Antes de comenzar, si alguien viera que se me ha olvidado incluir su aportación (que espero que no sea así), que no dude en decírmelo y la meteré lo más pronto posible.

En fin, vamos a lo que vamos, aquí el resumen de esta edición, ordenado por orden cronológico de participación:

• Desde  Física e Química en Ribadeo, Antonio Gregorio Montes fue el más madrugador participando el 4 de Mayo con su su entrada Man Cuantica, nos muestra un vídeo en el que se nos muestra un sencillo efecto relacionado con la difracción de la luz, efecto que podremos reproducir fácilmente en casa.
• El 7 de Marzo, Vicente Torres en su blog El Tao de la Física nos habla sobre convertir la cámara de tu teléfono móvil en un detector de radiaciones. En realidad lo que hace es hablar sobre la verdad sobre ciertas aplicaciones para móviles que supuestamente hacen eso, y si es posible o no.
• Desde el Imperio de la Ciencia, el 8 de Marzo, Lus Garma nos habla de Acustica Arquitectónica. Como el nombre de su entrada nos indica, ahí vamos a descubrir qué factores hay que tener en cuenta para conseguir construir un edificio con buena acústica, haciéndonos viajar incluso a la antigua Grecia y Roma.
• José del Toro nos cuenta el 9 de Marzo desde su blog Enciclopedia Galáctica sobre Las propiedades de las partículas que revelan la naturaleza y origen de la materia y las propiedades del espacio y el tiempo. Esta entrada es en realidad la segunda parte de una entrada anterior y aparte de hablar de dichas propiedades, se nos hace un repaso histórico sobre los descubrimientos en el tema.
• El 16 de Marzo, desde Amazings, Manuel Sánchez nos habla de Joseph Lister: bacterias, fenol, aerosoles y colutorios. Lister tenía el problema de cómo aerosolizar una solución química para que actuaran sobre unos microorganismos que estaban en suspensión en el aire. Consiguió resolver este problema gracias al efecto Venturi.
• El 19 de Marzo, desde el blog Vega 0.0, José Sevilla nos caracteriza 15 objetos trans-neptunianos. Concretamente nos habla de los resultados obtenidos al respecto por Pablo Santos Sanz, astrofísico del Observatorio de París (Meudon).
• Verónica Casanova, el 21 de Marzo y desde el blog Astrofísica y Física, nos habla de la Espectroscopia en la Astronomía. Concretamente nos habla del estudio de los distintos objetos del universo a través de la luz que recibimos de ellos y sobre qué se puede deducir de esto, como por ejemplo se hizo para deducir la aceleración de la expansión del universo.
• El 24 de Marzo, desde El Imperio de la ciencia, Yasab (alias Pitheas), nos habla de la Letalidad de Proyectiles. En esta entrada podremos ver muchos conceptos básicos de física de instituto (segunda ley de Newton, choques de objetos, etc) para ver los efectos entre distintos proyectiles.
• También el 24 de Marzo, desde Últimas Noticias del Cosmos, Gerardo Blanco con Salto de órbita: Earth Exploration Toolbook, Jules Verne Voyager y 2Mp nos muestra tres herramientas online que permiten aprender y utilizar datos de la Tierra (y otros mundos) para realizar mapas satelitales, así como para aprender de la geología, clima, atmósfera y otros tópicos.
• Y el día más activo, el 25 de Marzo, Araceli Giménez desde El Mundo de las ideas participa en el Carnaval contándonos Los secretos de la luz. De nuevo aquí nos hablan de la luz, pero esta vez se centra sobre todo en los colores, respondiendo preguntas como ¿por qué el cielo es azul? A destacar que esta entrada es la parte teórica de un taller realizado con niños de Altas Capacidades y Talentos.
• Y sin abandonar dicho taller, ese mismo día, desde High Ability Dimension, de nuevo Araceli Giménez en esta ocasión junto a Ruth Ciscar, nos muestran en Medida de la Luz como en dicho taller se lo pasaron muy bien midiendo distintas fuentes de luz con un luxómetro.
• Y por último, pero no menos importante, Byron David, desde su blog de ciencia nos habla sobre ¿Fusión nuclear? ¿Es posible reproducir la energía del sol en la Tierra? En su entrada, nos habla de forma muy amplia sobre la fusión nuclear y lo que se puede obtener actualmente con ella.

Y para terminar, simplemente quiero darle las gracias a todos los participantes ¡por participar en esta edición del Carnaval!

¿Cómo podéis contribuir a dicho carnaval? Pues es sencillo. Para ello solo que tenéis que publicar al menos una entrada en vuestro blog, o similar, que esté relacionada de alguna forma con la física. No hace falta que sea una entrada pura sobre física sino que puede ser de tipo histórico, literario, artístico (como por ejemplo una foto), etcétera. Además debéis de indicar en dicha entrada que participáis en el carnaval, además de incluir un enlace a este blog como anfitrión. Y solo sería eso. Tenéis hasta el 25 de Marzo para hacer vuestra contribución y ya incluiré yo sobre el 30 de dicho mes un resumen con todas las entradas de este carnaval. Pero claro, tendréis una pregunta, ¿cómo me podéis indicar que participáis en esta edición con vuestras entradas? Pues tenéis 2 formas:

• Podéis indicarlo en la web del carnaval.
• También podéis indicármelo directamente por correo electrónico. Y esto podéis hacerlo de dos formas. La primera es usar el formulario de este blog al que podéis acceder pinchando aquí. Y si preferís enviarme directamente un correo electrónico, este es de la forma carlos@XXXXXXX.com, pero sustituyendo XXXXXXX por la palabra "rubik az", sin comillas y eliminando el espacio.

Y eso es todo, ¡espero ansioso vuestras entradas!

