MATEMÁTICA DO ENEM

Questão 48 FUVEST 2025 - Matemática

2025-04-01T14:22:00.003-03:00

Os gráficos a seguir apresentam a evolução do abate de bovinos e da participação de machos e fêmeas, por trimestre(indicado por algarismo romano), segundo informações obtidas pelo IBGE.

Evolução do abate de bovinos no Brasil por trimestre (2019-2024)

Evolução da participação de machos e fêmeas no abate de bovinos no Brasil por trimestre (2019-2024)

IBGE: Diretoria de Pesquisas. Coordenação de Estatísticas Agropecuárias.

Pesquisa Trimestral do Abate de Animais 2019-2024 (Adaptado).

A partir dos dados observados nos gráficos, é correto afirmar:

(A) No primeiro trimestre de 2023, a diferença entre as

quantidades de machos e fêmeas abatidos foi menor que

a do primeiro trimestre de 2019.

(B) No primeiro trimestre de 2023, a quantidade de fêmeas

abatidas foi de, aproximadamente, 2 milhões.

as quantidades de machos e fêmeas abatidos foi igual.

(D) No primeiro trimestre de 2024, a quantidade de fêmeas

abatidas foi de, aproximadamente, 4,3 milhões.

(E) No primeiro trimestre de 2024, a quantidade de fêmeas

abatidas foi igual à do primeiro trimestre de 2019.

RESOLUÇÃO COMENTADA

Agora que tenho os gráficos, vou analisá-los para responder corretamente à questão.

Análise dos gráficos

Evolução do abate de bovinos no Brasil (2019-2024)
- No 1º trimestre de 2019, o total abatido foi 7,93 milhões de cabeças.
- No 1º trimestre de 2023, o total abatido foi 7,44 milhões de cabeças.
- No 1º trimestre de 2024, o total abatido foi 9,30 milhões de cabeças.
Participação de machos e fêmeas no abate
- No 1º trimestre de 2019, a porcentagem de fêmeas abatidas era 46,6%.
- No 1º trimestre de 2023, a porcentagem de fêmeas abatidas era 44,8%.
- No 1º trimestre de 2024, a porcentagem de fêmeas abatidas era 46,2%.

Verificação das alternativas

(A) No primeiro trimestre de 2023, a diferença entre as quantidades de machos e fêmeas abatidos foi menor que a do primeiro trimestre de 2019.

Em 2019:
- Fêmeas: 46,6% de 7,93 milhões ≈ 3,70 milhões
- Machos: 53,4% de 7,93 milhões ≈ 4,23 milhões
- Diferença: 4,23 - 3,70 = 0,53 milhões
Em 2023:
- Fêmeas: 44,8% de 7,44 milhões ≈ 3,33 milhões
- Machos: 55,2% de 7,44 milhões ≈ 4,11 milhões
- Diferença: 4,11 - 3,33 = 0,78 milhões
A diferença em 2023 (0,78 milhões) foi maior do que em 2019 (0,53 milhões), então essa alternativa está errada.

(B) No primeiro trimestre de 2023, a quantidade de fêmeas abatidas foi de, aproximadamente, 2 milhões.

Como calculado acima, foram abatidas aproximadamente 3,33 milhões de fêmeas, então essa alternativa está errada.

(C) No primeiro trimestre de 2021 e de 2022, a diferença entre as quantidades de machos e fêmeas abatidos foi igual.

Em 2021:
- Fêmeas: 36,8% de 6,60 milhões ≈ 2,43 milhões
- Machos: 63,2% de 6,60 milhões ≈ 4,17 milhões
- Diferença: 4,17 - 2,43 = 1,74 milhões
Em 2022:
- Fêmeas: 39,5% de 7,01 milhões ≈ 2,77 milhões
- Machos: 60,5% de 7,01 milhões ≈ 4,24 milhões
- Diferença: 4,24 - 2,77 = 1,47 milhões
As diferenças são diferentes, então essa alternativa está errada.

(D) No primeiro trimestre de 2024, a quantidade de fêmeas abatidas foi de, aproximadamente, 4,3 milhões.

Em 2024:
- Fêmeas: 46,2% de 9,30 milhões ≈ 4,30 milhões
Como o valor bate, essa alternativa está correta.

(E) No primeiro trimestre de 2024, a quantidade de fêmeas abatidas foi igual à do primeiro trimestre de 2019.

Em 2019, foram abatidas 3,70 milhões de fêmeas.
Em 2024, foram 4,30 milhões.
Como os valores são diferentes, essa alternativa está errada.

Resposta correta:

Alternativa (D).

Questão 25 FUVEST 2025

2025-04-01T13:56:00.000-03:00

“Historiadores encontraram um mapa antigo onde não era possível identificar a escala do mapa. Com algum esforço e apoio de Geógrafos, foi possível avaliar a distância no mapa entre duas localidades como sendo de 20 centímetros. Buscando elementos na paisagem, foi possível quantificar a distância entre elas como equivalente a 40 quilômetros.”

FITZ, Paulo Roberto. Cartografia Básica. São Paulo: Oficina de Textos, 2008 (Adaptado).

Com base nessas medidas, a escala numérica do mapa corresponde a

(A) 1:20.000.

(B) 1:200.000.

(D) 1:2.200.000.

(E) 1:20.000.000.

Resolução Comentada:

A escala de um mapa indica quantas vezes a realidade foi reduzida para caber no papel. Ela é representada pela razão entre a distância no mapa e a distância real, ambas na mesma unidade de medida.

1. Converter tudo para a mesma unidade

No mapa, a distância entre as duas localidades é 20 cm.
Na realidade, a distância é 40 km.
Como 1 km = 100.000 cm, transformamos 40 km em centímetros:
$40 \times 100.000 = 4.000.000 \text{ cm}$

2. Calcular a escala

Agora, basta dividir a distância no mapa pela distância real:

$\frac{20}{4.000.000} = \frac{1}{200.000}$

Ou seja, a escala do mapa é 1:200.000, o que significa que 1 cm no mapa representa 200.000 cm (ou 2 km) na realidade.

3. Alternativa correta

A resposta correta é a letra (B) 1:200.000.

