Siso Matemáticas

Ejemplos factorización: factor común

2021-08-20T10:07:00.008-05:00

Ejemplos factorización: factor común

Cuando un polinomio es descompuesto en factores, nos estamos refiriendo a factorización. Los casos de factorización más comunes son:

Factor común
Factor común por agrupación
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma $x^2+bx+c$
Trinomio de la forma $ax^2+bx+c$

Cuándo aplicar factor común

Se aplica factor común cuando hay elementos comunes entre varias expresiones algebraicas que componen al polinomio. Por ejemplo:

$x^{2}+2x$

En el binomio se encuentra que la $x$ es un elemento común a los términos. Sin embargo, las letras no es lo único que se puede hallar en común:

$10m^2+20m^4n^2-35m^5n$

En el trinomio hay en común la $m^2$ y también en que todos los términos son múltiplos de $5$ .

Procedimiento para aplicar el factor común

Hallar el término algebraico que es común a TODOS términos que componen el polinomio.
Dividir cada término entre el factor común.
Escribir el factor común y al lado entre paréntesis los resultados de la división.

Ejemplos

Ejemplo 1

$x^{2}+2x$

Factor común: $x$
Las divisiones:
$\frac{x^2}{x}=x$

$\frac{2x}{x} = 2$

El resultado es:
$x^{2}+2x = x(x+2)$

Donde:

$\overbrace{x}^{\text{Factor común}}$
$\underbrace{(x+2)}_{\text{Resultados de las divisiones}}$

Ejemplo 2

$10m^2+20m^4n^2-35m^5n$

Factor común: $5m^2$
Las divisiones:
$\frac{10m^{2}}{5m^{2}} =2$

$\frac{20m^{2} n^{2}}{5m^{2}} =4m^{2} n^{2}$

$\frac{35m^{5} n}{5m^{2}} =7m^{3} n$

El resultado es:
$5m^{2}(2+4m^{2} n^{2} - 7m^{3} n)$

Donde:

$\overbrace{5m^{2}}^{\text{Factor común}}$
$\underbrace{(2+4m^{2} n^{2} - 7m^{3} n)}_{\text{Resultados de las divisiones}}$

Ejemplo 3

$24a^2xy^2-36x^2y^4$

El resultado es:
$24a^2xy^2-36x^2y^4 = 12xy^2(2a^2-3xy^2)$

Donde:
$\overbrace{12xy^2}^{\text{Factor común}}$
$\underbrace{(2a^2-3xy^2)}_{\text{Resultados de las divisiones}}$

Ejemplo 4

$4x^2-8x+2$

El resultados es:
$4x^2-8x+2 = 2(x^2-4x+1)$

Donde:

$\overbrace{2}^{\text{Factor común}}$
$\underbrace{(x^2-4x+1)}_{\text{Resultados de las divisiones}}$

Ejemplos de productos notables 2

2021-08-14T23:10:00.000-05:00

Los productos notables se pueden comprender como «multiplicaciones abreviadas» de expresiones algebraicas. Los tres casos más frecuentes son:

$ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $
$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $
$ (a+b)(a-b)=a^2 - b^2 $

--> EJEMPLO 1 $ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $

$ (2x+3y)^2$

Se halla inicialmente $ a^2 $, que corresponde a $ (2x)^2 $.

Luego, $ 2ab $, eso es, $ 2(2x)(3y) $.

Finalmente, el término $ b^2 $, $ (3y)^2 $.

Para terminar, se hacen las operaciones: $ (2x)^2=4x^2 $; $ 2(2x)(3y)=12xy $; $ (3y)^2=9y^2 $. Queda entonces así:

Solución al producto notable $ (a+b)^2 $

--> EJEMPLO 2 $ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $

$ (m-5n^2)^2 $

El término correspondiente a $ a^2 $ es $ (m)^2 $.

Para la expresión $ 2ab $ es $ 2(m)(5n^2) $.

Y para $ b^2 $ es $ (5n^2)^2 $.

Finalmente, se hacen los cálculos: $ (m)^2 = m^2 $; $ 2(m)(5n^2) = 10mn^2 $; $ (5n^2)^2 = 25n^4 $. El resultado es:

Solución del producto notable $ (a-b)^2 $

--> EJEMPLO 3 $ (a+b)(a-b) = a^2-b^2 $

$ (7p+10)(7p-10) $

El primer término es, $ a^2 = (7p)^2 $

Y el segundo, $ b^2 = (10)^2 $

Por último, se realizan los cálculos de $ (7p)^2 = 49p^2 $ y $ (10)^2 = 100 $, de modo que se obtiene:

$ (7p+10)(7p-10) = 49p^2-100 $

Ejemplos de Teorema de Pitágoras

2021-08-13T17:37:00.000-05:00

El teorema de Pitágoras es ampliamente usado en los primeros grados del bachillerato, principalmente porque es la introducción al estudio de las relaciones trigonométricas. Además, la expresión es bastante sencilla, la cual establece la relación entre los cuadrados de los lados se un triángulo rectángulo cualquiera: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos. Esto es:

$ c^2 = a^2 + b^2 $

Donde $ c $ es la hipotenusa, $ a $ y $ b $ son los catetos del triángulo.

Fig.1: Hipotenusa c, y catetos a y b de un triángulo rectángulo

A partir del teorema de Pitágoras es posible hallar la longitud de cualquier lado si se saben las longitudes de los otros dos. Para hallar $ a $ se requiere conocer $ c $ y $ b $, para lo cual se despeja $ a $ y queda así:

$ a^2 = c^2 - b^2 $

Para hallar $ b $ será:

$ b^2 = c^2 - a^2 $

--> Ejemplo 1

Calcular la hipotenusa si los catetos miden 3 cm y 4 cm.

Fig. 2: Ejemplo 1

SOLUCIÓN

Para el triángulo se tiene que $ a = 3 \ cm $ y $ b = 4 \ cm $. Se reemplazan estos valores en el teorema de Pitágoras.

