Matemática Básica

Regla de 3 compuesta,problemas resueltos

2020-03-04T13:08:00.000-08:00

Problemas de proporcionalidad REGLA DE TRES COMPUESTA.

1.- 5 Caballos en 4 días consumen 60 kg de pienso. ¿Cuántos días podrán alimentarse a 8 caballos con 360 kg de pienso?

2.- En un comedor escolar 75 alumnos han consumido 230 kg de pescado en 2 meses. ¿Cuántos kg de
pescado consumirán 150 alumnos en 3 meses?

3.- Una fábrica trabajando 8 horas diarias ha necesitado 5 días para fabricar 1.000 ruedas. ¿Cuántos días tardará para fabricar 3.000 ruedas si trabaja 10 horas diarias?

4.- 60 Terneros consumen 4.200 kg de pienso a la semana. ¿Durante cuantos días podremos alimentar a 15 terneros si disponemos de 600 kg de pienso?

5.- Por enviar un paquete de 5 kg de peso a una ciudad que está a 60 km de distancia, una empresa de
transporte me ha cobrado 9 €. ¿Cuánto me costará enviar un paquete de 50 kg a 200 km de distancia?

6.- Para llenar un depósito hasta una altura de 80 cm se ha necesitado aportar un caudal de 20 litros por minuto durante 1h y 20min. ¿Cuánto tiempo tardará en llenar otro depósito hasta una altura de 90 cm si se le aporta un caudal de 15 litros por minuto?

1.- 5 Caballos en 4 días consumen 60 kg de pienso. ¿Cuántos días podrán alimentarse a 8 caballos
con 360 kg de pienso?
I D
Nº Caballos Tiempo (días) Pienso (kg)
5 _______________ 4 ___________ 60
8 _______________ x ___________ 360
+ -
+ +
Comparamos Nº de Caballos y Tiempo. Hay más ( + ) caballos, la comida durará menos ( - )
tiempo. Es Inversa. ( I )
Comparamos Pienso y Tiempo. Hay más ( + ) kg de pienso, más ( + ) días durará la comida. Es
Directa. ( D ) I D
4 = 8 . 60 = 8 · 60 = __480
x 5 360 5 · 360 1.800
4 = 480 480 · x = 4 · 1.800
x 1.800 480 · x = 7.200
x = 7.200
480
Solución: Podrán alimentarse durante 15 días.

2.- En un comedor escolar 75 alumnos han consumido 230 kg de pescado en 2 meses. ¿Cuántos kg
de pescado consumirán 150 alumnos en 3 meses?
D D
Nº Alumnos Tiempo (meses) Pescado (kg)
75 _____________ 2 ___________ 230
150 _____________ 3 ___________ x
+ +
+ +
Comparamos Nº de Alumnos y Pescado. Hay más ( + ) alumnos, se consumirá más ( + ) pescado.
Es Directa. ( D )
Comparamos Tiempo y Pescado. En más ( + ) meses, se consumirá más ( + ) pescado. Directa. (D)
D D
230 = 75 . 2 = 75 · 2 = __150
x 150 3 150 · 3 450
230 = 150 150 · x = 450 · 230
x 450 150 · x = 103.500
x = 103.500
150
Solución: Se consumirán 690 kg de pescado.

3.- Una fábrica trabajando 8 horas diarias ha necesitado 5 días para fabricar 1.000 ruedas.
¿Cuántos días tardará para fabricar 3.000 ruedas si trabaja 10 horas diarias?
I D
Nº horas diarias Tiempo (días) Nº de Ruedas
8 _______________ 5 ___________ 1.000
10 ______________ x ___________ 3.000
+ -
+ +
Comparamos Nº de horas diarias y Tiempo. Si trabaja más ( + ) horas diarias, tardará menos ( - )
tiempo en fabricar las ruedas. Es Inversa. ( I )
Comparamos Nº de Ruedas y Tiempo. Hay que fabricar más ( + ) ruedas, se tardarán más ( + )
días en fabricarlas. Es Directa. ( D ) I D
5 = 10 . 1.000 = 10 · 1.000 = 10.000
x 8 3.000 8 · 3.000 24.000
5 = 10 10 · x = 5 · 24
x 24 10 · x = 120
x = 120
10
Solución: Tardará en fabricar las ruedas 12 días.

4.- 60 Terneros consumen 4.200 kg de pienso a la semana. ¿Durante cuantos días podremos
alimentar a 15 terneros si disponemos de 600 kg de pienso?
I D
Nº Terneros Pienso (kg) Tiempo (días)
60 _____________ 4.200 ___________ 7
15 _____________ 600 ___________ x
- +
- -
Comparamos Nº de Terneros y Tiempo. Hay menos ( - ) terneros, la comida durará más ( + )
tiempo. Es Inversa. ( I )
Comparamos Pienso y Tiempo. Con menos ( - ) pienso, la comida durará menos ( - ) tiempo.
Directa. (D) I D
7 = 15 . 4.200 = 15 · 4.200 = __63.000
x 60 600 60 · 600 36.000
7 = 63 63 · x = 7 · 36
x 36 63 · x = 252
x = 252
63
Solución: El pienso durará 4 días.

5.- Por enviar un paquete de 5 kg de peso a una ciudad que está a 60 km de distancia, una empresa
de transporte me ha cobrado 9 €. ¿Cuánto me costará enviar un paquete de 50 kg a 200 km de
distancia?
D D
Peso (kg) Distancia (km) Precio (€)
5 _____________ 60 ___________ 9
50 _____________ 200 ___________ x
+ +
+ +
Comparamos Peso y Precio. Pesa más ( + ), costará más ( + ). Es Directa. ( D )
Comparamos Distancia y Precio. Va a más ( + ) km, costará más ( + ). Directa. (D)
D D
9 = 5 . 60 = 5 · 60 = __ 300
x 50 200 50 · 200 10.000
9 = 3 3 · x = 9 · 100
x 100 3 · x = 900
x = 900
3
Solución: Enviar el paquete costará 300 €.

