MATEMATICAS 4

UNIDAD 5 TRANSFORMACIONES LINEALES

2011-05-16T17:49:00.000-07:00

UNIDAD 5. TRANSFORMACIONES LINEALES

Introducción

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.

Transformaciones Lineales

Existe una clase especial de funciones llamada transformaciones lineales, el cual se ven frecuentemente en el álgebra lineal. Las mismas se aplican a las ciencias físicas, ciencias sociales, economía, comercio y en las ciencias de computadoras.

Repaso de funciones:

Sean A y B dos conjuntos arbitrarios. Suponga que a cada a є A se le asigna un único elemento de B, la colección f de tales asignaciones se llama una función de A en B y se representa de la forma f: A → B. Escribimos f(a) para representar el elemento de B que f le asigna a a є A, a este elemento se le llama la imagen de a por f. El conjunto de todas las imágenes, esto es, f(A) se llama la imagen de f. Además, A es el dominio de la función f: A → B y B es el campo de valores (recorrido).

A cada función f: A → B le corresponde el subconjunto de A x B dado por {(a, f(a))│a є A}. Llamamos a este conjunto la gráfica de f.

Ejemplo: Sea f: R → R la función que le asigna a cada número real x su cuadrado x², esto es, f(x) = x². La imagen de -3 es 9 se expresa de la forma f(-3) = 9.

Definición: Sean V, W espacios vectoriales. Una transformación lineal T de V a W es una función que le asigna a cada vector v en V un único vector Tv є W y que satisface para cada u, v є V y para cada escalar α:

T( u + v) = Tu + Tv
T(αv) = αTv

Notación: Escribimos T: V → W para representar que T lleva V a W.

Ejemplos (para discusión):

1)	Sea T: R² → R² definida por T(x, y) = (x + y, y). Determina si T es una transformación lineal.
2)	Sea T: R² → R² definida por T(x, y) = (-x , y). Esto es, T(1, 2) = (-1, 2). Determina si T es una transformación lineal.
3)	Sea T: R³ → R² definida por T(x, y, z) = (x , y). ¿Será T una transformación lineal?
4)	Sea T: R² → R³ definida por Por ejemplo, . Indica si T es una transformación lineal.
5)	Sean V y W espacios vectoriales y defina T: V → W por Tv = 0 para todo v є V. ¿Es T una transformación lineal?
6)	Sea V un espacio vectorial y defina T: V → V por Tv = v para todo v є V. ¿Es T una transformación lineal?
7)	Defina T:M_mn → M_mn por T(A) = A^t. ¿Será T una transformación lineal?
8)	Sea T:C[0, 1] → C’[0, 1] definida por Tf = f’. ¿Representa T una transformación lineal?
9)	Sea T: C[0, 1] → R definida por . Determina si T es una transformación lineal.
10)	Sea T: C[0, 1] → R definida por Tf = f(0) + 1. Indica si T es una transformación lineal.
11)	Considera la función T: R² → R²definida por . ¿Es T una transformación lineal?
12)	La función f: R → R definida por f(x) = x² no es una transformación lineal, pues, (x + y)² ≠ x² + y². En particular, 5 = 2 + 3 pero: f(5) = 5² = 25 ≠ 13 = 2²+ 3² = f(2) + f(3).
13)	La función f: R² → R definida por T(u) = ║u║ no es una transformación lineal, pues, ║u + v║ ≠ ║u║ + ║v║. Por ejemplo, si u = (1, 2) y v = (3, 4), tenemos que: Por tanto, ║u + v║ ≠ ║u║ + ║v║.

