Blog Matematika Pak Satria

Teorema Rataan Geometrik dan Pertidaksamaan AM-GM

Nursatria — Sun, 03 May 2026 08:04:14 +0000

Di postingan sebelumnya, saya menyinggung mengenai teorema rataan geometrik. Sekarang mari kita bahas.

Sebelumnya kalian harus tahu bawah ada 2 macam rataan (mean)

Rataan Aritmatik/ Arithmetic Mean (AM): Dua ukuran (atau lebih) dijumlahkan lalu dibagi dua:
Rataan Geometrik/ Geometric Mean (GM): Dua ukuran (atau lebih) dikalikan lalu diakarkan:

Teorema Rataan Geometrik

TRG: Diberikan garis tinggi berukuran pada segitiga siku-siku yang ditarik dari sudut-siku ke sisi miring. Garis tinggi ini akan membagi sisi miring menjadi 2 bagian dengan ukuran dan $ q$ maka berlaku

h=\sqrt{pq}

karena menjelaskan hubungan tinggi dengan sisi miring, TRG sering disebut teorema tinggi segitiga siku-siku (Right Triangle Altitude Theorem).

Bukti 1 dengan kesebangunan segitiga

Karena sudut siku-siku maka sudut dan adalah sudut pelengkap. Karena segitiga dan adalah segitiga siku-siku maka

dan

Berdasarkan postulate sudut-sudut-sudut maka pebandingan panjang sisi yang bersesuaian adalah

\frac{p }{h}=\frac{h}{q}

h^2=pq

h=\sqrt{pq}

□

Bukti 2 dengan rumus phytagoras

Kita mendapatkan 3 persamaan

Subtitusi persamaan 1 dan 2 ke persamaan 3

p^2+h^2+q^2+h^2=(p+q)^2

p^2+2h^2+q^2=p^2+2pq+q^2

Kedua sisi kurangi dengan

2h^2=2pq

h^2=pq

h=\sqrt{pq}

□

Contoh

Tentukan tingginya

Dengan TRG maka diperoleh

h=\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6

AM-GM Inequality

Ah..tanggung sekalian saja saya membahas pertidaksamaan AM-GM

Untuk 2 bilangan non negatif selalu berlaku

\sqrt{pq} \leq \frac{p+q}{2}

GM akan selalu lebih kecil atau setidaknya sama dengan AM

Bukti

0\leq (\sqrt{p}-\sqrt{q})^2

Suatu nilai jika dikuadratkan akan selalu non-negatif, kita jabarkan

0\leq p-2\sqrt{pq}+q

0\leq p+q-2\sqrt{pq}

2\sqrt{pq}\leq p+q

Kalikan kedua sisi dengan

\sqrt{pq}\leq \frac{p+q}{2}

□

Pembuktian Teorema Pythagoras dengan cara kontradiksi

Nursatria — Fri, 01 May 2026 08:01:37 +0000

Saya paling suka metode pembuktian dengan kontradiksi. Bahasa kerennya Reductio ad absurdum (reduksi ke absurditas). Langkah pertama kita mengandaikan suatu dalil itu keliru lalu menunjukkan bahwa hal tersebut akan menimbulkan kontradiksi, tidak masuk akal.

Sekarang kita akan membahas bagaimana teorema pythagoras dibuktikan dengan kontradiksi.

Teorema Phytagoras: Diberikan segitiga siku-siku dengan panjang sisi dan serta sisi miring maka berlaku .

Bukti:

Diberikan tinggi dari sudut siku-siku ke sisi miring. Segitiga siku-siku △abc terbagi menjadi dua yaitu △xha dan △hyb yang keduanya sebangun dengan △abc

Suber: https://www.cut-the-knot.org/

kita akan menggunakan teorema rataan geometrik yang menyatakan

Kita mulai metode kotradiksinya, asumsi itu keliru, asumsi . Itu artinya 2 kemungkinan

c^2" class="latex" />

Kita pilih kemungkinan pertama: berdasarkan kesebangunan diperoleh

Jumlahkan keduanya

\left( x^2+h^2 \right)+\left( h^2+y^2 \right)< a^2+b^2

x^2+2h^2+y^2< a^2+b^2

Ingat

x^2+2xy+y^2< a^2+b^2

\left( x+y \right)^2< a^2+b^2

c^2< a^2+b^2

Lho padahal diasumsikan , terjadi kontradiksi. Disimpulkan teorema Pythagoras bener adanya.

