Só Faz Quem Sabe

Introdução ao Cálculo Algébrico - As Expressões Algébricas ou Literais

2025-07-14T18:41:00.001-03:00

by Roberto M.

Na aula anterior falamos sobre as Sentenças Matemáticas. Lá aprendemos os conceitos de Sentenças Falsas ou Verdadeiras e Sentenças Abertas ou Fechadas.

Vimos também o que são as variáveis das Sentenças e como Resolver uma sentença matemática aberta.

Dando sequência a esse assunto, hoje vamos falar sobre Expressões Algébricas.

Vamos lá:

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS OU LITERAIS

Expressão algébrica ou literal é uma expressão matemática que contém números e letras, ou somente letras, ou somente números, além dos sinais de operações.

Exemplos:

324

é uma expressão algébrica

xyz

é uma expressão algébrica

8a²b

é uma expressão algébrica

3x + 2y

é uma expressão algébrica

8a²b + 3x - 324

é uma expressão algébrica

Note que uma expressão algébrica pode ser formada por um, dois ou mais termos.

TERMO ALGÉBRICO OU MONÔMIO

Conforme vimos nos exemplos acima, uma expressão algébrica pode ser formada por uma, duas ou mais parcelas.

Cada parcela de uma expressão algébrica é denominada de Termo Algébrico ou Monômio.

Em um Monômio destacamos duas partes:

1- Uma parte numérica (constante) chamada de Coeficiente Numérico do termo algébrico

2- Uma parte literal (variável) que corresponde a uma letra ou ao produto de letras, inclusive expoentes.

Exemplos:

324

só tem o coeficiente numérico

xyz

só tem a parte literal

8a²b

tem o coeficiente numérico: 8 e também a parte literal: a²b

Como podemos ver, em cada um destes exemplos temos multiplicação e potenciação de números e letras. Podemos dizer que todos representam produtos. Neles não há adições com variáveis, nem subtrações, nem divisão por variável.

São exatamente expressões como essas que chamamos de Termos ou Monômios.

Note que um monômio pode ser composto por constantes, variáveis, expoentes, mas nunca poderá haver divisões por variável.

Exemplos:

é um monômio

2 / x

não é um monômio

Atenção:

1 - Números (expressões numéricas) como 324 são monômios.

2 - O número 0 (zero) é chamado de monômio nulo.

3 - Qualquer monômio de coeficiente zero é nulo: 0x=0 ou 0xy²=0

O QUE É UM POLINÔMIO?

Vimos no item anterior o que vem a ser um MONÔMIO.

Então, quando uma expressão tiver um só termo, ela será denominada Monômio.

Exemplos:

5x²y

é um monômio

6xyz

é um monômio

Quando uma expressão se apresentar como a soma algébrica de vários monômios, essa expressão será denominada POLINÔMIO.

Um polinômio poderá ser composto por dois, três ou mais monômios.

Os polinômios formados por até três termos recebem nomes especiais.

1 termo - monômio

2 termos - binômio

3 termos - trinômio

Os polinômios com mais de três termos não têm nomes especiais.

Exemplos:

4x + 8yz

é um polinômio de 2 termos, ou seja, um binômio

2x + 3

é um polinômio de 2 termos, ou seja, um binômio

3y - 2xy + 5x²y

é um polinômio de 3 termos, ou seja, um trinômio

3y - 2xy + 5x²y + 5xy² - 4x

é simplesmente um polinômio de 5 termos

TERMOS ALGÉBRICOS OU MONÔMIOS SEMELHANTES

Dois termos que têm partes literais iguais, ou que não têm parte literal, são denominados termos semelhantes.

São termos semelhantes, por exemplo:

53 e 45

8a e -5a

3x e 9x

2ab² e 22ab²

-2xy e 5yx

Não são termos semelhantes, por exemplo:

2 e 2x

8m e 5m²

2a²b e 3ab²

SOMA ALGÉBRICA DE TERMOS SEMELHANTES

Quando um polinômio apresentar termos semelhantes, eles podem ser adicionados ficando reduzidos a um só termo.

Para adicionar algebricamente expressões que possuam a mesma parte literal, ou seja, para somar monômios semelhantes, devemos somar os coeficientes e conservar a parte literal.

