— Pues yo una vez lo hice todo menos una pieza que estaba mal.
— ¿Que estaba mal? ¿Estaba girada o es que no estaba en su sitio?
— No, no estaba girada, es que no estaba en su sitio.
— ¿Pero había otra mal o solo esa?
— Solo esa.
— Pues no es posible ya que si esa pieza no estaba en su sitio, en el lugar donde debería de estar también habría una pieza que no estaba en su sitio, ¿no?
—...

También me han llegado a decir cosas como:

— Pues yo una vez conseguí resolver 5 caras.
— Uhm, pero ¿la sexta no la hiciste?
— No, la sexta no, solo me faltó esa.
— Pero entonces, si por ejemplo la cara que te faltaba era la roja, ¿dónde estaban las pegatinas rojas en el cubo? No podían estar en ninguna de las otras 5 caras porque si están resueltas tienen las pegatinas de su color, así que si haces 5 caras, la sexta sale sola.
—...

Eso sí, a veces la conversación empieza así:

— Pues yo una vez hice el cubo entero a falta de 2 piezas que tenía que intercambiar.
— Eso no es posible.
— ¿Por qué no es posible?
— Pues porque...

Y aquí ya depende. Si estoy hablando con un matemático por ejemplo, suponiendo que se acuerda de las nociones básicas del grupo de permutaciones, le podría decir:

—Pues porque al partir del cubo resuelto, tanto para mezclarlo como para resolverlo, cada vez que mueves una cara fíjate que la permutación de piezas es par (son dos 4-ciclos) y como la composición de permutaciones pares es una permutación par, la posición del cubo de rubik nunca podrá ser una permutación impar, como es el caso de tener 2 piezas intercambiadas.

Así que querido lector, si tienes las nociones suficientes, quizá con lo que acabas de leer te ha quedado totalmente claro por qué no se puede intercambiar 2 piezas en el cubo de rubik dejando el resto en la misma posición. Y si no, pues lo que acabo de decir te habrá sonado a chino. Si te ha sonado a chino no te preocupes, porque así le va a pasar a la mayoría de los lectores y por otro lado, esta entrada está dedicada a que lo entiendas, voy a explicar con todo detalle el motivo por el que no pueden quedarte solo 2 piezas a intercambiar en el cubo de rubik. Va a ser una entrada larga, pero os aseguro que va a ser totalmente comprensible.

Antes de nada, y para el que no esté muy familiarizado, ¿a qué me refiero por piezas? No, no a las pegatinas sino piezas, lo primero que hay que hacer para intentar resolver el cubo es darse cuenta de que intercambiamos piezas, no tan solo pegatinas. Hay 3 tipos de piezas:

• Los vértices, que son la piezas con 3 pegatinas y que "viven" en 3 caras. Hay 8 en total.
• Las aristas, que son las piezas que tienen 2 pegatinas, las que están en los centros de cada lado dle cubo. Hay 12 en total.
• Los centros, que son las piezas centrales de una cara y tienen una sola pegatina, habiendo 6 en total.

Pues bien, al mezclar o resolver un cubo de rubik, lo que hacemos es girar las caras y al girar cada cara estamos moviendo 4 aristas y 4 vértices, los centros quedan fijos. Si alguien dice que los centros se mueven al girar una capa central, sí, es cierto, pero girar la capa central es equivalente a girar las dos capas laterales a dicha capa, y si lo vemos de esa forma, los centros estarían fijos. Así que las piezas que se van a ir permutando son los vértices por un lado y las aristas por otro, claramente no podemos intercambiar piezas de distinto tipo. Estas piezas también se podrán ir girando, pero no nos vamos a meter en eso ahora. Pero...

¿Qué quiere decir permutar? Pues bien, una definición no formal, pero que podríamos considerar precisa, es que una permutación es intercambiar la posición de unos objetos (formalmente sería una aplicación biyectiva de un conjunto finito en si mismo). Vamos a ver un ejemplo. En la siguiente tabla considero como objetos las letras A, B, C, D, E, F, G y H una al lado de otra en la primera fila. Las vamos a intercambiar mostrando en la segunda fila el resultado de la permutación:

Lo que ha pasado es que B está en la posición de A, D en la de B, F en la de C, H en la de D, C en la de E, E en la de F, A en la de G y G en la de H. Esta permutación la vamos a llamar P1. Pues esto es lo que hacemos cada vez que hacemos una serie de movimientos con el cubo de rubik, permutar piezas. Así que al aplicar unos movimientos se haría una permutación, al hacer otros, obtendríamos una permutación. ¿Y qué pasa cuando aplicamos una permutación y luego otra? Pues que obtenemos una nueva permutación que llamaremos el producto de dos permutaciones. Veamos un ejemplo. Consideremos una nueva permutación que llamaremos P2:

¿Quién será ahora P1*P2? Pues bien, en la primera permutación, A va a la posición de G, y en la segunda permutación G va a la posición de F. Por tanto en el producto A irá a F. Si miramos B, en la primera permutación va a la posición de A que en la segunda permutación va a E. Por tanto B irá a E. Si vamos haciendo esto con todas las letras, al final nos quedará que P1*P2 es

Bueno, ya vais viendo cómo se pueden ir estudiando los movimientos del cubo de rubik con permutaciones (aunque en los ejemplos estamos poniendo permutaciones de 8 elementos cuando el cubo tiene más de 8 piezas). Fijémonos ahora en P1 y veamos qué pares de piezas han intercambiado el orden. Para que no subáis os pongo aquí de nuevo la permutación.

Pues bien, inicialmente B estaba a la derecha de A, sin embargo tras la permutación A está a la derecha (varias posiciones a la derecha de B). Por tanto A y B han intercambiado orden. Sin embargo hay otras parejas que no han intercambiado orden, como por ejemplo B y D. ¿Cuántas parejas han intercambiado el orden? Pues A con B, A con D, A con F, A con H, A con C, A con E, C con D, C con F, C con H, E con F, E con H y H con G. En total hay 12 intercambios de orden que es un número par.

Diremos que una permutación es par cuando tenga un número par de intercambio de orden, y diremos que es impar cuando el número de intercambio de orden es impar.

Vaya, ya empezáis a entender algunas de las cosas que parecían chino, ¿no? Bueno, todavía nos queda explicar algunas cosas más. Hay un tipo particular de permutaciones que nos van a ser muy útiles, los ciclos. ¿Qué es un ciclo? Pues un ciclo es una permutación en la que todos los elementos que se van a mover lo hacen "de forma cíclica", es decir, que si ves a donde se mueve un elemento, ves a donde va después de aplicar la permutación de nuevo y vas viendo por donde va pasando el elemento cada vez que se aplique la permutación, pasará por todas las posiciones que se mueven. Si no queda claro, tranquilos, veamos un ejemplo. Recordemos la permutación P2:

El elemento B y C no se mueven, pero ¿qué pasa con el resto? Pues A va a la posición E, E va a la posición H, H va a la posición G, G va a la posición F, F va a la posición D y D vuelve a la posición A. Vamos, que se mueven de forma cíclica:

.

Como se pasa por todos los elementos salvo los fijos, se tiene que P2 es un ciclo. Como en el ciclo intervienen 6 elementos podemos especificar esto diciendo que además es un 6-ciclo. Para expresar un ciclo, en vez de usar la tabla, podemos hacerlo como hemos hecho antes con las flechitas. Para simplificar la notación podemos quitar la A final ya que sabemos que el ciclo termina por donde empieza y además eliminaremos las flechitas añadiendo unos paréntesis a los lados. Vamos, que el ciclo P2 se puede escribir como

Más sencilla esta escritura, ¿no? Además toda permutación se puede poner como producto de ciclos disjuntos, bueno, salvo la permutación identidad, la que deja todos los elementos fijos, aunque en este caso podríamos decir que es el producto de 0 ciclos. Disjuntos quiere decir que afectan a distintos elementos. ¿Cómo podemos descomponer una permutación como producto de ciclos disjuntos? Pues muy fácil, solo tenemos que coger una permutación y ver el recorrido que va haciendo cada letra. Por ejemplo en P1 A pasa por G, luego H, luego D y luego B, volviendo entonces a A. Y si nos fijamos en las 3 letras restantes, C va a E, luego a F y vuelve a C, con lo que se tiene que

.