Jika kita pilih kemungkinan 2 maka dengan cara yang sama kita akan mendapatkan kontradiksi yang sama pula.

Soal Olimpiade Matematika Uni Soviet tahun 1985 ( Identitas Proizvolov)

Nursatria — Sat, 11 Apr 2026 01:43:59 +0000

Ada soal olimpiade Matematika Uni Soviet tahun 1985 yang menarik perhatian saya. Soal tersebut ditulis oleh Vyacheslav Proizvolov.

Soal: Diberikan bilangan asli dari 1 sampai 2n. Jika kita pecah secara acak menjadi 2 himpunan berukuran n. Yang pertama kita susun dari kecil ke besar , sedangkan yang kedua sebaliknya dari besar ke kecil b_2 >\cdots > b_n" class="latex" /> . Buktikan

\left| a_1 – b_1 \right|+\left| a_2 – b_2 \right|+\cdots +\left| a_n – b_n \right|=n^2

Sebelum membuktikannya, kita lihat contohnya terlebih dahulu

Contoh:

Kita ambil n=5 maka

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Kita bagi dua secara acak, yaang pertama disusun naik dan yang kedua menurun

3, 4, 8, 9, 10 dan 7, 6, 5, 2, 1

maka

|3-7|+|4-6|+|8-5|+|9-2|+|10-1|= 4+2+3+7+9=25=5²

Kemungkinan lain

1, 3, 6, 8, 10 dan 9, 7, 5, 4, 2

maka

|1-9|+|3-7|+|6-5|+|8-4|+|10-2|= 8+4+1+4+8=25=5²

Silahkan kalian coba sendiri ya

Bukti

Untuk sebarang , tepat satu bilangan dari pasangan terletak di dan satunya lagi pasti di .

Andaikan pasangan keduanya termuat pada barisan maka barisan tersebut akan berisikan karena dan juga berisikan karena b_{i+1}>b_{i+2}>\cdots b_n" class="latex" />. Jika ditotal akan berjumlah jelas mustahil.

Asumsi keduanya termuat pada barisan akan menimbulkan kontradiksi serupa.

Hal tersebut berakibat

\left| a_1-b_1 \right|+\left| a_2-b_2 \right|+\cdots +\left| a_n-b_n \right|

\left[ \left( n+1 \right)+\left( n+2 \right)+\cdots +2n \right]-\left[ 1+2+\cdots +n \right]

\underbrace{n+n+\cdots +n}_n=n\cdot n=n^2

Referensi dari sini

Peluang, esok matahari terbit

Nursatria — Fri, 03 Apr 2026 04:18:41 +0000

iStock/AlexSava

Ketika materi peluang, sebagai guru matematika, saya sering menyampaikan bahwa peluang matahari terbit esok hari adalah satu. Sebuah kepastian, sebuah keniscayaan. Landasan saya mengatakan hal ini cuman pengalaman saya, yang selalu melihat matahari terbit di pagi hari, sehingga saya menyimpulkan esok matahari pasti terbit. Namun ada matematikawan yang menghitung, merumuskan peluang matahari terbit esok hari. Beliau adalah Pierre-Simon Laplace. Pada abad ke-18, Laplace mengatakan jika kita mengamati matahari terbit selama hari berturut maka peluang matahari terbit esok hari adalah

\frac{n+1}{n+2}

Rumusan ini dikenal dengan sebutan aturan suksesi (Rule of succescion)

Misal kita mengamati selama 1000 hari berturut-turut matahari selalu terbit maka peluang esok matahari terbit adalah

\frac{1000+1}{1000+2}=\frac{1001}{1002}=0,999001996=99,9\%

Sains saat ini memperkirakan umur bumi sekitar 4,5 miliar tahun atau 1,6 trilyun hari, kalau kita masukkan ke rumus di atas maka hasilnya bisa dibilang 1.

