iMath

Κυβισμός

2010-10-26T11:27:00.000-07:00

Ο κυβισμός είναι καλλιτεχνικό ρεύμα της ζωγραφικής και της γλυπτικής, στην Ευρώπη του 20ου αιώνα. Το καλλιτεχνικό κίνημα της μοντέρνας τέχνης που εμφανίστηκε στη Γαλλία το πρώτο μισό του 20ου αιώνα, με κυριότερους εκπροσώπους τους ζωγράφους Πάμπλο Πικάσσο (Pablo Picasso), Ζωρζ Μπράκ (Georges Braque), Χουάν Γκρί (Juan Gris) και Φερνάν Λεζέ (Fernand Leger). Ο όρος κυβισμός χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά το 1908, όταν ο Ανρί Ματίς χαρακτήρισε τον πίνακα του Μπράκ «Σπίτια στο Εστάκ» σύνθεση μικρών κύβων.

Εξ ορισμού ο κυβισμός «Cubisme» παραπέμπει στην περιοχή της γεωμετρίας. Οι κυβιστές ζωγράφοι συλλαμβάνουν τον κόσμο μέσω της γεωμετρικής δομής του αντικειμένου. Απεικονίζουν τις έννοιες και τις ιδέες των πραγμάτων. Διάλεγαν γνώριμα μοτίβα, όπως κιθάρες, μπουκάλια, φρούτα, για να μπορούμε να καταλάβουμε τη σχέση ανάμεσα στα διάφορα μέρη και να συνδέουμε τα διάφορα θραύσματα. Στα έργα τέχνης κυβιστών τα αντικείμενα χωρίζονται, αναλύονται, και συνθέτονται ξανά σε μια αφηρημένη μορφή - αντί οι καλλιτέχνες να αποδίδουν τα αντικείμενα από μια συγκεκριμένη γωνία, τα διαιρούν σε πολλαπλές απόψεις, βλέποντας έτσι ταυτόχρονα πολλές διαφορετικές διαστάσεις ή όψεις των αντικειμένων. Συχνά οι επιφάνειες των όψεων, ή τα πλάνα, τέμνονται σε γωνίες που δεν έχουν κάποιο αναγνωρίσιμο βάθος.

Ο κυβισμός επηρέασε βαθειά τον καλλιτεχνικό κόσμο, κυρίως στις αρχές του 20ου αιώνα και αποτέλεσε τον πρόδρομο μελλοντικών τάσεων όπως ο Φουτουρισμός, ο Κονστρουκτιβισμός και ο Εξπρεσιονισμός.

Παιδικός εγκέφαλος και μαθηματικά

2010-10-26T02:37:00.000-07:00

Στο μεγαλύτερο τμήμα του περασμένου αιώνα, εκπαιδευ-τικοί και πολλοί επιστήμονες πίστευαν ότι τα παιδιά δεν μπορούν να μάθουν μαθη-ματικά, πριν από την ηλικία των πέντε χρόνων, ότι ο εγκέφαλός τους απλώς δεν ήταν έτοιμος. Ωστόσο, πρόσφατες μελέτες έχουν ανατρέψει εκ βάθρων αυτή την άποψη - αυτή και μια σειρά άλλων απόψεων για τη γεωμετρία, την ανάγνωση, τη γλώσσα και τον αυτοέλεγχο στη σχολική αίθουσα. Τα ευρήματα, κυρίως από τον τομέα της γνωστικής νευροψυχολογίας, βοηθούν να αποσαφηνιστεί, πότε ο νεαρός εγκέφαλος είναι σε θέση να συλλάβει βασικές έννοιες. Σε μια πρόσφατη μελέτη, για παράδειγμα, οι ερευνητές βρήκαν ότι τα περισσότερα παιδιά προσχολικής ηλικίας μπορούσαν να πραγματοποιήσουν υποτυπώδεις διαιρέσεις, μοιράζοντας γλυκά σε δύο ή τρία ζωάκια-παιχνίδια. Σε μια άλλη, οι επιστήμονες βρήκαν ότι η ικανότητα του εγκεφάλου να συνδέει γραμματικούς συνδυασμούς με ήχους μπορεί να μην έχει αναπτυχθεί εντελώς μέχρι την ηλικία των 11 χρόνων - πολύ αργότερα από ό,τι υποθέτουν πολλοί. Η παραδοσιακή διδασκαλία βασικών ακαδημαϊκών ικανοτήτων δίνει τη θέση της σε προσεγγίσεις που βασίζονται στη γνωστική ψυχολογία.

Όπως έχουν δείξει πρόσφατες έρευνες, υπάρχει ένα ακατέργαστο «αριθμητικό ένστικτο» στην ανατομία του εγκεφάλου και οι άνθρωποι, ακόμη και όσοι δεν έχουν την παραμικρή μαθηματική μόρφωση, έχουν μια γενική αντίληψη των ποσοτήτων.

