solo matematica

geometria analitica. Cambiamento di riferimento. Traslazione, rotazione, rototraslazione e coordinate polari

2016-03-13T16:46:00.000-07:00

Formule per la traslazione degli assi
Le coordinate del generico punto P sono:
nel sistema di assi cartesiani ortogonali , e nel sistema di assi paralleli e concordi .
Se l'origine del nuovo sistema ha, rispetto al primo, le coordinate , valgono le relazioni:
.

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Muovi il punto P in una posizone a tuo piacere, oppure il punto O' per effettuare una traslazione del sistema di riferimento XO'Y.

Formule per la rotazione degli assi
Le coordinate del generico punto P sono:
nel sistema di assi cartesiani ortogonali , e riferite al sistema in cui gli assi sono ruotati di un angolo α, e le origini O e O' coincidono.
Le relazioni:
,
consentono di passare da un sistema di riferimento al sistema ruotato di un angolo αrispetto al precedente.
Disponendo per esempio dell'equazione cartesiana di una curva y=f(x) con queste formule si può trasformare l'equazione della curva nelle nuove variabili X,Y. Un esempio tipico è quello di trasformare l'equazione di un iperbole equilatera nell'equazione della stessa iperbole riferita ai propri asintoti.

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I due riferimenti xOy e XO'Y hanno la stessa origine O=O'.
Puoi muovere dove vuoi il punto P. Per effettuare una rotazione del sistema di riferimento XO'Y prova a ruotare l'asse X in senso antiorario.

Formule per la rototraslazione degli assi
Questo movimento risulta composto dalla traslazione che porta dal sistema al sistema
,
e dalla rotazione di un angolo α che porta dal sistema al sistema
.
Si ottengono così le formule per la rototraslazione:

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I due riferimenti XO'Y e X'O'Y' hanno la stessa origine O'.
Muovi il punto P a tuo piacere. Per effettuare la traslazione del riferimento X'O'Y' trascina il punto O'. Per effettuare una traslazione del riferimento XO'Y ruota l'asse X in senso antiorario.

Formule di trasformazione da coordinate cartesiane a coordinate polari e viceversa.
La posizione di un punto qualsiasi sul piano è univocamente determinata da:
- la sua distanza dal polo = RAGGIO VETTORE
- l'angolo (ANOMALIA o ASCISSA ANGOLARE) formato dall'asse polare e dal raggio vettore, assumendo l'asse polare come origine, e positivo il senso antiorario.
Per rappresentare tutti i punti del piano si conviene che:
, .
Osservazioni:
- Tutti i punti dell'asse polare hanno anomalia nulla.
- L'equazione polare dell'asse é oppure
- Tutte le rette passanti per il polo hanno un'equazione del tipo:
- Un cerchio con centro nel polo ha un'equazione del tipo:
- Il polo ha raggio vettore nullo e anomaliaindeterminata.
Per passare dal sistema cartesiano al sistema polare (applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli) si usano le seguenti relazioni:
,
Viceversa, per passare dal sistema polare al cartesiano:
, , .

iperbole

2016-03-13T16:45:00.003-07:00

Iperbole » equazione cartesiana: » fuochi: » asintoti: , » eccentricità:	» equazione cartesiana: » fuochi: » asintoti: ,	» Definizione: l'iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. » Vista come sezione di un cono rotondo indefinito, l'iperbole è quella conica che si ottiene come sezione piana del cono di rotazione con un piano parallelo all'asse del cono.
Iperbole equilatera riferita agli asintoti » equazione cartesiana: » lunghezza del semiasse trasverso: » coordinate dei vertici sul semiasse trasverso: » coordinate dei fuochi:

ellisse

2016-03-13T16:44:00.006-07:00

» equazione cartesiana:
» fuochi:

» vertici:
» lunghezza asse maggiore =
» lunghezza asse minore =
» eccentricità :
» equazione della retta tangente all’ellisse nel suo punto :
» Coefficienti angolari m delle rette tangenti all’ellisse condotte dal punto esterno , sono le soluzioni dell’equazione :

Definizione: l'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante (=) la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

