Scienza e Musica

LA FISICA DIETRO CERTI EVENTI ESTREMI: L'EQUAZIONE DI CLAUSIUS-CLAPEYRON

2026-02-11T20:19:00.001+01:00

Negli ultimi anni sentiamo parlare sempre più spesso di “eventi estremi”: alluvioni improvvise, uragani intensi, ecc.

Immagine tratta da: bit.ly/4rFDdJU

È naturale chiedersi se dietro questa intensificazione ci sia solo variabilità climatica o anche una legge fisica precisa.

La risposta passa per un’equazione formulata nell’Ottocento: l'equazione di Clausius-Clapeyron, che stabilisce come la quantità massima di vapore acqueo nell’aria cresca con la temperatura. E cresce in modo quasi esponenziale.

Prima di capire i dettagli di ciò abbiamo tuttavia bisogno di spiegare il concetto fisico di calore latente.

Tutti abbiamo un'idea basilare riguardante i cambiamenti di stato; sappiamo per esempio che l'acqua può solidificare in forma di ghiaccio o evaporare come vapore acqueo.

Immagine tratta da: bit.ly/4axsKts

Ci sembrano per lo più fenomeni abbastanza banali, ma in realtà lo studio delle transizioni di fase (termine più generale e rigoroso per esprimere lo stesso concetto) può essere anche estremamente complesso.

Analizzare alcune tipologie di transizioni di fase richiede infatti strumenti matematici avanzati, tra cui il funzionale di Ginzburg-Landau e il gruppo di rinormalizzazione di Wilson.

Non vi spaventate: qui ci interessano per fortuna solo le cosiddette transizioni di fase del primo ordine, le quali coinvolgono appunto un calore latente.

Giusto per completezza, diciamo che esistono anche transizioni di fase del secondo ordine (ad es. la transizione ferromagnetica e la transizione superfluida), che non sono associate ad alcun calore latente.

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LA MATEMATICA È UMANISTICA O SCIENTIFICA?

2025-05-10T21:01:00.001+02:00

Il tema portante dell'ormai imminente Carnevale della Matematica n. 187, che sarà tenuto da Dioniso Dionisi (ovvero Flavio Ubaldini), è davvero interessante.

Trattasi infatti di una domanda: la matematica è umanistica o scientifica?

Provo dunque qui a delineare brevemente il mio punto di vista sulla questione.

Partiamo da un fatto certo; senza dubbio la matematica è legata in modo indissolubile alla scienza.

Gran parte della conoscenza scientifica è espressa e si è potuta sviluppare soltanto grazie all'ausilio del linguaggio matematico.

Galileo Galilei (1564-1642), il padre del metodo scientifico moderno, asseriva infatti ne Il Saggiatore:

«La filosofia naturale è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi, io dico l’universo, ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua e conoscer i caratteri nei quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto».

Senza poi lo strumento matematico del calcolo infinitesimale, portato in auge, nel XVII secolo, da Newton e Leibniz (ricordiamo che alcune premesse ad esso si ritrovano già ai tempi di Archimede), difficilmente si sarebbero potute avere le immense conquiste della fisica che ci hanno portato a conoscere la meccanica, la termodinamica, l'elettromagnetismo, la relatività ristretta e poi quella generale, la meccanica quantistica e la teoria quantistica dei campi, sino ai più recenti tentativi di trovare una teoria del tutto.

In un'edizione del Carnevale della Matematica, tenuta proprio qui sul blog Scienza e Musica (cliccate qui per vederla), abbiamo anche potuto constatare come la matematica sia molto vicina pure alla spiegazione della vita e alla medicina.

Spostandoci sul piano della comunicazione della scienza, è anche vero che si può riuscire a svolgere buona divulgazione scientifica nei confronti del grande pubblico senza matematica (esistono per esempio svariati libri che raccontano concetti scientifici senza far uso di alcuna formula matematica), ma sono anche convinto che escluderla completamente laddove non richieda un tecnicismo di alto livello sia solo un ulteriore modo per alimentare la diffusa fobia della matematica e catalogarla immediatamente come "difficile", "per pochi eletti", quando in realtà non è così.

Spesso e volentieri infatti il linguaggio matematico ci permette di semplificare concetti che sarebbero complicati da esprimere a parole.

Pensate alle profonde analisi che vengono compiute nei confronti delle poesie ermetiche (di autori come Salvatore Quasimodo e Giuseppe Ungaretti), spesso caratterizzate da un linguaggio conciso, puramente essenziale, ma pregno di significato.

Ecco, non di rado le formule matematiche fanno lo stesso.

Se per esempio scrivessi

$(i\!\!\not\! \partial - m) \psi(\mathbf{x},t) = 0$,

al lettore non esperto questa formula avrebbe lo stesso impatto del leggere un testo in arabo o cinese, tuttavia dietro questo articolato formalismo matematico (ossia l'equazione di Dirac; per maggiori dettagli cliccate qui) si riesce ad esprimere velocemente un concetto profondissimo: l'esistenza dell'antimateria.

Senza la matematica ciò non sarebbe possibile.

Anzi, andrebbe sottolineato che la conquista di un formalismo algebrico moderno, che evita l'uso di parole, e rende la matematica molto sintetica e comoda da usare (come siamo abituati oggi), ha richiesto secoli e secoli nel corso della storia.

Si dovette infatti aspettare l'opera Isagoge del matematico francese François Viète (1540-1603) per giungere ad una vera e propria algebra simbolica, che poi culminerà nella celebre La Géométrie (1637) di Cartesio.

Prima di allora, infatti, l'algebra si conduceva soltanto in modo retorico e geometrico, al massimo arrivando ad alternare una descrizione parlata con delle abbreviazioni.

Pensate per esempio che il procedimento risolutivo generale dell'equazione di terzo grado venne raccontato a Gerolamo Cardano (1501-1576) da Tartaglia (1499 circa-1557) sotto forma di poesia!

Immaginate dunque quanto fosse molto più difficile svolgere della matematica, anche quella oggi considerata elementare, per gli antichi, senza una notazione univoca, sintetica, maneggevole, che oggi spaventa gli studenti, ma che in realtà è una vera fortuna poter avere.

C'è anche un ulteriore aspetto che rende di fondamentale importanza la conquista di un formalismo matematico.

Il linguaggio matematico è infatti l'unico, assieme a quello musicale (che poi la musica è anche matematica!), ad essere diventato universale, che non fa pertanto discriminazione tra popoli, lingue, religioni, generi e tutte le diversità che troviamo nella società umana, a parte qualche rara eccezione di popolazioni indigene con un loro formalismo specifico.

È una forma culturale così potente che unisce sostanzialmente tutti. Non considerando poi che senza lo sviluppo matematico e scientifico ora non potreste leggere questo post comodamente sui vostri pc, tablet o smartphone.

Tirando le fila del discorso, insomma la matematica è sicuramente scientifica, potentissima ed universale!

ATTENZIONE: La conclusione appena fornita non esclude però necessariamente l'altra parte del nostro quesito iniziale. Sì, la matematica è, seppur molti non ci crederanno e forse storceranno il naso, anche umanistica!

Sussiste questa tendenza assai pericolosa di separare in maniera brusca la cultura scientifica e quella umanistica.

Nel corso degli anni in questo blog abbiamo tuttavia avuto modo di vedere (cliccate qui per un bell'esempio) come la matematica e la scienza facciano capolino nei più disparati ambiti del sapere e dell'arte (musica compresa ovviamente), sino ad arrivare addirittura al mondo dei manga e degli anime.

E, se ancora non ci credete a questa rapporto della matematica col mondo umanistico, nel 2011 Bruno D'Amore, grandissimo esperto di didattica della matematica, ha pubblicato un testo intitolato Dante e la matematica!

Ed ancora, il De rerum natura, poema didascalico latino di Lucrezio, è stato analizzato, nel 2013, dal matematico Piergiorgio Odifreddi in Come stanno le cose. Il mio Lucrezio, la mia Venere, portando alla luce il fatto che molti concetti scientifici moderni siano stati anticipati nell'opera dell'autore latino del I secolo a.C.

Ed ancora, nel libro Vortici e vertigini, del 2019, Marco Fulvio Barozzi (sul web noto come Popinga), ha descritto la poesia scientifica dell'Inghilterra del XIX secolo.

Inoltre sono stati realizzati romanzi ispirati in modo significativo alla matematica.

Citiamo a titolo di esempio il romanzo del 1998 di Denis Guedj Il teorema del pappagallo, un giallo a sfondo filosofico-scientifico che coinvolge grandi teoremi e personaggi della matematica da Pitagora sino all'ultimo teorema di Fermat.

La lista di connessioni tra matematica e cultura umanistica potrebbe andare avanti a lungo. La matematica potrebbe celarsi pure lì dove non pensereste mai che sia presente. Anzi, è spesso interessante, divertente e didatticamente utile andare a scovare nuove connessioni.

TL;DR: La matematica è sicuramente scientifica ma è anche, che piaccia o no, umanistica!

Concludiamo segnalando un divertentissimo video che riguarda, tra le altre cose, una poesia d'amore per i numeri primi solitari.

GIFTED - IL DONO DEL TALENTO

2025-03-10T10:31:00.002+01:00

Dopo Il teorema di Margherita (cliccate qui per la recensione), proseguiamo sul filone delle recensioni dei film con protagonista la matematica.

Oggi infatti parliamo di Gifted - Il dono del talento, un film del 2017 diretto da Marc Webb, con l'ormai ex Captain America, ovvero Chris Evans.

Di film sui bambini prodigio ne sono stati realizzati tanti, ma questo è sicuramente sopra la media per le tematiche trattate e le emozioni in grado di suscitare.

Portando al minimo gli spoiler, la trama è infatti incentrata attorno al talento e alla particolare condizione familiare di una bambina di 7 anni, Mary Adler, interpretata da Mckenna Grace, che si ritrova a passare i primi anni della propria esistenza con lo zio Frank (il già citato Chris Evans) a seguito del suicidio da parte di sua madre, ovvero la sorella di Frank.

Il talento matematico di Mary è motivo di forte preoccupazione per lo zio, che vorrebbe farle vivere una vita il più possibile simile a quella tipica dei bambini della sua età nel tentativo di non portarla nelle stesse condizioni soffocanti a cui è stata sottoposta la sorella fino al momento del gesto estremo.

La madre della bambina infatti era una matematica di straordinario talento, concentrata nel tentativo per niente banale di trovare una risoluzione ad uno dei famosi 7 problemi del millennio!

Sappiamo bene (e ciò viene evidenziato pure nel film) che si tratta di una lista di problemi matematici di grande importanza ancora irrisolti, tranne uno, la congettura di Poincaré, dimostrata da Perel'man nel 2002.

A chi fosse in grado di risolverne uno viene assegnato un premio in denaro di 1 milione di dollari (che Perel'man rifiutò), ma ovviamente ciò che davvero si va a conquistare è la fama immortale all'interno della storia della matematica.

Nel film il talento di Mary non si limita alla solita classica bravura nel compiere per esempio moltiplicazioni, divisioni o estrazioni di radici quadrate di grandi cifre a mente, ma c'è proprio, sulle orme della madre, una comprensione profonda di quella che è la vera matematica a livelli avanzati, quella fatta di teoremi e dimostrazioni, che abbiamo potuto osservare anche ne Il teorema di Margherita.

E tutto gira nello specifico intorno ad uno dei problemi del millennio particolarmente legato anche alla fisica: l'esistenza e regolarità delle soluzioni delle equazioni di Navier-Stokes.

Trattasi di equazioni alle derivate parziali fondamentali nell'ambito della meccanica dei fluidi, di cui però abbiamo una comprensione teorica assolutamente incompleta riguardo alle soluzioni.

Per esempio i matematici non sono mai riusciti sinora a dimostrare che, date delle condizioni iniziali generiche, esistano SEMPRE soluzioni lisce al sistema tridimensionale, appunto il sopracitato problema dell'esistenza e regolarità delle soluzioni delle equazioni di Navier-Stokes.

Se volete saperne di più sulla difficoltà legata alla soluzione di tali equazioni, vi consiglio di guardare questo splendido video tratto dal canale YouTube Aleph 0:

Ora magari qualcuno si starà domandando perché dovrebbero essere in teoria dei matematici a tentare di risolvere il problema quando stiamo parlando di equazioni della fisica.

Beh, spesso certe equazioni della fisica, come ad esempio l'equazione di Laplace (o la più generale equazione di Poisson) e l'equazione del calore, non sono altro che prototipi di equazioni differenziali le cui proprietà possono poi essere studiate nel dettaglio da un punto di vista prettamente matematico.

Per esempio il matematico italiano Bruno Pini (1918-2007) fu il primo a dimostrare, nei primi anni '50, che le funzioni caloriche soddisfano delle formule di media, un bel salto in avanti rispetto a quanto fatto analogamente da Gauss, attorno al 1840, per le formule di media relative al più semplice laplaciano.

Potete trovare qualche dettaglio tecnico sull'argomento cliccando qui e qui.

Tornando al film, al di là degli interessanti dettagli matematici presenti, una riflessione importante è quella che viene fornita riguardo alla vita condotta dalle persone troppo intelligenti (o meglio, particolarmente dotate in un certo ambito del sapere e delle attività umane, dato che la definizione di intelligenza è un concetto molto relativo, tant'è che Howard Gardner, nel 1983, propose di distinguere l'intelligenza in 7, poi diventate 9, manifestazioni essenziali).

Da una parte viene sottolineato il giusto tema della noia di fronte ai tradizionali programmi scolastici, dall'altro lato, tuttavia, anche le persone molto dotate restano in fin dei conti degli esseri umani, con le proprie emozioni, la loro voglia di avere dei momenti di svago (seppur la matematica per loro possa essere estremamente affascinante e coinvolgente) e di socialità, e magari anche la ricerca dell'amore.

Il film mostra oltretutto la questione dell'estrema pressione a cui certi genitori sottopongono i propri figli mossi da aspettative talvolta colossali e che possono recare dei danni psicologici non da poco.

Insomma Gifted, oltre ad affascinarci con la matematica ed emozionarci con alcune scene intense, ci porta a domandarci quale debba essere il giusto equilibrio nella formazione dei giovani che sia l'ambiente familiare sia quello scolastico dovrebbero adottare per far crescere persone allo stesso tempo capaci ma anche possibilmente serene.

Ovviamente questi interrogativi non sono banali e probabilmente non c'è una risposta univoca, ma già che ci si rifletta su costituisce un bel traguardo educativo per una pellicola cinematografica neanche troppo di nicchia.

Per tali motivazioni la visione di Gifted è consigliata non soltanto agli appassionati di matematica, ma anche a chi voglia semplicemente seguire una bella storia che porti a delle riflessioni profonde al termine del film.

Poiché abbiamo parlato di bambini prodigio, concludiamo in musica con un'esecuzione a dir poco incredibile del Piano Trio No. 1 Op. 49 di Felix Mendelssohn da parte di un trio di tredicenni coreani, il Rabbit Trio.

LA SPAGHETTIFICAZIONE

2025-02-07T12:02:00.000+01:00

Il 6 dicembre 2024 è uscita la versione early access del videogame Path of Exile 2 (abbreviato PoE2), il sequel di un famoso action RPG.

Si potrebbe a lungo parlare della relazione tra PoE e la matematica, dato che per esempio il gigantesco albero delle abilità (skill tree) presente sia nel gioco originale che nel suo sequel potrebbe essere analizzato dal punto di vista della teoria dei grafi, la cui origine risale ad un articolo scritto da Eulero nel lontano 1736.

Skill tree in PoE2.

Ma in questo post non ci focalizzeremo su questo aspetto, ma su un preciso nodo di quel monumentale skill tree che ci connette direttamente anche alla fisica moderna! Di seguito l'immagine che lo descrive.

Trattasi di un nodo piuttosto potente ed utile, specialmente nelle build che si appoggiano su un altro nodo assai significativo chiamato "Chaos Inoculation". Quest'ultimo è un nodo che infatti consente di rendersi immune a qualsiasi fonte di danno di tipo chaos (rendendo quindi quel malus -13% alla resistenza al chaos di Spaghettification totalmente insignificante) a patto di portare la vita del personaggio ad un valore pari a 1, cosa decisamente fattibile se le difese del personaggio che si sta portando avanti vengono basate su altre meccaniche come l'energy shield oppure il mana.

Io stesso ho infatti inserito (tramite un procedimento detto "instilling") il nodo Spaghettification sull'amuleto del mio Gemling Legionnaire, amuleto che potete ammirare qui di seguito.

Ma cosa diavolo significa spaghettificazione in fisica?

Per capirlo abbiamo bisogno di riferirci alla famosa relatività generale di Einstein, una teoria datata 1915 e che descrive la gravità come curvatura dello spaziotempo (avevamo parlato un po' in dettaglio di spaziotempo qui).

Le equazioni fondamentali della suddetta teoria sono le equazioni di campo di Einstein:

Esse mettono in relazione la geometria dello spaziotempo (1° membro della formula sopra riportata, in cui per semplicità abbiamo omesso la presenza della celebre costante cosmologica) e la distribuzione di materia-energia (2° membro dell'equazione).

Analizzare in modo dettagliato l'aspetto tecnico di tali equazioni (sottolineiamo che il plurale è d'obbligo, anche se la formula riportata è singola, perché in modo esplicito quella formula rappresenta un sistema di ben 10 equazioni differenziali alle derivate parziali) va ben oltre lo scopo divulgativo di questo post.

Ci basti qui sapere che sussistono 2 modi fondamentali per provare a risolvere tali complicate equazioni: 1) sfruttando specifiche simmetrie 2) facendo uso dell'analisi numerica (cioè usando approssimazioni).

La più semplice soluzione non banale che conosciamo è certamente la metrica pubblicata nel 1916 da Karl Schwarzschild, ossia in simboli:

Qui abbiamo assunto il caso specifico di simmetria sferica (immaginate per esempio la geometria al di fuori di una stella sferica) nel vuoto (ossia il 2° membro delle equazioni di campo di Einstein è 0).

La metrica di Schwarzschild è utile per descrivere buchi neri statici (cioè non rotanti, a differenza dei buchi neri di Kerr) che non posseggono una carica elettrica. Per gli scopi del post ci accontenteremo di considerare solo la "semplice" metrica di Schwarzschild, un modello matematico ideale, ma tenete ben presente che i reali buchi neri astrofisici sono decisamente non statici.

Quando la coordinata radiale $r$ è uguale a $2GM/c^2$, ovvero al cosiddetto raggio di Schwarzschild (generalmente indicato con $r_s$), ciò che stiamo descrivendo è l'orizzonte degli eventi della situazione.

Attenzione: $r = r_s$ è una singolarità apparente, non una singolarità fisica (mentre $r = 0$ è davvero una singolarità fisica, dunque qui la curvatura diventa infinita).

La chiamiamo apparente (in inglese "coordinate singularity") perché tale singolarità è presente solo in specifici sistemi di coordinate (nel nostro caso quello di Schwarzschild).

Se infatti immaginiamo un raggio di luce che si avvicina al punto $r = r_s$ (si veda immagine qui sotto) nelle coordinate di Schwarzschild, sembrerebbe che esso non arrivi mai ad $r_s$, ma tutto ciò è solo una mera illusione!

Coni di luce nel sistema di coordinate di Schwarzschild.
Figura presa da https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9712019.

La verità è che un raggio di luce non ha alcun problema nel raggiungere $r_s$, è semplicemente una questione di coordinate.

Difatti si potrebbero introdurre differenti sistemi di coordinate, come il sistema di Eddington-Finkelstein, ove la superficie $r = r_s$ risulta perfettamente regolare, ma globalmente rappresenta un punto di non ritorno giacché sappiamo che un orizzonte degli eventi è una struttura causale.

Coni di luce nel sistema di coordinate di Eddington-Finkelstein.
Figura presa da https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9712019.

Ora, dato che nulla (inclusa la luce) può fuggire dall'orizzonte degli eventi, non siamo in grado di vedere cosa c'è dentro!

In altre parole, stiamo definendo i buchi neri come regioni dello spaziotempo separate da $r = \infty$ (la cosiddetta regione asintotica) da un orizzonte degli eventi.

Se immaginiamo adesso di dirigerci vicino al centro di un buco nero, inizieremmo ad avvertire intense forze di marea.

Immagine tratta da https://it.wikipedia.org/wiki/Forza_di_marea.

Nello specifico, riceveremmo uno stiramento verticale bilanciato da una compressione orizzontale, che porta gli oggetti ad assumere forme lunghe e sottili come quella degli spaghetti! Questo è appunto il processo noto come spaghettificazione.

Immagine presa da https://en.wikipedia.org/wiki/Spaghettification#.

Si noti che una diversa massa dei buchi neri presi in considerazione andrebbe a condizionare notevolmente tale fenomeno poiché questo parametro influenzerebbe il punto in cui le forze di marea diventano rilevanti.

Infine, segnaliamo che recentemente, nell'articolo https://arxiv.org/pdf/2404.09381, sono state condotte svariate interessanti simulazioni inerenti a questo fenomeno.

Concludiamo in musica con un iconico pezzo dei Soundgarden, datato 1994, intitolato Black Hole Sun.

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Il post che avete letto è una versione estesa del thread che ho pubblicato in inglese il 2 dicembre 2024 su Bluesky.

LA LAGRANGIANA DI HEISENBERG-EULER E NUOVI SVILUPPI NELLA FISICA

2024-11-11T10:06:00.001+01:00

Dato che in questo periodo sto lavorando alla mia tesi di laurea magistrale in fisica (percorso "fisica teorica e computazionale"), volevo provare a condividere con i lettori del blog una rapida panoramica storico-divulgativa dell'argomento nocciolo della tesi: la Lagrangiana di Heisenberg-Euler (e la corrispondente azione efficace).

Avevamo già introdotto brevemente il fondamentale concetto di Lagrangiana in fisica qui.

La Lagrangiana di Heisenberg-Euler è uno dei primissimi concetti non banali sviluppati nell'ambito della cosiddetta elettrodinamica quantistica, spesso abbreviata come QED, ovvero la teoria quantistica del campo elettromagnetico, su cui Richard Feynman (1918-1988) non solo fornì contributi a dir poco essenziali, ma ci scrisse pure un testo divulgativo (pubblicato nel 1985), di brillante chiarezza, intitolato in italiano QED: La strana teoria della luce e della materia.

Tale Lagrangiana risale, nello specifico, ad un articolo pubblicato nel 1936 da Werner Karl Heisenberg (1901-1976), quello del celebre principio di indeterminazione, e dal suo studente di dottorato Hans Heinrich Euler (1909-1941), che potete visionare nella traduzione in inglese cliccando qui.

Ma quale fu il background storico che portò alla realizzazione di tale fondamentale articolo?

Beh, innanzitutto fu ovviamente fondamentale lo sviluppo della meccanica quantistica negli anni '20 del XX secolo da parte di figure come Schrödinger, Born, Pauli, lo stesso Heisenberg e diversi altri pilastri della fisica moderna.

E poi ci fu, nel 1928, la mitica equazione di Dirac e la conseguente scoperta del positrone (la prima antiparticella), di cui abbiamo parlato qui.

Proprio in questo clima di grosso fermento culturale si cominciarono a gettare le basi per la QED, teoria che tuttavia presentava difficoltà assai spinose, ossia divergenze (in parole povere risultati infiniti che andrebbero rinormalizzati) che venivano fuori nei calcoli e che portarono inizialmente svariati fisici, tra cui persino Dirac, a non nutrire fede sul futuro della suddetta teoria.

Per farvi intuire il grado di complessità della questione, torniamo un attimo sull'equazione di Dirac

Ciò che l'equazione di Dirac esprime matematicamente in modo elegante, ma decisamente non banale, è l'elettrone visto come un pezzo di carica elettrica in un punto nel vuoto spaziale quantistico.

Il problema è che la realtà della QED è molto più complessa di questo "semplice" modello.

Infatti la QED prevede che l'elettrone sia in verità circondato da campi elettromagnetici, a cui bisogna pure aggiungere coppie di elettroni e positroni virtuali che emergono dentro e fuori dal vuoto (un fenomeno in gergo tecnico chiamato polarizzazione del vuoto, dimostrato sperimentalmente nel 1997 dall'acceleratore di particelle TRISTAN in Giappone).

Pertanto ciò che i fisici sperimentali interpretano come massa dell'elettrone non è quella dell'elettrone "nudo" descritto dall'equazione di Dirac, bensì il risultato dell'interazione del suddetto col proprio campo elettromagnetico e con questa bizzarra polarizzazione del vuoto.

Giungiamo all'anno 1934, anno in cui Heisenberg, prima con lettere scritte a Pauli e Weisskopf, poi con un articolo, Remarks on the Dirac theory of the positron, arriva a formulare qualcosa di molto vicino ad una QED rinormalizzata (poi effettivamente realizzata da altri studiosi alla fine degli anni '40).

Insomma, in questa atmosfera decisamente tesa, Heisenberg propone al suo studente Euler di studiare, come argomento di tesi, lo scattering di 2 fotoni facendo uso di un particolare formalismo (quello della matrice densità) che egli aveva perfezionato per la QED nell'articolo poco fa menzionato.

Oltre a ciò, Euler lavorò, assieme ad un altro degli studenti di Heisenberg, Bernhard Kockel (1909-1987), ad una analisi dell'ampiezza di scattering fotone-fotone nel limite di bassa frequenza.

Tale studio servì in particolare a mostrare che il vuoto quantistico possa essere visto come un mezzo (teoricamente rilevabile in laboratorio, ma nella pratica tale rilevazione risulta assai complicata) e che le relazioni tra campi elettrici e magnetici fossero non lineari in questa teoria.