Tα μαθηματικά του ποδοσφαίρου

2010-10-25T22:52:00.001-07:00

Σε μια εποχή, όπου το επαγγελματικό ποδόσφαιρο δεν είναι μόνο ζήτημα ταλέντου, τύχης και πολλών δισεκατομμυρίων, η επιστήμη αναγνωρίζεται ως το πιο χρήσιμο "εργαλείο" για την απόδοση ομάδων και ποδοσφαιριστών.Οι ρίζες του total football βρίσκονται έξω από το ποδόσφαιρο. Η γοητεία του κρύβεται στην αρχιτεκτονική, τη γεωμετρία και στην ιδέα του μεγάλου μαθηματικού Ανρί Πουανκαρέ περί ευμετάβλητου χώρου.

Από την αεροδυναμική της μπάλας, τον ρόλο των παπουτσιών στα φαλτσαριστά σουτ, την ψυχολογία των ποδοσφαιριστών στην διαδικασία των πέναλτι, τις αναλυτικές μετρήσεις και την παρακολούθηση των δεικτών που αφορούν στην εργοφυσιολογία των ποδοσφαιριστών, μέχρι την εξαντλητική μαθηματική ανάλυση των δυνατοτήτων που προσφέρουν τα αγωνιστικά συστήματα, οι προπονητές έχουν αποκτήσει για τις δυνατότητες του παιχνιδιού, μια γνώση που ολοένα διευρύνεται. Μια γνώση στην οποία δεν έχουν πρόσβαση οι δημοσιογράφοι και οι φίλαθλοι και παρ' όλα αυτά κρίνουν με απόλυτο τρόπο, τόσο το παιχνίδι όσο και τους ποδοσφαιριστές.

Τι σχέση έχουν τα μαθηματικά με το ποδόσφαιρο;

"Μια σχέση που θα κάνει τους ανυποψίαστους να εκπλαγούν και τους υποψιασμένους, να σιγουρευτούν"

Ο Τετραγωνισμός του Κύκλου

2010-10-25T15:52:00.000-07:00

Ο Τετραγωνισμός του κύκλου είναι ένα από τα αρχαιότερα γεωμετρικά προβλήματα. Η διατύπωση του είναι απλή: Ζητείται η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη ενός τετραγώνου του οποίου το εμβαδόν να είναι ίσο με το εμβαδόν ενός δοθέντος κύκλου. Το 1882, ο μαθη-ματικός Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν (Ferdinand von Lindemann) απέδειξε το αδύνατο της επί-λυσης του προβλήματος.

Τετραγωνίζω τον κύκλο σημαίνει ότι κατασκευάζω, με γεω-μετρική ή αλγεβρική μέθοδο, ένα τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του κύκλου.

Η δυσκολία του προβλήματος συνίσταται σε δύο περιορισμούς που έθεσαν σε αυτό οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί. Πιο συγκεκριμένα, για να θεωρηθεί αποδεκτή μία λύση του προβλήματος, σε αυτήν θα πρέπει: να χρησιμοποιηθεί μόνο κανόνας και διαβήτης και να μην πραγματοποιείται μετά από άπειρο αριθμό βημάτων.Αποδεικνύεται ότι το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου επιλύεται εύκολα αν άρουμε οποιονδήποτε από αυτούς τους δύο περιορισμούς.

Ο πρώτος που ασχολήθηκε με τον τετραγωνισμό του κύκλου ήταν ο Αναξαγόρας ο Κλαζομένιος (500-428 π.χ) δάσκαλος και φίλος του Περικλή. Στη συνέχεια ασχολήθηκαν ο Ιπποκράτης ο Χίος (470- 400 π.χ), ο σοφιστής Αντιφών ο Αθηναίος (περί το 430 π.χ), ο επίσης σοφιστής Βρύσων ο Ηρακλειώτης σύγχρονος του Αντιφώντα. Ουσιαστική ώθηση στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, δόθηκε από τον σοφιστή Ιππία τον Ηλείο (β' μισό του 5ου αι. π.χ) και από τους Πάππο (3ος αι. μ.χ) και τον Δεινόστρατο (4ος αι. π.χ).

To τελευταίο θεώρημα του Fermat

2010-10-23T17:29:00.000-07:00

To τελευταίο θεώρημα του Fermat είναι ένα από τα πιο γνωστά θεωρήματα στην ιστορία των μαθηματικών και αποδεί-χτηκε πρόσφατα από τους μαθηματικούς Andrew Wiles και Richard Taylor. Εκφράζεται ως εξής: Είναι αδύνατον να χω-ρίσεις οποιαδήποτε δύναμη μεγαλύτερη της δεύτερης σε δύο ίδιες δυνάμεις.

