Matematicas y software libre

Darling, proyecto para ejecutar aplicaciones OS X en Linux.

2012-12-17T09:05:00.000+01:00

En Gnu/Linux, podemos ejecutar programas para Windows, utilizando herramientas como Wine, pues Darling es algo parecido pero para programas de OS X.
Darling, es un proyecto de código abierto basado en GNUstep y cuyo objetivo es lograr la compatibilidad para ejecutar aplicaciones Darwin/OS X en sistemas GNU, además de proporcionar herramientas útiles que ayudarán especialmente en la instalación de las aplicaciones.
El proyecto todavía está desarrollándose, pero ya se está ejecutando programas básicos OS X.
Desafortunadamente el proyecto se encuentra en desarrollo temprano y hay pocos programas de Apple que se puedan ejecutar en modo gráfico aunque algunos ya lo hacen a través de la terminal.
La buena noticia es que este es un proyecto de investigación para una tesis universitaria que está llevando a cabo Luboš Doležel, algo que asegura que el proyecto seguirá en marcha durante, al menos, algunos meses.
Aquí podéis ver una captura donde se muestra el mismo ejecutable en las dos plataformas. Un simple “Hello World”

Si estás interesado en colaborar en este proyecto o quieres más información así como la descarga, entra en su pagina oficial.

125 años del nacimiento de Srinivasa Ramanujan.

2012-12-12T23:07:00.000+01:00

En este 12 de Diciembre de 2012 se cumple el centésimo vigésimo quinto aniversario del nacimiento de Srinivasa Ramanujan (1887-1920), motivo por el que se han organizado congresos (Universidades de Florida (EEUU) y Mysore (India)) y publicaciones (Notices of the AMS) que muestran el impacto creciente de su obra en las matemáticas que se han creado desde la conmemoración de su centenario, hace ahora veinticinco años.

Tratándose de Ramanujan cabe preguntarse si el número de esa efemérides, 125, hubiera tenido para él algún significado especial, aparte de que 125 sea igual a cinco elevado al cubo, por lo que si lo escribiésemos en base 5 obtendríamos 1000 que es una cifra mucho más redonda e imponente. Pero recordemos, una vez más, su famosa anécdota en torno al número 1729, cuando su amigo, y protector, Godfrey Harold Hardy le visitó en el hospital y le contó que la matrícula del taxi que le había llevado era 1729, un entero un tanto anodino, a lo que Ramanujan, desde su lecho de enfermo, contestó: “¡No Hardy, no!… 1729 es un número muy interesante, ya que se trata del entero menor que puede ser expresado de dos maneras distintas como suma de dos cubos”: 1729 = 1³ + 12³ = 9³ +10³. Hardy, sorprendido, le preguntó a renglón seguido si conocía la respuesta para las cuartas potencias, a lo que Ramanujan contestó que no podía verla en ese momento, pero que tendría que ser un número muy grande. Con la ayuda de un ordenador, sabemos ahora que se trata de 635318657 = 134⁴ + 13⁴ = 158⁴ + 59⁴, pero todos podemos ver en ese maravilloso ejemplo el inicio de unas preguntas y de una teoría fecunda que trascienden a la anécdota que las originó. Ilustra también la tendencia de Ramanujan de considerar los ejemplos especiales por delante de las construcciones más generales. Tanto en sus celebrados Cuadernos de Notas, como en su correspondencia con Hardy, se recrea en presentar casos particulares que resultan ser especialmente significativos, antes que describir el panorama más general que estaba subyacente.

Ramanujan en Cambridge

El talento de Ramanujan tiene difícil parangón. La mayoría de los matemáticos poseemos una cierta intuición geométrica, pero la intuición aritmética, aquella que permite detectar las cancelaciones ocultas y los patrones y simetrías en series numéricas, es rara avis, y sus poseedores, como Euler y Ramanujan, nos maravillarán siempre con sus fórmulas, identidades y cálculos, tan sorprendentes y fascinantes ahora, como lo fueron setenta y cinco o cientos de años atrás. Ramanujan poseía una potente intuición algebraica y combinatoria, y unas habilidades de manipulación de series, algoritmos, fracciones continuas y todo eso, muy por encima de cualquier otro matemático conocido. Durante los cinco años que estuvo en Cambridge, en tiempos de la primera guerra mundial, publicó veintiún artículos de investigación, cinco de los cuales fueron en colaboración con Hardy. Las referencias siguientes son una buena base de partida para quienes deseen profundizar en su obra: Collected Papers of S. Ramanujan, AMS.ISBN 0-8218-2076-1; S. Ramanujan (1957): Notebooks, Tata Institute; S. Ramanujan (1988): The Lost Notebook; and “Ramanujan: Letters and Commentary” by Bruce Berndt and Robert A. Rankin (AMS and London Math. Society).
Las vicisitudes de su existencia le han envuelto siempre con un cierto halo de romanticismo. El mismo Hardy escribió que haber conocido a Ramanujan era “el capítulo romántico de su vida”y ese mismo adjetivo ha sido usado por quienes han escrito su biografía, o diversas novelas y obras teatrales basadas en ella. Un ejemplo es la obra de Robert Kanigel (1991) “The man who knew infinity: a life of the genius Ramanujan”; otro más reciente es “The indian clerk” (traducida al castellano por “El contable hindú”) de David Leavitt. Abel y Galois son otras figuras del Olimpo matemático que comparten romanticismo con Ramanujan: como él fueron también genios precoces, incomprendidos en sus comienzos y fallecieron en plena juventud, por lo que siempre quedará la duda de cuál hubiese sido su legado de haber disfrutado de una vida más larga, o una existencia más acomodada. Ahora es muy fácil encontrar en lnternet una amplia información sobre la vida de Ramanujan: sus origénes humildes en Kumbakonam, cerca de Madrás; la personalidad un tanto dominadora de su madre, Komalatammal; sus problemas en la universidad de Madrás, donde perdió sus becas por descuidar las asignaturas que no eran de Matemáticas; sus manuscritos con teoremas y fórmulas maravillosas que finalmente supo apreciar Hardy y que le valió la invitación para viajar a Cambridge; el supuesto sueño de su madre en el que la diosa Namagiri de Namakkal le ordenó no interponerse en el camino de su hijo permitiéndole viajar a Inglaterra; sus años en Cambridge, o su enfermedad y retorno a la India.

G.H. Hardy y S. Ramanujan

Para terminar esta breve reseña, valgan las siguientes fórmulas que Ramanujan envió a Cambridge en su manuscrito original, junto con los comentarios que motivaron entonces:

Hardy: “Estas fórmulas me derrotaron completamente. Yo no había visto antes nada como esto. Una simple mirada resulta suficiente para darse cuenta que solamente las podría haber escrito un matemático de primera clase. Deben ser verdad, porque nadie puede tener la imaginación suficiente para inventárselas”. “¿De dónde vienen estas fórmulas, y por qué son verdaderas?”

2013, año de las matematicas del planeta Tierra.

2012-12-11T10:29:00.002+01:00

El año 2013 ha sido declarado el Año de las Matemáticas del Planeta Tierra por los institutos de investigación matemática de Norteamérica, a los que se han sumado otras instituciones relevantes, como la American Mathematical Society (AMS), la European Mathematical Society (EMS) o la International Mathematical Union (IMU).

El objetivo principal de esta celebración es señalar el papel clave que tienen las matemáticas en los procesos relacionados con la continua evolución dinámica de nuestro planeta, focalizando la investigación matemática en estos temas, crear un contexto para poder atacar estos temas de un modo interdisciplinar y buscar sinergias entre investigadores en las temáticas señaladas. Más información en

http://www.crm.umontreal.ca/Math2013/en/

Ada Lovelace, pionera de la programación informática y de la ciencia de la computación.

2012-12-10T16:12:00.000+01:00

Hoy se cumplen 197 años del nacimiento de Ada Lovelace, precursora de la ciencia de la computación gracias a sus estudios sobre la máquina analítica de Charles Babbage.

Ada Lovelace no ha pasado la historia por ser hija de Lord Byron, uno de los grandes poetas de la literatura inglesa y símbolo del romanticismo, sino como la asistente visionaria que entrevió las posibilidades de la máquina analítica de Charles Babbage.

Ada Lovelace fue una pionera en su época. Estudió matemáticas y ciencias, y gracias a su preparación desarrolló una serie de instrucciones que permitían hacer cálculos en una versión inicial y alejada de lo que hoy conocemos como ordenador. Las aportaciones de Ada Lovelace al campo de la informática permitieron a otros científicos, como al inglés Alan Turing, continuar las investigaciones en este ámbito hasta llegar a ser considerado como el precursor de la ciencia de la computación.

Ada Augusta Byron -este es su verdadero nombre- nació el 10 de diciembre de 1815 en Piccadilly, Londres. Hija de Lord Byron y Annabella Milbanke (la princesa de los paralelogramos, según la llamaba Byron), no llegó a conocer a su padre, que abandonó Inglaterra cuando ella apenas contaba dos meses de edad tras de divorciarse de su madre. Lord Byron escribía a su única hija legítima a menudo y la homenajeaba en sus continuas obras poéticas: no es extraño encontrar el nombre de Ada entre las heroínas de las obras del escritor, algo que continuó así hasta su muerte por malaria en Grecia (adonde el poeta había acudido a colaborar con la revolución nacionalista) cuando ella tenía solo ocho años de edad.

