Matemática

Multiplique a sua renda

2016-12-07T01:57:00.002-08:00

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Matemática da Copa

2013-12-17T16:04:00.001-08:00

Numa partida da Copa do Mundo, no instante em que os raios solares incidiam perpendicularmente sobre o gramado, o jogador "Lapiseira" chutou a bola em direção ao gol, de 2,30m de altura interna. A sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol.

A bola descreveu uma parábola e, quando começou a cair da altura máxima de 9 metros, sua sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol. Após o chute de "Lapiseira", nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento. A representação gráfica do lance em um plano cartesiano está sugerida na figura a seguir:

a) na baliza

b) atrás do gol

c) dentro do gol

d) antes da linha do gol

e) NDA

Matemática da copa de 2014

2013-12-17T15:59:00.001-08:00

As bolas de futebol clássicas são construídas com base em poliedros, que têm como faces 20 hexágonos e 12 pentágonos, todos regulares, conforme mostra a figura. O número de vértices do poliedro é: a) 64 b) 90 c) 60 d) 72 e) 56

Problemas Matemáticos

2013-12-17T06:23:00.000-08:00

Os problemas matemáticos são resolvidos utilizando inúmeros recursos matemáticos, destacando, entre todos, os princípios algébricos, os quais são divididos de acordo com o nível de dificuldade e abordagem dos conteúdos. Nas séries iniciais os cálculos envolvem adições e subtrações; posteriormente, multiplicações e divisões.

Na 2ª fase do Ensino Fundamental os problemas são resolvidos com a utilização dos fundamentos algébricos, isto é, criamos equações matemáticas com valores desconhecidos (letras). Observe algumas situações que podem ser descritas com utilização da álgebra.

O dobro de um número adicionado com 4 → 2x + 4.

A soma de dois números consecutivos → x + (x + 1)

O quadrado de um número mais 10 → x² + 10

O triplo de um número adicionado ao dobro do número → 3x + 2x

A metade da soma de um número com 15 → (x + 15)/2

A quarta parte de um número → x/4

Exemplo 1

A soma de três números pares consecutivos é igual a 96. Determine-os.

1º número: x

2º número: x + 2

3º número: x + 4

( x )+(x + 2) + (x + 4) = 96

Resolução

x + x + 2 + x + 4 = 96

3x = 96 – 4 – 2

3x = 96 – 6

3x = 90

x = 90/3

x = 30

1º número: x → 30

2º número: x + 2 → 30 + 2 = 32

3º número: x + 4 → 30 + 4 = 34

Os números procurados são 30, 32 e 34.

Exemplo 2

O triplo de um número natural somado a 4 é igual ao quadrado de 5. Calcule-o:

Resolução:

3x + 4 = 5²

3x = 25 – 4

3x = 21

x = 21/3

x = 7

O número procurado é igual a 7.

Exemplo 3

A idade de um pai é o quádruplo da idade de seu filho. Daqui a cinco anos, a idade do pai será o triplo da idade do filho. Qual é a idade atual de cada um?

Resolução:

Atualmente

Filho: x

Pai: 4x

Futuramente

Filho: x + 5

Pai: 4x + 5

4x + 5 = 3 * (x + 5)

4x + 5 = 3x + 15

4x – 3x = 15 – 5

x = 10

Pai: 4x → 4 * 10 = 40

O filho tem 10 anos e o pai tem 40.

Exemplo 4

O dobro de um número adicionado ao seu triplo corresponde a 20. Qual é o número?

Resolução

2x + 3x = 20

5x = 20

x = 20/5

x = 4

O número corresponde a 4.

Exemplo 5

Em uma chácara existem galinhas e coelhos totalizando 35 animais, os quais somam juntos 100 pés. Determine o número de galinhas e coelhos existentes nessa chácara.

Galinhas: g

Coelhos: c

g + c = 35

Cada galinha possui 2 pés e cada coelho 4, então:

2g + 4c = 100

Sistema de equações

Isolando c na 1ª equação:

g + c = 35

c = 35 – g

Substituindo c na 2ª equação:

2g + 4c = 100

2g + 4 * (35 – g) = 100

2g + 140 – 4g = 100

2g – 4g = 100 – 140

– 2g = – 40

g = 40/2

g = 20

Calculando c

c = 35 – g

c = 35 – 20

c = 15

Desafio - Permutação

2013-12-17T06:16:00.000-08:00

CONSIDERE OS NÚMEROS OBTIDOS DO NÚMERO 12345, EFETUANDO-SE TODAS AS PERMUTAÇÕES DE SEUS ALGARISMOS. COLOCANDO ESSES NÚMEROS EM ORDEM CRESCENTE, QUAL É O LUGAR OCUPADO PELO NÚMERO 43521?

Colocando-se as permutações obtidas pelos 5 algarismos em ordem crescente:

1xxxx => P4 = 4! = 24

2xxxx => P4 = 4! = 24

3xxxx => P4 = 4! = 24

41xxx => P3 = 3! = 6

42xxx => P3 = 3! = 6

431xx => P2 = 2! = 2

432xx => P2 = 2! = 2

4351x => P1 = 1! = 1

Somando todas elas:

24+24+24+6+6+2+2+1 = 89

Então o número 43521 está na posição 89+1 = 90.

Resposta: O número 43521 está na 90º posição.

