Teoría de Campos Electromagnéticos

REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE ONDAS EM

2012-11-28T19:43:00.004-05:00

TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

ONDAS EM: REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN

1. Demostrar que para una onda plana en el vacío la impedancia de onda es Z_o = E²/H² = m_o/Î_o = 377 W

2. Demostrar que la superposición de dos ondas planas con la misma frecuencia, vector propagación y amplitud E pero con polarizaciones circulares opuestas (derecha e izquierda) da lugar a una onda linealmente polarizada con amplitud 2E

3. La radiación solar promedio que llega a la Tierra es de 1400 W/m². Supongamos que dicha radiación llega como onda plana monocromática polarizada y con incidencia normal. Calcular el módulo de los vectores B y H de la luz solar.

4. El vector de Poynting proporcional a E² decae según exp(- az) donde a = 2/d se denomina coeficiente de absorción, d = 2n / gZ_o. La pérdida de potencia se expresa frecuentemente en decibeles por metro (dB/m). Demostrar que la pérdida de potencia es igual a 4.34a dB/m.

5. Calcular los coeficientes de reflexión y transmisión para una onda que incide desde el aire sobre un dieléctrico (n = 1.3) con el ángulo de Brewster.

6. Una fibra óptica tiene índice de refracción 1.55 y está rodeada por un revestimiento con índice de refracción 1.53

7. Una onda plana de frecuencia 3 GHz se propaga en la dirección +z en un medio dieléctrico con constante k = 2.5 y tangente de pérdidas de 0.05. Hallar la distancia a la cual la amplitud se reducirá a la mitad, la impedancia de onda, la longitud de onda y la velocidad de fase.

8. Hallar la condición para que sean iguales los coeficientes de reflexión y transmisión de una onda plana que incide normalmente en la superficie que separa a dos medios dieléctricos perfectos.

9. Una onda plana en el aire con E₁ (z) = i 10 exp(-i6z) V/m incide normalmente sobre una superficie de separación en z = 0 sobre un dieléctrico con pérdidas con k = 2.25 y tangente de pérdida 0.3. Hallar (a) las expresiones para los campos eléctrico y magnético de las ondas reflejada y transmitida, (b) los vectores de Poynting instantáneos y promediados en el tiempo para las ondas refleja y transmitidas.

10. Una onda plana con frecuencia f en un medio con índice de refracción n₁ incide con el ángulo crítico sobre otro medio en z = 0 con índice de refracción n₂ > n₁. Hallar las razones de las amplitudes de las ondas reflejada/incidente y transmitida/incidente para (a) el caso del campo eléctrico paralelo al plano de incidencia, (b) el caso del campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia.

11. Los prismas que tienen como sección transversal a un triángulo rectángulo isósceles se usan comúnmente en los instrumentos ópticos. Para el vidrio usado Î = 4 Î_o. Una onda incide normalmente sobre la hipotenusa de la sección y después emerge en dirección opuesta. Calcular el porcentaje de potencia luminosa que emerge del prisma.

12. Usando el principio de Fermat probar que: (a) la luz viaja de un punto a otro en un mismo medio siguiendo una trayectoria rectilínea; (b) la luz viaja de un punto A a otro punto B en el mismo medio cumpliendo con la ley de la reflexión; (c) la luz viaja de un punto A en un medio 1 a otro punto B en un medio 2 cumpliendo con la ley de Snell.

13. Demostrar que R + T = 1 para medios ópticamente transparentes y para medios dieléctricos perfectos en general.

14. ¿En qué ángulo con respecto a la vertical debe mirar un pez para ver a un pescador sentado en un muelle lejano? Suponer que para el agua n = 1.33

15. Luz de 500 nm de longitud de onda entra a un medio en el cual su longitud de onda es de 350 nm. Hallar (a) el índice de refracción del medio; (b) la frecuencia de la luz; (c) la constante dieléctrica del medio.

16. Un rayo de luz incide con un ángulo a sobre la superficie de un espejo plano. Se hace girar el espejo en un ángulo b alrededor de un eje en eje en su plano y perpendicular al plano de incidencia. ¿En qué ángulo gira el rayo reflejado?

17. El ángulo de incidencia de un rayo de luz sobre un vidrio de índice de refracción n es a. El espesor de la placa de vidrio es e. El rayo sufre dos refracciones. (a) Demostrar que los rayos incidente y emergente del vidrio son paralelos; (b) Hallar la distancia entre los dos rayos: incidente y emergente; (c) Hallar una expresión aproximada para la respuesta anterior en el caso que el ángulo a sea pequeño.

18. Se tiene un cubo de vidrio de índice de refracción 1.5 sumergido en agua de índice de refracción 1.33. Un rayo de luz incide con un ángulo a sobre una cara del cubo y después de refractarse incide sobre el punto A de una cara adyacente del cubo. Hallar el valor máximo del ángulo a para que la luz tenga reflexión interna total en el punto A.

19. Un prisma de cristal (índice de refracción n) tiene ángulo en el vértice a. (a) ¿Cuál es el mínimo ángulo de incidencia para el cual puede entrar un rayo por una cara del prisma y salir por la otra?; ¿Qué ángulo de incidencia debería tener el rayo para que atraviese el prisma simétricamente?

20. Un cubo de cristal tiene una fuente de luz puntual en su centro. ¿Qué fracción de la superficie del cubo debe taparse para impedir que salga luz, cualesquiera que sea el punto de observación?

ONDAS EM EN DIELÉCTRICOS PERFECTOS

2012-11-17T12:41:00.000-05:00

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y ELÉCTRICA
TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

ONDAS EM EN DIELÉCTRICOS PERFECTOS

El campo eléctrico para una onda EM en un dieléctrico perfecto (m = m_o, Î = 6Î_o) está dado por E(z, t) = j 6 sen (bz – 10⁹ t). Hallar (a) el valor de b: (b) las expresiones para la intensidad magnética H, el vector de Poyntig S y el vector de Poynting promediado en el tiempo áSñ

La intensidad magnética de una onda H = j H_o cos (pz/3 - 10⁸pt + a) es la suma de H₁ = j 0.04 sen (pz/3 - 10⁸pt) y H₂ = j 0.04 cos (pz/3 - 10⁸pt + p/3). (a) Calcular H_o y a; (b) Escribir las expresiones para E, S y áSñ

Una onda EM plana se propaga en un dieléctrico perfecto (m = m_o, Î = 5Î_o) en la dirección +z tal que E = i E_x , E_x es senoidal con frecuencia 100 MHz y su valor máximo es 10^-3 V/m en t = 0 y z = 1/7 m. (a) Escribir la expresión para E(z, t); (b) escribir las expresiones para H(z, t), S(z, t) y áSñ; (c) Determinar las posiciones z para las cuales E_x tiene un valor máximo positivo en t = 10^-6 s

Para una onda EM plana H = k 2 x 10^-6 cos (k_o y – 10⁷ pt + p/4). (a) Hallar el valor de k_o y la posición donde se anula H en t = 3 ms. (b) Hallar las expresiones para E, S y áSñ.

Para una onda EM plana E(z, t) = i 2 cos (z/Ö3 – 10⁸t) – j sen (z/Ö3 – 10⁸t). (a) Determinar la frecuencia, la longitud de onda y la constante dieléctrica. (b) ¿Qué polarización tiene la onda? Demuéstrelo. (c) Escribir las expresiones para E, S y áSñ.

Para una onda plana E(z, t) = i E₀₁ sen (kz – wt) + j E₀₂ sen (kz – wt + a). (a) Demostrar que la onda tiene polarización elíptica. (b) Hallar H, S y áSñ

INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

2012-11-17T12:38:00.000-05:00

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y ELÉCTRICA
TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

Hallar la inductancia propia de una bobina toroidal de radio menor R, radio mayor 2R y altura H. la sección de la bobina es rectangular. La bobina toroidal tiene N espiras muy juntas y núcleo de permeabilidad m_o

Hallar la inductancia por unidad de longitud de una bobina recta cilíndrica que contiene n espiras por unidad de longitud y un núcleo de permeabilidad m_o

Determinar la inductancia por unidad de longitud de un alambre coaxial lleno de aire tal que el conductor interior tiene radio R y el conductor exterior es delgado y tiene radio interior 2R.

Calcular la inductancia mutua entre un alambre recto muy largo y una espira que tiene la forma de un polígono regular de lado “a” situadas ambas en el mismo plano. La distancia entre el alambre y el centro de la espira es “d”. Casos de la espira: (a) triángulo equilátero; (b) cuadrado; (c) pentágono regular; (d) hexágono regular.

Repetir el problema anterior cuando la espira es circular de radio R.

Para los problemas 4 y 5 calcular la corriente inducida en la espira si ésta se mueve con velocidad v constante y tiene resistencia eléctrica R.