Ο Fermat έγραψε κάποτε μια ανάλυση σχετική με το περίφημο πια «τελευταίο θεώρημα του» κατά τη διάρκεια της ενασχόλησής του με το αρχαίο ελληνικό κείμενο Αριθμητική (Arithmetica) που ήταν γραμμένο από τον Διόφαντο της Αλεξάνδρειας. Το βιβλίο αυτό ανέλυε το θέμα της ύπαρξης ακεραίων λύσεων για την εξίσωση a²+b²=c² , που είναι ο γνωστός τύπος του Πυθαγόρα για τα ορθογώνια τρίγωνα. Η εξίσωση αυτή έχει άπειρες τριάδες λύσεων , που καλούνται πυθαγόρειες τριάδες. Μια γνωστή σε όλους λύση είναι η a=3, b=4, c=5. Ο Fermat επέκτεινε τον τύπο του Πυθαγόρα ένα βήμα παραπάνω και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι δεν υπάρχουν μη μηδενικές λύσεις (τριάδες) για μια οικογένεια παρόμοιων εξισώσεων της μορφής aⁿ+bⁿ=cⁿ , όπου n ακέραιος μεγαλύτερος του 2.

Παρά το γεγονός ότι σχετίζεται αρκετά με το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο έχει άπειρες λύσεις και εκατοντάδες αποδείξεις, η έξυπνη αυτή παραλλαγή του Φερμά στάθηκε πολύ δυσκολότερο να αποδειχτεί. Όλα τα θεωρήματα που είχαν προταθεί από τον Πιέρ ντε Φερμά αποδείχτηκαν, είτε με δικές του αποδείξεις, είτε με αποδείξεις άλλων μαθηματικών, στους επόμενους δύο αιώνες που ακολούθησαν τις προτάσεις. Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά δεν ήταν το τελευταίο που διατύπωσε, αλλά το τελευταίο που αποδείχτηκε.

Είναι εκπληκτικό το γεγονός ότι παρ’όλο που υπάρχουν άπειρες πυθαγόρειες τριάδες, δεν υπάρχει καμία τριάδα Fermat. Παρ’όλ’αυτά ο Fermat πίστευε ότι μπορούσε να υποστηρίξει τον ισχυρισμό του με μια αυστηρή απόδειξη. Στο περιθώριο του βιβλίου Arithmetica ο Fermat έγραψε μια υπο-σημείωση που ταλάνισε γενιές μαθηματικών : «Έχω βρει μια εκπληκτική απόδειξη αυτής της πρό-τασης , την οποία το περιθώριο αυτού εδώ του βιβλίου είναι πολύ μικρό για να χωρέσει».

Πόκερ και Πιθανότητες

2010-10-22T17:43:00.000-07:00

Στο πόκερ λαμβάνουμε υπ’όψιν μας πολλούς παράγοντες. Υπομονή, παρατηρητικότητα, ψυχραιμία, ψυχολογία και αυτοπειθαρχία είναι ικανότητες σημαντικές που κάνουν τους καλούς παίκτες να ξεχωρίζουν, αρκετά συχνά όμως παρουσιάζονται καταστάσεις όπου όλα τα άλλα αποκτούν δευτερεύουσα σημασία και τον πρώτο λόγο έχει η μαθηματική προσδοκία.

Η μαθηματική προσδοκία ότι αφορά το πόκερ, είναι ο υπολογισμός του ποσού που κατά μέσο όρο θα κερδίσουμε ή θα χάσουμε ανάλογα με τις αποφάσεις που θα πάρουμε. Κάθε παρτίδα στο πόκερ μπορεί να χαρακτηριστεί ως μία πολύπλοκη μαθηματική εξίσωση. Είναι τρομερά σημαντικό για τον παίκτη, να καταλάβει την σημασία που έχει η μαθηματική προσδοκία στις αποφάσεις που θα πάρει στο τραπέζι του πόκερ, γιατί με αυτόν τον τρόπο θα μπορέσει να κάνει αντικειμενικά σωστές επιλογές διορθώνοντας το παιχνίδι του, να αναλύσει παρτίδες που έπαιξε στο παρελθόν και να βελτιώσει κομβικά σημεία και λάθος χειρισμούς.

Κρυπτογράφηση

2010-10-22T16:16:00.000-07:00

Η ανάγκη για εμπιστευτικότητα στις ηλεκτρονικές συναλλαγές ικανοποιείται με την κρυπτογράφηση. Ο αποστολέας, χρησιμοποιώντας συγκεκριμένη μαθηματική συνάρτηση, μετατρέπει το αρχικό κείμενο σε μορφή μη κατανοητή για οποιονδήποτε τρίτο (κρυπτογραφημένο κείμενο). Ο παραλήπτης, έχοντας γνώση του τρόπου κρυπτογράφησης, αποκρυπτογραφεί το κείμενο στην αρχική του μορφή. Το μήνυμα παραμένει εμπιστευτικό, ωσότου αποκρυπτογραφηθεί.

Οι διάφορες μέθοδοι κρυπτογράφησης βασίζονται στη χρήση ενός "κλειδιού", ενός µαθηματικού δηλαδή κώδικα - αλγόριθµου, ο οποίος διασφαλίζει το µη "αναγνώσιμο" από τρίτους, και χρησιµοποιείται στην κρυπτογράφηση και την αποκρυπτογράφηση. Κάθε αλγόριθµος παίρνει την ονοµασία του από τον αριθµό που µεταλλάσσεται και πρέπει να βρεθεί µε μια σειρά μαθηματικών πράξεων.

