Números y hoja de cálculo

La hoja de cálculo y los números de Catalan

2026-10-30T18:12:00.000+01:00

Últimamente estoy volviendo a la Combinatoria, que tenía algo abandonada. Hoy es el turno de dar un repaso a los números de Catalan (Obtienen su nombre del matemático Eugène Charles Catalan):

1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, …

(http://oeis.org/A000108)

Estos números se suelen introducir mediante las triangulaciones de polígonos, según puedes comprobar con esta imagen tomada de la Wolfram MathWorld:

(Fuente: http://mathworld.wolfram.com/CatalanNumber.html)

A la vista de la figura, y de la definición, se comprende que un triángulo solo se puede triangular de una forma, con lo que C(1)=1. Un cuadrilátero, según vemos, en dos, que son las diagonales, por lo que C(2)=2.

El pentágono se triangula según sus cinco vértices, lo que hace que C(3)=5. También puedes comprobar que C(4)=14 para el hexágono.

Así podríamos seguir.

Estos números son muy conocidos, y aquí sería inútil añadir más teoría. Por eso, nos dedicaremos solo al uso de la hoja de cálculo para calcularlos.

Para conocer mejor estos números puedes consultar:

https://www.youtube.com/watch?v=kjn9hFQK9aQ

(vídeo de Eduardo Sáenz de Cabezón)

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_de_Catalan

https://www.gaussianos.com/los-numeros-de-catalan/

http://mathworld.wolfram.com/CatalanNumber.html

https://brilliant.org/wiki/catalan-numbers/

http://mathforum.org/advanced/robertd/catalan.html

En ellas y otras similares puedes encontrar propiedades y demostraciones. Como no es cuestión de repetir lo que en otras fuentes se explica mejor, daremos por supuestas las propiedades en lo que sigue y nos dedicaremos a plantear cálculos y cuestiones con Excel solamente, pues el programa Calc de LibreOffice también los lee, incluidas las macros más populares:

Fórmula directa

En esas páginas enlazadas figura la fórmula directa para calcular el enésimo número de Catalan.

En las hojas de cálculo dispones de la función COMBINAT para los números combinatorios C(m,n), FACT para el factorial n! y FACT.DOBLE para el doble factorial n!!

Con ellas podemos comprobar las tres fórmulas directas anteriores. Quedarían así:

=COMBINAT(2*N;N)/(N+1)

=FACT(2*N)/FACT(N+1)/FACT(N)
=2^N*FACT.DOBLE(2*N-1)/FACT(N+1)

Lo comprobamos con tres columnas paralelas en una tabla:

Aprenderás bastante del manejo de las hojas de cálculo con la construcción de esta tabla. Con ella comprobamos la equivalencia de las tres fórmulas. Si sabes añadir funciones a Excel, puedes definir una función con una de estas tres fórmulas. Elegimos la segunda, que solo usa la función FACT. Te sorprenderá su extensión, pero es que contiene tres llamadas a las funciones de Excel:

Function catalan(n)

catalan = Application.WorksheetFunction.Fact(2 * n) / Application.WorksheetFunction.Fact(n) / Application.WorksheetFunction.Fact(n + 1)
End Function

En la entrada de este blog enlazada a continuación puedes recordar el procedimiento para disponer de esta función en el Excel de tu ordenador:

https://hojaynumeros.blogspot.com/2013/09/tus-funciones-disponibles-en-todas-las.html

Así, si escribes =CATALAN(8) te devolverá 1430. Igualmente, puedes escribir operaciones con números de Catalan, como, por ejemplo, la diferencia entre dos consecutivos:

CATALAN(20)-CATALAN(19)=4796857230

Si deseas practicar un poco más con la hoja de cálculo, puedes comprobar o construir la función CATALAN con esta otra expresión:

Por ejemplo, 132=COMBINAT(12;6)-COMBINAT(12;5)

Otras expresiones de los números de Catalan

Mediante un producto:

Desde el segundo número de Catalan, siguiendo las propiedades contenidas en http://oeis.org/A000108:

a(n) = Product_{k=2..n} (1 + n/k), if n > 1.

Es fácil traducir este producto al Basic de Excel y Calc:

Function catalan2(n)

Dim k, p

p = 1

For k = 2 To n

p = p * (1 + n / k)

Next k

catalan2 = p

End Function

En esta captura de pantalla se refleja la comprobación del idéntico resultado para el número 8 en las dos versiones propuestas:

Mediante recurrencia

No es difícil demostrar, con cualquiera de las tres fórmulas directas, esta versión recursiva:

Podemos aprovechar las prestaciones de Excel en el uso de funciones recursivas. No es muy potente, pero para números sencillos funciona bien. Consiste en que una función se llama a sí misma.

Tienes una introducción a esta técnica en nuestro documento “Funciones y Macros”, descargable desde

http://www.hojamat.es/guias/descubrir/htm/macros.pdf

Para el caso de los números de Catalan proponemos este código:

Function catalan3(n)

Dim c

If n = 1 Then c = 1 Else c = catalan3(n - 1) * 2 * (2 * n - 1) / (n + 1)

‘Si n=1 declaramos que c=1 y, en caso contrario, catalan3 se llama sí misma en el valor n-1

catalan3 = c

End Function

Es un código muy compacto, pero que puede fallar para números grandes

He incorporado esta otra función en una hoja de cálculo descargable que contiene el material que se va desarrollando en esta serie de entradas

http://www.hojamat.es/blog/catalan.xslm

Otra forma de conseguir la recurrencia es mediante dos columnas, una con los índices y otra en la que cada número de Catalan depende del anterior:

Si n=1, a=1
A(n)=a(n-1)*2*(2*n-1)/(n+1)

Dejamos aquí los cálculos sobre los números de Catalan. Nuestro enfoque ha sido operativo, porque es un tema tan extenso y tan bien tratado en otras publicaciones que con una sola herramienta como la hoja de cálculo era algo inútil reproducir conceptos y cálculos.

Números poligonales generalizados

2026-10-21T15:30:00.000+02:00

Algunos conceptos matemáticos, que se basaron inicialmente en los números naturales, fueron después adaptados a otros tipos de números. Esto ocurrió con los números poligonales, que, al superar su carácter inicial geométrico, se generalizaron a los números enteros, pues ya no era necesario que su orden fuera positivo, al no representar una longitud. Esta decisión les abrió a nuevas posibilidades, por lo que han perdurado.

Todo número poligonal viene dado por esta fórmula muy popular:

Si permitimos que n sea cero o negativo, obtendremos los llamados números poligonales generalizados.

Si n es positivo, resultará un número poligonal clásico, que siempre será entero, ya que en el numerador se restan dos números de la misma paridad. Si generalizamos a un número negativo, sea n=-m, al sustituir en la fórmula obtendremos

Esta expresión da lugar a una nueva clase de poligonales a los que llamaremos segundos poligonales del mismo orden. Con el añadido del cero, los números poligonales generalizados serán la unión de los clásicos con estos otros de segunda naturaleza.

Si imaginamos m=n, ocurrirá que PS_n=P_n+(k-4)n

Comparemos, por ejemplo, las dos clases de hexagonales:

Los clásicos: 0, 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, de fórmula n(2n-1)

https://oeis.org/A000384

Los segundos: 0, 3, 10, 21, 36, 55, 78, 105, 136, 171, 210, de fórmula n(2n+1)

https://oeis.org/A014105

la diferencia entre sus elementos del mismo orden (k-4)n=2n

Así, 3-1=2*1, 10-6=2*2, 21-15=2*3, …

Lo interesante es que ambos conjuntos se pueden unir intercalando sus elementos. Para ello, habrá que demostrar que PS_n<P_n+1

Planteamos la diferencia:

Al ser el resultado positivo, podemos afirmar que P_n< PS_n< P_n+1, y que, por tanto, se pueden intercalar ambas sucesiones con el título de números poligonales generalizados.

En el caso del hexágono formarían, intercalados, los números hexagonales generalizados:

0, 1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136,153,

Nos llevamos la sorpresa de que son los números triangulares clásicos. Ya volveremos sobre ellos.

Casos particulares

Los triangulares se convierten en otros triangulares al cambiar de índice positivo a negativo, y los cuadrados permanecen iguales. Los casos interesantes comienzan con los pentagonales. Veremos los de este tipo y algunos más:

Números pentagonales generalizados

Los pentagonales clásicos, 1, 5, 12, 22, 35, 51, … siguen la fórmula

Es el caso particular de la fórmula general para k=5

Están publicados en https://oeis.org/A000326 y estudiados en mi publicación “Números poligonales” https://www.hojamat.es/publicaciones/poligonales.pdf

Según lo tratado anteriormente, los segundos pentagonales tendrán como fórmula

Son estos:

0, 2, 7, 15, 26, 40, 57, 77, 100, 126, 155, 187, …

Su diferencia con los clásicos del mismo orden es n: 2-1=1, 7-5=2, 15-12=3, …

Están publicados en https://oeis.org/A005449

La unión de las dos sucesiones formará esta otra, la de pentagonales generalizados:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, … (https://oeis.org/A001318)

Segundos pentagonales

Estudiamos algunos detalles de los segundos pentagonales:

Interpretación combinatoria

En la página de OEIS correspondiente se afirma que representan las cartas necesarias para construir un castillo de naipes. La clave está en el hecho de que PS(n+1)=PS(n)+2n+3:

Para el primer castillo se necesitan 3 cartas, y dado un castillo ya formado, deberemos añadir tres cartas por nivel (dos inclinadas y una horizontal) más la culminación, que serán dos cartas. En la imagen se entiende bien:

Las cartas de perfil azul corresponden a PS(3)=15 y las rojas 3*3+2=11, y al sumar obtenemos PS(4)=26

Recurrencias

Además de la ya tratada de 3n+2, existen varias publicadas en OEIS, pero no la que califico de “muy útil” (https://hojaynumeros.blogspot.com/2026/05/unas-recurrencias-muy-utiles.html) también nos vale, y no recurre al valor de n:

x_n= 3x_n-1-3x_n-2+x_n-3

En la entrada enlazada se explica su fundamento. Aquí basta con una comprobación en forma de tabla:

Números pentagonales generalizados

Al ser la unión de dos sucesiones, podemos unificar sus fórmulas mediante una función. En ella la variable m es útil para alternar los signos más y menos en el numerador.

pg(n)=my(m=truncate((n+1)/2));(3*m^2+(-1)^n*m)/2

for(k=1,20,print1(pg(k),", "))

Resulta:

1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, …

Era lo que se pretendía.

En su página de OEIS se incluyen muchas alternativas como fórmulas para esta sucesión.

Nuestra recurrencia “útil”

Al ser ambas sucesiones componentes generadas por la misma fórmula de recurrencia, bastará definir como elementos iniciales 0, 0, 1, 2, 5, 7 y aplicar

x_n= 3x_n-2-3x_n-4+x_n-6

Así: 3*5-3*1+0=12, 3*7-3*2+0=15, 3*12-3*5+1=22, …

Propiedad de Conway

La tercera parte de un triangular es un pentagonal generalizado si no es del tipo 3n+1

En esta tabla figuran los primeros triangulares y su tercera parte si es válida la para la propiedad:

0 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 136 153 ...

0 1 2 5 7 12 15 22 26 35 40 51 ...

T(3n)/3=3n*(3n+1)/6=(9n²+3n)/6=(3n²+n)/2

T(3n-1)/3=(3n-1)(3n)/6=(3n²-n)/2

En ambos casos resulta un pentagonal generalizado.