A los veinte años Ada Lovelace se casó con William King, octavo barón de King y que más tarde fue nombrado Conde de Lovelace. Desde entonces su nombre de casada pasó a aser Lady Augusta Bryon King, Condesa de Lovelace. Nace de ahí su denominación moderna Lady Ada Lovelace. La llegada de sus tres hijos le impidió continuar con sus estudios. Tuvo tres: Bryon Noel Byron, Annabella y Ralph Gordon.

Gracias a una mente privilegiada y a su curiosidad por las matemáticas, Ada Lovelace fue capaz de deducir y prever la capacidad de los ordenadores para ir más allá de los simples cálculos de números. Han sido varias las mujeres que han realizado aportaciones a la informática, pero sólo Ada Lovelace ha conseguido que un lenguaje de programación lleve su nombre. Su trabajo en este campo es reconocido y valorado en el mundo informático hasta el punto de que el Centro Informático de San Diego y el Museo de la Historia de los Ordenadores le han dado a Ada Lovelace un sitio entre sus personalidades.

Ada Lovelace murió de cáncer el 27 de noviembre de 1852 a los 36 años de edad y fue enterrada, a petición suya, al lado de su padre en la Iglesia de Santa María Magdalena en Hucknall, Nottingham.

Completa formación científica

Intentando eliminar cualquier inclinación de Ada hacia la literatura, Lady Byron educó a la niña en el mundo científico. Así, desde bien pequeña, Ada Lovelace estuvo rodeada de los mejores profesores. Le le proporcionaron una completa formación científica, muy superior a lo que se espera de una mujer de la época.

Ada Lovelace recibió clases particulares de matemáticas y ciencias, sobre todo de la rama de Astronomía, contando entre sus tutores con el prestigioso Augustus de Morgan, el primer profesor de matemáticas de la Universidad de Londres, o Mary Sommerville, una brillante matemática que acababa de publicar un libro sobre mecánica celeste y que acabó convirtiéndose en su ejemplo a seguir.

En 1833, cuando ya había sido presentada en sociedad y gracias a su protectora Mary Somerville, Ada Lovelace conoció a Charles Babbage. Semanas después de este primer encuentro, Ada visitó con su madre al inventor y matemático en su casa, donde éste les mostró la parte ya construida de su máquina diferencial.

Babbage, que desde 1828 ocupaba la cátedra Lucasiana de Matemáticas de la Universidad de Cambridge (la misma que había ocupado Newton), diseñó su máquina para que generara tablas matemáticas automatizando los pasos «mecánicos» de los cálculos. Algo así como el antepasado de los ordenadores actuales. Y a partir de ahí comenzó una intensa correspondencia entre ambos.

Por su formación, su experiencia infantil en el diseño de una máquina propia -a los doce años quiso construir una máquina voladora inspirada por los experimentos de la época-, y por sus habituales visitas a fábricas y talleres, Ada Lovelace pudo entender el funcionamiento de la máquina.

Dos años más tarde, el 8 de julio de 1835, se casó con William King, octavo barón de King, nombrado más tarde Conde de Lovelace y once años mayor que ella. Al contraer matrimonio Ada se convirtió en la Condesa de Lovelace, y a partir de entonces pasaría a la posteridad como Lady Ada Lovelace. Pero a pesar del matrimonio -que tuvo tres hijos-, su carrera no se truncó.

Una asistente visionaria

Babbage había queda tan impresionado por las capacidades de Ada Lovelace que en 1842 requirió de sus servicios. Se había publicado en francés un trabajo sobre la máquina analítica y Babbage quería que ésta lo tradujera al inglés y lo ampliara con anotaciones propias. Estas notas, cuya extensión triplicaba la del trabajo que había traducido, resultaron contener lo que se considera en la actualidad como los primeros programas informáticos.

Entre otras cosas, Ada Lovelace describió un algoritmo para calcular los números de Bernoulli en la máquina analítica que es considerado el primer algoritmo adaptado específicamente para una «computadora», hecho por el que Ada Lovelace es considerada como la primera programadora de la historia. También sugirió la utilización de tarjetas perforadas para introducir instrucciones en la máquina analítica.

Ada Lovelace falleció a los treinta y seis años -casi a la misma edad que su padre- el 27 de noviembre de 1852, debido a un cáncer uterino y probablemente por las complicaciones derivadas de las sangrías realizadas por sus médicos.

A pesar de que son muchas las mujeres que han realizado grandes aportaciones a la informática, solo Ada Lovelace cuenta con un lenguaje de programación que lleve su nombre. En 1979 el Departamento de Defensa de los Estados Unidos creó un lenguaje de programación basado en Pascal en su honor llamado lenguaje de programación Ada.

Ada Lovelace tiene también un día propio en el calendario: el 16 de octubre. El día de Ada Lovelace rinde homenaje a todas aquellas mujeres del ámbito internacional que han contribuido con esfuerzo y pocas alabanzas en el campo de la ciencia, la tecnología, la ingeniería y las matemáticas.

Ubuntu 12.04 LTS disponible.

2012-04-26T14:10:00.001+02:00

Canonical ha anunciado la disponibilidad de Ubuntu 12.04 LTS Precise Pangolin, una nueva edición de esta popular distribución que llega con cambios destacables en diversos apartados.

En las notas de la versión podéis encontrar la descripción de esas novedades de las que ya hemos hablado en el pasado, tales como la integración de HUD (Heads-Up Display) en Unity, las opciones de personalización de Unity gracias a las preferencias del sistema y a la inclusión de MyUnity o el soporte extendido de touchpads, incluidos la mayoría de Synaptics y de los trackpads de los portátiles de Apple.

En materia de apliaciones se ha elegido a Rythmbox como aplicación de reproducción musical por defecto, en la cual está integrada la Ubuntu One Music Store. LibreOffice está en versión 3.5.2, mientras que contamos con GNOME3.4.1 como entorno de escritorio, lo que hará sencillo instalar la nueva versión de GNOME Shell y las aplicaciones que se han retocado especialmente en esa versión de GNOME, tales como Epiphany (“Web”) o Boxes, el gestor de virtualización.

Hay más novedades que podéis comprobar en el anuncio oficial, y por supuesto ya podéis descargar e instalar Ubuntu 12.04 LTS Precise Pangolin en diversos formatos desde este enlace.

Ubuntu 12.10 Quantal Quetzal: adios al marron en Ubuntu.

2012-04-24T14:41:00.001+02:00

Era difícil superar la complejidad de los nombres de pasadas ediciones de Ubuntu, pero Mark Shuttleworth lo ha vuelto a conseguir al anunciar el nombre de la futura edición otoñal de la distro de Canonical, que se llamará Ubuntu 12.10 Quantal Quetzal.

Quantal Quetzal llegará el 8 de octubre de 2012 y lo hará con cambios estéticos: una nueva versión del tema y la tipografía, una nueva iconografía y “quizás un nuevo factor de forma que despega” (¿smartphones, tablets?). De hecho, Shuttleworth deja claro que el marrón quedará atrás para dar paso a algo “colorido y ligero”.

De hecho, Quantal Quetzal iniciará un ciclo de cuatro ediciones de Ubuntu que culminarán con Ubuntu 14.04 LTS, algo que precisamente aprovecharán para refrescar el aspecto visual de Ubuntu. Estaremos atentos a esas intenciones de Canonical, que muy pronto lanzará como sabéis la versión final de Ubuntu 12.04 LTS.

Por cierto, para los que queráis saber que es un quezal -más allá de la foto-: wikipedia al rescate. El soplo del anuncio lo hemos recibido de nuestros compañeros de MuyComputer, que han estado “al loro” (nunca mejor dicho, aunque no sean exactamente lo mismo) :)

Una demostracion de Milnor del teorema de la bola peluda.

2012-04-23T10:18:00.000+02:00

Hace algunos dias en www.gaussianos.com aparecia el post que os dejo a continuacion.
El maravilloso teorema de la Bola Peluda, es un resultado que se suele ilustrar diciendo que es imposible peinar una bola que esté completamente cubierta de pelo. Ya se habló en Gaussianos hace un tiempo acerca de él, y hoy vamos a volver a hacerlo.

Y vamos a volver a hacerlo gracias a Dani, que hace un tiempo me envió una interesante demostración de este resultado traducida y preparada casi para publicarla. Y hoy va a ser el día en que aparezca en el blog.
El resultado en realidad es más general y afirma que no existe ningún campo continuo de vectores tangentes (que siempre sean distintos de cero) en ninguna esfera de dimensión par. Existen multitud de demostraciones de este hecho, en su mayoría bastante complicadas, que usan argumentos combinatorios, de teoría homológica o homotópica, de formas diferenciales o incluso de topología geométrica, pero en 1978 el genio de la topología diferencial John Milnor, premio Abel en 2011, publicó una demostración de este teorema que es completamente elemental.
Es cierto que a pesar de no necesitar maquinaria pesada es un texto matemático hecho y derecho que posiblemente asuste a algunos, pero realmente la idea que hay detrás es simplemente, en palabras del propio Milnor, “la observación de que la función no es un polinomio para impar”. La prueba sólo requiere conocimientos básicos de cálculo en varias variables y algo de familiaridad con la topología general, y es una pincelada de elegancia que nos ofrece el hombre que recibió una medalla Fields en 1959 por su descubrimiento de las esferas exóticas: espacios topológicos de dimensión 7 que eran homeomorfos a la 7-esfera pero no difeomorfos. Dicho de otra manera, dotó a la 7-esfera de estructuras diferenciables no equivalentes a la usual. El estudio de las esferas exóticas aún está lejos de estar cerrado, y de hecho no se sabe si existen estructuras diferenciables exóticas en la esfera de dimensión 4.