Αρχικά το κλειδί κρυπτογράφησης ήταν το ίδιο µε το κλειδί αποκρυπτογράφησης, δηλαδή αποστολέας και παραλήπτης χρησιμοποιούσαν το ίδιο συμμετρικό κρυπτογραφικό σύστηµα (symmetric cryptosystem). Το σύστηµα αυτό χρησιµοποιήθηκε κυρίως σε κλειστά συστήµατα και εφαρµόστηκε τη δεκαετία του '80 για τη μεταφορά τραπεζικών δεδοµένων. Αργότερα η εξέλιξη οδήγησε στη χρησιµοποίηση δύο κλειδιών, ενός ιδιωτικού και ενός δηµόσιου (ασύμμετρο κρυπτογραφικό σύστηµα - asymmetric or public key cryptosystem). Το ιδιωτικό κλειδί (private key) χρησιµοποιείται για το σφράγισµα του ηλεκτρονικού µηνύματος και είναι απόρρητο, ενώ το δηµόσιο κλειδί (public key) αντιστοιχεί στο πρώτο, χρησιµοποιείται για την αποσφράγιση του µηνύματος και δεν είναι απόρρητο. Συνεπώς, το πρώτο κλειδί το γνωρίζει µόνο ο αποστολέας και µόνο µε αυτό µπορεί κανείς να επέµβει στο κείµενο, ενώ το δεύτερο το γνωστοποιεί σε κάθε συναλλασσόµενό του για να µπορεί να αποκρυπτογραφεί/διαβάζει τα µηνύματα του πρώτου.

Οικονομικά Μαθηματικά

2010-10-22T13:24:00.000-07:00

Μεγάλο φάσμα της επιστημονικής έρευνας σήμερα στους τομείς της διοίκησης, της παραγωγής, της οικονομίας και της εκπαίδευσης βασίζεται στην εφαρμογή Μαθηματικών Μεθόδων και Προσεγγίσεων, όπως είναι η Επιχειρησιακή Έρευνα, η Στατιστική, η Ανάλυση Πολυδιάστατων Δεδομένων, η Πολυκριτηριακή Ανάλυση, κ.ά. Η Μαθηματική σκέψη και μεθοδολογία εφαρμόζονται ευρύτατα στ όλο το φάσμα της επιστημονικής έρευνας (και όχι μόνο) και η κατασκευή μαθηματικών υποδειγμάτων αποτελεί τον πυρήνα πολλών από αυτές τις εργασίες.

Η μαθηματική ανάλυση χρησιμοποιείται ως μεθοδολογικό εργαλείο στα πλαίσια της οικονομικής ανάλυσης. Έτσι όλες οι νέες θεωρίες (αλλά και η μεταγραφή των παλιών) χρησιμοποιούν μαθηματικούς συμβολισμούς στην προσπάθειά τους να γενικεύσουν τα συμπεράσματά τους σε όσο το δυνατόν μεγαλύτερη εμπειρική εξήγηση της πραγματικότητας.

Οι μαθηματικές μέθοδοι ήταν ανέκαθεν σημαντικές στην ανάλυση των αγορών, της παραγωγής και γενικότερα της επιχειρηματικότητας. Η τάση ποσοτικοποιήσης που εντάθηκε στις αρχές του 20ου αιώνα πήρε εκρηκτικές διαστάσεις την δεκαετία του '70, και συνετέλεσε στην αναμόρφωση κλάδων όπως τα χρηματοοικονομικά, τα τραπεζικά και τα ασφαλιστικά θέματα. Κατά πολλούς, ήταν οι έντονα μαθηματικοποιημένες ανακαλύψεις των Markowitz, Sharpe, black, Scholes, Merton και παλαιότερα του bellman που συνετέλεσαν στην εξάπλωση νέων (παράγωγων) χρηματοοικονομικών προϊόντων, των εργαλείων διαχείρισης κινδύνου και αλματώδους αύξησης της αποτελεσματικότητας των παραγωγικών διαδικασιών.

Η παράλληλη διεύρυνση της χρήσης των υπολογιστών συνετέλεσε στην εκτεταμένη εφαρμογή των ποσοτικών μεθόδων: η αυξημένη υπολογιστική δύναμη επέτρεψε την συγκέντρωση στοιχείων καθώς και την υλοποίηση προχωρημένων μεθόδων αξιοποίησής των.

Ο Mηχανισμός των Αντικυθήρων

2010-10-22T11:23:00.000-07:00

Ο μηχανισμός των Αντικυθήρων (γνωστός και ως αστρολάβος των Αντικυθήρων ή υπολογιστής των Αντικυθήρων) είναι ένα αρχαίο τέχνημα που πιστεύεται ότι ήταν ένας μηχανικός υπολογιστής και όργανο αστρονομικών παρατηρήσεων, που παρουσιάζει ομοιότητες με πολύπλοκο ωρολογιακό μηχανισμό.