Otra propiedad: 24*a(n)+1 es un cuadrado

24(3n²+2)/2+1=36n²+24n+1=(6n+1)²

E igual con los pentagonales clásicos

Números heptagonales generalizados

Siguiendo los mismos razonamientos que con los pentagonales, esta otra sucesión será la unión de los heptagonales clásicos, de fórmula HP(n)=n(5n-3)/2 y los “segundos”, provenientes de órdenes negativos HPS(n)=n(5n+3)/2.

La sucesión resultante es, en sus primeros términos:

0, 1, 4, 7, 13, 18, 27, 34, 46, 55, 70, 81, 99, 112, 133, 148, 172, 189, 216, 235, 265, 286, 319, 342, 378, 403, 442, 469, 511, 540, 585, …

Está publicada en https://oeis.org/A085787, y los segundos heptagonales en https://oeis.org/A147875

Propiedades

A continuación, se verán algunas propiedades de ambas sucesiones:

Los segundos heptagonales son suma de una progresión geométrica, la b(n)=5*n+4, con primer término b(0)=4. En efecto, la suma será S(n)=(4+5*(n-1)+4)*n/2=n(5n-3)/2

Como todos los números de estos tipos siguen la recurrencia

x_n= 3x_n-1-3x_n-2+x_n-3

27=3*13-3*4+0, 46=3*27-3*13+4, …

Esta recurrencia se extiende a toda la sucesión generalizada de igual forma que en el caso de pentagonales.

De forma similar a los pentagonales, se cumple que 40a(n)+9 es un cuadrado:

40*n*(5n±3)/2+9=100n²±60n+9=(10n±3)²

Regresos 16 (3): Particiones condicionadas con PARI

2026-10-12T13:32:00.000+02:00

En la anterior entrada se desarrolló un ejemplo de particiones condicionadas con Cartesius y un Buscador. Consistía en descomponer el número 50 en sumandos cuadrados, sin importar el número de ellos que usemos, pero que no pasara de 3. Las soluciones resultaron ser 50=25+16+9=25+25=49+1

Ahora repetiremos el ejemplo con las herramientas del lenguaje PARI.

En PARI se cuenta con la función FORPART, que recorre una partición cualquiera, en la que se pueden integrar condicionantes. Para el ejemplo actual valdría este código:

a(n) = {nb = 0; forpart(p=n, if (#p && (#select(x->issquare(x), Vec(p)) == #p), nb+=1;print(p)), , 3);nb; }
print(a(50))

Cuesta entender todo lo escrito, pero consiste en iniciar un contador nb, recorrer todas las particiones con forpart y condicionarlas con x->issquare(x). El 3 que aparece es el tope para el número de elementos de la partición. Finaliza incrementando el contador e imprimiendo resultados. Así queda en la página oficial de PARI:

Coincide con las anteriores herramientas

Segundo ejemplo

Encontrar el número de particiones de un número en números primos sin otro condicionamiento. Por ejemplo, con el número 20:

Utilizamos el código PARI siguiente:

a(n) = {nb = 0; forpart(p=n, if (#p && (#select(x->isprime(x), Vec(p)) == #p), nb+=1), , ); nb; }
print(a(20))

Lo probamos y resulta que son 26:

Si deseamos ver las 26 particiones, le añadimos un print(p) detrás de nb+=1. Observa la imagen:

Con el Buscador se puede comprobar. Basta corregir las líneas de filtro, usando ESPRIMO en lugar de ESCUAD. Se omiten los detalles, ya explicados en la anterior entrada.

Se ha usado como tope el 10, que es máximo número posible de sumandos primos.

Nos puede interesar aplicar otra condición. En el ejemplo anterior se podría exigir que los primos fueran pitagóricos, del tipo 4k+1. Resultaría:

Se ha añadido la condición x%4==1 (el signo % significa MÓDULO)

Condiciones más exigentes

Partición con sumandos coprimos

He encontrado este ejemplo en https://oeis.org/A000837, y lo uso para resaltar la economía de medios del lenguaje PARI. He adaptado el código a este documento:

s=0;forpart(X=20, s+=(gcd(X)==1);print(s))

Con esta simple línea encontramos que existen 582 particiones en las que el conjunto de sumandos posee MCD igual a 1 (no se afirma que sean primos dos a dos). Aquí, la condición fundamental es gcd(X)==1

Función Q(n)

Se denomina así al número de particiones de un número en elementos distintos. Recordamos aquí que estas particiones son sencillas de encontrar con Cartesius. Basta usar la condición NO REPITE.

Estas son las condiciones para las particiones del número 10 en sumandos distintos:

xrango=10

xt=1..10

no repite

suma=10

creciente

Su solución es

Son diez en total, pero el proceso resulta lento e inestable.

En OEIS (https://oeis.org/A000009) se incluye este código PARI:

{a(n) = my(c); forpart(p=n, if( n<1 || p[1]<2, c++; for(i=1, #p-1, if( p[i+1] > p[i]+1, c--; break)))); c}; /* Michael Somos, Aug 13 2017 */

Es algo oscuro a la hora de entenderlo, pero funciona:

En el elemento correspondiente al 10 observamos que Q(10)=10, tal como resultó en Cartesius.

Con el Buscador

Anulamos los filtros o restricciones, pero en el momento de llegar a la suma de la partición añadimos esta condición:

vale = True

If pp > 1 Then

For j = 2 To pp

For k = 1 To j - 1

If su(e(j)) = su(e(k)) Then vale = False

Next k

Next j

End If

If vale Then

De esa forma, sólo nos devolverá las particiones con elementos distintos:

Según un importante teorema ya visto en este blog, el número de estas particiones coincide con las conseguidas si se restringen los sumandos a ser impares.

En el ejemplo del 10 nos resultarían, como era de esperar, 10 particiones con este código:

a(n) = {nb = 0; forpart(p=n, if (#p && (#select(x->x%2==1, Vec(p)) == #p), nb+=1;print(p)), , 3);nb; }
print(a(10))

Con Cartesius bastarían las condiciones

xrango=10

xt=1..10

xt=filtro(impar)

suma=10

creciente

No es recomendable por su lentitud.

Sin más explicaciones, este sería el resultado si eliminamos los sumandos pares:

Particiones con un número par o impar de sumandos

En estos ejemplos usaré PARI:

Con un número par:

Es importante la parte #p%2==0,nb+=1, pues % es la operación MODULO y nos indica que la partición tiene un número par de elementos #p.

a(n) = {nb = 0; forpart(p=n, if(#p%2==0,nb+=1), , ); nb; }
print(a(20))

Nos resulta que existen 317 particiones con un número par de elementos. Si deseamos datos de los primeros números obtendremos:

Coinciden con los publicados en https://oeis.org/A027187

Particiones con número impar de elementos:

Bastaría cambiar #p%2==0 por #p%2==1:

Publicados en https://oeis.org/A027193

Podemos usar ambas situaciones en funciones separadas, y experimentar algo con ellas. Por ejemplo, que las de número par sean dos más que las de impar:

a(n) = {nb = 0; forpart(p=n, if(#p%2==0,nb+=1), , ); nb; }

b(n) = {nb = 0; forpart(p=n, if(#p%2==1,nb+=1), , ); nb; }

for(i=1,100, if(a(i)==b(i)+2,print1(i,”, “)))

No tiene mucho interés, porque en los primeros números solo se cumple en el 8 y el 10.

También se pueden contar por separado las particiones de cardinal par y las de impar en la misma función. La siguiente busca si el número de particiones de orden par es dos unidades mayor que las de impar en un mismo número n.

c(n) = {my(nb = 0,na=0);forpart(p=n, if(#p%2==0,nb+=1,na+=1,), , ); nb==na+2 }
for(i=1,30, if(c(i)==1,print1(i,”, “)))

Escasean también los resultados.

Lo dejamos aquí. Ya se ha abierto una puerta a más experimentaciones.

Unos detalles para finalizar

PARI posee la función numbpart, que cuenta el número de elementos de una partición. Este código elabora un listado de los números con un número par de particiones distintas:

a(n)={my(c);c=numbpart(n);if(c%2==0,return(c))}
for(i=1,50,if(a(i)>0,print1(i,", ")))

Particiones con producto acotado

En la primera parte de la instrucción forpart se puede incluir toda una línea de código. Esto permite calcular productos en las particiones y condicionarlos.

Por ejemplo, lo siguiente encuentra aquellas particiones de n=5 cuyo producto es mayor que 3. Es importante destacar la forma en la que hay que usar las distintas partes de una partición con Vec(p)[k]):

a(n) = { nn=0; forpart(p=n, pp=1;for(k=1,#p,pp=pp*Vec(p)[k]);if(pp>3,nn+=1;print(p);p));nn }
print(a(5))

Resultado:

Otro ejemplo: podemos reproducir el contenido de https://oeis.org/A319005

Number of integer partitions of n whose product of parts is >= n.

1, 1, 1, 1, 2, 2, 5, 7, 13, 18, 28, 40, 60, 80, 113, 152, 205, 266, 353, 454, 590, 751, 959, 1210, 1529, 1905, 2381, 2953, 3658, 4501, …

Usaremos

a(n) = {nn=0; forpart(p=n, pp=1;for(k=1,#p,pp=pp*Vec(p)[k]);if(pp>=n,nn+=1));nn }
for(i=1,30,print1(a(i),", "))

Resultado:

Con estos ejemplos se reconoce la enorme capacidad de PARI para manejar particiones. Paramos ejemplos por ahora.

Regresos 16 (2): Particiones condicionadas. Algoritmo básico

2026-10-02T13:31:00.000+02:00

En esta entrada se desarrollan las ideas sobre punteros móviles para evitar el uso de múltiples bucles en Combinatoria. Seguiremos actuando sobre particiones de un número.

Un ejemplo previo

Supongamos que deseo descomponer el número 50 en sumandos cuadrados, sin importarme el número de ellos que usemos, pero que sea a lo más tres.

Con Cartesius

Esta herramienta no es excesivamente amigable, pero la suelo incluir por sus prestaciones. En ella podríamos plantear lo siguiente:

xrango=3

xt=1..50

xt=filtro(cuadrado)

creciente

suma=50

Estas condiciones, por orden, exigen que los sumandos sean uno, dos o tres. Después se fijan los datos en el conjunto 1…50. Se les aplica un filtro para quedarnos tan solo con los cuadrados, y, finalmente, se fija la suma en 50 con sumandos crecientes.

El resultado es

Cartesius solo llega a conjuntos de 12, luego necesitaremos, si deseamos trabajar con Excel, otra herramienta distinta. Es lo que voy a presentar ahora, para destacar la conveniencia del uso de punteros. En negrita y cursiva figura el código, y en tipo normal los comentarios.

Con el Buscador

Este código de algoritmo puede resultar pesado o difícil, por lo que quienes sólo deseen estudiar los ejemplos lo pueden ignorar. Es interesante porque permite, con ligeros retoques, su adaptación a muchas situaciones.

