オモロイ算数学

公立中高一貫校が好きそうな問題1

2012-11-01T15:46:00.001+09:00

先日、仙台二華中の傾向と対策について少々述べましたが、

具体的にどんな問題が好まれるのか、いい例題を発見したのでお知らせします。

　この問題は、公立中高一貫校の問題ではありませんが、首都圏の中学校

明治学院中学校で2011年度の算数で出題された問題です。

単位当たりの量や割合を絡めた問題と、ボランティアという現実的な話題を

結びつけた、公立中高一貫校の受験生の中では比較的差が付きそうな良問です。

将来受験を考えている小学5、6年生の人はぜひチャレンジしてみて下さい。

もしかしたら、小学校4年生でも解く人がいるかも・・・

有理数と無理数

2012-10-25T16:44:00.001+09:00

中学校3年生で習うこの言葉。

この言葉を学習することで、実数全体を学習することになります。

数を初めて学習するのは、小学校1年生。

1,2,3,4,5・・・

自然数です。

小学3年生4年生にもなると0.1,0.2,2.58などの小数や4/5,3/2の分数といった0と1の間にある数字を

学習します。

この0と1の間の数字。理解できていない小学生が意外に多いこと多いこと。

例えば

20ℓ入る水槽に水を毎分4ℓずつ水を入れていくとき、水があふれ出すのは何分後ですか？

この問題の答は5分後であるが、0と1の間の数を認識していない人は6分後と答えてしまう。

この質問をこう変えると正答率はほぼ100％になります。

20ℓ入る水槽に水を毎分4ℓずつ水を入れていくとき、水がいっぱいになるのは何分後ですか？

こう質問すれば、みんなが5分後と答えます。

この2つの質問の違いはなんでしょう。

それは、いっぱいになる＝あふれるという認識がないことが考えられます。6分後と答えてしまう生

徒の頭の中では、いっぱいになる→あふれるという考えになっていて、いっぱいになった次にあふ

れるというところに行きつきます。この、「次」という言葉が問題で、1より細かい数をきちんと認識で

きていない子は、その「次」という言葉で5の次は6だから6分後！と答えてしまうのです。

次の質問はこんな感じです。

一の位を四捨五入して50になる数の範囲を答えなさい。

この質問の答えは45以上55未満。

1より細かい数字をちゃんと認識していない子は、45以上54以下と答えます。

今、数に「整数」という制限がない以上、この答えは大間違いです。

54.2や54.3333や54.999999999も一の位を四捨五入すると50になります。

一回目は罠ということで、たとえ間違えたとして笑えたとしても、2回目以降は黄色信号がともってし

まいます。1より細かい数字をちゃんと認識していない子はその事実すら受け入れることができない

ですから、2回目以降間違えると、理解していないんだなと思ってください。

小数や分数は比較的低学年で学習するのに、数として認識している子はとても少ないです。

それは、日常生活にあまりなじみのない数字だからです。

外国に行けば、分数は行き過ぎていたとしても、2.5ドルや3.6ユーロなどといった小数表記もありま

すし、それなりに身近になるでしょう。

でも、小数を習ったり、分数を習ったりする度に海外で生活していては、お金がかかりすぎます。

数直線などを駆使して、新しい数の広がりの喜びを共感してあげることが必要です。

1～10000までの自然数を数えられる子供が0.1という数字を学習することで100000個の数字を操

作できるようになり、1という大きさを5等分した1つ分1/5という数を学習することで、50000個もの数

字を操作できるようになっていることに気づかせてあげること、そしてそこに喜びを感じられる生徒

が、算数の猛者となっているのです。

7/11分後という数字が出てきてもそんなのあり得ないとか言わず、数字として受け入れられる生徒

が必要ですね。整数だけの世界から早く抜け出してほしいものです。

中学生になって無理数を学習して、長方形の長さを求める問題で、1＋√3　cmとなっていって

も素直に受け入れられるはずです。

ちなみに、有理数と無理数の量を比べると有理数1に対して無理数は無限に広がっています。

したがって、今話したような小数や分数の数すら制覇できないようでは、高校生以降の無理数まで

扱うレベルは太刀打ちできないということです。

新しい数を学習したら、その都度その数を扱えることになる数の広がりを認識しましょう。

今年の仙台二華中学問題

2012-10-19T15:22:00.000+09:00

更新とても遅れました。いつも見てもらっている方申し訳ございません。

本日のテーマは仙台二華中学校について。

　毎年倍率が7~9倍になる、仙台ではとても人気のある公立中高一貫校です。

首都圏中学受験とは違って、公立中高一貫校は適性検査と呼ばれる(まあ入試問題

とほぼ同じなんですが、)問題と作文と面接を経て合否が判定されます。

合格不合格に明確な基準はなく、どのような形で合格者を選考しているのかは、はっきり

しないところがありますが、凡そよくできれば合格します。

　本日はその対策と予言を少々してみようかなと思います。

①　問題には全部目を通す。

　今まで見た生徒ですべて問題に目を通せなかった人で合格を勝ち得た人はいません。

まず、全部解くこと。勝負はここから始まります。

　といっても、仙台二華中の適性検査問題は計算量も多く、思考が必要な問題もたくさん

ありますから、時間内に終わらせることは至難の業です。

　宮城県の適性検査問題より難しい問題を、速く正確に解く練習が必要になります。

②　理系過多。

　宮城県の公立中高一貫校の適性検査問題は学校ごとに異なります。

その中でも、二華中の問題は理系の問題に偏りがちな傾向にあります。

学校も理系の人間が欲しいということなのでしょうか。恐らく、今後もこの傾向

が続くでしょう。

　特に、割合を理解していることは必須で、計算問題のほとんどが割合を絡めた

問題になっていることも特長です。

　大ざっぱになりましたけど、この2点をしっかりできる子は、宮城県の小学生

いや、全国的に見てもそんなに多くはありませんし、この2つが確実にできる

ことが合格への近道だと思います。

だからといって、国語や社会、理科の勉強を怠っていては元も子もないですが・・・

今年も同じような傾向で出題されると思いますが、出題テーマがどのようなものになるの

か少し予想してみたいと思います。

去年出題された問題で、LED、バイオエタノール等の時事に絡んだ問題が出ました。

二華中の適性検査が始まって4年目になりますが、前年と似たような問題を、ちょくちょく

出題している部分から、去年出たからと言って、今年は勉強しないということがないように

するべきですね。

　他県では取り上げられていて、時事に絡むものとしては、「フードマイレージ」や今年で言えば

