ΣΤΟΥ ΜΑΚΡΥΜΑΝΩΛΗ

Κάτι διαφορετικό

2012-02-16T01:29:00.000+02:00

Είμαι σίγουρος πως οι πιο πολύ από εμάς, όταν ξεκίνησε αυτή η κρίση το πρώτο εξάμηνο του 2010,στην αρχή μείναμε άφωνοι και σιγά σιγά καταλάβαμε πως ήταν μια κατάσταση που δύσκολα θα άλλαζε και που σίγουρα θα διαρκούσε πολύ.
Αυτά στην αρχή, που ήμασταν ακόμα ψύχραιμοι, που ακόμα δεν είχε φανεί το μέγεθος του προβλήματος και που ακόμα δεν μας είχαν αγγίξει οι συνέπειες. Τώρα όμως τα πράγματα είναι πολύ διαφορετικά, τώρα θέλουμε καπετάνιους ....

Τον άνθρωπο αυτό, η ζωή τον ανέδειξε σπουδαίο καπετάνιο και θα προσπαθήσω να του αφιερώσω λίγο χρόνο και χώρο ( αν και είναι απολύτως βέβαιο πώς αυτό το λίγο δεν αρκεί ) γιατί πιστεύω πραγματικά ότι και μόνο η προβολή της ζωής του μπορεί πολύ να βοηθήσει...

Ολόκληρη η εκπομπή της ΕΡΤ που πρωτοπαίχτηκε πριν 30 χρόνια... εδώ

Πες μου γιατί

2011-12-11T22:19:00.000+02:00

Ένας χρόνος πέρασε σχεδόν από την ανάρτηση "Γιατί πρέπει να μαθαίνουμε μαθηματικά ;" και πολλά άλλαξαν από τότε.Νομίζω όμως πως είναι κρίμα να μη το συνεχίσω λίγο αυτή την αναζήτηση.Συνεχίζω λοιπόν κάπως καθυστερημένα και περιμένω ιδέες, σχόλια, παρατηρήσεις αντιρρήσεις!

Ένας βασικός παράγοντας που δυσκολεύει την απάντηση μιας ερώτησης είναι η ιδιαιτερότητα και η μοναδικότητα του ανθρώπου που την θέτει. Ο κάθε άνθρωπος έχει τις προσωπικές του εμπειρίες και αναζητήσεις, κάποιες από αυτές τυχαίνει να τις μοιράζεται με άλλους και κάποιες άλλες είναι αποκλειστικά δικές του. Επίσης, ο καθένας μας δίνει ακόμα και στις κοινές μας αναζητήσεις ένα εντελώς δικό του χρώμα, με αποτέλεσμα μερικές ερωτήσεις που διατυπώνονται από πολύ κόσμο με τον ίδιο τρόπο να μην επιδέχονται μια και μόνο γενική απάντηση.

Έτσι μια απάντηση που μπορεί να καθησυχάζει τον ένα, δημιουργεί σε κάποιον άλλον αμέτρητες απορίες. Αυτό όμως είναι μάλλον καλό, αφού όλες οι επιστήμες έτσι προοδεύουν και κατά κάποιο τρόπο μπορούμε να πούμε πως έτσι προοδεύει και η ανθρωπότητα. Στην ερώτηση λοιπόν «Πες μου, γιατί πρέπει να μαθαίνουμε Μαθηματικά » το “μου”, η μικρή αυτή λέξη που τις περισσότερες φορές εννοείται χωρίς να λέγεται, βάζει ένα από τα μεγαλύτερα εμπόδια στο να βρεθεί μια γενική απάντηση.

Ανέμελοι περίπατοι ;

2011-02-18T11:19:00.000+02:00

Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η κάτοψη ενός καταστήματος ρούχων στο οποίο υπάρχουν 4 αίθουσες και 9 διάδρομοι που τις συνδέουν. Είναι δυνατόν ένας πελάτης να ξεκινήσει από την αίθουσα εισόδου να δει τις δύο αίθουσες ρούχων και να καταλήξει στην αίθουσα εξόδου περνώντας από όλους τους διαδρόμους ( 1 έως 9 ) μόνο μια φορά ;

Εμείς οι μαθηματικοί έχουμε την ιδιοτροπία να μετατρέπουμε και τα πιο απλά καθημερινά γεγονότα σε μαθηματικά προβλήματα. Όπως φαίνεται παραπάνω, ακόμα και το χάζεμα στα ράφια ενός καταστήματος γίνεται αφορμή για προβληματισμό, και δεν εννοώ μόνο ως προς τις τιμές!

Πριν ξεκινήσουμε την αναζήτηση της λύσης είναι απαραίτητο να δούμε και να καταλάβουμε μια σημαντική μαθηματική έννοια που θα μας φανεί πολύ χρήσιμη στη πορεία. Στα μαθηματικά, «αναλλοίωτα» ενός προβλήματος ονομάζονται τα μεγέθη ή οι ιδιότητες εκείνες που δεν μεταβάλλονται ακόμα κι όταν μεταβληθούν άλλα μεγέθη που σχετίζονται με το πρόβλημα και επηρεάζουν τη λύση του. Τέτοιου είδους μεγέθη εμφανίζονται συχνά σε προβλήματα πολλών θετικών επιστημών. Στη Χημεία, για παράδειγμα, παραμένουν σταθερές οι συνολικές ποσότητες ενός στοιχείου σε μια χημική αντίδραση, παρά το γεγονός πως αλλάζουν οι δεσμοί τους με τα υπόλοιπα στοιχεία. Αυτό φαίνεται καθαρά στην εξίσωση της χημικής αντίδρασης όπου οι συντελεστές του δεύτερου μέλους μεταβάλλονται με τρόπο ώστε οι ποσότητες παραμένουν αμετάβλητες. Προσέξετε στην παρακάτω αντίδραση πως στο 1^ο μέλος της συμμετέχουν 6 άτομα (Η) Υδρογόνου [ C₂H₆O ], αλλά και στο 2^ο μέλος της πάλι 6 άτομα έχουμε [3Η₂O 3·2=6].

C₂H₆O + 6CuO → 2CO₂ + 3H₂O + 6Cu

Κάτι παρόμοιο συμβαίνει και με τα υπόλοιπα στοιχεία που συμμετέχουν σε αυτή τη χημική αντίδραση.

	C₂H₆O + 6CuO	2CO₂ + 3H₂O + 6Cu
Υδρογόνο ( Η )	C₂H₆O ( 6 )	3Η₂O ( 3·2=6 )
Οξυγόνο ( Ο )	C₂H₆O + 6CuO ( 1+6·1 = 7 )	2CO₂ + 3H₂O (2·2 +3·1 = 7 )
Άνθρακας ( C )	C₂H₆O ( 2 )	2CO₂ ( 2·1= 2 )
Χαλκός ( Cu )	6CuO ( 6·1 = 6 )	6Cu ( 6·1 = 6 )

Έτσι γίνεται φανερό πως για να υπολογίσουμε τους συντελεστές των στοιχείων που παράγονται σε μια χημική αντίδραση πρέπει να λάβουμε υπόψη το γεγονός πως κάποιες ποσότητες παραμένουν αναλλοίωτες.

Ας επανέλθουμε όμως τώρα στα μαθηματικά. Σε τι μπορεί να χρησιμεύσει ένα αναλλοίωτο; Καταρχάς είναι σημαντικό να καταλάβουμε πως εντοπίζοντας κάποιο αναλλοίωτο έχουμε κάνει ένα σοβαρό βήμα για την επίλυση του προβλήματος. Τα αναλλοίωτα μας δίνουν συνήθως πληροφορίες που έχουν να κάνουν με τις ιδιαιτερότητες του προβλήματος και οι οποίες είναι απαραίτητες για τη λύση του. Ως παράδειγμα στα παραπάνω θα προχωρήσουμε στη λύση το προβλήματος με το κατάστημα ρούχων που τέθηκε στην αρχή.

Το πρόβλημα μπορεί να αντιμετωπιστεί αποτελεσματικά αν κάνουμε μια απλή σκέψη, η οποία θα αποκαλύψει ένα καλά κρυμμένο αναλλοίωτο. Αρκεί να σκεφτούμε πως όσες φορές θα μπούμε σε μια αίθουσα μέσω ενός διαδρόμου τόσες φορές θα βγούμε από αυτή μέσω ενός διαδρόμου ( ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΟ ).

Να προσέξουμε όμως πως αυτό δεν ισχύει για την Αίθουσα Εισόδου στην οποία μπαίνουμε χωρίς διάδρομο και την Αίθουσα Εξόδου από την οποία βγαίνουμε στο τέλος χωρίς διάδρομο. Γι’ αυτό από εδώ και πέρα θα αναφερόμαστε μόνο στις ενδιάμεσες αίθουσες.

Και πώς μας είναι χρήσιμο αυτό το αναλλοίωτο «όσες φορές μπαίνουμε τόσες φορές βγαίνουμε»; Αν θέλουμε να περάσουμε από κάθε διάδρομο μία μόνο φορά είναι φανερό πως οι ενδιάμεσες αίθουσες θα πρέπει να συνδέονται μεταξύ τους με ζυγό πλήθος διαδρόμων, ώστε οι μισοί να χρησιμεύουν ως ΕΙΣΟΔΟΙ και οι άλλοι μισοί ως ΕΞΟΔΟΙ , όπως μας υποδεικνύει το αναλλοίωτο μας.

Για παράδειγμα αν έχουμε τρεις αίθουσες Α, Β, Γ όπως στο διπλανό σχήμα και θέλουμε να πάμε από την αίθουσα Α στην αίθουσα Γ με ενδιάμεση αίθουσα τη Β, αναγκαστικά περνάμε από τον διάδρομο (1) δύο φορές.

Αν όμως είχαμε μιαν άλλη διάταξη δεν θα χρειαζόταν να περάσουμε δύο φορές από τον ίδιο διάδρομο. Παρατηρήσετε πως η ενδιάμεση αίθουσα Β έχει εδώ σύνδεση με δύο διαδρόμους (1) και (3) ή (1) και (2) , ενώ στη προηγούμενη περίπτωση μόνο με ένα .

Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τρόπο σκέψης στο πρόβλημα με το κατάστημα ρούχων, συμπεραίνουμε ότι για να μπορέσουμε να περάσουμε από κάθε διάδρομο μία μόνο φορά, είναι απαραίτητο οι δύο ενδιάμεσες αίθουσες ( ΑΝΔΡΙΚΑ ΡΟΥΧΑ – ΓΥΝΑΙΚΕΙΑ ΡΟΥΧΑ ) να έχουν ζυγό αριθμό διαδρόμων που να συνδέονται με αυτές. Παρατηρώντας όμως το σχέδιο βλέπουμε πως έχουν μονό αριθμό διαδρόμων, πέντε η κάθε μία τους.

ΑΝΔΡΙΚΑ ΡΟΥΧΑ (1),(2),(5),(6),(7) και ΓΥΝΑΙΚΕΙΑ ΡΟΥΧΑ (3),(4),(5),(8),(9)

Οπότε συμπεραίνουμε πως είναι αδύνατον να δούμε όλες τις αίθουσες περνώντας μία μόνο φορά από κάθε διάδρομο.

Το πρόβλημα αυτό είναι μια παραλλαγή ενός γνωστού μαθηματικού γρίφου του 18^ου αιώνα που λέγεται « Οι επτά γέφυρες του Königsberg » . Η λύση του γρίφου ήρθε από το διάσημο Ελβετό μαθηματικό Leonard Euler με την βοήθεια κάποιων απλοποιημένων γραφημάτων και πολύ αργότερα καταγράφτηκε στην Ιστορία των Μαθηματικών ως το πρώτο θεώρημα της Θεωρίας Γραφημάτων. Ο τρόπος με τον οποίο αντιμετώπισε ο Euler το πρόβλημα, θεωρήθηκε εξαιρετικά σημαντικός αφού ήταν ένας προάγγελος της ανάπτυξης της Τοπολογίας. Κάποια άλλη στιγμή μπορεί να δοθεί η ευκαιρία να πούμε μερικά πράγματα παραπάνω για τον πολύ σπουδαίου αυτό κλάδο των Μαθηματικών.

Την εποχή που ζούσε ο Euler ένας περίπατος στις Επτά γέφυρες του Königsberg, ίσως ήταν ένας όμορφος τρόπος χαλάρωσης. Έχω όμως την αίσθηση πως στις μέρες μας οι δαιδαλώδεις διάδρομοι που έχουν πολλά καταστήματα δεν έχουν γίνει για να μας χαλαρώνουν ή δεν έχούν γίνει μόνον για να μας χαλαρώνουν. Πιθανότατα οι σύγχρονοι αυτοί λαβύρινθοι έχουν σχεδιαστεί για να μας αναγκάζουν να κάνουμε κύκλους για πολύ ώρα, χωρίς να καταλαβαίνουμε από πού έχουμε περάσει και από πού δεν έχουμε περάσει. Όσο περισσότερο όμως τριγυρνάμε μέσα στα προϊόντα τόσο γινόμαστε πιο ευάλωτοι και στις δικές μας καταναλωτικές αδυναμίες αλλά κυρίως στα δικά τους διαφημιστικά κόλπα. Ίσως αν κάποιος είναι υποψιασμένος σχετικά μα αυτά τα τεχνάσματα να αποφύγει μερικές παγίδες. Ελπίζω μόνο να μην έγινα αφορμή να μετράτε τους διαδρόμους των καταστημάτων για να βρείτε αν υπάρχει τρόπος να περάσετε μια μόνο φορά από τον καθένα τους !

ΓΙΑΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

2011-01-05T15:28:00.001+02:00

Συζητώντας καθημερινά με μαθητές αναπόφευκτα μου τίθεται πολλές φορές το ερώτημα… «Γιατί πρέπει να μαθαίνουμε μαθηματικά ». Έχω την αίσθηση όμως πως το ερώτημα αυτό κρύβει πολύ περισσότερα πράγματα από όσα μας καλεί να φανερώσουμε. Είναι λοιπόν απαραίτητο να ερευνηθεί σε διάφορα επίπεδα, για να το δούμε λοιπόν...

Αυτό το «Γιατί» που εμφανίζεται σε πάρα πολλά ερωτήματα και με διαφορετικούς τρόπους, εκφράζει πάντα την ίδια απορία; Για παράδειγμα αν αλλάξουμε τη λέξη «μαθηματικά» και βάλουμε στη θέση τους «Ταϊλανδέζικα» θα έχουμε την πρόταση «Γιατί πρέπει να μαθαίνουμε Ταϊλανδεζικα », που εκφράζει, τουλάχιστον για μας τους Έλληνες, μια εύλογη απορία. Αν όμως βάλουμε στη θέση αυτή «να περπατάμε» θα έχουμε την πρόταση «Γιατί πρέπει να μαθαίνουμε να περπατάμε », η οποία όμως δεν φαίνεται και πολύ λογική. Με τα μαθηματικά λοιπόν τι από τα δύο αυτά ισχύει. Πρόκειται για μια εύλογη απορία ή μήπως είναι απλά ένα ανόητο ερώτημα;

Το σημαντικότερο είναι να μπορούμε σε κάθε περίπτωση να βρούμε το νόημα που έχει μια ερώτηση, δηλαδή να καταλάβουμε τι ακριβώς είναι αυτό που αναζητούμε. Τι είναι λοιπόν αυτό που ψάχνουμε κάνοντας την ερώτηση «Γιατί πρέπει να μαθαίνουμε μαθηματικά». Θέλουμε να βρούμε χρησιμότητα… «Που θα μου χρησιμεύσουν τα μαθηματικά». Μήπως είναι μια έκφραση αγωνίας… «Γιατί μας ταλαιπωρείτε τόσο με τα μαθηματικά» . Ίσως είναι και μια υπαρξιακή αναζήτηση… «Γιατί οι άνθρωποι να μαθαίνουμε τόσα πολλά πράγματα ανάγνωση, γραφή, μουσική , μαθηματικά…».

Πρώτη μας δουλεία λοιπόν θα είναι να συνειδητοποιήσουμε τι ακριβώς θέλουμε να βρούμε και μετά θα τρέξουμε να το αναζητήσουμε με όλες μας τις δυνάμεις.

Καλή χρονιά λοιπόν σε όλους και καλή δύναμη στις αναζητήσεις σας !!!

ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

2010-11-02T16:31:00.001+02:00

Η λέξη ακολουθία έχει στις μέρες μας πολλές χρήσεις και σημασίες. Σημασίες που κυμαίνονται από τη συνοδεία ενός επιφανούς προσώπου, για παράδειγμα « Η Ελληνική ακολουθία με επικεφαλής τον υπουργό…» , μέχρι και μια θρησκευτική τελετή όπως «Η ακολουθία του Νυμφίου».

