b}^{a}f(x)dx=5$ dan $\int_{c}^{a}f(x)dx=0$, maka $\int_{c}^{b}f(x)dx=...$

Pembahasan

$\int_{b}^{a}f(x)dx=5\Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=-5$
$\int_{c}^{a}f(x)dx=0\Rightarrow \int_{a}^{c}f(x)dx=-0\Leftrightarrow \int_{a}^{c}f(x)dx=0$
Jadi $\int_{a}^{c}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx$
$0=-5+\int_{b}^{c}f(x)dx$
$5=\int_{b}^{c}f(x)dx\Leftrightarrow \int_{c}^{b}f(x)dx=-5$

SIFAT-SIFAT DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS

2020-06-10T07:33:00.000-07:00

DETERMINAN MATRIKS

Misalkan matriks (A) dengan orde $2\times 2,\ A=\left ( \begin{matrix}a & b\\ c & d\end{matrix} \right )$. Maka determinan dari matriks (A) adalah $det\ (A)=|A|=a.d-b.c$. Untuk determinan matriks orde $3\times 3$ dan yang lainnya akan dijelaskan pada artikel lain.

Sifat-sifat determinan matriks adalah sebagai berikut:
1. $|A|=det(A)$
2. $|A^t|=|A|$, dimana $A^t$ adalah tranpose dari matriks (A).
3. $|A.B|=|A|.|B|$, dimana (A) dan (B) adalah matriks. Sifat ini dapat diperumum misalkan tiga matriks $|A.B.C|=|A|.|B|.|C|$ atau lebih dari tiga matriks.
4. $|A^n|=|A|^n$
5. $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$
6. $|bA_{m\times m}|=b^m|A|$ dimana (b) adalah koefisien dan $m\times m$ adalah orde dari matriks (A).

Contoh soal.
1. Diberikan matriks $A=\left ( \begin{matrix}4 & 3\\ 5 & 2\end{matrix} \right )$. Tentukan determinan dari matriks (A).
Pembahasan
Determinan dari matriks (A) adalah $det\ (A)=|A|=4.2-3.5=8-15=-7$

2. Jika $A=\left ( \begin{matrix}-1 & -4\\ 7 & 1\end{matrix} \right)\, B=\left ( \begin{matrix}4 & 1\\ 5 & 2\end{matrix} \right )$ dan $A+3C^t=2B$, maka nilai $det(C)=...$
Pembahasan

$A+3C^t=2B$
$3C^t=2B-A$
$3C^t=2\left ( \begin{matrix}4 & 1\\ 5 & 2\end{matrix} \right )-\left ( \begin{matrix}-1 & -4\\ 7 & 1\end{matrix} \right)$
$3C^t=\left ( \begin{matrix}-1 & -4\\ 7 & 1\end{matrix} \right)-\left ( \begin{matrix}-1 & -4\\ 7 & 1\end{matrix} \right)$
$3C^t=\left ( \begin{matrix}9 & 6\\ 3 & 3\end{matrix} \right)$
$3^2det(C^t)=27-18$
$9\ det(C)=9\Leftrightarrow det(C)=1$

INVERS MATRIKS

Invers dari matriks (A) adalah $A^{-1}$. Misalkan matriks (A) dengan orde $2\times 2,\ A=\left ( \begin{matrix}a & b\\ c & d\end{matrix} \right )$. Maka $A^{-1}=\frac{1}{|A|}\left ( \begin{matrix}d & -b\\ -c & a\end{matrix} \right )$. Untuk invers matriks orde $3\times 3$ dan yang lainnya akan dijelaskan pada artikel lain.

Sifat-sifat invers matriks adalah sebagai berikut:

1. $(A^{-1})^{-1}=A$

2. $A^{-1}.A=A.A^{-1}=I$

3. $AB=I$ artinya (A) dan (B) saling invers yaitu $A^{-1}=B$ dan $B^{-1}=A$

4. $(AB)^{-1}=B^{-1}.A^{-1}$

5. $AB=C\Rightarrow A=C.B^{-1}\ atau\ B=A^{-1}.C$

Contoh soal.
1. Diberikan matriks $A=\left ( \begin{matrix}4 & 3\\ 5 & 2\end{matrix} \right )$. Tentukan invers dari matriks (A).
Pembahasan
$det\ (A)=|A|=4.2-3.5=8-15=-7$.
Invers dari matriks (A) adalah $A^{-1}=\frac{1}{|A|}\left ( \begin{matrix}2 & -3\\ -5 & 4\end{matrix} \right )=\frac{1}{-7}\left ( \begin{matrix}2 & -3\\ -5 & 4\end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix}-2/7 & 3/7\\ 5/7 & -4/7\end{matrix} \right )$

2. Diketahui matriks $A=\left ( \begin{matrix}-2 & -5\\ 1 & 3\end{matrix} \right),\ C=\left ( \begin{matrix}4 & 6\\ 3 & 5\end{matrix} \right )$ Jika (B) memenuhi (A.B=C), maka $det(2B^{-1})$ adalah ...
Pembahasan
Dalam hal ini, kita menggunakan sifat-sifat dari determinan dan invers.

