Независимое внешнее тестирование 2010

С Новым Годом!!!

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Fri, 31 Dec 2010 22:00:00 +0000

Уважаемые читатели! Поздравляем вас с Новым Годом!

2010 год для развития проекта «Приглашение в мир математики» оказался очень продуктивным. Общение с вами перешло из переписки по электронной почте в блоги. Там вы почти каждый день можете увидеть новый интересный математический факт, новую задачу и её решение.

В этом году вы начали участвовать в наших математических конкурсах. Прошли три интернет-олимпиады и запущена четвёртая. Кроме того, проводились математические маневры – первый в истории конкурс, в котором сочетаются принципы пошаговой стратегии и олимпиады по математике.

На 2011 год планы не менее смелые. Во-первых, мы будем продолжать готовиться к олимпиаде Кенгуру-2011 и к внешнему оцениванию по математике ЗНО-2011. Кроме того, скоро появятся новые логические флеш-игры. И, разумеется, будут продолжаться математические конкурсы и публикация интересного из мира математики.

Желаем вам в новом году счастья, здоровья и чтобы все задачи решались красиво и легко!

Открыт блог по подготовке к ЗНО-2011 по математике

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Fri, 10 Dec 2010 11:28:00 +0000

Блог по подготовке к Внешнему независимому тестированию 2011 года по математике находится по адресу: http://zno2011.blogspot.com/

ЗНО по математике: Afterparty

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Tue, 15 Jun 2010 14:20:00 +0000

Итак, всё закончилось. Остаётся дожидаться результатов и делиться впечатлениями :)

Начнём с уравнения:

Здесь идея такая же, что и во вчерашней системе. Правая часть равна нулю, а оба слагаемых левой части всегда неотрицательны. Следовательно, равенство достигается только в случае одновременного равенства нулю подкоренного выражения и подмодульного.

Под корнем будет 0 при x=2 или x=-3,5. Но в первом случае вторым слагаемым будет |0-1|=1, а во втором |1-1|=0. Так что здесь единственный корень х=-3,5

Скоро начинается вторая сессия. Удачи вам!!!

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Tue, 15 Jun 2010 07:39:00 +0000

Разбор задач первого дня ЗНО: модули

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Mon, 14 Jun 2010 17:51:00 +0000

Тема: уравнения с модулями
Условие
Решите уравнение ||2x-1|-3|=5.

Решение
Раскрываем внешний модуль, уравнение превращается в совокупность:
|2x–1|–3=5
или
|2x–1|–3=–5

Сразу заметим, что второе уравнение совокупности не имеет смысла, т.к. левая часть не может быть меньше –3, а правая часть равна –5.

Преобразуем первое уравнение:
|2x–1|=8

Опять оно превращается в совокупность:
2x–1=8
или
2x–1=–8

Откуда
x=4,5 или x=-3,5

Проверка показывает, что оба этих корня действительно удовлетворяют уравнению.

Ответ: x=4,5 или x=-3,5.
В задании ЗНО требовалось записать произведение корней, так что в поле ответа нужно записать -15,75

Разбор задач первого дня ЗНО: площадь полумесяца

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Mon, 14 Jun 2010 16:11:00 +0000

Тема: планиметрия

Условие
Две окружности касаются (см.рис.), при этом меньшая окружность проходит через центр большей. Найдите площадь затемнённой фигуры, если площадь меньшей окружности равна 64 см²

Решение
Т.к. меньшая окружность проходит через центр большей, то радиус большей окружности вдвое больше радиуса меньшей. Значит площадь большей вчетверо больше площади меньшей.

Выходит, что площадь затемнённой фигуры равна 4*64-64=3*64=192 (см²)

Ответ: 192 см²

Разбор задач первого дня ЗНО: система

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Mon, 14 Jun 2010 15:47:00 +0000

Тема: тригонометрия, квадратный трёхчлен
Условие
Решите систему уравнений

Решение
Рассмотрим первое уравнение системы.
Т.к. косинус может принимать значения из промежутка [-1;1], то левая часть может изменяться в пределах [-5; 5]

С другой стороны, справа стоит квадратный трёхчлен. Его наименьшее значение достигается в

и будет равно 16-32+21=5.

Значит, т.к. значение левой части не превосходит 5, а значение правой части не может быть меньше 5, то равенство достигается при
,
откуда x=4.

