Matemática SOS#

Mais uma vez, jogos do Xbox One rodavam no PC durante a Gamescom - Combo Infinito - Notícias de games e jogos, novidades, trailers, vídeos, análises, reviews

2014-08-16T00:26:00.001-03:00

Mais uma vez, jogos do Xbox One rodavam no PC durante a Gamescom - Combo Infinito - Notícias de games e jogos, novidades, trailers, vídeos, análises, reviews

VESTIBULAR 2012 DA UFPA

2012-12-12T19:07:00.004-03:00

QUESTÃO 06

(UFPA 2012) A taxa de evaporação média diária é a altura média que uma superfície de água exposta ao clima perde por evaporação a cada dia. A taxa de evaporação media diária (mm/dia) obtida pelo método do tanque Classe A é de 4,4 em abril e de 6,1 em novembro. Com base nesses dados, é correto afirmar que a quantidade, em litros, de água evaporada de uma piscina profunda de 100m² de superfície ultrapassa em novembro a quantidade evaporada em abril de aproximadamente.

A) 5100 B) 600 C) 6100 D) 510 E) 51

RESPOSTA

Nesta questão usaremos uma parte da matemática bem simples mas, que não deixa de ter seu peso em nossos estudos. A CONVERSÃO DE UNIDADES DE MEDIDAS.

Na questão percebemos que não está sendo utilizada uma unica medida, veja para a taxa de evaporação foi utilizado o milímetro(mm), para superfície da piscina foi utilizado o metro quadrado(m²) e a resposta da questão está em litros. Logo o primeiro passo será deixar as medidas em conformidade.

Vamos transformar a unidade de superfície da piscina que está em m² para mm² que é a mesma unidade utilizada pela taxa de evaporação. Nesta questão utilizarei um método de conversão que facilita muito a resolução de questões deste tipo, para aprender esse método será necessário decorar a escala de medidas de comprimento que é...

Neste método se quisermos transforma 2km em metros, colocamos o 2 embaixo da unidade quilômetro e a partir de km colocaremos apenas um zero(0) embaixo das outras unidades até chegar na unidade que queremos. Veja...

Perceba que para sair de quilômetros e ir para metros passamos por três unidades ( hm / dam / m ) por isso devemos acrescentar três zeros do lado direito do número 2, e além disso estamos indo para o lado direito da escala por isso o número aumentou. Agora se quisermos transformar 20cm em hectômetros...

Veja que agora percorremos o sentido esquerdo logo o nosso número irá diminuir, neste caso passamos por quatro unidades ( dm / m / dam / hm ). Então movimentaremos a vírguala 4 unidades, veja que temos o número 20 a vírgula está após o zero movimentando está vírgula 4 vezes para esquerda encontraremos o número ( 20 / 2,0 / 0,20 / 0,020 / 0,0020 ). Ou seja 20cm = 0,0020hm ou 0,002hm. Se quiséssemos resolver movimentando a vírgula o problema anterior também poderíamos.

O grande problema é que na nossa questão temos a unidade elevada ao quadrado(m²). Na verdade isso não é um problema nos casos anteriores colocávamos um zero(0) embaixo de cada unidade pela qual passamos porque estavamos trabalhando com distâncias, agora que estamos trabalhando com áreas colocaremos dois zeros(00) embaixo de cada unidade que passarmos, se fôssemos trabalhar com volume colocaríamos três zeros(000)

Vamos transformar os 100m² da questão para mm².

Logo 100m² = 100000000mm²

Feito isso vamos calcular o volume de água evaporada no mês de abril e de novembro. Um ponto importante desta questão é falar em meses, em qualquer questão de matemática quando se fala em mês considera-se que este mês têm 30 dias.

MÊS DE ABRIL

Volume = Área da superfície x profundidade

profundidade = 30 x taxa de evaporação do mês

Volume = 100000000 x 30 x 4,4

Volume = 13200000000 mm³

MÊS DE NOVEMBRO

Volume = Área da superfície x profundidade

Volume = 100000000 x 30 x 6,1

Volume = 18300000000 mm³

Multiplicamos nas contas anteriores por 30 porque estamos falando em meses. Agora basta calcular a diferença entre esses dois volumes. Logo...

