bernaldoexatas

Matemática - Logaritmos - Característica e Mantissa

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Sun, 14 Oct 2018 21:29:00 -0300

Os logaritmos foram inventados para simplificação de contas. Depois surgiram outras finalidades. Atualmente perderam a função de simplificar contas por causa de máquinas de calcular, mas restaram as outras funções.

Vamos calcular logaritmos.

Você deve se lembrar que:

isto é:

Quando a base for 10, omite-se na notação: log 100 = 2.

Lembrar as fórmulas:

Finalmente:

Observe sobre log 300:

Portanto:

isto é, log 300 é igual a "2, vírgula, alguma coisa".

Matemática - Estatística - Conceitos Básicos .

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Wed, 23 May 2018 20:21:00 -0300

Organização e análise de dados e é utilizada com o propósito de se obter conclusões válidas para uma posterior tomada de decisão.

Pode ser dividida em dois ramos:

Estatística descritiva (responsável pelas etapas iniciais)

Estatística inferencial (responsável pela etapa final)

No universo Estatístico:

*População: é qualquer conjunto de elementos que tenham, entre si, pelo menos uma característica comum

*Amostra (subconjunto da população): uma redução da população a dimensões menores, sem perder características essenciais.

Valores obtidos em uma população são chamados de parâmetros.

Valores obtidos em amostras são chamados de estatística.

*Variável: é a característica que se estuda uma população qualitativa (atributos)

Ex: estado civil, grau de escolaridade etc.

Quantitativa(números)

Ex: Salário, idade.

*Quantitativa discreta (somente valores inteiros)

Ex: Números de nascimentos obtidos, acidentes em uma rodovia, alunos de uma sala de aula etc.

*Quantitativa contínua (qualquer valor, seja ele fracionado ou inteiro)

Ex: Idade, altura, peso, temperatura etc.

Dados bruto: é o conjunto de dados numéricos obtidos após crítica dos valores coletados.
Rol: é a disposição dos dados Brutos em ordem crescente ou decrescente.

Ex: 15 alunos são entrevistados sobre as notas que tiveram na prova de física. Suponha que os resultados obtidos sejam:

7-5-5-4-4-5-7-6-4-8-6-5-4-6-7

Rol:

ATENÇÃO

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Wed, 28 Mar 2018 23:38:00 -0300

Pelo trabalho que tenho de ficar editando o Blog, acabei desfocando dos estudos. Então, para que o blog não fique desorganizado e eu não fica para trás no estudos , vou estar voltando depois de julho.

Química- Exercícios: A química Orgânica e o petróleo. - Pg 21

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Sun, 25 Mar 2018 17:54:00 -0300

27) (Uerj)Na fabricação de tecidos de algodão, a adição de compostos do tipo N haloamina confere a eles propriedades biocidas, matando até bactérias que produzem mau cheiro. O grande responsável por tal efeito é o cloro presente nesses compostos.

A cadeia carbônica na N haloamina acima representada pode ser classificada como:

A) homogênea,saturada , normal
B)heterogênea, insaturada, normal
C)heterogênea, saturada , ramificada.
D)homogênea, insaturada, ramificada

RESPOSTA:

A N-haloamina é Heterogênea, pois possui um heteroátomo entre Carbonos .

E esse Heteroátomo é o Nitrogênio .

2) É Saturada , pois os carbonos só possui ligações simples entre eles.

3) E por último é Ramificada , observe que possuis radicais metil ( CH3) nas pontas .

letra c)

Química- Exercícios: A química Orgânica e o petróleo. - Pg 43

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Wed, 21 Mar 2018 23:08:00 -0300

53) Explique como os hidrocarbonetos podem ser obtidos.

A partir da destilação fracionada do petróleo cru, reações de polimerização (polímeros) e no caso do metano, temos os lixões.

Química- Exercícios: A química Orgânica e o petróleo. - Pg 42

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Wed, 21 Mar 2018 22:51:00 -0300

30) Considere as afirmações seguintes sobre hidrocarbonetos

I) hidrocarbonetos são compostos orgânicos constituídos somente de carbono e hidrogênio.

II) são chamados de alcenos somente os hidrocarbonetos insaturados de cadeia linear.

III) Cicloalcanos são hidrocarbonetos saturados da formula geral CnH2n.

IV) são hidrocarbonetos aromáticos: Bromobenzeno, p-nitrotolueno e naftaleno.

são corretas as afirmações:

a) I e III apenas

b) I III e IV apenas

c) II e III apenas

d) III e IV apenas

e) I II e IV apenas

Letra (e) é a resposta correta.

32) qual a principal característica dos hidrocarbonetos?

R=

Hidrocarbonetos são compostos formados exclusivamente de carbono e hidrogênio, que também são chamados hidrocarburetos, carboidretos, carbetos, carburetos ou carbonetos de hidrogênio.

33) Classifique as substâncias abaixo em: alcanos, cicloalcanos, alcenos, cicloalcenos, alcadienos, alcinos, aromáticos:

R=

A) alcadienos
B) alcadienos
C) alcenos
D) alcinos
É) cicloalcanos
F) cicloalcanos
G) cicloalcanos
H) cicloalcenos
I) cicloalcenos
J) aromática
K) aromática
L) aromática

34) Qual a principal diferença entre alcanos, alcenos e alcinos?

R=

É a diferença de ligação entre eles. alcanos possuem apenas ligações simples e atendem a formula CnH2n+2. Alcenos possuem ligação dupla e atendem a formula CnH2n. Alcinos possuem ligação tripla e atendem a formula CnH2n-2.

Química - Exercícios: A química orgânica e o petróleo - Pg 20

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Wed, 21 Mar 2018 21:06:00 -0300

25) (Unisa-SP)Quando uma pessoa leva um susto, a suprarrenal produz uma maior quantidade de adrenalina que é lançada na corrente sanguínea. analisando a fórmula estrutural da adrenalina:

podemos concluir que a cadeia carbônica ligada ao anel é:

a) aberta, saturada e heterogênea.

Errado

b) aberta, insaturada e heterogênea.

Errado

c) Aberta, insaturada e heterogenio.

Certo

d) fechada, insaturada e homogênea.

Errado

e) fechada, insaturada e heterogênea.

Errado

26) O uso de protetores solares é de grande importância para se evitar danos à pele. A molécula abaixo apresenta uma estrutura que permite a absorção dos raios ultravioletas. Em relação a fórmula apresentada, julgue os itens com C para os corretos e E para os errados

1) A molécula apresenta fórmula molécula C18H24O3.

ERRADO

2) Possui uma cadeia ramificada e saturada.

CERTO

3) Apresenta apenas carbonos primários e secundários.

CERTO

4) A substância é cíclica por apresentar parte da cadeia fechada e aberta.

ERRADO

5) A cadeia é heterogênea devido a presença de um heteroátomo.

CERTO

Química - Exercícios : A química orgânica e o petróleo - Pg18

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Wed, 21 Mar 2018 06:48:00 -0300

3) Verifique a alternativa correta:

a) Nos seres vivos não existem substâncias inorgânicas.

Errado – Nos compostos orgânicos existem compostos inorgânicos, como sais, ácidos, metais na forma iônica, etc.

b) De acordo com a teoria da força vital, substâncias orgânicas e inorgânicas estão presentes nos seres vivos.

Errado – A teoria vital tratava apenas dos compostos orgânicos.

c) Uma substância orgânica de cadeia aberta, insaturada, ramificada, com carbonos quartenários, que tem cadeia com quatro carbonos, pode apresentar fórmulas molecular igual a C6H12.

Correto – É o 3,3-dimetilbut-1-eno.

d) Uma substância orgânica de cadeia fechada, saturada, com um carbono terciário, que tem cadeia com cinco carbonos, apresenta fórmula molecular igual a C5H12.

Errado – Se é uma cadeia fechada saturada, a sua fórmula é C5H10 .

4) (UFSC - Adaptada)considere abaixo as substancias tipicamente orgânicas.