Στα μαθηματικά συνήθως μιλάμε για ακολουθίες αριθμών. Ακολουθία ονομάζουμε μια ομάδα αριθμών που η σειρά έχει σημασία. Κάθε αριθμός της ακολουθίας ονομάζεται όρος της και συνήθως συμβολίζεται με κάποιο γράμμα α, β, γ, κλπ που συνοδεύεται από έναν δείκτη με τον οποίο δηλώνεται η σειρά. Έτσι για παράδειγμα ο πρώτος όρος μπορεί να συμβολίζεται με α₁, ο δεύτερος με α₂ κι ο πεντηκοστός έβδομος με α₅₇. Ολόκληρη η ακολουθία συνοπτικά συμβολίζεται με το αντίστοιχο γράμμα με δείκτη ν μέσα σε μια παρένθεση, έτσι για τους όρους α_1,α_{2 ...}έχουμε την ακολουθία (α_ν). Οι ακολουθίες στα μαθηματικά κατηγοριοποιούνται με διάφορους τρόπους, έχουμε πεπερασμένες ακολουθίες ή άπειρες ακολουθίες, συγκλίνουσες, αποκλίνουσες, περιοδικές, φραγμένες και άλλες πολλές κατηγορίες. Σε καμία περίπτωση δεν είναι ο σκοπός μου να κάνω διεξοδική ανάλυση των ακολουθιών ή των κατηγοριοποιήσεών τους, η ανάρτηση αυτή είναι αφιερωμένη σε «Φωτογραφικές ακολουθίες», το μόνο που ίσως χρειάζεται να γίνει απολύτως αντιληπτό, είναι πως κάθε ακολουθία είναι ένα σύνολο αριθμών στο οποίο η σειρά παίζει σημαντικό ρόλο.

Ας έρθουμε τώρα στο θέμα μας. Θα ασχοληθούμε με τις δύο βασικές ακολουθίες αριθμών μιας φωτογραφικής μηχανής, το άνοιγμα του διαφράγματος και τη ταχύτητα του φωτοφράκτη. Τέλος θα δούμε και μερικές φωτογραφίες που δείχνουν πώς οι αριθμοί αυτοί επηρεάζουν τη φωτογράφηση.

Το άνοιγμα του διαφράγματος

Η πρώτη σημαντική ακολουθία αριθμών που βρίσκουμε σε μια φωτογραφική μηχανή είναι οι αριθμοί του διαφράγματος. Πού τους βρίσκουμε όμως αυτούς τους αριθμούς και τι ακριβώς κάνουν; Στις παλιότερες μηχανές η ακολουθία αυτή βρισκόταν πάνω στον φακό και η επιλογή γινόταν με έναν περιστρεφόμενο δακτύλιο. Στις σύγχρονες όμως μηχανές είναι απλά μια ένδειξη στην κεντρική οθόνη ελέγχου ή αν πρόκειται για πιο επαγγελματική φωτογραφική μηχανή θα υπάρχει και στη μικρότερη βοηθητική οθόνη. Όσο για την επιλογή αυτή γίνεται πια ψηφιακά. Στις περισσότερες μηχανές η ακολουθία είναι η εξής f1.4 , f2 , f2.8 , f4 , f5.6 , f8 , f11 , f16 , f22, χωρίς όμως αυτό να είναι απόλυτο. Ουσιαστικά πολύ λίγοι άνθρωποι δίνουν σημασία στους αριθμούς αυτούς αφού οι σύγχρονες φωτογραφικές μηχανές επιλέγουν αυτόματα το κατάλληλο άνοιγμα του διαφράγματος.

Παρόλα αυτά, η γνώση πως καθένας από αυτούς τους αριθμούς αντιστοιχεί σε μια διάμετρο ενός κύκλου, που τη στιγμή της φωτογράφησης επιτρέπει στο φως να εισέλθει στη μηχανή μας από τον φακό, μπορεί σε κάποιους να φανεί χρήσιμη.

Το παράξενο μ’ αυτή την ακολουθία είναι πως όσο μικραίνει ο αριθμός, τόσο μεγαλώνει η διάμετρος αυτού του κύκλου. Για παράδειγμα στο f4 έχουμε κύκλο με διπλάσια διάμετρο απ’ ό,τι στο f8.

Αλλά οι «παραξενιές» δεν σταματάνε εδώ αφού λόγω τις σχέσης του εμβαδού του κύκλου

με την διάμετρό του, όταν διπλασιάζεται η διάμετρος τετραπλασιάζεται το εμβαδόν του κύκλου και άρα τετραπλασιάζεται και το φως που εισέρχεται. Οι φωτογράφοι όμως για να μπορούν να κάνουν ευκολότερα τους υπολογισμούς προτιμούσαν να έχουν διπλασιασμό του φωτός και όχι τετραπλασιασμό επομένως για να διορθωθεί αυτή η μικρή αδυναμία παρέμβαλαν τους άλλους αριθμούς της ακολουθίας που προκύπτουν από μια αναλογία του...

Με αυτόν τον τρόπο το εμβαδόν στο f4 είναι διπλάσιο απ’ ότι στο f5.6 αρά και το εισερχόμενο φως είναι διπλάσιο. Oμοίως και στο f5.6 το εισερχόμενο φως είναι πάλι διπλάσιο απ’ ότι στο f8. Έτσι ξέρουμε ότι σε κάθε διαδοχικό αριθμό αυτής της ακολουθίας (f1.4 , f2 , f2.8 , f4 , f5.6 , f8 , f11 , f16 , f22 ) περνάει από το φακό της μηχανής μας το μισό φως. Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως όταν η μηχανή είναι σε κάποια αυτόματη λειτουργία το διάφραγμα ρυθμίζεται μόνο του ώστε να γίνει η σωστή έκθεση και να έχουμε όμορφη φωτογραφία, αν όμως κάποιος θέλει να πειραματιστεί μπορεί να θέσει τη μηχανή του στη λειτουργία Α ( από την λέξη Aperture ) και να αναλάβει ο ίδιος τον έλεγχο και την ρύθμιση του διαφράγματος.

Η ταχύτητα του φωτοφράκτη

Η άλλη ακολουθία αριθμών που παίζει βασικό ρόλο σε μια φωτογράφηση είναι η ταχύτητα του φωτοφράκτη. Στην πραγματικότητα δεν πρόκειται για ταχύτητα άλλα για το χρόνο που παραμένει ανοιχτός ο φωτοφράκτης προκειμένου να εισέλθει το φως και να γίνει η συλλογή των πληροφοριών από την φωτοευαίσθητη επιφάνεια.

Και αυτή η ακολουθία στις σύγχρονες μηχανές φαίνεται στην κεντρική οθόνη. Όπως προαναφέραμε οι αριθμοί αυτοί καθορίζουν την «ποσότητα» του φωτός που χρειάζεται για μια φωτογραφία. Είναι νομίζω φανερό σε όλους ότι όσο περισσότερο χρόνο παραμένει ανοιχτός ο φωτοφράκτης τόσο περισσότερο φως περνάει. Επίσης χωρίς δυσκολία καταλαβαίνουμε, πως αν διπλασιάσουμε τον χρόνο θα διπλασιαστεί και το φως που θα περάσει. Αυτό που δεν είναι πάντα τόσο κατανοητό είναι πως σε μερικές περιπτώσεις αρκεί ένα πολύ μικρό κλάσμα του δευτερολέπτου (ακόμα και 1/2000 του δευτερολέπτου) για να έχουμε μια σωστή φωτογραφία. Προκειμένου να γίνονται εύκολοι υπολογισμοί και να διευκολύνεται η εύρεση του σωστού συνδυασμού ΔΙΑΦΡΑΓΜΑΤΟΣ- ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ σε μια φωτογράφηση, έχει επικρατήσει από παλιά οι αριθμοί αυτής της ακολουθίας να διπλασιάζονται ξεκινώντας από τον πιο μικρό. Αν θεωρήσουμε, για παράδειγμα, ελάχιστο χρόνο αυτόν που ανέφερα παραπάνω δηλαδή το 1/2000 sec, τότε θα είναι κάπως έτσι … ( 1/2000 , 1/1000 , 1/500 , 1/250 , 1/125 , 1/64 , 1/32 , 1/16 , 1/8 , 1/4 , 1/2, 1’ , 2’ , 4’ … ). Αυτό βέβαια διαφέρει αρκετά στις μέρες μας που η τεχνολογία έχει φτάσει σε δυσθεόρατα ύψη και μας βοηθάει να πετύχουμε κι αυτά που έμοιαζαν παλαιότερα ακατόρθωτα, αλλά σε γενικές γραμμές αυτοί οι χρόνοι υπάρχουν σε όλες τις μηχανές. Αν η φωτογραφική σας μηχανή έχει την επιλογή S ( από τη λέξη Shutter ) τότε μπορείτε να επιλέξετε μόνοι σας και να πειραματιστείτε με την ταχύτητα το φωτοφράκτη της. Με λίγη υπομονή και προσπάθεια τα αποτελέσματα θα σας εντυπωσιάσουν.

Μια απλή φωτογραφική ακολουθία και η ιστορία της

Η παραπάνω «ακολουθία» φωτογραφιών αποτελείται από τρεις φωτογραφίες τραβηγμένες σε διαφορετικές χρονικές στιγμές, δεν είναι δηλαδή μια μόνο φωτογραφία επεξεργασμένη με διαφορετικό τρόπο. Βλέποντάς τις κάποιος θα μπορούσε να συμπεράνει πως τραβήχτηκαν σε διαφορετικές ώρες, η πρώτη για παράδειγμα το μεσημεράκι, η δεύτερη το απόγευμα ενώ η τρίτη κατά το βραδάκι. Στη πραγματικότητα όμως και οι τρεις τραβήχτηκαν μέσα σε ένα λεπτό και μάλιστα όχι με τη σειρά που εμφανίζονται αλλά την ακριβώς αντίθετη! Τι ωραία παιχνίδια μπορεί να παίξει κανείς με το φως και μια φωτογραφική μηχανή που δεν είναι ρυθμισμένη σε κάποιο αυτόματο πρόγραμμα!

Στις φωτογραφίες αυτές οι διαφορετικές εντυπώσεις προκλήθηκαν από διαφορετικές ταχύτητες του φωτοφράκτη. Όλες είναι τραβηγμένες με άνοιγμα διαφράγματος f4 αλλά με ταχύτητα 1/10 sec, 1/40 sec και 1/160 sec αντίστοιχα. Έτσι, παρότι είναι τραβηγμένες και οι τρεις με τις ίδιες συνθήκες φωτισμού ,απόγευμα και συννεφιά, έχουμε τρία διαφορετικά αποτελέσματα. Η μεσαία φωτογραφία αποτύπωσε σωστότερα το περιβάλλον εκείνη την ώρα, οι άλλες δύο μας παρουσιάζουν μια «ψεύτικη» εικόνα της πραγματικότητας. Στην αριστερή φωτογραφία ο φωτοφράκτης παρέμεινε ανοιχτός περισσότερη ώρα δημιουργώντας μια πιο φωτεινή φωτογραφία και την αίσθηση της ημέρας ενώ στη δεξιά φωτογραφία έχουμε το φωτοφράκτη ανοιχτό πολύ μικρότερο χρονικό διάστημα, για την ακρίβεια το 1/16 του πρώτου, με αποτέλεσμα να περάσει λιγότερο φως δημιουργώντας έτσι μια σκοτεινή φωτογραφία και την αίσθηση της νύχτας! Ακόμα και σήμερα στην εποχή που η ψηφιακή τεχνολογία μπορεί να δημιουργήσει οποιοδήποτε εφέ, τέτοια μικρά κολπάκια χρησιμοποιούνται πολύ συχνά στο κινηματογράφο για να δημιουργηθεί η αίσθηση πως μια σκηνή εκτυλίσσεται το βράδυ ή σε κάποιο σκοτεινό μέρος.

Η ταχύτητα και το διάφραγμα επηρεάζουν όπως είδαμε την φωτεινότητα μιας φωτογραφίας, αλλά σίγουρα δεν επηρεάζουν μόνο αυτό, θέλω λοιπόν να κλείσω με μια συμβουλή σε όσους έχουν χρόνο και διάθεση να πειραματιστούν. Βγάλετε τη φωτογραφική σας μηχανή από την αυτόματη ρύθμιση και ακολουθήστε την έμπνευσή σας !!!

Σαν πως φταις κι εσύ καημένη...

2010-05-03T22:09:00.003+03:00

Τις παράξενες αυτές μέρες που ζούμε, όλοι μας μοιάζουμε σαστισμένοι.

Δυστυχώς δεν έχουμε όμως περιθώρια ολιγωρίας, πρέπει να είμαστε σε εγρήγορση γιατί όπως λέει ο λαός... στην αναμπουμπούλα ο λύκος χαίρεται. Και λύκοι υπάρχουν πολλοί... ντόπιοι και ξένοι.

Αυτοί είμαστε αδέρφια και αυτούς τους άρχοντες διαλέγουμε εδώ και χρόνια, τι να λέμε τώρα.

Ευτυχώς που έχουμε τραγούδια που μας δίνουν κάποια ελπίδα. Όχι ψεύτικη σαν κι αυτές που μας πετάνε από τα προεκλογικά μπαλκόνια, ελπίδα αληθινή που γεμίζει το χώρο χωρίς όμως να τον αναλώνει...

Εύχομαι να απολαύσετε κι εσείς τα τραγούδια που ακολουθούν όσο τα απολαμβάνω κι εγώ...

Κρυπτογραφικά

2010-04-11T22:58:00.005+03:00

Στις μέρες πολύς λόγος γίνεται για την ασφάλεια των δεδομένων που διακινούνται από διάφορους οργανισμούς όπως οι τράπεζες, οι ασφαλιστικές εταιρίες και τα ταχυδρομεία. Καμιά φορά λόγος γίνεται και για τις πληροφορίες που στέλνουμε με τα κινητά μας τηλέφωνα, αλλά ο μεγάλος πρωταγωνιστής αυτών των συζητήσεων είναι ο «διάβολος» αυτός που στα Ελληνικά λέγεται Ίντερνετ. Όλο και περισσότερος κόσμος αποφασίζει με μεγαλύτερη ευκολία μέσω διαδικτύου, να κάνει από το σπίτι του αγορές, ενοικιάσεις, συμπλήρωση αιτήσεων και άλλες ηλεκτρονικές συναλλαγές που πριν μερικά χρόνια μας φαίνονταν αδιανόητες. Δεν είναι και λίγο πράγμα βλέπετε να αποφύγει κανείς την ατέλειωτη ουρά στην εφορία και όλο τον εκνευρισμό που αυτή προκαλεί, έστω κι αν υπάρχει η απώλεια της συναναστροφής με τις όμορφες λογίστριες που συρρέουν για να τακτοποιήσουν επείγουσες εκκρεμότητες!

Η ασφάλεια μιας ιστοσελίδες που διαχειρίζεται ευαίσθητα δεδομένα φαίνεται από ένα εικονίδιο σε εμφανές σημείο της με σχήμα κλειδαριάς, συνήθως μάλιστα είναι χρυσή κλειδαριά. Αν κλικάρουμε (είναι και αυτό ένα από τα πολλά καινούργια ρήματα της Νεοελληνικής που μπήκε στη ζωή μας εσχάτως…) πάνω στο εικονίδιο αυτό θα εμφανιστεί μια αναφορά ασφαλείας. Διάφορες πληροφορίες δηλαδή για την ασφάλεια της ιστοσελίδας. Μια από τις πιο συνηθισμένες προτάσεις σε τέτοιου είδους αναφορές είναι «Αυτή η σύνδεση είναι κρυπτογραφημένη.» και σε αυτό το σημείο βρήκα πάτημα για να σας ζαλίσω πάλι με τα μαθηματικά μου.

Η Κρυπτογραφία είναι η διαδικασία με την οποία μετασχηματίζουμε ένα λεκτικό ή αριθμητικό μήνυμα σε άλλη μορφή, ώστε να μην είναι κατανοητό σε περίπτωση που πέσει σε λάθος χέρια. Αφού λοιπόν είναι μετασχηματισμός δεν γίνεται να μη μελετηθεί από τους Μαθηματικούς, όμως δεν ήταν πάντα ζήτημα μαθηματικών. Οι πρώτες αναφορές που έχουμε για κρυπτογραφημένα μηνύματα είναι σε αρχαίους λαούς όπως οι Αιγύπτιοι, οι Βαβυλώνιοι, οι Σπαρτιάτες. Οι δε Ρωμαίοι είχαν βρει ένα απλό τρόπο κρυπτογράφησης των στρατιωτικών τους εγγράφων, ο οποίος όμως ήταν αρκετά αποτελεσματικός για την εποχή εκείνη. Θα κάνω στην συνέχεια μια περιγραφή αυτής της μεθόδου που είναι γνώστη σήμερα ως «Μέθοδος του Καίσαρα» αλλά πριν από αυτό, πάρετε ένα παιχνιδάκι….

Αντιστοιχίσετε τα κρυπτογραφημένα μηνύματα της αριστερής στήλης στις προτάσεις της δεξιάς στήλης.

Είμαι σίγουρος πως παρατηρήσατε ότι στις κρυπτογραφημένες προτάσεις έχουν καταργηθεί τα κενά ανάμεσα στις λέξεις, αυτό κάνει ακόμα πιο δύσκολή την δουλειά των κρυπταναλυτών που θα καταπιαστούν με την αποκωδικοποίηση των κρυμμένων προτάσεων. Μια τέτοια ενέργεια είναι απολύτως θεμιτή αν όχι και επιβεβλημένη, κι ελπίζουμε πως εκείνοι που έχουν τα κλειδιά για τους κώδικες είναι αρκετά έξυπνοι ώστε να μπορούν να βάλουν τα κενά στις σωστές θέσεις και να αποφύγουν τις παρερμηνείες!