18300000000 - 13200000000 = 5100000000 mm³

Perceba que não temos está alternativa, nada mas justo pois a resposta deve estar em litros. Para essa conversão teremos a seguinte fórmula.

1L = 1000000mm³

Fazendo a regra de três...

1L----------------------1000000mm³

x----------------------5100000000mm³

x = 5100 L

RESPOSTA LETRA A

Fonte: Jefferson

Questões de matemática da UFPA

VESTIBULAR 2012 DA UFPA

2012-12-12T19:01:00.002-03:00

Questão 09

Legenda para entendimento:

sqrt(x) = Raiz quadrada de x

2ª) (UFPA 2012) Uma passarela construída em uma BR no pará tem um vão livre de comprimento 4L. A sustentação da passarela é feita a partir de 3 cabos de aço presos em uma coluna à esquerda a uma altura D da passarela. Esta coluna por sua vez é presa por um cabo de aço preso a um ponto na mesma altura da passarela, e a uma distância L da passarela, conforme representa a figura abaixo.

Supondo L= 9m e D= 12m o comprimento total dos quatro cabos de aço utilizados é, em metros.

A) 57

B) 111

C) 21+sqrt(1341)

D) 30+6.sqrt(13)+3.sqrt(97)

E) 30+2.sqrt(13)+sqrt(97)

Resolução

Essa questão é relativamente mais fácil do que a questão anterior, para encontrarmos sua resposta precisamos lembrar de uma sentença um tanto antiga, O TEOREMA DE PITÁGORAS (Teo. Pit.).

a² = b² + c²

1) Onde ''a'' é chamado de hipotenusa e fica sempre oposto ao ângulo reto.2) ''b'' e ''c'' são chamados de catetos.

Na resolução da questão transformaremos a imagem nos seguintes triângulos...

Onde na imagem percebemos que o triângulo 1 e 2 são iguais, como queremos encontrar o comprimento total dos cabos, então...

Ct= 2.C +C1 + C2

''Comprimento do cabo C''Dado:D= 12m C² = D² + L² C² = 225L= 9m C² = 12² + 9² C = sqrt(225) C = 15m

''Comprimento do cabo C1''

C1²= D² + (2L)² C1²= 468

C1²= 12² + (2*9)² C1= sqrt(468)

C1²= 12² + 18² C1= sqrt(2²x3²x13)

C1= 6sqrt(13)

''Comprimento do cabo C2''

C2²= D² + (3L)² C2²= 873

C2²= 12² + 27² C2= sqrt(873)

C2²= 144 + 729 C2=sqrt(3³x97)

C2= 3sqrt(97)

Como queremos o comprimento total dos cabos, somando...

Ct = 2*C + C1 + C2

Ct = 2.15 + 6.sqrt(13) + 3.sqrt(97)

Ct = 30 + 6.sqrt(13) + 3.sqrt(97)

RESPOSTA LETRA D

Fonte:Jefferson

Questões de matemática da UFPA

Números complexos

2012-12-10T21:52:00.000-03:00

Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b²- 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (Delta < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (normalmente no conjunto dos reais- R). A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números complexos, que representamos por C.

Números Complexos

Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja:

z = (x,y)

onde x pertence a R e y pertence a R.

Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), podemos escrever que:

z=(x,y)=x+yi

Exemplos:

(5,3)=5+3i

(2,1)=2+i

(-1,3)=-1+3i ...

Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:

x=Re(z, parte real de z

y=Im(z), parte imaginária de z

Igualdade entre números complexos

Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z₁=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁=z₂<==> a=c e b=d

Adição de números complexos

Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁+z₂=(a+c) + (b+d)

Subtração de números complexos

Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁-z₂=(a-c) + (b-d)

Potências de i

Se, por definição, temos que i = - (-1)^1/2, então:

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = -1

i³ = i².i = -1.i = -i

i⁴ = i².i²=-1.-1=1

i⁵ = i⁴. 1=1.i= i

i⁶ = i⁵. i =i.i=i²=-1

i⁷ = i⁶. i =(-1).i=-i ......