Questão 138, caderno azul do ENEM 2024

2025-03-31T12:51:00.008-03:00

Para abrir a porta de uma empresa, cada funcionário deve cadastrar uma senha utilizando um teclado alfanumérico como o representado na figura.
Por exemplo: a tecla que contém o número 2 traz as letras correlacionadas A, B e C. Cada toque nessa tecla mostra, sequencialmente, os seguintes caracteres: 2, A, B e C. Para os próximos toques, essa sequência se repete. As demais teclas funcionam da mesma maneira.
As senhas a serem cadastradas pelos funcionários devem conter 5 caracteres, sendo 2 algarismos distintos seguidos de 3 letras diferentes, nessa ordem. Um funcionário irá cadastrar a sua primeira senha, podendo escolher entre as teclas que apresentam os números 1, 2, 5, 7 e 0 e as respectivas letras correlacionadas, quando houver.
O número de possibilidades diferentes que esse funcionário tem para cadastrar sua senha é
A) 11 520.
B) 14 400.
C) 18 000.
D) 312 000.
E) 390 000.

Para resolver essa questão, utilizamos o Princípio Fundamental da Contagem (PFC), que nos diz que, se um evento ocorre de

$m$ maneiras e um segundo evento ocorre de $n$ maneiras, então a quantidade total de maneiras de ambos ocorrerem é dada pelo produto:

\text{Total de maneiras} = m \times n

Passo 1: Escolher os dois números distintos

Os números disponíveis são {1, 2, 5, 7, 0}. Precisamos escolher 2 números distintos, e a ordem importa.

Escolha do 1º número: $5$ opções.
Escolha do 2º número (diferente do primeiro): $4$ opções.

Portanto, o número total de formas de escolher os dois números é:

5 \times 4 = 20

Passo 2: Escolher as três letras distintas

As teclas disponíveis fornecem as seguintes letras:

2 → A, B, C
5 → J, K, L
7 → P, Q, R, S

No total, há 10 letras distintas. Precisamos escolher 3 letras diferentes, e a ordem importa.

Escolha da 1ª letra: $10$ opções.
Escolha da 2ª letra (diferente da 1ª): $9$ opções.
Escolha da 3ª letra (diferente das anteriores): $8$ opções.

O número total de formas de escolher as três letras é:

10 \times 9 \times 8 = 720

Passo 3: Multiplicar todas as escolhas

Agora, aplicamos o Princípio Fundamental da Contagem, multiplicando as possibilidades dos números e das letras:

20 \times 720 = 14.400

Resposta final:

O número total de senhas possíveis é 14.400

LETRA B

✅

O que acharam ? Ficou alguma dúvida ? Coloquem nos comentários !

Questão 137 - Caderno Azul - ENEM 2024

2025-03-31T12:22:00.010-03:00

Questão 137 - Caderno Azul - ENEM 2024

Ao calcular a média de suas notas em 4 provas, um estudante dividiu, por engano, a soma das notas por 5. Com isso, a média obtida foi 1 unidade menor do que deveria ser, caso fosse calculada corretamente. O valor correto da média das notas desse estudante é

Resolução Comentada:

Seja

$S$ a soma das notas do estudante. A média correta deveria ser calculada dividindo $S$ por 4:

M_c = \frac{S}{4}

Porém, o estudante cometeu um erro e dividiu $S$ por 5:

M_e = \frac{S}{5}

Segundo o enunciado, a média errada ficou 1 unidade menor do que a correta:

\frac{S}{5} = \frac{S}{4} - 1

Agora, resolvemos essa equação:

Multiplicamos ambos os lados por 20 (mínimo múltiplo comum de 4 e 5):

20 \times \frac{S}{5} = 20 \times \left(\frac{S}{4} - 1\right)

Simplificamos:

4S = 5S - 20

Isolamos $S$ :

$ 5S - 4S = 20 $

$ S = 20 $

Agora, substituímos na fórmula da média correta:

M_c = \frac{S}{4} = \frac{20}{4} = 5

Resposta final:

O valor correto da média das notas do estudante é 5. ✅

Definem-se o dia e o ano de um planeta de um sistema solar ... ENEM 2022- PROVA DE MATEMÁTICA

2023-03-30T02:04:00.005-03:00

Definem-se o dia e o ano de um planeta de um sistema solar como sendo, respectivamente, o tempo que o planeta leva para dar 1 volta completa em torno de seu próprio eixo de rotação e o tempo para dar 1 volta completa em torno de seu Sol.

Suponha que exista um planeta Z, em algum sistema solar, onde um dia corresponda a 73 dias terrestres e que 2 de seus anos correspondam a 1 ano terrestre. Considere que 1 ano terrestre tem 365 de seus dias. No planeta Z, seu ano corresponderia a quantos de seus dias?

A) 2,5

B) 10,0

C) 730,0

D) 13 325,5

E) 53 290,0

RESOLUÇÃO:

O enunciado diz:

2 anos em Z = 1 ano na Terra

Logo:

2 anos em z = 365 dias

1 ano em z = 365 dias / 2

1 ano em z = 182,5 dias na Terra

Bom, então sabemos que 1ano em Z equivale a 182,5 dias na Terra.

A questão quer saber quantos dias em Z tem um ano em Z.

Ou de outra forma, 1 ano em Z tem quantos dias?

Ou ainda, substituindo o que encontramos acima :

182,5 dias na Terra equivale a quantos dias em Z?

O enunciado também informa que

73 dias na Terra = 1 dia em Z

Logo, fazemos a regra de três:

73 dias na Terra ~ 1 dia em Z

182,5 dias na Terra ~ x dias em Z

73x = 1 * 182,5

x = 182,5/73

x = 2,5

Então:

182,5 dias na Terra = 2,5 dias em Z

182,5 dias na Terra = 1 ano em Z

Substituímos

1 ano em Z = 2,5 dias em Z

Portanto, resposta é letraA

Espero ter sido claro

Se ficou alguma dúvida, coloque nos comentários.

Até a próxima !

Um borrifador de atuação automática

2023-03-29T18:24:00.001-03:00

Um borrifador de atuação automática libera, a cada acionamento, uma mesma quantidade de inseticida. O recipiente desse produto, quando cheio, contém 360 mL de inseticida, que duram 60 dias se o borrifador permanecer ligado ininterruptamente e for acionado a cada 48 minutos. A quantidade de inseticida que é liberada a cada acionamento do borrifador, em mililitro, é

A) 0,125

B) 0,200

C) 4,800

D) 6,000

E) 12,000

RESOLUÇÃO:

Neste tipo de questão temos que prestar muita atenção nas unidades de medidas.