Darimana Laplace memperoleh aturan suksesi?

Asumsi yang digunakan Laplace adalah:

Kejadian matahari terbit adalah kejadian independent
Peluang matahari terbit adalah , kita tidak tahu nilai namun diasumsikan terdistribusi seragam dengan interval [0,1]

Misalkan adalah kejadian matahari terbit selama hari berturut-turut maka berdasarkan asumsi peluangnya adalah

P\left\{ S_n \right\}=\int_{0}^{1}P^ndp=\frac{1}{n+1}

Sedangkan peluang matahari terbit hari berturut-turut

P\left\{ S_{n+1}\right\}=\int_{0}^{1}P^{n+1}dp=\frac{1}{n+2}

Sekarang kita gunakan peluang bersyarat. Peluang dengan syarat terjadi adalah

P\left\{ S_{n+1} |S_n\right\}=\frac{\frac{1}{n+2}}{\frac{1}{n+1}}

=\frac{n+1}{n+2}

Asumsi yang keliru

Laplace mengasumsikan bahwa matahari terbit setiap pagi adalah kejadian saling bebas, padahal kita tahu sekarang tidak demikian. Matahari terbit adalah akibat langsung dari rotasi bumi. Matahari terbit kemarin, hari ini, esok dan 1000 tahun akan datang disebabkan oleh hal yang sama. Yang harus ditanyakan bukanlah peluang esok matahari terbit melainkan:

Apa yang menyebabkan bumi berhenti berrotasi?
Berapa peluang ada kejadian kosmik seperti astroid raksasa menabrak bumi yang menyebabkan bumi berhenti berrotasi?

Mustahil bilangan bisa sekaligus genap dan ganjil

Nursatria — Sun, 29 Mar 2026 07:14:09 +0000

Waktu SD, kita belajar bahwa bilangan bulat dapat dipecah menjadi 2 macam: ganjil dan genap. Bilangan genap adalah bilangan yang habis dibagi 2 sedangkan ganjil sebaliknya tidak habis dibagi 2. Dengan kata lain bilangan genap berbentuk sedangkan bilangan ganjil berbentuk , untuk suatu bilangan bulat dan .

Teorema: Tidak ada bilangan bulat yang sekaligus genap dan ganjil.

Bukti:

Kita buktikan secara kontradiksi. Andaikan ada bilangan bulat yang sekaligus genap dan ganjil. Berdasarkan definisi genap terdapat bilangan bulat yang memenuhi . Berdasarkan definisi ganjil terdapat bilangan bulat yang memenuhi . Kita mendapatkan persamaan

2k=2l+1

2k-2l=1

2(k-l)=1

Misalkan maka

2p=1

Itu artinya 1 adalah genap, padahal diketahu 1 adalah ganjil. Terjadi kontradiksi. Disimpulkan tidak ada bilangan bulat yang sekaligus genap dan ganjil

Mengapa kita bisa mendefinisikan bilangan imajiner tapi tidak dengan 1/0?

Nursatria — Tue, 17 Mar 2026 12:41:19 +0000

Persamaan kuadrat tidak mempunyai solusi pada bilangan real , karena tidak terdefinisi pada , dalam sistem bilangan real, domain pada akar haruslah positif. Untuk mengatasi hal tersebut, matematikawan menciptakan bilangan baru yang di luar sistem bilangan real, yaitu , bilangan ini namanya bilangan imajiner, dengan sifat

Jadi bilangan imajiner sengaja diciptakan sebagai solusi dari .

Nah..sekarang pertanyaan

Mengapa para matematikawan tidak melakukan hal serupa, menciptakan bilangan baru untuk medefinisikan ?

Matematika sebenarnya seperti permainan, ada aturan-aturan dasar yang harus kita sepakati. Aturan dasar ini dinamakan aksioma atau ada juga menyebutnya postulate.

Di atas adalah aturan dasar aljabarik pada bilangan yang saya kutip dari Buku Introduction to real analysis, Bartle. Buku wajib mahasiswa matematika yang mengambil mata kuliah analisis real.