Exemplos:

5x + 7x = 12x

8ab² - 5ab² = 3ab²

SUBSTITUIÇÃO EM ÁLGEBRA

Na Álgebra, Substituição significa colocar números no lugar das letras em uma expressão algébrica.

VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA

Valor numérico é o resultado das operações efetuadas em uma expressão algébrica, após a substituição das variáveis por números.

Exemplo:

Se tivermos a expressão algébrica x + y

Admitindo que x = 3 e y = 5 , podemos determinar o valor numérico substituindo as variáveis ‘x’ e ‘y’ por 3 e 5 respectivamente.

Assim:

x + y = 3 + 5 = 8

Desse modo obtivemos o Valor Numérico da expressão.

x + y = 8

Na próxima aula falaremos sobre ‘O que são Equações’ acompanhem:

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Introdução ao Cálculo Algébrico - As Sentenças Matemáticas.

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by Roberto M.

Primeiramente, vamos ver o que significa Sentença.

Sentença, na língua portuguesa, significa um conjunto de palavras que encerra um sentido completo. Ou seja, é uma frase que se explica por si só .Por exemplo: “Brasília tem um clima muito seco”.

Já, na matemática, quando temos uma ‘frase’ que envolve números, símbolos, variáveis e sinais, chamamos essa ‘frase’ de Sentença Matemática.

Essa Sentença Matemática pode ser expressa por uma relação de igualdade, desigualdade, identidade, equivalência, etc..

Por Exemplo:

2 + 6 = 12 - 4

3x + 4 < x - 1

2b + 3c ≠ a + 5b

SENTENÇAS VERDADEIRAS E SENTENÇAS FALSAS

As sentenças matemáticas podem ser verdadeiras ou falsas.

Verdadeiras (V) se exprimirem uma verdade. Falsas (F) se exprimirem uma falsidade.

Exemplos:

2 + 6 = 12 - 4 (V)

555 > 620 (F)

5 ≠ -5 (V)

SENTENÇAS ABERTAS E SENTENÇAS FECHADAS

As sentenças matemáticas que não apresentam elementos desconhecidos (variáveis ou incógnitas) são chamadas de Sentenças Fechadas.

As sentenças fechadas serão sempre verdadeiras ou, então, sempre falsas.

As sentenças matemáticas que apresentam elementos desconhecidos ( variáveis ou incógnitas) são chamadas de Sentenças Abertas.

As sentenças serão abertas se não se souber, em principio, se elas são verdadeiras ou falsas.

Exemplos:

2 + 6 = 12 - 4

- é uma sentença verdadeira, não tem elementos desconhecidos, portanto é uma sentença fechada.

555 > 620

- é uma sentença falsa, não tem elementos desconhecidos, portanto é uma sentença fechada.

3x + 4 = 2x + 5

- é uma sentença que não se sabe se é verdadeira ou falsa, tem elementos desconhecidos (variáveis ou incógnitas), portanto é uma sentença aberta.

VARIÁVEIS DAS SENTENÇAS ABERTAS

Uma Sentença Matemática Aberta pode ser verdadeira ou falsa, dependendo dos valores usados em suas variáveis.

Os valores desconhecidos na sentença são chamados de variáveis ou incógnitas.

No exemplo abaixo de uma sentença aberta, ‘x’ é a variável:

X + 5 = 9

Nesse outro exemplo, ‘k’ e ‘m’ são ambas variáveis:

2k + 3m = 12

RESOLUÇÃO DE UMA SENTENÇA MATEMÁTICA ABERTA

Resolver a sentença significa encontrar valores para as variáveis de modo a tornar a sentença verdadeira.

Exemplo:

Vamos resolver a sentença aberta

x - 4 = 6

Utilizando o que aprendemos em ‘Primeiros Passos da Álgebra - Isolando a variável com Adição e Subtração’ , podemos isolar o ‘x’ somando 4 de ambos os lados da igualdade e descobrir que:

x = 10

torna a sentença verdadeira pois:

10 - 4 = 6

é verdadeiro.

Portanto, nós teremos resolvido a sentença

x - 4 = 6

se dermos o valor 10 para o ‘x’.

Na próxima aula falaremos sobre as ‘Expressões Algébricas ou Literais’, acompanhem.

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A hierarquia das operações aritméticas e algébricas: a ordem correta das operações.