Teste - números primos

2013-12-16T13:28:00.001-08:00

Teste Rápido para confirmar números primos:

Para os números primos pequenos, podemos usar o que chamamos de Crivo de Erastótenes, ou simplesmente a método da divisão por tentativa. Este método é seguro e é um dos melhores para os números pequenos. Porém, são extramemente demorados antes mesmo que os números atinjam 25 dígitos.

O método por tentativa, conforme exposto acima, é simples e podemos calcular se um número é primo.

Para determinar se certo número inteiro pequeno é primo, basta dividir por todos os números primos menores ou iguais à sua raiz quadrada.

Um exemplo simples :

Vamos saber se 323 é um número primo. A raiz quadrada de 323 é = 17,9722, então, vamos dividir 323 por 2,3,5,7,11 e 17. Caso nenhum destes primos dividirem 323, então este número será primo. Fazendo as divisões e os cálculos, verificamos que este número não é primo, pois é divisível por 17. Veja: 323÷2= 161, resto 1 | 323÷3=107, resto 2 |323÷5=64, resto 3 |323÷7=46, resto 1 | 323÷11=29, resto 4 | 323÷17= 19, resto 0

Observe uma tabela com alguns números primos para consultas futuras, apenas 100 números, existem milhares de números primos.

Conjunto dos números

2013-12-16T13:25:00.001-08:00

Conjunto dos Números

Números Inteiros

O conjunto de números inteiros representados pela letra “Z”, é o conjunto dos números inteiros naturais acrescentados dos seus respectivos números opostos negativos. Podemos dizer que os números inteiros expressam em sua definição sentido de quantidade (os números inteiros positivos) e a “falta” de quantidade (os números inteiros negativos).

Assim os números inteiros são exemplos:

Z = {-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

Temos ainda derivado dos números inteiros “Z”, o conjunto dos números inteiros sem o elemento “ 0”.

Z* = {-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,3,4,5,6,7,8,9,10} Os números naturais são representados na matemática pela letra “N”. Através deste simples conjunto abaixo podemos fixar a idéia de números naturais: N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19, 20,21,22,23,24,25,26,27....} Chegamos então à conclusão que como todos os números naturais “N”, são número inteiros “Z”, então dizemos que “N” é um subconjunto de “Z”, ou que N está contido em Z = NZ.

Números Racionais

Números racionais podem ser definidos como números que podem ser escritos na forma P/Q (P dividido por Q).

Assim, quando dividimos um número inteiro, por exemplo, representado pela letra (b), por outro número inteiro representado pela letra (c), temos como resultado um número racional. Os números racionais são representados por uma porção inteira e uma porção fracionária. Um exemplo simples:

Se b= 10 e c= 5, temos como resultado o número racional 2,0. Quando b=3 e c = 5, temos como resultado o número racional = 0,6. Ambos têm um número finito e limitado de casas após a vírgula e são definidos como números racionais de decimal exata.

É claro que existem casos de números de casas após a vírgula, que são infinitos, pois a divisão não é exata.

Um exemplo simples:

Se b=6 e c=9, temos como resultado o número racional de casa após a vírgula infinita 0,6666666... É o que chamamos e a matemática define como dizima periódica.

Consideramos então que os números racionais englobam todos os números inteiros e aqueles que ficam nos intervalos entre os números inteiros.

Número racional

A letra que representa os Números Racionais = Q

Exemplo de números racionais Q = {-1-,2,-3,0,1,(1,5),(1,7),2,3}

O símbolo Q* é usado para determinar o conjunto dos números racionais sem o número “ 0”.

Q* = {-1,-2,-3,1,(1,5),(1,7)}

Números Irracionais

Números Irracionais é o conjunto dos números que não podem ser escritos na forma P/Q (P dividido por Q), como P e Q inteiros. Então quando a divisão de dois números tem como resultado um número com infinitas casas depois da vírgula que não se repetem periodicamente (dízima periódica), temos como resultado um número chamado e definido pela matemática como Irracional. Não podemos situar um número Irracional em uma reta de números.

Exemplos de Números Irracionais: Raiz quadrada do número 2, número 3, e etc.

Um número irracional famoso é o PI () = 3,141592...

O número de Euler = 2,71828 Numero Irracional na reta numérica: (Não podemos definir)

Números Reais

Números Reais é o conjunto de números formados pelos números irracionais e racionais, e é indicado pela letra “R”.

Como todo número natural é inteiro, todo número inteiro, então, é racional e todo número racional é real, temos a seguinte sentença:

N > Z > Q > R

Os Números Reais sem o elemento “ 0” são indicados pela letra R*, tornando-se o conjunto de números reais sem o número “ 0”, ou seja, R* = R-{0}. Números Primos

Números primos são todos os números inteiros diferentes do número 1, que somente são divisíveis por 1 e por ele mesmo. Estes números têm grande importância na Aritmética.

Para os números inteiros podemos provar com facilidade que:

1. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é considerado primo se, sempre que dividir o produto dos inteiros yz, então também divide y ou z (ou então talvez ambos).

2. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é primo se não puder ser decomposto em fatores X=yz, nenhum deles sendo 1 ou -1.

Como podemos provar que um número é primo ou não?