電力に関する問題、発電方法の違いによる、コストの計算等出題されるかもしれません。

　また、場合の数も好んで出される傾向にあります。

去年は、場合の数とフィボナッチ数列を絡めた問題が一番最後に出題され受験生を苦しめました。

場合の数と周期や規則を絡める問題は作りやすいですし、実力差がはっきり出るので

今後も要注意です。図形と場合の数を絡めた問題もまだ出題されていないので、注目ですね。

算数的なものに関してはこんなところでしょうか。

宮城県の問題ばかり解いていてはなかなか合格を勝ち取ることができません。

他県にも目を向けながら、様々な問題に目を通し、知識をつけていくことが重要になります。

ウォーミングアップ

2012-09-30T22:20:00.000+09:00

私は小学生のころ、そろばんをやっていて、そのそろばん塾では、

まず、始まる前にウォーミングアップをしていました。いわゆる指慣らし

(そろばんをはじく指が動くようにする)をよくしていたのを思い出します。

特に冬なんかは、指がかじかんで全然動かないなんてこともありましたから

ウォーミングアップをしてた印象があります。

運動をするときもそうです。運動をする前には、必ず準備体操をしますね。

いきなり、激しい運動をしたら、体がびっくりしてしまうからです。

計算力は算数の世界ではほぼ当たり前として扱われます。あって当然。

でも、授業が始まっていきなり難しい計算や算術を教えられても、なかなか

うまく理解できないことってありますよね。

算数も、何かウォーミングアップ的なものはないのかな？と思っていたら、

首都圏や関西圏の中学受験生たちはこんなウォーミングアップをするそうです。

まず、お題の数字を出します。例えば、３５としましょう。

その数字に、2～9までの数字を次々と掛けていきます。

35×2＝70、70×3＝210、210×4＝840、840×5＝4200、4200×6＝25200、

25200×7＝176400、176400×8＝1411200、1411200×9＝12700800　というように

もちろん、筆算をしても構いません。

この後、出てきた数字を、÷9、÷8・・・・÷2とやっていって、もとの35に戻れば成功！

という『エレベーター算』をやっているそうです。

実際に生徒にやらせてみると、やはり慣れていないせいか、戻ってこれない

ことが多々ありました(笑)

だいたい5分以内を目安に、速い子は1分30秒ぐらいでやってしまうそうです。

計算問題の答合わせ2

2012-09-23T21:06:00.002+09:00

続いての問題は

でした。

これも、実際に計算すればいいんでしょうが、今問われているのは、この分数を少数に直したとき

の整数部分です。もう少し効率の良い方法で見当をつけてみましょう。

このように、わざわざ計算しなくても、整数部分は8ということがわかりましたね。

この発想に至るような人は、小学生が割り算や掛け算の筆算を覚えたころ、どんな大きな数でも計

算できることにワクワクし、123456789×なんとか、という計算をやったりして遊べていた人なんじゃ

ないでしょうか。

掛けて987654321になるような数字を探したりしていた人は納得してもらえる解答だと思います。

そうでない人は、こんな発想思いつくはずがない・・・という感じになっちゃうんじゃないでしょうか・・・

計算問題の答合わせ1

2012-09-17T18:37:00.002+09:00

さて、前回出題した問題の答は出たでしょうか。

普通に計算すれば、小学生(高学年)でもできそうな問題でした。

では、解説をしていきましょう。

まず、一問目

工夫を考える時間より、分配法則の逆を使って計算していった方が早い気がします。

が、ただの計算の解説をしても意味がないので、工夫を一つ。

実はこの問題、分母と分子の数に着目してみると、適当に数字が並んでいるわけではないことが

わかります。

例えば、分母が12の分数に関して、分子は5と7のものが出てきています。これらを合わせると5+7

＝12となります。同様に、分母が11の分数に関しては、分子は7と4のものが出てきており、これも

合わせて11、分母が10の分数に関しては、分子が7と3で合わせると10になります。

どうやら、分母と分子が同じになる数＝『1』に関係がありそうですね。

ということで、この計算の答をAとして1－Aの値を出してみます。

うまくいきましたね。

ただ、これを思いつくのはなかなか至難の業ですね。

思いつくためには、経験が必要です。

経験といってもこの問題を経験することではなく、数字を見て、合わせてみると12になったりとか、

発見する経験です。

この発想を思いつけないと思った人は、まだまだ、数字との戯れ方が足りないというだけで、今後も『思いつかない』というわけでもありません。

このような発想をできる人もいるわけですから。

高校生の問題や中学生の問題を解説していると、たまに、これは言われなければわからないなど

のネガティブな発言をする生徒がいますが、それは今の数学のその単元の知識の限界が近いと

いうことで、理解するためには、ある程度遡ってもう一度知識を身につける必要があります。

とはいえ、高校生にもなって小学生で学ぶようなことを一からやるのも面倒だな～ということで、解

法の暗記に走ってしまいがちになってしまうのも理解できますが・・・

実はそれはなんの解決にもなっていないんですよ。

本日は雨天ナリ

2012-09-06T14:48:00.002+09:00

今日は朝から雨が降って、一日中雨になりそうな予感です。
雷や突然の大雨にはどうかお気を付け下さい。

そんなジメジメした今日、出題する問題はジメジメした問題をどうぞ。

ただ単に、計算しているだけではなかなか正解までたどり着けないでしょう。
分数を学習した小学生でも解けるのでぜひチャレンジを！

どちらも、ジュニア数学オリンピックの予選の問題の一番初めの問題です。

講習会を終えて2

2012-08-26T20:51:00.002+09:00

小学6年生　首都圏中学受験クラス

・　算数

テーマ

受験力の育成と基礎固め

総括

近年の中学入試における算数の問題は年々難易度が上がり、中学や高校で学ぶような知識も多数介入してきています。

特に、上位校における整数問題や場合の数の難易度は大学受験を控える高校生でも難しいと感じるものもあります。

そんな中で、この夏は生の入試問題をたくさん解くということに取り組みました。

大問数にして100問近くの問題を生徒たちには演習していただきました。

各個人で目指す学校やレベルも違うので、各々の志望校にあったテキストを用意し、演習する期間が15日間、思考や試行を必要とする問題を全員で解く時間が5日間というペース配分。

最後の5日間に関しては、かなり難しい問題をセレクトしたので、もう少し手こずるかなと思っていましたが、案外解けていたので、その前にやってきた基礎固めの成果が出てきたのかなと少しうれしい瞬間でもありました。