$A.B=C$
$det(A.B)=det(C)$
$det(A).det(B)=det(C)$
$(-2.3-(-5).1).det(B)=4.5-6.3$
$-1.det(B)=2\Leftrightarrow det(B)=-2$

$det(2.B^{-1})=2^2.det(B^{-1})$
$=4.\frac{1}{det(B)}$
$=4. \frac{1}{-2}=-2$

SUDUT DUA BUAH LINGKARAN

2020-06-02T08:12:00.002-07:00

Sudut dua buah lingkaran didefinisikan sebagai sudut yang dibentuk oleh garis-garis singgung pada kedua lingkaran itu di titik potongnya. Misalkan di ketahui:
$L_1:x^2+y^2+A_1x+B_1y+C_1=0$
$L_2:x^2+y^2+A_2x+B_2y+C_2=0$
Lingkaran $L_1$ dan $L_2$ berpotongan di titik (P) dan masing-masing mempunyai garis singgung $g_1$ dan $g_2$ seperti gambar di bawah. Sudut antara lingkaran $L_1$ dan $L_2$ adalah $\alpha$.

Berdasarkan gambar di atas, maka:

$\angle L_2PL_1=\angle L_2PB+\angle BPL_1=90^o+\angle BPL_1$
$\angle CPB=\angle CPL_1+\angle BPL_1=90^o+\angle BPL_1$
$\angle L_2PL_1=\angle CPB$

Jadi $\alpha =180^o-\angle CPB=180^o-\angle L_2PL_1$

Kedua lingkaran itu akan berpotongan tegak lurus apabila garis-garis singgung berimpit dengan jari-jari kedua lingkaran. Lihat gambar di bawah ini.

Dari gambar di atas, terlihat bahwa $r_1\perp r_2$, sehingga $\Delta L_1PL_2$ adalah segitiga siku-siku di (P). Diketahui $L_1\left ( -\frac{1}{2}A_1,-\frac{1}{2}B_1 \right ), L_2\left ( -\frac{1}{2}A_2,-\frac{1}{2}B_2 \right ), r_1=\sqrt{\frac{1}{4}(A_1)^2+\frac{1}{4}(B_1)^2-C_1}$ dan $r_2=\sqrt{\frac{1}{4}(A_2)^2+\frac{1}{4}(B_2)^2-C_2}$.
Sehingga berlaku
$(L_1L_2)^2=(r_1)^2+(r_2)^2$
$\left ( -\frac{1}{2}A_2-(-\frac{1}{2}A_1) \right )^2+\left ( -\frac{1}{2}B_2-(-\frac{1}{2}B_1) \right )^2=\frac{1}{4}(A_1)^2+\frac{1}{4}(B_1)^2-C_1+\frac{1}{4}(A_2)^2+\frac{1}{4}(B_2)^2-C_2$
$\frac{1}{4}(A_2-A_1)^2+\frac{1}{4}(B_2-B_1)^2=\frac{1}{4}((A_1)^2+(B_1)^2-4C_1)+\frac{1}{4}((A_2)^2+(B_2)^2-4C_2)$
$(A_2-A_1)^2+(B_2-B_1)^2=(A_1)^2+(B_1)^2-4C_1+(A_2)^2+(B_2)^2-4C_2$
$(A_2)^2-2A_1A_2+(A_1)^2+(B_2)^2-2B_1B_2+(B_1)^2=(A_1)^2+(B_1)^2-4C_1+(A_2)^2+(B_2)^2-4C_2$
$-2A_1A_2-2B_1B_2=4C_1-4C_2$
$A_1A_2+B_1B_2=2C_1+2C_2$

Jika diketahui lingkaran:
$L_1:x^2+y^2+A_1x+B_1y+C_1=0$
$L_2:x^2+y^2+A_2x+B_2y+C_2=0$
maka, kedua lingkaran tersebut tegak lurus jika $A_1A_2+B_1B_2=2C_1+2C_2$

Lihat juga: Materi Lingkaran, UN Lingkaran

TRANSFORMASI [PENCERMINAN/REFLEKSI]

2020-06-02T08:12:00.000-07:00

Pencerminan/Refleksi adalah transformasi yang memindahkan titik atau bangun dengan menggunakan sifat pembentukan bayangan oleh sebuah cermin.

Ingat!