Tutto ciò aprì la strada al lavoro sopramenzionato di Heisenberg ed Euler del 1936, nel quale pervennero a quella che oggi chiamiamo proprio in loro onore Lagrangiana di Heisenberg-Euler (d'ora in poi li abbrevieremo con H-E), un oggetto matematico formidabile, capace di fornirci tante informazioni nell'ambito della teoria quantistica dei campi, e che in forma compatta si può esprimere come segue.

Non entreremo nei dettagli della discussione e derivazione di tale formula, che vanno ben al di là degli scopi divulgativi di questo post.

Ciò su cui vorrei invece soffermarmi è una recente sorprendente scoperta, riportata da Gies e Karbstein in un articolo (lo trovate cliccando qui, per chi fosse interessato a leggerlo) pubblicato nel 2017, inerente a tale Lagrangiana e alla corrispondente azione efficace.

In parole povere, Gies e Karbstein hanno constatato che, quando si va ad analizzare un'espansione a loop della Lagrangiana di H-E, risultano non nulli dei contributi (i cosiddetti "1PR contributions", dove 1PR sta letteralmente per "one-particle reducible") che prima si riteneva invece svanissero considerando campi elettromagnetici costanti!

Immagino che chiunque abbia più o meno idea di cosa sia un loop in un contesto generico. Interi episodi di serie tv (da Star Trek a Streghe, da Supernatural ad Agents Of S.H.I.E.L.D., da Russian Doll a Triage e tante altre) per esempio sono dedicati a situazioni in cui i personaggi si risvegliano ogni giorno nel medesimo giorno in cui accadono le stesse cose, i cosiddetti loop temporali, cercando disperatamente di uscire fuori da questo ciclo infinito.

Bene, nell'ambito della teoria quantistica dei campi, i loop sono raffigurazioni (spesso di forma circolare) all'interno dei diagrammi di Feynman che costituiscono correzioni quantistiche (matematicamente espresse da integrali sui momenti) rispetto alla teoria classica dei campi (cioè quella in cui la famosa costante ℏ tende a 0).

Il più semplice esempio di loop in tale contesto si ritrova nel tadpole (letteralmente "girino"), il cui diagramma di Feynman riportiamo qui di seguito nella rappresentazione tratta da Wikipedia.

Ciò che hanno riscontrato Gies e Karbstein nello specifico è che, andando a valutare l'azione efficace di H-E a 2 loop, viene fuori un risultato rappresentabile come segue.

Questo significa che, all'ordine correttivo di 2 loop, l'azione efficace di H-E viene fornita da un contributo 1PI (letteralmente "one-particle irreducible"), cioè irriducibile, che visualizziamo a sinistra del "+", e da un contributo 1PR, che possiamo vedere a destra del "+".

Vi potreste magari chiedere perché il primo contributo è chiamato irriducibile, mentre il secondo è detto riducibile.

Beh la risposta è piuttosto semplice. Potete facilmente notare, osservando i due diagrammi, che se proviamo a tagliare il secondo (quello a destra) con una linea immaginaria nel mezzo otterremmo 2 diagrammi ancora sensati, mentre nel caso del diagramma 1PI siamo impossibilitati a compiere questo "taglio" (non si può spezzare un loop a metà!).

Come già detto, il risultato ottenuto da Gies e Karbstein è davvero sorprendente poiché, fino alla pubblicazione del loro articolo, tutta la comunità dei fisici credeva che il contributo del diagramma 1PR sopra rappresentato fosse nullo, invece non lo è!

E ciò spalanca le porte per nuovi rilevanti studi.

Sempre nel 2017, infatti, Edwards e Schubert, nell'articolo (cliccate qui per leggerlo) One-particle reducible contribution to the one-loop scalar propagator in a constant field, non solo hanno derivato nuovamente il risultato di Gies e Karbstein per mezzo del cosiddetto worldline formalism (ne parlammo qui), riottenendo l'elegantissima formula

ma si sono spinti oltre andando a calcolare il contributo 1PR ad un loop nel caso del propagatore scalare.

E teoricamente, come sto facendo nella mia tesi, sempre mediante l'uso del worldline formalism, ci si può spingere ancora oltre, andando per esempio a considerare cosa succede ai contributi 1PR della Lagrangiana di H-E se invece dello scambio di fotone (particella di spin 1 rappresentata dalla linea ondulata nel diagramma di cui sopra) si considerasse per esempio lo scambio di uno scalare (particella il cui spin è pari a 0) o addirittura di un gravitone (particella ipotetica di spin 2 mediatrice dell'interazione gravitazionale, su cui recentemente ci sono stati sviluppi teorici in merito alla possibilità di rilevazione, come potete leggere qui)!

Insomma la bellezza della fisica sta anche nel fatto che non finisce mai di sorprenderci e impegnare le menti in una ricerca sempre più profonda della natura delle cose.

Per rimanere in tema gravità, concludiamo in musica con una splendida performance di Gravity, canzone di John Mayer del 2006, nella cover di Clark Beckham e Yebba.

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Fonti essenziali per i dettagli storici:

- QED and the Men Who Made It: Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga di S. S. Schweber

- The Infinity Puzzle. Quantum Field Theory and the Hunt for an Orderly Universe di F. Close

- Early Quantum Electrodynamics: A Source Book di A. I. Miller.

IL TEOREMA DI MARGHERITA E LA CONGETTURA DI GOLDBACH

2024-09-30T10:06:00.001+02:00

"Il teorema di Margherita" è un film del 2023, recentemente divenuto gratuitamente disponibile per la visione sulla piattaforma RaiPlay.

Come il titolo lascia immaginare, al centro della vicenda c'è la matematica.

Non è ovviamente la prima volta che la matematica fa capolino sul grande schermo, si pensi ad esempio ad "A Beautiful Mind" (che racconta la vita del famoso matematico, premio Nobel per l'economia John Nash), a "Will Hunting - Genio ribelle" (il cui protagonista è un giovane prodigio della matematica che fa le pulizie al MIT), a "L'uomo che vide l'infinito" (incentrato sulla breve ma prolifica vita del genio indiano Ramanujan e del suo rapporto con un altro noto matematico, G.H. Hardy), ecc.

Insomma la matematica, seppur considerata notoriamente materia ostica ed arida, in realtà è in grado di mostrare tutto il suo fascino nel mondo cinematografico e non solo (abbiamo per esempio osservato in passato, cliccate qui, come la matematica faccia capolino nello splendido anime Banana Fish).

Ne "Il teorema di Margherita" si compie però, a mio avviso, un passo innovativo, ovvero c'è la possibilità di percepire con maggiore concretezza come lavora un vero matematico.

Chi di professione non fa il matematico (o comunque non è avvezzo ad un formalismo scientifico elevato) può tendere a sminuire la matematica ad un saper far di conto.

Sussistono infatti anche rappresentazioni cinematografiche che mostrano bambini in grado di effettuare mentalmente calcoli mostruosi, come ad esempio la seguente scena tratta dal film del 1991 intitolato "Il mio piccolo genio".

Tuttavia, quando parliamo della vera matematica che si discute all'interno delle università e delle scuole di eccellenza, non si lavora propriamente con cifre numeriche elevate, bensì con lemmi, congetture, teoremi e dimostrazioni, che possono spaziare negli innumerevoli settori specialistici in cui si è evoluta la matematica moderna.

Un'evoluzione così ampia nell'ultimo secolo che per trovare un matematico capace di contribuire in praticamente ogni branca esistente (un cosiddetto "matematico universalista") dobbiamo ancora riferirci a Poincaré (1854-1912) e von Neumann (1903-1957).

"Il teorema di Margherita" ci catapulta immediatamente nella realtà della giovane Marguerite Hoffmann (interpretata da Ella Rumpf, la quale è stata insignita per tale interpretazione dei premi César e Lumière come migliore promessa femminile), dottoranda in matematica all’École Normale Supérieure (ENS) di Parigi, con un'intervista.

Marguerite è una ragazza incredibilmente intelligente ma molto riservata (infatti non sembra molto entusiasta di dover partecipare all'intervista), la cui vita, almeno fino a quel momento, risulta totalmente focalizzata sulla passione per la matematica.

Ricalca dunque, almeno all'inizio, un po' la visione stereotipata che si ha tipicamente di un genio della matematica.

Come una qualsiasi persona che decide di intraprendere l'arduo percorso del dottorato di ricerca, la sua ricerca si focalizza su un preciso tema tecnico, nel caso specifico il nocciolo della ricerca è costituito da questioni vicine alla famosa congettura di Goldbach, che ispirò tra le altre cose anche il romanzo "Zio Petros e la congettura di Goldbach" (1992) di Apostolos Doxiadis.

Viene puntualizzato sin dagli attimi iniziali della pellicola che si tratta di una congettura, cioè un enunciato matematico non dimostrato, e non di un teorema, ovvero un enunciato già dimostrato.

La suddetta congettura asserisce che "ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi" (che possono essere anche uguali).

Come potete constatare, l'enunciato è facilissimo, persino un bambino potrebbe coglierne il significato. E allora dove sta il problema? Il problema (un po' come per il famosissimo ultimo teorema di Fermat) sta nel dimostrare rigorosamente la veridicità di tale affermazione, cosa che nessuno fino ad ora è mai riuscito a fare!

La congettura di Goldbach è stata formulata per la prima volta, nel 1742, in uno scambio epistolare tra Christian Goldbach e il più celebre Eulero (cliccate qui per un altro aneddoto che li riguarda).

In verità la suddetta congettura è spesso chiamata "congettura forte di Goldbach" giacché la sua dimostrazione implicherebbe in automatico la veridicità di un'altra congettura nota come "congettura debole di Goldbach" (naturalmente la dimostrazione della "debole" non implicherebbe la veridicità della "forte").

La congettura "debole" afferma che "ogni numero dispari maggiore di 7 può essere espresso come somma di tre primi dispari" o, equivalentemente, che "ogni numero dispari maggiore di 5 può essere espresso come somma di tre numeri primi".

Buone notizie almeno su questo fronte: la congettura "debole" di Goldbach è stata dimostrata nel 2013 dal matematico peruviano Harald Andrés Helfgott.

Infatti la sua dimostrazione (se volete per curiosità darci uno sguardo, cliccate qui) è stata accettata, nel 2015, per la pubblicazione sugli Annals of Mathematics Studies, anche se, va rimarcato, tutt'oggi la pubblicazione su rivista peer-reviewed non è ancora stata effettuata in modo integrale, come si legge qui.

Ma torniamo al film. La nostra Marguerite si ritrova ben presto a dover affrontare un importante seminario inerente alle sue ricerche.

E qui entra in gioco il delicato tema dell'ansia e della pressione sociale.

Tutti prima o poi nella propria vita si ritrovano a dover soddisfare delle aspettative più o meno grandi nella scuola o nel lavoro. Nei casi estremi ciò può portare alla vera e propria disperazione, alla depressione se non addirittura al suicidio, come testimoniato da casi di cronaca come quello di Chieti (cliccate qui).

Un tema, questo, che ritroviamo anche nel film, datato 2014, Whiplash, in cui la mente di un giovane batterista jazz viene psicologicamente turbata dal suo, a dir poco severo, direttore d'orchestra. La scena qui di seguito rende molto bene l'idea.

Ma cerchiamo di prendere come motto quanto afferma la commovente canzone sudcoreana "Breathe" di Lee Hi:"fai un respiro profondo, finché entrambe le parti del tuo cuore non diventano insensibili. Va bene commettere errori a volte, perché chiunque può farlo".

Tornando a Marguerite, ella non regge la pressione del seminario (oltretutto pieno zeppo di uomini; pochissime le donne presenti), quando un collega, Lucas, nuovo protetto del suo professore relatore, le fa presente un errore che invaliderebbe il suo lavoro (errore dovuto anche alla poca disponibilità ed umanità che lo stesso professore mostra nei confronti di Marguerite).

Insomma tale seminario va a rappresentare, nel bene o nel male, un punto di rottura (un fisico, per ironizzare, direbbe una rottura spontanea di simmetria!) nella ripetitiva esistenza di Marguerite, portandola infatti a chiedere le dimissioni dal dottorato ed incominciare una vita in un ambiente decisamente diverso da quello accademico.

Vengono così fuori disparati nuovi temi come la sessualità (buona per esempio la battuta "non sei mai stata con un uomo o con una donna" della sua amica e coinquilina Noa, che rompe lo schema stereotipato di dare per scontata l'eterosessualità o l'omosessualità di una persona appena conosciuta solo guardando il suo aspetto fisico e il suo modo di vestire), l'applicazione della matematica in contesti inimmaginabili come il mahjong (celebre gioco da tavolo cinese, che ha ispirato anche altri personaggi intellettualmente molto brillanti come Akagi, protagonista dell'omonimo manga di Nobuyuki Fukumoto) ed ovviamente l'amore, che certamente può essere riservato alla matematica ma non per questo deve escludere anche il suo significato romantico.

D'altronde "Love wins all", come afferma la recente canzone della cantante e attrice sudcoreana IU.

Senza fare ulteriori spoiler, "Il teorema di Margherita" rappresenta in conclusione un interessante ed intrigante percorso di formazione personale di una giovane ragazza in una società ancora piuttosto maschilista e che non vede di buon grado l'essere "diversi" (ne abbiamo parlato un po' qui e qui), un racconto che sicuramente appassionerà i patiti di matematica, ma che può essere apprezzato anche da chi la matematica la detesta; e magari, chissà, la detesterà un po' meno dopo la visione del film!

IL PARADOSSO DI BERTRAND

2024-04-10T11:45:00.000+02:00

Tra i grandi problemi della matematica c'è sicuramente il paradosso di Bertrand (così denominato da Poincaré).

Esso fu formulato per la prima volta dal matematico francese Joseph Louis François Bertrand (1822-1900) nella sua opera, datata 1889, intitolata Calcolo delle probabilità.

Immaginiamo di possedere 3 scatole identiche, ciascuna avente 2 scompartimenti ed una medaglia inserita in ciascuno di essi.

Supponiamo che:

- cassa n.1: contiene 2 medaglie d'oro;

- cassa n.2: contiene 1 medaglia d'oro ed 1 d'argento;

- cassa n.3: contiene 2 medaglie d'argento.

Scegliendo una scatola a caso ne consegue ovviamente che la probabilità che i compartimenti della scatola selezionata contengano medaglie diverse è 1/3.

Ma ci si potrebbe anche chiedere quale sia la probabilità che nel secondo scompartimento della scatola vi sia una medaglia diversa dal primo scompartimento.

Ingenuamente si potrebbe immaginare che il primo scompartimento, per esempio, contenga una medaglia d'oro, dunque il secondo una d'oro o d'argento, con relativa probabilità pari a 1/2, il 50%, come quella del lancio di una moneta.

Tuttavia tale soluzione è sbagliata (la soluzione corretta è 1/3)! Perché?

Beh, non abbiamo stabilito che vi sia equiprobabilità tra i casi possibili.

In altre parole, gli errori a cui ci conducono tali ingenue argomentazioni si devono al fatto che non abbiamo definito sin dal principio in modo rigoroso lo spazio campionario, ovvero l'insieme totale dei risultati per un esperimento aleatorio.

Da Wikipedia osserviamo la seguente buona rappresentazione del problema appena descritto (il cosiddetto paradosso delle 3 scatole di Bertrand, spesso introdotto come paradosso delle 3 carte) con la richiesta opposta (cioè la probabilità di trovare una medaglia dello stesso tipo).

Il suddetto esempio è davvero uno standard nella teoria della probabilità, tanto che la soluzione risulta intimamente legata ai cosiddetti assiomi di Kolmogorov, per la cui spiegazione vi rimando a Wikipedia.

Analoghe fallacie si manifestano se l'esperimento di natura aleatoria che stiamo analizzando non è correttamente definito e può quindi essere interpretato in modi diversi, risultando decisamente ambiguo.

Quanto appena descritto rappresenta l'idea alla base del vero e proprio paradosso di Bertrand.

Tale paradosso è decisamente rilevante non solo in ambito puramente matematico ma anche nel mondo della fisica, in quanto ci mostra chiaramente l'ambiguità di alcune idee apparentemente intuitive spesso invocate a sproposito in ambito fisico.

Ad esempio sarebbe senza senso buttare a caso una frase del tipo "è naturale assumere che una densità di probabilità sia uniforme" senza una rigorosa spiegazione di natura fisica.

A tal proposito è di frequente utilizzo in ambito fisico il cosiddetto "principio di indifferenza" di Laplace, il quale viene definito dall'economista britannico John Maynard Keynes, in A Treatise on Probability (1921), come segue:

"If there is no known reason for predicating of our subject one rather than another of several alternatives, then relatively to such knowledge the assertions of each of these alternatives have an equal probability".

Il principio di indifferenza, volente o nolente, è stato usato efficacemente in una moltitudine di applicazioni, dal lancio di monete e giochi d'azzardo al conteggio delle configurazioni nella meccanica statistica.

Ciò però non ha azzerato i dibattiti filosofici sulla sua applicabilità e correttezza; basti pensare proprio agli studi effettuati da Bertrand.

Scopriamo ora la versione originale del paradosso di Bertrand, di natura geometrica, che riportiamo nell'ottima descrizione effettuata da Boffetta e Vulpiani nel testo Probabilità in Fisica:

"Si consideri il problema: dato un cerchio di raggio unitario si disegni una corda a caso. Calcolare la probabilità che la lunghezza della corda sia maggiore di $\sqrt{3}$ (il lato del triangolo equilatero inscritto).

Prima risposta. Prendiamo un punto $P$ sul bordo del disco. Tutte le corde che partono da P sono parametrizzate da un angolo $\theta$, vedi Fig. 1.3a.

Se si vuole che la corda sia più lunga di $\sqrt{3}$ l'angolo $\theta$ deve essere compreso in un settore di 60 gradi in un intervallo di 180, quindi la probabilità è 60/180 = 1/3.

Seconda risposta. Consideriamo un punto $P$ su un raggio e la corda passante per $P$ e perpendicolare al raggio, vedi Fig. 1.3b. La corda è più lunga di $\sqrt{3}$ se il suo centro $P$ è nella parte interna (di lunghezza 1/2), quindi poiché il raggio è 1 la probabilità è 1/2.

Terza risposta. Se il centro della corda cade nel disco di raggio 1/2 allora la corda è più lunga di $\sqrt{3}$, vedi Fig. 1.3c, poiché l'area di questo cerchio è π/4 mentre l'area totale è π, la probabilità è 1/4.

Qual è la risposta giusta? Semplicemente la domanda è mal posta, perché “si disegni una corda a caso” è decisamente troppo vago, ed in ognuna delle tre risposte c'è un'assunzione nascosta che sembra naturale, ma è invece arbitraria. Nella prima si è assunto che l'angolo $\theta$ sia uniformemente distribuito, nella seconda che il centro della corda sia uniformemente distribuito sul diametro, mentre nella terza che il centro della corda sia uniformemente distribuito all'interno del cerchio."

In altri termini, si è constatato come non esista un unico metodo di selezione, pertanto non esiste un'unica soluzione!

Abbiamo nello specifico 3 soluzioni rinvenute da Bertrand corrispondenti a 3 diversi metodi di selezione e, qualora non ci venga fornita alcuna informazione aggiuntiva, l'unica conclusione logica è che non c'è un metodo (e dunque una soluzione) migliore di un altro.

Abbastanza recentemente, nel 2014, Diederik Aerts e Massimiliano Sassoli de' Bianchi hanno pubblicato un paper (cliccate qui per leggerlo) nel quale hanno mostrato che il paradosso di Bertrand contiene in fin dei conti 2 problemi diversi: un problema "facile" ed uno "difficile"!

Il problema "facile" può essere risolto formulando la domanda di Bertrand in termini sufficientemente precisi, permettendo in tal modo una modellizzazione non ambigua dell’entità soggetta al processo aleatorio.

Dopodiché, una volta risolto il problema "facile", gli studiosi hanno mostrato che si spiana così la strada alla risoluzione del problema "difficile", a patto che il principio di indifferenza venga applicato non ai risultati dell'esperimento, bensì ai diversi possibili “modi di selezionare” un'interazione tra l'entità sotto indagine e quella che ha prodotto la randomizzazione.

Concludiamo riportando il bel video sul paradosso di Bertrand presente sul canale YouTube Numberphile.

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Fonti essenziali:

- Probabilità in Fisica. Un'introduzione di Guido Boffetta e Angelo Vulpiani

- Kolmogorov. La dualità tra caos e determinismo di Manuel García Piqueras

- https://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_di_Bertrand

- https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_box_paradox

- Failure and Uses of Jaynes’ Principle of Transformation Groups di Alon Drory

- Solving the hard problem of Bertrand’s paradox di Diederik Aerts e Massimiliano Sassoli de' Bianchi

I NUMERI NORMALI

2024-03-08T15:52:00.001+01:00

Continua (purtroppo) ad essere di recente attualità il tema sociale di cosa sia e non sia normale, grazie specialmente alle dichiarazioni e pubblicazioni di un certo generale dell'esercito italiano ormai sulla bocca di tutti, a cui è stata data, a mio avviso, fin troppa visibilità.

Siamo arrivati nell'anno 2024 avendo compreso nel corso degli ultimi secoli che noi esseri umani e il pianeta Terra non siamo che granelli infinitesimi comparati alla vastità e alla complessità dell'Universo ed ancora stiamo qui a discutere polemicamente di cosa sia normale nel modo di essere (persino sin dalla nascita) e nel modo di vestirsi delle persone.

Abbiamo scoperto grazie alla meccanica quantistica che, almeno a livello delle particelle, le leggi della fisica sono piene di "stranezze" (almeno dal punto di vista intuitivo dell'essere umano), dall'effetto tunnel al paradosso del gatto vivo/morto di Schrödinger, dall'entanglement all'introduzione di particelle ausiliarie "fantasma" (i ghost di Fadeev-Popov) necessarie per descrivere teorie di gauge non abeliane.

Insomma siamo giunti ad un punto in cui la fisica si è spinta ormai ben più in là della descrizione dei fenomeni che possiamo visivamente scorgere attorno a noi ogni giorno, svelandoci che non abbiamo bisogno necessariamente della fantascienza per restare stupefatti.

Siamo per fortuna pure pervenuti ad un punto in cui le donne (oggi si celebra la Giornata internazionale della donna) possono studiare ed affermarsi nelle discipline STEM, cosa che adesso diamo forse abbastanza per scontata ma per molto tempo non è stato così.

A Wikipedia representation for the theme "Women in STEM".

Donne come Sof'ja Kovalevskaja, Sophie Germain, Emmy Noether, Marie Curie, Rosalind Franklin, Hedy Lamarr, Rita Levi Montalcini, Margherita Hack (la cui vita è stata rappresentata solo pochi giorni fa su Rai 1 nel film Margherita delle stelle), Katherine Johnson, Jocelyn Bell, giusto per citarne alcune, con il loro talento, passione e forza di volontà hanno dimostrato che è assolutamente normale (e qui uso volutamente tale parola per rimarcare questo concetto) per una donna conquistare le più alte vette intellettive, fino ad allora riservate per stupido pregiudizio unicamente agli uomini.

In ogni caso ancora oggi si parla purtroppo del cosiddetto "effetto Matilda" e la battaglia per la sacrosanta parità tra uomini e donne è tutt'altro che terminata.

Il tema della diversità, talvolta ingenuamente correlato a quello della "normalità" (ne parlammo anche qui) come se ne fosse l'antitesi, è indubbiamente alla base stessa della ricerca scientifica.

A tal proposito, l'11 febbraio (in occasione della Giornata internazionale delle donne e ragazze nella scienza), l'account Twitter del Nobel Prize ha pubblicato un bel video con protagoniste due recenti vincitrici dell'ambito premio (la rappresentanza femminile per il suddetto prestigioso riconoscimento continua purtroppo ad essere molto scarsa, come potete leggere qui), Andrea Ghez e Carolyn Bertozzi, che discutono dell'importanza della diversità in modo generale ma anche focalizzandosi sul campo scientifico.

"I've benefitted in my own lab from having a diverse lab of coworkers."

On the eve of International Day of Women and Girls in Science, laureates Andrea Ghez and Carolyn Bertozzi (@CarolynBertozzi) speak about the importance of diversity. #WomenInScience pic.twitter.com/BHrcXzFQd8
— The Nobel Prize (@NobelPrize) February 11, 2024

E, nonostante questo, in politica, sui giornali e sui social si continua a discutere stupidamente della superiorità di un colore della pelle su un altro, di un orientamento sessuale su un altro, di essere nati senza patologie che comportano disabilità mentali e/o fisiche, ecc., pensando magari di creare nelle scuole classi separate per i "reietti anormali", "deviati", che disturberebbero l'equilibrio dei bambini e ragazzi "normali".

No, questa non è normalità, questa è semplicemente disumanità (ne abbiamo già parlato un po' qui)!

E se il cinema, la televisione e la letteratura osano dare spazio a tali delicate tematiche, non di rado si grida alla "cultura woke", all'indottrinamento (o fantomatica teoria del) gender (che scientificamente non esiste; le persone LGBT+ non vanno in giro a sparare "raggi gender" in grado di mutare i bambini, se non magari nella fervida immaginazione di qualche bigotto!).

Insomma si fa leva, quando fa comodo, su questioni statistiche per cui se c'è una minoranza qualsiasi che non rientra esattamente nei "canoni perfetti e consolidati" del paese o della società in questione, ma indubbiamente esiste, in realtà secondo certe persone non dovrebbe esistere ed essere rappresentata, così come le donne un tempo non dovevano poter addirittura votare!

Non ci facciamo problemi a dar spazio a supereroi, vampiri, streghe, ecc., che non esistono, ma non appena ci si ritrova a rappresentare la diversità che sussiste nella realtà di tutti i giorni si grida allo scandalo, si arriva a richiedere addirittura la censura (sì, non molto tempo fa, proprio qui in Italia, si è arrivati a chiedere la censura persino di Peppa Pig per la presenza di una coppia formata da 2 mamme in un episodio su gli oltre 300 da cui è composta la serie).

