Le linee di campo costituiscono un modo semplice e comodo per visualizzare un campo vettoriale, come ad esempio un campo elettrico o magnetico. Il tutto consiste nel disegnare delle linee che seguono sempre la direzione del campo elettrico, punto per punto. In un caso pratico, dato un campo elettrico E, le linee di campo possono essere disegnate obbedendo a due regole:
1. il vettore campo elettrico (E) è tangente alle linee in ogni punto; ossia, preso un punto su di una linea di campo, il vettore campo elettrico in quel punto è tangente alla linea;
2. il numero di linee di campo che attraversano una unità di superficie ortogonale alle linee stesse è proporzionale all’intensità del campo in quella regione di spazio.

Facciamo un esempio. Il campo generato da una carica puntiforme è, punto per punto, diretto dalla carica al punto in questione; pertanto le linee di un siffatto campo saranno delle semirette aventi origine nella carica e dirette all’infinito; dovendo avere un verso, le linee saranno orientate verso l’infinito se la carica è positiva, verso la carica se questa è negativa. Inoltre, man mano che ci si allontana dalla carica le linee diventano meno fitte, il che rende l’idea che più ci si allontana, più debole è il campo, e viceversa.
Per quanto riguarda, infine, il rispetto dei segni delle cariche, bisogna seguire queste altre semplici regole:
1. le linee di campo hanno origine su di una carica positiva e vanno all’infinito o terminano su una carica negativa;
2. il numero delle linee disegnate è proporzionale alla grandezza della carica;
3. non vi sono linee che si incrociano.

Articolo completo: Linee di campo dal blog Scuola ATuttoNet

La corsa tra i neutrini e la luce sembra aver subito dei cambiamenti radicali, dato che la vittoria in questo momento sembra tornare nelle mani della luce. Le ultime misure, che attribuivano ai neutrini una velocità superiore a quella della luce, contraddicendo addirittura la teoria della relatività di Einstein, erano con molta probabilità viziate da un malfunzionamento degli strumenti.. Volendo essere più precisi, il malfunzionamento era dovuto ad un cavo in fibra ottica interposto tra il ricevitore GPS ed una scheda nel computer. Rifacendo i calcoli, infatti, i 60 nanosecondi sarebbero da attribuirsi ad un tempo inferiore di trasmissione dei dati dal rilevatore GPS al computer. Il condizionale è d’obbligo ovviamente, poiché a questo punto serviranno dei nuovi test e dei nuovi rilevamenti per confermare l’ipotesi dell’errore tecnico ed affondare del tutto quella dei neutrini super veloci.

Fonte: sciencemag.org

Articolo completo: I neutrini e la luce dal blog Scuola ATuttoNet

Cos’è il flusso del campo elettrico?
Supponiamo di avere, da principio, un campo elettrico uniforme E in una certa porzione di spazio, e supponiamo data una superficie S nella stessa porzione di spazio. Il flusso di campo elettrico relativo alla superficie S può essere visto come il numero – ovvero la quantità delle linee di campo che attraversano la superficie S da parte a parte. Pertanto, se la superficie è perpendicolare al campo, data l’uniformità del campo è facile prevedere che il flusso attraverso di essa sarà dato dalla relazione
\begin{equation}
\Phi_{E} = EA
\end{equation}
Prendiamo adesso una superficie che non sia perpendicolare al campo (vedi figura). È facile notare che le linee di campo che attraversano la superficie sono le stesse che attraversano la sua proiezione su di un piano ortogonale al campo. In questo caso dunque si evince facilmente che:
\begin{equation}
\Phi_{E} = EA\cos \alpha
\end{equation}
dove alfa è l’angolo formato da un qualsiasi vettore del campo con il vettore normale della superficie S.