Ας επανέλθουμε τώρα στη «Μέθοδο του Καίσαρα», καταρχάς ονομάστηκε έτσι γιατί προφανώς αποδίδεται σε Ρωμαίο αυτοκράτορα, τον Ιούλιο Καίσαρα. Η κρυπτογράφηση του μηνύματος γινόταν με αντικατάσταση κάθε γράμματος με το τρίτο διαδοχικό του στο αλφάβητο… Α=>Δ, Β=>Ε, Γ=>Ζ κτλ. Ένα εύλογο ερώτημα είναι, τι έκαναν με τα τελευταία γράμματα, που δεν έχουν τρίτο διαδοχικό. Προφανώς ξεκινούσαν από την αρχή δηλαδή Χ=>Α, Ψ=>Β και Ω=>Γ. Οπότε ας πούμε ότι ήθελαν να στείλουν, στα Ελληνικά πάντα, το μήνυμα ΕΠΙΘΕΣΗ. Θα αντικαθιστούσαν κάθε γράμμα με το τρίτο διαδοχικό του στην αλφαβήτα, δηλαδή θα γινόταν ΘΤΜΛΘΦΚ. Μπορεί να φαίνεται απλό, ίσως και γελοίο, αλλά για κάποιον που δεν είναι υποψιασμένος είναι αποτελεσματικότατο. Βέβαιο οι Ρωμαίοι δεν χρησιμοποιούσαν πάντα το τρίτο γράμμα αλλά άλλαζαν κατά καιρούς το βήμα της μετατόπισης και αντικαθιστούσαν άλλες φορές με το τρίτο διαδοχικό γράμμα, άλλες με το όγδοο και πάει λέγοντας. Έτσι η μέθοδος αυτή γινόταν ακόμα πιο αποτελεσματική. Για να γίνει τώρα η αποκρυπτογράφηση από τον παραλήπτη θα πρέπει να γνωρίζει το κλειδί, με άλλα λόγια με ποιο βήμα έχει γίνει η μετατόπιση και η αντικατάσταση. Οπότε κατασκευάζει ένα απλό πίνακα αντιστοίχισης και βρίσκει το πραγματικό μήνυμα. Στη δική μας περίπτωση τώρα για βήμα τρία γράμματα, η αντιστοίχηση αποκρυπτογράφησης είναι :

Αποκρυπτογραφώντας με αυτό τον τρόπο τα τέσσερα μηνύματα του παιχνιδιού μας, έχουμε τα έξής αποτελέσματα….

ΑΛΡΒΠΝΤΩΩΓΒΝΑΓΠ => ΧΘΞΨΝΚΠΦΦΩΨΚΧΩΝ

ΘΥΩΞΜΝΙΓΣΝΜΓΙΓ => ΕΤΦΛΙΚΖΩΟΚΙΩΖΩ

ΔΨΥΜΣΘΑΓΗΣΨΞΘΜΔ => ΑΥΡΙΟΕΧΩΔΟΥΛΕΙΑ

ΟΓΞΤΝΣΨΦΘΛΡΑΟΗ => ΜΩΛΠΚΟΥΣΕΘΞΧΜΔ

Όπως φαίνεται ο τρόπος αυτός της αποκωδικοποίησης και με το συγκεκριμένο κλειδί, των τριών βημάτων, ξεκαθαρίζει μόνο το τρίτο μήνυμα το οποίο είναι «ΑΥΡΙΟ ΕΧΩ ΔΟΥΛΕΙΑ»

Με την πάροδο του χρόνου οι κρυπταναλυτές έβρισκαν σχετικά εύκολα τρόπους να ξεκλειδώνουν τέτοια μηνύματα κοιτάζοντας την συχνότητα εμφάνισης των γραμμάτων στα γνωστά κείμενα.( Σύνδεσμος στη Βικιπαίδεια για πιο πολλές πληροφορίες ) Έτσι δημιουργήθηκε η ανάγκη για νέες μεθόδους πιο πολύπλοκες και συνεπώς πιο δύσκολες για τους επίδοξους «κλέφτες». Μια άλλη μέθοδος λοιπόν ήταν να μετατοπίζουμε κάθε γράμμα του αρχικού μηνύματος με διαφορετικό τρόπο. Έτσι η μετατόπιση δεν εξαρτιόταν από έναν μόνο αριθμό, το 3 ή το 8, αλλά από μια λέξη για παράδειγμα «ΑΣΠΡΟ» . Ας υποθέσουμε ότι το μήνυμά μας είναι δύο λέξεις ΦΥΓΕ ΑΜΕΣΩΣ. Βάζουμε κάτω τη λέξη κλειδί όσες φορές χρειάζεται. Στη συνέχεια μετατοπίζουμε τα γράμματα του μηνύματος σύμφωνα με τον αριθμό που αντιστοιχεί στο γράμμα της λέξης κλειδί.

Για δείτε το …

Έτσι κάτω από τα Φ, βάλαμε το Α που είναι το 1ο γράμμα οπότε μετατοπίζουμε το Φ κατά 1,δηλαδή το Φ γίνεται Χ. Κάτω από το Υ βάλαμε το Σ που είναι το 18ο γράμμα άρα μετατοπίζουμε το Υ κατά 18 ( αν τελειώσουν τα γράμματα πάμε από την αρχή) οπότε γίνεται Ξ. Με τον τρόπο αυτό υπάρχει μεγαλύτερη ασφάλεια αφού προκύπτουν διαφορετικά αποτελέσματα για το ίδιο γράμμα, για παράδειγμα το Ε μπορεί να γίνει ή Χ ή Ψ ή κάποιο άλλο γράμμα, οπότε είναι δύσκολο με βάση την συχνότητα εμφάνισης των γραμμάτων να βρούμε το κλειδί του κώδικα. Μπορείτε τώρα αν θέλετε απλά να επιβεβαιώσετε ότι στο δικό μας παιχνίδι η πρόταση «ΩΡΑΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» έχει κρυπτογραφηθεί με τον τρόπο αυτό και λέξη κλειδί «ΑΣΠΡΟ».

Μέχρι εδώ νομίζω πως τα πράγματα ήταν σχετικά εύκολα, αφού δεν εμφανίστηκε ούτε ένας απλός μαθηματικός τύπος. Όμως καθώς η ζωή προχωρούσε, προχωρούσε και η ανάγκη για ακόμα πιο ασφαλείς τρόπους κωδικοποίησης, και μια πρώτη και απλή σκέψη ήταν να μην κωδικοποιούμε ένα ένα τα γράμματα αλλά ζεύγη γραμμάτων ή γενικά ομάδες γραμμάτων. Για μεγαλύτερη ασφάλεια (και καλά τώρα) αποφάσισαν όλη αυτή η διαδικασία να γίνει με την βοήθεια δύο απλών γραμμικών συναρτήσεων σαν και αυτές που ακολουθούν

Οι εξισώσείς αυτές προτιμήθηκαν σε σχέση με άλλες γιατί έχουν εύκολες πράξεις και μπορούμε να αντιστραφούν δίχως δυσκολίες. Είμαι σίγουρος πως στους περισσότερους αυτές οι εξισώσεις μόνο απλές δεν φαίνονται. Είναι γνωστό εξάλλου πως τα μαθηματικά πολλές φορές γίνονται δύσκολα μόνο και μόνο από τους ιδιαίτερους συμβολισμούς που έχουν και γι’ αυτό δεν πρόκειται να επιμείνω άλλο. Στο τέλος παραθέτω μερικούς συνδέσμους για όποιον θέλει να μελετήσει και την μέθοδο αυτή λίγο καλύτερα. Ο μαθηματικά τολμηρός αναγνώστης μπορεί αν θέλει να επιβεβαιώσει πως η πρόταση ΔΥΣΚΟΛΟΣ ΓΡΙΦΟΣ έχει κρυπτογραφηθεί με τον τρόπο αυτό και α=5, β=3,γ=1,δ=2.

Στο σημείο αυτό θέλω να επισημάνω μια δυσκολία που παρουσιάζεται και στις τρεις αυτές μεθόδους κρυπτογράφησης. Όλες στηρίζονται σε κάποιο κλειδί. Η πρώτη στο βήμα της μετατόπισης. Η δεύτερη στη λέξη και η τρίτη στους τέσσερις αριθμούς α,β,γ,δ. Για να γίνει η αποκρυπτογράφηση θα πρέπει αυτοί που λαμβάνουν το μήνυμα να γνωρίζουν το κλειδί ώστε να το διαβάσουν σωστά. Το πρόβλημα είναι πως αν το κλειδί παραμείνει για μεγάλο χρονικό διάστημα το ίδιο υπάρχει κίνδυνος «ο αντίπαλος» να το ανακαλύψει, ενώ αν αλλάζει τακτικά υπάρχει δυσκολία στη μεταβίβασή του χωρίς να γίνει κάποια υποκλοπή.

Από το 1976 και μετά εμφανίστηκε μια νέα μέθοδος κρυπτογράφησης όπου το κλειδί δεν ήταν πια μυστικό αλλά φανερό και ονομάζεται Κρυπτογράφηση Δημόσιου Κλειδιού. Στην πραγματικότητα πρόκειται για μέθοδο που έχει δύο κλειδιά, ένα Δημόσιο Κλειδί και ένα Ιδιωτικό Κλειδί. Αυτή η νέα μέθοδος οφείλει την μεγάλη επιτυχία της στους πολύ μεγάλους πρώτους αριθμούς. Οι πρώτοι αριθμοί έχουν κάποιες παραξενιές. Καταρχάς ένας πρώτος αριθμός δεν έχει διαιρέτες πέρα από το 1 και τον εαυτό του. Η σημαντικότερη παραξενιά τους όμως είναι πως δεν έχουν καμία κανονικότητα στη σειρά εμφάνισής τους οπότε… Οπότε κάπου εδώ πρέπει να σταματήσω, εξάλλου πόσα μαθηματικά αντέχει καθημερινά ένας άνθρωπος.

Υπάρχουν βέβαια και άλλοι σημαντικοί αλγόριθμοι κρυπτογράφησης. Ένας από τους ασφαλέστερους και πιο διαδεδομένους είναι ο One-time Pad που χρησιμοποιείται από πολλές κυβερνήσεις για σημαντικές υποθέσεις τους. Αλλά νομίζω πως είναι ασφαλέστερο για μένα να μην ασχοληθώ με τέτοια πράγματα! Σε όσους όμως από εσάς συνεχίσετε αυτήν την αναζήτηση εύχομαι δύναμη και καλή τύχη.

Θέλω να κλείσω με ένα πολύ θερμό ευχαριστώ στον φίλο και κουμπάρο μου Κώστα Μαρκαντωνάκη για τις πολύ εύστοχες παρατηρήσεις του και τη πολύτιμη βοήθειά του στη τελική διαμόρφωση αυτής της ανάρτησης.

Μερικοί Σύνδεσμοι κι ένα Βιβλίο

1. Κρυπτογραφία στη Βικιπαίδεια

2. Κρυπτογράφηση Δημίσιου Κλειδιου στη Βικιπαίδεια

3. Ανάλυση Συχνότητας Γλώσσας στη Βικιπαίδεια

4. One Time Pad Wikipedia

5. Η φύση και η δύναμη των μαθηματικών (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης)

Η Αρχή της Περιστεροφωλιάς

2010-02-21T16:34:00.003+02:00

Η βιβλιοθήκη της πόλης

Αν στη βιβλιοθήκη μιας πόλης υπάρχουν πάνω από 10.000 βιβλία (Διαφορετικοί Τίτλοι), να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον από αυτά (εννοείται με διαφορετικούς τίτλους) έχουν ακριβώς το ίδιο πλήθος σελίδων.

Ο πολύς κόσμος έχει την αίσθηση πως τα μαθηματικά είναι η επιστήμη που ασχολείται μόνο με πολύπλοκους υπολογισμούς, αφηρημένες έννοιες, δυσνόητες πρακτικές εφαρμογές στην τεχνολογία και στις άλλες επιστήμες. Η πραγματικότητα είναι ότι ξεκίνησαν από πολύ απλές διανοητικές διαδικασίες όπως είναι η αρίθμηση, η διάταξη και η αντιστοίχηση. Ωστόσο με το πέρασμα των χρόνων όμως και με τις γνώσεις διαρκώς να συσσωρεύονται δυσκόλεψαν τόσο, που έφτασαν σήμερα να κρύβουν τις απλές δομές από τις οποίες προήλθαν. Παρόλα αυτά, ακόμα και στη σημερινή εποχή τα μαθηματικά δεν είναι μονάχα πράξεις με πολύ δύσκολους αριθμούς ούτε μόνον εφαρμογές πολύπλοκων κανόνων που ξεφεύγουν από την άμεση εμπειρία μας. Υπάρχουν θεωρίες και κανόνες και βέβαια τα αντίστοιχα προβλήματα, που μπορούν να κατανοηθούν κυριολεκτικά απ’ όλους, όσο κι αν είναι μαθηματικά «άσχετοι».

Αν όμως γι’ αυτά τα παράξενα μαθηματικά δεν χρειάζεται ευχέρεια στο χειρισμό των πράξεων ή κάποιες ιδιαίτερες γνώσεις, τελικά τι είναι αυτό που χρειάζεται να έχει κανείς για να μπορεί να ασχοληθεί στοιχειωδώς με αυτά τα ζητήματα; Όπως όλα τα ωραία πράγματα, σίγουρα είναι και αυτό θέμα έμπνευσης. Όμως η παρατηρητικότητα και η ικανότητα της διάκριση είναι μάλλον σημαντικότερα χαρίσματα στην συγκεκριμένη περίπτωση. Όσοι στο παρελθόν είχαν την δυνατότητα να διακρίνουν μέσα στον τομέα της ερευνάς τους εκείνους τους κανόνες, απλούς ή σύνθετους, που άνοιγαν νέους δρόμους για την επιστήμη, γράφτηκαν στην ιστορία ως Μεγάλοι.

Ένας από τους Μεγάλους Μαθηματικούς του 19ου αιώνα ήταν και ο Dirichlet. Γεννήθηκε το 1805 στο Duren (σημερινή Γερμανία) και το πλήρες του όνομα ήταν Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Η οικογένειά του καταγόταν από την Βελγική πόλη Richelet και αυτό εξηγεί και το επίθετο που του αποδόθηκε, le jeune de Richelet, που σημαίνει ο νέος του Richelet. Από μικρό παιδί ακόμα, σε ηλικία μόλις δώδεκα χρονών, είχε φανεί η μεγάλη κλίση του στα μαθηματικά. Τόσο πολύ τον ενδιέφεραν, που ξόδευε σχεδόν ολόκληρο το χαρτζιλίκι του σε βιβλία μαθηματικών. Λέγεται ότι, η όλη παρουσία του στο γυμνάσιο ήταν τόσο εξαιρετική, που τον καθιστούσε παράδειγμα προς μίμηση για κάθε συμμαθητή του. Συνεχίζοντας τις σπουδές του μετά το γυμνάσιο στη Γερμανία και τη Γαλλία, ο Dirichlet είχε την τύχη να διδαχθεί από τους σπουδαιότερους Μαθηματικούς εκείνης της εποχής όπως τον Οhm, τον Fourier, τον Laplace, τον Legendre και τον Poisson. Ο ίδιος υπήρξε εξαίρετος δάσκαλος που εκφραζόταν πάντα με πολύ μεγάλη σαφήνεια. Το 1855 μετά το θάνατο του Gauss, είχε την τιμή να τον διαδεχθεί στο Gottingen. Στον Dirichlet οφείλουμε πολλά και σπουδαία μαθηματικά επιτεύγματα. Ένα από τα εντυπωσιακότερα (κυρίως για την απλότητα του) εργαλεία που μας κληροδότησε είναι η Αρχή της Περιστεροφωλιάς.

Η Αρχή της περιστεροφωλιάς αναφέρει πως αν ν+1 περιστέρια καθίσουν σε ν φωλιές τότε σε μία τουλάχιστον φωλιά θα καθίσουν δύο τουλάχιστον περιστέρια. Για παράδειγμα αν έχουμε 5 περιστέρια και 4 φωλιές , θα υπάρχει μία τουλάχιστον φωλιά με δύο τουλάχιστον περιστέρια!

Οι περισσότεροι άνθρωποι εκπλήσσονται από την απλότητα του κανόνα, και αμφισβητούν το μεγαλείο της ανακάλυψης και της σαφήνειας της διατύπωσης. Γεγονός όμως είναι ότι δεν φαίνεται να υπάρχει καμία αναφορά του κανόνα αυτού πουθενά στο μακραίωνο παρελθόν των μαθηματικών. Αυτό σημαίνει βέβαια πως ο κανόνας αυτός, αν δεν προέκυψε από σπουδαία μαθηματική έμπνευση προέκυψε από μεγάλη διαύγεια στη σκέψη, κι αυτό τουλάχιστον πρέπει να το πιστώσουμε στον Dirichlet. Η χρήση δε αυτής της Αρχής εκτείνεται από την Θεωρία Αριθμών μέχρι την Θεωρία Πιθανοτήτων αλλά και σε πλήθος προβλημάτων που φαίνεται να μην έχουν καμία σχέση με Μαθηματικά. Η Αρχή της περιστεροφωλιάς έχει και μια λίγο πιο δύσκολή γενίκευση με τη βοήθεια της οποίας μπορούμε να λύσουμε και άλλα εντυπωσιακά προβλήματα λογικής.

