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2011-08-31T11:03:00.002-03:00

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Como fazer uma lâmpada de lava

2011-06-21T15:01:00.001-03:00

Os próximos eclipses do Sol, até o ano de 2020

2011-06-10T17:17:00.000-03:00

Próximos eclipses do Sol até o ano 2020

Anular: África, Ásia, África central, Índia, China
2010, 11 de julho.
Total: Sul da América do Sul, Pacífico Sul, Ilha de Páscoa
2011, 4 de janeiro.
Parcial: Europa, África, centro da Ásia
2011, 1º de junho.
Parcial: Leste da Ásia, norte da América do Norte, Islândia
2011, 1º de julho.
Parcial: Sul do Oceano Índico
2011, 25 de novembro.
Parcial: África do Sul, Antártida, Tasmânia, Nova Zelândia
2012, 20 de maio.
Anular: Ásia, Pacífico, América do Norte, China, Japão
2012, 13 de novembro.
Total: Austrália, Nova Zelândia, Pacífico Sul, sul da América do Sul
2013, 10 de maio.
Anular: Austrália, Nova Zelândia, Pacífico central, norte da Austrália
2013, 3 de novembro.
Híbrido: Leste da América, sul da Europa, África, Atlântico
2014, 29 de abril.
Anular: África, sul da Índia, Austrália, Antártida
2014, 23 de outubro.
Parcial: Norte do Pacífico, América do Norte
2015, 20 de março.
Total: Islândia, Europa, norte da África, norte da Ásia, norte do Atlântico
2015, 13 de setembro.
Parcial: África do Sul, sul da Índia, Antártida
2016, 9 de março.
Total: Leste da Ásia, Austrália, Pacífico, Sumatra, Bornéu
2016, 1º de setembro.
Anular: África, Oceano Índico, Atlântico, África central, Madagascar, Índia
2017, 26 de fevereiro.
Anular: Sul da América do Sul, Atlântico, África, Antártida, Pacífico
2017, 21 de agosto.
Total: América do Norte, norte da América do Sul, norte do Pacífico, Atlântico Sul
2018, 15 de fevereiro.
Parcial: Antártida, sul da América do Sul
2018, 13 de julho.
Parcial: Sul da Austrália
2018, 11 de agosto.
Parcial: Norte da Europa, nordeste da Ásia
2019, 6 de janeiro.
Parcial: Nordeste da Ásia, norte do Pacífico
2019, 2 de julho.
Total: Pacífico Sul, América do Sul
2019, 26 de dezembro.
Anular: Ásia, Austrália, Arábia Saudita, Índia, Sumatra, Bornéu
2020, 21 de junho.
Anular: África, sudeste da Europa, Ásia
2020, 14 de dezembro.
Total: Oceano Pacífico, sul da América do Sul, Antártida

[CALCULO 1 - UNIVATES] - Exercícios sobre derivadas II

2011-06-10T10:27:00.000-03:00

CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIVATES
CÁLCULO I –ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
SEMESTRE A/2011 - PROF. DRA. ANA CECÌLIA TOGNI

EXERCÍCIOS SOBRE DERIVADAS

1) Para cada uma das funções a seguir, encontre a derivada e sua unidade de medida:

a) = 0,0676t +6,6104 p é o preço em reais e t é o tempo em meses.
b)Q = -2p +10 q é a demanda (unidades) e p é o preço em reais.
c) P = -3q2 +90q +525 P é a produção medida em quilogramas e q é a quantidade de fertilizante (g/m2)
d) P = -q2 +8q +9 p é a produção em unidades e q é a quantidade de insumo em quilogramas.
e)V = -0,7q2 +5,6 q +6,3 v é a venda em unidades e q é a quantidade de insumo em quilogramas.
f)Cu = 240 +50 Cu é o custo unitário em reais e q é a quantidade em unidades Q
g) v =250 v é a venda em milhares de unidades e t é o tempo em meses.
1 + 500 .0,5t
h) v = t2 – 6t +12 v é o valor de uma ação em reais e t é o tempo (dia).
t2 -6t +10
i)M = 5.000 .1,03n M é o montante em reais e n é o período (mês).

2) Utilize a regra da cadeia em cada um dos casos:
a) y = ( 5x2 +2x )4
b) y = e5x
c) M = 240 e-0,5t

3) Seja a função y = - 1_ x3 +3x2 -5x, encontre y’ e faça no mesmo sistema
3
de eixos os gráficos de y e y’.

4)Explique com suas palavras:
a) Taxa média de variação
b)Taxa Instantânea de variação

5)Calcule a primeira e segunda derivada para as funções:
a) y = 3x2-10x +5 x Є R
b) y = sen x 0≤x ≤ π/2
c) y = y = 2x xЄ R

[CALCULO 1 - UNIVATES] - Sinas e Concavidades de Funções

2011-06-10T10:24:00.000-03:00

CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIVATES

CÀLCULOI - SEMESTRE A / 2011

CURSOS: ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
PROFESSORA: DRA. ANA CECÍLIA TOGNI

CONCAVIDADE DE FUNÇÕES

Uma curva tem concavidade voltada para baixo quando sua tangente se move no sentido dos ponteiros do relógio, ao percorrer a curva da esquerda para a direita.

Uma curva tem concavidade voltada para cima, quando sua tangente se move em sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, ao percorrer a curva da esquerda para a direita.

SINAL DA SEGUNDA DERIVADA

Se f”(x) > 0 quando a< x < b então f tem concavidade para cima em a< x < b.

Se f“(x) < 0 quando a <x <b então f tem concavidade para baixo em a < x <b.

PONTOS DE INFLEXÃO

O ponto no qual ocorre a mudança da concavidade da função chama-se ponto de inflexão.

CONSTRUINDO GRÁFICOS DE FUNÇÃO UTILIZANDO A PRIMEIRA
E SEGUNDA DERIVADA

1º PASSO – Calcula-se f ‘(x) e as coordenadas x dos pontos críticos da primeira derivada, resolvendo a equação em x e colocam-se esses pontos no gráfico.

2º PASSO - Calcula-se a derivada de segunda ordem f “(x) e as coordenadas dos pontos críticos de 2º ordem resolvendo a equação em x e coloca-se no gráfico.

3º PASSO – Usa –se as coordenadas dos pontos críticos de 1º e 2º ordem para dividir o eixo x em intervalos e observam-se os sinais das derivadas em cada um dos intervalos.

4º PASSO - Constrói-se o gráfico conforme a tabela a seguir:

EXERCÌCIO 1

Determine onde f(x) = x⁴+8x³+18x²-8 é crescente, ou decrescente, onde tem concavidade voltada para cima ou para baixo. Calcule os extremos relativos e pontos de inflexão e construa o gráfico correspondente.

TESTE DA SEGUNDA DERIVADA

Sendo f’ (a) = 0

  Se f”(a) > 0, f possui mínimo relativo em x=a
  Se f”(a) < 0, f possui máximo relativo em x=a
  Se f”(a) = 0, f pode possuir máximo ou mínimo relativos ou não possuir extremos elativos em x =a.