一方で、課題もあります。

一番の課題は「質問をすること」です。

考える力がないとはよく子供達に浴びせられてきた言葉ですが、考えすぎるのもよくありません。
長い時間同じ問題に取り組むことは何も考えないのに等しいぐらい愚かな行為です。

まず、火のないところに煙は立ちません。問題が解けないというのは、知識が不足していることがまず考えられます。そんな問題を無限に考え続けても正しい答えを導けるわけがありません。

もう一点、試験時間は限られているということ。

どこの学校でも試験時間は限られていて、その時間は大体50分。

塾で問題を解いているときは、無制限に考える時間はありますが、本番はそうはいきません。
一つの大問にかけられる時間はせいぜい7～8分程度。

大目に見ても10分ぐらいでしょう。時間をかけて思考をする練習も必要ですが、制限時間内に正しく思考することが求められるのが試験である以上、あまり長い時間をかけて思考するのは、正しい勉強方法といえません。

ある程度の時間が経てば降参をして、ヒントや質問をするということも必要になってくるでしょう。

そういうことができる子がどんどん力をつけていくのです。

これから受験までの4か月でその辺の力を再度鍛え上げてぜひ合格を。

高校2年生　中高一貫クラス

・　数学

テーマ

数学ⅠAⅡBの終了

総括

例年の高校2年生が通る道。文系・理系を問わず、この時期までに数学のⅠAⅡBを終わらせておかなければ、この先受験に対しての十分な演習ができません。

そのため、一年と半年ほどですべてを終わらせていくのですが、学校に比べてもとても速い進度であるため、その道はとても険しいものになっています。

とはいえ、なんとかこの学年も夏に微分、積分をすべて学習し、修了することができました。

これで文系の人は、受験までの一年半を演習と復習で過ごすことができ、理系の人は演習と、数学ⅢCを学習していくことになります。

大学受験は高校受験と違い、その準備は膨大でとても大変です。浪人をしてしまう子の大半は、この時期に勉強をやっていればよかったと後悔する時期でもあります。

そんな後悔する気持ちを、毎年のように伝えているのですが、さすが人間。後悔先に立たずという言葉にもあるように、なかなか伝わらないのが現状ですね。

少しでもこの時期に復習をして受験の準備をしておけば、大学受験で苦労する必要もないのになぁと思うものの、一時の楽しい部活や遊びに興じてしまうのも人間です。

夏が終わってから、また頑張ってもらいたいですね。

講習会を終えて1

2012-08-20T20:10:00.000+09:00

今年もプラウダス伝統の20日間に渡る長い長い講習会が終わりました。

講習会になると、時間が限られているので、担当できる学年も限られてきます。

今回担当した学年(クラス授業で)は

小学校5年生　首都圏中学受験クラスＡ(20日間)　　　算数・理科

小学校6年生　首都圏中学受験クラス(20日間)　　　　算数

高校2年生(15日間)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学

高校3年生(20日間)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学文理共通クラス、数学理系クラス

です。

いやはや、書き出すと少ないですね。

でも、このクラスを全部指導して、朝9時から夜10時までの長い一日が終わるんですよ。
授業間もそんなにスカスカじゃないんです(笑)

そんな講習会を私なりに総括してみます。

小学5年生　首都圏中学受験クラス

・　算数

テーマ

前期授業の復習と中学受験への準備

総括

前期授業では割合や場合の数、整数の性質など今後の授業に欠かせないものを学習しました。
そこで、こぼれたものを後期に引きずってしまうと後期の授業以降がとても苦しくなってしまうので、生徒たちには頑張ってもらうしかありませんでした。

課題は各個人に設定して、その壁を授業時間内に克服するというスタイルで授業をしましたが、全員私が設定したノルマをクリアしてくれました。

発展講習では、1ランクアップを目指して、各々が目標としている学校に少しでも近づけるよう、実際の受験問題を集めたものを1人に1冊ずつ用意し解いてもらいました。

とても時間がかかる作業で、試行錯誤の連続、消しカスは大量にできていましたね。

予習シリーズを通常授業で用いていますが、予習シリーズはペースメーカーであり、やはり入試問題とは少し離れた存在であるので、今の時間を試すうえでも、生の入試問題にこの時期触れておくことで、今後の自分がどのように頑張っていかなければならないのか見えてきたと思います。

とても、充実した20日間でしたね。

・　理科

テーマ

理科知識の暗記と引き出し方
中学入試問題に挑戦

総括

理科は社会とともに、若干なめられる教科です。
実際に模試を受けている様子なんかを見ていると
算数や国語は「時間が足りなかった」というのに対して、理科や社会は試験時間の半分以上も余らせて足をぶらぶらさせて暇そうにしています。

そして、返ってくる結果はというと、なぜか時間が足りなくて全部解けなかった算数や国語の方が点数がよく、理科や社会はケアレスミスで点数が悪いなんてことはよく見られる傾向です。

まあでも、それはケアレスミスではなくて自分の実力なんですが。

私が考えるに、理科は総合的に最強の教科だと思います。

知識はなければならないし、計算もできなければいけないし、文章もしっかり読んで時には記述しなければならないですし。

それらをしっかりと身につけさせることが目標でした。

①　使えない知識は知識じゃない

折角、理科の知識を身につけても、使えなければ覚えても意味がありません。というか知識がないのと一緒です。

知識を直接問う問題は、近年の入試問題では少なくなってきました。
むしろ、連想ゲームのようにその言葉にたどりつかなければ正解にならないような問題が上位校では好んで出されます。

例えば次のような問題 (実際に授業でも解きました)

サンゴが透明度の高い海で生活するのは、サンゴによってどのようなメリットがあるのか答えなさい。(渋谷教育学園幕張中学校2012年)

サンゴの生態についての長い文章を一通り読んで、その場で知識を身につけて解いていく問題の中の一つの小問です。

何が「連想ゲーム」なのかというと

問題文中に、サンゴの中には褐虫藻(カッチュウソウ)という生物が棲んでいて、その褐虫藻が光合成をし、その養分をサンゴがいただくことで生きていると書いています。

ということで、透明度が高い＝光がよく届く＝光合成ができるという連想をしなければこの一文にたどり着くことはできません。

このように、単に光合成という言葉を知っているだけでは太刀打ちできない問題があることを、しっかりと認識したうえで、連想ゲームのように知識を出していく練習を積み重ねなければいけません。