Το πρόβλημα της βιβλιοθήκης με το οποίο ξεκινήσαμε λύνεται και αυτό με την Αρχή της Περιστεροφωλιάς. Πρέπει όμως να κάνουμε την εξής λογική παραδοχή. Τα περισσότερα βιβλία έχουν από 200 μέχρι 800 σελίδες. Δεν είναι λοιπόν παράλογο να υποθέσουμε ότι δεν υπάρχουν βιβλία με περισσότερες από 10.000 σελίδες! Έτσι αν για περιστεροφωλιές βάλλουμε το πλήθος των σελίδων, αυτές θα είναι λιγότερες από 10.000. Στη συνέχεια θεωρούμε πως τα βιβλία της βιβλιοθήκης είναι τα περιστέρια. Έτσι για παράδειγμα αν κάποιο βιβλίο έχει μία σελίδα θα καθίσει στην 1η φωλιά, αν έχει δύο σελίδες στην 2η,αν έχει τριάντα σελίδες στη 30η κ.ο.κ. Όμως τα βιβλία (περιστέρια) είναι πάνω από 10.000 ενώ οι σελίδες (φωλιές) λιγότερες από 10.000 , άρα σύμφωνα με την Αρχή της Περιστεροφωλιάς δύο τουλάχιστον βιβλία (περιστέρια) θα έχουν το ίδιο πλήθος σελίδων (ίδια φωλιά).

Η συνεισφορά του Dirichlet στα μαθηματικά είναι τεράστια και οικουμενικά αναγνωρισμένη. Υπήρξε ένας από τους σπουδαιότερους της εποχής του και το όνομα του ήδη είναι γραμμένο με χρυσά γράμματα στην ιστορία των μαθηματικών. Χαρακτηριστικά είναι τα λόγια ενός μελετητή του…

« … σημαντικοί τομείς των μαθηματικών επηρεάστηκαν από τον Dirichlet. Οι αποδείξεις του ξεκινούσαν χαρακτηριστικά με εκπληκτικά απλές παρατηρήσεις, και ακολουθούσαν εξαιρετικά οξυδερκείς αναλύσεις του υπόλοιπου προβλήματος. Με τον Dirichlet άρχισε η χρυσή εποχή των μαθηματικών στο Βερολίνο!»

H Koch

Ακολουθούν μερικά ακόμα απλά προβλήματα που λύνονται με παρόμοιους τρόπους

1) Μια ομάδα ποδοσφαίρου έχει 11 παίχτες. Αν ο μικρότερος είναι 21 χρονών και ο μεγαλύτερος 30, να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον παίχτες έχουν την ίδια ηλικία.

2) Σ’ ένα εξεταστικό κέντρο οι δύο επιτηρητές σημειώνουν τα γραπτά με το ίδιο χρώμα στυλό, είτε και οι δύο με μπλε είτε και οι δύο με μαύρο. Αν σ’ ένα κουτί υπάρχουν 15 μπλε στυλό και 16 μαύρα, ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός από στυλό που πρέπει να βγάλει κάποιος από το κουτί χωρίς να βλέπει, για να τους δώσει στους επιτηρητές ώστε να μπορούν να κάνουν σωστά τη δουλειά τους.

3) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 2 άνθρωποι στο λεκανοπέδιο Αττικής που έχουν ακριβώς τον ίδιο αριθμό τριχών στο κεφάλι τους. (Επειδή το μυαλό των περισσοτέρων πάει συνήθως στους φαλακρούς, αγνοήσετε αυτή την περίπτωση.)

Μερικοί Σύνδεσμοι

1. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( Πανεπιστήμιο του Αγ. Ανδρέα στη Σκοτία )

2. Η Αρχή της Περιστεροφωλίας ( Wikipedia )

Το μαθηματικό δέντρο της ζωής

2010-02-10T15:57:00.006+02:00

Έχουν κοινή ρίζα;

(Ένα μαθηματικό πρόβλημα που μπορεί να τύχει σε Ιστορικούς.)

Σ’ ένα ιστορικό αρχείο βρέθηκαν δύο σχεδόν κατεστραμμένα γενεαλογικά δέντρα καταγεγραμμένα την ίδια χρονιά. Δυστυχώς για τους ερευνητές είχαν χαθεί πολλά στοιχεία. Το μόνο που κατάφεραν να αποσαφηνίσουν σε κάθε δέντρο ήταν η δομή του και τα ονόματα της τελευταίας γενιάς. Τρία από τα πέντε ονόματα κάθε δέντρου είναι κοινά. Το ένα καταγράφει τέσσερις γενιές ενώ το άλλο πέντε.

Μπορούμε να καταλάβουμε αν πρόκειται για την ίδια οικογένεια ;

Οι περισσότεροι άνθρωποι τη μόνη σχέση της Ιστορίας με τα Μαθηματικά που κάπως έχουν ακούσει είναι η Ιστορία των Μαθηματικών. Τη μελέτη δηλαδή της πορείας της μαθηματικής σκέψεις μέσα στους αιώνες. Από τη προϊστορική εποχή εώς τους Βαβυλώνιους και τους Αιγυπτίους, μετά στους σπουδαίους Έλληνες μαθηματικούς της αρχαιότητας, τους συστηματικούς Άραβες , τους καινοτόμους Ινδούς και τέλος στους σύγχρονους Ευρωπαίους μαθηματικούς που με τις ιδέες τους άλλαξαν κυριολεκτικά την πορεία του κόσμου. Τα τελευταία χρόνια μελετώνται και οι επιδόσεις των αρχαίων λαών της Αμερικανικής ηπείρου όπως οι Αζτέκοι και οι Ίνκας, που φαίνεται να είχαν αρκετά αναπτυγμένες μαθηματικές γνώσεις. Όμως η Ιστορία και τα Μαθηματικά σχετίζονται και με άλλο τρόπο. Δεν είναι μόνο η Ιστορία που μελετά τα Μαθηματικά αλλά καμιά φορά συμβαίνει και το αντίστροφο, δηλαδή τα Μαθηματικά μελετούν την Ιστορία. Για να είμαστε όμως πιο ακριβείς το σωστό είναι να πούμε πως τα Μαθηματικά βοηθούν στη μελέτη στοιχείων που σχετίζονται με την Ιστορία. Η λύση του προβλήματος που δόθηκε στην αρχή θα μας δώσει μια μικρή ιδέα του πώς μπορεί να συμβεί κάτι τέτοιο, ας τη δούμε λοιπόν…

Αν κάποιοι άνθρωποι έχουν κοινό πρόγονο, θα μπορεί αυτή η κοινή καταγωγή να καταγραφεί σε ένα γενεαλογικό δέντρο. Αν όμως για τους ανθρώπους αυτούς υπάρχουν για κάποιο λόγο δύο διαφορετικά δέντρα τότε αυτά θα πρέπει να μη παρουσιάζουν αντιφάσεις. Αυτό βέβαια δεν σημαίνει ότι θα ταυτίζονται όλοι οι επιμέρους κλάδοι αυτών των δέντρων, αλλά σίγουρα θα πρέπει οι κλάδοι που αντιστοιχούν στον κοινό πρόγονο να είναι απολύτως συμβατοί. Ο γενικός κανόνας είναι πώς δύο κλάδοι είναι συμβατοί όταν έχουν τους κοινούς προγόνους στις ίδιες γενιές.

Προκειμένου τώρα να κάνουμε μια μελέτη συμβατότητας απλοποιούμε όσο γίνεται περισσότερο τους συγκρινόμενους κλάδους κρατώντας μόνο τα κοινά στοιχεία. Στην περίπτωση μας,τους κλάδους με τα κοινά ονόματα.

Έτσι το αρχικά δέντρα γίνονται πολύ πιο απλά και εύχρηστα για σύγκριση. Τα παραπάνω διαγράμματα μπορούν να απλοποιηθούν ακόμη περισσότερο διαγράφοντας τα μη κοινά μέρη τους, οπότε προκύπτουν δύο δέντρα που έχουν μόνο κοινές απολήξεις στους κλάδους τους ή αλλιώς κοινά φύλλα .

Όπως φαίνεται όμως στο παραπάνω σχήμα τα δύο διαγράμματα δεν είναι συμβατά, αφού ταυτίζονται μεν τα ονόματα αλλά δεν ταυτίζονται οι κλάδοι που καθορίζουν τις γενιές. Βλέπουμε για παράδειγμα πως στο πρώτο δέντρο ο Αντρέας και ο Βαγγέλης έχουν κοινό πρόγονο στην αμέσως προηγούμενη γενιά ενώ στο δεύτερο δέντρο ο κοινός πρόγονος βρίσκεται για τον Αντρέα δύο γενιές πίσω. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι δεν προέρχονται από το ίδιο δέντρο και συνεπώς μπορούμε με ασφάλεια να πούμε ότι τα στοιχεία που ανακάλυψαν οι ιστορικοί στο αρχείο που μελετούσαν δεν ανήκουν στην ίδια οικογένεια.

Εκτός από την Ιστορία η χρήση των δέντρο-διαγραμμάτων με αυτό τον τρόπο, για να βρούμε δηλαδή την συμβατότητα ή όχι των στοιχείων δύο ξεχωριστών καταγραφών μπορεί να φανεί πολύ χρήσιμη στις επιστήμες της Βιολογίας, της Ζωολογίας και της Παλαιοντολογίας. Πολλές ομάδες επιστημόνων και τώρα και στο παρελθόν έχουν ασχοληθεί με την ταξινόμηση των διαφόρων έμβιων οργανισμών και τα δέντρα είναι ο συνηθέστερος τρόπος ταξινόμησης τους. Οι ταξινομήσεις αυτές γίνονται με στοιχεία που προκύπτουν από ευρήματα όπως τα απολιθώματα, τα καλοδιατηρημένα οστά και οι σκελετοί. Επίσης ταξινομήσεις γίνονται και με βάση στοιχεία μοριακής βιολογίας όπως ολόκληρο το DNA ενός οργανισμού ή μόνο κάποια γονίδια που χρησιμοποιούνται ως δείκτες. Όπως είναι φυσιολογικό όμως οι ταξινομήσεις που κάνουν οι διάφορες ομάδες δεν ταυτίζονται 100%. Έτσι, μια τέτοια μέθοδος ελέγχου της συμβατότητας δύο ή περισσοτέρων δέντρο-διαγραμμάτων μπορεί να αυξήσει κάπως την ακρίβεια της ταξινόμησης και να εντοπίσει τις αδυναμίες ή τις ασάφειες αν υπάρχουν. Βέβαια θα πρέπει πάντα να λαμβάνονται υπ’ όψιν και άλλα επιστημονικά δεδομένα που προκύπτουν από τις ιδιαιτερότητες των συγκρινόμενων δέντρων.

Ακόμα πιο τολμηροί μαθηματικοί πιστεύουν πώς αν δεν υπάρχουν αντιφάσεις στα στοιχεία που είναι καταγεγραμμένα στα δέντρο-διαγράμματα αυτά, τότε θα είναι δυνατόν με τα στοιχεία αυτά να ανακατασκευάσουμε έναν ευρύτερο κλάδο του συνολικού δέντρου. Ο κλάδος αυτός μπορεί να μας παρέχει ακόμα και χαμένες πληροφορίες, πληροφορίες δηλαδή που δεν υπάρχουν στα επιμέρους δέντρα. Το αποτέλεσμα μιας τέτοιας ανακατασκευής ονομάζεται υπέρ-δέντρο. Τα τελευταία χρόνια έχουν αναπτυχθεί διάφορες θεωρίες και μέθοδοι για τη δημιουργία υπέρ-δέντρων και μαζί με τις θεωρίες εμφανίστηκαν και υποστηρικτές τους αλλά και πολλοί που ασκούν κριτική για την εγκυρότητα των μεθόδων αυτών στη ταξινόμηση των ειδών και στη φυλογένεση. Παρά τις κριτικές όμως οι περισσότεροι θεωρούν πως ένα υπέρ-δέντρο μπορεί να εξεταστεί αρχικά ως προς την επάρκεια του σε κάποια μη μαθηματικά στοιχεία και αν δεν παρουσιάζει αδυναμίες να ελεγχθεί στη συνέχεια ως προς τα καινούργια στοιχεία που προσφέρει για τον τομέα στον οποίο δημιουργήθηκε. Αυτός είναι εξάλλου ένας από τους βασικούς δρόμους της επιστημονικής ανακάλυψης, δοκιμή και απόρριψη ή δοκιμή και αποδοχή !

Αν τελικά βρεθούν επαρκείς μέθοδοι για την δημιουργία υπέρ-δέντρων στον τομέα αυτό της φυλογένεσης, ίσος να βρεθεί κι ένας καθαρά μαθηματικός τρόπος για να ελέγξει η επιστημονική κοινότητα ακόμα περισσότερο την υπάρχουσα Θεωρία της εξέλιξης της ζωής στον πλανήτη μας. Μπορεί να βρεθεί κανόνας υπολογισμού των χαμένων προγόνων ενός είδους ή τύπος υπολογισμού του χρόνου εξέλιξης από το ένα είδος στο άλλο. Τέτοια μαθηματικά εργαλεία, αν και φαντάζουν απρόσιτα προς το παρόν, θα ήταν πολύ χρήσιμα στους επιστήμονες της εξέλιξης μιας και θα τους έδιναν την δυνατότητα να διαψεύσουν ή να επαληθεύσουν εικασίες που μένουν χρόνια αναπάντητες. Πάντως απ’ ότι φαίνεται, η καθαρά μαθηματική έρευνα προς τη κατεύθυνση των υπέρ-δέντρων έχει για τα καλά ξεκινήσει κα το μόνο που μπορεί να σταματήσει την εφαρμογή των όποιων αποτελεσμάτων στα εξελικτικά ζητήματα είναι μόνο η ισχυρή αμφιβολία για την κοινή καταγωγή των έμβιων οργανισμών ή για να το πούμε αλλιώς η αναίρεση της ίδιας της θεωρίας της εξέλιξης. Κάτι τέτοιο όμως φαίνεται μάλλον απίθανο!

Μερικοί Σύνδεσμοι

1. Το Δέντρο της Ζωής ( Wikipedia στα Αγγλικά )

2. Παρουσίαση Δημιουργίας Υπερδέντρου ( Πολλά και Δύσκολα Μαθηματικά στα Αγγλικά )

Παιχνίδια και Πολιτική

2010-01-30T00:33:00.019+02:00

Δεν είναι εύκολο να καταλάβει κανείς ποιά ανάγκη έχει επιβάλει τέσσερις ώρες Μαθηματικών την εβδομάδα σε κάθε τάξη του γυμνασίου και κυρίως για ποιό λόγο τα παιδιά καλούνται να μάθουν τόσα πολλά!! Άλγεβρα και Γεωμετρία, που με τη σειρά τους χωρίζονται σε διάφορους τομείς όπως Αναλογίες, Εξισώσεις, Συμμετρίες, Τριγωνομετρία, Στερεομετρία και ένα σωρό άλλα. Είναι όλα αυτά απαραίτητα; Ναι, και μακάρι να μπορούσαμε να διδάξουμε και άλλα. Όταν είμαστε μικροί δεν καταλαβαίνουμε την αξία κάποιων πραγμάτων, αλλά η ζωή πολλές φορές μας αναγκάζει να τα χρησιμοποιούμε. Τα μαθηματικά είναι μια τέτοια περίπτωση. Όσο πηγαίνουμε στο σχολείο το μόνο που βλέπουμε είναι τα βάσανα που μας προκαλούν, όταν μεγαλώσουμε καταλαβαίνουμε την αξία τους, αφού τα συναντάμε παντού… στη βιολογία, στην οικονομία, στους υπολογιστές ακόμα και στο παιχνίδια.

Ενώ οι περισσότεροι μαθητές έχουν σχεδόν πάντα το νου τους σε κάποιο παιχνίδι, σχεδόν πότε δεν το συνδέουν με τα μαθηματικά. Το γεγονός αυτό είναι πολύ φυσιολογικό μιας και οι μαθητές ασχολούνται με τα παιχνίδια περισσότερο για την απόλαυση που παίρνουν από αυτά και λιγότερο για τα όποια οφέλη τους αποδίδουν. Από την άλλη οι μεγαλύτεροι θα παίξουν ένα παιχνίδι συνήθως για να αποκομίσουν κάποιο κέρδος. Όταν προσβλέπει κανείς στο κέρδος, δεν μπορεί να αφήσει τα πράγματα στην τύχη τους, ψάχνει αναγκαστικά την καλύτερη στρατηγική νίκης. Όταν επιπλέον αυτοί που ψάχνουν είναι μαθηματικοί, τότε δημιουργήται…. η ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Πολύ θα ήθελα να έχω την δυνατότητα να αναλύσω διάφορες πτυχές αυτού του εντυπωσιακού και πολύ γρήγορα αναπτυσσόμενου κλάδου των μαθηματικών, αλλά προς το παρόν θα εστιάσω στη σχέση του με την Πολιτική!