6.- Para llenar un depósito hasta una altura de 80 cm se ha necesitado aportar un caudal de 20
litros por minuto durante 1h y 20min. ¿Cuánto tiempo se tardará en llenar otro depósito hasta
una altura de 90 cm si se le aporta un caudal de 15 litros por minuto?
Pasamos 1h y 20 min a minutos = 60 min + 20min = 80 min
D I
Altura (cm) Caudal (l/min) Tiempo (min)
80 ___________ 20 ___________ 80
90 _____________ 15 ___________ x
+ +
- +
Comparamos Altura y Tiempo. Para que el nivel del agua suba más ( + ) alto, se tardará más ( + )
tiempo. Es Directa. ( D )
Comparamos Caudal y Tiempo. Si el grifo echa menos ( - ) agua, se tardará más ( + ) tiempo.
Inversa. ( I ) D I
80 = 80 . 15 = 80 · 15 = __120
x 90 20 90 · 20 180
80 = 120 120 · x = 80 · 180
x 180 120 · x = 14.400
x = 14.400
120
120 min = 2 h
Solución: Se tardará 2 horas.

Ejercitacion

A)Una guarnición de 400 soldados situados en un fuerte tiene víveres para 180 días si consumen 900 gramos por hombre y por día. Si recibe un refuerzo de 100 soldados pero no recibirá víveres antes de 240 días. ¿Cuál deberá ser la ración de un hombre por día para que los víveres puedan alcanzarles?

A) 540g B) 720g C) 420g D) 450g E) 675g

B)Cinco orfebres hacen 12 anillos en 15 días. Si se desean hacer 60 anillos en 25 días. ¿Cuántos orfebres doblemente rápidos se deben contratar además de los que se tienen?

A) 7g B) 72g C) 420g D) 5g E) 75g

C)Un boxeador le pega a una pera, de tal manera que da 5 golpes en 2 s. ¿Cuánto demora en dar 25 golpes a la pera?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 15

D)Cuatro tractores pueden remover 400 m3 de tierra en 6 horas. ¿Cuánto demorarán seis tractores en remover 800 m3 de tierra?

A) 3 h B) 4 h C) 8 h D) 10 h E) 12 h

Problemas de proporcionalidad directa e inversa

2020-03-04T13:01:00.000-08:00

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA E INVERSA.
1.- En 50 litros de agua de mar hay 1.300 g. de sal. ¿Cuántos litros hacen falta para 5.200 g. de sal?

2.- Un coche gasta 5 litros de gasolina cada 100 kms. ¿Cuántos kms. recorrerá con 28 litros?

3.- 5 Obreros hacen una pared en 15 días. ¿Cuánto tardarán 3 obreros en hacer la misma pared?

4.- Un granjero tiene pienso para alimentar a sus 12 vacas durante 45 días. Si compra 3 vacas más, ¿Cuánto le durará el pienso?

5.-Una rueda da 4.590 vueltas en 9 minutos. ¿Cuántas vueltas dará en 2 horas y media?

6.- Un deportista recorre 4.500 m. en 10 minutos. ¿Cuántos km. recorrerá en media hora?

7.- 4 albañiles tardan en arreglarme el tejado 18 días. Si quiero acabar el tejado en 12 días, ¿Cuántos albañiles tengo que contratar?

8.- Un camión que carga 3.000 kg. da 15 viajes para transportar una carga. ¿Cuántos viajes dará otro camión que carga 4,5 toneladas en transportar la misma carga?

9.- Un obrero gana 350 € a la semana. ¿Cuánto gana en 45 días?

10.- Por cada 24 kg. de aceitunas se obtienen 6 litros de aceite.
a) ¿Cuántos litros se obtienen con 5 toneladas de aceitunas?
b) ¿Cuántos kg. de aceitunas se necesitan para llenar un depósito de 8.000 litros de aceite?

11.- Con un depósito de agua pueden beber 30 caballos durante 8 días. Si se venden 6 caballos, ¿cuántos días durará el agua?

12.- 3 Amigos ponen 7,50 € cada uno para hacer un regalo. Si dos amigos más quieren participar en el regalo, ¿cuánto debe poner cada uno?

13.- 5 CD´s de música cuestan 90 €. ¿Cuánto valen 3 cajas con 10 cd´s cada una?

14.- Para abonar un terreno de 4.000 m2 necesitamos 50 kg. de abono. Si compro 20 kg. más, ¿Cuántos m2 puedo abonar?

15.- Cada día leo durante 2 h y 10 minutos 25 páginas de un libro. Si el libro tiene 275 páginas, ¿Cuánto tiempo tardaré en leerlo?

16.- Un coche tarda 45 minutos en recorrer 72 kms. ¿Qué distancia recorrerá en 3 horas si va a la misma velocidad?

17.- 1 kg de jamón cuesta 7,25 €, ¿Cuántos gramos de jamón puedo comprar con 5 €?

18.- Para alimentar a 30 perros se necesitan 45 kg. de comida. Si llegan 12 perros más, ¿Cuánta comida necesitamos?

19.- Una máquina fabrica 400 tornillos en 5 horas. ¿Cuánto tardará en fabricar 1.000 tornillos?

20.- Con 200 g. de harina se elaboran 6 barras de pan. ¿Cuántas barras se elaboran con 5 kg?

21.- 6 máquinas excavadoras hacen una zanja en 18 días, si se averían 2 excavadoras, ¿Cuánto tardarán en abrir la zanja

22.- Un coche que va a 72 Km/h, tarda 3h y 15 minutos en hacer un recorrido.¿Cuánto tardará otro coche en hacer el mismo recorrido si va a 90 km/h?

23.- Si 3 libros de lectura cuestan 36 €, ¿Cuánto costarán 2 docenas de libros?