Подставив его во второе уравнение, получим y=4-5x=-16

Ответ: x=4; y=-16

Разбор задач первого дня ЗНО: пирамида

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Mon, 14 Jun 2010 15:37:00 +0000

Тема: стереометрия
Условие: Основанием пирамиды является ромб, острый угол котрого рамен 30°. Все бокове грани пирамиды наклонены к плоскості основания под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды (в см2), если радіус окружности, вписаной в её основание, рамен 2 см.

Решение
Изобразим ромб, лежащий в основании пирамиды

OK=OL=2 см – радиусы вписанной окружности.
BH||KL, BH=4 см – высота ромба.
В прямоугольном треугольнике BHA катет BH лежит против угла в 30 градусов, значит гипотенуза BA=2BH=8 (см).
В ромбе все стороны равны. А площадь его вычисляется как a²sin30=64*0,5=32 (см²).

Т.к. все грани наклонены под одинаковый углом в 60 градусов, то площадь боковой поверхности составит 32/cos60 = 32/0,5 = 64 (см²).

Ответ: 64 см²

Разбор задач первого дня ЗНО: параллелограмм

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Mon, 14 Jun 2010 15:15:00 +0000

Тема: Планиметрия
Условие:
Сумма градусных мер двух углов параллелограмма равна 150 градусов. Найдите градусную меру большего угла параллелограмма.

Варианты ответа:
А 75
Б 95
В 105
Г 115
Д 120

Решение
Углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне в сумме дают 180 градусов. Значит в условии говорится о противоположных углах. Это не могут быть 2 тупых угла, т.к. их сумма превысила бы 180 градусов, значит, это 2 острых угла.
Выходит, один острый угол параллелограмма равен 75 градусов. Тогда его тупой угол составит 180-75=105 градусов

Ответ В 105

Разбор задач первого дня ЗНО: вектор

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Mon, 14 Jun 2010 15:04:00 +0000

Тема: Векторы на плоскости
Условие

На рисунке изображён вектор . Какой из приведённых векторов равен вектору ?

Варианты ответа

Решение
Вектор, умноженный на отрицательное число, меняет направление на противоположное. Длина же его умножается на модуль множителя. Т.к. начальный вектор направлен вправо-вверх и имеет 3 диагонали клеток в длину, то искомый вектор будет направлен влево-вниз и будет иметь 2 диагональных клеточки в длину.

Ответ: Д

Разбор задач первого дня тестирования (ЗНО) по математике

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Mon, 14 Jun 2010 11:26:00 +0000

Закончился первый день ЗНО и можно приступить к обсуждению задач и ответов. Задавайте свои вопросы, постараемся ответить на все.
А пока – краткий разбор нескольких задач.
1. Выполнить действия

Здесь чтобы найти ответ достаточно уметь выполнять действия с дробями

2. Из точки А к окружности проведена касательная АВ (В – точка касания). Проведена и секущая АС, проходящая через центр О окружности. Найдите угол ВОС, если угол ВАС равен .

OB – радиус, проведённый к касательной, и угол АВО – прямой. В таком случае искомый угол ВОС является внешним углом треугольника АОВ и равен .

3. Решить неравенство 10-3x>4.

Преобразуем неравенство:
6>3x

x<2

4. Упростите

Те, кто разбирал примеры заданий ЗНО на свойства степеней, наверняка справились с этим заданием.
5. Решите уравнение

x=-3
6. С суммы наследства в пользу государства взимается налог в 0,5%. Сколько будет взято налога с суммы 32000 грн?

32000*0,005=160 (грн)
7. Длина окружности основания конуса равна см, высота равна 3 см. Найдите образующую конуса.

Т.к. длина окружности выражается по формуле , то радиус основания конуса равен 3 см. А т.к. радиус, высота и образующая формируют прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 , то образующая равна 5.

Учитывайте также, что завтра обязательно будут аналогичные задачи, готовьтесь и удачи!

Ох, уж это ЗНО...

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Mon, 14 Jun 2010 11:14:00 +0000

Удачи вам на тестировании!!!

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Mon, 14 Jun 2010 07:10:00 +0000

Тематика и сложность задач, которые будут на тестировании (ЗНО) по математике

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sat, 05 Jun 2010 18:20:00 +0000

В независимом тестировании 2010 года будет 36 заданий трёх уровней. Это в полном смысле слова тестирование, поскольку задания, требующие развёрнутого решения будут полностью исключены.

