Десять букв

Матрицы с нулевым определителем

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sun, 02 Jan 2022 09:42:00 +0000

Ещё одна задачка про матрицы. Рассмотрим матрицы 3х3, элементами которых могут быть только нули, единицы и двойки. Всего таким матриц будет не особо много: $3^9 = 19 683$

Вопрос: у скольких из них определитель будет равен нулю?

Напомним: определитель матрицы

$\begin{pmatrix} a_{11} & a{12} & a{13} \\ a_{21} & a{22} & a{23} \\ a_{31} & a{32} & a{33} \end{pmatrix}$

равен разности двух сумм:

$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13}$ минус $a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{23}a_{32}a_{11}$

Квадрат из натуральных чисел

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sat, 01 Jan 2022 08:48:00 +0000

Давайте начнём новый, 2022й год с интересной задачи.

Рассмотрим квадратную таблицу. Попробуем её заполнить натуральными числами так, чтобы суммы чисел во всех строках и всех столбцах были одинаковыми.

Это немного напоминает магические квадраты, но с облегчёнными условиями: числа внутри могут повторяться, а равенство сумм требуется только по строкам и столбцам, не по диагоналям.

Разумеется, можно построить сколько угодно таких квадратных таблиц, проще всего взять и заполнить её одиними единицами.

Но давайте теперь подсчитаем, сколько существует квадратов, сумма всех элементов которых равна наперёд заданному числу N.

Например, для N = 12 таких квадратов тоже 12. Смотрите:

один квадрат из одной ячейки, в которой запишем число 12.

[12]

пять квадратов из четырёх ячеек, вот такие:

[1 5] [5 1] [2 4] [4 2] [3 3]

[5 1] [1 5] [4 2] [2 4] [3 3]

и шесть квадратов из девяти ячеек:

[1 1 2] [1 1 2] [1 2 1] [1 2 1] [2 1 1] [2 1 1]

[1 2 1] [2 1 1] [1 1 2] [2 1 1] [1 1 2] [1 2 1]

[2 1 1] [1 2 1] [2 1 1] [1 1 2] [1 2 1] [1 1 2]

Понятно, квадратов большего размера, заполненных натуральными числами, сумма которых равна 12, не существует. Таки образом, существует 12 квадратов, сумма элеметов которыхравна 12, и суммы чисел в каждой строке и в каждом столбце равны.

А теперь предлагаем вам, уважаемые читатели, выяснить, сколько существует квадратов с указанным свойством, сумма всех чисел в ячейках которых равна 28? Вы, вероятно, догадываетесь, какой будет ответ ;) - тем интереснее будет перечислить их все.

Восхитительное число

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Fri, 31 Dec 2021 08:27:00 +0000

Многим любителям занимательной математики знакомы совершенные числа. Это такие числа, которые равны сумме всех своих собственных делителей (т.е. делителей, меньших самого числа). Пример совершенного числа - число 28. Оно делится на 1, 2, 4, 7 и 14, а сумма 1+2+4+7+14 = 28

Совершенных чисел очень мало. Намного чаще втречаются восхитительные числа. Это такие числа, которые сумме всех своих делителей, если один из делителей взять со знаком минус.

Как раз примером восхитительного числа является номер будущего года, число 2022.

Делителями числа 2022, меньшими его самого, являются числа: 1, 2, 3, 6, 337, 674, 1011. А значение выражения 1+2+3-6+337+674+1011 = 2022

Уважаемые читатели! Поздравляем вас с Новым, 2022-м годом! Учитывая перечисленные в нашем блоге интересные свойства числа 2022, желаем радости, счастья и восхитительных событий!

Медиана больше среднего

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Thu, 30 Dec 2021 20:52:00 +0000

Важными статистическими свойствами выборки (набора чисел) являются среднее значение и медиана. Они не тождественны.

Среднее значение - это обычное среднее арифметическое, сумма всех чисел в наборе, разделённая на их количество.

Медиана же определяется как число, которое не меньше, чем половина чисел из набора и не больше, чем другая половина чисел из набора. Найти медиану просто, если выписать все числа набора по возрастанию. Тогда медианой будет или среднее число (если чисел нечётное количество) или среднее арифметическое двух центральных чисел (при чётном общем количестве чисел).

Например, в выборке 1,2,3,5,20 среднее значение равно (1+2+3+5+20)/5 = 5.2, а медиана равна 3.

Теперь рассмотрим, к чему было такое вступление :)

Возьмём число, например 7, и рассмотрим, сколькими способами его можно представить в виде суммы натуральных чисел.