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Qual é a ordem correta das operações matemáticas?
O que se faz primeiro na resolução de uma expressão algébrica, a multiplicação ou a adição, a potenciação ou a divisão, a adição ou a subtração?

Em primeiro lugar, devemos saber que tudo o que iremos falar sobre a ordem em que as operações matemáticas devem ser executadas é uma convenção.

Isso quer dizer que alguns matemáticos antigos decidiram adotar essa ordem e daí para a frente tornou-se uma regra matemática obrigatória, seguida por todos e facilitando a comunicação, ou seja, é uma notação matemática destinada a simplificar e padronizar a execução das expressões algébricas.

Vamos, então, às orientações que devemos seguir para calcular corretamente uma expressão numérica:

1ª Orientação – Parênteses

Nas expressões que possuírem parênteses, colchetes e chaves devemos efetuar primeiro as operações que estão dentro deles, pois eles são sinais de agrupamento. Esses sinais de agrupamento devem ser eliminados na seguinte ordem: primeiro os parênteses, depois os colchetes e, por fim, as chaves.

Quando desejamos calcular o valor de uma expressão numérica e ela possui parênteses, devemos inicialmente executar as operações que estão dentro deles.

Exemplo:

2ª Orientação – Barra de divisão

A barra de divisão é também um sinal de agrupamento. Em expressões que contêm barras de fração, as operações que estão “em cima” e “em baixo” devem ser executadas antes da divisão.

Exemplo:

3ª Orientação – Símbolo de radical

O símbolo de radical é também um sinal de agrupamento. Em expressões que contêm símbolos de radical, as operações que estão dentro dele devem ser executadas antes de se extrair a raiz.

Exemplo:

4ª Orientação – Potenciação e Radiciação

Seguidas as orientações anteriores, dos agrupamentos pré-definidos, as primeiras operações que devem ser executadas são as potenciações e radiciações.

Numa expressão numérica devem ser efetuados, primeiro, os cálculos relativos às potências ou aos radicais.

Exemplos:

As potências e os radicais têm o mesmo nível de prioridade.

Se potência envolver radical ou radical envolver potência, deve ser efetuado antes o cálculo mais interno.

Se for potência de potência deve ser feita, primeiro a potência mais superior.

Se for radical de radical, o radical mais interno é feito primeiro.

Exemplos:

5ª Orientação – Multiplicação e divisão

Efetuados todos os cálculos de potenciação e radiciação, o próximo passo é efetuar os cálculos relativos às multiplicações ou às divisões.

Exemplo:

As multiplicações e as divisões têm o mesmo nível de prioridade

Se ocorrem ambas: divisão e multiplicação, deve ser efetuado antes o cálculo mais a esquerda, ou seja, o que vier primeiro.

Exemplo:

6ª Orientação – Somas e subtrações

Efetuados todos os cálculos de potenciação, radiciação, multiplicação e divisão, por fim devem ser efetuados os cálculos relativos às adições ou às subtrações.

As adições e as subtrações têm o mesmo nível de prioridade.

Se ocorrem ambas: adição e subtração, deve ser efetuado antes o cálculo mais a esquerda, ou seja, o que vier primeiro.

Exemplo:

RESUMINDO TUDO ISSO

De um modo geral, quando calculamos o valor de uma expressão numérica, a ordem de prioridade em que executamos as operações aritméticas e algébricas deve ser a seguinte:

1º) Efetuar os cálculos dentro dos sinais de agrupamentos prévios:

(o que estiver dentro dos parênteses);

[o que estiver dentro dos colchetes];

{o que estiver dentro das chaves};

/ o que estiver “em cima” ou “em baixo” da barra de divisão;

√ o que estiver dentro do símbolo de radical.

2º) Efetuar os cálculos de Potenciação ou Radiciação, em ordem, da esquerda para a direita

3º) Efetuar os cálculos de Multiplicação ou Divisão, em ordem, da esquerda para a direita.

4º) Efetuar os cálculos de Adição ou Subtração, em ordem, da esquerda para a direita

Exemplo:

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Primeiros Passos da Álgebra - Isolando a variável com Soma e Multiplicação na mesma expressão

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Nas aulas anteriores vimos como utilizar a adição e a subtração para isolar uma variável e balancear uma igualdade.

Vimos, também, como utilizar a multiplicação e a divisão para isolar uma variável.