Venga, rápidamente, ¿cuál es la solución? Pues la mayoría de los alumnos (más del 90%) dicen que la solución es

ya que simplifican y es lo que les queda. Pero, ¿qué pasa si en vez de simplificar desarrollamos y resolvemos? Pues al desarrollar nos queda

Pasándolo todo al lado izquierdo nos quedaría como

Y esta ecuación sabemos resolverla todos, podríamos hasta resolverla sin fórmula. Bien, la solución que nos da es

Pues sí, efectivamente es una solución, pero nos faltaría . ¿Dónde está el fallo entonces? Pues a la hora de simplificar que hemos tachado el . ¿Por qué? Pues porque cuando simplifiquemos tenemos que asegurarnos de que lo simplificado es no nulo. Así que el procedimiento correcto para poder simplificar sería el siguiente:

• Si entonces se cumple la ecuación (es decir, queda ) y en tal caso se tiene claramente que (ya que ).
• Si entonces podemos simplificar y la ecuación se queda como .

Y así podríamos haber obtenido las 2 soluciones de primeras sin hacer más cálculos.

Con esta entrada participo en la Edición 3.1 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Scientia potentia est.

Bueno, a lo que iba. Todos sabemos en que se diferencia un zurdo y un diestro, en que la mano "buena" para los primeros es la izquierda y para los segundos es la derecha. Esto hace que cualquier cosa que hagamos unos y otros la hagamos con las manos cambiadas, bueno, no todo. Realmente todo, o casi todo lo que nos rodea está hecho para diestros, pero mucho más de lo que os puede parecer. Por ejemplo los sacacorchos, aunque no lo parezcan son para diestros. O por ejemplo cualquier electrodoméstico que tengáis (tele, microondas, horno, etc), salvo que tengan los botones en el centro, casi siempre los tienen a la derecha (derecha desde el observador). Os aseguro que si empezáis a observar lo que tenéis a vuestro alrededor, la gran mayoría de las cosas estarán diseñadas para que, en caso de no ser perfectamente simétricas, estar adaptadas a los diestros. Esto hace que claro, los zurdos no lo hagamos todo al revés que los diestros, incluso que nos acostumbremos a hacer algunas cosas con la derecha que podríamos hacer con la izquierda. Yo mismo uso el ratón del ordenador con la derecha y me siento torpe al usarlo con la izquierda a pesar de ser zurdo. ¿Por qué me pasa esto? Porque los primeros ordenadores que usé fueron en la universidad y solían tener el ratón a la derecha y así me acostumbré.

Pero... curiosamente hay cosas que los zurdos no hacemos al revés que los diestros (y eso que los zurdos en general somos más zurdos que los diestros son diestros) y para eso he hecho esta entrada, para comprobarlo. A la hora de comer, ¿qué hacemos?

Imaginad que estamos comiendo algo en lo que solo se usa el tenedor o la cuchara, vamos, solo un cubierto (una sopa, arroz, una ensalada, etcétera). En este caso los diestros cogen dicho cubierto con la derecha y como es de esperar los zurdos con la izquierda. Pero... ¿qué pasa si tenemos que usar dos cubiertos? Por ejemplo cuchillo y tenedor para comernos un trozo de carne:

• El diestro normalmente usa su mano derecha en esta ocasión para coger el cuchillo y con la mano izquierda usa el tenedor. Bueno, esto al menos mientras corta la carne. Una vez separado un trozo del resto hay quien se lleva el tenedor a la boca con la mano izquierda y hay quien se cambia los cubiertos de mano para hacerlo con la derecha, para luego volver a intercambiarlos.
• El zurdo sin embargo en general ¡¡no coge el cuchillo con su izquierda!! Esto lo digo por lo que he llegado a observar, algún caso me falla, pero la mayoría creo que lo hace así. Cuchillo con la derecha y tenedor con la izquierda, ¡al igual que los diestros! Eso sí, luego no nos cambiamos los cubiertos de mano como hacen muchos diestros, ya que el tenedor lo tenemos en nuestra mano buena.

Y como esto que cuento es solo mi experiencia personal, vamos a tratar de averiguar si tengo razón o no. Si eres zurdo, dinos cuál es tu caso, ¿cómo usas el cuchillo y tenedor? Para ello contesta a la siguiente encuesta (si eres diestro ¡no contestes!)

Si conocéis algún zurdo (que seguro que sí), pasadle la encuesta, ¡gracias!

P.D. Vaya, hacía tiempo que no escribía algo no relacionado con las matemáticas, me siento raro...

— Pues yo una vez lo hice todo menos una pieza que estaba mal.
— ¿Que estaba mal? ¿Estaba girada o es que no estaba en su sitio?
— No, no estaba girada, es que no estaba en su sitio.
— ¿Pero había otra mal o solo esa?
— Solo esa.
— Pues no es posible ya que si esa pieza no estaba en su sitio, en el lugar donde debería de estar también habría una pieza que no estaba en su sitio, ¿no?
—...

También me han llegado a decir cosas como:

— Pues yo una vez conseguí resolver 5 caras.
— Uhm, pero ¿la sexta no la hiciste?
— No, la sexta no, solo me faltó esa.
— Pero entonces, si por ejemplo la cara que te faltaba era la roja, ¿dónde estaban las pegatinas rojas en el cubo? No podían estar en ninguna de las otras 5 caras porque si están resueltas tienen las pegatinas de su color, así que si haces 5 caras, la sexta sale sola.
—...

Eso sí, a veces la conversación empieza así:

— Pues yo una vez hice el cubo entero a falta de 2 piezas que tenía que intercambiar.
— Eso no es posible.
— ¿Por qué no es posible?
— Pues porque...

Y aquí ya depende. Si estoy hablando con un matemático por ejemplo, suponiendo que se acuerda de las nociones básicas del grupo de permutaciones, le podría decir:

—Pues porque al partir del cubo resuelto, tanto para mezclarlo como para resolverlo, cada vez que mueves una cara fíjate que la permutación de piezas es par (son dos 4-ciclos) y como la composición de permutaciones pares es una permutación par, la posición del cubo de rubik nunca podrá ser una permutación impar, como es el caso de tener 2 piezas intercambiadas.