» Vista come sezione di un cono rotondo indefinito, la ellisse è quella conica che si ottiene come sezione piana del cono di rotazione con un piano, non parallelo alla generatrice, e incidente l'asse del cono.

parabola

2016-03-13T16:44:00.002-07:00

» Definizione: la parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistante da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, chiamatadirettrice.	» Vista come sezione di un cono rotondo indefinito, la parabola è quella conica che si ottiene come sezione piana del cono di rotazione con un piano parallelo alla generatrice del cono.
Parabola con asse verticale » equazione cartesiana: vertice: » fuoco: » asse: » direttrice:	Parabola con asse orizzontale » equazione cartesiana: » vertice: » fuoco: » asse: » direttrice:

circonferenza

2016-03-13T16:43:00.003-07:00

» equazione della circonferenza di centro: e raggio r:
» equazione cartesiana (equazione canonica):
» centro:
» raggio:
» condizione di realtà:
» asse radicale di due circonferenze e :

L'asse radicale di due circonferenza è la retta che passa per i loro punti di intersezione.

Puoi variare la posizione dei centri delle due circonferenze o il loro raggio. Cosa succede all'asse radicale quando le due circonferenze non si intersecano?

» Definizione: la circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistante da un punto fisso, dettocentro.

» Vista come sezione di un cono rotondo indefinito, la circonferenza è quella conica che si ottiene come sezione piana del cono di rotazione con un piano perpendicolare all'asse del cono.

la retta

2016-03-13T16:42:00.003-07:00

» equazione cartesiana in forma implicita:
» coeffciente angolare:
» termine noto:
» Condizione di parallelismo tra le due rette e :

» Condizione di perpendicolarità tra le due rette e :

» equazione cartesiana in forma esplicita:
» coefficiente angolare:
» termine noto o intercetta:
» equazione della retta passante per due punti , :

» equazione della retta passante per un punto :
(fascio di rette proprio)
» condizione di parallelismo tra le due rette , :
» condizione di perpendicolarità tra le due rette , :
o anche
» angolo tra due rette , :

geometria analitica - metrica

2016-03-13T16:42:00.000-07:00

, ,
» Coordinate del punto medio di un segmento:
,
» Distanza tra due punti:

» Distanza di un punto da una retta di equazione :

Muovi il punto P o la retta r per vedere come varia la distanza PH tra il punto e la retta.

» Distanza di un punto da una retta di equazione

» angolo tra due rette , :

Muovi il punto P per vedere come variano i suoi simmetrici ripetto agli assi e rispetto all'origine.

Nella sezione costruzioni geometriche con Cabri puoi imparare qualcos'altro sullasimmetria assiale e centrale

» Coordinate del baricentro del triangolo ABC (note le coordinate dei tre punti):
,
» Area del triangolo ABC
Note le coordinate dei tre vertici A(x₁;y₁), B(x₂;y₂), C(x₃;y₃), l’Area si calcola con il determinante:
, ,
dove , ovvero

Trasformazioni geometriche

2016-03-13T16:41:00.000-07:00

Traslazione di vettore

Rotazione di un angolo α

Simmetria centrale di centro C

Simmetria assiale
Rispetto all’asse delle ascisse ()

Rispetto all’asse delle ordinate ()

Rispetto ad una retta parallela all’asse delle ascisse ()

Rispetto ad una retta parallela all’asse delle ordinate ()

Rispetto alla bisettrice I, III ()

Rispetto alla bisettrice II, IV ()

Omotetia di centro O(0,0) e rapporto k

Omotetia di centro O(0,0) rapporto k con traslazione di vettore

Omotetia di centro C(a,b) e rapporto k

Geometria Solida. Parti della sfera e della superficie sferica

2016-03-13T16:38:00.003-07:00

	superficie	volume
Calotta sferica
Zona sferica
Fuso sferico
Segmento sferico a una base
Segmento sferico a due basi
Spicchio sferico

Calotta sferica L’area della superficie della calotta sferica è data dal prodotto della lunghezza della circonferenza massima della superficie a cui appartiene per la sua altezza:
Zona sferica L’area della zona sferica è data dal prodotto della lunghezza della circonferenza massima della superficie sferica a cui appartiene per la sua altezza:
Fuso sferico È la parte di superficie sferica compresa tra due semipiani uscenti dallo stesso diametro. L’ampiezza del fuso è l’angolo compreso tra i due semipiani.
Segmento sferico a una base
Segmento sferico a due basi
Spicchio sferico