Κατασκευασμένος από μία μεγαλοφυία των μαθηματικών, της αστρονομίας και της μηχανικής τον 1ο αι. π.Χ. παρέμεινε μοναδική δημιουργία για τουλάχιστον την επόμενη χιλιετία. Σύμφωνα με τα πορίσματα της ερευνητικής ομάδας για τη μελέτη του Μηχανισμού των Αντικυθήρων, αναπαράγει ρεαλιστικά την κίνηση της σελήνης και τις φάσεις της στη διάρκεια του μήνα, προβλέπει τις εκλείψεις, έχει δείκτες για τη μέτρηση του χρόνου και τήρηση ημερολογίων σε πολλές κλίμακες κυκλικές και ελικοειδείς. Θα ήταν χρήσιμο εργαλείο για αστρονομικές παρατηρήσεις και διδασκαλία. Περαιτέρω, αφού υπολογίζει το γεωγραφικό πλάτος (και πιθανώς το γεωγραφικό μήκος), θα διευκόλυνε τη χαρτογράφηση και την πλοήγηση.

Μαθηματικά και Τέχνη

2010-10-22T07:42:00.000-07:00

Τα μαθηματικά και η τέχνη γενικότερα μολονότι, φαινομενικά τουλάχιστον, αποτελούν δυο διακριτά πεδία της ανθρώπινης δραστηριότητας, εντούτοις είναι δυνατόν να συνδυαστούν και να δώσουν δημιουργίες οι οποίες αποτελούν αξιοθαύμαστο μείγμα εντυπωσιακής πολυπλοκότητας και εκπληκτικής ομορφιάς.

Ιστορικά, τα μαθηματικά, μολονότι θεωρούνται κυρίως λογική – αναλυτική επιστήμη, έχουν παίξει σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη της τέχνης, η οποία απευθύνεται κυρίως στο συναίσθημα. Δυο αιώνες πριν οι αρχαίοι Έλληνες επεξεργαστούν τις αφηρημένες γεωμετρικές ιδέες, και θεμελιώσουν επιστημονικά τη γεωμετρία, οι Αιγύπτιοι, τους οποίους απασχολούσαν ελάχιστα τα θεωρητικά ζητήματα, χρησιμοποιούσαν τα εργαλεία τους προκειμένου να σχεδιάσουν και οικοδομήσουν τους έξοχους ναούς και τα εκπληκτικά μνημεία τους. Για τους Αιγυπτίους η γεωμετρία ήταν ένα σύνολο εμπειρικών γνώσεων κατάλληλων για τους εξερευνητές της γης, τους καλλιτέχνες, τους αρχιτέκτονες, τους μηχανικούς και τους γλύπτες. Αποτελούσε πρωτίστως ένα εργαλείο που τους προσέφερε την δυνατότητα να εκτελούν πρακτικές και καλλιτεχνικές εργασίες.

Τα μαθηματικά από τότε μέχρι και σήμερα εξακολουθούν να παίζουν ένα σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη των διαφόρων μορφών της τέχνης. Σ’ όλες τις εποχές αναδείχθηκαν εξέχουσες μορφές της τέχνης, οι οποίες χρησιμοποίησαν τα μαθηματικά ως το βασικό συστατικό της τέχνης τους. Είναι προφανές ότι δεν είναι δυνατόν να υπάρξουν κανόνες ή όρια σχετικά με τα θέματα ή τις ιδέες της μαθηματικής τέχνης. Υπάρχουν όμως κάποια θέματα τα οποία έχουν χρησιμοποιηθεί περισσότερο και δείχνουν ότι έχουν κερδίσει την προτίμηση ορισμένων καλλιτεχνών. Μεταξύ αυτών είναι τα πολύεδρα, τα ψηφιδωτά, τα ανέφικτα σχήματα, οι ταινίες Möbious και τα fractals.

Θεωρία Ομάδων

2010-10-21T17:13:00.000-07:00

Στα μαθηματικά, θεωρία ομάδων είναι το πεδίο που μελετά τις αλγεβρικές δομές γνωστές ως ομάδες.
Οι ομάδες εισήχθησαν πρώτα στα μαθηματικά τον 19ο αιώνα από μαθηματικούς όπως ο Γκαλουά, ο Άμπελ και ο Κοσύ, στον αγώνα τους για γενικές λύσεις πολυωνυμικών εξισώσεων. Ο τυπικός αφαιρετικός ορισμός που χρησιμοποιείται σήμερα δεν εισήχθηκε παρά μόνο τον 20ο αιώνα.

Οι ομάδες έχουν γίνει κεντρικό αντικείμενο στη μελέτη της αφηρημένης άλγεβρας, και αποτελούν βασικά συστατικά πιο περίπλοκων αλγεβρικών δομών όπως ο δακτύλιος, το πεδίο ή ο διανυσματικός χώρος, και συναντώνται συχνά παντού στα μαθηματικά. Η θεωρία ομάδων έχει πολλές εφαρμογές στη Φυσική και τη Χημεία, και μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιαδήποτε κατάσταση που χαρακτηρίζεται από συμμετρία.
Η ταξινόμηση πεπερασμένων απλών ομάδων είναι ένα από τα μεγάλα μαθηματικά κατορθώματα του 20ου αιώνα.