Recentemente ho avuto modo di guardare un film italiano, Nata per te, che racconta la storia vera di un giovane omosessuale, Luca Trapanese, il quale ha deciso, tra mille battaglie contro le difficoltà poste dal retrogrado sistema giuridico italiano, di adottare una bambina affetta da sindrome di Down e che nessuna delle cosiddette "coppie normali" voleva. Un piccolo gioiellino di film che fa riflettere non solo sul tema della diversità in modo ampio, ma pure su quello di cosa sia l'umanità stessa.

Se questa premessa serve per ricordarci che in un contesto sociale l'espressione "non normale", "anormale", possa essere spesso offensiva e totalmente fuori luogo, in un contesto di matematica pura la normalità può avere una connotazione totalmente diversa, che possiamo descrivere senza offendere gratuitamente nessuno.

In questo post parleremo infatti brevemente di numeri normali.

La definizione di numero normale è abbastanza semplice.

Consideriamo una certa base $b$. Diciamo che un numero è normale nella suddetta base se sviluppandolo in tale base tutte le cifre appaiono con la stessa frequenza $\frac{1}{b}$, tutte le coppie di cifre appaiono con frequenza $\frac{1}{b^2}$ e, generalizzando, qualsivoglia $n$-upla compare con frequenza $\frac{1}{b^n}$.

In altre parole, qualsiasi successione finita di cifre costituente un numero normale si presenta con la stessa frequenza di una sequenza totalmente casuale.

Beh tutto questo richiama un po' la celebre definizione frequentista della probabilità, per cui se per esempio lanciamo una moneta un gran numero di volte, circa la metà dei lanci ci restituirà testa e l'altra metà croce.

Il concetto di numero normale risale al 1909, quando il matematico e politico francese Émile Borel lo introdusse al fine di caratterizzare le cifre di un famosissimo numero, il pi greco $\pi$ (ricordiamo che il 14 marzo si celebra il Pi Day), che appunto sembravano possedere le peculiarità di una stringa casuale di cifre.

Borel fece in particolare uso del cosiddetto lemma di Borel-Cantelli (Francesco Paolo Cantelli fu un matematico italiano che fornì rilevanti contributi alla teoria della probabilità, ma pure alla meccanica celeste), dimostrando che quasi tutti (in parole povere in matematica ciò significa tutti, eccetto delle quantità praticamente trascurabili) i numeri reali sono normali!

Questo non significa che si possano incontrare numeri normali facilmente. Per esempio i numeri razionali non possono essere normali in tutte le basi.

E poi, ritornando a $\pi$, si suppone generalmente che esso sia un numero normale, ma ciò non è ancora stato dimostrato rigorosamente.

Il primo numero effettivamente normale in qualsivoglia base (spesso numeri del genere vengono detti "assolutamente normali") fu rinvenuto dal matematico polacco Wacław Franciszek Sierpiński nel 1916 (la pubblicazione del paper in cui esso è contenuto risale però al 1917).

Si legga (cliccando qui) questo interessante articolo di Becher e Figueira per saperne di più circa il risultato ottenuto da Sierpiński.

Sicuramente normale è pure, in base 10, la costante di Champernowne, di cui avevamo già parlato in dettaglio qui.

Un altro numero certamente normale, sempre in base 10, è la costante di Copeland-Erdős (0,235711131719232931374143…), la quale prende la propria denominazione dai matematici Arthur Herbert Copeland e Paul Erdős (quest'ultimo spesso noto non solo per i suoi rilevanti contributi matematici, ma pure per lo scherzoso concetto di numero di Erdős), i quali nel 1946 dimostrarono appunto la "normalità" di tale costante.

Si osservi che sia la costante di Champernowne sia quella di Copeland-Erdős sono numeri costruiti artificialmente.

Come per il pi greco, resta ipotetica invece la "normalità" di altre rilevanti costanti quali $\sqrt{2}$, $e$, $\ln 2$.

A dir la verità, non è stato nemmeno dimostrato che tutte le cifre effettivamente ricorrano un numero infinito di volte nelle espansioni decimali delle suddette costanti.

Insomma fare ricerca inerente ai numeri normali è cosa tutt'altro che banale!

Per concludere, vi propongo due video.

Nel primo trovate una bella spiegazione, relativa al pi greco e sulla possibilità, già qui anticipata, che possa essere normale, da parte del docente, blogger (chi segue i Carnevali della Matematica sa bene che il suo blog è Mr. Palomar) e divulgatore scientifico Paolo Alessandrini.

Il secondo è la celebre canzone I Am What I Am, tratta dal musical del 1983 La Cage aux Folles, nella maestosa interpretazione di Shirley Bassey, canzone la quale ci ricorda che ognuno è quello che è, con le sue differenze, piccole o grandi che siano, di cui non bisogna vergognarsi perché alla fine la vita è una soltanto.

LA CATENA DI SPIN DI HEISENBERG E I SISTEMI INTEGRABILI: UNA “SEMPLICE” PANORAMICA

2024-02-08T15:00:00.002+01:00

In questo post scopriremo l'importante catena di spin di Heisenberg e capiremo in generale cosa sia un sistema fisico integrabile.

Si tratta di argomenti matematicamente e fisicamente piuttosto avanzati, ma qui ci focalizzeremo solo sugli aspetti puramente essenziali e "semplici" e scopriremo gli interessanti dettagli storici attorno a tali concetti. I lettori interessati potranno approfondire gli aspetti maggiormente tecnici guardando i riferimenti segnalati in fondo al post.

Partiamo col dire che la catena di spin di Heisenberg è un modello quantistico costituito da una catena che consiste di un numero $L$ di siti.

Ciascun sito, che denotiamo con $l$, contiene uno spin $s = 1/2$.

Uno stato di spin può essere rappresentato da $| \downarrow \rangle$ oppure da $| \uparrow \rangle$ o da una qualsivoglia combinazione lineare di questi due.

Catena di spin chiusa unidimensionale. Fonte: bit.ly/4b4uTMx

Nello specifico, infatti, la rappresentazione matematica di uno spin $s$ è data dalla semplice relazione:

La catena di spin di Heisenberg è l'esempio fondamentale delle cosiddette catene di spin integrabili.
Per capirci qualcosa dobbiamo prima comprendere cosa sia un sistema fisico integrabile.

Una definizione molto generale di sistema fisico integrabile è quella di un modello fisico che è risolubile in modo esatto, ovvero senza far ricorso a metodi di approssimazione.

Già Newton fu in grado per esempio di risolvere il cosiddetto problema di Keplero in modo esatto, ma per una prima formalizzazione di questo nuovo rilevante ambito di ricerca scientifico si dovette aspettare il XIX secolo con Joseph Liouville.

Il matematico francese fece infatti uso delle cosiddette "quadrature". In sostanza egli si rese conto che sistemi hamiltoniani (dunque siamo nell'ambito della meccanica classica) potessero essere risolti mediante l'uso di un numero finito di operazioni algebriche ed integrazioni.

Il culmine del suddetto studio è fornito dal cosiddetto teorema di Liouville-Arnold, per la cui spiegazione vi rimando direttamente a Wikipedia.

A noi però interessa entrare nell'ambito quantistico, cioè comprendere in particolare se e quando una teoria quantistica dei campi (abbreviata QFT) possa essere integrabile.

Innanzitutto diciamo che esistono sì teorie quantistiche di campo integrabili, ma esse costituiscono un insieme assai limitato.

Infatti 2 sono le fondamentali peculiarità che una QFT deve avere affinché possa essere integrabile:

1) deve possedere un numero infinito di cariche conservate (qui ci limitiamo a dire che è qualcosa intimamente legato al famoso teorema di Noether);

2) deve essere definita in 1+1 dimensioni, cioè 1 temporale ed una spaziale.

Soffermiamoci un attimo su quest'ultimo punto giacché è assai rilevante e stuzzicante.

Una domanda lecita a questo punto infatti sarebbe: perché dobbiamo considerare proprio 2 dimensioni e non 3, 4 o un qualsivoglia numero?

La risposta risiede nel concetto di matrice S.

S sta per scattering (ne parlammo un po' qui). Cerchiamo qui però di indirizzare un po' meglio, a parole povere, il concetto nell'ambito della QFT.

Lo scattering è il processo di interazione tra varie particelle (ma anche antiparticelle).

Generalmente si definisce uno stato iniziale, ossia quello in cui troviamo le particelle prima che avvenga un'interazione fra loro, ed uno stato finale ove troviamo le particelle risultanti dall'interazione. Si veda a tal proposito la seguente figura.

Illustrazione di uno scattering 2 → 2. Il tempo scorre dal basso verso l'alto. Figura tratta da https://arxiv.org/abs/1607.06110.

Nella figura abbiamo appunto un esempio di scattering di 2 particelle che produce 2 particelle (nel semplice caso raffigurato trattasi di particelle tutte con la stessa massa). Nello specifico si vedono due particelle che costituiscono lo stato iniziale e contraddistinte dai momenti lineari $k_1$ e $k_2$, dopodiché avviene l'interazione, esplicitamente denotata dal cerchio, e infine lo stato finale formato da particelle aventi rispettivamente momenti $k_3$ e $k_4$.

L'oggetto matematico alla base della descrizione dell' interazione tra le particelle è proprio la matrice S, che è un operatore che va dunque a stabilire una mappa tra stato iniziale e stato finale.

In simboli, tale relazione si può esprimere nel seguente modo:

L'aspetto cruciale che caratterizza la matrice S in 1+1 dimensioni è la sua proprietà di "fattorizzabilità" non banale, ovvero il fatto che uno scattering di $n$ particelle che danno luogo ad $n$ particelle possa essere ricondotto ad un prodotto di "semplici" scattering $2 \rightarrow 2$.

Nel 1967 Sidney Coleman e Jeffrey Mandula pervennero ad un importantissimo risultato: il cosiddetto teorema di Coleman-Mandula, cioè un rilevante esempio di "teorema no-go" in fisica.

In tale contesto il suddetto teorema ci dice essenzialmente che se ci spingiamo in 3 o più dimensioni complessive, l'unico modo di avere una QFT integrabile, cioè di avere una matrice S fattorizzabile, è considerare teorie senza la presenza di interazioni fra particelle e con una matrice S banale, ossia equivalente alla matrice identità.

Pertanto, ciò che rende speciale il caso delle 1+1 dimensioni è proprio il fatto di poter considerare teorie che includano interazioni e che abbiano una matrice S avente forma non banale, generando così un intero campo di ricerca per gli studiosi.

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PLUTO, L'ODIO-AMORE E L'EFFETTO PELTIER

2023-11-11T16:46:00.009+01:00

Dopo Berserk e Banana Fish, ritorniamo nel mondo degli anime con un'analisi di alcuni dei temi presenti nell'opera in 8 episodi intitolata Pluto (di recente pubblicata su Netflix), tratta dall'omonimo manga di Naoki Urasawa (autore di altri capolavori fumettistici tra cui Monster), a sua volta ispirato da un altro celebre manga di Osamu Tezuka, ovvero Astro Boy.

Infatti Urasawa riprende una porzione della storia creata dal collega per narrarla come se fosse un intenso thriller (un marchio di fabbrica delle sue produzioni).

Una caratteristica particolare che sin da subito si può constatare riguardo all'anime Pluto è la durata degli episodi: non hanno il caratteristico minutaggio di poco più di 20 minuti, ma arrivano a durare intorno ad un'ora ciascuno.

Nonostante ciò, la narrazione scorre piuttosto bene, con svariati picchi di pathos nel corso dell'arco narrativo.

Ad una lettura semplicistica Pluto potrebbe sembrare semplicemente un thriller ambientato in un mondo dove coesistono umani e robot. Beh, è molto di più!

Un po' come accade più in breve nel meraviglioso film del 1999 L'uomo Bicentenario (interpretato dal mitico Robin Williams e tratto dall'omonimo racconto di Isaac Asimov), il tema principale non è tanto lo sviluppo incredibile del mondo della robotica (comunque ovviamente presente), ma una riflessione sul concetto di umanità, nel senso più profondo possibile della parola.

Cercheremo dunque, riducendo al minimo i possibili spoiler, di analizzare alcune delle tematiche presenti (mi concederò delle considerazioni personali, che potete condividere o meno, ma che spero vi invitino a riflettere seriamente sulle tematiche affrontate) e nel finale del post osserveremo anche come la fisica e la matematica facciano capolino all'interno del suddetto anime.

Iniziamo sottolineando come un termine che sentirete/avete sentito ripetuto molte molte volte nel corso degli 8 episodi è "odio".

L'odio è un sentimento tipico degli esseri umani. Tutti prima o poi tendiamo a provarlo in maniera più o meno grande.

Possiamo "odiare" delle cose stupide, come per esempio una giornata di pioggia, un esame andato non come volevamo, una disconnessione durante una partita di un videogame online, il grosso ritardo di un mezzo di trasporto e così via.

Incrementando il grado di intensità di questo "odio", si potrebbe odiare la rottura di una relazione amorosa, la comparsa improvvisa di una grave malattia, la perdita del lavoro o in generale un serio evento spiacevole nella propria vita.

Ma ancora non ci siamo; l'odio profondo di cui narra Pluto è quello che nasce nei confronti dell'altro, verso il diverso (in questo caso i robot), verso ciò che non capiamo, o da una rabbia così divampante che offusca ogni tipo di razionalità e sensibilità, un odio spesso dettato da pregiudizi dannatamente ancorati, quello stesso odio che, nel caso più estremo, contribuisce a scatenare guerre, a scapito degli innocenti civili.

La seguente scena di circa 40 secondi sintetizza in pieno questo scomodo argomento.

Bastano infatti questi 40 secondi per richiamare immediatamente alla nostra mente l'attuale situazione di guerra, devastazione e sofferenza tra Israele e la Palestina, drammatico scenario in cui si aprono distanti e comode tifoserie sui media, come se stessimo assistendo ad una partita di calcio tra due squadre contrapposte, ma dove nel mezzo invece muoiono civili da ambo le parti, inclusi tanti bambini.

In guerra alla fine non vince mai veramente nessuno, sono solo tanti a perdere, è solo tanto il dolore che si accumula giorno dopo giorno. Sarebbe auspicabile che se proprio una parte dell'umanità non riuscisse a fare a meno di farsi la guerra, se la facesse sui videogame, non a scapito spesso di innocenti!

Un tema questo che ritroviamo anche nella famosissima serie anime (in particolare nella quarta stagione) di Hajime Isayama L'attacco dei giganti (titolo originale Shingeki no kyojin, anche noto col titolo inglese Attack on Titan), ove c'è una stupida e radicata demonizzazione di popoli basata su atti compiuti in un remoto passato e spesso su pregiudizi scambiati ed inculcati per generazioni come certezze indiscutibili.

Riporto di seguito una citazione molto significativa da Attack on Titan in tal prospettiva.

E tornando nel concreto, è sufficiente spingersi indietro di circa un secolo per ritrovare nella nostra storia il culmine di questo odio accecante con l'avvento del nazifascismo.

Ogni categoria di persona, come ebrei, omosessuali, disabili (emblematica e dilaniante la scena, dal film Il pianista, dove un anziano sulla sedia a rotelle, impossibilitato ad alzarsi in piedi all'arrivo degli ufficiali tedeschi, viene gettato direttamente e freddamente fuori dalla finestra della sua abitazione). ecc. da ritenere inferiore, su cui scatenare l'odio sociale, su cui perpetrare le peggiori torture o uccidere senza alcun rimorso veniva contraddistinta da uno specifico simbolo (si trova qualcosa di simile pure nell'Attacco dei Giganti) all'interno dei campi di concentramento (cliccate qui per vedere la lista dei simboli dell'orrore nello specifico).

Notiamo dunque che talvolta è sufficiente una semplice diversità (caratteristica intrinseca non solo dell'essere umano, ma della natura stessa) a innescare la discriminazione e l'odio, che sia per ragioni religiose, razziali, di cultura, di orientamento sessuale o altro non importa, la non contemplazione della diversità è uno dei meccanismi che innescano la propagazione dell'odio negli esseri umani.

Tutto ciò non è mai scomparso (e probabilmente mai scomparirà), anzi persino oggi certi personaggi pubblici si arrogano il "diritto di odiare", più precisamente di diffondere gratuitamente odio sociale, giustificandosi con considerazioni a loro parere "logiche", "statistiche" e "naturali" (come il fatto che una "minoranza", in quanto tale, non debba godere degli stessi diritti di una "maggioranza"), ma spesso fondate sulla più totale ignoranza e su una visione fredda e cinica della realtà.

A questi personaggi risponde indirettamente la splendida canzone di Brandi Carlile intitolata The Joke, che poi è anche parte della colonna sonora del film Joe Bell, tratto da una tragica storia vera di bullismo ed omofobia (leggete qui).

Rilevante in tale direzione è anche una lucida citazione di Aldous Huxley, che riporto di seguito accompagnata dal suggestivo dipinto Inferno realizzato dalla Prof.ssa Annarita Ruberto, aka Nereide.

"That men do not learn very much from the lessons of history is the most important of all the lessons that history has to teach."
(Aldous Huxley from 'A Case of Voluntary Ignorance', in 'Collected Essays')

🎨'Inferno', mixed media on canvas.#scritturebrevi #ventaglidiparole pic.twitter.com/y0f6jcSGJZ
— Nereide (@Nereide) October 22, 2022

Riprendendo come esempio i robot, immaginate che noiosa sarebbe la società umana se fossimo tutti delle macchine fotocopia delle altre, senza alcuna diversità caratteristica (o comunque con una gamma ristretta di differenze), qualcosa che ci fa riconoscere, nel bene e nel male, immediatamente per quel che siamo.

Pensate a quanto la diversità sia per esempio essenziale in ambito musicale. Ogni strumento musicale ha il suo timbro caratteristico, che ci permette di riconoscere un pianoforte da un violino e da un sassofono, per non parlare della voce umana, che è ancora più variegata nelle sue sfumature.

E proprio con la musica al centro dell'attenzione parte Pluto!

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IL MODELLO DI DRUDE: UNA BREVE SPIEGAZIONE DIVULGATIVA

2023-09-08T13:24:00.018+02:00

Oggi parliamo di un modello molto importante per spiegare la conduzione elettrica: il modello di Drude.
Ho intenzione di presentarlo in una maniera puramente divulgativa, senza dunque approfondire nozioni e formule estremamente tecniche, in modo che anche il lettore non esperto di fisica possa farsi un'idea generale circa l'interessante argomento.

Prima di tutto specifichiamo che nella nostra breve narrazione ci soffermeremo sui metalli.

Tutti più o meno abbiamo un'idea di cosa sia un metallo, ma sareste in grado di darne una definizione fisicamente rigorosa in una singola frase?

Ve la fornisco io: i metalli sono materiali altamente riflettenti (della radiazione elettromagnetica) che presentano una banda elettronica parzialmente occupata.

Ok, cerchiamo di capire un po' meglio.

Innanzitutto osservate il seguente grafico, relativo nello specifico all'argento, tratto dal testo Optical Properties of Solids di Mark Fox.

Potete constatare come nella zona dell'infrarosso (dello spettro elettromagnetico) la riflettività sia altissima (quasi il 100%) e pure nella luce visibile essa resti elevata (sopra l'80%), mentre improvvisamente cala notevolmente nell'ultravioletto.

Ed attenzione perché questo andamento della riflettività non si riscontra solo nell'argento, ma è un andamento generale caratteristico di tutti i metalli convenzionali.

Benissimo, ma cosa significa invece banda elettronica parzialmente occupata?

Beh, quando entriamo nel contesto della fisica della materia condensata, siamo soliti classificare i materiali in 3 fondamentali categorie in base alla loro struttura in bande elettroniche:

1) metalli;

2) isolanti;

3) semiconduttori.

Grazie a Wikipedia osserviamo a tal proposito la seguente immagine illustrativa.

Potete vedere chiaramente che negli isolanti e nei semiconduttori abbiamo uno spazio vuoto tra le bande (il cosiddetto "band gap") più o meno ampio; la banda più in basso (detta banda di valenza) è totalmente occupata da elettroni, mentre quella più in alto (banda di conduzione) potrebbe venir occupata grazie a meccanismi di eccitazione (non entreremo nei dettagli tecnici di questo fenomeno).

Nei metalli, al contrario, non abbiamo alcun band gap e, nello specifico, abbiamo una banda che si ritrova ad essere parzialmente piena di elettroni e parzialmente vuota!

Ottimo, ora potete dire ai vostri amici di sapere cosa sia davvero un metallo secondo la fisica!

Specifichiamo che l'elettrodinamica dei metalli è dovuta a 2 meccanismi diversi di transizione:

1) transizioni intrabanda: transizioni di elettroni che interessano solo la banda parzialmente occupata;

2) transizioni interbanda: transizioni di elettroni che interessano bande diverse.

Il modello di Drude è intimamente legato alla prima categoria di transizioni, che sono anche, in generale, le più rilevanti per un metallo, mentre le transizioni interbanda sono più interessanti quando parliamo di semiconduttori ed isolanti.

Altra cosa che va specificata sin da subito è che il modello di Drude è un modello classico, nel senso che non fa uso della meccanica quantistica!

In verità una sua importante estensione, il cosiddetto modello di Drude-Sommerfeld, introdotto dal fisico tedesco Arnold Sommerfeld nel 1927, coinvolge la fisica quantistica (in particolare la statistica di Fermi-Dirac e il concetto di superficie di Fermi).

L'altro grande modello classico che cerca di illustrare concetti come la conducibilità elettrica e la funzione dielettrica (in particolare nel contesto delle transizioni interbanda) è il modello di Lorentz, proposto dal fisico olandese Hendrik Antoon Lorentz in un articolo del 1909, basato sulla fantasiosa ma efficace idea di considerare gli elettroni alla stregua di oscillatori armonici smorzati (insomma molle!).

Si guardi a tal proposito la seguente immagine illustrativa tratta da Wikipedia.

Ma torniamo al protagonista del nostro post, il modello di Drude.

Esso venne proposto dal fisico tedesco Paul Drude in un anno decisamente memorabile: il 1900.

Nel suddetto anno egli pubblicò infatti l'articolo denominato Zur Elektronentheorie der Metalle, pubblicazione che avvenne sulla prestigiosa rivista scientifica Annalen der Physik, sì proprio quella ove 5 anni dopo Einstein avrebbe rivoluzionato il mondo della fisica (e non solo) con magistrali contributi, tra cui l'introduzione della teoria della relatività ristretta.

Ma qual è l'ipotesi fondamentale alla base del modello di Drude?

Se per il modello di Lorentz tale ipotesi consiste nel considerare gli elettroni come molle, con Drude assumiamo invece che il nostro metallo sia un gas pieno di elettroni liberi e visti come particelle classiche, perfettamente distinguibili.

Tali elettroni si muovono in modo casuale con una certa velocità lungo linee rette fino a quando non avvengono collisioni. Per semplicità il modello va ad ignorare qualsiasi altro tipo di interazione.

Immagine tratta da Wikipedia

Adesso viene il bello: immaginiamo di sottoporre il nostro gas di elettroni all'azione di un campo elettrico esterno.

Cosa succede? Innanzitutto abbiamo una variazione della quantità di moto (chiamata anche momento lineare) $\vec{p}$ del singolo elettrone nel sistema (ricordiamo che la quantità di moto è il prodotto della massa per la velocità del corpo) dovuta al campo elettrico applicato $\vec{E}$.

Ma abbiamo pure un importante meccanismo di dissipazione di $\vec{p}$ dovuto alle collisioni di questi elettroni con impurezze/difetti cristallini, fononi, altri elettroni, ecc.

Volete un modo sintetico per esprimere tutto ciò? "Facile", basta ricorrere ad un po' di matematica.

Osserviamo infatti attentamente la seguente equazione del moto alla base del modello di Drude:

Chi è abituato al formalismo matematico tipico di questo blog sa bene che a sinistra dell'uguale abbiamo la derivata del momento lineare $\vec{p}$ rispetto al tempo.

Per chi non è avvezzo al calcolo infinitesimale, possiamo semplificare la questione asserendo che si tratta di una variazione nel tempo del momento lineare di un singolo elettrone che stiamo prendendo in considerazione.

A destra dell'uguale abbiamo innanzitutto la forza (nello specifico il termine $-e \vec{E}$, dove $e$ è la carica elettrica fondamentale, cioè quella dell'elettrone) che agisce sul nostro elettrone dovuta al campo elettrico esterno; poi abbiamo un altro termine, ossia $- \frac{\vec{p}}{\tau}$, che rappresenta una forza di attrito viscoso.

In particolare, $\tau$ è il cosiddetto tempo di rilassamento, cioè il tempo medio che intercorre tra 2 collisioni o, in altre parole, la quantità che governa il rilassamento del sistema verso l'equilibrio (condizione in cui la quantità di moto media è 0), dopo che è stato rimosso il nostro fattore perturbativo esterno (cioè il campo elettrico).

E chiaramente l'introduzione di un campo elettrico esterno ha conseguenze pure sulla velocità delle particelle.

Infatti si va a definire la cosiddetta velocità di deriva

dove $m$ indica la massa dell'elettrone.

La cosa importante da notare è che la suddetta velocità mantiene la direzione del campo elettrico $\vec{E}$ ma presenta verso opposto (specificato da quel segno $-$ nell'ultima equazione).

Con un po' di passaggi matematici, tra cui assumere il campo elettrico come alternato e ricordare la celebre legge di Ohm (generalizzata), grazie a tutte queste considerazioni uno può giungere alla quantità fisica protagonista del modello di Drude: la conducibilità elettrica $\tilde{\sigma}$.