Jika suatu transformasi dapat disajikan sebagai matriks $M=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}$, maka $(x,y)\xrightarrow[]{M}(x',y')$ dengan $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$

Rumus-rumus refleksi
❤ Refleksi terhadap sumbu-x
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ sumbu-x}(x,-y)$
Matriks pencerminan terhadap sumbu-x adalah $M=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap sumbu-y
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ sumbu-y}(-x,y)$
Matriks pencerminan terhadap sumbu-y adalah $M=\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=x$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=x}(y,x)$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=x$ adalah $M=\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=-x$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=-x}(-y,-x)$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=-x$ adalah $M=\begin{bmatrix}0 & -1\\-1&0\end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap titik asal $(0,0)$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ titik\ asal}(-x,-y)$
Matriks pencerminan terhadap titik asal adalah $M=\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $x=k$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ x=k}(2k-x,y)$
Matriks pencerminan terhadap garis $x=k$ adalah $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x-k\\y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}k\\0 \end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=k$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=k}(x,2k-y)$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=k$ adalah $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y-k\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\k \end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=x+k$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=x+k}(y-k,x+k)$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=x+k$ adalah $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y-k\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\k \end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=-x+k$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=-x+k}(-y+k,-x+k)$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=-x+k$ adalah $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & -1\\ -1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y-k\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\k \end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=mx$, dimana $m=tan\ \alpha$
Matriks pencerminan adalah $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}cos\ 2\alpha & sin\ 2\alpha\\ sin\ 2\alpha & -cos\ 2\alpha\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$

CONTOH SOAL
1. Hasil pencerminan titik $A(3,2)$ terhadap garis $y=-x$ adalah ...
Pembahasan
Berdasarkan rumus di atas maka $(3,2)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=-x}(-2,-3)$ atau kalau kita menggunakan matriks tranformasi jadinya $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & -1\\ -1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2\\-3\end{bmatrix}$
Jadi Hasil pencerminan titik $A(3,2)$ terhadap garis $y=-x$ adalah $A'(-2,-3)$
2. Hasil pencerminan garis $y=x+3$ terhadap garis $y=2$ adalah ...
Pembahasan
Misalkan kita ambil sebarang titik $(x,y)$ yang berada pada garis $y=x+3$. Maka sesuai rumus trasformasi di atas $(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=2}(x,4-y)$, dimana $(x',y')=(x,4-y)$. $x'=x$ dan $y'=4-y\leftrightarrow y=4-y'$.
Substitusi $x'=x$ dan $y=4-y'$ ke persamaan $y=x+3$. Maka diperoleh $y=x+3\Leftrightarrow 4-y'=x'+3\Leftrightarrow -y'=x'-1\Leftrightarrow y'=1-x'$. Dengan menghilangkan aksennya merupakan hasil dari perncerminan terhadap garis $y=2$ yaitu $y=1-x$.
Cara seperti ini juga berlaku jika yang dicerminkan adalah lingkaran maupun elips.

Lihat juga materi barisan dan deret, dimensi tiga, integral, limit, lingkaran

Perbedaan Permutasi dan Kombinasi

2020-05-24T07:36:00.000-07:00

❤❤PERMUTASI❤❤
Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah cara penyusunan/memilih unsur-unsur yang berbeda dengan memperhatikan urutan $(AB\neq BA)$. Misalkan dalam suatu kelas akan dipilih 4 orang sebagai perangkat kelas yaitu ketua, wakil, sekretaris dan bendehara. Dalam soal ini memperhatikan urutan, karena misalkan si A sebagai ketua, si B sebagai wakil, si C sebagai sekretaris dan si D sebagai bendehara berbeda dengan si C sebagai ketua, si A sebagai wakil, si B sebagai sekretaris dan si D sebagai bendehara. Biarpun orang-orang yang di pilih sama yaitu si A,B,C,D tetapi keempat orang itu menempati posisi yang berbeda maka dapat dikatakan sebagai memperhatikan urutan.

Jenis-jenis permutasi

1. Permutasi (n) unsur yang di ambil dari (n) unsur yang ada.

$P(n,n)=_{n}^{n}\textrm{P}=\frac{n!}{(n-n)!}=n!$

2. Permutasi (r) unsur yang di ambi dari (n) unsur yang ada, dengan $r<n$

$P(n,r)=_{r}^{n}\textrm{P}=\frac{n!}{(n-r)!}$

3. Permutasi (n) unsur yang di ambil dari (n) unsur yang ada, dimana dari (n) unsur tersebut terdapat (m) unsur yang sama, (k) unsur yang sama dan (l) unsur yang sama

$\frac{n!}{(m!.k!.l!)}$

4. Permutasi siklis (melingkar) dari (n) unsur

$(n-1)!$
Contoh soal
1. Terdapat 5 orang yang akan duduk berjejer untuk mengantre. Berapa banyak cara susunan antrean tersebut?
Pembahasan
Misalkan orang yang akan mengantre adalah si A,B,C,D,E. Posisi tempat duduk A,B,C,D,E berbeda dengan B,A,C,D,E. Maka dalam soal ini menggunakan permutasi 5 unsur dari 5 unsur yang ada. Maka $P(5,5)=_{5}^{5}\textrm{P}=\frac{5!}{(5-5)!}=5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\ cara$
2. Dalam suatu kelas yang terdiri dari 20 siswa akan dipilih 4 orang untuk menjadi ketua kelas, wakil, sekretaris dan bendehara. Tentukan banyak cara memilih ke empat orang tersebut.
Pembahasan
Dari soal maka dapat digunakan permutasi 4 unsur dari 20 unsur yang ada, maka $P(20,4)=_{4}^{20}\textrm{P}=\frac{20!}{(20-4)!}=\frac{20\times 19\times18\times17\times16!}{16!}=20\times 19\times18\times17$.
3. Banyaknya cara menyusun kata MATEMATIKA adalah
Pembahasan
MATEMATIKA terdiri dari 10 huruf, ada 2 huruf T, 2 huruf M, 3 huruf A. Maka banyak cara menyusun kata tersebut adalah $\frac{10!}{(2!.2!.3!)}=10.9.2.7.5.3.2.1$
4. Lima orang dalam keluarga akan duduk melingkar untuk makan malam bersama. Berapa banyak cara susunan duduk kelima orang tersebut.
Pembahasan
Dari soal maka dapat dicari dengan permutasi siklis [melingkar] dari (5) unsur, maka $(5-1)!=4!$