R =

São orgânicas as substâncias: (01)- ?, (04)- etanóico,(16)-?
São substância inorgânicas: (02)- Ácido sulfúrico, (08)- Ácido nítrico, (32)- gás carbônico

7) A respeito das sustâncias orgânicas marque a opção incorreta

a) a química orgânica estuda somente as substancias sintetizadas pelos organismos vivos daí a qualificação de orgânicos

R=

Falsa - Estuda os compostos do carbono.

b) as substancias de orgânicas são substancia de carbono embora algumas substancias que contém esse elemento sejam estudadas também entre as substancias inorgânicas (CO2 HCN e outras).

R=

Verdadeira

c) A existência de um grande numero de substancias de carbono esta relacionada com capacidade do átomo de carbono de formar cadeias associadas a sua tetravalência

R=

Verdadeira

d) O átomo de carbono pode estabelecer ligações simples, duplas ou triplas o átomo de hidrogênio liga-se ao carbono por meio de ligação covalente simples

R=

Verdadeira

9) Em seu caderno, indique, com traços, as ligações entre os átomos.

R=

A)

B)

C)

D)

10) Na estrutura H2C...(1)...CH - CH2...(2)...C...(3)...CH as ligações representadas pelos algarismos sao , respectivamente:

a) Simples, dupla, simples

errado

b) Dupla, simples, Tripla

certo

c) Dupla, tripla, simples

errado

d) Simples, simples, tripla

errado

11) Complete as ligações simples, duplas e triplas que estão faltando nas seguintes estruturas:

Desenhando ligações que faltam

Observe que só tem uma ligação tripla e duas ligações duplas, já pode matar a charada kk

RESPOSTA CERTA : Letra D

Matemática - Geometria Analítica: Ponto Médio.

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Sun, 18 Mar 2018 18:50:00 -0300

Ponto médio é o ponto que se encontra no meio de um segmento de reta.

Sou um desastre para desenhar

M é o ponto médio do segmento AB, para calcular o ponto médio basta fazer a média aritmética dos pontos A e B.

isso quer dizer que o ponto M tem como coordenadas ( 5/4 , -3 )

Exemplo:

Seja M( 0 , 2 ) o ponto médio do segmento. Se A( -2 , 5 ), determine as coordenadas de B.

isso quer dizer que o ponto B tem como coordenadas ( 2, -1 )

Matemática - Exercícios: Geometria Analítica ( Diâmetro, Perímetro e coordenadas)

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Sun, 18 Mar 2018 17:39:00 -0300

1) O centro de uma circunferência é o ponto ( -1 , 3). Sabendo que o ponto ( 2 , 5) pertence a circunferência, determine a medida de seu diâmetro.

2) Mostre que o triângulo de vértices (2 , 4) , (5 , 1) e (6 , 5) é isóceles e calcule seu perímetro,

3) O ponto P pertence ao eixo dos y e equidista de A (-1 , 1) e B(4 , 2). Determine as coordenadas de P.

4) Na figura, P é equidistante de A(1 , -1) e B(2 , 3). Obtenha as coordenadas de P.

Compreendendo o Teorema de Pitágoras com LEGO 😻😻

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Sun, 18 Mar 2018 17:20:00 -0300

Uma forma bem divertida de compreender o Teorema de Pitágoras kkkkk.😻😻

Matemática - Exercícios: Geometria Analítica(Triângulo isósceles, triângulo retângulo, Circuncentro, abscissa,

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Sun, 18 Mar 2018 16:34:00 -0300

PARA FICAR CRAQUE.

Exercícios relacionados a geometria analítica.

1) Demonstre que o triângulo com vértices A( -2 , 4 ) , B( -5 , 1 ) , C( -6 , 5 ) é isósceles.

2) Mostre que o triângulo de vértices A( 2, 2 ), B( -4 , -6 ) e C( 4 , -12 ) é retângulo e isósceles e calcule seu perímetro.

3) Desafio: Determine as coordenadas do circuncentro C do triângulo de vértice.

4) O ponto B tem ordenada (y) nula e dista 5 de A, que possui ambas coordenadas iguais a 4. Determine a abscissa (x)de B.

5) Os pontos A( 3m+1 , 15 ) e B( m , 3 ) pertencem ao 2° quadrante, e a distância entre eles é igual a 13. Qual valor de m?

Matemática - Exercícios (Raiz quadrada)

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Sun, 18 Mar 2018 16:04:00 -0300

Para a fixação do conteúdo postado sobre raiz, que poderá acessar clicando aqui, proponho que resolvam os exercícios a seguir:

1. (UFPI) Desenvolvendo a expressão (2√27 + 2√3 . 1)2 encontramos um número no formato a + b 2√3. Com a e b inteiros, o valor de a + b é:

a) 59

b) 47

c) 41

d) 57

e) 1

R=(c)

2. (UTF - PR) Considere as seguintes expressões:

II.

III.

É (são) verdadeira(s), somente:

a) I.

b) II.

c) III.

d) I e II.

e) I e III.

R=(b)

3. (UFRGS) A expressão é igual a:

a) √2 + 3√3/4√2
b) 5√2
c) √3
d) 8√2
e) 1

R=(e)

Matemática - Cálculo da Raiz Quadrada

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Sun, 18 Mar 2018 15:23:00 -0300

A raiz quadrada (√) de um número é determinada por um número real positivo elevado ao quadrado (x2). Já na raiz cúbica, o número é elevado ao cubo (y3). Além disso, se a raiz for elevada a quarta potência (z4) é chamada de raiz quarta, e se for elevada a quinta potência (t5) é raiz quinta.

Como calcular a raiz quadrada?

Para saber a raiz quadrada de um número, podemos pensar que um número elevado ao quadrado será o resultado. Portanto, o conhecimento da tabuada e de potenciação são extremamente necessários.

No entanto, alguns números são difíceis por serem muito grandes. Nesse caso, utiliza-se o processo de fatoração, por meio da decomposição em números primos.

Quanto é a raiz quadrada de √2704?

Note que a potenciação é necessária, uma vez que depois de fatorar o número, no caso da raiz quadrada, reunimos os números primos em potências de 2. Isso significa em dividir os números em quadrados perfeitos.

No exemplo acima, temos 22 x 22 x 132 = 52

Portanto, a √2704 é 52.

Quando decompomos um número em fatores primos, podemos ter dois tipos de raiz quadrada:

Raiz Quadrada Exata: quando um número inteiro fatorado é quadrado perfeito, ou seja, resulta num outro número inteiro, por exemplo √4 = 2 (pois 22 = 4).
Raiz Quadrada Não-exata: quando um número inteiro fatorado não é um quadrado perfeito, resultando num número decimal ou numa raiz quadrada não perfeita, por exemplo √147 = 7√3.

Você sabia?

Com a invenção das calculadoras modernas, esse processo tornou-se mais fácil pelo fato de podermos calcular rapidamente a raiz quadrada por esse instrumento.

Exemplos

Raiz Quadrada de 2

√2 = 1.41421356237 (raiz quadrada não-exata)

Raiz Quadrada de 3

√3 = 1.73205080757 (raiz quadrada não-exata)

Raiz Quadrada de 5

√5 = 2.2360679775 (raiz quadrada não-exata)

Raiz Quadrada de 8

√8 = 2.82842712475 (raiz quadrada não-exata)

Raiz Quadrada de 9

√9 = 3 (pois 32 é igual a 9)

Raiz Quadrada de 25

√25 = 5 (pois 52 é igual a 25)

Raiz Quadrada de 36

√36 = 6 (pois 62 é igual a 36)

Raiz Quadrada de 49

√49 = 7 (pois 72 é igual a 49)

Raiz Quadrada de 64

√64 = 8 (pois 82 é igual a 64)

Raiz Quadrada de 100

√100 = 10 (pois 102 é igual a 100)

Raiz Quadrada de 144

√144 = 12 (pois 122 é igual a 144)

Raiz Quadrada de 196

√196 = 14 (pois 142 é igual a 196)

Raiz Quadrada de 400

√400 = 20 (pois 202 é igual a 400)

Símbolo

O símbolo da raiz quadrada é chamado de radicando: √x ou 2√x.