Observamos que no desenvolvimento de iⁿ (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos iⁿ basta calcularmos i^r onder é o resto da divisão de n por 4.

Exemplo:

i⁶³ => 63 / 4 dá resto 3, logo i⁶³=i³=-i

Multiplicação de números complexos

Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicacão dois dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z₁=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁.z₂ = a.c + adi + bci + bdi²

z₁.z₂= a.c + bdi² = adi + bci

z₁.z₂= (ac - bd) + (ad + bc)i

Observar que : i²= -1

Conjugado de um número complexo

Dado z=a+bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z^-) ==> z^-= a-bi

Exemplo:

z=3 - 5i ==> z^- = 3 + 5i

z = 7i ==> z^- = - 7i

z = 3 ==> z^- = 3

Divisão de números complexos

Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z₁= a + bi e z₂= c + di, temos que:

z₁ / z₂ = [z₁.z₂^-] / [z₂z₂^-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]

Módulo de um número complexo

Dado z = a+bi, chama-se módulo de z ==> | z | = (a²+b²)^1/2.

Interpretação geométrica

Como dissemos, no início, a interpretação geométrica dos números complexos é que deu o impulso para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z = a+bi da seguinte maneira

Forma polar dos números complexos

Da interpretação geométrica, temos que:

que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo.

Operações na forma polar

Sejam z₁=ro₁(cos t₁₁) e z₂=ro₁(cos t₁+i sent₁). Então, temos que:

Multiplicação

Divisão

Potenciação

Radiciação

Cone

2012-12-10T21:25:00.002-03:00

Conceito de cone

Ao estudarmos Geometria nos deparamos com várias situações geométricas, alguns sólidos possuem origem e fundamentos na sua formação, um deles é o cone, figura presente no cotidiano.
Dado um círculo de centro O e raio R no plano B, e um ponto P fora do plano. O cone será formado por segmentos de reta unindo o ponto P aos pontos do círculo. Observe a imagem:

Outra forma de construir o cone é através da revolução do triângulo retângulo sobre um eixo vertical.

Elementos do cone
g: geratriz do cone
h: altura do cone
r: raio da base
v: vértice

Classificação do cone

Cone reto Cone oblíquo

No cone reto podemos aplicar a relação de Pitágoras para o cálculo da geratriz (g), do raio da base (r) e da altura (h), pois vimos que o cone pode ser formado através da revolução do triângulo retângulo. Comparando os elementos do cone aos do triângulo retângulo temos:

Geratriz no cone, hipotenusa no triângulo.
Altura no cone, cateto no triângulo.
Raio da base no cone, cateto no triângulo.

Uma importante relação no cone é dada por: r² + h² = g², observe a figura:

Áreas no cone

Área da base
Por ser uma circunferência, a área da base de um cone é dada pela seguinte expressão:

Área da lateral
A área lateral do cone é dada pela seguinte expressão:

Área total
É dada somando-se a área lateral e a área da base.
At = Al + Ab
At = Πr(g+r)

Volume do cone

O volume do cone é dado pelo produto da área da base pela altura divido por três.
V = (Πr²h)/3

Planificação do cone

Fonte:

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Brasil Escola

Esferas

2012-12-10T21:12:00.000-03:00

Área e Volume de Corpos Esféricos

Os corpos esféricos possuem enorme importância no cotidiano de diversas atividades. Em alguns esportes, o formato esférico é representado pela bola, que é o principal objeto no andamento das disputas de futebol, vôlei, basquete, boliche, golfe, entre outras modalidades esportivas. Nos objetos móveis como bicicletas, carros e caminhões, o formato esférico está presente em componentes mecânicos responsáveis pela locomoção de tais veículos. Nesses veículos, os rolamentos são formados por esferas que permitem que ocorra o giro de uma roda em um eixo. Veja figura representativa de um rolamento:

Os rolamentos também são muito utilizados no setor industrial, facilitando o trabalho de locomoção das partes de máquinas. Para analisarmos como objetos simples utilizam a característica dos corpos esféricos, podemos tomar como exemplo um frasco de desodorante Roll On. Nesses frascos, a transferência do líquido para a pele ocorre por meio de um movimento realizado por uma esfera.