Di seguito l'espressione matematica che la definisce:

Notiamo immediatamente che tale quantità è fornita dal prodotto della cosiddetta conducibilità in corrente continua, $\sigma_{dc}$, e di un termine frazionario che coinvolge la frequenza angolare $\omega$ relativa al campo $\vec{E}$, il tempo di rilassamento $\tau$ e l'unità immaginaria $i$ (cliccate qui per dettagli sull'unità immaginaria e i numeri complessi).

Nota per il lettore non esperto: a sinistra dell'uguale le parentesi tonde con dentro $\omega$ non indicano una moltiplicazione, ma semplicemente il fatto che la conducibilità $\tilde{\sigma}$ ha una dipendenza esplicita dalla frequenza $\omega$.

Tuttavia l'aspetto essenziale è il seguente: $\tilde{\sigma}$ è una quantità complessa, dunque scomponibile in una somma di una parte reale $\sigma_1$ e di una parte immaginaria $\sigma_2$, ovvero in simboli:

Ora chiaramente $\sigma_1$ e $\sigma_2$ possono essere espresse da precise relazioni matematiche, ma l'aspetto più interessante è osservare il comportamento di tali quantità rispetto alla frequenza.

A tal proposito guardate la seguente figura.

Fonte immagine: bit.ly/44Kk5yA

Potete notare come la parte reale ed immaginaria della conducibilità elettrica siano rappresentate da curve diverse e, in particolare, se andiamo a vedere cosa succede quando la frequenza tende a 0, possiamo constatare che $\sigma_1$ tende ad un certo valore che è nient'altro che $\sigma_{dc}$, mentre $\sigma_2$ tende a 0.

Ottimo, ora avete un'idea generale di come si comporta la conducibilità elettrica nei metalli assumendo un modello ideale come quello di Drude.

Dovrebbe poi essere cosa nota che i metalli che sono buoni conduttori di elettricità siano pure buoni conduttori di calore (pensate per esempio all'utilizzo delle pentole con fondo in rame nella cucina).

Ebbene, grazie al modello di Drude-Sommerfeld è possibile dimostrare matematicamente (state tranquilli, non lo faremo qui) una legge sperimentale, scoperta nel 1853, che mette in relazione la conducibilità elettrica $\sigma$ e la conducibilità termica $\kappa_T$: la legge di Wiedemann-Franz.

Nella sua forma più semplice e compatta essa si presenta nel modo seguente:

$\frac{\kappa_T}{\sigma} = LT$

Qui $T$ denota ovviamente la temperatura, mentre $L$ è il cosiddetto numero di Lorenz (scoperto da Ludvig Lorenz nel 1872), una quantità indipendente dal tipo di metallo che viene considerato nelle misurazioni.

A mo' di conclusione, vorrei far notare come nel 2006 un duo di scienziati, Martin Dressel e Marc Scheffler, abbia condotto un'interessante verifica moderna della validità del modello di Drude.

Di seguito l'abstract dell'articolo, pubblicato non a caso su Annalen der Physik.

Cerco di riassumervi in poche e semplici parole gli aspetti cruciali del suddetto articolo.

Innanzitutto i 2 scienziati hanno osservato come in un regime di frequenza bassa (il nome rigoroso è regime di Hagen-Rubens) misure di riflettività siano state eseguite solamente nei cosiddetti "metalli cattivi", come l'acciaio inossidabile.

La caratteristica essenziale dei "metalli cattivi" è il fatto che presentino un valore basso di $\sigma_{dc}$ ed un valore elevato del rapporto $\frac{1}{\tau}$.

Ne consegue sostanzialmente che la loro riflettività devia molto dal 100% persino in un regime di bassa frequenza; andate per favore a rivedervi all'inizio del post cosa succedeva nel caso dell'argento, ove invece la riflettività era elevatissima nelle basse frequenze (o, equivalentemente, nelle larghe lunghezze d'onda dello spettro elettromagnetico).

Dressel e Scheffler hanno poi riscontrato un problema spinoso: solo nel regime delle microonde e di frequenze di pochi terahertz è possibile misurare la parte reale e la parte immaginaria di $\tilde{\sigma}$ in modo indipendente, tuttavia per i metalli convenzionali il fondamentale rapporto $\frac{1}{\tau}$ è ben al di sopra di tali frequenze!

Una possibile soluzione iniziale è stata quella di osservare cosa succede in semiconduttori moderatamente drogati.

No, non stiamo incentivando all'uso delle sostanze stupefacenti; il termine "drogato" (o, volendo, "doping") nell'ambito dei semiconduttori significa semplicemente che stiamo applicando un certo meccanismo che aumenta il numero di portatori di carica di quel semiconduttore, rendendolo così più simile ad un metallo in termini di conducibilità elettrica di quanto lo fosse originariamente.

Ed effettivamente l'uso del doping ha fornito (nel caso specifico dell'articolo si è fatto riferimento al silicio leggermente drogato) risultati sperimentali in accordo col modello teorico di Drude!

Ma non è finita qui, perché i 2 scienziati hanno giustamente evidenziato che se volessimo dati migliori dovremmo lavorare nel range di frequenze delle microonde.

E per far ciò si sono dovuti attenere ad una teoria più complessa, la teoria del liquido di Fermi, introdotta dal famoso fisico russo Lev Landau nel 1956.

Senza entrare nei complicati dettagli, ciò che è rilevante sapere è che tale teoria si applica stupendamente a particolari materiali intermetallici, i cosiddetti composti di fermioni pesanti.

Dressel e Scheffler hanno pertanto considerato uno di questi composti, chiamato $\mathrm{UPd_2Al_3}$, compiendo analisi in un range di frequenze vastissimo, nello specifico da 50 MHz a 40 GHz, focalizzandosi su temperature vicine allo zero assoluto, in particolare sopra 1.6 kelvin.

Il finale della storia forse è scontato, ma non toglie nulla alla meraviglia di un'importante rilevazione scientifica: anche nel suddetto caso i dati sperimentali hanno confermato un'ottima corrispondenza con il modello teorico di Drude!

Insomma, il duo di scienziati, poco più di 100 anni dopo la formulazione originaria del modello di Drude, ha dimostrato che tale modello, per quanto basilare, è ancora molto buono, in certi regimi di frequenza, nel descrivere il comportamento generale della conducibilità elettrica in metalli e materiali che si avvicinano alle caratteristiche dei metalli.

Ovviamente moderne tecniche più sofisticate fondate sulla meccanica quantistica, come l'approccio a molti elettroni sviluppato dal danese Jens Lindhard nel 1954 basandosi sulla cosiddetta Random-Phase Approximation, portano a risultati più rigorosi in generale.

I lettori esperti interessati possono trovare, cliccando qui, un interessantissimo articolo di Andrade-Neto in cui si mette a diretto confronto il modello di Drude con il più avanzato modello di Lindhard.

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Fonti essenziali:

- Optical Properties of Solids di M. Fox

- https://en.wikipedia.org/wiki/Wiedemann%E2%80%93Franz_law

- Electrodynamics of Solids di M. Dressel e G. Grüner

- Verifying the Drude Response di M. Dressel e M. Scheffler

666: IL NUMERO DI "DIABLO"!

2023-05-09T09:56:00.001+02:00

Oggi parliamo di un numero famoso: il 666, spesso chiamato "Numero della Bestia" o "numero del diavolo".

Infatti al versetto XIII,16-18 dell'Apocalisse di Giovanni (l'ultimo libro del Nuovo Testamento, ossia la conclusione della Bibbia) si legge:

Faceva sì che tutti, grandi e piccoli, ricchi e poveri, liberi e schiavi, venissero marchiati sulla mano destra e sulla fronte. E che nessuno potesse comprare o vendere senza avere tale marchio, cioè il nome della Bestia o il numero del suo nome. Qui sta la sapienza. Chi ha intelligenza interpreti il numero della Bestia: esso rappresenta un nome d'uomo, e il numero è 666.

Mi piace celebrare così l'uscita a breve dell'attesissimo videogame Diablo IV, che sarà rilasciato in modo ufficiale in una data particolare: il 6.6.23 (e, dato che 2 per 3 fa 6, potete ben immaginare il perché sia stata scelta tale data).

Lilith in Diablo IV

Ecco un paio di spettacolari cinematic introduttive del game, in cui fa capolino la misteriosa ed affascinante figura di Lilith, nel game figlia di Mephisto (demone "signore dell'odio") e madre di Sanctuary (ovvero il mondo dei mortali), ma che ritroviamo già nel III millennio a.C. nelle antiche religioni mesopotamiche, come potete leggere su Wikipedia.

I riferimenti numerici e geometrici nel game già non mancano in questi spezzoni di storia, ma ora concentriamoci sul protagonista del post, il 666.

Generalmente, nella blogosfera scientifico-matematica italiana, siamo abituati a presentare in dettaglio i vari numeri interi positivi in occasione dei Carnevali della Matematica.

Tuttavia, siccome manca ancora molto molto tempo al Carnevale della Matematica n.666 (pensate che la prossima edizione, che verrà pubblicata il 14 maggio da Dioniso (cioè Flavio Ubaldini), sarà "solamente" la n.169), mi permetto di introdurre il suddetto numero come se compissi un gigantesco salto in avanti nel futuro e avessi l'onore di ospitare qui, in questo momento, il Carnevale n.666.

666 è un numero pari composto da 12 divisori: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 37, 74, 111, 222, 333 e 666.

Provate a sommarli (non includendo il 666). Fatto? Il risultato è 816, che è maggiore di 666.

Ergo 666 è un numero abbondante!

Ma è pure un numero che "sfiora la perfezione matematica"! Ma che diavolo significa?

No, non sono impazzito soggiogato dall'immenso potere di Lilith, semplicemente 666 è un numero semiperfetto.

Per capire, dovete ricordare che numeri come il 6, il 28 e il 496 sono detti perfetti perché se sommiamo assieme tutti i loro divisori (tranne, ovviamente, il numero in questione) li otteniamo "magicamente".

Per esempio 6 = 1 + 2 + 3, e così via per tutti gli altri numeri perfetti.

Bene, appurato ciò, possiamo dire che un numero si definisce semiperfetto se è uguale alla somma di alcuni (ma volendo anche tutti) suoi divisori.

Giusto per capire meglio, proviamo ad analizzare il numero semiperfetto 12. I suoi divisori sono 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Per esempio possiamo costruire 12 come la seguente somma: 12 = 1 + 2 + 3 + 6.

Lo stesso discorso vale per il 666; potete trovare somme tra alcuni dei suoi divisori che restituiscono come totale 666.

Molto suggestivo è anche il fatto che 666 sia un numero triangolare, nel senso che se, in questo caso specifico, prendete TUTTI i numeri interi tra 1 e 36 e li sommate ottenete 666.

Ciò implica che 666 è anche la somma dei numeri presenti in una roulette: una sorta di collegamento del "diavolo" col gioco d'azzardo!

Nel sistema numerico decimale 666 è poi un numero di Smith, poiché se provate a sommare le sue cifre (cioè 6 + 6 + 6 = 18) e a sommare quelle della sua scomposizione in fattori (666 = 2 × 3 × 3 × 37 e, sommando le cifre, 2 + 3 + 3 + 3 + 7 = 18) potete constatare che ottenete il medesimo risultato (ovvero 18).

Sempre restando nel sistema numerico digitale, 666 è un numero di Harshad, nel senso che risulta divisibile per la somma delle sue cifre. Infatti 666/18 = 37.

Per di più 666 corrisponde alla somma di due numeri palindromi consecutivi: 313 e 353.

Il "numero della bestia" è anche un numero pratico e nontotiente (cliccate sui link per capire cosa ciò significhi).

Molto curioso è poi il fatto che, passando ai numeri romani, 666 si scriva come DCLXVI, ovvero utilizzi tutti i simboli esistenti nel sistema di numerazione romano tranne la M (che corrisponde a 1000).

Altra peculiarità notevole consiste nel fatto che 666 è nientemeno che la somma dei quadrati dei primi sette numeri primi:

Insomma dal punto di vista numerico 666 nasconde molte curiosità.

Sussiste poi un meme online basato sulla radice quadrata di 666, cioè 25.80697... (un numero irrazionale), il quale afferma: "se 666 è considerato malvagio, allora, tecnicamente, 25.80697 è la radice di tutti i mali?".

Usciamo ora dall'ambito prettamente matematico e osserviamo dove possiamo ritrovare il numero 666:

In fisica, in modo approssimato, esso corrisponde alla massa molare di un superconduttore ad alta temperatura: l'ossido di ittrio bario e rame YBa₂Cu₃O₇.
In astronomia, NGC 666 è una galassia a spirale della costellazione del Triangolo.

Immagine realizzata da Donald Pelletier, tratta da qui

Sempre in astronomia, 666 Desdemona è un asteroide della fascia principale del sistema solare.
666 Fifth Avenue (attualmente ridenominato 660 Fifth Avenue) è un imponente edificio di New York che è stato acquistato nel 2007 per 1.8 miliardi di dollari, divenendo così l'affare immobiliare più costoso nella storia della città statunitense "che non dorme mai". Di seguito una bella immagine dell'edificio tratta da Wikipedia.

In conclusione non può mancare la musica e non possiamo non segnalare il brano (che dà il nome pure all'omonimo album), datato 1982, del gruppo heavy metal britannico Iron Maiden, intitolato The Number of the Beast.

Abbiamo iniziato il post con riferimenti a Diablo IV, dunque trovo giusto terminarlo con la meravigliosa colonna sonora del videogame stesso, in particolare quella che fa da sottofondo all'importante città Kyovashad, presente nell'atto I della storia (che è stato giocabile nella versione beta).

All hail mother Lilith! 😈

JOHN VENN E I SUOI DIAGRAMMI

2023-04-12T09:40:00.000+02:00

Se doveste chiedere ad un passante di parlare almeno 30 secondi riguardo ad Einstein, Pitagora, Newton o Gauss ci sarebbe una discreta probabilità che qualche minima parola su un aneddoto biografico, citazione o contributo più particolare che li riguarda venga fuori.

Se, invece, chiedeste di parlare di John Venn sono abbastanza convinto che nel migliore (e forse raro) dei casi, a meno che non becchiate un vero appassionato di matematica, la risposta sarebbe "Ah Venn, forse quello dei diagrammi con gli insiemi" e stop!

Trovo abbastanza singolare che di un matematico (ma anche logico e filosofo) che abbia introdotto un concetto così essenziale e semplice (almeno nelle sue fondamenta), tanto da essere studiato ancora oggi generalmente sin dalla prima media, si sappia, ad eccezione degli esperti o patiti di storia della matematica, praticamente nulla.

Questo post sarà incentrato dunque sulla biografia di Venn e poi su qualche aspetto più particolare riguardante i celebri diagrammi.

Innanzitutto, per chi non ricordasse molto riguardo i diagrammi di Venn e le operazioni insiemistiche basilari, ecco di seguito un buon video riassuntivo presente sul canale YouTube di Agostino Perna.

Siamo ora pronti per tornare nell'Inghilterra del XIX secolo e scoprire la vita di Venn.
John Venn nacque il 4 agosto 1834 nella città portuale inglese Kingston upon Hull (o semplicemente Hull). Aveva una sorella, Henrietta, nata quasi 2 anni prima, nello specifico l'8 ottobre 1832.

La madre, Martha Sykes, morì nel 1840, quando il bimbo era ancora molto piccolo.

Per quanto concerne il padre, il reverendo Henry Venn, questi era il rettore della parrocchia di Drypool, vicino a Hull, ai tempi della nascita del figlio.

È interessante notare come la famiglia Venn provenisse da una lunga eredità gemella di natura clericale ed evangelica.

Infatti il nonno paterno, anch'esso chiamato John Venn, fu ministro alla famosa confraternita nota come Clapham Sect; un altro Henry Venn, suo bisnonno, fu l'autore di The Complete Duty of Man, un trattato del XVIII secolo che per molte generazioni costituì un manuale pratico fondamentale per il sistema evangelico dei valori cristiani.

Più o meno all'epoca della nascita del futuro matematico, suo padre Henry Venn aggiunse due sermoni alla biografia del proprio nonno (scritta da John Venn di Clapham, ma lasciata incompiuta), sermoni che hanno ulteriormente stabilito l'importanza della religione di famiglia e le responsabilità religiose reciproche di tutti i membri della famiglia.

Con una premessa del genere è lecito aspettarsi che il nostro John ricevette un'educazione molto rigorosa ed indirizzata in prospettiva di un futuro percorso sacerdotale
Egli frequentò prima la Sir Roger Cholmley's School di Highgate, poi la Islington Preparatory School, una scuola privata.

Durante la prima metà dei suoi circa 6 anni trascorsi a scuola, ossia tra il 1846 e il 1853, Venn non fu proprio uno studente modello: era inattivo, aveva cattivi compagni, non mostrava nessun interesse per nessuna materia e restò in una classe bassa nonostante il livello di rendimento della scuola fosse tutt'altro che alto.

In un giorno d'estate del 1850 Venn cominciò ad interessarsi all'algebra e ben presto fece straordinari progressi in matematica, arrivando a leggere una quantità di testi decisamente fuori dal comune per un normale studente.

Tuttavia gli stimoli esterni per continuare in tale direzione non furono molti, giacché non aveva concorrenti che sfidassero il suo talento matematico e nessuno degli alunni più grandi sembrava mostrare alcun interesse per la materia.

Il suo nuovo zelo accademico non passò però inosservato. Ne conseguì infatti un suo trasferimento alle classi superiori, ove strinse peraltro amicizie durature.

Per completezza va detto che, accanto all'istruzione formale appena descritta, Venn ricevette anche una notevole "istruzione informale", a casa, da parte di insegnanti privati.

Quando Venn fu ammesso al Gonville and Caius College il 25 giugno 1853, e immatricolato a Cambridge nell'ottobre dello stesso anno, rappresentò l'ottava generazione della dinastia dei Venn a conquistare l'accesso all'università.

Dopo aver vinto una borsa di studio in matematica al secondo anno di studi, si laureò (a seguito di una prova che consistette in circa 27 ore di risoluzione di 113 problemi) come "sixth Wrangler" nei Mathematical Tripos del 1857, ovvero si classificò al sesto posto tra quegli studenti che avevano conseguito una laurea di prima classe in matematica.

Durante i suoi anni universitari le simpatie evangeliche di Venn, coltivate all'interno della casa di famiglia e ancorate dal timore reverenziale e dal rispetto che provava nei confronti di suo padre, rimasero saldamente al loro posto.

Alla fine degli anni '50 Venn apparteneva ancora al partito evangelico anche se a quel tempo si era fatto altri amici al di fuori delle loro fila, con i quali era solito trascorrere molto tempo.

Inoltre, poco dopo essersi laureato, venne eletto Fellow del Gonville and Caius College, dopodiché, nei 2 anni successivi, fu ordinato sacerdote.

Già nel 1858 era stato ordinato diacono a Ely, poi, dopo la sua ordinazione sacerdotale, aveva prestato servizio dapprima come curato a Cheshunt, nell'Hertfordshire, e successivamente per un anno come curato a Mortlake, Surrey.

E giungiamo così al 1862. È sicuramente curioso notare come, a differenza di alcuni dei suoi contemporanei più prodigiosi che produssero i loro primi articoli da studenti, all'età di 27 anni Venn non aveva scritto nulla, né per uso privato né per la pubblicazione, a parte lettere settimanali e sermoni.

Tuttavia, ad un certo punto, nel 1861, Venn decise di approfondire circa una questione che lo aveva colpito due anni prima durante la lettura del libro VI ("Sulla logica delle scienze morali") dell'opera, datata 1843, Sistema di logica raziocinativa e induttiva, in cui John Stuart Mill discuteva della "possibilità astratta di una scienza della sociologia, e in particolare di predire il corso delle azioni umane".

Tale ricerca si concretizzò appunto nella prima opera pubblicata, proprio nel 1862, da Venn, cioè Science of History.

Sempre in quell'anno lo studioso fece ritorno all'Università di Cambridge come docente di scienze morali, studiando e insegnando logica e teoria della probabilità.

Oltre al sopracitato trattato di Mill, Venn si era interessato in quegli anni alla logica, filosofia e metafisica, leggendo le opere pure di De Morgan, Boole (di lui abbiamo parlato qui) e John Austin.

Nel primo periodo da docente universitario Venn era preoccupato di non riuscire ad attirare studenti verso le sue lezioni sulle scienze morali e dubitava delle proprie abilità nell'insegnamento.
Ma presto, in particolare a partire dal 1867, le cose cambiarono in suo favore, ottenendo addirittura il permesso di accettare studenti di altri college alle sue lezioni.
Nel 1867 anche la vita privata del matematico ricevette un bello scossone: sposò infatti Susanna Carnegie Edmonstone, la figlia del reverendo Charles Edmonstone.
La coppia ebbe un figlio, John Archibald Venn (1883-1958), che divenne presidente del Queen's College di Cambridge nel 1932 e collaborò col padre alla redazione dell'opera in 10 volumi (pubblicati tra 1922 e 1953) Alumni Cantabrigienses, ossia un registro biografico degli ex membri dell'Università di Cambridge.

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LA SCOPERTA DEI BOSONI W e Z

2023-02-09T11:44:00.003+01:00

Solo pochi giorni fa, il 25 gennaio, si celebrava il quarantennale della scoperta del bosone W (qui il relativo post celebrativo del CERN).

Nel presente post vorrei dunque provare a presentare in maniera accessibile per tutti un pochino più in dettaglio la scoperta dei bosoni W e Z, mediatori dell'interazione debole.

Ovviamente la prima questione da chiarire è cosa sia l'interazione debole.

Dovreste ben sapere che in natura esistono 4 interazioni fisiche fondamentali: gravitazionale, elettromagnetica, forte e debole.

La gravità è allo stesso tempo quella più conosciuta anche ai profani e quella più problematica per i fisici.

Infatti la teoria moderna della gravità non solo è molto complessa (trattasi della relatività generale di Einstein, matematicamente fondata sul calcolo tensoriale sviluppato da Ricci Curbastro e Levi-Civita), ma è difficile da far conciliare con l'altro grande pilastro della fisica moderna, ovvero la meccanica quantistica.

Al momento una teoria della gravità quantistica sperimentalmente verificata non esiste!

Immagine presa da: https://bit.ly/40Kpd52

Poi abbiamo l'interazione elettromagnetica, che riunisce insieme tutti i fenomeni elettrici e magnetici grazie alle note e fondamentali equazioni di Maxwell.

Equazioni di Maxwell
in assenza di sorgenti.

L'interazione forte è invece quella che, per esempio, fa da "collante" tra protoni e neutroni e dunque tiene assieme i nuclei atomici. Come suggerisce il nome stesso, è la più intensa tra le 4 interazioni fondamentali.

Immagine tratta da: https://bit.ly/3HL4hCw

Ultima, ma non per questo meno importante, è l'interazione debole.

In parole povere, è quel tipo di "forza" che è responsabile dei decadimenti radioattivi degli atomi.

La seguente immagine, tratta da Wikipedia, illustra per esempio il decadimento beta di un neutrone dovuto proprio all'interazione debole.

Per capire meglio, sottolineiamo immediatamente che nell'ambito della fisica delle particelle esistono 3 tipologie fondamentali di reazioni:

1) reazioni di scattering elastico: lo stato iniziale della reazione coincide con lo stato finale. Un esempio è dato da: $e^{-} + p \rightarrow e^{-} + p$. Ciò significa che l'interazione tra un elettrone $e^{-}$ ed un protone $p$ ha prodotto un elettrone $e^{-}$ ed un protone $p$.

2) reazioni di tipo inelastico: le particelle prodotte nello stato finale non coincidono con quelle iniziali. Ad esempio: $\nu_{e} + n \rightarrow e^{-} + p$. Tradotto in parole significa che l'interazione tra un neutrino elettronico $\nu_{e}$ ed un neutrone $n$ va a produrre un elettrone $e^{-}$ ed un protone $p$. Notate bene la conservazione della carica elettrica sussistente tra lo stato iniziale (neutrino e neutrone entrambe particelle con carica nulla) e quello finale (elettrone con carica negativa e protone con carica positiva, e dunque complessivamente il sistema ha carica nulla).

3) decadimenti: qui abbiamo una singola particella come stato iniziale che decade in varie particelle nello stato finale. Per esempio $n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu}_e$, che denota il fatto che un neutrone $n$ può decadere producendo un protone $p$, un elettrone $e^-$ ed un antineutrino elettronico $\bar{\nu}_e$ (come illustrato dall'immagine di cui sopra).

Ovviamente un modo davvero utile di rappresentare le interazioni fra particelle è costituito dai famosi diagrammi di Feynman e dalle relative regole di Feynman che consentono di comprendere immediatamente, dalla sola osservazione dei diagrammi, alcune delle grandezze essenziali in gioco, specialmente per il calcolo dell'ampiezza di probabilità e del suo modulo quadro, che consente di comprendere un'altra grandezza fondamentale come la sezione d'urto.

Non entreremo tuttavia nei dettagli di questi aspetti, che dal punto di vista teorico possono essere ricavati esplicitamente grazie alla teoria quantistica dei campi.

Illustrazione di alcuni diagrammi di Feynman e
processi in fisica delle particelle nella serie tv "The Big Bang Theory".

Ora che abbiamo chiarito brevemente la questione interazioni fondamentali e reazioni, dobbiamo per forza di cosa aggiungere che ciascuna delle interazioni fondamentali è mediata da delle particelle note come bosoni di gauge.

Per quanto riguarda la gravità il corrispettivo bosone resta ancora ipotetico ed è chiamato gravitone (e si ipotizza abbia spin 2).

Le restanti 3 interazioni fondamentali sono mediate da bosoni aventi spin 1 (avevamo dato un'introduzione molto basilare al concetto di spin, insieme ad altre cose, qui).

Nello specifico l'interazione elettromagnetica è mediata dal famoso fotone, l'interazione forte dal gluone, mentre per quanto concerne l'interazione debole abbiamo proprio i bosoni W e Z.

C'è un dettaglio non da poco che subito distingue tali bosoni: la massa!

