Математическая олимпиада Кенгуру 2010

Решение задачи Ю15 олимпиады Кенгуру

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Mon, 27 Jun 2011 08:33:00 +0000

Уровень: Юниор (9 и 10 класс)
Условие.

Круг радиуса 4 см разделен на четыре равные части дугами окружностей радиуса 2 см, как показано на рисунке. Периметр каждой из этих частей равен:

Варианты ответа:
А:2п, Б:4п, В:6п, Г:8п, Д:12п,

Решение Длина окружности круга равна 8п см. Значит, в каждой части на жирный участок границы приходится 2п см. Т.к. тонкие границы образованы дугами окружности радиусом 2 см, то в каждой части общая длина тонких границ составит 4п см. Итого 6п см.

Ответ: В:6п

Решение задачи про неравенства (В16)

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Wed, 20 Apr 2011 05:39:00 +0000

Уровень: Выпускник (11 класс)
Условие. Пусть вещественные числа а, b, с удовлетворяют системе неравенств:

Тогда НЕВОЗМОЖНЫМ является выполнение неравенства:

Варианты ответа: А: a<c<b, Б: c<a<b, В: a=c<b, Г: a<b<c, Д: -b<-c<-a

Решение Основание первого показательного неравенства больше единицы, значит, a<b. Во тором же основание меньше единицы и соотношение между показателями будет: c<b. Выходит, b - самое большое из чисел. Так что неравенство a<b<c выполняться не может.

Ответ: Г: a<b<c.

Решение числового ребуса (Ш1)

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Wed, 30 Mar 2011 20:08:00 +0000

Уровень: Малыш 3-4, Школьник (3, 4, 5 и 6 классы),

Условие. Если
++6=+++,
то какая цифра скрыта под знаком треугольника?

Варианты ответа: А:2, Б:3, В:4, Г:5, Д:6,

Решение Убрав по два треугольника из левой и правой части уравнения получим, что сумма двух треугольников равна 6. Значит, каждый из них заменяет цифру 3.

Ответ: Б:3

Решение задачи про туристов (Ю17)

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sat, 12 Mar 2011 18:22:00 +0000

Уровень: Юниор (9 и 10 класс)
Условие. Из пункта А в пункт В и из В в А одновременно вышли два туриста. Когда первый прошел половину пути, второму до конца пути осталось пройти 24 км, а когда второй прошел половину пути, первому осталось пройти 15 км. Сколько километров останется пройти второму туристу после того, как первый завершит переход?
Варианты ответа: А:6 км, Б:8 км, В:10 км, Г:12 км, Д:15 км,

Решение
Обозначим расстояние между пунктами как 2х. Тогда за то время, пока первый турист проходит x км, второй проходит 2х-24 км. А пока первый проходит 2х-15 км, второй преодолевает х км. Т.к. отношение пройденных расстояний равно отношению скоростей, а двигались они равномерно, получим пропорцию:

Отсюда:
x²=(2x-15)(2x-24)
x²=4x²-78x+360
3x²-78x+360=0

x²-26x+120=0

По теореме Виета,
x₁=20
x₂=6

Но второй корень не подходит по смыслу задачи, т.к. расстояние между пунктами должно быть более 24 км. Значит, искомое расстояние 40 км.

Теперь, зная это, составим ещё одну пропорцию, чтобы ответить на вопрос задачи:
Пока первый турист проходит х=20 км, второй проходит 2х-24=16 км.
Пока первый турист проходит 2х=40 км, второй турист пройдёт 32 км.
Значит, ему останется пройти 40-32 = 8 (км)

решение Ответ: Б:8 км

Две недели до олимпиады Кенгуру-2011

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Thu, 03 Mar 2011 05:16:00 +0000

Математическая олимпиада Кенгуру-2011 в Украине состоится через две недели, 17 марта. Рекомендуем вам мобилизоваться, освежить в памяти методы решения олимпиадных задач, свойства числа 2011, формулы и разобрать решения задач олимпиады Кенгуру прошлых лет.

Решение задачи о симметрии

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Wed, 02 Mar 2011 16:29:00 +0000

Уровень: Кадет (7 и 8 класс)

Условие. Сколько осей симметрии имеет эта фигура?

Варианты ответа: А:0, Б:1, В:2, Г:4, Д:бесконечно много,

Решение Чтобы части этой фигуры совпали, её можно перегнуть через вертикальную или через горизонтальную оси. Таким образом, у неё 2 оси симметрии.

Ответ: В:2

Решение задачи про котов

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sat, 12 Feb 2011 17:54:00 +0000

Уровень: Малыш 3-4, Малыш-2 (2, 3 и 4 классы)

Условие. Два года назад сумма лет, прожитых котами Томом и Тони, равнялась 15. Сейчас Тому 13 лет. Через сколько лет Тони будет 9?

Варианты ответа: А:1, Б:2, В:3, Г:4, Д:5,

Решение

За 2 года сумма возрастов котов увеличилась на 4. Значит, сейчас им вместе 19 лет. Т.к. Тому 13 лет, то Тони сейчас 6 лет. А 9 лет ему исполнится через 3 года.

Ответ: В:3

Решение задачи про букет (Ю5)

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Mon, 07 Feb 2011 21:06:00 +0000

Уровень: Юниор (9 и 10 класс)

Условие. На каждый день рождения Оксана получает в подарок столько цветов, сколько лет ей исполнилось. Эти цветы она засушивают и сохраняют в гербарии. Сейчас у Оксаны всего 120 цветов. Сколько ей лет?

Варианты ответа: А:10, Б:12, В:14, Г:15, Д:20,

Решение
Количество цветов представляет собой некоторое треугольное число. Значит, удвоенное их количество является произведением двух последовательных натуральных чисел, первое из которых равно возрасту Оксаны. 240 = 15х16, значит, ей 15 лет.

Ответ: Г:15

Решение задачи про возведение в степень (В6) олимпиады Кенгуру

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Thu, 20 Jan 2011 10:04:00 +0000

Уровень: Выпускник (11 класс)
Условие. Чему равно значение выражения

Варианты ответа:
А:4096
Б:
В:64
Г:
Д:

Решение

Ответ: Г:

Решение задачи о трех натуральных числах (Ю4)

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Thu, 13 Jan 2011 08:55:00 +0000

Уровень: Юниор (9 и 10 класс)
Условие. Произведение трех натуральных чисел равно 140. Если наибольшее из них в 7 раз больше наименьшего, то сумма этих трех чисел равна:
Варианты ответа:
А:19, Б:21, В:28, Г:33, Д:43,

Решение
Число 140 раскладывается на множители так: 140=2*2*5*7. Т.к. при представлении в виде трёх множителей наибольший из них в 7 раз меньше наименьшего, то искомое представление таково: 140=2*5=14. Тогда сумма множителей равна 2+5+14=21
Ответ: Б:21.

Лето, ах, лето

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Tue, 04 Jan 2011 21:34:00 +0000

Зимой нередко хочется вспомнить о лете. Поможет в этом подборка фотографий с семинара координаторов олимпиады Кенгуру в г.Яремче.

Великолепные виды в Карпатах

Жили мы там в гостинице на берегу реки Прут

Иногда удавалось увидеть спортсменов, преодолевающих пороги на байдарках.

Радуга после грозы:

В центре города Яремче на столбе свили гнездо и вывели птенцов аисты:

Уезжали мы в ночь на Ивана Купала, на противоположном берегу Прута местные жгли ватру.

С Новым Годом!!!

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Fri, 31 Dec 2010 22:00:00 +0000

Уважаемые читатели! Поздравляем вас с Новым Годом!

2010 год для развития проекта «Приглашение в мир математики» оказался очень продуктивным. Общение с вами перешло из переписки по электронной почте в блоги. Там вы почти каждый день можете увидеть новый интересный математический факт, новую задачу и её решение.

В этом году вы начали участвовать в наших математических конкурсах. Прошли три интернет-олимпиады и запущена четвёртая. Кроме того, проводились математические маневры – первый в истории конкурс, в котором сочетаются принципы пошаговой стратегии и олимпиады по математике.

На 2011 год планы не менее смелые. Во-первых, мы будем продолжать готовиться к олимпиаде Кенгуру-2011 и к внешнему оцениванию по математике ЗНО-2011. Кроме того, скоро появятся новые логические флеш-игры. И, разумеется, будут продолжаться математические конкурсы и публикация интересного из мира математики.

Желаем вам в новом году счастья, здоровья и чтобы все задачи решались красиво и легко!

Решение задачи про паром (М34-12) олимпиады Кенгуру

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sun, 26 Dec 2010 14:28:00 +0000

Уровень: Малыш 3-4 (3 и 4 класс)

Условие. Кораблем можно перевезти за один раз или только 10 легковых автомобилей, или только 6 грузовиков. В среду корабль пересек реку пять раз и перевез 42 транспортных средства, будучи всегда полностью загруженным. Сколько легковых автомобилей перевез корабль в среду?

Варианты ответа: А:10, Б:12, В:20, Г:22, Д:30

Решение

Будем решать задачу по вопросам.
1. Сколько грузовиков можно перевести за 5 рейсов?
6х5=30

2. На сколько больше тридцати было перевезено машин в среду?
42-30=12

3.На сколько больше переводится за один рейс легковых машин, чем грузовиков?
10-6=4

4.Сколько было рейсов с легковыми машинами?
12:4=3

5. Сколько было перевезено легковых машин?
3х10=30

Ответ: Д:30.

Открыт блог по олимпиаде Кенгуру-2011

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Fri, 10 Dec 2010 11:06:00 +0000

По адресу http://kenguru2011.blogspot.com/ открыт блог, посвящённый вопросам проведения Международной математической олимпиады Кенгуру-2011.

Согласно правилам проведения олимпиады, конкурс Кенгуру-2011 в Украине будет состоится в четверг, 17 марта 2011 года. Для участия в нём необходимо зарегистрироваться не позднее субботы, 12 февраля 2011.

Сумма благотворительного пожертвования участника не изменилась и составляет 10 гривен. Эти средства полностью используются для покрытия расходов на организацию и проведение конкурса.

Решение задачи про число 777 (Ш13)

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sun, 28 Nov 2010 20:24:00 +0000

Уровень: Школьник (5 и 6 класс)
Условие. На уроке математики Тарас записал некоторое число. Затем он разделил его на 7 и прибавил 7, а полученный результат умножил на 7. В результате получил 777. Какое число Тарас записал в самом начале?
Варианты ответа: А:7, Б:111, В:567, Г:722, Д:728

Решение
Решаем задачу с конца. Перед умножением было число 777/7=111, перед прибавлением семёрки - число 111-7=104 и перед делением на 7: 104/7=728 Ответ: Д:728

Решение задачи про сумму квадратов (В3) математической олимпиады Кенгуру 2010

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Tue, 16 Nov 2010 18:47:00 +0000

Уровень: Выпускник (11 класс)
Условие. Сколько существует пар (х,у) чисел, удовлетворяющих уравнению (х-3)² + (у-2)²=0?
Варианты ответа: А:1, Б:2, В:6, Г:32, Д:таких пар нет
Решение
Сумма двух квадратов равна нулю тогда, и только тогда, когда каждый из квадратов равен нулю. Таким образом x=3, y=2 - единственное решение.
Ответ: А:1

Решение задачи про наибольшее число (К18)

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sat, 06 Nov 2010 17:36:00 +0000

Уровень: Кадет (7 и 8 класс)
Условие. Если, а - 1 = b + 2 = c - 3 = d + 4 = е - 5 то наибольшим среди чисел а, b, с, d, e есть число
Варианты ответа:
А:a, Б:b, В:c, Г:d, Д:e,

РешениеЧем число большое, тем больше от него нужно отнять, чтобы сравнять с остальными. Так что наибольшим является e

Ответ: Д:e

Решение задачи про дни рождения

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sun, 31 Oct 2010 17:15:00 +0000

Уровень: Кадет, Малыш 3-4 (3, 4, 7 и 8 классы),
Условие. Виталик сложил числа дней и числа месяцев дат рождения всех своих друзей и получил 35. Даты рождения его друзей различны. Какое наибольшее возможное количество друзей у Виталика?
Варианты ответа: А:7, Б:8, В:9, Г:10, Д:12,

Решение Понятно, что наибольшее число друзей будет, если суммы чисел в их датах рождения минимальны. Сумма 2 будет у родившегося 1 января, Сумма 3 - у родившихся 1 февраля и 2 января, сумма 4 - у 3 января, 2 февраля и 1 марта. Для этих 6 человек сумма чисел дней и месяцев рождения составит 2+3+3+4+4+4=20. Добавим ещё трёх человек с суммой 5: 4 января, 3 февраля и 2 марта. Итого 9 друзей.

Ответ: В:9

Решение задачи про степени (Ю23)

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Fri, 22 Oct 2010 05:58:00 +0000

Уровень: Юниор (9 и 10 класс)
Условие. Для скольких натуральных чисел n от 1 до 100 включительно число nⁿ является квадратом натурального числа?

Варианты ответа: А:5, Б:15, В:50, Г:54, Д:55,

Решение Во-первых, квадратом nⁿ будет для чётного n. Таких чисел от 1 до 100 будет 50. Во-вторых, для нечётного n, являющегося квадратом. Таких n будет 5: 1, 9, 25, 49, 81. Итого 55 вариантов.

Ответ: Д:55

Аналогичная, но более сложная задача сейчас сдерживает наступление на Хребет натуральных чисел в игре Математические маневры.

Решение задачи про квадрат (Ш19) олимпиады Кенгуру 2010

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Mon, 18 Oct 2010 09:13:00 +0000

Уровень: Школьник (5 и 6 класс)
Условие.

Вычислите площадь затемненной части квадрата

Варианты ответа: А:8 см², Б:12 см², В:18 см², Г:24 см², Д:36 см²

Решение
Разобьём этот квадрат диагональю, являющейся осью симметрии затемнённой фигуры. Тогда фигура разобьётся на два треугольника с основаниями 2 см, и высотами 6 см. Площадь одного такого треугольника равна 6 см², а всей фигуры 12 см²

Ответ: Б:12 см².

Решение задачи про последовательность (Ю25)

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Mon, 04 Oct 2010 20:19:00 +0000

Уровень: Юниор (9 и 10 класс)

Условие. Первый, второй и третий члены последовательности равны соответственно 1, 2 и 3. Каждый последующий член последовательности, начиная с четвертого,
определяется по формуле а_n = a_n-3 + а_n-2 - а_n-1, n Є N , n > 3 . Тогда а₂₀₁₀ =

Варианты ответа:
А:-2010, Б:-2006, В:2002, Г:2009, Д:2010,

Решение
Получим несоклько членов этой последовательности:
1, 2, 3, 0, 5, -2, 7, -4, 9, -6, …
Замечаем, что последовталеьность распадается на две. Её члены с нечётными номерами равны своему номеру, а с чётными a_2n=4-2n.

Докажем это по индукции. Пyсть для всех n, меньших k a_2n=2-2n и a_2n+1=2n+1.

Тогда a_2k+2 = a_2k-1 + a_2k - a_2k+1 = 2k-1 + 4-2k – (2k+1) = 4-(2k+2)
a_2k+3 = a_2k + a_2k+1 - a_2k+2 = 4-2k + 2k+1 – (4-(2k+2)) = 2k+3

Значит a₂₀₁₀ = 4-2010 = -2006

Ответ:Б:-2006

Решение задачи про лжецов (К26) олимпиады Кенгуру 2010

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Wed, 29 Sep 2010 17:39:00 +0000

Уровень: Кадет (7 и 8 класс)

Условие. В городе Буле некоторые жители - лжецы, и они всегда врут, а все остальные всегда говорят правду. Однажды в одной комнате находилось несколько жителей этого города, и трое из них сказали следующее:
1) Нас здесь не более трех человек. Все мы - лжецы.
2) Нас здесь не более четырех человек. Не все мы лжецы.
3) Нас тут пятеро. Трое из нас лжецы.
Определите, сколько в комнате людей и сколько среди них лжецов.

Варианты ответа:
А: 3 человека, 1 лжец, Б: 4 человека, 1 лжец, В: 4 человека, 2 лжеца, Г: 5 человек, 2 лжеца, Д: 5 человек, 3 лжеца,

Решение Допустим, в комнате трое. Тогда первая фраза первого человека "Нас здесь не более трех человек" - истинна. Тогда должна быть истинной и вторая его фраза "Все мы - лжецы". Но она истинной быть не может. Значит, человек в комнате больше трёх.

Допустим, в комнате четверо. Тогда первый человек сказал неправду. Второй, соответственно, правду. А третий солгал. Значит, два лжеца уже есть (это первый и третий). А троих лжецов быть не может, поскольку третий солгал, сказав "Трое из нас лжецы". Так что ответ "4 человека, 2 лжеца" непротиворечив.

Ответ найден, но для интереса проверим, могло ли в комнате быть пятеро. В таком случае первые двое соврали. Значит, ложны их фразы "Все мы - лжецы" и "Не все мы лжецы". А т.к. это взаимоисключающие фразы, ложной из них должна быть только одна. Противоречие.

Ответ: В: 4 человека, 2 лжеца

Решение задачи Ш27 олимпиады Кенгуру 2010

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sat, 25 Sep 2010 19:49:00 +0000

Уровень: Школьник (5 и 6 класс)

Условие.
Елена, Оксана, Наталья, Петя и Вася образуют круг. По часовой стрелке в указанном порядке и в том же направлении они зачитывают считалку:
KAN-GA-ROO-OUT-GOES-YOU (на каждый слог- один ребенок). Кто оказывается под YOU - выбывает из игры, а считалка начинается сначала от следующего ребенка. Они повторяют считалку до тех пор, пока в круге не останется один ребенок. С кого нужно начать считалку, чтобы последним остался в кругу Вася?

Варианты ответа:
А:С Елены, Б:С Оксаны, В:С Натальи, Г:С Пети, Д:С Васи,

Решение

Начнём считать, к примеру, с Елены и будем отмечать, в каком порядке дети будут выбывать из круга (см. рис).

Оказывается, что в этом случае в круге останется Петя. чтобы остался Вася, стоящий следующим по часовой стрелке, начало отсчёта также надо перенести по часовой стрелке, и начать считать с Оксаны.
Ответ: Б:С Оксаны.

Решение задачи К28 олимпиады Кенгуру 2010

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Tue, 14 Sep 2010 20:30:00 +0000

Уровень: Кадет, Юниор (7, 8, 9 и 10 классы)

Условие.
На рисунке нужно пройти от круга А до круга В, двигаясь по стрелкам вверх или вправо. Для каждого пути вычисляется сумма всех чисел в кругах, через которые он проходит. Сколько различных сумм можно получить?

Варианты ответа:
А:1, Б:2, В:3, Г:4, Д:5,

Решение Применим к кругам с цифрами шахматную раскраску. Тогда все круги с двойками будут белого цвета, а с единицами и тройкой - чёрного. Путь из А в В должен пройти через 2 белые и 3 чёрные клетки. Таким образом, сумма чисел на пути может быть или 1+2+3+2+1 или 1+2+1+2+1 - итого всего 2 разных значения.

Ответ: Б:2.

Информационные вестники олимпиады Кенгуру 2010

noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) — Sat, 11 Sep 2010 18:37:00 +0000

Центральный оргкомитет конкурса разослал региональным координаторам информационные сборники олимпиады Кенгуру 2010.

В них - условия и решения задач этого года, фотографии, которые присылали участники олимпиады, а также статистические данные по Украине в целом и по наиболее активным школам.
Сборник должен получить каждый участник конкурса, обращайтесь к своим координаторам.