Для семёрки таких способов будет 15, вот они:

7 = 1+6 = 2+5 = 3+4 = 1+1+5 = 1+2+4 = 1+3+3 = 2+2+3 = 1+1+1+4 = 1+1+2+3 = 1+2+2+2 = 1+1+1+1+3 = 1+1+1+2+2 = 1+1+1+1+1+2 = 1+1+1+1+1+1+1

Подсчитаем для каждого набора чисел в разбиениях среднее и медиану

(7): среднее 7, медиана 7

(1, 6): среднее 3.5 медиана 3.5

(2, 5): среднее 3.5 медиана 3.5

(3, 4): среднее 3.5 медиана 3.5

(1, 1, 5): среднее 7/3 медиана 1

(1, 2, 4): среднее 7/3, медиана 2

(1, 3, 3): среднее 7/3, медиана 3

(2, 2, 3): среднее 7/3, медиана 2

(1, 1, 1, 4): среднее 1.75, медиана 1

(1, 1, 2, 3): среднее 1.75, медиана 1.5

(1, 2, 2, 2): среднее 1.75, медиана 2

(1, 1, 1, 1, 3): среднее 1.4, медиана 1

(1, 1, 1, 2, 2): среднее 1.4, медиана 1

(1, 1, 1, 1, 1, 2): среднее 7/6, медиана 1

(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1): среднее 1, медиана 1

Итак, мы видим, что среди 15 разбиений числа 7 на натуральные слагаемые, всего у двух наборов слагаемых медиана оказалась больше среднего значения. Это наборы (1, 3, 3) и (1, 2, 2, 2).

А теперь предлагаю любителям математики самостоятельно подсчитать, для скольких разбиений числа 37 на слагаемые выполняется то же свойство: медиана набора слагаемых будет больше их среднего арифметического.

Квадрат наоборот

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Wed, 29 Dec 2021 20:48:00 +0000

Вчера мы говорили о том, что квадрат числа 2022 равен 4 088 484

Если написать это число хадом наперёд, т.е. 4 848 804, то тоже выйдет квадрат! Квадрат числа 2202

Делимость степеней

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Tue, 28 Dec 2021 20:33:00 +0000

Как мы выяснили вчера, число 2022 делится на сумму своих цифр.

Оказывается, такое же свойство имеют и степени числа 2022 по 7-ю включительно. То есть:

2022² = 4 088 484. Это число делится на 36 = 4+0+8+8+4+8+4

2022³ = 8 266 914 648. Это число делится на 54 = 8+2+6+6+9+1+4+6+4+8

2022⁴ = 16 715 701 418 256. Это число делится на 54 = 1+6+7+1+5+7+0+1+4+1+8+2+5+6

2022⁵ = 33 799 148 267 713 632. Это число делится на 81= 3+3+7+9+9+1+4+8+2+6+7+7+1+3+6+3+2

2022⁶ = 68 341 877 797 316 963 904. Это число делится на 108 = 6+8+3+4+1+8+7+7+7+9+7+3+1+6+9+6+3+9+0+4

2022⁷ = 138 187 276 906 174 901 013 888. Это число делится на 108 = 1+3+8+1+8+7+2+7+6+9+0+6+1+7+4+9+0+1+0+1+3+8+8+8

Делимость на сумму цифр

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Mon, 27 Dec 2021 20:30:00 +0000

Число 2022 открывает серию из четырёх чисел, каждое из которых делится на сумму своих цифр.

2022 делится на 2+0+2+2 = 6, в частном получается 337

2023 делится на 2+0+2+3 = 7, в частном получается 289

2024 делится на 2+0+2+4 = 8, в частном получается 253

2025 делится на 2+0+2+5 = 9, в частном получается 225

Числа с таким свойством называются числами Нивена или числами харшад. Второе название происходит от санскритского "харша", «великая радость» и названы так исследовавших им Капрекаром.

Простые-кузены

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Mon, 27 Dec 2021 20:24:00 +0000

Помимо простых чисел-близнецов выделяются также простые числа-кузены. Это простые числа, разность между которыми составляет 4 (как вы помните, разность между простыми-близнецами составляет 2).

Число 2021, между прочим, является произведением простых-кузенов: 2021 = 43х47

Иллюзия синуса

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Wed, 10 Mar 2021 16:15:00 +0000

Вертикальные линии вблизи экстремумов синусоиды кажутся длиннее. Хотя все они - одинаковой длины.

Иллюзия была открыта в 1991 году Дэем и Стетчером.