Sub particion()

'Devuelve el número total de particiones condicionadas y su desarrollo

Dim pp, i, j, contador, tope, fila, n, final, suma

Dim e(1000), su(1000)

Dim seguir As Boolean

Dim s$ ‘Contenedor de particiones

‘Lee el número y el tope de las particiones

n = ActiveWorkbook.Sheets(3).Cells(4, 7).Value

tope = ActiveWorkbook.Sheets(3).Cells(5, 7).Value

Call borrarango("e6:i2000")

fila = 8

final = n

For i = 1 To n 'Inicios

e(i) = 0

su(i) = 0

su(i) = i

Next i

fila = 8 ‘Inicio de la presentación de resultados

For i = 1 To n 'Inicios

e(i) = 0 ‘Este vector sigue a los sumandos en la tabla

su(i) = 0, Contenido de la celda que señala el puntero

Next i

'Restricciones o filtros En el ejemplo, que sean cuadrados

i = 1

While i <= final

If Not escuad(su(i)) Then

For j = i To n - 1: su(j) = su(j + 1): Next j

final = final – 1 ‘Elimina los que no valen

Else

i = i + 1

End If

Wend

If Not escuad(su(final)) Then final = final – 1

‘Final es el máximo número de sumandos

contador = 0

pp = 1 'inicio de puntero

'Aquí inicios varios según el problema a tratar

suma = 0

While pp > 0 'puntero activo((va marcha atrás en ese paso)

‘El puntero va y viene mientras sea positivo y no sobrepase los topes

e(pp) = e(pp) + 1 ' avanza en columna dentro del puntero

suma = suma + su(e(pp))

seguir = False 'determina si se sigue o no en la misma columna de datos

If e(pp) > final Or suma > n Or (pp > 1 And e(pp) > e(pp - 1)) Then seguir = True 'Se ha llegado al tope del rango de datos, y hay que seguir con otra columna

If seguir Then 'Seguir significa retroceder el puntero e iniciar su contenido

e(pp) = 0: pp = pp - 1: suma = 0

Else

'Hay algo que comunicar sobre el conjunto, quizás una solución, un mensaje o un añadido

suma = 0

For j = 1 To pp: suma = suma + su(e(j)): Next j

If suma = n And pp <= tope Then

contador = contador + 1’Una solución

fila = fila + 1

s = ""

For j = 1 To pp: s = s + Str$(su(e(j))): Next j

ActiveWorkbook.Sheets(3).Cells(fila, 6).Value = s

End If

If pp < n Then pp = pp + 1

End If 'Nivel 1

If pp < n Then pp = pp + 1

End If

Wend

'Operaciones finales

ActiveWorkbook.Sheets(3).Cells(5, 5).Value = contador

End Sub

El ejemplo actual se resuelve cambiando las restricciones (en este caso escuad()), porque deseamos que los sumandos sean cuadrados. El resto, valor de n y del tope, se leen en el Buscador.

Al pulsar en el botón de búsqueda obtenemos la solución deseada:

Abajo aparecerán las soluciones y, a la izquierda del tope, el número de ellas, que aquí son 3.

La ventaja de este algoritmo es que puede devolver particiones superiores a 12, que es la limitación de Cartesius. También es más rápido.

En la imagen podemos observar las particiones de 100 en trece elementos que son cuadrados pares:

Han resultado trece particiones.

En la siguiente entrada acudiremos mayoritariamente a la instrucción de PARI forpart.

Regresos 16 (1): Particiones condicionadas de un número natural

2026-09-24T13:30:00.000+02:00

En el año 2017 publiqué en mi blog “Números y hoja de cálculo” (https://hojaynumeros.blogspot.com/) una serie de estudios sobre particiones de un número obtenidas mediante mi herramienta Cartesius.

Quedé bastante satisfecho, pero echaba de menos poder estudiar las particiones de un número (formas de descomponer un número natural en sumandos) para valores mayores que doce, que es el máximo que me permitía Cartesius. He despojado los algoritmos de esta herramienta de muchas opciones, y me he quedado con lo imprescindible para calcular números de particiones condicionadas. Sigue siendo un proceso lento, pero me permite, con paciencia, abordar cálculos para números mayores que doce.

Lo he incorporado a la hoja “Buscador”, que tengo preparada para su descarga gratuita (https://www.hojamat.es/blog/buscador1.xlsm), y con ella, y sin abandonar Cartesius, ampliaré los trabajos del año 2017.

Tres herramientas

Esta va a ser una serie de entradas, por lo que es conveniente realizar una presentación previa de las mismas. En primer lugar, hay que advertir que el espíritu de ellas es el de aprendizaje y ejercitación. En este tema está todo publicado, y desde este blog poco se puede añadir, pero sí resulta atractivo cotejar distintos métodos para llegar a un mismo objetivo. El mejor y más aconsejable sería el de trabajar con papel y bolígrafo, que es como mejor se aprende, pero al final se terminará recurriendo a herramientas informáticas.

Usaremos, de forma más o menos simultánea, tres herramientas básicas:

Cartesius

Es mi herramienta tradicional para construir productos cartesianos condicionados. En el tema de particiones ya he publicado muchos ejemplos, y resulta bastante sencilla de entender. Sus condiciones resultan claras.

Descargable desde

https://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius

Buscador

En el archivo descargable presentado más arriba he situado, en su tercera hoja, una subrutina para realizar el mismo trabajo que el de Cartesius, pero que no sufre la restricción de las doce columnas. Resulta también más rápida, ya que el que no sea tan general le dota de más velocidad, pero nunca suficiente, porque todos los temas de Combinatoria acaban por abordar cálculos que resultan muy lentos.

Dirección de descarga: https://www.hojamat.es/blog/buscador1.xlsm

PARI

Este lenguaje posee herramientas potentes y rápidas, aunque adolece de falta de presentaciones intuitivas. Está dirigido a profesionales, pero en este blog le hemos conseguido mucha utilidad. Su orden FORPART será un pequeño tesoro para comprobar cálculos o ampliarlos.

Página web: https://pari.math.u-bordeaux.fr/gpwasm.html

Algoritmo básico

Las particiones actúan sobre conjuntos de sumandos. Por ejemplo, si deseo descomponer el número 20 en cuatro sumandos primos, deberé usar el conjunto (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19). El resultado final es que existen 6 particiones distintas.

Particiones condicionadas

Número: 20

Número de particiones: 6

Conjunto de particiones: 5 5 5 5, 7 5 5 3, 7 7 3 3, 11 3 3 3, 11 5 2 2, 13 3 2 2

En algunas ocasiones, el número de particiones condicionadas proviene de operaciones sobre conjuntos de números sometidos a alguna operación (condición previa). Por ejemplo, podemos estar interesados en particiones en las que las partes sean todas libres de cuadrados, o que pertenezcan a la sucesión de Fibonacci. Esta será la condición previa en cada caso.

El manejo de cuatro números que no tienen que guardar relación entre ellos nos lleva, en el nivel elemental de algoritmos en el que se mueve esta serie, a usar bucles anidados: FOR I=12 T0…FOR J=12 TO…FOR K=12 TO… Esto supone una gran ineficiencia y poca versatilidad, porque el número de bucles debería adaptarse a cada ejemplo determinado.

Desde hace muchos años llevo usando punteros sobre una matriz rectangular (es una imagen para entendernos) en el que van avanzando por los distintos elementos llevando algún tipo de recuerdo de los que ya han visitado.

Concretando el ejemplo del primer párrafo, imaginemos que estudiamos el rango de números entre 40 y 50, y buscamos en ellos conjuntos de cuatro números con la propiedad pedida. Llamamos, por ejemplo, INICIO al valor mínimo (40 en este caso) y TOPE o FINAL al último (50). Por otra parte, daremos el nombre de NUME al número de elementos que tendrán nuestros conjuntos. Desde INICIO hasta final llamaremos E(I) a cada valor concreto de un elemento. En la imagen que sigue sería una columna, mientras que horizontalmente se representarían los elementos elegidos de izquierda a derecha, que será el “movimiento” que tendrá el puntero.

Al principio cuesta un poco entender la dinámica de este proceso, pero compensa el no tener que anidar bucles. En mis herramientas de ayuda a la enseñanza lo he usado, entre otros, en estas tres:

Combimaq (https://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#combimaq)

Cartesius

(https://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius)

Partlista (https://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#reprenum)

En la siguiente entrada se desarrollarán estas ideas.

Submulticonjuntos (2)

2026-09-14T12:31:00.000+02:00

Representación numérica de un multiconjunto

Con lo visto hasta ahora en la anterior entrada, lo esencial en un multiconjunto lo constituyen las multiplicidades. La naturaleza de los elementos no influye apenas en los conteos. Es un fenómeno similar a la descomposición en factores primos, que muchas funciones dependen tan solo de los exponentes. Esto nos permite representar un multiconjunto como un número, de forma unívoca. De las posibilidades existentes (hay variantes en la tarea de representar un multiconjunto mediante un número, como, por ejemplo, los números de Heinz), elegiremos aquí las siguientes:

· Ordenamos las multiplicidades de mayor a menor (para que el número resultante sea lo más pequeño posible)

· A cada multiplicidad correspondiente a un elemento dado le asignamos un número primo repetido, siguiendo el orden natural (algunos autores comienzan con el 1). En caso de empate, no hay problema, porque resulta el mismo número.

· Si multiplicamos todos esos primos, resultará un número que poseerá una relación biunívoca con el conjunto.

Por ejemplo, en la palabra ZARAGOZA ordenamos las multiplicidades vistas en la entrada anterior: 3 de A, 2 de Z y 1 del resto de caracteres, R, G y O.

Sustituimos cada multiplicidad por números primos repetidos y ordenados:

2*2*2*3*3*5*7*11=27720.

Este número identifica, de forma unívoca, a todos los multiconjuntos con la serie de multiplicidades 3, 2, 1, 1, 1. Cada submulticonjunto de ellos se relacionará con un divisor de 27720, por el criterio general de divisibilidad, en el que los factores primos de los divisores son subconjuntos de los correspondientes en 27720.

Pedimos los divisores de 27720 con bigomega=3 (tres factores primos) en cualquier buscador, o con la función siguiente:

Function dosfact$(n, k)

Dim i

s = ""

For i = 2 To n

If n / i = n \ i Then

If bigomega(i) = k Then

s = s + ajusta(i) + " "

End If

Next i

dosfact = s

End Function

La aplicamos a 27720 con k=3, por ejemplo, y resultan 19 divisores:

8 12 18 20 28 30 42 44 45 63 66 70 99 105 110 154 165 231 385

Ahora usamos la técnica de las combinaciones acotadas que vimos en la entrada anterior, con Cartesius:

xtotal=3

xt=2,3,5,7,11

creciente

contar(2)<4

contar(3)<3

contar(5)<2

contar(7)<2

contar(11)<2

Coincide el número de submulticonjuntos de tres elementos:

Son también 19.

Cálculo directo

Usando la técnica combinatoria de eliminar combinaciones prohibidas resultaría:

Combinaciones con repetición:

COMBINAT(5+3-1;3) = COMBINAT(7;3 = 35

Hay que restarle uno por la combinación prohibida (3,3,3) y para el 5, 7 y 11, cinco cada uno para eliminar aquellos en los que están repetidos: (5,5,2), (5,5,3), …

En total: 35-1-5-5-5=19

Para casos más complicados habría que acudir a técnicas parecidas al Principio de Inclusión y exclusión, sumando y restando posibilidades. Para cálculos mediante fórmulas directas, las incluidas en https://arxiv.org/abs/2009.01233, m-submultisets and m-permutations of multisets elements

Para encontrar el número total de submulticonjuntos sustituiríamos XTOTAL=3 en Cartesius por XRANGO=8, que los abarca todos menos el conjunto vacío. Resultan 95.

Si contamos el conjunto vacío, serían 96, representado en los divisores de 27720 por el número 1.

Si ahora calculamos la función TAU (número de divisores) por su fórmula, usando las multiplicidades, resulta:

TAU(27720)=(1+3)(1+2)(1+1)(1+1)(1+1)=4*3*2*2*2=96

El paralelismo entre subconjuntos y divisores queda comprobado. Es interesante.