Así que querido lector, si tienes las nociones suficientes, quizá con lo que acabas de leer te ha quedado totalmente claro por qué no se puede intercambiar 2 piezas en el cubo de rubik dejando el resto en la misma posición. Y si no, pues lo que acabo de decir te habrá sonado a chino. Si te ha sonado a chino no te preocupes, porque así le va a pasar a la mayoría de los lectores y por otro lado, esta entrada está dedicada a que lo entiendas, voy a explicar con todo detalle el motivo por el que no pueden quedarte solo 2 piezas a intercambiar en el cubo de rubik. Va a ser una entrada larga, pero os aseguro que va a ser totalmente comprensible.

Antes de nada, y para el que no esté muy familiarizado, ¿a qué me refiero por piezas? No, no a las pegatinas sino piezas, lo primero que hay que hacer para intentar resolver el cubo es darse cuenta de que intercambiamos piezas, no tan solo pegatinas. Hay 3 tipos de piezas:

• Los vértices, que son la piezas con 3 pegatinas y que "viven" en 3 caras. Hay 8 en total.
• Las aristas, que son las piezas que tienen 2 pegatinas, las que están en los centros de cada lado dle cubo. Hay 12 en total.
• Los centros, que son las piezas centrales de una cara y tienen una sola pegatina, habiendo 6 en total.

Pues bien, al mezclar o resolver un cubo de rubik, lo que hacemos es girar las caras y al girar cada cara estamos moviendo 4 aristas y 4 vértices, los centros quedan fijos. Si alguien dice que los centros se mueven al girar una capa central, sí, es cierto, pero girar la capa central es equivalente a girar las dos capas laterales a dicha capa, y si lo vemos de esa forma, los centros estarían fijos. Así que las piezas que se van a ir permutando son los vértices por un lado y las aristas por otro, claramente no podemos intercambiar piezas de distinto tipo. Estas piezas también se podrán ir girando, pero no nos vamos a meter en eso ahora. Pero...

¿Qué quiere decir permutar? Pues bien, una definición no formal, pero que podríamos considerar precisa, es que una permutación es intercambiar la posición de unos objetos (formalmente sería una aplicación biyectiva de un conjunto finito en si mismo). Vamos a ver un ejemplo. En la siguiente tabla considero como objetos las letras A, B, C, D, E, F, G y H una al lado de otra en la primera fila. Las vamos a intercambiar mostrando en la segunda fila el resultado de la permutación:

Lo que ha pasado es que B está en la posición de A, D en la de B, F en la de C, H en la de D, C en la de E, E en la de F, A en la de G y G en la de H. Esta permutación la vamos a llamar P1. Pues esto es lo que hacemos cada vez que hacemos una serie de movimientos con el cubo de rubik, permutar piezas. Así que al aplicar unos movimientos se haría una permutación, al hacer otros, obtendríamos una permutación. ¿Y qué pasa cuando aplicamos una permutación y luego otra? Pues que obtenemos una nueva permutación que llamaremos el producto de dos permutaciones. Veamos un ejemplo. Consideremos una nueva permutación que llamaremos P2:

¿Quién será ahora P1*P2? Pues bien, en la primera permutación, A va a la posición de G, y en la segunda permutación G va a la posición de F. Por tanto en el producto A irá a F. Si miramos B, en la primera permutación va a la posición de A que en la segunda permutación va a E. Por tanto B irá a E. Si vamos haciendo esto con todas las letras, al final nos quedará que P1*P2 es

Bueno, ya vais viendo cómo se pueden ir estudiando los movimientos del cubo de rubik con permutaciones (aunque en los ejemplos estamos poniendo permutaciones de 8 elementos cuando el cubo tiene más de 8 piezas). Fijémonos ahora en P1 y veamos qué pares de piezas han intercambiado el orden. Para que no subáis os pongo aquí de nuevo la permutación.

Pues bien, inicialmente B estaba a la derecha de A, sin embargo tras la permutación A está a la derecha (varias posiciones a la derecha de B). Por tanto A y B han intercambiado orden. Sin embargo hay otras parejas que no han intercambiado orden, como por ejemplo B y D. ¿Cuántas parejas han intercambiado el orden? Pues A con B, A con D, A con F, A con H, A con C, A con E, C con D, C con F, C con H, E con F, E con H y H con G. En total hay 12 intercambios de orden que es un número par.

Diremos que una permutación es par cuando tenga un número par de intercambio de orden, y diremos que es impar cuando el número de intercambio de orden es impar.

Vaya, ya empezáis a entender algunas de las cosas que parecían chino, ¿no? Bueno, todavía nos queda explicar algunas cosas más. Hay un tipo particular de permutaciones que nos van a ser muy útiles, los ciclos. ¿Qué es un ciclo? Pues un ciclo es una permutación en la que todos los elementos que se van a mover lo hacen "de forma cíclica", es decir, que si ves a donde se mueve un elemento, ves a donde va después de aplicar la permutación de nuevo y vas viendo por donde va pasando el elemento cada vez que se aplique la permutación, pasará por todas las posiciones que se mueven. Si no queda claro, tranquilos, veamos un ejemplo. Recordemos la permutación P2:

El elemento B y C no se mueven, pero ¿qué pasa con el resto? Pues A va a la posición E, E va a la posición H, H va a la posición G, G va a la posición F, F va a la posición D y D vuelve a la posición A. Vamos, que se mueven de forma cíclica:

.