❤❤KOMBINASI❤❤
Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan urutan $AB=BA$. Misalkan dalam suatu kelas akan dipilih 4 orang untuk mewaliki perlombaan matematika. Dalam soal ini tidak memperhatikan urutan karena yang dipilih hanya 4 orang misalkan si A,B,C,D dan tidak ada perbedaan dalam posisi, jabatan atau yang lainnya.
Jenis-jenis kombinasi
1. Kombinasi (n) unsur yang di ambil dari (n) unsur yang ada.
$C(n,n)=_{n}^{n}\textrm{C}=\frac{n!}{(n-n)!.n!}=1$
2. Kombinasi (k) unsur yang di ambi dari (n) unsur yang ada, dengan $k<n$
$C(n,k)=_{k}^{n}\textrm{C}=\frac{n!}{(n-k)!.k!}=1$
Contoh soal
Dalam suatu kelas yang terdiri dari 20 orang, akan dipilih 3 orang untuk mewaliki lomba matematika. Banyak cara memilih 3 orang tersebut adalah...
Pembahasan
Dari soal maka dapat dicari dengan kombinasi (3) unsur yang di ambi dari (20) unsur yang ada. Maka $C(20,3)=_{3}^{20}\textrm{C}=\frac{20!}{(20-3)!.3!}=\frac{20.19.18.17!}{17!.3.2.1}=20.19.3$
Lihat juga: Soal peluang, Distribusi Normal, Peluang Binomial

Pembahasan Soal SBMPTN Turunan [1]

2020-05-16T04:08:00.001-07:00

UM-UGM 2005
Turunan dari $f(x)=\frac{x^2-7}{x\sqrt{x}}$ adalah ...

Pembahasan
$y=\frac{u}{v}\rightarrow y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$
$f(x)=\frac{x^2-7}{x\sqrt{x}}$, maka
$f'(x)=\frac{2x.(x\sqrt{x})-(x^2-7).\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{(x\sqrt{x})^2}$

$f'(x)=\frac{2x^2\sqrt{x}-\frac{3}{2}x^2\sqrt{x}+\frac{21}{2}\sqrt{x}}{x^2\sqrt{x}\sqrt{x}}$

$f'(x)=\frac{x^2+21}{2x^2\sqrt{x}}$

SBMPTN 2014

Jika (m) dan (n) bilangan real dan fungsi $f(x)=mx^3+2x^2-nx+5$ memenuhi $f'(1)=f'(-5)=0$, maka $3m-n=...$

Pembahasan
$f(x)=mx^3+2x^2-nx+5$
$f'(x)=3mx^2+4x-n$
$x=1\rightarrow f'(1)=3m+4-n=0\Leftrightarrow 3m-n=-4$

SIMAK UI 2011
Diketahui fungsi (f) dan (g) dengan $f'(2)=3$ dan $g'(2)=4$. Jika pada saat (x=2), turunan dari $(f.g)(x)$ adalah 11 dan turunan dari $f^2+g^2)(x)$ adalah 20, maka turunan dari $\frac{f}{g}(x)$ saat (x=2) adalah ...

Pembahasan
$(f.9)'(x)=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)$
saat $x=2$ maka $(f.9)'(2)=f'(2).g(2)+f(2).g'(2)$
                      $11=3g(x)+4f(x)...(i)$
Misalkan $h(x)=f^2(x)+g^2(x)$, maka
          $h'(x)=2f(x).f'(x)+2g(x)g'(x)$
          $h'(2)=2f(2).f'(2)+2g(2)g'(2)$
          $20=2f(x).3+2g(x).4$
          $10=3f(x)+4g(x)...(ii)$
Berdasarkan $(i)$ dan $(ii)$ dengan menggunakan konsep sistem persamaan linier dua variabel, maka dapat diperoleh $g(2)=1$ dan $f(2)=2$. Jadi
$p(x)=\left ( \frac{f}{g} \right )(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$
$p'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$
$p'(2)=\frac{f'(2)g(2)-f(2)g'(2)}{(g(2))^2}$
$p'(x)=\frac{3.1-2.4}{(1)^2}=-5$

UM UGM 2018
Fungsi $f(x)=-cos2x+\sqrt{3}sin2x+1,\ 0\leq x\leq \pi $, mencapai ekstrim pada saat $x=x_1$ dan $x=x_2$. Nilai dari $x_1+x_2$ adalah ...