Devido a essas inúmeras utilizações, a esfera possui, de acordo com a Matemática, no que diz respeito à Geometria Espacial, Área e Volume que são determinados por expressões algébricas matemáticas. Veja:

Área

Volume

Os cálculos matemáticos, envolvendo área e volume de uma esfera, abrangem a medida do raio que é a distância entre o centro da esfera e sua extremidade e o valor constante do número irracional π (pi), dado por aproximadamente 3,14. Veja a esfera e seus elementos:

Exemplo 1

Uma esfera de plástico possui raio medindo 20 centímetros. Determine a área dessa região esférica.

Exemplo 2

Um reservatório possui a forma esférica com 15 metros de raio. Calcule a capacidade total de armazenamento desse reservatório.

Temos que 1 m³ corresponde a 1000 litros. Então 14.130 m³ equivalem a 14.130 000 litros de capacidade de armazenamento.

Cilindros

2012-10-29T10:09:00.000-03:00

Em Matemática, um cilindro é o objeto tridimensional gerado pela superfície de revolução de um retângulo em torno de um de seus lados. De maneira mais prática, o cilindro é um corpo alongado e de aspecto roliço, com o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento.

Aprenda, entre outros, a diferença entre um cilindro circular e cilindro equilátero assim como o cauculo da área lateral, total e o volume de ambos.

Cilindro Circular

Sejam α e β dois planos paralelos distintos, uma reta s secante a esses planos e um círculo C de centro O contido em α. Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos a s, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente ao círculo C e o outro extremo pertencente a β.

A reunião de todos esses segmentos de reta é um sólido chamado de cilindro circular, limitado de bases C e C’ ou simplesmente cilindro circular.

Cilindro circular reto

No cilindro circular reto a geratriz forma com o plano da base um ângulo de 90º. No cilindro circular reto a medida h de uma geratriz é a altura do cilindro.

O cilindro circular reto também é conhecido por cilindro de revolução, pois pode ser obtido pela revolução de 360º de uma região retangular em torno de um eixo.

Cilindro equilátero

O cilindro que possui as seções meridianas quadradas é chamado de cilindro equilátero.
No cilindro equilátero a altura é igual ao diâmetro da base: h = 2r.

Área Lateral e Área total de um cilindro circular reto

A superfície de um cilindro reto de altura h e raio da base r é equivalente à reunião de uma região retangular, de lados 2πr e h, com dois círculos de raio r. Observe a planificação do cilindro.

A área do retângulo equivalente à superfície lateral do cilindro é a área lateral Aℓ do cilindro, ou seja:

Aℓ = 2*π*r*h

A área total At do cilindro é igual à soma da área lateral Aℓ com as áreas das duas bases, ou seja:

At = 2*π*r*h + π*r² + π*r² → At = 2*π*r*h + 2π*r²

Volume do cilindro circular

O volume V de um cilindro circular de altura h e raio da base r é igual ao produto da área da base, πr2, pela altura h, isto é:

V = π*r²*h

Fonte:Colégio Web

Classificação do Cilindro

2012-10-26T09:24:00.000-03:00

Um cilindro é classificado segundo o ângulo formado pela geratriz com os planos das bases:

- Reto: geratriz perpendicular às bases e igual à altura;
- Oblíquo: todo cilindro que não é reto.

O cilindro reto é também chamado cilindro de revolução, pois pode ser obtido pela rotação de um retângulo em torno de um de seus lados.

Secção meridiana do cilindro

Chamamos secção meridiana de um cilindro, a interseção do cilindro com um plano que contém seu eixo.

Quando a altura de um cilindro reto é igual a 2R, a secção meridiana é um quadradode lado 2R e esse cilindro é denominado cilindro eqüilátero.