Дата - палиндром

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Fri, 12 Feb 2021 14:53:00 +0000

Обалдеть! Сегодняшняя дата читается одинаково с двух сторон 12.02.2021🙃
— AnnTenna (@AnnTennKa) February 12, 2021

21

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Thu, 21 Jan 2021 08:56:00 +0000

Сегодня замечательная дата: 21й день 21го года 21го века.

Дружественные дроби

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sun, 15 Nov 2020 09:25:00 +0000

Про дружественные числа и про их расширение - компанейские числа мы писали давно. А вчера в твиттере Клиффа Пиковера попалась заметка о дружественных дробях. В отличие от дружественных чисел, это понятние не универсально, а привязано к системе счисления, однако, посмотрите, как красиво:

Берём число 819

Дробь 1/819 выглядит в виде бесконечной периодической десятичной дроби как

1/819 = 0,001221001221001221001221001221...

А если посмотреть на дробь 1/1221, то получим:

1/1221 = 0,000819000819000819000819000819...

Найдутся ли ещё пары чисел, аналогичные паре 819 и 1221?

Матрица, да возведения которой в квадрат достаточно удвоить цифры во всех её компонентах

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sat, 19 Sep 2020 08:14:00 +0000

Триттер https://twitter.com/FlammableMaths опубликовал интересную матрицу:

Приглашаем вас проверить, что это действительно так.

Логарифм суммы равен сумме логарифмов

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Fri, 18 Sep 2020 08:14:00 +0000

"Как же так?" - удивится знакомый с математикой читатель. Весь в школе нас учили, что сумма логарифмов - это логарифм произведения, а не логарифм суммы.

Но посмотрите на это верное равенство:

log (1+2+3) = log 1 + log 2 + log 3

(основание логарифма может быть любым)

Оно верно, т.к. 1+2+3 = 1x2x3

Преобразование двойного тора

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sat, 13 Jun 2020 11:08:00 +0000

Тела считаются топологически одинаковыми, если одно в другую можно перевести эластичной деформацией, без разрывов и склеек.

На этом основан интересный трюк: пластилиновый двойной тор, оставаясь самим собой, оказывается зацеплен за железную трубу не одним, а двум отверстиями

🤯 Topological Logic - a rod through one hole of a double torus can pass through both with some careful stretching of the surface. No tearing or pinching required. A fantastic video made by math professor Dave Richeson @divbyzero pic.twitter.com/uXwycAtTek
— Simon Pampena (@mathemaniac) June 10, 2020

Разбиение многоугольников на подобные

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Thu, 11 Jun 2020 17:19:00 +0000

Эд Пегг в фейсбуке опубликовал интересные чертежи, на которых многоугольники разбиваются на подобные им самим.

Спираль Эйлера

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Tue, 14 Apr 2020 13:20:00 +0000

Спираль Эйлера строится таким образом. Строим единичный отрезок. Приставляем к нему новый единичный отрезок, повёрнутый на небольшой угол а. К новому отрезку снова приставляем единичный отрезок, повёрнутый на 2а. Следующий - на 3а, и так далее. Ведёт себя эта спирать удивительным образом (как показывает встроенная гифка из Твиттера):

draw a line, and extend it deflected by a fixed angle. Continue, adding the angle again each time. The result is a Euler spiral pic.twitter.com/78Wrg8JJWJ
— Matt Henderson (@matthen2) April 13, 2020

534494836

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Mon, 06 Apr 2020 08:26:00 +0000

5⁹+3⁹+4⁹+4⁹9+9⁹+4⁹+8⁹+3⁹+6⁹ = 534494836

Это и аналогичные числа были найдены в рамках поиска интересных экспоненциальных сумм в Вольфрам-сообществе

Истинная четвёрка (от Бормора)

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Thu, 19 Mar 2020 18:02:00 +0000

- Мы все знаем и верим, что два, увеличенное в два раза, равняется четырём; это святая правда. Четвёрка всегда была, есть и будет вдвое больше двух! И кого не возмутит вздорное утверждение наших главных оппонентов, будто четыре - это всего лишь сумма двух двоек?! Как вообще могло им прийти в голову, будто великое таинство удвоения можно заменить обычным механическим сложением простых чисел, как их лживый язык повернулся высказать такое?! "Сложение - вот истинное Служение!" - слышали, наверное, да? Даже а этом проявляется их лицемерная суть, ведь в действительности сказано было "Множьте и приумножится вам!", а их вздорные лозунги появились гораздо, гораздо позднее, и имели целью лишь внести раскол в народ и разброд в умы.