Cosa succede se la superficie ed il campo non sono uniformi?
L’idea è quella di suddividere la superficie in infiniti pezzetti con area
\begin{equation}
\Delta A
\end{equation}
A questo punto si ha che
\begin{equation}
\Phi_{E}=\sum_{i} E_{i} \Delta A_{i} \cos \alpha_{i} = \sum_{i} \overset{\rightarrow}{E_{i}} \cdot \overset{\rightarrow}{A_{i}} = \sum_{i} \overset{\rightarrow}{E_{i}} \cdot {A_{i}}\overset{\rightarrow}{n_{i}}
\end{equation}
laddove n_{i} è il versore normale alla singola area A_{i}.
Siccome questa è prevedibilmente una somma approssimata, il passo successivo è quello di far tendere le varie aree a zero, per cui…
\begin{array}{c}
\lim_{\Delta A_{i} \rightarrow 0} \sum_{i} \overset{\rightarrow}{E} \cdot {A_{i}}\overset{\rightarrow}{n_{i}} = \int_{superficie} \overset{\rightarrow}{E} d\overset{\rightarrow}{A} = \int_{superficie} \overset{\rightarrow}{E} \cdot \overset{\rightarrow}{n} dS
\end{array}
dove l’integrale, come è scritto, è fatto sull’intera superficie.

Articolo completo: Flusso di campo elettrico dal blog Scuola ATuttoNet

Quando partiranno i corsi per i nuovi TFA?
Bella domanda!

La parola d’ordine di questi giorni è: caos. Già, perché, se da un lato il ministro profumo mostra di avere per davvero a cuore il destino di molti laureati, siss-congelati e simili, dall’altro c’è il dovere di far quadrare tutte queste cose in uno sterile bilancio.
Nella giornata di ieri infatti, mentre da un lato il ministro Profumo prometteva un rapido avvio dei TFA, dall’altro, in Senato, veniva bocciato l’emendamento che permetteva finalmente lo sblocco dei corsi di tirocinio, bocciatura dovuta con molta probabilità ad un ammanco di moneta sonante.

Un altro tasto dolente della giornata di ieri è stato quello del concorso. Come prima cosa contare le effettive disponibilità per le immissioni in ruolo (sia di posti che monetarie); in secondo luogo il problema quasi centomila persone che ormai da anni lavorano nella scuola da precari, facendo su e giù per il Paese come degli yo-yo.

Insomma c’è tanto su cui meditare; resta però che la crisi ed i tagli effettuati sulla scuola non lasciano spazio a molta fantasia.

Articolo completo: Scuola tra TFA e concorsi dal blog Scuola ATuttoNet

Il calcolo del campo elettrico in un punto dell’asse di un anello uniformemente carico è un compito piuttosto semplice, anche se all’apparenza complicato, dato che, difatti, si tratta di una distribuzione continua di cariche. Come si calcola?
Osserviamo innanzitutto quanto segue: ogni vettore campo elettrico è scomponibile in due componenti, una parallela all’asse dell’anello ed un’altra perpendicolare. Tuttavia ognuna delle componenti di campo perpendicolari viene compensata dalla componente generata dalla carica infinitesima diametralmente opposta, sicché la somma di tutte le componenti perpendicolari è nulla. A conti fatti, dunque, va calcolata soltanto la somma delle componenti parallele all’asse.
Quanto vale dunque la componente parallela? Ponendo a uguale al raggio dell’anello, x uguale alla distanza del punto sull’asse dal centro dell’anello e r la distanza tra un punto qualsiasi dell’anello ed il punto sull’asse, si ha:
\begin{array}{c}
dE_{x}=dE\cos \alpha = (\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{dq}{r^{2}})\frac{x}{r} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{x}{(x^{2}+a^{2})^{\frac{3}{2}}}dq
\end{array}
A questo punto vanno sommati tutti i contributi infinitesimi, per cui:
\begin{equation}
E_{x}=\int_{Q} \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{x}{(x^{2}+a^{2})^{\frac{3}{2}}}dq
\end{equation}
Siccome le componenti in gioco sono tutte costanti si ha molto semplicemente:

\begin{equation}
E_{x}= \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{x}{(x^{2}+a^{2})^{\frac{3}{2}}} \int_{Q} dq = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{x}{(x^{2}+a^{2})^{\frac{3}{2}}} Q
\end{equation}
che rappresenta il valore del campo nel punto in questione (ricordiamoli, a distanza x dal centro dell’anello).