EXERCÍCIO 2

Use o teste da derivada segunda para verificar a existência de máximos ou mínimos
relativos para f(x) =2x³ + 3x² -12x -7

[CALCULO 1 - UNIVATES] - Máximo e Mínimos - Concavidades

2011-06-10T10:16:00.000-03:00

CENTRO UNIVERSITÁRIOUNIVATES
CURSOS: ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
CÁLCULO I – SEMESTRE A/2011
PROFESSORA: DRA. ANA CECÍLIA TOGNI

MÁXIMOS E MINÍMOS RELATIVOS

Um máximo relativo de uma função é o ponto máximo do gráfico da função em relação a qualquer outro ponto vizinho a ele no gráfico. (É um pico).
Um mínimo relativo é o ponto mínimo do gráfico da função em relação a qualquer outro ponto vizinho a ele. (É um fundo de vale).

FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES
Uma função é crescente, quando seu gráfico “cresce” à medida que aumenta de valor. Caso contrário a função é decrescente.

SINAL DA DERIVADA
É possível reconhecer quando uma função diferencial é crescente ou decrescente, através do sinal de sua derivada, pois esta é o coeficiente angular da tangente ao gráfico da curva de f.
Assim:
Se f’(x) > 0 quando a <x < b, então f é crescente para a < x < b.
Se f’ (x) < 0 quando a < x < b, então, f é decrescente para a < x < b.

PONTOS CRÍTICOS
Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa, os únicos pontos onde a função pode possuir máximos ou mínimos relativos são aqueles nos quais as derivadas são nulas ou indefinidas. Os pontos assim definidos são chamados críticos.

(REPRESENTAR OS PONTOS CRÍTICOS)

COMO USAR DERIVADAS PARA CONSTRUIR GRÁFICOS DE FUNÇÕES
Seguem-se os seguintes passos:
1º- Calcula-se a derivada f’(x).
2º- Calculam-se as coordenadas dos pontos críticos, igualando f’(x) a zero e resolvendo a equação em x. Devem-se incluir também valores de x para os quais a derivada é indefinida. Substitui-se esses valores de x na função f(x), obtendo-se assim as coordenadas y dos pontos críticos.
3º- Colocam-se os pontos críticos no gráfico. Estes são os únicos pontos onde os extremos relativos podem existir.
4º- Determina-se onde a função é crescente e decrescente, verificando o sinal da derivada nos intervalos cujos extremos são as coordenadas x dos pontos críticos.
5º- Contrói-se o gráfico de tal forma que “cresça” nos intervalos onde a derivada é positiva e “decresça” nos intervalos onde a derivada é negativa e não “cresça” e nem “decresça” quando a derivada é nula.
EXEMPLO
Construir o gráfico da função f(x) =2x3 +3x2-12x -7

MÁXIMOS E MINÍMOS ABSOLUTOS

Um intervalo fechado é um intervalo da forma a ≤ x ≤ b, que é o intervalo que contem as extremidades. Uma função continua num intervalo fechado possui um máximo absoluto e um mínimo absoluto no intervalo. O extremo absoluto pode coincidir com o extremo relativo ou ocorrer nos extremos x=a ou x = b.
EXEMPLOS:

(REPRESENTAR OS MAXIMOS E MINIMOS ABSOLUTOS)

COMO LOCALIZAR E IDENTIFICAR EXTREMOS ABSOLUTOS?

1º- Calculam –se as coordenadas de todos os pontos críticos de f no intervalo a≤ x≤b.
2º - Calcula-se f(x) nesses pontos críticos e nas extremidades x =a e x=b.
3º-Selecionam-se os maiores e menores valores de f(x) obtidos no 2ºpasso e assim se obtém respectivamente o máximo e o mínimo absoluto.

EXEMPLO:
Calcular o máximo e o mínimo absolutos da função f(x) = 2x3 +3x2 -12x -7

OBSERVAÇÃO
Para calcular extremos absolutos de uma função continua em intervalos não fechados deve-se ainda calcular o valor da função nos pontos críticos e nas extremidades contidas no intervalo. No entanto, antes é preciso saber que a função realmente possui extremos relativos nesse intervalo. Uma boa maneira de descobrir é verificar através da derivada onde à função é crescente, onde é decrescente e depois construir o gráfico correspondente.
EXEMPLO:
Quando q unidades de certo produto são fabricadas, o custo total de fabricação é C(q) = 3q2+5q +75. Quando será menor o custo médio de produção por unidade?

Respostas em breve.

[CALCULO 1 - UNIVATES] - Problemas de otimização

2011-06-10T10:10:00.001-03:00

CENTRO UNIVERSITÁRIOUNIVATES

CURSOS: ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS –SEMESTRE A/2011

PROFESSORA: DRA. ANA CECÍLIA TOGNI

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

1) Um cabo de eletricidade ligará uma usina hidrelétrica situada à margem de um rio de 900metros de largura a uma fábrica situada na outra margem do rio, 3000 metros abaixo da usina. O custo de instalação do cabo através do rio é de R$500,00 por metro, enquanto que em terra custa R$400,00 por metro. Qual é a forma mais econômica de instalar o cabo?

2) A prefeitura municipal de Lajeado planeja construir uma área de recreação junto a BR-386. A área retangular, com 5000 m², será cercada nos três lados não adjacentes a estrada. Qual será a menor quantidade de cerca necessária?

3) Encontre as dimensões de um retângulo com perímetro de 100metros, cuja área é a maior possível.

4) Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelão medindo 16 por 30 cm, destacando-se quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos quadrados para se obter uma caixa com maior volume?

5) Encontre o raio e a altura de um cilindro circular reto com o maior volume, o qual pode ser inscrito em um cone circular reto com 10cm de altura e 6 cm de raio.y

[CALCULO 1 - UNIVATES] - Técnicas de diferenciação - calcular derivadas

2011-06-10T10:09:00.000-03:00

Centro

Universitário UNIVATES

Cursos: Engenharias e Ciências Exatas

Cálculo I – Semestre A/2011

Professora Dra.Ana Cecília Togni

TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO

Alguns teoremas importantes que

permitem que se calcule a derivada de forma mais simples são os seguintes:

T₁) A derivada de uma função constante é
0, isto é, se c for um número real qualquer então: f’(c) = 0.

T₂) (Regra da Potência). Se n for um
número inteiro positivo e f( x) = xⁿ,
então

f’(x) = n xⁿ^-1

T₃) Se f for diferenciavel
em x e c for um numero real qualquer então cf é
também diferenciável em x e se expressa assim : f’(x)= cf’

T₄) (Derivadas das somas e Diferenças). Se
f e g forem diferenciáveis em x então f+g e f-g também o são ou seja :

[f(x) + g(x) ]’ =f ’(x) + g’(x)

[f(x) – g(x)]’ = f’(x) – g’(x)

T₅) (Regra do Produto) Se f e g forem
diferenciáveis em x então o produto f. g também o é. Ou seja:

[f(x). g(x) ] =f(x).g’(x) + g(x).f’(x)

T₆) (Regra do Quociente) Se f e g forem
diferenciáveis em x e g’(x) for diferente de zero, então f/g é diferenciável em x e:

[f(x)/g(x) =g(x).f’(x)– f(x) g’(x)

[g(x)]²

T₇)(Regra do Recíproco) Se a função g for diferenciavel em x e g(x) diferente de zero então 1/g é diferenciavel em x e [1/g(x)]’ = g’(x)

[g(x)]²

T₈) Se n for qualquer inteiro, então :