Dando continuidade, hoje vamos falar de como isolar a variável quando temos todas as quatro operações misturadas na expressão.

Como exemplo usaremos o enigma a seguir:

UM ENIGMA

Qual é o número que está faltando na sentença matemática abaixo?

5x + 4 = 19

Que verbalizando ficaria: ” 5 x mais 4 é igual a 19 “

E que após resolvermos o enigma escrevemos:

X = 3

COMO RESOLVER

Resolver um problema em Álgebra, é exatamente como resolver um enigma.

Nesse enigma começamos com alguma coisa como ‘5x + 4 = 19’ e queremos terminar com alguma coisa como ‘x = 3’

Isso parece complicado. Mas não é se resolvermos o problema em duas etapas.

Para isolar o 'x', primeiro vamos retirar o '+4' e em seguida retiramos o 'vezes 5'.

Vamos ao exemplo:

- Primeira Etapa: Retirada do '+4' (como feito em Primeiros Passos da Álgebra - Isolando a variável com Adição e Subtração)

Quero remover o

’+4’

Para remove-lo

Fazemos o oposto

Nesse caso

subtraímos 4

Fazemos isso

Dos dois lados

Isso dá.....

RESOLVIDO

5X + 4 = 19

5X + 4 = 19

5X + 4 = 19

5X +0 = 15

5X = 15

  -4
0

-4 -4

  0 15

- Segunda Etapa: Retirada do 'vezes 5' (como feito em  PrimeirosPassos da Álgebra - Isolando a variável com Multiplicação e Divisão)

Quero remover o ’5’	Para remove-lo Fazemos o oposto Nesse caso Dividimos por 5	Fazemos isso Dos dois lados	Isso dá.....	RESOLVIDO
5X = 15	5X = 15	5X = 15	1X = 3	X = 3
	:5 1	:5 :5 1 3

Com o tempo, vamos adquirindo experiência

Quando tivermos um pouco mais de experiência nos cálculos, podemos resolver da seguinte maneira:

1 - Começamos com ---------------------- 5x + 4 = 19

2 - Subtraímos 4 dos dois lados -------- 5x + 4 - 4 = 19 - 4

3 - Simplificamos ------------------------- 5x = 15

4 - Dividimos por 5 dos dois lados ----- 5x / 5 = 15 / 5

5 - Simplificamos -------------------------- x = 3

Ou ainda mais rápido, fazendo assim:

1 - Começamos com ---------------------- 5x + 4 = 19

2 - Subtraímos 4 dos dois lados -------- 5x = 15

3 - Dividimos por 5 dos dois lados ----- x = 15

OBSERVAÇÃO

Para manter o equilíbrio, o que fazemos de um lado do "=" devemos fazer também do outro lado!!!!

Na próxima aula avançaremos um pouco na Álgebra falando sobre "A hierarquia das operações aritméticas e algébricas: a ordem correta das operações.". Acompanhem.

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Com a álgebra, conseguimos resolver vários enigmas brincando com letras, números e símbolos.

Na aula anterior vimos como utilizar a adição e a subtração para isolar uma variável e balancear uma igualdade.

Dando continuidade, hoje vamos falar de como usar a multiplicação e a divisão para resolver problemas.

Como exemplo usaremos o enigma a seguir:

UM ENIGMA

Qual é o número que está faltando na sentença matemática abaixo?

🖂 x 5 = 15

Bem, a resposta é 3, não é mesmo? Isto porque 3 x 5 = 15. Essa também foi fácil.

Só que na álgebra, nós não usamos envelopes, nós usamos uma letra (normalmente o 'x' ou o 'y', mas pode ser qualquer uma). Então, escrevemos assim:

X x 5 = 15

Acontece que o X (variável) é muito parecido com o x (sinal de multiplicação). Isso pode gerar muita confusão.

Então, na álgebra, não usaremos o sinal de multiplicação (x) entre números e letras.

Daí, colocamos o número ao lado da letra para significar que estamos multiplicando, ficando assim:

5x = 15

Que verbalizando ficaria: ” 5 x é igual a 15 “

E após resolvermos o enigma escrevemos:

X = 3

COMO RESOLVER

Resolver um problema em Álgebra, é exatamente como resolver um enigma.