この点に関しては、20日間でだいぶ身に染みてわかってくれたかなと思います。

②　なんとなく選択肢を選ぶな。

理科には記号問題が付きものです。その選択肢をなんとなく選んでいる子が最近は非常に多くなってきたように思います。

ですから、すべての選択肢に対して、なぜその答えを選んだのか逐一聞き、時間を懸けて選択肢を選ぶ訓練をしました。

なぜ時間を懸ける練習をするのかというと、それほど子供たちは時間も懸けず選んでいるからです。

そんな子に限って、入試本番で慎重に選択肢を選びすぎて時間が足りなかったということになるので、普段から考えて選ぶ訓練が必要です。

③　理科は時間がない教科だ！

①、②を徹底してやると、③は必然的にわかってきます。
入試問題を解いていると、こうも時間が足りないものかと。でも①、②がおろそかだと点数も取れないし、ということで、①、②を高いレベルで維持し、尚且つ早く解かなければなりません。
理科という教科に慎重さが出てくればそれでＯＫ。

①、②、③を踏まえて、この講習会はハードでしたが、そんな中よくついてきてくれたと思います。

ジュニア数学オリンピックの解説2

2012-08-19T21:10:00.000+09:00

背理法で一番有名な命題を考えましょう。

この命題は、高校数学で背理法を学習する際に、必ず扱う命題です。

背理法とは、命題のいうとおりでないものが存在すると仮定して、その条件から導き出される新たな等式が矛盾していることを示す方法です。下に、ざっと証明してみました。

こんな感じですね。

では、2008人の問題も背理法を使って証明してみましょう。

まず、命題は「1回の合図で2人以上が抜けて、合図の回数の最大値は2008回である」ということです。

ということで、一回の合図で1人が抜けると仮定する。

男子が2008人、女子が2008人いるので、花束は2008個、チョコレートは2008個ずつ存在する。

男子が1人ずつ抜けて、男子全員、つまり2008人抜けたとする。

このとき、抜けた男子2008人は、女子から2008個のチョコレートを受け取っているはずである。
しかし、女子が2008人残っており、その女子はまだ交換が成立していない状態で2008個のチョコレートを持っているはずである。

ここで、チョコレートの合計は5016個となり、チョコレートが2008個あることに矛盾する。

したがって、一回の合図で2人以上が抜けることがわかり、全員が抜けるまでに必要な合図の回数は、5016(人)÷2＝2008回となる。

長々となってしまいましたが、一見考えるのもためらう問題も、このように試行錯誤をしていくことで、解答が見えてくるのも数学の楽しさの一つでもあります。

小学生の低学年の子でも答を見つけられる子は見つけられるでしょう。

実際よくよく考えたら、当たり前じゃん。という話になりますし、低学年の子には、日常にある事象からそういう感覚を身につけてほしい気もします。

ジュニア数学オリンピックの解説1

2012-08-18T22:10:00.001+09:00

さて、どうだったでしょうか。

先日出した問題の答を考えていただけましたでしょうか？

まず、解答をする前に、2008人の男子と2008人の女子がプレゼント交換をするなんて、規模の大きい話ですから、もう少し考えやすい人数にして考えてみましょう。

①　男の子1人、女の子1人だった場合

これは簡単。

一回合図をしただけで、プレゼントが交換されます。

この場合の合図の最小回数は1回、最大回数も1回です。

②　男の子2人、女の子2人だった場合

男の子と女の子の並び方は下の通りになります。

この場合、男子のプレゼントが女子に渡ると輪から抜け出せるので(誰が誰にプレゼントを渡すのかを考えないので)、男子と女子を区別しないで並び方を考えて、裏返したり回転させたりして一致するものも一鳥として数えると上の2通りが考えられます。
(実際の人間が絡む場合の数の問題は人間一人一人を区別するんですよ)

並び方1の場合、一回の合図で男子と女子が隣り合っているところで、プレゼント交換が成立します。つまり1回目の合図では上の男子と下の女子の2人が抜けることになります。

残る2人は次の合図で交換が成立するので、合計で2回の合図が必要になります。

並び方2の場合、男女が互いに隣り合っているので、一回の合図でプレゼントの交換が成立します。

したがって、この場合の合図の最小回数は1回、最大回数は2回です。

③　男の子3人、女の子3人だった場合

②と同じように並び方を考えると

になります。

並び方１のとき合図は3回必要で、並び方2の場合一回の合図で4人が抜け残る2人が次の合図で抜けるので必要な合図の回数は2回。並び方3の場合は1回の合図で交換が成立します。

したがって、この場合の合図の最小回数は1回、最大回数は3回です。

①、②、③から見えてくるのは、どうやら、合図の最大回数は2人ずつ抜けていくときで、男女の合計を2で割った回数なんじゃないかと、つまり男女が2008人ずついれば、全員が抜け出すまでの最大の合図の回数は2008回になるのではと、予想がつきます。

このように、実際に想像しにくいもの命題に対して、自分の考えやすいところから徐々に一般化していくことを私は「実験」といっていますが、この「実験」をすることで答が「見えてくる」ことはこれからざらにあります。

さて、答の想像がついただけで、これを解答と呼ぶにはあまりにも、幼稚すぎます。
というか、この先、男子と女子の数を増やしていったときに法則が崩れているものもあるかもしれません。

中学生には少し厳しいかもしれませんが、高校生以上であれば「証明」が必要です。

つまり、

合図の最大回数は2人ずつ抜けていくときで、男女の合計を2で割った回数である

ということを示さなければなりません。

これを、証明するのに数式を用いるのはナンセンスですね。

ここは１つ「背理法」というものを使って証明してみましょう。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　次につづく。

お盆が明けて

2012-08-16T19:53:00.002+09:00

今日はお盆が明けて一発目の更新です。

プラウダスではいよいよ夏期講習会が残り5日となりました。

最後の5日間頑張ってほしいですね。

というわけで、盆明け一発目の更新はジュニア数学オリンピック予選の問題から。

ジュニア数学オリンピックとは、数学好きの中学生が目指す数学の大会です。

厳しい予選を突破した中学生が本大会に挑み、知識をぶつけ合う大会です。

いつも、小学生や高校生のことばかりお話しているので、たまには中学生向けの面白い問題も紹介しないとなということです。では問題です。

2008人の男子と2008人の女子が集まってプレゼント交換をする。男子は花束を、女子はチョコレートを1つずつプレゼントとして用意する。全員で円形に並んで内側を向き、1回合図があるごとに同時にプレゼントを右隣の人に渡す。男子はチョコレートを、女子は花束を受け取ったらその時点で円から抜けることにする。
このとき、全員が円から抜け出すまでに必要な合図の回数は最大で何回であるか。