Θεωρία του Χάους

2010-10-21T12:17:00.000-07:00

Η Θεωρία του Χάους μελετά τη συμπεριφορά ορισμένων μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων, τα οποία κάτω από ορισμένες συνθήκες παρουσιάζουν το φαινόμενο που είναι γνωστό ως χάος. Χαρακτηρίζεται κυρίως από ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες (γνωστή και ως φαινόμενο της πεταλούδας) και ακολούθως από μη περιοδικότητα. Η ευαισθησία αυτή έχει ως αποτέλεσμα την φαινομενική τυχαιότητα της παρατηρούμενης συμπεριφοράς των συστημάτων, παρ’ όλο που τα συστήματα αυτά είναι αιτιοκρατικά ("ντετερμινιστικά"), με την έννοια ότι είναι καλώς ορισμένοι οι νόμοι εξέλιξής τους και δεν περιέχουν τυχαίες παραμέτρους. Στα συστήματα αυτού του είδους περιλαμβάνονται η ατμόσφαιρα, το ηλιακό σύστημα, οιτεκτονικές πλάκες, τα οικονομικά συστήματα και η εξέλιξη (μεταβολή) των πληθυσμών.

Τα συστήματα που παρουσιάζουν μαθηματικό χάος είναι ντετερμινιστικά και επομένως εύτακτα υπό μια έννοια. Αυτή η τεχνική χρήση του όρου "χάος" διαφωνεί με την καθομιλουμένη, στην οποία το χάος υποδηλώνει την παντελή έλλειψη τάξης. Όταν λέγεται ότι η θεωρία του χάους μελετά ντετερμινιστικά συστήματα, είναι απαραίτητο να αναφέρεται και το συγγενές πεδίο της φυσικής που λέγεται Κβαντική θεωρία του Χάους και μελετά μη αιτιοκρατικά συστήματα σύμφωνα με τους νόμους της Κβαντομηχανικής.

Θεωρήματα μη-πληρότητας

2010-10-21T07:07:00.000-07:00

Στη μαθηματική λογική, τα θεωρήματα μη-πληρότητας του Γκέντελ, τα οποία αποδείχτηκαν από τον Κουρτ Γκέντελ (Kurt Gödel) το 1931, είναι δύο θεωρήματα που υποδεικνύουν έμφυτους περιορισμούς σε όλα (πλην των τετριμμένων) τα τυπικά συστήματα των μαθηματικών. Τα θεωρήματα είναι πολύ σημαντικά για τη φιλοσοφία των μαθηματικών. Ερμηνεύονται γενικά σαν μια απόδειξη πως το πρόγραμμα του Χίλμπερτ να βρεθεί ένα πλήρες και συνεπές σύνολο από αξιώματα για όλα τα μαθηματικά είναι αδύνατο, δίνοντας έτσι αρνητική απάντηση στο δεύτερο πρόβλημα του Χίλμπερτ.

Το πρώτο θεώρημα μη-πληρότητας του Γκέντελ δηλώνει ότι:

Οποιαδήποτε αποτελεσματικά παραχθείσα θεωρία που είναι ικανή να εκφράσει τη στοιχειώδη αριθμητική δεν μπορεί να είναι και συνεπής και πλήρης. Συγκεκριμένα, για κάθε συνεπή, αποτελεσματικά παραχθείσα τυπική θεωρία που αποδεικνύει συγκεκριμένες αλήθειες βασικής αριθμητικής, υπάρχει μία αριθμητική δήλωση η οποία είναι αληθής, αλλά δεν μπορεί να αποδειχθεί από τη θεωρία.

Η αληθής δήλωση που δεν μπορεί να αποδειχθεί στην οποία αναφέρεται το θεώρημα συχνά αναφέρεται ως “η πρόταση Γκέντελ” της θεωρίας. Αυτή δεν είναι μοναδική. Υπάρχουν άπειρες δηλώσεις στη γλώσσα της θεωρίας οι οποίες έχουν την ιδιότητα ότι είναι αληθείς και δεν μπορούν να αποδειχθούν.

Το δεύτερο θεώρημα μη-πληρότητας Γκέντελ μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

Για κάθε αποτελεσματικά παραχθείσα τυπική θεωρία Θ που συμπεριλαμβάνει βασικές αριθμητικές αλήθειες και επίσης συγκεκριμένες αλήθειες για την δυνατότητα τυπικής απόδειξης, η Θ συμπεριλαμβάνει δήλωση περί της ιδίας συνέπειας αν και μόνο αν η Θ είναι ασυνεπής.