Se tivermos unidades de medidas diferentes para a mesma grandeza tempos que fazer a conversão entre elas.

Nesta questão, o enunciado diz que o borrifador dura 60 dias e é acionado a cada 48 minutos.

Ou seja, a grandeza tempo tem duas unidades de medidas: dias e minutos.

Vamos então fazer a conversão de 60 dias para minutos.

60 dias = 60 x 24 horas => 1.440 horas

Agora vamos converter para minutos:

1 hora = 60 minutos

1.440 horas = 1440 x 60 => 86.400 minutos

Portanto, 60 dias = 86.440 minutos

Passo 2:

O borrifador dura 85.440 minutos e é acionado a cada 48 minutos.

Para sabermos o número de vezes que ele é acionado basta dividir

85.440/ 48 = 1800 vezes

Passo 3

Agora sim podemos calcular o que a questão solicita:

“a quantidade de inseticida que é liberada a cada acionamento do borrifador”

A quantidade total = 360ml

O número de acionamentos = 1800

Basta, então, fazer a divisão:

360/1800 = 0,2

Ou seja, a quantidade de inseticida liberada a cada acionamento foi de 0,2 ml; que é o mesmo que 0,200 ml.

Resposta : letra B

Espero ter ajudado.

Quaisquer dúvidas, basta colocar nos comentários.

Até a próxima !

Questão de Matemática de Porcentagem e Média Ponderada do Enem 2022

2023-03-28T23:37:00.002-03:00

Em uma universidade, atuam professores que estão enquadrados funcionalmente pela sua maior titulação: mestre ou doutor. Nela há, atualmente, 60 mestres e 40 doutores. Os salários mensais dos professores mestres e dos doutores são, respectivamente, R$ 8 000,00 e R$ 12 000,00. A diretoria da instituição pretende proporcionar um aumento salarial diferenciado para o ano seguinte, de tal forma que o salário médio mensal dos professores dessa instituição não ultrapasse R$ 12 240,00. A universidade já estabeleceu que o aumento salarial será de 25% para os mestres e precisa ainda definir o percentual de reajuste para os doutores. Mantido o número atual de professores com suas atuais titulações, o aumento salarial, em porcentagem, a ser concedido aos doutores deverá ser de, no máximo

A) 14,4.

B) 20,7.

C) 22,0.

D) 30,0.

E) 37,5.

Resolução passo a passo:

*Esta é uma ótima questão para estudar porcentagem e média ponderada.

Vamos começar calculando o aumento salarial dos mestres. O enunciado informa que será de 25%:

25% de 8.000 = 25 x 8000 =>

100

Cortando os zeros do numerador e denominador:

=> 25 x 80 = 2000

O novo salário dos mestres será soma do salário antigo mais o aumento:

8000 + 2000 = 10.000

O segundo passo será calcular o novo salário do professores doutores.

Para isso, vamos calcular a média salarial dos professores.

O enunciado diz que salário médio mensal dos professores não ultrapasse R$ 12.240,00

A média será a soma dos salários de todos os professores dividida pelo número total de professores:

Soma do salário total: 60 x salário dos mestres + 40 x salário dos doutores

O número total de professores: temos 60 mestres e 40 doutores

Portanto: 60 + 40 = 100 professores

Vamos chamar de:

SM: salário dos mestres

SD: salário dos doutores

Média = 60 x SM + 40 x SD

100

O salário do mestres já calculamos é 10.000 e a média , o enunciado informa que é 12.240, vamos substituir na fórmula:

12.240 = 60 x 10.000 + 40 x SD

100

12.240 x 100 = 60 x 10.000 + 40 x SD

1.224.000 = 600.000 + 40 x SD

1.224.000 – 600.000 = 40 ^x SD

624.000 = 40 x SD

624.000 = SD

15.600 = SD

SD = 15600

Salário dos doutores = 15.600

A questão quer saber o aumento salarial dos doutores em porcentagem. Vamos calcular:

O aumento salarial foi de 15.600 - 12.000 = 3.600.

Agora precisamos o quantos por cento 3600 é de 12.000 (salário inicial do doutor).

Para isso, usamos a regra de três simples

12.000 ~ 100%

3.600 ~ x%

12.000x = 3600 x 100

12.000x = 360.000

x = 360.000

12.000

Corta-se os zeros do numerador e denominador:

x = 360

x= 30 => 30%

Portanto, o aumento percentual do salário dos doutores foi de 30%.

RESPOSTA: LETRA D

Espero que ter sido claro na resolução da questão.

Quaisquer dúvidas , escreva nos comentários.

Será um prazer ajudá-lo

Até a próxima !!!

ENEM 2013

2014-07-19T12:19:00.001-03:00

Cinco empresas de gêneros alimentícios encontram-se à venda. Um empresário, almejando ampliar os seus investimentos, deseja comprar uma dessas empresas. Para escolher qual delas irá comprar, analisa o lucro (em milhões de reais) de cada uma delas, em função de seus tempos (em anos) de existência, decidindo comprar a empresa que apresente o maior lucro médio anual.

O quadro apresenta o lucro (em milhões de reais) acumulado ao longo do tempo (em anos) de existência de cada empresa

O empresário decidiu comprar a empresa

A) F.

B) G.

C) H.

D) M.

E) P

Resolução:

Para conhecermos a média de lucro anual basta dividirmos o lucro pelos anos.

A empresa G é a que tem maior lucro médio anual:

24:2 = 12

Resposta: letra B

ENEM 2013

2014-07-19T11:20:00.001-03:00

O contribuinte que vende mais de R$ 20 mil de ações em Bolsa de Valores em um mês deverá pagar Imposto de Renda. O pagamento para a Receita Federal consistirá em 15% do lucro obtido com a venda das ações.

Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).

Um contribuinte que vende por R$ 34 mil um lote de ações que custou R$ 26 mil terá de pagar de Imposto de Renda à Receita Federal o valor de :

A) R$ 900,00.

B ) R$ 1 200,00.