24.- Si 5 fotocopias cuestan 40 céntimos, ¿cuántas fotocopias haré con 8 €?

25.- Una piscina con 3 grifos tarda en llenarse 24 horas. Si abrimos un grifo más, ¿Cuánto tardará en llenarse?

26.- Un depósito lleno de agua tarda 24 minutos en vaciarse abriendo 5 desagües. Si queremos que se vacíe en 15 minutos ¿Cuántos desagües hay que abrir?

1,-
Solución: Hacen falta 200 litros de agua.
2.-
Solución: El coche recorrerá 560 km.
3.-
Solución: Tardarán 25 días.
4.-
Solución: El pienso le durará 36 días.
5.-
Solución: La rueda dará 76.500 vueltas.
6.-
Solución: El deportista recorrerá 13,5 km en media hora.
7.-
Solución: Tengo que contratar 6 albañiles.
8.-
Solución: Necesitará dar 10 viajes.
x = 13.500 m
x = 6 albañiles
x = 10 viajes
9.-
Solución: El obrero ganará 2.250 €.
10
Solución: Se obtendrán 1.250 litros de aceite.
b)
Solución: Se necesitarán 32.000 kg de aceitunas.
11.-
Solución: El agua le durará 10 días.
12.-
Solución: Cada amigo debe poner 4,50 €.
13.-
Solución: Los cd´s valen 540 €.
14.-
Solución: Puedo abonar 5.600 m2
15.-
Solución: Tardaré en leerlo 23 h y 50 min.
50 min
16.-
Solución: El coche recorrerá 288 km en 3 horas.
17.-
Solución: El coche recorrerá 288 km en 3 horas.
18.-
Solución: Necesitaremos 63 kg de comida.
19.-
Solución: Tardará en fabricarlos 12 horas y media.
20.-
Solución: Elaboraré 150 barras de pan.
21
Solución: Tardarán 27 días.
22.-
Solución: Tardaré en hacer el recorrido 2h y 36 min.
23.-
Solución: 2 Docenas de libros costarán 288 €.
24.-
Solución: Podré hacer 100 fotocopias.
25.-
Solución: La piscina tardará en llenarse 18 horas.
26.-
Solución: Para que se vacíe el depósito en 15 min hay que abrir 8 desagües

Ejercicios Combinados de Números Complejos

2018-11-05T16:47:00.000-08:00

Realizar los siguientes calcúlos combinados :

Z1 = 3 + 2i ; Z2 = -2 - 5i ; Z3 = 4 + i

a) Z1 + Z2 - Z3

b) 2.Z1 - 3.Z2 + Z3

c) ( Z3 . Z2) - Z1

d) ( Z1 - 5.Z2 ) - ( 3.Z2)

e) ( Z3)² - 7.Z2

f) ( Z1 + Z3 ) - ( Z2)³

g) Z2/Z1 - Z3

Soluciones

a) - 3 - 4i
b) 16 + 20i
c) -1 - 20i
d) 19 + 42i
e) 29 + 53i
f) 124 - 207i
g) -68/13 + 2/13i

Potencia Números Complejos. Soluciones

2018-10-31T16:09:00.000-07:00

Efectuar las siguientes potencias:

1) (3 + 2i)² = 5 + 2i

2) ( -2 -5i)² = -21 + 20i

3) (1/2 - i)² 0 -3/4 - i

4) (4 + 3/4i)² = 247/16 + 6i

5) (5/4 - 2i)² = -39/16 - 5i

6) (-7i)² = -49

7) ( 4 + 6i)³ = -368 + 72i

8) (-3 - 3i)³ = 54 - 54i

9) (2 + 5/2i)³ = -59/2 + 115/8i

10) (5i)³ = -125i

11) (-7i)³ = 343i

Ejercitacíón Números Complejos. División.

2018-10-31T15:05:00.001-07:00

blob:https://www.google.com/5f873306-ae5b-4d8f-9b48-ba0a4ae07964 Efectuar las siguientes divisiones

1) 4 + 2i = 8/13 + 2/13i

3 - 2i

2) -5 + 3i = -5/41 + 37/41i

4 + 5i

3) 1 - 5i = 12/18 + i

-3 - 3i

4) 9 - i = 69/85 + 47/85i

7 - 6i

5) 2 + 5i = -27/65 + 34/65i

4 - 7i

6) 6 + i = 1/5 - 6/5i

7) 1,5 - 2i = 2/3 + 4,5/9i

-3i

8) -7i = -35/34 + 14/17i

-4 + 5i

Ejercitacíón Números Complejos. Multiplicación. Soluciones

2018-10-30T08:06:00.000-07:00

Efectuar las siguientes multiplicaciones:

1)_ (3 + 3i) . (2 - 5i) = 21 - 9i

2)_ (-2 + 7i) . (9 + 3i) = -39 + 57i

3)_ (2/3 - 5i) . ( -3 - i) = -17/3 + 43/3i

4)_ (5 + 1/4i) . (2 - 3/4i) = 163/16 - 13/4i

5)_ (4 - 3i) . ( 3/5 + 1/3i) = 17/5 - 7/15i

6)_ (7 + 5i) . ( 4i) = -20 + 28i

7)_ (-8 - 3i) . (5 + i) . (2i) = -40 + 6i

8)_ (3) . (6 + 1/5i) . (3 - 2i) = 276/5 - 57/5i

9)_ (5/4 - 3/5i) . (1 - i) . (-1 + 7i) = 267/20 + 131/20i

10)_ (1/3 + 6i) . (3 - 3i) . (8i) = -136 + 152i

11)_ (5 - 3/5i) . (-9 - 7i) . (9) = -2214/5 - 1332/5i

12)_(1,25 + 0,75i) . (-5,5 - 2,75i) = -4,8125 - 7,5625i

Ejercitacíón Números Complejos. Resta. Soluciones

2018-10-25T15:50:00.000-07:00

Efectuar las siguientes restas:

1)_ (3 + 4i) - (5 + 8i) = (-2 - 4i)

2)_ (-6 + 5i) - (2 + 3i) = (-8 + 2i)

3)_ ( 3 + 3/4i) - ( 2 - 1/2i) = (1 + 5/4i)

4)_ (3/5 + 7i) - (2 + 3/2i) = (-7/5 + 11/2i)

5)_ (-5 + 2i) - ( 6/5 - i) = (-31/5 + 3i)

6)_ (0,5 + 3i) - (-1 - 4i) = (3/2 + 7i)

7)_ ( -0,15 + 1,25i) - (3 - 2i) = (-63/20 + 13/4i)

8)_ (3/2 + 3i) - (2 - 1/4i) - (5 - i) = (-1/2 + 13/4i)

9)_ (4i) - (7 - 5i) - (-3 + 3/4i) = (-4 + 33/4i)

10)_ (5/4i) - (3 - 7i) - (2 + 5i) = (-5 + 11/4i)

11)_ (3) - ( -1 - i) - ( 4/5 + 2i) = (16/5 - i)

12)_ (8 + 9i) - ( 4i) - (1 + 5i) = (7 )

Ejercitacíón Números Complejos. Suma Soluciones

2018-10-22T16:46:00.000-07:00

Efectuar las siguientes sumas:

1)_ ( 4 + 2i ) + ( -3 + 7i ) = 1 + 9i

2)_ ( 1/4 - i ) + ( -6 + 3/4i ) = -23/4 - 1/4i

3)_ ( 3 + 9i ) + ( 8 - 3i ) = 11 - 6i

4)_ ( 5 - 7i ) + ( 4 - 3i ) = 9 - 10i

5)_ ( -2 - 5i ) + ( -1/2 + 3i ) = -5/2 - 2i

6)_ ( 5 - 2/3i ) + ( 1 + i ) = 6 + 1/3i

7)_ ( -3/4 - i ) + ( -0,25 + i ) = -1

8)_ ( 5i ) + ( -4/3i ) + ( -4i ) = - 1/3i

9)_ ( 2 + 5/2i ) + ( 1/2 - 3i ) + ( -1 - 2i ) = 3/2 - 5/2i

10)_ ( 3 - 2i ) + ( -8 - 5i ) + ( 1/2 + 3/2i ) = -9/2 - 11/2i

11)_ ( -6 - 3i ) + ( 3/4 - 2/5i ) + ( -3 + i ) = -33/4 - 5/4i

12)_ ( 5 + 8i ) + ( 6 ) + ( -9i ) = 11 - i

Guia de problemas con sus respectivas soluciones. Regla de 3 compuesta diirecta e inversa.

2018-10-05T16:59:00.001-07:00

Situaciones problematicas }); 1) Una guarnición de 400 soldados situados en un fuerte tiene víveres para 180 días si consumen 900 gr por hombre y por día . Si recibió un refuerzo de 100 soldados pero no recibirá víveres antes de 240 días . ¿ cual deberá ser la ración de un hombre por día para que los víveres puedan alcanzarles?

2) 5 orfebres hacen 12 anillos en 15 días . Si se desean hacer 60 anillos en 25 días . ¿cuantos orfebres doblemente rápidos se deben contratar además de los que se tienen ?

3) Un boxeador le pego a una pera,de tal manera que da 5 golpes en 2 segundo , ¿cuanto demorara en dar 25 golpes a la pera ?

4) 4 tractores pueden remover 400 m³ de tierra en 6 horas .¿ cuanto demoraran 6 tractores en remover 800 m³ de tierra ?

5) En un comedor escolar 75 alumnos han consumido 230 kg de pescado en 2 meses , ¿ cuantos kg de pescado consuegran 150 alumnos en 3 meses ?

Soluciones

1) 540 gr
2) 7 orf
3) 12 seg
4) 8 horas
5) 690 kg

Guia de problemas con sus respectivas soluciones. Regla de 3 simple diirecta e inversa.

2018-10-04T17:05:00.001-07:00

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1) En 100 litros de agua de mar hay 2600 gr de sal .¿cuantos litros hacen falta para 10400 gr de sal ?

2) Un coche gasta 10 litros de gasolina cada 200 km .¿ cuantos km recorrerá con 56 litros ?

3) 10 obreros hacen una pared en 30 días ¿ cuantos tardaran 6 obreros en hacer la misma pared ?

4) Un granjero tiene pasto para alimentar a sus 24 vacas durante 90 días . Si compra 6 vacas mas . ¿ cuanto le durara el pasto ?

5) Una rueda da 4590 vueltas en 9 minutos . ¿ cuantas vueltas dará 150 minutos ?

6) Un atleta recorre 9000 metros 20 minutos . ¿ cuantos metros recorrerá en 1 hora?

7) 8 albañiles tardan en arreglar una azotea 36 días . Si quiero terminar el trabajo en 24 días . ¿ cuantos albañiles tengo que contratar?

8) Un obrero gana 700 dolares a la semana .¿ cuanto gana en 45 días ?

9) Con un deposito de agua pueden beber 60 caballos durante 16 días , Si se venden 12 caballos .¿ cuantos días durara el agua ?

10) 10 cd de música cuestan cuestan 180 pesos . ¿ cuantos valen 90 cd ?

11) Para alimentar a 60 conejos se necesitan 90 kg de alimento. Si llegan 24 conejos mas . ¿ cuanta comida necesitamos?

12) Una maquina fabrica 800 tornillos en 10 horas .¿cuanto tardara en fabricar 2000 tornillos ?

13) 12 maquinas excavadoras hacen una colectora en 36 días ,si se averían 4 excavadoras . ¿cuanto tardaran en terminar la colectora ?

14) Si 6 libros de cuentos cuestan 720 pesos . ¿ cuanto costaran 48 libros ?