Infatti mentre fotoni e gluoni non hanno massa, i bosoni W e Z sono particelle massive.

E tutto ciò ha delle implicazioni notevoli anche per quanto concerne il cosiddetto "range" $R$ di tali interazioni, che possiamo definire come

$R = \frac{1}{M_X}$

in cui $M_X$ rappresenta la massa della particella mediatrice dell'interazione, e in cui abbiamo assunto, per semplicità, l'uso delle unità di misura naturali, ovvero abbiamo considerato sia la velocità della luce $c$, sia la costante di Planck ridotta $\hbar$ pari ad 1, dunque non esplicitamente presenti nella formula sopra riportata.

È pertanto facile notare che se assumiamo che $M_X = 0$ (come nel caso del fotone e del gluone) otteniamo delle interazioni aventi range infinito (almeno teoricamente), mentre se $M_X$ è diversa da 0 l'interazione ha un range finito, che è proprio il caso dell'interazione debole.

Nello specifico il range della suddetta interazione è pari a circa $2 \times 10^{-3}$ fm, ove con fm indichiamo i femtometri (1 fm = $10^{-15}$ m).

Aggiungiamo poi che la scoperta dei bosoni W e Z è stata una vera e propria pietra miliare a conferma del modello teorico dell'unificazione elettrodebole per cui Glashow, Salam e Weinberg vinsero il Nobel per la fisica nel 1979.

Questi prodigiosi fisici mostrarono che, almeno ad elevate energie, l'interazione elettromagnetica e quella debole non sono altro che due facce della stessa medaglia, ossia l'interazione elettrodebole, un po' come (principalmente) Faraday e Maxwell dimostrarono sperimentalmente e matematicamente che fenomeni elettrici e magnetici potessero essere descritti complessivamente grazie alla teoria dell'elettromagnetismo.

L'idea primordiale di indagare sull'esistenza dei bosoni W e Z risale al 1976, anno in cui David Cline, Peter McIntyre e Carlo Rubbia proposero di convertire gli esistenti acceleratori di protoni in collisori protoni $p$ ed antiprotoni $\bar{p}$, nella speranza di produrre appunto i bosoni massivi predetti dalla teoria elettrodebole.

Chi fosse rimasto sino ad ora confuso da concetti come quello di antiprotone appena menzionato, ovvero l'antiparticella del protone, legga (cliccando qui) il recente post che abbiamo pubblicato riguardo all'emergere teorico del concetto di antiparticella dall'equazione di Dirac e alla scoperta sperimentale della prima antiparticella nota, il positrone, cioè l'antiparticella dell'elettrone.

Specifico ora che quelli che finora ho chiamato bosoni W e Z sono complessivamente 3:

1) bosone $Z^0$, avente carica elettrica nulla;

2) bosone $W^+$, avente carica elettrica positiva;

3) bosone $W^-$, avente carica elettrica negativa.

Oggi sappiamo che tali particelle sono altamente instabili e vennero prodotte grazie alle seguenti reazioni:

$p + \bar{p} \rightarrow W^{+} + X^{-}$

$p + \bar{p} \rightarrow W^{-} + X^{+}$

$p + \bar{p} \rightarrow Z^0 + X^0$,

in cui $X^{\pm}$ e $X^0$ denotano stati adronici arbitrari permessi dalle leggi di conservazione.

Per chi se lo stesse chiedendo, un adrone è ovviamente una particella, ma non è una particella elementare (ovvero senza una struttura interna), bensì una particella composta da altre particelle, che possono essere quark (che invece sono particelle elementari) ed antiquark.

Nello specifico, esistono 2 famiglie fondamentali in cui dividiamo gli adroni:

1) i barioni, composti da almeno 3 quark (e comunque sempre aventi un numero dispari di particelle costituenti). Di questa categoria fanno parte anche i protoni ed i neutroni.

2) i mesoni, formati da un quark e da un antiquark. Esempi famosi sono i pioni e i kaoni.

Come già detto all'inizio del post, sono passati 40 anni dal rilevamento sperimentale, nel 1983, dei bosoni mediatori dell'interazione debole.

Vennero sfruttati i seguenti corrispondenti decadimenti (molto generali) in leptoni:

$W^+ \rightarrow l^+ + {\nu}_l$

$W^- \rightarrow l^- + \bar{\nu}_l$

$Z^0 \rightarrow l^+ + l^-$

Specifichiamo che i leptoni sono una famiglia di particelle elementari (ed osservabili) che comprendono il ben noto elettrone, il muone, il tauone e i corrispettivi neutrini. Dunque nelle reazioni qui sopra $l$ può denotare indifferentemente $e, \mu, \tau$.

2 esperimenti indipendenti vennero allestiti al CERN a partire dal 1981: UA1 e UA2, acronimi che provengono da "underground area", cioè "area sotterranea".

In entrambi gli esperimenti, fasci di protoni ed antiprotoni furono condotti insieme in una zona di intersezione che giace al centro di un gigantesco e molto complesso sistema di rilevamento.

Nello specifico, tenendo a riferimento UA1, i componenti principali di questo apparato erano:

1) un "tracking detector" centrale: usato al fine di osservare le particelle cariche e misurare il loro momento a partire dalla curvatura delle tracce in un campo magnetico applicato;

2) una serie di contatori di cascata elettromagnetica: assorbono e rivelano sia elettroni (osservati anche dal rivelatore centrale) che fotoni (non osservati dal rivelatore centrale);

3) una serie di calorimetri adronici: assorbono e rivelano adroni sia carichi sia neutri;

4) una serie di contatori per l'identificazione dei muoni: questi sono le uniche partielle cariche che riescono a penetrare i calorimetri adronici.

Di seguito una rappresentazione schematica di quanto appena illustrato tratta dal testo Particle Physics di B.R. Martin e G. Shaw.

Alla fine è chiaro che le uniche particelle in grado di scappare dalla rivelazione del sofisticato apparato sono stati i neutrini, a volte noti comunemente come "particelle fantasma" giacché molto difficili da rilevare.

Infatti i neutrini presentano la caratteristica peculiare di essere sensibili soltanto all'interazione debole (e non alle altre interazioni) ed essere caratterizzati da una sezione d'urto assai piccola, il che significa che per tentare di rilevarli si ha bisogno di rivelatori molto grandi e di un enorme flusso di particelle.

Dopo questo breve inciso sui neutrini, torniamo all'esperimento UA1.

Uno dei problemi principali che gli scienziati dovettero affrontare fu il fatto che, per ogni evento in cui un bosone $W^{\pm}$ o $Z^0$ viene prodotto (decadendo poi in leptoni), esistono più di $10^{7}$ eventi nei quali vengono prodotti solo adroni.

L'estrazione del "segnale" di presenza dei suddetti bosoni in questo immenso "background" di adroni è stato reso possibile solo perché i leptoni che scaturiscono dal decadimento dei bosoni W e Z posseggono momenti elevati e sono spesso emessi ad ampi angoli rispetto alle direzioni iniziali del fascio.

Detto in altri termini, i leptoni si manifestano spesso con grandi "momenti trasversi".

Al contrario, gli adroni, prodotti nelle collisioni protone/antiprotone, e i leptoni derivanti dai loro decadimenti presentano raramente dei così elevati momenti trasversi.

Questa analisi permette pertanto di avere un modo efficace di distinguere ciò che è stato prodotto dagli adroni (cioè la maggioranza degli eventi) e ciò che invece è il risultato del decadimento delle nostre "prede", ossia i bosoni W e Z.

Concludendo, grazie ad analisi di questo tipo, gli esperimenti condotti al CERN produssero il risultato sperato e, nel 1984, Carlo Rubbia e Simon van der Meer furono insigniti del Nobel per la fisica per il loro fondamentale contributo nell'ambito di tale scoperta.

van der Meer (a sinistra) e Rubbia (a destra).
Immagine tratta da: https://nyti.ms/3jDURRf

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Fonti essenziali:

- Particle Physics di B.R. Martin e G. Shaw

GRASSMANN E LE SUE VARIABILI

2023-01-03T11:11:00.001+01:00

Il presente post sarà focalizzato nella spiegazione di un concetto matematico molto utile nell'ambito della teoria quantistica dei campi: le variabili di Grassmann.

Esse infatti sono fondamentali per il calcolo delle cosiddette funzioni di correlazione di campi fermionici e, in particolare, per la definizione degli integrali funzionali per i fermioni.

Per inciso ricordiamo che i fermioni sono quelle particelle (tra cui, per esempio, l'elettrone) che, in base al teorema spin-statistica, presentano spin semi-intero e obbediscono al principio di esclusione di Pauli.

Non abbiate troppa paura, il post non richiederà prerequisiti di teoria quantistica dei campi per la comprensione, ma "solo" il generico background matematico tipico dei post un po' più tecnici presenti in questo blog.

Possiamo però cominciare molto dolcemente anche per il lettore totalmente a digiuno di matematica avanzata, inquadrando in primis l'interessante biografia del matematico, fisico e linguista tedesco Hermann Günther Grassmann, che sono sicuro vi sorprenderà notevolmente.

Terzo di dodici figli, Grassmann nacque il 15 aprile 1809 a Stettino da Justus Günter Grassmann (consacrato ministro del culto, ma poi divenuto docente di matematica e fisica presso il liceo di Stettino) e Johanne Luise Friederike Medenwald (figlia di un ministro del culto di Klein-Schönfeld).

Justus scrisse diversi libri scolastici di fisica e matematica e intraprese anche ricerche inerenti alla cristallografia.

Anche il fratello di Hermann, Robert, divenne un matematico e i due collaborarono a svariati progetti.

Ma focalizziamo la nostra attenzione su Hermann.

L'istruzione primaria di Hermann si dovette alla madre, donna decisamente saggia e colta.

Dopodiché frequentò una scuola privata prima di entrare nel ginnasio di Stettino dove insegnava suo padre.

Ecco, molti sono abituati a pensare ai grandi matematici e scienziati della storia come studenti brillantissimi, geni, "mostri", "alieni" in grado di ridicolizzare anche i propri insegnanti.

Questo non fu assolutamente il caso di Grassmann, quantomeno inizialmente!

Infatti costui, nonostante avesse eccellenti opportunità di coltivare la sua istruzione in una famiglia con un'ampia mentalità educativa, non eccelse durante i suoi primi anni di ginnasio.

Magari non ci crederete, ma suo padre ad un certo punto pensò addirittura che il figlio dovesse indirizzarsi più su un lavoro manuale (come per esempio fare il giardiniere o l'artigiano) piuttosto che focalizzarsi su studi difficili apparentemente non alla sua portata.

Hermann si appassionò alla musica e imparò a suonare il pianoforte.

Man mano che progredì nella scuola, migliorò a piccoli passi e nel momento degli esami finali di scuola secondaria, all'età di diciotto anni, si classificò al secondo posto nella scuola.

Insomma un bruco diventato farfalla!

Questa vicenda dovrebbe far riflettere sul fatto che un brutto voto scolastico o un periodo di rendimento negativo non definiscono in toto l'intelligenza e le capacità di una persona. Sarebbe bello che imparassimo tutti quanti a non giudicare un libro dalla copertina o dalle prime pagine.

Tornando al nostro racconto biografico, Hermann decise che avrebbe studiato teologia e si recò a Berlino nel 1827 con il fratello maggiore per studiare nella prestigiosa Università ivi presente.

Seguì corsi di teologia, lingue classiche, filosofia e letteratura, ma pare che non abbia mai seguito corsi di matematica o fisica.

Sebbene non possedesse una preparazione universitaria formale in matematica, fu tale argomento che lo interessò al suo ritorno a Stettino nell'autunno del 1830 dopo aver completato gli studi universitari a Berlino.

L'influenza del padre risultò determinante nel portarlo sulla strada della matematica; Hermann decise che sarebbe diventato un insegnante di scuola, ma era determinato a intraprendere ricerche matematiche per conto proprio.

Dopo un anno di ricerca matematica e di studio utile nella preparazione degli esami necessari per insegnare nei ginnasi, si recò a Berlino nel dicembre 1831 per sostenere i suddetti esami.
Le sue prove scritte non ebbero tuttavia una buona valutazione, dal momento che i suoi esaminatori gli diedero la licenza di insegnare solo ai livelli più bassi del liceo.

Gli fu in particolare detto che, prima di poter insegnare ai livelli superiori, avrebbe dovuto sostenere nuovamente gli esami e dimostrare una maggiore conoscenza degli argomenti per cui si era presentato. Nella primavera del 1832 fu nominato insegnante assistente al liceo di Stettino.

Come racconta Grassmann stesso nella prefazione della sua fondamentale opera, pubblicata nel 1844, Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik ("Teoria dell'estensione lineare, un nuovo ramo della matematica"), fu in questo periodo (cioè a partire dal 1832 circa) che fece le sue prime significative scoperte matematiche che lo avrebbero condotto alle rilevanti idee che avrebbe sviluppato pochi anni dopo.

Nel 1834 Grassmann sostenne gli esami di teologia (di primo livello) fissati dal Consiglio della Chiesa luterana di Stettino ma, sebbene questo potesse rappresentare il suo primo passo per diventare ministro nella Chiesa luterana, decise di recarsi invece a Berlino nell'autunno di quell'anno per accettare un incarico come insegnante di matematica alla Gewerbeschule.

Era infatti rimasto vacante un posto da quando il precedente insegnante, Jakob Steiner (1796-1863), sì proprio quello del celebre teorema di Huygens-Steiner inerente al calcolo del momento di inerzia di un corpo rigido, era stato nominato ad una cattedra di matematica all'Università di Berlino.

Grassmann trascorse solo un anno alla Gewerbeschule prima che si presentasse una nuova opportunità nella sua città natale di Stettino.

Una nuova scuola, la Otto Schule, era infatti appena stata aperta e Grassmann fu incaricato di insegnare matematica, fisica, tedesco, latino e religione. Si era qualificato solo per insegnare a un livello basso, e ciò fa ben capire l'ampia varietà di argomenti che insegnava.

Nei 4 anni successivi il nostro studioso prese molto sul serio il suo insegnamento, ma non trascurò per questo la ricerca matematica, oltre a concentrarsi sulla preparazione di ulteriori esami.

Nel 1839 superò gli esami di teologia, di secondo livello, fissati dal Consiglio della Chiesa luterana di Stettino, e nel 1840 si recò a Berlino per sostenere gli esami che gli avrebbero permesso di insegnare alcune materie al più alto livello di ginnasio. Da quel momento poté finalmente insegnare matematica, fisica, chimica e mineralogia a tutti i livelli delle scuole secondarie.

Interessante notare come gli esami che Grassmann sostenne nel 1840 furono per lui significativi anche in un altro senso.

Nello specifico, tra le richieste dell'esame vi era la presentazione di un saggio sulla teoria delle maree. Egli prese allora la teoria di base dalle celebri Méchanique céleste di Laplace e Méchanique analytique di Lagrange, tuttavia si rese presto conto di poter applicare i metodi vettoriali che aveva sviluppato fin dal 1832 per dar vita ad un approccio non solo originale ma pure semplificato.

Il suo saggio Theorie der Ebbe und Flut era lungo 200 pagine e introduceva per la prima volta un'analisi basata sui vettori, tra cui addizione e sottrazione di vettori, differenziazione di vettori e teoria delle funzioni vettoriali.

Sebbene il suo saggio venne accettato dagli esaminatori, questi non furono assolutamente in grado di comprendere l'importanza delle innovazioni introdotte da Grassmann.

In altre parole, Grassmann, senza aver ricevuto alcuna educazione matematica di tipo universitario, aveva gettato le basi della moderna algebra lineare e dell'importantissimo concetto di spazio vettoriale, ma i suoi esaminatori non seppero riconoscere un vero "diamante matematico" pur avendolo di fronte agli occhi. Cliccando qui gli interessati potranno leggere lo splendido testo Linear Algebra Done Right di Sheldon Axler, molto utile per rinfrescare i fondamentali concetti e scoprire un approccio piuttosto originale rispetto ai tipici libri presenti sull'argomento.

Riporto inoltre a tal proposito un interessante passo tratto dal libro Dio è un matematico di Mario Livio:

"Uno dei suoi biografi ha scritto: «Sembra che il destino di Grassmann sia quello di essere riscoperto di tanto in tanto, ogni volta come se fosse stato dimenticato dopo la morte». Eppure a Grassmann si deve la creazione della scienza astratta degli «spazi» al cui interno la geometria convenzionale rappresentava solo un caso particolare. Grassmann pubblicò le sue idee pionieristiche (dando origine alla branca della matematica che prende il nome di «algebra lineare») nel 1844, in un libro noto generalmente con il titolo di Ausdehnungslehre[...]Nella prefazione, Grassmann scrisse:

‘La geometria non può in alcun modo essere considerata [...] una branca della matematica; la geometria riguarda invece qualcosa che è già dato in natura, ovverosia lo spazio. Mi ero inoltre reso conto del fatto che deve esserci una branca della matematica che produce in modo puramente astratto leggi simili a quelle della geometria.’

Era una concezione radicalmente nuova della natura della matematica. Per Grassmann la geometria tradizionale - eredità degli antichi greci - riguarda lo spazio fisico e pertanto non può essere considerata una vera branca della matematica astratta. Per lui la matematica era infatti una creazione astratta della mente umana che non necessariamente ha applicazioni nel mondo reale.

È affascinante seguire il filo di pensieri apparentemente banali che mise Grassmann sulla strada che l'avrebbe condotto alla sua teoria di un'algebra lineare.

Egli prese spunto dalla semplice formula $AB + BC = AC$, che compare in ogni manuale di geometria in riferimento alle lunghezze dei segmenti di retta (figura 46a).

Grassmann notò però qualcosa di nuovo nella formula. Scoprì che essa resta valida indipendentemente dall'ordine di $A$, $B$ e $C$, a condizione che non si interpretino $AB$, $CD$ e $AC$ come mere lunghezze, ma si assegni loro anche una «direzione», cosicché risulti, per esempio, $BA = -AB$. In tal caso, se $C$ sta tra $A$ e $B$ (figura 46 b), risulterà $AB = AC + CB$; ma poiché $CB = -BC$, avremo $AB = AC - BC$ e la formula iniziale potrà essere ripristinata semplicemente aggiungendo $BC$ a destra e a sinistra del segno d'uguaglianza.

Ciò era piuttosto interessante di per sé, ma l'intuizione di Grassmann conteneva altre sorprese. Notate che se fossimo nell'ambito dell'algebra invece che in quello della geometria, allora un'espressione come $AB$ denoterebbe in genere il prodotto $A \times B$. In questo caso, la proposta di Grassmann di porre $AB = -BA$ violerebbe una delle leggi fondamentali dell'aritmetica, ovvero che due quantità moltiplicate tra loro producono lo stesso risultato indipendentemente dall'ordine dei termini. Grassmann affrontò di petto quest'inquietante possibilità inventando una nuova algebra dotata di coerenza interna (chiamata «algebra esterna») che consentiva di utilizzare diversi procedimenti di moltiplicazione e al contempo di manipolare la geometria in un numero qualsiasi di dimensioni."

Desmond Fearnley-Sander, nell'articolo del 1979 intitolato Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra, scrisse peraltro che Grassmann

"Cominciando con una collezione di 'unità' $e_1, e_2, e_3$,...effettivamente definisce lo spazio lineare libero che essi generavano; in altri termini, egli considera la combinazione lineare formale $a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3 +...$, dove $a_j$ sono numeri reali, definisce l'addizione e la moltiplicazione di numeri reali [nel modo attualmente in uso] e dimostra formalmente le proprietà di spazio lineare per queste operazioni. ... Sviluppa poi la teoria dell'indipendenza lineare in un modo straordinariamente simile alla presentazione che si trova nei moderni testi di algebra lineare. Definisce la nozione di sottospazio vettoriale, indipendenza, lunghezza, span, dimensione, unione e intersezione di sottospazi, e proiezione di elementi nei sottospazi.
Tra gli altri risultati, mostra che ogni insieme finito ha un sottoinsieme indipendente con lo stesso span e che ogni insieme indipendente si estende a una base, e dimostra l'importante identità [oggi chiamata formula di Grassmann]

$\mathrm{dim} (U+W) = \mathrm{dim} (U) + \mathrm{dim} (W) - \mathrm{dim} (U \cap W)$."

D'altra parte le ricerche (poi raccolte nel saggio del 1844) avevano dimostrato a Grassmann che la sua teoria risultava ampiamente applicabile, pertanto egli decise che avrebbe dedicato d'ora in avanti tutto il tempo che poteva risparmiare al fine di sviluppare ulteriormente le sue idee innovative sugli spazi vettoriali.

Si noti tuttavia che tale tempo non poteva essere molto giacché Grassmann era un insegnante scrupoloso che mirava a svolgere quel lavoro al meglio delle sue capacità. Scrisse numerosi libri di testo, due dei quali furono pubblicati nel 1842: uno era sul tedesco parlato, l'altro sul latino.

Dopo aver scritto questi libri di testo, rivolse tutta la sua attenzione alla stesura della già citata Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik.

Cominciò nella primavera del 1842 e completò il manoscritto nell'autunno del 1843.

Esso, come già più volte detto, venne pubblicato l'anno successivo. Nella suddetta opera, un vero e proprio capolavoro di originalità, ha sviluppato l'idea di un'algebra in cui i simboli che rappresentano entità geometriche come punti, linee e piani, risultano manipolati secondo determinate regole.

Ha rappresentato i sottospazi di uno spazio mediante coordinate che portano alla mappatura dei punti di una varietà algebrica ora chiamata, non a caso, Grassmanniana.

Grassmann era un po' risentito del fatto stesse producendo matematica decisamente innovativa ed importante, ma fosse ancora costretto ad insegnare nelle scuole secondarie.

Infatti, sebbene fosse stato a Stettino sin dalla prima nomina alla Otto Schule, era stato trasferito prima al Ginnasio di Stettino, poi alla Friedrich Wilhelm Schule a causa della riorganizzazione scolastica della città.

Nel maggio 1847 ricevette il titolo di Oberlehrer alla Friedrich Wilhelm Schule e nello stesso mese scrisse al Ministero dell'Istruzione prussiano chiedendo di essere inserito in un elenco di quelli da considerare per posizioni universitarie. Il Ministero dell'Istruzione chiese a Kummer la sua opinione su Grassmann, che lesse il suo premiato saggio Geometrische Analyse e riferì che conteneva:

"materiale lodevolmente buono espresso in una forma carente".

Il rapporto di Kummer cancellò definitivamente le speranze di Grassmann per un posto universitario.
È davvero curioso constatare quanti eminenti matematici non siano riusciti a riconoscere che la matematica presentata da Grassmann sarebbe diventata il fondamento di base della materia nei 100 anni successivi.

Il 12 aprile 1849 Grassmann sposò Therese Knappe, la figlia di un proprietario terriero.

La coppia ebbe la bellezza di 11 figli di cui sette raggiunsero l'età adulta. Uno dei loro figli, Hermann Ernst Grassmann, ricevette un dottorato nel 1893 per la sua tesi Anwendung der Ausdehnungslehre auf die Allgemeine Theorie der Raumkurven und Krummen Flächen scritta sotto la supervisione di Albert Wangerin presso l'Università di Halle-Wittenberg. Questi diventò successivamente professore di matematica presso l'Università di Giessen.

Nel marzo 1852 il padre di Grassmann, Justus, morì e nello stesso anno Grassmann fu nominato per ricoprire la precedente posizione di suo padre allo Stettin Gymnasium.

Ciò significava che, pur insegnando ancora in una scuola secondaria, ora possedeva il titolo di professore. Non essendo riuscito a ottenere un vero riconoscimento per la sua matematica innovativa, Grassmann si dedicò poi a un'altra delle sue materie preferite, lo studio del sanscrito e del gotico.

Ebbe un buon riconoscimento come linguista per aver dimostrato che il germanico in realtà risultava "più antico" in un modello fonologico rispetto al sanscrito.

Neanche la fisica venne trascurata dallo studioso. Nello specifico, egli pubblicò nel 1853 una teoria della mescolanza dei colori che contraddiceva quella proposta da Helmholtz.

Entro la metà dell'anno successivo, tuttavia, fece ritorno alla matematica e alla sua teoria dell'estensione decidendo che, invece di scrivere un secondo volume, come aveva originariamente previsto, avrebbe riscritto completamente l'opera nel tentativo di farne riconoscere il significato.

Infatti, sebbene abbia scritto un'opera che oggi ci appare nello stile di un moderno libro di testo, Grassmann non riuscì mai a convincere i matematici del suo tempo.

Forse era così sicuro dell'importanza dell'argomento da non riuscire a decidersi a venderlo a lettori scettici.
Certamente il libro Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet, da lui pubblicato nel 1862, non se la cavò meglio della prima versione del 1844.

Le delusioni provocate dal mancato apprezzamento del suo contributo matematico lo spinsero a dedicarsi nuovamente alla ricerca in linguistica. Qui se la cavò davvero molto meglio (almeno per il pubblico dell'epoca) e fu onorato per i suoi contributi filologici con l'elezione all'American Oriental Society e con il conferimento, nel 1876, di una laurea honoris causa da parte dell'Università di Tubinga.

Tornò ancora una volta a concentrarsi sulla matematica negli ultimi due anni della sua vita e, nonostante la salute cagionevole, preparò un'altra edizione dell'Ausdehnungslehre per la pubblicazione. Questa apparve, ma soltanto postuma.

Grassmann esalò l'ultimo respiro il 26 settembre 1877 a Stettino, una morte dovuta a problemi cardiaci presentatisi dopo un periodo di lenta decaduta della salute.

A conclusione di questa biografia, riportiamo il seguente emblematico e riassuntivo pensiero di Fearnley-Sander:

"Tutti i matematici stanno, come disse Newton, sulle spalle dei giganti, ma pochi si sono avvicinati più di Hermann Grassmann alla creazione, in solitario, di una nuova disciplina."