C ) R$ 2 100,00.

D ) R$ 3 900,00.

E ) R$ 5 100,00.

Resolução:

Lucro: 34 mil – 26 mil = 8 mil

Imposto: 15% de 8 mil

Imposto= 0,15 x 8.000,00

Imposto = 1.200,00

Resposta: Letra B

ENEM 2013

2014-07-19T09:55:00.002-03:00

A cidade de Guarulhos (SP) tem o 8º PIB municipal do Brasil, além do maior aeroporto da América do Sul. Em proporção, possui a economia que mais cresce em indústrias, conforme mostra o gráfico.

Analisando os dados percentuais do gráfico, qual a diferença entre o maior e o menor centro em crescimento no polo das indústrias?

A) 75,28

B )64,09

C )56,95

D )45,76

E )30,07

Resolução:

Maior crescimento: 60,52

Menor crescimento: 3,57

Diferença: 60,52 – 3,57 = 56,95

Resposta: Letra D.

Enem 2011

2013-09-02T19:00:00.000-03:00

Você pode adaptar as atividades do seu dia a dia de uma forma que possa queimar mais calorias do que as gastas normalmente, conforme a relação seguinte:

- Enquanto você fala ao telefone, faça agachamentos: 100 calorias gastas em 20 minutos.

- Meia hora de supermercado: 100 calorias.

- Cuidar do jardim por 30 minutos: 200 calorias.

- Passear com o cachorro: 200 calorias em 30 minutos.

- Tirar o pó dos móveis: 150 calorias em 30 minutos.

- Lavar roupas por 30 minutos: 200 calorias.

Uma pessoa deseja executar essas atividades, porem, ajustando o tempo para que, em cada uma, gaste igualmente 200 calorias.

A partir dos ajustes, quanto tempo a mais será necessário para realizar todas as atividades ?

A) 50 minutos

B) 60 minutos.

C) 80 minutos.

D) 120 minutos.

E) 170 minutos.

Resolução:

O tempo a mais utilizado em cada atividade para gastar 200 calorias será:

Agachamentos: 20 minutos

Supermercado: 30 minutos

Cuidar do jardim: 0 minutos

Passear com cachorro: 0 minutos

Limpar móveis: 10 minutos

Lavar roupas: 0

Total de tempo a mais utilizado: 20 + 30 + 0 + 0 + 10 + 0 = 60 minutos

Resposta : letra B

Enem 2011

2013-08-21T19:15:00.001-03:00

Café no Brasil
O consumo atingiu o maior nível da história no ano passado: os brasileiros beberam o equivalente a 331 bilhões de xícaras.

Veja. Ed. 2158, 31 mar. 2010.

Considere que a xícara citada na noticia seja equivalente a, aproximadamente, 120 ml de café . Suponha que em 2010 os brasileiros bebam ainda mais café, aumentando o consumo em 1/5 do que foi consumido no ano anterior.

De acordo com essas infomações, qual a previsão mais aproximada para o consumo de café em 2010 ?

A) 8 bilhões de litros.

B) 16 bilhões de litros.

C) 32 bilhões de litros.

D) 40 bilhões de litros.

E) 48 bilhões de litros.

Resolução:

Primeiramente, vamos encontrar quantas xícaras de café serão consumidas em 2010:

No ano anterior foram: 331 bilhões.

Vamos calcular o aumento em relação ao ano anterior:

1/5 x 331 bilhões = 66,1 bilhões

( lembrando que multiplicar um númerio por 1/5 é o mesmo que dividir esse número por 5)

Portanto em 2010 o consumo foi : 331 + 66,1 = 397,2 bilhões de xícaras

Agora precisamos saber o total de litros de café consumidos.

E por que litros?

Porque todas as alternativas estão expressas em litros. Ok?

O exercício nos diz que cada xícara contém 120 ml de café.

120 ml = 0,120 litros ou 0,12 litros.

Agora é só multiplicar o total de xícaras consumido pela quantidade de café presente em cada xícara:

397,2 x 0,12 = 47,664 (aproximadamente 48 bilhões)

Resposta: Alternativa E

Defasagem em matemática afeta até país rico

2011-10-06T20:15:00.000-03:00

Defasagem em matemática afeta até país rico, diz especialista

Autor(es): Luciano Máximo

Valor Econômico - 19/08/2011

Na visão de especialistas internacionais e educadores brasileiros reunidos em seminário no Rio de Janeiro, ontem, currículos pedagógicos fragmentados e despreparo de professores são os maiores problemas para o ensino da matemática no Brasil e no mundo. A defasagem no aprendizado da matéria verificada atualmente já é apontada como um obstáculo que respinga no desempenho da economia mundial.

O acadêmico americano William Schmidt, professor do Instituto de Pesquisa em Matemática e Educação Científica da Universidade de Michigan, chama atenção para o fato de que, a despeito do elevado índice de desemprego atual, "dezenas de milhares" de oportunidades de trabalho nos Estados Unidos não são preenchidas por falta de capacitação relacionada ao conhecimento matemático. "As demandas da economia hoje exigem alto conhecimento tecnológico. Nos EUA, por exemplo, não tem gente suficientemente qualificada para preencher vagas disponíveis no mercado de trabalho, tanto para oportunidades de nível superior como de nível médio", relatou Schmidt

O professor de psicologia cognitiva da Universidade de Virginia Daniel Willingham acrescenta que há uma grande corrente de economistas no mundo que relaciona o bom desempenho no ensino da matemática a um mercado de trabalho e a uma economia mais dinâmicos. "Países bem-sucedidos economicamente têm capacidade permanente de inovar, de avançar tecnologicamente. Se não é possível demonstrar concretamente que isso está relacionado com uma boa educação de matemática, posso afirmar que várias opções de carreira se fecham para o indivíduo que tem um baixo conhecimento da matéria", disse Willingham, ilustrando que a evasão universitária no mundo é maior nas áreas de exatas do que na de humanas.

Recente levantamento da Confederação Nacional da Indústria (CNI) aponta 50% de desistência nas graduações de engenharia do país nos primeiros dois anos de curso. "Isso ocorre porque o estudante sai mal preparado da educação básica e não consegue acompanhar o conteúdo do ensino superior", diz Anderson Stevens Gomes, secretário estadual de Educação de Pernambuco, presente ao seminário "O ensino de matemática nas séries iniciais", promovido pelo Instituto Alfa e Beto.