[xⁿ]’ = nxⁿ^-1

T₉) (Regra da Cadeia) Se g for diferenciavel no ponto x e f for diferenciavel no ponto g(x), então a composição f e g
também é diferenciavel no ponto x. Além disso se y = f(g(x)) e u =g(x) então y =
f(u) e

dy = dy . du ou f’(u) = y’(u).u’(x)

dx du dx

T₁₀)Derivadas de Funções Trigonométricas

i)Se f(x)= sen x então f’(x) = cosx

ii)Se f(x) = cos x então
f’(x) = - sen x

iii) Se f(x) = tgx x então
f’(x) = sec²x

iV) Se f(x) = sec x então
f’(x)= secx .tgx

v)Sef(x) = cotg x então f’(x) = - cossec² x

vi)Se f(x) = cossec x então
f’(x) = -cossecx.cotgx

vii)Se f(x) = arc senx então f’(x ) = 1

√1– x²

viii) Se f(x) = arc cos x então f’(x) = - 1

√1 –x²

ix)Se f(x) = arc tgx então f’(x) = 1

1 + x²

x) Se f(x) = arc cotg então f’(x) = - 1

1 + x²

xi)Se f(x) = arc séc| x | então f’(x) = 1

x√x² -1

xii)Se f(x) = arc cossec |x| então f’(x) = - 1

x√x²-1

Observação:As duas últimas formulas não se referem a
funções elementares, mas cada uma delas
resume duas funções elementares para x >0 e x<0

T₁₁)Derivadas das Funções logarítmicas

T₁₂)Se f(x)= ln |
x| então f’(x) = 1 para x ≠ 0

No caso de f(x) ser função composta fica assim: f(x)
= ln u então
f’(x ) = 1 . du

u dx

T₁₃) Se f(x) =log_a
x então f’(x) = 1

x ln a

No caso de f(x) ser composta fica assim: f(x) = log_a u = 1 . du

u ln a dx

T₁₄)Derivada de funções exponenciais

i) Se f(x) = a^x
então f’(x) = a^x.lna

No caso de função composta fica assim: f(x) = a^u então f’(x) = a^u.lna.du

ii) Se f(x)= e^x então f’(x) = e^x

Quando for
função composta fica assim: f(x) = e^u então f’(x) = e^u.du

[CALCULO 1 - UNIVATES] - Exercícios sobre derivadas

2011-06-10T10:03:00.000-03:00

Centro Universitário UNIVATES
CÁLCULO I
CURSOS: ENGENHARIAS e CIÊNCIAS EXATAS
SEMESTRE A/2011
PROFESSORA DRA. ANA CECÌLIA TOGNI

1)Encontre a primeira e segunda derivada para cada uma das funções pela regra da potência:
a) y = -x2 +3
b)s = 5t3 -3t5
c)f(x) =x1/2
d)f(x) =3x-2 -1/x
e)f(t) = -2t-1 +4/t2

2)Utilize a regra do produto para derivar:
a)y = ( 3 –x2)(x3 –x -1)
b)y = ( x-1) ((x2+x +1)

3) Derive pela regra do quociente:
a)y = 2x +5
3x -2
b) y = 2x +1
x2 -1

4)Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f nos pontos considerados:
a) f(x) = x2 x0 =5
b)f(x) 2x +3 x0= 3
c)f(x) =x2 -5x +6

5)Dada a função C(x) = 0,3 x3 -2,5x2 +20x +200, obtenha:
a)O custo marginal
b)O custo marginal para x=5 e a interpretação do resultado.

6)Se a função demanda for p = 20 -2x, obtenha a receita marginal.

7)Estima-se que daqui a x meses a população de um município será P(x) = x2 +20x +20.000
a)Daqui a 15 meses, qual será a taxa de variação da população desse município?
b)Qual será a variação da população no 16ºmês?

[CALCULO 1 - UNIVATES] - Formulas de derivação

2011-06-10T10:02:00.000-03:00

CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIVATES
CÁLCULO I
PROFESSORA: DRA. ANA CECÌLIA TOGNI
FÓRMULAS DE FATORAÇÃO

Expressão para produtos notáveis
1) Produto da soma pela diferença
(x + y).(x – y) = x² - y²

2) Produto da soma de dois termos
(x + y)² = (x + y).(x + y) = x² + 2xy + y²)

3) Produto da diferença de dois termos
(x – y) = (x - y).(x - y) = (x² - 2xy + y²)

4) Cubo da soma de dois termos
(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

5) Cubo da diferença de dois termos
(x - y)³ = x³ - 3x²y + 3xy² - y³

Faça a expansão dos produtos:
a) (3x + 8) = 9x² - 64 Formula (2)
b) (5y – 4)² = 25y² - 40y + 16 Formula (3)
c) (2x + 3y)² = 4x² + 12xy + 9y² Formula (2)
d) (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - 3b³ Formula (5)
e) (2x + 4y)³ = 8x³ + 48x²y + 96xy² + 64y³ Formula (4)

FORMULAS DE FATORAÇÃO
(1) (x² - y²) = (x + y).(x – y)
(2) x² + 2xy + y² = (x + y).(x + y) = (x + y)²
(3) x² - 2xy + y² = (x – y).(x – y) = (x – y)²
(4) ax² + bx + c = a (x – x(1)).(x – x(2)) esse x(1) e x(2) vai embaixo do x
onde (x(1) e (x(2) são raízes da equação ax² + bx +c = 0
(5) (x³ + y³) = (x + y).(x² - xy + y²)
(6) (x³ - y³) = (x - y).(x² + xy + y²)
(7) x³y + xy³ = xy(x² + y²) ( fatoração colocando termos em evidência
(8) xy + xw + yz + yw = (x + y).(z + w) ( fatoração por agrupamento)

[CALCULO 1 - UNIVATES] - Limites e Derivadas

2011-06-10T10:00:00.000-03:00

CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIVATES
DISCIPLINA: CÁLCULO I – SEMESTRE A/2011
CURSOS: ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
PROFESSORA: DRA. ANA CECÍLIA TOGNI

INTRODUZINDO LIMITES E DERIVADAS

1. Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo a função horária s(t) = 3t2 – 5t +2 (s em metros e t em segundos)
a) Qual a velocidade média da partícula no intervalo [2s, 4s]?
b) Qual a velocidade média da partícula no intervalo [2s, 3s]?
c) Qual a velocidade média da partícula no intervalo [2s, 2,1s]?
d) Qual a velocidade média da partícula no intervalo [2s, (2+∆t) s] com ∆t≠0?
e) Como você interpretaria fisicamente a velocidade média da partícula no item anterior, quando ∆t tende para zero?
f) Qual a velocidade da partícula no instante t =2s?

2. Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer de modo que sua velocidade obedece a função: v(t) =t2-4t (v em metros por segundo e t em segundos). Sabe-se que a aceleração média da partícula am =∆v
∆t
a) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [0s, 1s]?
b) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [0s, 0,5s]?
c) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [0s, 0,1s]?
d) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [0s, (∆t)s]?
e) Como você interpretaria fisicamente a aceleração média da partícula no item anterior, quando ∆t tende para zero?
f) Qual a velocidade da partícula no instante t =0s?

3) Uma partícula caminha sobre uma trajetória retilínea de modo que sua velocidade obedece a função v(t) = 8t -2 (v em metros por segundo e t em segundos). Determinar a aceleração da partícula no instante t =4s.

4) O movimento de uma partícula é dado pelo seu diagrama horário:

(DESENHAR O DIAGRAMA)

a) Qual é a interpretação geométreico-trigonométrica da velocidade média da partícula no intervalo de tempo [2, 2+∆t]?
b) Qual é a interpretação geométreico-trigonométrica da velocidade instantânea da partícula no instante t =2s?