Teorema de la bola peluda…y demostración

Bueno, entremos ya en materia. Vamos a comenzar volviendo a enunciar el teorema:

Teorema de la bola peluda
Ninguna esfera de dimensión par admite un campo continuo de vectores tangentes que no se anule en ningún punto.

La esfera de dimensión , denotada por , se define como el subconjunto de vectores del espacio euclideo que tienen norma igual a 1 (y llamaremos al conjunto de vectores con norma ). Un vector se dice tangente a en si el producto escalar euclideo es cero.
Por supuesto que un campo tangente en la esfera sería simplemente una aplicación

para la cual .
Decimos que es un campo continuo si sus funciones coordenadas son continuas y que es suave si todas tienen derivadas parciales continuas de todos los órdenes. La restricción de que el campo no se anule en ningún punto simplemente se traduce en exigir .
También es importante darse cuenta de que la restricción sobre la paridad de la dimensión es esencial. En la esfera podemos definir el campo

que claramente cumple las condiciones pedidas. También notamos que si es un campo de vectores continuo y tangente que nunca se anula, el campo es un campo continuo y tangente que además es unitario. Bastará por lo tanto probar que no existen campos continuos, tangentes y unitarios. Nosotros demostraremos el Teorema con la hipótesis adicional de suavidad del campo. El caso general se puede deducir de éste con el Teorema de Aproximación de Weierstrass, que permite aproximar cualquier función continua por una polinómica (y por lo tanto infinitamente diferenciable) haciendo el error tan pequeño como queramos. De esta forma bastará comprobar la veracidad del siguiente hecho:

Ninguna esfera de dimensión par admite un campo
suave de vectores tangentes y unitarios.

Procedamos con la demostración de esta última afirmación:
Sea una región compacta y un campo suave que está definido en un entorno de . Consideremos para cada número real la aplicación que hace

Esta última aplicación está definida en todo , y entonces es fácil demostrar el primer Lema que necesitaremos:

Lema 1:
Si el parámetro es suficientemente pequeño, la aplicación es inyectiva y transforma la región en una región cercana , cuyo volumen se puede expresar como un polinomio en .

La primera afirmación se sigue del hecho de que una aplicación continuamente diferenciable definida en un compacto es Lipschitz, esto es, existe una constante tal que para cualesquiera se tiene que

Para quien no sepa cómo demostrar esto, comentar que es simplemente la aplicación el teorema del valor medio en cada coordenada. A partir de esto vemos que si fuera , se tendría , y por lo tanto la desigualdad obliga a que sea si se tiene .
En estas condiciones sabemos que el volumen de la región se puede calcular mediante la integral

Pero la diferencial de tiene una matriz jacobiana en de la forma

por lo que su determinante será de la forma

para ciertas funciones definidas en . En particular, para pequeño será estrictamente positivo y podemos escribir la anterior integral como

donde .
Esto demuestra el primer Lema. Para completar la prueba necesitaremos otro más. Supongamos, para buscar una contradicción, que existe un campo suave de vectores tangentes y unitarios definido en una esfera de dimensión par . Consideramos nuestra región como la región compacta que yace entre dos esferas concéntricas y de radios , y extendemos el campo a todo por la ecuación para cada . Así es un campo de vectores definido en todo que por el Teorema de Pitágoras lleva la esfera unidad dentro de la esfera de radio .

Lema 2:
Si el parámetro es suficientemente pequeño, lleva la esfera en la esfera de radio de manera sobreyectiva.

Suponemos sin problemas . El determinante de la diferencial de , que vimos que era de la forma , no se anula para pequeño. Así pues, por el Teorema de la Función Inversa, lleva abiertos del interior de a abiertos de . En particular, la imagen es un conjunto relativamente abierto de la esfera de radio . Pero como es también compacto, y por lo tanto cerrado, es un subconjunto del espacio conexo que es a la vez abierto y cerrado, de modo que por no ser vacío ha de ser el total.
Estamos ya en condiciones de concluir la demostración del Teorema de la Bola Peluda. En efecto, se sigue del segundo Lema que para cada , la aplicación lleva la esfera de manera sobreyectiva en la esfera de radio , y por lo tanto es la región concéntrica entre las esferas de radios y . Pero es obvio entonces que podemos expresar el volumen de esta región por la fórmula

que para impar no es un polinomio en , una contradicción con el primer Lema.
Milnor también es reconocido en la comunidad matemática por redactar sus textos de una manera extremadamente clara e intuitiva. Recomiendo a cualquiera que quiera aprender las ideas que yacen detrás de la topología diferencial su libro Topology from the Differentiable Viewpoint. En 50 páginas mete una cantidad de conceptos e ideas increíble, y no requiere más conocimientos que esta demostración. Es fantástico.

FreeBSD 8.3 disponible

2012-04-20T10:12:00.000+02:00

El llamado FreeBSD Release Engineering Team anunció ayer la publicación de FreeBSD 8.3, la última versión de este sistema operativo que es, como indican sus creadores, la cuarta versión de la rama estable de FreeBSD 8.

Según el anuncio oficial en FreeBSD 8.3 se mejoran algunas de las capacidades de la versión anterior, pero también se incluyen novedades, y destacan las siguientes:

usb soporta el filtro de paquetes USB
La pila TCP/IP soporta el entorno de control de congestión mod_cc
La clase GEOM para graid se ha añadido para dar soporte a varias controladoras RAID basadas en la BIOS
El subsistema ZFS ha actualizado SPA a la versión 28
GNOME 2.32.1, KDE SC 4.7.4

Me temo que no soy usuario de FreeBSD y me pierdo un poco con esas mejoras tan especializadas, pero si lo deseáis podéis obtener más información a partir del anuncio oficial y de las notas de la versión. Y por supuesto podéis descargar FreeBSD 8.3 a través de los enlaces a BitTorrent y FTP que ofrecen en el citado anuncio oficial.

Maximizacion y Tetris

2012-04-18T12:32:00.000+02:00

Durante la clase del día 3 de Febrero de 2009, un entrañable amigo economista nos explicó la maximización matemática, nos mostró la ecuación de una curva de indiferencia y la de una restricción presupuestal, en el primer cuadrante de un plano cartesiano y utlizando la geometría analítica encontró el punto óptimo donde la restricción toca la curva de indiferencia más alta.

Esto nos mostró como se traduce matemáticamente el comportamiento racional de las personas, consistente en aquel que las lleva a buscar lo que necesitan sujetos a las restricciones que enfrentan, es decir, como "se ve" matemáticamente la maximización.

En primera instancia, el manejo de ecuaciones, el uso del cálculo diferencial y las gráficas puede parecer demasiado abstracto para un estudioso de derecho, sin embargo, es muy parecido a situaciones que han enfrentado en algún momento de su vida, como el disfrutar un juego de video conocido como "Tetris".

En el Tetris, a semejanza de la gráfica de maximización, la primera vez que se observa parece demasiada información sin sentido que nos impide entender y ganar en el videojuego... pero ¿Qué sucede cuando tomamos el control y buscamos como una única meta en el juego acomodar piezas que caen para formar líneas horizontales? Empezamos a entender el juego y a elaborar jugadas cada vez más elaboradas, como desaparecer 4 líneas horizontales simultáneamente con una sola pieza.

Esta simple explicación del funcionamiento del videojuego nos muestra que éste conlleva un único propósito, que es formar líneas horizontales en un plano de 2 dimensiones, sin preguntarnos ¿De donde vienen tantas piezas? ¿Porqué caen? ¿En algún momento termina el juego? ¿Podrían existir piezas de otro tamaño o color? Desconocer la respuesta de estas preguntas no impide comprender el funcionamiento del juego y disfrutarlo.

De igual manera, la Maximización matemática, tiene como única meta encontrar el punto exacto donde la curva de indiferencia toca la restricción presupuestal, en este caso, las curvas de indiferencia permanecen constantes y es la restricción, a semejanza de las piezas en el Tetris, es la que se mueve para que encontremos un nuevo punto óptimo de maximización, o que formemos una nueva línea horizontal, todo dentro de un plano de 2 dimensiones.

En este orden de ideas, la única regla existente en Tetris permite al jugador realizar jugadas cada vez más rápidas y complejas, así como la comprensión de la maximización permite al analista interpretar cada vez más rápido situaciones complejas.

Hemos descubierto como los modelos bidimensionales pueden generar incluso entretenimiento y como la utilización de pocas variables facilitan la comprensión y manejo de las situaciones.

Pd. A semejanza de la maximización, la inclusión de una sola variable contenido en un tercer eje, complicaría el modelo bidimensional hacia la tridimensionalidad, lo cual eleva la complejidad del videojuego

Los primeros Raspberry Pi ya estan llegando a sus usuarios.

2012-04-17T13:04:00.000+02:00

Como señalan en MuyComputer, estos miniordenadores del tamaño de una cajetilla de cigarrillos y que tienen un precio de apenas 35 dólares han causado sensación entre los aficionados a la informática, que ya pueden respirar tranquilos: las primeras unidades han comenzado a enviarse.