Em pesquisa sobre o conteúdo dos currículos de matemática envolvendo 50 países - o Brasil não está na lista -, Schmidt verificou que o desempenho na matéria das crianças de ensino fundamental nos cinco melhores e nos cinco piores países não segue uma linha homogênea. "Um país no top 5 pode ter uma ótima performance em geometria, mas uma nota mais baixa em fração. É aí que identificamos problemas curriculares, seja de hierarquia de conteúdo ou de intensidade do que é passado aos alunos ao longo de toda a educação básica. Nos EUA há um aprofundamento em álgebra, mas a aritmética é vista de forma superficial", comentou o acadêmico de Michigan, que defende um currículo matemático mais enxuto e consistente. "Hong Kong tem 79 tópicos de matemática abordados em seu currículo; os EUA, 186." Schmidt questiona também a falta de preparo dos professores para lecionar a disciplina. "Pelo menos dois terços dos professores americanos de matemática não são especialistas na matéria."

Todo mundo é bom em Matemática

2011-09-26T18:57:00.000-03:00

Ótimo artigo sobre a forma equivocada de ensinar matemática nas escolas. E como ela contribui para o desinteresse e a dificuldade na matéria.

Todo mundo é bom em Matemática.

Já nascemos com um senso numérico. O que atrapalha é o jeito que as escolas ensinam a disciplina.

Keith Devlin

Se for como a maioria das pessoas, será óbvio para você o que significa fazer matemática. Ainda que seja pressionado a dar uma definição precisa, responderá com uma ideia geral do que o tema envolve: números, aritmética, álgebra, equações, geometria, problemas sobre trens que deixam estações, teoremas. Você não terá nenhuma dificuldade em dizer se é bom nisso (a resposta geralmente é “não” ou, às vezes, “não muito”) ou se gosta do assunto.

Mas essa visão da matemática é extremamente empobrecida e não representa a disciplina em si. Os números constituem apenas parte de um tipo particular de matemática e, na verdade, não é com cálculos aritméticos que a maioria dos matemáticos gasta a maior parte do seu tempo. A matemática natural realizada por seres vivos de outras espécies também não se restringe a números e aritmética. Ela trata de padrões. E é de padrões que a vida é feita.

O seres humanos nascem (ou adquirem logo depois do nascimento) com um senso de numero que lhes permite distinguir 1, 2 ou 3 objetos ou sons. Aos 4 meses são capazes de saber (talvez inconscientemente) que, quando se juntam dois objetos, não 1, nem 3. Sabem que quando retiramos um objeto de um conjunto de 2, o que sobra é um objeto, não 2, tampouco nenhum.

O problema não está no fato de as pessoas não conseguirem usar matemática. Na verdade, elas não conseguem usar matemática escolar, uma vez que ela é abstrata. O que a evidencia mostra é que se nós quisermos aumentar a probabilidade de aprender a

disciplina, precisaremos avaliar a forma e o contexto no qual ela é apresentada. O grau de sucesso de uma pessoa no domínio da matemática escolar dependerá, em grande parte, de quanto significado ela conseguira atribuir aos símbolos e às operações efetuadas com eles.

O cérebro humano evoluiu como um dispositivo de busca de significado. Nós vemos e buscamos significados em toda parte. Um computador pode ser programado para seguir regras sem ter nenhuma compreensão de seu significado. Mas as pessoas não são assim. Com esforço considerável, podemos aprender tabuadas e treinar para seguir um pequeno número de procedimentos aritméticos. Mas mesmo aí o significado é a chave. É duvidoso que até mesmo o cérebro humano seja capaz de efetuar uma operação desprovida de sentido. A matemática de rua trata exatamente da execução de operações com significados enquanto a matemática escolar trata simplesmente das manipulações formais de símbolos cujos significados, quando existem, não estão representados nos símbolos. Para a maioria das pessoas, R$ 27,99 significa algo. Mas 27,99, não. É só um número.

Trabalhar com aritmética escolar não envolve procedimentos mais difíceis do que podemos ver em uma criança de 9 anos de idade, precariamente instruída, numa barraca de feira. A única diferença é o grau de significado envolvido. Umas que aprendemos o significado, a matemática escolar fica mais fácil.

Keith Devlin é professor do departamento de Matemática de Universidade de Stanford e auto de O Instinto Matemático, da Editora Record

Fonte: Revista Galileu julho/2011: http://revistagalileu.globo.com/

Exponenciais

2011-09-22T16:10:00.000-03:00

O estudante Gustavo de Franca/SP, que faz o 1º ano do Ensino Médio, está estudando funções exponenciais e nos mandou algumas questões para ajudá-lo a resolvê-las. Aqui estão algumas.

Mandem suas dúvidas para andmatematica1@gmail.com

1 – (UFLA) O valor de x que satisfaz a equação 2^x+3 + 2^x-3 = 260 é:

a) 5

b) 8

c) 3

d) 2

e) 1

2^x+3 + 2^x-3= 260

2^x · 2³ + 2^x · 2^-3 = 260

2^x ( 2³ + 2^-3) = 260

2^x ( 8 + 1/8) =260

2^x (65/8) = 260

2^x = (260 · 8) /65

2^x = 32

2^x = 2⁵

x = 5

2 – (UFJF) A função c(t) = 200 . 3^kt , com k = 1/12, dá o crescimento do número C, de bactérias, no instante t em horas. O tempo necessário, em horas, para que haja, nessa cultura, 16200 bactérias, está no intervalo

a) [0, 4]

b) [4, 12]

c) [12, 36]

d) [36, 72]

e) [72, 108]

C(t) = 200 · 3^kt

16200 = 200 · 3^kt

16200/200 = 3^kt

81 = 3^kt

3⁴ = 3^kt

4 = kt

Substituindo k = 1 / 12

4 = (1/12) t

4 · 12 = t

T = 48

Resp.: D

3 – (UFV) Seja a função real f(x) = a^x , a > 1. O conjunto dos valores de x para os quais f(x² – 3) > f(6) é:

f(x) = a^x

f(x² - 3) = a^x²-3

f(6) = a⁶

f(x² - 3) > f(6)

a^x² - 3 > a⁶

como a > 1, o sinal é o mesmo

x² - 3 > 6

x² > 9

x > 3 ou x < -3

Resp. : letra d

Olimpíada de Matemática

2011-08-27T12:50:00.000-03:00

Pessoal, essas são as primeiras questões da Olimpíada de Matemática 2011.
Vamos resolvê-las, juntos?
Mandem sugestões !