Una espira conductora cuadrada de lado “a” está situada en el plano xz dentro de un campo magnético variable B = j B_o cos wt. El origen de coordenadas coincide con el centro de la espira. Calcular la fem inducida en la espira: (a) cuando la espira está en reposo; (b) cuando la espira gira con velocidad angular w constante alrededor del eje x.

MAGNESTOSTÁTICA

2012-10-29T20:42:00.001-05:00

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y ELÉCTRICA

TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

MAGNETOSTÁTICA

1. Por un alambre muy delgado y muy largo pasa una corriente constante I. Hallar la inducción magnética en cualquier punto del espacio.

2. A lo largo de una cinta conductora plana de espesor despreciable, ancho “a” y largo infinito pasa una corriente I distribuida uniformemente. Hallar la inducción magnética: (a) en un punto ubicado en la perpendicular a la cinta y que pasa por su centro; (b) en un punto ubicado en la perpendicular a la cinta y que pasa por un extremo de la cinta; (c) en un punto ubicado en el plano de la cinta pero fuera de ella; (d) en un punto cualquiera (general) del espacio.

3. Por un alambre muy delgado de longitud L pasa una corriente estacionaria I. Hallar la inducción magnética (a) en un punto ubicado en la recta que contiene al alambre; (b) en un punto de la recta mediatriz del alambre; (d) En un punto cualquiera del espacio.

4. Por una espira conductora circula una corriente eléctrica I. La espira tiene la forma de un triángulo equilátero de lado L. Hallar la inducción magnética B en el centro de la espira.

5. Resolver el problema 4 si la espira tiene la forma de un cuadrado de lado L.

6. Resolver el problema 4 si la espira tiene la forma de un pentágono regular de lado L.

7. Resolver el problema 4 si la espira tiene la forma de un hexágono regular de lado L.

8. Resolver el problema 4 si la espira tiene la forma de un polígono regular de n lados.

9. Un alambre muy delgado tiene la forma de un arco de circunferencia de radio R y ángulo central q. Por el alambre pasa una corriente estacionaria I. Hallar la inducción magnética en el centro de la circunferencia.

10. Del resultado del problema anterior, deducir la inducción magnética en el centro de una espira circular de radio R que conduce una corriente constante I.

11. De la respuesta al problema 8 deducir el campo en el centro de una espira circular de radio R por la que circula una corriente I.

12. Hallar la inducción magnética en cualquier punto del eje de una espira circular de radio R por la cual circula una corriente constante I. ¿En qué punto del eje la inducción magnética es máxima y cuál es su valor?

13. En los problemas 4 al 8, hallar la inducción magnética en cualquier punto del eje de cada espira (eje z, tal que el origen de coordenadas coincide con el centro de la espira).

14. Un alambre muy delgado en forma de una espira circular de radio R tiene una carga Q distribuida uniformemente. La espira gira con velocidad angular constante w alrededor de su eje. Hallar la inducción magnética: (a) en el centro de la espira circular; (b) en un punto cualquiera de su eje.

15. Un disco conductor delgado en forma de una corona circular de radio interior R₁ y exterior R₂ (R₁ < R₂) está cargado uniformemente con una carga Q. El disco gira con velocidad angular uniforme w alrededor de su eje. Hallar la inducción magnética en (a) el centro del disco hueco; (b) en un punto cualquiera de su eje (eje z tal que el origen de coordenadas coincide con el centro del disco hueco).

16. Un cascarón metálico tiene la forma de un hemisferio de radio R y una carga Q está distribuida uniformemente en su superficie. El cascarón rota con velocidad angular uniforme w constante alrededor de su eje. Hallar la inducción magnética: (a) en el centro del hemisferio; (b) en el punto más alejado del centro del hemisferio; (c) en un punto cualquiera del eje del hemisferio.

17. Un cascarón metálico tiene la forma de una esfera de radio R y una carga Q está distribuida uniformemente en su superficie. El cascarón rota con velocidad angular uniforme w constante alrededor de un eje que pasa por el centro. Hallar la inducción magnética: (a) en el centro del cascarón; (b) en la intersección del eje con el cascarón; (c) en un punto cualquiera del eje dentro del cascarón; (d) en un punto cualquiera del eje fuera del cascarón.

18. Un cascarón metálico tiene la forma de un cilindro de radio R y longitud L y una carga Q está distribuida uniformemente en su superficie. El cascarón rota con velocidad angular uniforme w constante alrededor de su eje. Hallar la inducción magnética: (a) en el centro de una de las bases del cascarón; (b) en un punto cualquiera del eje dentro del cascarón; (c) en un punto cualquiera del eje fuera del cascarón.

19. Un cascarón metálico tiene la forma de un tronco de cono recto de radios R₁ y R₂ (R₁ < R₂), longitud L y una carga Q está distribuida uniformemente en su superficie. El cascarón rota con velocidad angular uniforme w alrededor de su eje. Hallar la inducción magnética: (a) en el centro de la base mayor del cascarón; (b) en un punto cualquiera del eje dentro del cascarón; (c) en un punto cualquiera del eje fuera del cascarón.

20. Un disco conductor delgado de radio R está cargado uniformemente con una carga Q. El disco gira con velocidad angular uniforme w alrededor de su eje. Hallar la inducción magnética en (a) el centro del disco; (b) en un punto cualquiera de su eje (eje z tal que el origen de coordenadas coincide con el centro del disco).

21. Una distribución uniforme de carga rígida Q tiene la forma de una nube hemisférica de radio R, la cual gira con velocidad angular constante w alrededor de su eje. Hallar la inducción magnética en: (a) el centro del hemisferio; (b) el punto más alejado del centro del hemisferio; (c) en un punto cualquiera del eje del hemisferio.

22. Una distribución uniforme de carga rígida Q tiene la forma de una nube esférica de radio R, la cual gira con velocidad angular constante w alrededor de su eje. Hallar la inducción magnética en: (a) el centro de la esfera; (b) en un punto cualquiera del eje dentro de la esfera; (c) en un punto cualquiera del eje fuera de la esfera.

23. Una distribución uniforme de carga rígida Q tiene la forma de una nube cilíndrica de radio R y longitud L, la cual gira con velocidad angular constante w alrededor de su eje. Hallar la inducción magnética en: (a) el centro de una de las bases del cilindro; (b) en un punto cualquiera del eje dentro del cilindro; (c) en un punto cualquiera del eje fuera del cilindro.

24. Una distribución uniforme de carga rígida Q tiene la forma de un tronco de cono de radios R₁ y R₂ (R₁ < R₂) y longitud L, el cual gira con velocidad angular constante w alrededor de su eje. Hallar la inducción magnética en: (a) el centro de la base mayor del tronco de cono; (b) en un punto cualquiera del eje dentro del tronco de cono; (c) en un punto cualquiera del eje fuera del tronco de cono.

25. Una bobina de longitud L tiene n espiras por unidad de longitud y conduce una corriente I. Ubicar el eje z coincidente con el eje de la bobina y con el origen de coordenadas en el centro de un extremo de la bobina. Hallar la inducción magnética en (a) un punto cualquiera dentro de la bobina; (b) un punto cualquiera fuera de la bobina.

26. Una bobina toroidal tiene N espiras distribuidas uniformemente por las que pasa una corriente I. El radio interior del toroide es “a” y el exterior es “b”. Hallar (a) la inducción magnética mayor y menor dentro de la bobina; (b) la relación b/a para que la inducción magnética dentro de la bobina no varíe en más del 20%.

27. Un alambre recto muy largo de radio R conduce una corriente I uniforme. Hallar la inducción magnética: (a) para cualquier punto dentro del alambre; (b) para cualquier punto fuera del alambre.

28. Un alambre recto muy largo de radio “a” que tiene una densidad de corriente axial uniforme J. El alambre tiene una cavidad cilíndrica de radio “b” con eje paralelo al eje del alambre. La distancia entre los ejes es “c”. Demostrar que la inducción magnética es proporcional a J x c/2.

29. Verificar que B = (r /r) x Ñf(x, y, z), donde f(x, y, z) es solución de la ecuación de Laplace, es un campo físicamente realizable (es decir, satisface las ecuaciones de la magnetostática en el vacío). Hallar la densidad de corriente J que produce dicho campo.

CORRIENTES ELÉCTRICAS ESTACIONARIAS: PROBLEMAS

2012-09-27T15:22:00.000-05:00

CORRIENTES ELÉCTRICAS ESTACIONARIAS

1. Una pieza conductora tiene la forma de un tronco de cono recto de longitud L, radio menor a , radio mayor b (a < b) y conductividad g. Hallar la resistencia de la pieza para una corriente axial.