Como se pasa por todos los elementos salvo los fijos, se tiene que P2 es un ciclo. Como en el ciclo intervienen 6 elementos podemos especificar esto diciendo que además es un 6-ciclo. Para expresar un ciclo, en vez de usar la tabla, podemos hacerlo como hemos hecho antes con las flechitas. Para simplificar la notación podemos quitar la A final ya que sabemos que el ciclo termina por donde empieza y además eliminaremos las flechitas añadiendo unos paréntesis a los lados. Vamos, que el ciclo P2 se puede escribir como

Más sencilla esta escritura, ¿no? Además toda permutación se puede poner como producto de ciclos disjuntos, bueno, salvo la permutación identidad, la que deja todos los elementos fijos, aunque en este caso podríamos decir que es el producto de 0 ciclos. Disjuntos quiere decir que afectan a distintos elementos. ¿Cómo podemos descomponer una permutación como producto de ciclos disjuntos? Pues muy fácil, solo tenemos que coger una permutación y ver el recorrido que va haciendo cada letra. Por ejemplo en P1 A pasa por G, luego H, luego D y luego B, volviendo entonces a A. Y si nos fijamos en las 3 letras restantes, C va a E, luego a F y vuelve a C, con lo que se tiene que

.

Y no solo los ciclos nos van a permitir escribir las permutaciones de forma más sencilla, sino que además nos van a ser muy útiles para saber la paridad de una permutación. ¿Cómo? Pues gracias a los 2-ciclos. Imaginad que tenemos una permutación P cualquiera y la multiplicamos por un 2-ciclo, por ejemplo (C F). Pues bien, al hacer esto, las letras en las posiciones C y F se intercambian con lo que se genera un intercambio de orden (o se deshará en el caso de que ya estuviesen intercambiados). Además, C intercambiaría el orden con D y E, pero es que F también intercambiaría orden con D y E. Así que si contamos los intercambios de orden que se han producido, en total habrá 5, algunos intercambios de orden serán nuevos y otros habrán deshecho intercambios. En cualquier caso, lo que queda claro es que si P era una permutación par, al hacer 5 nuevos intercambios de orden, P*(C F) se habrá vuelto impar e igualmente. Igualmente, si P era impar, esos 5 intercambios harían que P*(C F) fuese una permutación par. Así que:

Multiplicar por un 2-ciclo cambia la paridad de una permutación.

Además, como un 2-ciclo es claramente una permutación impar, al multiplicarlo por otro 2-ciclo se volverá par. Si lo multiplicamos por otro (3 en total) se volverá impar, si añadimos otro (4 en total) será par, y así. Por ello tenemos que

El producto de n 2-ciclos tiene la misma paridad que el número n.

¿Veis ya la importancia de los 2-ciclos? Pero es que todavía es más, cualquier ciclo se puede poner como producto de 2-ciclos. Veámoslo con un ejemplo, el de un 4-ciclo (que es el que nos va a salir en el cubo de rubik). Tenemos por ejemplo que

¿De verdad? Pues claro. La de la izquierda lleva A a B. ¿Y la de la derecha? El primer 2-ciclo no afecta a A, el segundo tampoco, y el tercero lleva A a B. Por ahora bien. ¿Y con B? Debería de ir a C. Pues el primer 2-ciclo no afecta a B, el segundo lleva B a C y una vez en C el tercer 2-ciclo no le afecta. ¿Va C a D? Pues sí, porque así lo hace el primer 2-ciclo y los otros 2 no afectan a D. ¿Va D a A? Claro, el primer 2-ciclo lleva D a C, el segundo C a B y el último B a A. Así que ciertamente se tiene dicha igualdad. Y se puede hacer lo mismo con cualquier ciclo, otro ejemplo:

Es más, si nos fijamos en la descomposición que estamos haciendo, todo n-ciclo se puede poner como el producto de (n-1) 2-ciclos. Y de aquí deducimos que un n-ciclo tiene la misma paridad que n-1.

Recapitulemos un momento, toda permutación se puede poner como producto de ciclos y todo ciclo se puede poner como producto de 2-ciclos. Por tanto:

¡Toda permutación se puede poner como producto de 2-ciclos!

Así que para estudiar la paridad de una permutación, podemos descomponerla en 2-ciclos y contar cuantos tenemos. Observad ahora otra cosa, si tenemos dos permutaciones impares, que se descomponen por ejemplo en n y m 2-ciclos (con n y m impares), el producto de estas dos permutaciones lo podremos descomponer en el producto de n+m 2-ciclos, los n de la primera y los m de la segunda. Así que el producto de estas 2 permutaciones tiene que ser una permutación par ya que n+m lo es. Razonando así con dos pares o con par e impar obtenemos:

• El producto de 2 permutaciones pares es par.
• El producto de 2 permutaciones impares es par.
• El producto de una permutación par por otra impar es impar.

¡Pues ya está! Con toda esta larga explicación, pero sencilla, ya podemos ver por qué no se pueden intercambiar 2 piezas en el cubo de rubik. ¿Por qué? Veamos cualquier posición del cubo de rubik como una permutación de las piezas.

1. Nada más comprarte tu cubo de rubik, cada pieza está en su sitio así que equivale a la permutación identidad que es PAR.
2. Todos los movimientos que hagas con el cubo de rubik se pueden reducir a varios giros de 90 grados de las distintas caras.
3. Cuando giras una cara 90 grados, en realidad estás intercambiando 4 esquina de forma cíclica y 4 aristas de forma cíclica, vamos, que tienes un par de 4-ciclos.
4. Cada 4-ciclo es una permutación impar, pero al tener 2, la permutación será par.
5. Por tanto cada vez que gires una cara estás multiplicando por una permutación par.
6. Conclusión, si partimos de una permutación par (el cubo resuelto) y vamos multiplicándola por permutaciones pares (girar una cara 90 grados), por muchos movimientos que hagamos, siempre seguiremos teniendo una permutación par. Así que nunca podemos tener solamente 2 piezas intercambiadas ya que eso sería una permutación impar.

