Blog do Saraiva

Criando gráficos no computador com o auxílio do GNUPLOT

2008-01-19T13:39:00.000-03:00

O Gnuplot é um software que serve para que possamos gerar gráficos no computador e possamos estudar o comportamento desses gráficos. O Gnuplot pode ser usado tanto em ambiente windows como em ambiente Unix/Linux.

O Gnuplot foi desenvolvido em 1986 por Colin Kelly e Thomas Williams objetivando criar um programa que lhes permitisse visualizar graficamente propriedades de equações matemáticas relacionadas ao fenômeno do eletromagnetismo.

Além de tudo, o Gnuplot é gratuito, ou seja você pode desfrutar de todas as maravilhas deste software sem ter que pagar nada por isso. Esse software é bastante utilizado hoje em dia no ramo da ciência devido a sua eficiência, simplicidade e flexibilidade.

Nesse breve tutorial tenho como objetivo passar alguns dos comandos básicos do Gnuplot e não será abordada a instalação do aplicativo. Os comandos do tutorial foram usados em uma distribuição linux, mais creio que no windows as sintaxes sejam as mesmas.

Quando instalado vamos ao terminal e digitamos gnuplot. Deverá aparecer uma tela como a da figura abaixo:

(clique na imagem para ampliar)

Pois bem antes de começarmos é necessário que saibamos algumas funções pre-definidas do gnuplot:

(clique na imagem para ampliar)

Se digitarmos plot sin(x) no terminal, teremos:

(clique na imagem para ampliar)

Dessa forma geramos na tela o gráfico da função y = sen(x).

Podemos perceber que na imagem o domínio da função vai de -10 até 10, isso ocorre porque não definimos o domínio que queriamos visualizar no gráfico. Digamos que quisessemos visualizar o gráfico da função no domínio de -20 até 20. O comando nesse caso seria: plot [-20:20] sin(x).

Outra maneira de se definir o domínio é através do comando xrange e yrange. Digitando assim no terminal:

set xrange[-20:20]

set yrange [-2:2]

Dessa maneira o eixo x de nosso próximo gráfico vai de -20 até 20 e o eixo y vai de -2 até 2.

Se quisermor zerar essas configurações é só digitar o comando reset, que o gnuplot volta pro default.

Pode-se ativar a grade nos gráficos, para se ativar a grade é só darmos o comando set grid no terminal que o próximo gráfico terá a grade, e para desativar pode-se digitar set nogrid, ou então apertar a letra g na tela do gráfico para habilitar ou desabilitar a grade.

Até agora estávamos visualizando apenas uma função por vez, mais no gnuplot é possível se visualizar vários gráficos de uma vez só. Para se visualisar vários gráficos existem duas maneiras. Usando -se o ',\' e digitar a próxima função ou utilizando-se o comando rep (de replot).

Exemplo:

plot x
rep x*x
rep x +3

(clique na imagem para ampliar)

No Gnuplot pode-se modificar os vários atributos do gráfico. Por exempo se quiséssemos mudar os pontos do traço do gráfico ou a cor é possível. Para se visualizar as cores e os tipos de pontos pode-se usar o comando abaixo:

test

Se digitarmos esse comando deve aparecer uma tela como a da figura abaixo:

(clique na imagem para ampliar)

Até agora nossos gráficos foram plotados usando linhas, mais é possível também utilizarmos tanto linhas, como impulsos, pontos, pontos e linhas e etc.