Y no solo los ciclos nos van a permitir escribir las permutaciones de forma más sencilla, sino que además nos van a ser muy útiles para saber la paridad de una permutación. ¿Cómo? Pues gracias a los 2-ciclos. Imaginad que tenemos una permutación P cualquiera y la multiplicamos por un 2-ciclo, por ejemplo (C F). Pues bien, al hacer esto, las letras en las posiciones C y F se intercambian con lo que se genera un intercambio de orden (o se deshará en el caso de que ya estuviesen intercambiados). Además, C intercambiaría el orden con D y E, pero es que F también intercambiaría orden con D y E. Así que si contamos los intercambios de orden que se han producido, en total habrá 5, algunos intercambios de orden serán nuevos y otros habrán deshecho intercambios. En cualquier caso, lo que queda claro es que si P era una permutación par, al hacer 5 nuevos intercambios de orden, P*(C F) se habrá vuelto impar e igualmente. Igualmente, si P era impar, esos 5 intercambios harían que P*(C F) fuese una permutación par. Así que:

Multiplicar por un 2-ciclo cambia la paridad de una permutación.

Además, como un 2-ciclo es claramente una permutación impar, al multiplicarlo por otro 2-ciclo se volverá par. Si lo multiplicamos por otro (3 en total) se volverá impar, si añadimos otro (4 en total) será par, y así. Por ello tenemos que

El producto de n 2-ciclos tiene la misma paridad que el número n.

¿Veis ya la importancia de los 2-ciclos? Pero es que todavía es más, cualquier ciclo se puede poner como producto de 2-ciclos. Veámoslo con un ejemplo, el de un 4-ciclo (que es el que nos va a salir en el cubo de rubik). Tenemos por ejemplo que

¿De verdad? Pues claro. La de la izquierda lleva A a B. ¿Y la de la derecha? El primer 2-ciclo no afecta a A, el segundo tampoco, y el tercero lleva A a B. Por ahora bien. ¿Y con B? Debería de ir a C. Pues el primer 2-ciclo no afecta a B, el segundo lleva B a C y una vez en C el tercer 2-ciclo no le afecta. ¿Va C a D? Pues sí, porque así lo hace el primer 2-ciclo y los otros 2 no afectan a D. ¿Va D a A? Claro, el primer 2-ciclo lleva D a C, el segundo C a B y el último B a A. Así que ciertamente se tiene dicha igualdad. Y se puede hacer lo mismo con cualquier ciclo, otro ejemplo:

Es más, si nos fijamos en la descomposición que estamos haciendo, todo n-ciclo se puede poner como el producto de (n-1) 2-ciclos. Y de aquí deducimos que un n-ciclo tiene la misma paridad que n-1.

Recapitulemos un momento, toda permutación se puede poner como producto de ciclos y todo ciclo se puede poner como producto de 2-ciclos. Por tanto:

¡Toda permutación se puede poner como producto de 2-ciclos!

Así que para estudiar la paridad de una permutación, podemos descomponerla en 2-ciclos y contar cuantos tenemos. Observad ahora otra cosa, si tenemos dos permutaciones impares, que se descomponen por ejemplo en n y m 2-ciclos (con n y m impares), el producto de estas dos permutaciones lo podremos descomponer en el producto de n+m 2-ciclos, los n de la primera y los m de la segunda. Así que el producto de estas 2 permutaciones tiene que ser una permutación par ya que n+m lo es. Razonando así con dos pares o con par e impar obtenemos:

• El producto de 2 permutaciones pares es par.
• El producto de 2 permutaciones impares es par.
• El producto de una permutación par por otra impar es impar.

¡Pues ya está! Con toda esta larga explicación, pero sencilla, ya podemos ver por qué no se pueden intercambiar 2 piezas en el cubo de rubik. ¿Por qué? Veamos cualquier posición del cubo de rubik como una permutación de las piezas.

1. Nada más comprarte tu cubo de rubik, cada pieza está en su sitio así que equivale a la permutación identidad que es PAR.
2. Todos los movimientos que hagas con el cubo de rubik se pueden reducir a varios giros de 90 grados de las distintas caras.
3. Cuando giras una cara 90 grados, en realidad estás intercambiando 4 esquina de forma cíclica y 4 aristas de forma cíclica, vamos, que tienes un par de 4-ciclos.
4. Cada 4-ciclo es una permutación impar, pero al tener 2, la permutación será par.
5. Por tanto cada vez que gires una cara estás multiplicando por una permutación par.
6. Conclusión, si partimos de una permutación par (el cubo resuelto) y vamos multiplicándola por permutaciones pares (girar una cara 90 grados), por muchos movimientos que hagamos, siempre seguiremos teniendo una permutación par. Así que nunca podemos tener solamente 2 piezas intercambiadas ya que eso sería una permutación impar.

Espero que haya quedado claro. De todas formas, por si os habéis quedado con ganas de más, no paro aquí. Hace unos pocos años sacaron la siguiente variante del cubo de rubik:

Es un cubo de rubik, pero sin centros, hasta puedes meter el dedo por él (por si os interesa, podéis comprar uno por unos 5 euros, envío incluido, aquí). Pero vamos, como los centros del cubo de rubik son fijos, pues en un principio a la hora de resolverlo debe de ser lo mismo, ¿no? Pues con el ratón girad el siguiente cubo para ver que está resuelto, dadle al play y observad cómo queda:

Por si no podéis ver el applet ya sea porque tengáis algo más instalado o estéis usando un dispositivo portátil, en la animación se ve un cubo sin centros resuelto en el que tras unos movimientos... ¡¡se intercambian 2 piezas!! ¿Cómo es posible esto si en el cubo de rubik con centros no se puede?

Pues esto mismo es una gran sorpresa para la mayoría de la gente que sabe hacer el cubo de rubik. Y lo que me resulta más curioso es que ellos se pregunten que como es posible que pase esto en el cubo sin centros cuando de hecho nunca se han preguntado que por qué no pasa en el cubo estándar.

Así que aquí lo dejo, para que penséis vosotros por qué pasa, aunque no es demasiado difícil dar con ello.

Con esta entrada participo en la Edición 2.10 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Resistencia Numantina.

Imágen de la cuenta de flick de jesus.gil.hernandez

Bueno, pues mi conjetura por entonces era que la ventaja la tendría el del interior, pero no era capaz de comprobarlo, que era muy pequeño yo por entonces. Y lo cierto es que  no se me iba de la cabeza esa pregunta. Recuerdo cuando algo después vi el anuncio de un scalextric y en un momento dado había un cruce pasando el del interior al exterior y viceversa, con eso se solucionaba lo de la ventaja siempre que fuera un número par de vueltas, aunque entonces me preocupaba que los coches chocasen o no al cruzar...

De todas formas, mi cabeza por entonces iba más allá y ya no solo se preguntaba quién tendría ventaja sino incluso me planteaba si se podría diseñar un circuito para que ambos coches tuviesen las mismas posibilidades. Bueno, pues ahora que soy un poco más grande vamos a tratar de ver aquí qué pasa. Vamos a considerar scalextrics planos como el de la foto de arriba, es decir, sin puentes, cruces ni nada de eso.

¿Qué coche recorre menos distancia?

Recuerdo que de pequeño pensaba que tenía que ser el del interior, al menos en el scalextric que vi. Sin embargo en un scalextric hay curvas en los dos sentidos, es decir, en unas curvas uno de los dos coches irá por el interior de dicha curva y en otras curvas será el otro el que vaya por el interior. Así que quizá se podría diseñar algún circuito para que los dos coches recorrieran la misma distancia. ¿Será eso posible? Vamos a ver.

Antes de empezar vamos a fijar nuestro tipo de circuito. Será uno totalmente plano, y la separación de los carriles será siempre la misma y la denotaremos por D, sin cruces ni nada parecido. Además todas las curvas serán trozos de circunferencias, que de hecho creo que así es en el caso de los scalextric (o al menos antes). Además el circuito se recorrerá en el sentido de las agujas del reloj.

Bien, ahora al ir montando el circuito, además de las rectas iremos poniendo trozos de curvas, las curvas a derechas favorecerán al coche que va por el interior del circuito y a izquierdas favorecerán al coche que va por el exterior. Está claro que tiene que haber más curvas a derechas que a izquierdas ya que el circuito da una vuelta, en total 360º de curvas más hacia la derecha (está claro, pero demostrarlo no es tan fácil, pero confiad aquí en vuestra intuición).

¿Qué ventaja tiene el que recorre el interior de la curva? Pues bien, todos sabemos que si tenemos una circunferencia de radio R, la longitud de esta es

medido en la unidad que pongamos el radio. Ahora bien, no nos interesa la longitud de una circunferencia sino de un trozo de esta, digamos que de radianes, para el que no conozca los radianes, una vuelta de circunferencia son radianes así que para pasar de grados a radianes se hace con una simple regla de 3. Pues también con una regla de 3, teniendo en cuenta que la longitud de la circunferencia equivale a $2\pi$ (o 360 grados) tendremos que la longitud de una curva de radianes y radio R es

Si el radio de la curva para el coche que va por el interior de esta es , para el que va por el exterior será y por tanto la longitud que recorre será

¿Cuánto recorre un coche más que el otro? Pues restando las expresiones anteriores obtenemos que la diferencia es , vamos, que la ventaja es directamente proporcional al ángulo.