Pembahasan
Mencapai ekstrim saat turunan pertama sama dengan 0, maka

$f'(x)=0$
$2sin2x+2\sqrt{3}cos2x=0$
$2sin2x=-2\sqrt{3}cos2x$
$\frac{sin2x}{cos2x}=\frac{-2\sqrt{3}}{2}$
$tan2x=-\sqrt{3}\Rightarrow 2x={120^o,300^o}$

Maka di dapat:
⃝ $2x_1=120^o\Leftrightarrow x_1=60^o$
⃝ $2x_2=300^o\Leftrightarrow x_2=150^o$
$x_1+x_2=60^o+150^o=210^o$
Lihat juga: Materi Turunan, Soal UN Turunan

UTS KELAS VIII SEMESTER 2 2017-2018

2020-05-14T23:11:00.003-07:00

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

2020-05-10T02:51:00.005-07:00

Logaritma dengan bilangan pokok atau basis (a) dapat dinyatakan sebagai $^alog\ y=x\Leftrightarrow y=a^x$; dimana $a>0$ dan $a\neq 1,\ y>0$.

Persamaan Logaritma
1. $^alog\ x=^alog\ y\Leftrightarrow x=y$
Dengan syarat $a>0,a\neq 1,x>0,\ dan\ y>0$
2. $^alog\ f(x)=c\Rightarrow f(x)=a^c$
Dengan syarat $a>0,a\neq 1,\ dan\ f(x)>0$
3. $^alog\ f(x)=^alog\ g(x)\Rightarrow; f(x)=g(x)$
Dengan syarat $a>0,a\neq 1,f(x)>0,\ dan\ g(x)>0$
4. $^alog\ f(x)=^blog\ f(x)\Rightarrow f(x)=1$
Dengan syarat $a>0,a\neq 1,b>0,b\neq 1,a\neq b,\ dan\ f(x)>0$
5. $^{g(x)}log\ f(x)=c\Rightarrow f(x)=g(x)^c$
Dengan syarat $g(x)>0,g(x)\neq 1,\ dan\ f(x)>0$
6. $^{f(x)}log\ g(x)=^{f(x)}log\ h(x)\Rightarrow g(x)=h(x)$
Dengan syarat $f(x)\neq 1,f(x)>0,g(x)>0,\ dan\ h(x)>0$
7. $^{f(x)}log\ h(x)=^{g(x)}log\ h(x)\Rightarrow 1. f(x)=g(x);\ dan\ 2. h(x)=1$
Dengan syarat $h(x)>0,f(x)\neq 1,f(x)>0,g(x)\neq 1,\ dan\ g(x)>0$
6. $a(^plog\ x)^2+b(^plog\ x)+c=0$ dengan memisalkan $^plog\ x=y$ maka
$a(^plog\ x)^2+b(^plog\ x)+c=0\Leftrightarrow ay^2+by+c=0$ [selesaikan dengan persamaan kuadrat]
❤ Trik: $x_1.x_2=p^{\frac{-b}{a}}$ ❤

Contoh Soal

1. Selesaikan $^4log\ (3x+1)=2$

Pembahasan
$^4log\ (3x+1)=2\Rightarrow (3x+1)=4^2$

$(3x+1)=16$

$3x=15\Leftrightarrow x=5$

2. Akar-akar persamaan $10.^9log^2x-5.^9logx-1=0$, adalah $x_1$ dan $x_2$. Nilai dari $x_1.x_2$ adalah ...
Pembahasan

$x_1.x_2=p^{\frac{-b}{a}}$

$x_1.x_2=9^{\frac{-(-5)}{10}}=9^{\frac{1}{2}}=3$

3. Himpunan penyelesaian dari $^2log^2x+2.^2logx-3=0$ adalah ...

Pembahasan

Misalkan $^2logx=y$, maka $^2log^2x+2.^2logx-3=0\Leftrightarrow y^2+2y-3=0$

$(y-1)(y+3)=0$

$y=1\ atau\ y=-3$

೦ $y=1\Leftrightarrow\ ^2logx=1\Leftrightarrow x=2^1=2$

೦ $y=-3\Leftrightarrow\ ^2logx=-3\Leftrightarrow x=2^{-3}=\frac{1}{8}$
Maka himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 2, \frac{1}{8}\right \}$

4. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $^alog\ (x+13)=^alog\ 6$

Pembahasan

$^alog\ (x+13)=^alog\ 6\Leftrightarrow x+13=6$

$\Leftrightarrow x=6-13=-7$

Jadi, nilai (x) yang memenuhi persamaan $^alog\ (x+13)=^alog\ 6$ adalah -7

5. Tentukan nilai $x$ agar persamaan $^{x+1}log\ (x^2+1)=^{x^2-5}log\ (x^2+1)$ bernilai benar

Pembahasan
Solusi pertama:
$^{x+1}log\ (x^2+1)=^{x^2-5}log\ (x^2+1)\Leftrightarrow x+1=x^2-5$
$\Leftrightarrow 0=x^2-x-5-1$
$\Leftrightarrow 0=x^2-x-6$
$\Leftrightarrow 0=(x+2)(x-3)$
$0=x+2\ atau\ 0=x-3$
$x=-2\ atau\ x=3$
Periksa syarat untuk $x=-2$ dan $x=3$
untuk $x=-2$:
$x^2+1=(-2)^2+1=4+1=5>0$ memenuhi
$x+1=(-2)+1=-1<0$ tidak memenuhi
$x^2-5=(-2)^2-5=4-5=-1<0$ tidak memenuhi
untuk $x=3$:
$x^2+1=(3)^2+1=9+1=10>0$ memenuhi
$x+1=(3)+1=4>0$ memenuhi
$x^2-5=(3)^2-5=9-5=4>0$ memenuhi
Ini berarti, nilai $x=3$ merupakan solusi