Coba kita tengok aturan M3, dengan jelas mengatakan terdefinisi kecuali untuk . Dengan kata lain dari awal aturan dasar melarang kita untuk mendefinisikan .

Tentu saja yang jadi pertanyaan:

Mengapa demikian?

Andaikan terdefinisi dengan sifat .

Selanjutnya kita lihat A3 yang mengatakan

Ambil maka

Kalikan kedua sisi dengan

Berdasarkan aturan D, sifat distributif

Nah..inilah alasan kita tidak mendefinisikan karena akan merusak aturan dasar aljabarik. Pada bilangan imajiner lain ceritanya dia aman-aman saja, dia sejalan dengan aturan dasar, tidak merusaknya.

Rokok itu menyehatkan (Paradoks Simpson)

Nursatria — Sat, 14 Mar 2026 00:00:42 +0000

Sumber: Google

Pada tahun 1972-1974, dilakukan survei kepada warga di Whickham, Inggris. Surveynya sangat sederhana cuman bertanya

Anda merokok atau tidak?

Survey juga mendata umur dari responder, 20 tahun kemudian survey tersebut ditindaklanjuti dengan melihat apakah para responder masih hidup atau tidak.

	Perokok	Non-perokok
Hidup	443	139
Meninggal	502	230
Total	945	369

Angka kematian perokok:
Angka kematian non-perokok:

Angka kematian perokok justru lebih redah dari non-perokok, kesimpulannya

Rokok itu menyehatkan

Mmm..sekarang coba kita pecah data tersebut berdasarkan kelompok umur

Umur 18-24 Tahun

	Perokok	Non-perokok
Hidup	53	61
Meninggal	2	1
Total	55	62
Angka Kematian

Umur 25-34 Tahun

	Perokok	Non-perokok
Hidup	121	152
Meninggal	3	5
Total	124	157
Angka Kematian

Umur 35-44

	Perokok	Non-perokok
Hidup	95	114
Meninggal	14	7
Total	109	121
Angka Kematian	13%	6%

Umur 45-54 Tahun

	Perokok	Non-perokok
Hidup	103	66
Meninggal	27	12
Total	130	6
Angka Kematian	21%	15%

Umur 55-64 tahun

	Perokok	Non-perokok
Hidup	64	81
Meninggal	51	40
Total	95	121
Angka Kematian	44%	33%

Umur 65-74 tahun

	Perokok	Non-perokok
Hidup	7	28
Meninggal	29	101
Total	36	129
Angka Kematian	81%	78%

Umur 75+ tahun

	Perokok	Non-perokok
Hidup	0	0
Meninggal	13	64
Total	13	65
Angka Kematian	100%	100%

Sekarang terlihat hampir di semua kelompok umur, angka kematian perokok justru lebih tinggi, kecuali pada kelompok umur 75+, ya wajar sih 20 tahun kemudian pada sudah dikubur.

Inilah yang dinamakan Paradoks Simpson (dicetuskan oleh Edward H Simpson pada tahun 1951). Dimana suatu data menyimpulkan hasil yang berbeda bahkan bertolak belakang ketika data dipecah menjadi kelompok-kelompok yang lebih kecil. Sebaliknya juga berlaku, kesimpulan beberapa data akan berubah, bertolak belakang jika data digabung menjadi satu.

Mengapa Paradoks Simpson terjadi?

Intuisi kita mengatakan jika data dipecah atau digabung maka kesimpulan akan selalu sama, padahal cara kerjanya tidak demikian
Data tidak terdistribusi secara merata. Bobot setiap kelompok tidak sama Dalam kasus diatas perokok banyaknya di usia muda, yang usia tua jarang yang merokok. Begitu pula peluang hidup 20 tahun kemudian kelompok umur yang muda secara alami jelas lebih besar daripada kelompok umur tua. Karena itulah ketika data digabung atau dipecah maka kesimpulannya akan berubah.

Refernsi: Analyzing Categorical Data, J. Simonoff (2003).

Lingkaran dan Tali Sepatu

Nursatria — Thu, 05 Mar 2026 12:10:01 +0000

Ini lanjutan postingan sebelumnya, kita akan membahas bagaimana memperoleh rumus luas lingkaran dari teorema tali sepatu.