Geometria Solida. Solidi di rotazione. Cilindro, cono, tronco di cono, sfera

2016-03-13T16:37:00.002-07:00

Solidi di rotazione
Sono solidi ottenuti dalla rotazione di una figura piana intorno ad una retta (asse di rotazione).

	superficie laterale	superficie totale	volume
Cilindro
Cono
Tronco di cono
	superficie sferica		volume
Sfera

Cilindro Il cilindro è un solido ottenuto dalla rotazione completa di un rettangolo intorno ad un suo lato. Cilindro equilateroÈ un cilindro in cui l’altezza è lunga quanto il diametro della base. L’area della superficie laterale di un cilindro si ottiene moltiplicando la lunghezza della circonferenza di base per la misura dell’altezza: L’area della superficie totale di un cilindro si ottiene sommando la superficie laterale e l’area delle due basi: Il volume di un cilindro si ottiene moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza:
Cono Il cono è un solido ottenuto dalla rotazione di un triangolo intorno ad un suo cateto. Cono equilateroÈ un cono in cui l’apotema è lungo quanto il diametro della base. L’area della superficie laterale di un cono si ottiene moltiplicando la lunghezza della circonferenza di base per la misura dell’apotema e dividendo tale prodotto per due: , dove l’apotema è la lunghezza del lato obliquo del cono . L’area della superficie totale di un cono si ottiene sommando la superficie laterale e l’area della base: Proprietà. Il cono è equivalente a un terzo di un cilindro avente base ed altezza congruenti rispettivamente alla base e all’altezza del cono. Il volume di un cono si ottiene moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza e dividendo tale prodotto per tre:
Tronco di cono Consideriamo un cono e tagliamolo con un piano parallelo al piano della base: otteniamo due figure, una è ancora un cono, l’altra è un tronco di cono. Il tronco di cono è un solido attenuto dalla rotazione di un trapezio rettangolo attorno al lato perpendicolare alle basi. Proprietà. La superficie laterale di un tronco di cono è equivalente a un trapezio avente per basi le due circonferenze di base del tronco e per altezza il suo apotema. L’area della superficie laterale di un tronco di cono si ottiene moltiplicando la somma delle misure delle lunghezze delle due circonferenze di base per la misura dell’apotema e dividendo tale prodotto per due: , dove l’apotema è la lunghezza del lato obliquo del tronco di cono: L’area della superficie totale di un tronco di cono si ottiene sommando la superficie laterale e l’area delle due basi: . In modo equivalente si può scrivere in funzione dei raggi: . Proprietà. Per il principio di Cavalieri, un tronco di cono e un tronco di piramide aventi basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti. Il volumedi un tronco di cono si ottiene moltiplicando la misura dell’altezza per la somma delle aree delle due basi con la radice quadrata del loro prodotto, e dividendo tale prodotto per tre: . In modo equivalente il volume si può scrivere in funzione dei raggi: .
Sfera e superficie sferica La sfera è un solido ottenuto dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al proprio diametro, il raggio e il centro del semicerchio sono il raggio e il centro della sfera. La superficie sferica è l’insieme di tutti e solo i punti dello spazio che hanno la stessa distanza da un punto interno detto centro. Proprietà. La superficie sferica è equivalente alla superficie laterale del cilindro equilatero circoscritto ad essa.L’area della superficie sferica si ottiene moltiplicando per quattro l’area del suo cerchio massimo: Proprietà. Una sfera è equivalente a un cono avente per altezza il raggio della sfera e per raggio di base il diametro della sfera. Il volume della sfera si ottiene moltiplicando per il cubo del suo raggio:

Geometria Solida. Poliedri. Piramide e tronco di piramide

2016-03-13T16:36:00.003-07:00

superficie laterale	superficie totale	volume
piramide qualsiasi
piramide retta
tronco di piramide

