Десять букв

Ещё про 2012

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Fri, 03 Feb 2012 18:44:00 +0000

Число 2012 является половиной полусуммы 896-го простого и 896-го составного чисел.

Играем в игру и участвуем в конкурсе.

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sun, 29 Jan 2012 21:53:00 +0000

Наталия Макарова, исследователь магических квадратов, рассказала мне о конкурсе математиков-программистов. Но, чтобы принять в нём участие и, возможно, даже выиграть, программистом быть необязательно, достаточно иметь развитое логическое мышление.

В конкурсе предлагается пройти 25 уровней классической компьютерной игры Same Game. Вам всем, наверняка, встречалась подобная игровая механика. С поля, заполненного квадратиками разных цветов нужно убирать группы в 2 или более смежных квадратов одного цвета.

На сайте конкурса можно скачать программу с заданиями, там же работает и форма приёма решений.

Игроки ранжируются по количеству набранных очков. Убрав группу из n квадратов вы получаете (n-1)² баллов. Если вам удастся полностью очистить поле, то вы получите бонус, равный h*w*c/2, где h - высота поля, w - ширина, c - количество цветов.

Чтобы скопировать своё решение для отправки выбирайте Move - Solution to Clipboard.

Удачи! Вам решать, кто же победит в конкурсе - перебирающий миллионы комбинаций алгоритм или человеческая интуиция.

Деление на 10... уголком!

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Tue, 24 Jan 2012 20:08:00 +0000

При решении задачи на нахождение пропущенных цифр в числе 34! один участник олимпиады, зачем-то, начал делить это число на 10. Делил он уголком.

Кстати, а какие же цифры должны быть на месте точек и как их на самом деле нужно находить?

Ещё способ

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Wed, 18 Jan 2012 20:01:00 +0000

Ещё один простой способ генерации кода Грея связан со следующим процессом:

Начинаем с буквы А. Далее поступаем по следующем правилу: приписываем справа следующую букву, а после неё - повторяем все ранее записанные символы. После первого шага получим строку
АВА
После второго: АВАСАВА
После третьего:
АВАСАВАDАВАСАВА

Теперь возьмём двоичное число 0000 и обозначим его цифры как DCBA. Пробежимся по строке и будем менять на противоположную ту цифру, которая соответствует текущему символу в строке:
А: 0001
В: 0011
А: 0010
С: 0110
А: 0111
В: 0101
А: 0100
D: 1100
А: 1101
В: 1111
А: 1110
С: 1010
А: 1011
В: 1001
А: 1000

Как отметил наш читатель Вадим, есть ещё один рекурсивный способ: сначала получаем код Грея длины 3, записываем его сначала в прямом порядке, а потом в обратном. И дописываем перед первой половиной 0, а перед второй — 1.

Код Грея

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Tue, 17 Jan 2012 20:26:00 +0000

Рассмотрим все возможные комбинации из трёх цифр: нулей или единиц. Обычно из записывают в таком порядке:
000
001
010
011
100
101
110
111

То есть в виде двоичных представлений числе от 0 до 7. Однако эти 8 строки можно записать и так, чтобы каждая пара соседних элементов отличалась только одним символом:
000
001
011
010
110
111
101
100

Такое упорядочивание называется кодом Грея. Заметим, что первая срока от последней также отличается ровно одним символом.

Можно ли подобное сделать для шестнадцати строк от 0000 до 1111? Да, и вот какой способ формирования 4-битного кода Грея показал мне Кузнецов Сергей Тихонович.

Обозначим 4 двоичных цифры буквами A, B, C, D. А каждое из 16 чисел будет представлено ячейкой вот в такой таблице:

Если ячейка находится в колонке (строке), отмеченной буквой, в соответствующем разряде числа будет стоять единица. Иначе - ноль.

При такой разметке таблицы числа, стоящие в соседних ячейках, будут отличаться только одним разрядом. Поэтому код Грея можно сформировать, обойдя все ячейки, например, так:

Этот путь даст нам последовательность:
1100
1110
0110
0100
0101
0001
0000
0010
0011
0111
1111
1011
1010
1000
1001
1101

Её тоже можно зациклить и начинать с любого элемента.

Фокус параболы

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Fri, 13 Jan 2012 20:13:00 +0000

Парабола определяется как геометрическое место точек, для которых расстояние до данной прямой равно расстоянию до данной точки.

Эта прямая называется директрисой параболы, а точка - её фокусом.

Вектория

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sun, 08 Jan 2012 19:25:00 +0000

Уже неделя нового года, а я ничего сюда не написал. Как вы можете догадаться, работаю над новой игрой :) Но по мотивам старой цитаты с баша родилась тема для поста

xxx: купила рыбку, назвала Вектория
yyy: ВИктория
xxx: нет, Вектория
yyy: почему??
xxx: потому что скалярия :)

Игра слов здесь в том, что величина может быть скалярной или векторной. Скалярные величины не имеют направления. Это, например, масса, сумма денег на счету, электрический заряд. Для других величин направление существенно, они называются векторными. Это скорость, сила, ускорение. Любая векторная величина имеет соответствующую ей скалярную, равную модулю этого вектора.

Праймориал

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Tue, 27 Dec 2011 20:48:00 +0000

Перед Новым Годом на математических форумах вновь обретает популярность развлечение: составить из цифр 2, 0, 1 и 1 математическое выражение, значение которого равнялось бы равнялось бы некоторому наперёд заданному числу. Если в помощью четырёх знаков действий, возведения в степень и квадратного корня это оказывается сделать затруднительно, на помощь приходят более экзотические функции, например, праймориал.

Праймориал числа n - это произведение всех простых чисел, не превосходящих n. Обозначается он решёткой #. Например, праймориал 20-ти равен:
20# = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 = 9699690

5 цифр

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sat, 24 Dec 2011 17:47:00 +0000

Наш постоянный читатель и комментатор Николай составил выражение, в которое входят цифры от 1 до 5, и результатом которого является 2012, номер будущего года:

45² - 13

С цифрами от 0 до 5 получается следующее:

4 * 502 + 1 + 3

Снежное дерево

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Fri, 23 Dec 2011 13:43:00 +0000

Так хочется настоящего снега этой зимой! И я написал флеш-игру, которая использует те же алгоритмы, что и моя программа для снегопада на рабочем столе.

Двигая зажатой кнопкой мыши вы создаёте воздушные потоки, которые несут с собой снежинки. Достигнув земли, снежинки начинают формировать дерево. Цель игры - вырастив дерево, собрать висящие в воздухе подарки.

Сейчас игра участвует в конкурсе на двух сайтах, там можно поиграть и, если понравится, поддержать.
Вот - http://www.kongregate.com/games/GeneralVimes/snow-tree
и вот - http://www.newgrounds.com/portal/view/586449

2 + 2 = 5

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Thu, 22 Dec 2011 20:29:00 +0000

Сейчас в блоге всего две записи в категории софизмы: с извлечением корня и интегрированием частями.

Но самый популярный математический софизм использует неявное деление на 0. И хотя многим он напомнит о русском крейсере, всё же запосчу.

Начнём с очевидного равенства
5 - 4 = 1

Умножим левую и правую часть его на единицу:
(5 - 4)(5 - 4) = 1(5 - 4)

Раскроем скобки, не приводя подобные:
5*5 - 5*4 - 5*4 + 4*4 = 1*5 - 1*4

Преобразовываем:
5*5 - 5*4 + 4*4 = 5*4 + 1*5 - 1*4
5*5 - 5*4 = 5*4 + 1*5 - 4*4 - 1*4
5*5 - 5*4 - 1*5 = 5*4 - 4*4 - 1*4

Выносим общий множитель за скобки:
5(5 - 4 - 1) = 4(5 - 4 - 1)

И сокращаем:
5 = 4

Масла в огонь

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Wed, 21 Dec 2011 19:16:00 +0000

В копилку страхов и предсказаний, связанных с 2012 годом, добавил ещё одно забавное свойство наш читатель Николай.

Разделим жуткое число 2012 на не менее жуткое число 666. В результате в целой части будет 3, далее после запятой идёт 0, а затем будут цифры 2, 1, 0, 2, т.е. само число 2012, записанное наоборот!

2012 / 666 = 3,02102...

4 квадрата

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Wed, 21 Dec 2011 08:05:00 +0000

Чтобы получить число 2011, нужно 3 квадрата, об этом мы уже писали. А для числа 2012 даже трёх квадратов недостаточно, их нужно целых четыре!

Вот, например, так:
2012 = 33²+27²+13²+5²

Всего будет 39 подобных способов, из которых в 24 случаях все слагаемые различны.

Боначчиевич

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Fri, 16 Dec 2011 18:46:00 +0000

В прозвище Леонардо Пизанского, гениального математика Средневековья, часто норовят удвоить первую букву б и написать его "Фиббоначчи". Избежать подобной ошибки поможет знание того, что Фибоначчи - это на самом деле отчество и изначально писалось раздельно: filius Bonacci, т.е. сын Боначчи. Есть и другая версия его происхождения, но и в ней первое "Фи" означает "сын". Да и сейчас сын по-итальянски будет figlio (фильо).

А весной я писал о том, как запомнить правила правописания некоторых математических терминов.

Устный счёт

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Tue, 13 Dec 2011 16:55:00 +0000

Сегодня на Хабре avfonarev рассказал о своём приложении для iPad, в котором предлагается решать задачи в уме. Основано оно на задачнике Сергея Александровича Рачинского.

И хотя про саму картину, изображаюoe. его урок, я знал давно, даже хотел использовать как один из уровней в своей игре, о самом Рачинском и его задачнике когда-то, наверняка, читал, но забыл.

А задачник этот, «1001 задача для умственного счета», и основанное на нём приложение, оказались весьма полезными сейчас для тренировки мозгов, привыкших к калькуляторам.

Вот пример задачи оттуда, попробуйте решить устно:

У меня под огородом 1 десятина. В нем картофель занимает в 7 раз больше места, чем капуста, капуста в 7 раз больше, чем горох, горох в 7 раз больше, чем лук, а именно лук занимает 1 грядку шириною в 2 аршина. Как длинна эта грядка?
1 десятина = 2400 кв.саженям
1 сажень = 3 аршина

У меня получилось :) Кстати, года 2 назад я писал пост об онлайн-библиотеках, где можно найти материалы для подготовки к олимпиадам. Задачник оттуда тоже можно скачать.

Четырёхзначные числа

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sun, 11 Dec 2011 08:23:00 +0000

Существует ровно 2012 четырёхзначных числа, которые не делятся ни на одну из своих цифр.

16 способов

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sat, 10 Dec 2011 08:21:00 +0000

Есть 16 способов представить число 2012 в виде суммы простого числа и квадрата.

Троичная система

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Fri, 09 Dec 2011 06:20:00 +0000

Т.к. все цифры в записи числа 2012 меньше трёх, то его можно рассмотреть как запись некоторого числа в троичной системе. Таким числом будет 2x3³+0x3²+1x3¹+2x3⁰=54+3+2=59.

Кстати, простое число 59 является решением одного из вариантов задачи о раскладывании предметов:
Торговка пыталась разложить яйца поровну в 2, 3, 4, 5 или 6 корзин, но каждый раз оставались лишними 1, 2, 3, 4 или 5 яиц, соответственно. Найдите их наименьшее возможное количество.

А каким бы был ответ задачи, если бы при таком раскладывании всегда оставалось одно лишнее яйцо и корзины бы не оказывались пустыми?

Степени двойки

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Thu, 08 Dec 2011 08:03:00 +0000

Все цифры числа 2012 являются или степенью двойки или нулём. Это же свойство имеет и квадрат числа 2012, число 4048144.

Нули и единицы

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Wed, 07 Dec 2011 08:00:00 +0000

Оказывается, существует ровно 2012 последовательностей из 12 нулей и единиц, в которых группа цифр 001 встречается только 1 раз.

Также в 2012 последовательностях из 12 нулей и единиц будут равное число раз встречаться группы 0001 и 0100.

А если рассмотреть последовательности длины 13, то в 2012 из них не найдётся ни 0001, ни 0011.

Венера

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Tue, 06 Dec 2011 00:17:00 +0000

Кроме уже указанных астрономически-календарных свойств 2012 года, в нём произойдёт ещё одно замечательное событие: прохождение Венеры по диску Солнца.

Оно случится 6 июня. Предыдущий раз это было в 2004 году, а следующий наступит аж в 2117.

2012!

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Mon, 05 Dec 2011 19:17:00 +0000

В факториале числа 2012 содержится 5776 цифр, это квадрат числа 76.

Такое, чтобы количество цифр в факториале номера года было полным квадратом, в прошлый раз случалось в 1921 году, а следующий раз будет только в 2105 году.

Кстати, число 76 интересно само по себе также тем, любая его степень оканчивается на 76. Из двузначных чисел таким свойством обладает также число 25. А существуют ли трёхзначные числа, которые совпадают с трёхциферными окончаниями своих степеней?

8

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Fri, 02 Dec 2011 19:00:00 +0000

По-английски 8 (eight) произносится так же как и глагол "съесть" в прошедшем времени (ate). На этом основана английская шутка:

- Почему шестёрка боится семёрки?
- Потому, что 7, 8, 9!

(по английски 7, 8, 9 звучит как seven ate nine, т.е. семёрка съела девятку).

Как сложить числа

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Thu, 01 Dec 2011 19:50:00 +0000

Когда был Гаусс маленький, с кудрявой головой...

В общем, великий математик Карл Фридрих Гаусс, тоже учился в школе. В школе этой в одном классе занимались дети разных лет. И вот, чтобы надолго занять малышей, учитель предложил им подсчитать сумму всех чисел от 1 до 100: 1+2+3+...+100.

Но пока учитель диктовал условие, маленький Гаусс уже быстро сообразил, что суммы крайних чисел в этой последовательности постоянны: 1+100=2+99=3+98=...=50+51=101. И, так как таких пар будет 50, искомый результат равен 5050.

Впрочем, эту историю наверняка вы уже где-то читали. А кто тогда сможет сказать, что это за крейсер?

Восстановите шедевры живописи

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sat, 26 Nov 2011 12:55:00 +0000

Сегодня в большой интернет я выпустил свою новую игру, Save the Paintings. В ней вам нужно спасти всемирно известные картины, которые внезапно исчезли.

Умение рисовать не нужно - главное правильно расположить элементы.

Игра есть здесь и здесь. На обоих порталах проходит конкурс и, если игра понравится, можно поддержать её своими голосами.