Passiamo ora finalmente ad illustrare le variabili di Grassmann.

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LA SCOPERTA DEL POSITRONE

2022-11-08T14:23:00.000+01:00

Oggi ci soffermeremo nel dettaglio su un'importantissima scoperta nella storia della fisica moderna, ovvero quella del positrone, l'antiparticella dell'elettrone.

Partiremo con una breve premessa un po' tecnica, dopodiché prometto che la narrazione diventerà molto più fruibile anche per il lettore non avvezzo al formalismo matematico della meccanica quantistica e della relatività ristretta.

È ben noto che l'equazione fondamentale alla base della meccanica quantistica è l'equazione di Schrödinger (ne abbiamo parlato qui e qui)

qui scritta per particella libera (ossia in assenza di potenziale) e assumendo l'uso di unità naturali, cioè ponendo $\hbar = 1$.

Ovviamente più in generale possiamo scriverla come

$i \frac{\partial}{\partial t} | \psi (t) \rangle = H | \psi(t) \rangle$,

ove $H$ denota l'hamiltoniana di una particella libera non relativistica, ovvero

$H = \frac{\mathbf{p}^2}{2m}$.

Detto ciò, una domanda lecita sarebbe chiedersi come sia possibile estendere l'equazione di Schrödinger al caso di una particella relativistica.

Ciò che immediatamente si può fare è scrivere l'hamiltoniana grazie alla relazione di dispersione relativistica

$H = \sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2}$,

dove abbiamo imposto, per via delle unità naturali, la velocità della luce $c = 1$ (non utilizzando le unità naturali la relazione sarebbe stata $H = \sqrt{c^2 \mathbf{p}^2 + c^4 m^2}$).

Se si andasse ad utilizzare questa nuova $H$ all'interno dell'equazione di Schrödinger si otterrebbe:

Trattasi di un'espressione problematica per essere una relazione relativistica dato che le derivate spaziali e temporali sono di ordine diverso e ciò non la rende invariante di Lorentz.

Per cercare di risolvere il problema, ossia cercare di rendere quantomeno uguale l'ordine delle derivate temporale e spaziale, possiamo provare ad applicare il termine $i \frac{\partial}{\partial t}$ a tutta l'equazione precedente, il che conduce all'espressione

Trattasi della cosiddetta equazione di Klein-Gordon (proposta da Oskar Klein e Walter Gordon nel 1926) per la funzione d'onda $\psi(\mathbf{x},t)$, equazione che risulta consistente con la relazione di dispersione relativistica se compiamo le seguenti identificazioni:

in cui ovviamente $H$ e $\mathbf{p}$ sono rispettivamente l'operatore hamiltoniano e l'operatore momento.

Un ultimo piccolo importante step da compiere è usare le seguenti relazioni

le quali ci permettono di scrivere l'equazione di Klein-Gordon nella sua forma covariante (per i pignoli, abbiamo assunto la convenzione "mostly minus" del tensore metrico $\eta^{\mu \nu}$ dello spazio-tempo di Minkowski):

L'equazione così scritta è invariante di Lorentz in modo esplicito, dato che $\psi(\mathbf{x},t)$ ed $m$ sono scalari, mentre $\partial_{\mu} \partial^{\mu} = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \equiv \partial^2 \equiv \Box$, cioè l'operatore dalembertiano, è uno scalare di Lorentz in quanto prodotto scalare di quadrivettori.

Detto ciò, l'equazione di Klein-Gordon continua ad avere dei problemi.

Innanzitutto $|\psi(\mathbf{x},t)|^2$, ovvero la densità di probabilità in meccanica quantistica, non è conservata (cioè non è indipendente dal tempo) giacché abbiamo ben 2 derivate temporali nell'equazione di Klein-Gordon.

L'equazione di Klein-Gordon non può oltretutto descrivere particelle aventi spin e presenta anche stati ad energia negativa come soluzioni, il che implicherebbe densità di probabilità negative, assolutamente non consistenti con l'interpretazione probabilistica tipica della meccanica quantistica non relativistica.

Insomma, sarebbe decisamente sbagliato considerare l'equazione di Klein-Gordon come un'equazione di Schrödinger relativistica; quella di Klein-Gordon è semplicemente un'equazione d'onda relativistica!

Tale problematica venne affrontata nientemeno che dal mitico Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984), il quale riuscì nell'impresa di pervenire, nel 1928, ad un'equazione, la famosa equazione di Dirac (di seguito scritta in forma covariante)

$(i\!\!\not\! \partial - m) \psi(\mathbf{x},t) = 0$,

che presenta derivata spaziale e temporale entrambe del 1° ordine.

Tale equazione è tuttavia valida per gli spinori, non per funzioni d'onda scalari e, in particolare, serve a descrivere le particelle con spin semi-intero chiamate fermioni (tra cui troviamo anche l'elettrone e il positrone).

Non entreremo nel dettaglio della spiegazione di tale equazione, che andrebbe ben al di là degli scopi di questo post (gli interessati possono trovare una spiegazione già in alcuni testi della bibliografia in fondo al post).

Prima però di capire come tutto questo si ricolleghi alla scoperta del positrone voglio sottolineare il fatto che negli ultimi anni sia uscita una certa moda che consiste nel tatuarsi sul corpo l'equazione di Dirac e denominarla come "formula dell'amore".

Il problema sta nel fatto che non solo la suddetta equazione non ha nulla a che vedere con l'amore (magari già il bizzarro concetto quantistico di entanglement avrebbe leggermente più senso in tal direzione), ma spesso viene pure scritta in modo totalmente sbagliato, cioè per esempio come segue.

In questo caso non solo è chiaramente sbagliato l'utilizzo del segno +, ma c'è pure un dettaglio non da poco che manca: la slash notation.

Quella barretta che risulta inserita nella vera equazione di Dirac non è infatti messa lì a caso, come fosse una trollata da parte dei fisici per complicare la vita dei poveri mortali, ma ha un significato ben preciso che coinvolge le cosiddette matrici gamma.

Insomma, se proprio volete tatuarvela, vi consiglio di tatuarvi quella giusta per non farvi prendere in giro da coloro (seppur pochi 😉) che conoscono davvero l'equazione di Dirac.

Tornando alle cose serie, vi starete giustamente chiedendo a cosa sia servita tutta questa piuttosto pesante premessa.

Essa è servita in primis per farvi capire come non sia banale considerare assieme la meccanica quantistica e la relatività speciale (non mettiamo poi nel calderone la relatività generale, la cui unificazione con la meccanica quantistica è un problema ancora apertissimo in fisica).

Infatti spesso quando si parla di meccanica quantistica + relatività speciale ci si riferisce ad una teoria nota come teoria quantistica dei campi o, in inglese, quantum field theory (abbreviata QFT).

Ecco, se pensate che la meccanica quantistica sia qualcosa di molto complesso, la QFT rappresenta un netto ulteriore step in complessità, oltre a costituire un vero e proprio framework per la fisica moderna ed essere la base teorica della fisica delle particelle.

La premessa è servita poi per farvi quantomeno comprendere perché, nella storia della fisica moderna, non è stata sufficiente l'introduzione dell'equazione di Klein-Gordon e fu necessario il geniale contributo di Dirac per poter compiere giganteschi passi avanti nel tentativo di fusione tra meccanica quantistica e relatività ristretta.

Il nocciolo della questione viene in particolare dal fatto che, così come l'equazione di Klein-Gordon, pure quella di Dirac ammette soluzioni con energie negative!

Ciò implicherebbe la non esistenza di uno stato fondamentale (ground state) del sistema, poiché le particelle tenderebbero sempre a preferire di dirigersi verso stati ad energia negativa.

Oltretutto, tenendo conto che l'equazione di Dirac descrive i fermioni, e i fermioni sono quelle particelle che debbono obbedire al noto principio di esclusione di Pauli (leggete qui), si potrebbe supporre (come fece Dirac) che tutti gli stati ad energia negativa siano occupati, ossia che sussista il cosiddetto "mare di Dirac" inaccessibile alle particelle con energia positiva a causa del principio di Pauli.

Ecco un'immagine illustrativa della situazione tratta dal testo Particle Physics di Martin e Shaw.

Sarebbe tuttavia chiaramente possibile eccitare (in qualche modo) una particella situata nel mare infinito di Dirac delle energie negative verso la regione delle energie positive, totalmente vuota.

Il risultato sarebbe avere una buca nel mare di Dirac, tecnicamente (nel linguaggio tipico della fisica dei semiconduttori) una lacuna (in inglese hole), come ben mostra la seguente immagine.

Fonte: https://oer.physics.manchester.ac.uk/NP/Notes/Notes/Notesse28.xht

Tale lacuna (il pallino bianco della figura) è sostanzialmente un'antiparticella, cioè, in parole povere, una particella che presenta la medesima massa (ed altre proprietà) della particella originaria ma carica elettrica opposta.

Quando una particella e un'antiparticella interagiscono avviene il fenomeno dell'annichilazione, che dà luogo a particelle più leggere con rilascio di energia.

L'antiparticella dell'elettrone $e^-$ è proprio il positrone $e^+$; le 2 particelle interagiscono nello specifico a bassa energia secondo questa relazione:

L'introduzione del concetto di antiparticella rimase un puro risultato teorico proprio sino alla scoperta sperimentale del positrone. Entriamo ora finalmente nei meandri dell'interessante storia inerente alla suddetta scoperta.

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L'EQUAZIONE DI LANE-EMDEN

2022-10-08T02:26:00.004+02:00

Il presente post è dedicato a un'equazione rilevante in ambito astrofisico: l'equazione di Lane-Emden.

L'ispirazione nel voler approfondire tale tematica è venuta tempo fa leggendo su Twitter uno splendido thread di Nereide, alias la Prof.ssa Annarita Ruberto, che riguardava l'affascinante nebulosa oscura Barnard 68.

Infatti, nel thread (che potete leggere cliccando qui) ho trovato il riferimento ad un paper di ricerca astrofisica, di Burkert ed Alves, nella cui appendice si discute brevemente di una forma speciale della sopracitata equazione utile in quel contesto specifico.

Cerchiamo dunque di scoprire il più dolcemente possibile (maggiori dettagli possono essere reperiti nella bibliografia in fondo al post) l'interessante equazione di Lane-Emden.

Per cominciare dobbiamo fare alcune considerazioni di natura idrostatica.

Agli inizi del XX secolo il problema della struttura interna e dell'evoluzione futura del Sole costituiva un vasto ambito di ricerca.

Tuttavia, nonostante non fossero ben chiare le origini del "potere radiativo" della nostra stella (fondamentale fu il contributo, nel contesto della fusione nucleare, di Hans Bethe, nel 1939, con l'introduzione della famosa catena protone-protone), questo non impedì di risolvere equazioni inerenti alla sua struttura interna.

Infatti, il primo contributo in tal direzione giunse da parte dell'astronomo statunitense Jonathan Homer Lane (1819-1880).
Le sue ricerche (condensate nell'articolo "On the theoretical temperature of the Sun, under the hypothesis of a gaseous mass maintaining its volume by its internal heat, and depending on the laws of gases as known to terrestrial experiment", datato 1869) hanno infatti dimostrato le relazioni termodinamiche tra pressione, temperatura e densità del gas all'interno del Sole.

Il punto essenziale della questione risiede nel fatto che la configurazione statica di una sfera gassosa (come il Sole o una qualsivoglia generica stella), tenuta insieme dall'autogravità, deve soddisfare la condizione di equilibrio idrostatico:

$\nabla p = - \rho g$,

dove $p$ è la pressione (che ricordiamo essere una quantità scalare), $\rho$ è la densità, $g$ è l'accelerazione di gravità e $\nabla$ è, come sempre, l'operatore nabla che applicato a $p$ fornisce il gradiente di pressione $\nabla p$.

In pratica tale equazione ci dice che la pressione ad ogni punto nell'interno di una stella è sufficiente per bilanciare il peso degli strati sovrastanti.

Tenendo ora conto della legge di gravitazione universale possiamo scrivere che

$g = G \frac{M_r}{r^2}$,

in cui $G$ è la costante di gravitazione universale ed $M_r$ è la massa contenuta entro la sfera avente raggio $r$.

Tale massa è in particolare fornita da:

$M_r = \int_0^r 4 \pi \, r^{'2} \rho(r') \, \mathrm{d}r'$.

L'equilibrio meccanico di una stella può pertanto essere riassunto nelle seguenti 2 equazioni differenziali:

$\nabla p = - G \frac{\rho M_r}{r^2}$

$\frac{\mathrm{d}M_r}{\mathrm{d}r} = 4 \pi \, r^2 \rho$.

Esse si possono condensare nell'unica equazione:

$\rho = - \frac{1}{4 \pi G r^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \left ( \frac{r^2}{\rho} \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} \right )$.

La suddetta equazione differenziale contiene entrambe le variabili fisiche $p$ e $\rho$, per tal ragione non è sufficiente a risolvere il problema del modello dell'interno di una stella.

Soltanto attraverso l'utilizzo di una relazione funzionale tra le 2 variabili, relazione per forza approssimata, si può ricavare una soluzione del problema.

Un tipico esempio di questo modo di procedere è proprio dato dalla soluzione di Lane-Emden, la quale si ottiene supponendo che l'equazione di stato barotropica (ovvero la relazione $p$-$\rho$) sia una relazione politropica del tipo

$p = K \, \rho^{1+ \frac{1}{n}}$,

ove $K$ è una costante di proporzionalità (dipendente dalla natura del fluido politropico), mentre $n $ denota il cosiddetto indice politropico.

Come spiegò il famoso fisico indiano (premio Nobel nel 1983) Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995) nel suo brillante testo, datato 1939, Introduction to the Study of Stellar Structure, "Le trasformazioni politropiche furono inizialmente introdotte in termodinamica da G. Zeuner e sono state ampiamente utilizzate da Helmholtz e, in particolare, da Emden".

Un'interessante curiosità: l'astrofisico svizzero Jacob Robert Emden (1862-1940), tra i fondatori nel 1930 e redattore della rivista Zeitschrift fur Astrophysik, fu il marito di Klara Schwarzschild, sorella del celebre fisico tedesco Karl Schwarzschild (1873-1916), noto per i suoi fondamentali contributi inerenti alla relatività generale e, in particolare, per il concetto di raggio di Schwarzschild nello studio dei buchi neri.

Tornando al nocciolo della narrazione, dato che la trasformazione politropica (il suddetto termine tecnico venne utilizzato per la prima volta proprio da Emden nella sua opera Gaskugeln del 1907) deve essere in equilibrio idrostatico, ne consegue che la distribuzione di pressione e densità deve essere consistente con l'equazione dell'equilibrio idrostatico e con la legge di conservazione della massa.

Nel dettaglio, se riprendiamo la nostra equazione dell'equilibrio idrostatico (esplicitando $\nabla p$ come $\mathrm{d}p/\mathrm{d}r$)

$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} = - \rho g = - \rho G \frac{M_r}{r^2}$

e adesso dividiamo tutto per $\rho$, moltiplichiamo tutto per $r^2$ e consideriamo la derivata rispetto ad $r$ in entrambi i membri dell'equazione, otteniamo la seguente formula:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \left ( \frac{r^2}{\rho} \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} \right ) = - G \frac{\mathrm{d}M_r}{\mathrm{d}r} = - 4 \pi G r^2 \rho$.

Essa può essere riscritta come

$\frac{1}{r^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \left ( \frac{r^2}{\rho} \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} \right ) = - 4 \pi G \rho$.

Questa è l'equazione di Poisson per il potenziale gravitazionale!

Per convincersene, è sufficiente ricordare che

$g = \frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d}r} = G \frac{M_r}{r^2}$,

ove $\Phi$ denota il potenziale gravitazionale, e far riferimento al fatto che

$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} = - \frac{G M_r}{r^2} \rho$.

Infatti, con pochi semplici passaggi si arriva alla celebre formula

$\nabla^2 \Phi = 4 \pi G \rho$,

ossia l'equazione di Poisson per il potenziale gravitazionale nell'usuale formalismo con il laplaciano del potenziale $\nabla^2 \Phi$.

Per capire l'origine storica e matematica del concetto di potenziale vi consiglio di leggere un post d'archivio cliccando qui.

Se avete visionato il link appena fornito vi sarete resi conto come l'equazione di Poisson non sia altro che una generalizzazione dell'equazione di Laplace.

Vorrei aggiungere qui che l'equazione di Poisson, specialmente nell'ambito dell'elettrostatica, cioè $\nabla^2 \phi = - \frac{\rho}{\varepsilon}$ (ove $\phi$ è il potenziale elettrico, $\rho$ è la densità di carica ed $\varepsilon$ è la permittività elettrica), ha un'importanza cruciale.

Il suo ruolo è per esempio essenziale quando vogliamo studiare strutture formate da semiconduttori (alla base dei moderni dispositivi elettronici a stato solido), come la nota giunzione p-n (ma anche strutture più complesse), e arrivare a determinare il campo elettrico ed il potenziale elettrico ivi presente.

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STEFAN BANACH: IL FONDATORE DELL'ANALISI FUNZIONALE

2022-06-10T10:05:00.002+02:00

Il presente post è dedicato a ricordare uno straordinario matematico polacco, Stefan Banach (1892-1945), considerato non solo il padre della moderna analisi funzionale, ma anche uno dei matematici più influenti del XX secolo (nonostante fosse praticamente autodidatta!).

Ma partiamo dalle origini.

Stefan Banach nacque il 30 marzo 1892 al St. Lazarus General Hospital, presso Cracovia, da Stefan Greczek e Katarzyna Banach.

Il lettore attento avrà immediatamente notato che egli ereditò il nome dal padre ma il cognome dalla madre, madre che lo abbandonò appena dopo il battesimo, ovvero quando aveva solo 4 giorni di vita!

Il padre mantenne sempre il segreto sull'identità della madre, nonostante il desiderio del figlio di saperne di più.

Il bambino venne portato a Ostrowsko (piccolo villaggio situato circa 50 km al di sotto di Cracovia), paese di origine del padre, ed affidato, quantomeno per il primo periodo, alla nonna.
Tuttavia dopo pochi anni la nonna si ammalò e, di conseguenza, Greczek decise di affidare suo figlio a Franciszka Plowa, la quale viveva a Cracovia assieme a sua figlia Maria.
Interessante dettaglio sta nel fatto che il tutore di Maria fosse un intellettuale francese, Juliusz Mien, il quale percepì immediatamente il grande potenziale del giovane Banach e decise di istruirlo riguardo alla lingua francese, oltre a spingerlo probabilmente verso la matematica.
Banach frequentò la scuola primaria a Cracovia, dopodiché, all'età di 10 anni, ossia nel 1902, si iscrisse al IV Ginnasio.

Sebbene si trattasse di una scuola indirizzata fortemente verso un'educazione di tipo umanistico, il giovane ebbe la fortuna di avere come compagno di classe (e suo migliore amico) Witold Wiłkosz (1891-1941), anch'egli futuro matematico!
Durante le pause e nei dopo scuola i 2 ragazzi trascorrevano gran parte del tempo a divertirsi nel risolvere problemi matematici.
Tale scuola non si dimostrò però particolarmente stimolante al punto che Wiłkosz decise di abbandonarla nel 1906 per iscriversi ad un miglior Ginnasio; Banach invece resto lì ma si mantenne in stretto contatto con l'amico.

In ogni caso l'interesse del giovane studente era totalmente rivolto alla matematica; le altre discipline non lo interessavano affatto, al contrario di Wiłkosz che mostrava passione e talento anche per la fisica.

Banach superò l'esame finale di Ginnasio nel 1910, ma non con la lode, dato che i suoi voti erano man mano calati durante il suddetto percorso scolastico secondario.

Si potrebbe ora pensare che l'ovvia scelta nel proseguimento degli studi di Banach e di Wiłkosz fosse la matematica universitaria.

In realtà il corso degli eventi non fu così banale; infatti, i 2 amici, seppur appassionati di matematica, ritenevano che nulla di nuovo potesse essere scoperto in quel settore e dunque Banach si incamminò verso l'ingegneria (nello specifico alla Lemberg Technical University, nell'attuale Leopoli in Ucraina), mentre Wiłkosz verso le lingue orientali.

Probabilmente tale scelta controversa si dovette anche al fatto che non ci fu la presenza di particolari figure di supporto e di sprone nei confronti della loro vera passione, qualcuno magari in grado di renderli consci del fatto che, in verità, la matematica costituiva ancora un "mondo intero" da esplorare e rinnovare.

Al giorno d'oggi siamo infatti ancora pieni di rilevanti problemi irrisolti in matematica (come i noti "Problemi del millennio") e l'espansione della matematica in svariate branche, alcune totalmente nuove, ha fatto sì che ormai sia difficile parlare di persone che possano vantare una conoscenza a tutto tondo della matematica (l'ultimo matematico a cui spesso si attribuisce una "conoscenza matematica universale" fu Poincaré e talvolta anche von Neumann, due veri giganti della disciplina).

Con buona probabilità, dato che non poteva contare su un solido sostegno economico, Banach dovette mantenersi facendo del tutoraggio, cosa che gli comportò una grossa perdita di tempo, portandolo a laurearsi un po' in ritardo nel 1914.

Allo scoppio della Prima guerra mondiale, Banach venne esonerato dal servizio militare poiché era mancino e la sua vista non risultava molto buona.

Quando poi l'esercito russo occupò Leopoli, Banach si trasferì a Cracovia, ove rimase per tutto il periodo restante della guerra e ivi riuscì a frequentare anche delle lezioni di matematica alla Jagiellonian University.

Se per Einstein, come ben noto, il 1905 fu l'annus mirabilis, l'anno in cui la sua figura divenne leggendaria grazie a ben 4 straordinari articoli pubblicati sulla rivista Annalen der Physik, l'anno in cui la vita e la carriera di Banach svoltarono fu sicuramente il 1916, in particolare la primavera.

Quello che leggerete ora potrebbe sembrare un aneddoto di fantasia ma è ciò che accadde realmente.

Il grande matematico polacco Hugo Steinhaus (1887-1972) viveva proprio a Cracovia in quel periodo.

Una sera, camminando per le strade della città polacca, si ritrovò ad ascoltare per puro caso, al Planty Park, le parole "misura di Lebesgue".

Planty Park (immagine presa da Wikipedia)

Incuriosito (visto che a quei tempi tale concetto risultava piuttosto nuovo ed originale), Steinhaus si avvicinò alla panchina del parco e si presentò a 2 giovani che discutevano di matematica: erano Banach e Otto Nikodym.

Il suddetto incontro fortuito portò alla creazione (il 2 aprile 1919) di un'importante società matematica, la Polish Mathematical Society.

Oltre a ciò, Steinhaus sottopose all'attenzione di Banach un problema a cui non riusciva a trovare una soluzione.

La mente geniale di Banach gli consentì di pervenire alla soluzione in una settimana! Il risultato finale di quel proficuo scambio culturale fu un articolo congiunto di Steinhaus e Banach intitolato Sur la convergence en moyenne de séries de Fourier (ovvero "Sulla convergenza in media della serie di Fourier"), sottoposto all'attenzione di Stanisław Zaremba per la pubblicazione (avvenuta nel 1918).

Anche per quanto concerneva l'aspetto sentimentale della sua vita Banach doveva molto a Steinhaus; infatti tramite il collega conobbe quella che sarebbe stata la sua futura moglie, ossia Łucja Braus, con cui convolò a nozze nel 1920.

La produzione di articoli matematici di Banach dal momento del sodalizio con l'altro grande matematico polacco crebbe in maniera assai celere.

Il suo appoggio gli consentì persino di ricevere un dottorato in matematica (ricordiamo infatti che Banach non era laureato in matematica bensì in ingegneria!).

La sua tesi di dottorato, accettata da quella che è l'attuale Università di Leopoli (fondata nel 1661 da Giovanni II Casimiro di Polonia) nel 1920 e pubblicata nel 1922, poneva le basi di una nuova branca della matematica: l'analisi funzionale.

Per correttezza è necessario specificare che ricerche in tal ambito vennero compiute anche qualche anno prima del fatidico contributo di Banach.

Infatti, già a partire dal 1906, il matematico statunitense E.H. Moore (1862-1932) tentò di dar luce ad una teoria astratta dei funzionali (abbiamo parlato di tal concetto un po' qui) e degli operatori lineari.

Altri contributi in tal direzione giunsero in particolare da Erhard Schmidt, Maurice Fréchet, Frigyes Riesz, Hans Hahn, Eduard Helly e Norbert Wiener.

Ma perché tra tutti questi nomi rilevanti spicca proprio quello di Banach, ritenuto ufficialmente il fondatore dell'analisi funzionale?

Innanzitutto Banach desiderava stabilire una generalizzazione delle equazioni integrali, nello specifico il suo obiettivo era costruire una teoria astratta in grado di fornire un'alternativa valida e migliore rispetto al calcolo delle variazioni.

Per pervenire a tal obiettivo Banach introdusse uno spazio dotato di una norma, ma che non fosse definita facendo riferimento al prodotto scalare.

Cerchiamo di capire un pochino meglio almeno gli aspetti basilari della questione.

Prendiamo un generico spazio lineare (cioè spazio vettoriale) $L$ di elementi $x, y, z, ...$

Possiamo chiamare norma (denotata mediante il tipico simbolo $\left \| \right \|$) in $L$ un funzionale che soddisfa 4 condizioni essenziali:

1) $\left \| x \right \| \geq 0$;

2) $\left \| x \right \| = 0$ se e solo se $x = 0$;

Naturalmente uno spazio lineare $L$ in cui è definita una norma viene anche detto spazio normato.

Ogni spazio normato può esser visto come uno spazio metrico (ne parlammo, tra le altre cose, qui) se definiamo la distanza come $\rho(x,y) = \left \| x - y \right \| $.