1) A figura ao lado representa um mapa de estradas. Os números escritos nas setas indicam quanto de pedágio um viajante deve pagar ao passar pela estrada. Todas as estradas são de mão única, como indicam as setas. Qual o valor mínimo de pedágio pago por um viajante que sai da cidade A e chega na cidade B?

Questão 2

2) O pai de Esmeralda comprou um terreno retangular de 120 metros de comprimento por 80 metros de largura. Devido a leis ambientais, ele deve plantar árvores em 20% do terreno. Ele faz isso plantando-as em duas faixas de mesma largura nas laterais do terreno, conforme mostra a figura. Qual é essa largura?

Questão 3

3) No desenho ao lado, três cubos iguais estão apoiados sobre uma mesa. Cada cubo tem as faces numeradas por 0, 1, 3, 4, 5, 9, onde cada número aparece exatamente uma vez. Qual é a soma dos números das faces em contado com a mesa?

Questão 4

4) Qual é o valor da expressão 20112011² + 20112003² - 16 x 20112007?

Pessoal, mandem sugestões de resolução desses exercícios.

O blog está de volta !

2011-08-27T12:38:00.000-03:00

Pessoal, muitos alunos e professores têm pedido para que eu volte a blogar. Eu adoraria poder postar com freqüência, porém, as obrigações profissionais me impedem fazer isso mantendo um certo nível de qualidade. Portanto, eu peço a colaboração de todos os visitantes para ajuda a responder a questões mais interessantes enviadas pelos estudantes, esclarecer dúvidas mais frequentes, sugerindo temas para posts, ou simplesmente enviando questões para o blog.

Espero que assim, possamos colaborar para tornar a Matemática uma disciplina mais acessível e instigante para o estudante brasileiro que tanta dificuldade tem na matéria.

Mande suas dúvidas para andmatematica1@gmail.com.

* Para começar vou postar as questões da Olimpíada Brasileira de Matemática para que possamos, juntos, resolvê-las.

Novo blog de matemática

2011-07-26T20:12:00.000-03:00

Pessoal,
Novo blog de matemática na praça, com resolução comentada do Enem e concursos. Segue a mesma proposta deste blog: http://matematicacomentada.blogspot.com/
Conheçam e aproveitem.
Falou.

Probabilidades e Futebol

2009-09-09T22:22:00.000-03:00

Uma boa dica de site para aqueles que são fãs de futebol é o http://www.mat.ufmg.br/futebol/index.html do departamento de matemática da UFMG. Nele você poderá acompanhar as chances de seu time ser campeão do campeonato brasileiro. Para os menos otimistas pode ser conferidas também as chances de biliscar um vaguinha na copa Libertadores da América,ou Sul-Americana e, para os aflitos as chances de ser rebaixado para a segunda divisão. Trata-se de um bom exemplo de como a matemática e estatística podem estar relacionadas o com nosso dia-a-dia.

O Desafio de Einstein

2009-09-02T17:03:00.000-03:00

O desafio de Einstein

Dizem que Einstein formulou este desafio no século XIX. Segundo ele 98% da população mundial não conseguiria resolver!!!

Veja se você faz parte dos 2%.

Há 5 casas de 5 cores diferentes; em cada casa mora uma pessoa de uma nacionalidade diferente. Esses 5 proprietários bebem diferentes bebidas, fumam diferentes marcas de cigarro e tem animais de estimação diferentes.

Considerando as informações dadas a seguir, pergunta-se:

Qual deles tem um peixe?

Qual a cor da casa em que casa mora?

Qual sua bebida preferida?

Que marca de cigarro fuma?

1. O inglês vive na casa vermelha.

2. O dinamarquês bebe chá.

3. A casa verde fica à esquerda da casa branca e seu dono bebe café.

4. A pessoa que fuma Pall Mall cria pássaros.

5. O dono da casa amarela fuma Dun Hill.

6. O homem que fica na casa do centro bebe leite.

7. O norueguês vive na primeira casa.

8. O homem que fuma Blends vive ao lado da casa que tem gatos.

9. O homem que cria cavalos vive ao lado do que fuma Dun Hill.

10. O homem que fuma Bluemaster bebe cerveja.

11. O alemão fuma Prince.

12. O norueguês vive ao lado da casa azul.

13. O homem que fuma Blends é vizinho do que bebe água.

14. O sueco tem um cachorro.

Questões resolvidas do ENEM

2009-08-31T20:20:00.000-03:00

Pessoal, abaixo a resolução da segunda parte das questões-modelo diponibilizadas no site do ENEM.

Questão 4:
A figura a seguir mostra a porcentagem de oxigênio (O2) presente na atmosfera, ao longo de 4,5 bilhões de anos, desde a formação da Terra até a era dos dinossauros.

Considere que a escala de tempo fornecida seja substituída por um ano de referência, no qual a
evolução química é identificada como 1º de janeiro à zero hora e a era dos dinossauros como dia
31 de dezembro às 23 h 59 min e 59,99 s. Desse modo, nesse ano de referência, a porcentagem
de oxigênio (O2) presente na atmosfera atingiu 10% no
(A) 1º bimestre.
(B) 2º bimestre.
(C) 2º trimestre.
(D) 3º trimestre.
(E) 4º trimestre.
Resolução:
Na escala à esquerda temos entre: 4 e 3 : 1º trimestre
3 e 2 : 2º trimestre
2 e 1 : 3º trimestre
1 e 0 : 4º trimestre

Olhando para a escala da direita onde se mede a evolução da quantidade de oxigênio na atmosfera, esta será de 10% no intervalo entre 2 e 1 , portanto no 3º trimestre.
Resposta : letra D.