Submulticonjuntos (1)

2026-09-07T12:30:00.000+02:00

Un multiconjunto (multiset en inglés) es un conjunto en el que se permite la repetición de algunos o todos sus elementos un número determinado de veces, llamado multiplicidad del elemento. Al conjunto de elementos tomados sin repetición se le llama conjunto subyacente,

Un ejemplo claro son los conjuntos de tiradas en Combinatoria, las extracciones de bolas con repetición o el conjunto de los factores primos de un número. En todos ellos se permite que algunos elementos estén repetidos, Otro ejemplo típico es el las letras de una palabra. Por ejemplo, las letras de la palabra ZARAGOZA. Aquí se permite que la Z se repita dos veces y la A tres. Su conjunto subyacente es ZARGO.

Formalmente, un multiconjunto es un conjunto de elementos que son pares del tipo (elemento, multiplicidad). Por ejemplo, las letras de ZARAGOZA forman el multiconjunto

{(A,3),(Z,2),(R,1),(G,1),(O,1)}

Un submulticonjunto de un multiconjunto es otro multiconjunto cuyos elementos pertenecen al multiconjunto inicial con multiplicidades no mayores que las del mismo.

Así, GOZAR es submulticonjunto de ZARAGOZA, pero no lo es ARROZ, porque la R tiene una multiplicidad mayor.

Combinaciones con repetición

En todas las cuestiones que siguen, la base son las combinaciones con repetición. Podremos usar la fórmula para m objetos tomados de n en n, fórmula elemental y conocida:

Tomemos como ejemplo el conjunto {2,3,4,5} Si deseamos construir todas las combinaciones con repetición de 3 en 3, según la fórmula, deberemos obtener en total, usando el lenguaje de las hojas de cálculo:

COMBINAT(4+3-1,3) = COMBINAT(6,3)=6*5*4/6=5*4=20

En efecto, con nuestra herramienta Cartesius se puede comprobar.

(https://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius)

Basta exigir estas tres condiciones:

xtotal=3

xt=2,3,4,5

creciente

Se pide crear tres columnas con contenido 2,3,4,5 y solo se exige que los arreglos sean crecientes, para que resulten combinaciones y no variaciones. El resultado es el esperado, 20 combinaciones con repetición.

Combinaciones con repetición acotadas

Si en lugar del conjunto {2,3,4,5} eligiéramos el multiconjunto {2,3,3,4,4,5} deberíamos tener en cuenta que sus subconjuntos no pueden presentar más frecuencias que las determinadas, un 2, dos 3, dos 4 y un 5.

En Cartesius tendríamos que acotar las frecuencias, para que resultaran subconjuntos. Podría ser así:

xtotal=3

xt=2,3,4,5

creciente

contar(2)<2

contar(3)<3

contar(4)<3

contar(5)<2

Se restringen las frecuencias, con lo que resultan submulticonjuntos:

El resultado sería:

Las combinaciones se han reducido a 10.

¿Cómo llegar a ese número sin usar Cartesius?

En nuestro caso, al número 20 habría que restarle las combinaciones en las que el 3 se repite más de dos veces, y también aquellas en las que ocurre lo mismo con el cuatro. Después eliminaríamos aquellas en las que el 2 o el 5 se repitieran más de una vez

Sería:

Combinaciones totales: CR(4,3)=COMBINAT(6,3)=20

Combinaciones no válidas con el 2: Hay que desechar aquellas combinaciones en las que el 2 se repita dos o tres veces, es decir, fijamos el 2 dos veces, y nos quedan combinaciones de cuatro elementos tomados de uno en, es decir:

CR(4,1)=COMBINAT(4,1)=4. Igual ocurre con el 5

Combinaciones no válidas para el 3: Siguiendo el mismo razonamiento, fijamos el 3 tres veces y queda CR(4,0)=1, e igual para el 4

Nos quedaría prohibir que dos elementos sobrepasaran la multiplicidad, pero eso no ocurre y hemos terminado:

Número de submulticonjuntos: 20-4-4-1-1=10

Así que la idea es, para eliminar combinaciones, fijar cada elemento en su multiplicidad y uno más, y desarrollar lo que queda:

CR(4,3)-CR(4,1)-CR(4,1)-CR(4,0)-CR(4,0)

Se comprende que con más elementos el cálculo se complica, pero este sería el camino correcto.

Números de pastel

2026-06-29T19:23:00.001+02:00

Estos números constituyen una extensión natural de los traducidos como “Catering perezoso” (o también como “Cortador perezoso”), que ya se han estudiado en este blog. Si aquellos contaban el máximo de cortes rectilíneos sobre una tarta o pizza, considerados en dos dimensiones (todos frontales a la superficie mayor de la tarta), aquí se trata de cortar un cubo o una tarta mediante cortes planos que actúan sobre tres dimensiones. Buscaremos siempre el número máximo de partes, por lo que no se consideran planos paralelos, ni cortes paralelos, ni varios planos incidentes en el mismo punto.

Siguiendo las ideas de Peter C. Heinig en https://oeis.org/A000125, podemos contemplar tres escalas de complejidad en estos cortes:

Una dimensión, cortes sobre una recta. Es evidente que el número máximo de regiones para n cortes es

C₁(n)=binomial(n,0)+binomial(n,1)=1+n

En el caso de un plano, vimos, en la sucesión de catering perezoso, https://hojaynumeros.blogspot.com/2026/02/el-catering-perezoso.html, que el número era: n(n+1)/2+1, que también se puede escribir como

C₂(n)= binomial(n,0)+binomial(n,1)+binomial(n,2)

En nuestro caso actual, sobre tres dimensiones, es fácil razonar que su expresión es C(n+1,3)+n+1=(n+1)n(n-1)/6+n+1, lo que nos llevaría a

C₃(n) = binomial(n,0) + binomial(n,1) + binomial(n,2) + binomial(n,3)

Lo vemos:

Una tarta, con el corte mediante un solo plano se divide en dos partes, y se cumple C(1)=0+1+1=2

Para dos cortes obtenemos cuatro partes como máximo, y se cumple:

C(2)=3*2*1/6+2+1=4

Aquí podemos seguir por inducción: Supongamos efectuados los n-1 cortes primeros. Al cortarlos con un nuevo plano, si ese número es máximo, se formarán en el nuevo plano el máximo de cortes posible, que sabemos que es C₂(n-1), y serían elementos de la sucesión del catering perezoso, luego C₃(n)= C₃(n-1)+C₂(n-1), y quedaría:

C₃(n)= C₃(n-1)+(n-1)n/2+1=n(n-1)(n-2)/6+n+(n-1)n/2+1

Mediante el programa wxMaxima comprobamos la identidad entre este resultado y el propuesto. En el recorte de pantalla observamos además que las expresiones se pueden simplificar bastante:

Por una parte, hemos obtenido una fórmula manejable:

Por otra, se ha comprobado en el razonamiento que C₃(n)= C₃(n-1)+C₂(n-1) y, por tanto, que es válida la sugerencia de:

C₃(n) = binomial(n,0) + binomial(n,1) + binomial(n,2) + binomial(n,3)

Con esta comprobación se ha descubierto también que estos números son la suma de los cuatro primeros elementos de la fila n del triángulo de Pascal:

Esta propiedad nos permite identificar los números de pastel con el número de subconjuntos de un conjunto de n elementos cuyo cardinal no supere los tres elementos. Expresado de otra forma, la suma del número de combinaciones de n elementos tomados de 0, 1, 2 o 3 elementos.

Al igual que ocurría con la sucesión del catering perezoso, la existencia de una fórmula tan directa hace inútil la búsqueda de otro algoritmo o función. Basta organizar una tabla con esa fórmula:

Coinciden los valores extraídos del triángulo de Pascal y con los publicados en https://oeis.org/A000125,

Recurrencia

Con la fórmula básica se puede llegar a números de orden grande, pero quizás se prefiera una recurrencia por la rapidez de cálculo. En la página de OEIS citada se propone la siguiente:

a(n) = 4*a(n-1) - 6*a(n-2) + 4*a(n-3) - a(n-4).

Bastará, pues, crear una columna con los cuatro primeros en una hoja de cálculo y después aplicar la fórmula a esos cuatro y rellenar hacia abajo hasta el punto que deseemos.

Comienzo:

Escribimos los cuatro primeros, y al quinto le aplicamos la fórmula de recurrencia.

Segundo paso

Rellenamos hacia bajo la fórmula:

De esta forma, en segundos, llegamos al orden que deseemos:

Las recurrencias lineales son muy útiles para construir tablas de forma casi instantánea.

Triángulo trinomial

2026-06-18T18:09:00.001+02:00

Al igual que construíamos el triángulo de Pascal para binomiales sumando cada dos consecutivos, podemos definir el triángulo trinomial si cada coeficiente es la suma de los tres situados en la fila anterior y sobre él. Los coeficientes de los extremos serán suma de dos o de uno, como si a izquierda y derecha del triángulo existieran ceros. Así quedaría con una hoja de cálculo.

A diferencia de los binomiales, estos coeficientes del triángulo forman filas de longitud impar, 2n+1, por lo que se puede hablar siempre de términos centrales, que en la imagen son 1, 1, 3, 7 y 19.

Este proceso equivale a la siguiente recurrencia:

Como curiosidad, John D. Cook relaciona estos números con los pasos del rey en el ajedrez para llegar a las distintas posiciones

(ver https://www.johndcook.com/blog/2025/05/16/trinomial-coefficients-and-kings/)

Este triángulo posee diversas propiedades, tal como ocurría con el binomial. Por ejemplo, la primera diagonal de la izquierda contiene los números naturales, 1, 2, 3, 4, … y la segunda los triangulares, 1, 3, 6, 10, 15, …Igualmente, si en los binomiales la suma por filas era 2ⁿ, aquí es 3ⁿ. Por ejemplo, 1+3+6+7+6+3+1=27=3³

Estos números se pueden interpretar también como los coeficientes de la potencia (1+x+x²)ⁿ

Por ejemplo, para n=4 nos queda, en wxMaxima:

Los coeficientes coinciden con los de la fila 4 del triángulo.

Para distinguir estos coeficientes de los binomiales, se suele añadir un 2 a la derecha de su símbolo. El resto queda igual porque vemos que dependen de solo dos parámetros. Así que, a partir de ahora, los representaremos así:

En ese símbolo k es un entero que cumple -n ≤ k ≤ n, por lo que puede tomar valores negativos. Lo podemos interpretar como la diferencia entre el lugar central de la fila y el del término definido.

Cálculo directo

Según la Wikipedia, existe una fórmula para el cálculo directo:

Usa un sumatorio algo complicado, por lo que es más directo y formativo el seguir la recurrencia definida.

Por recurrencia

El esquema de recurrencia ya presentado se puede traducir a una función directa, en la que dados n y k nos devuelva el coeficiente correspondiente en el triángulo trinomial. Para ello, traducimos las filas de hoja de cálculo a dos vectores u(i) y v(i) que comiencen y terminen con ceros, y con ellos ir construyendo la recurrencia hasta llegar al coeficiente deseado:

Function trinomial2(n, k)

Dim u(50), v(50), i, j, h, t

For i = 1 To 2 * n + 3: u(i) = 0: v(i) = 0: Next I ‘Se rellenan los vectores con ceros

u(n + 3) = 1 ‘Primer coeficiente

For i = 1 To n ‘Se trabaja hasta la fila n

For j = 3 To 2 * n + 3 ‘Longitud de la fila contando con ceros iniciales

v(j) = u(j - 1) + u(j) + u(j + 1) ‘Recurrencia

Next j

For h = 3 To 2 * n + 3: u(h) = v(h: Next h ‘Se copia v(i) en u(i)

For h = 1 To 2 * n + 1: v(h) = 0: Next h ‘Y se rellena con ceros

Next i

t = u(n + k + 3) ‘Se localiza el coeficiente pedido

trinomial2 = t

End Function

Aunque parece algo complejo, funciona con rapidez. En la imagen se recogen los coeficientes correspondientes a n=5 y n=6:

Coeficientes centrales

Los números centrales de cada fila poseen importancia propia. Por eso, en OEIS, se les dedican muchas referencias y descripciones de propiedades. Aquí sólo se darán algunos detalles, remitiendo para un estudio completo a la página https://oeis.org/A002426.