Lo comentan en el blog oficial de Raspberry Pi, donde indican que tras el largo proceso de certificación y pruebas por parte de los organismos de validación -con pruebas de todo tipo, sobre todo en temas como las radiaciones emitidas- se han comenzado por fin a enviar las unidades a los primeros usuarios que reservaron sus Raspberry Pi.
Algunos usuarios ya han publicado sus primeras impresiones e incluso algunos vídeos sobre estos pequeños ingenios en funcionamiento, como sucede con uno de los voluntarios del proyecto, que tuvo acceso unos días antes a su Raspberry Pi personal -que pagó como todos los demás- y que comenta sus impresiones -en inglés- en el siguiente vídeo.

Por el momento el stock disponible es muy limitado -el primer lote tan solo constaba de 2.000 unidades- pero la cadena de producción y de distribución está ya a pleno rendimiento, así que todos los que reservaron sus dispositivos en esos primeros días tendrán que esperar un poco más, y se espera que a finales de abril o principios de mayo el ritmo de envíos sea ya mucho más regular.
También es interesante comprobar que tal y como comentan en noticias recientes en el blog de Raspberry Pi, ya hay nuevas versiones tanto de Debian como de Arch Linux que mejoran el rendimiento de estas distribuciones en esta pequeña maravilla, así que estad atentos si os llega un Raspberry Pi para instalar alguna de esas dos versiones especializadas.

Canonical prepara la llegada de Ubuntu a los Smartphones

2012-04-13T12:50:00.000+02:00

Como señalan nuestros compañeros de MuyComputer, una reciente oferta de empleo de Canonical sugiere el impulso claro al desarrollo de un sistema operativo móvil basado en Ubuntu, algo que hace meses Mark Shuttleworth adelantó.

La compañía detrás de la popular distribución GNU/Linux busca un gerente que lidere el desarrollo de relaciones con los socios de la industria y cree un ecosistema comercial en torno a un sistema operativo móvil Ubuntu.
Aunque el puesto podría relacionarse con el reciente Ubuntu for Android, por el anuncio más parece que Canonical pretende ofrecer un sistema operativo móvil completo como el Android de Google.

No es la primera vez que Canonical lo intenta tras proyecots como Ubuntu Mobile, Kubuntu Mobile y una versión de Ubuntu ARM, y los fans de la plataforma han diseñado varios conceptos como muestra la imagen de entrada de este artículo.
Ubuntu Phone OS sería otro Linux más para el mercado móvil, el sector que más crece en la industria actual. Todavía con amplio potencial de crecimiento aunque la competencia es brutal con el mismo Android, iOS, iPhone, BlackBerry y otros Linux como el proyecto Tizen de Intel y Samsung.

Curiosidades matematicas en las peliculas de Disney.

2012-04-12T11:46:00.000+02:00

Walter Elias Disney (1901 - 1966) fue el fundador de una gran industria de entretenimiento que tuvo su origen en el cine de animación. Aunque sus producciones cinematográficas se hayan extendido a todos los géneros, para la mayoría oir Disney sugiere Dibujos Animados. En su amplísima producción hay alguna presencia de las Matemáticas, aunque escasa.

Sin duda, el título más famoso desde esa óptica es Donald en el País de las Matemágicas (Donald in Mathmagic Land. 1959) que comentamos en página aparte.

Anteriormente, en otro cortometraje vemos al Pato Donald resolver un problema matemático. Se trata de La granja del viejo MacDonald (The old MacDonald farm 1941).

Donald está ordeñando una vaca y es molestado sin parar por una abeja. Entonces planea atacarla con el chorro de leche que mana de las ubres de la vaca. Para ello, traza un gráfico sobre la piel del animal:

El planteamiento es éste:

Desde la posición X de Donald a la abeja, ambos a nivel del suelo, hay 15 m. El "tiro lácteo" seguirá una parábola. ¿Con qué ángulo de inclinación se debe efectuar el lanzamiento para alcanzar a la abeja?

Enseguida Donald apunta que son 20º, pero la cosa no es tan fácil. Veámoslo.

Galileo formuló la ecuación del tiro parabólico:

y = -g · (1 + tg² a) · x² / 2·v² + x· tg a

siendo g la constante gravitatoria (9,8 m/sg²), v la velocidad inicial y " el ángulo de inclinación del tiro.

Conocemos la posición final: (15 , 0). Sustituyendo valores:

0 = -9,8 · (1 + tg² a) · 15² / 2·v² + 15· tg a

0 = -73,5 · (1 + tg² a)/ v² + tg a

Para poder despejar tg a, y después calcular a, necesitamos saber la velocidad inicial v. Dudamos que Donald la sepa. Otra salida sería conocer la altura máxima h que va a alcanzar la trayectoria, lo cual nos permitiría plantear una segunda ecuación -paso por el punto (7,5 , h)- y resolver el sistema.

Pese todo, Donald acierta.

Del mismo año que el anterior corto es uno de sus clásicos, Dumbo (1941), donde aparecen dos pequeños detalles matemáticos:

Discuten los payasos sobre el número cómico en que participa el pequeño elefante:

- Hagamos saltar a Dumbo desde más alto.

- Si se rien cuando cae de 10 m, se reirán el doble cuando cae de 20.

- Eso es Aritmética elemental.

Cuando Dumbo hace pompas de jabón con su trompa, su amigo el ratón Timoteo le pone a prueba:

- ¡A que no haces una cuadrada!

Ésta es la respuesta de Dumbo...

Exclama Timoteo:

- ¡Es un cubo cúbico!

Años después, Disney produjo Alicia en el País de las Maravillas (Alice in Wonderland. 1951) donde se sacrificó buena parte del contenido lógico matemático de los diálogos del autor Lewis Carroll, pseudónimo de Charles L. Dogson (1932 - 1898). De esa forma se convirtió un cuento de adultos en un cuento de niños.

Posteriormente hay otras apariciones anecdótica. Por ejemplo:

En Toy Story (1995), el héroe de juguete Buzz Lightyear se lanza a cada nueva aventura con el grito tan poco matemático de: "¡Hasta el infinito y más allá!"

Tal vez para redimirse de tal gazapo científico, tal vez como parte de una estrategia comercial, en la última misión espacial de la NASA ha sido protagonista este muñeco. En Junio de 2008, los astronautas del Atlantis que fueron a la Estación Espacial Internacional llevaron una figura de Buzz Lightyear. La iniciativa forma parte del programa educativo estadounidense Juguetes en el espacio que pretende fomentar el estudio de las ciencias, tecnología y matemáticas, que andan de capa caída por aquellos lares, utilizando como reclamo al popular personaje. Pero, ¡vaya coincidencia!, se produce al tiempo del estreno de Toy Story 3 y de la nueva atracción sobre Toy Story en los parques de atracciones Disney.

Disponible KDE 4.8.2

2012-04-09T22:51:00.000+02:00

Ha llegado el día de recibir las actualizaciones mensuales del entorno de escritorio KDE, que como bien sabéis vienen a estabilizar y pulir la experiencia, siempre un poquito más.

Respecto a la corrección de errores, los focos de mayor trabajo en esta ocasión son KWin, Dolphin y KGpg, aunque como os podéis imaginar la lista es bastante más extensa. Tenéis toda la información en el anuncio oficial.
Además de correcciones, como es habitual, se mejoran las traducciones de todos los idiomas, por lo que KDE 4.8.2 es una actualización recomendada para quienes os encontréis en versiones anteriores. Y no hay mucho más que contar.
El código fuente está disponible para su descarga, pero como siempre lo mejor es esperar a que vuestra distribución actualice los paquetes en el repositorio pertinente. Solo os puedo adelantar que los usuarios de Arch Linux y openSUSE ya tienen la descarga esperando (los últimos en su repo especial).

Paridas de examenes.

2012-04-05T10:15:00.001+02:00

¿Alguna vez has tenido un examen en el cual no sepas qué hacer? Pues les dejo una muestra de lo que podemos llegar a escribir por no estudiar, las hay de graciosas, divertidas, cachondas y absurdas. Una buena colección de paridas.

Deberían ser más específicos en los exámenes; de haber sido yo el maestro lo hubiera aprobado:

Bueno . Al menos lo intentó ¿no?

Examen de matematicas y tambien de Inglés :

Realmente es frustrante tanta operación matemática. no lo culpo por suicidarse. y qué mejor que colgándose de la raiz cuadrada que tanto lo atormentó.. 1 minuto de silencio :

Este si que tiene imaginación. :

¿No crees que tiene su lógica?

Gentoo cumple 10 años.

2012-04-03T09:41:00.002+02:00

Una de esas distribuciones “para usuarios avanzados” acaba de celebrar su décimo aniversario: Gentoo 1.0 se lanzó el 31 de marzo de 2002, y desde aquel primer momento se convirtió en una distribución de referencia para los “hardcore users”.