Из этих 36 заданий:

25 требуют выбора одного правильного варианта ответа из 5 предложенных и оцениваются 1 баллом.
3 задания нового формата требуют установления взаимосвязей. Скажем, есть два столбика с выражениями и необходимо для выражения в левом столбце найти тождественное ему выражение в правом. Всего в каждом задании требуется установить 4 взаимосвязи, так что максимум баллов за каждое задание – 4.
8 заданий, требующих найти ответ самостоятельно и вписать его в соответствующее поле бланка. Правильный ответ на такие задания оценивается в 2 балла.

Итого максимальное количество баллов, которое можно набрать, правильно реши все задания внешнего тестирования равно 53.

Распределение тем заданий представлено в таблице:

Предмет	Темы	Виды заданий			Всего
Предмет	Темы	На выбор правильного ответа	На определение соответствий	На самостоятельный поиск ответа	Всего
Алгебра	Числа и выражения	6	1	1	8
	Уравнения и неравенства	3	0	3	6
	Функции	3	1	2	6
	Элементы комбинаторики, начала теории вероятности и математической статистики	3	0	0	3
Геометрия	Планиметрия	5	0	1	6
Геометрия	Стереометрия	5	1	1	7
Всего		25	3	8	36

По сложности задания делятся следующим образом:

Предмет	Темы	Сложность заданий			Всего
Предмет	Темы	Простые	Средние	Сложные	Всего
Алгебра	Числа и выражения	2	6	0	8
	Уравнения и неравенства	1	2	3	6
	Функции	1	3	2	6
	Элементы комбинаторики, начала теории вероятности и математической статистики	0	3	0	3
Геометрия	Планиметрия	2	3	1	6
Геометрия	Стереометрия	1	5	1	7
Всего		7	22	7	36

На выполнение всех заданий тестирования отводится 150 минут.

Когда будет ЗНО по математике?

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sat, 22 May 2010 17:05:00 +0000

Независимое внешнее тестирование по математике будет проводиться 14 и 15 июня.

Решение и ответ к задаче 36 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Thu, 20 May 2010 05:19:00 +0000

Тема: Стереометрия.
Условие. В правильную четырёхугольную пирамиду вписана сфера площадью см³. Боковая грань пирамиды наклонена к плоскости её основания под углом 60^o. Найдите объём пирамиды (в см³)

Решение

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью SLK, где L и K – середины сторон AD и BC соответственно.

Т.к. в треугольнике SKL углы при основании равны 60 градусов, то он равносторонний. Значит H=3R, , где R=ON=OH – радиус сферы, Н=SH – высота пирамиды, а=KL=AB – сторона основания пирамиды.

Из уравнения

находим

Тогда

Поскольку площадь сферы выражается по формуле

, то R=3 см и искомый объём равен 324 см³

Ответ: 324

Решение и ответ к задаче 35 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Wed, 19 May 2010 05:15:00 +0000

Тема: Уравнения с параметрами. Модули.

Условие. Найдите наибольшее значение параметра а, при котором уравнение имеет ровно 4 корня. Если такого значения не существует, в ответ запишите число 100.

Решение

Построим график функции и рассмотрим, когда он будет иметь ровно 4 точки пересечения с прямой у=а.

Видим, что при a<0 точек пересечения не будет, при a=0 их будет две, затем – четыре, при a=5 точек пересечения будет 6, и при некотором значении a их снова станет четыре. Найти это значение легко, если вспомнить, что данный график был получен из параболы отражением от оси ОY и сгибанием через ось ОХ. И координата вершины параболы перейдёт именно в искомое значение параметра а.

Значит

Ответ: 6,25

Решение и ответ к задаче 34 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Tue, 18 May 2010 05:13:00 +0000

Тема: Планиметрия.
Условие. Точки K и L – середины сторон AB и AD параллелограмма ABCD (см. рис.). Найдите площадь пятиугольника KBCDL (в см²), если площадь параллелограмма ABCD равна 24 см²

Решение

Площадь треугольника ABD равна половине площади параллелограмма ABCD и составит 12 см². Т.к. KL – средняя линия треугольника ABD, то площадь треугольника AKL в четыре раза меньше, чем площадь ABD и составит 3 см². Следовательно, площадь пятиугольника KBCDL равна 24-3=21 (см²)

Ответ: 21,

Решение и ответ к задаче 33 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Mon, 17 May 2010 05:07:00 +0000

Тема: Уравнения: тригонометрические, рациональные, иррациональные.
Условие. Решите уравнение . В ответ запишите количество его корней. Если корней бесконечное множество, запишите число 100.