Diberikan lingkaran dengan titik pusat di dan jari-jari . Kita akan mendekati lingkaran dengan segi-n beraturan di dalam lingkaran (regular n-sided polygon inscribed in a circle). Dengan sudut-sudutnya kita namakan

A_0,A_1,A_2,\cdots,A_{n-1}

Itu artinya . Dengan menggunakan rumus trigonometri, kita mendapatkan sembarang sudut memiliki koordinat

A_k\left( r\cos\frac{2k\pi}{n},r\sin\frac{2k\pi}{n} \right)

untuk .

Kita mendapatkan

A_0\left( r\cos 0,r\sin0 \right)

A_1\left( r\cos\frac{2\pi}{n},r\sin\frac{2\pi}{n} \right)

A_2\left( r\cos\frac{4\pi}{n},r\sin\frac{4\pi}{n} \right)

A_{n-1}\left( r\cos\frac{2(n-1)\pi}{n},r\sin\frac{2(n-1)\pi}{n} \right)

A_n\left( r\cos 2\pi,r\sin2\pi \right)

Jelas dan . Dengan kata lain

Kita gunakan rumus tali sepatu

L=\frac{1}{2}\left\{ \left( r^2\cos 0 \sin\frac{2\pi}{n} + r^2\cos \frac{2\pi}{n} \sin\frac{4\pi}{n} +\cdots + r^2\cos \frac{2(n-1)\pi}{n} \sin2\pi \right)-\left( r^2\sin 0 \cos\frac{2\pi}{n} + r^2\sin \frac{2\pi}{n} \cos\frac{4\pi}{n} +\cdots + r^2\sin \frac{2(n-1)\pi}{n} \cos 2\pi \right) \right\}

Kita susun ulang

L=\frac{1}{2}r^2\left\{ \left( \cos 0 \sin\frac{2\pi}{n}-\sin 0 \cos\frac{2\pi}{n} \right)+\left( \cos \frac{2\pi}{n} \sin\frac{4\pi}{n}-\sin \frac{2\pi}{n} \cos\frac{4\pi}{n} \right)+\cdots +\left( \cos \frac{2(n-1)\pi}{n} \sin2\pi -\sin \frac{2(n-1)\pi}{n} \cos 2\pi \right) \right\}

Kita gunakan identitas trigonometri , diperoleh

L=\frac{1}{2}r^2\left\{ \sin\frac{2\pi}{n}+ \sin\frac{2\pi}{n}+\cdots \right\}

L=\frac{1}{2}\cdot n\cdot r^2\cdot \sin\left( \frac{2\pi}{n} \right)

Sekarang tinggal kita hitung, apa yang akan terjadi jika . Untuk mempermudah perhitungan kita lakukan sedikit manipulasi, subtitusi

\frac{n}{2}=\frac{\pi}{\frac{2\pi}{n}}

diperoleh

L=\pi r^2\cdot \lim_{n \to \infty} \frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\frac{2\pi}{n}}

Jika maka , di sisi lain , untuk . So disimpulkan

L=\pi r^2\cdot 1=\pi r^2

Viola, kita mendapatkan rumus lingkaran dengan teorema tali sepatu

Tali Sepatu

Nursatria — Sun, 01 Mar 2026 07:12:01 +0000

Bagaimana cara kita menghitung luas segi-6 sembarang seperti gambar di atas, jika diketahui hanya koordinat sudutnya saja? Tenang saja sang legenda kita carl friedrich gauss menyusun metode nan elegan bagaimana kita menghitung segi-n hanya menggunakan koordinat sudutnya.

Pertama-tama pilih satu sudut kemudian kita keliling/berputar searah jarum jam ( berlawan juga boleh) sampai kembali ke sudut awal.