Su cálculo no es difícil. En la página mencionada se usa la definición como coeficientes de (1+x+x²)ⁿ, pero eligiendo el coeficiente número n. Se propone este código PARI de fácil comprensión, extendido aquí con un bucle FOR:

a(n) = if( n<0, 0, polcoeff( (1 + x + x^2)^n, n))

for(k=0,20,print1(a(k),", "))

Su resultado, en la página oficial de PARI es:

Coincide con lo publicado.

Con nuestra función trinomial2(n,k) basta dar a k el valor 0. Así se ha efectuado para crear esta columna de Excel:

Una interpretación interesante de estos números es la de David Callan, que los identifica con el número de sucesiones de n elementos tomados del conjunto (1, 2, 3, … n), crecientes en sentido amplio, en las que ningún elemento se repite más de dos veces. Propone como ejemplo si n = 3, las sucesiones son 112, 113, 122, 123, 133, 223, 233, es decir, son siete como indica su coeficiente central.

He añadido la condición FMAX a mi herramienta Cartesius (https://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius) y, aunque aún no está publicada, la he usado para comprobar esta propiedad. He concretado las condiciones siguientes:

xtotal=5

xt=1..5

FMAX<3

Creciente

Con ellas se combinan en arreglos crecientes los números del 1 al 5, con la condición de que la frecuencia máxima sea 2, tal como plantea David Callan, y se han obtenido 51 posibilidades, como corresponde al coeficiente central de orden 5. Este recorte contiene los primeros y su total:

Coeficientes trinomiales

2026-06-10T18:58:00.001+02:00

Los coeficientes trinomiales son una extensión de los binomiales, definidos estos como

Y que son los coeficientes del binomio de Newton:

De forma análoga se pueden definir los coeficientes trinomiales, propios de un trinomio similar al anterior.

En realidad, los binomiales se podrían expresar de otra forma:

A partir de aquí podemos explicar mejor la definición de coeficientes trinomiales:

También, al igual que con los binomiales, los podemos identificar con los coeficientes de la potencia de un trinomio:

Las demostraciones son similares a las del caso binomial.

Esta fórmula produce siempre resultados enteros positivos, debido al teorema de que un producto de k números consecutivos decrecientes es siempre múltiplo de los k primeros números enteros positivos. Es fácil recordar que coincide con el número de permutaciones con repetición en las que se fija el número de cada una.

Para entender esto mejor podemos descomponer la definición en tres bloques. Lo vemos con un ejemplo:

A la vista de este esquema de tres cocientes, observamos que el tercer número de la definición no influye en el resultado, luego podemos usar sólo n₁ y n₂. Incluso estos son intercambiables, los que nos lleva a que el coeficiente trinomial se puede expresar como

En nuestro ejemplo, usando la función COMBINAT de Excel y Calc, nos quedaría:

COMBINAT(8;2)*COMBINAT(6;3)=560

COMBINAT(8;3)*COMBINAT(5;2)=560

Cálculo de un coeficiente trinomial en la práctica

Si no se desea depender de la función COMBINAT, se puede calcular directamente. El problema con el cálculo práctico de un coeficiente de este tipo es que los factoriales alcanzan números muy grandes. Si usamos calculadora o bien hoja de cálculo, los resultados pasan a coma flotante y se pierde el carácter entero de estos coeficientes. Por ello, es conveniente usar el desarrollo del párrafo anterior: dividir los números consecutivos a partir de m entre el primer factorial, los siguientes entre el segundo, y parar el cálculo, porque el tercer factorial produce un uno. En VBasic y otros lenguajes se puede construir una función similar a la siguiente:

Function trinomial(m, x, y, z)

Dim t, k, v

If x + y + z <> m Then trinomial = 0: Exit Function’ Datos no válidos

t = m: k = x: v = 1

While k > 0

v = v * t / k: t = t - 1: k = k – 1 ‘Divide factores consecutivos entre el primer coeficiente. Es el primer combinatorio de la fórmula.

Wend

k = y

While k > 0

v = v * t / k: t = t - 1: k = k – 1’ Igual, en el segundo coeficiente para calcular el segundo combinatorio.

Wend

trinomial = v

End Function

Presenta un pequeño riesgo de redondeo inadecuado, pero suele funcionar bastante bien. Devuelve un cero si los coeficientes de abajo no suman el de arriba. No analiza si los datos son enteros.

Es muy sencillo el traslado a cualquier otro lenguaje de programación, por ejemplo, en PARI, con un rango de datos y resultados mucho mayor:

trinomial(m, x, y, z)=my(t=m,k=x,v=1);while(k>0,v=v*t/k;t-=1;k-=1);k=y;while(k>0,v=v*t/k;t-=1;k-=1);v*(x+y+z==m)

Tal como se esperaba, los valores de estos coeficientes pueden ser grandes. Aquí tenemos un ejemplo:

Al ser la primitiva definición simétrica respecto a los índices de abajo, el número total de posibles coeficientes trinomiales para un índice superior m dado, es el de particiones de m en tres conjuntos. Por ejemplo, para m=5 las particiones son (5,0,0), (4,1,0), (3,2,0), (3,1,1), (2,2,1), que se corresponden con los posibles valores de los coeficientes, que son 1, 5, 10, 20 y 30. Se comprende que, en el desarrollo de (a+b+c)⁵, se tendrán que repetir, como vemos en el siguiente desarrollo:

Con nuestra herramienta Cartesius se puede encontrar el número de estos coeficientes distintos.(Ver https://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius)

Por ejemplo, para m=7 plantearíamos:

xtotal=3

xt=0..7

creciente

suma=7

Se interpreta que deseamos encontrar todos los tipos de sumas con resultado 7 y sin tener en cuenta el orden (creciente)

Al resultado se le han añadido manualmente los valores de los coeficientes:

Estos resultados se corresponden con el desarrollo de una potencia séptima de un trinomio:

Como era de esperar, los coeficientes aparecen muy repetidos.

Tetraedro de Pascal

Con la expresión COMBINAT(m;n₁)*COMBINAT(m-n₁;n₂) se puede construir un triángulo de coeficientes para un m dado. En una hoja de cálculo se puede visualizar bien. En la imagen figuran los correspondientes a m=7, vistos anteriormente:

Observamos que los lados del triángulo son filas del triángulo de Pascal. Si ahora apilamos triángulos según los valores de m, nos resultará un tetraedro, al que también se le llama de Pascal. En la siguiente página de Wikipedia se explica el proceso:

https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_pyramid

La siguiente imagen pertenece a dicha página:

(Fuente: Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_pyramid)

Para quienes deseéis profundizar en el tema. La lectura de esta página es recomendable.

Recurrencia

Es fácil la comprobación de esta recurrencia para calcular coeficientes trinomiales:

En realidad, este es el fundamento del tetraedro de Pascal.

Funciones definidas para tipos de números (3)

2026-05-28T19:56:00.001+02:00

Esta entrada cierra el estudio de funciones definidas para ciertos tipos de números, así como de sus funciones inversas. En esta tercera se estudiarán las definidas por recurrencia.

Funciones sobre recurrencias

Son aquellas que se definen mediante los términos iniciales, y además, expresan a(n+1) en función de los anteriores términos. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci se define como a(1)=1, a(2)=1, y para el resto, a(n+1)=a(n)+a(n-1). Si esta última relación sólo usa el término a(n) se llama de primer orden, y así, se pueden plantear de segundo, tercero o más órdenes.

Recurrencias de primer orden

Cada función de este tipo deberá estar definida por dos parámetros, a(1) y otro según la definición, que puede ser DIFERENCIA en las progresiones aritméticas, RAZÓN en las geométricas, o bien cualquier otra relación entre a(n+1) y a(n). No existen ejemplos populares concretos para definir funciones.

Recurrencias de segundo orden

Existen muchas recurrencias de segundo orden, como la ya citada de Fibonacci. Las más simples son las llamadas Horadam, y se caracterizan porque la relación de recurrencia es lineal. Vemos las más importantes.

Caso particular: sucesiones Horadam

Son aquellas que están definidas por cuatro parámetros, a1, a2, c1 y c2, de la forma a(1) = a1, a(2) =a2, a(n) = a(n-2)*c1+a(n*1)*c2. Así, tenemos muchos ejemplos concretos de este tipo de sucesiones recurrentes de segundo grado:

Horadam(1,1,1,1): Números de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5

Horadam(2,1,1,1): Números de Lucas: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, …

Horadam(1,2,1,2): Potencias de 2:1, 2, 4, 8, 16, 32, …

Horadam(0,1,2,1): Números de Pell: 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, …

Horadam(1,1,2,1): Números de Pell-Lucas: 1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, …

Horadam(2,3,3,-2): Sucesión de Pisot (2ⁿ+1): 2, 3, 5, 9, 17, 33, …

Horadam(0,1,1,2): Sucesión de Jacobsthal: 2, 3, 5, 9, 17, 33, …

Son muy sencillas de programar, y su búsqueda suele ser rápida. Para encontrar un término general hay que usar los cuatro parámetros citados más el número de orden n.

En lenguaje PARI

horadam(n,a1, a2, c1, c2) = {my(i,f,t,v,u); if(n==1,f=a1); if(n==2,f=a2);if(n>2,v=a1;t=a2;for(i=3,n,u=c1*t+c2*v;v=t;t=u);f=u);f}

En Vbasic

Function horadam(n, a1, a2, c1, c2)

Dim i, f, v, u

If n = 1 Then horadam = a1: Exit Function

If n = 2 Then horadam = a2: Exit Function

v = a1: t = a2

For i = 3 To n

u = c1 * t + c2 * v: v = t: t = u

Next i

horadam = u

End Function

Si se dispone de estas dos funciones, podemos definir las funciones FIBONACCI(N), PELL(N), LUCAS(N) y demás, igualando su definición a la de Horadam. Por ejemplo, LUCAS(N) se definirá así:

Lucas(n)=horadam(n, 2,1,1,1)

Así tendremos que lucas(10)=horadam(10,2,1,1,1)=76, como puedes ver en cualquier descripción de estos números. Imagina que puedes definir así todas estas sucesiones.

El autor lleva años usando FIBONACCI(N) en sus cálculos.

La función ORDEN se puede construir de similar a la que usamos para Primos o capicúas. Puede ser esta:

Function eshoradam(n, a1, a2, c1, c2) As Long

Dim v, u, k, t As Long

Dim es As Long

If n = a1 Then eshoradam = 1: Exit Function

If n = a2 Then eshoradam = 2: Exit Function

v = a1: t = a2: k = 2

While t <= n

If t = n Then

es = k

ElseIf t > n Then

es = 0

End If

u = c1 * t + c2 * v: v = t: t = u: k = k + 1

Wend

eshoradam = es

End Function

Nos devuelve el orden k si es un término de la sucesión, o un cero si no lo es.