Questão 5:

Uma pessoa de estatura mediana pretende fazer um alambrado em torno do campo de futebol de seu bairro. No dia da medida do terreno, esqueceu de levar a trena para realizar a medição. Para
resolver o problema, a pessoa cortou uma vara de comprimento igual a sua altura. O formato do campo é retangular e foi constatado que ele mede 53 varas de comprimento e 30 varas de largura.
Uma região R tem área AR, dada em m², de mesma medida do campo de futebol, descrito acima.A expressão algébrica que determina a medida da vara em metros é:

Resolução:
A área do campo será : 53 varas X 30 varas = 1590 varas²
1590 varas² = ARm² conforme dito pelo problema. Agora é só desenvolver a equação:
1590 varas² = AR m²
varas² = AR m²/ 1590 = letra B

Questão 6:

O capim-elefante é uma designação genérica que reúne mais de 200 variedades de capim e se destaca porque tem produtividade de aproximadamente 40 toneladas de massa seca por hectare por ano, no mínimo, sendo, por exemplo, quatro vezes maior que a da madeira de eucalipto. Além disso, seu ciclo de produção é de seis meses, enquanto o primeiro corte da madeira de eucalipto é feito a partir do sexto ano.

Considere uma região R plantada com capim-elefante que mantém produtividade constante com o passar do tempo. Para se obter a mesma quantidade, em toneladas, de massa seca de eucalipto, após o primeiro ciclo de produção dessa planta, é necessário plantar uma área S que satisfaça à relação

Resolução:
A produtividade do capim é quatro vezes maior que a do eucalipto. Além disso enquanto um ciclo do eucalipto ( 6 anos) corresponde a doze do capim (6 meses)
logo a área requerida será:
4 X 12 = 48
Resposta letra E

Questão 7:
A cada ano, a Amazônia Legal perde, em média, 0,5% de suas florestas. O percentual parece pequeno, mas equivale a uma área de quase 5 mil quilômetros quadrados. Os cálculos feitos pelo Instituto do Homem e do Meio Ambiente da Amazônia (Imazon) apontam um crescimento de 23% na taxa de destruição da mata em junho de 2008, quando comparado ao mesmo mês do ano 2007. Aproximadamente 612 metros quadrados de floresta foram cortados ou queimados em quatro semanas. Nesse ritmo, um hectare e meio (15 mil metros quadrados ou pouco mais de um campo de futebol) da maior floresta tropical do planeta é destruído a cada minuto. A tabela abaixo mostra dados das áreas destruídas em alguns Estados brasileiros.

Supondo a manutenção desse ritmo de desmatamento nesses Estados, o total desmatado entre agosto de 2008 e junho de 2009, em valores aproximados, foi

(A) inferior a 5.000 km2.
(B) superior a 5.000 km2 e inferior a 6.000 km2.
(C) superior a 6.000 km2 e inferior a 7.000 km2.
(D) superior a 7.000 km2 e inferior a 10.000 km2.
(E) superior a 10.000 km2.
Resolução:
Como o ritmo será igual ao do período anterior e este foi de 9%, basta adicionar 9% a área anterior:
1,09 X 4.754 = 5.181,86.
Resposta : letra B

Prova de matemática do ENEM

2009-08-31T14:58:00.000-03:00

Pessoal o ENEM vem aí, e não há tempo a perder. No site oficial estão disponíveis questões-modelo da nova prova. Vamos aproveitar para resolver aqui aquelas referente à "matemática e suas tecnologias" . Bons estudos!

Questão 1:

Com o objetivo de trabalhar com seus alunos o conceito de volume de sólidos, um professor fez o seguinte experimento: pegou uma caixa de polietileno, na forma de um cubo com 1 metro de lado, e colocou nela 600 litros de água. Em seguida, colocou, dentro da caixa com água, um sólido que ficou completamente submerso. Considerando que, ao colocar o sólido dentro da caixa, a altura do nível da água passou a ser 80

cm, qual era o volume do sólido?
(A) 0,2 m3
(B) 0,48 m3
(C) 4,8 m3
(D) 20 m3
(E) 48 m3

Resolução:
Primeiro, vamos descobrir o volume (V) da caixa . Como se trata de um cubo, a largura , o comprimento e altura são iguais. Neste caso: 1 metro.
$V = 1m \cdot 1m \cdot 1m = 1m^3$
$1m ^3$ corresponde a 1000 litros de água.
Então 600 litros será correspondente a um volume de 0,6 $m ^3$ que é portanto o volume inicial ocupado pela água no recipiente.
Com a adição do sólido a altura ocupada será de 0,8m. Logo, o volume agora será de:
$V = 0,8m \cdot 1m \cdot 1m = 0,8m^3$
Para saber o volume do sólido basta subtrair o volume inicial ocupado pela água:
V = 0,8 - 0,6= 0,2$m ^3$
Portanto a resposta certa é letra A.

Questão 2:
Uma elipse é uma seção plana de um cilindro circular reto, em que o plano que intersecta o cilindro é oblíquo ao eixo do cilindro (Figura 1). É possível construir um sólido de nome elipsóide que, quando seccionado por três planos perpendiculares entre si, mostram elipses de diferentes semieixos a, b e c, como na Figura 2. O volume de um elipsóide de semieixos a, b e c é dado por abc V=4/3πabc.

Considere que um agricultor produz melancias, cujo formato é aproximadamente um elipsóide, e ele deseja embalar e exportar suas melancias em caixas na forma de um paralelepípedo retângulo. Para melhor acondicioná-las, o agricultor preencherá o espaço vazio da caixa com material amortecedor de impactos (palha de arroz/serragem/bolinhas de isopor). Suponha que sejam a, b e c, em cm, as medidas dos semieixos do elipsóide que modela as melancias, e que sejam 2a, 2b e 2c, respectivamente, as medidas das arestas da caixa. Nessas condições, qual é o volume de material amortecedor necessário em cada caixa?