Ejercicio: Sea T: R² → R²determina si T es una transformación lineal si esta definida como:

T(x, y) = (x, -y)
T(x, y) = (x, 1)

Asignación: Determina si la transformación dada de V a W es lineal:

T: R² → R²; T(x, y) = (0, y)
T: R² → R²; T(x, y) = (1, y)
T: R² → R²; T(x, y) = (x + y, x – y)
T: R² → R²; T(x, y) = xy
T:M_nn → M_nn; T(A) = A^t A
T: P₂ → P₁; T(a₀ + a₁x + a₂x²) = a₀ + a₁x

Respuestas:

Si
No es transformación lineal
Si
No, pues T[α(x, y)] = T(αx, αy) = αx ∙αy = α²xy
No, pues (A + B)^t (A + B) = (A^t + B^t) (A + B) = A^tA + A^tB + B^tA + B^tB, pero

T(A) + T(B) = A^tA + B^tB ≠ T(A + B)

EJERCICIOS RESUELTOS:

http://www-old.dim.uchile.cl/~docencia/algebra_lineal/material/presentacion_semana/presenta_sem08_alglin.pdf

TEMA 4.2 DEFINICION DE UN SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES

2009-10-26T08:23:00.001-07:00

Sub espacio vectorial:
Esto dice que si W es un sub conjunto del espacio vectorial V entonces este es un sub espacio de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V.
Para que W sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicación por un escalar también debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por un escalar.

TEMA 4.3 PROPIEDADES DE VECTORES, COMBINACION LINEAL, DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL.

Combinación Lineal:
Se denomina combinación lineal a u vector V en un espacio vectorial U u un cuerpo h.
Si los vectores v1, v2, v3, ..., vn en u si V puede expresarse como:
V = c1v1 + c2v2 + c3v3 +... + cnvn donde c son escalares del cuerpo h.
Envolvente Lineal:
Este es el conjunto de todas las combinaciones lineales semejantes denotado por Lin(v1, v2, ..., vn) y se denomina envolvente lineal de u1, u2, ...,un.
Siendo S un sub conjunto de un espacio vectorial V entonces Lin S es un sub conjunto de un espacio vectorial V y si W es un subconjunto de V que contiene a S, necesariamente Lin S es complemento de W.

TEMA 3.1 ESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES.

2009-10-26T08:15:00.000-07:00

Espacio vectorial

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: escalarse (multiplicarlos por un escalar) y sumarse. Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.
Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y complicada.
Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

PROPIEDADES:

Hay una serie de propiedades que se demuestran fácilmente a partir de los axiomas del espacio vectorial. Algunas de ellas se derivan de la teoría elemental de grupos, aplicada al grupo (aditivo) de vectores: por ejemplo, el vector nulo 0 Є V, y el opuesto -v de un vector v son únicos. Otras propiedades se pueden derivar de la propiedad distributiva, por ejemplo, la multiplicación por el escalar cero da el vector nulo y ningún otro escalar multiplicado por un vector da cero:

Propiedad	Significado
Unicidad del vector nulo
Unicidad del opuesto de un vector
Producto por el escalar cero	0 v = 0. El 0 es el único escalar que cumple esta propiedad.
Producto de un escalar por el vector nulo	a 0 = 0
Opuesto del producto de un vector por un escalar	- (a v) = (-a) v = a (-v)

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2009-10-13T12:51:00.000-07:00

DI NO AL TELETON !!

Se hacerca nuevamente y como todos los años, una de las mayores tranzas que hay en este pais, y yo se lo que diran mucho de esto que escribire, PURAS MAMADAS ERES, y jalada y media, Y SE QUE MUCHOS NI LEERAN Y POR ESO SIEMPRE ESTARAN JODIDOS EN SU IGNORANCIA Y ENGAÑADOS, y luego porque se quejan de que el EL PAIS ESTE TAN JODIDO y ni caso asen cuando se LES PIDE QUE LEAN AL MENOS ESTO, pero cada quien me vale un pepino el que no quiear entender... bien el caso es el siguiente:

Desde hace algunos años Televisa, a través de su "Fundación Televisa", se ha encargado de realizar distintas acciones de "asistencia social", como el programa de computadoras, de trasplantes de córneas y su proyecto más fuerte, que ha encabezado su "altruismo empresarial", el TELETÓN.¿Pero en realidad es esto una labor altruista, de asistencia social?