Já da raiz cúbica é 3√y, da raiz quarta é 4√z e da raiz quinta é 5√t.

Matemática - Potenciação

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Sun, 18 Mar 2018 15:07:00 -0300

Potenciação

O resultado de uma potenciação é obtido pelo produto de fatores iguais e a sua representação é dada por an = a . a . a . a ...

A operação realizada na potenciação é uma multiplicação e é representada da seguinte forma:

aⁿ = a . a . a . a …

a = base
n = expoente
a . a . a . a … = produto de n fatores iguais que gera como resultado a potência

Para compreender melhor, acompanhe os exemplos abaixo:

⇒ 2³= 2 . 2 . 2 = 8

2 = base
3 = expoente
2 . 2 . 2 = produto de fatores
8 = potência

Como o expoente é 3, tivemos que repetir a base, que é 2 três vezes, em um produto.

⇒ 5⁴ = 5 . 5 . 5 . 5 = 625

5 = base
4 = expoente
5 . 5 . 5 . 5 = produto de fatores
625 = potência

Como o expoente é 4, tivemos que repetir a base, que é 5 quatro vezes, em um produto.

⇒ 10² = 10 . 10 = 100

10 = base
2 = expoente
10 . 10 = produto de fatores
100 = potência

Como o expoente é 2, tivemos que repetir a base, que é 10 duas vezes, em um produto.

Tipos de potenciação

Base real e expoente inteiro

Quando o expoente é inteiro, significa que ele pode possuir número negativo ou positivo.

⇒ Expoente positivo: Quando a base for um número real e o expoente for positivo, obteremos a potência efetuando o produto dos fatores. Acompanhe alguns exemplos:

2⁺² = 2 . 2 = 4
0,3⁺³= 0,3 . 0,3 . 0,3 = 0,027
(½ )⁺² = ½ . ½ = ¼

⇒ Expoente negativo: Se o expoente é negativo, devemos fazer o inverso do número, que é trocar numerador com denominador, para o expoente passar a ser positivo. Observe alguns exemplos:

2^-2= 1 = 1 . 1 = 1
2⁺²2 2 4

0,3^{– 3}= (3)^-3 = (10)⁺³ = 10 . 10 . 10 = 1000 = 37,037
(10)^-3 (3)⁺³ 3 . 3 . 3 27

(½ )^-2= (2/1)⁺² = 2 . 2 = 4

⇒ Expoente igual a 1

Quando o expoente for igual a um positivo, a potência será o próprio número da base. Veja os exemplos abaixo:

a¹ = a
2¹ = 2
4¹ = 4
100¹ = 100

⇒ Expoente igual a 0

Se o expoente for 0, a reposta referente à potência sempre será 1. Acompanhe os exemplos:

a⁰ = 1
1000⁰= 1
25⁰= 1

Propriedades da potenciação

As propriedades da potenciação são utilizadas para simplificar os cálculos. Há, no total, cinco propriedades:

Produto de potências de mesma base: conserva a base e soma os expoentes. Exemplos:

aⁿ . a^m = a^{n + m}
2² . 2³ = 2^{2 + 3} = 2⁵
4⁵ . 4² = 4^{5 + 2} = 4⁷

Divisão de potências de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes. Exemplos:

aⁿ: a^m = aⁿ = a^{n - m}
              a^m
5⁶ : 5² = 5⁶ = 5^{6 – 2} = 5⁴
             5²
9² : 9³ = 9² = 9^{2 – 3} = 9^-1
             9³

Potência de potência: devemos multiplicar os expoentes. Exemplos:

(aⁿ)^m = a^{n . m}
(7⁴)² = 7^{4 . 2}= 7⁸
(12³)² = 12^{3 . 2}= 12⁶
Potência de um produto: o expoente geral é expoente dos fatores. Exemplos:

(a . b)ⁿ = ( aⁿ . bⁿ)
(4 . 5)² = (4² . 5²)
(12 . 9)³ = (12³ . 9³)
Multiplicação de potências com o mesmo expoente: conserva o expoente e multiplica as bases. Exemplo:

aⁿ . bⁿ = (a . b)ⁿ
4² . 6² = (4 . 6)²
7³ . 4³ = (7 . 4)³

Matemática - Resolução do exercício ( Determine a distância entre os pontos)

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Sun, 18 Mar 2018 14:28:00 -0300

Exercícios Resolvidos das questões que propostas, que poderá acessar clicando aqui .

Para calculas os lados:

AC = Xa - Xb

BC = Ya - Yc

Para calcular o lado AB usa-se pitagoras ' AB² = AC² + BC²',

então temos AB² = ( Xa - Xb )² + ( Ya - Yb )²

1 - a) AB² = ( 5 - 1 )² + ( 2 - 3 )²

AB² = ( 4 )² + ( -1 )²

AB² = 16 + 1

AB² = 17

AB = √17

1 - b) CD² = ( (-1) - (-2))² + ( 4 - (-3))²

CD² = ( -1 + 2 )² + ( 4 + 3 )²

CD² = ( 1 )² + ( 7 )²

CD² = 1 + 49

CD² = 50

CD = √50

Para uma resposta mais simplificada, quando não existe raiz do numero, usa-se fatoração.

50 | 2

25 | 5

5 | 5

1 |

então:

CD = √2 . 5 . 5

CD = √2 . 5²

A base dentro da raiz(5) com o expoente 2 (exemplo: 5²)pode sair sem o expoente se tornando a potencia fora da raiz.

Então:

CD =5 √2

1 - c) EO² = ( (-4) - 0 )² + ( (- 3) - 0 )²

EO² = ( -4 )² + ( -3 )²

EO² = 16 + 9

EO² = 25

EO = √25

EO = 5

1 - d) FG² = ((-5) - 2 )² + ( 4 - (-5))²

FG² = ( -7 )² + ( 4 + 5 )²

FG² = ( -7 )² + ( 9 )²

FG² = 49 + 81

FG² = 130

FG = √130

1 - e) HI² = ((-1) - (1))² + ( 5 - 12)²

HI² = ( (-1) + 1 )² + ( 5 + 12 )²

HI² = ( 0 )² + ( 7 )²

HI² = 0 + 49

HI = √49

HI = 7

1 - f) FG² = ((-2) - 3)² + ((-1) - (-4))²

FG² = ((-2) - 3)² + ((-1) + 4 )²

FG² = ( -5 )² + ( 3 )²

FG² = 25 + 9

FG² = 34

FG = √34

1 - g) LM² = ((-4) - (-4))² + ( 3 - (-7))²

LM² = ((-4) +4 )² + ( 3 + 7 )²

LM² = ( 0 )² + ( 10 )²

LM² = 0 + 100

LM² = 100

LM = √100

LM = 10

1 - h) NP² = ( √2 - (-√2))² + ((-√2) - √2 )²

NP² = ( √2 + √2 )² + ((-√2) -√2 )²

NP² = ( 2√2 )² + ( -2√2 )²

Já pode calcular o 2 e (-2) com o expoente.

NP² = 4(√2)² + 4(√2)²

Também pode cortar a raiz com o expoente.

NP² = 4 .2 + 4 . 2

NP² = 8 + 8

NP² = 16

NP = √16

NP = 4

1 - i) QR² = ( 1 - (-3))² + ( 3 - 3 )²

QR² = ( 1 +3 )² + ( 3 + 3 )²

QR² = ( 4 )² + ( 0 )²

QR² = 16 + 0

QR² = 16

QR = √16

QR = 4

Física - 1) A Termologia e a Óptica na sociedade.

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Sat, 17 Mar 2018 13:55:00 -0300

- Os caminhos da Física.

Nos últimos anos, questões como aquecimento global, esgotamento das fontes de energia não renováveis e aumento da população do planeta aparecem com frequência nos meios de comunicação. Embora não pareçam, tais assuntos estão intimamente relacionados com a Física, pois as causas e as possíveis soluções também são pensados no universo cientifico.

De que forma você acha que a Ciência pode contribuir para o equilíbrio do ambiente e, consequentemente, para a preservação da vida no planeta?