Лишь умножением возможно получить истинную четвёрку, и в этом (но только в этом!) мы солидарны с нашими заблудшими братьями, которые для этих целей увеличивают в четыре раза единицу. Пусть они применяют правильный метод и даже в конечном итоге достигают желаемого результата - но исходят при этом из ложных посылок. Четвёрка превосходит вдвое даже двойку, что уж говорить о единице! Масштаб совершенно не сопоставим! Сколько ни увеличивай единицу, она никогда не уподобится четырём по-настоящему! Пусть неискушённому со стороны и покажется, что мы имеем самую настоящую четвёрку, но по сути она будет являться всего лишь непомерно умноженной единицей. Впрочем, нельзя терять надежду, что наши братья однажды отрекутся от своих досадных заблуждений и узрят свет истины.

Что же касается тех еретиков и сектантов, которые смеют утверждать, будто четвёрка - это "пять без одного", или "два в квадрате", или, хуже того, "половина от восьми" - то их мы будем неустанно и безжалостно умножать на ноль!

(с) Бормор: https://bormor.livejournal.com/791360.html

Дата-палиндром

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sun, 02 Feb 2020 20:03:00 +0000

После довольно долгого перерыва начинаются интересные даты и моменты времени. Сегодня 02.02 2020, палиндромическая дата.

Если брать и время, в конце года будут 3 палиндромических минуты: в 02:02 01.10 2020, 02:02 11.11 2020 и 02:02 21.12 2020

Задача на миллион долларов

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Fri, 10 Jan 2020 08:16:00 +0000

Рассмотрим равенство в натуральных числах
A^x+B^y=C^z,
где показатели степерь больше двух.

Во всех удовлетворяющих условию примерах числа A, B и С имеютобщий делитель. Например:
3⁶+18³=3⁸

3³ + 6³ = 3⁵

7³ + 7⁴ = 14³

Американский миллиардер Эндрю Бил, банкир и любитель математики. предложил в 1993 году премию в 100 000 долларов за нахождение контрпримера, а в 200 году повысил сумму до миллиона.

8757193191

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Thu, 09 Jan 2020 08:08:00 +0000

Это наибольшее простое число, в котором числа, образованные первми n цифрами делятся на n-е простое. То есть:
8 делится на 2
87 делится на 3
875 делится на 5
8757 делится на 7
87571 делится на 11
875719 делится на 13
8757193 делится на 17
87571931 делится на 19
875719319 делится на 23
8757193191 - простое

Факт найден в твиттере Ferma's Library

Математика и Гарри Поттер

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Fri, 13 Dec 2019 04:16:00 +0000

Из "Гарри Поттер и методы рационального мышления" Элизера Юдковского:

Гарри наградил родителей ещё одним свирепым взглядом:

— Я сознательно возражаю против идеи обязательного посещения школы, основываясь на перманентной неспособности системы школьного образования предоставить мне учителей и учебные пособия минимально приемлемого уровня.

Родители Гарри рассмеялись, как будто вдруг услышали отличную шутку.

— Ага, — сказал отец Гарри, сверкнув глазами, — теперь понятно, почему в третьем классе ты укусил свою учительницу математики.

— Она не знала, что такое логарифм!

Проект по поиску ортогональных диагональных латинских квадратов на BOINC

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Thu, 09 Nov 2017 20:45:00 +0000

Наш давний друг, Наталия Макарова, приглашает присоединиться к своему проекту составления базы данных канонических форм диагональных латинских квадратов 10-го порядка, имеющих ортогональные диагональные латинские квадраты. Необходимые определения по теме можно найти здесь:

Первые три ортогональные пары ДЛК были найдены в 1992 году, они опубликованы в статье “Completion of the Spectrum of Orthogonal Diagonal Latin Squares” (J. W. Brown и другие).

В 2012-2016 гг. действовал научный BOINC-проект SAT@home, в котором искались новые ортогональные пары ДЛК 10-го порядка.

В данном проекте были найдены 77 уникальных ортогональных пар ДЛК, которые дали 154 уникальные КФ ОДЛК. Можно посмотреть решения, найденные в проекте SAT@home, здесь:

http://sat.isa.ru/pdsat/solutions.php

В БД, составляемую в представляемом проекте, включены решения, найденные в проекте SAT@home

Присоединиться к проекту

Зеркальная дата

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sat, 07 Oct 2017 13:22:00 +0000

Сегодня 7.10.2017. Эта запись является палиндромом, т.е. может быть одинаково прочитана как слева направо, так и справа налево.