Geometria Espacial - Pirâmide

2012-10-22T22:28:00.003-03:00

Dada uma região poligonal de n vértices e um ponto V fora da região (outro plano), ao traçarmos segmentos de retas entre os vértices da região poligonal e o ponto V, construímos uma pirâmide que será classificada de acordo com o número de lados do polígono da base

Os segmentos AV, BV e CV são as arestas laterais da pirâmide.
Os pontos A, B, C e V são os vértices.
Os triângulos VAB,VBC e VCA são as faces laterais.
O triângulo ABC é outra face da pirâmide e constitui a base.
A distância do ponto V ao centro da base constitui a altura da pirâmide.

A classificação de uma pirâmide depende do número de arestas da região da área da base.

Base é um triângulo
Nome: pirâmide triangular
Número de faces: três faces laterais mais face da base, portanto, quatro faces.

Base é um quadrado
Nome: pirâmide quadrangular
Número de faces: quatro faces laterais mais face da base, portanto, cinco faces.

Base é um pentágono
Nome: pirâmide pentagonal
Número de faces: cinco faces laterais mais face da base, portanto, seis faces.

Base é um hexágono
Nome: pirâmide de base hexagonal
Número de faces: seis faces laterais mais face da base, portanto, sete faces.

Pirâmide triangular Pirâmide quadrangular Pirâmide pentagonal

Altura, apótema da base e apótema da pirâmide

h: altura da pirâmide
m’: apótema da pirâmide
m: apótema da base

Pelo teorema de Pitágoras temos:
m’² = h² + m²

Área da base

A área da base de uma pirâmide depende da área do polígono em questão, sendo calculada pela expressão:

onde P: perímetro do polígono e a: apótema do polígono.

Área lateral
É a soma de todas as áreas laterais.

Área total
Soma da área lateral com a área da base.
At = Al + Ab

Volume

O volume de uma pirâmide é dado pela expressão:

onde Ab: área da base (depende do polígono) e h: altura da pirâmide.

Planificação de uma pirâmide

Pirâmide triangular Pirâmide quadrangular Pirâmide pentagonal

Prisma

2012-10-22T22:12:00.000-03:00

Consideremos o prisma como um sólido geométrico formado pelos seguintes elementos: base, altura, vértices, arestas e faces laterais. Os prismas podem apresentar diversas formas, mas algumas características básicas definem esse sólido geométrico. Por exemplo, o número de faces do prisma será exatamente igual ao número de lados do polígono que constitui suas bases (superior e inferior), dessa forma, sua classificação quanto ao número de lados pode ser:

Triangular – base constituída de triângulos.
Quadrangular – base constituída de quadriláteros.
Pentagonal – base constituída de pentágonos.
Hexagonal – base constituída de hexágonos.
Heptagonal – base constituída de heptágonos.
Octogonal – base constituída de octógonos.

Os prismas também podem ser classificados como retos ou oblíquos. Os prismas retos são aqueles em que a aresta lateral forma com a base um ângulo de 90º, os oblíquos são aqueles em que as arestas formam ângulos diferentes de 90º.

Todos os prismas possuem área da base, área lateral, área total e volume. Todas essas medidas dependem do formato do polígono que se encontra nas bases; por exemplo, os prismas acima possuem em sua base um pentágono, portanto, para calcularmos a área dessa base devemos determinar a área do pentágono. No caso do prisma pentagonal reto, as faces laterais constituem retângulos e a do prisma oblíquo é formada por paralelogramos.
A área total de um prisma é calculada somando a área lateral e o dobro da área da base. E o volume é determinado calculando a área da base multiplicada pela medida da altura.

Observe alguns exemplos de prismas:

Prisma Triangular Reto Prisma Hexagonal Reto

Prisma Pentagonal Oblíquo Prisma Quadrangular Oblíquo

Fonte: Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Geometria - Área de figuras planas

2012-10-22T21:33:00.003-03:00

Figuras planas são aquelas que se situam num único plano. Imagine uma folha de papel. Ela pertence ao nosso mundo e tem as três dimensões: comprimento, largura e altura. No entanto, você deve estar se perguntando: ela tem mesmo altura? Tem sim... Alguns milímetros, talvez até menos que isso. É por isso que é comum associarmos a folha a um plano, que possui apenas duas dimensões: comprimento e largura.