¿Sabías que si una empresa, mediante una fundación creada por ésta, realiza donativos económicos a una labor de beneficencia pública, éstos son deducibles de impuestos, es decir, POR CADA PESO que destina a la asistencia social, PAGA UN PESO MENOS DE IMPUESTOS?

Pero éste no es el problema.

En realidad, el verdadero problema radica en que miles de personas colaboran con 20, 50 ó 100 pesos, los cuales también son deducibles de impuestos, aunque a la gente que dona estas cantidades, o entrega en las alcancías de la calle, no se le da recibo para que los deduzca de sus impuestos personales.

Las grandes cantidades de dinero acumuladas por Televisa, se utilizan todas como si se tratara de una aportación propia de Televisa, que la deduce de sus impuestos en monto suficiente como para que hasta tenga saldo a favor, recibiendo inclusive dinero de nuestros impuestos por este concepto.Pero no es sólo eso.

Por los montos que aportan las grandes empresas 'a nombre de sus empleados', que colectan entre los mismos para una causa 'altruista', ellas obtienen un recibo deducible de impuestos, pero a nombre de la empresa, no de cada empleado, con lo que ésta también puede deducir esa cantidad de los impuestos que debe pagar.

De esta forma, todo lo que se dona al Teletón es dinero que el gobierno deja de recibir por concepto de impuestos, y que se debían destinar a obras y servicios a la ciudadanía, enriqueciendo más al ya de por sí millonario dueño de Televisa y los empresarios que le hacen coro y obtienen publicidad gratuita y reconocimientos por su altruismo, que pagan sus empleados.

AH PERO APARTE DE ESO, EL GOBIERNO FEDERAL, APORTA UNA MILLONARIA CANTIDAD, QUE SON DE NUESTRAS BOLSAS, dinero que se va directamente a las bolsas del bastardo de emilio...

Si a esto se le agrega lo que reciben por concepto de saldo a favor por parte de Hacienda, resulta una cantidad enorme, sin considerar lo que el junior Emilito cobra por explotar una señal aérea de los mexicanos y por la cual no paga nada, ya que el pago de la concesión se hizo hace más de 40 años por su padre, Emilio Azcárraga Milmo, 'soldado del PRI' y gran amigo del presidente en turno.

Así, además de los millones de pesos que obtiene de ingresos por publicidad, el junior no paga impuestos y, por si fuera poco, todavía cobra saldos a favor por las aportaciones que recibe a favor del Teletón.

Éste es un motivo por el que no alcanza el presupuesto para Educación y Salud, misma razón por la que hay pocos mexicanos que ganan más de un millón de pesos por día y mexicanos que apenas alcanzamos humildes $1,500 pesos por mes trabajando, que no alcanzan para nada, y además pagando impuestos (que nos descuentan en automático) ¡y todavía nos conmovemos con los anuncios del Teletón y donamos aunque sea 'un varito'!Un conocido mio vió, en uno de los hospitales que se constuyen con el $ del teletón, como está la gente humilde haciendo colas inmensas desde altas horas de la madrugada, esperando para ser atendidas (el estaba en la cola) y como, las personas adineradas tienen pase directo, ni siquiera voltean a ver la cola.

Pero lo más indignante fue el ver como corrían a las personas humildes hasta con manguerazos de agua, pues iban a grabar un promocional para latelevisión.

Si, realmente es indignante como las televisoras manipulan los sentimientos de todos nosotros.

Corroboren la información de los impuestos con cualquier contador que conozcan.

ENTIENDE TELEVISA ES UNA EMPRESA 100% LUCRATIVA, Y LE VALE UN CARAJO LOS SENTIMEINTOS, LAS ENFERMEDADES DE LA GENTE, Y SE APROVECHARA DE LA GENTE MAS HUMILDE, HACIENDO COMERCIALES, QUE TE "CONMUEVAN EL CORAZON" PONIENDO A LA GENTE QUE TIENE MI RESPETO, GENTE CON ALGUNA DISCAPCIDAD, QUE SI NECESITA AYUDA, PERO NO HACIENDO MILLONARIOS, A LOS EMPRESARIOS, Y MENOS AL BASTARDO ESE DE EMILIO AZCARRAGA !!