Resolução:
Para achar o volume pedido (que é o espaço vazio na caixa) basta subtrair do volume da caixa (Vc) o volume da melancia (Vm):

$V = Vc-Vm$
$Vc = 2a\times2b\times2c= 8ab$
$Vm = \dfrac{4}{3}\times \pi abc$
Portanto,
$V=8abc- \dfrac{4}{3} \times \pi abc$
Colocamos o fator abc em evidência e temos:
$V= abc \left(8 - \dfrac{4\pi}{3}\right)$

Resposta correta: letra D

Questão 3:

A evolução da luz: as lâmpadas LED já substituem com grandes vantagens a velha invenção de Thomas Edison. A tecnologia do LED é bem diferente das lâmpadas incandescentes e das fluorescentes. A lâmpada LED é fabricada com material semicondutor semelhante ao usado nos chips de computador. Quando percorrido por uma corrente elétrica, ele emite luz. O resultado é uma peça muito menor, que consome menos energia e tem uma durabilidade maior. Enquanto uma lâmpada comum tem vida útil de 1.000 horas e uma fluorescente de 10.000 horas, a LED rende entre 20.000 e 100.000 horas de uso ininterrupto. Há um problema, contudo: a lâmpada LED ainda custa mais caro, apesar de seu preço cair pela metade a cada dois anos. Essa tecnologia não está se tornando apenas mais barata. Está também mais eficiente, iluminando mais com a mesma quantidade de energia. Uma lâmpada incandescente converte em luz apenas 5% da energia elétrica que consome. As lâmpadas LED convertem até 40%. Essa diminuição no desperdício de energia traz benefícios evidentes ao meio ambiente.

A evolução da luz. Veja, 19 dez. 2007. Disponível em: http://veja.abril.com.br/191207/p_118.shtml
Acesso em: 18 out. 2008.

Considerando que a lâmpada LED rende 100 mil horas, a escala de tempo que melhor reflete a
duração dessa lâmpada é o:
(A) dia.
(B) ano.
(C) decênio.
(D) século.
(E) milênio.

Resolução:
Vamos resolver esta questão testando as opções disponíveis na resposta:

Vamos começar pelas escala 'dia':
Como um dia possui 24 horas, a duração da lâmpada seria de:
$\dfrac{100.000}{24} = 4.166,67 dias$

O que não seria uma escala boa.

Vamos agora usar a escala " ano":
$1 ano= 365\times 24horas = 8760 horas$ .
A duração da lâmpada em anos seria de
100000/8760 = 11,41 anos

É uma escala melhor mas ,vejamos se temos outra ainda melhor.

A escala em "decênio" será:
1 decênio = 10*8760 horas = 87600 horas
Fazendo 100.000/87600 = 1,14.

Portanto uma escala bem melhor.
Resposta certa: letra C

Faltam 100 dias para o vestibular UFMG 2010

2009-08-26T23:12:00.000-03:00

Olá pessoal , faltam cem dias para a primeira etapa do vestibular da UFMG, aqui estão algumas resoluções da prova de matemática do ano passado, amanhã coloco outras.
Bons estudos!!!

QUESTÃO 49

No período de um ano, certa aplicação financeira obteve um rendimento de 26%. No mesmo período, porém, ocorreu uma inflação de 20%. Então, é CORRETO afirmar que o rendimento efetivo da referida aplicação foi de
A) 3% .
B) 5% .
C) 5,2% .
D) 6% .

Resolução:
'A primeira vista pode parecer que basta subtrair do rendimento a inflação (26% - 20% = 6%) e está resolvido o problema. Porém preste bastante atenção no enunciado ..." RENDIMENTO EFETIVO" . Portanto o exercício exige um pouco mais de elaboração. Desconfie das soluções simples!!!
Neste caso será:

O rendimento da aplicaçao financeira X foi de 26 % ao ano. Logo no final de 1 ano esta aplicação está em 1,26X .Neste mesmo perído ocorreu uma inflação de 20 % e o que custava X passou a custar 1,20 X.
Portanto o rendimento efetivo será de :

Ou de outra forma:

Portanto resposta certa é letra B.

QUESTÃO 51

Numa calculadora científica, ao se digitar um número positivo qualquer e, em seguida, se apertar a tecla log, aparece, no visor, o logaritmo decimal do número inicialmente digitado. Digita-se o número 10.000 nessa calculadora e, logo após, aperta-se, N vezes, a tecla log, até aparecer um número negativo no visor.
Então, é CORRETO afirmar que o número N é igual a
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
Resolução:

Inicialmente temos o número 10000

Apertando-se a tecla log pela primeira vez temos: log 10000 = 4

Apertando-se a tecla log pela segunda vez : log 4 = 2 log 2 ~ 0,6

Apertando-se a tecla log pela terceira vez: log 0,6 ~ -0,22 o que é um número negativo.

Portanto será preciso apertar a tecla log 3 vezes.

Resposta: B

QUESTÃO 52

Recentemente, alguns cientistas anunciaram a descoberta do GL 581c, um novo planeta localizado a 20,5 anos-luz da Terra. Sabe-se que ano-luz é a distância percorrida pela luz, a uma velocidade de 3,0 x 108 m/s, durante um ano. Estima-se que a nave New Horizons, a mais rápida já construída pela NASA, levaria 400.000 anos para ir da Terra até o GL 581c. Então, é CORRETO afirmar que, para tanto, essa nave teria de desenvolver uma velocidade média compreendida entre

A) 15,0 km/s e 15,25 km/s .
B) 15,25 km/s e 15,50 km/s .
C) 15,50 km/s e 15,75 km/s .
D) 15,75 km/s e 16,0 km/s .
Resposta : B
Resolução:
Pessoal essa é moleza ! Só é preciso fazer uma divisão. O problema quer saber a velocidade. Ele informa a distância e o tempo gasto. A sacada é fazer as transformações nas unidades de medida.

Vestibular UFMG 2009

2009-08-12T20:57:00.000-03:00

QUESTÃO 53
Paula comprou dois potes de sorvete, ambos com a mesma quantidade do
produto.
Um dos potes continha quantidades iguais dos sabores chocolate, creme e
morango; e o outro, quantidades iguais dos sabores chocolate e baunilha.
Então, é CORRETO afirmar que, nessa compra, a fração correspondente à
quantidade de sorvete do sabor chocolate foi
A) 2/5

B) 3/5

C) 5/12

D) 5/6

Resolução:
Vamos chamar de x a quantidade de sorvete em cada pote.
No primeiro pote a quantidade de sorvete de chocolate será: x/3
No segundo pote a quantidade será de x/2.
A fração total correspondente será:
(x/2+x/3)/2x = 5/12

Portanto a opção correta é a letra C.