Nesse enigma começamos com alguma coisa como ‘5x = 15’ e queremos terminar com alguma coisa como ‘x = 3’

Mas, ao invés de dizer ‘é óbvio que x=3’ vamos usar a seguinte abordagem passo a passo:

1- Devemos descobrir o que remover para isolar o ‘x’.

2- Depois, removemos fazendo o oposto (multiplicar é o oposto de dividir).

3- Fazemos isso de ambos os lados.

Vamos a um exemplo:

Quero remover o ’5’	Para remove-lo Fazemos o oposto Nesse caso Dividimos por 5	Fazemos isso Dos dois lados	Isso dá.....	RESOLVIDO
5X = 15	5X = 15	5X = 15	1X = 3	X = 3
	:5 1	:5 :5 1 3

POR QUE FAZER A MESMA COISA DE AMBOS OS LADOS?

Para manter o equilíbrio.

5X = 15

está equilibrado (enigma inicial)

5X : 5 = 15

desequilibrou o lado esquerdo porque dividimos por algo desse lado.

5X : 5 = 15 : 5

equilibrou novamente ao dividirmos pela mesma coisa do outro lado.

OBSERVAÇÃO

Para manter o equilíbrio, o que fazemos de um lado do "=" devemos fazer também do outro lado!!!!

Na próxima aula daremos continuidade a esse assunto com "Primeiros Passos da Álgebra - Isolando a variável com Soma e Multiplicação na mesma expressão". Acompanhem.

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A álgebra pode ser muito divertida. Com ela conseguimos resolver vários enigmas brincando com letras, números e símbolos.

Conforme vamos desvendando alguns dos seus vários “truques”, nossas habilidades para resolver questões aumentam gradativamente.

Hoje vamos falar de um primeiro “truque”, o mais elementar, o “truque” de como usar a adição e a subtração para resolver problemas.

Como exemplo usaremos um enigma:

UM ENIGMA

Qual é o número que está faltando na sentença matemática abaixo?

🖂 - 4 = 6

Bem, a resposta é 10, não é mesmo? Isto porque 10 - 4 = 6. Essa foi fácil.

Só que na álgebra, nós não usamos envelopes, nós usamos uma letra (normalmente o 'x' ou o 'y', mas pode ser qualquer uma). Então, escrevemos assim:

X - 4 = 6

Na verdade, tudo é muito simples. A letra (nesse caso o 'x') significa exatamente o seguinte: “nós não sabemos o valor desse número ainda”.

Essa letra, que representa o número desconhecido, frequentemente é chamada de variável.

E após resolvermos o enigma escrevemos:

X = 10

POR QUE USAMOS UMA LETRA

Temos alguns motivos:

1- É muito mais fácil escrever ‘x’ do que desenhar um ‘envelope vazio’.

2- É muito mais fácil dizer ‘x’ do que dizer ‘envelope vazio’.

3- Se tivermos vários ‘envelopes vazios’ (diferentes variáveis), nós podemos usar diferentes letras para representar cada uma delas.

Logo, escrevermos ‘x’ é muito melhor do que termos ‘envelopes vazios’

E não precisa ser x, pode ser y ou w... ou qualquer letra ou símbolo que quisermos.

COMO RESOLVER

Resolver um problema em Álgebra, é exatamente como resolver um enigma.

Nesse enigma começamos com alguma coisa como ‘x - 4 = 6’ e queremos terminar com alguma coisa como ‘x = 10’

Mas, ao invés de dizer ‘é óbvio que x=10’ vamos usar a seguinte abordagem passo a passo:

1- Devemos descobrir o que remover para isolar o ‘x’.

2- Depois, removemos fazendo o oposto (adicionar é o oposto de subtrair).

3- Fazemos isso de ambos os lados.

Vamos a um exemplo:

Quero remover o ’-4’	Para remove-lo Fazemos o oposto Nesse caso Somamos 4	Fazemos isso Dos dois lados	Isso dá.....	RESOLVIDO
X - 4 = 6	X - 4 = 6	X - 4 = 6	X - 0 = 10	X = 10
	+4 0	+4 +4 0 10

POR QUE FAZER A MESMA COISA DE AMBOS OS LADOS?

Para manter o equilíbrio.

X - 4 = 6

está equilibrado (enigma inicial)

X - 4 +4 = 6

desequilibrou o lado esquerdo porque acrescentamos algo desse lado.