2. Una pieza conductora tiene la forma de un cuarto de arandela circular plana con radio interior a, radio exterior b (a < b), espesor uniforme h y conductividad g. Hallar la resistencia eléctrica (a) entre las caras de los extremos; (b) entre las caras planas superior e inferior; (c) entre los lados curvos.

3. Una pieza conductora tiene la forma de una esfera hueca con radio interior a, radio exterior b (a < b) y conductividad g. Hallar la resistencia eléctrica si la corriente es radial.

4. Una pieza conductora tiene la forma de un cilindro hueco con radio interior a, radio exterior b (a < b), largo L y conductividad g. Hallar la resistencia eléctrica (a) si la corriente es radial; (b) si la corriente es axial.

5. Un alambre cilíndrico muy largo de radio a y conductividad g está recubierto por un material conductor de conductividad 0.1g. (a) Hallar el grosor del revestimiento para que la resistencia por unidad de longitud sea el 40% de la resistencia por unidad de longitud del alambre no recubierto. (b) Suponiendo una corriente axial total I en el alambre recubierto, hallar el campo eléctrico E y la densidad de corriente J en los dos materiales.

6. En un capacitor de placas planas y paralelas, las placas tienen área A y están separadas por una distancia d. Entre las placas se coloca una placa de dieléctrico imperfecto de conductividad g, área A y espesor d de modo de ocupar todo el espacio. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las placas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre placas; (b) la densidad de corriente y la corriente entre las placas; (c) la resistencia eléctrica del dieléctrico y la capacidad del capacitor.

7. En un capacitor esférico, la esfera conductora maciza tiene radio a y la esfera conductora hueca tiene radio interior b. Entre las esferas se coloca una capa de dieléctrico imperfecto de conductividad g de modo de ocupar todo el espacio. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las esferas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre las esferas conductoras; (b) la densidad de corriente y la corriente entre las esferas conductoras; (c) la resistencia eléctrica del dieléctrico y la capacidad del capacitor.

8. En un capacitor cilíndrico de longitud L, el cilindro conductor macizo tiene radio a y el cilindro conductor hueco tiene radio interior b. Entre los cilindros se coloca una capa de dieléctrico de conductividad g de modo de ocupar todo el espacio. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre los cilindros conductores. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre los cilindros; (b) la densidad de corriente y la corriente entre los cilindros conductores; (c) la resistencia eléctrica del dieléctrico y la capacidad del capacitor.

9. la polarización en ambos dieléctricos; (c) las densidades de carga de polarización en los dos dieléctricos; (d) las cargas eléctricas libres en ambos cilindros conductores; (e) la capacidad del capacitor; (f) la energía potencial eléctrica almacenada.

10. En un capacitor de placas planas y paralelas, las placas tienen área A y están separadas por una distancia 2d. Entre las placas se colocan dos placas de dieléctricos imperfectos de conductividades g₁ y g₂ , área A y espesor d de modo de ocupar todo el espacio. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las placas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico en las placas de dieléctrico; (b) la densidad de corriente y la corriente en las placas de dieléctrico; (c) la resistencia eléctrica entre las placas conductoras y la capacidad del capacitor.

11. En un capacitor esférico, la esfera conductora maciza tiene radio a y la esfera conductora hueca tiene radio interior c. Entre las esferas se colocan dos capas de dieléctricos imperfectos de conductividades g₁ y g₂ de modo de ocupar todo el espacio; la superficie esférica que separa ambos dieléctricos tiene radio b (a < b < c). Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las esferas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre las esferas conductoras; (b) la densidad de corriente y la corriente entre las esferas conductoras; (c) la resistencia eléctrica del dieléctrico y la capacidad del capacitor.

12. En un capacitor cilíndrico de longitud L, el cilindro conductor macizo tiene radio a y el cilindro conductor hueco tiene radio interior c. Entre los cilindros se colocan dos capas de dieléctricos imperfectos de conductividades g₁ y g₂ de modo de ocupar todo el espacio; la superficie cilíndrica que separa ambos dieléctricos tiene radio b (a < b < c). Se establece una diferencia de potencial U₀ entre los cilindros conductores. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre los cilindros; (b) la densidad de corriente y la corriente entre las esferas conductoras; (c) la resistencia eléctrica del dieléctrico y la capacidad del capacitor.

13. Dos placas conductoras y paralelas de área A están separadas una distancia d. Las placas están en x = 0 y en x = d. El espacio entre las placas se rellena con material óhmico homogéneo cuya conductividad está dada por g(x) = (g₂ - g₁) x /d + g₁. Se mantiene una diferencia de potencial eléctrico U₀ entre las placas. Hallar (a) la resistencia eléctrica entre placas; (b) las densidades superficiales de carga en las placas.

14. En un capacitor de placas planas y paralelas, las placas tienen área A y están separadas por una distancia d. Entre las placas se colocan dos placas de dieléctricos con pérdidas de conductividades g₁ y g₂ , área A y espesores d₁ y d₂ de modo de ocupar todo el espacio( d = d₁ + d₂). Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las placas conductoras. Hallar: (a) la densidad de corriente eléctrica entre las placas conductoras; (b) el campo eléctrico en los dieléctricos con pérdidas.

15. En un capacitor esférico, la esfera conductora maciza tiene radio a y la esfera conductora hueca tiene radio interior c. Entre las esferas se colocan dos capas de dieléctricos con pérdidas de conductividades g₁ y g₂ de modo de ocupar todo el espacio; la superficie esférica que separa ambos dieléctricos tiene radio b (a < b < c) . Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las esferas conductoras. Hallar: (a) la densidad de corriente eléctrica entre las esferas conductoras; (b) el campo eléctrico en los dieléctricos con pérdidas.

16. En un capacitor cilíndrico de longitud L, el cilindro conductor macizo tiene radio a y el cilindro conductor hueco tiene radio interior c. Entre los cilindros se colocan dos capas de dieléctricos con pérdidas de conductividades g₁ y g₂ de modo de ocupar todo el espacio; la superficie cilíndrica que separa ambos dieléctricos tiene radio b (a < b < c). Se establece una diferencia de potencial U₀ entre los cilindros conductores. Hallar: (a) la densidad de corriente eléctrica entre los cilindros conductores; (b) el campo eléctrico en los dieléctricos con pérdidas.

ELECTROSTÁTICA EN DIELÉCTRICOS: PROBLEMAS

2012-09-27T11:39:00.000-05:00

ELECTROSTÁTICA EN DIELÉCTRICOS: PROBLEMAS

1. Un cilindro de dieléctrico de sección A está en el eje x desde x = 0 hasta x = L. La polarización del dieléctrico es lo largo del eje x , está dada por: (a) P_x = k; (b) P_x = ax + b; (c) P_x = ax² + b. Hallar las densidades de carga de polarización volumétrica y superficial para el dieléctrico. Demostrar en cada caso que la carga total de polarización es cero.

2. Un cubo de dieléctrico de arista L tiene el origen de coordenadas en el centro. La polarización del dieléctrico está dada por: (a) P_x = k; (b) P_x = ax + b; (c) P_x = ax² + b; (d) P = A r. Hallar las densidades de carga de polarización volumétrica y superficial para el dieléctrico. Demostrar en cada caso que la carga total de polarización es cero.

3. Una esfera de dieléctrico de radio R tiene el origen de coordenadas en el centro. La polarización del dieléctrico está dada por: (a) P_x = k; (b) P_x = ax + b; (c) P_x = ax² + b; (d) P = A r. Hallar las densidades de carga de polarización volumétrica y superficial para el dieléctrico. Demostrar en cada caso que la carga total de polarización es cero.

4. Un cilindro conductor muy largo de radio R y densidad superficial de carga libre s está rodeado de un dieléctrico de permitividad Î. Hallar el campo y el potencial eléctrico en cualquier punto.

5. Una esfera conductora con carga eléctrica Q y de radio R flota sumergida a la mitad en un medio dieléctrico líquido de permitividad Î₁. Por encima del líquido hay un gas dieléctrico de permitividad Î₂. Hallar (a) el campo y el desplazamiento eléctrico en cualquier punto del espacio; (b) la polarización de cada dieléctrico; (c) las densidades de carga de polarización de cada dieléctrico; (d) la energía potencial eléctrica del sistema.

6. Un cilindro conductor con carga eléctrica l por unidad de longitud y de radio R flota sumergido a la mitad en un medio dieléctrico líquido de permitividad Î₁. Por encima del líquido hay un gas dieléctrico de permitividad Î₂. Hallar (a) el campo y el desplazamiento eléctrico en cualquier punto del espacio; (b) la polarización de cada dieléctrico; (c) las densidades de carga de polarización de cada dieléctrico.