1- a termologia: uma breve história das máquinas térmicas

Com bastante frequência ouvimos falar sobre a necessidade de economizar energia porque ela pode vir a faltar no futuro. Quem faz esse tipo de alerta conhece muito bem a importância do consumo consciente. Desde a Antiguidade até os nossos tempos, a humanidade aumentou milhares de vezes o gasto de energia para suas atividades diárias. Um habitante da Grécia antiga, por exemplo, tinha um consumo energético muitas vezes menor do que um sul-americano médio de hoje. As diferenças ocorrem também entre as diversas regiões de um mesmo país e ainda entre as classes sociais em cada região. Um indígena do Alto Xingu consome bem menos energia que os habitantes do centros urbanos brasileiros, que dela dependem para se locomover, aquecer e iluminar suas casas e acionar eletrodomésticos, por exemplo.

Consumo de energia mundial: em uma descala de 0 a 14 em
números pares; do ano de 1965 ate 2013.

Tratar da distribuição da energia levando em conta as características e as necessidades das diversas regiões é um assunto da Geopolítica, e aparentemente tem pouco a ver com a Física. Em jornais e revistas, noticias sobre o uso de fontes energética costumam aparecer mais nos cadernos econômicos que nos de Ciência. Contudo, as questões políticas e econômicas que envolvem a tomada de decisão da produção e uso de energia dependem de pareceres de engenheiros e cientistas. São os conhecimentos desses profissionais que orientam políticos sobre os recursos energéticos disponíveis e a melhor forma de distribuí-los, a fim de suprir a necessidade da nação de modo sustentável.

Para compreender o aumento do consumo energético, vamos retroceder ao fim do século XVII, na Inglaterra. Até essa época, boa parte da energia consumida provinha da tração animal, usada tanto para o transporte de pessoas como para o funcionamento de máquinas. Havia também energia hídrica, originada da água de rios ou pequenos córregos para movimentar monjolos e moinhos,e eólica, ou seja, do vento, para mover embarcações e moinhos de vento. O calor, outra forma de energia, era obtido da queima de madeira e carvão para aquecer o ambiente e os alimentos.

A escassez de madeira fez com que a procura por outros recursos aumentasse. Assim, o carvão se tornou a principal fonte de energia e não mostrou ser um grande problema quando as minas desse mineral se encontravam próximas da superfície. Na extração de materiais do subsolo, o minério de ferro, matéria-prima da metalurgia, ganhou importância. com o tempo, porém, esses recursos se tornaram raros, obrigando os mineradores a procurá-los em profundidades cada vez maiores. Isso levou ao surgimento de um novo problema: a água. As escavações mais profundas podiam atingir os lençóis freáticos, que alegavam as minas.

Mina Otávio Fontana SC.

Para eliminar a água parada nas minas, os mineradores resolveram utilizar mecanismos como o parafuso de Arquimedes. Esse dispositivo, criado pelo matemático grego Arquimedes (c. 287 a.C. -c. 212 a.C), consistia em bombear água do fundo da mina para a superfície por meio de um parafuso que girava no interior de um cilindro oco. Esse mecanismo foi usado com muita frequência, mas, como a rotação do parafuso era obtida por tração humana ou animal, buscou-se obter um processo automático e mais eficiente.

Na época, já se conhecia as bombas de sucção, que, no entanto, apresentavam uma limitação: não podiam bombear água de profundidades superiores a 10,33 m.

A explicação sobre essa limitação foi dada por um discípulo de ]galileu Galilei (1564 - 1642), o italiano Evangelista Torricelli (1608 - 1647), que relacionou a elevação de um liquido em um tubo com pressão exterior (atmosférica). Foi somente com o desenvolvimento dos estudos sobre as transformações nos gases e das máquinas que térmicas que se tornou possível construir bombas capazes de retirar a água de profundidades maiores.

Bomba a vácuo movida à explosão de pólvora.
Digestor de Papin.

Em 1680, o físico e matemático holandês Christiaan Huygens (1629 - 1695) construiu uma bomba de vácuo movida á explosão de pólvora. Mas foi seu assistente, o físico francês Denis Papin (1647 - 1712), quem primeiro montou um eficiente sistema que transformava o vapor em movimento. Bem antes dele, na Grécia Antiga, Heron (65 - 125) construiu um aparelho capaz de girar pela ação do vapor, mas que não passou de mera curiosidade. Papin desenvolveu também um digestor, um tipo de panela dotado de uma válvula na tampa que permitia controlar a pressão interna no recipiente. O dispositivo foi o percursos das panelas de pressão.

Essa válvula consistia em uma haste com um peso na extremidade, que funcionava como uma alavanca interpotente sobre a tampa da panela. Quando a pressão no interior da panela atingia determinado valor, a válvula se abria, permitindo o escape parcial do vapor. O desenvolvimento desse dispositivo tornou as máquinas térmicas bem mais seguras para os operadores.

Funcionamento da válvula do digestor de Papin,
que permitia o controle da pressão do vapor.

As figuras ao lado apresentam os principais elementos do digestor de Papin em duas situações. Na primeira, em cima, o peso consegue suportar a pressão produzida pelo vapor no interior do digestor. Em baixo, a haste e o peso foram empurrados pelo vapor, liberando pela válvula o excesso acumulado no interior. Variando a massa do peso, pode-se controlar a pressão interna.

Esquema da máquina a vapor de Savery: tinha como objetivo
retirar a água do interior das minas de carvão.

A primeira máquina a vapor de grande porte que teve sucesso comercial foi inventada pelo engenheiro militaar inglês Thomas Savery (1650 - 1715). O princípio de funcionamento dessa máquina é, de maneira simples, análogo ao que aplicamos quando tomamos suco com auxílio de um canudinho. Quando sugamos o ar para dentro da cavidade bucal, reduzimos a pressão no interior do canudo. Como o líquido está sob pressão no interior do canudo, ele sobe até a boca.
A figura mostra a máquina criada por Savery e como ela funcionava. Ela era constituída de uma caldeira integrada a um cilindro e a uma série de tubos e válvulas. A ideia era simples: deixando somente as válvulas A e B abertas, o vapor produzido pela caldeira começava a empurrar o ar e a água do cilindro para o meio externo.
Quando o sistema estava bem quente fechava-se a válvula B e abria-se a válvula C. Resfriando-se o cilindro, a pressão diminuía e a água da mina era empurrada para esse recipiente pela pressão atmosférica. A abertura da válvula D permitia que parte da água do tubo fosse desviada para resfriar o cilindro. Mesmo possuindo uma válvula de segurança, a utilização de vapor e alta pressão acabou provocando muitos acidentes.

Máquina de Newcomen

Ao mesmo tempo que se desenvolviam essas máquinas, novos experimentos utilizando vapor foram realizados, resultando em outras invenções importantes. O ferreiro inglês Thomas Newcomen (1663 - 1729) aperfeiçoou a Máquina de Savery, adaptando-a para trabalhar com pressão menor, o que diminuía o risco de acidentes. Os avanços na confecção de peças permitiram

Como funcionava a máquina de Newcomen

que algumas importantes inovações fossem introduzidas nesse sistema. A base dessa máquina era a mesma da máquina de Savery, ou seja, havia uma caldeira que ao ser aquecida produzia vapor, mas acrescentou-se um sistema de cilindro e pistão.
Na montagem anterior, ao empurrar o pistão para cima, o vapor provoca a elevação de um dos braços da balança e a consequente descida do outro. O resfriamento do cilindro causa a descida do pistão devido à diferença de pressão gerada. Nas minas, o vaivém repetidos dos braços levava a água para a superfície. Esse método mostrou-se muito útil também no levantamento de cargas. Um jovem aprendiz que trabalhava em uma dessas máquinas, Humphrey Potter, criou um dispositivo capaz de realizar automaticamente a tarefa de elevar cargas, aproveitando o próprio movimento do sistema. As principais desvantagens da máquina de Newcomen eram o longo tempo necessário para o resfriamento do cilindro e o grande consumo de carvão para o seu funcionamento.