X - 4 +4 = 6 +4

equilibrou novamente ao acrescentarmos a mesma coisa do outro lado.

OBSERVAÇÃO

Para manter o equilíbrio, o que fazemos de um lado do "=" devemos fazer também do outro lado!!!!

Na próxima aula daremos continuidade a esse assunto com "Primeiros Passos da Álgebra - Isolando a variável com Multiplicação e Divisão". Acompanhem.

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Valor Absoluto dos Números ou Módulo. Números Opostos ou Simétricos.

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O que é valor absoluto de um número? O que é módulo de um número? O que são números opostos? O que são números simétricos?

Já estudamos os números naturais e também o Conjunto dos Números Inteiros. O conjunto Z.

Sendo assim, sabemos o conceito de números positivos e números negativos. Para relembrar, é só clicar nos links.

Hoje, vamos falar sobre valores acima e abaixo de zero, ou seja, sobre números com valores positivos e números com valores negativos. Vamos tentar entender o conceito de valor absoluto de um número e, também o conceito de números opostos ou simétricos.

São conceitos bem simples que são muito utilizados no mundo da matemática.

VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO OU MÓDULO DE UM NÚMERO

Definição:

O valor absoluto de um número resulta da comparação desse número com o zero. É o quanto ele representa a mais ou a menos que zero.

Para os números positivos, o valor absoluto é o quanto ele representa a mais que zero.

Para os números negativos, o valor absoluto é o quanto ele representa a menos que zero.

Exemplos:

O Valor Absoluto de +6 é 6 pois, +6 representa 6 a mais que zero.

O Valor Absoluto de –6 é 6 pois, –6 representa 6 a menos que zero.

O Valor Absoluto de –10 é 10 pois, –10 representa 10 a menos que zero.

O Valor Absoluto de +10 é 10 pois, +10 representa 10 a mais que zero.

O Valor Absoluto de 0 é 0.

NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS

Definição:

Dois números de mesmo valor absoluto (um positivo e outro negativo) são denominados números Opostos ou Simétricos.

Isso por um motivo muito simples: quando representados na reta numérica, os números de mesmo valor absoluto ficam à mesma distância do zero, só que em lados opostos.

Exemplos:

Dizemos que +6 e –6 são números opostos (ou simétricos) pois +6 fica 6 à direita de zero e –6 fica 6 à esquerda de zero.

Dizemos que –10 e +10 são números simétricos (ou opostos) pois –10 fica 10 à esquerda de zero e +10 fica 10 à direita de zero.

Portanto: 6 é o oposto (ou simétrico) de –6 e –10 é o oposto (ou simétrico) de 10.

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Cálculo da Área Circular Sombreada. Duas circunferências tangentes a um quadrado.

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PROBLEMA

Considere dois círculos tangentes entre si e tangentes ao quadrado como mostrado na figura a seguir.

Sabendo que o quadrado tem lado de 2 cm, Determine a área circular sombreada.

Vamos fazer um passo a passo da resolução desse problema, mas pense um pouco nele, tente resolve-lo antes de ver a solução.

RESOLUÇÃO

1 - Como a circunferência maior tangencia o quadrado de lado igual a 2, podemos dizer que seu raio é igual a 1.

Como não sabemos o valor do raio da circunferência menor, vamos chama-lo de raio R.

2 - Agora, vamos tentar descobrir o valor do raio R, para conseguirmos, depois, calcular a área sombreada, que na verdade é a área do círculo de raio R.

Para facilitar nosso raciocínio, vamos traçar 3 retas.

2.1 - A primeira reta será paralela ao lado superior do quadrado passando pelo ponto B (centro da circunferência menor).

2.2 - A segunda reta será paralela ao lado lateral do quadrado passando pelo ponto A (centro da circunferência maior) e definirá juntamente com a reta anterior o ponto C (intersecção das duas retas)

2.3 - A terceira reta passará pelos pontos A e B (centro das duas circunferências)

3 - Como podemos notar, com essa construção formamos um triângulo ABC (triângulo retângulo em C)

Vamos ver se conseguimos descobrir o valor dos lados desse triângulo.

Para isso, vamos marcar os valores dos raios no desenho (R para o raio menor e 1 para o raio maior) e vamos analisar a figura.