Piramide La piramide è un poliedro limitato da un poligono qualsiasi e da tanti triangoli quanti sono i lati di questo poligono, aventi tutti un vertice in comune.
	LEGENDA V vertice ABCDEF base (poligono di base) VAB faccia laterale (triangolo) VH altezza (distanza tra il vertice e la base) VM apotema H piede dell’altezza VB spigolo laterale AB spigolo di base
Una piramide si dice retta se il poligono di base è circoscrittibile a una circonferenza e il piede dell’altezza coincide con il centro di questa circonferenza. L’apotema di una piramide retta è l’altezza di una delle sue facce. Una piramide si dice regolare se è retta ed il poligono di base è un poligono regolare.
Tronco di piramide Tagliando una piramide con un piano parallelo alla base si ottengono due solidi: uno è ancora una piramide , l’altro è un tronco di piramide. I due poligoni che lo delimitano costituiscono le basi del tronco di piramide, e le facce laterali sono dei trapezi. La distanza tra le basi è l’altezza del solido. Un tronco di piramide si dice retto se è stato ottenuto da una piramide retta. Un tronco di piramide si dice regolare se è stato ottenuto da una piramide regolare. Le facce laterali di un tronco di piramide regolare sono tutti trapezi isosceli congruenti. L’altezza di uno qualsiasi di questi trapezi è l’apotema del tronco di piramide.

Geometria Solida. Poliedri. Prisma, parallelpipedo, cubo

2016-03-13T16:35:00.002-07:00

diagonale	superficie laterale	superficie totale	volume
prisma retto
parallelepipedo retto
parallelepipedo rettangolo
cubo

Prismi

Il prisma è un poliedro limitato da due poligoni uguali e paralleli (basi) e da tanti parallelogrammi (facce laterali) quanti sono i lati del poligono di base.

prisma obliquo: se tutte le facce laterali sono parallelogrammi e l’altezza non coincide con uno degli spigoli
prisma retto: se tutte le facce laterali sono perpendicolari alle basi e l’altezza coincide con uno degli spigoli
prisma regolare: se è retto e le basi sono poligoni regolari (le facce laterali sono rettangoli uguali fra loro).

Prismi particolari

Parallelepipedo
Un parallelepipedo è un prisma le cui basi sono dei parallelogrammi.
Un parallelepipedo può essere:

retto: se tutte le sue facce sono perpendicolari alle basi (le facce sono dei rettangoli e le basi dei parallelogrammi)
rettangolo: se è retto e le sue basi sono dei rettangoli (tutte e sei le facce sono rettangoli uguali e paralleli a due a due)

Cubo
Il cubo è un parallelepipedo rettangolo con le tre dimensioni uguali tra loro.
Il cubo è un poliedro regolare limitato da sei facce quadrate (esaedro).

Geometria Solida. Poliedri regolari

2016-03-13T16:34:00.003-07:00

Un poliedro si dice regolare se tutte le sue facce sono poligoni regolari uguali fra loro e tutti i diedri e gli angoloidi sono uguali fra loro.
I poliedri regolari che si possono costruire sono 5, noti anche come solidi platonici.

	poligono regolare	N° facce	N° vertici	N° spigoli	N° spigoli concorrenti in un vertice	altezza	diagonale	Area della superficie	Volume
Tetraedro	triangolo	4	4	6	3
Cubo o Esaedro	quadrato	6	8	12	3
Ottaedro	triangolo	8	6	12	4
Dodecaedro	pentagono	12	20	30	3
Icosaedro	triangolo	20	12	30	5

LEGENDA
= altezza
= spigolo
= diagonale
= Area della superficie totale
= Volume

Geometria Solida. Poliedri

2016-03-13T16:33:00.003-07:00

Le figure geometriche solide possono essere suddivise in due gruppi:
quelli la cui superficie è formata da soli poligoni detti poliedri, e quelli la cui superficie è curva dettisolidi rotondi.

Un poliedro è un solido limitato da più poligoni posti su piani diversi e tali che ogni lato è comune a due soli di essi.

Tra le facce gli spigoli e i vertici di un poliedro sussiste la relazione di Eulero: f + v = s + 2

I poliedri possono essere suddivisi in poliedri regolari, prismi e piramidi, come è raffigurato nello schema.