15) Una pileta con 6 grifos tarda en llenarse 36 horas Si abrimos 3 grifos mas .¿ cuanto tardara en llenarse ?

Soluciones

1) 400 litros
2) 1120 km
3) 50 días
4) 72 días
5) 76500 vueltas
6) 27000 metros
7) 12 albañiles
8) 4500 dolares
9) 20 días
10) 1620 pesos
11) 126 kg
12) 25 horas
13) 54 días
14) 5760 pesos
15) 24 horas

Forma canónica y factorizada de una función cuadrática

2011-11-14T09:57:00.000-08:00

Forma polinómica :    a x² + b x + c
Forma factorizada :    f ( x ) = a . ( x -x1 ) . ( x - x2 ) ; x1 y x2 son raíces

Forma canónica    :     f ( x ) = a . ( x - xv ) ² + yv ; coordenadas vértice ( xv ; yv )

Ejemplo

Forma polinómica : x²+ x - 6

Las raíces de esta ecuación son : x1 = 2 y x = - 3

Forma factorizada :    f ( x ) = a . ( x -x1 ) . ( x - x2 )

Remplazando en   :     f( x )     =   1 . ( x - 2 ) . ( x + 3 )

Coordenadas del vértice V ( - 1 ; - 6)

Forma canónica    :     f ( x ) = a . ( x - xv ) ² + yv

Remplazando en   :      f ( x ) = 1 . ( x + 1/2 ) ² - 6

Calcular

Pasar a la forma canónica y factorizada la siguiente función polinómica :

a ) x² - 4 x + 3 = 0

b ) x² + 3 x - 10 = 0

c ) x² - 8 x + 7 = 0

Discriminante

2011-11-14T04:46:00.000-08:00

Discriminante es la expresión   Δ = b² - 4 . a .c

Se presentan 3 situaciones con respecto al discriminante :

1 ) Δ > 0 , en este caso la función tiene dos raíces reales distintas , y su gráfica corta al eje x en dos puntos .

2 ) Δ = 0 , en este caso la función tiene una sola raíz igual , y su gráfica tiene un solo punto de contacto con el eje x .

3 ) Δ< 0 , en este caso la función no tiene raíces reales y su gráfica no tiene contacto con el eje x .

Calcular si tienen sooluciones reales

a ) x² + 2 x - 1 = 0

b) 8 x² - 3 x + 1 = 0

c) 5 x² + 3 = 0

d ) x² - 5 x + 2 = 0

e ) 1 - 9 x² = 0

Soluciones

a) 2

b) ninguna

c ) ninguna

d) 2

e ) 2

Encontrar los posibles de k para las siguientes ecuaciones que cumplan con las condiciones pedidas en cada caso :

1 ) Δ< 0

3 x² - x + k = 0    ;   aplicamos el discriminate

1² - 4 . 3 . k < 0

               1 < 12 k

         1 / 12 < k

2 ) Δ = 0

x² + k x + 4 = 0 ; aplicamos discriminante

k² - 4 .1 . 4 = 0

               k² = 16

   k = ± √ 16

               k = ± 4

3) Δ > 0

x² + k x + 6 = 0 ; aplicamos discriminante

k² - 4 . 1 . 6 > 0

     k² > 24

k >   √24

                    k < - √24

Gráfica de una función cuadrática

2011-11-14T03:50:00.000-08:00

Para graficar una función cuadrática : f ( x ) = x² + 2 x - 8

- Hallamos sus raíces aplicando la fórmula de la resolvente :

- Encontramos la ecuación del eje simetría , que pasa por la abscisa del vértice :

Xv = x1 + x2 = - 1 o tambíen Xv = - b
2 2 . a

-Para sacar Yv , reemplazamos el valor de Xv en nuestra ecuación cuadrática :

f ( x ) = x² + 2 x - 8

f ( Xv) = ( - 1 ) ² + 2 . ( - 1 ) - 8 = - 9

Coordenadas del vértice V( - 1 ; - 9 )

- Se clcula la ordenada al origen , reemplazamos en la ecuación cuadrática por el valor x = 0

f ( x ) = x² + 2 x - 8

f ( 0 ) = 0² + 2 . o - 8 = - 8

Ordenada al origen y = - 8 , corta al eje y .

Ahora podemos construir nuestra gráfica

Graficar las siguientes funciones cuadráticas

a) y = x² - 2x + 1

b ) y = 2 x² - 8

c ) y = x² - x - 6

d ) ½ x² + ¾ x - ½

Función cuadrática

2011-11-12T03:07:00.000-08:00

Función cuadrática : es toda función que puede expresarse de la forma :

f ( x ) = a x² b x + c donde a≠ 0

a ε R→ coeficiente principal o cuadrático a≠ 0

b ε R → coeficiente del término lineal

c ε R → término independiente

- El dominio natural de estas funciones es R , y al representarse gráficamente , se obtiene una curva llamada parábola .

- Cada parábola presenta un eje de simetría paralelo al eje y de ordenadas , sobre él y un punto llamado vértice en que la curva pasa de ser creciente a decreciente o viceversa .

- Los ceros o raíces reales de una función cuadrática son las abscisas de los puntos de contacto entre su gráfica y el eje de las x .

Recordemos que si el coeficiente principal a es positivo las ramas de la parábola van hacia arriba y si es negativo van hacia abajo las ramas de la misma .

Ejemplo : mediante una tabla de valores graficar f ( x ) = x² - 2x - 8

Realizar una gráfica aproximada de las siguientes funciones cuadráticas
a ) x² - 9

b ) x² - x - 2

c ) - x² + 4

Función polinómica.Gráfica

2011-11-12T02:25:00.000-08:00

Se puede obtener una representación gráfica aproximada de una función polinómica , sin hacer una tabla de valores. Debemos tener en cuenta los siguientes pasos :

- El dominio es R y es continua

- La ordenada al origen , f ( 0 ) , es el término independiente .