Para comprovamos a primalidade de um número devemos ter em mente que com números pequenos a tarefa até que não é muito complicada, mas à medida que os números se tornam maiores, a comprovação de quem número é primo ou não, ou seja, comprovar sua primalidade pode se tornar muito complexo.

O que é a matemática, para que serve e qual a sua importância

2013-12-16T13:18:00.002-08:00

Conhecimentos Básicos de Matemática

O que é Matemática?

Podemos dizer que é difícil definir em poucas palavras o que é matemática, e toda definição não conseguirá expressar o grande complexo que é o significado da matemática; porém podemos tentar dar uma noção: A principio a palavra matemática deriva da palavra grega "matemathike" que significa "ensinamentos". A matemática é uma ciência formal (suas evidências e definições são independentes das outras ciências) que se baseia em: teoremas, e etc, para chegar a conclusões teóricas e práticas. Ela também pode ser vista como um sistema formal de pensamento para reconhecer, classificar e explorar padrões. A matemática como uma expressão da mente humana, ativa os reflexos, o expressar da razão e o grande desejo pela perfeição em números, pois 2+2 = 4 e não = 5. É também chamada por muitos estudiosos de linguagem universal ( a matemática é uma linguagem porque é formada por signos representativos e linguísticos que passam idéias e significados). Pode ser dividida em matemática aplicada com seus elementos básicos e a matemática pura.

Para que serve a matemática?

É o método mais eficiente de racionalizar a natureza e seus complexos de sentidos. Em razão da matemática, conseguimos desvendar e resolver um número bem extenso de problemas de diversas áreas da Ciência. Vamos a alguns exemplos: 1. Qual a curva que liga dois pontos fixos?

2.Qual o caminho que a luz faz ao refletir numa superfície qualquer?

3.Por que quando apertamos os pólos de um ovo não conseguimos quebrá-los?

4.Quanto é 2+2?

Isto mesmo sem a matemática, nem esta simples operação você conseguiria resolver com tamanha facilidade.

É realmente interessante a Ciência Matemática e seus poderes de resoluções..

Qual a importância da matemática na sociedade ?

Estamos cientes que, a parte mais simples e conhecida da matemática é a aritmética (operações com números). Imagine só se os números simplesmente não existissem em nosso mundo. Como seríamos? Como poderíamos receber nosso salário? Ou mesmo fazer um simples cálculo de idade. Um pouco complicado, não ? Temos que admitir que estamos cercados por números! A qualquer lugar que você vá aparecerá a necessidade de quantificação, em outras palavras : números. Esta é talvez a principal teoria da matemática, mas não é a única, pois existem muitas outras as quais são também aplicáveis à sociedade.

Desafio - combinatória

2013-12-16T06:08:00.000-08:00

UM AUTOMÓVEL COMPORTA DOIS PASSAGEIROS NO BANCO DA FRENTE E TRÊS NO BANCO DE TRÁS. CALCULE O NÚMERO DE ALTERNATIVAS DISTINTAS PARA LOTAR O AUTOMÓVEL UTILIZANDO 7 PESSOAS, DE MODO QUE UMA DESSAS PESSOAS NUNCA OCUPE UM LUGAR NOS BANCOS DA FRENTE.

Resposta:

O PROBLEMA SE RESOLVE DA SEGUINTE MANEIRA:

São 7 pessoas, sendo que uma nunca pode ir num banco da frente.

Vamos chamar essa pessoa de João, por exemplo.

Então primeiro vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel SEM o João, usando apenas as outras seis pessoas:

Como temos 6 pessoas e 5 lugares no carro então calculamos o arranjo de 6 elementos, tomados 5 a 5:

A6,5= 720

Agora vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel COM o João.

Sabemos que o João não pode estar nos bancos da frente, portanto ele deve estar em um dos três bancos de trás.

Então fixamos o João em um dos lugares traseiros (então sobram 4 lugares no carro), e depois calculamos o número de maneiras de colocar as outras 6 pessoas nesses 4 lugares, ou seja, um arranjo de 6 elementos, tomados 4 a 4:

A6,4= 360

O João pode estar em qualquer um dos três bancos de trás, portanto devemos multiplicar esse resultado por 3:

3 x A6,4= 3 x 360 = 1080

O número total de maneiras de lotar o automóvel é a soma dos dois arranjos (COM João e SEM João).

Portanto número total é 720+1080 = 1800 maneiras!!!

Desafio das idades

2013-12-16T06:04:00.001-08:00

Desafio !!

EU TENHO O DOBRO DA IDADE QUE TU TINHAS QUANDO EU TINHA A TUA IDADE. QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ DE 45 ANOS. QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES???

Resposta:

Tu TINHAS uma idade que chamaremos de x e hoje TEM uma idade que chamaremos de y.

Eu TENHO o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a tua idade atual y (o dobro de x) , ou seja, eu TENHO 2x anos.

ENTÃO:

Tu TINHAS x e agora tem y. Eu TINHA y e agora tenho 2x.

Portanto temos que:

y-x = 2x-y

2y=3x

x=(2/3)*y

ENTÃO, substituindo o valor de x, temos:

Tu TINHAS (2/3)*y e agora tem y.Eu TINHA y e agora tenho (4/3)*y.

Agora preste atenção na segunda frase:

QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ DE 45 ANOS.

Tu tem y, e para ter a minha idade, que é (4/3)*y, deve-se somar a tua idade y com mais (1/3)*y.