Poligoni regolari e numeri fissi

2016-03-13T16:30:00.003-07:00

Definizione: si dice regolare un poligono equilatero ed equiangolo.

Vedi anche: poligoni convessi epoligoni regolari

Proprietà: ogni poligono regolare è inscrittibile e circoscrittibile, e le due circonferenze hanno lo stesso centro.
Definizione: si dice apotema di un poligono regolare il raggio del cerchio inscritto nel poligono.
Se è noto il raggio R del cerchio circoscritto e il lato del poligono regolare, l’apotema si trova applicando il teorema di Pitagora.
Proprietà: in ogni poligono regolare il rapporto tra l'apotema e il lato è costante, dipende solo dal numero dei lati del poligono. A tale costante del poligono si dà il nome di numero fisso:
Per trovare l'apotema, noto solo il lato del poligono regolare, si usa fornire nella geometria studiata nelle medie inferiori una tabella di numeri fissi.
L'apotema si trova moltiplicando il lato per la costante del poligono:

Poligono regolare	f
Triangolo	0,289
Quadrato	0,5
Pentagono	0,688
Esagono	0,866
Ettagono	1,038
Ottagono	1,207
Ennagono	1,374
Decagono	1,539

L'apotema si può calcolare con l'aiuto della trigonometria, nota l'ampiezza α dell’angolo del poligono: .
Poiché in ogni poligono regolare il rapporto tra l'area e il quadrato del suo lato è costante, dipende solo dal numero dei lati del poligono, indichiamo tale costante con .
L'area del poligono regolare si calcola :
Nella geometria studiata nelle medie inferiori si usa fornire una tabella di costanti.

Poligono regolare	φ
Triangolo	0,433
Quadrato	1
Pentagono	1,720
Esagono	2,598
Ettagono	3,634
Ottagono	4,828
Ennagono	6,182
Decagono	7,694

Poligoni regolari

2016-03-13T16:29:00.004-07:00

Definizione: si dice regolare unpoligono equilatero ed equiangolo.
Proprietà: ogni poligono regolare è inscrittibile e circoscrittibile, e le due circonferenze hanno lo stesso centro.
Definizione: si dice apotema di un poligono regolare il raggio del cerchio inscritto nel poligono.
In generale in un poligono regolare con nlati di lato l e apotema a:

(semiperimetro per apotema)

Vedi anche: poligoni convessi | poligoni regolari coi numeri fissi | costruzioni geometriche dei poligoni regolari con Cabri II

LEGENDA
lato : l
altezza : h
diagonale : d
perimetro : 2p
semiperimetro : p
apotema : a
raggio della circonferenza circoscritta : R
raggio della circonferenza inscritta : r
Area : A

Poligono	angolo	lato	apotema	perimetro	Area(noto l)	Area (notoR)
Triangolo	60°
Quadrato	90°
Pentagono convesso	108°
Pentagono stellato
Esagono	120°
Ottagono convesso	135°
Ottagono stellato
Decagono convesso	144°
Decagono stellato
Dodecagono convesso	150°

Altre proprietà:

Triangolo equilatero L'altezza del triangolo equilatero:

Quadrato La diagonale del quadrato noto il lato:
Il lato del quadrato nota la diagonale:
;

Pentagono regolare convesso
Il lato del pentagono regolare corrisponde alla sezione aurea della sua diagonale:
La diagonale del pentagono regolare in funzione del lato:

Esagono regolare convesso L'esagono regolare è inscrittibile in una circonferenza il cui raggio è uguale al lato dell'esagono
Decagono regolare convessoIl lato del decagono regolare convesso è uguale alla sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta:

Poligoni convessi

2016-03-13T16:29:00.000-07:00

Definizione: si chiama poligono convesso la parte di piano delimitata da una poligonale chiusa convessa e dalla poligonale stessa che ne costituisce il perimetro.