NO DONES PARA EL TELETON !! AYUDA DIRECTAMENTE A LE GENTE QUE LO NECESITA !!

DI NO AL TELETON !!!

DI NO AL ROBATON !!!

DI NO AL TRANSATON !!

DI NO AL MIERDATON !!

TEMA 3.1 DEFINICIÒN DE MATRIZ

2009-10-05T18:33:00.000-07:00

En general, una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, trabajaremos exclusivamente con matrices formadas por números reales.

Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas.

Los elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan. Así, designaremos por a₃₂ el elemento que está situado en la tercera fila y segunda columna de la matriz A.

El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama dimensión de la matriz.

Dos matrices son iguales si son de igual dimensión y coincide el valor de los elementos que ocupan la misma posición en ambas.

EJERCICIOS DE LA PRIMERA UNIDAD DE MATEMATICAS 4

2009-09-24T10:53:00.000-07:00

BUENO PUES ACA UN REPASO GENERAL DE LA PRIMERA UNIDAD

HAY VARIOS EJERCICIOS RESUELTOS Y CON LOS PASOS

PARA RELIZARLOS, SON EL TRABAJO Y PARA QUIEN LE SIRVE AHI ESTAN.

SALUDOS !!

2.1-2.2-2.3 Y 2.4

2009-09-16T08:26:00.000-07:00

Ecuaciones lineales con más de dos variables.

Para sistemas de ecuaciones lineales con más de dos variables, podemos usar el método de eliminación por sustitución o el método de eliminación por suma o resta (por adición o sustracción).

El método de eliminación por suma o resta es la técnica más breve y fácil de hallar soluciones. Además, lleva la técnica de matrices que se estudia en esta sección.

Cualquier sistema de ecuaciones lineales con tres variables tiene una solución única, un número infinito de soluciones o no tiene solución.

Método de eliminación para resolver un sistema de ecuaciones lineales:

Ejemplo:

Resuelve el sistema:

x + 2y + 3z = 9 …………………………….. (primer ecuación)

4x + 5y + 6z = 24 …………………………. (segunda ecuación)

3x + y - 2z = 4 ……………………………. (tercera ecuación)

Solución:

Suma −4 veces la “primera ecuación” a la “segunda”:

[x + 2y + 3z = 9]−4 → −4x −8y −12z =−36

4x +5y + 6z = 24

0 −3y - 6z = −12

Suma −3 veces la “primera ecuación” a la “tercera”:

x + 2y + 3z = 9

-3y - 6z = −12

-5y - 11z = −23

Multiplica por -(1÷ 3) la “segunda ecuación”:

x + 2y + 3z = 9

y + 2z = 4

-5y −11z = −23
Multiplica por −1 la “tercera ecuación”:

x + 2y + 3z = 9

y + 2z = 4

5y +11z = 23

Suma −5 veces la “segunda ecuación” a la “tercera”:

x + 2y + 3z = 9

y + 2z = 4

z = 3
Las soluciones del último sistema son fáciles de hallar por sustitución. De la “tercera ecuación”, vemos que z = 3. Al sustituir “z” con 3 en la “segunda ecuación”, y + 2z = 4 obtenemos y = −2. Por último, encontramos el valor de “x” al sustituir y = −2 y z = 3, en la “primera ecuación”, x + 2y + 3z = 9 con lo cual x = 4. Por tanto, hay una solución:

x = 4,

y = −2,

z = 3.
Sistema Matriz coeficiente Matriz aumentada

Antes de estudiar un método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales, daremos una definición general de matriz.

Definición de matriz.
Sean m y n enteros positivos. Una matriz de m x n (se lee “m” por “n”), es una matriz de la siguiente forma, donde cada aij es un numero real.