Observemos que esta diferencia no va a depender del radio de la curva, solo del ángulo que recorre esta. Por tanto, como el que va por el interior del circuito va a ir por el interior de las curvas durante 360º más que el otro, independientemente de cómo esté diseñado el circuito, su recorrido será menor, ¿cuánto? Pues exactamente

.

Así que parece ser que tiene ventaja el que va por el interior!!! ¡Lo sabía! ¡Desde que era un pequeñajo siempre pensé que era así! Pero ¡ojo! ¿Seguro que tiene ventaja el del interior?

¿Quién tiene ventaja realmente?

Se nos ha olvidado tener en cuenta un detalle. Aunque ciertamente el que va por le interior recorre menos distancia, habría que tener en cuenta también que el que va por el exterior, al describir una curva de radio mayor, puede ir más rápido. Ante la pregunta quién tarda menos en recorrer la curva, la respuesta es que claramente el del interior, ¿por qué? Pues basta con ver a Fernando Alonso que suele tomar las curvas por el interior y no por el exterior. Eso sí, quizá ya la ventaja que consiga el del interior ya no sera proporcional al ángulo. Venga, vamos a verlo.

Lo primero, ¿cuál es la velocidad máxima que podría alcanzar el coche sin salirse de la curva? Pues bien, mientras mayor sea la velocidad, mayor será la fuerza que deberá de aguantar el soporte del coche para que este no salte. Supongo que influirán muchos factores, pero vamos a ir a lo sencillo, no vamos a considerar la aerodinámica de los coches, simplemente la fuerza necesaria para tomar una curva. Calculemos primero cuanto es dicha fuerza. Supongamos que un coche está dando vueltas a una velocidad V en un círculo de radio R centrado en el eje de coordenadas. Pues su trayectoria podría describirse con la siguiente función:

donde por t indicamos el tiempo. Derivando la expresión anterior obtendremos la velocidad:

y derivando de nuevo la aceleración:

El módulo de la expresión anterior y por tanto la aceleración que tendrá que soportar el coche será

Por tanto, si es la aceleración máxima que el soporte del coche aguanta, la velocidad máxima será la que cumpla la siguiente ecuación:

y por tanto esta velocidad será

Ahora bien, como la distancia que tenía que recorrer era se tiene que el tiempo que tardará en recorrer dicha curva será

Observad ahora el detalle, ahora sí que influye el radio de la curva, y como era de esperar el que va por el interior de esta (radio menor) tardará menos. ¿Cuánto tiempo le sacará de ventaja el del interior de la curva al exterior? Pues bien, este tiempo será ahora

y esta cantidad sí que va a depender del radio, de hecho mientras mayor sea el radio de la curva, menor será la ventaja que saque el que va por el interior. Por tanto, podríamos diseñar un circuito en el que las curvas a izquierdas tengan un radio muy pequeño y las curvas a derechas muy grande, de forma que a pesar de que haya más curvas a derechas, la ventaja en las curvas a izquierdas sea tan grande que al final compense el ir por el exterior. Vamos, que podemos diseñar el circuito para que la vuelta óptima de cada coche sea la misma o para que tenga ventaja el que queramos de los dos, ya sea el interior o el exterior.

Nota: habría que tener algunas cosas más en cuenta. Aparte de que la aerodinámica de los coches hacen que pueda variar la resistencia del soporte, no he tenido en cuenta que al salir de las curvas cada coche tendrá una velocidad distinta y por tanto al principio de la siguiente recta el que iba por el exterior irá más rápido. En cualquier caso esto sería un punto a favor del que va por el exterior de la curva, lo que refuerza realmente la conclusión final. También habría que tener en cuenta que estamos hablando en todo momento de quien llega antes si hace una carrera perfecta (velocidad al máximo), habría que tener en cuenta que puede ser más difícil por un carril que por otro el acercarnos a esa perfección. En fin, si nos pusiéramos con todos los detalles, no terminaríamos nunca!

Con esta entrada participo en la Edición 2.9 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Que no te aburran las M@TES.

Y bueno, puesto que también estoy hablando de física aprovecho para participar en la XXVI Edición del Carnaval de la Física que se celebra este mes en el blog Cuentos Cuánticos.

- Pregunte por la raíz cúbica de un número entre el 1 y el millón.
- Uhm... raíz cúbica de 673.456.
- 87
Y la respuesta se ha dado al instante. A continuación coge la azafata la calculadora, introduce el número en cuestión, pulsa el botón de la raíz cúbica y de golpe aparece 87,65 con lo que el público empieza a aplaudir ese increíble cálculo...

Pero... ¿realmente es tan increíble? Pues no, en este caso es simplemente una prueba de memoria. ¿Se ha aprendido de memoria la raíz cúbica de un millón de números? No, no, mucho más sencillo, se ha aprendido el cubo de tan solo 100 números, los 100 pirmeros, cosa que cualquier persona podría hacer. Y si sabes que el cubo de 87 es 658.503 y que el cubo de 88 es 681.472, como el número dicho está entre estos dos, pues la parte entera de la raíz (sin decimales) tiene que ser 87. ¿A que no es para tanto? Y bueno, con algún truquillo más, haciendo alguna cuenta no demasiado complicada se puede calcular algún decimal más.

No voy a decir que todas estas calculadoras humanas no tienen grandes capacidades de cálculo. Todo lo contrario, las tienen y con creces, son capaces de hacer muchas operaciones básicas bastante rápido y además  capaces de retener en la memoria los resultados de varios cálculos. Pero sí es cierto que muchas veces los cálculos no son tan complejos como puede parecer (como se ha visto en el ejemplo anterior) y lo cierto es que al menos para mi, en ocasiones es más interesante el "truco" que están usando que lo rápido que hagan el cálculo. Por si alguno ya está diciendo que todo esto es trampa, que conste que nosotros también hacemos este tipo de trampas, por ejemplo en vez de sumar muchas veces multiplicamos que es más rápido e incluso nos hemos aprendido en el colegio las tablas de multiplicar. El que otro se sepa tablas mayores no significa que sea un tramposo. En fin, no me voy a dedicar a contaros los trucos de los grandes maestros ya que en la práctica en muchas ocasiones hay que memorizar tablas, así que hay que dedicarle tiempo, pero sí algunos truquillos más sencillos que nos pueden permitir de cabeza hacer cálculos que no esperábamos:

Dividir (y multiplicar) por 5.

Este va a ser el caso más sencillo, sin que lo diga la mayoría ya estará pensando que podría ahorrarme comentarlo porque lo sabe todo el mundo, pero no es así. De hecho me sorprendió que la camarera de un restaurante no hace mucho no supiera cómo había sacado a lo que tocábamos cada uno en una cena de 5 personas. En fin, el método es sencillo:

Como 5=10/2, para dividir entre 5 basta multiplicar por 2 y luego dividir entre 10 (correr la coma).

Ejemplo: 43,20 euros entre 5 personas. Multiplicando por 2 sale 86,40 así que tocamos a 8,64 euros cada uno.

¿Y para multiplicar por 5? Pues lo contrario, dividir entre 2 y multiplicar por 10. Por ejemplo, si partimos del número 1234, al dividirlo entre 2 nos queda 617 por lo que el resultado de multiplicar por 5 será 6170.

Sí, quizá en el caso de multiplicar no mejoremos tanto como al dividir, pero ahí está el método. Obviamente, si sabemos dividir entre 5 sabremos dividir entre 50 (dividir primero entre 5 y luego entre 10 que es correr una coma), entre 500 y así.

Dividir (y multiplicar) por 25, por 125, por 625, etc.

Este caso se reduce al anterior ya que 25=5x5, 125=5x5x5 y así. Por tanto, si queremos por ejemplo dividir entre 25, solo debemos de dividir 2 veces entre 5, es decir, multiplicamos 2 veces por 2 (o una vez por 4) y corremos la coma a la izquierda 2 veces.

Ejemplo: Quiero dividir 3252 entre 25. Multiplicado por 2 es 6504 y multiplicado otra vez por 2 es 13008. Por tanto 3252 entre 25 es igual a 130,08.

Multiplicar por 9, 99, 999, 9999...