という問題です。

おそらく、最小は1回でしょう。これは男女が交互に並んでいて一回合図を鳴らしたときである。
最大は？というと・・・

無限に大きくなるわけではないのでいろいろ考えてみましょう。

攻めると守る

2012-08-07T16:02:00.001+09:00

昨日の深夜、日本の女子サッカーが史上初のメダルを決めて、決勝戦へと駒を進めました。
その試合は、とても壮絶で、最後はこれはサッカーなのか？と思うぐらい攻め込まれ、気持ちで守り切り見事勝利を手に入れました。試合終了のホイッスルとともに彼女たちが流していた涙にこの4年間の強い思いを見たような気がします。

私は中学・高校とバドミントンという競技をしていました。その時に出会った先生方からどちらかというと精神論的なアドバイスを多くいただいた影響もあってか、私自身も精神論を重視する傾向にあります。

とはいえ、精神論というのは、ただ「頑張れ」といったものではなく、努力ありきでの話ですが。

勝負事に挑むとき、やはり気持ちで負けていてはいい結果が得られません。
ただ、なんの準備もなく勝負ごとに挑み、いくら気持ちを出したからといって勝てるわけがありません。

気持ちとは、自分が今までやってきたことに対する自信。
自信が持てない程の努力しかしていない人は気持ちを強く持つことはできません。

なでしこジャパンの彼女たちも今までやってきた努力があったからこそ強い気持ちを持って試合に挑み、勝利を得たのではないでしょうか。

私は普段授業では算数をメインに指導していますが、学年によっては理科を担当したりもしています。

理科や社会でこんなことは経験がないでしょうか？

(選択問題で)　アだと思っていたが、不安に思って解答用紙にイって書いたら正解がアだった。

試験は試験問題と自分との勝負です。
この場合、完全に気持ちで負けていますね。

このように迷ってしまうのは、自分に自信が持てなかったということ。努力が足りない証拠ですね。自分に誰にも負けない努力してきたんだ！という強い気持ちが持てていれば、迷うこともなかったでしょう。

算数や数学だって、解説をみて、「こう解こうと思ったのに何も書かなかった」みたいなことを言う人もいます。これも、自分に自信がない証拠。その解法がほんとに正しいと試験中に思えるような努力までしてこなかったわけですね。

志望校は人それぞれあると思いますが、余程のことがない限り、自分のレベルぐらい、もしくは少し上だったり、少し下だったりでしょう。

目の前の試験でいかに自分の力を出し切るか。それは、それまでの努力から得られる強い自信によって決まると思います。

受験で、相応の学校を選んでいれば、その合否なんか気持ちひとつで変わってしまうぐらい紙一重。ですから、本番で絶対の自信を持てるような自他ともに努力を日々重ねるべきです。
決して自己満足な努力に終ってはいけません。

さて、夏も半分が過ぎようとしています。
受験生もそうでない人も、目標を持ってそこに全力で努力しているのか。

もう一度見つめなおして後半の夏も頑張ってください。

ピーク！

2012-07-30T17:22:00.001+09:00

今日はロンドンオリンピックが開幕してから3日目です。
イギリスのロンドンではメダルを懸けた真剣勝負が日夜繰り広げられています。
私は、スポーツが大好きなので、夏期講習で疲れていても少々睡眠時間を削って日本の選手を応援しています。

そこで、驚くのがオリンピックで悉くピークに持ってくる選手の姿です。

オリンピックはみなさんご存知のように4年に一度開催されるスポーツの祭典ですが、選手の目線からすれば4年に一度しかないメダルを取るチャンスになります。

4年に一度のチャンスに向けて4年間かけてしっかりとメダルを取る準備をし、尚且つ自分のベストな状態をぶつけなければ勝利は見えてきません。

2日目に女子48ｋｇ級のウェイトリフティングで銀メダルを獲得した三宅宏美という選手は、前回の北京オリンピックでは、メダルが期待されていましたが、本番に自分のピークを持ってくることができず、惜しくもメダルを獲得することができませんでした。しかし、ロンドンオンピックでは、自身の持つ日本記録を更新して見事に銀メダルを獲得することができました。まさに、前回大会の反省を生かすことができた瞬間でした。

自分の調子をピークに持ってくるというのはとても難しいことです。
いくら普段調子が良くても本番がダメだったら元も子もないわけで、大会本番で調子をピークに持ってくる選手の姿を見ていると、何か受験にも共通することがあるんじゃないかなと関心を持ってみています。

特に算数や数学は、できると豪語する人でさえ、その日の体調で思いついたりつかなかったり、好不調の激しい教科です。この激しさは、受験の結果に直結することもしばしばで、そこが数学の難しいところの一つでもあります。

受験をするといって、勉強(準備)をしない人はいません。やはり、受験で合格を勝ち取るためには、その試験の日をベストな状態で迎えることが大切です。

それができるようになるためには、模試などを練習と思わず、本番と同じ緊張感を持って臨んで自分の＜調子＞を知ることがまず第一歩になります。

折角の4年に一度の機会ですから、日本の選手に限らず、いろいろな選手のピークを見て、参考にしてみてはいかがでしょうか？

夏期講習会始まりました。

2012-07-24T22:54:00.000+09:00

最近ブログをさぼり気味の私でしたが、夏期講習が一つ落ち着いたところで
ボチボチ更新の再開をしていきたいと思います。
夏期講習前は、水曜日、金曜日、日曜日のサイクルで更新していましたが、
夏期講習中は土曜日、月曜日、水曜日の更新でいきたいと思いますので、
また、お付合いよろしくお願いいたします。

プラウダスの講習会は最長で20日間にも及びます。

今日はその4日目にあたります。

私は普段はほぼ全学年の算数、数学を担当していますが、夏期講習会になると
一日の時間が限られているため、担当できる学年も、小学5年生、小学6年生
高校2年生、高校3年生のみとなってしまいます。

普段指導している子も気がかりなのですが、夏にしか会えない先生に出会って
夏が終わった時に、また一回りも二回りも大きく成長することを期待して、
送り出しています。

小学6年生や、高校3年生は間もなく受験ですから、そろそろ受験生として
なにか奮起を期待したいところです。

ただ、私からのアドバイスとしては、夏に頑張りすぎてはいけないということ。
特に受験生は、夏が終わった後、まだ、入試まで3か月程度の期間が空いてしまいます。

ですから、夏に燃えた心が燃え尽きてしまう可能性も否めません。
というか、燃え尽きてしまうでしょう。

なので、夏は全力疾走するのではなく、全力疾走をするための準備体操だと
考えながら、勉強のサイクルを作っていくことが大切です。

もちろん、頑張るなとは言っていませんので、やることはやってもらいますけどね(笑)

