twojamatma.blogspot.com

I koniec...

2013-05-08T16:55:00.001+02:00

Dziś zamieszczam ostatni plik - ten, do którego zmierzaliśmy razem przez ostatnie miesiące - rozwiązaną maturę podstawową maj 2013:-)

Jakie są Wasze wrażenia? Mam nadzieję, że wszyscy z Was są zadowoleni i każdy dostanie w czerwcu piękny wynik na świadectwie (mam nadzieję, że się nim pochwalicie;p)

Kto jeszcze nie sprawdzał, albo jest ciekawy rozwiązań zadań zamkniętych (bo ich na większości portali nie prezentuje się) - zapraszam!!

PLIK DO POBRANIA:

MATEMATYKA - poziom podstawowy, MAJ 2013 - odręcznie rozwiązany arkusz maturalny

Poza tym dziękuję za wspólnie spędzony czas, odwiedziny bloga... Mam nadzieję, że komuś moje zadania pomogły w przygotowaniu do matury. A jak nie zadania, to chociaż powtórki;-)

Powodzenia z resztą przedmiotów i oczywiście UDANYCH WAKACJI!!!

Wzory, których nie ma w tablicach

2013-05-07T15:22:00.003+02:00

Oprócz powtórki możecie dziś pobrać plik z wzorami, których nie ma w tablicach. Zamieściłam tam także rzeczy, na które warto zwrócić uwagę, bo najczęściej w nich popełniacie błędy.

Warto zajrzeć!

Link w pierwszej kolejności pojawił się na naszym fanpage'u:

TwojaMatma na Facebooku

Serdecznie Was tam zapraszam.
A pliki z powtórką i wzorami można pobrać za darmo, bez rejestracji TUTAJ.

Powtórka przed maturą z matematyki, dzień 5,6,7

2013-05-03T16:13:00.000+02:00

Kto jeszcze nie widział - zapraszamy! W ostatnich dniach pojawiły się trzy nowe pliki powtórkowe. W nich znajdziecie powtórkę z:

- zadań zamkniętych:

równania i nierówności, ciąg arytmetyczny, figury i okręgi (wpisane, opisane), punkty w układzie współrzędnych, trygonometria, Tales, sześcian, liczby odwrotne i przeciwne, ciąg geometryczny, proste w układzie współrzędnych, pola figur

- zadań otwartych:

prawdopodobieństwo, funkcja liniowa, kombinatoryka, funkcja kwadratowa, trygonometria

Link do pliku z zadaniami w pierwszej kolejności pojawia się na naszym fanpage'u:

TwojaMatma na Facebooku

Serdecznie Was tam zapraszam.
Pliki można pobrać za darmo, bez rejestracji TUTAJ.

Jutro kolejna porcja zadań:-)

Powtórka przed maturą z matematyki, dzień 4

2013-04-29T21:29:00.002+02:00

Dziś powtarzamy:

- z zadań zamkniętych:

wykresy funkcji, odczytywanie własności, zastosowanie twierdzenia Pitagorasa, równanie okręgu, własności graniastosłupów i ostrosłupów

- z zadań otwartych:

wielomiany i ciągi

Link do pliku z zadaniami w pierwszej kolejności pojawia się na naszym fanpage'u:

TwojaMatma na Facebooku

Serdecznie Was tam zapraszam.
Pliki można pobrać za darmo, bez rejestracji TUTAJ.

Podsyłajcie, udostępniajcie znajomym nasze powtórki! Przecież chcemy, żeby wszyscy zdali matmę:-)

A zadania, które prezentujemy, można nazwać pewniakami...;p

Wracamy już jutro...

Powtórka przed maturą z matematyki, dzień 3

2013-04-25T20:25:00.002+02:00

Dziś powtarzamy:

- z zadań zamkniętych:

równania, nierówności, wyrażenia wymierne, funkcja kwadratowa, wielokąty i ich własności

- z zadań otwartych:

zadanie schemat, za 5 punktów

Link do pliku z zadaniami w pierwszej kolejności pojawia się na naszym fanpage'u:

TwojaMatma na Facebooku

Serdecznie Was tam zapraszam. Pliki można pobrać za darmo, bez rejestracji TUTAJ.