Espero que haya quedado claro. De todas formas, por si os habéis quedado con ganas de más, no paro aquí. Hace unos pocos años sacaron la siguiente variante del cubo de rubik:

Es un cubo de rubik, pero sin centros, hasta puedes meter el dedo por él (por si os interesa, podéis comprar uno por unos 5 euros, envío incluido, aquí). Pero vamos, como los centros del cubo de rubik son fijos, pues en un principio a la hora de resolverlo debe de ser lo mismo, ¿no? Pues con el ratón girad el siguiente cubo para ver que está resuelto, dadle al play y observad cómo queda:

Por si no podéis ver el applet ya sea porque tengáis algo más instalado o estéis usando un dispositivo portátil, en la animación se ve un cubo sin centros resuelto en el que tras unos movimientos... ¡¡se intercambian 2 piezas!! ¿Cómo es posible esto si en el cubo de rubik con centros no se puede?

Pues esto mismo es una gran sorpresa para la mayoría de la gente que sabe hacer el cubo de rubik. Y lo que me resulta más curioso es que ellos se pregunten que como es posible que pase esto en el cubo sin centros cuando de hecho nunca se han preguntado que por qué no pasa en el cubo estándar.

Así que aquí lo dejo, para que penséis vosotros por qué pasa, aunque no es demasiado difícil dar con ello.

Con esta entrada participo en la Edición 2.10 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Resistencia Numantina.

Imágen de la cuenta de flick de jesus.gil.hernandez

Bueno, pues mi conjetura por entonces era que la ventaja la tendría el del interior, pero no era capaz de comprobarlo, que era muy pequeño yo por entonces. Y lo cierto es que  no se me iba de la cabeza esa pregunta. Recuerdo cuando algo después vi el anuncio de un scalextric y en un momento dado había un cruce pasando el del interior al exterior y viceversa, con eso se solucionaba lo de la ventaja siempre que fuera un número par de vueltas, aunque entonces me preocupaba que los coches chocasen o no al cruzar...

De todas formas, mi cabeza por entonces iba más allá y ya no solo se preguntaba quién tendría ventaja sino incluso me planteaba si se podría diseñar un circuito para que ambos coches tuviesen las mismas posibilidades. Bueno, pues ahora que soy un poco más grande vamos a tratar de ver aquí qué pasa. Vamos a considerar scalextrics planos como el de la foto de arriba, es decir, sin puentes, cruces ni nada de eso.

¿Qué coche recorre menos distancia?

Recuerdo que de pequeño pensaba que tenía que ser el del interior, al menos en el scalextric que vi. Sin embargo en un scalextric hay curvas en los dos sentidos, es decir, en unas curvas uno de los dos coches irá por el interior de dicha curva y en otras curvas será el otro el que vaya por el interior. Así que quizá se podría diseñar algún circuito para que los dos coches recorrieran la misma distancia. ¿Será eso posible? Vamos a ver.

Antes de empezar vamos a fijar nuestro tipo de circuito. Será uno totalmente plano, y la separación de los carriles será siempre la misma y la denotaremos por D, sin cruces ni nada parecido. Además todas las curvas serán trozos de circunferencias, que de hecho creo que así es en el caso de los scalextric (o al menos antes). Además el circuito se recorrerá en el sentido de las agujas del reloj.

Bien, ahora al ir montando el circuito, además de las rectas iremos poniendo trozos de curvas, las curvas a derechas favorecerán al coche que va por el interior del circuito y a izquierdas favorecerán al coche que va por el exterior. Está claro que tiene que haber más curvas a derechas que a izquierdas ya que el circuito da una vuelta, en total 360º de curvas más hacia la derecha (está claro, pero demostrarlo no es tan fácil, pero confiad aquí en vuestra intuición).

¿Qué ventaja tiene el que recorre el interior de la curva? Pues bien, todos sabemos que si tenemos una circunferencia de radio R, la longitud de esta es

medido en la unidad que pongamos el radio. Ahora bien, no nos interesa la longitud de una circunferencia sino de un trozo de esta, digamos que de radianes, para el que no conozca los radianes, una vuelta de circunferencia son radianes así que para pasar de grados a radianes se hace con una simple regla de 3. Pues también con una regla de 3, teniendo en cuenta que la longitud de la circunferencia equivale a $2\pi$ (o 360 grados) tendremos que la longitud de una curva de radianes y radio R es

Si el radio de la curva para el coche que va por el interior de esta es , para el que va por el exterior será y por tanto la longitud que recorre será

¿Cuánto recorre un coche más que el otro? Pues restando las expresiones anteriores obtenemos que la diferencia es , vamos, que la ventaja es directamente proporcional al ángulo.

Observemos que esta diferencia no va a depender del radio de la curva, solo del ángulo que recorre esta. Por tanto, como el que va por el interior del circuito va a ir por el interior de las curvas durante 360º más que el otro, independientemente de cómo esté diseñado el circuito, su recorrido será menor, ¿cuánto? Pues exactamente

.

Así que parece ser que tiene ventaja el que va por el interior!!! ¡Lo sabía! ¡Desde que era un pequeñajo siempre pensé que era así! Pero ¡ojo! ¿Seguro que tiene ventaja el del interior?

¿Quién tiene ventaja realmente?

Se nos ha olvidado tener en cuenta un detalle. Aunque ciertamente el que va por le interior recorre menos distancia, habría que tener en cuenta también que el que va por el exterior, al describir una curva de radio mayor, puede ir más rápido. Ante la pregunta quién tarda menos en recorrer la curva, la respuesta es que claramente el del interior, ¿por qué? Pues basta con ver a Fernando Alonso que suele tomar las curvas por el interior y no por el exterior. Eso sí, quizá ya la ventaja que consiga el del interior ya no sera proporcional al ángulo. Venga, vamos a verlo.