中学受験算数の必要性

2012-07-05T15:17:00.002+09:00

昨日更新し忘れてすみません。
プラウダスでは7月21日(土)より最大20日間に及ぶ夏期講習が始まろうとしています。
その準備で・・・。以上言い訳でした。

私は現在、小学1年生から高校3年生までのすべての学年の算数及び数学を担当しています。
そこで感じるのが、中学受験算数の必要性。

やるやらないでは特に算数においては、差がはっきり出る科目ではないかと思っています。
中学数学を教えていて度々思うのが、ただの小学校までの算数を難しく言い換えただけの内容で、真に数学と呼べるような単元はこれといってない感じがしています。

この薄っぺらい数学を3年間学んだところで、中学受験をして、中学から本格的数学を学ぶ子供たちには到底かないません。

一方で中学受験算数はというと、これは深いです。

中学受験の算数の醍醐味はなんといっても、高校数学に直結する考え方が多いこと。

特に整数問題に関しては、高校3年生に出題しても解けない問題があったりする良問揃いです。
これらの問題を理解するところまで達すれば問題はありませんが、理解が不十分であったとしても、その経験値の差は必ず出てきます。

かといって、中学受験を必ずしなければならないというわけではありません。
するしないは自由ですからね。

ただ、小学生という頭の柔らかい時期に、様々な柔軟な発想を必要とする問題に触れておく必要があるということ。小学生の6年間が無駄にならないよう、私は指導していきたいと思います。

<今日の問題>

今日は開成中学校の問題です。

3、5、7、8　の4つの数字と+、－、×、÷ 　の4つの記号と()を使って、1～10になる式を作りなさい。
使わない記号があっても構いませんし、()も特に使わなくてもよいですが1回しか使えません。
数字の順番も並び替えていいものとします。数字は全部使ってください。

例　(3+5‐7)×8＝8　となる。

バースデイ

2012-07-01T21:32:00.001+09:00

本日は僭越ながら私のお誕生日です。
こんな時も、算数のことを考えるんですが、7月1日が日曜日だったのは私自身が小学生のころにあったのを覚えています。

暦は、基本的に一年を365日としています。4年に一度、西暦が4の倍数の時はうるう年といって、一年が366日になります。またうるう年は複雑で、西暦が100の倍数の時は、4の倍数ですが、うるう年ではありません。しかし、400の倍数の時は、うるう年として数えます。

つまり、2000年は100の倍数ですが、400の倍数でもあるのでうるう年ですが、2100年は100の倍数でしかないので、うるう年ではないということになります。

まあ、私ぐらいの年の人間が2100年まで生きるとは考えにくいので、うるう年の複雑なルールは一旦おいておきましょう。

さて、1週間というのは7日で月、火、水、木、金、土、日の繰り返しです。
私の1年が今日から始まったとして、次の私の誕生日は今日から数えて366日目になります。
今日からの曜日のサイクルは日、月、火、水、木、金、土ですから366÷7＝52…2
つまり52個のサイクルとあと2日目が私の誕生日ということですから、来年の私の誕生日は月曜日となります。これは、プラウダスでは小学校4年生で学習する周期算と呼ばれるものです。
うるう年をまたがない場合、自分の誕生日の曜日は1つ先に進むということがわかります。

ということは次に私の誕生日が日曜日になるのは7年後？
いやいや、そういうわけにはいきません。うるう年をまたぐ場合は1日多いので曜日が2つ進むことになります。

2012　7月1日　日曜日
2013　7月1日　月曜日
2014　7月1日　火曜日
2015　7月1日　水曜日
2016　7月1日　金曜日　うるう年をまたぐので
2017　7月1日　土曜日
2018　7月1日　日曜日

実に6年後のこととなります。

今回はうるう年のおかげで、木曜日を飛ばして数えることができ実際の予想年数(7年後)より少なくて済みました。一年間で進める曜日を1や2の数字で表すと1+1+1+2+1+1＝7となり6年後に和が7の倍数になっていますね。

ただ、うるう年が、日曜日を飛ばすことになると、どうでしょう。日曜日が私の誕生日となるのは7年後より遅くなります。

2018　7月1日　日曜日
2019　7月1日　月曜日
2020　7月1日　水曜日　うるう年をまたぐので
2021　7月1日　木曜日
2022　7月1日　金曜日
2023　7月1日　土曜日
2024　7月1日　月曜日　うるう年をまたぐので　あっ、日曜日が飛びましたね・・・
2025　7月1日　火曜日
2026　7月1日　水曜日
2027　7月1日　木曜日
2028　7月1日　土曜日　うるう年をまたぐので
2029　7月1日　日曜日

あぁ、なんと2018年から12年後のこととなりました。
次は・・・と数えていくと、私が生きている間にあと何回7月1日が日曜日になるのか数えることができますね。

次は1+1+2+1+1+1＝7となるからさらに6年後の2035年

さらに次は2+1+1+1+2＝7となるから5年後の2040年　まだ生きる！！

さらに1+1+1+2+1+1＝7で6年後の2046年　そろそろおじいさんか・・・

さらに1+2+1+1+1+2+1+1+1+2+1＝14で11年後の2057年　もうちょっと生きようかな

さらに1+1+2+1+1+1＝7で6年後の2063年　もういいでしょ・・・

といった具合に、私の今後の人生で7月1日が日曜日になるのはあと7回ということがわかりました。

調べて何か得するというわけではありませんが、暦が周期的に変化することを利用して未来の曜日を調べてみる。なにかわくわくしませんか？

一筆書きクイズ

2012-06-29T14:29:00.000+09:00

今日は小学校低学年の子でも挑戦できる問題を。
下の図で一筆書きができる図はどれでしょう。一筆書きとは、ある場所からスタートして、同じところを二度通ることなく、その図を描くことを言います。一筆書きを始める場所はどこでも構いません。

さて、いろいろ試してみて下さい。
できたひとは、一筆書きができる図とできない図の違いを考えてみて下さい。

必要条件と十分条件

2012-06-27T15:42:00.002+09:00

今日はマジメな教育論を一つ。
みなさん必要条件と十分条件という言葉をご存知でしょうか。
この言葉、高校数学の数学Aという分野に含まれている、高校生があまり好きでない単元の一つです。