7. En un capacitor de placas planas y paralelas, las placas tienen área A y están separadas por una distancia 2d. Entre las placas se colocan dos placas de dieléctricos de permitividades Î₁ y Î₂ , área A y espesor d de modo de ocupar todo el espacio. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las placas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre placas; (b) la polarización en ambos dieléctricos; (c) las densidades de carga de polarización en los dos dieléctricos; (d) las cargas eléctricas libres en ambas placas; (e) la capacidad del capacitor; (f) la energía potencial eléctrica almacenada.

8. En un capacitor de placas planas y paralelas, las placas tienen área A y están separadas por una distancia d. Entre las placas se colocan dos placas de dieléctricos de permitividades Î₁ y Î₂ , área A/2 y espesor d de modo de ocupar todo el espacio. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las placas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre placas; (b) la polarización en ambos dieléctricos; (c) las densidades de carga de polarización en los dos dieléctricos; (d) las cargas eléctricas libres en ambas placas; (e) la capacidad del capacitor; (f) la energía potencial eléctrica almacenada.

9. En un capacitor esférico, la esfera conductora maciza tiene radio R y la esfera conductora hueca tiene radio interior 3R. Entre las esferas se colocan dos capas de dieléctricos de permitividades Î₁ y Î₂ de modo de ocupar todo el espacio; la superficie esférica que separa ambos dieléctricos tiene radio 2R. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las esferas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre las esferas; (b) la polarización en ambos dieléctricos; (c) las densidades de carga de polarización en los dos dieléctricos; (d) las cargas eléctricas libres en ambas esferas conductoras; (e) la capacidad del capacitor; (f) la energía potencial eléctrica almacenada.

10. En un capacitor esférico, la esfera conductora maciza tiene radio R y la esfera conductora hueca tiene radio interior 2R. Entre las esferas se colocan dos capas de dieléctricos de permitividades Î₁ y Î₂ de modo que cada una ocupa la mitad del espacio entre las esferas conductoras. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las esferas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre las esferas; (b) la polarización en ambos dieléctricos; (c) las densidades de carga de polarización en los dos dieléctricos; (d) las cargas eléctricas libres en ambas esferas conductoras; (e) la capacidad del capacitor; (f) la energía potencial eléctrica almacenada.

11. En un capacitor cilíndrico de longitud L, el cilindro conductor macizo tiene radio R y el cilindro conductor hueco tiene radio interior 3R. Entre los cilindros se colocan dos capas de dieléctricos de permitividades Î₁ y Î₂ de modo de ocupar todo el espacio; la superficie cilíndrica que separa ambos dieléctricos tiene radio 2R. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre los cilindros conductores. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre los cilindros; (b) la polarización en ambos dieléctricos; (c) las densidades de carga de polarización en los dos dieléctricos; (d) las cargas eléctricas libres en ambos cilindros conductores; (e) la capacidad del capacitor; (f) la energía potencial eléctrica almacenada.

12. 6. En un capacitor cilíndrico de longitud L, el cilindro conductor macizo tiene radio R y el cilindro conductor hueco tiene radio interior 2R. Entre los cilindros se colocan dos capas de dieléctricos de permitividades Î₁ y Î₂ de modo que cada uno ocupa la mitad del espacio entre los cilindros conductores. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre los cilindros conductores. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre los cilindros; (b) la polarización en ambos dieléctricos; (c) las densidades de carga de polarización en los dos dieléctricos; (d) las cargas eléctricas libres en ambos cilindros conductores; (e) la capacidad del capacitor; (f) la energía potencial eléctrica almacenada.

13. Resolver los problemas 7 al 12 considerando que el dato NO es la diferencia de potencial U₀ entre los conductores sino las carga +Q y –Q de cada conductor.

14. Una esfera dieléctrica de radio R y permitividad Î se coloca dentro de un campo eléctrico inicialmente uniforme E₀. Hallar (a) el potencial y el campo eléctrico en cualquier punto del espacio; (b) la polarización del dieléctrico; (c) las densidades de carga de polarización y la carga de polarización total.

15. Un cilindro dieléctrico muy largo de radio R y permitividad Î se coloca dentro de un campo eléctrico inicialmente uniforme E₀. El eje del cilindro es perpendicular al campo eléctrico E_0. Hallar (a) el potencial y el campo eléctrico en cualquier punto del espacio; (b) la polarización del dieléctrico; (c) las densidades de carga de polarización.

16. Supongamos que el espacio está ocupado por un dieléctrico de permitividad Î. Además hay un campo eléctrico uniforme E₀. Se practica un hueco en el dieléctrico en forma de una cavidad esférica de radio R. Hallar el campo eléctrico dentro de la cavidad esférica.

17. Una pieza de dieléctrico de permitividad Î tiene la forma de una esfera hueca de radio interior R₁ y radio exterior R₂. En el centro hay una carga puntual +Q. Hallar: (a) el potencial, el campo, el desplazamiento eléctrico y la polarización en cualquier punto del dieléctrico; (b) las densidades de carga de polarización y la carga total de polarización; (c) la energía potencial eléctrica del sistema.

18. En un capacitor de placas planas y paralelas, las placas conductoras están en x = 0 y x = d. Se rellena todo el espacio entre placas con un dieléctrico cuya permitividad es Î(x) = (Î₂ - Î₁) x /d + Î₁. Hallar la capacidad del capacitor.

19. En un capacitor cilíndrico de longitud L, el cilindro conductor macizo tiene radio R₁ y está a potencial U₀ mientras que el cilindro conductor hueco tiene radio interior R₂ y está a potencial cero. Entre los cilindros se coloca un dieléctrico de permitividad Î de modo de ocupar todo el espacio. Hallar: (a) el campo eléctrico en la superficie del conductor macizo. (b) Manteniendo fijo el radio R₂ del cilindro hueco, hallar el valor de R₁ para el cual el campo eléctrico en la superficie del cilindro macizo sea mínimo. (c) Hallar dicho campo mínimo.

20. En un capacitor cilíndrico muy largo, el espacio entre los conductores interior y exterior está lleno con una nube de carga cuya densidad volumétrica está dada por r(r) = A/r para R₁ < r < R₂. El cilindro conductor interior se mantiene a potencial U₀ y es exterior a potencial cero. Hallar el potencial eléctrico en la región de la nube de carga resolviendo la ecuación de Poisson.

ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO

2012-09-27T10:18:00.002-05:00

ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO

Trata de los fenómenos relacionados con cargas eléctricas con conductores cargados eléctricamente en reposo en el vacío. En estos casos se generan campos vectoriales estáticos (campos eléctricos estáticos) y campos escalares estáticos (potenciales eléctricos estáticos).

Los campos estáticos se caracterizan por no depender del tiempo; a lo más dependen de las variables espaciales. Es decir, el campo electrostático E = E(r) y el potencial electrostático U = U(r).

Estando las cargas eléctricas en reposo, las densidades de carga no dependen del tiempo sino solamente de las variables espaciales. La densidad volumétrica de carga eléctrica r = r(r) en C/m³, la densidad superficial s = s(r) en C/m² y la densidad lineal de l = l(r) en C/m. En consecuencia, las variaciones en el tiempo del campo y el potencial son iguales a cero.

Por otra parte, al estar en reposo las cargas eléctricas, no hay corrientes eléctricas presentes J = J(r) y por tanto no hay campos magnéticos: B = 0, H = 0.

Debido a que los fenómenos se dan en el vacío, es decir en ausencia de dieléctricos, la relación entre el desplazamiento eléctrico D y el campo eléctrico E será D = Î_o E donde la permitividad del vacío es Î_o = 9 x 10^-12 F/m

ECUACIONES DE LA ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO

De las ecuaciones de Maxwell se deduce las siguientes ecuaciones diferenciales:

Î_o Ñ. E = r

Ñ x E = 0

Aplicando los teoremas de la divergencia y de Stokes obtenemos las ecuaciones integrales respectivas:

La primera ecuación es la expresión de lo que en Física General se denominó ley de Gauss y que ahora es solamente una propiedad deducida de las ecuaciones de Maxwell. En la ecuación integral la superficie S es una superficie cerrada cuya forma es arbitraria y que en consecuencia se elige de modo conveniente según la geometría de cada problema. El vector unitario n es un vector normal a la superficie cerrada S apuntando hacia el exterior. Por otra parte, V representa el volumen encerrado por la superficie cerrada S.

El significado de la primera ecuación es que las líneas del campo electrostático son siempre líneas abiertas que nacen de una carga positiva y llegan a una negativa. En caso que solamente hubiera cargas positivas o cargas negativas, las líneas de campo son abiertas y van hacia el infinito o proceden de allí. Equivalentemente, el significado de la primera ecuación es que los monopolos eléctricos sí existen; es decir que se pueden aislar cargas eléctricas positivas o negativas.