Analisando a figura, descobrimos que:

BC = 1 - R

AC = 1 - R

AB = 1 + R

4 - Podemos muito bem usar o Teorema de Pitágoras nesse Triângulo Retângulo ABC

Teorema de Pitágoras => cateto²+ cateto²= hipotenusa²

Como vimos, temos:

Cateto AC = 1 - R

Cateto BC = 1 - R

Hipotenusa AB = 1 + R

Logo:

(1 - R)²+ (1 - R)²= (1 + R)²

5 - Vamos manejar essa equação para chegar em algo que consigamos calcular:

6 - Equação de segundo grau é uma equação que sabemos resolver. Lembrem-se da Fórmula de Báskara.

7 - Obtido o raio R, podemos agora calcular a área sombreada, que nada mais é do que o círculo de raio R

CONHEÇA A VERSÃO EM VÍDEO DESSA POSTAGEM

Essa é a versão em vídeo dessa postagem. Se quiser ver como ficou é só clicar.

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Quantos bichos de cada espécie existem no sítio. Desafio Matemático Resolvido.

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PROBLEMA

Num sítio existem 21 bichos, entre Patos e Cachorros. Sendo 54 o total de patas desses bichos, qual é o número de Patos e o número de Cachorros existentes no sítio?

Vamos ver como se resolve esse problema. Tente pensar um pouco nele antes de ver a solução.

RESOLUÇÃO

Vamos primeiro entender o enunciado em "português" e em seguida escrever a sentença matemática correspondente:

1) Num sítio existem 21 bichos, entre patos e cachorros.

Isto significa que:

O total de Patos(P) e Cachorros(C) é 21:

Logo podemos escrever matematicamente uma primeira equação:

P+C = 21 (1)

2) Sendo 54 o total de patas desses bichos.

Isto significa que:

Como Patos tem 2 patas e cachorros tem 4 patas, o número de Patos(P) vezes 2 mais o número de Cachorros(C) vezes 4 será o número total de patas.

Então podemos escrever matematicamente uma segunda equação:

2P+4C = 54 (2)

3) Portanto temos, agora, duas equações com duas incógnitas.

P+C = 21 (1)
2P+4C = 54 (2)

4) Vamos resolver esse sisteminha:

4.1) Isolando P na primeira equação temos:

P = 21-C

4.2) Substituindo na segunda equação temos:

2(21-C)+4C = 54

42-2C+4C = 54

2C = 54-42

2C = 12

C = 6

4.3) Agora basta encontrar o P:

P = 21-C

P = 21-6

P=15

RESPOSTA

Há 15 patos e 6 cachorros.

CONHEÇA A VERSÃO EM VÍDEO DESSE ARTIGO

Existe uma versão dessa postagem em um vídeo do meu canal no youtube. Se tiver interesse em conhecer, é só clicar.

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by Roberto M.

Hoje falaremos sobre a divisibilidade por 5 (cinco). Quem tiver curiosidade poderá ver outros artigos onde já falamos sobre a "Divisibilidade por zero. Quando um número é Divisível por zero.", sobre a "Divisibilidade por um. Quando um número é divisível por 1 (um).".

Já falamos também sobre a "Divisibilidade por dois. Quais números são divisíveis por 2 (dois)." , sobre a "Divisibilidade por Três. Quando um número é divisível por 3 (três).¨ e sobre a “Divisibilidade por quatro. Quando um número é divisível por 4 (quatro)”.

Acompanhe no vídeo abaixo, como saber se um número é divisível por 5 (cinco).

Um número é divisível por 5 (cinco) se ele terminar com o algarismo 0 ou com o algarismo 5.

Portanto, para verificar se um número é divisível por 5 (cinco) basta verificar se seu último algarismo é 0 ou 5.

No artigo "Critérios de Divisibilidade. Verificando a divisibilidade rapidamente." poderemos ver algumas regrinhas práticas para descobrir a divisibilidade por vários números entre zero e cinquenta.

Quero remover o ’+4’	Para remove-lo Fazemos o oposto Nesse caso subtraímos 4	Fazemos isso Dos dois lados	Isso dá.....	RESOLVIDO
5X + 4 = 19	5X + 4 = 19	5X + 4 = 19	5X +0 = 15	5X = 15
	-4 0	-4 -4 0 15