Agora que já tem uma ideia de como é uma figura plana vamos caucular a área de cada uma delas (Retângulo, Quadrado, Triangulo, Triângulo equilatero, Paralelograma e hexágono).

Cálculo da Área do Retângulo

Por definição o retângulo é um quadrilátero equiângulo (todo os seus ângulos internos são iguais), cujos lados opostos são iguais.

Se todos os seus quatro lados forem iguais, teremos um tipo especial de retângulo, chamado de quadrado.

Por ser o retângulo um paralelogramo, o cálculo da sua área é realizado da mesma forma.

Se denominarmos as medidas dos lados de um retângulo como na figura ao lado, teremos a seguinte fórmula:

Cálculo da Área do Quadrado

O quadrado é um losango, que além de possuir quatro lados iguais, com diagonais perpendiculares, ainda possui todos os seus ângulos internos iguais a 90°. Observe ainda que além de perpendiculares, as diagonais também são iguais.

Cálculo da Área do Triângulo

A área do triângulo será metade do produto do valor da medida da base, pelo valor da medida da altura, tal como na fórmula abaixo:

Cálculo da Área do Triângulo Equilátero

Cálculo da Área do Paralelogramo

Com h representando a medida da sua altura e com b representando a medida da sua base, a área do paralelogramo pode ser obtida multiplicando-se b por h, tal como na fórmula abaixo:

Cálculo da Área do Hexágono

Multiplicação de probabilidade e eventos independentes

2012-10-22T20:44:00.002-03:00

Eventos Independentes

Quando temos uma situação envolvendo dois espaços amostrais com dois eventos independentes, realizamos a multiplicação entre as probabilidades. Confira o exemplo:
Uma urna possui 50 bolas, sendo 20 bolas vermelhas e 30 bolas amarelas. Ao sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez com reposição de bola na urna sorteada, qual será a probabilidade da 1º bola ser vermelha e a 2ª ser amarela?
Veja como se resolve a seguir:

Probabilidade da bola vermelha – 20 em 50
Probabilidade da bola amarela – 30 em 50
Em virtude de os eventos serem independentes, devemos realizar a multiplicação:

Multiplicação de Probabilidades

A Probabilidade de ocorrer p(A Ç B) é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro em relação ao primeiro pronto.

p(A Ç B) = p(A/B).p(B)

Se a ocorrência do evento B, não mudar a probabilidade da ocorrência do evento A, então p(A/B) = p(A) e, neste caso, os eventos são ditos independentes, e a fórmula acima fica:

Se A e B forem eventos independentes, então: p(A Ç B) = p(A) . p(B)

Probabilidade Condicional

2012-10-22T20:13:00.004-03:00

Probabilidade condicional

Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrência de um evento A, sabendo-se de antemão que ocorreu um certo evento B. Pela definição de probabilidade vista anteriormente, sabemos que a probabilidade de A deverá ser calculada, dividindo-se o número de elementos de elementos de A que também pertencem a B, pelo número de elementos de B. A probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que já ocorreu B, é denominada Probabilidade condicional e é indicada por p(A/B) – probabilidade de ocorrer A sabendo-se que já ocorreu B – daí, o nome de probabilidade condicional.

Teremos então:

p(A/B) = n(A Ç B)/ n(B)
onde A Ç B = interseção dos conjuntos A e B.
Esta fórmula é importante, mas pode ser melhorada. Vejamos:
Ora, a expressão acima, pode ser escrita sem nenhum prejuízo da elegância, nem do rigor, como:
p(A/B) = [n(A ÇB)/n(U)] . [n(U)/n(B)]
p(A/B) = p(A ÇB) . 1/p(B)
Vem, então: P(A/B) = p(A Ç B)/p(B), de onde concluímos finalmente:

p(A ÇB) = p(A/B).p(B)

Esta fórmula é denominada Lei das Probabilidades Compostas.
Esta importante fórmula, permite calcular a probabilidade da ocorrência simultânea dos eventos A e B, sabendo-se que já ocorreu o evento B.
Se a ocorrência do evento B, não mudar a probabilidade da ocorrência do evento A, então p(A/B) = p(A) e, neste caso, os eventos são ditos independentes, e a fórmula acima fica:

p(A ÇB) = p(A) . p(B)

Podemos então afirmar, que a probabilidade de ocorrência simultânea de eventos independentes, é igual ao produto das probabilidades dos eventos considerados.

