EcUaCiOnEs DiFeReNcIaLeS

UNIDAD 4. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

2012-06-26T21:52:00.000-05:00

4.1 TEORIA PREELIMINAR

A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial de primer orden

dydx= f (x,y)

Sujeta a la condición adicional

y(x0) =y0

Donde

x0 es un punto en I y y0 es un número real arbitrario.

El problema

Resuelva: dy/dx=f (x,y)

Sujeta a :y(x0) =y0

Se llama problema de valor inicial . A la condición adicional "sujeta" se la conoce como condición inicial

Biografía

http://es.scribd.com/doc/75708402/12/Teoria-preliminar
Ecuaciones Diferenciales Lineales, Earl D. Ranville, Ed Trillas

4.1.1 SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

2012-06-26T21:51:00.002-05:00

Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se puede denotar como:

Aquí xi (t) es una variable en términos de tiempo y el valor de i = 1, 2, 3, …, n. También A es una matriz que contiene todos los términos constantes, como [ai,j].

Dado que los coeficientes de la matriz constante A no están definidos explícitamente en términos de tiempo, por lo tanto, un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es llamado a veces autónomo. La notación convencional general para el sistema de ecuaciones diferenciales lineales es,

dx/ dt = f(t, x, y)

dy/ dt = g(t, x, y)

Un ejemplo de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es el siguiente,

dx1/ dt = −4×1 + 2×2

dx2/ dt = 0×1 + −2×2

Con el fin de determinar el conjunto completo de fórmulas para la variable dependiente de tiempo xi(t) para todos los valores de i, es necesario obtener primero los vectores propios y valores propios de la matriz constante A. En el caso que la matriz constante A posea un conjunto de valores propios repetidos para sus componentes, sería necesario un vector propio generalizado.

Este es t, toma en cuenta que los vectores propios y valores propios de la matriz constante puede ser un subconjunto de los números reales o también un subconjunto de los números complejos.

La representación de la matriz del problema anterior es la siguiente, dx/ dt = A * x

En este caso, A es la matriz constante que puede ser representada como,

A =

Y x(t)T es un vector de variables definidas en términos de tiempo, el cual es representado como,

x(t)T =

dx/ dt =

Bibliografia:

http://mitecnologico.com/sistemas/Main/SistemasDeEcuacionesDiferencialesLineales

4.1.2 SISTEMAS EDL HOMIGENEOS

2012-06-26T21:50:00.004-05:00

Es de la forma:

Esta se da cuando una gran cantidad de tales ecuaciones juntas, de manera tal que dependen unas de las otras, y definen colectivamente un problema común, entonces se les llama un sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas. Tales sistemas pueden ser resueltos de manera eficiente con la ayuda de las matrices, las cuales son denominadas matriz fundamental. Sean X1, X2… X3 las soluciones de la matriz fundamental del sistema de entrada de ecuaciones diferenciales homogéneas, entonces puede representarse de manera condensada como,

En la ecuación anterior, las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales están definidas en algún intervalo, digamos I y la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales es este

En la ecuación anterior, los términos que se mantienen dentro de los corchetes son los vectores fila, donde X1 = [xi1j], X2 = [xi2j]…Xn = [xinj]. Estas son las soluciones n fundamentales del sistema de entrada de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas para el intervalo dado I. Entonces tenemos que la matriz fundamental para el sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales para el intervalo dado como I es,

Bibliografia:

Ecuaciones Diferenciales Elementales Earl D. Rainville

Ed. Trillas

4.1.3 SOLUCION GENERAL Y SOLUCION PARTICULAR DE SISTEMAS EDL

2012-06-26T21:50:00.003-05:00

En general podemos decir que la solución de un sistema de ecuación diferencial es llamada solución general si los valores de las constantes no se obtienen en la solución final. La misma solución puede convertirse en una solución particular cuando tenemos el valor de las constantes determinadas. Esto se hace en el caso que el sistema de entrada de la ecuación diferencial sea un problema de valor inicial con las condiciones iniciales establecidas para la determinación de los términos constantes.

El ejemplo siguiente aclarará el procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales.

Determina el conjunto de ecuaciones como xT(t) = [(x1(t), x2(t)] para el sistema de ecuaciones dx/ dt = A * x con las condiciones iniciales establecidas como x(0) = x0 = (x01, x02). El valor de la matriz A está dada como,

Entonces, el vector propio de la matriz es dado de la forma,

La matriz tiene un solo vector propio ya que ambos valores propios son los mismos. Por lo tanto, la solución general del problema se da como,

Por consiguiente, un vector propio generalizado puede ser calculado como, v = vp +s1* vh1 v1 v2 −1 0 +s1* 1 1

La solución particular de este problema sería vT(p) = (−1, 0) = v2, el cual es el valor propio generalizado de esta matriz, junto con los valores propios repetidos y vh es la solución homogénea dando el vector propiov1.

Y la solución general del problema es,

Bibliografia:

http://mitecnologico.com/sistemas/Main/SolucionParticularDeSistemasDeEcuacionesDiferencialesLineales

4.2 METODOS DE SOLUCION PARA SISTEMAS EDL

2012-06-26T21:50:00.002-05:00

El método de Euler. La idea del método sigue siendo truncar el desarrollo de Taylor de y para

Quedarnos con su parte lineal. De acuerdo con el teorema de Taylor,

Y (ti+1) ≈ y (ti) + (ti+1 − ti) y0 (ti).

Usando que y satisface la ecuación diferencial y0 = f (t, y) y escribiendo h en vez de ti+1 − ti nos

Queda

Y (ti+1) ≈ y (ti) + hf (ti, y (ti)).

Si disponemos ya de una aproximación wi ≈ y (ti), la fórmula anterior nos proporciona una

Aproximación de y (ti+1):

Y (ti+1) ≈ wi+1:= wi + hf (ti, wi).

Puesto que y (t0) = y0, podemos ir calculando los valores wi de forma iterativa:

w0 = y0,

Wi+1 = wi + hf (ti, wi), i= 0, 1, 2,. . ., n − 1.

Interpolación. Una vez que tenemos las aproximaciones (ti, wi) para todos los nodos, si queremos

Hallar una aproximación del valor y (t) de la solución en un punto t comprendido entre dos

Nodos ti < t < ti+1, entonces la aproximación viene dada por

Y (t) ≈ wi +

Wi+1 − wi

(T − ti),

Que no es más que una interpolación lineal a trozos hecha coordenada a coordenada.

10 Lección 2. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Ejemplo. Si aplicamos el método de Euler para resolver el sistema

y01

(t) = ty1 (t) + (y2 (t))2,

y02

(t) = t − y1 (t) y2 (t)

En el intervalo [0, 1] con valores iniciales y (0) =

∙

−1

, obtenemos los siguientes resultados

Ti y1 (ti) y2 (ti)

0 1.0000 −1.0000

0.1 1.1000 −0.9000

0.2 1.1920 −0.7910

0.3 1.2784 −0.6767

0.4 1.3626 −0.5602

0.5 1.4484 −0.4439

0.6 1.5406 −0.3296

0.7 1.6439 −0.2188

0.8 1.7637 −0.1128

0.9 1.9061 −0.0129

1.0000 2.0777 0.0795

4.2.1 METODO DE LOS OPERADORES

2012-06-26T21:50:00.001-05:00

1. Dn (eax f (x)) = eax (D + a)nf (x)

2. Dn (eax ) = eax an
#|R{ze}al

Demostración

Veamos 1. Por inducción:

n = 1 D(eax f (x)) = eaxDf (x) + f (x)aeax = eax(D + a)f (x) Supongamos que se cumple para n = k:
Dk (eax f (x)) = eax (D + a)k f (x)

y veamos que se cumple para n = k + 1. En efecto, teniendo en cuenta las hipótesis de inducción para n = 1 y para n = k, se tiene

Dk+1(eax f (x)) = Dk D(eaxf (x)) = Dk (eax(D + a)f (x))
= eax(D + a)k (D + a)f (x) = eax (D + a)k+1f (x) Veamos 2. Por inducción:
n = 1 D(eax ) = aeax

Supongamos que se cumple para n = k:

Dk (eax ) = ak eax

y veamos que se cumple para n = k + 1. En efecto, teniendo en cuenta las hipótesis de inducción para n = 1 y para n = k, se tiene

Dk+1(eax ) = Dk D(eax) = Dk (aeax)
= a(Dk eax ) = a(ak eax) = ak+1eax

El siguiente Teorema, llamado teorema básico de los operadores, nos permite sacar una exponencial que esta dentro de un operador.

Teorema Básico de Operadores

1. Si f ∈ C n (I ) y L(D) es un operador diferencial lineal y a ∈ ℜ, entonces:
L(D)(eaxf (x)) = eaxL(D + a)f (x)

2. L(D)eax = L(a)eax

Demostraci´on 1:

L(D)(eaxf (x)) = (an (x)Dn + an

1(x)Dn−1 + . . . + a (x)D + a (x)D0 )(eaxf (x)) =
− 1 0
= an (x)Dn (eaxf (x)) + an
1(x)Dn−1(eax f (x)) + . . . + a (x)D(eax f (x)) + a (x)eaxf (x)
− 1 0
= an (x)eax(D + a)n f (x) + an
+ a0 (x)eaxf (x)
1(x)eax(D + a)n−1f (x) + . . . + a1(x)eax (D + a)f (x)
= eax(an (x)(D + a)n + an
1 (x)(D + a)n−1 + . . . + a (x)(D + a) + a (x))f (x)
− 1 0
= eaxL(D + a)f (x)

4.2.2 UTILIZANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE

2012-06-26T21:48:00.000-05:00

La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la funciónF(s), definida por:

siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición es

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
es llamado el operador de la transformada de Laplace.

PROPIEDADES

Linealidad

Derivación

=

Integración

Dualidad

Desplazamiento de la frecuencia

Desplazamiento temporal

Desplazamiento potencia n-ésima

Convolución

Bibliografia

Ecuaciones Diferenciales, Deniss G. Zill, Lenguaje Learning

4.3 APLICACIONES

2012-06-26T20:02:00.001-05:00

Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

Resolver:

Sujetas a:

Solución

La transformada de LaPlace para cada ecuación:

El sistema anterior equivale a:

Despejamos:

Por lo tanto es :

Sustituimos la expresión para encontrar

Por lo tanto la solución para el sistema dado es:

Biobliografía

Ecuaciones Diferenciales Elementales, Earl D. Ranville, Ed Trillas

3.1 Areas

2011-06-21T18:41:00.000-05:00

El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos degeometría diferencial. Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.

3.1.1 Área bajo la gráfica de una función.

BIBLIOGRAFIAS:

http://www.educared.org/wikiEducared/index.php?title=%C3%81rea_bajo_la_grafica_de_una_funci%C3%B3n_continua

http://www.vadenumeros.es/segundo/area-grafica-de-dos-funciones.htm

3.1.2 Area entre las graficas de funciones

2011-06-21T18:17:00.000-05:00

Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas:

f(x) y g(x)[<f(x)] y en el intervalo [a,b] .

Ejemplo Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f(x) = 4 − x2 en el intervalo [ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso: g(x) = 0 entonces evaluando la integral, se obtiene:

Por lo que se concluye que el área delimitada es 32/3.El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral.

Ejemplo de Aplicación 1:

La siguiente grafica representa el área entre funciones explicada anteriormente:

Ejemplo De Aplicacion 2:

La figura 5 hace la función de representar el área desarrollada anteriormente:

Fuentes:

http://www.mitecnologico.com/igestion/Main/AreaEntreLasGr%E1ficasDeFunciones

3.2 Longitud de Curvas

2011-06-16T18:36:00.002-05:00

Longitud de curvas

Es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentosirregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

FormulacionAl considerar una curva definida por una función y su respectiva derivada que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud S del arco delimitado pora y b es dada por la ecuación: En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t comoela longitud del arco desde el punto hasta el punto se calcula mediante: Si la función esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante la longitud del arco comprendido en el intervalo toma la forma:

Deducción de la fórmula para funciones de una variable

Supongamos que tenemos una curva rectificable cualquiera, regida por una función , y supongamos que queremos aproximar la longitud del arco de curva

S

que va desde un punto

a

a uno

b

. Con este propósito podemos diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también podemos exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a

Δ x

, de manera que para cada uno existirá un cateto

Δ y

asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido, siendo entonces cada hipotenusa igual a , al aplicarse el teorema pitagórico. Así, una aproximación de

S

estaría dada por la sumatoria de todas aquellas

n

hipotenusas desplegadas. Por eso tenemos que; Pasemos a operar algebraicamente la forma en que calculamos cada hipotenusa para llegar a una nueva expresión;Luego, nuestro resultado previo toma la siguiente forma:Ahora bien, mientras más pequeños sean estos

n

segmentos, mejor será la aproximación buscada; serán tan pequeños como deseemos haciendo que

Δ x

tienda a cero. Así,

Δ x

deviene en

dx

, y cada cociente incremental

Δ y i / Δ x i

se transforma en un

dy

/ dx

general, que es por definición . Dados estos cambios, nuestra aproximación anterior se convierte en una sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos infinitesimales;

http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_arco

3.3 Calculo de Volúmenes de Sólidos de Revolución

2011-06-15T17:33:00.002-05:00

Sólido de revolución

Se denomina sólido de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del planoalrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no intersecarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, está genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar

ROTACIONES ALREDEDOR DE LOS EJES CARTESIANOS

El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones

Rotación paralela al eje de abscisas (eje x)

El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, un recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica

En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:

Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)

Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante. La fórmula general del volumen de estos sólidos es: Esta fórmula se simplifica si giramos figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY,

REFERENCIAS

ENLACES EXTERNOS

Weisstein, Eric W., «Sólido de revolución»

Categorías: Cálculo integral | Geometría

3.4 Calculo de Centroides

2011-06-13T17:00:00.000-05:00

En geometría, el centroide, centro geométrico o baricentro de una figura plana o tridimensional forma dos X es la intersección de todas las líneas rectas que dividen a X en dos partes de igual momento sobre la línea. Informalmente, es el “promedio” (media aritmética) de todos los puntos de X. La definición se extiende a todo objeto X de n - dimensiones del espacio: su centro de gravedad es la intersección de todos los hiperplanos que dividen a X en dos partes de igual momento.

En la física, la palabra centroide significa que el centro geométrico del objeto de la forma, como antes, pero baricentro también puede significar su físico centro de la masa o el centro de gravedad, según el contexto. Informalmente, el centro de la masa (y centro de gravedad en un campo gravitatorio uniforme) es el promedio de todos los puntos, ponderado por el local de la densidad o peso específico. Si un objeto físico tiene uniforme de densidad, entonces su centro de masa es el mismo que el centro de gravedad de su forma.

En geografía, el centro de gravedad de una región de la superficie de la Tierra, proyectada radialmente sobre dicha superficie, se conoce como su centro geográfico.

Propiedades.

El centroide geométrico de un objeto convexo siempre se encuentra en el objeto. Un objeto A-convexa no puede tener un centro de gravedad que está fuera de la propia figura. El centro de gravedad de un anillo o un tazón de fuente, por ejemplo, se encuentra en la central de vacío del objeto.

Si el centro de gravedad se define, se trata de un punto fijo de todas las isometrías en su grupo de simetría. En particular, el centroide geométrico de un objeto se encuentra en la intersección de todos los hiperplanos de simetría. El centro de gravedad de muchas figuras ( polígono regular, poliedro regular, cilindro, rectángulo, rombo, círculo, esfera, elipse, elipsoide, superelipse, superelipsoide, etc) puede ser determinada por este principio.

En particular, el centro de gravedad de un paralelogramo es el punto de encuentro de sus dos diagonales. Esto no es cierto para otros cuadriláteros. Por la misma razón, el centro de gravedad de un objeto con simetría traslacional no está definido (o se encuentra fuera del espacio envolvente), debido a una traducción no tiene ningún punto fijo.

Método de línea de plomada.

El centroide de una lámina de dos dimensiones uniformes, tales como (a) a continuación, se puede determinar, de forma experimental, utilizando una plomada y un alfiler para encontrar el centro de masa de un cuerpo delgado de densidad uniforme que tiene la misma forma. El cuerpo está en manos de la clavija insertada en un punto cerca del perímetro del cuerpo, de tal manera que puede girar libremente alrededor del perno y la plomada se deja caer desde el pasador (b). La posición de la plomada se traza en el cuerpo. El experimento se repite con la clavija insertada en un punto diferente del objeto. La intersección de las dos líneas es el centro de gravedad de la figura.

Este método puede ser extendido (en teoría) a las formas cóncavas en el centro de gravedad se encuentra fuera de la forma, y los sólidos (de densidad uniforme), pero las posiciones de las líneas de plomo deben ser registrados por cualquier otro medio de dibujo.

BIBLIOGRAFIAS:

http://www.intertech.upv.es/pdf/education/Urchueguia/FF1/Tema4.pdf

3.5 Otras Aplicaciones

2011-06-13T16:57:00.000-05:00

Centro de masa

La conservación del momento total nos da un método para analizar un "sistema de partículas". Un sistema tal puede ser virtualmente cualquier cosa (un volumen de gas, agua en un recipiente o una pelota de béisbol). Otro concepto importante nos permite el análisis del movimiento general de un sistema de partículas. Comprende la representación del sistema entero, como una partícula sencilla cuyo concepto se iniciará aquí.

Si no hay alguna fuerza externa que actúe sobre una partícula, su cantidad de movimiento lineales constante. En una forma similar, si no hay alguna fuerza que actúe sobre un sistema de partículas, la cantidad de movimiento lineal del sistema también es constante. Esta similitud significa que un sistema de partículas se puede representar por una sola partícula equivalente.Objetos móviles taIes como pelotas, automóviles y demás, se pueden considerar en la práctica como sistemas de partículas y se pueden representar efectivamente por partículas simples equivalentes cuando se analiza su movimiento. Tal representación se hace por del concepto de centro de masa (CM).

El Centro de masa es el punto en el cual se puede considerar concentrada toda la masa de un objeto o de un sistema.

Aun si el objeto esta en rotación, el centro de masa se mueve como si fuera partícula. Algunas veces el centro de masa se describe como si estuviera en el punto de equilibrio de un objeto sólido. Por ejemplo, si usted equilibra un metro sobre su dedo, el centro de masa de la varilla de madera está localizada directamente sobre su dedo y toda la masa parece estar concentrada ahí

La segunda ley de Newton se aplica a un sistema cuando se usa el centro de masa

F=MAcm

En donde F es la fuerza externa neta, M es la masa total del sistema o la suma masas de las partículas del sistema (M = m1 + m2 + m3+...+mn),donde el sistema tiene n partículas), y ACM es la aceleración del centro de masa. La ecuación dice que el centro de masa de un sistema de partículas se mueve como si toda la masa del sistema estuviera concentrada alli, y recibiera la acción de la resultante de las fuerzas externas.

Relación del Cm con el moméntum.

El CM se relaciona con el moméntum en la forma que nos ayuda a encontrar el CM de un sistema, es decir que esto nos ayuda a encontrar el punto en que no hay torque alguno por parte del sistema.

En este punto de aquí la hoja no daría torque alguno si tuviera un sustento.

Ejemplo 1: Encontrar el cm

Tres masas, de 2.0 kg, 3.0 kg y 6.0 kg, están localizadas en posiciones (3.0, 0), (6.0, 0) y (4.0,0), respectívamente, en metros a partír del origen ¿En donde está el centro de masa de este sistema?

Dados : m1 =2.0kg Encontrar: Xcm (coordenadas CM)

m2=3.Okg

m3=6.Okg

x1 =3.0m

x2=6.0m

x3=-4.Om

Luego , simplemente realizamos la sumatoria como se indica en la ec. 6.19,

Xcm = Sumatoria m1 x1

(2.0 kg)(3.0 m) + (3.0 kg)(6.0 m) + (6.0 kg)( 4.0 m)

2.0kg + 3.0kg + 6.0kg

La resolución = 0, por lo que sabemos que el centro de masa está en el origen

BIBLIOGRAFIA
http://buscador.rincondelvago.com/CALCULO+DE+CENTROIDES

4.1 Definición de serie

2011-06-08T10:40:00.001-05:00

Una serie aritmética es la suma de una sucesión de términos. Por ejemplo, una serie interesante que aparece en muchos problemas en ciencia, ingeniería, y matemática es la serie geométrica r + r² + r³ +r⁴ + ... donde ... indica que la serie continúa indefinidamente.

Una manera común de estudiar una serie particular (siguiendo a Cauchy) es definir una secuencia que consiste en la suma de los primeros n términos.
Por ejemplo, para estudiar la serie geométrica podemos considerar la secuencia que suma los primeros n términos:

Dada la sucesión {an} la serie formada por los términos de dicha sucesión se representa como : å an y corresponde a la suma de todos los términos de la sucesión.

Carácter de una serie.
Convergente : Cuando la suma es un número real.

Divergente : Cuando la suma da + o - infinito.

Oscilante : Cuando no es ninguna de las anteriores.

Propiedades generales de las series numéricas
å an = S entonces å K an = K S Solo si k es nº real distinto de 0

Si å an es divergente no podemos saber nada.

Al suprimir añadir o modificar un número finito de términos de una serie el carácter de una serie no se modifica, si bien cuando la serie sea convergente la suma puede serse alterada.

4.1.1 Finita

2011-06-06T10:54:00.001-05:00

Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos

a n

como

donde n es el índice final de la

serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, .

Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si no existe o si tiende a infinito; puede converger si

Serie finita

x i

= 0

para todo

i

>

n

y i

= 0

para todo

i

>

m

. En este caso el producto de

Cauchy de

Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.

Serie infinita

§ Primer ejemplo. Para alguna

por definición y la fórmula binomial. Dado que, formalmente se ha demostrado que

Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series (véase debajo), se ha demostrado por lo tanto la fórmula

exp(a

+

b) = exp(a)exp(b)

para todo

Segundo ejemplo. Sea

x (n) = 1

para todo, por lo tanto el producto de Cauchy

fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica

4.2 Serie numérica y convergencia Prueba de la razón (criterio de D´Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy)

2011-06-02T21:01:00.000-05:00

El Criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera.

Definiendo con n a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos L al límite para n tendiendo a infinito de

se obtiene un número L, con los siguientes casos:

El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:Sea:

Tal que:

f(n) > 0 (o sea una sucesión de terminos positivos) y

f(n) tienda a cero cuando n tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)

Se procede de la siguiente manera:

con n tendiendo a infinito.

Así obtenemos L y se clasifica de la siguiente manera:

L < 1 la serie converge

L > 1 la serie diverge

L = 1 el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie

tal que

a k

> 0

(serie de términos positivos). Y supongamos que existe.

Entonces, si:

L

< 1

, la serie es convergente.

L

> 1

entonces la serie es divergente.

L

=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

FUENTE:

http://es.wikipedia.org/wiki/Criterio_de_d'Alembert

4.3 Serie de potencias

2011-06-01T09:20:00.003-05:00

Una serie del tipo

A menudo consideramos la serie de potencias en una forma más general:

Donde a es otra constante. De hecho, por el Mathboch de “Aplicaciones de las derivadas” sabemos que este tipo de series reciben el nombre de series de MacLaurin y de Taylor, respectivamente. Una serie de Taylor puede ser reducida a una de MacLaurin mediante el siguiente cambio de variable:

En lo que concierne a la convergencia de series, trataremos sólo las series de MacLaurin puesto que las de Taylor se reducen a las primeras mediante un simple cambio de variable.

• Convergencia de una serie de potencias

Investiguemos la convergencia de una serie de potencias de MacLaurin cualquiera. Asignando un

Valor numérico particular a la variable x , se obtiene una serie que convergirá o divergirá

Dependiendo del valor de la x .

BIBLIOGRAFIAS:

http://www.satd.uma.es/a_valverde/aula-calculo/calculo.html
http://www.ugr.es/~fjperez/Ejerc_suc_ser_func_screen.pdf

4.4 RADIO DE CONVERGENCIA

2011-05-30T18:01:00.002-05:00

El radio de convergencia de una serie de la forma , con , viene dado por la expresión:

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma , con , recibe el nombre de serie de potencias centrada en $x 0$ . La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de $x$ que verifica que $| x - x 0 | < r$ , donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de $x$ pertenecientes al intervalo $(x 0 - r,$ $x 0 + r)$ , ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para $x 0$ , $r = 0$ . Si lo hace para cualquier valor de $x$ , $r =$

Radio de convergencia finito

La función $1 / (1 - x)$ en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia $x - x 0 = x - 0 = x$ , tiene el siguiente aspecto:

(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es $r = 1$ . Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al $x 0 = 0$ es menor que $r = 1$ , por ejemplo el $x = 0.25$ , entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el $x = 2$ , los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

Distancia a la singularidad

El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función $1 / (1 - x)$ en su desarrollo con centro $x 0 = 3$ tiene la forma:

Pero en este caso su radio de convergencia es $r = 2$ . Notemos que la función $1 / (1 - x)$ tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: $| 0 - 1 | = 1$ y $| 3 - 1 | = 2$ . Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:

Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es . Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador.La serie

Radio de convergencia infinito

Por ejempo, la función $e x$ puede desarrollarse en series de potencia de $x - 0 = x$ , de hecho .

y esto vale para todo real $x$ por eso el radio de convergencia será infinito.

4.5 Serie de Taylor

2011-05-27T12:27:00.005-05:00

En una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma:
sin (x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13

Aquí, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylo

4.6 REPRESENTACION DE FUNCIONES

2011-05-25T12:55:00.000-05:00

El estudio de las sucesiones y series de de funciones constituye un apartado de capital importancia en Matemática. En particular, el concepto de convergencia uniforme, además de brindar la acotación más sencilla del resto, nos muestra que una serie uniformemente convergente se comporta, en muchos aspectos, como la suma de un número finito de funciones. Pero es más, la convergencia uniforme, nos proporciona importantes teoremas sobre el límite, continuidad, derivación y de pasaje al límite bajo el signo de integral para sucesiones y series de funciones.

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x

Serie geométrica

Teorema del binomio

Funciones trigonométricas

Donde B_s son los Números de Bernoulli.

Funciones hiperbólicas

Consultado en:

http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor

http://www.itescam.edu.mx/principal/webalumnos/sylabus/asignatura.php?clave_asig=ACF-0902&carrera=IIND-2010-227&id_d=137

· Swokowski Earl W. Cálculo con geometría analítica segunda edición , grupo editorial Iberoamérica.

4.7 Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor

2011-05-23T12:16:00.002-05:00

Sea f una función con derivada n-ésima en el punto x0. Entonces existe un polinomio P(x) y sólo uno de grado ≤ n que llamaremos de Taylor la cual satisface :

F(x0) P(x0); f´(x0) P´(x0); ......;fⁿ⁾⁽x0) Pn(x)

Dicho polinomio viene dado por:

Pn(x) = f(x0) + f´(x0)(x − x0) + 1/2! f´´(x0) (x − x0)² +. . . . . . + 1/n! fⁿ⁾(x0)(x − x0)n

· Sea n ∈ ℕ, f : [a, b] → Ɍ tal que f y sus derivadas f´, f´´, . . . . , fⁿ⁾ son

continuas en [a, b] y fⁿ⁾1Þ existe en (a, b).

Si x0 ∈ [a, b] entonces para cualquier x

en [a, b] existe un c entre x y x0 tal que

f(x )= f(x0) (+f´(x0)(x−x0) + 1/2! f´´(x0)(x − x0)² +. . . . 1/n! fn)(x0)(x−x0)n + Rn(x) donde Rn(x) 1 (n + 1)! fn1(c)(x − x0)ⁿ⁺¹ y le llamaremos resto de Lagrange.

Luego f(x) =Pn(x) +Rn(x)

· Si f es una función n veces derivable en el punto x0 y Pn(x) es su polinomio de Taylor se cumple:

x→x0

lim f(x) – Pn(x)/

(x − x0)ⁿ = 0

Polinomios de Taylor de orden 1 y 2

de la función f(x) = exp x

Aplicación al cálculo aproximado de valores de una función

1. El Rn en el teorema de Taylor se puede usar para estimar el error al aproximar una función mediante su polinomio de Taylor.

Si el número n se fija de antemano, entonces se plantea la cuestión de la precisión de la aproximación. Si se especifica la precisión entonces la cuestión será encontrar un n adecuado.

2. La sustitución de una función por su polinomio de Taylor tiene validez local, es decir, la aproximación es buena en un entorno del punto.

3. La fórmula de Taylor también puede evaluarse si una función cumple los requisitos del teorema de Taylor en un intervalo [x, x0] teniendo en cuenta que, en ese caso, c pertenecería al intervalo(x, a).

Pertenece a: MDX (Materials Docents en Xarxa)

Descripción: Enginyeria informàtica. II26: Processadors de Llenguatge

Autor(es): Vilar Torres, Juan Miguel