Per arrivare tuttavia alla definizione vera e propria di spazio di Banach, concetto a dir poco fondamentale nell'ambito dell'analisi funzionale, manca un piccolo tassello nel nostro puzzle: la completezza!

A tal proposito abbiamo bisogno di introdurre la nozione di successione di Cauchy (o successione fondamentale).

Dato un generico spazio metrico $R$, una successione $\left \{ x_n \right \}$ è detta di Cauchy se, $\forall \varepsilon > 0$, esiste un numero $N_{\varepsilon}$ tale che la distanza $\rho(x_{n'}, x_{n''}) < \varepsilon$ $\forall n' > N_{\varepsilon}$ e $\forall n'' > N_{\varepsilon}$.

Ora aggiungiamo che se ogni successione di Cauchy risulta convergente in $R$, allora questo spazio metrico è completo.

Giacché le proprietà degli spazi metrici si possono estendere anche agli spazi normati, la conclusione di questo importante discorso è che uno spazio di Banach non è altro che uno spazio normato completo!

Un'importantissima osservazione che possiamo compiere relativamente agli spazi di Banach sta nel fatto che uno spazio di Banach rappresenta un concetto più generale rispetto ad uno spazio di Hilbert (nozione su cui si poggia, tra le altre cose, in maniera massiva la meccanica quantistica), proprio perché abbiamo constatato che per definire una norma non abbiamo necessariamente bisogno di un prodotto scalare, cosa di cui invece abbiamo certamente bisogno quando parliamo di spazi di Hilbert.

In altri termini, ogni spazio di Hilbert è sicuramente uno spazio di Banach. Viceversa, uno spazio di Banach è anche uno spazio di Hilbert se, e solo se, la sua norma è indotta da un prodotto scalare!

Se considerassimo uno spazio di Banach che non sia anche di Hilbert esso perderebbe sostanzialmente il concetto essenziale di ortogonalità di 2 elementi.

A seguito di questo doveroso excursus, facciamo ora ritorno all'ultima parte della biografia di Banach.

La poderosa tesi inerente all'analisi funzionale venne discussa all'interno dei circoli accademici e rappresentò la spinta definitiva utile al matematico per venir nominato professore presso il Politecnico di Leopoli.

Allo stesso tempo, ottenne pure la la seconda Cattedra di Matematica dell'Università di Leopoli.

Il periodo di mezzo tra le 2 guerre mondiali fu estremamente impegnativo per Banach: oltre a continuare nella produzione continua di paper di ricerca, si dedicò alla scrittura di manuali scolastici di aritmetica, geometria ed algebra.

Nel 1929, assieme a Steinhaus, fondò una nuova rivista matematica, Studia Mathematica, dedicata principalmente alla ricerca nel campo dell'analisi funzionale ed argomenti affini.

Sempre in quel periodo Banach incominciò a produrre quella che è considerata la sua opera più famosa, la prima monografia concernente la teoria generale dello spazio lineare-metrico, intitolata Teoria operacji liniowych (pubblicata nel 1931).

L'opera venne tradotta l'anno dopo in francese, traduzione che contribuì a farle ottenere un più ampio riconoscimento da parte dei circoli accademici europei.

Essa costituì peraltro la prima di una corposa serie di monografie a cura di Banach e della sua cerchia di matematici, la cosiddetta "Scuola di Leopoli", i quali erano soliti riunirsi al Caffè Scozzese nel centro storico di Leopoli.

Vediamone la magnifica immagine tratta da Wikipedia.

Purtroppo sappiamo bene che nel 1939 scoppiò la Seconda guerra mondiale e Leopoli finì sotto il controllo dell'Unione Sovietica per quasi 2 anni.

Intanto Banach divenne membro corrispondente dell'Accademia delle scienze dell'Ucraina e, in buoni rapporti con i matematici sovietici, si trovò costretto a promettere di imparare l'ucraino per poter mantenere la sua cattedra e continuare le sue attività accademiche.

Ma la situazione non restò così a lungo. Infatti, per via dell'Operazione Barbarossa, nel giugno 1941 i tedeschi conquistarono Leopoli e tutte le università vennero di conseguenza chiuse.

Banach fu arrestato con l'accusa di traffico di valuta tedesca ma rilasciato dopo poche settimane. Sopravvisse a un periodo in cui vennero assassinati accademici polacchi e il suo supervisore di dottorato Lomnicki morì nella tragica notte del 3 luglio 1941 quando si verificarono molti massacri.

Verso la fine del 1941 Banach lavorò (assieme a diversi colleghi e a suo figlio) come "alimentatore di pidocchi" nell'istituto tedesco che si occupava di malattie infettive (in particolare era in corso una ricerca sul tifo epidemico). Nutrire i pidocchi rappresentò sostanzialmente la sua vita durante il resto dell'occupazione nazista di Leopoli fino al luglio 1944.

Non appena le truppe sovietiche presero nuovamente possesso di Leopoli (nella cosiddetta "Offensiva Leopoli-Sandomierz"), Banach rinnovò i suoi contatti all'Università.

Tuttavia, poiché i sovietici stavano rimuovendo i polacchi dai territori annessi precedentemente della Polonia, Banach cominciò a prepararsi a lasciare la città e a stabilirsi a Cracovia, dove gli era stata promessa una cattedra all'Università Jagellonica.

Fu anche considerato come candidato alla carica di ministro dell'Istruzione della Polonia.

Nel gennaio 1945 gli fu però diagnosticato un cancro ai polmoni e gli venne concesso di rimanere a Leopoli.

Banach esalò l'ultimo respiro il 31 agosto 1945, all'età di 53 anni. Al suo funerale, al cimitero di Lychakiv, parteciparono centinaia di persone.

Concludiamo ricordando che, oltre all'introduzione del fondamentale concetto di spazio di Banach e ai suoi lavori pionieristici nell'ambito dell'analisi funzionale, Banach diede anche importanti contributi alla teoria degli spazi vettoriali topologici, alla teoria della misura, alla teoria degli insiemi e alla teoria dei polinomi ortogonali, e il suo nome è associato anche alla cosiddetta algebra di Banach e al celebre paradosso di Banach-Tarski relativo alla decomposizione di una singola sfera in 2 sfere.

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Fonti essenziali:

- https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Banach/

- https://en.wikipedia.org/wiki/Stefan_Banach

- Storia del pensiero matematico (II. Dal Settecento a oggi) di Morris Kline

UN GIGANTE DELLA FISICA MATEMATICA MODERNA: LUDVIG FADDEEV

2022-03-10T15:38:00.002+01:00

In questi giorni l'argomento al centro delle discussioni è ovviamente l'orrore della guerra in Ucraina, che si spera termini al più presto.

Nel XXI secolo l'uomo dovrebbe aver imparato dal passato che le guerre portano solo morti, dolore e distruzioni specialmente a scapito delle persone più deboli, di coloro, persino tanti bambini, che si ritrovano da un giorno all'altro catapultati da una vita regolare (già di per sé con le sue problematiche) in uno scenario terrificante.

Va però anche detto che ci sono stati degli episodi agli onori delle cronache in cui si è preso tutto ciò come pretesto per denigrare la cultura russa in generale, che nulla ha a che vedere con quello che sta accadendo.

Non è disprezzando/censurando improvvisamente la musica di Tchaikovsky e Shostakovich, la letteratura di Dostoevskij e Tolstòj, l'arte di Kandinskij e Brjullov e così via che la guerra magicamente finirà e/o si diventerà persone umanamente migliori.

La cultura (nel senso più ampio del termine) non è mai un male, è l'assenza di cultura ad esserlo!

Questa breve premessa ci fornisce l'input per estendere il discorso anche al mondo scientifico.

A tal proposito, questo post sarà dedicato ad un'analisi biografica di un grandissimo fisico e matematico russo, Ludvig Dmitrievich Faddeev (1934-2017), il cui nome viene talvolta scritto anche come Ludwig Dmitriyevich.

Ludvig Dmitrievich Faddeev nacque il 23 marzo 1934 a Leningrado (l'attuale San Pietroburgo), in Russia, da Dmitrii Konstantinovich Faddeev (1907-1989) e Vera Nikolaevna Zamyatina, anche nota come Vera Fadeeva (1906-1983), entrambi famosi matematici.

Nello specifico, il padre era un celebre algebrista, professore all'Università di Leningrado e membro dell'Accademia russa delle scienze, la madre era conosciuta tra gli addetti ai lavori per i suoi lavori nel settore dell'algebra lineare numerica.

Ludvig trascorse i suoi primi anni di vita a Leningrado, ma ben presto dovette fuggire dalla città durante la Seconda guerra mondiale, quando la città venne assediata dagli eserciti tedeschi.
Nel settembre 1939, la Russia, alleata con la Germania (si legga a tal proposito, cliccando qui, circa il patto Molotov-Ribbentrop), invase la Polonia da est. Ciò ha avuto scarso effetto sulla vita a Leningrado, almeno per un po' di tempo.

Nel giugno 1941, tuttavia, il corso della guerra mutò radicalmente per coloro che vivevano in Russia da quando la Germania invase il loro paese. Entro il mese successivo Hitler aveva in programma di conquistare sia Leningrado che Mosca.

Mentre gli eserciti tedeschi avanzavano rapidamente verso Leningrado nell'agosto 1941, molte persone furono evacuate dalla città, inclusa la famiglia Faddeev.

Per tutta la durata dell'assedio di Leningrado, la famiglia Faddeev visse a Kazan, che si trova a circa 800 km a est di Mosca e considerata al sicuro dall'invasione tedesca.

Per molto tempo non ci fu possibilità di tornare a Leningrado, che fu liberata dall'assedio solo nel gennaio 1944.

Anche dopo la fine dell'assedio, l'accesso alla città devastata fu per molto tempo possibile solo con un permesso speciale. La famiglia Faddeev, insieme ad altri colleghi, ottenne tali permessi e Ludwig vi poté tornare con i suoi genitori.

Finito l'incubo della guerra, il giovane Faddeev dovette compiere un'ardua scelta tra perseguire una carriera nella musica oppure nel mondo accademico.

I suoi genitori lo incoraggiarono ad intraprendere una carriera musicale poiché suonava il piano ad un livello tecnicamente molto elevato. Un tempo pensava infatti che avrebbe studiato musica al Conservatorio di Leningrado piuttosto che andare all'università.

Terminò la scuola media n. 155 nel distretto Smolninskiy di Leningrado.

Al liceo ebbe molti interessi diversi tra cui la modellazione radiofonica, lo sci di fondo e la fotografia. Una volta affermò di apprezzare l'algebra molto più della geometria e quando fu guidato su come risolvere i problemi trigonometrici con i metodi della geometria analitica si sentì eccitato.

Dopo il diploma di scuola superiore, ottenuto nel 1951, alla fine Faddeev scelse il percorso universitario e, in particolare, la facoltà di Fisica dell'Università statale di Leningrado.

Quando Faddeev incominciò i suoi studi universitari Joseph Stalin era Premier dell'Unione Sovietica e ben presto il giovane scienziato fu obbligato a comparire davanti al Comitato Comsomol (Gioventù Comunista) locale. Gli fu chiesto se gli piacesse leggere i romanzi di Knut Hamsun, uno scrittore norvegese che vinse il Premio Nobel per la letteratura nel 1920.

D'altronde Hamsun aveva sostenuto la Germania durante la Seconda guerra mondiale e i suoi romanzi, pertanto, erano considerati da Stalin inaccettabili.

Fortunatamente per Faddeev, Stalin morì (precisamente il 5 marzo 1953) poco tempo dopo l'evento e quindi la rognosa controversia non ebbe un seguito.

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1 LITRE OF TEARS: UNA SERIE CHE SCAVA NEL PROFONDO DI UNA MALATTIA TREMENDA

2022-02-02T15:25:00.000+01:00

Continuiamo con la serie di post dedicati alle recensioni/analisi di grandi serie tv o anime.

Oggi parliamo di 1 Litre of Tears (il titolo originale è 1 Litre no namida), una serie giapponese (nello specifico un dorama) di 11 puntate andata in onda nel 2005 su Fuji TV e che potete trovare anche su YouTube con sottotitoli in inglese (riporto il video del primo episodio di seguito).

In verità sono stati realizzati anche altri adattamenti della medesima storia, ma qui ci riferiremo alla serie capolavoro appena menzionata.

Partiamo subito con una premessa. Se vi aspettate di guardare un'opera di intrattenimento leggero e da binge watching, 1 Litre of Tears è ciò che vi è di più distante dalle tipiche produzioni cinematografiche e televisive che vanno di moda.

Questo discorso lo avevamo già fatto nella recensione su Navillera (cliccate qui per leggerla).

In 1 Litre of Tears il discorso è portato agli estremi; l'intera opera non è mai caratterizzata da momenti banali, ogni singolo secondo della serie ha una sua importanza e un significato profondo. Alcune scene sono proprio toste da digerire e non perché siano banalmente spaventose come quelle di un film horror, ma perché riportano momenti di cruda e dura realtà, che purtroppo non è sempre costituita dal cliché dell'happy ending.

Anche il titolo non è un'esagerazione; le lacrime scorrono a fiumi sia all'interno della serie, ma sono con elevata probabilità tantissime anche le lacrime che la vicenda, la recitazione perfetta e le magnifiche musiche di accompagnamento vanno a suscitare nello spettatore sin dalla primissima puntata.

Attenzione però a non manifestare subito il pregiudizio che siccome sia una serie indubbiamente molto triste non valga la pena di essere guardata.

Il probabile pianto che suscita una vicenda del genere non è solo di tristezza di fronte a una storia così intensa da colpire nel profondo di chiunque possieda almeno un briciolo di sensibilità, ma è spesso un pianto di forte commozione di fronte all'incredibile forza di volontà e spirito dimostrati dalla protagonista.

Evidenziamo sin da ora che pur essendo un adattamento romanzato (diciamo una versione più "allegra" della ancora più cruda realtà dei fatti), la serie è basata su una storia vera narrata nell'omonimo diario di memorie di Aya Kitō (1962-1988) 1 Litre no namida, pubblicato nel 1986 e che è arrivato a vendere ben 18 milioni di copie in Giappone.

A seguito di questa doverosa premessa, andiamo finalmente a capire di cosa tratta nello specifico l'opera.

Trattasi della storia di una ragazza di 15 anni, Aya Ikeuchi (interpretata da Erika Sawajiri), cioè la versione romanzata di Aya Kitō, la quale improvvisamente viene colpita da una malattia terribile.

I primi segni della malattia iniziano a manifestarsi con strane perdite di equilibrio e relative cadute, che vengono in un primo momento ignorate dalla ragazza e scambiate per sintomi di forte stress.

Aya è una ragazza allegra, solare e molto portata per lo sport, in particolare per il basket.

Nessuno poteva immaginare che di lì a poco la sua vita sarebbe cambiata radicalmente, non permettendole di condurre la "normale" vita di una studentessa di scuola superiore.

La famiglia di Aya è composta, oltre che dalla stessa Aya, dal padre Mizuo, il quale gestisce un'attività di vendita di tofu, dalla madre Shioka, dal fratello più piccolo Hiroki e da 2 sorelle, Ako e Rika.

Un giorno, dopo una brutta caduta che fa finire Aya in ospedale, la visita di un medico specializzato in neurologia, Hiroshi Mizuno, porta alla tragica scoperta: Aya è affetta da atassia spinocerebellare (abbreviata SCA).

Immagine tratta da Wikipedia

È una malattia neurologica di origine genetica che si può manifestare in svariate tipologie differenti, ma purtroppo molte di queste sono a dir poco nefaste per l'individuo che le sviluppa.

È in particolare una malattia degenerativa, il che significa che progredisce nel tempo, portando alla manifestazione di sintomi sempre più gravi, sino a condurre alla morte.

La serie tv è esplicita sin dalla prima puntata sull'infernale percorso che Aya si troverà man mano ad affrontare per via della suddetta malattia.

Inizialmente, come detto, la patologia si manifesta con perdite improvvise nell'equilibrio, tuttavia man mano comporta una vera difficoltà nel camminare (costringendo alla fine all'utilizzo di una sedia a rotelle) e addirittura nel parlare.

Nelle fasi finali della malattia l'individuo si ritrova praticamente allettato, incapace di comunicare verbalmente e con alta possibilità di strozzarsi e soffocare persino mangiando!

Ma l'aspetto più triste di tutto questo è che non esiste alcuna cura per tale malattia, non esisteva ai tempi della produzione della serie e non esiste tuttora oggi.

Insomma la SCA si abbatte come un tornado nella vita di una 15enne fino a quel momento spensierata e che si avviava a conseguire le prime esperienze sentimentali e a cominciare a pensare a cosa avrebbe fatto una volta terminati gli studi scolastici.

Inizialmente solo la madre apprende che la figlia è malata, cercando disperatamente di consultare tutti i medici possibili alla ricerca di una cura per la figlia.

La risposta di qualunque esperto è sempre la stessa: la patologia è incurabile e c'è solo la minima speranza che in futuro la medicina riesca a fare progressi significativi.

Il consiglio che viene subito dato alla madre è di riferire ad Aya della sua condizione, in maniera tale che possa ottimizzare il tempo a lei rimanente prima che i sintomi diventino gravi ed implacabili.

La madre ed il padre decidono tuttavia di mantenere per un po' il segreto, ma questo diventa ben presto un "segreto di Pulcinella" poiché Aya non è una ragazza stupida e capisce dopo poco che c'è qualcosa che non va nel suo corpo.

Nel frattempo la giovane studentessa fa la sua conoscenza con un ragazzo singolare, apparentemente freddo e distaccato di nome Haruto Aso.

Questi aveva perso da poco tempo il fratello maggiore, il quale avrebbe potuto continuare la tradizione di famiglia di studiare medicina e poter aiutare le altre persone.

Nonostante il suo carattere glaciale, Haruto si trova ad aiutare in diverse situazioni iniziali Aya e sviluppa man mano un certo interesse per la stessa.

Haruto sarà una figura fondamentale nel tormentato percorso di vita di Aya, anche se è opportuno specificare che questo ragazzo è frutto di un puro artifizio letterario, giacché nella storia di vita reale, quella di Aya Kitō (le cui foto e citazioni vengono riportate nei titoli di coda di ogni puntata), non è presente alcun ragazzo ed Aya appare molto più sola di quanto non lo è nella serie tv.

Insomma il mondo reale è talvolta più duro e crudele delle storie di fantasia.

In ogni caso la serie fa riflettere perché lo spettatore può ad ogni passo tentare di immedesimarsi nella ragazza e nella sua famiglia e cercare di comprendere cosa si possa provare in una situazione del genere, quali scelte appaiono più sensate e si giunge alla fine a sviluppare una totale ammirazione per la forza mostrata da Aya, una forza commemorata anche nell'ultima toccante puntata con una scena che ricorda un'altrettanta commovente scena del film Schindler's List.

L'analogia con il film capolavoro di Steven Spielberg datato 1993 non si limita secondo me a questo.

Schindler's List è la storia della durissima persecuzione subita dagli ebrei per via delle atrocità nei loro confronti pensate dai nazisti durante la Seconda guerra mondiale, ma è, allo stesso tempo, la storia di un uomo, Oskar Schindler (interpretato magistralmente da Liam Neeson) che, inizialmente interessato solo ai soldi e alla bella vita, arriva infine a rendersi conto, osservando gli orrori presenti nei campi di concentramento, dell'importanza della vita umana e a compiere un gesto che nessuno si aspetterebbe da qualcuno legato al filone nazista.

A proposito di Schindler's List, riporto di seguito la splendida esecuzione al sassofono da parte di Dave Koz del Main Theme.

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CARNEVALE DELLA MATEMATICA #156: MATEMATICA DELLA VITA E VITA NELLA MATEMATICA

2022-01-14T00:02:00.000+01:00

"La vita non si misura attraverso il numero di respiri che facciamo, ma attraverso i momenti che ci lasciano senza respiro." Maya Angelou

Benvenuti alla 156ª edizione del Carnevale della Matematica, la quarta che ha l'onore di ospitare il blog Scienza e Musica!

Tale edizione ha nome in codice (come ormai ben noto dovuto a Popinga) "canta il merlo, canta allegro" e cellula melodica (grazie a Dioniso Dionisi, cioè Flavio Ubaldini) seguente.

La tematica selezionata come filo conduttore del presente evento è, come tradizione, ricchissima di spunti di riflessione: "Matematica della vita e vita nella matematica".

Prima di aprire la passerella ai vari interessanti contributi inviati dai carnevalisti per questa edizione, immancabile è un'introduzione dedicata al tema dell'edizione.

Come avevo già segnalato nella 1ª call for papers, il tema si presta ad una doppia lettura.

Da una parte abbiamo la matematica della vita e quindi inerente agli esseri viventi in generale, essere umano compreso.

È un tema che apre spiragli verso l'attualità, dato che anche la matematica ha avuto e sta avendo un ruolo di analisi ed aiuto relativamente alla pandemia da Covid19 che sta creando grossi disagi (e purtroppo pure molti morti) sin dall'inizio del 2020 (si veda a tal proposito, ad esempio, l'articolo, pubblicato su Infectious Disease Modelling, Volume 6, 2021, di Gumel, Iboi, Ngonghala ed Elbasha cliccando qui).

Illustrazione di Eunice Dhivya

Dall'altra parte abbiamo la vita nella matematica, cioè, in generale, la nostra personale esperienza (e tempo trascorso) con la matematica o quella di coloro che in passato e nel presente hanno dedicato/dedicano la loro esistenza a contribuire allo sviluppo (più o meno grande) di tale meravigliosa disciplina. È pertanto un tema assai variegato e dalle mille sfaccettature, come avrete modo di scoprire nella sezione ad esso dedicata del Carnevale.

In questa introduzione ci focalizzeremo sulla prima grossa tematica, dato che si presta molto meglio ad essere analizzata in tal contesto, mentre lasceremo la seconda unicamente alla libera interpretazione (e anche alle esperienze e contributi personali) dei partecipanti.

Non c'è forse modo migliore di incominciare che riportare un estratto dalla Prefazione del libro (datato 2010) La matematica della vita del professore emerito di matematica all'Università di Warwick (e grande divulgatore scientifico) Ian Stewart:

"Nel vasto campo della matematica, la teoria e le applicazioni pratiche si sono storicamente sviluppate in parallelo, dal momento in cui i primi uomini hanno inciso tacche su pezzi di ossa per registrare il succedersi delle fasi della Luna fino alle recenti indagini sul bosone di Higgs condotte con il Large Hadron Collider. I calcoli di Isaac Newton ci hanno fornito precise informazioni sugli spazi dell'universo e le forze che vi interagiscono, e durante gli ultimi tre secoli i suoi successori hanno scoperto e imparato a trattare tutti i fenomeni della fisica, utilizzando gli strumenti della matematica: il calore (nella disciplina detta termodinamica), la luce (nell'ottica), il suono (nell'acustica), la meccanica dei fluidi e, più tardi, la relatività e la meccanica quantistica. Il pensiero matematico è diventato il paradigma (cioè l'insieme degli strumenti d'indagine e di argomentazione descrittiva) essenziale delle scienze fisiche.

Fino a tempi relativamente recenti, per le scienze della vita la situazione era diversa. In questo settore la matematica era, nel migliore dei casi, una sorta di servo tuttofare: aveva, come si dice, un ruolo ancillare. Veniva utilizzata per eseguire calcoli di tipo tradizionale e per valutare l'attendibilità degli schemi statistici rilevabili nei dati sperimentali ottenuti. La matematica non forniva contributi importanti per formulare nuove ipotesi teoriche o semplicemente per concorrere alla comprensione dei fenomeni. Non era fonte d'ispirazione per grandi teorie o grandi esperimenti. In effetti, per un lungo periodo della storia della scienza la matematica avrebbe potuto semplicemente non esistere. Oggi la situazione sta cambiando. Recenti scoperte nel campo della biologia hanno dato il via alla formulazione di una quantità di importanti problemi, ed è improbabile che molti di questi possano essere risolti senza massicci contributi forniti dalla matematica. La varietà delle ipotesi matematiche oggi utilizzate nelle scienze della vita è enorme e le richieste che vengono dai vari settori della biologia stimolano lo sviluppo di procedure di calcolo e analisi del tutto nuove, specificamente adatte a descrivere i processi degli esseri viventi. I matematici e i biologi del nostro tempo lavorano insieme su alcuni temi, estremamente complessi, che la specie umana non aveva mai affrontato in precedenza: tra questi la natura e l'origine del fenomeno vita.

La biologia è destinata a diventare il grande territorio di frontiera per la matematica del XXI secolo."

È proprio così, la matematica si sta man mano prefigurando come linguaggio della scienza a 360°, mantenendo però contemporaneamente e chiaramente anche l'aspetto di disciplina a se stante, la cosiddetta matematica pura, in cui la ricerca non è puntata esplicitamente a trovare nuove applicazioni "concrete", bensì alla curiosità matematica in sé, che spinse e continua a spingere generazioni di matematici a "poggiarsi sulle spalle dei giganti" del passato e ampliare la nostra visione globale della matematica.

Recentemente, il 5 ottobre 2021, uno dei premi Nobel assegnati per la Fisica è andato ad un grande fisico teorico italiano, il Prof. Giorgio Parisi dell'Università "La Sapienza" di Roma, per i suoi studi inerenti ai sistemi complessi.

Tra i rilevanti sistemi complessi studiati da Parisi risultano anche le incredibili coreografie effettuate dagli storni nel cielo. Di seguito uno splendido video illustrativo con sottofondo musicale fornito dal meraviglioso Canone di Pachelbel.

Questo tipo di problemi viene affrontato, tra le altre cose, grazie alla meccanica statistica.

Tornando seri, il lettore non addetto ai lavori potrebbe chiedersi cos'è nello specifico la meccanica statistica e perché ha avuto un ruolo rilevante negli studi compiuti da Parisi.