Sencillo, por cada 9 le añadimos un 0 al número en cuestión y al resultado le restamos el número original. ¿Esto por qué es así? Pues si vemos por ejemplo el caso de 999 tenemos que 999=1000-1 y por tanto

y precisamente multiplicar por 1000 es añadir 3 ceros. Veamos un ejemplo:

Elevar al cuadrado un número si conocemos el cuadrado anterior.

Simplemente tenemos que aplicar la siguiente fórmula:

Por tanto debemos de multiplicar el número por 2, restarle 1 y sumarle el resultado al cuadrado del anterior. Por ejemplo, el cuadrado de 80 es 6400 (el cuadarado de 8 y añadimos dos ceros) y el doble de 81 es 162, por tanto el cuadrado de 81 es

Ahora también podemos sacar el cuadrado de 82, puesto que sabemos el de 81:

Multiplicar 2 números de dos dígitos que tengan el primero igual y que los segundos sumen 10.

Sí, es un caso un poco particular, pero ciertamente rápido. Tenemos que multiplicar el primer dígito de un número por sí mismo aumentado en 1, multiplicamos los 2 dígitos finales obteniendo un número de dos cifras (si fuera 1 cifra, añadimos un 0 a la izquierda) y ponemos ambos resultados uno al lado del otro. Veamos ejemplos:

Calculemos 57x53. El primer dígito es 5 y 5x6=30. Además 7x3=21. Juntando los 2 números nos da que el resultado será 3021.

Veamos ahora 81x89. Primero tenemos que 8x9=72 y por otro lado 1x9=9 (como necesitamos 2 dígitos lo ponemos como 09) así que el resultado final será 7209.

¿Por qué funciona esto así? Imaginemos que el dígito común es a y los otros dos son b y c. El primer número será por tanto 10a+b y el segundo 10a+c. Por tanto:

donde hemos usado que b+c=10.

Multiplicar 2 números entre 10 y 19.

Una forma sería saberse las tablas de multiplicar del 1 al 2o en vez del 1 al 10. Pero si no nos las sabemos, podemos usar el siguiente truco. Primero sumemos al número mayor la unidad (el número de la derecha) del otro, le añadimos un 0 y le sumamos el producto de las unidades de ambos números. Por ejemplo para 15x17, sumamos 17 con 5 quedando 22, le añadimos un 0 quedando 220 y le sumamos 5x7=35 así que

Podéis comprobar que esto funciona así de forma similar que hemos visto el caso anterior.

Elevar al cuadrado un número terminado en 5.

Eliminamos el 5 y multiplicamos el número que queda por si mismo más 1 y al resultado le añadimos a la derecha un 25. Obviamente si el número tiene muchas cifras nos costará más. Probemos por ejemplo con 125. Primero tendremos que multiplicar 12 por 13, que usando el apartado anterior será 13+2=15, añadimos un 0 y le sumamos 6 quedando 156. Ahora solo tenemos que añadir un 25. Por tanto

¿Esto por qué es así? Bien, si el número es de la forma 10a+5 tenemos que

Multiplicar un número de 2 cifras por 11.

Muy sencillo. Sumamos las 2 cifras y si nos da un número de 1 cifra lo ponemos entre los otros 2. Si da un número de 2 cifras ponemos la unidad entre las 2 iniciales incrementando en 1 la primera. Veamos un par de ejemplos.

Hagamos 63x11. Como 6+3=9 tenemos que

Hagamos 86x11. Ahora 8+6=14 por lo que el número a poner en medio será el 4 y le sumaremos 1 al 8 quedándonos

Os dejo que os penséis por qué esto se hace así, aunque no creo que tengáis mayor problema en daros cuenta. Bueno, y con esto creo que os podéis hacer una idea de cómo con algunos truquillos se pueden simplificar mucho algunas operaciones, haber hay muchos más, para operaciones más complicadas, pero en algún momento tenía que parar. Además también podemos combinar cosas de estas o por ejemplo que multiplicar por un número que termina en 0 es lo mismo que quitar el 0, multiplicar y añadirlo al final, etcétera. Como regalo os pongo algunos links para que probéis vuestra velocidad a la hora de realizar cálculos y así podéis poner en práctica estos truquillos y los que se os ocurran por el camino. Aunque pueda parecer imposible superar algunas pruebas, con un poco de práctica salen. Todos los que voy a poner los he conseguido hacer así que ¿por qué tú no vas a poder? Ahí van:

55 multiplicaciones de 1 cifra en 2 minutos.

100 multiplicaciones de 1 cifra por un número entre 10 y 19 en 3 minutos.

55 multiplicaciones de números entre 10 y 19 en 3 minutos (aquí podéis poner en práctica claramente uno de los trucos).

100 multiplicaciones de 1 cifra por un número entre 20 y 29 en 4 minutos.

55 multiplicaciones de números entre 20 y 29 en 5 minutos.

Cuadrado de los 50 primeros números en 4 minutos.

Las 10 primeras potencias de los 10 primeros números en 20 minutos.

Con esta entrada participo en la Edición 2.8 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Ciencia Conjunta

Si contestas al azar a esta pregunta, ¿cuál es la probabilidad de acertar?

a) 25%

b) 50%

c) 0%

d) 25%

Solamente he cambiado la opción c, en la pregunta tan famosa, ponía 60%. ¿Sabéis la respuesta a esta? Bueno, para no ser menos, voy a poner yo también la pregunta en una foto. Desgraciadamente la pizarra de mi despacho es de las blancas así que cuando no se haga famosa esta versión, podré culpar a mi pizarra!

Bueno, además de culpar la pizarra, puedo culpar a mi móvil por no tener flash, la mala iluminación en el momento de la foto y a mi fea caligrafía . Por cierto, la pregunta enlazada inicialmente la vi por primera vez en menéame.

Situémosnos temporalmente, como recuerdo a la profesora de entonces, yo tenía que estar en tercero, cuarto o quinto de EGB, vamos, que como mucho tenía 10 años. Y un buen día, entre los deberes que nos mandó la profesora para casa, una de las preguntas era que ¿cómo calcularíamos el centro de un círculo? Por entonces la primera respuesta que se nos ocurriría era fijarse muy bien en el folio para intentar ver la marca que había dejado el compás en el centro. Pero claro, aunque este método pudiera parecernos por entonces una maravilla, nos podía pasar que el círculo se hubiese dibujado usando por ejemplo el borde de una moneda de 50 pesetas (no había euros, no) y claro, aunque nos dejásemos los ojos en el intento, no lo íbamos a encontrar...

¿Cuál pensáis que debería de ser la respuesta esperada que teníamos que dar? Como os podéis imaginar, por entonces nos habían dicho lo que era un círculo y poco más. Posiblemente hasta nos habían contado lo que era y que la longitud del círculo es multiplicado por el diámetro. En fin, que empecé yo con mis reglas y mi compás a aplicar las pocas cosillas que sabía hacer por entonces: hacer rectas paralelas, perpendiculares, bisectriz, mediatriz y no sé si algo más. Y bueno, probando, probando llegué a la siguiente construcción, no sé si por intuición o simplemente de pura casualidad:

Lo que hacía primero era coger dos puntos cualesquiera de la circunferencia, en el dibujo el B y el C y calculaba la mediatriz del segmento que une dichos puntos. Recuerdo que la mediatriz es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio, aunque también se puede definir como el conjunto de puntos que equidista de los extremos del segmento. Una vez hecho esto me fijaba en el trozo de mediatriz que quedaba dentro de la circunferencia, que en el dibujo sería el segmento entre los puntos D y E. Por último volvía a hacer la mediatriz ahora al segmento D y E y el punto de corte era mi candidato a centro.

Como digo, creo que esta construcción fue casual, pero sin embargo estaba convencido de que funcionaba, que daba igual los puntos que cogiera inicialmente y que lo que salía efectivamente era el centro. Pero claro, mucho sería que por entonces además fuera capaz de demostrar formalmente que estaba en lo cierto. Pero vamos, simplemente por la simetría del dibujo tenía que ser así, veía claramente que la primera mediatriz dividía el círculo en dos partes iguales, de hecho si giraba todo el dibujo de forma que el primer segmento fuese horizontal, me quedaba más claro aún.

Antes de seguir con la historia, ahora que tengo algunos conocimientos más que antes, ¿puedo demostrar que la construcción era válida? Sí, de hecho es muy sencillo. Como la primera mediatriz es el conjunto de puntos que equidistan de los puntos B y C y el centro equidista de dichos puntos (está a una distancia igual al radio de la circunferencia), se tiene que el centro pertenece a dicha mediatriz. Por lo tanto el segmento que va de D a E es un diámetro y así su punto medio el centro de la circunferencia.