La segunda ecuación expresa que el campo electrostático es conservativo; es decir, que el trabajo en trasladar una carga eléctrica dentro de un campo electrostático no depende de la trayectoria seguida sino solamente de los puntos de partida y de llegada. Lo equivalente a esto último es que el trabajo en trasladar una carga eléctrica dentro del campo electrostático a lo largo de una trayectoria cerrada es siempre cero.

La integral de E . n dA sobre la superficie S, representa el flujo eléctrico que atraviesa la superficie S y que está relacionado con las líneas de campo que atraviesan S.

La integral de la densidad de carga representa la carga eléctrica neta encerrada por la superficie S y que yace en el volumen V.

En consecuencia la ley de Gauss establece que el flujo eléctrico que cruza la superficie S es proporcional a la carga eléctrica encerrada por S.

CAMPO DE UNA CARGA ELÉCTRICA

Sea una carga eléctrica q en reposo en el vacío. Aplicando ley de Gauss para una superficie S esférica de radio r con centro en la carga se obtiene:

Î_o E 4p r² = q

E = q / 4pÎ_o r² para todo r > 0

El campo eléctrico cerca de la carga es intenso y luego decrece rápidamente con el cuadrado de la distancia a la carga. Cuando la distancia r tiende al infinito el campo tiende a cero, lo cual satisface la necesidad que el campo eléctrico E creado por una distribución de carga sea finito y único para cada punto del espacio.

La ley de Gauss constituye un camino para determinar campos creados por distribuciones de carga que guarden la simetría apropiada que permita sacar de la integral el módulo del campo eléctrico.

CAMPO ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA

Dada una distribución de carga, se puede determinar el campo eléctrico producido por ella tomando un diferencial de carga dq en una posición general dentro de la distribución de carga y usando el resultado anterior:

dE = dq / 4pÎ_o r²

Debido al carácter vectorial del campo eléctrico, se puede obtener cada componente de E usando integrales de funciones escalares.

La otra posibilidad es realizar un análisis previo de la dirección final del campo eléctrico buscado en un problema determinado, para luego decidir si con una o dos integrales de funciones escalares se obtiene el campo buscado.

POTENCIAL ELÉCTROSTÁTICO

Usando una propiedad vectorial, de la ecuación Ñ x E = 0 se puede deducir que:

E = - Ñ U

La función escalar U(r) es el potencial electrostático que se mide en voltios (V). El potencial eléctrico es por tanto un campo escalar de manera que U sea finito y único para cada punto del espacio.

Se ha elegido el signo negativo con el fin que el campo eléctrico E apunte en la dirección decreciente del potencial eléctrico U.

Es claro que si conociéramos el potencial eléctrico U para puntos de una región del espacio, podemos determinar el campo eléctrico de E = - Ñ U para los puntos de esa región.

De la ecuación E = - Ñ U podemos deducir:

E . dr = - Ñ U . dr = - dU

Integrando sobre una línea abierta desde un punto de referencia hasta un punto P obtenemos:

U_P – U_ref = - integral de E . dr

Tomando U_ref = 0 obtenemos que:

U_P = -integral de E . dr desde el punto de referencia hasta el punto P

Esta expresión permite determinar el potencial eléctrico en un punto cualquiera a partir de una integral de línea desde un punto de referencia que puede tomarse en cualquier lugar del espacio. Lo único que se manifiesta físicamente es la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos, la cual no depende de dónde se toma el punto de referencia.

POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA CARGA

Sabemos que el campo creado por una carga q está dado por:

E = q / 4pÎ_o r² para todo r > 0 en la dirección radial: E = E u_r

Tomado el gradiente de este campo y anteponiendo el signo negativo tendremos:

U = q / 4pÎ_o r para todo r > 0

Es obvio que en este caso el punto de referencia está en el infinito. Si la carga es positiva, el potencial también lo será en todos los puntos del espacio. En caso que la carga fuese negativa, el potencial será también negativo en todos los puntos del espacio.

POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA

En estos casos se toma un diferencial de carga dq que producirá un diferencial de potencial eléctrico dU dado por:

dU = dq / 4pÎ_o r para todo r > 0

Siendo el potencial eléctrico un escalar, se puede determinar U haciendo una integral sobre toda la distribución de carga.

PROPIEDADES DEL CAMPO Y EL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO

Se puede demostrar usando las ecuaciones de la electrostática un conjunto de propiedades que es conveniente recordar.

En condiciones electrostáticas:

1. La carga eléctrica en un conductor se distribuye solamente en su superficie. En estos casos se tendrá una densidad superficial de carga s = s(r) en C/m².

2. La densidad superficial de carga en conductores cargados es inversamente proporcional al radio de curvatura de la superficie. Esto quiere decir que siendo el radio de curvatura muy pequeño en las puntas, en ellas se concentra una gran cantidad de carga eléctrica.

3. El campo eléctrico dentro de un conductor es siempre cero.

4. El campo eléctrico en la superficie de un conductor no es cero y es normal a la superficie.

5. El valor del campo eléctrico en la superficie de un conductor es proporcional a la densidad superficial de carga que hay en ella: E_S = s / Î_o

6. El potencial eléctrico es el mismo en todos los puntos de la superficie de un conductor. Por tanto, la superficie de un conductor es una superficie equipotencial.

7. El potencial eléctrico dentro de un conductor es el mismo que en la superficie.

ECUACIONES DE LAPLACE Y POISSON: PROBLEMAS

2012-09-17T18:01:00.001-05:00

TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

PROBLEMAS 03

1. Dos esferas conductoras huecas, muy delgadas y concéntricas tienen radios a y b ( a < b) y están cargadas a los potenciales U_a y U_b respectivamente. Hallar el potencial y el campo eléctrico para las tres regiones: 0 < r < a, a < r < b, r > b.

2. Dos cilindros conductores huecos, muy delgados, muy largos y coaxiales tienen radios a y b ( a < b) y están cargadas a los potenciales U_a y U_b respectivamente. Hallar el potencial y el campo eléctrico para las dos regiones: 0 < r < a, a < r < b.

3. Dos placas conductoras, muy delgadas y paralelas está ubicadas en x = 0 y x = d y están cargadas a los potenciales U₀ y U_d respectivamente. Hallar el potencial y el campo eléctrico para la región 0 < x < d.

4. Una esfera conductora de radio R que tiene una carga total Q se coloca en un campo eléctrico inicialmente uniforme E_o. Hallar (a) el potencial y el campo eléctrico en cualquier punto del espacio; (b) la densidad superficial de carga eléctrica en la superficie de la esfera.

5. Un cilindro conductor muy largo de radio R y que no tiene carga neta, se coloca dentro de un campo eléctrico inicialmente uniforme E_o , perpendicular al eje del cilindro. Hallar (a) el potencial y el campo eléctrico en cualquier punto del espacio; (b) la densidad superficial de carga eléctrica en la superficie del cilindro.

6. Un cilindro conductor muy largo de radio R y que tiene carga neta Q, se coloca dentro de un campo eléctrico inicialmente uniforme E_o , perpendicular al eje del cilindro. Hallar (a) el potencial y el campo eléctrico en cualquier punto del espacio; (b) la densidad superficial de carga eléctrica en la superficie del cilindro.

7. Un cilindro conductor muy delgado y largo, de radio R es dividido a lo largo de su eje en dos partes. El potencial en el cilindro es: U(R, f) = V/2 para 0 < f < p; U(R, f) = - V/2 para p < f < 2p. Hallar el potencial eléctrico para las regiones interior y exterior del cilindro.

8. Un cilindro conductor muy delgado y largo, de radio R es dividido a lo largo de su eje en cuatro partes (cuadrantes). El potencial en el cilindro es: U(R, f) = V/2 para 0 < f < p/2; U(R, f) = 0 para p/2 < f < 3p/2; U(R, f) = - V/2 para 3p/2 < f < 2p. Hallar el potencial eléctrico para las regiones interior y exterior del cilindro.

9. En una nube esférica de carga de radio R la carga Q está distribuida uniformemente. Hallar el potencial eléctrico integrando la ecuación de Poisson. Verificar el resultado integrando sobre la distribución de carga.

10. Un cilindro coaxial muy largo de radios a y b contienen una nube electrónica cuya densidad volumétrica es r = k/r para a < r < b. El cilindro interior se mantiene a un potencial U_o y el cilindro exterior está puesto a tierra. Hallar el potencial eléctrico para la región a < r < b resolviendo la ecuación de Poisson.

11. Un cono conductor infinito está en posición invertida con su eje en el eje z y su vértice en z = 0. El ángulo del cono es a y está cargado al potencial U_o. En el plano xy hay una placa conductora conectada a tierra. La placa y el cono están aislados eléctricamente. Hallar (a) el potencial U(q) en la región a< q < p/2; (b) el campo eléctrico en la región a< q < p/2; (c) las densidades de carga superficial del cono y del plano puesto a tierra.