Per cercare di rispondere a tali interrogativi, partiamo dal fatto che anche coloro che hanno avuto esperienze scolastiche minime di fisica avranno magari nei loro ricordi i problemi che vanno ad analizzare un singolo corpo (il famoso punto materiale) o comunque situazioni in cui compare un numero relativamente basso di oggetti e vincoli.

Pure coloro più appassionati e/o coraggiosi che approcciano per la prima volta la meccanica quantistica (abbreviata MQ) in modo serio (per "serio" intendo con tutto il formalismo matematico associato e non solo raccontata come favoletta o romanzo in cui il gatto di Schrödinger è praticamente sempre protagonista!), in verità, si trovano ad affrontare quella che è una versione semplificata della MQ, ovvero la MQ degli stati puri.

La MQ degli stati puri va benissimo come base di partenza per svariati aspetti della fisica, ma se si volesse per esempio capire un po' nel dettaglio il singolare fenomeno dell'entanglement quantistico, allora questa non sarebbe sufficiente e infatti occorre introdurre il concetto di matrice o operatore densità, il quale si fonda a sua volta sul fatto che lo stato di un sistema fisico in MQ non è in generale totalmente determinato.

Potremmo conoscere alcune caratteristiche di quel sistema, ma è impossibile descrivere tutte le sue proprietà.

In termini tecnici, ciò che noi sicuramente conosciamo (a meno che il sistema non sia uno stato puro, il quale è completamente noto) è che il sistema si trova in uno stato appartenente ad un certo ensemble statistico $\left \{ | \psi_1 \rangle, | \psi_2 \rangle, ..., | \psi_l \rangle \right \}$, con probabilità $\left \{p_1, p_2, ..., p_l \right \}$, e che si verifichi l'ovvia condizione $\sum_{i = 1}^{l} p_i = 1$.

Si parla nello specifico, in tal caso, di miscela statistica di stati $| \psi_k \rangle$ con peso $p_k$.

Tornando ad un livello di narrazione alla portata di chiunque e generalizzando il discorso, come ben riassume Wikipedia, "la meccanica statistica è la branca della fisica che utilizza la statistica e la teoria della probabilità per lo studio del comportamento meccanico e termodinamico di sistemi composti da un gran numero di particelle".

Nel caso vogliate approfondire, abbiamo incominciato, qui su Scienza e Musica, ad introdurre i primissimi elementi fondamentali della meccanica statistica qui, qui e qui.

Riporto ora un breve stralcio dall'ultimo libro dello stesso Giorgio Parisi, In un volo di storni, ove viene illustrata in sintesi la sua ricerca (compiuta assieme al suo team) a cavallo tra la fisica e la biologia:

"Anche se studiare il comportamento degli storni è ovviamente materia da biologo, lo studio quantitativo dei movimenti tridimensionali degli individui richiede un'analisi che può essere fatta solo da fisici. L'analisi contemporanea di migliaia di uccelli su centinaia di foto per ricostruire le traiettorie dei singoli esemplari nello spazio e nel tempo è un'attività tipica del nostro mestiere. Le tecniche adatte a queste analisi hanno molto in comune con quelle che abbiamo sviluppato per risolvere i problemi di fisica statistica o per analizzare quantità massicce di dati sperimentali.

Dopo quasi due anni di lavoro eravamo gli unici al mondo a possedere le immagini tridimensionali di gruppi di storni...Quando guardiamo gli stormi a occhio nudo da terra, una delle caratteristiche più impressionanti è vedere come la loro forma cambi molto velocemente; è difficile descriverlo a qualcuno che non l'abbia mai visto: in cielo si muovono oggetti di forma variegata che all'improvviso diventano più piccoli, più schiacciati, poi si riallargano, cambiano, diventano quasi invisibili, poi più scuri. C'è un'enorme variazione nella loro forma e nella loro densità.

Molte simulazioni del volo, in cui si cercava di riprodurre al computer questo comportamento, partivano da stormi che erano sostanzialmente di forma sferica. Le prime foto tridimensionali ci hanno mostrato però che uno stormo assomiglia piuttosto a un disco. Proprio per questo motivo vediamo la forma variare rapidamente: un oggetto a forma di disco, a seconda della direzione da cui è osservato, può diventare molto grande e tondo se visto di piatto o decisamente più stretto se visto di taglio. L'enorme e velocissima variazione di forma e densità risulta quindi essere l'effetto tridimensionale del cambiamento dell'orientazione dello stormo rispetto a noi (spiegazione che era stata avanzata da Nicola Cabibbo prima di fare l'esperimento, ma senza i dati osservativi non potevamo dimostrare che l'intuizione era corretta). Siamo stati invece estremamente sorpresi nello scoprire che la densità al bordo rispetto alla densità al centro è maggiore di quasi il 30%."

Questo piccolo assaggio dell'imponente lavoro dello straordinario fisico teorico italiano mostra pertanto come sia possibile andare a implementare nuovi standard, derivati dalla fisica (e quindi con alla base un massiccio uso di matematica), per indagare problemi estremamente complicati in ambito biologico e che con la sola biologia non sarebbero risolvibili.

Restiamo nell'ambito della ricerca italiana, segnalando pure il poderoso lavoro, pubblicato il 28 luglio 2021 sulla rivista Cerebral Cortex, effettuato dal noto neuroscienziato Prof. Giorgio Vallortigara (e colleghi) circa il senso del numero (o "numerosità") riscontrato in un'area del cervello dei pesci zebra: cliccate qui per leggere l'articolo di ricerca.
Riporto di seguito la mia traduzione libera dell'abstract:

"Abbiamo trovato una regione del pallio del pesce zebra che mostra un'attivazione selettiva al cambiamento nella numerosità degli stimoli visivi. I pesci zebra erano abituati ad insiemi di piccoli punti che cambiavano in dimensione, posizione e densità individuali, mantenendo al contempo la loro numerosità e la superficie complessiva. Durante i test di disabituazione, il pesce zebra ha affrontato un cambiamento nel numero (con la stessa superficie complessiva), nella forma (con la stessa superficie e numero complessivi), o nella dimensione (con la stessa forma e numero) dei punti, mentre, in un gruppo di controllo, il pesce zebra ha affrontato i medesimi stimoli incontrati durante l'assuefazione. La modulazione dell'espressione dei geni immediati precoci c-fos ed egr-1 e l'ibridazione in situ hanno rivelato un'attivazione selettiva della parte caudale della divisione dorso-centrale del pallio del pesce zebra al variare della numerosità. Tali risultati supportano l'esistenza di un meccanismo evolutivamente conservato per la grandezza approssimativa e forniscono un modo per comprendere i suoi correlati molecolari sottostanti."

Immagine tratta dal paper di G. Vallortigara

Compiendo un viaggio nel passato, è interessante notare come il geniale Galileo Galilei (1564-1642) abbia cercato di comprendere come fosse possibile l'esistenza di animali di grossa stazza, tra cui le balene.

A tal proposito riporto un significativo frammento tratto dal saggio Sorella Scimmia, Fratello Verme del ben conosciuto matematico, logico e divulgatore scientifico Prof. Piergiorgio Odifreddi:

"Galileo le tira [le balene] doverosamente in ballo nella discussione dei Discorsi, notando che “sono grandi quanto dieci elefanti, eppure si sostengono”, e propone la seguente soluzione

Un animale gigante con la stessa struttura ossea di uno minore potrebbe esistere e muoversi allo stesso modo, o addirittura più agevolmente, se si diminuisse in maniera inversamente proporzionale il peso delle sue ossa e della sua carne. E questo è il trucco che la Natura ha usato nella creazione dei pesci, nei quali le ossa e la carne non sono soltanto molto leggere, ma non hanno alcun peso...

Il fatto che i pesci possano mantenersi immobili in immersione è una prova evidente che il loro peso uguaglia la spinta dell'acqua. Se dunque in essi ci sono parti più pesanti dell'acqua, allora ce ne devono essere altre meno pesanti, così da poter mantenere l'equilibrio. Se le ossa fossero più pesanti, la carne sarebbe più leggera, e si opporrebbe al peso delle ossa. Negli animali acquatici accadrebbe allora l'opposto che negli animali terrestri: in questi sono le ossa a sostenere il peso di sé stesse e della carne, e in quelli sarebbe la carne a sostenere il peso di sé stessa e delle ossa.

In ogni caso, lo scheletro delle balene è molto diverso da quello degli animali terrestri...Uno scheletro umano vestito assomiglia molto a un uomo, ma uno scheletro di balena rivestito non assomiglia affatto a una balena. Quest'osservazione di Melville [in Moby Dick] era puramente qualitativa, come d'altronde lo erano quelle di Galileo, ma tra l'uno e l'altro Leonhard Euler effettuò un'analisi quantitativa in tre storici articoli: La forza delle colonne (1759), L'altezza delle colonne sottoposte al proprio peso (1778) e I carichi che una colonna può sopportare (1780), nel primo dei quali stabilì una famosa formula per calcolare il carico critico che porta una colonna a inflettersi, con il rischio di spezzarsi e collassare."

Un'illustrazione di Moby Dick

Nello specifico, la formula di Eulero a cui si fa riferimento è la seguente (ne riportiamo il caso più generale):

ove:

$P$ denota il carico critico che non deve essere superato affinché non subentri la flessione laterale;
$E$ è il modulo di elasticità;
$J$ indica il momento quadratico assiale minimo della sezione del solido;
$l$ rappresenta la lunghezza libera di inflessione dipendente dai vincoli.

Restando nel mondo degli animali, molto celebre è l'associazione tra i conigli e la matematica.

Come ho accennato in un post relativo alla sezione aurea (cliccate qui), sussiste un famoso problema che mette in relazione la riproduzione dei conigli con la successione di Fibonacci.

Illustrazione dei "conigli di Fibonacci"

Tuttavia la presenza della successione di Fibonacci nel mondo degli esseri viventi va ben oltre l'esempio dei simpatici "divoratori di carote".

Anche le piante presentano eccezionali esempi di manifestazione spontanea di questa "magica" sequenza numerica.

A tal proposito vi segnalo un brillante contributo didattico della Prof.ssa Annarita Ruberto (nota su Twitter con lo pseudonimo di Nereide), che non solo può vantare una laurea magistrale in fisica e un numero impressionante di esperienze e ricerche originali in campo didattico (tra cui la collaborazione con la rivista Scuola e Didattica), ma pure svariati talenti in ambito artistico, letterario e della cultura in generale.

L'articolo in questione sul blog Scientificando (cliccate qui per leggerlo) va ad illustrare un'attività laboratoriale per studenti di scuola media volta a verificare che la disposizione delle foglie sul fusto di una pianta (la cosiddetta fillotassi) non è lasciata al caso, ma conduce proprio alla successione di Fibonacci.

Questo a dimostrazione che non è necessario far riferimento unicamente alla fantascienza per poter rimanere stupiti di fronte ad un fenomeno: la natura già mostra eventi straordinari e sbalorditivi di per sé. Con il giusto approccio didattico, si può sempre mostrare che la matematica e la scienza sono tutt'altro che discipline aride e noiose!

Come ulteriore intermezzo musicale, ascoltiamo l'esecuzione, da parte del pianista David Macdonald (anche noto come aSongScout), di un brano composto, a partire dalla sequenza di Fibonacci, assegnando numeri alla scala di Mi maggiore.

Abbiamo compiuto una panoramica di vari interessanti collegamenti tra la matematica e la vita.

Una domanda che potrebbe sorgere spontanea è se la matematica possa avere un ruolo rilevante anche nello studio del corpo umano e in medicina (al di là dell'attuale questione pandemia).

La risposta è affermativa. Poniamo la nostra attenzione sul cuore.

Alcuni dei problemi di ricerca di maggior rilevanza nell'ambito della cardiologia matematica hanno a che fare con la propagazione di onde elettriche nel tessuto cardiaco; si parla a tal proposito di elettrofisiologia.

Lo studio quantitativo dell'elettrofisiologia ha una storia decisamente affascinante, ricca di trionfi ma anche di tragedie.

Per esempio, il fisiologo inglese George Ralph Mines (1886-1914) sembrerebbe essere morto prematuramente a causa di esperimenti di stimolazione elettrica compiuti sul proprio stesso corpo.

Quasi mezzo secolo dopo la scomparsa di Mines, i fisiologi britannici Alan Hodgkin (1914-1998) ed Andrew Huxley (1917-2012) introdussero un modello di propagazione elettrica nell'assone gigante di calamaro.

È incredibile pensare come i due scienziati siano riusciti a sviluppare un modello matematico così sofisticato senza poter contare sull'ausilio dei moderni computer.

Il poderoso lavoro svolto valse loro il premio Nobel per la Fisiologia nel 1963.

Il concetto fondamentale alla base della suddetta ricerca è quello di potenziale d'azione, evento di breve durata in cui l'energia di una cellula si innalza rapidamente per poi decrescere, seguendo una traiettoria coerente.

Riporto da Wikipedia un'ottima immagine in cui, nella parte in alto (denotata con A), viene fornita una rappresentazione schematica del potenziale d'azione mentre, nella parte B, vediamo la registrazione effettiva di un potenziale d'azione in un neurone piramidale della corteccia dell'ippocampo di ratto.

Tornando al caso specifico del cuore, l'idea fondamentale per uno studio di carattere matematico è quella di modellizzare la membrana cellulare cardiaca alla stregua di un circuito elettrico RC.

La membrana agisce sia come condensatore (giacché supporta un differenziale di carica) sia come resistore variabile (poiché può aprire e chiudere i canali ionici per regolare il flusso di corrente verso l'interno e verso l'esterno).

Sia $C_m$ la capacità elettrica di una membrana cellulare cardiaca e $v$ la tensione attraverso la membrana; la corrente capacitiva $C_m \frac{\mathrm{d}v}{dt}$ deve dunque bilanciare la corrente ionica totale $I_{\mathrm{ion}}$.

Deve pertanto valere l'equazione

Il ruolo della ricerca matematica è quello di cercare di determinare una forma specifica di $I_{\mathrm{ion}}$ al fine di pervenire ad un modello realistico, che poggi le sue fondamenta naturalmente sull'originale formalismo di Hodgkin-Huxley, e che si manifesta sotto forma di sistemi di equazioni differenziali ordinarie.

Si può citare, a titolo di esempio, la riduzione FitzHugh-Nagumo (descritta nell'articolo del 1961 di R. FitzHugh Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane) del modello di Hodgkin-Huxley, che consiste nel sistema di 2 variabili

ove $\epsilon, A, \alpha, \beta $ sono parametri positivi e, in particolare, $0 < \alpha < 1$.

Per maggiori dettagli si legga (cliccando qui) l'articolo Taking Math to Heart: Mathematical Challenges in Cardiac Electrophysiology (datato aprile 2011) di John W. Cain.

Di seguito un video illustrativo molto carino che fornisce altri collegamenti tra matematica e medicina.

Naturalmente il tema portante del Carnevale potrebbe teoricamente estendersi anche a possibile vita al di fuori della Terra.

A tal proposito, famosissima è l'equazione (con ben 7 variabili) formulata nel 1961 dall'astrofisico Frank Drake, la quale va a fornire una stima del numero $N$ di civiltà extraterrestri intelligenti che potrebbero abitare la nostra galassia:

dove:

$R^*$ è il tasso medio annuo di formazione stellare nella Via Lattea;
$f_p$ è la frazione di stelle che possiedono pianeti;
$n_e$ è il numero medio di pianeti per sistema planetario che possiedono le condizione adatte ad ospitare forme di vita;
$f_l$ è la frazione dei pianeti $n_e$ su cui si è effettivamente sviluppata la vita;
$f_i$ è la frazione dei pianeti $f_l$ su cui si sono evoluti esseri intelligenti;
$f_c$ è la frazione di civiltà extraterrestri in grado di comunicare;
$L$ è la stima della durata di tali civiltà evolute.

Vorrei concludere questa introduzione al tema "Matematica della vita" segnalandovi innanzitutto un articolo recentissimo (cliccate qui), scritto da Carrie Arnold su Quanta Magazine ed intitolato Evolution ‘Landscapes’ Predict What's Next for COVID Virus, e poi una breve panoramica degli articoli che ho avuto modo di scrivere in passato su altre interessanti sfaccettature della suddetta tematica:

"Il principio antropico", in cui, tra le altre cose, viene descritta la relazione tra il principio antropico debole e il teorema di Bayes inerente al calcolo delle probabilità;
"La fisica e le rane: Luigi Galvani", in cui, oltre a venir tracciata una biografia dello scienziato italiano, si analizza la celebre disputa Galvani-Volta circa l'elettricità animale, la quale ha avuto un risultato piuttosto sorprendente;
"Il gioco della vita", in cui si parla di un noto automa cellulare sviluppato dal matematico inglese John Horton Conway (1937-2020).

Questo non sarebbe un vero Carnevale della Matematica se non introducessimo come si deve il numero dell'edizione: il 156.

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CARNEVALE DELLA MATEMATICA N. 156 - ULTIMA CHIAMATA

2022-01-11T18:48:00.001+01:00

Questa è l'ultima chiamata per coloro che vogliano partecipare al Carnevale della Matematica n.156, che sarà ospitato su questo blog, il 14 gennaio, con tema (non vincolante) "Matematica della vita e vita nella matematica".

Ricordo che avete tempo sino alle 23:59 del 12 gennaio per inviare i vostri contributi all'indirizzo mail

leonardo92.universo@gmail.com

Vi rimando alla prima call for papers (cliccate qui) per ulteriori dettagli.

Appuntamento al 14 gennaio per un'immersione totale nella matematica, con un po' di divertimento e di musica.

Leonardo Petrillo

CALCOLO DEL PROPAGATORE SCALARE IN CAMPO EM COSTANTE TRAMITE GLI INTEGRALI SUI CAMMINI DI FEYNMAN

2022-01-05T15:02:00.000+01:00

Solo pochi mesi fa vi proponevo un articolo (cliccate qui per leggerlo) in cui ho cercato di introdurre, il più dolcemente possibile, il non banale concetto di integrale sui cammini (in inglese noto come path integral), sviluppato nell'ambito della meccanica quantistica da Richard Feynman nella sua tesi di PhD del 1942.

Abbiamo anche analizzato un po' di storia di tale fondamentale concetto e accennato al cosiddetto “worldline formalism”.

Tutti questi argomenti estremamente interessanti sono stati il nocciolo della mia tesi di laurea triennale in Fisica (grazie alla quale mi sono laureato il 10 dicembre 2021), svolta con sommo piacere sotto la supervisione del Prof. Olindo Corradini (grande esperto di fisica teorica, oltre che straordinaria persona dal punto di vista didattico e umano) dell'Università di Modena e Reggio Emilia, intitolata Computation of the scalar propagator in a constant electromagnetic field using Feynman path integrals.

Di seguito rendo disponibile la visione della suddetta tesi.

È scritta interamente in lingua inglese, con l'eccezione del Capitolo 4, volto a fornire un breve riepilogo degli aspetti essenziali in lingua italiana.

Trattasi di una tesi che naturalmente richiede dei buoni/ottimi prerequisiti di partenza di matematica e fisica (in particolare di meccanica quantistica e relatività ristretta) per poter essere letta con una buona/ottima comprensione.

Nel Capitolo 1 ho cercato, in primis, di introdurre quello che è il concetto protagonista della tesi, cioè il propagatore, partendo dalla sua strettissima relazione con la funzione di Green.

Ho poi ricollegato il tutto con la nozione di path integral, fornendo anche riferimenti storici, che avevo già accennato nel post prima linkato.

Dopodiché ho proposto una derivazione del concetto di path integral che si basa sostanzialmente sulla formula di Baker-Campbell-Haussdorff (inerente agli esponenziali degli operatori) e sulla formula di Trotter.

Alla fine del Capitolo 1 è stato analizzato un caso relativamente semplice, ma decisamente istruttivo, che è quello della particella libera non relativistica.

Nel Capitolo 2 sono partito dall'illustrare brevemente cosa si intenda per worldline formalism e, subito dopo, ho cercato di estendere quanto visto nel Capitolo 1 al caso relativistico.

Per far questo sono stati introdotti concetti assai rilevanti come quello di einbein e di gauge fixing.

Il Capitolo 3 è stato sicuramente quello più impegnativo dal punto di vista della realizzazione e probabilmente lo è anche dal punto di vista di un lettore esterno.

Se l'inizio è pressoché accessibile a chi possieda soltanto un buon bagaglio di fisica classica di livello universitario, dato che vengono richiamati concetti dell'elettrodinamica classica visti da una prospettiva un po' particolare, il salto verso l'elettrodinamica quantistica (abbreviata QED) richiede un formalismo più avanzato.

Si introducono infatti rotazioni di Wick, cambiamenti di variabile, condizioni al contorno particolari, la scelta del gauge di Fock-Schwinger e si arrivano a introdurre svariate funzioni di Green worldline "bosoniche".

Tutto questo solamente per affrontare il caso basilare del calcolo del propagatore scalare in campo elettromagnetico costante.

Ulteriori complicazioni giungono andando a considerare cosa succede se "mettiamo nella mischia" anche $N$ fotoni con i propri momenti e polarizzazioni generici.

L'ultima analisi è stata compiuta circa l'ampiezza di transizione, calcolabile a partire dall'espressione finale del propagatore che si è rinvenuta nella tesi, e sul collegamento con il fenomeno dello scattering Thomson (di cui abbiamo parlato in modo classico poco tempo fa proprio sul nostro blog; cliccate qui).

Questo è dunque ciò che potete aspettarvi a grandi linee nei capitoli che compongono il mio lavoro.

Posso fare però di più per il lettore particolarmente interessato, esperto e/o coraggioso.

Innanzitutto condivido la presentazione completa preparata per la discussione della suddetta tesi nell'esame di laurea.

Andrò ora a spiegare ciascuna slide singolarmente (un po' come se stessi risostenendo il mio esame di laurea), in modo che il lettore possa ricostruire meglio il filo logico che lega la tesi, con maggiori dettagli rispetto alla descrizione molto sommaria e informale che ho svolto poco fa.

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CARNEVALE DELLA MATEMATICA N.156 - 2ª CALL FOR PAPERS

2022-01-04T18:15:00.000+01:00

Buon 2022 ai lettori del blog Scienza e Musica!

Questa è la seconda chiamata per chi abbia desiderio di partecipare alla prossima edizione del Carnevale della Matematica, la n. 156, che verrà pubblicata proprio su questo blog il 14 gennaio.

Ricordo che il tema portante dell'edizione sarà "Matematica della vita e vita nella matematica", ma naturalmente si è liberi di non seguirlo.

Inviate i vostri contributi (entro le 23:59 del 12 gennaio) all'indirizzo mail

leonardo92.universo@gmail.com

Per maggiori informazioni si faccia riferimento alla prima call for papers.

A presto con il Carnevale della Matematica!

CARNEVALE DELLA MATEMATICA N.156 - 1ª CALL FOR PAPERS

2021-12-16T15:01:00.000+01:00

È con grande piacere che vi annuncio ufficialmente che il Carnevale della Matematica n.156 verrà ospitato, il 14 gennaio, proprio qui su Scienza e Musica!!!

Avremo dunque l'onore di inaugurare il ciclo di Carnevali del 2022.

Prima di introdurvi il tema dell'edizione di gennaio, voglio ricordarvi di visionare, per chi non l'avesse già fatto, l'edizione n.155 ottimamente condotta da Roberto Zanasi, sul blog Gli studenti di oggi, con tema "scacchi" (cliccate qui).

Come ormai tradizione per i Carnevali ospitati su Scienza e Musica, la scelta della tematica ricade su un tema ampio e che riesca dunque a racchiudere al suo interno numerose sfumature, che i nostri carnevalisti potranno affrontare o decidere di non affrontare, andando fuori tema!

Il tema del Carnevale n.156 sarà: "Matematica della vita e vita nella matematica".

Ho deciso dunque di proporvi un tema da affrontare da 2 punti di vista tra loro speculari.

Da una parte abbiamo la matematica della vita, quindi di tutti gli esseri viventi, compresi gli esseri umani, un tema che oltretutto è pure di una certa attualità, dato il ruolo che analisi matematiche hanno svolto e continuano a svolgere in questo particolare periodo di pandemia da Covid19.

Se però guardiamo l'altro lato della medaglia, è possibile parlare pure del concetto di vita dedicata alla matematica, che potrebbe essere quella di uno o più grandi matematici del passato, ma anche la propria personale esperienza con l'affascinante disciplina che è la matematica.

Questi sono soltanto alcuni minimi spunti di riflessione; lascio agli interessati il compito di trovare le sfaccettature del tema che più gradiscono analizzare.

Naturalmente, come ogni Carnevale scientifico che si rispetti, sottolineo nuovamente che sono ben accolti anche tutti i contributi palesemente fuori tema; l'importante è che si parli di qualcosa attinente alla matematica in maniera più o meno diretta.

Come si partecipa?

È molto semplice, inviate i vostri contributi (di norma al Carnevale partecipano quelli scritti sui blog, ma in passato abbiamo accettato anche altre tipologie di contributo di carattere matematico/scientifico) entro il 12 gennaio (avete ufficialmente tempo fino alle 23:59 di tale giorno) al seguente indirizzo mail:

leonardo92.universo@gmail.com

In alternativa, chi è iscritto al gruppo Google del Carnevale della Matematica può segnalare i propri contributi anche lì.
Sia ben chiaro che al Carnevale della Matematica può partecipare chiunque, dal semplice appassionato all'esperto.

Appuntamento al 14 gennaio per una vera e propria full immersion sulle possibili sfumature del rapporto tra vita e matematica.
Non mancheranno buona musica e momenti divertenti, come in un vero Carnevale.
Resto in attesa dei vostri contributi!
Per maggiori informazioni sull'evento Carnevale della Matematica potete guardare qui.

Leonardo Petrillo