Sigamos con la historia. Pues bueno, al día siguiente la profesora fue de mesa en mesa viendo cómo habíamos hecho lo del centro de la circunferencia, mientras supongo que hacíamos alguna otra tarea. Su primera observación fue que la última mediatriz no haría falta sino que solo tenía que calcular el punto medio, y yo dándole la razón, porque pensaba que la mejor manera de hallar el punto medio era midiendo con la regla (pero de hecho es con la mediatriz). En fin, que tras verlo, ella misma preguntaba que por qué eso era el centro. Como yo no tenía argumentos para demostrárselo y ella tampoco, pues no me lo consideró como bueno.

¿Y cuál era su método? Pues resulta que... ¡no tenía! Resulta que el ejercicio lo había propuesto la profesora del otro grupo, ya que aún siendo grupos distintos, hacíamos exactamente las mismas tareas, por lo que nos dijo que tenía que hablar con la otra profesora. Pues bien, rato después, no sé si tras el recreo o tras nuestra hora de inglés con lo que ella libraba una hora o qué, volvió la profesora a clase teniendo la solución, pero justo antes de que pudiera decirla me vino la inspiración y dije:

- ¿Doblando el folio?

¡Pues sí! ¡Ese era el método! Doblabas el foro haciendo coincidir las dos mitades del círculo que quedaba, viendo el folio al trasluz claro, y con ello quedaba marcado un diámetro justo por donde se ha doblado el folio y de allí ya se sacaba el centro. Y yo tan feliz porque ¡había conseguido un positivo!

Pero lo cierto es que todavía estaba convencido de que mi método anterior estaba bien. Cuanto más lo pensaba, más seguro estaba, a pesar de que la profesora no me lo diese por válido. Y precisamente ese día aprendí algo:

¡Los maestros no lo saben todo!

Con esta entrada participo en la la Edición 2.7 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog La aventura de la ciencia.

P.D. Iba a comentarle todo esto a Tito Eliatron en un comentario en su entrada, pero claro, ¡¡habría quedado un tocho demasiado largo!!

Pues bien, chistes matemáticos hay unos cuantos, pero algunos no son tan fáciles de pillar por culpa de que pueden ser necesarios ciertos conocimientos matemáticos. En fin, voy a contar algunos de ellos, tratando de profundizar en las matemáticas que hay detrás de ellos, aunque en algunos casos ciertamente no hará mucha falta. Las explicaciones más largas estarán en la parte final de esta entrada. Empiezo con uno que salió hace muy poco por este blog:

Chiste de Will Rogers

"Cada vez que un usuario de tuenti decide abandonarlo y pasarse a twitter, el cociente intelectual medio de ambas redes sociales disminuye".

Esto es una mezcla entre una paradoja y un chiste. Lo que está diciendo es que si un usuario de tuenti decide abandonarlo por irse a twitter, debe de ser porque es más inteligente que la media de dicha red social, por lo que al abandonarla, el cociente medio decrece. Sin embargo, si ha pasado por tuenti, debe de ser porque no es tan listo como la media de twitter, por lo que al ingresar en la otra red social, el cociente intelectual medio de esta disminuye. El chiste original es en realidad de un cómico llamado Will Rogers y su versión era así:

"Cuando un poblador de Oklahoma se desplaza a California, la inteligencia media de ambos estados crece".

Bueno, no hay mucho que explicar. Lo único matemático que se dice aquí es que podemos tener dos conjuntos de números, por ejemplo

y al pasar un elemento de un conjunto al otro, que la media de ambos disminuya (por ejemplo si pasamos el 3) o que la media de ambos crezca (si por ejemplo pasamos el 10). No me entretengo más, que para eso estaba la otra entrada, vamos a otros chistes que no hayan pasado por este blog antes.

Chuck Norris

No podemos contar chistes y que aparezca este Chuck Norris por aquí, ¿no? Pues bien, aquí va el chiste:

"Los agujeros negros son los puntos del universo en los que Chuck Norris dividió entre 0" .

Hay variaciones de este chiste, pero siempre con Chuck Norris dividiendo entre 0. Una que vi hace poco la podéis ver en una viñeta de spikedmath, que bueno, incluyo inglés para el que no sepa nada de inglés:
—¿Cuánto vale ? —pregunta la profesora.
—7 dividido entre 0 —contesta un alumna.
—¡No!, no puedes dividir entre 0. ¿Alguien lo sabe?
—7 dividido entre 0 —contesta otro alumno.
—¡Muy bien Chuck!
—¡Pero maestra! ¡Es lo mismo que he dicho yo!
—Sólo Chuck Norris puede dividir entre 0.

Vamos a profundizar un poco en esto. No se puede dividir entre 0 (salvo Chuck claro), pero... ¿por qué no se puede? ¿Se puede calcular 1 dividido entre 0? Seguro que alguno dice que claro que sí, que deberíamos de decir directamente que vale infinito, pero es que a los matemáticos nos gusta mucha ponernos con sutilezas para no sé, suspender a los alumnos en los exámenes. Pero... ¿cuánto vale entonces -1 entre 0? ¿Valdrá infinito o -infinito? ¿O ninguno de los 2? ¿Veis ya el problema? Bueno, por si acaso vamos a ver un ejemplo, veamos cuanto vale

 Los alumnos sustituyen y al ver que da 1 entre 0 dicen que es infinito. ¡Error! No vale infinito. De hecho este límite no vale infinito ni nada. Lo que pasa es que si nos acercamos a 0 por la derecha, sí que dará infinito, pero si lo hacemos por la izquierda dará -infinito, cosa muy sencilla de ver ya que al dividir entre un número negativo, tendremos un número negativo por lo que no se puede tender a +infinito. Veamos la gráfica de la función para el que no le quede claro:

Función 1/x

Por cierto, lo que se diría en este caso es que el límite diverge, que en caso de funciones reales viene a ser que el límite del valor absoluto tiende a infinito.

 La función exponencial solitaria

Un chiste bastante viejuno:

Esto es una fiesta de funciones, que están ahí todas bailando. Sin embargo la función exponencial está apartada en un rincón, sentada en una silla. Le ve la función arcotangente y se acerca para animarla:
—¿Pero qué haces aquí? Venga, ¡intégrate!
—¿Para qué? Si da lo mismo...

Aunque parezca mentira, a los alumnos de un primero de ingeniería, actualmente este chiste les puede hacer gracia (sí, lo he llegado a contar en clase...). Aquí hay un juego de palabras. Cuando le dicen que se integre se refieren a que se una a los demás, sin embargo el sentido que le da la exponencial. ¿Y qué pasa si se integra la exponencial? Pues simplemente que

Y de ahí que de lo mismo. Bueno, no estrictamente porque aparece una constante, pero vamos, como la constante puede tomar el valor 0, se olvidan de ella (NOTA PARA LOS ESTUDIANTES: vosotros no despreciéis la constante, y menos aún ¡en un examen!).

Por cierto, hay una variación de este chiste en el que nos cargaríamos el problema de la constante:

Un extraterrestre se cuela en la ciudad de las funciones, se acerca cautelosamente a la función exponencial y le dice
—¡Quieta ahí o te desintegro!
—Bah, me da igual.

¿Lo pilláis? En este caso, al hablar de desintegrar, se podría entender como que es lo contrario de integrar, y lo contrario de integrar viene a ser derivar y claro, la derivada de la exponencial sí que es la exponencial, sin constante por en medio molestando.

Uno de Sheldom Cooper

Vamos ahora a uno que vi en la serie The Big Bang Theory (concretamente en el capítulo 2x13):

Se encuentra Sheldon Cooper tratando de escalar por unas rocas artificiales (todo para intentar hacer un amigo) y en un momento se encuentra atascado y no es capaz de subir ni de bajar por lo que dice:
—Me siento como una función tangente inversa que se aproxima a una asíntota.

Lo cierto es que con asíntotas se pueden hacer muchos chistes. En fin, para el que no entienda el chiste, una asíntota es una línea recta a la que se acerca de forma "continua" una curva. Resulta que la función arcotangente (que en la serie llaman tangente inversa, supongo que porque el traductor no sabe matemáticas o para hacerlo más comprensible, no sé) tiene una asíntota horizontal, bueno, de hecho dos, la recta cuando tiene a e cuando tiende a . Veámoslo con la gráfica de la función:

Función arcotangente de x

Como se puede ver, si nos vamos hacia (osea, hacia la derecha), la función se acerca a un valor algo mayor que 1,5. Concretamente se acerca a , de hecho se acercará todo lo que queramos mientras más nos acerquemos a la derecha, pero nunca llegará a dicho punto. Y a Sheldon es eso lo que le pasa, se siente como que ha llegado a punto al que se puede acercar, pero que nunca se verá capaz de superar.