まず、このお話をする前に、命題という言葉を説明しなければなりません。命題というのは、正しいか正しくないか判断できる議論のことを言います。

一般的に数学の世界では、何をあてはめても成り立つ場合、それを真、つまり正しいといい、何か一つでも当てはまらないことがあれば、それを偽、つまり正しくないといいます。

ここにAならばBという命題が存在していたとします。
この命題の真偽を考えた場合、例えば、Aという条件を満たすならばBはすべて成り立つということ、つまり真としておきます。また、Bという条件に対してAはいつでも成り立つものもあるがいつでも成り立っているというわけではないとき、この場合AはBに対する「十分条件」といい、BはAに対する「必要条件」といいます。
十分条件Aを満たす内容であればいつでもBが成り立ちますが、必要条件Bを満たす内容であったとしても、Aが成り立つとは限りません。

また、Aという条件を満たすならばBはすべて成り立つという前提で、Bという条件のもとAをいつも満たしているのであれば、AはBの必要十分条件といいます。

少し、文章が長くなってきたので、図で説明を。

まあこんな感じですね。

これを受験というものに置き換えて考えてみましょう。

例えば、参考書を選ぶとき、「東大生が選んだ東大に受かる参考書」なるものがあったとします。
この参考書を買おうか買わまいか迷ったとして、この参考書をやるならば東大に受かるという命題を作ったとします。この場合、参考書をやる=A　東大に受かる=Bとします。

作っている側は、東大に受かった人たちが選んだものをピックアップしているだけですが、実際に東大に受かった人しかいないわけですから、BならばAが成り立っているものとしましょう。では東大に受かるならば、この参考書をやるという目線で考えるとどうでしょう。東大に受かっている生徒全員がこの参考書をやっていればそれは真となりますが、やはりそうではないので、偽となります。
つまり、参考書をやるということは必要条件であり、東大に受かるというのは十分条件となります。

なるほど、先ほど述べたように、十分条件を満たしていれば、必ず成立しますから、その条件はと・・・・、東大生であること。いやいや、まだ受かってないですから。参考書をやるということは必要条件に過ぎないのです。

といった具合に、実は買う側の目線に立ってみれば、必要条件であることばかりで、十分条件を満たすような参考書なんてこの世に存在しないのかもしれません。ましてや、必要十分条件になる参考書なんてもってのほか、見つかるわけもありません。

そんな参考書があるのならば、ぜひ教えていただきたいですね。

参考書は十分条件を満たさない限り、受験に合格するため一方法であり、その方法が万人に当てはまるというわけではありません。

これを突き詰めていけば、教育が方法論となってしまい、子供は考える力を失っていきます。
できれば、その方法というのは自分で発見し、オリジナリティーの持ったものであってほしいと願います。そのヒントをあげるのが、塾講師の役目であり、参考書の役目であってほしいと私は願います。と同時に、プラウダスが、合格のための必要十分条件となる塾になれるよう日々努力していきたいと思います。

みなさんも参考書を選ぶことがあったら、自分にとって必要条件なのか、十分条件なのか考えてみてくださいね。

二進法って便利　麻布中学の問題からの発展2

2012-06-24T20:42:00.000+09:00

さて、前回は二進法が十進法より情報量が少なく確実に表現できることをお伝えしました。
今回は二進法がデジタルの世界で、どのように使われているのか考えてみましょう。
デジタルは大ざっぱに言えば、0と1だけでできる信号をコンピューターに伝える技術です。具体例に「色の表現」を使いながら考えていきましょう。

色は光の三原色、色の三原色にに分けることができます。光の三原色はテレビやパソコンなどのディスプレイで用いられるもの、色の三原色は絵の具で用いられるものです。

パソコンのディスプレイなどでは光の三原色が用いられており、その三原色は、赤、青、緑の三色です。これら三色の光を混ぜ合わせれば混ぜ合わせるほど、光の持つエネルギーが大きくなるため、加法混色と呼ばれています。このとき、これら3つの色が混ぜ合わさった色を白色、何も混ざってない色は黒色になります。

この光の三原色を用いて各々の色の光の強さを調整し、混ぜ合わせると、ほぼすべての色を表現することが可能です。

現在では調整の度合いが、それぞれの色で0～255までの256段階となっており、赤も256通りの赤が選べ、緑色も256通り、青も256通り選ぶことができますから、この方法で表現できる色は実に
256×256×256＝16777216通りにもなり、これを「フルカラー表示」といいます。例えばB（青）102　G（緑）102　R（赤）224　とすればそれらが合わさった色が表現されるということです。人間の目はおよそ、700万色～1000万色を認識しているといわれ、この表現方法で十分だということもわかっています。

画像を認識する際、まずその表示したい画像をピクセルという小さなスペースに分割します。
日本では例えば、縦を320等分、横を480等分した場合、この一つ分を1ピクセルといい、320×480ピクセルという表現をします。すなわち、これらの数字が大きければ大きいほど、細かく分けられており、画像が鮮明になるということになります。

そのピクセル一つ一つには各色をどのように表示するのかという情報が書き込まれておりそれをビットと呼びます。1ビットというのは0か1、赤色1ビットであれば赤を使う（1）使わない（0）の2通りの命令を受け取ることができます。命令はすべて0と1の数字を使う二進法でやり取りされ、その桁数をビットと呼んでいるわけです。8ビットであれば8ケタの0か1を使った数字で命令できるということになりますね。10110100という色は十進法に直すと128+32+16+4＝190番目の色ということになります。8ビットあればある色を0～255の256段階で表現することができますので、三色ありますから一つのピクセルが8×3＝24ビットあれば、人間は画像をきれいだと認識することができます。

実際はもっと三色の要素以外に、透明度の情報も持たせて32ビットとなっています。
印刷会社では、48ビットの画像を用いたりもしますが。

このようにして、このピクセル一つ一つに色を割り当てたものが画像として認識されるのです。
数字が情報になるって不思議なことですが、0と1を使えばこうも簡単に表現できるわけです。
とはいえ、コンピューターの進化があってこそのお話ですけどね。
みなさんも、二進法の世界に一歩足を踏み入れてはいかがでしょう。