Ας θεωρήσουμε λοιπόν πως η πολιτική είναι ένα παιχνίδι. Για τις ανάγκες αυτής της ανάρτησης θα απλοποιήσουμε πάρα πολύ τους κανόνες του παιχνιδιού. Θα εστιάσουμε περισσότερο στον τρόπο σκέψης και λιγότερο στο αποτέλεσμα, αλλά όπως θα δείτε κι εσείς και το αποτέλεσμα θα είναι αξιοπρόσεκτο. Ξεκινάμε με τις απλοποιημένες παραδοχές. Επαναλαμβάνω πως αυτές δεν ανταποκρίνονται πλήρως στην πραγματικότητα αλλά μας δίνουν μια καλή γενική εικόνα:

Παραδοχή Πρώτη

Όλοι οι ψηφοφόροι είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι σε μια ιδεολογική κλίμακα από το 1 έως το 10, όπου το 1 είναι η άκρα αριστερά και το 10 η άκρα δεξιά. Αυτό σημαίνει πως 10% των ψηφοφόρων έχουν ιδεολογία 1 (άκρα αριστερά), 10% έχουν ιδεολογία 2, 10% ιδεολογία 3, …, 10% έχουν ιδεολογία 10 (άκρα δεξιά). Αυτό βέβαια σε καμία περίπτωση δεν ισχύει στη πραγματικότητα.

Παραδοχή Δεύτερη

Υπάρχουν δύο μόνο υποψήφιοι που διεκδικούν κάποιο αξίωμα ο καλός =☺ και ο κακός =☻. Καλούνται και αυτοί να τοποθετηθούν ιδεολογικά από το 1 έως το 10 και στη συνέχεια να διεκδικήσουν την ψήφο του κόσμου. Ούτε αυτή η παραδοχή δεν φαίνεται να έχει μεγάλη σχέση με την πραγματικότητα Τις περισσότερες φορές μοίαζει να είναι και οι δύο κακοί!

Παραδοχή Τρίτη

Ο κόσμος ψηφίζει τον υποψήφιο που είναι πιο κοντά στη δική του θέση σε αυτήν την ιδεολογική κλίμακα. Αν τύχει οι υποψήφιοι να βρίσκονται σε ίση απόσταση από μια συγκεκριμένη ιδεολογική θέση, τότε μοιράζονται τους ψηφοφόρους της. Και σε αυτό το σημείο μπορεί κάποιος να εγείρει πολλές ενστάσεις αλλά τονίζω πως οι απλουστεύσεις αυτές έγιναν μόνο για τη δική μας ευκολία.

Το ερώτημα που τίθεται με βάση αυτές τις παραδοχές είναι … « Ποια είναι η καλύτερη στρατηγική (ιδεολογική θέση) για κάποιον υποψήφιο ώστε να κερδίσει τις εκλογές; »

Σε κάθε παιχνίδι υπάρχουν λογιών–λογιών στρατηγικές. Άλλες είναι καλύτερες σε μια περίπτωση άλλες είναι χειρότερες. Υπάρχουν όμως και στρατηγικές που είναι πάντα καλύτερες από κάποιες άλλες . Αν για κάποιο παίχτη η στρατηγική Α φέρνει πάντα χειρότερα αποτελέσματα από τη στρατηγική Β, τότε λέμε πως η στρατηγική Α κυριαρχείται από την στρατηγική Β και είναι προφανές πως ο παίχτης θα προτιμάει πάντα την Β αντί για την Α.

Σε αυτό το παιχνίδι κάθε παίχτης έχει 10 στρατηγικές, δηλαδή 10 ιδεολογικές θέσεις που μπορεί να επιλέξει για να δώσει τον αγώνα του. Το λογικό είναι να επιλέξει εκείνη που θα του φέρει περισσότερους ψηφοφόρους, χωρίς να αγνοεί την τοποθέτηση και του αντιπάλου του. Μήπως υπάρχουν στρατηγικές που κυριαρχούνται, ποιες είναι αυτές και ποια είναι η καλύτερη λύση για τον υποψήφιο;

Έχω την αίσθηση πως τέτοιου είδους ερωτήματα δεν είναι εύκολο να απαντηθούν έτσι γρήγορα, αλλά από την άλλη δεν υπάρχει απεριόριστος χρόνος και χώρος, όποτε πρέπει να δοθεί μια σύντομη αλλά κατανοητή απάντηση. Θα προσπαθήσω λοιπόν να εξηγήσω πως η θέση 1 κυριαρχείται από την θέση 2. Ο σκοπός είναι να δείξω πως αν εμείς (☺) τοποθετηθούμε στη θέση 2 θα έχουμε πάντα καλύτερα αποτελέσματα απ’ ότι αν τοποθετηθούμε στη θέση 1, ανεξάρτητα από το που θα παίξει ο αντίπαλός μας (☻).

Ας υποθέσουμε πως παίζουμε και οι δύο στη θέση 1:

τότε αφού έχουμε ίσες αποστάσεις από όλους, θα τους μοιραστούμε και πάει 50% στον καθένα.

Αν όμως ως απάντηση στο 1 του αντιπάλου εμείς τοποθετηθούμε στο 2 :

τότε ο αντίπαλος παίρνει 10% από τη θέση 1 κι εμείς 90% γιατί είμαστε πιο κοντά σε όλους τους υπόλοιπους. Έτσι αν ο αντίπαλος βρεθεί στο 1, μας συμφέρει να είμαστε στο 2.

Προσοχή!!

Δεν δίνουμε τόσο σημασία στο γεγονός ότι κερδίσαμε (εμείς=>90%, αντίπαλός=>10%) αλλά στο ότι το αποτέλεσμά είναι καλύτερο για μας στη θέση 2=>90% από τη θέση 1=>50%. Κάτι ανάλογο συμβαίνει και με όλες τις άλλες στρατηγικές του αντιπάλου. Ένα ακόμα παράδειγμα θα καταδείξει πως η 1 κυριαρχείται από την 2.

Αν ο αντίπαλος πάει στο 7 κι εμείς στο 1:

τότε ο αντίπαλος θα πάρει 65% γιατί είναι πιο κοντά στους ψηφοφόρους που είναι στις θέσεις 10,9,8,7,6,5 και το 4 μοιρασμένο. Ενώ εμείς 35% γιατί είμαστε πιο κοντά στις θέσεις 1,2,3 και το 4 μοιρασμένο.

Αν όμως σε απάντηση στο 7 εμείς πάμε στο 2:

τότε ο αντίπαλος παίρνει 60% από τις θέσεις 10,9,8,7,6 και 5 ενώ εμείς 40% από τις θέσεις 1,2,3 και 4. Βλέπουμε πως παρόλο που δεν καταφέραμε να κερδίσουμε, είμαστε εντούτοις σε λίγο καλύτερη θέση, αφού είχαμε στο 1=>35% ενώ έχουμε στο 2=> 40%. Άρα πάλι προτιμάμε τη θέση 2 από τη θέση 1. Με δύο λόγια… μας συμφέρει πάντα η θέση 2 αντί της θέσης 1 ό,τι και να κάνει ο αντίπαλός μας.

Με ανάλογο τρόπο βρίσκουμε πως η στρατηγική 10 κυριαρχείται από την στρατηγική 9, δηλαδή πως μας συμφέρει πάντα η θέση 9 από την θέση 10!

Πρώτο Πολιτικό Συμπέρασμα

Οι πολιτικές τοποθετήσεις στα άκρα είναι μαθηματικά καταδικασμένες σε ήττα!!

Ποιά είναι λοιπόν η λογική αντίδραση σε αυτή τη διαπίστωση; Μα φυσικά, να αγνοήσουμε αυτές τις δύο ακραίες στρατηγικές! Αν όμως αγνοήσουμε τις ακραίες θέσεις το ιδεολογικό φάσμα στο οποίο θα «ποντάρουν» οι υποψήφιοι θα είναι... 2 3 4 5 6 7 8 9.

Και το ερώτημα που τίθεται τώρα είναι… «Ισχύει το ίδιο για τις ακραίες στρατηγικές 2 κα 9, δηλαδή μπορούν και αυτές να διαγραφτούν με τον ίδιο τρόπο; » Η απάντηση έρχεται απλά και χωρίς ιδιαίτερες δυσκολίες … ΝΑΙ ! Οπότε αν επαναλάβουμε μερικές φορές τη διαδικασία αυτή θα μείνουν στο τέλος οι στρατηγικές 5 και 6.

Δεύτερο Πολιτικό Συμπέρασμα

Οι καλύτερες στρατηγικές για κάποιον υποψήφιο που θέλει να πείσει όσους γίνεται περισσότερους ψηφοφόρους είναι οι μεσαίες στρατηγικές, αυτό δηλαδή που ονομάζεται από τα μέσα μαζικής επικοινωνίας «Μεσαίος Χώρος» ή «Κέντρο».

Βλέπουμε λοιπόν πως τα μαθηματικά, και ειδικότερα η Θεωρία Παιγνίων, μπορούν να βοηθήσουν έναν πολιτικό να σχεδιάσει σωστά την προεκλογική εκστρατεία του, κι έτσι μπορούν σε ένα βαθμό να συμβάλουν στη έκβαση του αποτελέσματος και συνεπώς να επηρεάσουν τη ζωή ολόκληρης της κοινωνίας. Βέβαια, για άλλη μια φορά είναι φανερό πως δεν είναι τα μαθηματικά που καθορίζουν την πορεία ενός λαού αλλά οι άνθρωποι που γνωρίζουν ή αγνοούν κάποια απλά πράγματα. Οπότε …

Ανεξάρτητα από αυτά που μας λέει, αυτά που μας τάζει και γενικά από το πώς αυτοπροσδιορίζεται ένας υποψήφιος, αυτό που έχει αξία για μας που καλούμαστε να ψηφίσουμε είναι το ποιος πραγματικά είναι αυτός ο υποψήφιος! Και αυτό είμαστε υποχρεωμένοι να το ψάχνουμε πάρα πολύ καλά!!!

Πως περνάει έτσι ο χρόνος;

2010-01-20T23:52:00.006+02:00

Είναι μερικά πράγματα που αντί να τα κυνηγάμε εμείς μας κυνηγούν αυτά. Κάτι σαν τις αυξήσεις των φόρων ένα πράγμα, ενώ φαίνεται πως κανείς δεν τις επιδιώκει όλο και εμφανίζονται στη ζωή μας.. Για μένα ένα τέτοιο θέμα είναι « το Ζήτημα του Χρόνου » . Τις τελευταίες εβδομάδες πέφτω πάνω του διαρκώς, είτε σε συζητήσεις, είτε σε ιστολόγια, είτε σε διάφορα βιντεάκια., είτε απλά με διάφορες σκέψεις που κάνω χωρίς να γνωρίζω καλά-καλά το γιατί! Ξέρω όμως πως ο Χρόνος είναι ένα από τα μεγάλα μυστήρια στη ζωή του ανθρώπου και όποιος καταπιάνεται με την ανάλυσή του πρέπει να είναι έτοιμος να χάσει το μπούσουλα. Τι είναι λοιπόν αυτό που με ωθεί να ασχοληθώ μαζί του; Πρώτον, όπως έγραψα και πιο πάνω, τις τελευταίες εβδομάδες φαίνεται να με κυνηγάει. Δεύτερον, έχω μια μακάρια άγνοια περί του θέματος, γεγονός που με κάνει πιο τολμηρό αφού δεν υπολογίζω τις δυσκολίες που μπορούν να προκύψουν σε μια τέτοια «αναμέτρηση». Και τρίτον, θα περιοριστώ στην «έδρα μου» που είναι τα μαθηματικά, και μάλιστα στα πιο απλά μαθηματικά!

Πριν ξεκινήσω να γράφω, έκανα μια μικρή έρευνα στο διαδίκτυο έτσι για να έχω μια ιδέα με τι θα καταπιαστώ. Η αλήθεια είναι πως δεν βρήκα και πάρα πολλά πράγματα, αλλά ξανάλέω δεν έκανα και καμιά μεγάλη προσπάθεια. Ό,τι όμως βρήκα και μου φάνηκε ενδιαφέρον, ακόμα κι αν δεν το εξάντλησα αλλά απλώς του έριξα μια ματιά, θα το βάλω σε μορφή συνδέσμου στο τέλος της ανάρτησης. Το μόνο βιβλίο που αναφέρεται στο Χρόνο και έχω διαβάσει ολόκληρο είναι « Το Χρονικό του Χρόνου» του Stephen Hawking. Πάει καιρός βέβαια από τότε και λίγα πράγματα μου έχουν μείνει από το βιβλίο αυτό, αλλά το χειρότερο είναι πως δεν μπορώ να θυμηθώ γιατί έχει αυτόν τον τίτλο. Ίσως τελικά να κατάλαβα πολύ λιγότερα απ’ όσα νόμιζα πως είχα καταλάβει! Το σίγουρο είναι πως ο Χρόνος είναι μια πολύ ιδιαίτερη παράμετρος στην σύγχρονη επιστήμη της Φυσικής. Λίγο η καθιέρωσή του ως τέταρτη διάσταση, λίγο τα παράδοξα που προβλέπονται για αυτόν από τις Θεωρίες της Σχετικότητας του Αϊνστάιν (Ειδική και Γενική) τον καθιστούν αναμφισβήτητο πρωταγωνιστή. Σίγουρα έχει παίξει το ρόλο της και η «παραξενιά» που έχει να πηγαίνει μόνο εμπρός και να μην μπορεί να γυρίσει προς τα πίσω, αν και κάτι τέτοιο δεν φαίνεται να επιβάλλεται από κάποιο νόμο της Φυσικής! Καλύτερα όμως να μη μπαίνω και πολύ στα χωράφια άλλης επιστήμης γιατί μπορεί να κάνω κανένα τραγικό λάθος, αν δεν το έχω κάνει ήδη.

Λοιπόν θα ξεκινήσω με το φιλοσοφικό ερώτημα, θα παραθέσω την πιο διαδεδομένη , νομίζω, απάντηση της Ψυχολογίας και στη συνέχεια θα "επιτεθώ" με μαθηματικά!!!

Το ερώτημα …
Γιατί όσο μεγαλώνουμε έχουμε την εντύπωση πως τα χρόνια περνάνε πιο γρήγορα;

Η απάντηση της Ψυχολογίας όπως την έχω καταλάβει εγώ …
Όσο περνάνε τα χρόνια όλο και λιγότερα πράγματα μας κάνουν εντύπωση, όλο και λιγότερα πράγματα μένουν στη μνήμα μας. Οπότε τα χρόνια μας είναι λιγότερο γεμάτα. Έτσι μας φαίνονται μικρότερα. Άρα έχουμε την αίσθηση πως φεύγουν γρηγορότερα.

Και τώρα η σειρά των μαθηματικών…

Θα προσπαθήσω να εξηγήσω αυτή την αίσθηση που έχουμε για τον χρόνο όσο μεγαλώνουμε, με ένα από τα πιο απλά μαθηματικά εργαλεία. Ένα από τα πολλά πράγματα που καλούνται να μάθουν τα παιδία στο δημοτικό… τα κλάσματα. Για να δούμε λοιπόν, αρκούν τα μαθηματικά ενός δεκάχρονου για την αντιμετώπιση ενός τέτοιου προβλήματος;

Ας υποθέσουμε πως είμαι ένας άνθρωπος που έχει φτάσει πια τα 50 χρόνια ζωής. Θέλω να προσπαθήσω να εξετάσω με μαθηματικό τρόπο, τι ήταν για εμένα ένας χρόνος που περνούσε όταν ήμουν 10 χρονών και τι είναι τώρα στα 50 μου. Αν το δούμε καθαρά βιολογικά, όταν ήμουν 10 χρονών ο ένας χρόνος ήταν το 1/10 της ζωής μου ( ή το 10%, αν το προτιμάτε σε ποσοστό ) ενώ στα 50 μου χρόνια είναι μόλις το 1/50 της ζωής μου (ή το 2% ).

Από αυτά και μόνο τα δύο κλάσματα μπορούμε να καταλάβουμε πως ο ένας χρόνος, όταν ήμουν 10 χρονών, ήταν 5 φορές μεγαλύτερο μέρος της ζωής μου από τον ένα χρόνο τώρα που είμαι 50. Άρα σίγουρα όσο μεγαλώνω ο ένας χρόνος μου φαίνεται μικρότερος και έχω την εντύπωση πως ο Χρόνος περνάει πιο γρήγορα!