Poligono convesso	Poligono concavo

Vedi anche: poligoni regolari |poligoni regolari con i numeri fissi

LEGENDA
semiperimetro : p
raggio della circonferenza inscritta : r
Area : A

Teorema: in un poligono ogni lato è minore del semiperimetro
Teorema: la somma degli angoli interni di un poligono din lati vale
Teorema: la somma degli angoli esterni di un poligono convesso è uguale ad un angolo giro (360°), qualunque sia il numero dei suoi lati
Teorema: in un poligono qualsiasi di n lati, per ogni vertice passano (n-3) diagonali
Teorema: un poligono si può inscrivere in una circonferenza se gli assi di tutti i suoi lati si incontrano in un unico punto (circocentro)
Teorema: un poligono si può circoscrivere ad una circonferenza se le bisettrici di tutti i suoi angoli si incontrano in un unico punto (incentro)

Area di un poligono qualsiasi: si scompone il poligono in poligoni di cui si sa calcolare l’area; si sommano le aree di tali poligoni.
Area di un poligono circoscritto ad una circonferenza di raggio r :

Quadrilateri

2016-03-13T16:28:00.003-07:00

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Muovi a tuo piacere i vertici del quadrilatero.

LEGENDA
AB = c, BC = b, CD = a, DA = d, DMC = a,
p = semiperimetro

» Calcolo dell’area:
» Condizione di inscrittibilità:

» Condizione di circoscrittibilità:

» Formule relative al quadrilatero inscrittibile:
(Formula di Brahmagupta)
(Teorema di Tolomeo)
(Teorema di Legendre)
Raggio della circonferenza circoscritta

» Trapezio:

» Trapezio isoscele:è un particolare trapezio in cui i lati obliqui sono uguali

» Proprietà del trapezio isoscele:
- Gli angoli alle basi sono uguali
- Le diagonali sono uguali
- Il lato obliquo di un trapezio isoscele circoscritto ad un semicerchio è uguale alla metà della base maggiore
- Il lato obliquo di un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza è uguale alla semisomma delle basi del trapezio stesso.

» Trapezio rettangolo: è un particolare trapezio in cui un lato è perpendicolare alle basi

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Quadrilatero particolare. Trapezio (una coppia di lati sta su rette tra loro parallele).
Muovi qualsiasi vertice del quadrilatero per variare le dimensioni e la disposizione della figura..

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Quadrilatero particolare. Trapezio isoscele (i lati obliqui sono tra loro congruenti).
Muovi il punto B per ruotare a piacere il quadrilatero o il punto A per variare le dimensioni.

» Parallelogramma: è un quadrilatero con i lati opposti paralleli

» Proprietà del parallelogramma:
- Gli angoli opposti sono uguali e gli adiacenti sono supplementari
- Ogni diagonale scompone il parallelogramma in due triangoli uguali
- Le diagonali si tagliano scambievolmente per metà

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Quadrilatero particolare. Trapezio particolare. Parallelogramma (i lati opposti sono congruenti e stanno su rette tra loro parallele).

» Rombo: è un parallelogramma particolare in cui i quattro lati sono uguali

» Proprietà del rombo:
- Gli angoli opposti sono uguali e gli adiacenti sono supplementari
- Le diagonali si tagliano scambievolmente per metà e sono fra loro perpendicolari
- Le diagonali sono bisettrici degli angoli, i cui vertici sono gli estremi delle diagonali

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Quadrilatero particolare. Parallelogrammaparticolare. Rombo (i lati sono tra loro congruenti e le diagonali stanno su rette tra loro perpendicolari).

» Rettangolo: è un parallelogramma particolare in cui i lati adiacenti sono tra loro perpendicolari

» Quadrato: è un rombo particolare in cui i lati adiacenti sono tra loro perpendicolari

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Quadrilatero particolare. Rombo particolare. Quadrato (è un rombo in cui i lati adiacenti sono tra loro perpendicolari).

Cerchio e circonferenza

2016-03-13T16:27:00.002-07:00

Lunghezza della circonferenza:
Area del cerchio:
Lunghezza dell'arco:
Area del settore circolare: ;
Area del semicerchio:
Area del quadrante:
Area della corona circolare:
Area del segmento circolare: si trova come differenza fra l'area di un settore e l'area di un triangolo.

LEGENDA
Raggio = r

» Teorema della corda: (vedi anche ilterorema dei seni)

dove α è uno qualsiasi degli angoli alla circonferenza inscritti nell'arco maggiore AB .