Αυτό ενισχύει το πρώτο θεώρημα μη-πληρότητας, επειδή η δήλωση που κατασκευάσαμε στο πρώτο θεώρημα μη-πληρότητας δεν εκφράζει ευθέως την συνέπεια της θεωρίας. Η απόδειξη του δεύτερου θεωρήματος μη-πληρότητας λαμβάνεται, ουσιαστικά, τυπικοποιόντας την απόδειξη του πρώτου θεωρήματος μη-πληρότητας μέσα στην ίδια την θεωρία.

Möbius strip

2010-10-20T15:17:00.001-07:00

Το μόνο που χρειάζεται κανείς για να κατασκευάσει μια ταινία Μέμπιους είναι μια λωρίδα χαρτί: αρκεί να περιστρέψει το ένα άκρο κατά 180 μοίρες και να το κολλήσει στο άλλο άκρο.

Αυτό που προκύπτει είναι ένας ατέρμονος βρόχος σε σχήμα «8», ο οποίος, παραδόξως, έχει μόνο μία πλευρά. Όποια διαδρομή κι αν ακολουθήσει κανείς κατά μήκος της λωρίδας, τελικά καταλήγει πάντα στο σημείο που ξεκίνησε.

Είναι μια κατασκευή που μπορεί να φτιάξει ακόμα και ένα παιδί, όμως οι μαθηματικοί μέχρι σήμερα σήκωναν ψηλά τα χέρια όσον αφορά τη μαθηματική περιγραφή της θαυμαστής ταινίας.

Αυτό που καθορίζει το σχήμα της ταινίας, είναι περιοχές διαφορετικής «ενεργειακής πυκνότητας». Οι περιοχές της λωρίδας που κάμπτονται και διπλώνονται περιέχουν περισσότερη ελαστική ενέργεια από τις επίπεδες περιοχές και τείνουν να επανέλθουν στο αρχικό τους σχήμα, όπως ένα λάστιχο που έχει τεντωθεί.

Το σχήμα της λωρίδας εξαρτάται από το μήκος και το πλάτος του παραλληλόγραμμου από το οποίο κατασκευάστηκε. Αν το πλάτος μεταβάλλεται ανάλογα με το μήκος, οι περιοχές ενεργειακής πυκνότητας μετατοπίζονται και αυτές. Έτσι, μια φαρδιά λωρίδα θα δώσει μια πιο «επίπεδη» και τριγωνική λωρίδα του Μέμπιους.

Η ταινία του Μέμπιους παίρνει το όνομά της από τον Γερμανό μαθηματικό Αύγουστο Φερδινάνδο Μέμπιους (1790-1868). H πατρότητα της ανακάλυψης ανήκει ωστόσο από κοινού στον Μέμπιους και τον επίσης Γερμανό Γίχαν Μπενεντίκτ Λίστινγκ, ο οποίος περιέγραψε ανεξάρτητα το μυστηριώδες σχήμα την ίδια χρονιά.

Η έρευνα μοιάζει τελείως αφηρημένη, ωστόσο θα μπορούσε να έχει και πρακτικές εφαρμογές. Θα μπορούσε να βοηθήσει στην πρόβλεψη των σχισιμάτων στα υφάσματα ή ακόμα και στην μοντελοποίηση μορίων στη φαρμακευτική βιομηχανία.

π

2010-10-20T15:01:00.000-07:00

Επιστήμονας της πληροφορικής έσπασε το ρεκόρ υπολογισμού των ψηφίων του αριθμού «π». Πλέον η διάσημη μαθηματική σταθερά, υπολογίστηκε ότι έχει σχεδόν 2,7 τρισεκατομμύρια ψηφία που ακολουθούν μετά το 3,14, δηλαδή περίπου 123 δισεκατομμύρια περισσότερα ψηφία σε σχέση με το προηγούμενο ρεκόρ.

Ο Φαμπρίς Μπελάρντ, σύμφωνα με το BBC, χρησιμοποίησε έναν απλό επιτραπέζιο υπολογιστή για να κάνει το νέο υπολογισμό, που του πήρε 131 μέρες συνολικά. Ο νέος αριθμός-ρεκόρ του «π» χρειάζεται πάνω από ένα terabyte για να αποθηκευτεί σε σκληρό δίσκο.

Εκτιμάται ότι αν χρειάζεται περίπου ένα δευτερόλεπτο για να εκφωνηθεί ένας αριθμός, η πλήρης απαρίθμηση φωναχτά όλων των ψηφίων του «π» θα απαιτούσε πάνω από 49.000 χρόνια!

Η μαθηματική σταθερά π είναι ο αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του στην Ευκλείδεια γεωμετρία.

Ο συμβολισμός προέρχεται από το αρχικό γράμμα «π» της λέξης «περιφέρεια», και έχει καθιερωθεί διεθνώς, ενώ στο λατινικό αλφάβητο συμβολίζεται ως Pi.

Τα πρώτα 40 δεκαδικά ψηφία του π είναι: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971

Χρυσή Τομή

2010-10-20T12:19:00.000-07:00

Η χρυσή τομή είναι η πιο αρμονική διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος (L) σε δύο άνισα μέρη. Τα δύο μέρη έχουν μια συγκεκριμένη μαθηματική αναλογία.