Articolo completo: Campo elettrico generato da un anello uniformemente carico dal blog Scuola ATuttoNet

Come si calcola il campo elettrico generato da una distribuzione finita di cariche?
Il campo elettrico presente in un punto è definito a partire dalla forza elettrica. Pertanto, giacché la forza elettrica gode della proprietà additiva, vale lo stesso anche per il campo elettrico. In presenza di più cariche elettriche, dunque, il campo elettrico in un punto è dato molto semplicemente dalla somma (vettoriale!) dei campi elettrici generati da tutte le cariche puntiformi presenti nel punto. Pertanto, date n cariche elettriche puntiformi:
\begin{array}{c}
\overset{\rightarrow}E= \sum_{k=0}^{n} \overset{\rightarrow}E_{n} \\
\overset{\rightarrow}E_{n} = \frac{q_{n}}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{\overset{\rightarrow}r_{n}}{|\overset{\rightarrow}r_{n}|^{3}}
\end{array}
Nei casi più semplici tuttavia non si esegue realmente la somma vettoriale ma si calcolano dapprima la direzione ed il verso (come in casi di particolari simmetrie), quindi si fa la somma dei moduli (ovviamente proiettati lungo la direzione trovata). Ad esempio, prese due cariche puntiformi uguali (stessa carica, stesso segno), è facile trovare che nei punti dell’asse del segmento che le lega il campo ha sempre come direzione l’asse stesso, per cui basta proiettare i moduli (usando il seno o il coseno) ed il gioco è fatto.

Come si calcola il campo elettrico generato da una distribuzione continua di cariche?
Nel caso di distribuzione continua di cariche il ragionamento è esattamente lo stesso, ma va sostituita la sommatoria con l’integrale. Difatti:
\begin{equation}
\overset{\rightarrow}E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{Q} \frac{dq}{r^{3}}\overset{\rightarrow}r = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{Q} \frac{dq}{r^{2}}\hat{r}
\end{equation}
dove Q rappresenta la carica totale che genera il campo.
Molto spesso si utilizza il concetto di densità di carica per il calcolo dell’integrale, ottenendo:
\begin{equation}
\overset{\rightarrow}E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{V} \frac{\rho dV}{r^{2}}\hat{r}
\end{equation}
dove il calcolo è fatto su tutto il volume che contiene la carica (vale lo stesso discorso anche per cariche lineari o superficiali). Il concetto di densità semplifica di molto il calcolo del campo nel caso di distribuzioni uniformi di carica.

Articolo completo: Campo elettrico generato da distribuzioni di cariche dal blog Scuola ATuttoNet

Dove sono finiti i corsi di Tirocinio Formativo Attivo?
Per quanto possano essere state positive molte delle notizie più fresche riguardanti le assunzioni nella Scuola pubblica (tra cui un ritorno ai concorsi), sembra invece (è solo la prima cosa che sembra) che questi corsi di tirocinio siano stati di nuovo bloccati prima di vedere la luce. Questa volta a metterci lo zampino è stata a Corte dei Conti. Sembra infatti (e siamo a due) che la suddetta Corte abbia chiesto una programmazione anche contabile sui posti disponibili, programmazione relativa al prossimo triennio. Sembra altresì (tre) che il Ministero della Pubblica Istruzione non sia in grado di soddisfare tale richiesta, rinviando così la faccenda ad una sperata soluzione di tipo tecnico.

Tra tutte queste cose che sembrano, tutto l’apparato scolastico (dalla materna all’Università) continua a perdere colpi, ed in tutto ciò molti non si spiegano ancora il motivo per cui diventare un prof sia molto più complesso che diventare medico (laddove, talvolta, si ha tra le mani la vita di qualcuno).

Articolo completo: TFA: stop ulteriore al reclutamento di nuovi docenti dal blog Scuola ATuttoNet

Il campo elettrico generato da una carica puntiforme è sicuramente il più facile da calcolare. In questo caso, infatti, nota la forza coulombiana interagente tra due cariche elettriche, non serve altro che applicare la definizione di campo e calcolare il risultato.
Data una carica puntiforme q, il campo elettrico da essa generato (in termini vettoriali) è dato dalla seguente formula:
\begin{array}{c}
\overset{\rightarrow}{E} = \lim_{q_{0} \rightarrow 0} \frac{\overset{\rightarrow}{F}}{q_{0}} = \lim_{q_{0} \rightarrow 0} \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{qq_{0}}{q_{0}} \frac{\overset{\rightarrow}{r}}{|\overset{\rightarrow}{r}|^{3}} = \\
= \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}}\frac{\overset{\rightarrow}{r}}{|\overset{\rightarrow}{r}|^{3}}
\end{array}
Nella formula appena enunciata il vettore r è radiale, ha cioè come direzione la retta che passa per il punto in cui è situata la carica elettrica e per il punto (dello spazio, ovviamente) in cui si vuole effettuare la misurazione. Dovendo associare anche un verso al campo (oltre che la direzione), si ha per convenzione che il campo elettrico generato da una carica positiva è uscente dalla carica (i vettori hanno origine nel punto in cui è posta la carica e verso uscente) mentre il campo generato da una carica negativa è entrante (il verso è orientato dall’esterno alla carica). Inoltre, volendo esplicitare il modulo del campo, si ha:
\begin{equation}
E = \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}
\end{equation}
laddove r rappresenta la distanza tra la carica ed il punto in cui viene misurato il campo.