$ c^2 = a^2 + b^2 $

$ c^2 = (3 \ cm)^2 + (4 \ cm)^2 $ ⬅️ Sustitución de los valores

$ c^2 = 9 \ cm^2 + 16\ cm^2 $ ⬅️Resolución de los cuadrados

$ c^2 = 25 \ cm^2 $ ⬅️Se obtiene haciendo la suma de $ 9 \ cm^2 $ y $ 16 \ cm^2 $

$ c = \sqrt{25 \ cm^2} $ ⬅️ Se calcula la raíz cuadrada para obtener el valor de $ c $

$ c = 5 \ cm $ ⬅️Finalmente, se obtiene el valor de la hipotenusa $ c $

--> Ejemplo 2

Hallar la longitud del lado desconocido cuando los otros lados son $ c = 12 $ y $ a = 10 $.

Fig. 3: Ejemplo 2

SOLUCIÓN

Ya que se desconoce $ b $, se hace uso de la expresión $ b^2 = c^2 - a^2 $.

$ b^2 = c^2 - a^2 $

$ b^2 =(12)^2 - (10)^2 $ ⬅️ Sustitución de los valores

$ b^2 = 144 - 100 $ ⬅️Resolución de los cuadrados

$ b^2 = 44 $ ⬅️Se obtiene haciendo la resta de $ 144 $ y $ 100 $

$ b^2 = \sqrt{44} $ ⬅️ Se calcula la raíz cuadrada para obtener el valor de $ b $

$ b^2 = 6.63 $ ⬅️Finalmente, se obtiene el valor de la hipotenusa $ b $

Ejemplo de medidas de tendencia central

2021-08-06T16:03:00.000-05:00

Cuando se intenta analizar un grupo de datos obtenido de una muestra o población, se recurre frecuentemente a las medidas de tendencia central, en tanto que ellas pueden dar cuenta del comportamiento del objeto de estudio.

Las medidas de tendencia central son:

MEDIA

$ M = \frac{\Sigma x_i \cdot f_i}{n} $

MEDIANA

Ordenar los datos de menor a mayor.

Si $ n $ es par:

Se calcula el valor medio de los datos que está en las posiciones aledañas a la mitad de los datos.

$ M_e = \frac{d_1 +d_ 2}{2} $

Donde $ d_1 $ es el dato que está en la posición $ \frac{n}{2} $, y $ d_2 $ es el que está en $ \frac{n}{2} + 1 $.

Si $ n$ es impar:

En este caso la mediana, $ M_e $ es el dato que está en la posición $ \frac{n+1}{2} $.

MODA

Es el dato que más veces aparece en el conjunto de datos estudiado.

Ejemplo:

Se consulta la edad a un curso de 16 estudiantes y se busca hallar la media, la mediana y la moda. Los datos están consignados en la siguiente imagen.

Antes de iniciar el calulo de las medidas de tendencia central, se debe hacer un conteo de cada dato, esto es, determinar la cantidad de veces que se repite un dato. Esto recibe el nombre de Frecuencia absoluta. A partir de los datos, se tiene:

La media será:

$ M = \frac{\Sigma x_i \cdot f_i}{n}= \frac{15 \cdot 2 + 16 \cdot 5 + 17 \cdot 7 + 18 \cdot 2}{16} $

$ M = \frac{30 +80 + 119 +36}{16} $

$ M = \frac{265}{16} $

$ M = 16.56 $

La media de las edades del curso es $ 16.56 $ años.

La mediana será:

Datos organizados de menor a mayor: 15, 15, 16, 16, 16 , 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17 ,17, 17, 18, 18.

Ya la cantidad de datos es par se determina las posiciones $ \frac{n}{2} $ y $ \frac{n}{2} + 1 $.

$ \frac{n}{2} = \frac{16}{2} = 8 $

$ \frac{n}{2} + 1 = \frac{16}{2} + 1 = 9 $.

Entonces, $ d_1 = 17 $ porque está en la posición 8 y $ d_2 = 17 $ porque está en la posición 9.

$ M_e = \frac{d_1 + d_2}{2} = \frac{17 + 17}{2} = 17 $

La mediana de los datos es 17 años.

El dato que tiene más repeticiones es el 17, por lo que la moda es 17.

$ M_o = 17 $ años.

Ejemplo de productos notables 1

2021-08-05T12:43:00.001-05:00

Los productos notables suelen interpretarse como multiplicaciones de expresiones algebraicas breves. Sin embargo es posible obtener una interpretación gráfica cuando se consideran áreas de cuadrados. En esta ocasión se realizan ejemplos de los tres casos más frecuentes:

$ (a+b)^2 $
$ (a-b)^2 $
$ (a+b)(a-b) $

En el primer caso, $ (a+b)^2 $ se obtiene $ a^2 + 2ab +b^2 $. Esto es: $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2 $. Respecto al segundo, se tiene una diferencia con el primer caso, el segundo término de la solución es negativo: $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab +b^2 $. Finalmente, en el tercer caso, la solución es el primer término al cuadrado MENOS el segundo término al cuadrado: $ (a+b)(a-b)=a^2 - b^2 $.

¿Cómo resolver un ejercicio del primer caso?

EJERCICIO 1: $ (3m+n)^2 $

-- Primero: identificar a qué corresponde $ a $ y $ b $.

Para el ejercicio propuesto, $ a=3m $ y $ b=n $.

-- Segundo: obtener $ a^2 $.

Se tiene, $ a^2 = (3m)^2 = 9m^2 $.

En el ejercicio: $ (3m+n)^2 = 9m^2 $.

-- Tercero: obtener $ 2ab $.

A partir del ejercicio, $ 2ab = 2(3m)(n) = 6mn $.

En el ejercicio, $ (3m+n)^2 = 9m^2 + 6mn $.