Jesús y sus discípulos

Está Jesús reunido con sus discípulos y de golpe dice
—Equis al cuadrado más y al cuadrado más 2 equis y más 3 equis más 4 y más 5 es igual a 0.
—¡Maestro! ¿Pero eso que es?
—Una parábola .

Bueno, lo cierto es que en la versión "original", lo que decía Jesús no era tan complicado y se limitaba a decir algo así como , pero para no mal-acostumbrar a los lectores, he decidido poner una fórmula de la parábola no tan famosa. Pero ¿qué es una parábola aparte de las lecciones morales que supuestamente contaba Jesús? Pues bien, matemáticamente una parábola es una curva que se construye a partir de una recta (llamada directriz) y un punto que no pertenece a la recta (llamado foco), siendo la parábola el conjunto de puntos que cumplen a su vez que están a la misma distancia de la recta y el punto. Para ilustrar esta definición incluyo aquí una imagen sacada de la wikipedia (donde podéis leer bastante sobre la parábola).

Parábola

Una definición quizá más clásica sea que es la curva que sale de cortar un cono con un plano paralelo a una generatriz del cono. Definición más clásica pero quizá menos útil. Bien, ¿de dónde sale la ecuación de una parábola? Imaginemos que tenemos una recta de ecuación y un punto . La distancia de un punto a la recta es la siguiente

y la distancia de dicho punto al punto es

Si igualamos entonces ambas expresiones (para que cumpla que equidista del punto y de la recta), tras elevar ambos miembros de la igualdad al cuadrado y tras hacer unas cuantas operaciones agrupando términos y tal, obtendríamos una expresión del tipo

donde además se cumple que . Así que como veis, la ecuación que hemos dicho en el chiste, es decir

efectivamente es una parábola. ¿O qué esperabais?

3 matemáticos en la cafetería

Y para terminar vamos con un chiste que la gente no suele pillar. De hecho ni los matemáticos suelen pillarlo a la primera y tienen que quedarse un poco pensando. Bueno, quizá más que chiste matemático habría que decir chiste lógico, pero bueno, al final, las matemáticas no son más que pura lógica. Ahí va:

Tres matemáticos entran a una cafetería y se acerca la camarera.
—¿Queréis todos un café?
—No lo sé —contesta el primero.
—No lo sé —contesta el segundo.
—Sí —contesta el último.

¿No me diréis que no es buenísimo? ¿Que no lo pilláis? Bueno, pues os cuento otro con la misma idea pero que creo que es anterior a este, a ver si os ayuda:

Cinco matemáticos entran a un bar y se acerca la camarera.
—¿Queréis todos una cerveza?
—No lo sé —contesta el primero.
—No lo sé —contesta el segundo.
—No lo sé —contesta el tercero.
—No lo sé —contesta el cuarto.
—No —contesta el último.
—Vale, queréis 4 cervezas, pero ¿tú que quieres? —dice la camarera mirando al último.

¿Mejor ahora? ¿No? Bueno, os explico el primero de los 2 y ya vosotros os reís solos con el segundo. Bien, la clave está en la palabra TODOS. La camarera pregunta si todos quieren un café. ¿Qué hacen los 3 matemáticos?
El primero quiere un café pero como no sabe si los demás lo quieren, contesta que no sabe si los 3 quieren un café. Si el primero no quisiera café sabría que los 3 no quieren café por lo que habría respondido que no.
El segundo también quiere un café, además sabe que el primero quiere un café ya que no ha dicho que no, pero como no sabe lo que quiere el tercero, contesta no lo sé. De nuevo, si no quisiera café, habría dicho que no.
Finalmente el tercero, tras las respuestas de sus dos compañeros, deduce que ambos quieren un café, y como él también quiere puede contestar que sí.

¿A que no es genial? Bueno, referencia a estos dos chistes. El primero es de nuevo una viñeta de spikemath. El segundo es también una viñeta creada unos meses antes que la anterior, pero esta vez parece que por un tal C. Burke.

Y con esto terminamos, creo que para contar unos chistes me he alargado suficiente. Bueno, un último chiste matemático, que en unos años no tendrá mucho sentido:

—Ayer me compré un televisor con t al cuadrado partido de 2 más constante.
—¿Eh? ¿Pero eso que es?
—Pues ¿qué va a ver? ¡TDT integrado!

Con esta entrada participo en la la Edición 2.7 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog La aventura de la ciencia.

¿Se puede solucionar que no te acepten mensajes en los comentarios de varios blogs de personas que no se conocen entre si?

Pues seguramente sí. Bien, para aclarar esto, veamos las razones más normales por las que tu comentario puede no aparecer:

• Puede ser que el blog en el que comentas deja como pendientes algunos comentarios y luego un administrador del blog tiene que aprobarlo. En este caso normalmente el comentario aparecerá al poco tiempo.
• Puede ser que el blog en el que comentas haya detectado tu comentario como spam. Si encima el blog recibe muchos mensajes como spam, lo normal es que ningún administrador revise tu mensaje y efectivamente nunca aparezca en dicho blog.

¿Cómo podemos diferenciar si nuestro mensaje está pendiente de aprobación o ha sido detectado como spam?

Bueno, puede no ser fácil saberlo, pero en muchosblog, por ejemplo los wordpress como este mismo (salvo que usen un tema que haga lo contrario), si publicas un mensaje que necesita simplemente revisión, tú lo verás publicado al darle a enviar. Sin embargo si accedes a los comentarios desde otro navegador u otro ordenador, o incluso posiblemente si más tarde accedes usando el mismo ordenador y navegador, verás que dicho comentario no aparece. Sin embargo, en el caso de que tu mensaje haya sido detectado como spam, lo normal es que tampoco lo veas al darle a enviar.

Resumiendo: si ves tu comentario nada más publicarlo pero no lo ves desde otro ordenador/navegador/otro momento, debe de ser un mensaje pendiente de revisión. Si en ningún momento ves tu comentario, posiblemente esté marcado como spam.

Ojo, esto que acabo de decir es en términos generales, no todos los blogs funcionan así, cada plataforma tiene su sistema, pero en wordpress suele ser así. Para saber si un blog es wordpress o de otro tipo, vete al final de la página de dicho blog y mira a ver si por allí lo pone.

¿Qué hacer si mis comentarios son considerados como spam o quedan pendientes de revisión?

Si está pendiente de revisión no tienes que hacer nada, ya te lo aceptarán. Si tras varios días no te lo aceptan, puedes tratar de contactar con el administrador del blog o escribir otro comentario (escríbelo sin direcciones web para que pase más fácilmente los filtros).

Sin embargo, si consideras que tus comentarios son considerados como spam, quizá sí tengas que actuar tú. Antes de nada sería conveniente comprobar que ciertamente te lo consideran spam y que te pasa en varios blogs en los que comentas incluyendo los mismos datos, digo antes de nada, por tratar de no molestar en caso de una falsa alarma. El dato que normalmente puede hacer que te cataloguen como spam es la dirección web que pongas, es lo más común, aunque puede pasar también que sea por el correo electrónico o incluso por la IP, combinación de varios datos, etc.

Yo quise asegurarme bien de que me consideraban spam, así que fui drástico y me creé un blog en wordpress para comprobar si los comentarios en los que incluyese la dirección de mi web (es decir, http://www.zurditorium.com), me los consideraba spam o no. Necesitaba crear un blog nuevo porque evidentemente desde mi blog, su propia dirección no es catalogada como spam. Y efectivamente, tras hacer varios comentarios y variando datos, comprobé que siempre que metía la dirección de mi web, dicho comentario acababa en spam, lo que pude comprobar desde la administración de dicho blog.

Una vez que sé que me consideraban spam, me tocaba contactar con quien sea que de algún modo controle la forma en la que los blogs en cuestión catalogan los mensajes como spam.

Afortunadamente para mi caso, sabía bien qué es lo que usan los blogs wordpress (y algunos otros) para lo del spam, el plugin Akismet que viene instalado por defecto y que se activa sin demasiada dificultad. Así que busqué en la página web de Askimet y encontré un formulario de contacto. Ahí marqué la opción

I think Akismet is catching my comments by mistake

y les conté lo que me pasaba. Por si tenéis el mismo problema y no sabéis inglés, pongo un modelo sencillo del mensaje que podéis enviar (en este caso indicando la dirección url que da el problema):

Hello.

I think that akismet is catching my comments by mistake. I think that akismet says that my comments are spam when I include the url of my webpage:

http://direccionquedaproblemas

Regards,
Carlos.