Kita pilih sudut A dan berputar searah jarum jam

A (1,1)

B (2,6)

C (4,4)

D (6,6)

E (7,3)

F (4,1)

A (1,1)

Kemudian kita lakukan perkalian silang, secara diagonal

D1 (dari x ke y)=1×6+2×4+4×6+6×3+7×1+4×1=6+8+24+18+7+4=67
D2 (dari y ke x)=1×2+6×4+4×6+6×7+3×4+1×1=2+24+24+42+12+1=105

Maka luasnya adalah

L=\frac{1}{2}\left| D1-D2 \right|=\frac{1}{2}\left| 67-105 \right|=\frac{1}{2}\cdot 38=19

Ah..aku gak mau dari A, aku maunya dari F dan berlawanan arah jarum jam

F (4,1)

E (7,3)

D (6,6)

C (4,4)

B (2,6)

A (1,1)

F (4,1)

Diperoleh

D1=4×3+7×6+6×4+4×6+2×1+1×1=12+42+24+24+2+1=105
D2=1×7+3×6+6×4+4×2+6×1+1×4=67

Lihat nilai D1 dan D2 sama saja maka jelas luasnya juga pasti sama

L=\frac{1}{2}\left| D1-D2 \right|=\frac{1}{2}\left| 67-105 \right|=\frac{1}{2}\cdot 38=19

Teorema Tali Sepatu

Metode ini dikenal dengan sebutan teorema tali sepatu, karena perkalian silang yang kita lakukan polanya seperti tali sepatu

Sumber: Wikipedia

Teorema Tali Sepatu: Diberikan segi-n dengan koordinat sudut-sudutnya: maka luasnya

L=\frac{1}{2}\left| D1-D2 \right|

L=\frac{1}{2}\left| \left( x_1y_2+x_2y_3+\cdots +x_ny_1 \right)-\left( y_1x_2+y_2x_3+\cdots +y_nx_1 \right) \right|

Mengapa dimutlakkan? Jelas, karena luas tidak bisa negatif.

Bukti

Err..ini bukan pembuktian secara formal matematis. Kita akan menjelaskan untuk segitiga, segiempat dan segilima sehinga kita bisa melihat pola umumya untuk segi-n

Segitiga

Menurutmu bagaimana cara menghitung luas segita yang diketahui koordinat dari sudut-sudutnya dan salah satu sudut yaitu sudutA berada di titik asal (0,0)?

Salah satu pendekatan yang bisa lita lakukan adalah kita menggabar persegi dengan sudut A juga sudut persegi, sedangkatnsudut B dan C berada pada 2 sisi persegi

Sekarang kita bisa mengatakan

L.ABC=L.ABD-L.CFB-L.ACE

L.ABC=x_2y_1-\frac{1}2{}x_1y_1-\frac{1}2{}\left( x_2-x_1 \right)\left( y_2-y_1 \right)-\frac{1}2{}x_2y_2

Tinggal kita jabarkan diperoleh

L.ABC=\frac{1}{2}\left| x_1y_2-x_2y_1 \right|

Tidak ada yang di titik asal

Selanjutnya bagaimana jika segitiganya tidak ada sudut di titik asal

Mudah saja, kita tinggal menggeser segitiganya sehingga sudut A berada di titik

asal. Penggesaran ini jelas tidak akan mengubah bentuk, luas segitiga. Wong cuman digeser doang. Kita mendapatkan koordinat yang baru

A'(0,0),B'(x_2-x_1,y_2-y_1),C'(x_3-x_1,y_3-y_1)

Sehingga luasnya

L.ABC=L.A’B’C’=\frac{1}{2}\left| (x_2-x_1)(y_3-y_1)- (x_3-x_1)(y_2-y_1)\right|

L.ABC=\frac{1}{2}\left| x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-y_1x_2-y_2x_3-y_3x_1 \right|

Yang merupakan rumus dengan jalur A-B-C-A searah jarum jam

Segiempat

Yang namanya segiempat dapat dipotong menjadi 2 segitiga, dengan kata lain

L.ABCD=L.ABC+L.ACD

Baik △ABC dan △ACD, kita pilih sudut A sebagai sudut awal dan rotasi searah jarum jam

△ABC

Maka luas segitiga ABC

L.ABC=\frac{1}{2}\left( x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-y_1x_2-y_2x_3-y_3x_1 \right)