Το αποτέλεσμα μπορεί να γίνει και εντυπωσιακότερο αν βάλουμε μέσα και τον παράγοντα μνήμη. Στα 10 μου χρόνια θα είχα αναμνήσεις, ας πούμε υποθετικά, από τον έβδομο μου χρόνο και μετά• ενώ στα 50 μου, ας πούμε λόγω πολλής πίεσης στη δουλειά έχω ξεχάσει κάτι από τα παιδικά μου χρόνια και θυμάμαι μόνο από τον ενδέκατο χρόνο και μετά. Με τέτοιες συνθήκες όμως όταν ήμουν 10 χρονών θυμόμουν μόνο 4 χρόνια από τη ζωή μου (7, 8, 9 και 10), άρα ο ένας χρόνος ήταν για μένα το 1/4 της ζωής μου ( 25%). Από την άλλη όμως όταν είμαι 50 χρονών θυμάμαι 40 χρόνια από τη ζωή μου (11, 12, 13, .. 50), δηλαδή ο ένας χρόνος είναι το 1/40 της ζωή μου ( 2,5 %). Τώρα το πρώτο κλάσμα είναι το δεκαπλάσιο του δεύτερου, δηλαδή όταν είμαι 50 χρονών έχω την εντύπωση πως ο Χρόνος τρέχει 10 φορές γρηγορότερα απ’ ό,τι όταν ήμουν 10 χρονών !!!

Δεν ξέρω κατά πόσο οι ψυχολόγοι θα συμφωνούσαν με μια τόσο ξερή και ποσοτικοποιημένη προσέγγιση αυτού του ζητήματος αλλά μαθηματικά το πράγμα φαίνεται πολύ απλό. Βέβαια εδώ που τα λέμε τώρα, δεν κατάφερα να διαλευκάνω και κανένα μεγάλο ζήτημα γύρω από τον Χρόνο. Μυστήριο ήταν και Μυστήριο παραμένει. Και παρόλο που έπαιξα εντός έδρας, το πολύ-πολύ να έφερα μια λευκή ισοπαλία. Ίσως αν το ψάξει κανείς πιο αναλυτικά να μου βρει και κανένα αυτογκόλ. Το μόνο παρήγορο στην όλη υπόθεση είναι πως χρησιμοποίησα μόνο πολύ απλά μαθηματικά εργαλεία, οπότε μπορώ να έχω την ψευδαίσθηση πως αν επανέλθω με πιο ισχυρά θα καταφέρω κάτι καλύτερο.

Κλείνοντας θέλω τονίσω πως η ανάρτηση αυτή είναι κατά κάποιο τρόπο ένα έμπρακτο ευχαριστώ σ’ έναν άγνωστο φίλο από το Ελληνικό Καφενείο, τον Μιχάλη Καρλή που με προέτρεψε να συμμετέχω πιο ενεργά στα δρώμενα του Καφενείου. Δεν ξεχνώ βέβαια και τον Καφετζή που με καλοδέχτηκε στο μαγαζί του. Ευχαριστώ σας και πάλι !

Μερικοί Σύνδεσμοι

1. Ομιλία 5 του Richard Feynman Για το παρελθόν και το μέλλον.
( Η ομιλία είναι στα Αγγλικά, όποιος τα καταφέρνει ας την δεί !!! )

2. ΕΤ3 Το Σύμπαν που αγάπησα : Περί Χρόνου (απο το YOUTUBE)

3. Τι είναι ο Χρόνος ; : Physics4U

4. Περί Χρόνου του Μιχάλη Καρλή ( Ελληνικό Καφενείο )

Ένα «συνώνυμο» της ομορφιάς.

2010-01-09T17:54:00.002+02:00

Στο διπλανό τετράγωνο δίνονται πέντε σχήματα που συνδέονται μεταξύ τους με έναν πολύ απλό και λογικό τρόπο. Ποιό σχήμα πρέπει να βάλουμε στη θέση του ερωτηματικού για να ταιριάζει με τα υπόλοιπα σύμφωνα με τον ίδιο κανόνα;

Ο γρίφος αυτός είναι ένας από τους πιο ενδιαφέροντες που έχω συναντήσει. Είναι πολύ εντυπωσιακό το πώς αυτά τα παράξενα εκ πρώτης όψεως σύμβολα στο τέλος απλοποιούνται τόσο που ξαφνικά χάνεται ολοκληρωτικά το μυστήριο που τα περιβάλλει. Επίσης, είναι πραγματικά αξιοπρόσεκτο το πώς μερικές φορές το μυαλό δημιουργεί απίστευτες εικόνες από τα πιο απλά πράγματα. Κοιτάζοντάς τα, μπορεί κανείς χωρίς πολύ φαντασία να δει μια καρδιά και ένα λουλούδι στο δεύτερο και στο τρίτο σχήμα αντίστοιχα. Το πρώτο μοιάζει με δύο κίονες ενώ το τέταρτο με γέφυρα, το δε πέμπτο είναι σαν πρόσωπο με φουσκωμένα μάγουλα που είναι έτοιμο να φυσήξει. Είναι βλέπετε εύκολο για μας να ερμηνεύουμε με διάφορους τρόπους σχήματα και εικόνες αλλά και λόγια και γεγονότα που παρατηρούμε γύρω μας. Το δύσκολο είναι οι ερμηνείες αυτές να έχουν κάποιο νόημα και ακόμη δυσκολότερο είναι το νόημα αυτό να έχει μια οικουμενικότητα.

Η βασική ιδέα είναι πάλι μια μαθηματική σχέση, η συμμετρία. Η συμμετρία δεν είναι μια μαθηματική επινόηση άσχετη με όσα μας περιβάλουν και δεν χρειάζεται να είναι κανείς μαθηματικός για να το καταλάβει. Τι να προσέξουμε πρώτα; Ας πούμε το ουράνια σώματα, τον ήλιο και το φεγγάρι. Στα μάτια των ανθρώπων όλων των εποχών τα δύο αυτά σημαντικότατα αντικείμενα ήταν και είναι δύο τέλειοι κυκλικοί δίσκοι, απόλυτα συμμετρικοί όπως κι απ’ όπου και να τους κοιτάξεις. Έτσι από την αξία που είχαν πάντα για την ζωή μας ο ήλιος και η σελήνη δόθηκαν και στους κυκλικούς δίσκους -και κατά συνέπεια στους κύκλους- υπερφυσικές ιδιότητες. Η συμμετρία όμως δεν παρουσιάζεται μόνο στον ουρανό. Και η γη είναι γεμάτη από συμμετρίες, από τα φύλλα κάποιων φυτών μέχρι τα σώματα των περσότερων έμβιων οργανισμών στα οποία το αριστερό μέρος είναι συμμετρικό με το δεξί μέρος. Είναι μάλιστα σε τέτοιο βαθμό διαδεδομένη που μας κάνει να αναρωτιόμαστε αν είναι δυνατόν να υπάρχει ζωή χωρίς αυτήν. Με μια ακόμα πιο προσεκτική ματιά μπορούμε να βρούμε συμμετρίες και σε πιο απίθανα σημεία όπως στις κυψέλες των μελισσών, όπου εμφανίζεται με θαυμαστό τρόπο το κανονικό εξάγωνο που έχει όλες του τις πλευρές και όλες του τις γωνίες ίσες. Θα πρέπει στο σημείο αυτό όμως να τονίσουμε πως η συμμετρία στη φύση δεν ταυτίζεται με την καθαρά γεωμετρική, αφού στη φύση φαίνεται πως δεν υπάρχει η τέλεια σφαίρα ή ο τέλειος κύκλος και γενικά τίποτα δεν είναι απολύτως συμμετρικό.

Τόσο μεγάλη είναι η αξία της συμμετρίας για την ανθρωπότητα που τα περισσότερα ανθρώπινα κατασκευάσματα είναι γεμάτα συμμετρικά σχήματα όπως κύκλους, τετράγωνα, ορθογώνια παραλληλόγραμμα, ισοσκελή τρίγωνα και πολλά άλλα. Από τα αριστουργήματα της παγκόσμιας αρχιτεκτονικής μέχρι τα απλά αυτοκίνητα και από τα τους αρχαίους ιερούς βωμούς μέχρι τα σημερινά χαρτονομίσματα τα συμμετρικά γεωμετρικά σχήματα είναι παντού. Το εντυπωσιακότερο όμως είναι ότι η επιρροή της είναι αποτυπωμένη και στις πιο σπουδαίες εκφάνσεις του ανθρωπίνου πνεύματος. Πολλοί θεωρούν ότι από τον Πλάτωνα ξεκίνησε η αντίληψη πως τα μόνα γνήσια μέσα για οποιαδήποτε γεωμετρική κατασκευή είναι ο κανόνας και ο διαβήτης, διότι με αυτά μπορούμε να σχεδιάσουμε ευθείες και κύκλους που είναι γραμμές με συμμετρικές ιδιότητες και κατά συνέπεια έχουν μια τελειότητα που ταίριαζε πολύ με τις υπόλοιπες φιλοσοφικές ιδέες του. Η επιρροή της όμως στο ανθρώπινο πνεύμα δεν σταματάει στην αρχαιότητα και την σύνδεση συμμετρίας - φιλοσοφίας αλλά φτάνει και μέχρι τις μέρες μας , αφού και η σύγχρονη φυσική κάνει μια πρωτότυπη και ταυτόχρονα πολύ εντυπωσιακή ερμηνεία των δυνάμεων που υπάρχουν στην φύση όπως η βαρύτητα, ο ηλεκτρομαγνητισμός και οι πυρηνικές δυνάμεις με την βοήθεια συμμετριών. Πρωτοπόρος στην σύνδεση αυτή συμμετρίας – φυσικής ήταν η Γερμανίδα μαθηματικός Emmy Noether που το 1918 ανακάλυψε μια θεμελιώδη σχέση με την οποία διεύρυνε την μέχρι τότε αντίληψη για κάποιους φυσικούς νόμους, ανοίγοντας δρόμους που θα οδηγούσαν αργότερα σε επαναστατικές αλλαγές. Μια υπέροχη διάλεξη για τη συμμετρία στους νόμους της φυσικής είχε κάνει και ο φημισμένος Αμερικανός νομπελίστας Richard Feynman το 1964 στο πανεπιστήμιο Cornell των ΗΠΑ. Ευτυχώς για εμάς η διάλεξη αυτή έχει κινηματογραφηθεί, οπότε μπορούμε κι εμείς σήμερα 45 χρόνια μετά να την απολαμβάνουμε .Οι συμμετρίες βέβαια δεν περιορίζονται μόνο σε αυτές τις δύο πτυχές του ανθρώπινου πνεύματος. Όσο ψάχνει κανείς τα όμορφα πράγματα της ζωής μας τόσο βρίσκει κι άλλες κι άλλες κι άλλες, σε τέτοιο βαθμό μάλιστα που ίσως δεν θα ήταν υπερβολή να ταυτίσουμε όχι μόνο την συμμετρία με την ομορφιά αλλά και την ομορφιά με την συμμετρία!

Ας έρθουμε όμως τώρα και στη λύση. Ρίξετε μια πιο προσεκτική ματιά στα σύμβολα του γρίφου και θα παρατηρήσετε πως και τα πέντε έχουν κάποιο είδος συμμετρίας. Φέρνοντας μια κατακόρυφη γραμμή στο μέσο τους φαίνεται καθαρά πως το αριστερό τους μέρος είναι το συμμετρικό του δεξιού τους μέρους, είναι δηλαδή κατά κάποιο τρόπο το είδωλό τους στον καθρέφτη. Αν επιπλέον κρύψουμε το αριστερό αυτό μέρος αποκαλύπτεται η κεντρική ιδέα του γρίφου που δεν είναι άλλη από την πολύ απλή ακολουθία αριθμών

1 2 3 4 5

Έτσι το σύμβολο που λείπει προκύπτει από τον αριθμό έξι (6) και το συμμετρικό του από αριστερά. Δηλαδή …

Μερικοί Σύνδεσμοι

1. Emmy Noether ( Wikipedia )

2. Ομιλία του Feynman για την συμμετρία.

Για όποιον τα καταφέρνει σχετικά καλά με τα Μαθηματικά και τα Αγγλικά όλη η 4η ομιλία "Symmetry in Physical Law" είναι ΕΚΠΛΗΚΤΙΚΗ !!!. Αλλά το πολύ ενδιαφέρον κατά τη γνώμη μου είναι στην 10η ενότητα (από 40:00 μέχρι 45:15) και στη 12η ενότητα ( από 52:05 μέχρι ΤΕΛΟΣ )

Η βαλίτσα με τα εκατομμύρια

2009-12-30T09:59:00.005+02:00

Θυμάμαι πριν μερικά χρόνια να ακούω σε μια διπλανή παρέα κάποιον να λέει με πολύ παραστατικό τρόπο πως η πιθανότητα να κερδίσεις στο Τζόκερ είναι ίδια με την πιθανότητα να βγεις από το σπίτι σου και να σκοντάψεις σε μια βαλίτσα με εκατομμύρια. Η αλήθεια είναι πως αυτή η κουβέντα μου έκανε τρομερή εντύπωση, γι’ αυτό και δεν την έχω ακόμη ξεχάσει, αλλά δεν πολυκατάλαβα πώς ακριβώς το εννοούσε. Ήθελε να πει πως αν είσαι τυχερός δεν χρειάζεται να παίζεις τέτοια παιχνίδια γιατί έτσι κι αλλιώς θα πέσεις πάνω σε εκατομμύρια ή απλώς ότι είναι σχεδόν αδύνατον να κερδίσεις; Ίσως τελικά να μην έχει και τόση σημασία τι από τα δύο εννοούσε ο άγνωστος αυτός «φιλόσοφος», αφού πάρα πολλοί άνθρωποι εναποθέτουν τις ελπίδες τους για μια καλύτερη ζωή σε τέτοια τυχερά παιχνίδια. Καλό είναι όμως όταν παίζεις ένα παιχνίδι να ξέρεις και τους κανόνες του αλλά και ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσεις. Σε καμία περίπτωση δεν θα συμβούλευα κάποιον ούτε να παίζει ούτε να μην παίζει, απλώς θέλω να προσπαθήσω να δείξω όσο γίνεται πιο απλά (αυτό κι αν είναι αδύνατον) πώς ακριβώς έχουν τα πράγματα.

Ο σκοπός μας είναι να βρούμε την πιθανότητα να κερδίσουμε παίζοντας μία στήλη και από εκεί και πέρα μπορούμε στη συνέχεια να βρούμε την πιθανότητα και για περισσότερες. Αρχικά πρέπει να υπολογίσουμε πόσες διαφορετικές στήλες μπορούν να προκύψουν από μια κλήρωση και αυτό θα το κάνουμε με την χρήση ενός και μόνο κανόνα. Ο κανόνας αυτός είναι η Βασική Αρχή Απαρίθμησης .Η Αρχή αυτή λέει πως αν μια διαδικασία ολοκληρώνεται σε ξεχωριστές φάσεις και η κάθε φάση γίνεται μ’ ένα πλήθος διαφορετικών τρόπων τότε η συνολική διαδικασία γίνεται τελικά με το γινόμενο των τρόπων των επί μέρους φάσεων. («Τι είναι αυτά που γράφεις βρε τρελέ!» … αυτή είναι η φωνή της συνείδησής μου αλλά μην πανικοβάλλεστε δεν είναι τόσο πολύπλοκο.) Για παράδειγμα αν ένα ζευγάρι σκέφτεται να κάνει τρία παιδιά πόσοι συνδυασμοί μπορούν να προκύψουν; Η όλη διαδικασία γίνεται σε τρεις φάσεις ( γέννες ) και η κάθε μια έχει δύο διαφορετικά αποτελέσματα ( Αγόρι ή Κορίτσι ), άρα οι συνολικοί συνδυασμοί που μπορεί να προκύψουν είναι 2•2•2 = 8 .

Κάτι παρόμοιο συμβαίνει και με το Τζόκερ μόνο που γίνεται σε δύο φάσεις, άρα το πλήθος είναι Ν = Α•Β όπου,

Α = Οι τρόποι με τους οποίους γίνεται η κλήρωση των πέντε ( 5 ) από τους σαράντα πέντε ( 45 ) αριθμούς.

Β = Οι τρόποι με τους οποίους γίνεται η κλήρωση του Τζόκερ , ένας ( 1 ) από τους είκοσι ( 20 ) αριθμούς.

Πάλι θα χρησιμοποιήσουμε τη Βασική Αρχή Απαρίθμησης για κάθε φάση. Για την πρώτη ξέρουμε ότι ολοκληρώνεται σε πέντε φάσεις ( αριθμούς ). Ο πρώτος έχει 45 δυνατά αποτελέσματα, ο δεύτερος αφού έχει βγει το ένα νούμερο έχει 44, ο τρίτος 43, τέταρτος 42 και ο πέμπτος τελικά 41 δυνατά αποτελέσματα. Επομένως το Α θα πρέπει να είναι Α = 45•44•43•42•41 = 146.611.080. Αριθμός όμως που εκτός από εξωφρενικά μεγάλος είναι και λανθασμένος! Το λάθος στα Μαθηματικά βλέπετε είναι τόσο συχνό όσο είναι και στην καθημερινή ζωή. Όλοι γνωρίζουμε από προσωπική μας εμπειρία πως είναι πολύ πιο εύκολο να αστοχήσουμε παρά να πετύχουμε , αφού υπάρχουν συνήθως άπειροι λανθασμένοι χειρισμοί και ελάχιστοι σωστοί για κάθε θέμα. Έτσι απ’ ό,τι φαίνεται ο μόνος σίγουρος δρόμος για να αποφύγεις το λάθος είναι να μην κάνεις απολύτως τίποτα, που μάλλον είναι… λάθος! Γιατί όμως δεν είναι σωστός ο υπολογισμός που έχουμε κάνει μέχρι τώρα για το Α; Δεν είναι, γιατί απλά μας ξέφυγε η εξής λεπτομέρεια. Με τον τρόπο αυτό, οι πεντάδες που έχουν ακριβώς τα ίδια νούμερα -για παράδειγμα (5 , 15 , 25 , 35 , 45) και (15 , 5 , 25 , 45 , 35) αλλά με διαφορετική σειρά, υπολογίζονται πολλές φορές. Ενώ στην πραγματικότητα πρόκειται για μία μόνο πεντάδα. Δεν ανησυχούμε όμως και προχωράμε στη λύση και του νέου προβλήματος που παρουσιάστηκε.