Ejemplos:



Sea la matriz:


por tanto, es una “matriz de orden 2 x 3.”

Sea la matriz:

por tanto, es una “matriz de orden 3 x 1.”

Teorema sobre transformaciones de renglones de matrices.

Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de un sistema equivalente si:

a) Se intercambian dos renglones. Símbolo: Ri Rj.

b) Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero. Símbolo: kRi Ri.

c) Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro renglón. Símbolo: kRi + Rj Rj.

Uso de matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo.

Resuelve el sistema:

x + 2y + 3z = 9

4x + 5y + 6z = 24

3x + y - 2z = 4

Comenzaremos con la matriz del sistema, es decir, la matriz aumentada:

Luego aplicamos transformaciones elementales de renglón a fin de obtener otra matriz (más sencilla) de un sistema de ecuaciones equivalentes. Pondremos símbolos adecuados entre matrices equivalentes.

(−4)R1 + R 2 R 2

(−3)R1 + R 3 R 3?

(-(1÷ 3))R 2 R 2

(−1)R 3 R 3

(−5)R2 + R 3 R 3

Con la matriz final regresamos al sistema de ecuaciones:

Que equivale al sistema original. La solución x = 4, y = −2, z = 3 se puede encontrar ahora por sustitución.

La matriz final de la solución es una forma escalonada.

En general, una matriz está en forma escalonada si satisface estas condiciones:

a) El primer número diferente de cero de cada renglón, leyendo de izquierda a derecha, es 1.

b) La columna que contenga el primer número diferente de cero en cualquier renglón está a la izquierda de la columna con el primer número distinto de cero del renglón de abajo.

c) Los renglones formados enteramente de ceros pueden aparecer en la parte inferior de la matriz.

Ejemplo:


Sea la matriz:

es “una matriz escalonada”

Guías para hallar la forma escalonada de una matriz.

(a) Localizar la primer columna que contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones elementales de renglón a fin de obtener 1 en el primer renglón de esa columna.

(b) Aplicar transformaciones elementales de renglón del tipo kR1 + Rj Rj. para j > 1 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (a) en cada uno de los renglones restantes.

© Hacer caso omiso del primer renglón. Localizar la próxima columna que contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones elementales de renglón con objeto de obtener el número 1 en el segundo renglón de esa columna.

(d) Aplicar transformaciones elementales del tipo kR2 + Rj Rj. para j >2 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía © en cada uno de los renglones restantes.

(e) Hacer caso omiso del primer y segundo renglones. Localizar la siguiente columna que contenga elementos diferentes de cero y repetir el procedimiento.

(f) Continuar el proceso hasta alcanzar la forma escalonada.

Uso de la forma escalonada para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo:

Resuelve el sistema:

Solución: Comenzamos con la matriz aumentada y luego obtenemos una forma escalonada, según se describe en las guías.

R1 R4

R2 R3

(1)R1 + R 3 R 3

(−2)R1 + R 4 R 4

(−1)R 2 R 2

(-(1÷ 2))R 2 R 2

(−1)R2 + R 3 R 3

(−1)R2 + R 4 R 4

(3)R3 + R 4 R 4

La matriz final está en forma escalonada y corresponde a un sistema de ecuaciones:

(-(1÷ 2))R 4 R 4

Ahora usamos sustitución a fin de hallar la solución. De la última ecuación vemos que w = −1; de la tercera ecuación vemos que z = −2 . Sustituimos en la segunda ecuación, y obtenemos:

y - 2z - w = 6

y - 2(−2) - (−1) = 6

y + 4 + 1 = 6

y = 1

Sustituimos los valores encontrados en la primera ecuación:

x + z + 2w = −3

x + (−2) + 2(−1) = −3

x - 2 - 2 = −3

x = 1

Por lo tanto, el sistema tiene una solución: x = 1, y = 1, z = −2, w = −1.