-- Cuarto: obtener $ b^2 $.

Entonces, $ b^2 = (n)^2 = n^2 $.

-- Finalmente el resultado: $ (3m+n)^2 = 9m^2 + 6mn + n^2 $

EJERCICIO 2: $ (2x - y^2z)^2 $

-- Primero: identificar a qué corresponde $ a $ y $ b $.

Para el ejercicio propuesto, $ a=2x $ y $ b=y^2z $.

-- Segundo: obtener $ a^2 $.

Se tiene, $ a^2 = (2x)^2 = 4x^2 $.

En el ejercicio: $ (2x-y^2z)^2 = 4x^2 $.

-- Tercero: obtener $ 2ab $.

A partir del ejercicio, $ 2ab = 2(2x)(y^2z) = 4xy^2z $.

En el ejercicio, $ (2z-y^2z)^2 = 4x^2 + 4xy^2z $.

-- Cuarto: obtener $ b^2 $.

Entonces, $ b^2 = (y^2z)^2 = y^4n^2 $.

-- Finalmente el resultado: $ (4x-y^2z)^2 = 4x^2 -4xy^2z + y^4z^2 $

EJERCICIO 3: $ (6m+9)(6m-9) $

-- Primero: identificar a qué corresponde $ a $ y $ b $.

Para el ejercicio propuesto, $ a=6m $ y $ b=9 $.

-- Segundo: obtener $ a^2 $.

Se tiene, $ a^2 = (6m)^2 = 36m^2 $.

En el ejercicio: $ (6m+9)(6m-9) = 36m^2 $.

-- Tercero: obtener $ b^2 $.

Entonces, $ b^2 = (9)^2 =81 $.

-- Finalmente el resultado: $ (6m+9)(6m-9) = 36m^2 -81 $

Ejemplo de productos notables

2021-08-05T12:43:00.000-05:00

$ (a+b)^2 $
$ (a-b)^2 $
$ (a+b)(a-b) $

¿Cómo resolver un ejercicio del primer caso?

EJERCICIO 1: $ (3m+n)^2 $

-- Primero: identificar a qué corresponde $ a $ y $ b $.

Para el ejercicio propuesto, $ a=3m $ y $ b=n $.

-- Segundo: obtener $ a^2 $.

Se tiene, $ a^2 = (3m)^2 = 9m^2 $.

En el ejercicio: $ (3m+n)^2 = 9m^2 $.

-- Tercero: obtener $ 2ab $.

A partir del ejercicio, $ 2ab = 2(3m)(n) = 6mn $.

En el ejercicio, $ (3m+n)^2 = 9m^2 + 6mn $.

-- Cuarto: obtener $ b^2 $.

Entonces, $ b^2 = (n)^2 = n^2 $.

-- Finalmente el resultado: $ (3m+n)^2 = 9m^2 + 6mn + n^2 $

EJERCICIO 2: $ (2x - y^2z)^2 $

-- Primero: identificar a qué corresponde $ a $ y $ b $.

Para el ejercicio propuesto, $ a=2x $ y $ b=y^2z $.

-- Segundo: obtener $ a^2 $.

Se tiene, $ a^2 = (2x)^2 = 4x^2 $.

En el ejercicio: $ (2x-y^2z)^2 = 4x^2 $.

-- Tercero: obtener $ 2ab $.

A partir del ejercicio, $ 2ab = 2(2x)(y^2z) = 4xy^2z $.

En el ejercicio, $ (2z-y^2z)^2 = 4x^2 + 4xy^2z $.

-- Cuarto: obtener $ b^2 $.

Entonces, $ b^2 = (y^2z)^2 = y^4n^2 $.

-- Finalmente el resultado: $ (4x-y^2z)^2 = 4x^2 -4xy^2z + y^4z^2 $

EJERCICIO 3: $ (6m+9)(6m-9) $

-- Primero: identificar a qué corresponde $ a $ y $ b $.

Para el ejercicio propuesto, $ a=6m $ y $ b=9 $.

-- Segundo: obtener $ a^2 $.

Se tiene, $ a^2 = (6m)^2 = 36m^2 $.

En el ejercicio: $ (6m+9)(6m-9) = 36m^2 $.

-- Tercero: obtener $ b^2 $.

Entonces, $ b^2 = (9)^2 =81 $.

-- Finalmente el resultado: $ (6m+9)(6m-9) = 36m^2 -81 $

Conjuntos numéricos

2021-08-04T09:52:00.000-05:00

A lo largo de la vida escolar se estudian diferentes conjuntos numéricos. El conjunto inicial es el Natural, $ N $ .

Fig.1: Ejemplos de números enteros.

Después de aprender los rudimentos de las operaciones básicas, se incorporan los números negativos, y con eso, se aprenden las operaciones con los números enteros $ Z $ .

Fig. 2: Ejemplos de números enteros.

Con los números enteros se introduce la idea de la multiplicación de los signos, que luego se aplicarán a los conjuntos siguientes. Luego se aprenden a operar con números racionales $ Q $, que son la generalización de los números fraccionarios que vieron en primaria.

Fig. 3: Ejemplos de números racionales.

El conjunto de los irracionales ($ I $) van de la mano del concepto de número racional. Su particularidad es que no está contenido en ningún grupo visto hasta el momento. Por eso aparece fuera de cualquier conjunto.

Fig. 4: Ejemplos de números irracionales

Por último, todos los conjuntos anteriores se reúnen en un solo conjunto: los Reales, $ R $. Los reales es el último conjunto visto a profundidad en secundaria. Este conjunto contiene a todos los demás, lo cual permite hacer operaciones entre cualquier tipo de número, sea natural, entero, racional o irracional.

Fig. 5: NÚMEROS REALES

A continuación, se puede ver un gif los conjuntos de números.