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να βάλουμε πέντε νούμερα στη σειρά; Πάλι χρησιμοποιούμε τη Βασική Αρχή Απαρίθμησης. Η διαδικασία της τοποθέτησης μπορεί να γίνει σε πέντε φάσεις ( θέσεις ). Στην πρώτη θέση 5 αριθμούς, στη δεύτερη 4 αριθμούς αφού όπως και πριν έχει ήδη τοποθετηθεί ο ένας, στη τρίτη 3, στη τέταρτη 2 και στη πέμπτη 1, δηλαδή 5•4•3•2•1 = 120. Κάθε πεντάδα λοιπόν μπορεί να προκύψει με 120 διαφορετικούς τρόπους. Με αυτό το δεδομένο τώρα μπορούμε να βρούμε αυτό που ψάχνουμε τόση ώρα. Δεν μένει παρά να διαιρέσουμε το προηγούμενο αποτέλεσμα με 120 δηλαδή Α = 146.611.080 : 120 = 1.221.759. Βρήκαμε λοιπόν ότι η πρώτη φάση του Τζόκερ ολοκληρώνεται με Α = 1.221.759 τρόπους. Η δεύτερη είναι πολύ πιο εύκολη αφού επιλέγουμε ένα αριθμό από είκοσι. Γίνεται μόνο με Β = 20 τρόπους. Τελικά από τις δύο κληρωτίδες του παιχνιδιού μπορεί να προκύψουν Ν= 1.221.759 • 20 = 24435180 στήλες .

Αν λοιπόν έχουμε παίξει μια μόνο στήλη η πιθανότητα να κερδίσουμε είναι 1/24435180 ή αν το προτιμάτε σε ποσοστό επί τοις εκατό, όπως συνηθίζεται άλλωστε, αυτό είναι 0,0000041 %, που είναι όπως καταλαβαίνετε ένας πραγματικά πολύ μικρός αριθμός. Με άλλα λόγια αν παίξει κάποιος 250.000 διαφορετικές στήλες η πιθανότητα να κερδίσει είναι λίγο πάνω από 1% ! Δεν θέλω να απογοητεύσω τους απανταχού Τζοκερομανείς αλλά μάλλον δεν αξίζει τον κόπο. Από την άλλη όμως ένα σημαντικό πλήθος υπερτυχερών διαψεύδει αυτή τη μικρή πιθανότητα. Καλή Πρωτοχρονιά λοιπόν και καλή τύχη σε όλους … με όποιον τρόπο κι αν την κυνηγάτε!

Χριστουγεννιάτικο

2009-12-22T20:55:00.001+02:00

« Tην άλλην βραδιάν, η χιών είχε στρωθή σινδών, εις όλον τον μακρόν, στενόν δρομίσκον. ― Άσπρο σινδόνι... να μας ασπρίση όλους στο μάτι του Θεού... ν’ ασπρίσουν τα σωθικά μας... να μην έχουμε κακή καρδιά μέσα μας. »

από το διήγημα Ο Έρωτας στα χιόνιa

του Αλέξανδρου Παπαδιαμάντη

Τώρα που πλησιάζουν οι γιορτές σκέφτηκα να αλλάξω λίγο θεματολογία και να ασχοληθώ μ΄ ένα διήγημα του Παπαδιαμάντη. Το διήγημα αυτό είναι ένα από τα ελάχιστα πεζά κείμενα που μπορώ να διαβάσω ολόκληρο ξανά και ξανά και ξανά. Πιο πολύ με ποίημα μοιάζει παρά με πεζογραφία. Τι να θαυμάσει κανείς περισσότερο… τα γεμάτα τοπία του χειμώνα, το ψυχογράφημα το πρωταγωνιστή, τα υπέροχα παιχνίδια που κάνει με το χιόνι ;

Η αλήθεια είναι ότι τρέφω μια ιδιαίτερη συμπάθεια για τον Παπαδιαμάντη και νομίζω πως κάτι έργα του σαν και αυτό δικαιολογούν απόλυτα τη αδυναμία μου αυτή. Δεν έχω καμία διάθεση να κάνω μακροσκελή ανάλυση του μικρού αυτού αριστουργήματος, πιστεύω εξάλλου πως μερικά πράγματα δεν αξίζει να τα αναλύουμε πολύ, αρκεί η χαρά που μας δίνουν από μόνα τους. Θέλω όμως να σταθώ λίγο στην εικόνα και στην ερμηνεία της εικόνας που δίνει ο ίδιος στο απόσπασμα που παραθέτω στη αρχή.

Το χιόνι πραγματικά είναι ένα άσπρο σεντόνι που κάνει όσα λέει εδώ ο Παπαδιαμάντης. Για σκεφτείτε τις στιγμές που ζούμε όταν αρχίζει να χιονίζει πιο έντονα. Όλοι βγαίνουμε έξω να τρέξουμε και να χαρούμε. Όλοι μικροί και μεγάλοι παίζουν χιονοπόλεμο ( εδώ τολμώ να πω κυρίως οι μεγάλοι ). Οι γονείς φτιάχνουν χιονάνθρωπους με τα παιδιά τους, οι παππούδες κι οι γιαγιάδες πλησιάζουν με νοσταλγία τα παράθυρα, ακόμα και αυτή η τηλεόραση που τις άλλες μέρες μας βομβαρδίζει με ένα σωρό ενοχλητικές εικόνες μόλις χιονίσει αλλάζει όψη, γίνεται πιο χαρούμενη, πιο γιορτινή, πιο συμπαθητική γενικότερα. Με το χιόνι οι πιο πολλοί άνθρωποι κάνουμε σαν μικρά παιδιά. Εμείς οι κάπως μεγαλύτεροι, βρίσκουμε για λίγο την χαμένη μας παιδικότητα και τα όντως μικρά παιδία χαίρονται διπλά… μια για το παιχνίδι που ουρανόθεν τους δόθηκε και μια για την δική μας επιστροφή στην αθωότητα, όπως χαίρονται κι οι Άγγελοι με την μεταμέλεια κάθε παραπλανημένης ψυχής ( για να χρησιμοποιήσω κι εγώ μια Παπαδιαμαντηκή παρομοίωση ). Έτσι λοιπόν που φερόμαστε -σαν μικρά παιδιά- είναι σαν… «να μην έχουμε κακή καρδία μέσα μας», είναι σαν… «να άσπρισαν τα σωθικά μας», όπως ακριβώς τα λέει ο μπάρμπα Αλέξανδρος κι όλα αυτά χάρη στο χιόνι, στο άσπρο σεντόνι που… μας ασπρίζει όλους κάθε φορά που πέφτει στο μάτι του Θεού.

Δεν μπορώ να ξέρω αν με όλα τα παραπάνω κατάφερα να σας μεταδώσω λίγη έστω από την μαγεία που αισθάνομαι κάθε φορά που διαβάζω το διήγημα αυτό, ίσος πάλι θα ήταν καλύτερα να σας άφηνα να το χαρείτε χωρίς τα δικά μου σχόλια. Σε κάθε περίπτωση προτρέπω ανεπιφύλακτα όσους δεν το έχετε διαβάσει να το κάνετε οπωσδήποτε και νομίζω πως η περίοδος των Χριστουγέννων είναι η καλύτερη εποχή. Εύχομαι σε όλους καλά Χριστούγεννα με αγάπη, υγεία, χαρά και ό,τι άλλο δίνει αξία και ομορφιά στη ζωή σας … και βέβαια με πολύ – πολύ χιόνι !!!

Υ.Γ.
Ψάχνοντας συνδέσμους για την ανάρτηση αυτή, βρήκα ένα ντοκιμαντέρ της ΕΡΤ για το συγκεκριμένο διήγημα. Εκεί διαπίστωσα πως όλα αυτά, λίγα προσφέρουν σε κάποιον που θέλει να το διαβάσει και ήμουν έτοιμος να τα διαγράψω. Δεν το έκανα όμως, όχι μόνο επειδή λυπήθηκα το κόπο μου αλλά πιο πολύ γιατί είναι σκέψεις που πραγματικά θέλω να μοιραστώ μαζί σας.

1. Αλέξανδρος Παπαδιαμάντης

2. Ο Έρωτας στα χιόνια ( Το κείμενο απο τη Βικιθήκη)

3. Ο Έρωτας στα χίονια ( Ντοκιμαντέρ της ΕΡΤ )

Οι δύο δρόμοι

2009-12-15T10:03:00.008+02:00

Απ’ όλα τα κατορθώματα του μυθικού μας ήρωα Ηρακλή, το σπουδαιότερο και μάλλον το πιο δύσκολο πρέπει να ήταν η επιλογή του δρόμου της Αρετής έναντι αυτού της Κακίας. Ο μύθος λέει πως όταν ο Ηρακλής έφτασε σε κάποια ηλικία που μόνος του θα αποφάσιζε προς τα πού θα κινηθεί η ζωή του βρέθηκε σ’ ένα σταυροδρόμι και κουρασμένος έκατσε να ξαποστάσει. Ξαφνικά, εμφανίστηκαν μπροστά του δύο όμορφες γυναίκες, μία με ακριβά φορέματα και στολίδια που ονομαζόταν Κακία και μια απλά ντυμένη χωρίς πολλά στολίδια που ονομαζόταν Αρετή. Η πρώτη του πρότεινε μια ζωή γεμάτη αρπαγές, φόνους και κάθε είδους αδικίες που θα του προσέφεραν όμως πλούτη και ποικίλες απολαύσεις ενώ η δεύτερη μια ζωή με δυσκολίες, κόπους και πολλές δοκιμασίες με μόνη απόλαυση τη χαρά που δίνει η δικαιοσύνη και ο τίμιος μόχθος. Ο Ηρακλής, συνεχίζει ο μύθος, σκέφτηκε τις δύο προσφορές και τελικά αποφάσισε να ακολουθήσει το δρόμο της Αρετής, ο οποίος όπως μας μαθαίνουν τελικά του πρόσφερε πολύ περισσότερα! Χωρίς να είμαστε απολύτως βέβαιοι, μπορούμε να καταλάβουμε πως ο χρόνος που χρειάστηκε ο Ηρακλής για να αποφασίσει για το τι ακριβώς θα κάνει, πιθανότατα αναλώθηκε σε κάποια εσωτερική πάλη της συνείδησης του κα όχι τόσο σε μια διανοητική διαδικασία. Τις στιγμές εκείνες ο ήρωας δεν πρέπει να έκανε κάποιους υπολογισμούς, αλλά μάλλον αγωνιζόταν να μην χάσει την εμπιστοσύνη του στις αξίες που είχε μέχρι τότε διδαχτεί. Αυτόν τον αγώνα τον δίνουν και σήμερα όλοι οι νέοι άνθρωποι που για οποιοδήποτε λόγο αποφασίζουν να δοκιμάσουν τις αντοχές τους σε πιο μεγάλους και πιο δύσκολους στίβους!

Σκεφτείτε όμως ότι θα μπορούσε να είναι ακόμα πιο δύσκολη η επιλογή, αν για παράδειγμα δεν ήξερε ποιά είναι η Αρετή και ποιά η Κακία παρά μόνο ότι η μια λέει πάντα αλήθεια και η άλλη πάντα ψέματα. Στην περίπτωση αυτή αν έκανε και στις δύο την ερώτηση « Ποιός είναι ο δρόμος της Αρετής; » και λάμβανε τις απαντήσεις «Ο δικός μου δρόμος οδηγεί στην Αρετή.» και «Αν ο δικός της δρόμος δεν σ’ οδηγεί στην Αρετή τότε το κάνει ο δικός μου.», ποιό δρόμο θα έπρεπε να πάρει, τον πρώτο ή τον δεύτερο;

Ο γρίφος αυτός καμία σχέση δεν έχει βέβαια με τον μύθο, αλλά είναι απλά ένα πρόβλημα Λογικής. Τι είναι όμως η Λογική και πως συνδέεται με τα Μαθηματικά; Γεγονός είναι πως δεν υπάρχει ομοφωνία για τον ακριβή ορισμό και για το αντικείμενο μελέτης της. Ωστόσο σε γενικές γραμμές μπορεί χαρακτηριστεί ως η σπουδή της αλήθειας επιχειρημάτων (αποφάνσεων, προτάσεων) που βασίζεται απολύτως στις σημασίες εκείνων των φράσεων που λαμβάνονται ως όροι στα επιχειρήματα αυτά. ( από την ΄Εγκυκλοπαίδεια, Πάπυρος-Λαρούς-Μπριτάνικα, λήμμα Λογική )

Αρχικά προέκυψε από την αρχαία φιλοσοφία και θεμελιωτής της θεωρείται ο Αριστοτέλης αφού στο έργο του «Όργανον» γίνεται μια πρώτη αλλά πολύ σημαντική μελέτη των βασικών προτάσεών της. Αργότερα όμως με την επικράτηση των Ρωμαίων και μέχρι τα μέσα του 19ου αιώνα, η Λογική κατά κάποιο τρόπο παραγκωνίστηκε. Με μοναδική εξαίρεση ίσως τον Γερμανό φιλόσοφο Leibniz που τον 17ο αιώνα την ξαναφέρνει κάπως στο προσκήνιο και προσπαθεί να κάνει μια πρώτη σύνδεση με τα Μαθηματικά. Όμως οι ιδέες του ήταν πολύ πρώιμες για τη εποχή του. Το πραγματικό ενδιαφέρον αναζωπυρώθηκε με την ανακάλυψη των Μη Ευκλείδειων Γεωμετριών, που ήταν για την εποχή εκείνη παράξενες μαθηματικές δομές, καθώς και με κάποια παράδοξα που προέκυψαν από τη θεμελίωση της Θεωρίας των Συνόλων που έγινε από τον Cantor. Ακριβώς εκείνη την εποχή δημιουργήθηκε και η Μαθηματική Λογική από τον Άγγλο Μαθηματικό Boole. Η μεγάλη πρόοδος έγινε όμως τον 20ο αιώνα με τους Russell, Wittgenstein, Godel και Τuring και μέχρι τις μέρες μας η Λογική έχει εξελιχθεί σε πολύ μεγάλο βαθμό επηρεάζοντας πια όχι μόνο τα Μαθηματικά, τη Φιλοσοφία και το θεωρητικό μέρος των επιστημών αλλά πολύ βασικούς πρακτικούς τομείς της σύγχρονης τεχνολογίας. Για παράδειγμα με το Λογικό Προγραμματισμό και την Ασαφή Λογική προσφέρει τεράστιες υπηρεσίες στην επιστήμη των ηλεκτρονικών υπολογιστών .

Για να δούμε τώρα πώς μπορούμε να βοηθήσουμε τον Ηρακλή! Αφού ξέρουμε ότι η μια γυναίκα λέει πάντα αλήθεια και η άλλη πάντα ψέματα, εξετάζουμε προσεκτικά τις δύο απαντήσεις και παρατηρούμε πως η πρόταση «Αν ο δικός της δρόμος δεν σ’ οδηγεί στην Αρετή τότε το κάνει ο δικός μου.» είναι αληθής, αφού ένας από τους δύο δρόμους σίγουρα οδηγεί στη Αρετή. Έτσι συμπεραίνουμε πως η άλλη είναι ψευδής επομένως στην Αρετή οδηγεί ο δεύτερος δρόμος. Τελικά μερικά πράγματα είναι πολύ πιο εύκολα απ’ ό,τι αρχικά φαίνονται, το ίδιο μπορεί να συμβαίνει και με το πραγματικό γρίφο (δίλημμα) για την επιλογή Αρετής ή Κακίας. Ίσως ο δρόμος της Αρετής να είναι μεν επίπονος, αλλά όχι και τόσο ακατόρθωτος όσο μας τον παρουσιάζουν! Την επόμενη φορά λοιπόν που θα βρεθείτε πάλι σ’ αυτό το σταυροδρόμι καθίστε κι εσείς λίγο να το σκεφτείτε. Η τελική ανταμοιβή αξίζει, νομίζω, αυτές τις λίγες στιγμές!