Máquina de Watt

Muitas transformações continuaram acontecendo ao longo do século XVIII, mas uma das mais importantes passou pelas mãos do cientista escocês James Watt (1736 - 1819). Ao tentar concertar uma das máquinas, Watt se deu conta da grande quantidade de energia que era desperdiçada com o

Esquema do funcionamento da máquina de Watt

aquecimento e o resfriamento do pistão na máquina de Newcomen. Para um melhor aproveitamento da energia, Watt desenvolveu uma máquina dotada de um sistema duplo de cilindro e pistão. Assim, quando um dos cilindros fosse aquecido, o pistão correspondente seria empurrado para cima e um sistema de engrenagens se encarregaria de abaixar o outro braço e o pistão que movimentaria uma roda acoplada a eles. Em vez de resfriar o cilindro, o vapor quente seria conduzido ao outro cilindro, onde ocorreria a sua condensação.
Essa modificação possibilitou uma série de inovações nas máquinas que resultaram em um ganho de rendimento de praticamente 50% sobre a máquina de Newcomen e uma economia de carvão de quase 70%. Alem da separação entre fonte quente e fonte fria, o engenheiro escocês desenvolveu também uma válvula constituída de duas esferas que ao girarem provocam a abertura da válvula de escape final da máquina, que permitia controlar a velocidade do sistema. Esse invento teve a sua patente registrada em 1769, transformando Watt em um homem rico.

Máquina de vapor portátil para geração de energia (1899)

Nesse contexto da Revolução Industrial, é fácil notar o impacto da Ciência do calor e da Tecnologia na sociedade. O desenvolvimento das máquinas térmicas provocou uma redução do número de trabalhadores necessário para o trabalho, gerando um aumento gradativo do desemprego, principalmente a partir do século XVIII. Apesar da massa de desempregados, o crescimento da produção teve como efeito o barateamento dos preços dos produtos e um consequente aumento do consumo. A aplicação dessas máquinas para para movimentar trens, navios e mesmo automóveis foi responsável por uma transformação crucial nos transportes, oferecendo maior mobilidade às pessoas.
A transformação industrial iniciada com as máquinas impulsionou uma total transformação econômica e social na civilização do Ocidente, com aumento no padrão de vida de parte da população.

Química - Um outro procedimento.

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Fri, 16 Mar 2018 21:51:00 -0300

Ilustra-se a seguir, como exemplo, a exposição teórica da primeira lei da eletrólise, procurando-se enfatizar mais os conceitos e princípios, conhecimentos anteriores e raciocínio e princípios, conhecimentos anteriores e raciocínio em vez da apresentação direta da fórmula, que nada exige do aluno nesses aspectos.

Supondo-se que a eletrólise qualitativa já tenha sido ensinada, pode-se iniciar a discussão perguntando como calcular a massa de substâncias depositadas em eletrodos.

Lançado o problema, recorre-se a um caso particular, como a eletrólise do AgNO3, por se tratar de íons monovalentes, o que facilita a discussão. Analisa-se primeiramente o que ocorre no cátodo, por ser a prata uma substância sólida nas condições ambientais e ser mais conhecida do aluno.

É mostrado, então, como esse metal será depositado:

(Ag+) + (e -) = (Ag0)

2(Ag+) + 2(e -) = 2(Ag0)

3(Ag+) + 3(e -) = 3(Ag0)

. .

Por indução, o aluno concluirá que, quanto maior o número de átomos depositado, maior será a massa correspondente. Mas, para que isso ocorra, é necessária uma quantidade maior de elétrons, implicando maior carga elétrica. É proposta, então, a seguinte pergunta: essas grandezas podem ser relacionadas?

Sugere-se que poderia haver uma relação entre a massa de prata e os elétrons fornecidos durante a eletrólise. O desenvolvimento a seguir poderá ajudar a encontrar a resposta.

Para neutralizar um único íon (Ag+), é necessário um elétron, cuja carga é 1,6 x 10^-19C. Assim, forma-se um átomo de prata cuja massa é 107/6,02 . 10^23g. ou seja, 2 . 1,6 . 10^-19C. Agora são produzidos dois átomos de prata, cuja massa total é 2 . (107/6,02 . 10^23)g. O mesmo procedimento se repete para 3 íons, e assim por diante, conforme mostrado na tabela abaixo:

A partir dessa tabela pode-se encontrar a fórmula m = K . Q, correspondente á primeira lei da eletrólise, propondo-se a seguinte pergunta: analise as colunas "carga correspondente dos elétrons" e "massa do átomos produzidos", respectivamente, e responda: Qual será a massa m de prata produzida quando passar na célula eletrolítica uma quantidade de carga elétrica Q?

A resposta se´ra facilmente encontrada relacionando-se quaisquer valores da carga dos elétrons e da massa dos átomos com a carga Q e a massa m, respectivamente. Uma vez que a proporcionalidade entre essas grandezas é reconhecida, estabelece-se a proporção correspondente:

1,6 . 10^-19 = 107

Q 6,02 . 10^23m

Relembra-se ao aluno que 107 é o valor da massa molar atômica da prata. Assim, massas molares ou atômicas de outros elementos poderiam ser substituídas na expressão obtida. Portanto, generalizando-se para uma subtância qualquer, ter-se-á:

m = M Q = KQ

96320

sendo M = massa molar da substância depositada.

Desse modo, propicia-se aos alunos uma participação efetiva na construção da fórmula obtida, em vez da sua imediata imposição, como normalmente ocorre.

Química - proposta didático-pedagógica

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Fri, 16 Mar 2018 20:50:00 -0300

A utilização excessiva de fórmulas matemáticas em Química é bastante generalizada no ensino médio, sem que a fundamentação conceitual correspondente seja efetivamente assimilada pelo aluno, uma vez que a necessidade imposta de manipular expressões algébricas sobrepuja a da aquisição dos respectivos conceitos e princípios.

A "mecanização mental" é nociva á formação do aluno, dificultando seu raciocínio e sua autonomia como cidadão. Essa prática promove poucas oportunidades para que o aluno, através de seus próprios conhecimentos e raciocínio, deduza, sozinho ou com uma orientação adequada, a maioria das fórmulas. É o caso, por exemplo, das fórmulas envolvendo as leis físicas dos gases, propriedades coligativas, eletrólise, etc. Desse modo, a maioria dos alunos não percebe os conceitos subjacentes, que acabam ficando ocultos pela excessiva manipulação algébrica.

Essa forma de apresentar o conteúdo pode ser uma das causas que fazem com que, comumente, alunos do ensino médio sejam incapazes de resolver problemas, mesmo os mais simples, caso não disponham de fórmulas. Essa dependência é manifestada em algumas observações feitas por alunos quando deparam com problemas de Química.

Quais dessas fórmulas devo usar para resolver o problema?
Sei qual é a fórmula para se aplicar, mas não consigo resolver o problema.
Só consigo resolver um problema quando já resolvi outro parecido.
Esqueci a fórmula e não consigo resolver esse problema.
Apliquei uma fórmula no lugar da outra.
Tem muita fórmula para decorar.

Para reverter esse quadro, é preciso adotar outras estratégias de ensino que priorizem a compreensão do fenômeno, a apropriação dos conceitos estudados. Sendo assim, qualquer generalização deve ser deduzida e analisada a partir do relacionamento e significados envolvidos, antes de ser transmitida ao aluno. Esse objetivo deveria estar presente em todo ensino e, particularmente, nos conteúdos que exigem o manuseio de fórmulas. com a sistemática geralmente empregada, entretanto, ele dificilmente é atingido. Assim, as fórmulas matemáticas devem ser ensinadas através dos conceitos que expressam e reconstruídas a partir destes, em vez de transmitidas diretamente.

Uma possível alternativa para atingir esse objetivo é mostrar que os problemas podem ser resolvidos não somente pela aplicação das fórmulas, mas, também, na ausência destas. Desse modo, permite-se que os alunos tomem consciência de que não é necessário decorar tais fórmulas. Isso, portanto, elimina, ou pelo menos ameniza, a ideia muito comum entre alunos do ensino médio de que a Química é "decoréba".