El autor usa en su hoja de cálculos diarios esta versión, que le permite averiguar si un número dado es de uno de los tipos populares de esta sección:

Function estipohoradam$(n)

Dim s$

Dim es As Long

s = ""

es = eshoradam(n, 1, 1, 1, 1): If es <> 0 Then s = s + " Fibonacci " + " & " + ajusta(es)

es = eshoradam(n, 2, 1, 1, 1): If es <> 0 Then s = s + " Lucas " + " & " + ajusta(es)

es = eshoradam(n, 0, 1, 2, 1): If es <> 0 Then s = s + " Pell " + " & " + ajusta(es)

es = eshoradam(n, 1, 1, 2, 1): If es <> 0 Then s = s + " Pell-Lucas " + " & " + ajusta(es)

es = eshoradam(n, 2, 3, 3, -2): If es <> 0 Then s = s + " Pisot " + " & " + ajusta(es)

es = eshoradam(n, 0, 1, 1, 2): If es <> 0 Then s = s + " Jacobsthal " + " & " + ajusta(es)

es = eshoradam(n, 2, 1, 1, 2): If es <> 0 Then s = s + " Jacobsthal-Lucas " + " & " + ajusta(es)

If s = "" Then s = "No es de ningún tipo"

estipohoradam = s

End Function

Así, por ejemplo, estipohoradam(76) nos devuelve Lucas & 10, y estipohoradam(81), No es de ningún tipo.

Podemos seguir recorriendo tipos de sucesiones recurrentes, como las de Perrin y otras, pero no suelen demandar nuestros trabajos unas funciones directas como las que aquí se han presentado.

Otras recurrencias

El contenido de esta entrada nos ayuda si necesitamos definir una función para sucesiones que no sean de Horadam, pero el procedimiento para encontrar funciones de este tipo es el mismo, salvo la fórmula de recurrencia.

Funciones definidas para tipos de números (2)

2026-05-21T19:51:00.001+02:00

En la anterior entrada de esta serie se estudiaron funciones del tipo TRIANGULAR(N) o OBLONGO(N), que se caracterizan por poseer una fórmula, y sólo hay que buscar la función inversa u ORDEN, En esta segunda entrada se incluirán funciones sin fórmula, que necesitan la ayuda de una búsqueda.

Funciones basadas en búsqueda

Es el caso de la función PRIMO(N). Se necesita otra función, llamemos ESPRIMO, que indique si un número es del tipo dado o no, y después habrá que contar los casos que indique su orden N para llegar a a su valor. Lo vemos según el tipo, tomando los números primos como ejemplo para los siguientes:

Función PRIMO(N)

Necesitaremos la función ESPRIMO, descargable desde este blog, por ejemplo, en https://hojaynumeros.blogspot.com/2009/03/primos-reversibles-primo-omirp.html

El siguiente código, adaptable a cualquier lenguaje de programación, encuentra el primo de orden n. Servirá de modelo para otros ejemplos, cambiando la línea que se señala.

Function primo(n)

Dim p, c, i

'encuentra el primo cuyo número de orden es n

c = 0: i = 1

While c < n

If esprimo(i) Then c = c + 1: p = i ‘Esta línea se cambiará en otros ejemplos

i = i + 1

Wend

primo = p

End Function

Por ejemplo, ¿cuál es el número primo de orden 1000? La respuesta sería 7919. Lo comprobamos con PARI, que ya tiene implementada la función PRIME:

? print(prime(1000))

7919

Volveremos a esta estructura de función.

Función inversa, ORDENPRIMO

También aquí nos servirá de modelo para otros casos.

Function ordenprimo(a) As Long

Dim p, c As Long

If not esprimo(a) Then ordenprimo = 0: Exit Function

c = 0

For p = 1 To a

If esprimo(p) Then c = c + 1 ‘línea que cambiará según ejemplos

Next p

ordenprimo = c

End Function

Se entiende bien. Se van recorriendo los números del mismo tipo hasta llegar al que nos interesa. Por experiencia se sabe que es útil que, si el número no es primo, la función devuelva un cero. De ahí la inclusión de la primera línea.

Así, ordenprimo(100)=0 y ordenprimo(101)=27, ya que primo(27)=103

En PARI no están implementados órdenes, pero esta sencilla línea lo resuelve:

ordenprimo(a)=my(c=0,p);for(p=1,a,if(isprime(p),c+=1));c*isprime(a)

Aquí, la solución para que dé un cero si no es primo se encuentra al final. Al multiplicar por isprime(a), anula el resultado si no es primo, porque vale cero. En este recorte se observa la aplicación de esta función al 100 y al 103:

Este modelo se usará más adelante si se ve conveniente.

Una función similar es PRIMOSOPHIE(N), que devuelve el enésimo primo de Sophie Germain. Basta añadir a esprimo(n) la función esprimo(2*n+1)

Así, cambiaríamos la línea a If esprimo(p) and esprimo(2*n+1) Then c = c + 1

Lo dejo como ejercicio. Debe dar, por ejemplo:

primosophie(7)= 41, y ordenprimosophie(233)=16

Función SEMIPRIMO(N)

Los semiprimos son aquellos números compuestos que equivalen al producto de dos primos. Como 4=2*2 y 62=2*31. La función SEMIPRIMO es sencilla si se posee la BIGOMEGA, que es el número de factores primos de un número. En PARI sí existe, con lo que los semiprimos son aquellos en los que bigomega vale 2.

Sería essemiprimo(n)=bigomega(n)==2

En la imagen observamos dos resultados.

En el caso de VBASIC es preferible dedicarle un código especial. Consiste en buscar dos primos tales que su producto sea el número dado. Puede ser este:

Public Function essemiprimo(n) As Boolean

Dim a, r

Dim es As Boolean

es = False 'Al principio suponemos que no es semiprimo

a = 2 'La variable a recorrerá los números primos

r = Sqr(n) ‘Tope de búsqueda

While a <= r And Not es

If n / a = n \ a And esprimo(a) And esprimo(n / a) Then es = True

‘La variable a debe ser divisor, primo, y su cociente con N también primo

If a = 2 Then a = a + 1 Else a = a + 2 'Se busca el próximo primo

Wend

essemiprimo = es

End Function

Ahora basta sustituir, en la función PRIMO(N), la línea

If esprimo(i) Then c = c + 1: p = I por

If essemiprimo(i) Then c = c + 1: p = i

Tendremos así formada la función SEMIPRIMO(N)

Como comprobación se dan algunos valores: SEMIPRIMO(13)=35, SEMIPRIMO(100)=314 y SEMIPRIMO(1000)=3595

Igualmente podemos adaptar la función ORDENPRIMO a ORDENSEMIPRIMO. Se deja como ejercicio. Esta es la comprobación de los semiprimos del párrafo anterior:

Función CAPICUA(N)

Los números capicúas (o palindrómicos) son los que presentan simetría en sus cifras (nos limitaremos a base 10), y tienen un orden predecible, pero es más cómodo considerar que aparecen de forma aleatoria. Por eso se incluyen aquí. Como en anteriores tipos, necesitamos una función ESCAPICUA. En VBASIC de Excel y Calc ya está resuelta en este blog

(ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2017/10/suma-de-cuadrado-y-capicua.html)

No tiene en cuenta los números de una cifra.

En PARI es sencilla:

ispal(n)=n==eval(concat(Vecrev(Str(n))))

Ya se ha explicado en este blog que significa “convertir en texto, invertir sus cifras como vector, reunirlas y calcular su valor”. Es bastante ingenioso.

Como en los otros casos, se cambia la línea adecuada en el código y resulta la función.

Un ejemplo de búsqueda sería, por ejemplo: Encontrar dos capicúas consecutivos cuya suma sea un número primo. Introduciremos en un Buscador esta condición:

If ESPRIMO(CAPICUA(N)+CAPICUA(N+1))

Las primeras soluciones son:

Dos de las sumas son “palprimos”, primo y capicúa, pero la central es número primo, pero no palindrómico. Si les adjuntamos sus órdenes, observamos tres situaciones distintas:

En la primera, al sumar capicúas se suman también sus órdenes, porque no hay arrastre de cifras. En la segunda hay un cero porque no es capicúa, y en la tercera no se suman los órdenes.

Este tipo de funciones nos proporciona más posibilidades en las búsquedas.

Otras funciones

Podíamos seguir con el tema de funciones que necesitan una búsqueda previa. Algunas posibles serían:

INTERPRIMO(N): buscaría números que son promedio entre dos primos consecutivos.

ESFENICO(N): para números que son producto de tres primos distintos.

LIBREDECUADRADOS(N): cuando ningún factor primo posee un exponente mayor que uno.

CUADPRIMO(N): cuadrado de un primo.

Con los estudiados ya se puede tener una idea.

Funciones definidas para tipos de números (1)

2026-05-14T15:00:00.001+02:00

Introducción

En algunos cálculos se desea poder usar funciones definidas del tipo PRIMO(N), PELL(N), que se puedan integrar en expresiones, como 2*PRIMO(6) o (FIBONACCI(7))^2. En ellas llamaremos orden al contenido del paréntesis. Así, PRIMO(7) poseería orden 7, que correspondería con el número de primos menores o iguales al dado.

El objetivo de esta entrada es la construcción de estas funciones en los casos más populares, así como las complementarias para encontrar el orden, según ellas, de un número dado. Así, por ejemplo, PRIMO(6)=13 y ORDENPRIMO(13)=6. Algunas de ellas se han usado en este blog, por lo que sólo se enlazarán cuando llegue su turno.

Veremos tres clases de situaciones:

1) El tipo de número posee fórmula (se comprende que debe ser sencilla). Es el caso de TRIANGULAR(N)=N(N+1)/2. Entonces existirá un procedimiento algebraico no muy difícil.

2) No existe fórmula alguna. Los números primos y los libres de cuadrados, por ejemplo, se encuentran por búsqueda. En ese caso será imprescindible un bucle respecto a una variable para encontrarlos. Se necesita un lenguaje de programación.

3) Son elementos de una sucesión recurrente. Aunque suelen existir fórmulas para todos ellos, su complicación no los aconseja, y es más sencilla la programación en un lenguaje. Como caso particular se verán las sucesiones del tipo Horadam.

Existe otra posibilidad, y es que posean una función generatriz. Este procedimiento se ha usado mucho en este blog, pero no entra en el objetivo de esta entrada.

Dedicaremos tres entradas a esta cuestión

Funciones con fórmula

Muchas de ellas se han utilizado aquí ya. Las más importantes son las de números figurados, como TRIANGULAR(N), HEXAGONAL(N) O PIRAMIDAL(N,K). Elijo algunos ejemplos con cierto interés:

TRIANGULAR(N)

La fórmula directa, TRIANGULAR(N)=N*(N+1)/2, no necesita explicación, pero para hallar la de su orden hay que recordar que, dado un triangular cualquiera, T(N), la expresión 8T(N)+1 es un cuadrado. De ahí podemos sacar su orden. Una versión podría ser el siguiente:

Function ordentriang(n)

Dim a

a = Int((Sqr(8 * n + 1) - 1) / 2)

If a * (a + 1) = 2 * n Then ordentriang = a else ordentriang = 0

End Function

Una situación similar es la de la función OBLONGO(N)=N(N+1), sólo que aquí la propiedad básica es que cuatro veces un oblongo más la unidad es un cuadrado, así que sustituyendo en la función anterior un 8 por un 4 obtenemos la expresión de ORDENOBLONGO(N).

En la práctica, es mucho más útil

ORDENOBLONGO(N)=ENTERO(RAIZ(n))

No es difícil razonarlo.