Lo primero, ¿cuál es la velocidad máxima que podría alcanzar el coche sin salirse de la curva? Pues bien, mientras mayor sea la velocidad, mayor será la fuerza que deberá de aguantar el soporte del coche para que este no salte. Supongo que influirán muchos factores, pero vamos a ir a lo sencillo, no vamos a considerar la aerodinámica de los coches, simplemente la fuerza necesaria para tomar una curva. Calculemos primero cuanto es dicha fuerza. Supongamos que un coche está dando vueltas a una velocidad V en un círculo de radio R centrado en el eje de coordenadas. Pues su trayectoria podría describirse con la siguiente función:

donde por t indicamos el tiempo. Derivando la expresión anterior obtendremos la velocidad:

y derivando de nuevo la aceleración:

El módulo de la expresión anterior y por tanto la aceleración que tendrá que soportar el coche será

Por tanto, si es la aceleración máxima que el soporte del coche aguanta, la velocidad máxima será la que cumpla la siguiente ecuación:

y por tanto esta velocidad será

Ahora bien, como la distancia que tenía que recorrer era se tiene que el tiempo que tardará en recorrer dicha curva será

Observad ahora el detalle, ahora sí que influye el radio de la curva, y como era de esperar el que va por el interior de esta (radio menor) tardará menos. ¿Cuánto tiempo le sacará de ventaja el del interior de la curva al exterior? Pues bien, este tiempo será ahora

y esta cantidad sí que va a depender del radio, de hecho mientras mayor sea el radio de la curva, menor será la ventaja que saque el que va por el interior. Por tanto, podríamos diseñar un circuito en el que las curvas a izquierdas tengan un radio muy pequeño y las curvas a derechas muy grande, de forma que a pesar de que haya más curvas a derechas, la ventaja en las curvas a izquierdas sea tan grande que al final compense el ir por el exterior. Vamos, que podemos diseñar el circuito para que la vuelta óptima de cada coche sea la misma o para que tenga ventaja el que queramos de los dos, ya sea el interior o el exterior.

Nota: habría que tener algunas cosas más en cuenta. Aparte de que la aerodinámica de los coches hacen que pueda variar la resistencia del soporte, no he tenido en cuenta que al salir de las curvas cada coche tendrá una velocidad distinta y por tanto al principio de la siguiente recta el que iba por el exterior irá más rápido. En cualquier caso esto sería un punto a favor del que va por el exterior de la curva, lo que refuerza realmente la conclusión final. También habría que tener en cuenta que estamos hablando en todo momento de quien llega antes si hace una carrera perfecta (velocidad al máximo), habría que tener en cuenta que puede ser más difícil por un carril que por otro el acercarnos a esa perfección. En fin, si nos pusiéramos con todos los detalles, no terminaríamos nunca!

Con esta entrada participo en la Edición 2.9 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Que no te aburran las M@TES.

Y bueno, puesto que también estoy hablando de física aprovecho para participar en la XXVI Edición del Carnaval de la Física que se celebra este mes en el blog Cuentos Cuánticos.

- Pregunte por la raíz cúbica de un número entre el 1 y el millón.
- Uhm... raíz cúbica de 673.456.
- 87
Y la respuesta se ha dado al instante. A continuación coge la azafata la calculadora, introduce el número en cuestión, pulsa el botón de la raíz cúbica y de golpe aparece 87,65 con lo que el público empieza a aplaudir ese increíble cálculo...

Pero... ¿realmente es tan increíble? Pues no, en este caso es simplemente una prueba de memoria. ¿Se ha aprendido de memoria la raíz cúbica de un millón de números? No, no, mucho más sencillo, se ha aprendido el cubo de tan solo 100 números, los 100 pirmeros, cosa que cualquier persona podría hacer. Y si sabes que el cubo de 87 es 658.503 y que el cubo de 88 es 681.472, como el número dicho está entre estos dos, pues la parte entera de la raíz (sin decimales) tiene que ser 87. ¿A que no es para tanto? Y bueno, con algún truquillo más, haciendo alguna cuenta no demasiado complicada se puede calcular algún decimal más.

No voy a decir que todas estas calculadoras humanas no tienen grandes capacidades de cálculo. Todo lo contrario, las tienen y con creces, son capaces de hacer muchas operaciones básicas bastante rápido y además  capaces de retener en la memoria los resultados de varios cálculos. Pero sí es cierto que muchas veces los cálculos no son tan complejos como puede parecer (como se ha visto en el ejemplo anterior) y lo cierto es que al menos para mi, en ocasiones es más interesante el "truco" que están usando que lo rápido que hagan el cálculo. Por si alguno ya está diciendo que todo esto es trampa, que conste que nosotros también hacemos este tipo de trampas, por ejemplo en vez de sumar muchas veces multiplicamos que es más rápido e incluso nos hemos aprendido en el colegio las tablas de multiplicar. El que otro se sepa tablas mayores no significa que sea un tramposo. En fin, no me voy a dedicar a contaros los trucos de los grandes maestros ya que en la práctica en muchas ocasiones hay que memorizar tablas, así que hay que dedicarle tiempo, pero sí algunos truquillos más sencillos que nos pueden permitir de cabeza hacer cálculos que no esperábamos:

Dividir (y multiplicar) por 5.

Este va a ser el caso más sencillo, sin que lo diga la mayoría ya estará pensando que podría ahorrarme comentarlo porque lo sabe todo el mundo, pero no es así. De hecho me sorprendió que la camarera de un restaurante no hace mucho no supiera cómo había sacado a lo que tocábamos cada uno en una cena de 5 personas. En fin, el método es sencillo:

Como 5=10/2, para dividir entre 5 basta multiplicar por 2 y luego dividir entre 10 (correr la coma).

Ejemplo: 43,20 euros entre 5 personas. Multiplicando por 2 sale 86,40 así que tocamos a 8,64 euros cada uno.

¿Y para multiplicar por 5? Pues lo contrario, dividir entre 2 y multiplicar por 10. Por ejemplo, si partimos del número 1234, al dividirlo entre 2 nos queda 617 por lo que el resultado de multiplicar por 5 será 6170.