A aprendizagem de fórmulas, tal como aqui considerada, deve ser consequência e não antecedente dos conceitos e princípios. Somente quando estes fatos forem compreendidos e manipulados, as fórmulas poderão ser aplicadas como recursos sistematizadores, deixando então de ser, para grande parte dos alunos, um processo meramente mecânico.

A relação entre conceito e fórmula deve ser entendida como tendo um caráter reversível. Se o estudante é capaz de resolver problemas através de formulas, deverá também poder resolvê-los por meio dos conceitos por elas expressos e das relações entre eles. Se essa reversibilidade não for desenvolvida por ocasião da aprendizagem inicial, a aquisição de conceitos e de suas respectivas fórmulas dar-se-á isoladamente. Daí, então, ser frequente encontrar alunos perguntando sobre o significado conceitual de uma fórmula.

A ausência da reversibilidade já mencionada pode provocar algumas consequências indesejáveis, como: a capacidade de o aluno racionar conceitualmente torna-se deficitária, o que o leva a desenvolver um hábito excessivo e desnecessário de memorização em detrimento de sua capacidade criadora, que o poderia conduzir, por si só, á fórmula desejada. Desse modo, nega-se ao aluno a possibilidade da descoberta e as consequências benéficas que disso resultam. Por outro lado, o professor, apesar de seus esforços, observará, perplexo, que seus alunos, quando solicitados a responder a questões conceituais, mesmo as mais simples, sentem enorme dificuldade. Tal fato acontece desde o início da aprendizagem, quando não é dada ao aluno a oportunidade de desenvolver o conteúdo de forma conceitual e não apenas algébrica, tanto na exposição teórica como nos problemas.

Matemática - Mediana e baricentro.

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Fri, 16 Mar 2018 04:03:00 -0300

Chamamos mediana de um triângulo o segmento cujas extremidades são um dos vértices desse triângulo e o ponto médio do lado oposto a esse vértice. Um triângulo possui três medianas. Através da Geometria analítica podemos determinar as medidas das medianas de um triângulo. Vejamos:

Seja ABC o triângulo a seguir, de vértices A( 1, 1 ), B( -1, 3 ) e C( 6, 4 ).

Vamos determinas a medida da mediana relativa ao lado BC:

O ponto médio M de BC é dado por:

((Xb + Xc)/2 , (Yb + Yc)/2) = ((-1 + 6)/2 , (3 + 4)/2) => M(5/2 , 7/2)

O comprimento da mediana AM é obtido calculando-se a distância entre A e M:

dAM=√(1 - 5/2)² + (1 - 7/2)² = √(-3/2)² + (-5/2)² = √9/4 + 25/4 = √34/4 = (√34)/2

Por meio de um procedimento análogo, podemos determinar o comprimento das medianas BN e CP.

As três medianas intersectam-se no ponto G, indicando na figura anterior. O ponto de encontro das três medidas de um triângulo é chamado baricentro do triângulo. Veremos a seguir como podemos determinar as coordenadas do baricentro

Determinação das coordenadas do baricentro de um triângulo

Sejam A( Xa, Ya ), B( Xb, Yb ) e C( Xc, Yc ) três pontos não alinhados no plano cartesiano. consideremos o triângulo ABC.

As três medianas relativas aos lados AB, BC e AB são, respectivamente, CN, AP e BM. Elas se encontram no ponto G, baricentro do triângulo.

Vamos obter as coordenadas de G. Para isso, é preciso lembrar uma propriedade da Geometria Plana: o baricentro do triângulo divide cada mediana em dois segmentos cujas medidas estão na razão 2 : 1, isto é, o segmento que tem um vértice do triângulo como uma de suas extremidades mede o dobro do outro. Veja, por exemplo, a mediana CN, que fica dividida em dois segmentos: CG e GN, com CG = 2(GN).

Temos:

N é o ponto médio de AB =>

Q é o ponto médio de CG =>

G é o ponto médio de QN =>

Por que G é o ponto médio de QN ?

Substituindo ( 1 ) e ( 3 ) em ( 5 ), temos:

Xg = Xq/2 + Xn/2 => Xg = (Xg + Xc)/4 + (Xa + Xb)/4 => 3Xg/4 = (Xa + Xb + Xc)/4=> Xg = (Xa + Xb + Xc)/3

Analogamente, substituindo ( 2 ) e ( 4 ) em ( 6 ), podemos concluir que:

Yg = (Ya + Yb + Yc)/3

Assim, as coordenadas de G são ((Xa + Xb + Xc)/3 , (Ya + Yb + Yc)/3).

Observe que a abscissa do baricentro é igual à média aritmética das abscissas dos vértices do triângulo. Da mesma forma, a ordenada do baricentro é igual à média aritmética das ordenadas dos vértices do triângulo.

Exemplo:

Considerando o triângulo ABC , as coordenadas de seu baricentro(G)

são:

Xg = (Xa + Xb + Xc)/3 = ( 1 + ( -1 ) + 6 )/3 = 2

Yg = (Ya + Yb + Yc)/3 = ( 1 + 3 + 4 )/3 = 8/3

G ( 2 , 8/3 )

Matemática - Exercícios de Mediana e Baricentro.

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Fri, 16 Mar 2018 02:02:00 -0300

1) Os pontos A ( 2, -4 ) , B ( -2, 1 ) e C ( -4, 5 ) são vértices de um triângulo. Determine o comprimento da mediana AM do triângulo ABC.

2) Um triângulo possui vértices nos pontos ( 2, -1 ), ( 4, -3 ) e ( -2 , -5 ). determine:

a) As coordenadas do seu baricentro;

b) Os comprimentos das medianas desse triângulo;

3) Os pontos ( 2, 3 ), ( 5, -1 ) e ( 1, -4 ) são vértices de um quadrado.

a) Quais são as coordenadas do quarto vértice?

b) Qual a medida do lado desse quadrado?

4) No triângulo ABC, de vértices A ( 4, 10 ), B ( 1, 4 ) e C ( 7, 4 ), foi inscrito um triângulo. P, Q e R são os pontos médios de AC, AB, BC respectivamente. Quais as coordenadas de P, Q e R?

Matemática - Mediana e baricentro

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Fri, 16 Mar 2018 01:49:00 -0300

É um segmento de reta que sai do vértice de um triângulo e atinge o lado oposto no seu ponto médio.

M é o ponto médio de AC

N é o ponto médio de BC

P é o ponto médio de AB

As medianas são AN, CM e CP. Para descobrir que contratar os pontos M, N, P.

Xm = Xa + Xc
2

Ym = Ya + Yc
2

Xn = Xb + Xc
2

Yn = Yb + Yc
2

Xp = Xa + Xb
2

Yp = Ya + Yb
2

Para saber o comprimento de AN é só calcular a distância de AN > AN² = ( Xa - Xn )² + ( Ya - Yn )²

Da mesma forma se calcula BM e CP.

As medianas partindo vértice até o baricentro têm 2 vezes o tamanho do restante da mediana.

G = Baricentro

AG = 2GN
BG = 2GP
CG = 2GM

Baricentro

Xg = Xa + Xb + Xc

Yg = Ya + Yb + Yc

Matemática - Símbolos matemáticos

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Thu, 15 Mar 2018 01:52:00 -0300

A seguir são apresentados alguns dos principais símbolos utilizados em Matemática. Se você conhece algum símbolo não apresentado na tabela abaixo, pode sugerir a inclusão do mesmo através de comentários.