Por ejemplo, resolvemos la cuestión de si existen oblongos que sean consecutivos a un triangular. Para ello se inserta en un buscador la condición

If escuad(8 * i + 1) And escuad(4 * (i + 1) + 1) Then

El escaso resultado era previsible, ya que se exige una condición difícil de cumplir, pero se encuentran tres soluciones entre los primeros cincuenta mil números, 1 con 2, 55 y 56, y el par 1891, 1892:

El resto de soluciones está publicado en https://oeis.org/A217758

Un atajo:

Si usamos el álgebra, obtenemos:

Es n(n+1)/2+1=k(k+1), n²+n+2=2k²+2k, 4n²+4n+8=8k²+8k,

(2n+1)²+7=2(2k+1)²-2 y hago X=2n+1 Y=2k+1

X²-2y²=-9, luego (X²+9)/2 es cuadrado

Le inserto esta condición al buscador y obtengo los triangulares publicados:

Siempre hay que acudir al Álgebra cuando se pueda.

POLIGONAL(N;K)

Fórmula directa

Los números poligonales poseen una fórmula general, que he desarrollado en mi publicación Números poligonales:

Su traducción es inmediata:

En VBASIC:

Function poligonal(n, k)

poligonal = n * (n * (k - 2) - (k - 4)) / 2

End Function

Fórmula del orden

El problema inverso es algo complicado. Lo puedes consultar en el apartado de Caracterización de los poligonales, en la publicación enlazada más arriba.

Su desarrollo en VBASIC es

Function ordenpoligonal(n, k)

Dim d, e, m

m = 0

d = (k - 4) ^ 2 + 8 * n * (k - 2)

If escuad(d) Then

m = (k - 4 + Sqr(d)) / 2 / (k - 2)

If esentero(m) Then e = m Else e = 0

End If

espoligonal = e

End Function

Esta función devuelve un cero si el número no es poligonal, y su orden si lo es. Las funciones ESCUAD Y ESENTERO se pueden buscar en este blog, o sustituirlas por cálculos más directos.

Estas dos funciones poseen una traducción sencilla a PARI, por lo que no se incluye.

Con ellas podemos buscar relaciones entre poligonales. Por ejemplo ¿Para qué órdenes la suma de un cuadrado con un triangular del mismo orden da una suma hexagonal?

Se buscaría que poligonal(i,3)+poligonal(i,4)=poligonal(k,6)

Con un buscador he encontrado estas dos primeras soluciones, con comprobación de la relación de suma entre ellas:

Otros poligonales

En mi calculadora de números figurados CALCUPOL, en su código VBASIC, puedes consultar todas las funciones disponibles para poligonales centrados, piramidales 3D y piramidales 4D. Es un tema tan extenso, que es preferible dejarlo como complemento para las personas interesadas.

(https://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#figurados)

Unas recurrencias muy útiles

2026-05-04T12:11:00.001+02:00

Quienes usamos a menudo los números poligonales nos encontramos con esta relación de recurrencia de tercer orden:

x_n= 3x_n-1-3x_n-2+x_n-3

El origen de esta presencia es que se pueden generar con ella los números naturales, sus cuadrados y, evidentemente, las constantes:

Números naturales

Se pueden generar mediante

x₁=1, x₂=2, x₃=3, x_n= 3x_n-1-3x_n-2+x_n-3

En efecto, aquí x_n es n, x_n-1, n-1, luego

3(n-1)-3(n-2)+n-3=3n-3-3n+6+n-3=n

Esto demuestra que la recurrencia con estos coeficientes es verdadera.

Números cuadrados

En ellos también es válida esta recurrencia. Lo vemos:

x_n+1=(n+1)²=n²+2n+1=x_n+2n+1

x_n+2=(n+2)²=(n+1)²+2(n+1)+1=x_n+1+2n+3

Luego, despejando:

x_n+2- x_n+1= x_n+1- x_n+2

x_n+2= 2x_n+1- x_n+2

De igual forma

x_n+3= 2x_n+2- x_n+1+2

Restamos las dos igualdades y agrupamos:

x_n+3- x_n+2= 2x_n+2- x_n+1+2 -2x_n+1+ x_n-2

Despejando:

x_n+3= 3x_n+2-3x_n+1+ x_n

Con esto se demuestra la validez de la recurrencia. Por ejemplo:

11²=121=3*10²-3*9²+8²=300-243+64=364-243=121

También nos vale un desarrollo directo:

(n+3)²=3(n+2)²-3(n+1)²+n²=3n²+12n+12-3n²-6n-3+n²

n²+6n+9=n²+6n+9

Identidad que demuestra la recurrencia.

Constantes

Una constante K sometida a esa recurrencia sigue teniendo el valor de K: 3*K-3*K+K=K

Números oblongos

Siguen la fórmula n(n+1)=n²+n, y al ser la recurrencia propuesta de tipo lineal, también será válida en esa suma de un cuadrado con un natural.

Lo podemos comprobar con los primeros oblongos: 2, 6, 12, 20, 30, 42, …Por ejemplo, 30=3*20-3*12+6=60-36+6=24+6=30

Números triangulares

Al tener un número triangular la fórmula n(n+1)/2=(n²+n)/2, es la mitad de un oblongo, luego admitirá la misma recurrencia. Lo vemos con un ejemplo tomado de la sucesión de números triangulares:

1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21, 28 , 36 , 45 , 55, …

45=3*36-3*28+21=108-84+21=129-84=45

Polinomios de segundo grado

También se generarán de la misma forma, porque cuadrados, números naturales y constantes lo siguen. Lo vemos con P(x)=2x²-3x+2:

P(1)=1, P(2)=4, P(3)=11, P(4)=22, P(5)=37, P(6)=56 y P(7)=79

Observamos que P(7)=3*56-3*37+22=168-111+22=190-111=79

Números poligonales

Todo número poligonal es suma de triangulares. Basta ver la imagen:

Esta descomposición hace válida la recurrencia en ellos. En mi publicación sobre estos números se incluye una demostración con la fórmula general, que es un polinomio de segundo grado: P(n,k)=((k-2)n²-(k-4)n)/2

https://www.hojamat.es/publicaciones/poligonales.pdf

En esa publicación figuran otras recurrencias que a veces son más rápidas que la propuesta.

También siguen esta recurrencia los poligonales centrados, de fórmula POLC(n,k)=(kn²-kn+2)/2 , por ser también polinomio de segundo grado.

Números piramidales

Las sucesiones recurrentes de orden h se pueden sumar mediante la siguiente fórmula, también recurrente, que procede de la publicación Sucesiones recurrentes de A.I.Markushevich – Editorial Mir. La demostración de ella no es difícil, pero resulta larga para este estudio:

s_n+h+1=(1+a₁)s_n+h+(a₂-a₁) s_n+h-1+ … +(a_h-a_h-1) s_n+1-a_hs_n

Si a esta recurrencia que estamos estudiando le aplicamos la fórmula de la suma, nos permitirá encontrar una recurrencia para números piramidales, que son sumas de poligonales consecutivos.

Tomamos a₁=3, a₂=-3 y a₃=1 para aplicarlo a la fórmula de la suma

s_n+h+1=(1+a₁)s_n+h+(a₂-a₁) s_n+h-1+ … +(a_h-a_h-1) s_n+1-a_hs_n

s_n+4=4s_n+3-6s_n+2+4s_n+1-s_n

Lo aplicamos a los números piramidales pentagonales, 1, 6, 18, 40, 75, 126, 196, 288, 405, 550, ....

550=4*405-6*288+4*196-126=550

Tal como se advirtió en los poligonales, en este caso existen recurrencias que pueden ser más simples según el tipo de piramidal.

Piramidales de más dimensiones

Al igual que se pueden estudiar los piramidales como suma de poligonales consecutivos, se extiende este proceso a piramidales de más dimensiones, que son suma de piramidales consecutivos del orden inferior. Se deja como propuesta de estudio.

Números primos de Pierpont y sus relacionados

2026-04-20T17:59:00.001+02:00

Hay ya bastantes publicaciones e ideas sobre los primos de Pierpont. A pesar de ello, aún se puede volver a estudiarlos desde la forma de trabajar en este blog y las herramientas disponibles. Además, son interesantes los números directamente relacionados con ellos, como los de Mersenne, Fermat o Proth

Definición y primeras consecuencias

Un número primo de Pierpont es un número primo de la forma 2^u3^v+1, donde u y v han de ser enteros no negativos. Esto nos lleva a consideraciones muy sencillas:

El exponente u no puede ser cero, pues la expresión sería par y, por tanto, no representaría a un número primo. De hecho, si v=0, deberá ser potencia de 2. La razón está en que una suma de potencias impares es divisible entre la suma de sus bases. Por ejemplo, (X⁵+y⁵)/(x+y)=x⁴-x³y+x²y²-xy³+y⁴. Si el exponente poseyera un factor primo distinto de 2, podríamos descomponer la potencia como “potencia de potencia”, y aislar el número impar. Por ejemplo 2¹² se podría expresar como 2² y luego elevado a 3, con lo que construiríamos una suma de potencias impares, y no podría ser primo. Todo este razonamiento nos lleva a que si v=0, los primos de Pierpoint serían también de Fermat. Más adelante regresaremos a esta idea.

El exponente v, si no es nulo, como también lo es u, convertiría al primo de Pierpoint en uno del tipo 6k+1, y posible elemento mayor de un par de primos gemelos. Otra vía para desarrollar más adelante.

Obtención de estos primos

Con las herramientas que se suelen usar en este blog es relativamente fácil encontrar los primeros primos de Pierpont. La primera idea es construir una tabla de doble entrada, una para 2^u y otra para 3^v, y combinarlas:

Por motivos como este sigo usando las hojas de cálculo, porque toda la tabla se genera con la fórmula siguiente y sus extensiones a derecha y abajo:

=SI(ESPRIMO(2^D$3*3^$C4+1);2^D$3*3^$C4+1;"")

Esta concurrencia entre dos potencias también se puede lograr con mi herramienta CARTESIUS

(https://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius)

Su gestión no es fácil a veces, por lo que no acudo mucho a ella en lo que publico, pero en este caso demuestra su versatilidad. Basta darle las condiciones siguientes:

XTOTAL=2
XT=0..10
VALOR(2^X1*3^X2+1):PRIMO

Nota: Es posible que cuando se publique esta entrada aún no se haya implementado la condición VALOR, que es una mejora del año 2026.

Vienen a significar que combinaremos dos variables de 0 a 10, y que exigiremos que la expresión del paréntesis abajo (definición de primo de Pierpoint) debe ser un número primo. Su respuesta es (solo los primeros casos):

Aparecen los primos pedidos, pero desordenados. Por eso es preferible el procedimiento que elegiré en el siguiente apartado.

Caracterización de estos números

La segunda idea que se nos puede ocurrir es la de anidar dos bucles, uno con potencias de 2 y otro con las de 3, y filtrar los resultados con la condición ESPRIMO. Tendría el inconveniente de resultar un proceso largo y poco eficiente si deseamos manejar rangos de números grandes. Es preferible pensar en una función que nos determine si un número concreto es o no primo de Pierpont.

Para abordar esta función es bueno recordar el concepto de valuación de un número respecto a otro (ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2012/12/volvemos-visitar-al-mayor-divisor-impar.html), y es el número de veces consecutivas que un número puede ser dividido por otro. Por ejemplo, VALUACIÓN(162,3)=4, porque 162 es divisible entre 3⁴.