Para celebrarlo los creadores de Gentoo han lanzado el LiveDVD 12.1 de Gentoo que llega con paquetes renovados en todos los ámbitos: desde el kernel 3.3.0 hasta KDE SC 4.8.1 o GNOME 3.2.1 (lástima, nada de GNOME 3.4 por el momento).
En Wikipedia tenéis más datos sobre el origen de Gentoo, una distribución que nació gracias al trabajo de Daniel Robbins, quien cansado de distros con binarios precompilados (con el código fuente aparte, por supuesto) se propuso crear una distribución en la que todo se compilaba desde el principio para optimizarla al máximo para cada ordenador en la que se instalase.
En realidad Gentoo no se llamó Gentoo al principio: se llamó Enoch, y su única versión pública -que sepamos- fue Enoch 0.75, que se lanzó en diciembre de 1999. Aquel proyecto tuvo algunos problemas que se solucionaron para acabar rebautizando la distribución con el nombre actual.
El resto, como suele decirse, es historia. Nuestras más sinceras felicitaciones al equipo de Gentoo y a todos sus usuarios. Si hay algún usuario que lleve desde el principio, ¡ole!

Matematicos españoles describen como rompen las olas.

2012-03-31T10:13:00.001+02:00

Un equipo de investigadores integrado por cuatro matemáticos españoles -Ángel Castro, Javier Gómez-Serrano, Francisco Gancedo y Diego Córdoba- y un estadounidense -Charles Fefferman- ha descrito matemáticamente, mediante ecuaciones, cómo se produce la ruptura de una ola.

Los expertos han señalado que predecir cuándo se formará un tornado, cuándo romperá una ola o simplemente hacia dónde se moverá una gota sobre un plano "son problemas tan difíciles como útiles". A su juicio, si se resolvieran habría modelos de clima "mucho más precisos y coches o aviones que consumirían mucho menos combustible".
Por ello, existe el reto común de averiguar cómo se mueve un fluido -el aire, el agua y la gasolina son fluidos-, una pregunta a la que los matemáticos llevan enfrentándose desde el siglo XVII y que forma parte de los problemas llamados 'del milenio'.
El investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT-CSIC), Diego Córdoba, ha señalado que el resultado ahora obtenido "no resuelve el Problema del Milenio", pero las nuevas ideas que se han desarrollado "sí abren vías para acercarse a él".
Lo que el trabajo, publicado en Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS), demuestra es que en las ecuaciones que hoy en día se usan para describir el movimiento de los fluidos puede formarse lo que los matemáticos llaman una "singularidad". Las singularidades son lo que ocurre cuando rompe una ola, cuando se forma un tornado o cuando un fluido se vuelve turbulento. Sobre el papel, el fenómeno se traduce en que una de las variables que describen ese fluido, como su velocidad, su presión o su densidad -entre otras-, cambia de forma explosiva y alcanza un valor infinito.
Según han indicado los científicos, se trata de la primera vez que se logra demostrar que las singularidades existen en las ecuaciones, a pesar de que son ya muy antiguas. De ahí la relevancia del resultado obtenido.
En 1755 Leonhard Euler escribió por primera vez las ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento de un fluido llamado ideal, sin fricción en sus moléculas; casi un siglo más tarde Claude-Louis Navier y Gabriel Stokes introdujeron la fricción, la viscosidad, y llegaron a las ecuaciones de Navier-Stokes.
Hoy estas ecuaciones son esenciales en los modelos de simulación de clima y en los que describen cómo fluye el aire en torno a las alas de un avión -entre otros muchos ejemplos-. Pero que las ecuaciones se usen no significa que se comprendan bien matemáticamente.
Los modelos se alimentan de soluciones siempre aproximadas, obtenidas gracias a la gran capacidad de cálculo de las computadoras. En realidad, las ecuaciones de Navier Stokes aún no se saben resolver de forma que informen con total certeza de cómo se comportará un fluido de ciertas características, y en determinadas condiciones, en un tiempo dado.
Con ese objetivo en el horizonte los matemáticos investigan las ecuaciones preguntándose, por ejemplo, si admiten o no singularidades. "Son ecuaciones tan complejas que hasta el día de hoy era desconocida la existencia de singularidades, de hecho, todavía no se han desarrollado las herramientas matemáticas necesarias para capturar una visión global del fenómeno", ha explicado Córdoba.

Comice OS 4: Ubuntu con aspecto de Mac OS X

2012-03-27T23:00:00.002+02:00

Los desarrolladores de esta distribución han cerrado el ciclo de desarrollo y hace poco anunciaron la disponibilidad de Comice OS 4, una distribución Linux basada en Ubuntu que destaca esencialmente porque su interfaz de usuario es muy similar a la que se les presenta a los usuarios de Mac OS X.

A quienes les guste ese tipo de interfaz pero no acepten esa filosofía tan particular de Apple puede que les interese esta distro, que proviene de los creadores de Pear Linux -que en esencia era lo mismo- y que destaca por algunos apartados.
Por ejemplo, el hecho de que llega con GNOME 3 y con un fork propio de GNOME Shell llamado Comice OS Shell, que yo diría que no es más que un tema específico que imita a la citada interfaz de Mac OS X. Además de ello, esta distribución llega con su propio sistema de distribución de paquetes, la llamada Pear Appstore -una versión del Centro de Software de Ubuntu-, y además incluyen Skype para llamadas VoIP y LibreOffice como suite ofimática.
Como indican en el anuncio oficial, la distribución está disponible para sistemas de 32 y 64 bits en los siguientes enlaces:

Mirror 1
Mirror 2
Mirror 3
Sourceforge
Y además tenéis una versión beta de la versión Comice OS 4 KDE:
Mirror 1
Mirror 2
Tenéis más detalles sobre la distribución en la página oficial, en Pear Linux.

Endre Szemeredi, premio Abel 2012.

2012-03-22T11:14:00.002+01:00

Endre Szemerédi, matemático húngaro, ha sido galardonado con el Premio Abel 21012. Reproducimos en esta entrada la nota de prensa elaborada por el gabinete de comunicación del ICMAT.

Endre Szemerédi

NOTA DE PRENSA DEL ICMAT
El matemático húngaro Endre Szemerédi gana el premio Abel 2012

Es uno de los pioneros de las ciencias de la computación

Impartió hace un año uno de los coloquios conjuntos del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y el Departameto de Matemáticas de la UAM.

Madrid, 21 de marzo de 2012.- La Academia de Ciencias y Letras de Noruega ha resuelto conceder el Premio Abel 2012 al húngaro Endre Szemerédi, del Instituto de Matemáticas Aplicadas Rényi Alfré (Academia Húngara de Ciencias, Budapest) y catedrático del departamento de Ciencias de la Computación de Rutgers, Universidad Estatal de Nueva Jersey (EE.UU.), “por sus contribuciones fundamentales a las matemáticas discretas y la informática teórica, y en reconocimiento al profundo y duradero impacto de sus aportaciones sobre la teoría aditiva de números y la teoría ergódica”.
Las matemáticas discretas estudian estructuras que forman la base de la informática teórica y de la teoría de la información. Endre Szemerédi (Budapest, 1940) ha sido uno de los primeros en darse cuenta de la importancia de la teoría en las ciencias de la computación. También ha hecho contribuciones profundas y de gran impacto en muchas otras áreas de la matemática, y ha publicado más de 200 trabajos científicos.
Szemerédi impartió en marzo del pasado año un coloquio en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en Madrid, dentro de la serie de coloquios conjuntos iCMAT-UAM. Su director, Manuel de León, señala que “los temas de investigación Szemerédi son de enorme interés tanto teórico cómo por sus aplicaciones. España debería hacer un esfuerzo para potenciarlos con programas y becas específicos”.
El fallo ha sido anunciado esta mañana en Oslo por el presidente de la Academia de Ciencias y Letras de Noruega, Nils Christian Stenseth. Endre Szemerédi recogerá el galardón en una ceremonia presidida por el Rey Harald el próximo 22 de mayo. El premio Abel, instituido en 2003, reconoce contribuciones “de extraordinaria profundidad e influencia en las ciencias matemáticas” –señala la Academia- y está dotado con 6.000.000 coronas noruegas –casi 800.000 euros-.
Un cerebro “diferente” con “extraordinaria imaginación”
La carrera de Endre Szemerédi como matemático empezó tarde. Cursó un año en la Facultad de Medicina y trabajó en una fábrica, antes de pasar finalmente a las matemáticas.
Endre Szemerédi estudió en la Universidad Eötvös Loránd de Budapest, donde obtuvo el grado Master of Science (M.Sc.) en 1965. Se incorporó a la Universidad Estatal de Moscú, donde realizó el doctorado en 1970 bajo la dirección de Israel M. Gelfand.
Su excepcional talento matemático fue descubierto por su mentor, Paul Erdös, cuando era joven estudiante en Budapest. Szemerédi estuvo a la altura de las expectativas de su maestro, y demostró varios teoremas fundamentales de gran importancia.
Muchos de sus resultados han generado investigación para la posteridad y puesto los cimientos de nuevas orientaciones en matemáticas.
En 2010, con motivo de su 70 cumpleaños, el Instituto de Matemáticas Aplicadas Rényi Alfréd y la Sociedad Matemática János Bolyai organizaron en Budapest un congreso para celebrar su éxito. Según el libro An Irregular Mind, publicado antes del congreso, “Szemerédi tiene un ‘intelecto fuera de lo común’, su cerebro está configurado de forma diferente al de la mayoría de los matemáticos. Somos muchos quienes admiramos su manera única de pensar, su extraordinaria imaginación”.
Szemerédi y las matemáticas discretas
Endre Szemerédi ha revolucionado las matemáticas discretas mediante la introducción de técnicas originales e ingeniosas y la resolución de numerosos problemas fundamentales. Las matemáticas discretas estudian estructuras tales como los grafos, las sucesiones, las permutaciones y las configuraciones geométricas. Las redes de comunicación, como Internet, pueden ser descritas y analizadas gracias a las herramientas de la teoría de grafos, mientras que el diseño de algoritmos informáticos se basa esencialmente en el conocimiento de las matemáticas discretas.
Los trabajos de Szemerédi han llevado la combinatoria al centro de la escena de las matemáticas, revelando sus estrechos vínculos con campos tales como la teoría aditiva de números, la teoría ergódica, la informática teórica y la geometría de incidencia.
En 1975, Endre Szemerédi atrajo por vez primera la atención de muchos matemáticos gracias a su solución de la famosa conjetura de Erdős-Turán, demostrando que en todo conjunto de enteros con densidad positiva existen progresiones aritméticas arbitrariamente largas. Esto era sorprendente ya que, aun en el supuesto de progresiones de longitudes 3 o 4, los esfuerzos exigidos anteriormente, tanto de Klaus Roth como del propio Szemerédi, habían sido enormes.
El futuro deparaba una sorpresa aún más grande. La prueba de Szemerédi era una obra maestra de razonamiento combinatorio, y se reconoció inmediatamente su excepcional profundidad e importancia. Un paso clave en la prueba, actualmente conocida como el Lema de Regularidad de Szemerédi, es una clasificación estructural de los grafos grandes. Con el tiempo, este lema se ha convertido en una herramienta esencial tanto para la teoría de grafos como para la informática teórica, permitiendo resolver problemas mayores de ensayo de propiedades, y dando nacimiento a la teoría de los grafos límite.
Pero quedaban por producirse otras sorpresas. Aparte de su impacto en las matemáticas discretas y la teoría aditiva de números, el teorema de Szemerédi inspiró a Hillel Furstenberg a desarrollar la teoría ergódica en nuevas direcciones. Furstenberg concibió una nueva demostración del teorema de Szemerédi, al establecer el teorema de recurrencia múltiple en la teoría ergódica, con lo que, inesperadamente, se vinculaban cuestiones de matemáticas discretas a la teoría de sistemas dinámicos. Esta conexión fundamental condujo a numerosos desarrollos adicionales, tales como el teorema de Green-Tao, que afirma la existencia de progresiones aritméticas arbitrariamente largas de números primos.
Szemerédi ha hecho muchas más aportaciones perspicaces, esenciales e influyentes, tanto en materia de matemáticas discretas como en informática teórica. Entre los ejemplos de matemáticas discretas se incluyen el teorema de Szemerédi-Trotter, el método semialeatorio de Ajtai-Komlós-Szemerédi, el teorema del producto-suma de Erdős-Szemerédi y el lema de Balog-Szemerédi-Gowers.
Entre los ejemplos de informática teórica se incluyen la red de ordenación de Ajtai-Komlós-Szemerédi, el esquema de hashing de Fredman-Komlós-Szemerédi, y el teorema de Paul-Pippenger-Szemerédi-Trotter, que separa el tiempo lineal determinista del no-determinista.
El enfoque dado por Szemerédi a las matemáticas ilustra la sólida tradición húngara de solución de problemas. Sin embargo, el impacto teórico de sus trabajos ha sido toda una revolución.