2.2 CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y TIPOS DE SOLUCION.

2.3 INTERPRETACION DE LAS SOLUCIONES GEOMETRICAS.

La ecuación de segundo grado y sus diversas soluciones tienen una traducción al campo gráfico muy interesante y esclarecedora. Recuerda que la parábola es una línea curva representativa de la función polinómica .

Cuando la y=0, la parábola corta al eje de abscisas; a su vez, la expresión anterior queda reducida a . Luego las soluciones de la ecuación de segundo grado son los puntos de corte de la parábola asociada con el eje de abscisas. Por tanto, una ecuación de segundo grado tiene tantas soluciones reales como veces corte la parábola asociada a ella al eje de abscisas.

3. Pinta en la siguiente escena las parábolas asociadas a las ecuaciones del ejercicio 1y comprueba lo dicho en el párrafo anterior. La escena empieza con la resolución gráfica de la ecuación , su discriminante vale 1 y, por tanto, tiene dos soluciones reales distintas, que son 2 y 3.

2.4 METODOS DE SOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

(GAUSS-JORDAN, ELIMINACION GAUSSIANA)

DIFERENCIA DE CUBOS Y RAIZ CUBICA

2009-09-15T09:24:00.000-07:00

TEMA 1.5 TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCIÒN DE UN NUMERO COMPLEJO

2009-09-09T08:22:00.000-07:00

Teorema de De Moivre

Fórmula para calcular las potencias zn de un número complejo z.

El teorema de De Moivre establece que si un número

complejo z = r(cos x + i sin x), entonces zn = rn(cos nx + i sin nx),

en donde n puede ser enteros positivos,
enteros negativos, y exponentes
fraccionarios.

¿COMO SACAR RAÌZ A UN NUMERO COMPLEJO?

SI A TODO ESTO NO LE HAS ENTENDIDO NI PAPA, HAY TE DEJO EL VIDEO

PARA QUE LE ENTIENDAS MEJOR, Y SI ASI NO LE ENTIENDES

TE RECOMIENDO COMPRARTE UNOS 2 O 3 METROS DE CUERDA

Y BUSCARTE UN BUEN ARBOL JAJA.... SALUDOS

SUMA Y RESTA DE NUMEROS COMPLEJOS

...

2009-09-03T19:03:00.000-07:00

DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS

MULTIPLICACIÓN DE NUMEROS COMPLEJOS

DIAGRAMA DE ARGAND Y TEMA 1.3

En un sistema de coordenadas Cartesianas, un punto se puede representar usando coordenadas (x, y). Cuando este punto se toma para representar el número complejo (x+iy), al plano se le llama plano complejo, o diagrama de Argand. Se llama así en honor del matemático suizo Jean Robert Argand, una de varias personas que inventó esta representación geométrica de los números complejos.

MATEMATICAS 4 - TEMA 1.1 DEFINICION Y ORIGEN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

2009-09-02T08:22:00.000-07:00

MATEMATICAS 4 - TEMA 1.1 DEFINICION Y ORIGEN DE LOS
NUMEROS COMPLEJOS

TEMA 1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS
COMPLEJOS

LOS EJERCICIOS DE LA CLASE DEL 2 DE SEPTIEMBRE DE 2009

BUENO ACA EL TEMA 1.1 Y EL TEMA 1.2 DE MATEMATICAS 4

PRIMERO A MANO Y ESCANEADO Y LUEGO LA INFORMACION

PARA COPIAR EN DOCUMENTO.

NO OLVIDES COMENTAR Y VER LAS ENTRADAS ANTERIORES !!!!

JOHN BOANERGES

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2009-09-01T08:42:00.000-07:00

Antes que nada bienvenidos a este blog de matematicas 4, este es el primer post del blog, espero sea util.

Bueno pues para toda la comunidad del tecnológico y demás gente que visita a este blog, les traigo hoy un aporte bastante bueno, es el DERIVE 6 que pues es esencial en la materia
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JohnDarker