Για την ακρίβεια, ο λόγος του κοντύτερου τμήματος (b) προς το μεγαλύτερο (a) είναι ίσος με το λόγο του μεγαλύτερου τμήματος προς το μήκος όλου του ευθύγραμμου τμήματος: b/a=a/L.

Αυτή η αναλογία είναι πολύ συχνή στη φύση και θεωρείται ιδανικό ομορφιάς και αρμονίας. Στα έργα τέχνης χρησιμοποιείται συχνά το χρυσό ορθογώνιο, η βάση του οποίου είναι η χρυσή τομή του ύψους του - αν το ύψος ισούται με 1, η βάση θα είναι 0,618.

Το πιο διάσημο παράδειγμα στο οποίο εφαρμόστηκε η χρυσή τομή είναι ο ανεπανάληπτος Παρθενώνας. Η πρόσοψή του εγγράφεται σ' ένα χρυσό ορθογώνιο. Στην "Τζοκόντα" του Λεονάρντο ντα Βίντσι η χρυσή τομή έχει χρησιμοποιηθεί στις γραμμές του προσώπου, στο κομμάτι που ξεκινά από το λαιμό και φτάνει ως την αρχή των χεριών κι από το ντεκολτέ ως χαμηλά στα χέρια. Στην ανατομία συναντάμε τη χρυσή τομή στη σχέση μεταξύ του ύψους του σώματος και της απόστασης του αφαλού του από το έδαφος.

Fractal

2010-10-19T16:42:00.000-07:00

Φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες, ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται σαν απείρως περίπλοκο. Το φράκταλ παρουσιάζεται ως μαγική εικόνα που όσες φορές και να μεγεθυνθεί οποιοδήποτε τμήμα του θα συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο σχέδιο με μερική ή ολική επανάληψη του αρχικού. Χαρακτηριστικό επομένως των φράκταλ είναι η αυτο-ομοιότητα στις δομές τους, η οποία εμφανίζεται σε διαφορετικά επίπεδα μεγέθυνσης.

Τα φράκταλ απαντώνται στη φύση, χωρίς όμως να υπάρχει άπειρη λεπτομέρεια στη μεγέθυνση όπως στα φράκταλ που προκύπτουν από μαθηματικές σχέσεις. Τα σχέδια των νιφάδων του χιονιού, των φύλλων των φυτών ή των διακλαδώσεων των αιμοφόρων αγγείων, ειναι σχέδια φρακταλς.

Όγκος

2010-10-19T15:52:00.000-07:00

Ως χώρος γενικά στη φυσική ονομάζεται το περιβάλλον που είναι άρρηκτα συνδεδεμένο στην ιδέα της απόστασης σε τρεις διαστάσεις.

Ο χώρος, όπως τον αντιλαμβανόμαστε, έχει τρεις διαστάσεις που συμβολίζονται με τρεις διευθύνσεις κάθετες μεταξύ τους. Κάθε στερεό σώμα έχει συγκεκριμένο μήκος, πλάτος και ύψος και μπορεί να κινηθεί και προς τις έξι κατευθύνσεις, δηλαδή εμπρος, πίσω, δεξιά, αριστερά, πάνω ή κάτω, προκειμένου να φθάσει σε κάποιο άλλο σημείο του χώρου.

Ο όγκος, που ονομάζεται επίσης και χωρητικότητα, είναι η ποσότητα του χώρου που καταλαμβάνει ένα αντικείμενο, δηλαδή μετράει πόσο χώρο πιάνει ένα αντικείμενο. Συμβολίζεται συνήθως με το αγγλικό γράμμα V (Volume).

Ο όγκος ενός στερεού αντικειμένου έχει αριθμητική αξία και δίνεται για να περιγράψει την τρισδιάστατη αντίληψη για το πόσο χώρο καταλαμβάνει. Μιας διάστασης αντικείμενα (όπως γραμμές) και δυο διαστάσεων αντικείμενα (όπως τετράγωνα) δεν έχουν όγκο σε τρεις διαστάσεις. Ο όγκος, τοεμβαδόν της επιφάνειάς και η κάθε γραμμική διάσταση ενός γεωμετρικού αντικειμένου μεταβάλλονται διαφορετικά, όταν αυτό μεγεθύνεται ή σμικρύνεται. Για παράδειγμα αν ένας κύβος μεγαλώσει έτσι ώστε η πλευρά του να γίνει δεκαπλάσια, ο όγκος του θα χιλιαπλασιαστεί, ενώ το εμβαδόν της επιφάνειάς του θα εκατονταπλασιαστεί.

Για τον όγκο ισχύουν οι αντίστοιχοι κανόνες που ισχύουν για το εμβαδόν και την απόσταση. Έτσι, ο όγκος ενός σώματος που μπορεί να χωριστεί σε δύο επιμέρους σώματα ισούται με το άθροισμα των όγκων των δύο επιμέρους σωμάτων.