Super mario Bros es NP-Completo

2012-03-20T11:29:00.003+01:00

Teorema 3.1. Decidir si es posible llegar a un punto cualquiera de un nivel de Super Mario Bros es un problema NP-completo.

¿Estamos ante un candidato a un premio de investigación IgNobel? Posiblemente. Investigadores de Bruselas y del MIT han publicado un estudio (PDF) en el que afirman que distintos juegos clásicos de Nintendo son problemas NP-completos. Los juegos analizados son Super Mario Bros, Donkey Kong, Legend of Zelda, Metroid y Pokémon.

Para los no informáticos, el concepto de NP-completo puede ser algo abstracto, pero se podría resumir por ser "un problema muy gordo, tanto que un ordenador no podría encontrar una solución óptima en un tiempo razonable".

En el estudio se analiza la cuestión de si es posible determinar si un punto dado de una "fase" o "nivel" es alcanzable por el jugador. "Simplemente" eso. La construcción matemática que construyen los autores consiste en una serie de variables (e.g. "Super Mario ha crecido") y una serie de artilugios o condiciones (e.g. "un bloque que debe ser destruido").

Cada fase se construye por tanto como una interconexión de estos bloques, siendo el objetivo encontrar un camino desde un punto inicial a uno final (el "objetivo de la fase"):

Las demostraciones usan conceptos avanzados de análisis de complejidad computacional, como el problema 3SAT ("3-satisfiability") al que los autores demuestran que se pueden reducir casi todos los juegos clásicos, por lo que recomiendo que si quieres saber más leas el paper... ¡pero bajo tu responsabilidad!

Monitorizacion en Linux: todo bajo control.

2012-03-15T09:13:00.002+01:00

Como señalan en Infraestructura Convergente, los administradores de sistemas cada vez tienen más soluciones de monitorización de sus servidores, y aunque a menudo se ofrecen herramientas visuales para un entorno de escritorio, la vieja consola de Linux sigue siendo un recurso fundamental.

De hecho, en ese artículo mencionan 16 comandos con los que es posible tener bajo control todos los apartados de nuestro servidor -o de una máquina normal, por si queremos ir aprendiendo este tipo de comandos- y nos permiten detectar posibles cuellos de botella para resolver conflictos lo antes posible.
El artículo hace un breve repaso a comandos muy conocidos en Linux como top, ps, iostat o meminfo, pero además menciona otras herramientas más completas que se pueden convertir en verdaderas “navajas suizas” de la monitorización de sistemas.
Podéis encontrar más detalles en el artículo original, en Infraestructura Convergente.

¿Como cazaria un matematico a un leon?

2012-03-13T15:17:00.002+01:00

¿Cómo cazaría un matemático a un león en el desierto del Sahara? La misma pregunta se la hizo H. Pétard, de Princeton, Nueva Jersey, y propuso el siguiente método (entre otros).

Método de Bolzano-Weierstrass. Bisecamos el desierto con una cerca de norte a sur. El león se encontrará en la parte este o en la parte oeste; suponemos que en la parte oeste. Bisecamos esta parte con una cerca de este a oeste. El león se encontrará en la parte norte o en la parte sur; suponemos que en la parte norte. Continuamos este proceso indefinidamente, construyendo una cerca lo suficientemente fuerte alrededor de cada una de las partes seleccionadas en cada paso. El diámetro de las partes tiende a cero, por lo que el león terminará rodeado por una cerca de diámetro arbitrariamente pequeño.

Este y otros métodos aparecen en el artículo A contribution to the mathematicasl theory of big game hunting, aparecido en el American Mathematical Monthly, 45 (1938), pp. 446-447 (pueden ver un PDF aquí). H Pétard es pseudónimo de los matemáticos Ralph P. Boas Jr., en ese entonces postdoc de Salomon Bochner en la Universidad de Princeton, y Frank Smithies, profesor de la Universidad de Cambridge y buen amigo de Boas mientras estuvo de visita en Princeton. El artículo fue el resultado de chistes matemáticos producidos en varias parrandas.
El método recibe el nombre de “Bolzano-Weierstrass” por la demostración del teorema del mismo nombre, en honor de los matemáticos Bernard Bolzano (1781-1848) y Karl Weierstrass (1815-1897), y del cual hablaremos esta semana.
El protagonista del análisis matemático es el límite: una sucesión de números tiene el límite , y escribimos si los elementos de la sucesión se acercan “arbitrariamente” a si avanzamos “suficientemente” en la lista. En términos precisos, para cualquier número positivo, llamémosle la diferencia entre y es menor que si es suficientemente grande: existe tal que,

si , entonces .

Por ejemplo, la sucesión , mientras que las sucesiones o no tienen límite.
Sin embargo, en la última de éstas, si tomamos solo los términos pares de la sucesión, entonces obtenemos , la cual sí converge, obviamente a 1. Decimos entonces que la sucesión tiene una subsucesión convergente.
En general, una subsucesión de es una sucesión con . Es decir, es una sucesión formada con términos de la sucesión original, distintos y en el mismo orden. Con “distintos” nos referimos al índice de la sucesión (la posición de los términos en la lista), no a los valores de los términos en sí. En el ejemplo anterior, la subsucesión de corresponde a los términos pares de la sucesión: .
Es claro que la sucesión no tiene subsucesiones convergentes, porque todos sus términos crecen indefinidamente. ¿Cuándo podemos garantizar que una sucesión tiene subsucesiones convegentes? El teorema de Bolzano-Weierstrass nos da la respuesta.

Teorema (Bolzano-Weierstrass). Si la sucesión es acotada, entonces tiene una subsucesión convergente.