ELECTROSTATICA EN EL VACÍO - 2: PROBLEMAS

2012-08-27T22:56:00.000-05:00

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y ELÉCTRICA

TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

PROBLEMAS DE ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO - 2

1. Un disco circular de radio R tiene una densidad de carga superficial uniforme s: Hallar el campo y el potencial eléctrico en cualquier punto del eje del disco (eje z con origen de coordenadas en el centro del disco).

2. Una distribución de carga tiene la forma de un cilindro de radio R y longitud L y está dada por la expresión: r(z) = A + B z (A y B constantes) respecto al eje z del cilindro con origen en el centro del cilindro. Hallar el campo y el potencial eléctrico en (a) el centro del cilindro; (b) en un punto cualquiera del eje z.

3. Dos cargas puntuales (-q) y (+q/n) donde n es un entero positivo están el origen de coordenadas y en el punto (a, 0, 0) respectivamente. (a) ¿En qué punto del eje x se anula el campo eléctrico?; (b) ¿Es este punto un mínimo del potencial eléctrico?; (c) Demostrar que la superficie equipotencial U = 0 tiene forma esférica; (d) Hallar las coordenadas del centro de la esfera anterior.

4. Una distribución de carga uniforme tiene la forma de un cilindro de radio R y longitud L y está dada por r. Hallar el potencial y el campo eléctrico en un punto cualquiera del eje del cilindro exterior a la distribución de carga.

5. El máximo campo eléctrico que puede resistir el aire sin conducir corriente es de 3 x 10⁶ V/m. (a) Hallar el máximo potencial eléctrico de un conductor esférico de radio R. (b) Hallar el radio de un conductor esférico que almacene 1 C de carga.

6. El campo eléctrico en la atmósfera es de 200 V/m en la superficie de la Tierra y de 20 V/m a 1400 m de altura, ambos dirigidos hacia abajo. Hallar el signo y el valor de la densidad media de carga, en forma de iones, en la atmósfera por debajo de 1400 m.

7. Se tiene una nube de carga en forma esférica de radio R. Hallar las expresiones del campo, el potencial eléctrico y la energía potencial eléctrica para las siguientes distribuciones de carga: (a) r = r₀ ; (b) r(r) = A/r ; (c) r(r) = A (1 – r/R); (d) r(r) = A r^1/2; (e) r(r) = A rⁿ.

8. (a) Hallar la densidad de carga r(r) que podría producir un campo eléctrico radial E = kq/rⁿ. (b) Hallar el potencial eléctrico de este campo.

9. Una carga q en un medio semiconductor tiene un potencial eléctrico de apantallamiento dado por U(r) = kq e^-r/^l/r . Hallar (a) el campo eléctrico; (b) la densidad de carga que genera dicho potencial.

10. Una nube de carga tiene la forma de dos cilindros coaxiales de radios a y b (b > a). La densidad de carga para la región a < r < b es r(r) = A e ^–crHallar el campo eléctrico para todos los puntos del espacio.

11. Un campo eléctrico radial en coordenadas cilíndricas está dado por E(r) = E₀ (r/a)³ para 0 < r < a, y E = 0 para todo otro punto. Encontrar la densidad de carga que genera dicho campo.

12. Las componentes de un campo eléctrico en coordenadas esféricas para la región r > a está dado por E_r = 2A cos q/r³ , E_q = A sen q/r³ , E_f = 0. Hallar la densidad de carga que genera este campo.

13. Dos alambres rectos muy delgados con densidades lineales de carga +l y - l están ubicados en el eje z desde d hasta +infinito y desde d hasta –infinito, respectivamente. (a) Hallar el potencial eléctrico en coordenadas cilíndricas; (b) Hallar la componente radial del campo eléctrico.

14. Las cargas -q y Q (Q = - 4 q) están ubicadas en el eje x en las posiciones x = -d y x = 0 respectivamente. (a) Hallar la ecuación de la línea de campo correspondiente a E(P) = 0. (b) Hallar la posición del punto P para el cual la línea de campo corta al eje x.

15. Sea d la distancia entre dos alambres rectos muy largos y paralelos. Los alambres tienen densidades de carga +l y -l respectivamente. Demostrar que las ecuaciones de las líneas de campo son circunferencias.

16. Hallar las ecuaciones diferenciales para una línea de campo en coordenadas cilíndricas.

ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO - 1: PROBLEMAS

2012-08-21T15:33:00.002-05:00

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y ELÉCTRICA

PROBLEMAS 01

TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO

Un disco de radio R tiene una distribución superficial de carga s. Hallar (a) el campo eléctrico y el potencial eléctrico en un punto del eje del disco, a una distancia z del centro del disco. (b) Ubicar los puntos del eje del disco donde hay un campo o un potencial máximo; hallar estos valores.
Un hemisferio de radio R tiene una distribución superficial de carga de s. Hallar (a) el potencial y el campo eléctrico en el centro de la esfera a la cual pertenece el hemisferio; (b) el potencial y el campo en un punto del eje del hemisferio, dentro de él; (c) el potencial y el campo en un punto del eje del hemisferio, fuera de él.
Una superficie cilíndrica de radio R y longitud L tiene una distribución superficial de carga s en su superficie lateral. Hallar (a) el potencial y el campo eléctrico en el centro de una de las bases del cilindro; (b) en un punto del eje del cilindro, dentro de él; (c) en un punto del eje del cilindro, fuera de él.
Un casquete de esfera muy delgado de radio R tiene una distribución de carga de s. Hallar (a) el potencial y el campo eléctrico en el centro de la esfera; (b) en un punto del diámetro de la esfera, dentro de ella; (c) en un punto de la recta que pasa por el centro de la esfera pero fuera de ella.
Una superficie metálica tiene la forma de un tronco de cono recto de longitud L y radios “a” y “b” (a < b). La distribución de carga en la superficie lateral del tronco es s. Calcular el campo y el potencial eléctrico en el centro de la base mayor del tronco de cono.
Un cilindro circular recto de radio R y longitud L contiene una densidad volumétrica de carga P. Calcular el potencial eléctrico en un punto del eje del cilindro pero exterior a él.
El máximo campo eléctrico que resiste el aire antes de convertirse en conductor es de 3 000 000 V/m. Calcular el máximo potencial eléctrico posible de un conductor esférico cargado de 0.2 m de radio.
Una nube esférica de carga tiene una densidad volumétrica de carga igual a k/r. Determinar (a) el campo y el potencial eléctrico en cualquier punto del espacio; (b) la energía potencial eléctrica de la nube.
Se colocan 8 cargas puntuales Q en los vértices de un cubo de arista “a”. Determinar la energía potencial eléctrica del sistema de cargas.
Una nube esférica de carga de radio R contiene carga Q. Calcular la energía potencial eléctrica de la nube de carga.
Una esfera maciza metálica de radio R tiene una carga Q en su superficie. Determinar la energía potencial eléctrica de la esfera cargada.
El potencial eléctrico en la superficie de una esfera maciza metálica de radio R es U. Determinar la energía potencial eléctrica de la esfera cargada y la densidad de carga superficial.
En un capacitor esférico la esfera interior tiene radio “a” y está a potencial U, mientras que la esfera exterior tiene radio “b” y está a potencial -U. Calcular: (a) el potencial y el campo eléctrico en r = (a+b)/2; (b) la energía potencial eléctrica almacenada; (c) la carga eléctrica en cada esfera.
En un capacitor cilíndrico de longitud L, el cilindro interior tiene radio “a” y está a potencial U, mientras que el cilindro exterior tiene radio “b” y está a potencial -U. Calcular: (a) el potencial y el campo eléctrico en r = (a+b)/2; (b) la energía potencial eléctrica almacenada; (c) la carga eléctrica en cada esfera.
En un capacitor de placas planas y paralelas de área A y distancia d entre las placas, una placa está a potencial U, mientras que la otra está a -U. Calcular: (a) el potencial y el campo eléctrico en x = d/3; (b) la energía potencial eléctrica almacenada; (c) la carga eléctrica en cada placa.

INTRODUCCIÓN

2012-08-21T15:05:00.002-05:00

CAMPOS ELECTROMAGNETICOS

APROXIMACIONES

1.       Secuencia: Histórica o lógica.

2.       Formulación: Macroscópica o microscópica.

3.       Tratamiento: Relativístico o no relativístico.

La secuencia histórica ya fue seguida en los cursos de Física General en los cuales se partía de lo particular, Ley de Coulomb por ejemplo, para llegar a lo general, las ecuaciones de Maxwell. Debido a los conocimientos físicos y matemáticos que los estudiantes ya tienen, se prefiere por razones formativas, seguir una secuencia lógica en la cual se postula la validez de las ecuaciones de Maxwell para explicar todos los fenómenos electromagnéticos y a partir de ellas se deducen todas las propiedades y casos particulares que antes se denominaban leyes.