Segititiga selanjutnya

△ACD

Maka luas segitiga ACD

L.ACD=\frac{1}{2}\left( x_1y_3+x_3y_4+x_4y_1-y_1x_3-y_3x_4-y_4x_1 \right)

Sekarang jumlahkan keduanya diperoleh

L.ABCD=L.ABC+L.ACD

=\frac{1}{2}\left( x_1y_2+x_2y_3+x_3y_4+x_4y_1-y_1x_2-y_2x_3-y_3x_4-y_4x_1 \right)

Ini adalah dengan jalur A-B-C-D-A searah jarum jam

Kalau kita analisis, jalur △ABC dan △ACD akan bertabrakan di sisi A-C, dengan kata lain sisi A-C dilalui 2 kali dengan arah berlawanan sehingga saling menghilangkan. Jika jalur △ABC dan △ACD maka hasilnya jalur persegi ABCDE.

Segilima

Segilima dapat kita potong menjadi segititiga dan segi empat. Secara umum segi-n tersusun dari segitiga dan segi-(n-1)

Segilima ABCDE, kita pecah menjadi segiempat ABCE dan segitiga CDE. Segiempat ABCD jalurnya A-B-C-D-A dan segitiga CDE jalurnya C-D-E-C (kedua jalur punya arah rotasi yang sama berlawana jarum jam, ini yang terpenting arah rotasi harus sama). Kedua jalur akan bertabrakan di sisi E-C. Disimpulkan penjumlahan 2 jalur akan menjadi jalur A-B-C-D-E-A.

Hal yang sama juga berlaku untuk segi-n yang lebih tinggi.

Teorema Monsky (Membagi persegi menjadi segitiga berukuran sama)

Nursatria — Fri, 20 Feb 2026 16:07:42 +0000

Diberikan suatu persegi dengan mudah kita bisa memotong menjadi n segitiga berukuran sama dengan n genap. Untuk n=2, oh.. itu mudah sekali, kita tinggal memotong garis diagonalnya maka kita akan mendapatkan 2 segitiga berukuran sama. Untuk genap, ini juga masih mudah tinggal kita potong secara vertikal menjadi potongan berbentuk persegi panjang dengan panjang yang sama kemudian setiap persegi panjang kita potong diagonalnya. Kita akan mendapatkan segitiga berukuran sama.

Proses memotong persegi menjadi n segitiga berukuran sama

Sekarang bagaimana jika n ganjil. Ambil n=3 aja, kebayang tidak bagaimana caranya memotong persegi menjadi 3 segitiga berukuran sama? Mmm..saya sih tidak kebayang.

Pada tahun 1965, Fred Richman profesor dari Universitas New Mexico mengajukan suatu pertanyaan

Bisa tidak kita kita memotong persegi menjadi n segitiga berukuran sama dengan n ganjil?

Pertanyaan sederhana namun anehnya tidak ada referensi, tidak ada literatur yang membahasnya. Dia lalu berusaha menjawab pertanyaannya sendiri tapi dia tidak mampu. Dia juga memasukkan pertanyaan tersebut ke ujian master para mahasiswa tetap tidak ada yang bisa menjawabnya. Pada tahun 1967 dia melempar pertanyaan tersebut ke jurnal matematika bulanan AM Math Montly. Baru pada tahun 1970 pertanyaan tersebut dapat dijawab oleh Paul Monsky

Teorema Monsky: Jika suatu persegi dipotong menjadi segitiga-segitiga dengan luas yang sama maka banyak segitiga haruslah genap.

Bukti:

Ada 2 bahan utama untuk membuktikan teorema ini, yaitu:

Lemma Spenner
Valuasi 2-adic (2-adic valuations)

Kita bahas dulu point 1

Lemma Spenner

Lemma ini mengatakan

Lemma Spenner: Diberikan segi-n ( poligon) yang sudut-sudutnya diwarnai dengan 3 warna berbeda (sebut saja warna 1, 2 dan 3) lalu lakukan triangulation (dipecah menjadi segitiga-segitiga kecil) maka paritas (ganjil-genap) seitiga kecil yang lemgkap (punya tiga warna) sama dengan sisi 1-2 ( sisi segi-n yang diapit sudut berwana 1 dan 2)

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut

Sisi kanan segitiga utama adalah sisi 1-2 dan mempunyai 3 segitiga kecil yang lengkap, jelas keduanya sama-sama ganjil.