Decimos que una sucesión es acotada si todos los valores de sus términos pertenecen a un intervalo, digamos, ; es decir, para todo . A los números y los llamamos cotas de la sucesión.
Así, es acotada porque sus términos se encuentran dentro de (o , o cualquier otro intervalo donde se encuentren los números 0 y 1), mientras que no lo es.
La demostración del teorema de Bolzano-Weierstrass se lleva a cabo por el método de cacería descrito al inicio de esta entrada: bisecamos el intervalo y consideramos los intervalos y Como todos los términos de la sucesión se encuentran en y son infinitos (otra vez, nos referimos a los índices de los términos, y no a los valores, que podrían ser finitos y repetirse inifinitamente, como en nuestro ejemplo del 0 y 1), entonces uno de los dos subintervalos o debe contener una infinidad de ellos.
Si tiene una infinidad de términos de la sucesión, entonces hacemos y ; de otra forma, y Siguiente, bisecamos , y tomamos uno de los intervalos o que tenga infinitos términos de la sucesión para obtener Continuamos de la misma forma para obtener una sucesión de intervalos cerrados tales que

Cada tiene una infinidad de términos de la sucesión
Cada intervalo está contenido en el anterior:
La longitud de cada intervalo está dada por

Ahora bien, construimos una subsucesión de la siguiente forma: tomamos ; luego, tomamos de tal forma que y Esto es posible porque contiene una infinidad de términos de la sucesión. Repetimos el proceso: una vez tomados tomamos tal que
Observamos ahora que, si el número (es decir, está en todo intervalo )¹, entonces

por lo que . Hemos encontrado una subsucesión convergente, lo que termina la demostración del teorema.
Es claro cómo podemos extender el teorema a sucesiones en , en cualquier dimensión. El teorema de Bolzano-Weierstrass es indispensable en la teoría de funciones de varias variables, en la teoría de variable compleja y, en general, en todo el análisis.
La idea de subsucesiones convergentes es muy útil para entender, además, la teoría de operadores en espacios de dimensión infinita (como el espacio de funciones continuas, o el de funciones integrables), aún cuando es posible encontrar en tales espacios sucesiones acotadas sin subsucesiones convergentes. Los conjuntos (dentro de espacios métricos) cuyas sucesiones siempre tienen subsucesiones convergentes son llamados compactos, y saber cuándo un conjunto es compacto es importante para entender sus funciones continuas.

MyUnity 3.0 o como personalizar Ubuntu

2012-03-10T13:38:00.000+01:00

No es la primera vez que hablamos de esta herramienta que desde sus comienzos ha ido cambiando su fisonomía y agregando nuevas funciones hasta convertirse en casi imprescindible en Ubuntu.
MyUnity es una pequeña aplicación que nos facilita la configuración del escritorio de Ubuntu, Unity. Esta herramienta permite personalizar factores como, dimensiones, transparencia, añadir iconos, comportamiento del lanzador o crear uno nuevo, cambiar las fuentes y su tamaño o agregar enlaces en el escritorio y más cosas. Además está versión trae un nuevo configurador, editor de Quicklist y selector de temas.
Para instalarlo, añadimos las siguientes lineas en el terminal:

sudo add-apt-repository ppa:myunity/ppa sudo apt-get update sudo apt-get install myunity

Si te gusta personalizar tu escritorio y buscas una herramienta para configurar fácilmente Unity, no dudes en probar MyUnity.
Página oficial

La leyenda de Wolfskehl y el ultimo teorema de Fermat.

2012-03-08T12:13:00.000+01:00

Desde www.gaussianos.com nos llega esta entrada:

En 1995, Andrew Wiles se convertía en la persona que daba por primera vez una demostración del último teorema de Fermat, problema que había permanecido unos 350 años sin demostración. Por ello, entre otros reconocimientos, Wiles obtuvo el Premio Wolfskehl, que consistía en una cantidad de dinero que este tal Wolfskehl había dejado en su testamento. El caso es que alrededor de la figura de Wolfskehl circula una interesante leyenda que vamos a comentar en este post.

La historia más conocida acerca de Paul Wolfskehl va de amores y matemáticas (no, no es como la falsa leyenda sobre por qué no hay Premio Nobel de Matemáticas). Wolfskehl se había interesado por la teoría de números en general, y por el último teorema de Fermat en particular. Tanto le atrajo este problema que intentó demostrarlo, sin obtener ningún resultado. Una lástima.

Por otra parte, al parecer Wolfskehl se enamoró de una mujer, cuyo nombre no trascendió, pero no fue correspondido. Estos dos batacazos, junto con el carácter del propio Wolfskehl, le llevaron a suicidarse. Pero no de cualquier manera, sino en un día concreto y a una hora determinada, ambos autoimpuestos por él mismo (se dice que era tremendamente ordenado).
Bien, pues andaba Wolfskehl el día de su supuesto suicidio redactando su testamento y cuando terminó vio que faltaban todavía unas horas para que llegara el momento de suicidarse. Así que decidió pasar ese rato echando un vistazo a un trabajo de Ernst Kummer sobre el último teorema de Fermat. Al darle una vuelta encontró lo que él creía que era un error, por lo que intentó subsanarlo. La cuestión es que se metió tanto en el tema que cuando se dio cuenta se le había pasado la hora del suicidio. La leyenda cuenta que esto hizo recapacitar a Wolfskehl, que rompió el testamento y olvidó a la mujer, y que el hecho de evitar su prematura muerte le llevó a instaurar un premio de 100000 marcos a quien demostrara que el último teorema de Fermat era cierto, siempre que lo hiciera antes del 13 de septiembre de 2007 (no está clara la razón por la que eligió esa fecha).
Poético, ¿verdad?
Esta es la historia que podéis encontrar en multitud de fuentes, en la mayoría de las que podéis consultar, tanto en papel como en internet. Por poner un par de ejemplos, es básicamente la que se da en la web de Paul Wolfskehl en la Wikipedia en inglés y la que cuenta el reputado escritor Simon Singh en su libro El enigma de Fermat. Se le atribuye al reconocido matemático Alexander Ostrowski, y los primeros en comentarla fueron Philip David y William Chinn en su libro 3.1416 and all that en 1969.
Pero, ¿es la verdadera? Pues no está tan claro…
En 1997 el profesor Klaus Barner, de la Universität Gesamthochschule Kassel, publicó el artículo Paul Wolfskehl and the Wolfskehl Prize, en el cual resta credibilidad a esta historia. No dice que no sea cierta, de hecho comenta que teniendo en cuenta la personalidad de Wolfskehl hasta era verosímil, pero también dice que ninguno de los miembros y amigos de la familia Wolfskehl consultados por él recuerda historia alguna sobre un suicidio que no se produjo. Éste es el párrafo:

I have since shown the story to members and friends of the Wolfskehl family and people acquainted with their history. Nobody could remember having ever heard of an aborted suicide plan. Several people were of the opinion, however, that such a plan could well have existed. Paul Wolfskehl is reported to have been incredibly depressed at times due to his serious illness and the foreseeable course thereof. Had he had a motive to commit suicide, then it was rather due to this illness than to lovesickness or lack of success in solving the riddle of the Fermat conjecture.

El propio Simon Singh habla sobre este artículo de Barner en su web.
Según Barner, la opción más verosímil es que, aparte de que el intento de suicidio no existiera, la idea de instaurar el Premio Wolfskehl surgiera en agradecimiento al último teorema de Fermat por haberle dado sentido a los últimos años de la, por otra parte, enferma vida de Wolfskehl (que padeció esclerosis múltiple). Aunque da otra posibilidad más rosa: no dejarle en herencia todo su dinero a su mujer, Marie Fröhlich, que convirtió en un infierno los últimos años de su vida.
La lástima es que no tenemos muchas más fuentes a las que consultar, ya que, por ejemplo, Alexander Ostrowski ya ha fallecido, por lo que no podemos preguntarle de dónde sacó su información para confirmar si era cierta o no. A falta de más datos me da que no nos queda más que quedarnos con la posibilidad que veamos más factible.

Fuente: www.gaussianos.com

Las matematicas detras del concurso "Atrapa un millon".

2012-03-06T13:20:00.000+01:00

¿Qué probabilidad tendrías de ganar algo sin tener ni idea en ninguna de las preguntas? En el sentido de teoría de la decisión con incertidumbre y en caso de dudar en una pregunta, ¿es mejor apostar todo a una respuesta o repartir los fajos de billetes?

Para resolver todas estas cuestiones que seguro te quitan el sueño he creado un simulador online y, para los inquietos, explicaré el desarrollo matemático en el que está basado.

Si no te interesan las fórmulas, ve directamente al punto 2 de conclusiones.

1. Reglas del juego
En este programa de televisión, inicialmente se tienen 40 fajos de billetes y el juego consiste en dividirlos entre las respuestas durante una serie de ocho preguntas tipo test. Las cuatro primeras preguntas tienen cuatro respuestas, las tres siguientes tres, y la octava y última solamente dos posibles respuestas.

Como mínimo, siempre hay que dejar una respuesta sin apuesta. Por ejemplo, en las cuatro primeras se pueden dividir los fajos entre tres respuestas como máximo. El número de fajos que pasen de la última pregunta es el premio de los concursantes, que van en parejas y se (suelen) ayudar mutuamente...

2. Conclusiones (para impacientes)

Si no tienes ni idea de cuáles son las respuestas y...

...apuestas siempre los 40 fajos al azar a una única respuesta, podrás llegar al final con una probabilidad del 0,0046%. Eso sí...en el improbable caso de llegar ¡será con el premio máximo!. Aunque si quieres una dosis de realismo, hay un 99,61% de que no llegues ni a la quinta pregunta.