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Qui sopra puoi sperimentare il Teorema della corda, variando l'ampiezza dell'angolo α

» Teorema delle corde:
, ossia

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Qui sopra puoi verificare la validità del Teorema delle corde.

» Teorema delle secanti:
, ossia

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Prova a muovere i punti A o B dei due segmenti o il punto P esterno alla circonferenza per vedere come varia la situazione geometrica descritta dal teorema delle secanti.
Se muovi un estremo del segmento lungo la circonferenza, per es. D, fino a farlo coincidere con l'altro, C, ottieni la situazione descritta nel teorema della tangente e della secante, dove C=D=T.

» Teorema della tangente e della secante:
, ossia

Triangoli rettangoli

2016-03-13T16:26:00.002-07:00

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Prova a muovere i vertici del triangolo per vedere come variano i suoi elementi.

LEGENDA
AB = c (cateto), AC = b (cateto), BC = a(ipotenusa)
BAC = a = 90°, ABC = b, ACB = g
AH = h, altezza
AM = m, mediana
A = area

vedi anche triangoli qualsiasi

» Teorema di Pitagora:

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti.

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Qui sopra puoi sperimentare sia il Teorema di Pitagora (vedi costruzione), sia il 1° Teorema di Euclide (vedi costruzione).
Qui sotto puoi verificare la validità del 2° Teorema di Euclide (vedi costruzione).

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» Primo teorema di Euclide:

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la sua proiezione sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa.
;

» Secondo teorema di Euclide:

In un triangolo rettangolo l'altezza è media proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.

» Proprietà della mediana:

» Calcolo dell'area:
,

» Misura dell'altezza noti i lati:

» Relazione fra i lati e il raggio della circonferenza inscritta:

» 1° teorema sui triangoli rettangoli:
In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto o per il coseno dell'angolo adiacente
,

» 2° teorema sui triangoli rettangoli:
In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto o per la cotangente dell'angolo adiacente
,

GEOMETRIA PIANA. Triangoli qualsiasi

2016-03-13T16:21:00.000-07:00

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Prova a muovere i vertici del triangolo per vedere come variano i suoi elementi.

LEGENDA
AB = c, AC = b, BC = a BAC = a, ABC = b, ACB = g
AH = h, altezza
AM = m, mediana
AI = l, bisettrice
AD = bisettrice angolo esterno
p = ½(a + b + c), semiperimetro
A = area

Vedi anche: triangoli rettangoli

» Proprietà:

, ,

» Calcolo dell'area:

formula di Erone

Note le coordinate dei tre vertici P₁(x₁;y₁), P₂(x₂;y₂), P₃(x₃;y₃), l’Area si calcola con il determinante:

» Lunghezza delle mediane:

, ,

» Teorema della mediana:

» Bisettrici:

, ,
, ,

» Teorema della bisettrice dell'angolo interno:

» Teorema della bisettrice dell'angolo esterno:

(se i segmenti esistono)

» Raggio della circonferenza circoscritta:

,
, ,

» Raggio della circonferenza inscritta:

, ,
, ,

» Raggio delle circonferenze exinscritte:

, ,
, ,

» Altezze:

,
,

» Teorema dei seni (o di Eulero)

In un triangolo è costante il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell'angolo opposto:

» Teorema della corda

In un triangolo il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell'angolo opposto è uguale al diametro della circonferenza circoscritta:
= 2r

» Teorema delle proiezioni:

In un triangolo qualunque, la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti delle misure di ciascuno degli altri due per il coseno degli angoli che essi formano con il primo.
, ,

» Teorema del coseno (o di Carnot)

In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due diminuita del prodotto di questi due lati per il coseno dell'angolo fra essi compreso:
, , .