Símbolo	Significado	Símbolo	Significado	Símbolo	Significado
+	mais; positivo	-	menos; negativo	±	mais ou menos
×, * ou .	multiplicado por; vezes	/, ÷ ou :	dividido por	=	igual; igual a
≅	aproximadamente igual	≡	equivalente a; congruente	≠	diferente de; não igual a
<	menor que	≤	menor ou igual	>	maior que
≪	muito menor que	≫	muito maior que
≥	maior ou igual	⊀	sem informações sobre	⊁	sem informações sobre
∝	proporcional a	∞	infinito
%	por cento	‰	por mil	‱	por milhão
∃	existe	∄	não existe	∉	não pertence a; não é elemento/membro de; não está em
∈ ou ∊	pertence a; é elemento/membro de; em; está em	∋ ou ∍	existe ao menos um	∌	sem informações sobre
∀	para qualquer que seja; para todos; para cada	⇒ ou →	implica; se … então	⇔ ou ↔	se e só se
∧	e	∨	ou	\	menos; sem
→	de … para	\| \|	valor absoluto de; módulo de	\|\| \|\|	norma de; comprimento de
∅ ou {}	conjunto vazio	#	cardinalidade	∩	interseção; intersecta com; intersecta
∪	união; a união de … com …	⊃	contém	⊅	não contém
⊆	é subconjunto próprio de	⊈	não está contido nem é igual	⊊	está contido mas não é igual
⊇	contém	⊉	não contém nem é igual	⊋	contém mas não é igual
⊂	está contido; é subconjunto de	⊄	não está contido; não é subconjunto de
[ ]	colchetes	( )	parênteses	{ }	chaves
√	radiciação (raiz quadrada)	∛	radiciação (raiz cúbica)	∜	radiciação (raiz quarta)
log	logaritmação (logaritmo)	^	exponenciação (potência)
x¹	xis à primeira potência	x²	xis ao quadrado	x³	xis ao cubo
½	um meio	⅓	um terço	⅔	dois terços
⅙	um sexto	⅖	dois sextos	⅗	três sextos
⅘	quatro sextos	⅚	seis sextos	⅟	um sobre nada
¼	um quarto	¾	três quartos	⅛	um oitavo
⅜	três oitavos	⅝	cinco oitavos	⅞	sete oitavos
n!	n fatorial	´ ou ∂	derivada	∫	integral
∇	gradiente	∏	produtório	∑	somatória
sen	seno	cos	co-seno	tg ou tan	tangente
cotg oucot	co-tangente	sec	secante	cosec ou csc	co-secante
°	grau	'	minuto	"	segundo
π	pi (=3,141…)	φ	fi, o número de ouro, proporção áurea (=1,618…)	∠	ângulo agudo
∟	ângulo reto	⊥	perpendicular a	\| ou //	paralelo a
¬ ou /	não (negação lógica)	∴	então	∵	porque
ℕ	conjunto dos números naturais	ℤ	conjunto dos números inteiros	ℚ	conjunto dos números racionais
ℝ	conjunto dos números reais	ℂ	conjunto dos números complexos	ℍ	conjunto dos números quaterniões
𝕊	conjunto dos números sedeniões	ℙ	número primo

Matemática - Triângulo isósceles

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Wed, 14 Mar 2018 23:48:00 -0300

Definição:

Dizemos que um triângulo é isósceles, se, e somente se, têm dois lados congruentes.

Com notação matemática, isso pode ser expresso da seguinte forma:

"triângulo é isósceles"

Propriedades:

A seguir temos uma lista de propriedades dos triângulos isósceles e abaixo suas explicações e demonstrações.

Em um triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes.
Em um triângulo isósceles a mediatriz relativa à base, a bissetriz relativa ao ângulo oposto ao da base, a mediana e a altura relativas a base coincidem.
Em um triângulo isósceles o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares.

Congruência dos ângulos da base

Todo triângulo isósceles é também um triângulo isoângulo, isto é, possui dois ângulos congruentes, que são os dois ângulos opostos aos lados congruentes. Chamamos esses ângulos de ângulos da base.

Porém, essa é uma propriedade que parte da definição de triângulo isósceles, portanto, necessita de demonstração.

Essa propriedade traz uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja isósceles, isso é, ela diz:

Se um triângulo tem dois lados congruentes, então esse triângulo possui os dois ângulos da base congruentes e é um triângulo isósceles.

Se um triângulo tem dois ângulos congruentes, então os dois lados opostos a esses ângulos são congruentes e esse é um triângulo isósceles.

Assim, vamos demonstrar que para um triângulo ser isósceles basta ele possuir dois ângulo congruentes ou dois lados congruentes.

Demonstração

Esse teorema pode ser enunciado de três formas diferentes:

"Se um triângulo tem dois lados congruentes, então os ângulos opostos a esses lados são congruentes."
"Se um triângulo é isósceles, os ângulos da base são congruentes."
"Todo triângulo isósceles é isoângulo."

Com notação matemática, podemos expressá-lo da seguinte forma:

Para fazer essa demonstração precisamos mostrar primeiro que ser isósceles implica ser isoângulo.

Assim, partiremos de um triângulos isósceles qualquer e buscaremos provar que este triângulo é congruente a si mesmo, porém havendo uma correspondência nos vértices.

Para isso tomaremos duas vezes

\triangle {ABC}

, tendo o cuidado de, em cada vez, alternar a ordem dos vértices da base.

Assim, podemos abstrair e pensar em dois triângulos "distintos":

\triangle {ABC}

\triangle {ACB}

Tendo isso em mente, percebe-se que

\triangle {ABC}\equiv \triangle {ACB}

, pelo caso de congruência

LAL

Imagem suporte para demonstração de que todo triângulo isoângulo é também um triângulo isósceles.

Visto que temos, a congruência dos dois triângulos, com isso obtemos que todos seus ângulo correspondentes são congruentes.

Logo:

{\hat {B}}\equiv {\hat {C}}

Agora precisamos mostrar que ser isoângulo implica ser isósceles.

Para isso partiremos de um triângulo

ABC

qualquer que seja isoângulo, isto é, que tenha dois ângulos congruentes.

Para facilitar na demonstração, utilizaremos notação matemática com base em um triângulo

ABC

{\hat {B}}\equiv {\hat {C}}\qquad \longrightarrow \qquad {\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}

Então traçaremos no triângulo

ABC

a sua bissetriz relativa ao vértice

A

. À intersecção da bissetriz com o segmento

{\overline {BC}}

chamaremos de ponto

M

Assim teremos dois triângulos:

\triangle {AMB}

\triangle {AMC}

, ficando fácil de verificar a congruência entre esses dois triângulos, pelo caso de congruência, lado, ângulo e ângulo oposto ao lado.

{\overline {AM}}\equiv {\overline {AM}}\quad {\text{e}}\quad {B{\hat {A}}M}\equiv {M{\hat {A}}C}\quad {\text{e}}\quad {\hat {B}}\equiv {\hat {C}}\quad \left(LAA_{o}\right)\qquad \longrightarrow \qquad \triangle {AMB}\equiv \triangle {AMC}

Com essa congruência, temos a seguinte congruência:

{\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}

Assim demonstramos que ser triângulo isósceles implica ser triângulo isoângulo e que ser triângulo isoângulo implica ser triângulo isósceles.

Logo, temos que ser triângulo isósceles é condição necessária e suficiente para ser triângulo isoângulo.

Bissetriz, mediatriz, mediana e altura

Em um triângulo isósceles a mediatriz relativa à base, a bissetriz relativa ao ângulo oposto ao da base, a mediana e a altura relativas a base coincidem.^[3]

Esta propriedade pode ser expressa com notação matemática da seguinte forma:

\triangle {ABC},\quad {{\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}}\quad {\text{e}}\quad {\text{M é ponto médio de}}\quad {\overline {BC}}\qquad \longrightarrow \qquad {\overline {AM}}\qquad {\begin{cases}{\text{é bissetriz de }}{\hat {A}}\\{\text{está contido na mediatriz de }}{\overline {BC}}\\{\text{é mediana de }}{\overline {BC}}\\{\text{é altura relativa à }}{\overline {BC}}\end{cases}}

Demonstração

Como já vimos acima, temos o triângulo isósceles

ABC

, onde

{\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}

{\hat {B}}\equiv {\hat {C}}

M

é ponto médio de

{\overline {BC}}

Assim, pela definição de mediana temos que

{\overline {AM}}

é mediana relativa ao lado

{\overline {BC}}

e ao vértice

A

Esse segmento

{\overline {AM}}

divide

\triangle {ABC}

em dois triângulos congruentes:

\triangle {AMC}

\triangle {AMB}

Imagem suporte para demonstração de que em todo triângulo isósceles a mediana, a bissetriz, a mediatriz e a altura relativa a base coincidem.