solusi kedua:
$^{x+1}log\ (x^2+1)=^{x^2-5}log\ (x^2+1)\Leftrightarrow x^2+1=1$
$\Leftrightarrow x^2=0$
$\Leftrightarrow x=0$
Periksa syarat untuk $x=0$
$x^2+1=(0)^2+1=0+1=1>0$ memenuhi
$x+1=0+1=1>0$ memenuhi
$x^2-5=0^2-5=-5<0$ tidak memenuhi
Ini berarti, nilai $x=0$ bukan solusi
Jadi, nilai $x$ agar persamaan $^{x+1}log\ (x^2+1)=^{x^2-5}log\ (x^2+1)$ bernilai benar adalah 3

Pertidaksamaan Logaritma
a. untuk $a>1$
1. $^alog\ f(x)\geq\ ^alog\ g(x)\Rightarrow f(x)\geq g(x)$
2. $^alog\ f(x)\leq\ ^alog\ g(x)\Rightarrow f(x)\leq g(x)$
b. untuk $0<a<1$
1. $^alog\ f(x)\geq\ ^alog\ g(x)\Rightarrow f(x)\leq g(x)$
2. $^alog\ f(x)\leq\ ^alog\ g(x)\Rightarrow f(x)\geq g(x)$
dengan syarat $f(x)>0$ dan $g(x)>0$

Contoh Soal

1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $^2log^2x+2.^2log2x>2$ adalah ...

Pembahasan

$^2log^2x+2.^2log2x>2$

$^2log^2x+2(^2log2+^2logx)>2$

$^2log^2x+2(1+^2logx)>2$

$^2log^2x+2+2^2logx>2$

$^2log^2x+2^2logx>0$

$^2logx=y$

$y^2+2y>0$

$y(y+2)>0$

$y=0\ atau\ y=-2$

Maka $y<-2$ atau $y>0$

օ $y=0\Leftrightarrow ^2logx=0\Leftrightarrow x=2^0=1$
օ $y=-2\Leftrightarrow ^2logx=-2\Leftrightarrow x=2^{(-2)}=\frac{1}{4}$
Maka $x<\frac{1}{4}\ atau\ x>1$
Syarat:
1. $x>0$,
2. $2x>0\Leftrightarrow x>0$
Maka himpunan penyelesaiannya adalah $0<x<\frac{1}{4}\ atau\ x>1$

2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma $^{\frac{1}{2}}log(14-x)-^{\frac{1}{2}}log(x-5)\geq\ ^{\frac{1}{2}}log(x+2)$ adalah ...

Pembahasan

$^{\frac{1}{2}}log(14-x)-^{\frac{1}{2}}log(x-5)\geq ^{\frac{1}{2}}log(x+2)$

$^{\frac{1}{2}}log(14-x)(x-5)\geq\ ^{\frac{1}{2}}log(x+2)$

$^{\frac{1}{2}}log(-x^2+19x-70)\geq\ ^{\frac{1}{2}}log(x+2)$

$-x^2+19x-70\leq x+2$

$x^2-19x+70\geq -x-2$

$x^2-18x+72\geq 0$

$(x-14)(x-5)\geq 0$

$x=14\ atau\ x=5$

$Maka\ x\leq 5\ atau\ x\geq 14$

Syarat:
1. $14-x>0\Leftrightarrow x< 14$
2. $x-5>0\Leftrightarrow x>5$
3. $x+2>0\Leftrightarrow x>-2$

Maka himpunan penyelesaiannya adalah irisan dari $maka\ x\leq 5\ atau\ x\geq 14$ dan syarat. Maka himpunannya adalah $5<x\leq 6\ atau\ 12\leq x< 14$

Lihat juga: Soal-Soal UN Logaritma

Menyelesaikan Persamaan Trigonometri

2020-05-04T07:47:00.000-07:00

❤ Persamaan trigonometri sederhana bentuk $f(x)=c$, tentukan dulu sudut yang menghasilkan perbandingan trigonometri pada ruas kanan dengan cara:

〉Jika $sin\ x=sin\ \alpha $, maka
a. $x=\alpha +k.360^o$
b. $x=(180^o-\alpha )+K.360^o$
〉Jika $cos\ x=cos\ \alpha $, maka
a. $x=\alpha +k.360^o$
b. $x=-\alpha +k.360^o$
〉Jika $tan\ x=tan\ \alpha $, maka
a. $x=\alpha +k.180^o$
dimana $k=...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...$