Articolo completo: Campo elettrico generato da una carica elettrica puntiforme dal blog Scuola ATuttoNet

Esistono diversi tipi di social network, a partire dai blasonatissimi Facebook e Twitter fino ad arrivare a quelli per pochi in cui gli argomenti trattati sono un po’ più specifici (moto, auto, etc…). Tuttavia un social network per la matematica, fino ad ora, non era mai nato!
L’idea si è però reificata in Spagna ed il sito (sangakoo.com) ha visto la luce nel dicembre del 2011. Il social network ospita sia insegnanti che studenti (circa 6.000 dopo soli due mesi) ed ha come obiettivo la creazione di un ambiente (virtuale, ovviamente) in cui sia possibile proporre quanto risolvere (o almeno, tentare di risolvere) problemi di carattere matematico. Il servizio infatti è pensato principalmente per insegnanti e studenti delle scuole medie inferiori e superiori (tra i 12 ed i 18 anni) ma è tuttavia aperto a tutti gli amanti (e non) della matematica.
Il sito è disponibile in diverse lingue (catalano, castigliano, inglese ed ebraico); inoltre, come una vera scuola, è possibile creare classi (sempre virtuali, ovviamente) in cui il docente decide i temi da affrontare volta per volta.

Come dichiara Eulalia Alemany, consulente educativo del progetto: “Sangakoo è uno strumento che si basa su tre fondamentali principi di apprendimento: la Collaborazione, perché due teste sono meglio di uno; l’Azione, se gli studenti sono in grado di proporre esercizi allora sono in grado di risolverli; e la Reazione a sfidarsi con i problemi e correggersi a vicenda”.

Fonte: matematica.unibocconi.it

Articolo completo: Social network e matematica dal blog Scuola ATuttoNet

La formula del binomio di Newton serve a calcolare in maniera semplice la potenza ennesima di un qualsiasi binomio. In particolare si ha quanto segue:

Dati due numeri a e b, e dato un qualsiasi intero positivo n, si ha:
\begin{array}{c}
(a+b)^{n} = {n \choose 0} a^{n} + {n \choose 1} a^{n-1}b + {n \choose 2} a^{n-2}b^2 +…+ {n \choose n}b^{n} \\
= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{n-k}b^{k}
\end{array}
Detto a parole, lo sviluppo della potenza ennesima di un binomio è un polinomio composto da n + 1 monomi di grado n, ordinati secondo potenze decrescenti di a (e quindi crescenti di b) ed in cui il coefficiente numerico di ogni monomio è dato esattamente dalla formula del coefficiente binomiale n su k, dove k è la potenza che compare su b.

Facciamo un esempio.
\begin{array}{c}
(x+y)^{4} = \sum_{k=0}^{4} {4 \choose k} x^{4-k}y^{k} = \\
={4 \choose 0} x^{4} + {4 \choose 1}x^{3}y + {4 \choose 2}x^{2}y^{2} + {4 \choose 3} xy^{3} +{4 \choose 4}y^{4} = \\
=x^{4} + 4x^{3}y +6 x^{2}y^{2} + 4xy^{3} +y^{4}
\end{array}
Ovviamente, laddove dovesse comparire un segno meno (ad esempio (x-y)) va sostituito -y ad ogni occorrenza della variabile y.

Notiamo infine che i coefficienti dei vari monomi non sono altro che quelli che compaiono nel triangolo di Tartaglia.

Articolo completo: Binomio di Newton dal blog Scuola ATuttoNet