二進法って便利　麻布中学の問題からの発展1

2012-06-22T12:39:00.000+09:00

この麻布中学の問題、111111111111のように1や0しか使わない数は二進法で出てくる数字です。ここで出てくる111111111111は十進法の数として出ていますが、テーマを変えて1と0しか使わない数字、つまり、2進法について考えてみましょう。
2進法は小学5年生の後期で学習しますが、どんなものだったのか、まずおさらい。
普段の生活で使う数字は10進法と呼ばれるもので、0～9までの数を使ってすべての数を表現する技法です。0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11・・・。10は1と0の数字を使って表していますよね。
その他に、1日は24進法（場合によっては12進法）、時間は60進法で数えたり、知らず知らずのうちにいろいろな数の数え方が生活にしみついています。
要は、何を束にするのかということです。5個を1つの束として考えていくのであれば5進法ですしね。2進法というのは2個を1つの束として数えていく方法で、2つ集まると1つと数えますから、使う数字は0と1のみになります。
例えば、1は2進法では1、2は2進法で表すと、束が1つできているので繰り上がって10となります。
同様にすると3は11、4は100となります。このとき、数字は百とか十一とか読まないようにしてくださいね。その読み方は10進法のものですから、イチゼロとかイチゼロゼロとか読みます。
ざっくり話せばこんな感じです。

二進法は、コンピューターの世界では必須の数え方です。所謂、「デジタル」と呼ばれるもので、現代には欠かせないものとなっています。
デジタルはコンピューターに「1と0の信号」で命令することです。
情報をやり取りする上でミスは致命的です。
コンピューターが数字を処理する場合、認識するという意味で、十進法で処理することはより高度であり、かつミスが起きやすい方法です。
例えば、2ケタまでの数を表示するためにランプを使って表現することを考えます。
これを十進法で表現するためには、十の位の0～9の数字を表現するための10個のランプと一の位の0～9の数字を表現するための10個のランプの合計20個のランプが必要になります。
これを二進法で表現するためには、上の図からも分かるように７個のランプで済んでしまいます。

上の図を見てわかるように、ランプ＝命令と考えると、二進法の方がはるかに少ない命令でたくさんの数字を表せることがわかりますね。二進法を十進法に直す作業が面倒くさいじゃないかという話も出てきますが、それは人間目線であって、コンピューターは本来計算するのが得意ですから、命令を受け取ることに比べれば、計算することなんて容易いことなんです。

解答のお時間です。

2012-06-21T15:50:00.000+09:00

(1)

どうだったでしょう。実際に割り算をしてみれば割り切れるか割り切れないかすぐに判別はつきます。筆算をして気づくと思いますが、1が12個並んだ数を割り切る1しか使わない数は12を割り切る数だけ1を並べたものに限ります。
ということは、12の約数である、1,2,3,4,6,12個、1を並べた数はすべて約数になります。

答　1、11、111、1111、111111、111111111111は約数で、それ以外は約数ではない。

(2)

まず、考えなければいけないのは、約数の約数は約数であるということ（①）。
んん？とお思いの方はこういうことです。
例えば、18の約数の1つである9について考えます。また、9の約数には1,3,9が考えられます。この9の約数はすべて18を割り切ることができるので18の約数が9の約数になっていることが確認できました。
もうひとつ、元の数を約数で割った商も元の数の約数となるということ（②）。
例えば、28の約数の1つである4で28を割ってみると28÷4＝7となります。この7という商は・・・、28の約数になっていますね。これは検算してみるとわかりやすいでしょう。28＝4×7という式からも分かるように、28という数は4と7の積で表せますよ～ってことですね。言い換えれば4と7で割り切れますよ～ってことです。

さて、本題に。
(1)で111111111111の約数である1,11,111,1111,111111,111111111111を考えました。
②の考え方を用いて、1と111111111111以外の数で111111111111を割ってみると、
111111111111÷11＝10101010101　111111111111÷111＝1001001001
111111111111÷1111＝100010001　111111111111÷111111＝100001
となって出てきます。
②の考え方から、ここで出てきた4つの商はすべて111111111111の約数ということになります。

今は7個列挙せよというお話ですから、あと3個考えなければいけません。
ここは①の考え方に基づいて、今出てきた商の約数について考えましょう。
すぐに約数が思いつきそうなものは・・・、10101010101です。この数の並び方から考えると、101と10101は数の規則的に思いつきそうです。実際に割り算すると、ちゃんと割り切れますね。
ということは、101と10101は111111111111の約数です。
あと1つ。
1001001001という数字に注目すると、上と同様に数の規則から1001で割り切れそうです。
割り算をすると、1001001001÷1001＝1000001
となりますから、1001も111111111111の約数です。これで7つ求めることができました。

答　101,1001,10101,100001,100010001,1001001001,10101010101

算数が好きな子は割り算を習ったときに、こういう割り算だったらどうなるんだろうだとか考えながら、やっていそうなテーマでした。学習したことを鵜呑みにせず、これだったらどうなるんだろうと、いろいろ試行錯誤できていた人にとっては、なんだ簡単じゃんとなりますが、そうでない人は、無限そうに見える解答から、この7つの解答を出すことは難しいでしょう。まさに、差のつく問題でした。

1だらけ

2012-06-17T23:16:00.001+09:00

今日は1だらけの問題です。

麻布中学校で出題された問題で、約数と倍数に関する問題です。
小学5年生以上の人はチャレンジしてみてください。

大学受験生のみなさまへ

2012-06-15T15:13:00.001+09:00

国公立大学の受験を考えているみなさんへ、おすすめの参考書を。

なぜ京大なのか・・・
京大の過去問はそのほとんどが良問です。(中には悪問もありますが)
そして、テーマを持って出題されます。
なんといっても、京大の問題には誘導がありません。誘導とは、最終的な「解」にたどり着くまでに必要な考えを小問（(1)、(2)・・・のような設問のこと）を与えることでその「解」に導いていくことをいいます。
数学の問題をたくさん解いていればわかることですが、実はこの誘導に助けられて問題を解答できていることがほとんどです。ですから、普段は誘導がついていて簡単に思える問題も、その問題の本質を捉えていなければ、誘導がなくなった途端に解くことができなくなります。解法の暗記だけではだめだということです。
京大は、解答までのプロセスをとても大事にする学校です。
そのプロセスは、絶対に思いつけないものではなく、与えられたテーマを理解することではっきりと出てきます。
京大だから難しい問題だらけなんじゃないかと思う方もいらっしゃるとは思いますが、むしろ京大だからこそ、数学の本質を捉える絶好のチャンスです。
この本には、問題別にABCのランクがついているので、ランクAの問題を完全制覇するだけでも数学力はかなりアップすると思いますし、国公立を目指す人ならば十分な演習になると思います。
文系の方も京大の文系数学というものがありますから、数学がある国公立大学を目指す人はぜひチャレンジして自分の数学力を磨いてみてください。