Contoh Soal
1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan $2sin\ x=1$ untuk $0^o\leq x\leq 360^o$.
Pembahasan

$2sin\ x=1$

$sin\ x=\frac{1}{2}$

$sin\ x=sin\ 30^o\Leftrightarrow \alpha =30^o$

a. $x=\alpha +k.360^o$
$x=30^o+k.360^o$
》$k=-1\rightarrow x=30^o+(-1).360^o=-330^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
》$k=0\rightarrow x=30^o+0.360^o=30^o$ [memenuhi]
》$k=1\rightarrow x=30^o+1.360^o=390^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
b. $x=(180^o-\alpha )+k.360^o$
$x=(180^o-\alpha )+k.360^o$
$x=(180^o-30^o )+k.360^o$
$x=150^o+k.360^o$
》$k=-1\rightarrow x=150^o+(-1).360^o=-210^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
》$k=0\rightarrow x=150^o+(0).360^o=150^o$ [memenuhi]
》$k=1\rightarrow x=150^o+1.360^o=510^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
Maka himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 30^o,150^o\right \}$

2. Himpunan penyelesaian dari persamaan $2cos\ (2x-60^o)-1=0$ untuk $0^o\leq x\leq 180^o$ adalah ...
Pembahasan

$2cos\ (2x-60^o)-1=0$

$2cos\ (2x-60^o)=1$

$cos\ (2x-60^o)=\frac{1}{2}$

$cos\ (2x-60^o)=cos\ 60^o\Leftrightarrow \alpha =60^o$

a. $2x-60^o=\alpha +k.360^o$

$2x-60^o=60^o +k.360^o$

$2x=120^o +k.360^o$
$x=60^o +k.180^o$
》$k=-1\rightarrow x=60^o +(-1).180^o=-120^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
》$k=0\rightarrow x=60^o +0.180^o=60^o$ [memenuhi]
》$k=1\rightarrow x=60^o +1.180^o=240^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
b. $2x-60^o=-\alpha +k.360^o$
$2x-60^o=-60^o +k.360^o$
$2x=k.360^o$
$x=k.180^o$
》$k=-1\rightarrow x=(-1).180^o=-180^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
》$k=0\rightarrow x=0.180^o=0^o$ [memenuhi]
》$k=1\rightarrow x=1.180^o=180^o$ [memenuhi]
Maka himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 0^o,60^o,180^o \right \}$

❤ Persamaan trigonometri dalam bentuk $Acos\ x+Bsin\ x=c$.

$Acos\ x+Bsin\ x=c\Leftrightarrow Kcos(x-\beta )=c$

Dimana $K=\sqrt{A^2+B^2}$ dan $\beta =arc\ tan\ \frac{B}{A}$
Pembuktian
$Acos\ x+Bsin\ x=Kcos(x-\beta )$
$=K(cos\ x.cos\ \beta+sin\ x.sin\ \beta )$
$=K.cos\ x.cos\ \beta+K.sin\ x.sin\ \beta$
$=K.cos\ \beta.cos\ x+K.sin\ \beta.sin\ x$
Maka
$K.cos\ \beta=A\Leftrightarrow K^2.cos^2\ \beta=A^2$ .... [1]
$K.sin\ \beta=B\Leftrightarrow K^2.sin^2\ \beta=B^2$ .... [2]
Jumlahkan persamaan [1] dan [2], maka

$K^2.cos^2\ \beta+K^2.sin^2\ \beta=A^2+B^2$

$K^2(cos^2\ \beta+sin^2\ \beta)=A^2+B^2$

$K^2=A^2+B^2 \Leftrightarrow K=\sqrt{A^2+B^2}$

Jika $K.sin\ \beta=B$ dibagi dengan $K.cos\ \beta=A$, maka

$\frac{K.sin\ \beta }{K.cos\ \beta}=\frac{B}{A}$

$tan\ \beta =\frac{B}{A}\Leftrightarrow \beta =arc\ tan\ \frac{B}{A}$

Contoh Soal
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $cos\ x-sin\ x=1$, jika $0^o\leq x\leq 360^o$
Pembahasan

$cos\ x-sin\ x=1\Leftrightarrow Kcos(x-\beta )=1$

$K=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$

$\beta=arc\ tan\ \frac{-1}{1}$

$\beta=arc\ tan\ (-1)\Leftrightarrow \beta =-45^o$

Maka $cos\ x-sin\ x=1\Leftrightarrow \sqrt{2}cos(x+45^o )=1$

$\sqrt{2}cos(x+45^o )=1$
$cos(x+45^o )=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$cos(x+45^o )=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$cos(x+45^o )=cos\ 45^o\Leftrightarrow \alpha =45^o$

a. $x+45^o=\alpha +k.360^o$

$x+45^o=45^o +k.360^o$

$x=k.360^o$

》$k=-1\rightarrow x=(-1).360^o=-360^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]

》$k=0\rightarrow x=0.360^o=0^o$ [memenuhi]