Sí, quizá en el caso de multiplicar no mejoremos tanto como al dividir, pero ahí está el método. Obviamente, si sabemos dividir entre 5 sabremos dividir entre 50 (dividir primero entre 5 y luego entre 10 que es correr una coma), entre 500 y así.

Dividir (y multiplicar) por 25, por 125, por 625, etc.

Este caso se reduce al anterior ya que 25=5x5, 125=5x5x5 y así. Por tanto, si queremos por ejemplo dividir entre 25, solo debemos de dividir 2 veces entre 5, es decir, multiplicamos 2 veces por 2 (o una vez por 4) y corremos la coma a la izquierda 2 veces.

Ejemplo: Quiero dividir 3252 entre 25. Multiplicado por 2 es 6504 y multiplicado otra vez por 2 es 13008. Por tanto 3252 entre 25 es igual a 130,08.

Multiplicar por 9, 99, 999, 9999...

Sencillo, por cada 9 le añadimos un 0 al número en cuestión y al resultado le restamos el número original. ¿Esto por qué es así? Pues si vemos por ejemplo el caso de 999 tenemos que 999=1000-1 y por tanto

y precisamente multiplicar por 1000 es añadir 3 ceros. Veamos un ejemplo:

Elevar al cuadrado un número si conocemos el cuadrado anterior.

Simplemente tenemos que aplicar la siguiente fórmula:

Por tanto debemos de multiplicar el número por 2, restarle 1 y sumarle el resultado al cuadrado del anterior. Por ejemplo, el cuadrado de 80 es 6400 (el cuadarado de 8 y añadimos dos ceros) y el doble de 81 es 162, por tanto el cuadrado de 81 es

Ahora también podemos sacar el cuadrado de 82, puesto que sabemos el de 81:

Multiplicar 2 números de dos dígitos que tengan el primero igual y que los segundos sumen 10.

Sí, es un caso un poco particular, pero ciertamente rápido. Tenemos que multiplicar el primer dígito de un número por sí mismo aumentado en 1, multiplicamos los 2 dígitos finales obteniendo un número de dos cifras (si fuera 1 cifra, añadimos un 0 a la izquierda) y ponemos ambos resultados uno al lado del otro. Veamos ejemplos:

Calculemos 57x53. El primer dígito es 5 y 5x6=30. Además 7x3=21. Juntando los 2 números nos da que el resultado será 3021.

Veamos ahora 81x89. Primero tenemos que 8x9=72 y por otro lado 1x9=9 (como necesitamos 2 dígitos lo ponemos como 09) así que el resultado final será 7209.

¿Por qué funciona esto así? Imaginemos que el dígito común es a y los otros dos son b y c. El primer número será por tanto 10a+b y el segundo 10a+c. Por tanto:

donde hemos usado que b+c=10.

Multiplicar 2 números entre 10 y 19.

Una forma sería saberse las tablas de multiplicar del 1 al 2o en vez del 1 al 10. Pero si no nos las sabemos, podemos usar el siguiente truco. Primero sumemos al número mayor la unidad (el número de la derecha) del otro, le añadimos un 0 y le sumamos el producto de las unidades de ambos números. Por ejemplo para 15x17, sumamos 17 con 5 quedando 22, le añadimos un 0 quedando 220 y le sumamos 5x7=35 así que

Podéis comprobar que esto funciona así de forma similar que hemos visto el caso anterior.

Elevar al cuadrado un número terminado en 5.

Eliminamos el 5 y multiplicamos el número que queda por si mismo más 1 y al resultado le añadimos a la derecha un 25. Obviamente si el número tiene muchas cifras nos costará más. Probemos por ejemplo con 125. Primero tendremos que multiplicar 12 por 13, que usando el apartado anterior será 13+2=15, añadimos un 0 y le sumamos 6 quedando 156. Ahora solo tenemos que añadir un 25. Por tanto

¿Esto por qué es así? Bien, si el número es de la forma 10a+5 tenemos que

Multiplicar un número de 2 cifras por 11.

Muy sencillo. Sumamos las 2 cifras y si nos da un número de 1 cifra lo ponemos entre los otros 2. Si da un número de 2 cifras ponemos la unidad entre las 2 iniciales incrementando en 1 la primera. Veamos un par de ejemplos.

Hagamos 63x11. Como 6+3=9 tenemos que

Hagamos 86x11. Ahora 8+6=14 por lo que el número a poner en medio será el 4 y le sumaremos 1 al 8 quedándonos

Os dejo que os penséis por qué esto se hace así, aunque no creo que tengáis mayor problema en daros cuenta. Bueno, y con esto creo que os podéis hacer una idea de cómo con algunos truquillos se pueden simplificar mucho algunas operaciones, haber hay muchos más, para operaciones más complicadas, pero en algún momento tenía que parar. Además también podemos combinar cosas de estas o por ejemplo que multiplicar por un número que termina en 0 es lo mismo que quitar el 0, multiplicar y añadirlo al final, etcétera. Como regalo os pongo algunos links para que probéis vuestra velocidad a la hora de realizar cálculos y así podéis poner en práctica estos truquillos y los que se os ocurran por el camino. Aunque pueda parecer imposible superar algunas pruebas, con un poco de práctica salen. Todos los que voy a poner los he conseguido hacer así que ¿por qué tú no vas a poder? Ahí van:

55 multiplicaciones de 1 cifra en 2 minutos.

100 multiplicaciones de 1 cifra por un número entre 10 y 19 en 3 minutos.

55 multiplicaciones de números entre 10 y 19 en 3 minutos (aquí podéis poner en práctica claramente uno de los trucos).

100 multiplicaciones de 1 cifra por un número entre 20 y 29 en 4 minutos.

55 multiplicaciones de números entre 20 y 29 en 5 minutos.

Cuadrado de los 50 primeros números en 4 minutos.