Envié ayer por la tarde el mensaje y esta mañana ya me lo habían solucionado.

Lamentablemente creo que los mensajes que ya habían sido marcados como spam, lo seguirán estando, pero ahora los nuevos mensajes no deberían de aparecer como spam, al menos en los blogs wordpress cuyo filtro de spam sea akismet.

Edito: si en la dirección que he puesto no te sale un formulario, dale a search habiendo escrito por ejemplo primero un simple espacio. Donde pone API key no hace falta escribir nada.

¿Cómo es posible que mis mensajes fueran considerados spam?

Lo normal es que en algún blog hayan considerado tu comentario como spam por alguna razón y así lo hayan indicado desde el panel de administración. Si te pasa eso con varios mensajes en foros que usen por ejemplo akismet, akismet puede catalogarte como spam y así aparecerás en todos los blogs cuyo spam sea controlado por akismet. Sin embargo, si eres spam y desde algún blog indican que tus mensajes no son spam, eso no te sacará del spam de akismet, pero akismet tratará dichos mensajes como si no fueran spam, como me pasaba a mi que podía publicar sin problemas en algunos blogs.

En cualquier caso, si no firmas tus comentarios usando una página web y en el texto tampoco incluyes direcciones, lo normal es que nunca te consideren los mensajes como spam. De hecho tampoco debería si incluyes una dirección web, que de hecho en el formulario de los comentarios suele aparecer un hueco para ello, pero vamos, que nada es perfecto y puedes convertirte en un falso positivo.

REPITO: hay muchos tipos de blog así que cada blog puede usar un sistema distinto para el spam por lo que puedes ser considerado spam en un grupo de blogs (o blogs individuales) y que akismet no tenga nada que ver. Pero vamos, lo que he puesto en esta entrada creo que es lo más general, wordpress es el sistema blog más utilizado (o eso creo) y akismet el motor antispam también más popular.

1.- La paradoja de Banach-Tarski

Imaginad que cogemos una bola maciza. Pero una bola matemática por lo que será totalmente maciza, no como las reales que tienen huecos entre los electrones y el núcleo de los átomos, o vete a saber cómo son de verdad. Vamos, que la bola va a ser el conjunto de puntos

¿Podemos trocear esta bola y con esos trozos formar de nuevos dos bolas (matemáticas) totalmente macizas y del mismo radio? Intuitivamente uno diría que no, pero un matemático podría decir que sí, porque podríamos dividir la bola en infinitos puntos y juntarlos formando 2 bolas del mismo tamaño ya que una bola tiene el mismo número de puntos que 2 bolas (en este blog ya hemos hablado del tamaño de conjuntos infinitos, por ejemplo aquí o aquí).

Vale, vale, quizá sea esto un poco de trampa ya que dividimos la bola en infinitos puntos. Pero ¿sería posible hacer lo mismo si dividiésemos la bola en una cantidad finita de partes? Pues esto es lo sorprendente. La paradoja de Banach-Tarski (que en realidad no es una paradoja), dice que sí, exactamente en 8 trozos. Luego 5 de ellos los podremos unir para formar una bola, y con los otros 3, otra bola. Bueno, y repitiendo el proceso, podríamos hacer, 3, 4, 5, 45, 3245 o tantas bolas como quisiéramos.

Un par de consideraciones. Alguien podría decir que esto es imposible, porque cada trozo tendría un volumen que sumados darían el volumen de la bola inicial y no podrían sumar nunca el doble. El fallo en este razonamiento, es que esos trozos no van a tener un volumen definido, no todo tiene volumen, al menos, no cualquier conjunto de 3 dimensiones matemático. De hecho, cada uno de los conjuntos serían algo así como nubes densas de puntos.

Por cierto, hablando de conjuntos que no tienen volumen definido, que os puede parecer muy raro, ¿hay conjuntos contenidos en la recta real que no se puedan medir? Pues sí que los hay, y podéis ver un ejemplo de ello en una entrada del blog de Tito Eliatrón que ha escrito recientemente.

2.- El tamaño de los conjuntos. El hotel infinito de Hilbert.

¿Qué es más grande? ¿El conjunto de todos los números naturales (1, 2, 3, 4,...) o el de los números pares (2, 4, 6, 8,...)? Algunos dirán que los pares son la mitad. Pero claro, podemos asociar a cada número natural un número par cogiendo su doble, consiguiendo así comprobar que realmente hay la misma cantidad de unos y otros. Claro, ahora dirán algunos que hay los mismos porque son infinitos así que dos conjuntos infinitos tienen el mismo tamaño y por eso mismo también he dicho antes que una bola de radio 1 y dos bolas de radio 1 tienen también la misma cantidad de puntos. Pues bien, esto último tampoco es cierto, ¡existen conjuntos infinitos de distintos tamaños!

No me voy a enrollar con este tema porque como ya he dicho antes, ya se ha hablado de ello en este blog. Al que le interese, puede ver la entrada que escribí sobre el Hotel de Hilbert.

3.- La paradoja de Berry

Esto es más bien una curiosidad. Imaginad un idioma cualquiera, bueno, en concreto el castellano. El castellano tiene un número finito de palabras (aunque ciertamente muy grande). Así que habrá habrá una cantidad finita de grupos de 14 o menos palabras. ¿De acuerdo? Y algunos de estos grupos definirán números. Por ejemplo "cuarenta y dos" es un grupo de 3 palabras que representa al número 42, "nueve por tres" representa al número 27 y así. "Mi número de teléfono" no definiría un número porque depende de quién lo diga, vamos, que solo vamos a considerar números que estén inequívocamente definidos por 14 palabras o menos. Vamos a ver más ejemplos ¿Y el número 387420489? ¿Cuántas palabras necesitamos para definirlo? Pues se podría definir como "trescientos ochenta y siete millones cuatrocientos veinte mil cuatrocientos ochenta y nueve", es decir, con 12 palabras. Pero de hecho lo podríamos haber hecho con tan solo 4: "nueve elevado a nueve".

Vistos ya los ejemplos, volvamos a considerar todos los números que se pueden definir con 14 palabras o menos. Tendremos una cantidad finita (y muy grande) de números, por lo que se deduce que habrán números que no podamos definir con menos de 15 palabras. ¿Cuál será el número más pequeño que no se pueda definir con menos de 15 palabras? No sabemos cual es, pero tiene que haber uno, ¿no? Pero llegamos a un problema porque este número lo podemos definir con las siguientes palabras:

"El número más pequeño que no se puede definir con menos de quince palabras".

¡Vaya! Lo acabo de definir con 14 palabras, cosas que por propia definición, no se puede hacer. ¿Entonces qué? No profundizo más, os dejo que os calentéis la cabeza con dicha paradoja.

4.- Probabilidades y fechas de cumpleaños.

Si queremos buscar fenómenos anti-intuitivos, en el campo de la probablidad tenemos un gran filón. Vámonos a unos ejemplos de los que ya he hablado por aquí: probabilidad y cumpleaños. Por ejemplo:

¿Cuál es la probabilidad que de 23 personas cogidas al azar, haya 2 que cumplan años el mismo día?

Al que no esté muy familiarizado con cálculos de probabilidades, quizá piense que una muy baja. Pero todo lo contrario, hay más posibilidades de que esto no pase a que esto no pase. Pero quizá sea más sorprendente lo siguiente:

Si tengo 1600 personas de contactos en facebook, ¿cuál es la probabilidad de que un día no cumpla ninguno de ellos años? Bueno, aquí la respuesta cambia mucho dependiendo de como interpretemos la pregunta:

• Si prefijamos un día y queremos saber la probabilidad de que ese día nadie cumpla años, la probabilidad va a ser muy baja.
• Sin embargo si nos preguntamos sobre cual es la probabilidad de que que haya algún día a lo largo del año en la que nadie cumple años, sorprendentemente tendremos que ¡¡es mayor que 99 sobre 100!! Algo realmente sorprendente.

Para más detalles sobre probabilidades y cumpleaños, visitad esta entrada.

5.- Un cinturón que rodea la tierra.

Imaginad que le ponemos a la tierra un cinturón en el ecuador (para simplificar, supondremos que la tierra es totalmente esférica). Pues bien, la longitud de este cinturón debería de tener una longitud de más de 40 millones de metros, vamos, que nos iba a salir un poco caro. Cortemos el cinturón por un punto cualquiera y y añadamos por allí un metro de cinturón más. Una vez hecho esto, con esta anchura extra, separemos el cinturón de la tierra la misma distancia por todos los puntos. Sin hacer ningún cálculo y respondiendo intuitivamente, ¿cuánta será la altura que se elevará el cinturón? ¿Podremos meter un folio por debajo? Uhm, no sé... ¿y la mano? Si no estuvieseis sospechando que hay una trampa, seguro que habríais dicho que no...