- La curva tiene contacto con el eje de las abscisas en los puntos en los que x = r , donde r es cada raíz real del polinomio . Si la multiplicidad es impar , la curva "atraviesa" el eje x ; si la multiplicidad es par , la curva "rebota" sin atravesarlo .

- Entre raíces consecutivas , las imágenes de la función son todas positivas o todas negativas .

- A la derecha ( izquierda) de la mayor ( menor ) de las raíces , las imágenes de la función son todas positivas o todas negativas .

Ejemplo :

f(x) = ( x - 2 ) ² . ( x - 1 ) . ( x + 1 ) ³

Para esta función tenemos las siguientes raíces :

( x + 1 )³ → despejando x nos queda x = - 1 ; multiplicidad 3 es impar

( x - 2 )² → despejando x nos queda x = 2 ; multiplicidad 2 es par

( x - 1 ) → despejando x nos queda x = 1 ; multiplicidad 1 es impar

Hallar la gráfica aproximada de la siguiente función

f ( x ) = 2 . ( x - 1 ) . ( x + 2 )² . ( x - 3 )³

Potencia de números complejos

2011-11-10T02:30:00.000-08:00

Números Complejos

2011-11-09T06:07:00.000-08:00

En el conjunto de los números reales no es posible obtener las raíces de índice par y radicando negativo. Por ejemplo , √-25 , no hay ningun número tal que elevado al cuadrado dé por resultado el número - 25 . Para resolver estas operaciones se amplia el conjunto de los números reales , introduciendo los números imaginarios .

Entre los númeroas imaginarios se define la unidad imaginaria que se designa con la letra i , y tal que su cuadrado es igual a -1 .

Ejemplo : √-36 = ±6 i , en efecto ( ± 6 i )² = 6². i² = 36 . ( -1 ) = - 36

Los números complejos se definen se representan de la forma bínomica :a + b i

Donde a es la componente real , b es la componente imaginaria
.
Opuesto de un número complejo es interponer el signo negativo delante del número complejo , lo que hace este signo negativo es cambiar los signos de las componentes .

Z = -2+ 5 i
- Z =   2 - 5 i

Conjugado de un número complejo es cambiarle el signo a la componente imaginaria .

Z = 4 + 7 i
Z = 4 - 7 i
La suma de dos números complejos conjugados da por resultado un número real que es el duplo de la componente real .

Ejemplo : ( 8 + 5 i ) + ( 8 - 5 i ) = 16

               ( - 3 - 4 i ) + ( - 3 + 4 i ) = - 6

Representación gráfica de un número complejo : Z = 3 + 5 i

Suma de números complejos : se llama suma de dos o más números complejos al complejo que tiene como componente real la suma de las componentes reales y como componente imaginaria la suma de las componentes imaginarias de los números sumados .

En símbolos :

( a + b i ) + ( c + d i ) = (a+ c ) + ( b + d ) i

Ejemplo

( 2 + 6 i ) + ( 1 + 8 i ) = ( 2 + 1 ) + ( 6+ 8 ) i = 3 + 4 i


( 9 + 3 i ) + ( -8 + 4 i ) = ( 9 + ( -8) ) + ( 3 + 4 ) i = 1 + 7 i


Resta de números complejos : la diferencia entre dos números complejos es el complejo que tiene por componentes real e imaginaria , respectivamente la diferencia entre las componentes reales y entre las componentes imaginarias del minuendo y sustraendo .

En símbolos :

( a + b i ) - ( c + d i ) = (a- c ) + ( b - d ) i

Ejemplo

( 9 + 5i ) - ( 1 + 3 i ) = ( 9 - 1) + ( 5- 3 ) i = 8 + 2 i


Otra forma de resolver la resta transformandala en una suma , es decir al primer complejo sumarle el opuesto del segundo .

Ejemplo

( - 5 + 7 i ) - ( 4 - 6 i )
( - 5 + 7 i ) + ( -4 + 6 i ) = ( -5 + (-4 )) + ( 7 + 6 ) i = - 9 + 13 i


Multiplicación de números complejos : antes debemos considerar i² = -1 ; multiplicar dos números complejos se reduce a multiplicar dos binomios sumas ; luego habrá que multiplicar cada término del primero por cada término del segundo y sumar los productos parciales.

En símbolos :

( a + b i ) . ( c + d i ) = a . c + bi . c + a . di + bi . di

donde bi . di = b .d. i² y como i² = -1

bi . di = b.d .( -1 ) = - b . d entonces nos quedará

( a + b i ) . ( c + d i ) = a . c + bi . c + a . di - b . d

Ejemplo

( 5 + 7 i ) . ( 4 - 6 i ) = 5 . 4 + 5 . (-6i) + 7 i . 4 + 7 i . (-6 i) =
= 20 - 30 i + 28 i - 42 i²
= 20 - 30 i + 28 i - 42 . ( -1 )
= 20 - 30 i + 28 i + 42
= 62 - 2 i

División de números complejos : para dividir dos números complejos se multiplican el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor y luego se efectuan las operaciones indicadas .

En símbolo :

a + b i = ( a + b i ) . ( c - d i ) = a . c + b i . c - a . d i - b i . d i² = a. c + b i . c - a . d i + b . d
c + di       ( c + d i ) . ( c - d i )                      c² + d²                                         c² + d²

Ejemplo :

5 - 2 i    = ( 5 - 2 i ) . ( 4 - 3 i )    =   5 . 4 + ( - 2 i ) . 4 + 5 . ( - 3 i ) + ( - 2 i ) . ( -3 i ) =
4 + 3 i        ( 4 + 3 i ) . ( 4 - 3 i )                                    4² + 3²
                                                        =    20 - 8 i - 15 i + 6 = 26 - 23 i = 26   - 23 i
                                                                         16 + 9            25         25     25

Ejercitación

1) ( 6 + 5 i ) + ( 6 - 9 i )
2 ) (¾ + 5 i ) + ( 3 / 2 - 2 i )
3 ) (4 + ½ i ) + ( ¼ - 4 i )
4 ) ( 9 - 6 i ) - ( -2 + 4 i )
5 ) ( ¼ - 4 i ) - ( 2 + ¾ i )
6 ) ( 3 - 4 i ) . ( -6 + 3 i )
7 ) (½ + 5 i ) . ( ¾ - 2 i )
8 ) ( 6 + 7 i ) : ( 5 - 2 i )
9 ) ( ¼ - 8 i ) : ( -1 + 3 i )
10 ) ( - 8 - 5 i ) : ( ½ - i )

Teorema del resto

2011-11-06T23:29:00.000-08:00

window.google_analytics_uacct = "UA-26115543-1";
Teorema del resto : nos permite calcular directamente el resto de una división sin hacerla y anticipar si es una división exacta .