Para servir de exemplo o leitor pode testar os seguintes comandos (um de cada vez):

plot cos(x) with lines

plot cos(x) with points

plot cos(x) with linespoints

plot cos(x) with dots

plot cos(x) with impulses

Para se usar as cores da tabela da figura anterior é só colocar no final da linha de comando o número correpondente a cor que se deseja de acordo com a tabela. Para se utilizar os pontos de acordo com a tabela utilizamos também o número correspondente ao tipo de ponto que se deseja. Por exemplo:

Digamos que queiramos visualizar a função sen(x/2) no intervalo de -pi/2 até 2*pi na cor verde (10) e com asteríscos (6) juntamente com a função cos(2*x) na cor azul e com impulsos o comando seria:

plot [-pi/2:2*pi] sin(x/2) with points 10 6

rep cos(2*x) with impulses 3

(clique na imagem para ampliar)

Podemos também definir as funções e depois visualiza-las, dessa forma:

f(x) = 2*x

plot f(x)

Podemos fazer também assim:

f(x,b) = x*b

plot f(x,2)

ou

plot f(x,b), b = 2

Podemos perceber que uma mesma função pode ser representada de diversas maneiras!

A vantagem é que podemos definir a função uma única vez e depois se quisermos, podemos modificar os seu coeficientes.

Digamos que queremos visualizar no mesmo gráfico as funções:

f(x) = 2*x*x + 3

f(x) = x*x + 4*x

f(x) = x*x

Podemos declarar uma única vez uma função do tipo

f(x,a,b,c) = a*x*x + b*x + c

e depois mudamos os coeficientes, ou seja:

plot f(x,2,0,3)

rep f(x,1,4,0)

rep f(x,1,0,0)

É possível também modificar o título do gráfico, o texto correspondente ao eixo x e o texto correspondente ao eixo y, para isso:

set title "Texto desejado para o título"

set xlabel "Texto correspondente ao eixo x"

set ylabel "Texto correspondente ao eixo y"

Lembrando que se quiser zerar tudo pra outra configuração é só usar o comando reset.

Para se mudar a legenda de cada função usa-se a opção t, assim:

plot sin(x) t"funcao seno"

O Gnuplot é um aplicativo com muitas funções e não é coveniente numeralas todas aqui em um único post, mais para se começar, com tudo que vimos aqui já se tem uma boa base.

Pretendo no futuro fazer um outro post sobre o Gnuplot aonde se usa arquivos de texto com os dados e usa-se o Gnuplot para plotar os gráficos através dos dados no arquivo.

Demonstração do Teorema de Pitágoras

2008-01-18T14:36:00.000-03:00

O teorema de pitágoras é um teorema de imensa importância dentro da matemática. Ele é usado desde medições simples com triângulos até o cálculo em anos-luz da distância entre o nosso planeta e algumas estrelas.

Dentro da matemática não basta apenas se afirmar que algo é verdade mas tem-se que demonstrar que o que se afirma é realmente válido para todo um conjunto matemático, pois enquanto não se demonstra, não podemos dizer que é um teorema e sim uma conjectura.

Nessa breve demonstração tenho o objetivo de demonstrar como que o Teorema de Pitágoras é válido para todos os triângulos retângulos, independente do valor de seus lados.

A demonstração que se segue é baseada na demonstração que se encontra no livro O último Teorema de Fermat de Simon Singh no Apêndice 1;

Vamos lá então. Suponhamos a imagem abaixo:

Nesta imagem primeiramente combinamos quatro triângulos idênticos de lados X, Y e Z de modo a formar um quadrado com outro quadrado menor inscrito. Os lados do quadrado maior valem X + Y e os lados do quadrado menor valem Z.

Se eu quisesse calcular a área do quadrado maior como eu deveria fazer ?

Bem sabemos que o valor da área de um quadrado é l² (lado elevado ao quadrado) então se eu quisesse calcular a área do quadrado grande eu poderia faze-lo assim:

(X + Y)²

Outra maneira de calcular essa área poderia ser calculando as áreas dos quatro triângulos formados dentro do quadrado maior, mais a área do quadrado menor. Sendo assim:

4 * (X*Y)/2 + Z²

Portanto essas duas maneiras calculam a mesma área que é a área do quadrado maior. Portanto os seu resultados são iguais:

(X + Y)² = 4 * (X*Y)/2 + Z²

Agora é só usar a álgebra. Desenvolvendo o quadrado perfeito do lado esquerdo e simplificando o 4 com o 2 do lado direito temos:

X² + 2*X*Y + Y² = 2*X*Y + Z²

O termo 2*X*Y está dos dois lados da igualdade, então podemos cancela-lo, e a equação final seria:

X² + Y² = Z²

Este é o famoso Teorema de Pitágoras, e fica provado que em qualquer triângulo retângulo a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Como usamos X, Y e Z para os lados do triângulo, vemos que não foram especificados valores para esses lados portanto pode-se dizer que para qualquer que seja os valores dos lados o Teorema é verdadeiro se o triângulo for retângulo.

Número Áureo

2008-01-18T09:43:00.000-03:00

Hoje em dia na televisão aberta não passa simplesmente NADA de cultura, só passam programas que querem transformar as pessoas cada vez mais em massa de manobra, fazendo com que não tenham o mínimo interesse em usar o raciocício. Talvez eu esteja sendo radical, pois não tenho muito o hábito de ver televisão, mais pelo pouco tempo que perco em frente a ela, ja é suficiente para me deixar indignado.

Os videos abaixo são partes do programa Arte e Matemática da TV Cultura. Realmente esses videos são ótimos, quem dera se tivessemos mais programas brasileiros nesse nível.

O assunto dos vídeos é o Número Áureo, um número que está presente em grande parte da natureza e das obras de arte e muitos nem se dão conta. Vale a pena dar uma conferida.

Parte 1

Parte 2

Livros recomendados

2008-01-16T05:26:00.000-03:00

Neste post resolvi colocar os últimos livros que li e achei bastante interessantes. Serve como dica pra quem estiver interessado.

O livro dos códigos:

Este livro escrito por Simon Singh é sem dúvida um livro sensacional. Ele é tanto para os que gostam de história como para os que gostam de computação, criptografia e matemática. Trata da evolução do processo de criptografia de textos, desde os tempos da antiguidade até os dias de hoje. É muito bem ilustrado e conta com 10 apêndices muito interessantes.

Em defesa de um matemático:

Escrito por Godfrey Horald Hardy, neste livro pude perceber a opnião pessoal de um gênio que vivia exclusivamente da matemática pura. Depois de uma bela carreira o autor do livro se encontrava na velhice quando o escreveu e é possível percebermos uma certa tristeza em algumas partes do livro pois na sua própria opnião depois dos quarenta anos um matemático não pode mais fazer nada de criativo e esse era o caso dele. Este livro é muito bom principalmente para os que gostam de matemática.

O último teorema de Fermat:

Outro livro do Simon Singh que descreve sobre esse que foi um dos mais famosos teoremas da matemática e permaneceu durante mais de 300 anos até que alguém pudesse prova-lo. No livro é descrito desde que Fermat criou o teorema até o momento em que Andrew Wiles um professor de Cambridge consegui demonstra-lo. Nesse meio tempo houveram muitas histórias interessantes envolvendo o teorema que valem ser lidas.

Como vejo o mundo:

Como o próprio nome diz este livro escrito por Albert Einstein mostra como o gênio via relações sociais, religião dentre outras coisas. Muito interessante!

O jeito geek de amar!

2008-01-16T05:05:00.001-03:00

Talvez esses casamentos dêem certo!

Para os que se dizem estudantes!

2008-01-15T10:25:00.000-03:00

Vejo todos os dias muitas pessoas que se intitulam estudantes, mais será mesmo que basta estar matriculado em uma instituição e frequentar as aulas para se dizer estudante ?
De acordo com o dicionário AURÉLIO o estudante é: "Pessoa que estuda; aluno".

É, eu já desconfiava disso que o dicionário informou, só que acredito que este "título" de estudante não se resuma apenas a isso.

Existem coisas que eu acho que todo estudante deveria estar acostumado, pois se não estivesse creio que não poderia ser chamado de estudante, pelo menos pra mim vejo que uma pessoa que realmente mereça este título de estudante é uma pessoa louvável digna de admiração.

Para ser estudante, eu defendo que a pessoa deve gostar do que estuda e ter em mente que mesmo que no futuro não conseguisse nada como fruto destes estudos, deveria ficar feliz porque o estudo estaria em sua mente e o seu conhecimento não poderia ser roubado, se sentindo assim uma pessoa cheia mesmo sem nada.

Isso é uma opnião pessoal mais eu não acho que pessoas que ficam estudando para concursos públicos, ou somente para passarem em provas, e constantemente ficam se valorizando pelo fato de estarem estudando, fazendo algo que lhes é tão penoso, acho que estas pessoas não passam de trabalhadores que almejam conseguir algo com este estudo, mais não são dignos de serem chamados de estudantes de verdade!

Uma das coisas que eu acho fundamental que um estudante tenha é o hábito diário do estudo, pode parecer óbvio mais conheço muitos que se dizem estudantes e só estudam em época de provas. Uma coisa que serve para quem vai fazer uma prova seja de que matéria for é o seguinte: pegue todo e qualquer exercício que o professor passou durante o período que antecedeu a prova e depois de seus estudos diários você não terá dificuldades para resolve-los e resolvendo calmamente os exercícios você não terá porque temer a prova e conseqüentemente vai se dar bem.

É claro que para muitas pessoas que se dizem estudantes as coisas não são assim tão fáceis existem dificuldades especiais em determinadas matérias e que fazem com que o aluno não consiga entender nada da matéria. O motivo disso eu acho (por experiência própria) se deve ao fato de o aluno não sentir prazer em estudar o assunto, por simples comodismo ou por não ver uma aplicação prática daquela matéria. É ai que entra o papel do professor de forma a deixar clara a importância da matéria, mostrando exemplos práticos que saiam um pouco da abstração. Isso acontece muito com Matemática e Física e o ensino destas disciplinas eu acredito que seja um constante desafio para os professores que realmente tem interesse em passar o conhecimento. Mas eu acredito também que o aluno não deve ficar na situação de esperar que o professor lhe mostre a aplicação prática da matéria para que ele possa estudar, pois os estudantes são seres pensantes e devem exercer sua autonomia intelectual de modo a por si só buscar aplicações práticas da matéria ou qualquer outra justificativa que lhes incentive a estudar, porque na minha opinião o seu melhor professor é você mesmo.

A realidade matemática

2008-01-14T23:48:00.000-03:00

"Como pode a Matemática, sendo produto do pensamento
humano, independente da experiência, se adaptar tão
admiravelmente aos objetos da realidade?"
ALBERT EINSTEIN

Desta vez eu vim perguntar pra você meu amigo: A realidade matemática existe também no mundo real ou só na cabeça dos matemáticos?

Bem será que como disse Platão: “Deus eternamente geometriza” - e o mundo em que vivemos é rodeado por elementos matemáticos bastando para nós ve-los ?

Bem se isso for verdade então STEPHEN HAWKING estava realmente certo quando nos afirmou que: "A Matemática é a única linguagem que temos em comum com a natureza.".

Bem se a realidade é esta eu tenho pra mim que quanto mais estudarmos mais estaremos capacitados a entender a natureza e descobrir os seus mistérios - isso não é novidade pra ninguém - mas ai eu penso comigo: "Quão linda é a realidade matemática, como pode sozinha, oferecer tantas maravilhas para os que vivem essa realidadeconcientes?". E será porque tão bela e rica, mesmo assim a matemática tem tantos "inimigos" ? Eu não consigo entender.

Tudo bem que não é necessário que as pessoas fiquem fazendo declarações de amor á matemática mais daí a não ter um mínimo de reconhecimento por tudo que ela representa já é demais.

O que vejo é que se estabeleceu uma cultura aonde as coisas mais fáceis sempre são as melhores, e na verdade algumas vezes sim, mais nem sempre, pois pensar, ser analítico não é tão fácil como ficar assistindo big brother ou qualquer outro programa de domingo, mais felizmente não existe coisa mais gratificante que o dom do pensamento construtivo, aquele pensamento que direta ou indiretamente está focado no progresso da humanidade.

Mas como estudar matemática e se aprofundar de modo a não só decorar fórmulas mas sim deduzi-las demanda esforço e pensamentos, construção de idéias, acaba-se com a "idéia" de dizer coisas do tipo: "Aonde eu vou usar isso?" ou "Para que eu vou querer isso no futuro?", pois bem, se você for um estudante do ensino médio a vida toda realmente você não irá querer usar "isso" no futuro, mais se você for uma pessoa com um interesse científico ou com uma incessante busca de conhecimento concerteza vai usar. Quando vejo aqueles que acham que matemática só serve para poder passar em concursos e conseguir uma profissão aonde poderá ficar "seguro" sem o risco de serem despedidos, pois o único risco que correm é o de receberem um aumento pequeno depois da greve, fico pensando como as pessoas não tem o mínimo interesse em fazer alguma coisa de útil para o seu próximo.

É, realmente existem muitas realidades, talvez cada um tenha a sua própria realidade mais pelo que percebi, se um matemático consegue fazer um feito não precisar ser algo como Newton ou Euler, mais pelo menos uma idéia que se perpetue esse matemático mesmo depois de morto, fará parte de outras realidades, matemáticas ou não!

Matemática a mãe de todas as ciências

2007-03-30T20:08:00.000-03:00

É comum nos dias de hoje encontrarmos em nossas conversas com amigos sempre que se toca no tema Matemática, sempre tem um que diz que não gosta ou então que "isso é coisa de doido", mais só que quem mais parece doido são pessoas que fazem este tipo de comentário, pois a matemática é a mãe de todas as ciências e se não fosse por ela nós nunca poderíamos usar a internet e nem mesmo o computador. Tem uma historia que diz o seguinte:

"Certa vez um grande faráo estava tendo um sonho em que via algumas mulheres andando perdidas no deserto e estas mulheres estavam morrendo de sede e concerteza não iriam durar muito tempo sobre aquele sol quente se não conseguissem uma água para beber. De repente em suas trajetárias as mulheres se depararam com uma outra mulher (linda por sinal) que veio para junto delas e lhes deu água de forma abundante para beber, e assim as mulheres foram salvas.
O faraó depois do sonho se viu coberto por uma grande curiosidade para saber o que aquele sonho queria dizer, qual o seu significado. Foi então que ele chamou um dos maiores sábios da região e lhe contou o sonho e pediu que o sábio lhe explicasse o seu significado. O sábio ("sabiamente", hehe) lhe disse que aquelas mulheres que estavam a beira da morte eram como se fossem as ciências, ou seja, a fisiologia, a química, a física. E a mulher salvadora era a MATEMÁTICA, ou seja, a Matemática salvou as outras ciências lhes dando a fonte de vida para poderem progredir.
Depois desta explicação o Faraó investiu muito dinheiro no ensino da matemática pois conseguiu enxergar o seu valor e viu que a matemática seria a chave para o seu reinado evoluir."

Fazendo uma pequena análise das palavras do sábio vemos que elas realmente fazem sentido, pois me digam: O que seria de um físico, um químico ou um biólogo sem um conhecimento matemático suficiente ?

Pois bem a matemática não só empresta todas as suas técnicas para as outras ciências como tem muitas vezes roubado destas o seu formalismo, pois como diria G.H.Hardy em seu livro (Em defesa de um matemático): "É evidente que ele (físico) procura correlacionar o corpo incoerente de fatos brutos que tem diante de si com algum esquema definido e ordenado de relações abstratas, o tipo de esquema que ele só pode tomar emprestado da matemática.".