...divides equitativamente entre el máximo de respuestas posibles (descartando una de ellas al azar), tendrás "muchas" más opciones: con un 12,39% llegarás a la quinta pregunta, aunque superar la octava pregunta con saldo positivo sólo ocurrirá con un 0,285%. En concreto, con un 0,2765% de ganar 1 fajo, 0,0083% de ganar 2 fajos y un 0,0003% de ganar 3 fajos. ¡Y olvídate de premios superiores porque demasiado lejos has llegado sin tener ni idea! Más te vale conformarte con el juego que regalan de consolación.

Ahora, lo más normal es que haya al menos una respuesta que se pueda descartar por sentido común o porque el concursante sepa seguro que no es correcta (en todas excepto en la octava que sólo tiene dos respuestas y puede ser más difícil). Asumamos que ese es el único conocimiento que tiene el concursante, por lo que esa respuesta descartada se deja sin fajos y el resto se reparte equitativamente entre las demás respuestas. En ese caso, resumiendo: ¡hay un 3% de probabilidades de llevarse algún premio!... aunque con un 2,906% será solamente 1 fajo. El juego tendrá un poco más de vidilla porque con un 39,16% se superará la cuarta pregunta. Los resultados completos de este caso se muestran en la siguiente imagen (sacados del simulador de abajo).

Un último caso para ilustrar el efecto diezmador de las cuatro primeras preguntas: asumiendo que se está al 100% seguro de las cuatro primeras respuestas y se apuesta todo a la opción verdadera, si se juega el resto del juego totalmente al azar se tendrán hasta un 15% de probabilidades de ganar algo. Comparar con el 0,0046% del caso de juego al azar desde el principio. De hecho, en caso de ganar algo, lo más probable es que se ganen no 1 ni 2 fajos, sino ¡5 fajos!, lo que ocurriría con un 2,82%.

3. Las mates

Lo primero es definir el espacio de estado, con qué variables debemos modelar el problema.

Tenemos nueve etapas: una etapa inicial (0) y una etapa tras cada una de las preguntas (1-8). En cada etapa el estado del jugador se resume en un único número entero: el número de fajos que aún tiene en su poder.

Llamamos

Ki a ese número de fajos en cada una de las etapas, con i=0...8. Sabemos que se empieza con 40 fajos, así que

K0=40. Para el resto de etapas, necesitamos echar mano de la estadística porque no sabemos exactamente qué pasa, así que necesitamos modelar la incertidumbre.

Se llama distribución de probabilidad discreta o función de masa de probabilidad (fmp) a la función que nos dice la probabilidad de que se dé cada posible estado en un problema. Lo denotamos con una P() mayúscula. Su valor será de 0 para eventos que son imposibles y de 1 para los que son inevitables. Si no estás acostumbrado a cálculos de probabilidad posiblemente te suenen más sus valores multiplicados por 100 y dados como porcentajes de probabilidad.

Para el estado inicial conocemos la fmp a la perfección, ya que es imposible que se tengan 0,1,2..., hasta 39 fajos, y es inevitable tener 40. Resulta una función con todo ceros menos un uno en el valor 40:

P (N 0 = k) = {0, k = 0, . . ., 39 1, k = 40

Fíjate como la gráfica para "P0" en el simulador de arriba es justamente esta función.

Ahora llega lo chulo. ¿Qué pasa tras la pregunta 1? Hagámoslo aún mejor: ¿qué pasa con la fmp entre una etapa i y la siguiente i+1, en general? Pueden pasar muchas cosas: se pueden distribuir los fajos de muy distintas formas, se puede perder cualquier número de ellos, etc.

Para hacer tratable el problema, echamos mano de la ley de la probabilidad total. Si queremos calcular la fmp para el paso i+1,

P(Ni+1) podemos calcularla como:

P (N i + 1 = k) = \sum q = 0...40 P (N i + 1 = k | N i = q) P (N i = q)

En palabras: hay que tener en cuenta todos los posibles caminos independientes (el sumatorio) por los que se puede llegar a tener k fajos, usando las distribuciones condicionales (las del simbolo A|B) de que antes tuviésemos q fajos y, naturalmente, ponderando cada una de esas posibilidad por su probabilidad

P(Ni=q).

Esa fórmula tiene dos propiedades maravillosas: al tratarse de un espacio de estados discreto podemos hacer la suma de manera exacta (si fueran continuas e integrales la cosa se complica) y además, permite calcular secuencialmente cualquier estado a partir de uno inicial conocido (¡y conocemos la fmp inicial!).

Si conoces la convolución de funciones y miras los histogramas del simulador arriba verás que el efecto es muy parecido: cada fmp es "más ancha" que la anterior. Aunque a diferencia de convolución de funciones continuas, aquí no podemos bajar del valor mínimo (k=0), por lo que todas las probabilidades tienden a acumularse ahí... ¡y nuestro pobre concursante a irse con las manos vacías!

Solo nos queda definir el modelo de transición probabilístico entre etapas, que aparece en la fórmula como la distribución condicional. De nuevo aplicando la ley de la probabilidad total, vemos que tenemos la mezcla de dos distribuciones, cada una ponderada por la probabilidad de haber acertado a la hora de descartar respuestas (P=α) o de haber fallado (P=1-α):

P (N i + 1 = k | N i = q) = α P (N i + 1 = k | N i = q, A c i e r t o) + (1 - α) P (N i + 1 = k | N i = q, F a l l o)

El caso del fallo es sencillo: si te equivocaste al descartar significa que no apostaste nada por la respuesta válida, luego en el siguiente paso tendrás con un 100% de probabilidad cero fajos:

P (N i + 1 = k | N i = q, F a l l o) = {1, k = 0 0, k = 1, . . ., 40

En caso de acertar en el descarte y distribuir los q fajos al azar entre M respuestas, pensando un poco nos podemos dar cuenta de que las probabilidades de acertar son equivalentes a si apostásemos los fajos de uno en uno, colocándolos al azar y por supuesto ciegamente (sin saber cuál es la correcta).

Ese patrón está muy bien estudiado y da lugar a la distribución binomial, por lo que:

P (N i + 1 = k | N i = q, A c i e r t o) = B (k; q, β)

donde β=1/M es la probabilidad de acertar habiendo distribuido al azar entre las M respuestas entre las que estamos asumiendo que se encuentra la correcta.

Varapalo a los numerologos.

2012-03-05T10:03:00.000+01:00

Desde la Antigüedad hubo quienes otorgaron a los números cualidades especiales, más allá de su utilidad para el cálculo. Así, por ejemplo:

- Aún hoy en día se dice que el 13 trae mala suerte.

- Para los Pitagóricos: 1 era el número de la razón, generador de todos los demás; 2 era la diversidad, principio femenino; 3 era la armonía, número masculino; 4 era la ley; 5 el matrimonio; 6 la procreación, primer número perfecto; 7 la virginidad, la luz; 8 la amistad; 9 el amor y la gestación; 10 llamado Tetractis era Dios y el Universo.

- Existe un trastorno psicológico llamado Apofenia basado en la supuesta omnipresencia de algún número que por si sólo debería regir nuestras vidas. Es el argumento de una mediocre película: El número 23 (Joel Schumacher 2003). En la película Pi. Fe en el caos (Darren Aronofsky 1998) el protagonista, afectado por una obsesión de ese tipo, recibe cumplida respuesta a cargo de su maestro: ver escena.

- La Cábala busca mensajes divinos codificados en la Torah (texto hebreo del Génesis). Asignan un valor a cada letra y luego los suman para llegar al valor de cada palabra, realizando cálculos e interpretaciones posteriores. De esa forma dicen hallar predicciones de catástrofes, anuncios de magnicidios, etc.

Todas esas interpretaciones fantásticas de la realidad tienen gran aceptación por el gran público, que parece preferir la ensoñación mágico-religiosa al pensamiento científico. Eso explica que todos los semanarios incluyan una sección tan poco creíble como es el horóscopo y siga floreciendo el negocio del Tarot.

En 1984, los judíos Doron Witztum, Eliyahu Rips y Yoav Rosemberg dijeron haber encontrado en la Torah datos biográficos de los rabinos medievales. Para ello, seguían la Secuencia de Letras Equidistantes (ELS, siglas en inglés), de modo que las letras clave estarían separadas entre si por un número constante de letras. Esto lo publicaron en una revista de Estadística, pero algunos matemáticos analizaron esas afirmaciones y concluyeron que con un texto suficientemente amplio se puede encontrar cualquier cosa que se desee de acuerdo con alguna pauta.

Michael Drosnin, numerólogo autor de El código secreto de la Biblia dijo que si sus detractores encontraban un mensaje codificado sobre el asesinato de un primer ministro en la novela de aventuras Moby Dick les creería. El matemático Mc Kay hizo un análisis ELS de Moby Dick y encontró predicciones de los asesinatos de Indira Gandhi, Martin Luter King, John Fritgerald Kennedy y Abraham Lincoln. Además, la muerte de Lady Diana de Gales y el atentado contra las Torres Gemelas de Nueva York.

Otro matemático, David Thomas, aplicó el análisis ELS al propio libro de Drosnin y encontró este mensaje: "El código de la Biblia es un engaño de timadores, un fraude total, horrible, malvado, falsario, falso, tonto y estúpido". La conclusión clara es que se puede encontrar lo que se quiera, buscando lo suficiente.

Los números y sus propiedades aritméticas son excepcionales por si mismos, sin necesidad de supersticiones pseudocientíficas.