Exemplo:

Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas.
Calcule as probabilidades de:

a) em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B).

Solução:
p(V Ç B) = p(V) . p(B/V)
p(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7).
Supondo que saiu bola vermelha na primeira retirada, ficaram 6 bolas na urna. Logo:
p(B/V) = 2/6 = 1/3
Da lei das probabilidades compostas, vem finalmente que:
P(V Ç B) = 5/7 . 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,8%

b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca.

Solução:
Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam independentes. Neste caso, a probabilidade buscada poderá ser calculada como:
P(V Ç B) = p(V) . p(B) = 5/7 . 2/7 = 10/49 = 0,2041 = 20,41%

Observe atentamente a diferença entre as soluções dos itens (a) e (b) acima, para um entendimento perfeito daquilo que procuramos transmitir.

Fonte: Algo Sobre

Probabilidade - União de dois eventos

2012-10-22T20:09:00.002-03:00

Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S a probabilidade de ocorrer A ou B é dada por:

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Verificação:
O Número de elementos de A U B é igual à soma do número de elementos de A com o número de elementos de B, menos uma vez o número de elementos de A ∩ B que foi contado duas vezes (uma em A e outra em B). Assim temos:

n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
Dividindo por n(S) [S ≠ ] resulta

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Exemplo:
Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retirando uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ocorrer múltiplos de 2 ou múltiplos de 3?

A é o evento “múltiplo de 2”.
B é o evento “múltiplo de 3”.

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) =

Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe BrasilEscola

Noções Básicas de Probabilidade

2012-10-22T20:00:00.001-03:00

Chama-se experimento aleatório àquele cujo resultado é imprevisível, porém pertence necessariamente a um conjunto de resultados possíveis denominado espaço amostral.
Qualquer subconjunto desse espaço amostral é denominado evento.
Se este subconjunto possuir apenas um elemento, o denominamos evento elementar.

Por exemplo, no lançamento de um dado, o nosso espaço amostral seria U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Exemplos de eventos no espaço amostral U:
A: sair número maior do que 4: A = {5, 6}
B: sair um número primo e par: B = {2}
C: sair um número ímpar: C = {1, 3, 5}

Nota: O espaço amostral é também denominado espaço de prova.
Trataremos aqui dos espaços amostrais equiprováveis, ou seja, aqueles onde os eventos elementares possuem a mesma chance de ocorrerem.
Por exemplo, no lançamento do dado acima, supõe-se que sendo o dado perfeito, as chances de sair qualquer número de 1 a 6 são iguais. Temos então um espaço equiprovável.

Em oposição aos fenômenos aleatórios, existem os fenômenos determinísticos, que são aqueles cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos.

Normalmente existem diversas possibilidades possíveis de ocorrência de um fenômeno aleatório, sendo a medida numérica da ocorrência de cada uma dessas possibilidades, denominada Probabilidade.

Consideremos uma urna que contenha 49 bolas azuis e 1 bola branca. Para uma retirada, teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos entretanto que será muito mais frequente obtermos numa retirada, uma bola azul, resultando daí, podermos afirmar que o evento "sair bola azul" tem maior probabilidade de ocorrer, do que o evento "sair bola branca".

2 – Conceito elementar de Probabilidade

Seja U um espaço amostral finito e equiprovável e A um determinado evento ou seja, um subconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorrência do evento A será calculada pela fórmula

p(A) = n(A) / n(U)

onde:

n(A) = número de elementos de A e n(U) = número de elementos do espaço de prova U.

Fonte: Algo Sobre

Estreia da Coluna: Você Sabe ?

2012-10-20T11:15:00.000-03:00

"Uma coluna feita especialmente para você ver a matemática de um jeito diferente."