Ejemplo de Trabajo de un gas ideal cuando la presión es constante

2021-08-02T16:44:00.000-05:00

Un gas ideal se comprime lentamente a una presión constante de 2 atm, de 10 L a 2 L. Este proceso se representa en la figura como la trayectoria B a D. (En este proceso, parte del calor fluye hacia fuera del gas y la temperatura disminuye.) Calcule el trabajo total que realiza el gas en el proceso BD (ver Fig. 1).

Fig. 1: Proceso termodinámico desde el punto B a D.

Ya que el cambio del volumen se realiza a presión constante, el trabajo es:

$ W= -P(V_f -V_i) $

Donde,

$ P=2 \cdot 1,013 \times 10^5 \ Pa $

$ V_f = 2 \ L = 2 \times 10^{-3} \ m^3 $

$ V_i = 10 \ L = 10 \times 10^{-3} \ m^3 $

Reemplazando:

$ W = - (2 \cdot 1,013 \times 10^5 \ Pa)(2 \times 10^{-3} \ m^3 - 10 \times 10^{-3} \ m^3) $

$ W = 1,6 \times 10^3 \ j $

El trabajo es positivo lo que indica que es trabajo SOBRE EL SISTEMA (SOBRE EL GAS).

Ejemplo de una caja que desciende en un plano inclinado sin fricción

2021-08-02T11:23:00.000-05:00

En un plano inclinado la aplicación de las leyes de Newton es algo peculiar ya que se requiere usar el plano cartesiano paralelo al plano inclinado con el objetivo de facilitar los cálculos.

Fig. 1: Plano cartesiano en un plano inclinado

Una vez se cuente con el plano cartesiano se representan las fuerzas presentes: el peso y la normal.

Fig. 2: Peso y fuerza normal en un plano inclinado

Ahora se muestran la componentes $ x $ y $ y $ del peso ($ w $).

Componentes x y y del peso (w)

Ya que la caja se mueve exclusivamente en el eje $ x $, la ecuación de movimiento corresponde al componente $ x $ del peso, $ w_x $.

$ -w_x = ma $

$ -w_x=w \cdot \sin \theta $

Entonces,

$ -w \cdot \sin \theta = ma $

$ -mg \cdot \sin \theta = ma $

Simplificando,

$ -g \cdot \sin \theta = a $

De modo que la aceleración de un objeto que se desliza sin fricción en un plano inclinado depende del valor de la gravedad $ g $ y del ángulo de inclinación $ \theta $.

La aceleración $ a $ cuando $ \theta = 30º $ en La Tierra es:

$ a = -g \cdot \sin \theta $

$ a = (-9,8 m/s^2)(\sin 30º) $

$ a = -4,9 m/s^2 $

Ejemplo de leyes de Newton: una caja sobre una superficie horizontal sin fricción

2021-08-01T18:35:00.000-05:00

EJERCICIO: Una caja de 10 kg el jalada con una fuerza de F = 40 N y es ejercida con un ángulo de θ = 30º. Calcular:

La aceleración
La fuerza normal

A partir del enunciado se extraen los datos explícitos e implícitos:

$F = 40 \ N$
$ \theta = 30º $
$ m = 10 \ kg $

Ahora se realiza el diagrama de cuerpo libre (DCL) del objeto (Fig. 1):

Fig. 1: Diagrama de cuerpo libre

Para hallar la aceleración $ a $ se plantea la ecuación a partir de las fuerzas presentes en el eje $ x $ (ver Fig. 2).

Fig. 2: Fuerzas en el eje x

Fuerzas en $ x $:

$ F_x =ma $

$ F \cdot \cos \theta = ma $

Despejando $ a $:

$ \frac{F \cos \theta}{m} = a $

Reemplazando:

$ \frac{40 \ N \cdot \cos (30º)}{10 \ kg} = a $

$ \frac{34,6 \ N}{10 \ kg} = a $

$ 3,46 \ m/s^2 = a $

La aceleración de la caja es $ 3,46 m/s^2 $

Finalmente, para calcular el valor de la fuerza normal $ N $, se plantea la ecuación a partir de las fuerzas en el eje $ y $ (ver Fig.3 ).

Fig 3: Fuerzas en el eje y

Fuerzas en $ y $:

$ N+F_y -w = 0 $

Despejando la $ N $:

$ N = -F_y + w $

Entonces,

$ N = -F \sin \theta + w $

$ N = -F \sin \theta + mg $

Reemplazando los valores:

$ N = (-40 \ N)(\sin 30º) + (10 \ kg)(9,8 \ m/s^2) $

$ N = -20 \ N+98 \ N $

$ N = 78 \ N $

La fuerza normal es $ 78 \ N $

Fuerza Normal

2021-08-01T17:49:00.000-05:00

Cuando un objeto reposa sobre una mesa, por ejemplo, se encuentra que la mesa aplica una fuerza perpendicular sobre el objeto, $ N $. La. magnitud es proporcional al producto de la masa y la gravedad:

$ N=mg $

La fuerza normal es una fuerza de contacto ya que está presente cuando dos cuerpos están en contacto.

Peso (Física)

2021-08-01T12:37:00.000-05:00

Figura 1: Diagrama de Cuerpo Libre del peso (w)

Un objeto que se encuentra cercano a un planeta, como es el caso de todos los objetos que están en La Tierra, experimentan atracción hacia el centro del planeta. Esa atracción es una fuerza que tiene dirección negativa considerando el uso frecuente del plano cartesiano.

La magnitud de esa fuerza es el producto de la masa por el valor de la gravedad en el planeta, y la letra que se emplea para designarla es $w$:

$ w=-mg $

NOTA: La gravedad en La Tierra es: $ g=9,8 \ m/s^2 $.

Ejemplo de multiplicación de términos algebraicos con exponentes literales

2021-07-29T12:13:00.000-05:00

Un término algebraico con exponente literal es aquel que tiene como exponente cualquier letra. Ejemplo:

$-2x^{m}$

Cuando se multiplican dos más términos se debe expresar la suma de los exponentes así:

$ (3x^m)(-5x^n) = -15m^{m+n}$

Como se puede ver, en el exponente del resultado se expresa la suma de los exponentes $ m $ y $ n $.

Más ejemplos

$ (m^2)(m^{z}) = m^{z+2} $

$ (-4x^{p})(-7x^{p}) = 28x^{2p} $

$ (-xy)(9xy^{4m}) = -9x^2y^{4m+1}$

$ (2y^{m+1})(-8y^{m-5}) = -16y^{2m-4} $

Ejemplo movimiento parabólico

2021-01-26T21:21:00.000-05:00

Ejercicio: Un proyectil se dispara en tal forma que su alcance horizontal es igual a tres veces su altura máxima. ¿Cuál es el ángulo de proyección?

SOLUCIÓN

Lo que hay que hallar:

$ \theta = ? $

Se usaran las expresiones de alcance máximo y de altura máxima:

Alcance máxima

$ h = \frac{v_i^2 \cdot \sin (2 \theta)}{g} \ (1) $

Altura máxima

$ y_{max} = \frac{v_i^2 \cdot \sin^2 \theta}{2g} $

De acuerdo al problema $ h = 3y_{max} $, por lo tanto:

$ 3 y_{max} = 3 \frac{v_i^2 \cdot \sin^2 \theta}{2g}$

$ h = 3 \frac{v_i^2 \cdot \sin^2 \theta}{2g} \ (2) $

Igualando $ (1) $ y $ (2) $

$ \frac{v_i^2 \cdot \sin (2 \theta)}{g} = 3\frac{v_i^2 \cdot \sin^2 \theta}{2g} $

Haciendo la simplificación se obtiene:

$ \sin (2 \theta) = \frac{3}{2} \sin^2 \theta $

Aplicando la identidad trigonométrica de ángulos dobles para $ \sin $:

$ 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{3}{2} \sin^2 \theta $

$ \frac{\sin \theta \cos \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{3}{4} $

Simplificando,

$ \frac{ \cos \theta}{ \sin \theta} = \frac{3}{4} $

$ \frac{4}{3} = \tan \theta $

$ \tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right) = \theta $

El ángulo de proyección es:

$ \theta = 53,1º $

Ejemplo de movimiento en dos dimensiones

2021-01-23T22:00:00.000-05:00

Ejercicio

Una bola se lanza desde una ventana en un piso superior de un edificio. A la bola se le da una velocidad inicial de 8.00 m/s a un ángulo de 20.0° bajo la horizontal. Golpea el suelo 3.00 s después. a) ¿A qué distancia, horizontalmente, desde la base del edificio, la bola golpea el suelo? b) Encuentre la altura desde la que se lanzó la bola. c) ¿Cuánto tarda la bola en llegar a un punto 10.0 m abajo del nivel de lanzamiento?

SOLUCIÓN

Datos conocidos del problema:

$ \theta = 20 $º
$ v_i = 20 \ m/s $
$ t = 3 \ s $

Lo que hay que hallar:

$ x = ? $ cuando 
$ y_i = ? $
$ t = ? $ cuando $ \Delta y = 10 \ m $

Para calcular $ x $ cuando $ t = 3 \ s $

$ v_x = v_i \cdot \cos \theta $

$ v_x = (8 \ m/s)(\cos(20º)) $

$ v_x = 7,51 \ m/s $

$ x = v_x \cdot t $

$ x = (7,51 \ m/s)(3 \ s) $

$ x = 22,53 \ m $

La distancia recorrida horizontalmente en $ 3 \ s $ es $ x = 22,53 \ m $

Para calcular $ y_i $

Se va a usar la ecuación $ 2gy = v_{fy}^2 - v_{iy}^2 $, por lo tanto se hallará $ v_{iy} $ y $ v_{fy} $.

$ v_{iy} = v_i \cdot \sin \theta $

$ v_{iy} = (8 \ m/s)(\sin(20º)) $

$ v_{iy} = 2,73 \ m/s $

Debido que el ángulo es bajo la horizontal, $ v_{iy} = -2,73 \ m/s $

$ v_{fy} = v_{iy} + at $

$ v_{fy} = -2,73 \ m/s -(9,8 \ m/s^2)(3 \ s) $

$ v_{fy} = 32,13 \ m/s $

$ 2gy = v_{fy}^2 - v_{iy}^2 $

Ahora $ y_i $ será:

$ y_i = \frac{v_{fy}^2-v_{iy}^2}{2g} $

$ y_i = \frac{(32,13 \ m/s)^2 - (2,73 \ m/s)^2}{2(9,8 \ m/s^2)} $

$ y_i = 52,29 \ m $

La altura inicial con la fue lanzada al bola fue $ y_i = 52,29 \ m $

Para hallar $ t $ cuando $ \Delta y = 10 \ m $

$ y = y_i - 10 \ m $

$ y = 52,29 \ m - 10 \ m $

$ y = 42,29 \ m $

$ y = y_i + v_{iy}t - \frac{gt^2}{2} $

$ 0 = \frac{-gt^2}{2} + v_{iy}t - \Delta y $

$ 0 = -4,9t^2 - 2,73t + 10 $

Solucionando de acuerdo con la ecuación cuadrática:

$ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-(-2,73) \pm \sqrt{(-2,73)^2-4(-4,9)(10)}}{2(-4,9)} $

$ t = 1,17 \ s $

La bola tarda $ 1,17 \ s $ en bajar $ 10 \ m $

Ejemplo de caída libre

2021-01-13T17:37:00.000-05:00

Ejercicio. Se golpea una pelota de beisbol de modo que viaja recto hacia arriba después de ser golpeada por el bat. Un aficionado observa que a la bola le toma 3.00 s llegar a su máxima altura. Encuentre a) la velocidad inicial de la bola y b) la altura que alcanza.

SOLUCION:

Datos conocidos del problema:

$ t = 3 \ s $

Lo que hay que encontrar:

$ v_i $ (velocidad en y)
$ y $

Para calcular la $ v_i $:

$ v_f = v_i + at $

Dado que $ a $ corresponde a la aceleración $ g $,

$ v_f = v_i + gt $

Ya que a la altura máxima la $ v_f = 0 $,

$ 0 = v_i + gt $

Entonces,

$ v_i = -gt $

$ v_i = -(-9,8 \ m/s^2)(3 \ s) $

$ v_i = 29,4 \ m/s $

La velocidad inicial es: $ 29,4 \ m/s $

Para hallar la altura máxima $ y $:

$ 2gy = v_{f}^{2} - v_{i}^{2} $

Otra vez, $ v_f = 0 $ en la altura máxima,

$ 2gy = - v_{i}^{2} $

Ahora, se tiene,

$ y = \frac{-v_{i}^{2}}{2g} $

$ y = \frac{-(29,4 \ m/s)^2}{2 \cdot (-9,8 \ m/s^2)} $

$ y=44,1 \ m $

Ejemplo de movimiento con aceleración uniforme en una dimensión

2021-01-12T18:15:00.000-05:00

Ejercicio: Un camión cubre 40.0 m en 8,50 s mientras frena de manera uniforme a una rapidez final de 2,80 m/s. a) Encuentre su rapidez original. b) Encuentre su aceleración.

SOLUCIÓN:

Datos conocidos del problema:

$ x_f - x_i = x = 40 \ m $
$ t = 8,5 \ s $
$ v_f = 2,8 \ m/s $

Lo que hay que encontrar:

$ v_i = ? $
$ a = ? $

Planteamiento de las ecuaciones para la solución del problema:

Teniendo en cuenta que no se puede plantear una sola ecuación que permita hallar una de las variables solicitadas, se realiza un sistema de ecuaciones con dos variables. El sistema de ecuaciones es:

\[ (1) \ 2ax=v_{f}^{2}-v_{i}^{2} \]

\[ (2) \ a = \frac{v_f-v_i}{t} \]

Solución del sistema de ecuaciones:

Reemplazando $ (2) $ en $ (1) $:

\[ 2 \left( \frac{v_f-v_i}{t} \right) x = v_{f}^{2} - v_{i}^{2} \]

\[ \left(\frac{2x}{t} \right) v_f -\left( \frac{2x}{t} \right) v_i = v_{f}^{2} - v_{i}^{2} \]

Con el objetivo de simplificar, considérese $ \alpha = \frac{2x}{t} $. Entonces,

\[ \alpha v_f - \alpha v_i = v_{f}^{2} - v_{i}^{2} \]

\[ v_{i}^{2} - \alpha v_i + \alpha v_f - v_{f}^{2} = 0 \]

Siendo que $ \alpha v_f - v_{f}^{2} $ es el resultado de operaciones entre constantes, se puede hacer el reemplazo por una letra. En este caso por $ \beta $:

\[ v_{i}^{2} - \alpha v_i + \beta = 0 \]

Para hallar $ v_i $ se debe resolver la ecuación cuadrática anterior teniendo en cuenta que $ \alpha $ y $ \beta $ corresponde a:

$ \alpha = \frac{2x}{t} = \frac{2*40 \ m}{8,5 \ s} = 9,41 \ m/s $

$ \beta = \alpha v_f - v_{f}^{2} = 9,41 \ m/s \cdot 2,8 \ m/s -(2,8 \ m/s)^2 =18,51 \ m^2/s^2 $

Entonces la ecuación cuadrática queda como,

\[ v_{i}^{2} - 9,41 v_i + 18,51 = 0 \]

La solución de esta ecuación corresponde a: $ v_{i1} = 2,8 \ m/s $ y $ v_{i2} = 6,6 \ m/s $. Ya que la velocidad inicial es debió ser mayor que la final, se toma la solución $ v_{i} = 6,6 \ m/s $.

Para hallar $ a $, se usa la ecuación $ (2) $,

\[ a = \frac{v_f - v_i}{t} \]

\[ a = \frac{2,8 \ m/s - 6,6 \ m/s}{8,5 \ s} \]

\[ a = -0,44 \ m/s^2 \]

El camión tuvo una rapidez inicial de $ 6,6 \ m/s $ y una aceleración de $ -0,44 \ m/s^2 $.

¿Cuál es la diferencia entre velocidad y aceleración?

2021-01-06T23:31:00.000-05:00

En cinemática suele empezar analizar cuerpos puntuales moviéndose en un espacio de una dimensión. Dos de los conceptos fundamentales tratados son, velocidad y aceleración. Los cuales pueden provocar algunas confusiones porque ambas se refieren a un cambio de posición de un objeto. Sin embargo, cada concepto se refiere a una forma distinta de movimiento.

Para comprender la diferencia entre velocidad y aceleración, considérense dos objetos (A y B) se mueven alejándose del punto del inicio del movimiento. Una persona toma nota de las distancias recorridas cada segundo. Los datos se muestran en la siguiente tabla.

¿Cuál objeto recorrió más distancia al cabo de cada segundo? A partir de la tabla se observa que fue el objeto B el que más distancia recorrió. Cada segundo implicó más distancia para B que para A. ¿Por qué?

¿Cuál es la diferencia? Mientras A se movía con una velocidad constante, 2 m/s, B se movía con aceleración constante, $ 2 \ m/s^2 $. Esto indica que una velocidad constante implica que cada determinado intervalo de tiempo un objeto se mueve de manera fija cierta cantidad de distancia. Y, en el caso de la aceleración, lo que se mantiene constante es el cambio de velocidad, esto es, cada intervalo de tiempo la velocidad se aumenta constantemente, y se hace evidente con la distancia recorrida en ese intervalo de tiempo. Siguiendo con el ejemplo, la aceleración de $ 2 \ m/s^2 $ implica que cada segundo la velocidad se incrementa en $ 2 \ m/s $, por lo que, partiendo del reposo, al cabo de $ 2 \ s $, la velocidad será de $ 4 \ m/s $. En A, la velocidad constante $ 2 \ m/s $, la distancia se incrementa $ 2 \ m $ cada segundo. Al cabo del $ 3 \ s $, la distancia recorrida desde el inicio del movimiento es de $ 6 \ m $.

Ejemplos de conversión de unidades

2021-01-05T20:12:00.000-05:00

Hacer la conversión de unidades es una de las tareas habituales que se realizan cuando se están resolviendo ejercicios de física. Pueden ser conversiones entre unidades simples o compuestas. Por ejemplo, cuando se pasa de m a mm, se trata de unidades «simples». Por el contrario, se puede encontrar con la necesidad de convertir de unas unidades de velocidad a otra, entonces, se trata de conversión de unidades compuestas. A continuación, unos ejemplos.

Ejemplo 1. Suponga que su cabello crece a una proporción de 1/30 pulgada por cada día. Encuentre la proporción a la que crece en nanómetros por segundo.

Solución:

Expresar apropiadamente la proporción. En este caso, 1/30 pulgada por cada día se convierte en:

$ \frac{1}{30}\frac{pulgada}{día} $

Ahora se puede convertir tanto pulgada como día en las unidades solicitadas. Se puede iniciar con cualquiera de las dos unidades.

Empezando con días:

$ \frac{1}{30}\frac{pulgada}{día} \cdot \frac{1 \ día }{24 \ h} \cdot \frac{1 \ h }{60 \ min} \cdot \frac{1 \ min}{60 \ s} $

Con lo cual se puede cancelar algunas unidades:

$ \frac{1}{30}\frac{pulgada}{\cancel{día}} \cdot \frac{1 \ \cancel{día}}{24 \ \cancel{h}} \cdot \frac{1 \ \cancel{h} }{60 \ \cancel{min}} \cdot \frac{1 \ \cancel{min}}{60 \ s} $

Finalmente se obtiene:

$ \frac{1}{30}\frac{pulgada}{\cancel{día}} \cdot \frac{1 \ \cancel{día}}{24 \ \cancel{h}} \cdot \frac{1 \ \cancel{h} }{60 \ \cancel{min}} \cdot \frac{1 \ \cancel{min}}{60 \ s} = \frac{1}{2.592.000}\frac{pulgada}{s} = \frac{1}{2,592\times10^{6}}\frac{pulgada}{s} $

Ahora hace falta convertir pulgada en nanómetros. Se debe partir de convertir entre dos sistemas de unidades distintos, el inglés y el internacional. Así, se debe pasar de pulgadas a cm, para luego convertir a nm.

$ \frac{1}{2,592\times10^{6}}\frac{pulgada}{s} \cdot \frac{2,54 \ cm}{1 \ pulgada} \cdot \frac{10 \ mm}{1 \ cm} \cdot \frac{1000\ \mu m}{1 \ mm} \cdot \frac{1000 \ nm}{1 \ \mu m} $

Cancelando y haciendo las operaciones:

$ \frac{1}{2,592\times10^{6}}\frac{\cancel{pulgada}}{s} \cdot \frac{2,54 \ \cancel{cm}}{1 \ \cancel{pulgada}} \cdot \frac{10 \ \cancel{mm}}{1 \ \cancel{cm}} \cdot \frac{1000\ \cancel{\mu m}}{1 \ \cancel{mm}} \cdot \frac{1000 \ nm}{1 \ \cancel{\mu m}} = \frac{25.400.000}{2,592\times10^{6}} \cdot \frac{nm}{s} = \frac{25,4 \times 10^{6}}{2,592\times10^{6}} \cdot \frac{nm}{s} $

$ = 9,41 \cdot \frac{nm}{s} $

Como resultado se tiene:

$ \frac{1}{30}\frac{pulgada}{día} = 9,41 \cdot \frac{nm}{s} $

Ejemplo 2. Un vehículo viaja a 60 km/h. ¿Cuál es su rapidez en m/s?

Convertir horas a segundos:

$ 60 \ \frac{km}{h} \cdot \frac{1 \ h}{60 \ min} \cdot \frac{1 \ min}{60 \ s} = 60 \ \frac{km}{\cancel{h}} \cdot \frac{1 \ \cancel{h}}{60 \ \cancel{min}} \cdot \frac{1 \ \cancel{min}}{60 \ s} = 0,0166 \frac{km}{s} $

Ahora, km en m:

$ 0,0166 \frac{km}{s} \cdot \frac{1000 \ m}{1 \ km} = 0,0166 \frac{\cancel{km}}{s} \cdot \frac{1000 \ m}{1 \ \cancel{km}} = 16,6 \frac{m}{s} $

Ejemplo 3. ¿Cuál es la altura en m y km de un avión que viaja a 15.000 pies del suelo?

Para convertir a m:

$ 15.000 \ pies \cdot \frac{30,48 \ cm}{1 \ pie} \cdot \frac{1 \ m}{100 \ cm} = 15.000 \ \cancel{pies} \cdot \frac{30,48 \ \cancel{cm}}{1 \ \cancel{pie}} \cdot \frac{1 \ m}{100 \ \cancel{cm}} = 4572 \ m $

En km correspondería:

$ 4572 \ m \cdot \frac{1 \ km}{1000 \ m} = 4572 \ \cancel{m} \cdot \frac{1 \ km}{1000 \ \cancel{m}} = 4,572 \ km $

Nivelaciones Ciclo IV 2020

2020-11-09T11:43:00.005-05:00

NIVELACIONES DE CADA CAMPO DEL CICLO IV 2020

A continuación se encuentran los enlaces de las nivelaciones correspondientes al años 2020 para el Ciclo IV. Cualquier inquietud respecto a las nivelaciones, deben hablar con el docente respectivo (ver aquí el directorio)

NOTA: hay algunos sin enlace. En la medida que ya se conozcan las nivelaciones, se irán publicando.

Nivelación Algebra 2020 - Ciclo IV

2020-11-09T11:30:00.008-05:00

Nivelación 2020

La nivelación para el año 2020 consiste en realizar un examen virtual que cuenta con las siguientes características:

Cantidad de preguntas: 40.
Tiempo límite: no tiene.
Fecha límite para presentar: 18 de noviembre 2020
Guardado: solo se guarda si se acierta 24 o más preguntas.
Repetir: se puede repetir si no ha conseguido acertar 24 o más preguntas. No hay límite de repeticiones.

LA NIVELACIÓN SOLO ES PARA AQUELLOS QUIENES NO HAN APROBADO EL CAMPO MATEMÁTICO Y MATEMÁTICAS SIMULTÁNEAMENTE.

Examenes por curso:U

Nivelación Geometría 2020 - Ciclo III

2020-11-09T11:30:00.007-05:00

Nivelación 2020

La nivelación para el año 2020 consiste en realizar un examen virtual que cuenta con las siguientes características:

Cantidad de preguntas: 40.
Tiempo límite: no tiene.
Fecha límite para presentar: 18 de noviembre 2020
Guardado: solo se guarda si se acierta 24 o más preguntas.
Repetir: se puede repetir si no ha conseguido acertar 24 o más preguntas.

LA NIVELACIÓN ES PARA QUIENES NO HAN APROBADO EL CAMPO MATEMÁTICO Y GEOMETRÍA SIMULTÁNEAMENTE.

Examenes por curso:

Notas cuarto periodo 2020 - Ciclo III

2020-11-03T23:18:00.006-05:00

A continuación encontrarán las notas finales a partir de las actividades:

Actividad 1: escribir cuarto periodo y el contenido
Día de las matemáticas: actividad propuesta para celebrar el día de las matemáticas
Autoevaluación: evaluación acerca del proceso de aprendizaje personal

NOTAS SEXTO

NOTAS SÉPTIMO

Tercer actividad cuarto periodo - Séptimo

2020-10-28T18:05:00.007-05:00

Tema: encuesta y autoevaluación

En esta oportunidad deberán hacer una pequeña encuesta y la autoevaluación en el siguiente enlace: https://forms.gle/Q6TXLsaTdiHs8ynE9

Fecha límite para la diligenciar el formulario: 2 de noviembre de 2020

Tercera actividad cuarto periodo - Sexto

2020-10-28T17:47:00.000-05:00

Tema: encuesta y autoevaluación

En esta oportunidad deberán hacer una pequeña encuesta y la autoevaluación en el siguiente enlace: https://forms.gle/qaGUskBfwLLmTYpXA

Fecha límite para diligenciar el formulario: 2 de noviembre de 2020.

Siso Matemáticas

Ejemplos factorización: factor común

Ejemplos factorización: factor común

Cuándo aplicar factor común

Procedimiento para aplicar el factor común

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplos de productos notables 2

--> EJEMPLO 1 \( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \)

--> EJEMPLO 2 \( (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \)

--> EJEMPLO 3 \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \)

Ejemplos de Teorema de Pitágoras

--> Ejemplo 1

--> Ejemplo 2

Ejemplo de medidas de tendencia central

MEDIA

MEDIANA

MODA

Ejemplo:

Ejemplo de productos notables 1

¿Cómo resolver un ejercicio del primer caso?

EJERCICIO 1: \( (3m+n)^2 \)

EJERCICIO 2: \( (2x - y^2z)^2 \)

EJERCICIO 3: \( (6m+9)(6m-9) \)

Ejemplo de productos notables

¿Cómo resolver un ejercicio del primer caso?

EJERCICIO 1: \( (3m+n)^2 \)

EJERCICIO 2: \( (2x - y^2z)^2 \)

EJERCICIO 3: \( (6m+9)(6m-9) \)

Conjuntos numéricos

Ejemplo de Trabajo de un gas ideal cuando la presión es constante

Ejemplo de una caja que desciende en un plano inclinado sin fricción

Ejemplo de leyes de Newton: una caja sobre una superficie horizontal sin fricción

Fuerza Normal

Peso (Física)

Ejemplo de multiplicación de términos algebraicos con exponentes literales

Más ejemplos

Ejemplo movimiento parabólico

Ejemplo de movimiento en dos dimensiones

Para calcular \( x \) cuando \( t = 3 \ s \)

Para calcular \( y_i \)

Para hallar \( t \) cuando \( \Delta y = 10 \ m \)

Ejemplo de caída libre

Para calcular la \( v_i \):

Para hallar la altura máxima \( y \):

Ejemplo de movimiento con aceleración uniforme en una dimensión

Planteamiento de las ecuaciones para la solución del problema:

¿Cuál es la diferencia entre velocidad y aceleración?

Ejemplos de conversión de unidades

Nivelaciones Ciclo IV 2020

NIVELACIONES DE CADA CAMPO DEL CICLO IV 2020

CAMPO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA

CAMPO HISTÓRICO

CAMPO DE COMUNICACIÓN, ARTE Y EXPRESIÓN

CAMPO MATEMÁTICO

CAMPO KINESTÉSICO

Nivelación Algebra 2020 - Ciclo IV

Nivelación 2020

Nivelación Geometría 2020 - Ciclo III

Nivelación 2020

Notas cuarto periodo 2020 - Ciclo III

Tercer actividad cuarto periodo - Séptimo

Tema: encuesta y autoevaluación

Tercera actividad cuarto periodo - Sexto

Tema: encuesta y autoevaluación