Essa congruência dos triângulos implica a congruência

B{\hat {A}}M\equiv {M{\hat {A}}C}

. Assim, temos que

{\overline {AM}}

é também bissetriz de

B{\hat {A}}C

A partir disso temos também a congruência

B{\hat {M}}A\equiv {C{\hat {M}}A}

. Porém, temos também que esses ângulos são suplementares.

Assim temos:

med\left(B{\hat {M}}A\right)+med\left(C{\hat {M}}A\right)=180^{\circ }=2.med\left(B{\hat {M}}A\right)\qquad \Longrightarrow \qquad {med\left(B{\hat {M}}A\right)=90^{\circ }}

Como os ângulos

B{\hat {M}}A

A{\hat {M}}C

são ângulos retos, temos que

{\overline {AM}}

é perpendicular à

{\overline {BC}}

. Isso nos garante que

{\overline {AM}}

é a altura relativa à base

{\overline {BC}}

e é mediatriz, por

M

ser ponto médio.

Assim temos que

{\overline {AM}}

é bissetriz, mediatriz, mediana e altura relativa à base.

Baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro

Como implicação da propriedade anterior, temos que em um triângulo isósceles o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares. Assim, temos que isso é uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja isósceles.

\triangle {ABC}\quad {\text{é isósceles}},\quad \longleftrightarrow \quad {\text{o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares}}

Demonstração

Primeiramente vamos provar que, se um triângulo é isósceles, então o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares. Para demonstrar esse teorema partiremos do que foi demonstrado acima.

Assim temos que, se tomarmos a mediana de um triângulo isósceles, temos que essa mediana é também bissetriz, altura relativa e está contida na mediatriz do triângulo.

Isso implica qualquer ponto que pertence à mediana pertence também à bissetriz, à altura relativa e à mediatriz.

Após demonstrar isso precisamos demonstrar a recíproca.

Assim, precisamos demonstrar que:

\triangle {ABC},{\text{baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro são colineares}}\qquad \longrightarrow \qquad {\triangle {ABC}\quad {\text{é isósceles}}}

Como temos que os quatro pontos notáveis são colineares, daremos nomes a esses pontos como forma de simplificar a notação.

Desse modo temos que

G{\text{ é baricentro}}

I{\text{ é incentro}}

D{\text{ é o circuncentro}}

O{\text{ é o ortocentro}}

Para fazer essa demonstração tomaremos uma reta

r

que contém todos esses pontos, ou seja:

\exists {r}/G,I,D,O\in {r}

Com relação a essa reta podemos analisar duas situações em relação ao vértice

A

(sem perda de generalidade):

A\in {r}

A\notin {r}

Analisaremos essas duas situações separadamente

Primeira possibilidade: $A\in {r}$

Primeiramente, tomaremos um ponto

M

, tal que esse ponto seja a intersecção de

r

com

{\overline {BC}}

. Assim teremos:

1° possibilidade:

A\in {r}

A partir dessas relações, podemos chegar a nossa conclusão de várias maneiras.

Sabendo que

{\overleftrightarrow {AM}}

é mediatriz de

{\overline {BC}}

, temos:

{\overleftrightarrow {AM}}{\text{ é mediatriz de }}{\overline {BC}}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {BM}}\equiv {\overline {MC}}}\quad {\text{e}}\quad {B{\hat {M}}}A\equiv {A{\hat {M}}C}

Dessas relações, temos a congruência entre os triângulos

\triangle {ABM}

\triangle {ACM}

{{\overline {BM}}\equiv {\overline {MC}}}\quad {\text{e}}\quad {B{\hat {M}}}A\equiv {A{\hat {M}}C}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AM}}\equiv {\overline {AM}}\quad \left(LAL\right)\qquad \Longrightarrow \qquad {\triangle {ABM}\equiv \triangle {ACM}}

A partir da congruência dos triângulos temos a congruência de dois lados de

\triangle {ABC}

, provando que ele é isósceles.

\triangle {ABM}\equiv \triangle {ACM}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {AB}}\equiv {\overline {AC}}}\qquad \Longrightarrow {\triangle {ABC}{\text{ é isósceles}}}

é mediatriz de

{\overline {BC}}

Segunda possibilidade: $A\notin {r}$

Primeiramente tomaremos duas retas, a reta

{\overleftrightarrow {AG}}

(reta que passa pelo vértice

A

e pelo baricentro) e a reta

{\overleftrightarrow {AD}}

(reta que passa pelo vértice

A

e pelo circuncentro).

2°possibilidade:

A\notin {r}

J/{\quad {\overleftrightarrow {AD}}\cap {\overline {BC}}=J}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overleftrightarrow {AJ}}{\text{ é mediatriz de }}{\overline {BC}}}\qquad \Longrightarrow \qquad {J{\text{ é ponto médio de }}{\overline {BC}}}\qquad ({\text{II}})

\left({\text{I}}\right)

\left({\text{II}}\right)

, e pela propriedade de unicidade do ponto médio temos:

Assim chegamos a uma contradição, pois, nesse segundo caso tinhamos por hipótese que

A\notin {r}

. Com isso temos que apenas a primeira possibilidade é possível.

Logo, em todo triângulo isósceles, o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são colineares.

Matemática - Exercícios de Geometria analítica

matheus.bernaldo@gmail.com (Suco de Maracujá) — Wed, 14 Mar 2018 23:08:00 -0300

1 ) Determine a distância entre os pontos

a) A( 5 , 2 ) e B( 1 , 3 )

b) C( -1 , 4 ) e D( -2 , -3 )

c) E( -4 , -3 ) e O( 0 , 0 )

d) F( -5 , 4 ) e ( 2 , -5 )

e) H( -1 , 5 ) e I( -1 , 12 )

f) J( -2 , -1 ) e K( 3 , -4 )

g) L( -4 , 3 ) e M( -4 , -7 )

h) N( √2 , -√2 ) e ( -√2 , √2 )

i) Q( 1 , 3 ) e R( -3 , 3 )

bernaldoexatas

Matemática - Logaritmos - Característica e Mantissa

Matemática - Estatística - Conceitos Básicos .

ATENÇÃO

Química- Exercícios: A química Orgânica e o petróleo. - Pg 21

Química- Exercícios: A química Orgânica e o petróleo. - Pg 43

53) Explique como os hidrocarbonetos podem ser obtidos.

Química- Exercícios: A química Orgânica e o petróleo. - Pg 42

33) Classifique as substâncias abaixo em: alcanos, cicloalcanos, alcenos, cicloalcenos, alcadienos, alcinos, aromáticos:

Química - Exercícios: A química orgânica e o petróleo - Pg 20

25) (Unisa-SP)Quando uma pessoa leva um susto, a suprarrenal produz uma maior quantidade de adrenalina que é lançada na corrente sanguínea. analisando a fórmula estrutural da adrenalina:

podemos concluir que a cadeia carbônica ligada ao anel é:

a) aberta, saturada e heterogênea.

Errado

b) aberta, insaturada e heterogênea.

Errado

c) Aberta, insaturada e heterogenio.

Certo

d) fechada, insaturada e homogênea.

Errado

e) fechada, insaturada e heterogênea.

Errado

Química - Exercícios : A química orgânica e o petróleo - Pg18

7) A respeito das sustâncias orgânicas marque a opção incorreta

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Congruência dos ângulos da base

Demonstração

Bissetriz, mediatriz, mediana e altura

Demonstração

Baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro

Demonstração

Primeira possibilidade: {\displaystyle A\in {r}}

Segunda possibilidade: {\displaystyle A\notin {r}}

Matemática - Exercícios de Geometria analítica

Primeira possibilidade: $A\in {r}$

Segunda possibilidade: $A\notin {r}$