5. A velocidade de uma partícula é dada pelo seguinte diagrama:

(DESENHAR O DIAGRAMA)

a) Qual é a interpretação geométreico-trigonométrica da velocidade média da partícula no intervalo de tempo [t0, t0+∆t]?
b) Qual é a interpretação geométreico-trigonométrica da velocidade instantânea da partícula no instante t0?

6)Obtenha a equação da reta tangente à curva y = x2 no ponto (1,1).

Respostas em breve.

[CALCULO 1 - UNIVATES] - Funções exponenciais e logarítmicas

2011-06-10T08:51:00.000-03:00

CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIVATES
CÁLCULO I – SEMESTRE A/2011
CURSOS: ENGENHARIAS
PROFESSORA: DRA. ANA CECÍLIA TOGNI

FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

DEFINIÇÃO:
A função definida por: f(x) = bx (b > 0 e b≠ 1) é chamada função exponencial de base b e expoente x. O domínio de f é o conjunto dos números reais.

Exemplo:

F(x) = 2x é a função exponencial de base 2. O domínio é o intervalo dado por (- ∞,+∞).
Para alguns valores de x, temos o valor de f(x).
Se x =3 então f(3) = 23 = 8
Se x = -1 então f(-1) = 2-1 = ½
Se x = 2/3 então f(2/3) =22/3 =3√22 = 3√4
Se x = 0 então f(0) = 20 =1

PROPRIEDADES DAS POTENCIAS
1)bx. by= b x + y
2)bx/by= bx-y
3)(bx)y=bxy
4)(ab)x= axbx
5)(a/b)x= ax/bx

EXERCÍCIOS

1) Encontre os valores das potências em cada caso:

2) Seja f(x) = 22x-1, encontre o valor para f(x) =16.

3) Esboce o gráfico de f(x) =2x e f(x) = (1/2)x nas mesmas coordenadas.

PROPRIEDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

A função exponencial y =bx com b > 0 e b≠ 1, tem as seguintes propriedades:

1) Seu domínio é (- ∞, + ∞).
2) Sua imagem (0, +∞).
3) Seu gráfico passa pelo ponto (0,1).
4) É uma função contínua em (- ∞, +∞).
5) É crescente em (- ∞, +∞) se b> 0 e decrescente em (-∞, +∞) se 0 < b <1

OBSERVAÇÃO

A função exponencial de base b, pode também ser definida pela expressão f(x) = abx onde a é uma constante.
Poe exemplo: f(x) = 10.2x

FUNÇÃO EXPONENCIAL DE BASE e

Funções exponenciais de base e são definidas por f(x) = ex, onde e é um número irracional de valor 2, 7182818...
O valor de e é dado pela expressão
e =

O gráfico de ex é semelhante ao gráfico de bx.

4) Considerando que ea=eb, equivale a=b resolva as equações:
a)ex=e6
b)ex+3=e10
c)ex^2.e-2x=e-1

FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

Definamos primeiramente logaritmo de um número. Ou seja:

y =logb x se e somente se x = by , sendo x > 0.

EXERCÍCIOS

1) Calcule:
a) log10 100 =
b) log5 125 =
c)log31/27 =

2) Resolva as equações:
a) log3 x =4
b)log16 4 =x
c)logx8 =3

PROPRIEDADES DOS LOGARÌTMOS:
Se m e n são números positivos então valem:
1) logbm.n= logb m + logb n
2) logbm/n = logbm - logbn
3) logb mn=n logb m
4)logb1 = 0
5) logbb =1

EXERCÍCIO
3) Resolva:
a) log (2.3) =
b) log√7 =
c)ln5/3=
d)log4545=
e)log5 1 =

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

DEFINIÇÃO
A função definida por
f(x) = logb x (b>0 e b≠ 1) é chamada função logarítmica de base b e seu domínio é o conjunto dos números reais positivos.

PROPRIEDADES DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

A função logarítmica y =logb x ( b> 0 e b≠ 1) possui as seguintes propriedades:
1)Seu domínio (0, +∞)
2)Sua imagem é (- ∞, +∞)
3)Seu gráfico passa pelo ponto (1,0)
4)Ela é continua em (0, +∞)
5)Ela é crescente em (0,+∞) se b> 1 e decrescente em (0,+∞) quando 0<b<1.

EXERCÍCIO
1)Esboce os gráficos de y = log2x e y = log1/2 x nas mesmas coordenadas.

Uma das aplicações importantes das funções exponenciais e logarítmicas é a matemática financeira, principalmente no que se refere à capitalização composta.
Assim lembramos as fórmulas para cálculo de juros e montante composto.
Juros:
J = C [(1 =i)n-1]
Montante
M = C(1 +i)n onde C- capital inicial
M – Montante
J – Juro
i – Taxa Unitária
n – prazo d operação financeira.

1) Quanto tempo levará para que R$ 10.000,00 se transformem em R$15.000,00 se o investimento for aplicado a 8,% ao ano?
2) Qual a taxa mensal que transforma R$22.500,00 em R$43.000,00 em 18meses?
3) Qual é o valor final de uma aplicação de R$5.500,00 em 4 trimestres, se a taxa trimestral for 6,7%.
4) Em quanto tempo a população de uma cidade dobrará se a taxa de crescimento anual for 2% e a população hoje é de 60.000 habitantes.

[CALCULO 1 - UNIVATES] - Funções compostas

2011-06-10T08:33:00.000-03:00

CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIVATES

CURSOS: ENGENHARIAS – SEMESTRE A/2011

PROFESSORA: DRA. ANA CECÍLIA TOGNI

FUNÇÃO COMPOSTA

DEFINIÇÃO

Dadas as funções f e g, a composição de f e g é denotada por fog, é a função definida por (fog)(x) = f(g(x))

O domínio de fog consiste por definição em todo x no domínio de g, para o qual g(x) está no domínio de f.

ESQUEMATIZANDO:

EXERCÍCIOS:

1) Sejam f(x) = x2 +3 e g(x) = √x Encontre:

a) (fog)(x) b) (g0f)(x)

2)Encontre fog(x) e gof(x) e determine seus domínios em cada caso:

a) f(x)= 2x +1 e g(x) =x2 –x

b)f(x) = 2x +1 e g(x) =3

3)Expresse h(x) em cada caso como composição de duas funções do tipo f(g(x):

a) h(x) = (x + 1)2

b)h(x) = (x-4)5

c) sen (x3)

4) A receita R de uma empresa é função do preço p da mercadoria que vende pois R =pq, onde q é a quantidade vendida. Sabendo que o preço da mercadoria não é fixo, mas função da quantidade demandada, isto é p = -q/3 +30, como ficará a expressão de R como função de q.

5)A poupança S de um operário depende do salário y que recebe, seu salário por sua vez depende do número de horas extras x que faz por mês.Sabendo que essas dependências são descritas pelas funções S= 0,4y – 300 e y = 1200 + 80x respectivamente, determine a poupança como função do número x de horas extras.

[CALCLULO 1 - UNIVATES] - Definindo funções através de gráficos e exercícios

2011-06-10T08:26:00.002-03:00

CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIVATES

CURSO: ENGENHARIAS

DISCIPLINA :CÁLCULO I –SEMESTRE B/2011

PROFESSORA : DRA. ANA CECÍLIA TOGNI

CONSTRUINDO GRÁFICOS DE FUNÇÕES

1) NOÇÕES BÁSICAS SOBRE PLANO CARTESIANO

Um par ordenado de números é o conjunto formado por dois números em certa ordem. Usamos geralmente a notação (x, y) para indicar o par ordenado,onde x é o primeiro elemento do par e y o segundo elemento.

Ex: (3,5) (-7,10)

COMO REPRESENTAR GEOMETRICAMENTE UM PAR ORDENADO ?

1º)Desenhamos dois eixos perpendiculares e usamos sua intersecção O como origem para cada um deles;

2º) Marcamos no eixo horinzontal, o primeiro componente do par ordenado;

3º) Marcamos no eixo vertical o segundo componente do par ordenado;

4º)Traçamos pelo primeiro elemento do par ordenado, uma reta paralela ao eixo9 vertical;

5º)traçamos pelo segundo elemento do par, uma reta paralela ao eixo horizontal;

6º)Destacamos a intersecção das retas, chamando-a de P, que é o ponto que representa graficamente o par ordenado (x,y).

Cada uma das quatro partes em que fica dividido o plano pelos eixos cartesianos chama-se quadrante(desenhar os quadrantes):

O eixo onde se representa o primeiro elemento do par é chamado de eixo das abcissas e o eixo onde se representa o segundo elemento do par ordenado é chamado eixo das ordenadas.

EXERCÍCIOS:
Represente no Plano Cartesiano, os piontos: A=(2,-3) , B=(0,-4), C=(-4,-5), D=(-1,0), E=(0,5), F=(5,4), G=(3,0), H=(-3,2), I =(1/2, 5/2)

2)Os pares ordenados (x +2y, 2x-y) e (5,-3) são iguais.Determine x e y.

3)O ponto N de coordenadas (m-2,5), pertence ao eixo das ordenadas. Determine m.

2)COMO CONSTRUIR O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO ?

Em primeiro lugar é preciso conhecer a lei de formação da função e seu domínio. A seguir o procedimento é o seguinte:

1º)Construímos uma tabela na qual aparecem os valores da varia´vel x (variável independente) e os valores do correspondente y, calculados através da lei y =f(x);

2º)Representamos cada par ordenado da tabela por um ponto no plano cartesiano;

3º) Ligamos os pontos construídos no passo anterior por meio de uma curva, que é o próprio gráfico da função f(x).

EXERCÍCIOS:

1)Construir o gráfico de y =x+2, com domínio R.

2)Construir o gráfico de y=2 para todo x real.

3)Construir o gráfico de y = x² com domínio R.

4)Construir o gráfico de y =12/x no domínio R^*.

5)Analisar os gráficos construídos .

Em breve as respostas

[FÍSICA ELETROMAGNETISMO-UNIVATES] Energia potencial Elétrica

2011-06-09T14:37:00.001-03:00

UNIVATES

Física – Eletromagnetismo

Resumo de aula ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA

1. Energia

Em nosso cotidiano, nos meios de comunicação, sempre se ouve falar de energia, de seu consumo, das fontes, das alternativas. Energia permeia nossa vida. Sem ela não vivemos!

Mas o que seria energia? Como lidar com ela?

Conhecemos hoje diversas formas de manifestação da energia (solar, eólica, nuclear, elétrica, térmica, química, entre outros). Sabemos lidar com a energia, transformá-la, a partir de fontes e formas diversas, em outras formas que nos sejam de mais fácil utilização. Sabemos quantificar a energia, identificar os fatores que interferem nestas quantificações, sejam eles diretos ou indiretos. Sabemos determinar consumo, degradação, realizar previsões de escassez, etc. Mas, apesar de todos estes conhecimentos, ainda não há uma definição suficientemente abrangente para energia, o que quer dizer que ainda não sabemos dizer o que é energia!

Mas não há problemas maiores quanto a isto, o que interessa para que possamos utilizá-la já é de nosso domínio.

O que é importante conhecer?

Em primeiro lugar, é importante conhecer as diversas formas sob as quais a energia pode se manifestar, e identificar a possibilidade de existência de certa quantidade de energia ou não sob cada uma destas formas, para cada situação a ser analisada. Para tanto é necessário considerar que:

A energia é uma grandeza escalar, portanto sua quantidade fica completamente expressa por um número com sinal (é algébrico).
A unidade de medida de energia no SI é o Joule (1J=1N.m).
Outras unidades também utilizadas para quantificar energia:

1 caloria (1cal)=4,18 J

1kcal (1kcal ou 1Cal)=4,18.10³J

1quilowatthora (1kWh)=3,6.10⁶J

1 elétron-volt= 1,6.10^-19 J

Em segundo lugar, ter conhecimento e compreensão do princípio de conservação de energia, segundo o qual toda a energia existente hoje no universo sempre existiu e sempre existirá, a energia não pode ser destruída nem criada, apenas vai sendo transformada de um tipo em outro.

Em terceiro lugar, para facilitar a identificação dos processos de transferência e de transformação da energia, e a própria utilização do princípio de conservação, é importante saber que, de toda a longa lista de tipos de energia que se pode enumerar, podemos identificar basicamente dois grandes e genéricos tipos de energia: As energias associadas ao movimento (CINÉTICAS) e as energias associadas à posição relativa de um corpo ou objeto em relação ao interior de um campo de forças (POTENCIAIS).

Dentre as energias cinéticas podemos enquadrar, por exemplo, a energia eólica (devida ao movimento do ar) e a energia térmica (relacionada à agitação molecular).

Dentre as energias potenciais, podemos enquadrar a energia potencial química (posição relativa dos átomos constituindo moléculas), que no fundo é um tipo de energia potencial elétrica, e a energia nuclear (posição relativa dos nucleons).

Por fim, mas não menos importante, precisamos conhecer os processos de transformação e de transferência de energia. No modelo que utilizaremos existem somente dois processos para que isto ocorra: o calor e o trabalho.

2. Processos de transformação e de transferência de energia.

No modelo que estamos trabalhando há apenas dois processos de transformação e/ou transferência de energia: o calor e o trabalho.

O calor é um processo de transferência de energia entre dois corpos que ocorre exclusivamente por diferença de temperaturas. Este processo é detalhado no estudo da física térmica e não será nosso foco neste momento.

O trabalho é um processo através do qual se pode transferir e transformar energia a partir dos efeitos das forças. No caso do estudo da eletricidade, a força responsável por estas transformações e transferências é a força elétrica.

Vamos utilizar, para representar o trabalho a letra W (trabalho=work em inglês). O Trabalho depende da força exercida, do deslocamento do corpo que sofre esta força, durante o tempo em que a força está sendo exercida, e do ângulo entre o vetor força e o vetor deslocamento:

W=F.d Unidade SI: joule (1 J = 1N.m)

Se colocarmos a equação desta forma, temos a indicação de que as grandezas que fornecem o trabalho são VETORIAIS, porém o resultado da operação é ESCALAR, pois, como trabalho é a quantidade de energia transformada então, assim como a energia, o trabalho é um escalar. Então a operação acima indica um PRODUTO ESCALAR entre dois vetores. Se quisermos colocar a equação em termos dos módulos dos vetores teremos:

W = F.d.cosθ

Se o valor da força for constante durante todo o trajeto, assim como o ângulo entre a força e o deslocamento, então conhecer a equação acima é suficiente.

Porém, caso haja variações, teremos que somar as contribuições de cada valor de força ao longo de pedacinhos infinitesimais de deslocamento que podem ser associados a cada um destes valores de força. Para generalizar esta situação podemos utilizar a integração, que nada mais é do que uma soma de parcelas infinitamente pequenas:

3. Sistemas Conservativos

Para representar a energia, sem confundi-la com o campo elétrico, vamos usar a letra grega épslon (ε) (ou o “e” maiúsculo redondinho!). Como trabalho é um processo de transformação e de transferência de energia, ele pode ser quantificado a partir da variação da energia.

W=Δε

Mas na maioria dos processos de transferência e de transformação há mais de um tipo de energia sofrendo variações. A qual energia devemos nos referir para quantificar o trabalho? A forma como o modelo mecânico para transformações de energia foi construído, relaciona o trabalho diretamente com as variações da energia cinética:

W=Δε_c

Um SISTEMA CONSERVATIVO é aquele no qual todas as forças envolvidas são conservativas (exemplo: força gravitacional, força elétrica), quando temos uma situação deste tipo, toda a energia cinética é transformada em energia potencial e vice-versa, as energias envolvidas são sempre reaproveitáveis.

Um SISTEMA DISSIPATIVO é aquele no qual há forças dissipativas envolvidas (exemplo: atrito, impacto inelástico), e uma parcela da energia é transformada em energia não aproveitável, como energia de deformação, ruído ou aquecimento (aumento da entropia).

No caso de termos um sistema conservativo, a variação da energia cinética, Δε_c, tem mesmo valor da variação da energia potencial, Δε_p, porém com sinal contrário, pois quando uma aumenta a outra diminui na mesma quantidade, devido ao princípio de conservação. Podemos então escrever:

Δε_c=ε_cf-ε_ci è Δε_P=ε_Pf-ε_Pi è Δε_c= - Δε_P

Então, como W=Δε_c podemos relacionar também trabalho com energia potencial elétrica: W= - Δε_P

Aniversário de Les Paulo - Guitarras Les Paul

2011-06-09T14:26:00.001-03:00

Hoje é o 96º aniversario de Les Paul, então ficam as imagens do modelo de guitarra criado por esse grande guitarrista:

Imagens e Wallpapers de guitarras, clique para ampliar:

Les Paul (nome artístico de Lester William Polfus; Waukesha, 9 de junho de 1915 — White Plains, 12 de agosto de 2009 [1]), foi um virtuoso guitarrista e pioneiro no desenvolvimento de técnicas e instrumentos musicais elétricos.

Carreira

Começou a se interessar por música aos oito anos de idade, quando começou a tocar gaita. Logo aprendeu banjo e posteriormente guitarra. Aos 13 anos de idade já era guitarrista de música country e já tocava profissionalmente.

Após participar de algumas bandas, Paul lançou seus dois primeiros discos em 1936: um deles com o nome de Rhubarb Red, e outro como músico da banda de Georgia White. Aos poucos Les Paul adquiria fama e surpreendia o mundo inteiro por seu talento fantástico com o instrumento e sua virtuosidade e velocidade anormal nos solos, que até os dias atuais surpreende a todos que o ouvem.

Guitarras

Após anos fabricando suas próprias guitarras e inovando com novos modelos e características de fabricação, cria uma das primeiras guitarras com corpo de madeira sólido. A Gibson Guitar Corporation fabricou algumas dessas guitarras, mas não quis assiná-las com logo da marca. Após alguns anos, a fabricante mudou de ideia.

Gravação multicanal

Les Paul foi também o criador da gravação multicanal. Em 1948, a Capitol Records lançou uma gravação que havia começado como um experimento na garagem de Paul, intitulada "Lover (When You're Near Me)", na qual Paul tocou oito partes diferentes na guitarra, algumas gravadas em meia velocidade, portanto soando no dobro da velocidade quando tocadas normalmente para a produção da gravação master. A canção "Brazil", similarmente gravada, estava no lado B.

Esta foi a primeira vez que uma gravação multicanal foi realizada. Estas gravações não foram feitas com fita magnética, mas com discos de acetato. Paul gravava uma trilha em um disco e então gravava a si mesmo tocando uma segunda parte junto com o disco em um segundo disco e assim sucessivamente. Ele construiu a gravação multicanal com trilhas sobrepostas, ao invés de paralelas como ele mesmo fez mais tarde. Até chegar em um resultado com o qual estava satisfeito, ele descartou aproximadamente 500 discos de acetato.

Morte

Em 12 de agosto de 2009, Paul morreu de complicações de pneumonia no White Plains Hospital, em White Plains, Nova Iorque. Sua família e seus amigos estavam ao seu lado, Paul deixou quatro filhos e sua esposa Arlene Palmer.

Ao saber da sua morte, muitos artistas e músicos homenagearam-no e expressaram publicamente sua tristeza. O ex Guns N 'Roses, o guitarrista Slash, o chamou de "vibrante e cheio de energia positiva". O guitarrista do U2, The Edge, disse: "Seu legado como músico e inventor vai viver e sua influência sobre o rock and roll nunca será esquecida".

Em 21 de agosto de 2009, ele foi enterrado em Waukesha no Cemitério Prairie Home indicando que seu túmulo seria uma área onde os visitantes pudessem facilmente visualizar. Tal como o seu funeral, em Nova Iorque, em 19 de agosto, o enterro foi privado, mas no início do dia uma exibição pública de memorial do caixão fechado foi realizada em Milwaukee no Discovery World, com 1.500 pessoas a quem foi oferecida a admissão livre a Les Paul House of Sound.

Fonte do texto: wikipedia

[MAIOR DO MUNDO#1] Maior mesa de fla-flu!

2011-06-09T13:51:00.000-03:00

Confira a maior mesa de fla-flu (totó/pebolim) do mundo:

Clique para ampliar as imagens:

Maior mesa de Fla-Flu do mundo, créditos: CyberVida.com.br

Mesa de FlaFlu para 3 jogadores. Créditos: canecocheio.blogspot.com

[OXIDOU#1] Fuscas oxidados!

2011-06-09T13:32:00.000-03:00

Mais uma da série OXIDOU:
Fuscas oxidados:

Álguem tem um fusca oxidado em casa, ou no vizinho, o sogrão? Manda para cá.

[OXIDOU#1] Sapos Oxidam?

2011-06-09T13:11:00.002-03:00

Com o passar dos longos anos de vidas, os sapos que ficam muito tempo na água tem a pele oxidada, confira o que aconteceu com esse réptil:

Sapo oxidado. Imgem extraída de: http://pt.mongabay.com/travel/files/p7596p.html

Sapo cururu oxidado

Eu ainda não vi sapos dessa cor, álguem já viu? é comum?

Preservativo com 'ondas', muito mais prazer para ela

2011-06-09T10:58:00.001-03:00

Preservativo Wave
Uma onda de prazer que invade o corpo da mulher. Com a textura ondulada, as áreas mais sensíveis são estimuladas. A camisinha ideal para quem quer mais estímulos e adora sentir cada movimento.

Para dar um toque diferente na relação, Prudence Wave tem linhas horizontais que oferecem maior prazer estimulando áreas sensíveis do corpo. A textura torna o sexo mais provocante e excitante !

Especificações Técnicas:

Preservativo masculino, texturizado, lubrificado, opaco, lados paralelos e reservatório.
Composição: borracha de látex natural vulcanizada, com lubrificante de silicone.
Comprimento Mínimo: 160 mm
Largura Nominal: 52 mm
Espessura: 0.020 mm
Contém: 03 unidades

Muito mais prazer para ela, e uma leve impressão: parece que é bem mais resistente do que os preservativos comuns.

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Apocalipse - o fim do mundo

2011-06-07T14:18:00.001-03:00

Muitos dizem que o mundo vai acabar (ou mudar, e muito) em 2012, alguns diziam que deveria ter ocorrido em 2000, e muitos outros. Há até padre tendo preságios. Mas a verdade é que niguem sabe, o mundo acaba para aqueles que morrem, por que não? Cada um tem o seu apocalipse na hora que morre.

Mas em todos os casos, encontrei no Minilua imagens artistícas (e muito bem feitas) que tentam mostrar (prever) como seria o tal apocalipse:

Imagens do apocalipse criadas por Steve McGhee:

Clique para ampliar

Imagens do apocalipse criadas por Vladimir Manyuhin:

Camaro, no Mundo, no Brasil, em Transformers, fotos

2011-06-07T13:45:00.000-03:00

Como pra mim, talvez também seja considera por muitos: 'o carro'. Jogava em joguinhos, o muscle em NeedForSpeedCarbon, babei em Transformers, e agora nas ruas, no Brasil. Segue fotos e wallpapers do Camaro da Chevrolett. Algumas imagens são montagens:

Clique para ampliar

Tipos de bonsai

2011-01-28T11:14:00.003-02:00

BONSAI CHOKKAN – VERTICAL FORMAL

Por ser a forma mais básica de um bonsai, é aquela que se recomenda aos principiantes. Devido às suas proporções equilibradas – tronco recto, características arredondadas, ramos que vão abrindo de cima para baixo, sendo mais compridos na base para criar um efeito horizontal muito agradável.

BONSAI SHAKAN – INCLINADO

A posição natural das árvores é voltada para onde está a luz ou inclinada porque os ventos a empurraram de forma contínua… assim é este bonsai. O tronco é direito, mas inclinado a partir da base, estando as raízes afastadas de um lado e comprimidas do outro, para apoiar a pequena árvore.

BONSAI MOYOGI – VERTICAL INFORMAL

Apesar de muito semelhante ao estilo direito e formal, principalmente porque o topo do bonsai também está posicionado sobre a base do tronco, este modelo permite algumas curvas, com ramos estendidos nas mesmas direcções. O resultado é um efeito dinâmico e de movimento.

BONSAI FUKINAGASHI – VARRIDO PELO VENTO

Tal como o próprio nome indica, o bonsai está inclinado para um lado, enquanto o ramo mais próximo da base está voltado para a direcção oposta. Existem três ângulos possíveis para este modelo: uma inclinação ligeira, uma inclinação que varia entre os 30 e os 45 graus ou uma inclinação acentuada. O aspecto geral é uma árvore que parece ter sido fustigada por ventos ou uma forte tempestade.

BONSAI HOKIDACHI – VASSOURA

Um estilo clássico dos bonsai, mas extremamente difícil de conseguir, recebeu o seu nome das tradicionais vassouras japonesas. O seu tronco direito suporta uma copa de ramos finos que criam um efeito aberto, uniforme e muito bonito.

Kengai – Tronco Projectado Para Baixo / Da Borda da Bandeja

BONSAI KENGAI – CASCATA

Neste estilo, o ramo principal do bonsai, ou até mesmo o tronco, está adestrado para crescer verticalmente, para depois ser direccionado para baixo. A apresentação final é um bonsai “descaído”, abaixo do bordo do vaso, o que lhe confere o ar de uma árvore de montanha que suporta condições climatéricas adversas como a neve ou o vento forte.

BONSAI HAN-KENGAI – SEMI-CASCATA

Uma derivação do modelo anterior, neste bonsai apenas um dos ramos (normalmente o mais baixo) encontra-se abaixo do bordo do vaso. O tronco mantém-se vertical, com uma ligeira inclinação.

BONSAI BUNJIN – LITERATI

“Literati” é a palavra latim para “pessoas letradas” e este modelo de bonsai, elegante e irrepreensível, é inspirado nos quadros dos estudiosos “wenjen”, que os japoneses traduziram para “bunjin”. O tronco deste modelo, encontrado principalmente nas costas ou em áreas onde as árvores crescem em direcção à luz, está marcado por várias curvas.

Troncos Compostos

BONSAI SOKAN – TRONCO DUPLO

Tal como o próprio nome indica, este bonsai desenvolveu dois troncos a partir das mesmas raízes, dividindo-se logo a partir do solo ou mais acima, a partir do tronco. No entanto, um dos troncos mantém-se predominante.

BONSAI KABUDACHI – TRONCO MÚLTIPLO

Semelhante ao estilo anterior, este bonsai apresenta vários troncos, desenvolvidos a partir das mesmas raízes e normalmente logo a partir do solo. Como cada tronco procura a sua própria fonte de luz, estes estendem-se em várias direcções, mas o conjunto revela-se muito harmonioso.

BONSAI YOSE-UE – BOSQUE OU FLORESTA

O nome diz tudo e este bonsai é, na realidade, um conjunto de bonsai, propositadamente plantados em grupo (por norma em número impar), para criar o efeito espectacular de uma floresta em miniatura.

Raízes

BONSAI NEAGARI – RAÍZES EXPOSTAS

Formal ou informal, este bonsai tem o tronco recto com ramos alongados, estendendo-se, horizontalmente, para além do próprio vaso. O destaque vai, porém, para as raízes expostas, que conferem um ar de solidez e de resistência às inundações ou erosões do solo que parecem ter colocado as suas raízes a nu.

BONSAI ISHITSUKI – RAÍZES SOBRE A ROCHA

Este modelo é consistente com as árvores que crescem nas falésias ou montanhas, simplesmente agarradas às rochas – tanto até, que também as raízes ficam expostas sobre a rocha e não escondidas debaixo de terra como é habitual.

Tudo sobre o Bonsai:

Origens históricas do bonsai, hobby do bonsai, tecnicas de controle de crescimento do bonsai, estilos de bonsai, metodos de cultivo do bonsai

Bonsai

2011-01-28T11:12:00.002-02:00

Bonsai

Bonsai (japonês: bon-sai), que significa "árvore em bandeja".

Um bonsai precisa ter outros atributos entretanto além de simplesmente estar num vaso raso. A planta deve ser uma replica de uma arvore da natureza em miniatura. Deve simular os padrões de crescimento e os efeitos da gravidade sobre os galhos, além das marcas do tempo e estrutura geral dos galhos. Essencialmente é uma obra de arte produzida pelo homem através de cuidados especializados.

As origens históricas

Apesar da forte associação entre o cultivo de bonsai e a cultura japonesa, na verdade foram os chineses os primeiros a cultivar árvores e arbustos em vasos de cerâmica. Há provas de que, já em 200 d.C. os chineses cultivavam plantas envasadas (mais conhecidas como Penjing) como prática habitual da sua atividade de jardinagem.

O bonsai como hobby

No Ocidente o cultivo de bonsai como hobby desenvolveu-se bastante nos últimos 20 anos e hoje estas pequenas árvores estão espalhadas por todo o mundo. O crescente interesse pelo bonsai é partilhado com a crescente atenção dada às artes orientais nos últimos anos. Apesar de parecer um hobby extremamente exótico, o cultivo de árvores em miniatura não é por si só muito mais complexo do que a jardinagem comum aplicada a plantas em vasos. A diferença básica é o cuidado para reproduzir as características de uma árvore de porte muito maior, e aí reside a dificuldade. Mais do que cuidadosa poda e adubação, é preciso também muita paciência e alguma habilidade artística.

Técnicas de controle de crescimento

O crescimento das árvores é controlado com a aplicação de várias técnicas:

Restrição do crescimento das raízes pelo vaso utilizado: Uma árvore não possui essa restrição na natureza, por isso cresce livremente.
Poda das raízes: Dependendo da idade e espécie da árvore, as raízes são podadas, em geral no inverno pois a planta está em estado de dormência, e é realizada a troca da terra (substrato).
Uso de adubos com menor quantidade de nitrogénio: O nitrogénio em excesso provoca crescimento acelerado e folhas com tamanho maior que o desejado.
Rega em quantidades moderadas: Entenda-se por moderada a rega feita com critério, não com economia. O que não podemos fazer é molhar nosso bonsai todos os dias, se ele não seca de um dia para o outro, por isso o clima, o vento, a localização da árvore vão sempre incidir directamente na frequência de rega. A rigor, deve usar-se a sensibilidade, regar quando a terra estiver seca, e não regar quando ela estiver ainda úmida.

As árvores não são modificadas geneticamente. Praticamente qualquer espécie pode ser utilizada, sendo as mais famosas, as dos gêneros Pinus(pinheiros), Acer (bordo), Ulmus (olmos), Juniperus (junípero/zimbro), Ficus(figueira),Rhododendron (rododendro ou azaléia), dentre outros.

Estilos

Podem ser encontrados bonsais de vários tamanhos, sendo que a maioria fica entre 5 cm e 80 cm. Os bonsais medindo até aproximadamente 25 cm podem ser chamados shohin. Costuma-se chamar os bonsais menores que 7 cm denano.

Bonsai

Podemos encontrar, na natureza, árvores que crescem em formas bastante variadas. Essas formas são imitadas através de "treinamento" (aramação e poda). Os estilos abaixo são os básicos tradicionais. Existem outros que são considerados subtipos dos descritos abaixo.

Estilo floresta

Chokan: Estilo ereto formal. Árvore com tronco reto, que vai diminuindo de espessura gradualmente, da base ao ápice. Os ramos devem ser simétricos e bem balanceados.

Estilo semi-cascata

Moyogi: Estilo ereto informal. Tronco sinuoso, inclinando-se em mais de uma direção à medida que progride para o ápice, embora mantendo uma posição geral mais ou menos ereta. A árvore deve dar a impressão de um movimento gracioso.

Estilo formal

Shakan: Estilo inclinado. Tronco reto ou ligeiramente sinuoso, inclinando-se predominantemente em uma direção.
Kengai: Estilo cascata. A árvore se dirige para fora da lateral do vaso e então se movimenta para baixo, na direção da base do vaso, ultrapassando a borda do mesmo. Os vasos nesse estilo são estreitos e profundos.
Han-kengai: Estilo semi-cascata. Semelhante ao anterior, com a árvore caindo a um nivel abaixo da borda do vaso, mas não chega a altura da base do vaso.
Fukinagashi: Varrido pelo vento. Árvore com ramo e tronco inclinados como que moldados pela força do vento.

Métodos de Cultivo

Misho

O método do misho é o cultivo a partir de sementes. Consiste em escolher uma espécie que dela se queira adquirir um bonsai, conseguir algumas sementes desta planta (se a espécie escolhida não apresentar sementes, o misho não se emprega nesse caso), plantar e esperar a germinação - processo que pode durar, dependendo da espécie, de 1 a 3 meses.

Método:
- Escolhidas as sementes, deve-se selecionar as que estão ainda viáveis. Um método bastante eficaz consiste em deixá-las em um vaso com água na noite anterior ao plantio, de um dia para o outro. As sementes férteis irão afundar e as mortas flutuarão.
- Deve-se preparar a sementeira, de preferência um vaso ou caixa de madeira com aproximadamente 15 cm de profundidade, com um orifício no fundo para drenagem, que deve ser coberto com uma tela de náilon para impedir escoamento do conteúdo.
- Deve-se cobrir 1/4 da profundidade do vaso com grânulos de cascalho.
- A camada seguinte deve ser já o substrato (sem cascalho fino) até um pouco mais da metade do vaso. Não deve ser utilizado nenhum tipo de adubo nessa fase.
- As sementes devem ser depositadas nessa camada de terra, separadas 4 cm uma das outras e cobertas com uma camada de 2cm de terra fina.
- A rega deve ser abundante, mas não a ponto de encharcar o vaso.
- Depois de 3 meses de brotamento as plantas estão prontas para adubação. Pode ser aplicada uma pequena quantidade de adubo líquido, colza ou torta de mamona.
- Dependendo da espécie, a época de se transplantar a muda para uma bandeja de bonsai varia entre 1 a 2 anos. Após esse período ainda não temos um bonsai, apenas uma muda. Deve-se então continuar com os passos do método Yamadori.

Yamadori

Yamadori significa mudas colhidas na natureza, mas para conseguir as mudas, você pode muito bem comprá-las num horto. Este método pode ser aplicado como continuação do misho, porém, com a economia de alguns meses (a idade da muda irá influir neste caso). A muda deve apresentar caule curto porque algumas espécies tendem ao crescimento vertical exagerado do caule, tornando-se inadequadas para se tornarem um bonsai - por isso devem ser moldadas desde muito cedo.

Vale notar que em caso de colheita da muda natural, deve-se ter cuidado para não danificar as raízes na hora da retirada.

Método:
- As mudas, quando compradas, geralmente virão em um saquinho de plástico preto que deverá ser removido no início do processo.
- Embora os bonsai sejam plantados em uma bandeja, as mudas adquiridas não devem ser replantadas de imediato nesse tipo de recipiente pois ainda não são bonsai - devendo portanto ser replantadas com procedimentos semelhantes aos do misho, no que diz respeito ao preparo do solo.
- Uma vez que a muda for retirada da terra, os galhos devem ser podados na proporção do volume das raízes. A poda deve ser feita com tesoura bem afiada e muito cuidadosamente, de modo a não prejudicar a forma que se deseja dar ao futuro bonsai. Deve-se começar a poda pelas raízes secas ou danificadas, e prosseguir para os galhos em igual situação. Terminada a chamada poda de limpeza, deve-se observar a proporção do volume de raízes em relação aos galhos: se faltarem muitas raízes, talvez seja necessário podar alguns galhos. A proporção dos galhos em relação às raízes é geralmente seis galhos para quatro raízes.
- Deve-se acomodar as raízes da muda no vaso e acrescentar terra gradualmente, compactando-a levemente com os dedos. O vaso deve conter terra o suficiente para cobrir as raízes, mas sem nunca ultrapassar a borda do vaso. Deve-se pressionar a área aterrada com as mãos usando pouca força, e sem a utilização de ferramentas.
- Depois que a muda for plantada, talvez ela precise ser amarrada ao vaso com um barbante forte, fio ou apoiada de alguma forma para não mudar de posição ou cair, até que as raízes fiquem mais fortes. Esse apoio deve ser mantido por cinco meses.
- As mudas recentemente plantadas devem ser colocadas a meia sombra, ao abrigo dos raios diretos do sol e do vento. Como este é o estágio de crescimento de raízes novas, deve-se regar a terra duas vezes por dia durante os três primeiros meses.

Existem também outros métodos de cultivo como o sashiki, que é a preparação de mudas para bonsai por estacas de galhos, e a alporquia, que é a técnica aplicada com o objetivo de forçar o crescimento de raízes de um determinado local de um galho ou segmento de tronco de uma árvore natural.

Confira aqui os tipos de bonsai que existem:

Como realmente conhecer uma pessoa

2011-01-28T10:24:00.001-02:00

Eu acho que é possível conhecer muito bem uma pessoa antes do casamento, não é isso que você está pensando, é o que você não está pensando.