P(x) ∟(x - a)                Q(x) . ( x - a) + R = P(x)
R       Q(x)

Reemplazando todas las x por a :

Q(x) . ( x - a) + R = P(x)

Q(a) . ( a - a ) + R= P( a)

Q(a) . 0 + R = P(a)

R = P(a)

En el caso que de tener (x + a ) → R = P ( - a )

Ejemplo : (x² + 10 x + 25 ) : ( x - 5 )

Se reemplaza cada variable x por el valor x = 5

5² + 10 . 5 + 25 = 100

Resolver

a) ( 5 x² + 3 x - 14 ) : ( x - 2)

b ) ( 16 x + x² + 64 ) :( x + 8 )

c ) ( x³ + x - 5 ) : ( x - 4 )

Regla de Ruffini

2011-11-06T20:46:00.000-08:00

Regla de Ruffini : es un método simplificado de efectuar la división de ciertos polinomios, que se puede usar cuando el divisor es de la forma x - a , siendo a un número real .

Ejemplo : (5x³ - 4x - 42 ) : ( x - 3 )

Primer paso : se completa y se lo ordena de mayor a menor 5x³ + ox² - 4x - 42

Segundo paso :opuesto del término independiente del divisor x - 3 será 3

Tercer paso : se baja el primer coeficiente de la primer columna , en este caso es el 5 y se lo multiplica por 3 → 5 . 3 = 15

Se coloca debajo del coeficiente de la segunda columna , se resuelve y se repite el ciclo de operaciones .

3	5	0 15	-4 45	-42 123
	5	15	41	81

Cociente : 5 x² + 15 x + 41
Resto : 81
Resolver las siguientes divisiones aplicando Ruffini . Indicar el cociente y el resto .

a) ( 8x³ - 3x + 4 ) : (x - 4)

b ) ( 5x² - 1 ) : ( x - 5 )

c ) ( x³ - 3x - 30 ) : ( x + 2 )

d ) ( 1 + x² ) : ( x - 1 )

e ) ( x² + x³ - 2 ) : ( x + 3 )

Porcentaje

2011-11-06T17:51:00.000-08:00

Porcentaje : cuando tomamos un porcentaje de una cantidad indica que tomamos una fracción de la misma . El porcentaje es una parte de un entero que está dividido en 100 partes iguales .

Así, el 40 % significa tomar 40 partes de 100 .

Problemas

- El 40 % de los alumnos de una escuela son varones . Si el total de alumnos son 600 , ¿ cuántos de ellos son varones ?

100 % .............. 600 alumnos

40 % ................ x

100 = 600 → x = 600 . 40 → x = 240
40 x 100

En total hay 240 alumnos

- Si queremos comprar un artículo cuyo valor es de $80 , el descuento es del 10 % ¿ cuál sera el valor final ?

100 % ......... $ 80

10 % ........... x

100 = 80 → x = 80 . 10 → x = 8
10 x 100

"Aplicar un descuento a un importe significa restar el valor del porcentaje calculado al importe inicial."

El 10 % de $ 80 es $ 8 ;el valor final será : $80 - $8 = $ 72

- El recargo del 12 % que se aplicó por mora en el pago del servicio eléctrico fue $ 24 . ¿ cuál será monto final sin el recargo ?

12 % ........... $ 24

100%.......... x

12 = 24 → x = 24 . 100 → x = 200
100 x 12

El monto original sin el recargo es de $ 200

- Si el precio de un electrodoméstico es de $ 1500 , y por pago en cuotas me hacen un recargo del 15 % . ¿ cuál será el precio final que abonaré ?

100 % .......... $ 1500

15 % ............ x

100 = 1500 → x = 15 . 1500 → x = 225
15 x 100

"Aplicar un recargo a un importe significa sumar el valor del porcentaje calculado al importe inicial ."

El 15 % de $ 1500 es $ 225 ; el valor final será : $ 1500 + $ 225 = $ 1725

Plantear y resolver los siguientes problemas :

a ) De los 30 alumnos de un curso , el 20 % faltaron a la prueba de Lengua . ¿ qué cantidad de alumnos estuvieron ausente ?   sol 6 ausentes

b ) Carla compró una computadora que costaba $ 2560 . Por pago cointado le hacen un descuento del 5% . ¿ cuánto pagó por la misma ?    sol $ 2432

c ) En la función de teatro había sentadas 160 personas . Si el 20 % de las butacas estaban vacías . ¿ qué capacidad tiene la sala ?    sol 200 butacas

Regla de tres simple inversa

2011-11-05T17:48:00.000-07:00

Regla de tres simple inversa : permite plantear y resolver problemas entre magnitudes inversamente proporcionales .

Si 10 operarios realizan un trabajo en 25 días , ¿ cuánto tardarán 15 operarios en realizar el mismo trabajo ?

6 oper ........ 15 d
9 oper......... x d

6 = x → x = 6 . 15 →x = 10
9 15 9

Los operarios tardarán 10 días .

Las magnitudes son inversamente proporcionales , ya que al aumentar el número de operarios , disminuyen los días de trabajo .