Quéops, o maior sólido geométrico feito pelo homem

O maior sólido geométrico feito pelo homem é a pirâmide de Quéops, no Egipto e foi construída no século 25 a.C..
Esta construção é uma das "sete maravilhas do mundo" que chegou quase intacta aos nossos dias.
Tem de altura 138m e a base quadrada tem de lado 230m. Cobre uma área de 54000 m2 e foi feita com mais de dois milhões de blocos de pedra, pesando cada um deles, em média, 2,5 toneladas.
Segundo o historiador grego Heródoto, esta pirâmide, cujas faces laterais são triângulos isósceles, possui a seguinte propriedade: "Cada face lateral triangular tem uma área igual à do quadrado construído sobre a altura da pirâmide."
Os egípcios construiram cerca de 80 estruturas do tipo desta pirâmide.
A célebre frase que Napoleão disse aos seus soldados aquando da conquista do Egipto foi: "Soldados, do alto destas pirâmides quarenta séculos vos contemplam."

Fonte: Prof. Werneck

Probabilidade

2012-09-14T10:42:00.000-03:00

Calcule as chances de se ganhar na loteria.

Conceito

Consideremos a experiência do lançamento de uma moeda e leitura da face voltada para cima. Ao realizarmos n vezes a experiência, se obtivermos m vezes o resultado “cara” é . É claro que lançada a moeda o resultado é imprevisível, pois não podemos dizer com absoluta certeza que o resultado será “cara”, pois nada impede que dê “coroa”.
A experiência provou que conforme se aumenta n, ou seja, à medida que mais lançamentos da moeda são feitos, a frequência relativa tende a estabilizar-se em torno de .

Exemplo:
Em 1000 lançamentos (n = 1000), 529 resultados foram favoráveis (m = 529), o que nos dá para o valor de 0,529.
Em 4040 lançamentos, 2048 resultados foram favoráveis o que nos da = 0,50693, isso significa que no lançamento de uma moeda “honesta” a probabilidade de se obter “cara” é . Essa experiência foi realizada por Kerrich e Buffon.
A definição que permite calcular teoricamente a probabilidade de um evento, sem realizar a experiência é:

Dado um espaço amostral S, com n (S) elementos, e um evento a de S, com n(A) elementos, a probabilidade do evento A é o P(A) tal que:

Propriedades

Sendo S ≠ um espaço amostral qualquer, A um evento de S e o complementar de A em S, valem as seguintes propriedades:

? P( ) = 0
? P(S) = 1
? 0 ≤ P(A) ≤ 1

? P(A) + P( ) =1
Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática

Matemática SOS#

Mais uma vez, jogos do Xbox One rodavam no PC durante a Gamescom - Combo Infinito - Notícias de games e jogos, novidades, trailers, vídeos, análises, reviews

VESTIBULAR 2012 DA UFPA

QUESTÃO 06

VESTIBULAR 2012 DA UFPA

Resolução

Essa questão é relativamente mais fácil do que a questão anterior, para encontrarmos sua resposta precisamos lembrar de uma sentença um tanto antiga, O TEOREMA DE PITÁGORAS (Teo. Pit.).

a² = b² + c²

1) Onde ''a'' é chamado de hipotenusa e fica sempre oposto ao ângulo reto.2) ''b'' e ''c'' são chamados de catetos.

Onde na imagem percebemos que o triângulo 1 e 2 são iguais, como queremos encontrar o comprimento total dos cabos, então...

Ct= 2.C +C1 + C2

Como queremos o comprimento total dos cabos, somando...

﻿Ct = 2*C + C1 + C2

Números complexos

Cone

Conceito de cone

Esferas

Área e Volume de Corpos Esféricos

Cilindros

Classificação do Cilindro

Geometria Espacial - Pirâmide

Prisma

Geometria - Área de figuras planas

Cálculo da Área do Retângulo

Cálculo da Área do Quadrado

Cálculo da Área do Triângulo

Cálculo da Área do Triângulo Equilátero

Cálculo da Área do Paralelogramo

Cálculo da Área do Hexágono

Multiplicação de probabilidade e eventos independentes

Probabilidade Condicional

Probabilidade - União de dois eventos

Noções Básicas de Probabilidade

Estreia da Coluna: Você Sabe ?

Probabilidade

Ct = 2*C + C1 + C2