Szczególnie polecam powtórzenie zadania schematycznego. Jest ono warte zazwyczaj 10% i pojawia się na maturze praktycznie każdego roku. Da się wyuczyć sposobu na rozwiązanie, jeśli jeszcze nie widzieliście - polecam: LINK!!!

Pojawią się jeszcze dwa typy zadań z zastosowania matematyki (rury, dwa pociągi // baseny, boiska) - polecam szybką powtórkę tych zadań przed maturą!:-)

Ogólnie zadania są wybierane ze starych arkuszy, staram się je układać tematycznie i żeby Was nie zanudzić różnicuję tematykę. Mam nadzieję, że ta powtórka pozwoli Wam zdać bezproblemowo, a nawet osiągnąć porządny wynik:-)

Na końcu pliku są oczywiście odpowiedzi! Udostępniajcie link do pliku swoim znajomym, może też potrzebują szybkiej powtórki przed maturą!:-)

Zapraszam jutro...

Powtórka przed maturą z matematyki, dzień 2

2013-04-24T20:33:00.000+02:00

Dziś powtarzamy:

- z zadań zamkniętych:

pierwiastki, wielomiany, ciągi różne, funkcja liniowa

- z zadań otwartych:

statystyka

Link do pliku z zadaniami w pierwszej kolejności pojawia się na naszym fanpage'u:

TwojaMatma na Facebooku

Serdecznie Was tam zapraszam. Pliki można pobrać za darmo, bez rejestracji TUTAJ.

Na końcu pliku są oczywiście odpowiedzi! Udostępniajcie link do pliku swoim znajomym:-)

Zapraszam też jutro...

Powtórka przed maturą z matematyki, dzień 1

2013-04-23T20:01:00.000+02:00

Dziś powtarzamy:

- z zadań zamkniętych:

wartość bezwzględną, procenty, logarytmy, wzory skróconego mnożenia

- z zadań otwartych:

nierówność kwadratową, równanie wielomianowe

Link do pliku z zadaniami w pierwszej kolejności pojawia się na naszym fanpage'u:

TwojaMatma na Facebooku

Serdecznie Was tam zapraszam. Plik można pobrać za darmo, bez rejestracji TUTAJ.

Starałam się wybrać z każdego zagadnienia kilka różnych zadań. Sprawdźcie, czy coś Was tam zaskakuje, czy nie:-) Na końcu pliku są oczywiście odpowiedzi! Udostępniajcie link do pliku swoim znajomym:-)

Już jutro kolejna porcja zadań do powtórki...

Wielka dwutygodniowa powtórka:)

2013-04-23T15:00:00.000+02:00

Dotarliśmy do chwili, kiedy do matury pozostało 15 dni!!!

Czujecie już stres? Mam nadzieję, że nie, a jeśli nawet to oby nie przez matematykę:-)

Na te ostatnie dni przed egzaminem, przygotowałam dla Was szybką powtórkę, czyli to, co najczęściej i najpewniej pojawia się na maturze. Zachęcam do codziennych odwiedzin bloga i do zaglądania na naszego facebooka.

Mam nadzieję, że jeszcze jesteście w stanie chłonąć wiedzę...:-)

Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 33

2013-04-11T15:00:00.000+02:00

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt $A(1,8)$ i stycznego do obu osi układu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.

ROZWIĄZANIE:

Rysunek zaczerpnięty z klucza odpowiedzi - jest wyraźny i wszystko widać.

Dokładnie - mamy dwa przypadki, oba w pierwszej ćwiartce układu.

Dlaczego?

Żeby okrąg był styczny do obu osi układu współrzędnych i żeby przechodził przez punkt $A=(1,8)$, musi mieć środek właśnie w tej ćwiartce. Co więcej, jego środek musi być jednakowo odległy od osi OX i osi OY, więc nasz okrąg będzie miał taką samą pierwszą jak i drugą współrzędną środka. Oznaczymy więc $$S=(r,r),$$promień okręgu to oczywiście $r$.

Wstawiamy nasze dane do równania okręgu $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$otrzymując równanie$$(x-r)^2+(y-r)^2=r^2.$$Ponadto wiemy, że punkt $A$ spełnia równanie okręgu. $$(1-r)^2+(8-r)^2=r^2$$Po podniesieniu do kwadratu otrzymamy równanie kwadratowe:$$1-2r+r^2+64-16r+r^2=r^2$$$$r^2-18r+65=0.$$Trzeba by wyliczyć deltę:$$\Delta=(-18)^2-4\cdot1\cdot65=324-260=64$$$$\sqrt{\Delta}=8$$$$r_1=\frac{18-8}{2}=5, \ \ \ \ x_2=\frac{18+8}{2}=13.$$Otrzymaliśmy dwa przypadki zaznaczone na rysunku.

Zapiszmy równania okręgów:$$(x-5)^2+(y-5)^2=5^2$$lub$$(x-13)^2+(y-13)^2=13^2.$$ Co ostatecznie daje $$(x-5)^2+(y-5)^2=25$$lub$$(x-13)^2+(y-13)^2=169.$$

Zadanie domowe:
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt $A(-3,-6)$ i stycznego do obu osi układu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.

Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 32

2013-04-10T15:00:00.000+02:00

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest romb $ABCD$ o boku długości 4. Kąt $ABC$ rombu ma miarę $120^{\circ}$, $|AS|=|CS|=10$ i $|BS|=|DS|$. Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi $BS$ do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa.

ROZWIĄZANIE:

Oczywiście zaczynamy od porządnego rysunku, na którym zaznaczamy odpowiednie kąty. Staramy się także narysować trójkąt, z naszym kątem oraz podstawę.

Zacznijmy od podstawy i wyliczmy długości jej przekątnych a przynajmniej odcinki $AO$ i $OB$. Mamy do czynienia z rombem, a w nim przekątne przecinają się pod kątem prostym. Oczywiście $$|\measuredangle ABC|=2|\measuredangle ADO|$$ Tak więc: $$|\measuredangle ADO|=60^{\circ}.$$ Skorzystajmy z funkcji trygonometrycznych: $$sin60^{\circ}=\frac{|AO|}{4}$$$$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{|AO|}{4}$$$$\frac{4\sqrt{3}}{2}=|AO|$$$$|AO|=2\sqrt{3}.$$Podobnie: $$cos60^{\circ}=\frac{|DO|}{4}$$$$\frac{1}{2}=\frac{|DO|}{4}$$$$\frac{4}{2}=|DO|$$$$|DO|=|OB|=2.$$

Weźmy teraz trójkąt $AOS$. Wyliczymy z niego wysokość ostrosłupa. Zachodzi przecież twierdzenie Pitagorasa:$$|AO|^2+|OS|^2=|AS|^2$$$$(2\sqrt{3})^2+H^2=10^2$$$$12+H^2=100$$$$H^2=88$$$$H=\sqrt{88}=2\sqrt{22}.$$

Przyszła pora na zielony trójkąt. $$sin\beta=\frac{|OS|}{|BS|}$$Odcinek $OS$ już mamy. Z twierdzenia Pitagorasa wyliczymy długość $BS$. $$|OS|^2+|OB|^2=|BS|^2$$$$(\sqrt{88})^2+2^2=|BS|^2$$$$|BS|^2=88+4$$$$|BS|^2=92$$$$|BS|=2\sqrt{23}$$Pozostało wstawić i uwymiernić: $$sin\beta=\frac{2\sqrt{22}}{2\sqrt{23}}=\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{23}}=\frac{\sqrt{22}\cdot\sqrt{23}}{23}=\frac{\sqrt{506}}{23}.$$

Hmm... wynik brzydki, ale prawidłowy!

Zadanie domowe:
Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest romb $ABCD$ o boku długości 4. Kąt $ABC$ rombu ma miarę $60^{\circ}$, $|AS|=|CS|=12$ i $|BS|=|DS|$. Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi $BS$ do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa.

Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 31

2013-04-09T15:00:00.000+02:00

Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1,2,3,4 (cyfry mogą się powtarzać).

ROZWIĄZANIE:

Zdecydowanie najtrudniejsze zadanie z matury podstawowej w przerobionych jak dotąd arkuszach!
Przede wszystkim zauważamy, że cyfry mogą się powtarzać. Ile będzie takich liczb? $$_ _ _$$Na każdym miejscu możemy ustawić po 4 cyfry. Wszystkich możliwości będzie więc $$4\cdot 4 \cdot 4=64.$$Oczywiście możemy na piechotę wypisać wszystkie liczby trzycyfrowe spełniające warunki zadania a następnie je dodać, ale da się coś zauważyć.

Każda liczba trzycyfrowa może być zapisana jako $$a\cdot 100+b\cdot 10+c$$
Ile razy jedynka może być cyfrą setek? _ _ _ $1\cdot 4 \cdot 4=16$ - bo na pierwszym miejscu jest tylko jedynka (a więc jedna opcja), miejsce drugie zapełnić możemy przez 1,2,3,4. Podobnie miejsce jedności.

A ile razy dwójka może być cyfrą setek? _ _ _ $1\cdot 4 \cdot 4=16$ - bo na pierwszym miejscu jest tylko dwójka (a więc jedna opcja), miejsce drugie zapełnić możemy przez 1,2,3,4. Podobnie miejsce jedności.

...

Zastanówmy się! Każda z liczb, na każdej pozycji będzie występować 16 razy!

Suma setek wynosi:$$16\cdot 1\cdot 100+16\cdot 2\cdot 100+16\cdot 3\cdot 100+16\cdot 4\cdot 100=16000$$
Suma dziesiątek wynosi:$$16\cdot 1\cdot 10+16\cdot 2\cdot 10+16\cdot 3\cdot 10+16\cdot 4\cdot 10=1600$$
Suma jedności wynosi:$$16\cdot 1\cdot 1+16\cdot 2\cdot 1+16\cdot 3\cdot 1+16\cdot 4\cdot 1=160$$
To, daje razem szukaną sumę: $$16000+1600+160=17760.$$

Zadanie domowe:
Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1,2,3,4,5 (cyfry mogą się powtarzać).

Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 30

2013-04-08T15:00:00.000+02:00

Liczby $27,x,3$ są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz ósmy wyraz tego ciągu.

ROZWIĄZANIE:

Ciąg $(27,x,3)$ ma być ciągiem geometrycznym, więc powinna zachodzić zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego $$a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$$ Inaczej: kwadrat wyrazu środkowego ma być równy iloczynowi wyrazów skrajnych.
Wyliczmy $x$:$$x^2=27\cdot 3$$$$x^2=81$$$$x=9 \ \ \ \ \vee\ \ \ \ x=-9$$
Dostaliśmy więc dwa przypadki.

Dla $x=9$ nasz ciąg $(27,9,3)$ jest malejący.
Dla $x=-9$ nasz ciąg $(27,-9,3)$ jest naprzemienny - odrzucamy go.

Pozostało wyliczyć wyraz ósmy ciągu, którego parametry to $$a_1=27$$$$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$$
Wzór na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego znajdziemy w tablicach:$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$Wstawiamy zamiast $n$ liczbę 8:$$a_8=a_1\cdot q^{8-1}$$$$a_8=a_1\cdot q^7$$Teraz nasze dane:$$a_8=27\cdot \Big(\frac{1}{3}\Big)^7$$$$a_8=3^3\cdot 3^{-7}=3^{3-7}=3^{-4}=\frac{1}{81}$$

ODPOWIEDŹ: Ósmy wyraz tego ciągu to $\frac{1}{81}$.

Zadanie domowe:
Liczby $2,x,72$ są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem rosnącego ciągu geometrycznego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.

Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 29

2013-04-05T15:00:00.000+02:00

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że liczba oczek w pierwszym rzucie jest o 1 mniejsza od liczby oczek w drugim rzucie.

ROZWIĄZANIE:

Przy zadaniu z prawdopodobieństwa musimy wypisać liczność "omegi", czyli liczbę wszystkich możliwości. W przypadku podwójnego rzutu kostkami otrzymujemy parę liczb np. (2,5). Wszystkich możliwości jest oczywiście: $$|\Omega |=6\cdot 6=36,$$ ponieważ na pierwszej jak i na drugiej kostce pojawić się nam może po 6 wyników.

Zdarzenie $A$ polega na tym, że liczba oczek w pierwszym rzucie jest o 1 mniejsza od liczby oczek w drugim rzucie. Zgodnie z naszym zapisem do zdarzenia $A$ należą pary: $$A=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\}$$ jest ich $$|A|=5$$.
Zgodnie z definicją prawdopodobieństwa zdarzenia $A$ otrzymujemy $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{5}{36}$$ i jest to szukane przez nas prawdopodobieństwo.

Zadanie domowe:
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że liczba oczek w pierwszym rzucie jest równa liczbie oczek w drugim rzucie.

Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 28

2013-04-04T15:00:00.000+02:00

Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III

Oblicz medianę i średnią arytmetyczną uzyskanych ocen.

ROZWIĄZANIE:

Nic prostszego za dwa punkty nas spotkać nie mogło! :-)

Zacznijmy od mediany. Należy uporządkować wartości, zwracając uwagę na ich liczebność: -szóstka występuje raz, piątka dwa razy, czwórka sześć razy... $$1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5,5,6$$ Teraz skreślamy z obu stron liczby i dostajemy $$\not 1,\not1,\not2,\not2,\not2,\not2,\not3,\not3,\not3,3,3,\not4,\not4,\not4,\not4,\not4,\not4,\not5,\not5,\not6$$ Widać, że z obu stron skreśliliśmy po 9 liczb. Mediana to wartość środkowa. Jeżeli zostały nam dwie liczby, medianą będzie ich średnia arytmetyczna:$$M=\frac{3+3}{2}=\frac{6}{2}=3.$$

Średnia arytmetyczna uzyskanych ocen to nic innego jak dodanie ich do siebie i podzielenie przez ilość. $$\bar{x}=\frac{6\cdot 1+5\cdot 2+4\cdot 6+3\cdot 5 +2\cdot 4 + 1\cdot2}{1+2+6+5+4+2}=\frac{65}{20}=3,25.$$

Zadanie domowe:
W klasie osiągnięto ze sprawdzianu następujące oceny:
- 2 osoby otrzymały szóstki;
- 8 osoby otrzymały piątki;
- 7 osób ma czwórki;
- 6 osób ma trójki;
- 1 osoba ma jedynkę;
Oblicz średnią arytmetyczną i medianę uzyskanych ocen.

Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 27

2013-04-03T15:00:00.000+02:00

Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej $n$ liczba $3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n$ jest wielokrotnością liczby 10.

ROZWIĄZANIE:

Aby pokazać podzielność wyrażenia przez daną liczbę najprościej spróbować wyciągnąć ją przed nawias. Co możemy zrobić w naszym wyrażeniu?$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n$$Przede wszystkim rozdzielmy potęgi: $$3^n\cdot 3^2-2^n\cdot 2^2+3^n-2^n$$ i pogrupujmy wyrazy:$$3^n\cdot 9+3^n-2^n\cdot 4-2^n=3^n\cdot(9+1)-2^n\cdot (4+1)$$Przy takich przekształceniach łatwo pomylić się w znaku - upewnijmy się zawsze, że nie mamy błędu!
Widzimy, że w jednym nawiasie wychodzi 10. $$3^n\cdot 10-2^n\cdot 5$$Skąd w drugiej części wyrażenia wziąć 10? Mamy już piątkę, a obok niej stoi dwójka... $$3^n\cdot 10-2^{n-1}\cdot 2\cdot 5$$$$3^n\cdot 10-2^{n-1}\cdot 10=10(3^n-2^{n-1})$$
Oczywiście jest to wielokrotność 10 ponieważ $3^n-2^{n-1}$ jest liczbą całkowitą dla dodatniego i całkowitego $n$. Takie uzasadnienie kończy dowód.

Zadanie domowe:
Uzasadnij, że liczba $6\cdot 5^3+5^4+5^5$ jest podzielna przez 10.

Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 26

2013-04-02T15:00:00.000+02:00

Dane są wielomiany $P(x)=-2x^3+3x^2-1$, $Q(x)=2x^2-x-1$ oraz $W(x)=ax+b$. Wyznacz współczynniki $a$ i $b$, tak aby wielomian $P(x)$ był równy iloczynowi $W(x)\cdot Q(x)$.

ROZWIĄZANIE:

$$P(x)=-2x^3+3x^2-1$$$$Q(x)=2x^2-x-1$$$$W(x)=ax+b$$
Potrzebujemy iloczynu wielomianów: $$W(x)\cdot Q(x).$$Oczywiście mnożymy, pamiętając o znakach... :-)$$W(x)\cdot Q(x)=(ax+b)\cdot(2x^2-x-1)=2ax^3-ax^2-ax+2bx^2-bx-b$$Redukujemy wyrazy podobne$$W(x)\cdot Q(x)=2ax^3+x^2(-a+2b)+x(-a-b)-b$$
W tym momencie musimy przyrównać wielomiany
$$W(x)\cdot Q(x)=P(x)$$$$2ax^3+x^2(-a+2b)+x(-a-b)-b=-2x^3+3x^2-1$$Aby dwa wielomiany były sobie równe, muszą być równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej $x$.

Przy $x^3$: $$2a=-2$$ Przy $x^2$: $$-a+2b=3$$ Przy $x$: $$-a-b=0$$ I wyraz wolny: $$-b=-1$$
Jak widać z pierwszego i ostatniego równania dostajemy wynik $$a=-1,\ \ \ \ b=1$$ Należy go sprawdzić z pozostałymi równaniami:$$-a+2b=3$$$$-(-1)+2\cdot 1=3$$$$1+2=3$$ Jest ok. $$-a-b=0$$$$-(-1)-1=0$$$$1-1=0$$ Też w porządku. Nie ma powodów, by cały układ był sprzeczny (choć mogłoby się tak zdarzyć)!

Odpowiedź: Parametry wynoszą odpowiednio $a=-1$ i $b=1$.

Zadanie domowe:
Dane są wielomiany $P(x)=-2x^3+3x^2-1$, $Q(x)=2x^2+x+1$ oraz $W(x)=ax+b$. Wyznacz współczynniki $a$ i $b$, tak aby wielomian $P(x)$ był równy iloczynowi $W(x)\cdot Q(x)$.

Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 25

2013-03-29T15:00:00.000+01:00

Trójkąt $ABC$ przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty $B,C,N$ są współliniowe. Na boku $AC$ wybrano punkt $M$ tak, że $|AM|=|CN|$. Wykaż, że $|BM|=|MN|.

ROZWIĄZANIE:

Dorysujmy odcinek $MD$, który jest równoległy do odcinka $AB$.

Z treści zadania wiemy, że odcinek $AM$ jest równy odcinkowi $CN$. Będzie także równy odcinkowi $BD$, ponieważ odcinek $MD$ dorysowaliśmy jako równoległy do $AB$.

Zwróćmy także uwagę na to, że skoro trójkąt $ABC$ był równoboczny, to trójkąt $MDC$ też taki jest! Co za tym idzie długości $MD$ i $CM$ są sobie równe.

W trójkącie $MDC$ wszystkie kąty mają po $60^{\circ}$, zatem kąt $MDB$ ma miarę $180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.
Analogicznie kąt $MCN$ ma $120^{\circ}$.

Co możemy stwierdzić?
Że trójkąty $BDM$ i $MCN$ są przystające na podstawie cechy przystawania bok-kąt-bok.
A z tego już łatwo wywnioskować, że odcinki $BM$ i $MN$ są równe.

Zadanie domowe:
Jeszcze raz przemyśl zadanie:-)

Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 24

2013-03-28T15:00:00.001+01:00

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{2x-b}{x-9}$ dla $x\not =9$, a $f(14)=5$. Oblicz współczynnik $b$.

ROZWIĄZANIE:

Nasza funkcja $$f(x)=\frac{2x-b}{x-9}$$ ma spełniać równanie $$f(14)=5.$$Policzymy więc $f(14)$ i przyrównamy otrzymane wyrażenie do $5$.$$f(14)=\frac{2\cdot 14-b}{14-9}=\frac{28-b}{5}$$I przyrównujemy:$$\frac{28-b}{5}=5$$$$28-b=25$$$$28-25=b$$$$b=3$$

Zadanie domowe:
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{3x+b}{x+2}$ dla $x\not =-2$, a $f(1)=3$. Oblicz współczynnik $b$.

Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 23

2013-03-28T15:00:00.000+01:00

Rozwiąż nierówność $-2x^2+2x+24\geq0$.

ROZWIĄZANIE:

Wypisujemy wartości współczynników trójmianu:\[a=-2,\ \ \ b=2,\ \ \ c=24.\]Liczymy deltę:\[\Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot(-2)\cdot 24=4+192=196\]i jej pierwiastek:\[\sqrt{\Delta}=14.\]Następnie szukamy miejsc zerowych funkcji kwadratowej - potrzebne wzory to:\[x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\ \ \ \ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.\]Podstawiamy odpowiednie wartości:\[x_1=\frac{-2-14}{2\cdot 2},\ \ \ \ x_2=\frac{-2+14}{2\cdot 2}\]\[x_1=\frac{-16}{4}=-4,\ \ \ \ x_2=\frac{12}{4}=3.\]Mamy więc miejsca zerowe naszej funkcji kwadratowej i są to $-4$ i $3$. Zaznaczymy je na osi a następnie narysujemy parabolę z ramionami zwróconymi w dół, ponieważ współczynnik $a=-2$ jest ujemny. Oczywiście zaznaczymy kółka zamknięte, bo w nierówności występuje znak $\geq$. Znak ten oznacza, że potrzebujemy iksów większych lub równych 0, a więc tych nad osią:

Patrzymy na rysunek i odczytujemy przedział, w którym zaznaczyliśmy nasze rozwiązanie \[x\in<-4,3>\]

ODPOWIEDŹ: $x\in<-4,3>$

Zadanie domowe:
Rozwiąż nierówność $x^2-5x+6\leq0$.

Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 22

2013-03-26T15:00:00.000+01:00

Jeżeli $A$ jest zdarzeniem losowym takim, że $P(A)=6\cdot P(A')$, oraz $A'$ jest zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia $A$, to prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe:
A. $\frac{5}{6}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{1}{7}$
D. $\frac{6}{7}$

ROZWIĄZANIE:

Zapisujemy naszą zależność. $$P(A)=6\cdot P(A')$$W tablicach odnajdujemy zależność, którą następnie wstawimy do wyrażenia z zadania:$$P(A')=1-P(A)$$$$P(A)=6\cdot (1-P(A))$$$$P(A)=6-6P(A)$$$$P(A)+6P(A)=6$$$$7P(A)=6$$$$P(A)=\frac{6}{7}.$$

ODPOWIEDŹ: D.

Zadanie domowe:

Jeżeli $A$ jest zdarzeniem losowym takim, że $P(A)=10\cdot P(A')$, oraz $A'$ jest zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia $A$, to prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe:
A. $\frac{10}{11}$
B. $\frac{11}{10}$
C. $\frac{9}{10}$
D. $\frac{8}{10}$

Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 21

2013-03-25T15:00:00.000+01:00

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$. Siatką ostrosłupa czworokątnego $ABCDE$ jest:

ROZWIĄZANIE:

Czworościan, którego siatki szukamy składa się oczywiście z kwadratowej podstawy i czterech ścian bocznych. Uważamy na to, by ściany "sklejały się" bokiami równej długości. Prawidłowa odpowiedź to oczywiście siatka A.

ODPOWIEDŹ: A.

Zadanie domowe:
Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu o boku 2.

(trochę inne, bo ciężko wymyślić podobne:p)

Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 20

2013-03-22T15:00:00.000+01:00

Stożek powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $6$ i $13$ wokół krótszej przyprostokątnej. Promień podstawy tego stożka jest równy:
A. $6$
B. $13$
C. $6,6$
D. $3$

ROZWIĄZANIE:

Lubimy rysunki:-)

I z takiego rysunku widzimy, że promień podstawy stożka wynosi $r=13$.

ODPOWIEDŹ: B.

Zadanie domowe:

Stożek powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $6$ i $13$ wokół dłuższej przyprostokątnej. Promień podstawy tego stożka jest równy:
A. $6$
B. $13$
C. $6,6$
D. $3$

Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 19

2013-03-21T15:00:00.000+01:00

Dane są dwa okręgi o promieniach $12$ i $17$. Większy okrąg przechodzi przez środek mniejszego okręgu. Odległość między środkami tych okręgów jest równa:
A. $5$
B. $12$
C. $17$
D. $29$

ROZWIĄZANIE:

I po raz kolejny najważniejszą rzeczą jest rysunek.
Cieńszymi liniami oznaczone zostały promienie okręgów. Szukamy oczywiście długości grubego, niebieskiego odcinka.

Jest ona równa promieniowi większego okręgu, wynosi więc 17.

ODPOWIEDŹ: C.

Zadanie domowe:

Dane są dwa okręgi o promieniach $24$ i $11$. Większy okrąg przechodzi przez środek mniejszego okręgu. Odległość między środkami tych okręgów jest równa:
A. $11$
B. $13$
C. $24$
D. $35$

Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 18

2013-03-20T15:00:00.000+01:00

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 i 8. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy:
A. $14$
B. $8$
C. $6$
D. $5$

ROZWIĄZANIE:

Oczywiście na początku rysunek! Zazwyczaj pomaga nam on znaleźć pewne zależności nawet bez wiedzy o ich istnieniu;-)

Mając długości przyprostokątnych damy radę policzyć przeciwprostokątną:$$6^2+8^2=x^2$$$$36+64=x^2$$$$100=x^2$$$$x=10.$$ Zwróćmy uwagę, że w trójkącie prostokątnym promień okręgu opisanego $R$ to połowa przeciwprostokątnej: $$R=\frac{1}{2}x.$$Obliczamy zatem, że:$$R=\frac{1}{2}\cdot 10=5.$$

ODPOWIEDŹ: D.

Zadanie domowe:

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 12 i 5. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy:
A. $5$
B. $6$
C. $6,5$
D. $12$

Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 17

2013-03-19T15:00:00.000+01:00

Obwód prostokąta jest równy 28. Stosunek długości jego boków jest równy $3:4$. Dłuższy bok tego prostokąta jest równy:
A. $14$
B. $8$
C. $7$
D. $6$

ROZWIĄZANIE:

Kolejne łatwe zadanko! Zaczynamy od rysunku prostokąta... Oczywiście oznaczamy na nim długości boków. Pamiętajmy, że jeżeli mamy stosunek $3:4$ to boki będą mieć $3x$ i $4x$.

Teraz trzeba wykorzystać informację o obwodzie prostokąta wynoszącym 28:$$2\cdot 4x+2\cdot 3x=28$$$$8x+6x=28$$$$14x=28$$$$x=2.$$Czytamy jeszcze raz pytanie... hmm... dłuższy bok! To przecież ten o długości $4x$: $$4x=4\cdot 2=8.$$

ODPOWIEDŹ: B.

Zadanie domowe:

Obwód prostokąta jest równy 40. Stosunek długości jego boków jest równy $5:2$. Dłuższy bok tego prostokąta jest równy:
A. $10$
B. $9$
C. $8$
D. $7$