La formulación microscópica que parte de las cargas eléctricas fundamentales y de la emisión discreta de la radiación electromagnética, además de requerir conocimientos previos especiales, no ayuda a los estudiantes a comprender completamente los modelos explicativos de los campos electromagnéticos. La formulación macroscópica de la teoría de campos electromagnéticos en la materia permite entender mejor los fenómenos y las propiedades macroscópicas eléctricas y magnéticas de la materia. La formulación macroscópica usa cantidades físicas promediadas sobre elementos de volumen, ignorando las variaciones microscópicas debido a la estructura molecular de la materia: E = <e>. Las ecuaciones de Maxwell de las que partiremos utilizan precisamente esos campos promediados y por tanto constituyen las ecuaciones de la electrodinámica del medio continuo a lo cual se le denomina electrodinámica clásica.

Si bien un tratamiento inicial relativista sería aconsejable en una secuencia lógica, la experiencia docente aconseja seguir un tratamiento no relativista del electromagnetismo de medios en reposo y sólo al final introducir la relatividad especial.

En consecuencia, seguiremos una secuencia lógica del electromagnetismo usando una formulación macroscópica no relativista del medio continuo.

CONCEPTOS CLÁSICOS

En el desarrollo del electromagnetismo usaremos conceptos clásicos.

a) Espacio

Supondremos que el espacio en el que se desenvuelven los fenómenos electromagnéticos es tridimensional y está representado completamente por la geometría de Euclides y sus propiedades. Este espacio tiene las propiedades de ser abierto, infinito, homogéneo e isotrópico.

b) Tiempo

En el concepto de tiempo clásico consideramos que el tiempo no tuvo inicio ni tendrá final. El tiempo transcurre siempre en la dirección del pasado hacia el futuro, a un mismo ritmo, no se detiene y es independiente del espacio (no importa donde lo midamos), del campo gravitacional (no importa si estamos cerca de una estrella, un planeta o lejos de toda masa) y de la velocidad con la que se mueve quien lo mida.

c) Masa

No diferenciaremos entre masa inercial y gravitacional. La masa de un objeto es constante, no importa cómo o dónde se la mida, y por ello se representa como un escalar y no como tensor. Además la masa de un objeto es independiente de la velocidad con la que se mueva. Finalmente, es aplicable el Principio de Conservación de la Masa, es decir que en un sistema cerrado la masa se conserva. La masa no puede convertirse en energía.

d) Energía

La concepción clásica de la energía es que ella se presenta en la naturaleza en diversas formas y que puede transformarse de una forma a otra pero no convertirse en masa. El Principio de Conservación de la Energía es aplicable en el sentido que en todo sistema aislado, la energía total se conserva.

e) Carga eléctrica

Las cargas eléctricas elementales son positivas o negativas y están siempre asociadas a partículas con masa y son independientes del movimiento que pudieran tener. La carga eléctrica está cuantizada, es decir existen cargas eléctricas elementales:(+e) carga del protón y (-e) carga del electrón. Entre las cargas eléctricas pueden presentarse fuerzas de atracción o repulsión que obedecen a las tres leyes de la mecánica de Newton. Se aplica el Principio de Conservación de la Carga Eléctrica, es decir que en un sistema cerrado la carga eléctrica se conserva.

DEFINICIONES

1. Densidad volumétrica de carga eléctrica

Esta densidad se refiere a la carga eléctrica por unidad de volumen. Considerando una distribución continua de la carga eléctrica q en un volumen V del espacio, definimos su densidad ρ de la siguiente manera:

ρ =dq/dV

La densidad de carga se expresa en el Sistema Internacional de Unidades en C/m³.

Esta definición permite representar a una distribución de carga como una función escalar que en general depende de las tres variables espaciales y del tiempo:

ρ = ρ (r, t) = ρ (x, y, z, t)

En consecuencia, si en un volumen V tengo una distribución volumétrica de carga especificada por ρ (r, t), entonces la carga eléctrica Q contenida en ese volumen en determinado instante, se podrá calcular de la integral de volumen:

Q(t) =

2. Densidad superficial de carga eléctrica

En muchos casos, la carga eléctrica está distribuida en superficies de conductores por ejemplo; en estos casos es mejor usar una densidad superficial de carga:

σ = dq/dA

Esta definición permite representar a una distribución superficial σ de carga como una función escalar que en general depende de las tres variables espaciales y del tiempo:

σ = σ (r, t)

La densidad superficial de carga eléctrica σ se expresa en el Sistema Internacional de Unidades en C/m².

Si en una superficie S tengo una distribución superficial de carga especificada por σ (r, t), entonces la carga eléctrica Q contenida en esa superficie en determinado instante, se podrá calcular de la integral de superficie:

Q(t) =

La integral puede ser sobre una superficie S abierta o cerrada según la superficie en la cual esté distribuida la carga eléctrica.

3. Densidad lineal de carga eléctrica

A veces la carga eléctrica está distribuida en filamentos o alambres muy delgados; en estos casos es mejor usar una densidad lineal de carga definida así:

λ = dq/ds

La densidad lineal de carga eléctrica se expresa en el Sistema Internacional de Unidades en C/m.

Esta definición permite representar a una distribución lineal de carga λ como una función escalar que en general depende de las tres variables espaciales y del tiempo:

λ = λ (r, t)

Si en una curva C tengo una distribución lineal de carga especificada por λ (r, t), entonces la carga eléctrica Q contenida en ese volumen en determinado instante, se podrá calcular de la integral de línea:

Q(t) =

La integral puede ser sobre una línea abierta o cerrada según la curva C en la cual esté distribuida la carga eléctrica.

SYLLABUS

2012-08-21T13:39:00.005-05:00

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y ELÉCTRICA

TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

SYLLABUS

ESCUELAS ACADÉMICO PROFESIONALES: Electrónica-Eléctrica-Telecomunicaciones-Biomédica

CÓDIGO: 190052

NÚMERO DE CRÉDITOS: 4

CICLO: 2024-2

CARÁCTER DEL CURSO: obligatorio

HORAS SEMANALES: 4

DURACIÓN: 16 semanas

SUMILLA:

Ecuaciones de Maxwell. Electrostática en el vacío y en dieléctricos: ley de Coulomb; campo, potencial, flujo, dipolo y energía eléctrica, ecuaciones de Laplace y Poisson. Electrodinámica: corrientes, ecuación de continuidad. Magnetostática en el vacío y en medios magnéticos: campo, potencial vectorial y energía magnética; leyes de Ampere y Biot-Savart. Inducción electromagnética: ley de Faraday e inductancia. Ondas EM en el vacío, dieléctricos perfectos, medios dispersivos y en conductores. Reflexión y transmisión. Guías de onda, cavidades resonantes, líneas de transmisión y antenas.

OBJETIVOS

1. Presentar la teoría electromagnética como un todo coherente con énfasis en la unidad de los fenómenos eléctrico y magnético, tanto en sus bases físicas como en la descripción matemática de las mismas.

2. Relacionar la teoría electromagnética con el mundo práctico de la ingeniería moderna y de sus mas recientes desarrollos.

3. Proveer la base necesaria para el estudio sistemático de la propagación de ondas , de las antenas, los circuitos de transmisión incluyendo las guías de onda, la generación y usos de las microondas, la microelectrónica y la electrónica del estado sólido, etc.

4. Cubrir los aspectos fundamentales de la teoría electromagnética hasta un nivel que permita a los alumnos leer y comprender literatura sobre tópicos específicos y técnicas de diseño en el amplio campo de la electrónica.

5. Desarrollar la estructura lógico-deductiva de la teoría electromagnética, desde un punto de vista macroscópico, usando el Sistema Internacional de Unidades y partiendo de las ecuaciones de Maxwell.