Pues la respuesta es que se podrá levantar casi ¡16 centímetros! ¿Cómo es eso? Bien, si L es la longitud inicial del cinturón en metros y R es el radio de la tierra en metros, y por lo tanto de la circunferencia que forma el cinturón, tendremos la siguiente relación:

Ahora bien, si añadimos un metro al cinturón, el nuevo radio del cinturón será R+h, donde h es la altura a la que se elevará el cinturón uniformemente del suelo, teniendo la siguiente relación:

Restando ahora las dos expresiones anteriores tendremos que

Despejando ahora ,

que aproximadamente son 16 centímetros. ¿Sorprendente? El problema es que uno piensa que debe de ser mucho menos porque 1 metro es despreciable al lado de más de 40 millones de metro de cinturón. Pero claro, lo mismo pasa con 16 centímetros al compararlos con el radio de la Tierra, de hecho ambas cantidades serán despreciables en la misma proporción.

6.- La sandía al sol.

Imaginad que tenemos una sandía que pesa unos 10 kilos y que está formada en un 99% por agua. Posiblemente sea un porcentaje demasiado alto, pero bueno, pensad que un recién nacido tiene un 75% de agua y la sandía parece que tenga más. En cualquier caso son datos ficticios. Venga, vayamos al grano. Pongámosle un peso a la sandía, por ejemplo 10Kg e imaginemos que dejamos la sandía al sol y además partida, por lo que pierde agua con lo que al día siguiente, la cantidad de agua que tiene la sandía es un 98% de masa total. Así a ojo, sin echar ningún cálculo, ¿cuánto creéis que pesará la sandía?

Pues bien, si el 99% era agua y ahora el 98% es agua y solo ha perdido agua, nuestra primera impresión es que habrá perdido poco peso, que de 10 kilos, seguro que pesa más de 9 kilos, de hecho casi 10, ¿no? Pues os podéis imaginar, ¡no! Pierde mucho más, de hecho se quedará en tan solo ¡¡5 kilos!! Podéis echar los cálculos y comprobarlo. Para que no sea tan intuitivo podemos plantearlo de otra forma:

Si de 10 kilos, un 1% es materia solida y tras perder líquido, la parte sólida es ahora del 2%, ¿cuánto será la masa tras perder líquido?

Lo veis ahora más intuitivo, ¿no? Pensad que la proporción de materia sólida es ahora el doble que antes, sin que esta materia haya aumentado. Un 1% de 10 kilos son tan solo 100 gramos. ¿De qué cantidad 100 gramos será el 2%? Pues si la cantidad (mediad en kilos) es X, tendremos la siguiente igualdad:

y por lo tanto

7.- Y terminamos con un chiste

Hace poco leí un chiste (no encuentro la fuente):

"Cada vez que un usuario de tuenti decide abandonarlo y pasarse a twitter, el cociente intelectual medio de ambas redes sociales disminuye".

¿Lo pilláis? En fin, lo que ilustro con este chiste, es que en ocasiones, si tenemos dos conjuntos de números, al pasar un elemento de un conjunto a otro, la media de cada conjunto puede disminuir simultáneamente (y también puede pasar lo contrario). Os pongo ahora un ejemplo sencillo, considerad los conjuntos

¿Qué pasa si pasamos el 3 del primer conjunto al segundo? Pues que la media del primero pasa de 2 a 1 y la media del segundo pasa de 15 a 11. ¡Ambas medias han disminuido! Podía parecer raro este hecho, pero como veis, es bastante normal.

Esto último es conocido como el Fenómeno de Will Rogers, fenómeno que recibe dicho nombre precisamente de un chiste de Will Rogers similar al que he comentado.

Edito: visto algunos comentarios, aclaro una cosa. El chiste no indica que el más listo de tuenti sea más tonto que cualquiera de twitter ni que al pasar cualquier elemento de un conjunto al otro, las medias de ambos disminuyan (por ejemplo si se pasa el 1 no pasaría). El fenómeno dice que hay algunos elementos con los que pasa, y además el chiste, aparte de indicar que de media en twitter serían más inteligentes, también indica que el de tuenti que se pasa a twitter, lo hace porque en cierto sentido ha madurado y por tanto su cociente intelectual es mayor que la media en tuenti, pero aún así inferior a la media en twitter. En fin, es un chiste, no una verdad. Sin ir más lejos, ¡yo tengo cuenta en ambos sitios!

En fin, podría seguir dando más y más ejemplos, pero se haría esto eterno así que lo dejo aquí.

Con esta entrada participo en la la Edición 2.6 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog La Vaca Esférica.

Se tienen 300 cables que unen 2 poblados que están separados a bastante distancia. Los cables están sin etiquetar así que no se sabe qué extremo de un lado coincide con qué extremo del otro lado. Además los pueblos no están comunicados de ninguna forma, no se puede hablar por teléfono ni nada. Así que el encargado solo dispone de una batería, una bombilla y de sus piernas para caminar de un extremo al otro de los cables. ¿Cuántos viajes necesita para ser capaz de identificar todos los cables y etiquetarlos?

Para el que no le haya quedado claro lo que se puede hacer con una batería y una bombilla, la idea es conectar cables por un lado, y luego con ayuda de la batería y la bombilla comprobar en el otro lado qué cables son los que están conectados. En fin, vamos con la solución a continuación.

Bien, si el encargado es suficientemente inteligente, le bastará con dar 2 viajes para tener identificados todos los cables. Y esto será el mínimo, ya que creo que está bastante claro que será imposible hacerlo dando solo un viaje. ¿Cómo debe de proceder?

Lo primero que hará es en el grupo de partida agrupar varios cables. ¿Cómo? Un cable lo dejamos sin unir a ningún otro, luego conecta 2 cables entre sí, luego hace otro grupo de 3 cables y une los extremos a los que tiene acceso, lo mismo con 4 cables, con 5, con 6 y así hasta que termina con un grupo de 24 cables. ¿Por qué 24 cables? Pues simplemente porque

Por cierto, la suma anterior es una progresión aritmética por lo que se puede hacer la suma con un simple cálculo (primer término más el último por en número total de elementos partido de 2).

El pobre operario tendrá ahora que ir a la otra población dándose su primer viaje. Ahora con la ayuda de la batería y la bombilla será capaz de ver qué cable no está unido a ningún otro en el otro extremo, qué cables están unidos solo con otro, cuales son los 3 cables que están en un grupo, cuales en el grupo de 4 y así. Y una vez que haga esto procederá a etiquetarlos. Al cable que esté suelto, lo etiquetará como A1, a los 2 que están juntos como A2 y B2 (dando igual el orden), a los 3 juntos los etiqueta como A3, B3 y C3. A los 4 juntos como A4, B4, C4 y D4 y así (afortunadamente el abecedario tiene más de 24 letras!!).

Bien, ya ha etiquetado los cables en un extremo. Antes de volver al otro extremos los preparará para poder reconocerlos. ¿Cómo? Pues muy simple, conectando los 24 cables etiquetados con un una A entre sí (el A1, A2, A3, A4, etc), los 23 cables etiquetados con una B entre sí (B2, B3, B4, etc) y así va haciendo lo mismo con cada letra.

Ya puede dar el segundo viaje y terminar de etiquetar los cables. ¿Cómo los reconocerá, pues muy sencillo. Sabe qué cable es el A1, el único que en la primera población no conectado a ningún otro. De los dos que había puesto juntos, uno será el A2 y el otro el B2. Podrá saber cuál es cual ya que en A1 está conectado con el A2 así que solo tiene que comprobar cual de los 2 está conectado con A1. Se va al grupo de 3 cables, que sabe que tienen que ser el A3, el B3 y el C3. El A3 será el conectado con A1 (y con A2), el B3 el conectado con B2 y el C3 el otro. Y así sigue, en el grupo de 4 el A4 será el conectado con por ejemplo A3, B4 con B3, C4 con C3 y D4 el que queda. Luego identifica los del grupo de 5, los del grupo de 6 y así.

Y mientras escribía la solución, se me ha ocurrido proponer una pequeña variante.  ¿Qué pasaría si en vez de 300 cables hubiésemos tenido 299? Si hacemos un grupo de 1, un grupo de 2, otro de 3 y así, tendremos un problema, ya que el penúltimo grupo sería de 23 cables y el último también!! Esto no nos valdría ya que luego no podríamos diferenciar los grupos de 23... ¿Podríamos etiquetarlos también dando 2 viajes? ¿O necesitaremos algunos más?