》$k=1\rightarrow x=1.360^o=360^o$ [memenuhi]

b. $x+45^o=-\alpha +k.360^o$

$x+45^o=-45^o +k.360^o$

$x=-90^o +k.360^o$

》$k=-1\rightarrow x=-90^o +(-1).360^o=-450^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]

》$k=0\rightarrow x=-90^o +0.360^o=-90^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]

》$k=1\rightarrow x=-90^o +1.360^o=270^o$ [memenuhi]

Maka himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 0^o,270^o,360^o \right \}$

UTS KELAS IX SEMESTER 2 [KTSP] TAHUN AJARAN 2018-2019

2020-04-26T17:42:00.002-07:00

UTS KELAS VII

2020-04-24T18:37:00.000-07:00

Ulangan Tengah Semester Kelas VII semester 1 materi operasi bilangan bulat, bilangan pecahan, dan aljabar. Berikut soalnya

SOAL DAN PEMBAHASAN PELUANG SMA

2020-04-24T02:46:00.000-07:00

1. Dari (9) orang calon pengurus RT akan dipilih (1) orang ketua, (1) orang wakil ketua, dan (1) orang bendehara. Banyak kemungkinan susunan pengurus RT adalah ...

Pembahasan

Karena di pilih 3 orang yang menduduki jabatan berbeda-beda [memperhatikan urutan], maka $_{3}^{9}\textrm{P}=\frac{9!}{(9-3)!}=\frac{9.8.7.6!}{6!}=9.8.7=504$

2. Suatu reuni dihadiri (30) orang peserta. Jika mereka saling berjabat tangan, banyak jabat tangan yang terjadi adalah ...

Pembahasan

Dalam berjabat tangan dilakukan oleh (2) orang, jadi setiap orang dapat melakukan jabat tangan sekali. Ini sama artinya kita memilih dua orang untuk melakukan jabat tangan dari 30 orang. Karena dalam jabat tangan tidak memperhatikan urutan, kita cuma memilih 2 orang dari 30 orang maka banyaknya jabat tangan yang terjadi adalah $_{2}^{30}\textrm{C}=\frac{30!}{(30-2)!.2!}=\frac{30.29.28!}{28!.2.1}=15.29=435$.

3. Pada percobaan melempar dua buah dadu bersamaan satu kali, peluang munculnya mata dadu berjumlah 4 atau 10 adalah ...

Pembahasan

Dalam percobaan melempar dua buah dadu dapat di cari ruang sampelnya [S] sebagai berikut

$S={(1,1)(1,2),(1,3),...,(2,1),(2,2), ...,(3,1),(3,2),...,(6,6)}\rightarrow n(S)=6^2=36$

Misalkan A adalah himpunan munculnya mata dadu berjumlah 4 dan B adalah himpunan mata dadu berjumlah 10, maka

$A={(1,3),(2,2),(3,1)}\rightarrow n(A)=3\rightarrow P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{36}$

$B={(4,6),(5,5),(6,4)}\rightarrow n(B)=3\rightarrow P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{3}{36}$

Karena yang di tanya peluang munculnya mata dadu berjumlah 4 atau 10, maka

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{3}{36}+\frac{3}{36}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

4. Tiga mata uang logam dilempar undi sebanyak 64 kali. Frekuensi harapan muncul dua gambar dan satu angka adalah ...

Pembahasan
Dalam percobaan melempar 3 buah uang logam dapat dicari ruang sampelnya [S] sebagai berikut
$S={(AAA),(AAG),(AGA),(GAA),....(GGG)}\rightarrow n(S)=2^3=8$
Misalkan A adalah himpunan muncul dua gambar dan satu angka, maka
$A={(GGA),(GAG),(AGG)}\rightarrow n(A)=3\rightarrow p(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{8}$
Jadi Frekwensi harapan dengan (N=64) adalah
$F_H(A)=P(A).N=\frac{3}{8}.64=3.8=24$

5. Pada sebuah lemari pakaian tersimpan 5 baju putih dan 3 baju biru. Jika di ambil dua baju secara acak satu persatu berturut-turut tanpa pengembalian, maka peluang terambil pertama baju putih dan kedua baju biru adalah ...

Pembahasan
Pengambilan pertama satu baju putih, maka peluangnya adalah
$P(P)=\frac{n(P)}{n(S)}=\frac{5}{8}$
Pengambilan kedua satu baju biru, karena di soal dinyatakan tanpa pengambilan maka $n(S)=7$ [karena sudah di ambil 1 baju putih], maka peluang pada pengambilan kedua adalah ...
$P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{3}{7}$
Jadi peluang terambil pertama baju putih dan kedua baju biru adalah
$P(P\cup B)=\frac{5}{8}.\frac{3}{7}$

Lihat Juga: Peluang Kejadian Saling Bebas Stokastik

LKS TRAPESIUM DAN JAJAR GENJANG

2020-04-15T07:43:00.001-07:00

Berikut merupakan Lembar Kerja Siswa [LKS] untuk materi keliling dan luas bangun datar yaitu trapesium dan jajar genjang. Lihat kembali: