Res Gestae

マネー・ボール

2017-02-13T12:55:00.000+09:00

セイバーメトリクスを用いて貧乏メジャーリーグ球団アスレティックスがヤンキースなどの金満球団と互角以上の成績を収める物語。主人公は将来を嘱望された野球選手ビリー・ビーン。「ビリー・ビーンというのはこっちに夢をみさせてくれる」ほどのプレイヤーで、成功はどのスカウトも疑わないほどの資質にめぐまれながら、失敗にうまく対処・適応できずフィールドを去っていきます。しかし、スカウトとして再起し、アスレティックスのGMとして活躍します。

セイバーメトリクスはかなり前にその手の本を読んだことがあったので、バッターの資質として大事なのは打率や打点ではなく出塁率＋長打率、いわゆるOPSまでは知っていましたが、長打率よりは出塁率が４：１の割で重要であるとか、投手の成績では奪三振率、与四死球率、被本塁打率という投手がコントロールできる数字が大事であり、守備が関係する防御率は重要ではないなど、知らない知識も盛りだくさん。特に、投手の被安打率は単なる運・不運の問題で、上記の3つの数値がほぼ同じ投手でも人や年によって被安打率はバラつくとのこと。

ということで、おすすめの本です。

人工知能は人間を超えるか

2017-01-29T10:22:00.000+09:00

大関先生の「機械学習入門」の巻末で紹介されていた人工知能に関する入門書です。

人工知能には過去３度のブームがありました。第１次ブームでは推論を行うプログラムで、迷路を解いたり、ハノイの塔をプレイしたり出来ましたが、現実的な問題は扱えませんでした。
第２次ブームは知識をいれて現実的な問題を扱えるようにしました。診断して薬の処方を行うMYCINに代表されるエキスパートシステムです。しかし、ヒトの知識をプログラムで表現することは膨大な作業であり、知識量が増えれば増えるほど大変なものとなりました。理由は、知識は言葉で表されますが、言葉は「意味」や「概念」と結びついています。この結びつきをプログラムで表すのができなかったのです。こうした問題を扱うのがオントロジーという分野で、オントロジー研究の究極の形がIBMの開発したワトソンです。ワトソンはクイズ番組で人間のチャンピオンに勝ったことで有名になり、現在は医療診断や料理のレシピの考案を行っているそうです。

一方、第３次ブームのブレイクスルーはディープラーニングがもたらした特徴表現学習の進化です。特徴表現学習とは、データから特徴と特徴間の相関ルールを自動的に抽出する学習のことです。そのブレイクスルーをもたらしたのが２０１２年の世界的な画像認識のコンベンションILSVRCでカナダのジェフェリー・ヒントンの率いるトロント大学の開発したSuper Visoonです。

過去の人工知能や機械学習の最大の問題は認識や予測の精度を左右する特徴量をヒトが探して組み合わせてきたことでした。例えば競馬予想なら過去の勝率や走破タイムが大事だとヒトが予想し、それを勝率を計算する確率にインプットして、インプットの仕方だけ自動的に学習します。また、ある画像がどういった画像なのかを認識する問題でも同じで、画像のどういった特徴を捉えて分類するかをヒトが決め、それをもとにプログラムが自動的に最適な計算式を探します。すると、予想や分類の精度はヒトの特徴量を探す能力で決まることになります。

一方、ディープラーニングでは予測や認識でのキーとなる特徴量を自動的に探し、さらに特徴量と特徴量を結びつけることを多層のニューロンで行います。そうしたアイデアはニューラルネットのころからあったのですが、多層にしたときの学習がうまくいきませんでした。多層にすると局所的な最適解が増え、精度の向上がとまってしまうからです（「消滅する勾配」が原因ではない）。ディープラーニングでは自己符号化器という、入力と出力に同じ画像を用いることで特徴量やそれを組み合わせる高次の特徴量を学習し、それを用いて画像を認識することに成功したのです。

この自己符号化器のアイデアはなかなかおもしろいです。例に挙げられているのは、全国の都道府県の天気の情報を１０個の数値で他人に伝えるというゲームです。１０個の数値として、北海道、東北、北陸、関東、中部、東海などと代表的な値域の天気を伝えれば、それをもとに全国の天気を再現する精度が高くなる。１０個にまとめているので、完全に再現できませんが、少々天気にばらつきがあっても、ばらつきがならされて変な天気を予測することもありません。この１０個の数値が日本の天気の特徴であり、ディープラーニングではこうした１０個の数値や、それを組み合わせた高次の情報を自動で見つけることができるのです。

こうして人工知能はデータから特徴量や高次の特徴量を自動的に見つけるレベルに達しました。これは、概念や概念の間の関係を学習できるレベルに達したことを意味しています。すると、データとして時間変化するようなものを与えれば因果関係を学ぶことができ、学習する主体としての個が確立できるかもしれません。そうした個が他の個と情報をやりとりすることで並列化し、環境に対する高度な適応能力を獲得したとき、人工知能はヒトと同じレベルに達するのでしょう。

非常に刺激的な本で、大変勉強になりました。ディープラーニングの凄さがよく分かりました。

ゼロから作るDeep Learning

2017-01-25T16:06:00.002+09:00

ディープ・ラーニングDeep Learningが初等計算レベルから解説されているとの情報を見たので、勉強してみた本です。
うまくいけば、大学院の講義のタネ本としても使えるかとも考えたのですが、結論から言えば、そんなに楽な本ではありません。

目標はMNISTの０から９の手書きのアラビア数字を認識するプログラムの作成です。プログラム言語は機械学習での主流となっているPythonということで、Pythonの入門から始まります。算術計算、配列、グラフのプロットを扱います。第２章からニューラルネットワークの解説で、パーセプトロンでの論理回路の構成や単層のときの限界を解説します。パーセプトロンは、多数のチャンネルからのシグナルを線形変換し、しきい値を超えたら１を出力，超えなければ０を出力という単純な回路です。入力と出力の間の層が一層の場合、単純な計算しかできません。例えば、AND、OR、NANDという論理演算は出来ますが、XORはできません。しかし、パーセプトロンの層を多く（ディープ）することでコンピュータで処理できるどんな複雑な処理でも扱えることを説明します。

第３章では入力信号がしきい値を超えたら１、超えなかったら０では扱いにくいので、この入出力を表す活性化関数をシグモイド関数にしてなめらかにするか、または、ReLU関数というしきい値未満で０、しきい値以上で入力信号そのままを使うこと、行列を用いた入力と出力の関係の表し方、出力層として、信号からある選択肢の確率に変換するソフトマックス関数（多項ロジスティックモデル）を解説し、MINSTのデータで認識精度を計算します。この時点では３層（入力層＋２個の隠れ層）のニューラルネットワークで認識精度は93％です。

第４章ではデータでニューラルネットワークの膨大なパラメータを決める＝学習の手法の解説です。ニューラルネットの出力と正解の差（損失関数）を交差エントロピーで測ること、また、データすべてでなく、その一部をランダムに選んで学習するミニバッチ学習、また、損失関数を最小にするアルゴリズムである勾配法を解説し、第３章での９３％の認識精度であるニューラルネットを学習で構成します。

第５章は勾配法を効率よくすすめるための誤差逆伝搬法で、計算グラフでアッフィン変換と活性化関数を表し、誤差関数の微分計算を計算グラフを用いて計算する方法を解説します。また、第６章は勾配法などの数値手法のアルゴリズムを改善する話です。５章の計算グラフもですが、この第６章の興味深い。特に、活性化関数の出力がネットワークを流れていく過程でどのように変換するのか、また、どのどうに変化するべきなのか、についての説明があります。

第７章は画像認識で用いられる畳み込みニューラルネットワークの解説です。畳み込み演算を行う畳み込み層を用意するのですが、画像の２次元的な構造をうまく抽出するためのフィルターを用意する目的のようです。ニューラルネットワークワークを多層にする理由は、単純なフィルターを何層も通すことでネットワーク全体でのパラメータ数を抑えながら情報抽出の精度をあげることにあります。そして、第８章で畳み込みニューラルネットによるMINSTデータの認識精度が９９％を超え、間違った画像は人間にとっても見分けにくいものであることが示されています。

非常に勉強になったのですが、問題はPythonという言語を使ったことがないので、５章ぐらいまではプログラムも大体理解できるのですが、それ以降はPythonをちゃんと勉強してとりかからないと消化不良になる。

ということで、Pythonの勉強をしないといけなくなりました。そのあとでもう一度勉強しようと思います。大学院の講義ではRをベースに機械学習を扱う予定なのですが、こうしてPythonで書かれた本や、GoogleがPython押しであることを考えると、RよりPythonでやったほうがいいのかもしれません。

機械学習入門

2017-01-04T09:18:00.001+09:00

あけましておめでとうございます。2017年の最初のBlogの更新ですが半年ぶりです。今年はもうすこし更新回数を増やしていきたいと思います。

お正月に読んでいた本が、Twitterで流れてきた大関先生の「機械学習入門ーボルツマン機械学習から深層学習まで」という本です。機械学習には以前から興味があり、競馬予想にも取り組んだことがあります。といっても枯れた技術である多項・多重ロジスティック回帰で過去のデータをもとに馬の勝率を予想するものでした。機械学習としての新しさを目指したものではなく、馬券市場でのヒトの集団の予想精度はどの程度なのかを知るために、機械学習と比較したというものです。結論は、

１：ヒト集団の予想が明後日雨が降るかどうかの天気予報レベルとするなら、機械学習は明々後日の天気予報レベルである」

２：競馬新聞の記者一人の予想よりは高い精度で予測出来る。競馬市場の予測に勝つことはない

３：競馬市場の予測は競馬新聞の記者の予想を軸にオッズを微調整するものである。勝ち負けに関しては集合知が新聞記者の専門家集団に勝ることはない

というものでした。

ただ、「機械（学習）は専門家集団に勝てない」と結論するには、比較に用いたロジスティック回帰はあまりにも枯れた技術で、最新の機械学習手法ではない。ニューラルネットや最近はやりのディープラーンニング（深層学習）を使えばアルファGoのように専門家集団に勝てるかもしれないわけです。

また、競馬予想で機械がヒト（専門家集団）に勝てるのかとは別に、ヒトの自然における法則性の認識の問題は高校のときからずっと興味があり、これまた最近はやりのスパースモデリングの勉強もしたいと思っていました。ヒトが認識できる自然法則はヒトの認識にのどように縛られているのか、という問題に答えるにはデータサイエンスとしてヒトの認識をモデル化して理解する必要がある。

そんなか、Twitterのタイムラインに大関先生の「機械学習入門」の情報が流れてきたので、さっそく注文して読んでみました。内容は、しらゆき姫に登場する魔法の鏡をお后さまが機械学習で作り上げていくもの。

最初は、年齢や目のぱっちり具合などの要素をもとに、国民アンケートのデータを使って美人度を線形回帰モデルで作りましょうから始まり、線形だとあんまりなので、シグモイド関数を用いてニューラルネットでやりましょう、でも、ニューラルネットだと計算時間が発散するので、シグモイド関数をランプ関数という計算時間が劇的に短くなるものに変えましょう、これがディープラーンニングだ、という感じで展開します。

さらに、データに穴がある場合にデータを少数のパターンで生成するスパースモデリング、パターン生成において足し算しか使わない非負値制約行列分解、お肌の状態を知るための画像認識から画素間のつながりを考慮したボルツマンマシンという磁石のモデル、そして、ヒトが顔を認識する場合、画素を認識するのではなく、目や口といったパーツをベースにしていることをもとに隠れ変数モデルと、研究の最前線まで一気にすすみます。

なかなか盛りだくさんで消化不良の部分も多いのですが、機械学習で精度を上げてもヒトの現象の理解にはつながらないので現状のどこをよくすればよいのかのアイデアにはつながらない。それよりもデータのパターンを機械学習で認識した上で、それをヒトが読み、その上で機械学習でモデル化することで現状を改善するヒントにつなげていく。

今年は機械学習の勉強に励んでみようと思います。後期の大学院の講義は機械学習チュートリアルで回帰モデルあたりからディープラーニングを扱ってみましょう。とりあえず巻末の参考文献を片っ端から注文して読んでみて、競馬や現在扱っている選挙のデータのパターン認識や予測で遊んでみたいと思います。後期までに間にあうかが問題ですが、今月１０日が大学院の講義のシラバスの締め切りなので、見切り発車になりそうです。

今年の抱負でした。

ちなみに、今年の研究は、日本やアメリカの選挙のモデル、非定常多腕バンディットのナッシュ均衡の集団実験による検証、外部情報のある非線形ポリア壺の情報伝達、２ｃｈ掲示板のスレッドの効用の推定と書き込み数予測などをやっていきます。卒研生が６名、大学院２名なので、新し題材を探しながらの自転車操業になりそうですが。

オープンラボ「社会現象を物理で記述するには」II

2016-08-27T10:13:00.003+09:00

オープンラボ「社会現象を物理で記述するには」の続きです

情報カスケードでのヒトの選択をモデル化する方法です。多数のヒトが順番に、前のヒトの選択の情報を見ながら選択する確率法則を数式で表すのでした。 S=1,0でAが正しいと思うか、Bが正しいと思うかを、Ca,CbでA,Bを選んだ人数を表したとき、(S,Ca,Cb)の状況でAを選ぶ確率を

Pr(Aを選ぶ)=f(S,Ca,Cb）

と書きました。

選択肢A,Bには何の情報もない場合、確率50％で正しいと仮定します。すると、このf(S,Ca,Cb)は対称性を持っていることが分かります。それは、 Aが正しいと思い、かつA,Bの選択者数が(Ca,Cb)の状況でAを選ぶ確率は、Bが正しいと思い、かつA,Bの選択者数が（Cb,Ca)の状況でBを選ぶ確率に等しいというものです。Bを選ぶ確率はAを選ぶ確率を１から引いたものに等しいので、この対称性は

ｆ（S=1,Ca,Cb)=1-f(S=0,Cb,Ca)

と書くことができます。物理では、系の持つ対称性を使って、法則の形に制限をつけますが、ここでは、A,Bの対称性からf(S,Ca,Cb)に制限をつけたわけです。A,Bの選択肢が等価なことから来る対称性をZ2対称性と呼びます。この対称性を用いると、f(S=0,Cb,Ca)=1-f(S=1,Ca,Cb)なので、S=1 の場合のf(S,Ca,Cb)が計算できれば十分です。それでも2変数Ca,Cbの関数だと理解が難しいので、Ca+Cb=tの場合を考えてみます。つまり、すでにｔ人が選択を終え、t+1番目のヒトがどう選択するかです。S=１なので、Aが正しいと考えていますが、Ca＝０だとt人中ｔ人がBを選んでいるので、Aを選ぶ確率は小さいでしょう。そして、Caの増加とともにAを選ぶ確率が増加し、Ca=t/2ぐらいでほぼ１になるはずです。

では、実験の説明です。選択肢A,Bを等価にしたいので、二つの選択肢A,Bを用意し、実験の最初にランダムに正解を決めます。つまり、A、Bが正解の確率は５０％で等しいです。そして、多数のヒトが順番に選択していきます。ｔ＋１番目の回答者はｔ人分の選択者数情報(Ca,Cb)を知った上で選択しますが、正解に関する情報を誰も知らないままだと(Ca,Cb)に意味はなく、自分も情報がないのでランダムに選ぶことになります。正解の情報を人々に伝える必要がありますが、情報カスケードの実験でよく使われる手法を採用します。選択肢A,Bを赤球・青玉が（2個、1個）、または（1個、2個）の合計3個入った箱だとします。最初の正解XをA,Bからランダムに選びます。そして、実験参加者は箱Xni手をいれて玉を選び、その色を確認できるとします。もし、赤球だとすると、箱Aには2個、箱Bには1個赤球が入っていたので合計3個の赤球がありますが、Aから選ばれる確率は2/3、Bから選ばれる確率は1 /3なので、箱XはAである確率が2/3、Bである確率が1/3であることが分かります。逆に、青玉を引いた場合は箱XがAである確率が1/3,Bである確率は2/3となります。この、3個中2個といった箱の中の玉の割り合いで回答者の情報をコントロールできるのがこの仕組みのよいところです。こうして、実験参加者は確率2/3で正しい情報を持ち、その情報と(Ca,Cb)で選択することになります。赤玉を引いたら箱XはAだと推測してS=1、青球なら箱 XはBだと推測してS=0です。

箱 Xが200個あり、すでに63人が回答しています。63名は2013年の実施した実験に参加してくれた北里大生126名のうちの63名です。１人100回回答したので、200個の箱に63人が回答するため126名に学生さんに被験者をお願いしました。実験参加の報酬は正解数に比例して謝金なので、まじめに回答しています。この200問から100問を選んで回答することになります。実験ではタブレットを使って回答してもらったのですが。今回のオープンラボではデータ解析まで行うので、パソコンを使います。回答画面が下図です。味もそっけもありませんが、実験を行うには十分です。

真っ黒な画面は、Rのコンソールです。Rとはデータ解析やそのためのプログラムを開発する環境です。今回の実験ではRを使って実験を行い、データを取得・解析します。sourceコマンドでプログラムを実行します。すると、[1]の横に

[1] q=6/9, as 63-th subject you answer 100 questions

とあり、実験状況を示しています。q=6/9とは、あなたの情報が正しい確率を表していて、q=2/3=6/9です。なぜ、q=2/3ではないかというと、他にq=5/9,7/9,8/9の情報の場合もあるからです。さらに画面を下がっていくと、

[1] Question No. 1

とあり、問題番号１であることが分かります。その次の行があなたが引いたボールの色でblueなので「青玉」であることが分かります。その次の行があなたより前に回答した人々の選択の状況で、あなたが63番なので、62人のうち、10人がR,52人がBであることが分かります。箱A,箱Bの代わりに、赤球 (Red)の多い箱を箱R,青玉(Blue)の多い箱を箱Bとしてます。

最後の行で

Please choose, Red('R') or Blue('B') ?

と表示され、箱Rなら'R'か’ｒ’、箱Bなら'B'か'b'をキーボードで押してリターンキーを押して回答します。全部で100問ですが、それほど難しい問題でもないので、次々回答していってください。毎回、回答後に正解か、不正解かが表示されます。

100問回答後に回答データを解析します。赤球のひとつひとつが回答を表しています。解析では、f(S=1,Ca)の関数の形を仮定し、そのパラメータをデータで推定しています。データ解析の詳細は明日のオープンラボで解説します。

当日使ったスライドです。

後日、このブログの内容は加筆・修正します。

オープンラボ「社会現象を物理で記述するには」

2016-08-27T10:13:00.002+09:00

今度の日曜（2016年8月28日）に大学のオープンラボとして、「社会現象を物理で記述するには」を行います。ヒトの従う物理法則を自分を被験者として実験を自分で行い、自分で自分のデータ解析を行って確認するものです。実験とデータ解析はRというデータ解析環境で実施します。ぜひ、参加して社会物理学という物理の新たな分野の研究の雰囲気を味わってください。

社会現象は多数のヒトの集まりの示す現象であり、集団挙動と呼ばれます。ヒトは他のヒトの影響を受け、そして自身も他のヒトに影響をあたえながら選択や行動を行い、社会現象となります。そのため社会現象を物理現象として扱うには、ヒトの選択や行動の従う物理法則を明らかにし、方程式で記述する必要があります。しかし、ヒトは自由意志に基づいて選択や行動を行うと考えられています。方程式のような決まった関係式でヒトを記述できるとは思えないかもしれません。ヒトはリンゴの木から落ちるリンゴとは根本的に異なると考えるのが普通です。しかし、ヒトは自由意志に基づいて選択・行動するといっても社会的動物であることで他人から影響を受けるため、その選択・行動は単純な法則に従い、方程式で書くことができます。

話を具体的にするために、選択を考えてみます。AかBのどちらかを選ぶ状況でヒトに法則性があるかどうかです。例えば、初めて訪れた観光地で道に迷ったとき、多くの人がすすむ方向に進んだりしないでしょうか？また、何軒かレストランがあるとき、情報が全くないなら、レストランのお客さんの数か多いかどうかを調べて、多いレストランに入ったりしませんか？このように、選択において十分な情報が不足しているとき、ヒトは他のヒトの選択や行動を参考にします。このようにして情報を得て選択・行動することを社会的学習と呼び、ヒトに限らず、群れをなす動物や社会性昆虫まで、多様な動物が行っています。親の世代から子の世代への有用な情報の伝達手法でもあります。ヒトは社会的学習によって文化を世代間で継承します。法律や慣習は他の人がそうするから従うのであって、多くの場合、それらの正しさとは関係ありません。また、学問は先人の得た有用な情報を先人の苦労を再度繰り返して自力で獲得するのでなく、教科書を学ぶことで効率的に行うものなので、究極の社会的学習ともいえます。

では、社会的学習にはどのような法則性があるのでしょうか？社会的学習は非常に一般的な抗y範囲にわたるテーマなので、話を明確にするために二拓のクイズに回答する場合を考えてみます。ただし、他人の選択の情報がないと社会的学習が行えないので、多数の人が一人一人順番に回答し、その回答結果を参考にして次のヒトが回答するものとします。最初のヒトは自分の情報だけで選択するしかありませんが、2番目のヒトは最初のヒトの回答を参考にできます。最初のヒトはAを選んだけれど、自分はBが正しいと思うからBを選択することも、自分の選択に自信がないなら最初のヒトの選んだAを選ぶことも自由です。3番目のヒトは最初の二人の回答を参考にして回答します。例えば、二人ともAだけれど、自分はBと思うからBを選択しても、自分もAが正しいと思うから最初の二人と同じくAを選ぶこともいろいろあるでしょう。

すると、一般的な状況としては、自分が正しいと思う選択肢が過去の回答者の回答の多数派と一致するかしないかの二つのパターンになります。一致するなら自分の正しいと思う選択肢を選べばよいでしょう。もちろん、自分より前の回答者が嘘をついて間違った選択肢をわざと選んでることもあるでしょうから、多数派の選択肢だからと言って正しいとは限りませんが、わざと間違えると自分の正解の数も少なくなって損をするので、通常はないと考えてよいです。レストランの選択でも、わざわざまずい店に入って他のヒトを惑わせるのは、そのお店からお金でももらわない限りやらないものです。社会的学習は他人の選択による情報のフィルタリング機能を使っているのです。

問題は、自分の正しいと思う選択肢が多数派の選択肢とバッティングする場合です。この場合、自分の選択肢に自信があるなら、それを選べば問題ないでしょう。自分より前の10人の回答が8人A,2人Bといった状況でもBが正しいと自信があるならBを選ぶべきです。8人がAを選らんでいても、その8人すべてがAに自信があるかどうかは分かりません。一方、自分の選択肢に自信がない場合は微妙です。こうした場合、つまり自分の持っている情報が不確実なとき、ヒトは多数派を選ぶ傾向が強くなることが知られています。そして、そうした傾向を情報カスケードと呼びます。

カスケードというのは、Wikipediaによると、「連なった小さな滝である。建築分野では人工的に作ったものを指す。さらにその派生として連続したもの、数珠つなぎになったものを意味する言葉として各分野で用いられる。日本語でのカスケードはこの派生用法が主である。」とあります。情報カスケードの場合、なにが連続する・数珠つなぎになるのかといえば、二拓の選択が難しく、誰も確かな情報を持っていないため、一度多数派ができてしまうと、あとのヒトは確実な情報がないことが多いので、多数派の選択肢を選び続けるので、多数派の選択肢の連鎖が起きるからです。ただ、情報カスケードは「あくまでも傾向」なので、確実にヒトは多数派を選ぶといってはいません。そのため、連鎖はいづれ止まります。みなさんの前の100人のうち90人がA,10人がBだったとしても、Bにすこし自信があればBを選択することは結構あるでしょう。このため、情報カスケードの連鎖は壊れやすい脆弱なものと考えられています。

まとめると、① 多数のヒトが不確実な情報をもとに順番に選択する場合、少数派が正しいと思っても過去の回答の多数派の選択肢を選択する傾向がある。②あくまで傾向、平均的な話なのでヒトによって異なる。③一度、多数派が出来てしまうと、その多数派の選択肢の連鎖が続くので情報カスケードと呼ばれる。④多数派の連鎖はいづれ止まる。

これが情報カスケードです。不確実な情報といっても、あるヒトは正解を知っているかもしれませんし、あるヒトは情報が全くないこともあるでしょう。そうした情報の不均一性はあっても構いません。

では、この情報カスケードという法則を方程式で表しましょう。ニュートンの方程式は、どんな物体の運動でも成立する「力」と「加速度」「質量（物体の重さ）」の関係式でした。それは、物体に働く「力」は、「質量」と「加速度」の積に等しい」というものです。この関係式は「力」と「質量×加速度」を等号で結び付ける方程式として書くことができます。

ニュートン方程式：質量×加速度＝力

この方程式を解くことにより、物体の運動を計算することができます。現在の物体の情報（位置と速度）があれば、未来の物体の情報を計算し、物体の運動の軌跡を描くことができるわけです。

一方、情報カスケードの場合、多数のヒトの平均的な法則＝傾向なので、単純な関係式では書くことはできません。このような、平均的な話、傾向の場合、確率を使って法則を式で表します。Aを選んだ人数をCaとBを選んだ人数をCbとかき、かつAを正しいと思うか、Bを正しいと思うかを変数Sで表すとします。S=1はAが正しいと思う、S=0はBが正しいと思う状態です。そして(S,Ca,Cb)の状況でAを選ぶ確率をPr(Aを選ぶ）を関数f(S,Ca,Cb)で表すことにします。

Pr（Aを選ぶ）＝ｆ（S,Ca,Cb）

Pr()は()の中に書いたことが起きる確率(probability)を表しています。確率なので、同じ状況が多数回あったとしたときの（）の中のことが起きる比率しか分かりません。この確率はヒトによって異なるでしょうが、情報カスケードでは多数のヒトが回答するので、多数のヒトの平均的な確率を使います。こうした法則を「確率法則」といいます。

(Ca,Cb)=(0,0)のとき、S=1ならAが正しいと思っているのでf(1,0,0)はほぼ１になるでしょう。また、S=0ならほぼゼロになるはずです。また、S=1で、Ca>Cbでもf(S,Ca,Cb)はほぼ１になり、S=0でCa一方、情報カスケードにおけるヒトの選択は、Ca>Cbのとき、Bが正しいと思ってもAを選ぶ傾向が強いというものだったので、

もし、CaがCbより大きいなら、f(S=0,Ca,Cb)>f(S=0,0,0)

となります。しかし、物理は数値的に現在の状態から未来の状態を予言するものなので、不等式で確率法則を記述したのでは不十分です。実験を行ってヒトの振る舞いのデータを集め、それをもとにf(S,Ca,Cb)を決定する必要があります。

まとめると、①ヒトの場合は他のヒト、動物の場合は他の個体の影響を受けながら選択・行動する状況では、選択・行動は確率法則として記述できる。②確率法則は実験で決定する必要がある。

では、情報カスケード実験を行ってヒトの選択の法則を見てみましょう。

ストレートはホップするのか？

2015-06-17T13:32:00.001+09:00

２０１５年３月の社会物理学の研究会＠統数研で國仲さんが「野球ボールの反発係数とホームランの確率」に関する講演をされたのに触発されて、「ピッチャーの投げたボールがホップすることはあるのか？」という疑問について調べてみました。ピッチャーがキャッチャーミットを目掛けて投げたボールが、バッターから見ると重力に逆らって上昇するように見えることを「ホップする」というのですが、そんなことがありうるのかという問題です。

「普通に」ボールを投げると、重力の効果でボールの軌道は落ちるのが当たり前なのですが、ピッチャーが投げるストレートという「変化球」では、ボールが高速にバックスピンした状態にあるため、ボールの縫い目がボールのまわりの空気をかき混ぜることによりマグヌス力が働きます。そのマグヌス力の向きは、ボールの進行方向と回転軸に垂直な向きで、ボールが地面に並行に直進する場合は真上、キャッチャーミットを目掛けて投げ下ろしている場合は若干前のめりの上向きとなります。ちなみに、縦カーブ、ドロップという変化球では、ボールがトップスピン（前転の状態）していて、ストレートとは逆の向きに、つまり重力と同じ下向きの力が働き、縦の落ちる変化が無回転のときと比べて大きくなります。もうひとつ蛇足ですが、ストレートを投げるときのボールの回転軸とボールの縫い目の関係で、ストレートはフォーシームとツーシームに分けられます。ボールが１回転するときに、縫い目が４本見えるならフォーシーム、２本ならツーシームで、フォーシームの方が縫い目の回転数が増えてボールのまわりの空気をかき混ぜる効果が強くなり、結果としてマグヌス力も大きくなると考えられます。一方、ツーシームはフォーシームよりマグヌス力が弱い。すると、同じ投げ方のストレートでもボールの握り方ひとつでマグヌス力が変化し、ボールの軌道が変化するわけです。問題は、バックスピンで働くマグヌス力の上向きの成分と重力の下向きの成分の大小関係と、それがストレートの軌道にどのような影響を与えるのかです。

マグヌス力の大きさはボールのスピンの大きさに依存します。ボールのスピンの大きさをボールの回転速度（回転数とボールの周長の積）をボールの速度の大きさで割ったスピンパラメータSで表すとします。Sの大きさはプロ野球のピッチャーなら0.25程度ですが、山本昌投手の場合毎秒５０回転の高速バックスピンのストレートを投げるそうで、球速を時速１４０キロとすると、Sは約0.3となります。つまり、ヒトの投げられる限界が0.3です。問題はSとマグヌス力の関係ですが、どうも単純な線形の関係ではなく、また、フォーシームとツーシームの差もほとんどないという実験結果もあるようです。簡単のため、マグヌス力の大きさはSρAv*vになるとします。ρは空気の密度、Aはボールの断面積です。v*vはボールの速度の自乗なので、球速ｖが早くなればなるほどマグヌス力は大きくなります。ボールに働く重力の大きさは、ボールの質量ｍ=0.145[Kg]で約1.4[N](ニュートン）。マグヌス力の大きさは、S=0.3で時速１５０キロとすると約2.8[N]で重力の２倍、時速１６０キロだと3.2[N]となります。つまり大谷投手が山本昌投手レベルのSのストレートを投げれば、マグヌス力は重力の２倍以上になり、ボールの上向きの加速の大きさはマグヌス力がゼロのボールの下向きの加速の大きさをうわまわることになります。

ボールの軌道を計算してみます。ボールには重力、マグヌス力の他に空気抵抗の力も働くので、それら３種類の力をニュートン方程式にインプットします。まず、時速１６０キロのボールを高さ1.8[m]から地面に水平に投げた場合の軌道です。Sの値を-０.1から0.3まで変化させてみます。まず、驚くのがS=0.3の場合です。ボールはキャッチャーミットに届いたとき高さは2.8メートルに達します。つまり１メートル以上「ホップ」しているわけです。一方、S=0の無回転のボールの場合、0.8メートルなので、１メートルほど落ちていることが分かります。こうしたボールはバッターから見ると普通のキャッチボールのボールの軌道なので予測がしやくする打つのが簡単なのだと思われます。一方、トップスピンのS=-0.1の場合、ボールは地面すれすれまで落下しています。縦カーブ、ドロップのSの値が分からないのですが、これがそうした変化球の軌道にあたるわけです。

ボールを地面に対して水平だと、ピッチャーの投げるボールの軌道としては変なので、キャッチャーミットでの高さが0.9[m]の場合の軌道を描いてきます。時速１６０キロのボールをS=0,0.0.25,0.3で投げたときと、山本昌投手のボールをイメージして時速１４０キロのボールをS=0.3で投げたときの軌道を描いたものが左の図です。驚くのが時速１６０キロのボールの場合、キャッチャーミットに入る時点でほぼ水平の軌道を描くことです。バッターはSがもうすこし小さい場合のすこし落ちる軌道を予測しているでしょうから、それからすると「ボールがホップしたように見える」としても不思議はありません。Sを0.3からさらに大きくするとボールの軌道は実際にホップし、キャッチャーミットに下から上に向けて飛び込んでくるのですが、そうしたボールを投げることは難しいでしょう。もうひとつ驚いたのが青の１４０キロのボールをS=0.3で投げたときの軌道です。それは１６０キロをS=0.25のボールとほとんど同じ軌道となっていて、山本昌投手のボールが大谷投手の投げる普通のバックスピンのボールとほぼ同じ軌道を描くことを意味しています。

ここまで計算してきて思うのは、「この結果はどこまで正しいのだろう？」ということです。ボールに働く力として重力、空気抵抗、マグヌス力を取り入れていますが、ボールの回転軸は動かずSの値もずっと一定としていますし、マグヌス力の大きさの見積もりも、実験データを参考にはしていますが、大雑把なものです。ストレートの真の軌道を描くには、ボールのまわりに空気の流れまで含めて計算しないといけないでしょう。上の結果はあくまでも参考のためのものです。しかし、数値計算としてはなかなか楽しめました。

ちなみに、今回の数値計算はRのパッケージdeSolveを用いています。スクリプトball1.R,ball2.Rを参考までに置いておきますでので、ご興味のある方はボールの軌道を描いてみてください。

Rで微分方程式

2014-11-09T23:45:00.001+09:00

微分方程式を解かず（積分せず）に＆楽に解（結果）を知りたい。大学で習うのは簡単に積分できる簡単な微分方程式ばかりですが、興味深い微分方程式の多くはそうした簡単に積分できるものばかりではありません。むしろ興味深い性質を持つのは簡単に積分できないからということも多く、そうした場合にどうするかがいつも頭の痛い問題でした。もちろんMathematicaを用いるとか、お金がないならOctaveを使うとか、微分方程式をコンピュータに解かせることはできるのでしょうが、それを学生にやらせるにはいろいろな問題があります。例えば、フリーでないので、学生の自習用に同じ環境を学生のパソコンに用意するのが難しいとか、数値計算でしか使わないソフトを習得させるためのコストを学生は払う価値があるのか、なのです。

そこで、フリーで自由にインストールして自習環境が容易に準備可能＆数値計算専用ソフトと遜色ない数値解析能力＆他の用途にも使用可能という3つの条件を満たすものとして、RとdeSolveというパッケージに着目し、3年前期の選択科目「コンピュータ数値計法」で扱うことにしました。2年後半の「統計データ解析」でRを使ってデータの統計解析（記述統計、回帰分析、母数の推定・検定など）を扱っているので、同じRの環境で数値計算を学んだほうが学生のコストを抑えられるという考えもあります。

deSolveは微分方程式を数値積分するRのパッケージで2010年に公開されたもの。もともとRにはodesolveという常微分方程式を数値積分するパッケージ(2001)があったのですが、それを徹底的に強化し、常微分方程式、拘束条件のある常微分方程式から、遅延のある常微分方程式、偏微分方程式を数値積分する環境としたものです。

このdeSolveのチュートリアルとして書かれたのが、K.Soetaert,J.Cash and F. MazziaによるSolving Differential Equations in Rというテキスト。K.SoetaertはdeSolveを開発者の一人です。

テキストは数値積分のアルゴリズムとdeSolveで用いるアルゴリズム、計算誤差の議論から始まり、さまざまな微分方程式をdeSolveで解く方法が解説されています。

例えば、左に示した二つの図は、第8章の偏微分方程式の差分解法のあとの第9章で扱っている熱伝導方程式、波動方程式、ラプラス方程式、１次元および2次元のブッルッセレータ方程式、サインゴルドン方程式、非線形シュレーディンガー方程式のうちの2次元ブルッセレーター方程式（上の図）と非線形シュレーディンガー方程式（下の図）を数値積分した結果を示したものです。

ソースコードは初期条件や格子の差分化の指定などを含めても10数行の短いもの。それでこうした結果を得られるのは素晴らしいの一言。時間が出来たら2次元ナウ゛ィエストークス方程式を数値積分して対流から乱流になる様子をローレンツ方程式と比較してみたいと思います。示したいのは波長の短い撹乱が長波長側には影響せず、バタフライ効果がないこと。つまり、ブラジルで蝶が羽ばたいてニューヨークでハリケーンが起きるなんてバカなことはないことを数値計算で検証したいだけなのですが、deSolveを使えば楽に出来そうで楽しみです。

下は2次元サインゴルドン方程式の解のスナップショット。

情報カスケードとドミノ効果

2014-10-16T09:16:00.002+09:00

ヒトが順番に二択のクイズに回答する。自分より前に回答した人たちがどのように選択したかを教えたときどうなるのか？簡単な問題であれば、順番が前の人々がたまたま間違った選択肢を選んだとしても、後の人で正解を知っている人が正解を選び、いづれ正解を知っている人が多数派になります。そうなると正解を知らない人は多数派を選べば正解を選ぶことになり、正答率は上昇します。このような、たまたま最初に間違っても、いづれ多数派が正解を選ぶ状況を自己修正的であるといいます。この「自己」というのは、系の性質（問題が簡単なので、正解を知っている人の比率が高い）により系が自力で自動的に修正するためこう呼ばれています。また、正解を知らない人は多数派を選択ぶ傾向が強いため正答率が上昇しますが、このことを「集合知効果」と呼びます。

一方、難しい問題の場合、こうした修正機能や集合知効果がうまく働く保証はありません。正解を知っている人が少ないため、一旦多数派が不正解となってしまうと、それを修正するだけの正解を知った人が現れる前に、正解を知らない人が誤った多数派にどんどん流れ込んでくるため、修正されなくなるのです。こうした性質を「非自己修正的」と呼びます。このとき、正解を知らない人は多数派を選んでも正解とは限らないため、集合知効果はないか、あったとしても非常に弱くなります。

では、系が自己修正的か、非自己修正的かをどう判断すればいいのでしょう。自己修正的の場合、系の正答率は1/2より大きなある値に収束します。一方、非自己修正的な場合、正答率は1/2未満のある値か、1/2より大きなある値の二つの値のどちらかに収束します。つまり、ヒトが次々回答するときに正答率がどの値に収束するかで判断するわけです。実際、最初に集団実験で検証したときは、ノーヒントで自分の知識だけで回答したときの正答率が70%,80%の簡単な問題の場合、正答率は90%まで上昇して自己修正的。一方、50%,60%の難しい問題の場合、正答率は80%から90%に収束することもあれば、20%に収束することもあって集合知効果は弱く、非自己修正的になっていました。

左の図が、過去4回の集団実験の結果を示したものです。（実験の名前のカッコの中の数字は、クイズに回答した人数を表しています。）横軸はノーヒントでの正答率、縦軸は過去の回答を参考にしたときの正答率を表します。ノーヒントの正答率が70％以上なら、概ね過去を参照した回答の正答率は上昇し80％から100%になっています。一方、ノーヒントの正答率が50%、６０％の難しい問題の場合、過去を参照した回答の正答率はノーヒントの正答率から上がることもあれば下がることもあることが分かります。

これは直感的でわかりやすいのですが、一番の問題は「カッチョ悪い」こと。要するに、見たまんま。また、正答率の分散がゼロか有限か、と言っても、実験で高々60人程度が回答するだけなので、本当にゼロに収束することはありません。では、もっと統計物理学者として「カッチョいい」「正統的な」方法はないのか？それが、ドミノ効果の測定でした。

ドミノ効果とは、ドミノ倒しの様子から連想されるような、一つの現象が次々と連鎖的に別の現象を引き起こす共同的な効果のことです。二択のクイズの場合は、最初の人が間違うかどうかが後半に回答する人への影響のことです。この影響を、最初の人と、順番がｔ離れたｔ＋１番目に回答する人の選択の相関関数で計測しC(t)と書くことにします。するとC(t)/C(0)という規格化された相関関数は、最初の人が正しいか間違うかでのt+1番目の人の正答率の差を表すようになります。この規格化された相関関数の振る舞いから、系が非自己修正的かどうかが判定できます。もし、C(t)/C(0)が十分大きなｔに対して正の値をとるなら非自己修正的となります。

つまり、ドミノ効果が無限に続くなら、最初に間違うと延々と続くので非自己修正的と言えるわけです。一方、C(t)/C(0)がゼロになっても自己修正的とは言えません。最初の人の影響が無視できるほど小さくなっても、後半の人々が集団的に間違う可能性は排除できないからです。

この規格化された相関関数の振る舞い（十分大きなｔに対してC(t)/C(0)>0）が系の非自己修正性の十分条件を与えることをもとに、データ解析（ECCS'14のプロシーディングとして投稿中）を行ってみました。上の正答率の散布図に示した実験のうち実験３(EXP3)のデータを用いて解析したものです。ノーヒントでの正答率が70％、80%の簡単な問題の場合、ｔが大きくなるとC(t)/C(0)はほぼゼロになります。一方、ノーヒントの正答率が50%,60%の難しい問題の場合、正の値にとどまっているように見えます。これを用いてｔが無限大のときのC(t)/C(0)の値を推定した結果
が水平線で示されています。その値は大体30%前後なので、最初の人が間違えることにより、後ろの人が間違える確率が30％も下がることが分かります（難しい問題の場合）。

ドミノ効果の測定が統計力学的に「カッチョいい」「正統的」であると言っている理由は、C(t)/C(0)のｔが無限大での値が相転移での「秩序変数」になっているからです。このことを用いると、図のようにC(t)/C(0)のゆらぎが大きくても、ｔが無限大での値を推測可能になったりと、データ解析を行う上でも重要な点です（つまり、「統計物理学者の自己満足ではない」といいたいわけです）。

この解析方法を用いて他の情報カスケード実験のデータ解析も行っているのですが、ヒトの持っている情報の精度が低い場合、非自己修正的という結論になりそうです（現在進行形）。ヒトのハード（群れる）の相互作用がいかに強いかを示していると考えられますが、逆にどういう仕組みにすれば自己修正的になるのか気になります。選択肢にオッズをつけるとかやってみましたが、うまくいきませんでした。

現代芸術鑑賞

2014-08-14T23:13:00.000+09:00

国立新美術館のオルセー美術館展にいって、イマイチ楽しめなかったので（最後の展示室の円熟機のマネの「ロシュフォールの逃亡」の海の青はよかったので、「すいつくような赤」とは違うマネの魅力を知ることができましたが）、家にもどってネットで現代芸術を検索して引っかかったのが、「現代芸術のハードコアは実は世界の宝である展」。金色の「ミニチュアのヴィーナス」（マーク・クイン）の画像を見て興味を持ち、調べてみると台湾の電子部品メーカーヤゲオコーポレーションのCEOピエール・チャンのコレクションの展覧会とのこと。8月24日までということなので、さっそく行ってきました。

国立近代美術館に行ってみると、門のところで「ミニチュアのヴィーナス」のモデルであるケイト・モスがヨガのポーズでお出迎え。チケットの行列でうんざりしたオルセー展とは違い、人も少なく、アートを楽しめる雰囲気。

展示は、マン・レイのジュリエット、サン・ユウ（常玉）の裸体から始まり、いままで名前も知らなかった作家の作品に触れることが出来、楽しめるものでした。サン・ユウの「アヒルとボート」、ホワン・ミンチャン（黄銘昌）のスーパーリアルな森林や田園の風景画、マーク・タンジーの「サントビクトワール山」、杉本氏の海の写真、「最後の晩餐」、（史上最高額の写真家らしい）アンドレアス・グルスキーの「V＆R」、どれもこれもスゴイ。もちろん、現代美術なので見ただけでは意味不明、説明読んでもよく分からない作品もありましたが、印象派の絵を見て楽しむのとは異なる、現代の美とはどうマーケットで定義されているのかを感じることのできる展覧会でした。

この展覧会のおもしろいところは美術史的な位置づけと同時にマーケットでの位置づけも行うこと、つまり、一つ一つの作品の価格やサン・ユウやマン・レイ、村上隆の落札価格の比較などを説明したりなど、マーケットでの評価を前面に出していることです。最近、美術品の落札価格が高騰しているということをあるブログで知ったのですが、それを裏付けるものでした。いい勉強になりました。

もっとも、、一番クールだと思ったのは、ピエール・チャンの家の写真。白壁に真っ赤なサントビクトアール山、美しい！

統計力学

2014-08-10T14:36:00.001+09:00

佐宗先生の量子統計力学に関する著書。「おわりに」では、「大胆な本を書いてしまった，と我ながら思う．」とあります。その意味は、統計力学の基礎づけを量子力学に置く点にあります。これは難しい問題で、統計力学が適用可能なのは、量子力学の方程式が計算できない（解けない）系の場合であることにあります。この場合、系の物理量の時間発展を量子力学で計算することはできません。つまり、「系が解けないからこそ統計力学は適用可能なのですが、解けない以上は、平衡状態とはどういう状態か分からず、その物理量＝平衡値も計算できず、統計力学の定式化には量子力学をまともに使うことができない」という構造になっているわけです。

このテキストでは、量子多体系の波動関数の時間変化から出発して、マクロな物理量を観測する時間Tとマクロな物理量の関係を議論して密度行列が出てくることを解説し、マクロな系の典型的な状態がマクロな系の状態のほぼすべてであることをもとにミクロカノニカル分布を導く点に特色があります。それを系が孤立している場合と、系以外の環境と接触している場合で行い、後者の例として、観測での波束の収縮も解説しています。観測時間Tは、十分短いことを前提としていて、従来の教科書によくあった「Tはほぼ無限大で、エルゴード性から長時間平均=状態での平均」といった、奇妙な定式化とは一線を画しています。

田崎先生の統計力学が「基礎づけには異論がある」「教科書には不向き」と「参考書」のところで書かれています。個人的には、量子多体系での典型的な状態が位相空間で占める割合がシステムサイズが無限大の熱力学極限で１になること、平衡状態の性質とはその典型的な状態の性質に他ならないこと、の2点に統計力学の基礎（ミクロカノニカル分布）をおく田崎先生のテキストのほうが、観測時間Tを導入しなくてすむ（一個のミクロな状態でOKなので、Tは無限小でよい）ため簡潔で理解はしやすいと思います。実際、「観測時間Tでの平均＝エネルギーがEの状態での平均＝密度行列ではエネルギーがEの状態の成分のみ」を導いたあとは同じ論理展開なので、熱力学で統計力学を基礎づける場合は、観測時間Tの議論がないほうが楽です。ただ、統計力学は熱力学極限の場合だけ適用できればいいというものではないので、有限の系＆観測時間Tでの物理量の計算を定式化し、実験で検証することは重要な問題です。

その他、イジング模型の平均場理論での比熱や自由エネルギーの計算が丁寧に書かれている点も参考になります。アマゾンの書評では「誤植が多い＆売り物以前」などと酷評されていますが、著者の書きたかったことを理解するのには障害とはなりません。ただ、熱力学を田崎先生や佐々先生の本などでしっかり学んでから読まないと、量子論だけで統計力学はできている訳ではないので、理解不十分となる点は注意が必要です。

更新

2014-04-22T14:16:00.002+09:00

前回の更新は8月末なので、7ヶ月ぶりのWEBページの更新です。昨年は、集団実験の実施やオッズの情報カスケード実験の論文などと平行して、ある論文をまとめるのに時間がかかりました。その論文は、０、１のデジタルの時系列において相関が非常に強く、べき則を示したり、相転移する場合の臨界的な振る舞いを相関距離とスケーリングという視点で理解するというものです。

タイトルは、

Finite-size scaling analysis of binary stochastic processes and universality classes of information cascade phase transition

詳しい解説はまた別の機会に行いたいと思いますが、この仕事が情報カスケードは相転移なのかどうか、Two-Peak相というself-correctingでない相が存在するのかどうかを考える際のベースとなるものです。高々数十名規模の集団実験データから、被験者数無限大の極限をどう推測するのか。しょせん推測であって、その極限である相が存在するかどうかを証明することは不可能なのですが、その証明不可能な問題に対してどこまで主張できるのか?

10/06追記：どうもレフェリーに次々と辞退されているようです。ジャーナルに投稿してからかなり経ちますが、エディターの作業経過を見てみると、レフェリーをお願いしたら、すぐ辞退か、お願いしてしばらくして催促したら辞退か、ということが繰り返されています。確かに、相関のあるRWの相転移をスケーリングで扱った論文が過去にない、などレフェリーが難しいのも事実。確率過程として解析するならあるのですが。１年以上かけた力作なので、また、実験データの解析を行う上で不可欠な論文なので、建設的でも批判的でも統計物理学者のコメントを頂きたいものですが、どうなるのか非常に心配です。

10/25追記：辞退(declined)のカスケードが止まりませんね。投稿して２ヶ月になるのに、誰も引き受けてくれない。相関のあるRWでの相関距離（時間）を定義して、過去に調べられている情報カスケードに関連するRWのスケーリング則と相転移の普遍クラスを理論的に求めただけなのに。情報カスケードの論文でdeclinedのカスケードが起きるとは。

2015/01/10追記：いまだに何にもなし。ジャーナルでは無理か？この論文で扱ったモデルを一般化した非線形ポリア壺の相関関数をスケーリングで解析する論文が完成したので、この論文はタイトルを短く「universality classes of information cascade phase transition」とし、イントロも簡潔にして別の雑誌に投稿し直すのがいいかもしれませんね。

2015/01/15追記：やっとレフェリーコメント到着。英語なので、日本人ではレフェリーを探せなかったのでしょうね。修正しないといけませんが、とにかくよかった。

2015/4/10追記：レフェリーとのやりとり2回でパス。レフェリーのdeclinedの連鎖が続いたとき（たしか7回か8回）はどうなることかと思いましたが。ジャーナルの編集者の方に感謝します。最初に投稿したPhys.Rev.Eではレフェリー１から、「お前たちが過去にやって実験の論文と全く同じじゃないか」という理由でrejectされたときは、「相転移の普遍クラスを分類する厳密な数理の論文がなぜ実験論文と同じと言われないといけないのか」とムカつくと同時に「この論文はどうなることか」と思ったものですが。次は非線形版の論文ですが、これはこれで苦戦しそうです。

熱力学から統計力学へ

2013-08-27T08:43:00.000+09:00

物理学科2年次必修科目の「熱統計力学I」のテキストがようやく完成しました。昨年度のものをベースにしたので、今年は修正と構成の一部変更、および「熱統計力学演習」のための章末の演習問題の作成だけでしたが、それでもなかなか大変でした。

あとは、データ解析のテキストを年末までに再編集して、こちらはKindle本として販売にトライしてみようと思います。LatexからEPUBへの変換がなかなか難しく、簡単にはいきそうもないですが、「熱統計力学」とちがって、データ解析のテキストのニーズは多いと思うので、なんとかしたいと思います。

H26.10.22追記:平成２６年度版をアップしました。講義で配布したものと同じです。必要な方はダウンロードしてご利用ください（購入ボタンとなっていますが、無料です。）。

木曾御嶽山

2013-08-04T09:03:00.001+09:00

４大山岳宗教の山は、富士山、立山、白山と御嶽山。御嶽山の開山は７世紀初頭らしく、室町中期から修験者による参拝登山が盛んになったとか。そうした線香くさいイメージもあり、また中々遠いので、これまで登ったことはなかったのですが、「ひとつの山としては日本で最大の山塊である」という紹介や、「神様のカルテ2」で主人公がハルさんにつれられ美女平から御嶽山を眺め、小説の最後にいっしょに登ったことから、今回登ってみることにしました。

新宿から朝8時10分の高速バスに乗り木曽福島へ、そしてロープウェイ駅まで再度バス。7号目のロープウェイ駅から8号目の女人堂（金剛堂）までは徒歩で、ついたのが午後4時。そのまま山頂を目指し9号目半まで登ったものの、女人堂での宿泊予定だったため撤退。翌日は朝6時前から登り始め、8時前に登頂し、お鉢めぐりをして、二の池、三の池、雪渓を経て下山。11時55分のバスにのり、木曽福島からはJRで帰宅、と密度の高く、足には結構来た山登りでした。

自殺と結婚と経済物理学

2013-07-25T00:31:00.002+09:00

B.M.RoehnerのEconophysics: challenges and promises An observation-based approachというテキストは「経済物理って物理なの？なぜ経済や社会現象を物理で研究するの？」という同僚や友人からの疑問に答えるためとのこと。

結論は、経済・社会現象は生命や脳といったホンモノの複雑系(Complex system)に比べれば、Complicated System(込み入った系）であり、なんとかなるはずである。こうした系の現象の難しさは、多くの要因が絡み合っているからであり、ある要因のみを切り出して、それが原因であることが示されれば、その原因にもどづくモデル化と異なる状況での予言と検証という物理学の研究手法が可能になる。その具体的な例としてあげているのが自殺と既婚率の関係。

左の表はさまざまな国、年代での既婚者と未婚者の自殺率の比を並べたもの。この表を見ると、誤差を含めても比はどれも1より上なので、未婚者の自殺率が既婚者のそれより高いことが分かります。男性の場合、平均2.3倍。では、この結果から、未婚であることが自殺の原因と結論できるのでしょうか？もちろんそんなことを主張できません。この表は未婚・既婚と自殺率の相関関係を述べたものであって、因果関係については何も分かりません。実際、未婚だから自殺しやすいのではなく、自殺しやすい人は性格的な問題やらなんやらで、結婚できないのかも知れません。これはフィッシャーが喫煙が肺がんの原因であるという因果関係を認めなかったのと同じ理屈です。煙草を吸ったから肺がんになったのではなく、肺がんになる人に煙草の好きな人が多いのかもしれません。

既婚・未婚と自殺率の因果関係を示すにはどうすればよいのか？理想的なのは、男性の集団をランダムに二つのグループに分け、一方は結婚禁止、もう一方は強制的に結婚させて、自殺率を計測し比較すればよい。これフィッシャーの実験計画法のアイデアなのですが、それは人道的に無理。では、どうするのか？そこで、Roehnerは、アメリカの鉄道建設に従事するために海を渡った中国移民の自殺率に目をつけました。その理由は、（1）中国移民での男性と女性の比率が最初は27倍から始まり、建設が進み時代が下がるとともに低下し最終的に1.02倍にまで低下したこと、（2）この移民集団の男性の未婚者は単に移民の中の女性の比率が低いから結婚できないだけの普通の男性の集団であることでした。つまり、実験としては理想的な環境となっているわけです。

すると、あとは既婚の男性と女性の自殺率、未婚の男性と既婚の男性の自殺率の比の3個のパラメータを用いたモデルで男女の比率に対して集団の自殺率を計算することは簡単です。その結果が次の図です。この図の中のモデルでは未婚男性の自殺率が既婚男性の自殺率の4.2倍として計算しています。図には、日本人の移民のデータ（赤丸）もプロットされていますが、日本人の場合、男女の比率のレンジが小さく、モデルの結果と合っているとは主張できません。一方、中国移民のデータ（星印）は、男女比の比率が１から6のレンジでモデルの結果と合っています。この結果、既婚・未婚が自殺の原因の一つであることが明確に示されたことになります。

テキストでは、この主張に対する反論として、（１）男女比率の低下と同時に移民が裕福になり、それが自殺率の低下の原因なのではないか、（２）同時期にアメリカの自殺率も低下したのではないか、があげられていますが、裕福な人の自殺率は高く、アメリカの自殺率に中国移民の自殺率と同じトレンドはないことから否定できるそうです。

このように、データをうまく使い、現象に関係する要因を一つだけ抜き出していくことで、因果関係に基づくモデル化が可能になり、予言か可能になる。

この話をある学生さんに話したら微妙なようでした。たしかに面白く話のネタにはなるのですが、物理の学生が目を輝かせて「僕もこうした研究をやりたい」と思うのかどうか？たぶん思わないでしょう。

研究の方向性として正しいけれどほとんどの場合無理。そもそも社会現象を記述するのに「物理」である必要があるのか？ビッグデータとさわいでいるのを見ると、因果関係なんかぶっとばして、相関関係だけで適当に予想するのがトレンド。複雑系の科学の目指した「要素に還元せず複雑なまま理解する」とはビッグデータの解析と予測のことではないのか？と最近思ったりもします。

WEBページのリニューアル

2013-07-05T15:52:00.001+09:00

今学期はデータ解析・数値計算のテキストの執筆や、カリキュラム変更で旧カリと新カリがダブって大学院までいれると全部で5コマ。なにも出来ない状況だったのですが、前期も終わりに近づきようやくひと息つける状況になってきました。そこで、WEBページのリニューアルと採択された科研費の研究課題「実験経済物理学による社会的学習と集団知の創発過程の解明」のサイト、秋に実施予定の集団実験の予約サイトの構築を終えました。

後期も前期と同じく5コマあり、卒研生6名、院生1名の指導と集団実験で忙殺されそうですが、まずはサイトができてメデタシメデタシ。しかし疲れた。

Minority GameとCrowd-Anticrowd　モデル　I

2013-02-25T14:47:00.000+09:00

今年の卒研のテーマのひとつとしてMinority Game(少数決ゲーム)を採用し、春頃から実験用サーバープログラムの開発と物理学科3年の選択科目「データ解析」の演習時間を用いた予備実験、そして北里祭での一般参加者による実験を行いました。その目的はタイトルにある、協力の創発がCrowd-anticrowdという仕組みで起きるのかを検証することでした。

Minotiry Game（少数決ゲーム）とは、2択の選択を複数の参加者で同時に行ってもらい、少数派の選択を選んだ参加者を勝ちとするものです。このゲームを同じメンバーで、毎回、過去の少数派の選択肢を周知するという情報だけをあたえて繰り返す。非常にシンプルなゲームであり、もともとはB.W. Arthurという経済学者がEl Farol Bar問題(1990)として定式化したものに由来します。人口100人の町にキャパシティー60人のEl Farolというバーがあり、人は今晩バーにいくかど家にいるかを決めるとする。バーにいって、バーの前にいる人数が60人以下ならバーにいって正解。61人を越えるなら家にいて正解。では、100人のうち60名がバーに、40名が家にという選択を実現するのはどうすればいいのか？これがEl Farol Bar問題。

経済学では人は他人の行動を含むあらゆる情報知り、すべての人が全知全能の存在として合理的に意思決定すると考える。しかし、Arthurは、人は限定合理的な存在であり、その限定合理性を「人は過去のパターンから予測し行動するものである」とモデル化しました。すると、簡単に60人がバーの前に現れるようになります。過去のバーの前の人数のパターン（昨日が48人、一昨日が72人など）に対し、今日の人数を予測するとします。その人数は0から100まで101パターンあります。100人の町の人の予想はその101パターンに「一様に分布する」ので、60人以下と予想する人は100人のうちの61/101の約60人となる。こうして均衡状態として約60人がバーの前に現れる状態が実現します。

これでEl Farol Bar問題は解決したように見えますが、そうではありません。実は、上記の解は無駄が非常に大きい。なぜなら、ある人がバーにいくかどうかは、その人の予測人数が60人以下の場合であり、確率は約60%。人々は独立に予想するので、バーの前に現れる人数は100人が確率60%で独立にバーに現れる時の人数に等しく、期待値は60人ですが、ゆらぎは大体5名となります。つまり、毎回55名から65名がバーに現れ、5名分のキャパシティーが余ったり、バーのキャパシティーを越えたりする。つまり、60名ぴったりがバーに現れ、40名が家にいる状態には程遠いわけです。このように、バーの前に現れる人数の期待値が60名であることだけでは不十分で、ゆらぎを最小（可能ならゼロ）にすることが必要です？

そこで、こうした「ゆらぎ」まで含めてEl Farol Bar問題を考えるために導入されたのがMinority gameでした(D. Challet and Y.C. Zhang(1997))。そこでは、N人の参加者は0か1の二択を選び、選択者数が少ない選択肢を選んだら勝ちとする。また、参加者には過去M回のゲームでの少数派の選択肢の情報を与える。問題は、参加者が過去のパターンから有利なパターンを導き出しそれを利用し、参加者の中で少数派に属する人数を最大化（参加者が101人なら50人がベスト）し、ゆらぎを押さえられるかどうか、という点です。

D.Challet and Y.C.Zhan(1997)では、過去M回の少数派のパターンから次の少数派の選択肢を予想する予測モデルを各エージェントに複数持たせ、エージェントは自分の予想モデルのうち、もっとも勝数の多いものを用いるとします。この論文以降、Minority gameの研究は爆発的に流行しました。2002年までの5年ほどの間に百以上がMinotiry gameを扱い、その結論は、エージェント数Nの集団に過去M回の少数派の選択肢の情報を与えたとき、Mが小さい場合は少数派の人数のゆらぎが大きく協力は起きない。けれど、Mを増やして２のM乗がNに近づくと、協力が起きてゆらぎが減少する。しかし、さらにMを増やすとゆらぎは増加に転じ、Mが十分大きなところではゆらぎの大きさはゲーム参加者がランダムに選んだ場合に一致するこというものでした。

左の図はN＝9において、Mを増やしたときの多数派と少数派の選択者数の差の分散（ゆらぎの自乗）をNで割ったものをプロットしたものです。分散はエージェントがランダムに選択した場合Nとなり、Nで割ると1（緑の点線）になって都合がよいので、ゆらぎの大きさの目安として分散/Nを用います。図でM＝1の場合、これは前回の少数派をエージェントに示した場合に対応しますが、その場合は1に近い。Mを2,3と増やしていくと分散は減少し、M=3では約0.3になっています。さらにMを増やすと分散は増加に転じ、Mが十分大きいところでは0.9程度になっています。この結果でおもしろいのは、Mを増やすと、M＝3まではエージェント間で協力が起こり、ゆらぎを抑える方向に改善しますが、あるしきい値を越えると協力が弱まり、状況が悪くなることです。

では、このゆらぎの非単調な振る舞いはどう理解すればよいのか。 Minority Gameでは、エージェントは予測モデルを持っています。可能な予測モデルの数は、過去M回の0，1の2のM乗個のパターンから0，1を出力する関数なので、2の2のM乗個であることが分かります。しかし、独立な予測モデルはそのうち2のM乗個のみであることは、予測モデル間の距離をハールメジャーで定義することで示すことができます。一方、エージェントの数はN。すると、2のM乗がNよりずっと小さい場合、似た予測モデルを持つエージェントが存在し、逆に2のM乗がNよりずっと大きい場合、N人のエージェントはお互いに異なる予測モデルを持つことになります。

後者の場合、N人のエージェントはお互いに独立に予測をするので、ランダムに選択するのと同じです。つまり、Nが2のM乗よりずっと小さい場合、分散/Nは1になります。この状態をUnder-crowded 相、ランダム相と呼びます。一方、Nが2のM乗よりずっと大きい場合、同じ予測モデルを持つエージェントが多数存在し、同じパターンには同じ予測モデルを用いるので多数のエージェントが同じ予測をしてしまいます。エージェントは極力他のエージェントと異なる予測を行って少数派になろうとするのですが、予測モデルがお互いに似すぎているため、それが不可能であり、多数派になることを避けられないのです（Crowd効果）。このとき、N人のエージェントの多数が一方の選択肢に集中し、もう一方の選択肢を選ぶエージェントがほとんどいないため、分散はNの自乗に比例した状態となります。この状態のことを　Crowded 相と呼びます。

さらに、分散のM依存性は、2のM乗をNで割ったαというパラメータだけで決まります（左図参照）。Nが2のM乗よりずっと大きい場合、αは0に近く、Crowded相。分散/NはNに比例します。逆にαが大きい場合、Under-crowded相でエージェントはランダムに選択し、分散/Nは１になります。そして、この二つの相の間の変化は相転移であり、それが分散のα依存性の非解析性に反映しています。

こうして、予測モデルの空間の大きさとエージェント数Nの比αでMinotiry Gameの分散を理解することができます。では、Crowd-anticrowdモデルとはなにを説明するのか？また、人での実験結果はどうだったのか？それは次に。

基礎からのMySQL

2013-01-18T08:29:00.001+09:00

2010年ごろから社会物理の実験をするようになり、最初はface-to-faceで人力で実験、2011年はeRubyでWEBプログラミングによりサーバーを構築してブラウザ経由で実験、そして2012年からはPHPでのWEBプログラミングへの変更と、毎年開発スタイルが変化してきました。サーバープログラムの開発ではCSVファイルでデータを読み書きしながら実験データを蓄積する手法でやっていたのですが、どう見てもスマートではない。たしかに、エラーが起こったときにファイルをすぐに開けば状況は把握しやすいのですが、そもそもエラーが起こることを前提としているのも問題。そこで、MySQLというデータベースへの移行を画策したのが昨年から。

2012年末に行った、「分割選択の実験」では、CSVファイルの読み書きによる古いシステムとMySQLによる新システムの二つのシステムを開発し、可能なら新システムを使う予定でした。研究協力者の日野君による開発は間に合ったようですが、テスト時間がとれず新システムの使用は断念し、古いシステムで実験は実施。しかし、今年からはすべてMySQLを用いたシステムに全面移行する予定です。

そこで、私もMySQLを勉強してみようと考え、読んでみたのがこの「基礎からのMySQL」（西沢）。
基礎からとタイトル通り、データベースをインストールから解説し、複数のスレッドを持った掲示板を作成するところまで解説してあります。わかりやすく、プログラムの解説も丁寧で、私にも理解することができました。PHPをしばらくさわっていなかったので、PHPの復習にもなり、HTMLの最低限の解説もあり、必要な知識はすべて書いてあります。この本一冊でPHPを学ぶとか、HTMLを学ぶのは無理かもしれませんが、データベースを全く知らないけれど、PHPやHTML、Apacheをすこしはかじったことがあるレベルの人なら、データベースを理解し、WEBプログラムとデータベースをどうつなげるのか、理解できると思います。

この本で得た知識をもとに、さっそく競馬データベースをいろいろいじってみようと思います。
非常にいい本です。おすすめです。

物性物理学

2013-01-06T22:14:00.002+09:00

3年後期の電子物性論で来年度のテキストに指定しました。これまでは、岡崎先生のテキスト「固体物理学―工学のために」を使っていたのですが、いろいろ不満な点があり、いい本はないかと考えていたときに、簡単でちゃんと書いてある本として学生さんに教えてもらったものです。学生時代に塚田先生に直接習ったことはありませんが、どういう本を書かれるのかという興味もありました。

さまざまな格子でのバンドの計算が簡単なモデルをつかってしっかり書かれているのと、超伝導のBCS理論が、その真空の構造までキッチリ書かれている点がこの本の特色です。特に、後者のBCS理論の説明は、多くの本がギャップができる点を述べてお茶をにごして終わりみたいな点があるのですが、このテキストではいままで知らなかった点も書かれていて勉強になりました。（そのレベルで講義を担当するのはどうか、と自分でも思いますが。）

アマゾンで調べてみると、黒沢先生の「物性論」を薦めるヒトが多いみたいなので、来年度の講義は、黒沢先生のも参考に超簡単な電子物性論の講義を行いたいと思います。

あけましておめでとうございます

2013-01-05T11:30:00.001+09:00

本日1月5日（土）から始動。といっても元旦からプログラムを作っていたりで、単に仕事場が研究室か自宅かの違いでしかありません。しかし、家だと娘が元気で落ち着かないので、研究室はその点いいものです。（左の写真は、昨年のゴールデンウィークで訪れた高尾山から富士山を撮影したもの。）

今年の目標は3つ。

1：情報カスケードに関する社会物理実験をまとめ、競馬の経済物理に決着をつける。特に、没になっている論文をこれまでの実験結果をふまえてオッズの時系列データを解析し直しオッズの形成過程を理解したい。予測市場の研究とも絡めて、集団での情報の集約過程を自分なりに理解する。

2：競馬予想で人知に勝つ。来年度の卒研生がプレ卒研の段階で6名存在し、そのうち5名が競馬予想に興味があるらしい（一人はニューラルネットのアルゴリズム）。それはそれでいいのですが、単にファアクターを増やす、馬のスコアの関数形を2次まで拡張、ニューラルネットの逆誤差伝搬を用いる、などという路線でどこまで競馬のオッズの予想精度迫れるか、も今年で終わりにしようと考えています。どこまで頑張ってもオッズに勝てないなら、その精度の差に「集団知」はあるのでしょう。そんなものはないことを示したい。

１、２の目鼻がついたら、競馬の物理で本にまとめたいと思います。読者をどこに設定するのか難しいですが。社会物理学なのか競馬予想なのか、専門家向けなのか、一般向けなのか。

3：入江君と日野君に論文を書かせる。今年修士2年になる入江君、昨年後半から博士が欲しいと実験のサポートに入ってくれた昔の卒研生の日野君。私は修士論文とか博士論文はどうでもいいのですが、せっかくいっしょに研究をしているので、それぞれの主著者の論文を完成させたいと思います。（しかし、二人の英作文の能力は？頭が痛い。）

ということで、これまでと同じくジタバタする一年になりそうです。今年もよろしくお願いします。

ヒトはオッズにどう反応するか？

2012-11-16T10:09:00.002+09:00

実験論文IIが完成し、昨日からオンラインで読めるようになりました。

タイトルは、

Collective Adoption of Max-Min Strategy in an Information Cascade Voting Experiment　

ヒトが他人の回答をカンニングしながら２択のクイズに答える実験です。実験論文Iでは、この系で相転移が起こることを示しました。クイズの正解を知らないヒト（多数派に群れるヒトという意味でハーダーと呼んでいます）の比率が90%以下なら、十分多くのヒトが回答すれば多数派が正解になる。けれど、ハーダーの比率が90%を越えると、十分多くのヒトが回答しても必ずしも正解にならない。多数派が間違える確率は40%になり、ランダムに回答するのと大差ないことになる。こうした相転移が存在することを実験データと理論モデルで示し、情報カスケード相転移と名付けたものでした。

つまり、２択のクイズを十分多数の集団にカンニングさせながら回答させると、そのクイズが10人に1人以下しか正解を知らない問題であるなら、100回に40回は多数派の選択は間違っているけれど、10人中2人以上が正解を知っているなら、多数派の選択は正しい。そして、こうした水が氷になるような質的な変化は、十分多数のヒトの極限（専門用語では熱力学極限）で相転移となり、水が氷になる変化と同列に語ることができる。

この「カンニング」で被験者に与えた情報は、２択の各選択肢を選択したヒトの数。相転移が起こる理由は、その数に対するハーダーの反応が鋭いから。左図はその実験データを示したものです。横軸が選択肢Aを選んだヒトの比率、縦軸にはその情報をカンニングしてハーダーがAを選ぶ確率を描いたものです。図はAを選んだヒトの比率50%を原点とした原点対称になるので、50％以上をプロットしています。

10人中5人がAを選んだ場合(n1/t=0.5)、ハーダーが選ぶ確率はA、B共に同じで50%。しかし、10人中6人がAを選ぶと、Aを選ぶ確率は70%まで上がる。さらにAを選ぶヒトの数が増えるとAを選ぶ確率は上昇するのですが、重要なのは10人中5人から10人中6人での選択の確率の変化。この変化が鋭く、青の点線で示した対角線よりも上にある時、系は相転移を起こします。この変化が鈍く、ニュートラルの50%から10人中6人で60%以下にしかならず、対角線よりも下にくると相転移は起きません。このような確率の急激な増加は動物界でもよく見られ、Quorum 反応と呼ばれたりするそうです。ヒトの場合、絶対数に対する反応ではなく、あくまで率に対する反応なので、その点がQuorum反応とは異なりますが、起きる現象は非常に似ています。

では、「カンニング」で与える情報を各選択肢を選んだヒトの数ではなく、オッズにするとどうなるでしょう。ここでオッズは各選択肢を選んだヒトの数の逆数に比例し、競馬のオッズと同じく、正解を選んだことに対するリターンはオッズに比例するとします。例えば、10人のうち、Aを9人、Bを1人選んだ状況では、Aのオッズは自分の選択を含めた11をAを選んだ9人＋自分1人の10人で割って1.1倍。Bのオッズは11をBを選んだ1人＋自分の2人で割って5.5とします。このとき、ヒトはどのように選択し、その結果、十分多数のヒトが回答すると何が起きるのか？それが今回の論文で扱った問題です。

正解を選んだことに対するリターンがオッズに無関係の場合、選択者数を与えた場合と同じことになります。オッズが小さい＝選択者数が多い、オッズが大きい＝選択者数が少ない、なので、オッズの小さな選択肢にハーダー（正解を知らないヒト）の選択が集中するでしょう。しかし、今回の実験ではオッズが小さい選択肢はそれを選んで正解してもリターンが小さく魅力にかけます。一方、オッズが大きな選択肢は、人気のない選択肢なので間違っている確率が高いでしょうが、それを選んで正解すればリターンは大きく魅力的です。もちろん、正解を知っているヒトには選択の余地はありません。オッズが小さくリターンが小さくても、それを選ぶしかない。では、ハーダーはどうするのか？どうするのが正しいのか？

ゲーム論的には、この状況はゼロサムゲームになり、Max-Min戦略をとるのが最適であることが知られています。そのMax-Min戦略とは、共同研究者の久門さんによると「選択肢を選ぶ比率をオッズに逆比例させ、比率×オッズが選択肢A、Bで同じになるようにしなさい」というものです。そうすれば、A、Bが正しい確率がどうであっても、その不確定性を消すことが可能である。このように、オッズに逆比例する比率は、オッズが選択者数に逆比例したので、選択者数に比例する比率と同じことが分かります。つまり、10人中6人がA、4人がBを選んでいる場合、60%の比率でA、40%の比率でBを選ぶのがゲーム論的に正しいということです。もし、ハーダーがこのように選択をするなら、上記の相転移は起こらず、どんなに難しい問題であっても、十分多数のヒトが回答すれば、多数派の選択肢が正しいことが分かります。

では、実際にはどうなのでしょう。左図が実験結果です。選択者数を与えたときの上図の振る舞いとは異なり、ほぼ対角線に乗っていることが分かります。これはゲーム論での最適戦略を被験者集団が採用していることを意味します。ただし、Aを選ぶヒトの比率が3/4を越えると、Aを選ぶ確率は3/4のままで増加しません。これは、オッズが小さくなりすぎ、Aの魅力が低下したため、オッズの大きなBを選択する傾向が増したためと考えられます。もちろん、この傾向は最適な振る舞いではないのですが、競馬でも万馬券狙いのバイアス(Favorite-logshot bias)があることが知られていて、それと同じことが起きているのでしょう。もっとも、クイズの場合、万馬券（倍率100倍）とは程遠く、たかだか4倍程度の倍率のオッズでヒトが欲に目が眩んでいるのですが。

また、10人中7人程度のところで、対角線を微妙に越えていることも分かります。この結果は、オッズを与えた場合でも相転移することを意味します。ただし、相転移が起こるハーダーの比率は非常に高く、シミュレーションでは99%。この結果は、100人中1人しか正解を知らない問題なら、相転移し、多数派が間違うこともあるけれど、10人中1人の状況なら、そうした事は起きないことを意味します。

以上が論文内容。2010年の夏からこうした実験を始め、まるまる2年かけたものです。こうした内容を微妙ととるか、面白いととるかは、ヒトそれぞれ。私自身は十分楽しい（苦しい！）ものでした。

共同研究者の久門さん、高橋先生、および実験を手伝ってくれた北大のニコルさん、中村さん、北里大の入江君と2010年の卒研生のメンバーの神田朋彦ヘンリー君、石澤遼君、熊谷直紀君、辻崇史君（元気にしてますか？）、また実験に参加してくれた北大および北里大のみなさん、ありがとうございました。

追記：11月15日にPhyscal Review Eに投稿したら速攻で雑誌が違うからという理由でリジェクト。前途多難な予感がします。

量子論の基礎

2012-11-07T20:55:00.001+09:00

「量子力学を学ぶのにいいテキストは？」ときかれて、私が推薦するのがJ.J.SakuraiのModern Quantum Mechanics。自分が学生のときに最初に読んだ量子力学のテキストであり、その構成に感動したからというのが理由。なぜ、Sakuraiだったのかというと、当時入っていた東大駒場のサークル「自然科学研究会」の先輩が「いい本」だと輪講していて、それに影響されての選択でした。

Sakuraiのすばらしいところは、量子論の「状態」「観測」をまず1個のスピンというもっとも単純な系で展開すること。それによって、ブラ・ケット、内積、エルミート演算子、固有ケット、展開係数、確率を導入し、古典論との違いを際立たせる構成をとっていました。

一方、その他の名著とされるシッフやメシアはシュレーディンガー方程式を解くことに力点をおいていて、はっきり言っておもしろくなかった。

こうした経験からSakuraiの本を推薦してきたのですが、明日の11月8日、9日に東大の清水明先生が「ベルの不等式」に関して講義されるとのことだったので、評判のよい「量子論の基礎」を読んでみました。

結論から言えば、おもしろい本です。Sakuraiのテキストを彷彿とさせる簡潔・明晰なテキストで、量子論での状態、観測量、確率解釈、時間発展、理想測定の５つの要請をもとに展開します。特におもしろかったのが理想測定というもので、Sakuraiでは登場しなかった概念。また、不確定性原理に関しても、ハイゼンベルグのもの（測定誤差と測定による撹乱による誤差）、非可換な演算子の別個の観測によるもの、同時の観測によるもの、を分けて（結果だけですが）解説している点もすばらしい点です。

また、異なる場所での観測の間の相関に関する不等式（ベルの不等式）は、局所実在論の系では必ず成立するが、量子論ではそれが破れることを予言し、実験でも検証されているので、量子論は局所実在論を越えた理論である点がその本質なのだとあります。

という感じで、すばらしい本なのですが、不満点をいくつか。まず、理想測定をどう実現するのかが分からないので、要請５を置く意味がよく分からない。量子力学を勉強していて一番難解なのが「観測とは何か？」であり、特に「いつ観測されたと考えるのか」がいまだに私には分かりません。例えば、スピンの観測では非一様磁場によるシュテルン・ゲルラッハのが有名ですが、磁場が弱い場合、磁場の素のフォトンとスピンが相互作用せず、観測されたことにはならないはず。では、どこから「観測は始まるのか？」とか。こういうのは、私の量子光学やレーザー物理に対する理解不足からくるものではあるのですが、そうした点を含め「量子測定理論」のエッセンスが欲しかった。

また、これはテキストに対する不満ではないのですが、ベルの不等式は確かに局所実在論を明晰に否定したことは事実ですが、内容は干渉効果なので、ダブルスリットによる電子の干渉と内容的にはパラレル。二つのスリットのどちらかを通るという局所実在論を干渉縞が否定するのと物理的には同じなのでは、と。もちろん、ダブルスリットだけなら、局所実在論を保ちながら干渉縞を説明する理論はできる？ので、そうした曖昧さを完璧に排除する点で「ベルの不等式の破れ」はすごいことは理解できるのですが。

とにかく明日、明後日の講義が楽しみです。

追記：高校から大学に入ったころは、Sakuraiやフランコ・セレリの「量子力学論争」などを読んで、量子力学を究めるつもりだったのが、いまではヒトを使った集団社会実験とそのモデル化や競馬の研究をやっている。いったいどこで間違ったのか、と考えていくと、素粒子論の勉強で数学にハマったのが元凶。もういちど量子をやるか、それともヒトの意思決定の闇に切り込むか、迷うところです。ヒトの意思決定にも量子論が使われていて、眉つばだとは思うのですが、観測に対する撹乱などを考えていくと、量子論の枠組みは有効なのかもしれません。ヒトの意思決定は局所実在論ではとらえきれるとは思えないし。そこを明晰にえぐり出す「ヒトのベルの不等式」を定式化して実験で示せればいいのでしょうが（もっとも、ヒトの考えることは同じなので、やろうとしているヒトはいるはず。要はアイデアと実験をやりきる力）。

追記2：特別講義は非常に面白いものでした。ただ、「実在性」といわれてピンとくる学生さんでないと、なかなか難しい面もありました。話はEPR（Einstein-Podorsky-Rosen）の論文から始まるのですが、そこで定義される「実在性」の定義がツッコミどころ満載のもの。ただ、学生むけなので、私があまり質問するのも気がひけるので極力スルー。そして、古典的な素朴実在論は否定され、量子論という局所（＝因果律）理論で現象が記述出来ることをベルの不等式が破れることで一網打尽に示し、残りは最近の研究の紹介。数式もほとんどなく（北里では量子も統計力学も選択科目という事情に配慮されてのものでしょうが、最後に「線形代数はやってますか？」という質問が出たことにショックを受けている学生さんも）、わかりやすく話していただきました。ただ、古典的な素朴な実在論は否定されても、「状態、物理量は、それを準備・観測する実験装置まで含めれば実在だ」と答えていただいた（私の誤解でなければ）ので、実在性を否定したわけではない。

理想測定について講義後に質問させていただいたのですが、シュテルン・ゲルラッハの実験のような磁場が非常に強く、観測誤差が小さい実験のことであると教えていただきました。詳しくはPhysics Report(2005)にFAQがあるとのことなので、時間が出来たら勉強してみたいと思います。

ライアーゲーム＠北里祭

2012-11-06T09:38:00.000+09:00

平成24年11月3，4日の北里祭で実施した「シミュレーション　ライアーゲーム」が無事に終了しました。

3日の土曜日は6ゲーム、4日の日曜日は10ゲームで100名弱の一般の方の参加がありました。土曜日はなかなかお客さんが集まらず心配したのですが、日曜日は朝11時前から午後4時までフル稼働でゲームを実施できたようでなによりです。私の娘も2回参戦し、1回勝てたのがうれしかったようです。私も一度参戦しましたが、これは難しい。必勝法もなく単にランダムに選択し、負けたという感じでした。

一方、社会物理実験として行った二択のクイズのほうは、システムの不備などがあり、十数名しか参加できなかったのが残念です。

ゲームを盛り上げてくれたＰＨＹＳＩＣＳ部のみなさん、また司会で活躍してくれた石田君、長洲君、ありがとうございました。入江君も初めてデータがとれたのはなによりです。近いうちに「夢庵」で打ち上げをしましょう。11月26日（月）午後7時あたりでしょうでしょうか？（もっと近い日程てもいいですが。）

来年の学祭もＰＨＹSICS部とコラボできるならぜひお願いします新たなゲームを考えて、今年以上の人を集められるようにしたいと思います。また、社会物理実験も心理学的な面を加味して、パワーアップをはかりたいと思います。

ゲームで得たデータから何か面白いことが分かるかどうかは分かりませんが、このゲームで得たデータは世界にここしかない貴重なものなので、それが得られたことはうれしいです。もし興味があれば、石田君の卒論発表を楽しみにしてください。もちろん、個人的にききに来てくれてもいいです。

ありがとうございました。

シミュレーション・ライアーゲームのルール

2012-10-23T10:04:00.002+09:00

学祭で実施予定の「シミュレーション・ライアーゲーム　君はフクナガに勝てるか？」のルールについて。

10回の少数決ゲームで、少数派に入るごとに1ポイント、最終回は３ポイント。
10回のゲームでの総ポイントが高いヒトが勝者で、景品は額面300円のQUOカード。

参加費と景品の関係をどうするのか？また、フクナガをどうゲームに絡ませるか？
でいろいろ考えています。問題は知り合いがグループで来た場合、誰がフクナガが
すぐに分かってしまいゲームとして面白くない。その場合、フクナガに必ず勝てるので、
そもそもゲームにはならない。

そこで、以下の案を考えています。

参加費を100円とし、7名のゲームの場合上位3名に、9名のゲームの場合上位4名に景品としてQUOカード。7名または9名のうち3名はフクナガのグループというのは変わりません。QUOカードは70枚用意し、20ゲーム実施する。

ランダムに選ぶと、勝率は3/7または4/9となり、リターンの期待値は130円前後。でも、フクナガのグループが暗躍するので勝率はもっと落ちるかもしれない。では、フクナガのグループは何をやってくるのか？それに対抗し、QUOカードをGETするのはどうすればいいのか？

業務連絡：ゲーム事務局のPHYSICS部のみなさんへ

このゲームの収支は、フクナガグループは参加費を払わないので、平均5名として
500円。それを20ゲームで1万円となります。フクナガグループをやってくれる学生さん（ただし10ゲーム以上）で、希望者には後日学食！（または夢庵）にご招待します。もちろんゲームでGETしたQUOカードはGETしたヒトのものです。

ゲームのルールに関しては、まだ最終決定したわけではないので、いいアイデアがあればぜひ教えてください。

シミュレーション・ライアーゲーム

2012-10-13T15:08:00.000+09:00

11月３日、４日の土日に行われる北里大学の学園祭の展示で「シミュレーション・ライアーゲーム　君はフクナガに勝てるか？」というのをやります。内容は、「ライアーゲーム」の2ndステージで行われた少数決ゲーム。2択の選択で、少数派の選択を選んだら勝ちというものでした。ドラマでは22人でスタートし勝ち抜き戦を行います。問題はこうした少数決ゲームに必勝法があるのかどうかということ。参加者間での交渉が一切許されていない場合、必勝法はありません。

一方、ドラマでは、参加者間で交渉が可能で、ここでフクナガがはある必勝法を考えました。それは、22名のメンバーの自分以外の21名を３つの7人のチームに分け、自分が各チームに8人目として入る。そして、各チームを4人の2グループに分け、自分が属さない4人のグループに自分と異なる選択肢を選ばせる。すると、自分の属さないグループは1回めで消え（４＋４＋４＞３＋３＋３＋１（＝自分））る。残りの各チームの4人を２人のグループに分けて同じことを繰り返す。すると、次も（２＋２＋２＞１＋１＋１＋１（＝自分））でフクナガは残る。最後も同じことを繰り返し、（１＋１＋１＞（１＝自分））でフクナガの勝利。

もちろん、各チームのメンバーはフクナガの指示に従う代わりに、勝ったときの報酬は山分けという約束をする。8人のチームなので毎回二つの選択肢に半分の人数を割り振れば４、２、１と3回目までは必ずチームのメンバーは残る。全体では22人でゲームを始めるので、最初に11人以下、2回めで５人以下、3回目に2人以下となり、2人となった時点でゲームは終了するので、賞金をチームの8名で分ければいい。

学祭ではこのフクナガの戦略をモデルにゲームを実施しようと考えています。基本は7名の少数決ゲーム。全部で11回少数決を行います。毎回参加者の誰かに2択を考えてもらい、それを7名全員で選ぶ。そして、少数派を選べば1ポイントとし、全11回での総ポイントが多いヒトが勝ち。ただし、最終回はゲーム性をますために3ポイント程度のボーナスポイントとしようかと考えています。最初は、このプレーンな少数決ゲームをやろうと思っていたのですが、いまいち面白みに欠ける。経済物理学では、過去の少数派の選択肢の時系列から未来の少数派を予測し、過去のパターンに従う群集派と過去のパターンの逆にかける反群集派に相分離する相転移が起きるといわれている（誰も検証していませんが）のですが、それは多人数での話。今回のような少人数かつ試行回数が少ない場合、そうはならないはず。なので、物理の研究としてもイマイチ。

そこで、プレーンの少数決ゲームにフクナガをいれてみることを考えて、サブタイトルに「フクナガ」といれたのです。フクナガがどういった戦略で勝ちにくるか。それにどう対抗するか。そこを楽しんでいただけたらと思います。

ゲームの参加費は100円、フクナガに勝ったときの景品は額面300円のQUOカードを1人1枚。1ゲームに20分近くかかると思われるので、1時間に2ゲームとして朝10時から夕方4時までで12ゲーム。二日で24ゲームしかできそうにありません（ただし、フクナガが負けつづけてQUOカードがなくなった時点でゲームは終了。QUOカードは52枚用意します。）が、楽しんでいただけたらうれしいです。

このライアーゲームと平行して、2択のクイズのゲームを行います。2択のクイズ60問に答えていただき、総ポイントを競うゲームです。ゲームを行うマシンを2台用意しています。マシンAは過去の回答者の回答をカンニングできるマシン。マシンBは、過去の回答者の回答をもとに、得られるポイントに倍率をつけるものです。人気のない選択肢の倍率は大きくなっているので、バクチ的ではあるけれど、ポイントを稼げるチャンスでもあります。マシンA、Bのどちらでも、過去5番以内の成績を出せれば景品としてQUOカードを差し上げます（ここは当日変更するかもしれません。あまりに難しい場合は申し訳ないので）。こちらは参加費はありません。

注意：ゲームのルールはこれからシステムの作成と平行して変更するかもしれません。また、7名のうち誰がフクナガなのかは発表しません。

追記：11月3日（土）の中夜祭にはサンドウィッチマンがくるのですね。お化け屋敷もあるらしいので、楽しいかもしれません。

修正：上記文章を一部削除しました。ゲームのルールはたぶんこのままです。