Решение

Найдём ОДЗ:

27+6x-x²>0

(x-9)(3-x)>0

-3<9
Теперь, учитывая ОДЗ, приравняем к нулю числитель:

2cosx+1=0

2cos x=-1

На промежуток (-3;9) таких корней попадает четыре:

Ответ: 4,

Решение и ответ к задаче 32 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sun, 16 May 2010 05:05:00 +0000

Тема: Чётные и нечётные функции.
Условие. Функцию y=x⁴+2x-3, определённую на множестве всех действительных чисел, представьте в виде y=f(x)+g(x), где f(x) – чётная функция, а g(x) – нечётная функция. В ответ запишите значение выражения f(-1)-4g(3).

Решение

Достаточно вспомнить, что степенная функция с чётным показателем степени будет чётной, а с нечётным – нечётной. Так что чётной будет функция f(x)=x⁴-3, а нечётной – функция g(x)=2x.

Тогда f(-1)-4g(3)=1-3-24=-26

Ответ: -26.

Решение и ответ к задаче 31 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sat, 15 May 2010 05:04:00 +0000

Тема: Логарифм.
Условие. Вычислите

Решение

Ответ: -48,4

Решение и ответ к задаче 30 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Fri, 14 May 2010 05:02:00 +0000

Тема: Текстовые задачи. Проценты.
Условие. 4 кг огурцов и 5 кг помидоров стоили 44 гривны. После того, как огурцы подорожали на 50%, а помидоры подешевели на 40%, за 4 кг огурцов и 5 кг помидоров заплатили 39 гривен. Найдите начальную стоимость x одного килограмма огурцов и начальную стоимость y одного килограмма помидоров. В ответ запишите сумму x+y (в грн)

Решение

Составим и решим систему уравнений:

4x+5y=44
4*1,5x+5*0,6y=39

4x+5y=44
6x+3y=39

Умножим первое уравнение на 3, второе – на -2 и сложим их.
9y=54
Получаем:

y=6

x=3,5

x+y=9,5
Ответ: 9,5

Решение и ответ к задаче 29 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Thu, 13 May 2010 05:00:00 +0000

Тема: Производная функции.
Условие. Найдите значение производной функции в точке
Решение

.

.
Ответ: .

Решение задачи 28 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Wed, 12 May 2010 16:08:00 +0000

Тема: Стереометрия. Сечения.
Условие: На рисунках (1-4) изображён куб и три точки, размещённые или в его вершинах, или на серединах его рёбер. Установите соответствие между каждым рисунком (1-4) и наименование фигуры (А-Д), получающейся в сечении.

А. треугольник

Б. прямоугольник

В. трапеция

Г. пятиугольник

Д. ромб
Решение

Приведём построение сечения для каждого из случав:

Отрезок сечения в верхней грани будет параллелен диагонали верхней грани, следовательно, и нижней. Значит, плоскость сечения параллельна диагонали нижней грани. При этом одна точка диагонали нижней грани принадлежит сечению. Следовательно, плоскости сечения будет принадлежать вся диагональ нижней грани. В сечении получится трапеция (В)

Самый простой случай – т.к. в каждой грани по две точки, достаточно их соединить и получить теругольник (А)

Точки нижней грани куба, принадлежащие сечению, находим, продлевая рёбра куба и известные прямые, лежащие в сечении. Т.к. данные нам точки лежат на серединах сторон, то прямая, по которой пересекаются плоскости сечения и нижней грани, пройдёт через вершину куба. Таким образом мы получим четырёхугольник с равными сторонами. Это будет ромб, а не квадрат, т.к. одна его диагональ будет равна диагонали куба, а другая –диагонали грани куба. (Д)

По свойству параллельных плоскостей находим обе прямые, по которым плоскость сечения пересекает вертикальные грани куба, и затем находим прямую, лежащую в верхней грани куба. В сечении – прямоугольник (Б)
Ответы:

1. (В)

2. (А)

3. (Д)

4. (Б)

Решение задачи 27 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Thu, 06 May 2010 17:14:00 +0000

Тема: Область значений функции.
Условие: Установите соответствие между функциями (1-4) и их множествами значений (А-Д)

1. y=log_2x
2. y=2^x
3.
4.y=2-x²

А.
Б.
В.
Г.
Д.

Решение

1. логарифм может принимать любое значение, следовательно, Д.

2. функция y=2^x может принимать только положительные значения: Г.

3. Корень принимает неотрицательные значения. Умножение на положительный множитель этого не меняет: Б.

4. x² принимает значения из , -x² – из , а 2-x² – из множества В.

Ответы:
1. (Д)
2. (Г)
3. (Б)
4. (В)