Somando y + (1/3)*y você terá a minha idade, ou seja, você terá (4/3)*y.

Como somamos (1/3)*y à sua idade, devemos somar à minha também, ou seja:

Agora eu tenho (4/3)*y + (1/3)*y, logo eu tenho (5/3)*y.

A soma de nossas idades deve ser igual a 45 anos:

(4/3)*y + (5/3)*y=45

(9/3)*y=45

3y=45

y=15

No início descobrimos que x=(2/3)*y, portanto x=(2/3)*15, logo x=10.

FINALMENTE: QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES???

COMO DISSEMOS NO INÍCIO, A TUA IDADE ATUAL É y, OU SEJA, 15 ANOS.

E A MINHA IDADE É 2x, OU SEJA, 2.10, QUE É IGUAL A 20 ANOS.

PORTANTO AS IDADES SÃO 20 E 15 ANOS!!!

Aviso: diariamente recebemos e-mails de usuários dizendo que essa resposta está errada, pois somando as idades não obtemos 45. Porém, note que o enunciado não diz que a soma atual das idades é 45, mas sim que "Quando tu tiveres a minha idade, a soma das nossas idades será 45 anos", ou seja, quando o de 15 tiver 20, o de 20 já terá 25 (20+25=45).

Raciocínio lógico- questões

2013-12-13T10:27:00.001-08:00

1 . No Bom Preço 1 Kg de bananas custa 1 real. No Melhor Preço,uma dúzia custa R$2,00. Já que 1kg corresponde a 14 bananas, qual a diferença paga por duas pessoas que compraram cada uma 1,5kg de bananas nos respectivos mercados:

a)R$ 1,00

b)R$ 1,50

c)R$ 2,00

d)R$ 0,50

e)R$ 1,20

2 . Assinale o valor de x da seguinte sequência: 0, 1, 3, 6, x, 15, 21, 28: a)8

b)9

c)10

d)11

e)12

3. A véspera do aniversário de Adriana cai uma semana antes do aniversário de Paula. Se elas nasceram no mesmo ano, é correto afirmar que:

a) Adriana é 6 dias mais velha que Paula.

b)Paula é 8 dias mais nova que Adriana.

c)Adriana é 8 dias mais nova que Paula .

d)Paula é 6 dias mais velha que Adriana.

e)Se num mesmo ano, o aniversário de Paula cair numa 3ª feira, o aniversário de Adriana cairá na 2ª feira.

Matemática Financeira

2013-12-13T10:11:00.002-08:00

A Matemática Financeira possui diversas aplicações no atual sistema econômico. Algumas situações estão presentes no cotidiano das pessoas, como financiamentos de casa e carros, realizações de empréstimos, compras a crediário ou com cartão de crédito, aplicações financeiras, investimentos em bolsas de valores, entre outras situações. Todas as movimentações financeiras são baseadas na estipulação prévia de taxas de juros. Ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é feita através de prestações mensais acrescidas de juros, isto é, o valor de quitação do empréstimo é superior ao valor inicial do empréstimo. A essa diferença damos o nome de juros.

O conceito de juros surgiu no momento em que o homem percebeu a existência de uma afinidade entre o dinheiro e o tempo. As situações de acúmulo de capital e desvalorização monetária davam a ideia de juros, pois isso acontecia em razão do valor momentâneo do dinheiro. Algumas tábuas matemáticas se caracterizavam pela organização dos dados e textos relatavam o uso e a repartição de insumos agrícolas através de operações matemáticas. Os sumérios registravam documentos em tábuas, como faturas, recibos, notas promissórias, operações de crédito, juros simples e compostos, hipotecas, escrituras de vendas e endossos.

Essas tábuas retratavam documentos de empresas comerciais e algumas eram utilizadas como ferramentas auxiliares nos assuntos relacionados ao sistema de peso e medida. Havia tábuas para a multiplicação, inversos multiplicativos, quadrados, cubos e exponenciais. As exponenciais com certeza estavam diretamente ligadas aos cálculos relacionados a juros compostos; e as de inverso eram utilizadas na redução da divisão para a multiplicação.

Nessa época os juros eram pagos pelo uso de sementes e de outros bens emprestados, os agricultores realizavam transações comerciais com as quais adquiriam sementes para as suas plantações. Após a colheita, os agricultores realizavam o pagamento através de sementes com a seguida quantidade proveniente dos juros do empréstimo. A forma de pagamento dos juros foi modificada para suprir as exigências atuais. No caso dos agricultores, era lógico que o pagamento seria feito na colheita seguinte. A relação tempo/ juros foi se ajustando de acordo com a necessidade de cada época. Atualmente, nas transações de empréstimos, o tempo é preestabelecido pelas partes negociantes.

Pensamentos de Pitágoras

2013-12-11T08:39:00.002-08:00

Pensamentos de Pitágoras

Educai as crianças e não será preciso punir os homens.

Não é livre quem não obteve domínio sobre si.

Pensem o que quiserem de ti; faz aquilo que te parece justo.

O que fala semeia; o que escuta recolhe.

Ajuda teus semelhantes a levantar a carga, mas não a carregues.

Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem.

Todas as coisas são números.

A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus.

A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus.

A vida é como uma sala de espetáculos: entra-se, vê-se e sai-se.

A sabedoria plena e completa pertence aos deuses, mas os homens podem desejá-la ou amá-la tornando-se filósofos.

12. Anima-te por teres de suportar as injustiças; a verdadeira desgraça consiste em cometê-las.

Pitágoras

2013-12-11T08:29:00.000-08:00

Os pitagóricos estudaram e demonstraram várias propriedades dos números figurados. Entre estes o mais importante era o número triangular 10, chamado pelos pitagóricos de tetraktys, tétrada em português. Este número era visto como um número místico uma vez que continha os quatro elementos fogo, água, ar e terra: 10=1 + 2 + 3 + 4, e servia de representação para a completude do todo.

α α

α α α

α α α α

A tétrada, que os pitagóricos desenhavam com um α em cima, dois abaixo deste, depois três e por fim quatro na base, era um dos símbolos principais do seu conhecimento avançado das realidades teóricas. Representação toda perfeita em si de qualquer um dos lados que se observe.

Números perfeitos

A soma dos divisores de determinado número com exceção dele mesmo, é o próprio número. Exemplos:

Os divisores de 6 são: 1, 2, 3 e 6. Então, 1 + 2 + 3 = 6.

Os divisores de 28 são: 1,2,4,7,14 e 28. Então, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Teorema de Pitágoras

Uma das formas de demonstrar o Teorema de Pitágoras.

Um problema não solucionado na época de Pitágoras era determinar as relações entre os lados de um triângulo retângulo. Pitágoras provou que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

O primeiro número irracional a ser descoberto foi a raiz quadrada do número 2, que surgiu exatamente da aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo de catetos valendo 1:

1^2 + 1^2 = x^2 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2} Os gregos não conheciam o símbolo da raiz quadrada e diziam simplesmente: "o número que multiplicado por si mesmo é 2".

A partir da descoberta da raiz de 2 foram descobertos muitos outros números irracionais.

Questões - Matemática - Ensino Fundamental

2013-12-04T06:59:00.001-08:00

01. Numa pesquisa sobre jornais, 16% dos entrevistados leem o jornal Notícias, 34% o jornal 1ª Hora e o restante, o jornal Acontecimento.

a) Que porcentagem dos entrevistados leem o jornal Acontecimento?

b) Que fração decimal corresponde a esta porcentagem?__________________

c) Foram entrevistados 400 pessoas, quantas leem o jornal 1ª Hora?

02. A professora de Língua Portuguesa de Matheus, Roberta e Tamires, pediu que eles lessem um mesmo livro para a avaliação bimestral. Passados dez dias, Matheus havia lido 5/12 do livro, Roberta 7/20 e Tamires 6/15. Qual dos três leu mais páginas?

03. Ontem, dormi 1/4 das 24 horas do dia e estudei 1/6 do tempo que estive acordado. a) Que fração das 24 horas do dia representa o tempo que eu estive acordado?

b) Que fração das 24 horas do dia representa o tempo que eu estudei?

c) Quanto tempo eu estudei?

04. A Ana, a Sara, o Diogo e o Rui fizeram um trabalho de grupo para Ciências da Natureza. A Ana fez 2/5 do trabalho, a Sara fez 15% do trabalho e o Diogo o restante.

a) Escreva a fração que representa a parte do trabalho feita pelo Diego.

b) Calcule a porcentagem do trabalho feito pela Ana.

c) Que numero decimal representa a porcentagem do trabalho feito por Sara?

05. Feira de Santana e Alagoinhas são cidades próximas de Salvador, a capital da Bahia. Suponha que de Salvador partam ônibus para Alagoinhas de 30 em 30 minutos, e para Feira, de 25 em 25 minutos. Suponha também que às 6 horas da manhã saíram juntos um ônibus para Feira e outro para Alagoinhas. Nessas condições, responda às perguntas:

a) Quantos minutos depois das 6 horas os dois ônibus sairão juntos novamente pela primeira vez?

b) A que horas do dia isso vai acontecer?

Matemática - questões interessantes

2013-11-27T04:34:00.002-08:00

Exercícios:

1) - João e Maria têm um jarro grande, cada, com um litro de água em cada um. No primeiro dia, João coloca 1 ml da água do seu jarro no jarro da Maria. No segundo dia, Maria coloca 2 ml da água do seu jarro no jarro do João. No terceiro dia, João coloca 3 ml da água do seu jarro no jarro da Maria, e assim por diante. Depois de 200 dias, quantos mililitros de água tem no jarro de Maria?

2- Ontem à noite, terminei de fazer a lista de convidados para o jantar que vou dar no próximo mês. Como haverá trinta pessoas, vou precisar tomar emprestadas algumas mesas de jogo, de tamanho que permita sentar-se uma pessoa de cada lado. Quero dispô-las numa longa fileira, encostadas umas nas outras , naturalmente, quero tomar emprestado o mínimo de mesas possível. De quantas mesas de jogo vou precisar?

3) - As pombas e o gavião

O gavião chega no pombal e diz: - Adeus, minhas cem pombas. As pombas respondem em coro - Cem pombas não somos nós; com mais dois tantos de nós e com você, meu caro gavião, cem pássaros seremos nós.

Quantas pombas estavam no pombal?

Algarismos romanos

2011-08-09T12:17:00.000-07:00

SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANA

Os romanos usavam um sistema interessante para representar os números.
Eles usavam sete letras do alfabeto e a cada uma delas atribuíam valores:

I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1.000

Os numerais I, X, C, M só podem ser repetidos até três vezes.

I = 1 I = 2 III =3
X = 10 XX = 20 XXX = 30
C = 100 CC = 200 CCC = 300
M = 1.000 MM = 2.000 MMM = 3.000

Vamos aprender alguns numerais romanos.

I = 1 XX = 20 CCC = 300
II = 2 XXX = 30 CD = 400
III = 3 XL = 40 D = 500
IV = 4 L = 50 DC = 600
V = 5 LX = 60 DCC = 700
VI = 6 LXX = 70 DCCC = 800
VII = 7 LXXX = 80 CM = 900
VIII = 8 XC = 90 M = 1.000
IX = 9 C = 100 MM = 2.000
X = 10 CC = 200 MMM = 3.000

ATENÇÃO!

Os numerais I, X e C, escritos à direita de numerais maiores, somam-se seus valores aos desses numerais.

Exemplos: VII = 7 ( 5 + 2 ) LX = 60 ( 50 + 10) LXXIII = 73 (50+20+3)
CX = 110 (100+10) CXXX = 130 (100+30) MCC = 1.200 (1.000+200)

Os numerais I, X e C, escritos à esquerda de numerais maiores, subtraem-se seus valores aos desses numerais.

Exemplos: IV = 4 (5-1)
IX = 9 (10-1)
XL = 40 (50-10)
XC = 90 (100-10)
CD = 400 (500-100)
CM = 900 (1.000-100)

Colocando-se um traço horizontal sobre um ou mais numerais, multiplica-se seu valor por 1.000.

Exemplos: __ ___ __
V = 5.000 IX = 9.000 X = 10.000

Equação do 2º grau

2011-04-02T10:52:00.000-07:00

Equação do 2º grau

Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com .

Exemplos:

Equação	a	b	c
x²+2x+1	1	2	1
5x-2x²-1	-2	5	-1

Classificação:

- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.

1º caso: b=0

Considere a equação do 2º grau imcompleta:

x²-9=0 » x²=9 » x= » x=

2º caso: c=0

Considere a equação do 2º grau imcompleta:

x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0 » x=0,9

3º caso: b=c=0

2x²=0 » x=0

Resolução de equações do 2º grau:

A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.

- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.

Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?

Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:

Multiplicamos os dois membros por 4a:

4a²x²+4abx+4ac=0
4a²x²+4abx=-4ac

Somamos b² aos dois membros:

4a²x²+4abx+b²=b²-4ac

Fatoramos o lado esquedo e chamamos de (delta)
b²-4ac:

(2ax+b)²=

2ax+b=

2ax=-b

Logo:
ou

Fórmula de Bháskara:

Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:

1) 3x²-7x+2=0

a=3, b=-7 e c=2

= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25

Substituindo na fórmula:

Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:

2) -x²+4x-4=0

a=-1, b=4 e c=-4

= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0

Sustituindo na fórmual de Bháskara:

» x=2

- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( )

3) 5x²-6x+5=0

a=5 b=-6 c=5

= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64

Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.

Logo: » vazio

Propriedades:

	Duas raízes reais e diferentes
	Duas raízes reais e iguais
	Nenhuma raiz real

Relações entre coeficientes e raízes

Vamos provar as relações descritas acima:

Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são:

A soma das raízes será:

Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

O produto das raízes será:

Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.

Obtendo:

Substituindo por e :

Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:

x² - Sx + P = 0

Exemplos:

1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:

a) x² - 4x + 3=0

[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:

b) 2x² - 6x -8 =0

Sendo a=2, b=-6 e c=-8

c) 4-x² = 0

Sendo a=-1, b=0 e c=4:

Resolução de equações fracionárias do 2º grau:

Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.

Exemplos resolvidos:

a) Onde , pois senão anularia o denominador

[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x

Então:

Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:

Aplicando a fórmula de Bháskara:

Logo, x = 2 e x` = 4. » S={2,-4}

b ) e

[Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)

Então:

Eliminando os denominadores:

» » »

* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo a solução da equação será somente:

x=-1 » S={-1}

Resolução de equações literais do 2º grau:

Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita.

Equação	a	b	c
x² - (m+n)x + p = 0	1	-(m+n)	p

Exemplo: Determine o valor da incógnita x.

1) x²-3ax+2a²=0

[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:

a=1, b=-3a, c=2a²

, Logo:

x = 2a e x = a » S={a,2a}

Resolução de equações biquadradas

Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é:

onde

Exemplo resolvido:

Fazendo x² = y , temos

Substituindo os valores na equação, temos:

y² - 5y + 4 = 0

Aplicando Bháskara:

Logo, y = 4 e y`= 1

Voltando a variável x:

Como y=x², temos:

x²=4 » e x²=1 »

Então a solução será » S={-2,-1,1,2}
ou simplesmente

[ Seção de exercícios ]

Função do 2º grau

2011-04-02T10:49:00.000-07:00

Função do 2º grau

A função do 2º grau ou função quadrática é definida pela expressão do tipo:

y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e

Exemplos:

a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )

b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )

c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )

Gráfico de uma função do 2º grau:

O gráfico de uma função quadrática
é uma parábola

Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa.

Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:

Representação gráfica

Exemplo:

Construa o gráfico da função y=x²:

[Sol] Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

x	y = f(x) = x²
-2	4
-1	1
0	0
1	1
2	4
3	9

Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos.

Coordenadas do vértice

A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por .

Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3

Temos: a=1, b=-4 e c=3

Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?

Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.

Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola
y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.

y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1

Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)

Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!

Raízes (ou zeros) da função do 2º grau

Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula.

y=f(x)=0

Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3.

Vejamos o gráfico:

Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.

Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?

Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior.

Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6:

Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0

Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.

x²+5x+6=0

Acharemos que x = -2 e x` = -3.

Concavidade da parábola

Explicarei esta parte com um simples desenho.


a>0	a<0

Os desenhos até que ficaram bonitinhos, mas isso não importa neste momento. O que nos importa agora é que quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz) e quando a<0, a parábola está voltada para baixo (carinha triste).

Exemplos:

y = f(x) = x² - 4

a = 1 >0

y = f(x) = -x² + 4

a = -1 < 0

[Nota] Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo.

Quando o discriminante é igual a zero

Quando o valor de , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a zero.

Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1

x²+2x+1=0

x=x`=-b/2a=-1

As coordenadas do vértice serão V=(-1,0)

Gráfico:

Quando o discrimintante é maior que zero

Quando o valor de , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente).

Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3

x²-4x+3=0

x=1, x`=3

Gráfico:

Quando o discriminante é menor que zero

Quando o valor de , a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros da função.

Exemplo: y = f(x) = x²-x+2

x²-x+2=0

Gráfico:

Resumindo:



a>0	a>0	a>0



a<0	a<0	a<0

Esboçando o gráfico

Para finalizarmos (ufa!), vamos desenhar o gráfico da função
y=-x²-4x-3

1ª etapa: Raízes ou zeros da função

-x²-4x-3=0
Aplicando a fórmula de Bháskara
x=-1, x`=-3

2ª etapa: Coordenadas do vértice

Coordenada x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2

Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função
y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1

Portanto, V=(-2,1)

3ª etapa: Concavidade da parábola

y=-x²-4x-3

Como a=-1<0, a concavidade estará voltada para baixo

Feito isso, vamos esboçar o gráfico:

Logaritmo

2011-03-01T11:16:00.000-08:00

Na matemática, o logaritmo (do grego: logos= razão e arithmos= número, ou de reconhecimento com a sigla A.F.HÓRUS), de base b, maior que zero e diferente de 1, é uma função de domínio e contradomínio , bijetora e contínua que retorna o expoente na equação bⁿ = x.

Usualmente é escrito como log_b x = n. Por exemplo:

34 = 81

, portanto

l o g 3 81 = 4

.

Em termos simples o logaritmo é o expoente que uma dada base deve ter para produzir certa potência. No último exemplo o logaritmo de 81 na base 3 é 4, pois 4 é o expoente que a base 3 deve usar para resultar 81.

O logaritmo é uma de três funções intimamente relacionadas. Com bⁿ = x, b pode ser determinado utilizando radicais, n com logaritmos, e x com exponenciais.

Um logaritmo duplo é a inversa da exponencial dupla. Um super-logaritmo ou hiper-logaritmo é a inversa da função superexponencial. O superlogaritmo de x cresce ainda mais lentamente que o logaritmo duplo para x grande.

Um logaritmo discreto é uma noção relacionada na teoria finita de grupos. Para alguns grupos finitos, acredita-se que logaritmo discreto seja muito difícil de ser calculado, enquanto exponenciais discretas são bem fáceis. Esta assimetria tem aplicações em criptografia.

Para cada base (b em b<, existe uma função logaritmo e uma função exponencial; elas são as = x:)

Exponenciais determinam n quando dado ; para encontrar x, se multiplica b por y (k) vezes.
Logaritmos determinam n quando dado Depois que seu logaritimo estiver dividido some novamente com o coeficiente e chegará a um resultado parcialmente correto.

Usando logaritmos

Três curvas para três bases diferentes: b = 2 (curva amarela), b = e b = 0,5 (curva azul).

Uma função log_b(x) é definida quando x é um número real positivo e b é um número real positivo diferente de 1. Veja identidades logarítmicas para várias leis que definem as funções logarítmicas. Logaritmos podem também ser definidos para argumentos complexos. Isso é explicado na página do logaritmo natural.

Para inteiros b e x, o número log_b(x) é irracional (i.e., não é um quociente de dois inteiros) se b ou x possui um fator primo que o outro não possui (e em particular se eles são co-primos e ambos maiores que 1). Em alguns casos este fato pode ser provado rapidamente: por exemplo, se log₂3 fosse racional, ter-se-ia log= n/m para alguns inteiros positivos n e m, implicando que 2ⁿ. Mas essa última identidade é impossível, uma vez que 2ⁿ é par e 3^m é ímpar.

Função do Primeiro Grau

2011-03-01T04:54:00.000-08:00

Função de 1º grau

Definição

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.

Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:

a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .

Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

x	y
0	-1
	0

Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.

PG

2011-02-28T12:16:00.000-08:00

Dizemos que uma sequência numérica constitui uma progressão geométrica quando, a partir do 2º termo, o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual. Observe a sequência:

(2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela é uma progressão geométrica, pois se encaixa na definição dada.

4 : 2 = 2
8 : 4 = 2
16 : 8 = 2
32 : 16 = 2
64 : 32 = 2

O termo constante da progressão geométrica é denominado razão.

Muitas situações envolvendo sequências são consideradas PG, dessa forma, foi elaborada uma expressão capaz de determinar qualquer elemento de uma progressão geométrica. Veja:

Com base nessa expressão, temos que:

a₂ = a₁ * q
a₃ = a₁ * q²
a₅ = a₁ * q⁴
a₁₀ = a₁ * q⁹
a₅₀ = a₁*q⁴⁹
a₁₀₀ = a₁*q⁹⁹

Exemplo 1

Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG.

a₈= 4 * 3⁷
a₈ = 4 * 2187
a₈ = 8748

O 8º termo da PG descrita é o número 8748.

Exemplo 2

Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine o 20º termo.

a₂₀ = 3 * 3¹⁹
a₂₀ = 3 * 1.162.261.467
a₂₀ = 3.486.784.401

Soma dos termos de uma PG

A soma dos termos de uma PG é calculada através da seguinte expressão matemática:

Exemplo 3

Considerando os dados do exemplo 2, determine a soma dos 20 primeiros elementos dessa PG.

Exemplo 4

Uma dona de casa registrou os gastos mensais com supermercado durante todo o ano. Os valores foram os seguintes:

Janeiro: 98,00
Fevereiro: 99,96
Março: 101,96
Abril: 104,00
Maio: 106,08

Calcule o gasto anual dessa dona de casa, considerando que em todos os meses o índice inflacionário foi constante.

Os termos estão em progressão geométrica, observe:

106,08 : 104 = 1,02
104 : 101,96 = 1,02
101,96 : 99,96 = 1,02
99,96 : 98,00 = 1,02

A razão dessa progressão geométrica é dada por 1,02, isto indica que a inflação entre os meses é de 2%. Vamos determinar a soma dos gastos dessa dona de casa, observe:

Os gastos da dona de casa com compras de supermercado, foram equivalentes a
R$ 1.317,39.

PA

2011-02-28T12:14:00.001-08:00

Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante.

(5,7,9,11,13,15,17) essa seqüência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2.
a₁ = 5
a₂ = 5 + 2 = 7
a₃ = 7 + 2 = 9
a₄ = 9 + 2 = 11
a₅ = 11 + 2 = 13
a₆ = 13 + 2 = 15
a₇ = 15 + 2 = 17

Essa constante é chamada de razão e representada por r. Dependendo do valor de r a progressão aritmética pode ser crescente, constante ou decrescente.

P.A crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente.

P.A constate: r = 0, então os elementos serão todos iguais.

P.A decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente.

Termo Geral de uma P.A

Considere uma P.A finita qualquer (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n) de razão igual a r, sabemos que:

a₂ – a₁ = r → a₂ = a₁ + r
a₃ – a₂ = r → a₃ – a₁ – r = r → a₃ = a₁+ 2r
a₄ – a₃ = r → a₄ – a₁ – 2r = r → a₄ = a₁+ 3r
…

a n = a₁ + (n – 1) . r

Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguinte fórmula:

a n = a₁ + (n – 1) . r

Exemplo 1:
Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a₁ = -10 e r = 3.

an = a₁ + (n – 1) . r
a₁₆ = -10 + (16 – 1) . 3
a₁₆ = -10 + 15 . 3
a₁₆ = -10 + 45
a₁₆ = 35

O 16º termo de uma P.A é 35.

Soma dos termos de uma P.A finita

Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula para somarmos os n elementos de uma P.A finita.

Sn = (a1 + an) . n
2

Exemplo 2:

Determine uma P.A sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que
a ₈ = 79.

Retirando os dados:
n = 8
Sn = 324
a ₈ = 79

Sn = (a1 + an) . n
2

324 = (a1 + 79) . 8
2

324 . 2 = 8 a1 + 79 . 8
648 = 8 a1 + 632
16 = 8 a1
a1 = 2

Precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar o valor dos outros elementos.

a n = a₁ + (n – 1) . r
79 = 2 + (8 – 1) . r
79 = 2 + 7 . r
79 – 2 = 7r
77 = r
7
r = 11

Matemática Aplicada

2011-02-28T09:04:00.000-08:00

A matemática aplicada é um ramo da matemática que trata da aplicação do conhecimento matemático a outros domínios. Tais aplicações incluem cálculo numérico, matemática voltada a engenharia, programação linear, otimização, modelagem contínua, biomatemática e bioinformática, teoria da informação, teoria dos jogos, probabilidade e estatística, matemática financeira, criptografia, combinatória e até mesmo geometria finita até certo ponto, teoria de grafos como aplicada em análise de redes, e grande parte do que se chama ciência da computação.

A matemática voltada à engenharia descreve processos físicos, e portanto, é muito similar à física teórica. Subdivisões importantes incluem: dinâmica dos fluidos, teoria acústica, equações de Maxwell que governam o eletromagnetismo, mecânica etc.

Historicamente, a matemática era mais importante para as ciências naturais e engenharia. No entanto, desde a Segunda Guerra Mundial, campos fora das ciências físicas, geraram a criação de novas áreas de matemática, como teoria dos jogos e teoria da escolha social, e o conceito de redes neurais, que surgiram do estudo do cérebro em neurociência.

2011-02-28T08:50:00.000-08:00