Problemas

a ) Para cubrir un patio son necesarias 60 baldosas cuadradas de 20 cm de lado . ¿ cuántas baldosas cuadradas de 25 cm de lado se necesitarán para cubrir el mismo patio ? sol 48 bal

b ) Un granjero compró 125 aves a $ 4,40 cada una . ¿ cuántas aves hubiese comprado con el mismo dinero si el costo era de $ 5,50 cada una ? sol 100 aves

c ) Cierta cantidad de comida alcanza para alimentar a 525 personas durante 68 días . ¿ para cuántos días alcanzara la misma cantidad si son 350 personas ? sol 102 días

Regla de tres simple directa

2011-11-05T04:40:00.000-07:00

Regla de tres simple directa : permite plantear y resolver problemas entre magnitudes directamente proporcionales .

Si 4 entradas a un teatro cuesta $ 50 , ¿ cuánto costarán 8 entradas para ver el mismo espectáculo en la misma ubicación ?

4 ........... $ 50
8 ............$ x

4 = 50   → 4 . x = 50 . 8 → x = 50 .8 → x = 100
8       x                                           4

Las magnitudes son directamente proporcionales , ya que al aumentar la cantidad de entradas aumenta el importe a pagar .

Problemas
a ) Si 5 pasajes a Entre Rios cuestan $ 125 ¿ cuánto costarán 12 pasajes ?    sol $ 300

b ) una fábrica emplea 5 horas para fabricar 4000 tuercas de la misma medida . ¿ cuántas tuercas iguales a las anteriores , fabricaran en 8 horas ? sol 6400 tuercas

c ) para pintar 30 m² de pared se necesitan 2 ,5 litros de pintura . ¿ que cantidad de m² de pared cubrirán 12 litros de pintura ? sol 144 m² de pared

Proporcionalidad inversa

2011-11-05T02:51:00.000-07:00

Proporcionalidad inversa : dos magnitudes x e y , son inversamente proporcionales cuando el producto entre los pares de cantidades correspondientes es consstante .

x . y = K → constante de proporcionalidad

Dadas dos magnitudes inversamente proporcionales , si al multiplicar una de ellas por un número , la cantidadcorrespondiente a la otra magnitud queda dividida por el mismo número .

Completar el siguiente cuadro

Kg por paquete	Cantidad de paquetes
5	120
10	60
20	30
30	20
60	10
100	6

Primero debemos obtener la constante de proporcionalidad inversa

K = x . y → K = 60 . 10 = 600 por lo tanto ecuación quedara y = K
x

Para 5 kg nos queda y = 600 / 5 = 30

Para 10 kg nos queda y = 600 / 10 = 60 ; asi sucesivamente se saca para los demas valores de x

Completar . Cuadro 1

Velocidad en km / h	Tiempo en horas
100
50
150	4
75
200

Completar . Cuadro 2

Alfajores por caja	Cantidad de cajas
3
6
12	10
24
30
60

Solución Cuadro 1

100 km/ h → 6 horas ; 50 km / h → 12 horas ; 150 km / h → 4 horas ;
75 km / h → 8 horas , 200 km/ h → 3 horas

Solución Cuadro 2

3 alf x caja es 40 ; 6 es 20 ; 12 es 10 ; 24 es 5 ; 30 es 4 ; 60 es 2

Proporcionalidad directa

2011-11-05T00:20:00.000-07:00

Proporcionalidad directa: dos magnitudes , x e y , son directamente proporcionales cuando la razón entre los pares de cantidades correspondientes es constante ( y al cero le correspode el cero )

y = K → constante de proporcionalidad
x

Dadas dos magnitudes directamente proporcionales , si al multiplicar ( o dividir ) una de ellas por un número , la cantidad correspondiente a la otra magnitud queda multiplicada ( o dividida ) por el mismo número .

Completar el siguiente cuadro

Cantidad de libros	Precio
12	72
10	60
20	120
8	48
15	90

Primero debemos obtener la constante de proporcionalidad directa

y = K →   72 = 6 por lo tanto la ecuación quedara y = K . x
x               12

Para 10 libros nos queda ; y = 6 . 10 = 60

Para 20 libros nos queda ; y = 6 . 20 = 120

Para 8 libros nos queda ;    y = 6 . 8 = 48

Para obtener x , debemos despejarla de la ecuación y = K . x

x = y → y = 90 = 15
      K               6
Completar . Cuadro 1

Tiempo ( horas )	Distancia ( km )
	50
2	250
	400
	125
5

Completar . Cuadro 2

Números de entradas	Precio
6	90
8
	135
12
	150

Solución Cuadro 1

24 minutos→ 50km ; 2 horas → 250 km ; 3 horas , 12 minutos → 400 km
1 hora → 125 km ; 5 horas → 625 km

Solución cuadro 2

6 ent → 90 $ ; 8 ent → 120 $ ; 9 ent →135 $ ; 12 ent → 180 $ ; 10 ent → 150

Escala

2011-11-04T10:09:00.000-07:00

Escala :es la proporción de aumento o disminución que existe entre las dimensiones reales y las dimensiones representadas de un objeto ; para representar un objeto de grandes dimensiones, deben dividirse todas sus medidas por un factor mayor que uno, en este caso denominado escala de reducción; y para representar objetos de pequeñas dimensiones, todas sus medidas se multiplican por un factor mayor que uno, denominado escala de ampliación.Para conocer la medida real de un objeto se debe conocer la escala en que fue dibujado , es decir la proporción en que se aumentó o se lo redujo .

Se define como escala el cociente entre la longitud dibujada y la real .

E = l : L E = escala ; l = longitud del dibujo , L= longitud real

Longitud real es : L = l : E

Longitud del dibujo : l = L . E

Ejercicio : un faro de 120 metros se representó en un dibujo con 20 cm .

Solución

E = l : L → E = 20 cm : 12000 cm

Se utilizó una E = 1 / 600