Las 10 primeras potencias de los 10 primeros números en 20 minutos.

Con esta entrada participo en la Edición 2.8 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Ciencia Conjunta

Si contestas al azar a esta pregunta, ¿cuál es la probabilidad de acertar?

a) 25%

b) 50%

c) 0%

d) 25%

Solamente he cambiado la opción c, en la pregunta tan famosa, ponía 60%. ¿Sabéis la respuesta a esta? Bueno, para no ser menos, voy a poner yo también la pregunta en una foto. Desgraciadamente la pizarra de mi despacho es de las blancas así que cuando no se haga famosa esta versión, podré culpar a mi pizarra!

Bueno, además de culpar la pizarra, puedo culpar a mi móvil por no tener flash, la mala iluminación en el momento de la foto y a mi fea caligrafía . Por cierto, la pregunta enlazada inicialmente la vi por primera vez en menéame.

Situémosnos temporalmente, como recuerdo a la profesora de entonces, yo tenía que estar en tercero, cuarto o quinto de EGB, vamos, que como mucho tenía 10 años. Y un buen día, entre los deberes que nos mandó la profesora para casa, una de las preguntas era que ¿cómo calcularíamos el centro de un círculo? Por entonces la primera respuesta que se nos ocurriría era fijarse muy bien en el folio para intentar ver la marca que había dejado el compás en el centro. Pero claro, aunque este método pudiera parecernos por entonces una maravilla, nos podía pasar que el círculo se hubiese dibujado usando por ejemplo el borde de una moneda de 50 pesetas (no había euros, no) y claro, aunque nos dejásemos los ojos en el intento, no lo íbamos a encontrar...

¿Cuál pensáis que debería de ser la respuesta esperada que teníamos que dar? Como os podéis imaginar, por entonces nos habían dicho lo que era un círculo y poco más. Posiblemente hasta nos habían contado lo que era y que la longitud del círculo es multiplicado por el diámetro. En fin, que empecé yo con mis reglas y mi compás a aplicar las pocas cosillas que sabía hacer por entonces: hacer rectas paralelas, perpendiculares, bisectriz, mediatriz y no sé si algo más. Y bueno, probando, probando llegué a la siguiente construcción, no sé si por intuición o simplemente de pura casualidad:

Lo que hacía primero era coger dos puntos cualesquiera de la circunferencia, en el dibujo el B y el C y calculaba la mediatriz del segmento que une dichos puntos. Recuerdo que la mediatriz es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio, aunque también se puede definir como el conjunto de puntos que equidista de los extremos del segmento. Una vez hecho esto me fijaba en el trozo de mediatriz que quedaba dentro de la circunferencia, que en el dibujo sería el segmento entre los puntos D y E. Por último volvía a hacer la mediatriz ahora al segmento D y E y el punto de corte era mi candidato a centro.

Como digo, creo que esta construcción fue casual, pero sin embargo estaba convencido de que funcionaba, que daba igual los puntos que cogiera inicialmente y que lo que salía efectivamente era el centro. Pero claro, mucho sería que por entonces además fuera capaz de demostrar formalmente que estaba en lo cierto. Pero vamos, simplemente por la simetría del dibujo tenía que ser así, veía claramente que la primera mediatriz dividía el círculo en dos partes iguales, de hecho si giraba todo el dibujo de forma que el primer segmento fuese horizontal, me quedaba más claro aún.

Antes de seguir con la historia, ahora que tengo algunos conocimientos más que antes, ¿puedo demostrar que la construcción era válida? Sí, de hecho es muy sencillo. Como la primera mediatriz es el conjunto de puntos que equidistan de los puntos B y C y el centro equidista de dichos puntos (está a una distancia igual al radio de la circunferencia), se tiene que el centro pertenece a dicha mediatriz. Por lo tanto el segmento que va de D a E es un diámetro y así su punto medio el centro de la circunferencia.

Sigamos con la historia. Pues bueno, al día siguiente la profesora fue de mesa en mesa viendo cómo habíamos hecho lo del centro de la circunferencia, mientras supongo que hacíamos alguna otra tarea. Su primera observación fue que la última mediatriz no haría falta sino que solo tenía que calcular el punto medio, y yo dándole la razón, porque pensaba que la mejor manera de hallar el punto medio era midiendo con la regla (pero de hecho es con la mediatriz). En fin, que tras verlo, ella misma preguntaba que por qué eso era el centro. Como yo no tenía argumentos para demostrárselo y ella tampoco, pues no me lo consideró como bueno.

¿Y cuál era su método? Pues resulta que... ¡no tenía! Resulta que el ejercicio lo había propuesto la profesora del otro grupo, ya que aún siendo grupos distintos, hacíamos exactamente las mismas tareas, por lo que nos dijo que tenía que hablar con la otra profesora. Pues bien, rato después, no sé si tras el recreo o tras nuestra hora de inglés con lo que ella libraba una hora o qué, volvió la profesora a clase teniendo la solución, pero justo antes de que pudiera decirla me vino la inspiración y dije:

- ¿Doblando el folio?

¡Pues sí! ¡Ese era el método! Doblabas el foro haciendo coincidir las dos mitades del círculo que quedaba, viendo el folio al trasluz claro, y con ello quedaba marcado un diámetro justo por donde se ha doblado el folio y de allí ya se sacaba el centro. Y yo tan feliz porque ¡había conseguido un positivo!

Pero lo cierto es que todavía estaba convencido de que mi método anterior estaba bien. Cuanto más lo pensaba, más seguro estaba, a pesar de que la profesora no me lo diese por válido. Y precisamente ese día aprendí algo:

¡Los maestros no lo saben todo!

Con esta entrada participo en la la Edición 2.7 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog La aventura de la ciencia.

P.D. Iba a comentarle todo esto a Tito Eliatron en un comentario en su entrada, pero claro, ¡¡habría quedado un tocho demasiado largo!!