» Formule di Briggs:

, ,
, ,
, ,
, ,

» Teorema delle tangenti (o di Nepero)

In un triangolo qualsiasi la somma di due lati sta alla loro differenza come la tangente della semisomma degli angoli opposti ai suddetti lati sta alla tangente della loro semidifferenza:

che si può anche scrivere:

determinante di una matrice quadrata. Regola di Sarrus

2016-03-13T12:04:00.002-07:00

» Definizione di matrice
Un insieme di numeri ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe e n il numero delle colonne.
Una matrice si dice quadrata se .
Il generico elemento della matrice si indica con . Esso occupa la posizione individuata dall'intersezione tra la i-esima riga e la j-esima colonna della matrice.
, con
La teoria dei DETERMINANTI è stata sviluppata per poter risolvere i sistemi di equazioni lineari e trovare l'inversa di una matrice quadrata. Per questo fine è stato necessario associare ad ogni matrice quadrata un valore numerico. Tale numero è il determinante della matrice.
Ad ogni matrice quadrata A di ordine n può essere associato un numero che si chiama il suo determinante e si indica con det A.

» Determinante di matrici quadrate del secondo ordineIl determinante di una matrice quadrata del secondo ordine (2 righe e 2 colonne) si calcola:

Il determinante di una matrice quadrata del secondo ordine è uguale alla differenza dei prodotti degli elementi delle due diagonali (principale meno secondaria).

» Determinante di matrici quadrate del terzo ordine
Il calcolo del determinante di una matrice quadrata del terzo ordine (3 righe e 3 colonne) si sviluppa secondo gli elementi di una riga o di una colonna. Nell'esempio sviluppiamo secondo la prima riga.
.
Ogni elemento della prima riga viene moltiplicato con il suo MINORE COMPLEMENTARE, ovvero il determinante del secondo ordine ottenuto sopprimendo la prima riga e la prima colonna; i prodotti vengono poi sommati algebricamente tra loro considerando il segno positivo se la somma degli indici dell'elemento considerato è pari, o negativo se è dispari.
Sviluppando i tre determinanti del secondo ordine, si ottiene:
.
È utile notare che il determinante di una matrice quadrata non cambia se lo sviluppo viene eseguito rispetto ad una qualsiasi altra riga (non solo la prima) o un'altra colonna.

Un secondo metodo per il calcolo dei determinanti del terzo ordine è indicato dalla REGOLA DI SARRUS.Per la sua applicazione è conveniente disporre, accanto alla matrice data, copia delle prime due colonne ed eseguire i prodotti indicati, presi in segno positivo seguendo le frecce rosse e negativi seguendo le frecce blu.

» Principali proprietài) il valore di un determinante non cambia se si scambiano le righe con le colonne:

ii) lo scambio di due righe o di due colonne di un determinante equivale a cambiarne il segno, ovvero a moltiplicarlo per -1 :

iii) moltiplicare tutti gli elementi di una riga o di una colonna per uno stesso numero k equivale a moltiplicare il determinante per k :

iv) se tutti gli elementi di una riga o di una colonna sono nulli, il valore del determinante è nullo:

logaritmi

2016-03-13T12:03:00.006-07:00

definizione:
,
» proprietà:
,
,
,
,

» cambiamento di base:
,

disequazioni irrazionali

2016-03-13T12:03:00.002-07:00

Equazioni irrazionali se n è dispari se n è pari		Disequazioni irrazionali 1° caso se n è dispari le soluzioni si ottengono imponendo e risolvendo i due sistemi se n è pari
		2° caso se n è dispari le soluzioni si ottengono imponendo e risolvendo il sistema se n è pari

equazione algebrica di secondo grado

2016-03-13T12:02:00.003-07:00

Un equazione algebrica di 2° grado si presenta nella forma: .
» Se l'equazione si dice in forma completa e si risolve utilizzando la formula risolutiva:

si dice discriminante;

se > 0 esistono due soluzioni reali e distinte che si ottengono applicando la formula risolutiva
se = 0 esistono due soluzioni reali e coincidenti
se < 0 esistono due soluzioni complesse e coniugate.

» Se l'equazione si dice pura e diventa .
Le due soluzioni sono
» Se l' equazione si dice spuria e si risolve raccogliendo per cui le soluzioni sono

» Formula ridotta
Se b è pari, può essere più comodo applicare la formula risolutiva ridotta:

» Relazione tra le soluzioni e i coefficienti a, b, c dell'equazione:
,

» Scomposizione del trinomio di 2° grado: