Números y hoja de cálculo

Números que son promedio de dos cuadrados

2026-03-12T14:30:00.001+01:00

Hace años que vengo publicando estudios y búsquedas en las que es necesario descomponer un número en dos cuadrados. Desde Fermat conocemos la condición de que un número primo deba ser para ello del tipo 4k+1, ya que los contrarios, de forma 4k+3 no admiten esta descomposición.

Gauss estudió el tema y aportó una fórmula para conocer en cuántas sumas de cuadrados se descompondría un número concreto, y que resultó depender del número de factores primos de un tipo y otro que figuraran en la descomposición.

Puedes consultar esa fórmula, por ejemplo, en

https://hojaynumeros.blogspot.com/2024/03/potencias-equidistantes-de-cuadrados.html.

En ella el factor 2 en un número no influye en el número de descomposiciones esperadas, sino de los tipos 4k+1 y 4k+3 presentes.

Lo que explico en el párrafo anterior nos hace ver que si N se descompone en dos cuadrados, también lo hará 2N, ya que la presencia del 2 no influye en el resultado. Por ejemplo:

850=2*5²*17=3²+29²=11²+27²=15²+25²

Si lo multiplicamos por 2, deberían aparecer también tres sumas de cuadrados, y así es:

1700=2²*5²*17=10²+40²=16²+38²=26²+32²

Si ahora divido las igualdades correspondientes a 2N entre 2, resultarán las formas de expresar N en promedios de dos cuadrados:

850=(10²+40²)/2=(16²+38²)/2=(26²+32²)/2

En realidad, estamos ante una situación algebraica, ya que si N=a²+b², se tendrá que (a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²)=2N

En efecto: 13+25=40, 25-15=10, que son las primeras soluciones para el promedio, 27-11=16 y 27+11=38, las segundas, y, por último, 29-3=26, 29+3=32.

Estos razonamientos sugieren que basta descomponer 2N en dos cuadrados para que aparezca una solución de promedios para N y que el número de soluciones será el mismo. No es difícil encontrar una función que realice este trabajo. Otra orientación es la de buscar todos los cuadrados C menores que N y ver si N+C es cuadrado. No se tienen en cuenta los promedios en los que los dos sumandos son iguales, lo que se considera solución trivial.

Como aquí se trata de comprender y practicar, copio las dos posibilidades:

Buscar si N+C es cuadrado:

Function entredos$(n)

Dim i, r, a, b, m

Dim s$

s = "" 'La solución se expresa como texto

m = 0 ‘Contador de soluciones

r = Int(Sqr(n)) 'Primer valor a ensayar

i = r - 1

While i > 0 'Descendemos valores de cuadrados

b = n - i ^ 2 'Diferencia entre potencia y cuadrado

a = n + b 'A la potencia le sumamos la diferencia

If escuad(a) Then m = m + 1: b = Sqr(a): s = s + " = (" + ajusta(i) + "^2+" + ajusta(b) + "^2)/2" ‘Si es cuadrado, hay una solución nueva

i = i - 1

Wend

If s = "" Then s = "NO" Else s = ajusta(m) + " : " + s

entredos = s 'Si no hay solución, la respuesta es “NO”

End Function

Descomponer 2N en suma de dos cuadrados

Public Function entredos2(n) As String

Dim x, p, m, c

Dim s$

s$ = "": m = 0’ Contenedor y contador

For x = 1 To Sqr(2 * n - 1)

c = x * x ‘Primer cuadrado para 2N

p = 2 * n – c ‘Posible segundo cuadrado

If escuad(p) And p <= c Then

s$ = s$ + "=(" + ajusta$(x) + "^2+" + ajusta$(Sqr(p)) + "^2)/2": m = m + 1 ‘Hay solución y avanza el contador

End If

Next x

If s$ = "" Then s$ = "NO" Else s$ = ajusta(m) + "::" + s$

entredos2 = s$ ‘Presentación de resultados

End Function

En la siguiente tabla se puede observar la concordancia entre los dos métodos, en un rango elegido al azar:

Evidentemente, faltan aquellos números que no admiten descomposición, por contener factores primos del tipo 4k+3 elevado a exponente impar. Son ejemplos 135=3³*5, 151, primo tipo 4k+3, o 144=2⁴*3², en el que, al ser cuadrado presentaría la solución trivial

(12²+12²)/2.

Los primeros números que admiten ser iguales a un promedio de cuadrados son:

5, 10, 13, 17, 20, 25, 26, 29, 34, 37, 40, 41, 45, 50, 52, 53, 58, 61, 65, 68, 73, 74, 80, 82, 85, 89, 90, 97, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 122, 125, 130, 136, 137, 145, 146, 148, 149, 153, 157, 160, 164, 169, 170, 173, 178, 180, 181, 185, 193, 194, 197, 200, …

Con otra definición equivalente están publicados en https://oeis.org/A004431, y en un comentario aparece el promedio de dos cuadrados. Son interesantes los comentarios y alguna programación en PARI.

Diferencias prefijadas

Las diferencias entre las bases de los cuadrados que sean solución, han de ser pares, para que su suma sea par, ya que su resultado es 2N.

Podemos seleccionar entre las soluciones aquellas que posean una diferencia determinada, a la que llamaremos 2D por ser par. Conociendo ese dato, es fácil dar un criterio para saber si N admite ser promedio de dos cuadrados cuyas bases se diferencien en 2D. Comenzaríamos así:

Sería k²+(k+2d)²=2N

2k²+4dk+4d²=2N

k²+2dk+2d²=N, es decir, la ecuación de segundo grado en k: k²+2dk+(2d²-N)=0

En la página enlazada se sirven de esta fórmula para definir estos números.

Para que exista solución entera, el discriminante d²-2d²+N=N-d² deberá ser cuadrado. Ese sería el criterio.

Un número N admitirá ser promedio de dos cuadrados diferenciados en 2d si N-d²es cuadrado

Por ejemplo, en la tabla se observa que 130 admite las diferencias 6 y 14, y esto es porque 130-3²=121, cuadrado de 11, y 130-7²=81, cuadrado de 9. Implemento en un buscador, con un rango similar y obtengo: 113, 130, 149, 170, 193, …Los números 130 y 149 son los que presentan diferencia 14 en la tabla.

La expresión N=k²+2dk+2d² nos permite encontrar las mismas soluciones para números que sean promedio de dos cuadrados. Basta plantear un doble bucle con k y d. Esta es la versión en PARI:

for(n=1,10,for(m=1,10,p=n^2+2*m*n+2*m^2;print1(p,", ")))

Si la ejecuto en la página oficial de PARI/GP obtengo la solución

5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 10, 20, 34, 52, 74, 100, 130, 164, 202, 244, 17, 29, 45, 65, 89, 117, 149, 185, 225, 269, 26, 40, 58, 80, 106, 136, 170, 208, 250, 296, 37, 53, 73, 97, 125, 157, 193, 233, 277, 325, 50, 68, 90, 116, 146, 180, 218, 260, 306, 356, 65, 85, 109, 137, 169, 205, 245, 289, 337, 389, 82, 104, 130, 160, 194, 232, 274, 320, 370, 424, 101, 125, 153, 185, 221, 261, 305, 353, 405, 461, 122, 148, 178, 212, 250, 292, 338, 388, 442, 500, …

Como era de esperar, aparecen las soluciones desordenadas. Si las ordeno en una hoja de cálculo, coinciden con las obtenidas por otros procedimientos.

5, 10, 13, 17, 20, 25, 26, 29, 34, 37, 40, 41, 45, 50, 52, 53, 58, 61, 65, 65, 68, 73, 74, 80, 82, 85, 85, 89, 90, 97, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 122, 125, 125, 130, 130, 136, 137, 145, 146, 148, 149, …

Se observan dos hechos, como son la existencia de repetidos, (65 y 85), y también la falta de alguno en el listado, simplemente porque “tarda más en aparecer”. Por eso, prefiero siempre algoritmos que devuelvan las soluciones ordenadas.

La suma de potencias de cifras es otra potencia

2026-02-26T18:00:00.001+01:00

En este blog se han desarrollado muchas curiosidades similares, y ahora deseo estudiar en qué números se cumple que una suma de potencias de sus cifras se convierte en otra potencia. Por ejemplo, en el 34, 3²+4²=5², porque es una terna pitagórica, o en 123 se cumple que 1³+2³+3³=6²

Para jugar un poco con esta cuestión necesitamos dos funciones, que son SUMACIFRAS, que nos sume potencias de cifras, y ESPOTENCIA, que determine si un número es potencia entera o no. La primera, en su versión completa con exponentes, la puedes encontrar desarrollada en este blog, por ejemplo, en

https://hojaynumeros.blogspot.com/2024/01/un-numero-y-sus-cifras-1-niven.html.

Posee dos parámetros, el número a descomponer en cifras y el exponente.

La función ESPOTENCIA admite variantes, pero su última versión es algo complicada de desarrollar. Está presentada en la entrada

https://hojaynumeros.blogspot.com/2025/11/un-numero-como-diferencia-entre.html

Si no te apetece entrar en esas explicaciones en VBASIC, con el lenguaje PARI quedan muy simples:

sumacifras(n,k)=sum(i=1, #n=digits(n), n[i]^k)
espotencia(n)=ispower(n)

Función espotsumcifraspot$(n,tope)

Uniremos las dos funciones en una sola, para determinar qué números cumplen la propiedad pedida. Le indicaremos el número y el tope máximo de búsqueda con exponentes, porque los resultados pueden tener una magnitud tan grande que no sean exactos en VBASIC. Por cada solución que se obtenga aparecerán también los números anagramáticos con ella. Por ejemplo, si 115 es solución (1²+1²+5²=3³), también lo serán 151 y 511.

Public Function espotsumcifraspot$(n,tope)

Dim s, I,e

Dim ss$

ss = ""

For i = 2 To tope ‘Se prueba con varios exponentes de cifras

s = sumacifras(n, i)’Sumacifras con un exponente

e= espotencia(s)

If e > 1 Then ss = ss + " E1: " + Str$(i)+ “ E2: “+str$(e)

‘Si la suma es potencia, tenemos solución nueva, E1 exponente de las cifras y E2 el de la suma

Next i

If ss = "" Then ss = "NO"

espotsumcifraspot = ss

End Function

Hay que advertir que el valor de E2 no es único, porque, por ejemplo, el número 64 es cuadrado, cubo y sexta potencia. La función te da un valor, para afirmar que es potencia, pero no tiene que coincidir con el esperado.

Otra advertencia es que la existencia de cifras nulas puede también producir resultados no esperados. Si se quiere matizar más se puede añadir la condición de que no existan ceros en su representación en base 10. Esta sencilla función devuelve VERDADERO si no existen cifras nulas:

Function sinceros(n) As Boolean

Dim h, i, m

Dim sin As Boolean

h = n

sin = True

While h > 9 And sin

i = Int(h / 10)

m = h - i * 10

If m = 0 Then sin = False

h = i

Wend

If h = 0 Then sinceros = False Else sinceros = sin

End Function

Es optativo añadirle esa condición al principio de la función. Con la función PRODUCIFRAS basta con exigir que el producto no sea nulo.

La puedes encontrar en

https://hojaynumeros.blogspot.com/2018/09/permutacion-de-cifras-al-sumar-su.html

Así lo haremos en PARI: sinceros(n)=vecprod(digits(n))<>0

Números con la propiedad esperada

Con la advertencia de que puede faltar alguno por la existencia de un tope, la siguiente tabla contiene los primeros números sin cifras nulas que cumplen la propiedad. Llaman la atención los resultados de 22, 44 y 88, que no caben en la imagen (algo fácil de razonar con potencias de 2), y el hecho ya explicado, de que aparecerán como solución todos los números anagramáticos con la primera, como 21 con 12 o 132 con 123.

La tabla está confeccionada con tope 10 para los exponentes, pero si uso el 20 aparecen resultados falsos. Ya se sabe lo que se debe hacer: pasar a PARI. Se puede usar este código:

sumacifras(n,k)=sum(i=1, #n=digits(n), n[i]^k)

producifras(n)=vecprod(digits(n))

espotsumcifraspot(n,tope)=my(ss=List(),i,e,s,p=producifras(n));for(i=2,tope,s=sumacifras(n, i);e=ispower(s);if(e>1&&p>0,listput(ss,"E1:");listput(ss,i);listput(ss,"E2: ");listput(ss,e)));ss

for(i=11,135,s=espotsumcifraspot(i,30);if(#s<>0,print1(i,", ")))

Si aumento el tope a 30 coinciden los resultados, luego puedo confiar en que estos sean válidos:

12, 21, 22, 34, 36, 43, 44, 48, 63, 68, 84, 86, 88, 115, 122, 123, 126, 132,

Aumentando el rango:

12, 21, 22, 34, 36, 43, 44, 48, 63, 68, 84, 86, 88, 115, 122, 123, 126, 132, 148, 151, 162, 168, 184, 186, 212, 213, 216, 221, 231, 236, 244, 261, 263, 269, 296, 312, 321, 326, 333, 345, 354, 355, 362, 366, 418, 424, 435, 442, 447, 453, 474, 481, 488, 511, 534, 535, 543, 553, 568, 586, 612, 618, 621, 623, 629, 632, 636, 658, 663, 667, 676, 681, 685, 692, 744, 766, 814, 816, 841, 848, 856, 861, 865, 884, 926, 962, 999, …

Observamos que presentan una frecuencia alta de aparición, en parte por la existencia de anagramáticos. Por eso se puede plantear un filtro según el exponente usado en las cifras. Cambiando la variable que devuelve la función es posible realizar ese filtro. Para eso he modificado ligeramente el código. Por ejemplo, con resultado cubo aparecen:

115, 151, 345, 354, 355, 435, 453, 511, 534, 535, 543, 553, 568, 586, 658, 685, 856, 865, 1134, 1143, 1156, 1165, 1314, 1341, 1413, 1431, 1516, 1561, 1615, 1651, 2234, 2243, 2324, 2342, 2423, 2432, 2667, 2676, 2766, 3114, 3141, 3224, 3242, 3411, 3422, 3468, 3486, 3648, …

Por ejemplo, 3648 es solución porque 3²+6²+4²+8²=5³

Los he comprobado con dos procedimientos.

También podemos buscar exponentes de las cifras. Por ejemplo, buscamos los que sean mayores o iguales que 5, y conseguimos el listado:

22, 44, 88, 333, 999, 1111, 1224, 1242, 1339, 1393, 1422, 1933, 2124, 2142, 2214, 2222, 2241, 2412, 2421, 2448, 2484, 2844, 3139, 3193, 3319, 3333, 3391, 3913, 3931, 4122, 4212, 4221, 4248, 4284, 4428, 4444, 4482, 4669, 4696, 4824, 4842, 4966, 5555, 6469, 6496, 6649, 6666, 6694, 6946, 6964, 7777, 8244, 8424, 8442, 8888, 9133, 9313, 9331, 9466, 9646, 9664, 9999, …

Nos encontramos con soluciones especiales por la repetición de cifras. Por ejemplo, 3913: 3⁵+9⁵+1⁵+3⁵=244²

También podemos fijar qué exponentes deseamos, siempre que adaptemos el código. Por ejemplo, con exponentes 3 y 3 y con cifras crecientes tenemos estos dos casos:

345: Es un resultado clásico: 3³+4³+5³=6³

1156: 1³+1³+5³+6³=7³

Con exponentes con bastante diferencia:

Con cifras elevadas a 7, el número 57888 y sus anagramáticos cumple:

5⁷+7⁷+8⁷+8⁷+8⁷=2682²

Tenemos las herramientas para seguir investigando, pero vendrían bien unos equipos más potentes para llegar a siete u ocho cifras.

Sucesiones completas

2026-02-16T15:30:00.001+01:00

En esta entrada abordaré un tema interesante, y es el de la posibilidad de que los elementos de una sucesión de números naturales, finita o infinita, generen otros números, a partir de sumas, con o sin repetición.

Ya traté ese tema en algunas entradas antiguas, como

https://hojaynumeros.blogspot.com/2010/02/frobenius-y-los-mcnuggets.html

“Frobenius y los mcnuggets”, en la que trataba el problema de las monedas necesarias para alcanzar una cantidad y el número de Frobenius.

https://hojaynumeros.blogspot.com/2012/11/descomposicion-de-un-numero-segun-una.html

En esta entrada se trataba de generar un número a partir de una lista de ellos.

En ambos casos las sucesiones eran finitas, y al sumar los elementos se podían repetir los sumandos.

También se relacionaba algo con lo que pretendo presentar ahora, la entrada sobre algoritmos voraces o codiciosos:

https://hojaynumeros.blogspot.com/2024/09/algoritmos-codiciosos-para-sumas.html

Sucesión completa

Desarrollaré aquí el tipo de sucesión más eficaz para generar todos los números naturales, el de sucesión completa.

Una sucesión de números naturales se llama completa cuando cualquier otro número natural se puede escribir como suma de elementos de esa sucesión sin repetir ninguno.

El ejemplo básico más popular es el de las potencias de 2, que da lugar al sistema binario de representación de los números. En efecto, la sucesión 1, 2, 4, 8, 16, … permite representar cualquier número como suma de algunos términos, sin repetición. La forma de conseguirlo es similar a la de los algoritmos codiciosos que traté en la entrada referenciada más arriba.

Vemos un ejemplo: representar el número 53:

Buscamos el término de la sucesión más cercano a 53 y menor que él, que es el 32, tomamos nota y restamos: 53-32=21. Reiteramos: 21-16=5, 5-4=1, con lo que obtenemos 53=32+16+4+1, que da lugar a la representación binaria 110101.

Este ejemplo nos abre camino para caracterizar las sucesiones completas. Podemos dar tres condiciones para que una sucesión sea de este tipo:

· El primer término ha de ser 1, a₁=1

· Aunque no es imprescindible, pero sí algo operativo, la sucesión debe presentar un orden creciente.

· Si llamamos s_n a la suma de los n primeros términos de la sucesión, se debe cumplir: s_n-1≥ a_n-1 para todo n ≥ 1

La primera condición es imprescindible para poder generar todos los números y que los algoritmos tengan parada. Por ejemplo, los números pares no son completos, pues nunca pueden generar un impar.

La segunda se incluye para que tengan sentido los algoritmos.

La tercera es fundamental, porque garantiza que se pueda avanzar en descubrir sumandos hasta llegar, si es necesario al 1.

Seguimos el proceso del 53 visto más arriba. Dado el número N, deberemos encontrar el mayor elemento de la sucesión que sea menor que N, en el ejemplo 32. La diferencia 21 se ha de poder tratar del mismo modo, con lo que s_n-1ha de ser suficiente para ello, es decir, s_n≥ a_n-1. Piénsese en el caso 63, en el que 63-32=31, y debe poder ser generado por los elementos anteriores, es decir por s_n-1, y de ahí la condición s_n≥ a_n-1.

Si no se cumple esta condición, la sucesión no es completa. Por ejemplo, la sucesión de potencias de cuatro, 1, 4, 16, 64, …no la cumple, y, por ejemplo, no puede generar el número 70, porque 70-64=6, y 6 no se puede formar con 1 y 4. Aquí la suma 1+4+16 no es suficiente.

La sucesión de potencias de 2 la cumple, porque s_n=2ⁿ-1, y da lugar a la representación binaria. Esto se logra porque no se admiten repeticiones en los sumandos. También es minimal, pues si eliminamos un término de ella, habrá números naturales que no se puedan representar. Por ejemplo, si elimino el 4, no podré representar el 6. Otra característica es que la representación es única, algo que no se contempla en las definiciones.

Existe una condición suficiente que puede sustituir a la tercera, y es que 2a_k ≥ a_k+1para k≥1. El ejemplo de las potencias de 2 la cumple, pero falta ver su suficiencia. Lo razonamos con el ejemplo del N=53. La primera operación fue buscar el término menor que 53 más cercano a él, y fue el 32. Restamos y nos resultó 21 para proseguir. Lo vemos en general:

N estará entre a_k y a_k+1, peroa_k+1 estará entre a_k y 2a_k, luego tendremos: a_k ≤ N ≤ a_k+1≤ 2a_k. Restando a_k se verificará:

0 ≤ N - a_k ≤ a_k

Por tanto, la siguiente diferencia (en el ejemplo, el 21) será menor que a_k, y se podrá seguir el algoritmo con un término menor, hasta llegar a 1.

Ejemplo reciente

En una entrada anterior vimos la sucesión “catering perezoso”, formada por los términos de fórmula

Sus primeros términos son 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, 232, 254, 277, 301, 326, 352, 379, …https://oeis.org/A000124

Es evidente que cumple 2a_k ≥ a_k+1.

2a_k - a_k+1 = 2(k(k+1)/2+1)-(k+1)(k+2)/2-1 = (k+1)(k-(k+2)/2)+1 =(k+1)(k/2-1)+1, y esta diferencia es positiva o cero para k>1

Podemos afirmar que esta sucesión es completa, como se afirma en la página en la que está publicada. Según esto, cualquier número natural es suma de algunos de sus términos tomados sin repetición. He efectuado sencillas comprobaciones con mi hoja de cálculo partlista

(Ver https://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#reprenum)

He elegido el número 62 al azar, y deseo generarlo con los términos de esta sucesión 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37. He concretado en la hoja que no se repitan sumandos, y me ha devuelto estos resultados:

No es de extrañar que resulten siete soluciones, porque en estos procesos no tiene que existir solución única.

Sucesión de Fibonacci

Esta sucesión es claramente completa. Basta recordar que es creciente y en ella a_k+1= a_k+a_k-1, luego a_k+1< a_k+a_k= 2a_k, que es condición suficiente para la completitud.

Existe una descomposición basada en esta propiedad, y es la de Zeckendorf, que consiste en ir restando a un número N el mayor número de Fibonacci posible. Es interesante, y acudo a ella con frecuencia. Puedes profundizar en el tema leyendo mi entrada https://hojaynumeros.blogspot.com/2020/09/representacion-de-zeckendorf.html y descubrir en qué consiste la multiplicación de Fibonacci.

Por ejemplo, esta es la representación de Zeckendorf del número 75:

75 = F(10)+F(7)+F(5)+F(3) = 55+13+5+2

No es el único desarrollo. Con nuestra herramienta Cartesius (https://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius) se puede conseguir otro. Estas son las condiciones:

xrango=5

xt=1..55

xt=filtro(fibonacci)

suma=75

creciente

no repite

Y este el resultado:

Nos devuelve el ya conocido, 2+5+13+55, que es el desarrollo minimal, pero nos ofrece otro: 75=34+21+13+5+2

Números primos con la unidad

Si a la sucesión de números primos le adjunto a(1) = 1, resulta una sucesión completa. Es creciente, comienza en 1 y cumple que 2p(k) ≥ p(k+1). Esta afirmación se basa en el Postulado de Bertrand, que afirma, entre otras formulaciones, esta desigualdad. Por ejemplo, con la hoja partlista, podemos generar el número 35 con esta sucesión, y resulta:

Es evidente que esta descomposición da lugar a muchas soluciones distintas.

Se pueden encontrar más ejemplos de sucesiones completas, pero con estos se comprende bien el concepto. Otros que he encontrado son demasiado particulares y no son muy interesantes.

El catering perezoso

2026-02-06T16:30:00.001+01:00

El título es la traducción literal de la sucesión “Lazy Caterer's Sequence” publicada en https://oeis.org/A000124 con el título Central polygonal numbers, que se refiere al máximo número de porciones que se puede obtener en una tarta si la sometemos a n cortes. Su referencia a los números de Hogben, ya tratados en este blog

(https://hojaynumeros.blogspot.com/2021/11/numeros-de-hogben.html)

me ha llevado a estudiarla, sólo en los aspectos que trata normalmente este blog.

Fórmula de la sucesión

Si solo nos interesan los números máximos de piezas resultantes, deberemos suponer que cada corte posee intersección con todos los anteriores, evitando paralelismos, por lo que se cumplirá que c(n+1)=c(n)+n. Como c(1)=2, ya que el primer corte produce dos piezas, es fácil ver que la sucesión será: 2, 2+2,2+2+3, 2+2+3+4 ,… pero en OEIS se considera siempre c(0), que aquí sería 1 (ningún corte), por lo que resultaría al final 1, 2, 4, 7, 11, 16, …, que es la publicada.

El hecho de que la suma de los primeros números naturales sea un número triangular, n(n+1)/2, nos da directamente la fórmula de estos números:

En la imagen vemos la generación de c(4), porque de los tres cortes existentes, el cuarto produce 4 nuevos, y el resultado es 4*5/2+1=11

Si la fórmula de c(n) es n(n+1)/2+1, la de c(n-1) será, desarrollando (n²-n+2)/2, y podemos identificar el numerador con un número de Hogben aumentado en una unidad. Esto relaciona las dos sucesiones, pues si añadimos una unidad a la Hogben y dividimos entre 2 nos resulta la que estamos estudiando.

Si emparejamos índices, se comprueba esta relación:

Hogben: 1, 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, 91

Lazy Caterer's: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46

(13+1)/2=7, (21+1)/2=11, (31+1)/2=16, …

Los números de Hogben, según es fácil de demostrar, se generan con la recurrencia h(n+1)=h(n)+2n, ajustando bien el índice inicial. Es otra forma de razonar la relación entre las dos sucesiones.

Si repasamos mi estudio de estos números, podemos descubrir que los c(n) son la cuarta parte de la suma de dos de h(n) diferenciados en dos órdenes:

2=(1+7)/4, 4=(13+3)/4, 7=(21+7)/4, 11=(31+13)/4, …

Los primeros términos de la sucesión c(n) son:

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, 232, 254, 277, 301, 326, 352, 379, …

https://oeis.org/A000124

Basta aplicar la formula a los primeros números naturales para conseguirla.

Algunas curiosidades

En la página citada se proponen varias propiedades y curiosidades, pero sin desarrollar. Estudiaremos algunas.

Todo proceso en el que el término enésimo produzca el siguiente al sumarle n puede interpretarse como número del tipo C(n).

Un ejemplo que se propone que el de contar los términos de la expresión (x+y)*(x²+y²)*(x³+y³)*...*(xⁿ+yⁿ).

For n >= 1 a(n) is the number of terms in the expansion of (x+y)*(x^2+y^2)*(x^3+y^3)*...*(x^n+y^n). - Yuval Dekel (dekelyuval(AT)hotmail.com), Jul 28 2003

La justificación es la siguiente: Los primeros términos la cumplen, porque c(0)=1, c(1)=2 y c(2)=4, como fácilmente se comprueba. Los siguientes deberán incrementar los términos en n elementos, porque, por ejemplo, la expresión segunda x³+x²y+xy²+y³ se convertiría en x³*(x³+x²y+xy²+y³)+y³*(x³+x²y+xy²+y³), aparentemente ocho términos, pero se pierde uno al sumar los dos términos del tipo x³y³, con lo que se suman sólo tres términos, quedando 7, que es c(3). Lo vemos con wxMaxima:

ratsimp((x+y)*(x^2+y^2)*(x^3+y^3));

y^6+x*y^5+x^2*y^4+2*x^3*y^3+x^4*y^2+x^5*y+x^6

Siete términos, c(3)=7

Se razonaría de igual forma para grado 4. Lo comprobamos:

ratsimp((x+y)*(x^2+y^2)*(x^3+y^3)*(x^4+y^4));

y^10+x*y^9+x^2*y^8+2*x^3*y^7+2*x^4*y^6+2*x^5*y^5+2*x^6*y^4+2*x^7*y^3+x^8*y^2+x^9*y+x^10

Once términos, c(4)=11

Otra forma de ver las curiosidades es la relación con técnicas de elegir dos elementos en un conjunto. La propuesta de nuestro compatriota Arregui aprovecha ese detalle:

Number of interval subsets of {1, 2, 3, ..., n} (cf. A002662). - Jose Luis Arregui (arregui(AT)unizar.es), Jun 27 2006

Para fijar un intervalo en el conjunto {1, 2, 3, ..., n} bastará elegir un inicio y un final, pero existen n(n-1)/2 formas de efectuar la elección, y añadimos el intervalo vacío, obtendremos los términos C(n). Por ejemplo, {1} sólo posee el intervalo vacío (), {1, 2} los intervalos (), (1,2), (2,3), (1,3), que son c(2)=4, {1, 2, 3} tendría estos: intervalos (), (1,2), (2,3), (1,3) (1,4), (2,4), (3,4), en total c(3)=7.

Cualquier otro proceso de este tipo, ajustando los índices, se puede representar con los números c(n)

Termino con dos propiedades triviales:

Numbers m such that 8m - 7 is a square. - Bruce J. Nicholson, Jul 24 2017

En efecto, si T(n) es triangular, 8T(n)+1 es un cuadrado, según una popular propiedad, luego 8C(n)-7=8T(n)+8-7=8T(n)+1, que es un cuadrado.

a(n) is the sum of the first three entries of row n of Pascal's triangle. - Daniel T. Martin, Apr 13 2022

En efecto, los tres primeros términos son 1, n y n(n-1)/2 y su suma 1+(n²-n+2n)/2=1+n(n+1)/2=c(n). Por ejemplo, para n=4 queda 1+4+6=11=c(4)

Recurrencia lineal

Las sucesiones dependientes de cuadrados suelen presentar esta recurrencia: a(n+3) = 3*a(n+2) - 3*a(n+1) + a(n). En nuestro caso los términos iniciales son 1, 2, 4. Con mi herramienta de recurrencias se puede comprobar.

(https://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2)

Rellenamos las condiciones iniciales:

Pedimos ver la sucesión:

Como era de esperar, obtenemos C(n)

Como los números de Hogben también dependen de un cuadrado, se obtendrán con una recurrencia idéntica, pero iniciando en 1, 1, 3:

Pedimos ver la sucesión y obtenemos H(n):

En nuestra entrada de blog sobre estos números se explica el fundamento de que esta recurrencia sea válida para expresiones de segundo grado.

Por una unidad, no son de Fibonacci (2)

2026-01-26T09:30:00.001+01:00

En la entrada anterior repasamos las recurrencias lineales no homogéneas, alterando la definición de la sucesión de Fibonacci, ya sea sumando o restando una unidad y cambiando las condiciones iniciales.

En esta segunda entrada restaremos una unidad a la definición clásica, y fijaremos a(1)=1 y a(2)=k, número que variaremos para ver qué ocurre. La recurrencia será a(n)=a(n-1)+a(n-2)-1. Tomaremos k=4 para comenzar. Como en la anterior entrada, generaremos la sucesión directamente en columnas de hoja de cálculo:

Procedemos a encontrar la solución homogénea, y vemos la diferencia entre ambas. Se puede consultar la entrada anterior para seguir este proceso.

Pantalla de la hoja recurre_lineal:

Copio la sucesión de la recurrencia homogénea junto a la obtenida para la no homogénea. Creo una tabla en la que al leer de izquierda a derecha desembocaremos en la expresión definitiva:

En primer lugar figuran los índices de las sucesiones. Aquí comenzamos con 1. Después emparejamos las soluciones homogéneas con las que no lo son, y se puede descubrir que su diferencia es 1-F(0), con lo que quiero expresar que es el número de Fibonacci correspondiente al índice de su fila. En la siguiente columna situamos la solución para la homogénea, deducida de mi hoja recurre_lineal, y, por último, sumo 1-F(0). Al final (ver celda naranja) quedamos con 3F(-1)+1. Por cuestiones de índices, en OEIS usan FIBONACCI(N)+1. Al final da igual donde comencemos.

Se puede comprobar con PARI:

Observa el código tan simple que figura arriba.

Estos resultados coinciden con los publicados en https://oeis.org/A187893

Lo interesante del proceso que hemos seguido es que es válido para cualquier otro valor de K, y la sucesión vendría dada por (k-1)*FIBONACCI(N)+1

Por ejemplo, para k=3 obtenemos 1, 3, 3, 5, 7, 11, 17, 27, 43, 69, 111, 179, 289, 467, 755, 1221, … que sigue la expresión 2*FIBONACCI(N)+1.

Para k=6 obtenemos 1, 6, 6, 11, 16, 26, 41, 66, 106, 171, 276, 446, … definida por 5*FIBONACCI(N)+1:

for(n=0,20,print1(5*fibonacci(n)+1,", "))

1, 6, 6, 11, 16, 26, 41, 66, 106, 171, 276, 446, 721, 1166, 1886, 3051, 4936, 7986, 12921, 20906, 33826, …

La mayoría de casos para k están sin publicar, como era esperable.

Casos más simples

Si las complicaciones de la recurrencia, otra forma de añadir una unidad a la sucesión de Fibonacci es realizarlo una vez esta formada. Nos resultan dos sucesiones sencillas:

Fibonacci más una unidad

Usaré PARI, que nos está viniendo muy bien en este tema:

for(n=0,20,print1(fibonacci(n)+1,", "))

1, 2, 2, 3, 4, 6, 9, 14, 22, 35, 56, 90, 145, 234, 378, 611, 988, 1598, 2585, 4182, 6766, …

Está publicada en https://oeis.org/A001611

En esa página destacan que tres elementos pueden formar triángulo, porque cada uno es menor que la suma de los dos anteriores y mayor que su diferencia. También se afirma que los únicos números primos presentes son el 2 y el 3. Podemos añadir algo más:

Entre los primeros términos sólo hay tres cuadrados: 1, 4 y 9.

for(n=0,2000,a=fibonacci(n)+1;if(issquare(a),print1(a,", ")))

1, 4, 9, …

Aparecen cuatro triangulares (observa el código, que se basa en que 8T+1 es cuadrado):

? for(n=0,2000,a=fibonacci(n)+1;if(issquare(8*a+1),print1(a,", ")))

1, 3, 6, 378, …

También contamos con oblongos (tipo N(N+1)):

? for(n=0,2000,a=fibonacci(n)+1;if(issquare(4*a+1),print1(a,", ")))

2, 2, 6, 56, 90, …

Fibonacci menos una unidad

Con la experiencia adquirida todo es más fácil, y me limitaré a resultados:

? for(n=1,30,a=fibonacci(n)-1;print1(a,", "))

0, 0, 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, 54, 88, 143, 232, 376, 609, 986, 1596, 2583, 4180, 6764, 10945, 17710, 28656, 46367, 75024, 121392, 196417, 317810, 514228, 832039, …

Publicada en https://oeis.org/A000071, donde se desarrollan múltiples propiedades.

Los únicos primos presentes entre los primeros son 2 y 7:

? for(n=1,3000,a=fibonacci(n)-1;if(isprime(a),print1(a,", ")))

2, 7, …

Cuadrados sólo aparecen 0, 1 y 4

Triangulares 0, 1 y 1596

Oblongos 0, 2, 12 y 20.

Hasta aquí llega el recorrido de este tema. El resto se lo dejo a quien me lea.

Por una unidad, no son de Fibonacci (1)

2026-01-16T16:00:00.001+01:00

La sucesión de Fibonacci, definida como a(1) = 1, a(2) = 1, a(n) = a(n-1) + a(n-2), da lugar a otras muchas sucesiones que mantienen básicamente la misma fórmula de recurrencia o bien cambian las condiciones iniciales. Hoy nos vamos a dedicar a estudiar aquellas sucesiones definidas mediante a(n)=a(n-1) + a(n-2) ± 1. Respecto a las condiciones iniciales, elegiré aquellas que estén publicadas o alguna otra que sea afín, porque el objetivo no es descubrir ada nnuevo, sino practicar con las herramientas que suelo usar y explicar lo que se descubra.

Una unidad más

En primer lugar, estudiaré a(n) = a(n-1) + a(n-2) + 1, con a(1) = 0 y a(2) = 2. (Ver https://oeis.org/A001610)

Con una hoja de cálculo se construyen perfectamente las sucesiones definidas por recurrencia. Escribimos a(1), en la celda de abajo a(2), y en las siguientes la fórmula de recurrencia. No hay más dificultad. Es conveniente situar a su izquierda una columna de índices. Por ejemplo, en este caso obtendríamos:

Coinciden los términos con los publicados en https://oeis.org/A001610

0, 2, 3, 6, 10, 17, 28, 46, 75, 122, 198, 321, 520, 842, 1363, 2206, 3570, 5777, 9348, 15126, 24475, 39602, 64078, 103681, 167760, …

Recurrencia lineal no homogénea

Si deseamos profundizar algo más sobre esta sucesión es conveniente tratarla como recurrencia no homogénea. En estos casos se suele resolver la homogénea y después tratar aparte el sumando no lineal, que aquí sería el 1.

La parte homogénea se resuelve mediante la ecuación característica. La base teórica la tienes en cualquier texto o página web, como

https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_recurrencia

Poseo una herramienta descargable para resolver estas ecuaciones con las limitaciones propias de una hoja de cálculo

(https://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2)

Le suministro los datos de la parte homogénea del problema, que aquí sería la de números de Fibonacci con las condiciones iniciales 0 y 2.

Pulso el botón Resolver para ver la ecuación característica:

La hoja de cálculo no es simbólica, por lo que hay que saber interpretar estos coeficientes en función del número áureo o de la raíz cuadrada de 5:

Aparecen dos soluciones reales, que dan lugar a la expresión de más abajo:

Sería:

Esta fórmula daría lugar a la parte homogénea, que nos da la sucesión que presenta la herramienta usada:

La parte no homogénea es un 1, y según la teoría, habría que someterla a las mismas condiciones que la homogénea, y después encontrar el coeficiente adecuado.

En nuestro caso esta es la situación:

Valores de la homogénea: 0 2 2 4 6 10 16 26 42

Valores encontrados: 0 2 3 6 10 17 28 46 75

Diferencias: 0 0 1 2 4 7 12 20 33

Las diferencias equivalen a los números de Fibonacci clásicos menos una unidad, y las soluciones de la homogénea son el doble de los mismos de Fibonacci con un índice una unidad menor. Con esta consideración nos liberamos de cálculos algebraicos.

Así, la solución buscada por recurrencia se puede expresar de esta forma, que da el valor directamente:

A(n)=2*F(n-1)+F(n)-1=F(n+1)+F(n-1)-1

Podríamos expresarlo en función de la raíz de 5 en una fórmula demasiado larga. Es preferible expresarla usando la función FIBONACCI(N). Así se puede encontrar con PARI:

for(i=1,40,a=2*fibonacci(i-1)+fibonacci(i)-1;print1(a,", "))

La web de PARI (https://pari.math.u-bordeaux.fr/gpwasm.html), nos ofrece las mismas soluciones que las publicadas en OEIS, que en las fórmulas incluyen F(n+2)+F(n)-1, porque suelen usar el 0 como primer índice. En la programación en PARI, G. C. Greubel usa una expresión similar a la obtenida aquí.

0, 2, 3, 6, 10, 17, 28, 46, 75, 122, 198, 321, 520, 842, 1363, 2206, 3570, 5777, 9348, 15126, 24475, 39602, 64078, 103681, 167760, 271442, 439203, 710646, 1149850, 1860497, 3010348, 4870846, 7881195, 12752042, 20633238, 33385281, 54018520, 87403802, 141422323, 228826126, …

Se descubren varios números primos en el listado. Podemos modificar nuestra búsqueda para encontrarlos:

for(i=1,100,a=2*fibonacci(i-1)+fibonacci(i)-1;if(isprime(a),print1(a,", ")))

Estos serían los primeros números primos:

2, 3, 17, 103681, 10749957121, 115561578124838522881

No he encontrado cuadrados, pero si se encuentran números que son una potencia más una unidad:

10, 17, 28, 122, 842, 5777, 39602, 271442, 1860497, 12752042, 87403802, …

Este ha sido un estudio que abre caminos a otras técnicas matemáticas. Es sólo un inicio para quienes deseen profundizar. En la siguiente entrada se completará con algún caso más.

Propiedades del 2026

2026-01-02T13:00:00.001+01:00

No todos los años publico las propiedades de un año nuevo, porque lo hago en otros medios, pero en este los he terminado ya de compartir, por lo que no viene mal recogerlos aquí. Los números de orden se corresponden con los conjuntos de propiedades publicados cada día. Feliz año nuevo.

2026 es un número semiprimo, pues 2026=2×1013 y es del tipo n²+1, ya que 2026=45²+1. Es el semiprimo número 582 en el orden natural. Si le suprimimos cualquier cifra, sigue siendo semiprimo: 026=2×13, 226=2×113, 206=2×103 y 202=2×101

2026, aunque se diferencia en 1 del cuadrado 45² , sus cuadrados se diferencian en un número primo:

2026²-45⁴=4104676-4100625=4051, que es primo.

Una escala de cifras ascendente y otra descendente para 2026:

2026=1×2×(34×5×6-7)

2026=9×(8+7+6+54)×3+2-1

2026 es capicúa en tres bases de numeración, 13, 14 y 45:

2026 (10 = 11, 12, 11 (13 = 10, 4, 10 (14 = 1, 0, 1 (45

Y concatena N//N+6: 2026=20//26

Una curiosidad:

2026=INT(LN(5)^16)

2026 se puede formar de estas dos formas con los primeros números primos:

2026=(2+3!+5)×7×(11+13)-(17+19+23+29+31)-37+41-43

2026=2×((3+5)×(7+11+13)×17-19-23-29×(31+37+41))

2026 es el promedio de dos semiprimos consecutivos con él:

2026=2×1013=(2021+2031)/2=(43×47+3×677)/2

También es promedio de dos anteriores y dos posteriores: 2019, 2021, 2031 y 2033

En el año 2026 no podían faltar las cifras simétricas:

2026=2×(1×1001+12)

2026=(3-1)×(0+1)×1013

2026=2021+1+2+0+2

2026=1×2×(505+3+505)×(2-1)

2026 presenta, entre otras, estas sumas de consecutivos:

Compuestos: 2026 =505+506+507+508

Enteros: 2026=505+506+507+508

Semiprimos: 2026=237+247+249+253+254+259+262+265

Pares: 2026=1012+1014

La suma de las funciones SIGMA y PHI en 2026 coincide con la de 2027

2026 2027

SIGMA 3042 2028

PHI 1012 2026

SUMA 4054 4054

SIGMA es la suma de divisores y PHI cuenta los coprimos menores que el número.

2026 presenta estas dos generaciones mediante factoriales:

2026=2!×(6!+(5!+4!)×2!+2!)+3!

2026=(6!×2!+2!)×2!-6!-4!-5!+3!

2026 es diferencia entre dos números triangulares (tipo N(N+1)/2):

2026=508×509/2-504×505/2

Las funciones PHI y SIGMA que vimos ayer, cumplen en 2026 lo siguiente:

PHI(PHI(2026)+SIGMA(2026))=PHI(1012+3042)=PHI(4054)=2026

2026 no es un número intocable, porque equivale a la suma de las partes alícuotas de 2366: 2026=1183+338+182+169+ 91+26+14+13+7+2+1

(ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/05/regresos-3-numeros-intocables.html)

También lo es de 2510 y 2692.

2026 equivale a sumas de tres potencias con algún alto exponente:

2026=35^2+2^9+17^2

2026=37^2+23^2+2^7

2026=37^2+5^4+2^5

2026=43^2+2^7+7^2

2026 equivale a nueve sumas de siete cubos cada una:

1+1+27+27+512+729+729

8+27+64+343+343+512+729

8+64+64+216+216+729+729

1+1+8+8+8+1000+1000

1+8+8+64+216+729+1000

1+125+125+216+216+343+1000

8+27+216+216+216+343+1000

1+27+27+64+64+512+1331

1+1+8+8+64+216+1728

2026 equivale a estas expresiones palindrómicas:

2026=2×3×3×7×7+262+7×7×3×3×2

2026=2+8+2+2002+2+8+2

2026=5+12×8×21+5

2026=2×3×2+2002+2×3×2

2026=3×5×3+22×4×22+3×5×3

2026=131+12×7×21+131

Y ahora, pandigitales con resultado 2026:

2026=(1024-8-3)×(9-7)×(6-5)

2026=3+7×(6+5+4+2)×(8+9)×(1+0)

2026=4×3×(8+5)×(6+7)-2×1+9×0

Hoy me dedicaré a los desarrollos de una sola cifra para 2026, comenzando del 1 al 3:

2026=(1111-111+11+1+1)×(1+1)

2026=(2×22+2)×2×22+2

2026=(3×3^3+3-3×3)×3^3+3/3

2026 expresado con monocifras de 4, 5 y 6:

2026=(4+4)×(4^4)-4!+(4+4)/4

2026=(5!+5+5+5)×(5+5+5)+5/5

2026=6!+6!+6!-66-66-(6+6)/6

Por último, las cifras 7, 8 y 9 generan el 2026

2026=(7!-77+7)/7+777+77×7

2026=8!/(8+8)-8×8×8+8+8+(8+8)/8

2026=((999+9)×(9+9)+9)/9+9

2026 se genera con la siguiente recurrencia:

a(0)=a(1)=0, a(2)=2; y para n >= 3, a(n) = a(n-1) + 4×a(n-3)

Visto en https://oeis.org/A122946

Comprobado con una columna de Excel.

2026 es un número feliz, porque reiterando la suma de los cuadrados de sus cifras se llega a la unidad:

2^2+0^2+2^2+6^2=44

4^2+4^2=32

3^2+2^2=13

1^2+3^2=10

1^2+0^2=1

2026 es hipotenusa de una terna pitagórica y cateto en otra. Este segundo ha costado encontrarlo:

Como hipotenusa: 2026^2=90^2+2024^2

Como cateto: 2026^2=1026170^2-1026168^2

Visto en https://oeis.org/A350130:

Si a 2026 le aplicamos la función X^2+1 reiteradamente seis veces resulta otro número terminado en 2026

Lo he comprobado con PARI, pero no cabe aquí.

Como tantos números, 2026 también participa en una igualdad entre fracciones egipcias:

1/2026=1/2022-1/1024143

2026 se puede expresar con tres cuadrados con signo. Estas son algunas posibilidades:

2026=11^2+193^2-188^2

2026=9^2+197^2-192^2

2026=154^2-9^2-147^2

2026=150^2-5^2-143^2

2026=117^2+1^2-108^2

10)

2026 es divisor del número de Fibonacci de orden 2028. Posee muchas cifras. Se puede comprobar en PARI con el código

k=fibonacci(2028)/2026

print(k-truncate(k))

Resultará un cero.

2026 es promedio de dos cuadrados :

2026=(44^2+46^2)/2

O bien 2026=44^2+44×2+2

Y también 2026=22×44+23×46

2026 es suma de cinco elementos de la sucesión de Fibonacci: 2026=F(17)+F(14)+F(9)+F(7)+F(5)=1597+377+34+13+5

11)

2026 es la suma de los cuadrados de los primeros números libres de cuadrados, desde 1 hasta 21:

2026=1^2+2^2+3^2+5^2+6^2+7^2+10^2+…19^2+21^2

2026 es suma de los cuadrados de dos números triangulares:

2026=T(1)^2+T(9)^2=(1×2/2)^2+(9×10/2)^2

2026 equivale sumas de cuadrados con primos y también con capicúas

2026=3^2+2017=15^2+1801=27^2+1297=33^2+937

2026=39^2+505=42^2+262=45^2+1

12)

2026 es suma del número primo de orden 215 con el semiprimo que tiene el mismo orden

2026=PRIMO(215)+SEMIPRIMO(215)=1319+707=1319+7×101

No ha sido fácil encontrarlos

Todo número es suma, a lo más, de tres números triangulares. En el caso del 2026 pueden ser:

2026=10+2016=595+1431=1+990+1035=3+253+1770=6+190+1830

Según el teorema de Javier Cilleruelo, todo número es suma de tres capicúas o menos. En el 2026 he elegido una pequeña muestra:

2026=8+1221+797=9+686+1331=9+1331+686=11+464+1551=11+1551+464=22+343+1661

Con ellos termina mi bienvenida al 2026.

Divisorial

2025-12-22T18:07:00.001+01:00

Llamaremos divisorial de un número al producto de sus divisores, (según OEIS WIKI, sin revisar). Su cálculo es muy sencillo, porque los divisores de N se presentan por pares cuyo producto es N. Por ejemplo, en 45 se da que 45*1=15*3=9*5=45. El producto total, o divisorial, será 45^3=91125.

Si TAU(N) es el número de sus divisores, se tendrá que el número de pares será TAU(N)/2 si TAU es par y (TAU(N)+1)/2 si es impar, porque este último caso se dará en los cuadrados, y la RAIZ(N) se contaría repetida. Por ejemplo, el divisorial de 36 será 36*18*12*9*6*4*3*2*1=10077696, pero si lo ordenamos por pares, la raíz cuadrada estaría repetida:

Nos resultaría un producto seis veces mayor. Habría que suprimir el 6 sobrante, con lo que resultaría ese 6 multiplicado por los pares restantes, que forman TAU(N). Tendríamos 6*36*36*36*36=36^9/2

Por tanto, en el caso par y en el caso impar la fórmula adecuada es

Hemos seguido la nomenclatura usual de π(n) para el divisorial.

En el caso de 45 nos daría 45^6/2=45³=91125

En el caso de 36 existen 9 divisores, luego tendríamos 36^9/2= 10077696.

Los resultados del divisorial no se repiten, es decir, a números distintos les corresponden divisoriales distintos (ver la demostración de T.D. Noe en

http://www.sspectra.com/math/DivisorProduct.pdf)

Encontrar π(n) sin usar la función TAU es muy simple. Basta recorrer los números menores o iguales a N y multiplicar tan solo los divisores. En la práctica solo hay que llegar a N/2 y después multiplicar por N. En Visual Basic puede quedar así:

Function proddivi(n)

Dim p, i

p = n ‘Comenzamos el producto con n

For i = 2 To n / 2

If n / i = n \ i Then p = p * I ‘Si es divisor, se multiplica

Next i

proddivi = p

End Function

Con esta función podemos crear la primera tabla de divisoriales:

Están publicados en https://oeis.org/A007955

En el lenguaje PARI está implementada la función TAU con el nombre de numdiv, luego el divisorial se puede encontrar con

π(n)=n^(numdiv(n)/2)

En la imagen se ha pedido el valor de los 50 primeros:

En color azul figura la instrucción en PARI usada.

Casos particulares

N es primo

En ese caso TAU(N)=2, luego π(n)=n^2/2=n

Es lógico, porque el único producto de divisores es 1*n y el divisorial de n coincide con el número n

Potencia de primo

Si N=p^k, TAU(N)=k+1, porque los divisores serán (1, p, p², … p^k) , luego el divisorial será p^(k+1)/2.

Entre ellos, los divisoriales de cubos de primos serán cuadrados.

Semiprimo no cuadrado

Si N=p*q, con p≠q, poseerá cuatro divisores, 1, p, q y pq, luego TAU(N)=4 y su producto de divisores π(n)=n^4/2=n². Lo vemos en el listado anterior con 6 y 10.

Resultado cuadrado

Si el divisorial es una potencia, encontraremos muchos de ellos que sean cuadrados. Ya hemos visto que aparecen en los cubos de primos y en semiprimos no cuadrados, pero existen más. Estos son los primeros:

Entre ellos están los esfénicos, números del tipo p*q*r con los tres primos distintos. En ellos los divisores son: 1, p, q, r, pq, pr, rq y pqr, es decir ocho divisores, luego el producto de divisores será una potencia cuarta, también cuadrada.

En https://oeis.org/A048943 puedes consultar un razonamiento más completo.

Resultado cúbico

Es fácil razonar que las quintas potencias de un primo poseen un divisorial que será un cubo, ya que π(n)=n^(5+1)/2=n³

También producen un cubo los números, como el 12, que tienen la forma pq², pues TAU(n)=(1+1)(2+1)=6, luego π(n)=n^6/2=n³

Estos son los primeros:

Puedes buscar más casos particulares, que no serán complicados de razonar.

Pandigitales inesperados

2025-12-11T18:26:00.001+01:00

Hay varias acepciones de la palabra pandigital. Aquí nos referiremos a los pandigitales completos sin repetición, es decir, que consideraremos pandigitales a aquellos números de 10 cifras en las que figuren todas del 0 al 9 en cualquier orden y sin repetir ninguna. No se admite cero inicial. Excel lo suele suprimir, pero habrá que tener cuidado en otros lenguajes de programación.

Con esta definición es sencillo calcular por Combinatoria cuantos pandigitales de este tipo puede haber. Inténtalo.

Función para detectar pandigitales

Para esta detección se crea un vector de 10 elementos, ci(10), y en cada uno se cuentan las apariciones de una cifra determinada del número. Para que sea pandigital, todos los elementos han de ser iguales a 1. En cualquier otro caso, no lo será.

Función pandigital

Public Function pandigital(a) As Boolean

'han de estar todas las cifras sin repetición y sin cero inicial

Dim ci(10)’ Contenedor de cifras

Dim i

Dim t As Boolean

t = True ‘En principio suponemos que es pandigital

n = numcifras(a) ‘Se puede conseguir también sumando 1 a su logaritmo decimal

If n <> 10 Then pandigital = False: Exit Function ‘No tiene diez cifras

For i = 0 To 9: ci(i) = 0: Next I ‘Contadores a cero

For i = 1 To n

ci(cifra(a, i)) = ci(cifra(a, i)) + 1’ Se cargan las cifras encontradas

If ci(cifra(a, i)) > 1 Then pandigital = False: Exit Function ‘Si hay repetidas, no es pandigital

Next i

s = 0

For i = 0 To 9

If ci(i) = 0 Then t = False ‘Si falta una cifra, no es pandigital

Next i

pandigital = t ‘Devuelve VERDADERO o FALSO

End Function

Resultados inesperados

La idea de hoy es buscar pandigitales en distintas circunstancias u operaciones. Predominarán productos y potencias, como ejemplos favorables a encontrar pandigitales, pero sólo serán ejemplos de uso para facilitar a los lectores la búsqueda en otros casos similares. Se pueden abordar muchos.

Vemos algunos ejemplos con nuestro buscador:

Multiplicar un número por otro relacionado

A partir de este ejemplo hay que tener en cuenta que los pandigitales están comprendidos entre 10^9=1000000000 y 10^10=10000000000. Sería inútil buscar fuera de este intervalo.

Multiplicamos N por N+1

En este primer ejemplo, podemos comenzar la búsqueda por RAIZ(10^9)-1, para que N(N+1) entre en ese intervalo. La salida puede ser RAIZ(10^10)+1. Esto no es demasiado importante. Se puede ampliar algo el rango. Nuestro buscador nos da 52 soluciones. Estas son las primeras:

No esperaba tantos resultados. Se ve que el producto de consecutivos tiene características favorables. He probado con N(N+2) y resultan 34. Con N(N+3), 99. Como era de esperar, es algo que resulta aleatorio en la práctica. Con otras diferencias se obtienen números similares.

Un número multiplicado por su doble produce resultados parecidos.

Uso de potencias

Cuadrado de N

Si lo reducimos a su cuadrado, es decir un número por sí mismo, está publicado en https://oeis.org/A054038 con otros planteamientos, pero coincide mi buscador para pandigitales sin repetición, que resultan ser 87.

Estos son los primeros:

Podíamos operar N con N², a ver qué ocurre.

Con suma aparecen bastantes resultados. Uno es:

40508+40508^2=1640938572

Con cubos no he obtenido ningún pandigital.

Otras potencias

Para las potencias es preferible usar el lenguaje PARI, porque maneja las cifras con más soltura que Excel.

El criterio para saber si un número es pandigital puede ser este:

vecsort(digits(n))==[0..9] &&n>=10^9

Se interpreta fácilmente: se ordenan los dígitos de n en un vector y ha de coincidir con [0..9]. Además, no puede tener cero inicial, ha de ser mayor o igual que 10⁹.

Con estas líneas de PARI podemos investigar potencias. Están adaptadas a cuadrados para probar, escribiendo k=2. Cambiando k se pueden investigar otras potencias.

pandigital(n)=vecsort(digits(n))==[0..9]&&n>=10^9

k=2

a=truncate(10^(9/k))

b=truncate(10^(10/k))

for(i=a,b,m=i^k;if(pandigital(m),print(i," , ",m)))

Este es un recorte de pantalla para k=2 en la web de PARI:

Observamos que coincide con el resultado de Excel.

No he encontrado pandigitales en los exponentes del 3 al 10, pero nos ha servido para iniciar el uso de PARI.

Otras búsquedas

Número por su simétrico en cifras

Aquí sí tendremos éxito. En Excel uso mi función CIFRAINVER y en PARI mi función REVERSE. Elijo este porque lo tengo desarrollado más brevemente. Podríamos usar lo siguiente:

pandigital(n)=vecsort(digits(n))==[0..9]&&n>=10^9

reverse(n)=eval(concat(Vecrev(Str(n))))

a=2

b=1000

for(i=a,b,m=i*reverse(i);if(pandigital(m),print(i," , ",m)))

Definimos pandigital y reverse y después multiplicamos el número por su reverso:

Si multiplicas cualquier número de la primera columna por su simétrico, obtendrás el pandigital de la segunda.

Otros ejemplos sin desarrollar

Un número multiplicado por su doble:

Por ejemplo. 22887*45774=1047629538

Cuadrado de N menos N

Así, 44028^2-44028=1938420756

Todos terminarán en 0, 2 o 6.

Y hasta aquí llega el tema. Quedan muchas posibilidades, e incluso eligiendo las primeras cifras de un número real, pero aquí sólo se estudian los enteros.

Un número como diferencia entre potencias (2)

2025-12-03T18:20:00.001+01:00

En la anterior entrada sobre este tema se usó la descomposición en factores primos de un número. Esto supone declarar los vectores primo() y expo() de forma global y puede resultar un poco técnico. En esta segunda entrada consideraré otras alternativas.

Si no te quieres complicar con factores primos, puedes usar esta función, que te da las primeras soluciones y resulta rápida:

Function dospoten$(n)

Dim i, p, q, a, b, c, x

Dim s$

s$ = ""

x = n

For p = 2 To 12 ‘Se buscan potencias de exponentes del 2 al 12. ‘Esto se puede cambiar

a = Int(x ^ (1 / p)) + 1 ‘Posible raíz p-nésima

For i = a To 10 * a

b = i ^ p – n ‘Se halla la diferencia con N

For q = 2 To 20

c = Int(b ^ (1 / q) + 0.000001) ‘Se identifica como potencia

If c ^ q = b Then ‘Si todo va bien, se publica

s$ = s$ + "# " + ajusta(i) + "^" + ajusta(p) + "-" + ajusta(c) + "^" + ajusta(q) ‘Si no se cuenta con la función AJUSTA, se puede usar Str$

End If

Next q

Next i

Next p

If s = "" Then s = "NO"

dospoten = s$ ‘Publica la lista de diferencias de potencias

End Function

Con alguna limitación, es útil, y yo la uso en mis cálculos diarios. Puede que no llegue a alguna solución, pero suele funcionar bien.

Unos ejemplos:

60=8^2-2^2# 16^2-14^2# 4^3-2^2# 4^4-14^2# 2^6-2^2# 2^8-14^2

112=# 11^2-3^2# 12^2-2^5# 16^2-12^2# 29^2-27^2# 29^2-9^3# 29^2-3^6# 8^3-20^2# 4^4-12^2# 2^7-4^2# 2^7-2^4# 2^8-12^2# 2^9-20^2# 2^11-44^2

13# 7^2-6^2# 16^2-3^5# 17^3-70^2# 4^4-3^5# 2^8-3^5

Uso de la herramienta CARTESIUS

Mi máquina de construir productos cartesianos condicionados también nos puede ayudar a encontrar diferencias de potencias dentro de un nivel elemental. En ella se puede exigir que las columnas a combinar sean potencias, lo que facilita su uso en esta cuestión. La puedes descargar desde

https://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius

El problema es que la actualizo a veces, pero no la versión publicada, pero aquí valdrá.

La programación de esta búsqueda sería esta, concretada para el número 28:

xtotal=2

xt=1..100

xt=etiq(potencia)

ES x1-x2=28

Declara que se combinarán dos columnas (X1 y X2)

En ellas se escribirán 100 datos (pueden ser más a costa del tiempo de proceso)

Cada columna contendrá las primeras potencias.

Se deberá cumplir que X1 menos X2 sea 28 (esto es un ejemplo)

Al pulsar sobre el botón Iniciar se construirán las columnas de potencias:

En la siguiente página Producto obtendremos las primeras diferencias de potencias que equivalen a 28.

Esto es un simple complemento, para comprobar otros resultados y para conocer una posibilidad alternativa. No tiene más importancia.

Esta sería la solución para 28 con las anteriores herramientas:

# 6^2-2^3# 8^2-6^2# 4^3-6^2# 8^3-22^2# 37^3-225^2# 37^3-15^4# 2^5-2^2# 2^6-6^2# 2^7-10^2# 2^9-22^2

Las soluciones de Cartesius están contenidas en esta lista.

Uso del Buscador de Naturales

Mi herramienta Buscador de Naturales posee la función POTENCIA, tanto de forma booleana, como True o False como actuando sobre un parámetro. Esto nos permite plantear una búsqueda de diferencia de potencias de forma sencilla. Basta condicionar N a que sea potencia y después volverla a usar pero con parámetro N+K.

Lo vemos más claramente con el número 24 como ejemplo:

Las condiciones han sido:

POTENCIA: Busca los números que son potencias

ES POTENCIA(N+24): La partícula ES anuncia que se exigirá una condición complementaria mediante expresiones o funciones. Aquí es que N+24 sea también potencia.

EVALUAR: Indica qué se escribirá en la segunda columna. Aquí hemos pedido que sea N, una coma, y N+24

Puedes descargar esta herramienta desde

https://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#buscador

No resulta muy lento. Le hemos exigido tratar el 28 hasta un tope de 20000 y no ha tardado demasiado:

Coincide con anteriores planteamientos:

28 =2^5-2^2=6^2-2^3=2^6-6^2=2^7-10^2=2^9-22^2

Se han creado dos columnas que después se pueden copiar en otra parte de Excel y añadirles detalles:

Despedida simplista

¿No queremos seguir con algoritmos? Pues podemos construir una tabla de doble entrada en la que figuren las potencias ordenadas tanto en filas como en columnas, y usar las búsquedas de Excel para localizar el número deseado. Se podía comenzar el tema por aquí, y el trabajo pesado que da puede justificar el pensar en algoritmos.

Aquí se pueden localizar algunos de los ejemplos que se han usado. Los he destacado en rojo:

Un número como diferencia entre potencias (1)

2025-11-24T18:00:00.001+01:00

Antecedentes

En este blog se han estudiado varios tipos de diferencias de potencias. Por ejemplo, ya hemos visto aquí las diferencias de cuadrados, como puedes buscar en

https://hojaynumeros.blogspot.com/

También se han tratado las de cubos:

https://hojaynumeros.blogspot.com/2024/09/diferencias-de-cubos-enteros-positivos.html

O bien de cubos menos cuadrados y también el caso en el que los dos exponentes son iguales:

https://hojaynumeros.blogspot.com/2025/01/regresos-13-diferencia-de-potencias.html

Por último, algunas curiosidades sobre diferencias de potencias, como, por ejemplo. Acercamientos entre potencias

https://hojaynumeros.blogspot.com/2018/10/acercamiento-entre-potencias.html

En mi reciente publicación “Números y potencias” están contenidas varias cuestiones interesantes (descargable desde

https://www.hojamat.es/publicaciones/numpot.pdf)

Diferencias entre potencias de distinto exponente

No he abordado nunca (creo que es así, porque a mi edad la memoria falla), la diferencia entre dos potencias de distinto exponente. Aprovecharé el tema para presentar varias alternativas.

Función ESPOTENCIA

Hay varias formas de identificar una potencia perfecta. La más directa es la de descomponer el número en factores primos y encontrar el MCD de sus exponentes. Si este es mayor que 1, estaremos ante una potencia. Por ejemplo, 576=2⁶*3². EL MCD de 6 y 2 es 2, luego 576 es un cuadrado. Esta técnica nos da el mayor exponente si el número es multipotencia, como el 64, que lo catalogará como sexta potencia. Para la cuestión actual lo que nos interesa es que sea verdaderamente una potencia.

Para sacar los factores primos disponemos de nuestra función SACAPRIMOS, que la puedes encontrar en

https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/06/numeros-con-cifras-crecientes-o_02105820646.html

Esta función te devuelve los factores primos en el vector primo() y sus exponentes en expo(), además de indicar el número de esos factores en NUMOMEGA.

Esas variables se han de declarar de forma global en VBasic:

Global primo(50), expo(50)

Global numomega

Esta es la función ESPOTENCIA:

Public Function espotencia(n)

Dim i, j, s, p

If n = 1 Or n = 0 Then espotencia = 1: Exit Function

p = n

j = sacaprimos(p) ‘Explicado en el párrafo anterior

s = expo(1) ‘El vector expo está también explicado

If j > 1 Then

For i = 2 To j

s = mcd(s, expo(i)) ‘Calcula el MCD

Next i

End If

If s = 1 Then s = 0 ‘Si MCD es 1, no es potencia

espotencia = s ‘Devuelve el exponente o un cero

End Function

Búsqueda de diferencias con la función ESPOTENCIA

Haré uso de mi función ESPOTENCIA y de la correspondiente ISPOWER del lenguaje PARI. Esta última me permitirá llegar a números grandes con más facilidad.

La idea para buscar diferencias de potencias que coincidan con N será la de recorrer todos los números K hasta un tope prefijado, y estudiar si K y K+N son potencias. En caso afirmativo, habremos dado con una solución. Se les halla la raíz exacta y se incorporan al resultado.

La función quedaría así:

Function difepote$(n, tope)

Dim b, m, p, q, r, t

Dim s$

s = "" ‘Contenedor de soluciones

m = 0 ‘Contador de soluciones

For b = 1 To tope – n ‘El tope es parámetro prefijado

q = espotencia(b) ‘Daría cero o un exponente

p = espotencia(b + n) ‘Daría cero o un exponente

If p > 0 And q > 0 Then ‘Si no dan cero, es que son potencias

r = raiz_exacta(b + n, p)

t = raiz_exacta(b, q)

m = m + 1 ‘Nueva solución

s = s + "=" + ajusta(r) + "^" + ajusta(p) + "-" + ajusta(t) + "^" + ajusta(q)

End If

Next b

If s = "" Then s = "NO" Else s = ajusta(m) + ": " + s

difepote = s

End Function

La función RAIZ_EXACTA también se basa en los vectores PRIMO y EXPO. Para quien tenga interés, adjunto su código sin comentarios:

Function raiz_exacta(n, k)

Dim p, r, i

If n = 1 Or n = 0 Then raiz_exacta = n: Exit Function

p = espotencia(n)

If p Mod k = 0 Then

r = 1

For i = 1 To numomega

r = r * primo(i) ^ (expo(i) / k)

Next i

End If

If r = 1 Then r = 0

raiz_exacta = r

End Function

Un ejemplo del uso de esta función DIFEPOTE lo vemos con el número 28 y tope 200000:

Difepote(28;200000)=7:=2^5-2^2=6^2-2^3=2^6-6^2=2^7-10^2=2^9-22^2=37^3-15^4=2^17-362^2

Nos indica que ha encontrado siete soluciones y escribe sus desarrollos.

No es un algoritmo rápido. En el caso del 28 sí devuelve el resultado en pocos segundos, pero con un tope mayor puede tardar.

Elijo ahora el número 120 para destacar dos resultados que pueden resultar:

120=11^2-1^1=2^7-2^3=13^2-7^2=17^2-13^2=31^2-29^2

Una de las bases puede ser 1 (en ese caso tendrá exponente 1) y las dos bases pueden ser iguales, como en 2^7-2^3. Es normal que esto ocurra.

Versión en PARI

Para lograr más rapidez y llegar a números más grandes, he traducido la función DIFEPOTE al lenguaje PARI. No necesita explicación, salvo que en él es preferible presentar los resultados como lista y no como cadena de texto.

Una novedad en este lenguaje es que ISPOWER, además de devolver el exponente, guarda la base en una variable. Así, ispower(343,,&k) devolverá 3, porque es un cubo, y guardará la base 7 en la variable k. Tiene el inconveniente de que no maneja bien al caso del 1, pues lo considera siempre potencia de exponente cero. Esto se puede ignorar o intentar corregirlo en el código. He elegido esta última posibilidad, aunque el código se alarga demasiado. Es este:

difepote(n,tope)={my(b,b1,s=List(),r1,r2);p=ispower(n+1,,&r1);if(p>0,listput(~s,r1);listput(~s,p);listput(~s,1);listput(~s,1);listput(~s,"#"));for(b=2,tope-n,q=ispower(b,,&r2);b1=b+n;p=ispower(b1,,&r1);if(p<>0&&q<>0,listput(~s,r1);listput(~s,p);listput(~s,r2);listput(~s,q);listput(~s,"#")));s}

print(difepote(132608,2000000))

Aquí se trocea en líneas, pero hay que escribirlo sin saltos de línea. Este es el resultado en la web de PARI:

He elegido este ejemplo porque en él se destaca la mayor potencia de cálculo de PARI, ya que Excel tardaría más. Una solución más restringida, con un tope menor, es

4: =372^2-76^2=52^3-20^3=387^2-131^2=408^2-184^2

Si llegamos a un tope de 2000000, tarda sus buenos minutos en Excel, y al final devuelve:

10:=372^2-76^2=52^3-20^3=387^2-131^2=408^2-184^2=522^2-374^2=582^2-454^2=648^2-536^2=933^2-859^2=1068^2-1004^2=1212^2-34^4

El mismo resultado, pero con más lentitud.

Es una preferencia personal el pasar o no a PARI en esta cuestión.

Seguiré con el tema en la siguiente entrada.

Polidivisibles

2025-11-14T18:57:00.001+01:00

Un número se llama polidivisible (aquí se limitará el estudio a base 10) cuando al recorrer sus cifras de izquierda a derecha, las dos primeras forman un múltiplo de 2, las tres primeras, de 3, las cuatro de 4, y así sucesivamente. Por ejemplo, 126006 es polidivisible, porque 12=2*6, 126=3*42, 1260=4*315, 12600=5*2520, 126006=6*21001. Se supone que no se han escrito ceros a la izquierda, o lo que es lo mismo, que la primera cifra es no nula.

Puedes comprobar la afirmación de Wikipedia de que 381654729 es polidivisible.

Si se entiende bien el troceado de cifras, no es difícil crear una función que determine si un número es polidivisible. Propongo esta para VBasic de Excel, fácilmente traducible a otros lenguajes:

Function polidivisible(n) As Boolean ‘Devuelve verdadero o falso

Dim m, i, t

Dim es

m = numcifras(n)’Función contenida en mi blog “Números y hoja de cálculo”. Es fácil de copiar.

If m < 2 Then polidivisible = False: Exit Function ‘Caso de una cifra

i = 2 ‘Número de cifras primeras a considerar

es = True ‘Suponemos que sí es polidivisible

While i <= m And es ‘Recorremos las primeras cifras

t = Int(n / potencia(10, m - i)) ‘Trozo de cifras

If t / i <> t \ i Then es = False ‘Ha de ser múltiplo de su número de cifras

i = i + 1

Wend

polidivisible = es

End Function

Esta función te devuelve VERDADERO si el número es polidivisible. Con ella y un buscador podemos encontrar los primeros números polidivisibles. En la lista se descubren los comprendidos entre 100 y 200:

102, 105, 108, 120, 123, 126, 129, 141, 144, 147, 162, 165, 168, 180, 183, 186, 189

Los puedes comprobar en https://oeis.org/A144688. Allí se les llama “magic”. Su definición sugiere que si un número es polidivisible, también lo son los trozos de cifras que nos han servido para la definición. Eso ocurre con 20445, que 20, 204 y 2044 también son polidivisibles. Más adelante estudiaremos el proceso contrario, extender un polidivisible a más cifras.

Versión en PARI

Excel no es útil para números enteros de muchas cifras, ya que pasa automáticamente al formato científico. Por ello es conveniente el uso de una función en PARI. La de arriba se traduce fácilmente a esta otra:

k=381654729

polidivisible(n)={my(m=#digits(n),i=2,es=1,t);while(es==1&&i<=m,t=truncate(n/10^(m-i));if(t%i<>0,es=0);i+=1);es}

print(polidivisible(k))

Escribimos un valor de k en la primera línea y nos devolverá un 1 si k es polidivisible o un 0 si no lo es. Lo he probado en la web de PARI:

Nos devuelve un 1 porque 381654729 sí es polidivisible.

Añadiendo un bucle podremos buscar polidivisibles en un rango. En la imagen figuran los primeros a partir de 2000000:

Mentalmente se puede comprobar alguno de ellos.

En https://en.wikipedia.org/wiki/Polydivisible_number puedes encontrar un procedimiento sencillo para extender la definición a cualquier base b.

Extensión de un número polidivisible

Si N lo es, podemos intentar añadirle otra cifra más y probar si también es polidivisible. Si N posee k cifras, el siguiente polidivisible estará entre 10*N y 10*N+9 y deberá ser múltiplo de k+1. Si k no es mayor que 10, siempre existirá un múltiplo en ese rango. En valores superiores no se puede garantizar la extensión.

Uso PARI para garantizar un buen número de cifras:

polidivisible(n)={my(m=#digits(n),i=2,es=1,t);while(es==1&&i<=m,t=truncate(n/10^(m-i));if(t%i<>0,es=0);i+=1);es}

extenpoli(n)={my(g=#digits(n),nn=0,i=0,es=0);while(i<=9&&es==0,nn=i+n*10;if(polidivisible(nn),es=1);i+=1);nn*(es==1)}

print(extenpoli(126006))

En primer lugar, vuelvo a definir la función polidivisible. Después, extenpoli, que, como vemos, recorre una cifra adicional (i+n*10) para encontrar un nuevo polidivisible. Si no lo encuentra, devuelve un cero.

En el caso de 126006 nos devuelve un múltiplo de 7. Lo vemos en la web de PARI:

Sería 1260063 el siguiente polidivisible, divisible entre 7. Si proseguimos, el siguiente resulta ser 12600632, divisible entre 8. Seguirían 126006327, 1260063270, 12600632704, 126006327048. Aquí se detiene la secuencia, porque al añadir otra cifra no se logra un múltiplo de 13.

Todo esto funciona si el primer número es polidivisible con seguridad. Si no, llegaríamos a resultados erróneos. Estas secuencias de extensiones no tienen que ser únicas. Un polidivisible puede dar lugar a dos o más cuando se le añade una cifra, ya que en un rango de 10 puede haber dos o más múltiplos del número de cifras.

Secuencia de extensiones

Si usamos una lista, es posible lograr que PARI nos devuelva el conjunto de extensiones (o uno de ellos). Bastará añadir otra función nueva que descubra extensiones mientras sea posible. Todo el conjunto quedaría así:

polidivisible(n)={my(m=#digits(n),i=2,es=1,t);while(es==1&&i<=m,t=truncate(n/10^(m-i));if(t%i<>0,es=0);i+=1);es}

extenpoli(n)={my(g=#digits(n),nn=0,i=0,es=0);while(i<=9&&es==0,nn=i+n*10;if(polidivisible(nn),es=1);i+=1);nn*(es==1)}

secuenpoli(n)={my(m=n,s=List());while(m<>0,listput(~s,m);m=extenpoli(m));s}

print(secuenpoli(126006))

Nos daría el mismo resultado para 126006 en forma de lista:

List([126006, 1260063, 12600632, 126006327, 1260063270, 12600632704, 126006327048])

Otros ejemplos:

N=62765

List([62765, 627654, 6276543, 62765432, 627654321, 6276543210, 62765432103, 627654321036, 6276543210366, 62765432103668])

N=180402

List([180402, 1804026, 18040264, 180402642, 1804026420, 18040264209, 180402642096, 1804026420963, 18040264209632])

N=747

List([747, 7472, 74720, 747204, 7472045, 74720456, 747204561, 7472045610, 74720456107, 747204561072])

Ejemplo de los primeros párrafos:

N=381654729

List([381654729, 3816547290, 38165472906, 381654729060, 3816547290608])

Con esto terminamos la introducción a este tipo de números. Quedan muchas curiosidades, que puedes encontrar en las dos webs enlazadas más arriba. Aquí nos quedamos con las que son fácilmente tratables con VBasic y PARI.

Primos pitagóricos

2025-11-03T18:05:00.001+01:00

Después de dos entradas publicadas sobre ternas pitagóricas, es útil completarlas con las hipotenusas más simples, que son los primos pitagóricos, es decir, los del tipo 4K+1. Estos primos se caracterizan por poder ser expresados mediante una suma de dos cuadrados de forma única. Este tema ha aparecido tanto en mis publicaciones que lo doy por sabido.

Por ejemplo, 13=4*3+1=2²+3²

Relacionando estos números con el estudio reciente sobre el número de ternas pitagóricas de las que un número es hipotenusa, podemos afirmar que estos primos sólo pueden ser hipotenusa de una sola terna. Así, el ejemplo del 13 se traduce en la terna única 13²=12²+5².

Los primeros primos pitagóricos están publicados en https://oeis.org/A002144, y son sencillos de identificar. La terna que producen es siempre primitiva, pues su carácter de primos impide su simplificación.

Según lo aprendido en las anteriores entradas, sus potencias serán hipotenusas de tantas ternas como indique su exponente. Por ejemplo, 13^5=371293 lo es de las cinco siguientes:

371293=3107²+371280²=139932²+343915²=142805²+342732²=145668²+341525²=261443²+263640²

Propiedades

Una propiedad interesante de estos primos es que poseen un resto cuadrático igual a -1. Su justificación requiere teoría de nivel algo superior al que se mantiene en este blog, pero podemos efectuar comprobaciones. Por ejemplo, el primo 29=7*4+1 presenta el resto 28, que equivale a -1. En la siguiente captura de pantalla se observa su presencia:

El cuadrado de estos primos será promedio de otros cuadrados. Con lo aprendido en las dos últimas entradas es fácil comprobarlo:

Tomamos N=2(4K+1)², que según Gauss se podrá descomponer en suma de cuadrados dos veces. Una de ellas es trivial, pues sería (4K+1)²+(4K+1)², pero la otra convertirá a N² en promedio de dos cuadrados.

(Ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2024/03/potencias-equidistantes-de-cuadrados.html)

Por ejemplo, 73 es primo del tipo 4K+1, luego su cuadrado deberá ser promedio de dos cuadrados. Descomponemos 2*73² en cuadrados:

2*73²=7²+103²=73²+73²

De ahí se deduce la propiedad:

73²=(7²+103²)/2

Estos valores se pueden lograr también con la función ENTREDOS contenida en el enlace de más arriba.

También estos primos, sin elevar al cuadrado, son promedios de dos cuadrados. Basta recordar que si p es del tipo 4K+1, 2p sólo se descompone en una suma de cuadrados, como ocurre con el número 41:

41*2=82=1²+9², luego 41=(1²+9²)/2

41²*2=3362=31²+49², luego 41²=(31²+49²)/2

Tanto los primos pitagóricos como sus cuadrados son promedios de otros cuadrados.

Pasamos a la posibilidad de estos números de actuar como catetos.

Los primos pitagóricos como catetos de una terna

Este tema ya está resuelto anteriormente, pues si p es primo impar, su cuadrado se puede descomponer en dos factores de la misma paridad impar, aparte del trivial p*p, como serían p² y 1. Por tanto, se cumple:

p²=((p²+1)/2)²-((p²-1)/2)²

Por ejemplo:

73²=2665²-2664²

Es fácil ver que el primo pitagórico es la raíz cuadrada de la suma de los catetos, que siempre es un cuadrado perfecto.

También, todo número del tipo (p²+1)/2 es posible hipotenusa que sea una unidad mayor que un cateto, aunque p no sea primo.

En cuantas ternas pitagóricas (2)

2025-10-20T17:53:00.001+02:00

En la entrada anterior se discutió la posibilidad de que un número fuera hipotenusa de varias ternas pitagóricas. Continuará aquí el tema calculando de cuantas ternas puede ser cateto un número dado N.

Se tratará de buscar soluciones a la ecuación

N²=a²-b²

Estamos suponiendo implícitamente que a es mayor que b, luego podemos descomponer la diferencia de cuadrados de esta forma, llamando a=b+k

N²=(a+b)(a-b)=(b+k+b)(b+k-b)=k(2b+k)

Esto nos lleva a que la diferencia k entre a y b ha de ser divisor de N², al igual que 2b+k. Es claro que

N²=k(2b+k)>k², luego k<N

Estas consideraciones nos llevan a un protocolo para encontrar ternas con un cateto dado N.

Recorremos todos los divisores de N, sean K.

Para cada K estudiamos N²/K-K, que ha de ser un número par positivo. Su mitad será el número b, el otro cateto. La hipotenusa se calculará como b+K.

Este procedimiento lo plasma la siguiente función para VBasic:

Function escateto$(n)

Dim s$

Dim k, b, m, a, nn

s = "" ‘Contenedor de soluciones

m = 0 ‘Número de soluciones

nn = n * n’ Cuadrado de n

For k = 1 To n

If nn / k = nn \ k Then ‘Es un divisor del cuadrado

b = (nn / k - k) / 2 ‘Posible valor del otro cateto

If b > 0 And b = Int(b + 0.000001) Then ‘Solución válida

m = m + 1’Aumenta el contador

a = b + k ‘Hipotenusa

s = s + "+" + ajusta(a) + "^2-" + ajusta(b) + "^2" + " " ‘Se incorpora la solución

End If

Next k

s = ajusta(m) + ":: " + s ‘Toma nota del número de soluciones

escateto = s

End Function

Esta función es razonablemente rápida, y eso que pueden aparecer más de 20 soluciones frecuentemente.

Un ejemplo: ¿De cuántas ternas pitagóricas es cateto el número 812?

Resultan trece ternas con cateto 812:

13:: +164837^2-164835^2 +82420^2-82416^2 +41213^2-41205^2 +23555^2-23541^2 +11788^2-11760^2 +5915^2-5859^2 +5713^2-5655^2 +3413^2-3315^2 +2900^2-2784^2 +1780^2-1584^2 +1537^2-1305^2 +1037^2-645^2 +1015^2-609^2

Se puede comprobar alguna, y la diferencia de cuadrados deberá ser 659344, el cuadrado de 812.

Es evidente que el posible cateto deberá ser un número tal que su cuadrado sea compuesto y que sea producto de un par de divisores de la misma paridad, como veremos más adelante. Esta condición la cumplen todos los números enteros positivos. Por esa razón todos pueden ser catetos.

En esta captura de pantalla de un rango elegido al azar se observa que todos los números naturales pueden ser catetos, pero que los números primos sólo lo son una vez:

Llaman la atención las 40 soluciones de 2208.

Otro procedimiento

El protocolo elegido es el más rápido, pero se puede usar un argumento sencillo y popular para encontrar las soluciones.

La idea es muy simple:

Si N²=a²-b²=(a+b)(a-b), los paréntesis han de ser de la misma paridad, llamémosles m y n respectivamente, ya que a=(m+n)/2 y b=(m-n)/2, y ambos han de ser enteros. Entonces la búsqueda de soluciones se reduce a encontrar productos de dos factores, ambos pares o ambos impares, con resultado N².

Esta idea daría lugar a otra función parecida a la anterior:

Function escateto2$(n)

Dim s$

Dim k, b, m, a, nn, kk

s = ""

m = 0

nn = n * n

For k = 1 To nn

If nn / k = nn \ k Then

kk = nn / k

If k > kk And (k - kk) Mod 2 = 0 Then ‘Aquí se exige misma paridad

a = (k + kk) / 2: b = (k - kk) / 2

m = m + 1

s = s + "+" + ajusta(a) + "^2-" + ajusta(b) + "^2" + " "

End If

Next k

s = ajusta(m) + ":: " + s

escateto2 = s

End Function

Probamos la función con el anterior ejemplo, 812:

13:: +1015^2-609^2 +1037^2-645^2 +1537^2-1305^2 +1780^2-1584^2 +2900^2-2784^2 +3413^2-3315^2 +5713^2-5655^2 +5915^2-5859^2 +11788^2-11760^2 +23555^2-23541^2 +41213^2-41205^2 +82420^2-82416^2 +164837^2-164835^2

Obtenemos los mismos trece resultados.

Casos particulares

Primos impares

Los números primos impares presentarán siempre un resultado, pues, si llamamos p al primo, su cuadrado p² tendrá tres divisores, 1, p y p², con lo que el único par a, b con a>b y de la misma paridad será 1 y p². Las soluciones serán, pues, a=(p²+1)/2 y b=(p²-1)/2. En la siguiente imagen se observa esto en un pequeño rango de primos:

Semiprimos impares no cuadrados

Los números de este tipo son producto de dos primos impares distintos, p₁ y p₂. Sus divisores serán 1, p₁, p₂ y p₁p₂. Los divisores de su cuadrado serán 1, p₁, p₂, p₁p_2,p₁², p₂², p₁p₂², p₂p₁², p₁²p₂², nueve divisores, que dan lugar a cuatro pares de productos con factores distintos de igual paridad. Por ejemplo, 15 y 35 se descomponen así:

15 4:: +113^2-112^2 +39^2-36^2 +25^2-20^2 +17^2-8^2

35 4:: +613^2-612^2 +125^2-120^2 +91^2-84^2 +37^2-12^2

Dejo como ejercicio sencillo razonar que los semiprimos no cuadrados pares presentan una descomposición:

14 1:: +50^2-48^2

26 1:: +170^2-168^2

Los semiprimos cuadrados se descomponen de una forma el 4 y de dos los impares.

4 1:: +5^2-3^2

49 2:: +1201^2-1200^2 +175^2-168^2

169 2:: +14281^2-14280^2 +1105^2-1092^2

Las potencias de un primo tienen tantas descomposiciones como indique su exponente:

3 1:: +5^2-4^2

9 2:: +41^2-40^2 +15^2-12^2

27 3:: +365^2-364^2 +123^2-120^2 +45^2-36^2

81 4:: +3281^2-3280^2 +1095^2-1092^2 +369^2-360^2 +135^2-108^2

243 5:: +29525^2-29524^2 +9843^2-9840^2 +3285^2-3276^2 +1107^2-1080^2 +405^2-324^2

Hay que recordar que se debe razonar sobre el cuadrado del número propuesto.

Esta función de número de descomposiciones no es multiplicativa, por lo que no es útil descomponer N en factores y contar uno por uno para luego multiplicar.

Un ejemplo:

4 1:: +5^2-3^2

9 2:: +41^2-40^2 +15^2-12^2

36 7:: +325^2-323^2 +164^2-160^2 +111^2-105^2 +85^2-77^2 +60^2-48^2 +45^2-27^2 +39^2-15^2

Dejo aquí los casos particulares

Fórmula general

Lo que sigue es una adaptación de mi estudio contenido en https://hojaynumeros.blogspot.com/2017/01/numero-de-descomposiciones-en.html

En él se explican todos los casos de descomposición en diferencia de cuadrados, pero al no ser hipotenusa y cateto, se admite el caso en el que b=0. Bastará restar una unidad a la fórmula general para cuadrados, o, preferiblemente, corregir la función que se propone, restando 1 al final. Se copia a continuación:

Public Function numcatetos(n)

Dim p, q, r, s, t, nm

q = n * n: p = 0

While q Mod 2 = 0: q = q / 2: p = p + 1: Wend 'Extraemos la potencia de 2

If p = 1 Then nm = 0: Exit Function 'Caso imposible

'q es la parte impar

If q = 1 And p > 1 Then nm = Int((p - 1) / 2) + (p - 1) Mod 2

'Es potencia de 2 pura

If p = 0 And q > 1 Then t = fsigma(q, 0): nm = Int(t / 2) + t Mod 2

'Es un número impar

If p > 1 And q > 1 Then t = fsigma(q, 0): nm = t * Int((p - 1) / 2) + ((p - 1) Mod 2) * (Int(t / 2) + t Mod 2)

numcatetos = nm - 1

'Tiene parte par y parte impar

End Function

Con esta función doy por terminado el tema del número de ternas pitagóricas que produce un número dado, tanto como hipotenusa como siendo un cateto.

¿En cuantas ternas pitagóricas? (1)

2025-10-07T18:29:00.001+02:00

No todos los números naturales pueden ser hipotenusas o catetos en una terna pitagórica. Por ejemplo, el 23 no es ni uno ni otro. Otros números pertenecen a varias ternas distintas, como ocurre, por ejemplo, con el número 27925, que es hipotenusa en siete ternas y cateto en una:

Como hipotenusa: 27925^27=2004^2+27853^2=5875^2+27300^2=7819^2+26808^2=11680^2+25365^2=13284^2+24563^2=16755^2+22340^2=18315^2+21080^2

Como cateto: 27925^2=72605^2-67020^2

¿De qué depende esto?

Lo veremos por separado, ya que necesitamos teorías distintas.

Un número como hipotenusa

Estudio teórico

En entradas anteriores de mi blog se ha estudiado bien la descomposición de un número en suma de cuadrados. Recientemente he encontrado un documento que lo explica claramente:

https://www.math.purdue.edu/~jlipman/MA598/sums-of-two-squares.pdf

En nuestro caso, el número a descomponer es el cuadrado de la hipotenusa, por lo que se le puede aplicar tres criterios contenidos en el mismo. Si descomponemos N en sus factores primos resultará:

El factor 2 no influye en el número de cuadrados y se puede ignorar. La razón, según se explica en el documento, es la igualdad

(x+y)²+(x-y)² = 2(x²+y²)

La primera suma es par, luego los dos cuadrados tienen la misma paridad, lo que justifica que se puedan expresar como suma y diferencia de dos números naturales. Según el segundo miembro, su mitad también será una suma de cuadrados. Así que podemos dividir el número a estudiar entre 2 todas las veces que deseemos, porque el número de sumas de cuadrados no cambiará.

Los factores primos del tipo 4k+3, que suelen impedir la descomposición en dos cuadrados, figurarán todos con exponentes pares, por ser un cuadrado, por lo que, según la teoría, tampoco impiden la descomposición, y tampoco aportan nuevas soluciones. Se pueden ignorar.

Los factores del tipo 4K+1 son los que facilitan la descomposición en suma de dos cuadrados, y según el documento citado (siguiendo a Gauss) producirán un número de resultados dado por la fórmula

(La imagen es un recorte del documento)

Nos interesa el caso inferior, aplicable a cuadrados. En la fórmula, e_r es el exponente de un factor primo del tipo 4K+1, únicos que nos interesan.

Sólo serán hipotenusas de ternas pitagóricas los números que contengan factores del tipo 4k+1.

El número de ternas de las que puede ser hipotenusa un número dado sólo depende de la signatura prima (conjunto de exponentes) y no de los números primos presentes (si son del tipo 4K+1)

Lo aplicamos al ejemplo 27925. Su descomposición factorial es 5²*1117. Ambos primos son del tipo 4K+1, luego nos interesan los exponentes de su cuadrado, que serían 4 y 2 respectivamente. Luego, por la fórmula de la imagen de más arriba:

S(n)=((4+1)(2+1)-1)/2=14/2=7

Ese fue el número de sumas de dos cuadrados (y por tanto ternas pitagóricas) que figuran al principio de este estudio.

Probaremos con otro ejemplo: 1980=2²*3²*5*11.

En su cuadrado no influirán los factores 2, 3 ni 11 (el 2 y los del tipo 4K+3), luego sólo usaremos los exponentes del cuadrado de 5, es decir:

S(1980)=((2+1)-1)/2=1

En efecto, usando una función que se presentará más adelante se obtiene el resultado

1:: =1188^2+1584^2

Obtención de las sumas de cuadrados

La siguiente función en VBasic resuelve la búsqueda de esas sumas. En ella se va formando un cuadrado como suma de impares, la variable k.

Function espitag(n) As String

Dim k, p, d, m

Dim s$

s = "" ‘Contenedor de soluciones

m = 0 ‘Contador de sumas

k = 1: p = 3 ‘Inicio de los cuadrados mediante suma de impares

While k < n * n / 2 ‘Probamos el primer cuadrado de la suma

d = n * n – k ‘Posible segundo cuadrado

If escuad(d) Then ‘Nueva solución para la suma de cuadrados

m = m + 1

s = s + "=" + ajusta(Sqr(k)) + "^2+" + ajusta(Sqr(d)) + "^2"

End If

k = k + p: p = p + 2 ‘Siguiente cuadrado

Wend

espitag = ajusta(m) + ":: " + s

End Function

Esta función te devuelve el listado de soluciones. Lo vemos con un ejemplo:

1950=2*3*5^2*13

Si le aplicamos la función nos devuelve

S(1950)=7::216^2+1938^2=480^2+1890^2=546^2+1872^2=750^2+1800^2=990^2+1680^2=1170^2+1560^2=1224^2+1518^2=2*3*5^2*13

Son siete sumas de cuadrados. Según la teoría, la justificación es el cálculo S(1950)=((4+1)(2+1)-1)/2=14/2=7

Hemos ignorado el 2 y el 3, y usado los exponentes del cuadrado de 5^2 y 13.

La ventaja de la función es que nos da el número de sumas y el listado de las mismas.

¿Qué números pueden resultar al contar ternas?

Según lo visto, cualquier número natural puede ser el resultado de contar ternas. Esto es así por la forma de calcularlo.

Sea un número cualquiera K. Si lo multiplicamos por 2 y añadimos 1, nos resultará un número impar, que se podrá igualar al producto de paréntesis de la fórmula empleada. Como trabajamos con exponentes, bastará usar bases del tipo 4K+1. Lo vemos con un ejemplo:

¿Qué números producirán trece ternas distintas?

Multiplicamos 13 por 2 y añadimos 1, con lo que obtenemos 27, que se puede descomponer en 3*3*3. Esos factores provienen de exponentes del cuadrado (que serían 2), por lo que basta multiplicar tres números primos del tipo 4K+1, por ejemplo, 5*13*17=1105. Le aplicamos la función y queda:

S(1105) 13:: =47^2+1104^2=105^2+1100^2=169^2+1092^2=264^2+1073^2=272^2+1071^2=425^2+1020^2=468^2+1001^2=520^2+975^2=561^2+952^2=576^2+943^2=663^2+884^2=700^2+855^2=744^2+817^2

Otro ejemplo: ¿Cuándo resultarán ocho ternas?:

8*2+1=17, que es primo, luego la única posibilidad es que se trate de la potencia octava de un primo del tipo 4K+1. Usamos las más pequeña, 5^8=390625, con el resultado de ocho ternas:

S(390625) 8:: =29625^2+389500^2=80620^2+382215^2=109375^2+375000^2=137500^2+365625^2=164833^2+354144^2=210000^2+329375^2=234375^2+312500^2=257400^2+293825^2

Primos del tipo 4K+1

Un caso especial lo constituyen los números que son primos del tipo 4K+1, también llamados primos pitagóricos. Como son muy interesantes, les dedicaré un estudio especial cuando se termine el tema actual.

Catetos de una terna

Esta entrada se ha alargado algo, y continuaré en la siguiente con el tema de los catetos y algún otro.

Simétricos de un esfénico

2025-09-22T19:01:00.002+02:00

En esta entrada estudiaremos la relación entre los factores primos de un número esfénico y los de su simétrico, el que posee cifras simétricas a las de ese número en el sistema de numeración decimal.

Números esfénicos

Los números esfénicos son los que poseen tres factores primos distintos, como se explica en este mismo blog.

(Ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/09/blog-post.html)

En muchos lenguajes de programación se define la función OMEGA como el total de factores primos distintos que posee un número, y BIGOMEGA, al mismo total si se cuentan los primos repetidos. Esto nos da un criterio para conocer si un número N es esfénico, y es que OMEGA(N)=3 y BIGOMEGA(N)=3. Así se “prohíbe” que se repitan primos. Lo expresamos en lenguaje PARI:

print(omega(42)==3&&bigomega(42)==3)

En el caso del 42=2*3*7, no se cumple la propiedad que buscamos en el simétrico, porque 24=2*2*2*3. Sin embargo, 165=3*5*11 daría lugar a 561=3*11*17, con lo que el simétrico es también esfénico.

Aquí ya se ha usado la función ESFENICO, que detecta si un número es de esta clase:

Public Function esfenico(n) As Boolean

Dim a, b, c, d, m

m = 0

a = 2

While a <= n / 2 And m = 0

If esprimo(a) And n Mod a = 0 Then

b = n / a

If Not esprimo(b) Then

c = a + 1

While c <> a And c <= b / 2 And m = 0

If esprimo(c) And b Mod c = 0 Then

d = b / c

If esprimo(d) And d <> c And d <> a And a <> c Then m = 1

End If

c = c + 1

Wend

End If

a = a + 1

Wend

If m = 1 Then esfenico = True Else esfenico = False

End Function

Con esta función podemos detectar qué números siguen siendo esfénicos al invertir sus cifras. No consideraremos los capicúas. Basta usar la condición

ESFENICO(N) AND ESFENICO(CIFRAINVER(N)) AND NOT ESCAPICUA(N)

Con ella descubrimos los esfénicos cuyo simétrico también lo es. Los recogemos en esta tabla:

En los corchetes, el 1 es el exponente del primo correspondiente.

Están publicados en https://oeis.org/A270175

En esa sucesión les llaman Cinehps numbers, buscando la palabra simétrica a la de sphenic. En español podrían llamarse ocinefse, pero es una palabra poco atractiva, por lo que no la usaré.

Dentro de esta sucesión podríamos extraer ejemplos múltiplos de un semiprimo determinado, como sería el 15. Observaremos que no son escasos:

Esta tabla nos sugiere que cada semiprimo posee una lista de primos, aquí 11, 19, 29, …, que le hacen poseer la propiedad que estamos tratando. Parece que todos los semiprimos la poseerán, pero dejamos esta posibilidad para quien desee estudiarla.

En los comentarios a esa sucesión se hace notar que un múltiplo de 10 sólo pertenecería a ella si el primo N/10 es simétrico de un esfénico. Esto nos abre una puerta a otros casos.

Primos simétricos de esfénicos

Podemos cambiar la exigencia de que el número sea esfénico por el de que sea primo. Sería un pequeño cambio fácil de realizar, y seguiríamos sin contar con los capicúas. El resultado sería:

Están publicados en https://oeis.org/A271799

Por ejemplo, si 269 lo multiplicamos por 10, lo convertiremos en esfénico, y su simétrico, 0962=962, también lo sería.

Ya puestos a buscar casos, podríamos emparejar semiprimos con esfénicos.

Semiprimos simétricos de esfénicos

Como ejemplo de las búsquedas que se pueden desarrollar buscamos los números semiprimos que se convierten en esfénicos al invertir sus cifras. Un sencillo cambio de definición los consigue. El resultado es

No parecen estar publicadas las dos sucesiones.

Antidivisores

2025-09-09T16:00:00.002+02:00

Todo número entero positivo N (he excluido los negativos porque no tienen interés en este estudio) posee divisores. Si es primo, serán el 1 y él mismo, y, en otro caso, presentará todo un conjunto de divisores (ver mi entrada de blog

https://hojaynumeros.blogspot.com/2011/11/el-conjunto-de-los-divisores.html).

Siempre existirán números enteros positivos menores que N que no sean divisores de él (salvo el caso de 2). A estos números les llamamos no divisores de N, como sería, por ejemplo, N-1.

Podemos considerar un divisor de N como un número K tal que al conjunto K, 2K, 3K, 4K, ... pertenece N. Esto parece trivial, pero si aplicamos la idea a un no divisor, esa sucesión sobrepasará N, y alguno de los múltiplos de K será el más cercano a N. Unos quedarán muy “cerca” de N, como, por ejemplo, si N=21, su no divisor 5, acercará un múltiplo a una unidad de él, ya que 21=4*5+1.

Un antidivisor K de N se define como el no divisor que se “acerca” a N dejando intervalos iguales entre N y dos múltiplos consecutivos de K. Por ejemplo, 10 es un antidivisor de 55, porque no es divisor de él, pero 55 equidista de dos de sus múltiplos: 50<55<60, con 55-50=60-55. Una ligera reflexión nos indica que si K es impar, no es posible la equidistancia, y se permite una diferencia de 1.

La aproximación intuitiva anterior se puede concretar en la siguiente definición, que se aplica de forma distinta si K es par o si es impar:

Si K es par y no divisor de N, será antidivisor si N MOD K=K/2

Si K es impar, diremos que es antidivisor de N si N MOD K=(K±1)/2

Por esta simetría en los dos intervalos, también se llama no divisores insesgados a los antidivisores.

Unos ejemplos: 14 es antidivisor de 147, porque los múltiplos de 14 140 y 154 rodean a 147 con 7 unidades a cada lado: 147-14*10=14*11-147. Más directo, 147 MOD 14=14/2

El número impar 7 es antidivisor de 25, porque lo rodea con un intervalo de 3 y otro de 4: 25-7*3=4 y 7*4-25=3. También; 25 MOD 7 = INT(7+1).

Los antidivisores como divisores

Las ideas anteriores se pueden expresar mediante otras expresiones.

En el caso par podemos considerar que N=K(m+1/2), siendo m un número natural apropiado. Multiplicando por 2, obtenemos: 2N=K(2m+1), lo que nos lleva a que K no es divisor de N pero sí de su doble. En el ejemplo de 10 como antidivisor de 55 obtendríamos que 2*55=10*11, con lo que 10 divide a 2*55

En el caso impar, N=Km+(K+1)/2 o bien N=Km+(K-1)/2, lo que nos lleva a que 2N-1=K(2m+1) o bien 2N+1=K(2m+1). Por ejemplo, en el caso de 7 como antidivisor de 25, quedaría 2*25-1=7*7, lo que confirma a 7 como divisor de 2*25-1. Si tomáramos 17 como antidivisor de 25 (ya que 25 está comprendido entre 17*1 y 17*2=34 con las diferencias 25-17=8 y 34-25=9), este sería divisor de 2*25+1=51=17*3.

Los párrafos anteriores nos permiten definir los antidivisores de otra forma:

Un número K es antidivisor de N cuando no es divisor del mismo, pero sí lo es de 2N o 2N+1 o 2N-1.

Es otra de definición sin acudir a la Aritmética Modular.

Vemos un ejemplo: más adelante sabremos que los antidivisores de 13 son 2, 3, 5 y 9. Es fácil encontrarlos, pues recorremos los no divisores de 13 y nos quedamos con los que dividen a 26, o 27 o 25: 2 divide a 26, 3 divide a 27, 5 a 25 y 9 a 27. Hemos desechado el 4, porque no divide a ninguno de los tres, y también al 6, al 7 y a todos los que faltan.

Un sencillo criterio

Según lo anterior, bastará comprobar que K no divide a N, pero sí a uno de los tres siguientes, 2N, 2N+1 o 2N-1.

Con este criterio es fácil encontrar los antidivisores de un número.

Si usamos la función MOD, para encontrar restos, el criterio se puede expresar así:

n Mod k <> 0 And ((2 * n) Mod k = 0 Or (2 * n + 1) Mod k = 0 Or (2 * n - 1) Mod k = 0)

Si se desea integrarlo en una celda de hoja de cálculo, bastará usar la función RESIDUO.

Este criterio permite encontrar todos los antidivisores de un número mediante esta función tipo string:

Function antidivisores$(n)

Dim i, m

Dim s$

s$ = " "’ Contenedor de antidivisores

m = 0 ‘Contador

For i = 2 To n – 1 ‘Rango de antidivisores

If n Mod i <> 0 And ((2 * n) Mod i = 0 Or (2 * n + 1) Mod i = 0 Or (2 * n - 1) Mod i = 0) Then ‘Criterio

m = m + 1

s = s + Str$(i) ‘Un nuevo antidivisor

End If

Next i

s = ajusta(m) + ": " + s ‘Se añade contador

antidivisores = s

End Function

Podemos aplicar esta función a cualquier número entero positivo, y el primer número será el contador. Por ejemplo, aplicado al 63 nos devuelve

ANTIDIVISORES(63)= 7: 2 5 6 14 18 25 42

Indica que posee siete antidivisores y añade su listado. Puedes comprobarlo en OEIS, con la búsqueda “anti-divisors”.

Con esta herramienta podemos buscar números con un número determinado de antidivisores. Bastará leer los primeros dígitos. Vemos unos ejemplos:

Con un antidivisor:

Resultan muy escasos, porque siempre se esperan más antidivisores. Puedes consultar https://oeis.org/A066466 para más detalles sobre estos números. El siguiente es 393216. Se les puede llamar antiprimos.

Con dos

Tampoco son frecuentes. Los primeros son:

Puedes consultar https://oeis.org/A066467

El mayor antidivior

Ya sabemos que el antidivisor no debe ser divisor de N, pero sí de uno de los tres 2N, 2N+1 o 2N+2. Para que D sea el mayor antidivisor, el cociente respecto a uno de los tres deberá ser pequeño. El mejor candidato es el 3. Así, si D divide a 2N, su valor máximo será 2N/3. Si no divide a 2N, lo hará a 2N+1 o 2N+2, con lo que podemos afirmar que

El mayor antidivisor de un número N se situará en las cercanías de 2N/3.

Si modificamos la función ANTIDIVISORES, es sencillo encontrar el mayor antidivisor de un número. Podría ser esta:

Function max_antidivisor(n)

Dim i, m

m = 1

For i = 2 To n - 1

If n Mod i <> 0 And ((2 * n) Mod i = 0 Or (2 * n + 1) Mod i = 0 Or (2 * n - 1) Mod i = 0) Then m = i

Next i

max_antidivisor = m

End Function

Se puede comprobar formando una tabla de cocientes D/N. En la siguiente tabla se ha recorrido un rango de número elegido al azar:

Todos los cocientes son cercanos a 2N/3.

¿De qué números soy antidivisor?

Podemos plantearnos una búsqueda inversa, y es que dado un número entero positivo K, es posible construir una lista de los números de los que es antidivisor. La solución es trivial:

Si K es par, será antidivisor de aquellos números N que cumplan N=K(m+1/2), y si es impar, de los que cumplan, N=Km+(K+1)/2 o bien N=Km+(K-1)/2. Esto tiene dos consecuencias sencillas:

El conjunto de números con el mismo antidivisor K será una progresión aritmética si K es par, y contendrá elementos consecutivos si es impar. En ambos casos será un conjunto infinito.

Por ejemplo:

Para K=8, el conjunto será {12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 76, 84, 92, 100, 108, 116, 124, 132, 140, 148, 156, …}

Para K=7, tendremos {10, 11, 17, 18, 24, 25, 31, 32, 38, 39, 45, 46, 52, 53, 59, 60, 66, 67, 73, 74, 80, 81, 87, 88, 94, 95, 101, 102}

Funciones sobre el conjunto de antidivisores

Al igual que con divisores, se pueden definir sumas y cuentas sobre el conjunto de antidivisores, que serían A_SIGMA, A_TAU, A_SIGMA2, …

Por ejemplo, la suma de antidivisores se podría programar así:

Function a_sigma(n)

Dim i, m

m = 0 'sumador

For i = 2 To n - 1 'Rango de antidivisores

If n Mod i <> 0 And ((2 * n) Mod i = 0 Or (2 * n + 1) Mod i = 0 Or (2 * n - 1) Mod i = 0) Then m = m + i

Next i

a_sigma = m

End Function

Así, a_sigma(63)=112

A partir de esa función se pueden definir números antiperfectos, como son 5, 8, 41, 56, 946.

De igual forma se definiría a_tau y otras.

Regresos 15 - Generaciones con cifras y potencias

2025-06-10T17:24:00.001+02:00

En una entrada antigua de este blog se invitaba a buscar igualdades similares a la siguiente:

88²+33²=8833

En aquella ocasión se dio más protagonismo a seguidores del blog, pero los tiempos han cambiado y ahora es preferible ampliar el tema algorítmicamente, ya que existen menos interacciones en el mismo que entonces.

Por otra parte, puede ser una buena ocasión para ampliar las búsquedas de este tipo de casualidades. En la entrada antigua sugeríamos la existencia de otra solución de cuatro cifras, pero pedíamos buscarla con más. También, por otra parte, a partir del año 2025 nos interesan las igualdades del tipo (20+25)²=2025. Unificaremos ambas cuestiones.

Usaremos una función que admita como parámetros el número a buscar, los exponentes a los que se elevan los trozos y el tipo de descomposición, si es a^k+b^k o bien (a+b)^k.

Función de búsqueda

En el listado que sigue usamos la función AJUSTA en lugar de STR$ para eliminar el espacio en blanco que Excel puede añadir a las cadenas.

A la primera versión de la función la denominaremos CIFRAS_POTE2, para indicar que el número se descompone en dos trozos. Ya se verá en qué direcciones se puede generalizar.

Function cifras_pote2(n, tope, tipo)
'El tope es el maximo exponente - El tipo es si se toma a^k+b^k+...o bien (a+b+c...)^k

Dim i, k, a, b, t
Dim s$, v$

s = ""
v = ajusta(n) ‘Convertimos n en texto
t = Len(v$) ‘Número de cifras
For i = 1 To t – 1 ‘Punto de corte
a = Val(Left(v, i)) ‘Los dos trozos
b = Val(Right(v, t - i))
For k = 2 To tope ‘Distintos exponentes
If tipo = 1 Then ‘Tipo 1: a^k+b^k
If potencia(a, k) + potencia(b, k) = n Then s = s + "## " + ajusta(a) + "^" + ajusta(k) + "+" + ajusta(b) + "^" + ajusta(k)
Else ‘Tipo 2: (a+b)^k
End If
Next k
Next i
cifras_pote2 = s
End Function

Si usamos esta función con tope 2 y tipo 1 obtendremos la solución conocida y otra más de cuatro cifras:

Si usamos el tipo 2, obtenemos otras expresiones, una de ellas la popular del 2025:

Con tres cifras se obtienen

Con el segundo tipo sólo existe (10+0)^2=100

Con cinco cifras sólo se encuentran ejemplos triviales en el tipo 1:

En el tipo 2 sí aparece este ejemplo: 88209=(88+209)^2

Por completar, hay que destacar que el único ejemplo de dos cifras es del tipo 2: (8+1)^2=81

Con cubos, además de las trivialidades, es interesante el ejemplo 407=4^3+0^3+7^3

No parece que el tema dé más de sí. Teniendo la herramienta, con un poco de paciencia se pueden explorar otros números de cifras y exponentes.

Descomposición en todas las cifras

Es interesante también la búsqueda de las igualdades entre un número y potencias de todas sus cifras, como la ya conocida 407=4^3+0^3+7^3.

Para encontrar estos casos cambiaremos un poco la estructura de la función. Ahora basta con que devuelva el valor del número, pues la descomposición será siempre la misma. Se propone esta función:

Function cifras_pote(n, exponente, tipo)
‘El tipo es idéntico al de la versión anterior

Dim i, a, b, t, c
Dim s$, v$
s = "" ‘Soluciones
v = ajusta(n) ‘El número como texto
t = Len(v$)
b = 0
For i = 1 To t
a = Val(Mid$(v, i, 1)) ‘Se recorren las cifras
‘Solución según el tipo (suma de potencias o potencia de la suma)
If tipo = 1 Then b = b + potencia(a, exponente) Else b = b + a
Next i
c = 0
If tipo = 1 And b = n Or tipo = 2 And potencia(b, exponente) = n Then c = n
cifras_pote = c ‘Devuelve el número o cero si no hay solución
End Function

Con esta función se descubren más ejemplos interesantes. Vemos algunos:

Y he seguido jugando con el tema:

54748=5^5+4^5+7^5+4^5+8^5

92727=9^5+2^5+7^5+2^5+7^5

93084=9^5+3^5+0^5+8^5+4^5

17576=(1+7+5+7+6)^3

19683=(1+9+6+8+3)^3

Repitunos y progresiones geométricas

2025-05-26T17:54:00.001+02:00

Existen números, como el 31, que equivalen simultáneamente a dos o más sumas distintas de las primeras potencias de un número natural. En este caso son:

31=1+2+4+8+16
31=1+5+25

Estas igualdades se pueden interpretar como que 31 tiene como expresión un “repituno” en las bases 2 y 5:

31(10 = 11111(2 = 111(5

Ya he usado estos números en entradas antiguas, pero hoy buscaremos los que, como el 31, presentan esta propiedad en dos o más bases distintas.

Equivalencia de sumas de primeras potencias

Este tema se puede tratar de forma algebraica, pero parece preferible la algorítmica, porque además de descubrir qué números son de este tipo se pueden contar las sumas a las que equivalen. Usaré esta función:

Function essumapot$(n) ‘Función string

Dim tope, i, k, m, r

Dim s$

tope = Int((Sqr(4 * n - 3) - 1) / 2) ‘Este tope se basa en el caso a=2

r = 0 ‘Número de soluciones

For i = 2 To tope ‘Posibles bases de potencias

k = 1 ‘Primer exponente a probar

m = 1 + I ‘Primera suma de potencias

Do Until m > n

k = k + 1 ‘Siguiente exponente

m = m + potencia(i, k) ‘Siguiente suma

If m = n Then s = s + " # " + ajusta(i) + ", " + ajusta(k): r = r + 1 ‘Hay una solución

Loop

Next i

If s <> "" Then s = ajusta(r) + " ## " + s ‘Se construye la solución

essumapot = s

End Function

Con esta función se determina qué números son “repitunos” en alguna base y de cuántas formas. Los primeros detectados son estos:

Se observa que el 31 es suma de potencias de 2 hasta la cuarta y del 5 hasta el cuadrado, como ya sabíamos. La inclusión del número de soluciones al principio nos facilitará las búsquedas.

Están publicados en https://oeis.org/A053696

Todos son “números brasileños”, como puedes comprobar en la entrada de este blog dedicada a esos números.

https://hojaynumeros.blogspot.com/search?q=brasile%C3%B1os

Lo que nos interesa aquí es la existencia de soluciones múltiples, como en el caso del 31. Bastará buscar las soluciones en las que el primer carácter tenga un valor superior a 1.

Tal como se podía sospechar por anteriores trabajos sobre temas afines, sólo se encuentran dos soluciones, 31 y 8191, ambos primos de Mersenne (31=2^5-1 y 8191=2^13-1. No existen más entre los números menores de 2^44.

Puedes ampliar el tema en https://oeis.org/A119598

Progresiones geométricas múltiples

Estos dos números, 31 y 8191 pueden sea base para encontrar los primeros elementos de progresiones geométricas con el mismo término inicial. Basta elegir un múltiplo de cualquiera de ellos dos.

Por ejemplo, elegimos 31 por 13, es decir, 403. Tomamos 13 como término inicial de una progresión geométrica, y desarrollamos 31 de dos formas distintas, como ya sabemos:

403=13*31=13*(1+2+4+8+16)=13+26+52+104+208

403=13*31=13*(1+5+25)=13+65+325

Hemos expresado el 403 como suma de dos progresiones geométricas. Podemos efectuar idénticas operaciones con múltiplos de 8191. Por tanto:

Existen infinitos números naturales que se pueden expresar como dos sumas distintas de progresiones geométricas con el mismo término inicial.

Coincidencia de dos progresiones en general

Si eliminamos la condición de igualdad del término inicial en las progresiones geométricas, el problema sería totalmente distinto, con muchos más parámetros a considerar. En mis cálculos diarios encuentro muchos casos de varias progresiones geométricas que coinciden en su suma. Si quieres experimentar, esta función detecta estas progresiones para razones entre 2 y 9

Function pg$(n) 'Es suma de una o más progresiones geométricas

Dim i, j, a, s

Dim ss$

ss = "" ‘Contenedor de soluciones

For i = 2 To 9 ‘Razón de la progresión

j = 1

s = 1 ‘Inicios

While j < 10 And s <= n

s = s + i ^ j ‘Se suma la progresión

a = n / s ‘Posible inicio de la progresión

If a = Int(a) And j > 1 Then ss = ss + "##" + Str$(j + 1) + " sumandos " + Str$(i) + " razón " + Str$(a) + " Inicio"

j = j + 1 ‘Número de sumandos

Wend

Next i

pg = ss

End Function

Con él se pueden detectar sumas múltiples para cualquier número, si es que existen. Por ejemplo, el número 1001 es suma de tres progresiones geométricas distintas:

1001 ## 3 sumandos 2 razón 143 Inicio## 3 sumandos 3 razón 77 Inicio## 3 sumandos 9 razón 11 Inicio

En efecto:

1001=143+143*2+143*4
1001=77+77*3+77*9
1001=11+11*9+11*81

Es claro que cambia el término inicial en cada suma.

Números triangulares impares

2025-05-16T11:00:00.001+02:00

En una entrada de este blog se han estudiado los triangulares de orden par, en contraposición a los de impar, que resultan ser también hexagonales

(https://hojaynumeros.blogspot.com/2013/09/triangulares-de-lado-par.html)

Era una entrada interesante, pero ahora nuestro interés no está en el orden (o lado), sino en la paridad del mismo triangular. En concreto estudiaremos los de carácter impar, que presentan curiosidades atractivas. Los primeros triangulares impares son 1, 3, 15, 21, 45, 55, …

Están publicados en https://oeis.org/A014493. Aquí estudiaremos también otros aspectos de estos números que no están contemplados en esa sucesión.

Caracterización de estos números

Para descubrir si un número cualquiera es triangular impar bastará unir ambas exigencias. Un número N se caracteriza fácilmente como triangular con la condición de que 8N+1 sea cuadrado, y el ser impar con N MOD 2 = 1 (existen otras condiciones equivalentes).

Así en PARI podremos usar la función

es(n)=issquare(8*n+1)&&n%2==1

Con nuestras funciones para Excel, podría quedar

ES(N)=Y(ESCUAD(8*N+1);RESIDUO(M;2)=1)

Existen muchas variantes.

Nuestro Buscador de Naturales los encuentra fácilmente

(https://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#buscador)

Han bastado las condiciones TRIANGULAR y NO PAR.

Distribución

Un número triangular N(N+1)/2 es impar cuando su factor N o el N+1 son pares del tipo 4k+2 o 4k-2, es decir, que son múltiplos de 2 pero no de 4, mientras el otro factor consecutivo será impar. Así, al dividir entre 2 el producto N(N+1) el resultado será impar, porque el producto poseerá el factor 2 sólo una vez, y se simplificará. Así ocurre con el 15, que proviene de 5*6/2, y como el 6 no es múltiplo de 4, se simplificará entre 2 quedando un impar: 5*3=15

Por conveniencia de comenzar en el 1, elegiremos 4k-2 como factor par, por lo que los triangulares impares se formarán con uno de estos dos productos:

(4k-2)(4k-1)/2=(2k-1)(4k-1)

(4k-2)(4k-3)/2=(2k-1)(4k-3)

Esto, en la práctica, produce un emparejamiento de dos triangulares impares, como son 1 con 3, 15 con 21 o 45 con 55. El orden del primer elemento será del tipo 4k-2 o 4k-3 (o bien, si se prefiere, 4m+1 o 4m+2)

Los triangulares impares se presentan en grupos de dos consecutivos, y comparten un mismo factor (el (4k-2)/2=2k-1). El orden del primero será 4k-3 y el del segundo 4k-2

Un ejemplo de lo anterior lo tenemos en el par de triangulares consecutivos 91 y 105, que comparten el factor 7: 91=7*13 y 105=7*15. El 7 proviene de 2k-1, siendo k el número de orden del par de triangulares, que en este caso sería 4, luego 7=2*4-1. El orden general del 91 será 4*4-3=13 y el del segundo, 105, 4*4-2=14

Si sumamos los dos elementos del par nos resulta un cuadrado, como ocurre en todos los triangulares, pero aquí le damos otra justificación:

(2k-1)(4k-1)+(2k-1)(4k-3)=(2k-1)(8k-4)=2²(2k-1)²=(4k-2)²

Así, tenemos que 1+3=4=2², 15+21=36=6², 45+55=100=10², 91+105=196=14²

Estudio algebraico

Seguimos llamando k al número de orden del par, y usaremos la variable n para el número de orden propio del triangular estudiado y N al orden general del triangular. De esta forma quedará esta identidad, que resume lo expuesto anteriormente:

T(n)=(2k-1)(4k-2+(-1)ⁿ)

Si k es el orden del par, n es el orden dentro de los triangulares impares y N el orden general como triangulares

En el primer elemento del par n=2k-1 y N=4k-3 y k=(n+1)/2

En el segundo elemento n=2k y N=4k-2 y k=n/2

Por ejemplo:

En el 45 k=3, n=2*3-1=5, N=4*3-3=9

En el 55 k=3, n=2*3=6, N=4*3-2=10

En el 91 k=4, n=2*4-1=7 y N=4*4-3=13

En el 105 k=4, n=2*4=8 y N=4*4-2=14

Partiendo de la igualdad T(n)=(2k-1)(4k-2+(-1)ⁿ) tendremos:

Si N es impar k=(n+1)/2

T(n)=(2*(n+1)/2 -1)(4(n+1)/2-3)=n(2n+2-3)=n*(2n-1)

Estos triangulares serán también hexagonales, pues la fórmula de estos es l(2l-1)

(ver mi publicación

https://www.hojamat.es/publicaciones/poligonales.pdf)

Si es par, k=n/2

SI N es par: T(n)=(n-1)(2n-2+1)=(n-1)*(2n-1)

Las dos expresiones de pueden unificar:

T(n)=(2n-1)(2n-1-(-1)ⁿ)/2

Esta expresión interna al conjunto de los triangulares impares nos permite sumar los primeros, por ejemplo. La he usado con mi función SUMAFUN para demostrar que el número 10425 es la suma de los 25 primeros:

10425=sumafun(1;25;"(2*x-1)*(2*x-1-(-1)^x)/2")

Triangulares pares

No estaría este estudio completo si no se confrontaran los triangulares impares con los pares. Con todo lo estudiado hasta ahora, es fácil de comprender que triangulares pares habrá de dos tipos, alrededor de un múltiplo de 4, condición para que no se simplifique el factor 2. Así que existirán dos tipos de triangulares pares:

T(k)=4k(4k+1)/2=2k(4k+1) El orden de este triangular será N=4k

T(k)=4k(4k-1)/2=2k(4k-1) Su orden será 4k-1 o tipo 4k+3

Así ya tenemos completos los triangulares, pues los de orden tipo 4k+1 y 4k+2 serán impares, y los de 4k y 4k+3, pares. Según lo visto anteriormente, la mitad de cada grupo corresponderá también a números hexagonales.

Formas de acceder a un par de primos gemelos

2025-05-05T13:30:00.002+02:00

Uno de los conceptos más populares en Teoría de números es el de primos gemelos. Generalmente se consideran de ese tipo dos números primos impares que se diferencian en dos unidades, como (5, 7) o (17, 19). La forma más sencilla de llegar a ellos, a partir del (5, 7), es buscar pares del tipo (6n-1, 6n+1), porque son los únicos en los que ambos elementos pueden ser primos, salvo (3, 5). En esta entrada buscaremos otras rutas en las que podemos encontrar esos pares de primos de forma más o menos casual.

Búsqueda directa con 6n-1 y 6n+1

Si deseamos encontrar primos gemelos en un rango dado, bastará recorrer los múltiplos de 6 y averiguar si sus números vecinos son ambos primos. Es algo muy sencillo, y si se incluye aquí es por comenzar con lo más directo. Con esta rutina en VBasic de Excel podemos encontrar los pares de primos gemelos incluidos en cualquier rango y en la primera hoja, si escribimos los extremos de ese rango en las celdas J1 y J2 respectivamente:

Sub gemelos()

Dim n, fila, a, b

Dim r$

a = ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(1, 10).Value ‘Se lee el rango

b = ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(2, 10).Value

fila = 3 ‘Fila de inicio

n = a - a Mod 6+6 ‘Se busca un múltiplo de 6

Do While n <= b ‘Se avanza entre los múltiplos de 6

If esprimo(n - 1) And esprimo(n + 1) Then ‘Los números vecinos son primos

r = Str$(n - 1) + ", " + Str$(n + 1) ‘Se imprime una solución

fila = fila + 1 ‘Siguiente fila

ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(fila, 10).Value = r

End If

n = n + 6 ‘Siguiente múltiplo de 6

Loop

End Sub

En la siguiente imagen podemos observar los pares de primos gemelos entre 3000000 y 3001000. El proceso es muy rápido, aunque el rango abarca mil números.

Con esto se da por terminado este tipo de búsqueda directa. Vemos otros caminos más enrevesados.

A través de un múltiplo de un primo

Existen muchas sucesiones en OEIS (Enciclopedia On-Line de las Secuencias de Números Enteros) en las que unos números primos, multiplicados por un múltiplo de 6 dan lugar a un par de primos gemelos. Es una búsqueda que relaciona tres números primos y algo más compleja que la anterior.

Por ejemplo, vemos los primeros pares engendrados por el número primo 13 y los múltiplos de 48*13:

Una variante sería usar una expresión sobre un número primo, como por ejemplo, todos los pares de números primos gemelos formados a partir de la expresión p³-p, donde p es un número primo. Cambiando un poco la rutina se consiguen:

Los valores de esos primos, 2, 11, 31, …están publicados en https://oeis.org/A158295

Podríamos inventar muchas variantes de este tipo, pero no aportarían mucho.

Mediante una concatenación

Aquí pasamos a otras curiosidades. Por ejemplo, comenzamos con un caso que ya está publicado, que consiste en concatenar 2n con 2n-1 y también 2n con 2n+1, y averiguar si ambas concatenaciones constituyen un par de primos gemelos. Como el proceso es rápido, no nos preocuparemos de que el número intermedio sea múltiplo de 6.

La siguiente sencilla función usa la concatenación de Excel, que consiste simplemente en el uso del signo “+” entre cadenas de texto:

Function concat_gem$(n)

Dim a, b

Dim s$

s = ""

‘Las siguientes líneas concatenan las expresiones numéricas en modo texto, para después volver a modo numérico con la función VAL. Esas líneas se cambiarán cuando se desee otra concatenación.

a = Val(Str$(2 * n) + Str$(2 * n - 1))

b = Val(Str$(2 * n) + Str$(2 * n + 1))

If esprimo(a) And esprimo(b) Then s = Str$(a) + ", " + Str$(b) Else s = "NO" ‘ Si ambas concatenaciones producen primos gemelos, se comunica mediante la variable s.

concat_gem = s

End Function

Con esta función reproducimos la lista publicada en https://oeis.org/A102478

No abarcaríamos aquí las posibilidades de concatenaciones curiosas sobre este tema. La siguiente tabla recoge algunos primos gemelos de cinco cifras provenientes de concatenar un número consigo mismo:

Con ello los gemelos se forman con el número, su siguiente y su anterior.

Si usamos el lenguaje PARI podemos intentar este código para el mismo caso, fácilmente adaptable a otros:

concat_gem(n)=my(a,b,v=[0,0]);a=eval(concat(Str(n),Str(n-1)));b=eval(concat(Str(n),Str(n+1)));if(isprime(a)&&isprime(b),v=[a,b];print1(v));v

for(i=1,1000,if(concat_gem(i)<>[0,0],print(" ",i)))

Esta versión nos daría los primeros casos:

Por la forma de programarlo, el valor de N aparece al final.

Podemos seguir jugando. En los siguientes hemos concatenado N con su simétrico en cifras:

Con estos ejemplos se adivina que quedan muchas posibilidades por explorar en la concatenación, pero serían necesarias otras funciones sobre cifras.

Intercalando funciones

Podemos buscar una forma de encontrar primos gemelos a partir de N, pero intercalando funciones. Por ejemplo, buscando SIGMA(N)±1:

Observamos que son abundantes los casos encontrados. Tienes más en https://oeis.org/A072282

Un caso curioso es aquel en el que N es primo, pues entonces SIGMA(N)=N+1, con lo que un posible primo gemelo es el mismo N, como podemos observar en la tabla con 5, 11, 17 y 29. Todos ellos tienen en común que SIGMA es múltiplo de 6.

Si exigimos que N no sea primo, nos quedan

Estos resultados figuran en https://oeis.org/A068017. Es fácil razonar que son aquellos casos en los que SIGMA(N) es múltiplo de 6. Como un valor de SIGMA puede ser compartido por varios números, es lógico que el par (71, 73) aparezca repetido.

Objetivos dobles

Podríamos pretender encontrar un par de primos gemelos, pero que una expresión creada a partir de ellos también constituyera otro par de primos gemelos. Un ejemplo sería que n+1 y n-1 formaran par y también fueran gemelos n²+5 y n²+7, por ejemplo (buscamos en lo posible centrarnos en múltiplos de 6):

Con estos ejemplos nos podemos dar una idea de búsquedas diferentes que se pueden emprender en talleres de Matemáticas.

Diferencia de dos cubos igual a una suma

2025-04-23T11:00:00.001+02:00

Caso general

En los cálculos que publico diariamente uso dos funciones para averiguar si un número es suma de cubos o bien diferencia. No se me había ocurrido simultanear ambas propiedades y lo hago ahora.

¿Qué números enteros positivos son suma de dos cubos y simultáneamente diferencia de otros dos, siendo en ambos casos cubos enteros positivos?

Un ejemplo es el 152, que por una parte equivale a 3^3+5^3=27+125, y por otra a 6^3-4^3=216-64.

Con las publicaciones precedentes tenemos acceso a dos funciones que encuentran estas descomposiciones: SUMCUBOS y DIFCUBOS. Las copio a continuación:

Function sumcubos(n)
Dim k, a, m, b
Dim s$

s = "" ‘Contenedor de resultados
m = 0 ‘Contador de soluciones
a = n ^ (1 / 3) ‘Máximo cubo posible
For k = 1 To a
b = n - k ^ 3 ‘Segundo posible cubo
If escubo(b) And k <= b ^ (1 / 3) Then m = m + 1: s = s + " a=" + Str$(k) + " b=" + Str$(Int(b ^ (1 / 3) + 0.0001)) ‘Hay nueva solución
Next k ‘Si no hay solución devuelve “NO”
End Function

Usa nuestra función ESCUBO:

Function escubo(n)

Dim a

a = Int(n ^ (1 / 3) + 10 ^ (-6))

If a * a * a = n Then escubo = True Else escubo = False

End Function

La segunda función es algo más complicada, porque la diferencia presenta otro condicionante, y es que la diferencia de cubos ha de ser divisor de N.

Function difcubos$(n)
Dim k, a, t, m, p
Dim s$

s = "" ‘Contenedor de soluciones
m = 0 ‘Contador de soluciones
For k = 1 To n / 2 ‘La diferencia de bases es divisor de N
If n / k = n \ k Then ‘Criterio de divisibilidad
t = Sqr(n / k / 3) ‘Máximo cubo con esa diferencia
For a = 1 To t
If (a + k) ^ 3 - a ^ 3 = n Then m = m + 1: s = s + " # a=" + Str$(a) + " b=" + Str$(a + k) ‘Existe solución
Next a
End If
Next k
If s = "" Then difcubos = "NO" Else difcubos = ajusta(m) + " " + s
End Function

El que esta segunda función use también el “NO” para cuando no existe solución nos permite simultanear las dos condiciones:

SUMCUBOS(N)<>”NO” AND DIFCUBOS(N)<>”NO”

Usamos esta condición en un buscador y nos devolverá la lista de números enteros positivos que son simultáneamente suma y diferencia de dos cubos (también enteros positivos)

Están publicados en https://oeis.org/A225908, y es subsecuencia de https://oeis.org/A051347 En esas páginas se llama la atención sobre que estas propiedades permiten descomponer algunos cubos en suma de otros tres. Ya he comentado esta propiedad anteriormente en otras entradas. Por ejemplo, 18^3=16^3+12^3+2^3. Esta igualdad se extrae de los resultados del número 4104.

Si se usa la función TRESCUBOS (no se explica aquí porque usa otras funciones que alargarían esta entrada) con uno de los cubos mayores, se reproducirán algunos resultados. Por ejemplo, con 18^3, si lo descomponemos en suma de tres cubos, daría lugar a

18^3=15^3+6^3+9^3=16^3+6^3+2^3

Si pasamos restando algún sumando, obtendríamos algunos casos de los estudiados. Por ejemplo:

18^3-15^3=9^3+6^3

A continuación estudiaremos algunos casos y propiedades particulares.

Casos particulares de los cubos sumandos

Cubos consecutivos

Los dos cubos que se suman pueden ser consecutivos. Añadiendo algún parámetro a nuestra función se pueden encontrar esos casos particulares. No abundan. Estos son los inferiores a 10^5:

En ellos se ha de cumplir que N=(a+1)³+a³=2a³+3a²+3a+1, luego a será un divisor de N-1.

Por ejemplo. 68705-1 se descompone como 2⁵*19*113, y, efectivamente, 32=2⁵ es un divisor suyo, y es la base del cubo menor de la suma.

Cubos de N y N+2

Con el mismo procedimiento obtenemos los primeros casos en los que las bases de los cubos que se suman se diferencian en dos unidades.

Es sencillo demostrar que aquí la base del cubo menor ha de ser divisor de N-8, como ocurre con 16120, en el que (16120-8)/19=848

Cubos de base prima

Para finalizar, se adjuntan los tres primeros resultados para el caso en el que las bases de los cubos que se suman sean números primos. Se acumulan las exigencias y es normal que resulten pocos resultados.

Versión en PARI

Para quienes deseen practicar con este lenguaje, se inserta a continuación un código que devuelve las soluciones entre1 y 5000. Es interesante estudiar el uso de vectores para devolver las soluciones:

sumadoscubos(n)=my(i=1,m,v=[0,0]);while(i<=n^(1/3),m=n-i^3;if(ispower(m,3)&&m<=i^3,v=[i,m^(1/3)]);i+=1);v

difcubos(n)=my(k,t,a,v=[0,0]);for(k=1,n,if(n%k==0,t=sqrt(n/k/3);for(a=1,t,if((a+k)^3-a^3==n,v=[a+k,a]))));v

for(m=1,5000,u=difcubos(m);t=sumadoscubos(m);if(u<>[0,0]&&t<>[0,0],print(m," Suma ",t," Diferencia ",u)))

Resultado:

Palíndromos triples

2025-04-11T14:00:00.001+02:00

El día 26 de marzo de 2021 publiqué esta igualdad de tipo palindrómico:

26321=16*5*61+16561+16*5*61

La triple repetición simétrica de las cifras 16561 es muy atractiva, e invita a descubrir casos similares. En principio se pueden considerar dos variantes de la cuestión. La primera seguiría el modelo del ejemplo, con un número impar de cifras y un capicúa central. Como ocurre en 125=1*2*1+121+1*2*1. La segunda consistiría en un esquema que prescinda de ese elemento central en cada sumando, como es el caso de 261=9*9+99+9*9.

La construcción de una lista con los primeros números que se siguen un esquema de este tipo no es difícil. La lista de los primeros del tipo AB*C*BA+ABCBA+AB*C*BA es la siguiente:

Con paciencia y una calculadora se puede ir construyendo. Lo interesante es descubrir soluciones para otro rango distinto, en el que el orden natural no ayude mucho. La siguiente tabla, a partir del número 50000, demuestra que los resultados no son ya tan previsibles:

Observamos que el algoritmo no mantiene el cero a la izquierda en 52405, porque Excel lo suprime por defecto. Es preferible corregirlo manualmente a tenerlo previsto en la programación. Es el precio por usar hojas de cálculo.

Función “PALINTRI”

Para construir un algoritmo adaptado a nuestra búsqueda, parece conveniente fijar como datos de entrada un número N, que es el que se quiere representar así, y dos parámetros, ka y kb, que representarían el número de cifras de cada elemento del esquema. Si uno de ellos es nulo, produciría variantes, como las dos que se han presentado en el párrafo anterior. Si kb=0 se entenderá que no hay elemento central.

La fijación del número de cifras parece aconsejable, porque aparecen más ejemplos de los previstos. Por ejemplo, con cinco cifras, dos cifras para los elementos laterales y una para el central, aparecen 416 ejemplos, desde 13229=12*2*21+12221+12*2*21 hasta 99974=64*6*46+64646+64*6*46. Incluso existen dos números que presentan dos soluciones:

46006=41*4*14+41414+41*4*14=26*6*62+26662+26*6*62
97925=58*4*85+58485+58*4*85=39*8*93+39893+39*8*93

La organización de la búsqueda se basará en la variable a1, que representará a la parte lateral, con su simétrico a2, y su número de cifras ka. Así, en el ejemplo anterior a1=58, a2=85 y ka=2. Exigiremos que a1 sea distinto de a2 si tienen al menos dos cifras, para evitar trivialidades.

Procederemos de la misma forma con la parte central, llamando b a su valor, con la condición de que sea capicúa, y kb a su número de cifras. En el ejemplo b=4 y kb=1.

Con estas variables, y en sistema de numeración decimal, el valor de N quedaría:

N=2*a1*a2*b+a2+b*10^ka+a1*10^(ka+kb)

En el ejemplo:

97925=2*58*85*4+85+4*100+58*1000

En esta expresión nos basaremos para construir el algoritmo.

Para evitar búsquedas inútiles deberemos contar con que 2ka+kb es una buena cota inferior para las cifras de N.

Si b=1 y kb=0 porque no se usa término central, la expresión se simplifica mucho:

N=(2*a1+1)*a2+a1*10^ka

Como ejemplo, 3804=23*32+2332+23*32 y se cumple:

3804=(2*23+1)*32+23*100=1504+2300=3804

Si integramos las dos expresiones en una misma función, su código será algo más largo de lo habitual, pero merece la pena.

Versión en Excel

Las ideas anteriores están plasmadas en la siguiente función. Se han integrado las dos versiones del problema. La división se basa en si kb es mayor que cero o no:

Function palintri$(n, ka, kb)’Parámetros N y número de cifras
Dim kn, a1, a2, b, m, c, b1, aa1
Dim s$, t$

s = ""’Contenedor de resultados
c = 0 ’Contador de resultados

If kb > 0 Then ‘Caso con elemento central
If kb = 1 Then b1 = 1 Else b1 = 10 ^ (kb - 1) + 1 ‘Origen de búsquedas
For b = b1 To 10 ^ kb – 1 ‘Cifras centrales
If escapicua(b) Or kb = 1 Then ‘La variable b ha de ser capicúa
If ka = 1 Then aa1 = 1 Else aa1 = 10 ^ (kb - 1) + 1’ Origen de a
For a1 = aa1 To 10 ^ ka – 1 ‘Búsqueda de a
a2 = cifrainver(a1) ‘Simétrico de a
If a1 <> a2 Or ka = 1 Then ‘Condición algebraica
m = 2 * a1 * a2 * b + a2 + b * 10 ^ ka + a1 * 10 ^ (ka + kb)
If m = n Then ‘Hay solución
c = c + 1 ‘Se comunica solución
t = ajusta(a1) + "*" + ajusta(b) + "*" + ajusta(a2)
s = s + " ## " + t + "+" + ajusta(a1) + ajusta(b) + ajusta(a2) + "+" + t
End If
End If
Next a1
End If
Next b

Else ‘ Segunda variante, sin elemento central

If ka = 1 Then aa1 = 1 Else aa1 = 10 ^ (ka - 1) + 1
For a1 = aa1 To 10 ^ ka – 1 ‘Proceso similar
a2 = cifrainver(a1)
If a1 <> a2 Or ka = 1 Then
m = (2 * a1 + 1) * a2 + a1* 10 ^ ka
If m = n Then
c = c + 1
t = ajusta(a1) + "*" + ajusta(a2)
s = s + " ## " + t + "+" + ajusta(a1) + ajusta(a2) + "+" + t
End If
End If
Next a1
End If
If s <> "" Then s = ajusta(c) + " : " + s Else s = "NO"
palintri = s

End Function

En un buscador jugaremos con los parámetros para conseguir los resultados adecuados. Por ejemplo, estos son los primeros números de 4 cifras del tipo A*A’+AA’+A*A’

Persiste el problema del 0 inicial que suprime Excel, pero se entiende bien.

De igual forma, se detectan los números del tipo A*BB*A’+ABBA’+A*BB*A’:

VERSION PARI (para la primera variante)

Si deseamos más rango de soluciones puede ser útil la versión en PARI. La hemos diseñado para que devuelva sólo a1 y b, porque el resto se completa fácilmente. Su código es

ori(k)=my(m=1);if(k>1,m=10^(k-1)+1);m

simetrico(n)=eval(concat(Vecrev(Str(n))))

palind(n)=n==simetrico(n)

palintri1(n,ka,kb)=my(a1,a2,v=[ka,kb],b,m,es=0);for(b=ori(kb),10^kb-1,if(palind(b)||kb==1,for(a1=ori(ka),10^ka-1,a2=simetrico(a1);if(a1<>a2||ka==1,m=2*a1*a2*b+a2+b*10^ka+a1*10^(ka+kb);if(m==n,v[1]=a1;v[2]=b;es=1;print(n," es ",v[1],", ",v[2]))))))

for(i=10000,20000,if(palintri1(i,2,1),print(i)))

Basta cambiar la última línea según nuestras preferencias. Tal como está, repetiría la búsqueda efectuada con Excel. Este es un fragmento:

Por ejemplo, 16537=14*2*41+14241+14*2*41

VERSION PARI (para la segunda variante)

ori(k)=my(m=1);if(k>1,m=10^(k-1)+1);m

simetrico(n)=eval(concat(Vecrev(Str(n))))

palind(n)=n==simetrico(n)

palintri2(n,ka)=my(a1,a2,v=[ka,ka],m,es=0);for(a1=ori(ka),10^ka-1,a2=simetrico(a1);if(a1<>a2||ka==1,m=(2*a1+1)*a2+a1*10^ka;if(m==n,v[1]=a1;v[2]=a2;es=1;print(n," es ",v[1],", ",v[2]))));es

for(i=1000,9999,if(palintri2(i,2),print1("")))

Coinciden los resultados con los de Excel. Por ejemplo, 3613=16*61+1661+16*61

Con más cifras

Finalizamos con ejemplos que presentan más cifras en su desarrollo. Todos ellos se podrían encontrar realizando bucles para sus componentes, pero aquí se prefieren funciones para poder elegir el rango de búsqueda de N, y no los de sus componentes.

Seis cifras del tipo AB*CC*BA+ABCCBA+AB*CC*BA:

Comprobamos uno: 173173=12*88*21+128821+12*88*21

Es curioso que el resultado sea una concatenación de 173 consigo mismo.

Con cinco cifras y tres centrales

Este es un rango de soluciones obtenidas con Excel:

Así podríamos seguir.

Bases, índices y resultados anagramáticos

2025-04-03T17:11:00.001+02:00

En la entrada anterior se buscaron números con cifras simétricas, en los que bases, índices u órdenes también fueran simétricos, como los cubos 1334633301=1101^3 y 1033364331=1011^3, que son simétricos y también sus bases.

Ahora ampliaremos las condiciones y, en lugar de exigir simetría, buscaremos números anagramáticos (con las mismas cifras). Un ejemplo sería el par de cuadrados 130²=16900 y 310²=96100. No son simétricos en sus cifras, pero sí poseen las mismas.

Si en la anterior búsqueda se usaba la función propia de este blog CIFRAINVER, en esta nueva será útil CIFRAS_IDENTICAS, que determina si dos números poseen las mismas cifras con frecuencias idénticas, de forma que los repetidos en uno también lo estén en el otro. Se puede estudiar su codificación en la entrada de este blog https://hojaynumeros.blogspot.com/2020/11/consecutivos-con-las-mismas-cifras.html.

En el caso de las cifras simétricas, cada número sólo se podía corresponder con su simétrico, pero en este caso pueden existir múltiples soluciones anagramáticas, por lo que deberemos introducir un contador de soluciones.

Usaremos la función ANA_ANA para investigar este caso:

Function ana_ana$(n)
Dim i, m
Dim s$

s = "" ‘Contenedor de soluciones
m = 0 ’Contador
For i = 1 To n – 1 ‘Aquí usamos la función para cubos
If cifras_identicas(n, i) And cifras_identicas(n ^ 3, i ^ 3) Then m = m + 1: s = s + " # " + Str$(i) ‘Si son anagramáticos, se publica
Next i
If s = "" Then s = "NO" Else s = ajusta(m) + " # " + s
ana_ana = s
End Function

Esta función, tal como está, busca el caso de cubos anagramáticos. Un sencillo cambio en la línea que contiene la función CIFRAS_IDENTICAS la habilita para otros casos. El resultado es:

Observamos que el número 1100 presenta dos soluciones. Es posible que esta sucesión no esté publicada.

Caso de cuadrados

Si cambiamos los cubos por cuadrados en la función ANA_ANA obtenemos

Como ocurre con otros tipos, aquí pueden aparecer varias soluciones, como en 210 y 310. Es que la condición de igualdad de cifras es menos restrictiva que la de simetría.

Números primos

En el caso de los números primos bastará incluir en la función ANA_ANA la función PRIMNUM(N) o PRIME(N). Resultan bastantes ejemplos por rango, siendo el primero el par (37, 73) de Sheldon, que ya estudiamos en la entrada anterior. Lo que ocurre ahora es que, al ser la condición menos exigente, se obtienen más resultados. En hoja de cálculo el proceso se hace lento, pero en PARI la velocidad de proceso es aceptable.

La siguiente tabla se ha confeccionado con los resultados de PARI. Se han ordenado de esta forma: Índice 1, Primo 1, Índice 2, Primo 2.

I1, P1, I2, P2

21, 73, 12, 37
163, 967, 136, 769
423, 2927, 342, 2297
474, 3361, 447, 3163
821, 6311, 218, 1361
823, 6323, 382, 2633
921, 7211, 912, 7121
1053, 8423, 1035, 8243
1642, 13901, 1426, 11903
1765, 15107, 1756, 15017

En el lenguaje PARI es muy sencillo detectar números anagramáticos.

Basta exigir vecsort(digits(m))==vecsort(digits(n)), de fácil comprensión: “Si ordenamos las cifras de ambos números nos resulta el mismo vector”.

Con este código se obtienen resultados fácilmente en la web de PARI

ok(m,n)=vecsort(digits(m))==vecsort(digits(n))&&vecsort(digits(prime(n)))==vecsort(digits(prime(m)))&&n%10<>0&&m%10<>0
for(i=2,2000,for(j=2,i-1,if(ok(i,j),print(i,", ",prime(i),", ",j,", ",prime(j)))))

Números triangulares

En el caso de soluciones simétricas no era fácil encontrar un ejemplo con números triangulares. Veamos si sólo buscamos anagramáticos. Usaremos la fórmula de los triangulares, N(N+1)/2.

Tal como era de esperar, aparecen muchas más soluciones. Estas son las primeras:

Con estos ejemplos ya estamos preparados para emprender otras búsquedas, como oblongos, de Fibonacci, potencias enteras y otros más que se nos ocurran.

Bases, índices y resultados simétricos

2025-03-27T16:58:00.001+01:00

Es ya muy popular la propiedad del “primo de Sheldon”, de la serie televisiva “Big Bang Theory”, y es que 73 es un número primo, y si invertimos sus cifras, 37 también es primo. A esto se le une que 73 es el primo número 21 y 37 es el número 12. Es decir, dos números de un tipo son simétricos y sus índices, bases u órdenes también lo son.

Hemos usado la propiedad de ser primo, pero en los cuadrados abundan ejemplos similares. Así, 12 y 21 son simétricos y sus cuadrados, 144 y 441, también. Un ejemplo más difícil de encontrar es el de números triangulares: El triangular de orden 24662 es 304119453 y el de orden simétrico 26642 es su simétrico 354911403. No se encuentra un ejemplo más pequeño, salvo con números capicúas.

En estas búsquedas, a fin de evitar trivialidades, descartaremos los números capicúas o palindrómicos. En los cálculos a efectuar será muy útil la función CIFRAINVER, explicada en la entrada

https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/04/relaciones-entre-numeros-con-cifras.html.

Las búsquedas que se efectúen aquí serán complementos de algunas contenidas en esa entrada.

Búsqueda con números primos

El ejemplo del 37 y el 73 se puede extender a otros primos. Bastará con exigir que sean simétricos y que sus números de orden también lo sean. Necesitaremos la función PRIME(N), que no está implementada en hojas de cálculo. Se puede sustituir por nuestra PRIMNUM(N), que devuelve el primo número N:

Public Function primnum(n)
Dim p, c, i

c = 0: i = 2
While c < n
If esprimo(i) Then c = c + 1: p = i
i = i + 1
Wend
primnum = p
End Function

Usa nuestra función ESPRIMO, muy usada en este blog.

Con ellas basta buscar que

m=cifrainver(n) and primnum(m)=cifrainver(primnum(n))

El resultado será que 73 y 37 son los únicos resultados a nivel elemental. Si se añade la propiedad de que 7*3=21, se ha demostrado que no existen más ejemplos.

Búsqueda con cuadrados

Aquí la condición para Excel y Calc sería

m=cifrainver(n) and m^2=cifrainver(n^2)

El resultado, bastante conocido es

La columna de cuadrados está publicada en https://oeis.org/A064021

Para quienes quieran reproducir la búsqueda sin usar funciones especiales, se adjunta a continuación un código en PARI:

ok(m,n)=n==eval(concat(Vecrev(Str(m))))&&n^2==eval(concat(Vecrev(Str(m^2))))&&n%10<>0&&m%10<>0
for(i=2,300,for(j=2,i-1,if(ok(i,j),print(i,", ",i^2,", ",j,", ",j^2))))

Está preparado para buscar hasta 300, dato que se puede cambiar sin problemas. Su resultado sería similar al anterior:

Números triangulares

Ya se anunció al principio que estos ejemplos son escasos. Bastará cambiar en las funciones la expresión m^2 por m*(m+1)/2 y al igual con n.

Efectuada la búsqueda, el único par encontrado, inferior a 10^5 es el referido:

Al mismo resultado se llega con PARI:

En OEIS, https://oeis.org/A279084, están publicados los resultados sin desechar los capicúas.

Otros tipos

Con números oblongos, tipo N(N+1), no se han encontrado ejemplos a nivel elemental, y tampoco para pentagonales.

Para cubos, existen ejemplos, pero en algunos de ellos el número de cifras es alto, y hay que acudir a PARI:

Están publicados en https://oeis.org/A035124

Por último, al probar con cuadrados de primos, se obtienen bastantes resultados entre los primeros números:

No parece que estén publicados. El autor no lo hará.