COMPETENCIAS

Competencias específicas

1. Conocimiento y aplicación de herramientas matemáticas básicas.

2. Conocimiento y manejo de los postulados y propiedades del Electromagnetismo.

3. Creación de modelos simplificados para el análisis de sistemas electromagnéticos reales.

4. Conocimiento del funcionamiento básico de elementos de circuitos y máquinas eléctricas.

Competencias instrumentales

1. Capacidad de abstracción, análisis, síntesis, organización y planificación.

2. Conocimiento de una segunda lengua

3. Habilidades de gestión de información (habilidad para buscar y analizar información proveniente de fuentes diversas)

4. Capacidad para identificar, planear y resolver problemas

5. Toma de decisiones.

6. Habilidades básicas de manejo de la computadora

Competencias interpersonales

1. Capacidad crítica y autocrítica

2. Habilidades interpersonales

3. Capacidad de trabajar en equipo interdisciplinario

4. Capacidad de comunicarse con profesionales de otras áreas

5. Compromiso ético

Competencias sistémicas

1. Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica

2. Habilidades de aprender e investigar en forma autónoma o en grupo.

3. Capacidad de adaptarse a nuevas situaciones

4. Capacidad de generar nuevas ideas (creatividad)

5. Liderazgo

6. Habilidad para trabajar en forma autónoma

7. Búsqueda del logro

CAPACIDADES

1. Resuelve problemas de transformación de coordenadas y sus aplicaciones

2. Desarrolla los operadores vectoriales en coordenadas cilíndricas y esféricas

3. Resuelve problemas de electrostática y sus aplicaciones usando las leyes de Coulomb, de Gauss

4. Estudia y discute modelos usando las simetrías de los problemas de electrostática y magnetostáticas

5. Resuelve problemas de magnetostática usando las leyes de Biot-Savart y la ley de Ampere, así como las ecuaciones de Maxwell

MÉTODO

1. El desarrollo del curso sigue un método deductivo que partiendo de las ecuaciones de Maxwell permite deducir cualquier caso particular haciendo las demostraciones pertinentes.

2. Durante las clases se relacionan permanentemente los conceptos con las aplicaciones dando un enfoque teórico-práctico al curso.

3. Las matemáticas constituyen el lenguaje natural para la expresión de los modelos utilizados y el análisis de los mismos, así como la representación gráfica de los modelos y sus resultados.

4. Los aspectos históricos en el desarrollo de la teoría electromagnética y los aspectos biográficos de quienes la elaboraron, acompañan el desarrollo del curso.

ESTRATEGIA DIDÁCTICA

1. Aula Invertida Los estudiantes resuelven problemas en casa cuyas dificultades se discuten y aclaran en clases de manera conjunta.

2. Aprendizaje Basado en Problemas (ABP) Deseamos fomentar la investigación y reflexión que siguen los estudiantes para llegar a una solución ante un problema planteado por el profesor.

3. Aprendizaje Basado en Proyectos (ABProy) Trabajo colaborativo en grupos, interesados en aprender mediante el desarrollo de proyectos prácticos que impliquen la aplicación de los contenidos del curso.

EVALUACIÓN

1. Prácticas Calificadas

Se aplicarán dos prácticas calificadas en el ciclo.

2. Exámenes.

Se rendirán dos exámenes: el Examen Parcial a la mitad del ciclo y el Examen Final, ambos con tema acumulativo.

3. Nota Final del curso

La nota final del curso es el promedio ponderado del promedio de prácticas con el promedio de exámenes.

NF = (PPC x 1 + PEX x 2)/3

PROGRAMA

SEMANA 1 INTRODUCCIÓN

Funciones escalares y vectoriales. Operaciones con vectores. Sistemas de coordenadas ortogonales. Gradiente, divergencia y rotacional. Laplaciano escalar y vectorial. Teoremas de Stokes, de Green, de la divergencia y del rotacional. Teorema de Helmholtz.

SEMANA 2 ECUACIONES DE MAXWELL.

Vectores del campo electromagnético. Parámetros. Formas diferencial e integral de las ecuaciones de Maxwell. Flujos eléctrico y magnético. Fuerza electromotriz. Corriente de desplazamiento. Ecuación de continuidad. Polarización y magnetización. Condiciones de contorno del campo EM.

SEMANA 3 ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO

Formas diferencial e integral de las ecuaciones para la electrostática en el vacío. Campo y potencial electrostático. Trabajo. Energía electrostática. Ecuación de Laplace. Capacitores. Ecuación de Poisson.

SEMANA 4 ELECTROSTÁTICA EN DIELÉCTRICOS

Ecuaciones para la electrostática en dieléctricos perfectos: formas diferencial e integral. Condiciones de contorno. Polarización. Densidades de carga de polarización. Campo, potencial y energía. Ecuación de Laplace. Capacitores. Ecuación de Poisson.

SEMANA 5 CORRIENTE DE CONDUCCIÓN

Corriente y densidad de corriente. Principio de conservación de la carga: ecuación de continuidad. Conductividad y resistividad. Ley de Ohm. Efecto Joule. Fuerza electromotriz. Ecuación fundamental del análisis de circuitos. Circuitos. Conducción estacionaria en medios sin fuentes de fem.

SEMANA 6 MAGNETOSTÁTICA EN EL VACÍO

Formas diferencial e integral de las ecuaciones para la magnetostática en el vacío. Campo magnético de corrientes estacionarias. Potencial vectorial. Ley de Biot-Savart. Potencial escalar magnético. Ecuación de Laplace para el potencial escalar magnético.

SEMANA 7 MAGNETOSTÁTICA EN MEDIOS MAGNÉTICOS

Ecuaciones para la magnetostática en medios magnéticos: formas diferencial e integral. Condiciones de contorno. Magnetización. Densidades de corriente de magnetización y polo magnético. Energía magnética. Campo en materiales magnéticos sin corriente.

EXAMEN PARCIAL

SEMANA 8 INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

Ley de Faraday. Ley de Lenz. Fuerza electromotriz y flujo magnético. Corriente inducida. Inductancia propia e inductores. Inductancia mutua. Energía magnética. Inductancias en serie y paralelo. Circuitos.

SEMANA 9 ELECTRODINÁMICA EN MEDIOS SIN PÉRDIDAS

Ecuaciones de Maxwell y condiciones de contorno. Ecuaciones de D’Alambert para E, H, A y U. Ecuación de onda en ausencia de cargas libres, corrientes y fuerzas exteriores. Ecuación homogénea de Helmholtz. Forma compleja de las ecuaciones de Maxwell y de Helmholtz. Onda plana monocromática en un dieléctrico perfecto. Impedancia de onda. Vector de Poynting y balance de energía. Teorema de Poynting. Polarización de ondas planas.

SEMANA 10 REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN EN INTERFACES DIELÉCTRICAS

Reflexión y transmisión en interfaces planas de dieléctricos sin pérdidas. Incidencia normal. Coeficientes de reflexión y transmisión. Materiales ópticamente transparentes: índice de refracción. Incidencia oblicua. Reflexión y transmisión cuando E es paralelo y perpendicular al plano de incidencia. Ecuaciones de Fresnel. Reflexión interna total. Ley de Brewster.

SEMANA 11 ELECTRODINÁMICA EN MEDIOS CON PÉRDIDAS

Remanencia de la polarización y la magnetización. Forma compleja de las ecuaciones de Maxwell y Helmholtz para las amplitudes complejas de E, H, A y U. Ondas planas en medios absorbentes. Polarización de ondas en medios con pérdidas.

SEMANA 12 ONDAS EN CONDUCTORES

Ecuaciones de campo en un medio conductor. Ondas planas en un medio conductor. Distribución de corrientes en conductores: efecto pelicular. Reflexión en una superficie metálica: incidencia normal. Refracción en superficies metálicas.

SEMANA 13 GUÍAS DE ONDA Y CAVIDADES RESONANTES

Propagación de ondas entre placas conductoras paralelas. Ondas TEM, TE y TM. Transmisión de señales. Ondas guiadas. Guía de onda rectangular: ondas TE y TM. Resonador de cavidad.

SEMANA 14 LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

Ecuaciones de las líneas de transmisión. Parámetros. Ondas en líneas de transmisión finitas e infinitas. El diagrama de Smith. Acoplo de impedancias en líneas. Radiación de un dipolo hertziano. Vectores de Hertz. Antenas lineales.

SEMANA 15 RELATIVIDAD ESPECIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

Postulados de Einstein y transformación de Lorentz. Transformaciones ortogonales. Forma covariante de las ecuaciones del electromagnetismo. Ley de transformación para el campo electromagnético. Electrodinámica; potenciales de Lienard-Wiechert. Campo de una carga puntual con MRU y acelerada.

SEMANA 16

EXAMEN FINAL

EXAMEN SUSTITUTORIO

TEXTO DE REFERENCIA:

DAVID K. CHENG: Fundamentos de Electromagnetismo para Ingeniería. Addison Wesley. 2005

BIBLIOGRAFÍA

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14. J.D. JACKSON Classical Electrodynamics. John Wiley. 2008.

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17. J.R. REITZ; F.J. MILDFORD Fundamentos de la Teoría Electromagnética. UTEHA. 1997.

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24. F.D. OTÍN; D.A. GARCÍA; J.R. MARTOS Campos Electromagnéticos. Ed. Alfaomega. 2000

25. D.K. CHENG Field and Wave Electromagnetics. Addison Wesley. 2005.