Selanjutnya bahan kedua.

Valuasi 2-adic

Untuk memahami Valuasi 2-adic, pertama-tama kita harus apa itu valuations atau valuasi. Valuasi adalah mengukur seberapa besar suatu bilangan. Nilai mutlak adalah bentuk valuasi yang umum kita gunakan. Yang namanya valuasi harus memenuhi 3 sifat berikut

jika hanya jika

Nah.. 2-adic Valuations adalah valuasi yang mengukur banyaknya pangkat 2 pada suatu bilangan.

Definisi: Suatu bilangan rasional bisa ditulis menjadi dengan dan ganjil serta boleh bernilai negatif. Nilai 2-adic Valuasi dari $;atex x$ didefinisikan

\left| x \right|_2=\left( \frac{1}{2} \right)^n

Contoh:

karena
karena
karena
karena
karena
karena

Untuk bilangan ganjil dan juga pecahan yang penyebut dan pembilangnya bernilai ganjil maka valuasi 2-adic bernilai 1. Dengan kata lain bilangan yang tidak punya unsur 2 maka valuasi 2-adic bernilai 1. Untuk bilangan bulat genap maka . (Nah..ini point penting)

Sifat-sifat valuasi 2-adic:

Jika maka

Sekarang mari kita olah 2 bahan utama tadi

Aturan pewarnaan.

Sudut-sudut segitiga kita warnai dengan aturan 2-adic sebagai berikut

Warna 1 titik dimana dan . Keduanya “genap” menurut 2-adic
Warna 2 titik dimana dan
Warna 3 titik dimana dan \left| x \right|_2" class="latex" />

Luas segitiga lengkap.

Lemma: Jika adalah luas segitiga lengkap (yang punya 3 warna) maka luasnya menurut 2-adic adalah 1" class="latex" />

Bukti: Tanpa mengurangi perumuman, ambil sudut-sudut segitiga adalah warna 1, warna 2 dan warna 3. Dengan menggunakan teorema tali sepatu luas segitiga adalah

A=\frac{1}{2}\cdot x_2y_3-x_3y_2

Valuasi 2-adic kedua sisi

\left| A \right|_2=\left| \frac{1}{2}\cdot x_2y_3-x_3y_2 \right|_2

Gunakan sifat-sifatnya

\left| A \right|_2=\left| \frac{1}{2} \right|_2\left| x_2y_3-x_3y_2 \right|_2

Berdasarkan aturan pewarnaan, diketahui dan dengan 1" class="latex" />. Itu berarti \left| x_3y_2 \right|_2" class="latex" />, disimpulkan

\left| A \right|_2=\left| \frac{1}{2} \right|_2\left| x_2y_3-x_3y_2 \right|_2=2\left| x_2y_3 \right|_2=2\left| x_2 \right|_2\left| y_3 \right|_2\ge 2

Ini membukktikan lemma diatas

Selanjutnya kita buktikan teorema Monsky

Teorema Monsky: Jika suatu persegi dipotong menjadi segitigadengan luas yang sama maka haruslah genap,

Tanpa mengurangi perumuman, 4 sudut persegi memiliki memiliki koordinat , , dan

Pewarnaan 4 sudut persegi satuan

Luas persegi adalah 1 satuan, dengan kata lain . Sisi yang menghubungkan (0,0)-(1,0) adalah sisi 1-2 maka lemma Spenner menjamin ada segitiga lengkap yang luasnya dan nilai valuasi 2-adicnya . Tidak semua segitiga yang terbentuk adalalah segitiga lengkap yang penting luasnya sama. Banyak segitiga m buah dan luas persegi 1 satuan itu berarti

Dalam valuasi 2 adic

\left| m \right|_2\left| A \right|_2=1

Karena 1" class="latex" /> maka mau tidak mau

\left| m \right|_2<1

Dengan kata lain genap.