Άλλες δύο παραλλαγές του γρίφου

1η Παραλλαγή:

Πάλι δεν ήξερε ποιά είναι η Αρετή και ποιά η Κακία, αλλά μόνο ότι η μια λέει πάντα αλήθεια και η άλλη πάντα ψέματα. Και πάλι κάνει την ίδια ερώτηση « Ποιός είναι ο δρόμος της Αρετής; ». Οι απαντήσεις τώρα είναι : «Εκείνος ο δρόμος οδηγεί στην Αρετή.» και «Και οι δύο δρόμοι οδηγούν στη Κακία.» . Ποιό δρόμο θα έπρεπε να πάρει, τον πρώτο ή το δεύτερο;

2η Παραλλαγή:

Σ’ αυτή την παραλλαγή οι δύο γυναίκες συνεννοούνται μεταξύ τους και λένε ή και οι δύο αλήθεια ή και οι δύο ψέματα. Η ερώτηση παραμένει η ίδια « Ποιός είναι ο δρόμος της Αρετής; ». Και οι απαντήσεις είναι : «Ο άλλος δρόμος οδηγεί στην Αρετή.» και «Δεν υπάρχει δρόμος που να οδηγεί στην Αρετή.». Τώρα ποιό δρόμο θα πρέπει να διαλέξει ;

Μερικοί Σύνδεσμοι

1. Eλληνική Μυθολογία

2. H Αριστοτέλεια Λογική ( Stanford Encyclopedia of Philosophie )

3. LOGICOMIX

4. Βιβλιο : 99 γρίφοι και παιχνίδια λογικής

Οι καλλιτέχνες των μαθηματικών

2009-12-08T16:32:00.006+02:00

Από την αρχή ακόμα, την εποχή δηλαδή που τέθηκαν τα πρώτα θεμέλια των μαθηματικών, η επιστήμη αυτή χωρίστηκε σε δύο μεγάλους κλάδους· την Αριθμητική και την Γεωμετρία. Η μελέτη των σχημάτων και των ιδιοτήτων τους ήταν πάντα μια προσφιλής ενασχόληση των μαθηματικών όλων των εποχών. Σε αντίθεση όμως με τον κλάδο που ασχολείται με τους αριθμούς η Γεωμετρία έχει το μεγάλο πλεονέκτημα να είναι εξίσου δημοφιλής και στους μη έχοντες ιδιαίτερες μαθηματικές γνώσεις.

Στα μαθηματικά, το σχήμα θα παίζει πάντα πρωταγωνιστικό ρόλο. Από τα πιο απλά όπως το τρίγωνο, η σφαίρα και ο μαίανδρος μέχρι και τα πιο πολύπλοκα, τα γεωμετρικά σχήματα ασκούν μια παράξενη γοητεία στο ανθρώπινο πνεύμα. Δεν είναι λοιπόν παράξενο που από την αρχαιότητα η μελέτη της γεωμετρίας συνδέθηκε με όλες σχεδόν τις εκδηλώσεις του ανθρώπινου πολιτισμού. Οι πυραμίδες για παράδειγμα πολύ συχνά χρησιμοποιηθήκαν ως θρησκευτικοί χώροι και πολλά σχήματα όπως ο μαίανδρος που προαναφέρθηκε, χρησιμοποιήθηκαν για τον διάκοσμο των ναών. Οι Πυθαγόρειοι εκτός από τις πολλές μυστικιστικές αντιλήψεις που είχαν για τα σχήματα, συσχέτιζαν την μελέτη τους και με την Αστρονομία, την οποία αποκαλούσαν Γεωμετρία σε κίνηση. Ο Πλάτωνας στην είσοδο της φιλοσοφικής του σχολής είχε μια πολύ κολακευτική για την επιστήμη της Γεωμετρίας επιγραφή, «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω» που σημαίνει σε ελεύθερη απόδοση «όποιος δεν γνωρίζει γεωμετρία να μη εισέλθει». Αυτή η επιγραφή φυσικά, δεν τέθηκε ως απαγόρευση αλλά για να καταδείξει την σπουδαιότητα της γεωμετρίας ως βασική προϋπόθεση για την τέχνη της φιλοσοφίας. Όσο για την τέχνη γενικότερα, αυτή είναι η κατεξοχήν ανθρώπινη δραστηριότητα που επηρεάζεται από την γεωμετρία. Τον 20ο αιώνα μάλιστα φτάσαμε στο σημείο να δημιουργηθεί μια τεχνοτροπία στη ζωγραφική που ονομάστηκε Κυβισμός. Τόσο επαναστατική ήταν αυτή η νέα τεχνοτροπία που η ίδια και οι εκπρόσωποί της έγιναν παγκοσμίως γνωστοί. Ακόμα και όσοι από εσάς αγνοείτε τι ακριβώς είναι ο κυβισμός σίγουρα γνωρίζετε τουλάχιστον ένα εκπρόσωπο του, τον Πάμπλο Πικάσσο.

Άλλος όμως είναι ο ζωγράφος του οποίου ένα μεγάλο μέρος του έργου του είναι κυριολεκτικά μια γεωμετρική πανδαισία. Πρωτοπόρος της λεγόμενης αφηρημένης ή ανεικονικής ζωγραφικής ο Βασίλη Καντίνσκι έδωσε με τις καινοτομίες του και την νέα αντίληψη που κόμιζε για την ζωγραφική, μιαν άλλη πορεία στη τέχνη του 20ου αιώνα. Άνθρωπος με τεράστιες τεχνικές ικανότητες και βαθύτατο λυρισμό ο Καντίνσκι θεωρείται πια στις μέρες μας καλλιτεχνική μεγαλοφυΐα και ένας από τους σημαντικότερους καλλιτέχνες τις εποχής του. Ωστόσο δεν είναι μονάχα οι πίνακές του που τον καθιέρωσαν ως έναν από τους μεγάλους του περασμένου αιώνα. Στη πραγματεία του Για το Πνευματικό στην Τέχνη καταγράφονται οι θεωρίες και οι ιδέες που υποστηρίζουν την τάση του προς το αφηρημένο. Η εργασία του αυτή μαζί με κάποιες άλλες όπως τα βιβλία του Τέχνη και καλλιτέχνες και Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο τον καθιστούν ένα από τους σημαντικούς θεωρητικούς της τέχνης, δίνοντας του ακόμα μεγαλύτερη αίγλη.

Σαράντα περίπου χρόνια μετά το θάνατο του Καντίνσκι, ο Μπενουά Μάντελμπροτ ένας Γάλλος μαθηματικός, Πολωνικής καταγωγής, μας παρουσίασε κάποιους άλλους αναπάντεχους «μαθηματικούς καλλιτέχνες,» οι δημιουργίες των οποίων ξεπερνούν σε φαντασία, ευρηματικότητα αλλά και πολυπλοκότητα τα έργα πολλών απλών ζωγράφων. Στο βιβλίο Η μορφοκλασματική γεωμετρία της φύσης που εκδόθηκε το 1982 έχει συγκεντρώσει ένα πλήθος εκπληκτικών σχημάτων που δημιουργήθηκαν από ηλεκτρονικούς υπολογιστές ακολουθώντας μια πολύ απλή επαναληπτική διαδικασία. Τα σχήματα αυτά ονομάστηκαν από τον Μάντελμπροτ Fractals, στα ελληνικά Μορφοκλασματικές Δομές, και είναι κατά κάποιο τρόπο γραφικές παραστάσεις κάποιων εξισώσεων. Το βιβλίο αυτό σημείωσε τόσο μεγάλη επιτυχία που μέχρι σήμερα δεν υπάρχουν πολλά βιβλία μαθηματικών που να γνώρισαν τέτοια αποδοχή απ’ το ευρύ κοινό .

Τι είναι όμως μια Μορφοκλασματική Δομή; Καταρχάς είναι ένα σχήμα τόσο πολύπλοκο που δεν μπορεί να οριστεί με τους κανόνες και τους όρους της κλασικής ευκλείδειας γεωμετρίας. Ο ορισμός του γίνεται με βάση μιαν επαναληπτική διαδικασία και η δημιουργία του, συνήθως, με την ευεργετική συνδρομή των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Ένα από τα βασικότερα χαρακτηριστικά του είναι η αυτό-ομοιότητα σε διάφορες κλίμακες. Με τον όρο αυτό-ομοιότητα εννοούμε ότι με μεγέθυνση σ’ ένα οποιοδήποτε σημείο του μπορούμε να δούμε είτε ολόκληρο το ίδιο το σχήμα είτε απλά ένα μέρος του.

Τέτοια σχήματα όπως προαναφέρθηκε είναι αποτέλεσμα μίας επαναληπτικής διαδικασίας, που συνήθως είναι πολύ απλή. Δείτε για παράδειγμα την κατασκευή του τάπητα του Σιερπίνσκι, μιας από τις πρώτες μορφόκλασματικές δομές που δημιουργήθηκαν. Ο τάπητας του Σιερπίνσκι δημιουργείται αφαιρώντας διαδοχικά το μεσαίο τετράγωνο από το μεγαλύτερο τετράγωνο που ήδη υπάρχει.

Αν όμως αντικαταστήσουμε αυτή την επαναληπτική διαδικασία με μιαν άλλη και προσθέσουμε χρώματα μπορεί να προκύψουν υπέροχα σχήματα. Το σύνολο του Μάντελμπροτ που φαίνεται παρακάτω είναι ένα από αυτά. Παρατηρήσετε την αυτό – ομοιότητα που εμφανίζεται τόσο στην περιφέρεια όσο και στις λεπτομέρειες μ’ ένα κυριολεκτικά εκπληκτικό τρόπο.

Η αλήθεια όμως είναι πως οι πραγματικοί καλλιτέχνες δεν είναι ούτε οι μαθηματικοί τύποι που δημιουργούν αυτές τις γραφικές παραστάσεις ούτε βέβαια οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές με την βοήθεια των οποίων τις σχεδιάζουμε, αλλά οι άνθρωποί που αναδεικνύουν αυτά τα αριστουργήματα. Αυτοί που επιλέγουν εκτός από τους κατάλληλους τύπους και τα σωστά χρώματα, αυτοί που μας δίνουν την ευκαιρία να απολαύσουμε τέτοια ομορφιά εκεί που πραγματικά δεν το περιμένουμε!

Μερικοί Σύνδεσμοι

1. Βασίλη Kαντίνσκι στο WebMuseum

2. Μπενουά Μάντελμπροτ

3. Μορφοκλασματικές Δομές ( Fractals )

Δύο γαϊδάρων άχυρα

2009-12-01T15:15:00.001+02:00

Υπάρχουν πολλοί τρόποι που τα μαθηματικά συνδέονται μ’ εμάς και την καθημερινότητά μας. Δεν είναι μόνο η οικονομία και η τρομερή τεχνολογική εξέλιξη, δεν είναι μόνο η λογική και οι πειραματικές επιστήμες αλλά και η ιστορία , η μυθολογία, οι ανθρωπιστικές επιστήμες καμία φορά δε και η λαογραφία. Υπάρχει μια γνωστή παροιμιώδης φράση που συχνά έλεγαν παλιότερα, όταν ήθελαν να δείξουν με πολύ καυστικό τρόπο ότι κάποιος είναι εντελώς ανίκανος. Έλεγαν « Εσύ δεν μπορείς να ξεχωρίσεις δύο γαϊδάρων άχυρα!». Άσχετο , μπορεί να σκεφτήκατε κάποιοι από εσάς, αλλά το πιθανότερο είναι πως αυτή η φράση έχει προέλθει από το παρακάτω απλό πρόβλημα αριθμητικής.

Κάποτε ένας αγράμματος γεωργός ήθελε να ταΐσει τους δυο γαϊδάρους που είχε αυτός και η οικογένεια του για τις πολλές και ποικίλες εργασίες τους. Φώναξε λοιπόν ένα από τα παιδιά του και του ζήτησε να τους μοιράσει οχτώ ( 8 ) μικρές μπάλες άχυρα με την εξής όμως εντολή. Επειδή ο ένας από τους δύο ήταν πιο κουρασμένος από τον άλλο θα έπρεπε να λάβει μία ( 1 ) μπάλα παραπάνω . Το παιδί χωρίς να σκεφτεί και πολύ έτρεξε και έδωσε στον ένα γάιδαρο τρεις ( 3 ) μπάλες και στον άλλο ,τον κουρασμένο, έδωσε πέντε ( 5 ) και γύρισε στον πατέρα του να του ανακοινώσει πως έκανε αυτό που το ζήτησε λέγοντας του συγχρόνως πόσες μπάλες έδωσε στον καθένα. Έκπληκτος ο πατέρας από το «κατόρθωμα» του παιδιού του αναφώνησε « Ίντα σε στέλνω μπρε στο σχολείο να κάμεις που εσύ δεν μπορείς να ξεχωρίσεις δυο γαϊδάρων άχυρα ! ». Το παιδί ταράχτηκε από τον λόγο του γονιού του και γύρισε τρέχοντας να διορθώσει το λάθος του. Πόσες μπάλες έπρεπε να δώσει στον κάθε γάιδαρο ;

Πριν προχωρήσω στη λύση αυτού του πολύ απλού προβλήματος αριθμητικής θέλω να επισημάνω μερικά κατά την γνώμη μου ενδιαφέροντα στοιχεία που προκύπτουν απ’ όλα τα παραπάνω. Καταρχάς, αν και δεν είμαι από τους ανθρώπους εκείνους που θεωρούν ότι τα Μαθηματικά είναι η κορωνίδα των επιστημών ή ότι χωρίς αυτά δεν μπορούμε να σταθούμε με σιγουριά και αυτοπεποίθηση και κατά συνέπεια με επιτυχία στη ζωή μας. Δεν μπορώ όμως να μην παρατηρήσω πως η αίσθηση του κόσμου που καθιέρωσε αυτή την φράση είναι ότι η ανικανότητα στην επίλυση απλών προβλημάτων αριθμητικής σημαίνει και γενικότερη ανικανότητα. Το δεύτερο που θέλω να προσέξουμε είναι η δεξιότητα που αποκτά κι ο «αγράμματος» ή σωστότερα ο Μαθηματικά απαίδευτος άνθρωπος, αν όχι να λύνει απλά μαθηματικά προβλήματα τουλάχιστον να μπορεί κρίνει την ορθότητα της λύσης τους. Αυτή ακριβώς η δεξιότητα όλων γενικά των ανθρώπων, αλλά και η επιθυμία τους να γνωρίσουν κατά κάποιο τρόπο τα μαθηματικά , με ώθησε στο να ψάξω, να βρω και να παρουσιάσω με όσο το δυνατόν απλούστερο τρόπο κάποια μαθηματικά «αξιοθέατα». Το τρίτο και ίσως σημαντικότερο πράγμα που πρέπει να προσέξουμε, και που θα μας προετοιμάσει για την λύση του προβλήματος είναι πως η βιασύνη είναι πάντα κακός σύμβουλος και ειδικά στις περιπτώσεις που η επαλήθευση ή και η διάψευση μπορεί να γίνει με πολύ εύκολο τρόπο.

Ας έρθουμε όμως τώρα στην λύση του προβλήματος. Προφανώς το παιδί το πρώτο πράγμα που έκανε ήταν να μοιράσει τα άχυρα στα δύο, τέσσερα και τέσσερα ( 4 + 4 = 8 ). Μέχρι εδώ δεν μπορεί να έχει κάνει λάθος. Στη συνέχεια όμως βιάστηκε να αφαιρέσει μία μπάλα από τον ξεκούραστο και να τη δώσει στον κουρασμένο. Έτσι ο ένας είχε τρεις (3) κι ο άλλος πέντε (5). Δεν πρόσεξε ωστόσο ότι με αυτό τον τρόπο ο κουρασμένος έχει έτσι δυο μπάλες παραπάνω ( 5 – 3 = 2 ), μια που πήρε αυτός και μια που στερήθηκε ο άλλος! Μετά λοιπόν από λίγη σκέψη κατάλαβε πως πρέπει να πάρει μισή μπάλα από τον ένα και να τη δώσει στον άλλο. Άρα η σωστή λύση είναι τεσσερισήμισι και τρεισήμισι μπάλες. Έτσι έχουμε σύνολο οχτώ ( 4,5 + 3,5 = 8 ) και ο ένας έχει μια μπάλα παραπάνω από τον άλλο ( 4,5 – 3,5 = 1 ).

Το πρόβλημα αυτό καθ’ εαυτό δεν είναι καθόλου δύσκολο, ίσως και γι’ αυτό το λόγο να έμεινε παροιμιώδης η ανικανότητα του λύτη! Υπάρχουν πλήθος παρόμοιων προβλημάτων, άλλα απλούστερα και άλλα δυσκολότερα που λύνονται με τον ίδιο πάνω κάτω τρόπο. Παραθέτω λοιπόν δύο ακόμα τέτοια προβλήματα καλή συνέχεια …

1ο Τα λεφτά σου και τα λεφτά μου
Αν εσύ κι εγώ έχουμε τα ίδια χρήματα στο λογαριασμό μας στη τράπεζα, πόσα πρέπει να σου δώσω για να έχεις χίλια ευρώ ( 1000 €) παραπάνω ;

2ο Ο μισθός μου
Ο μηνιαίος μισθός μου, μαζί με όλα τα επιδόματα , είναι χίλια διακόσια πενήντα ευρώ ( 1250 € ) . Αν ο βασικός μου μισθός είναι επτακόσια πενήντα ευρώ ( 750 € ) παραπάνω από τα επιδόματα. Πόσος είναι ο βασικός μου μισθός και πόσα είναι τα επιδόματα ;