En este caso, si P es de Pierpont, la valuación de P-1 para el 2 es el exponente u y la del 3 el v. Así, el criterio para saber si un número primo es de este tipo se podría expresar como

P-1=2^valuacion(P,2)*3^valuación(P,3)

En el lenguaje PARI ya viene implementada como valuation, y el criterio total sería:

p-1==(2^valuation(p-1,2))*(3^valuation(p-1,3))&&isprime(p)

Lo escribimos como un bucle con inicio y final y así logramos identificar los primos deseados dentro de un rango (inicio, final)

inicio=1;final=10000;for(p=inicio,final,if(p-1==(2^valuation(p-1,2))*(3^valuation(p-1,3))&&isprime(p),print1 (i,", ")))

Con él se consiguen fácilmente los primeros primos de Pierpont:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, …

Están publicados en https://oeis.org/A005109, y en esa página se pueden consultar variantes de esta idea.

Se conjetura que existen infinitos números de este tipo, pero no se ha demostrado.

Búsqueda con hoja de cálculo

En una hoja se pueden desarrollar varios aspectos, y quedan muy claros los detalles. Poseo una sencilla versión en VBASIC de la valuación:

Function valuacion(n, x) 'halla el exponente de la máxima potencia de x que divide a n

Dim s, v

s = n

v = 0

While esmultiplo(s, x): s = s / x: v = v + 1: Wend

valuacion = v

End Function

La función ESMULTIPLO se puede sustituir por s/x=s\x, que es equivalente

Con ella se puede construir una tabla más extensa de resultados, introduciendo líneas similares a las siguientes en un buscador:

a = valuacion(i - 1, 2)

b = valuacion(i - 1, 3)

If i - 1 = potencia(2, a) * potencia(3, b) And esprimo(i) Then

Añadiendo detalles, el resultado sería:

Algunos del tipo 6k+1 son primos gemelos con sus anteriores, como 5, 7, 13 o 19.

La ventaja de este método es que podemos ir a un rango más alto. Estos son los primeros primos de Pierpont a partir de 1000:

La aparición de los números de Fermat da lugar a un curioso paralelismo, que no desarrollaré porque ya ha sido bien explicado en otros lugares. Los de Fermat influyen en la construcción de un polígono con regla y compás, mientras los de Pierpoint lo hacen si se usan dobleces de un papel. En Wikipedia se explica de forma clara y breve.

(https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_de_Pierpont)

Como anuncié en los primeros párrafos, sólo desarrollaré aspectos en los que sean útiles mis herramientas usuales. El resto de cuestiones es muy accesible con una buena búsqueda.

Números afines a los primos de Pierpoint

Ya se ha visto su relación con los números de Fermat. También tienen una definición parecida los siguientes:

Primos de Proth

Tienen como definición el ser números primos de la forma k2ⁿ+1, con k impar y menor que 2ⁿ. Se deduce que algunos de este tipo también serán de Pierpoint, como 3¹*2²+1=13. Cambiando las instrucciones en un buscador de hoja de cálculo tendríamos:

a = valuacion(i - 1, 2)

c = potencia(2, a)

b = (i - 1) / c

If b = Int(b + 0.00001) And b < c And i = b * c + 1 And esprimo(i) Then

Resultado:

Serán también primos de Pierpoint aquellos en los que K sea potencia de 3 (incluido el 1).

Están publicados en https://oeis.org/A080076

Es muy fácil encontrar sus propiedades.

Primos de Pierpoint de segunda clase

Podemos cambiar la definición de los primos de Pierpoint caracterizándolos como 2^u3^v − 1.

La caracterización de estos números pasaría por usar la valuación respecto a 2 o a 3 del número p+1 en lugar de p-1.

Como ya están publicados en https://oeis.org/A005105, es trabajo inútil volver a repetir cálculos ya conocidos. Los primeros son:

2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 383, 431, 647, 863, 971, 1151, 2591, 4373, 6143, 6911, …

En este listado, los elementos con v distinto de cero, serán del tipo 6k-1. Si v=0, no es aquí necesario que u sea potencia de 2, y así , podemos encontrar entre ellos primos de Mersenne, del tipo 2^k-1 con k primo. En el listado podemos identificar 3, 7, 31 y 127.

Se podría pensar aquí también en los números del tipo 6ⁿ-1, pero son todos múltiplos de 5, lo que nos lleva a que u ha de ser distinto de v.

Solución única

2026-04-07T12:00:00.001+02:00

En mis cálculos diarios y búsquedas en este blog no ha sido frecuente encontrar solución única a algunas de las cuestiones. En general, aparecen varias o ninguna, pero pocas veces una sola solución. Un ejemplo que busco a diario es el de descomponer un número como suma de un primo y un cuadrado distinto de cero. Normalmente aparecen tantas soluciones que no caben en pantalla, y sólo en contados casos, obtengo tres o cuatro nada más. Son números de cuatro a seis cifras, y era esperable esa cantidad. Sin embargo, con números menores se obtienen frecuentemente soluciones únicas.

Suma de cuadrado y primo

Estos son algunos ejemplos de solución única con cuadrados y primos:

19=4^2+3, 22=3^2+13, 24=1^2+23, 26=3^2+17, 29=4^2+13, 36=5^2+11

¿Hasta dónde llegará esa posibilidad? Lo iré viendo en algunos casos. Normalmente van escaseando las soluciones de una búsqueda, y. a veces, los autores terminan con una conjetura: “Para números mayores que 10^17 no se observan soluciones…”. Se queda ahí la cuestión hasta que alguien pueda demostrarlo. Eso haré en esta entrada si es necesario.

He comenzado con hoja de cálculo, y hasta el 70000 aparecen soluciones únicas con una frecuencia mínima, pero apreciable. Estos son los casos entre 50000 y 70000:

A partir de aquí, deberé ensayar con PARI, que, como ya es sabido, maneja mejor los números grandes. He construido este código:

primomascuad(n)=my(s=List(),m=0,r=sqrt(n),p);for(i=1,r,p=n-i^2;if(isprime(p),m+=1;listput(s,i);listput(s,p)));s

for(i=50000,70000,s=primomascuad(i);if(#s==2,print(i,", ",s)))

La primera parte imita una función antigua que poseo para hoja de cálculo. Recorre todos los cuadrados menores que el número y busca aquellas diferencias que sean número primo. Las que lo son se incorporan a una lista, formada por cada base de cuadrado y cada primo. En la última línea, la igualdad #s==2, admite sólo aquellas listas con una sola solución (dos números). En el rango 50000 a 70000 coincide con VBASIC, en otro formato de presentación:

Es de esperar que en rangos mayores vayan escaseando las soluciones, pero me ha sorprendido que no parecen desaparecer.

Del 10000 al 20000 aparecen 28, y llama la atención 10000=99²+199.

En los siguientes rangos del mismo tamaño van disminuyendo las frecuencias a 9, 12, 9, 7, 6, 5, 6, 7, 6, 4, 3, 3, 5, 2, 4, 3, 4, 4, … hasta llegar al 200000-210000 en el que aparecen 2.

Estoy acostumbrado a estos resultados, similares a los de los “sucesos raros” en Estadística, y puede ocurrir que lleguemos a intervalos con ningún resultado. Por ejemplo, en el rango 2000000-2100000, que es diez veces más amplio, obtenemos 9.

Si alguien tiene más paciencia que yo, es posible que llegue a una potencia de 10 en la que ya no aparezcan casos. Siempre será una conjetura lo que descubra.

Suma de cuadrado y capicúa

También esta búsqueda la emprendo casi a diario. Suele proporcionarme de dos a cuatro soluciones, y sería interesante encontrar números con solución única. Basta leer mi entrada https://hojaynumeros.blogspot.com/2017/10/suma-de-cuadrado-y-capicua.html para entender que deberemos fijar en 1 el número de soluciones. En la tabla que he elaborado he suprimido los capicúas de una sola cifra, porque restan interés a la búsqueda, por su abundancia. Contiene los primeros números con esta propiedad a partir del 2000:

Suma de dos simétricos

Este es un ejemplo similar a los anteriores, en el que no hay una teoría que nos respalde, y es inevitable acudir a la búsqueda. En este blog hemos usado la función CIFRAINVER, que devuelve el simétrico de un número (ver, por ejemplo, https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/04/relaciones-entre-numeros-con-cifras.html)

Para que la búsqueda no esté contaminada por ejemplos triviales, se exigirá que el número no sea múltiplo de 10, para evitar que el simétrico pierda una cifra. También deberá ser el primer sumando mayor que el segundo, y así evitar que una suma aparezca dos veces. Son condiciones que no son necesarias, pero pulen un poco los resultados.

Usaré esta función:

Function dossimetricos$(n)

Dim i, m

Dim s$

s = ""

m = 0 ‘Contenedor s y contador m

For i = 1 To n

p = cifrainver(i)

If i + p = n And i > p And i Mod 10 <> 0 Then m = m + 1: s = s + " = " + ajusta(i) + "+" + ajusta(cifrainver(i)) ‘Hay solución

Next i

If s = "" Then s = "NO" Else s = ajusta(m) + ": " + s

dossimetricos = s

End Function

Al comenzar la salida de la función con el número de soluciones, es fácil identificar los números que poseen una. Para mi uso diario basta con este código, pero en esta búsqueda, para que sea interesante, desecharé las soluciones en las que ambos sumandos simétricos sean iguales.

Los primeros que aparecen con estas condiciones son:

Observamos que presentan una frecuencia apreciable.

Resultados ciertos

En los anteriores ejemplos, la aparición de números con una sola descomposición se dejó en simple posibilidad para rangos de un número grande en adelante. En otros ejemplos se tiene la certeza de los números que presentan un solo resultado. Repaso brevemente algunos estudiados en este blog.

Primos del tipo 4k+1

Son los llamados también primos pitagóricos. Se estudiaron aquí (ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2025/11/primos-pitagoricos.html) y se explicó que sólo admiten una descomposición en una suma de cuadrados. Por ejemplo, 12037 es primo de este tipo, y sólo admite la descomposición 12037=74²+81²

Una sola ocasión de ser hipotenusa

Estudiamos este tema en la entrada https://hojaynumeros.blogspot.com/2025/10/en-cuantas-ternas-pitagoricas-1.html

Según lo visto en ella, los números que contengan un solo factor primo del tipo 4k+1 y el resto (salvo el 2, que no influye) elevados a una potencia par, son los únicos que podrán ser hipotenusas en una terna pitagórica. Como en la terna figura al cuadrado, la condición de exponente par no influye. Así nos queda como condición que exista solo un factor del tipo 4k+1.

En la tabla siguiente figuran soluciones a partir de 1200 y se puede comprobar que solo presentan un factor del tipo 4k+1 elevado a 1:

Una sola ocasión de ser cateto

Esta cuestión también puede producir resultados seguros, sin conjeturas para números grandes. Puedes leer mis entradas

https://hojaynumeros.blogspot.com/2025/10/en-cuantas-ternas-pitagoricas-2.html

https://hojaynumeros.blogspot.com/2017/01/numero-de-descomposiciones-en.html

En ellas se explica que todo depende de las formas de descomponer N² en productos de la misma paridad. Remito a ellas. Un caso particular es el de los primos impares. En la tabla siguiente observamos las soluciones en el mismo rango del párrafo anterior:

Resultan primos y semiprimos con el factor 2, pero lo que nos interesa es que existe un procedimiento seguro. Siempre es preferible a la necesidad de acudir a una búsqueda.

Números que son promedio de dos cuadrados

2026-03-12T14:30:00.001+01:00

Hace años que vengo publicando estudios y búsquedas en las que es necesario descomponer un número en dos cuadrados. Desde Fermat conocemos la condición de que un número primo deba ser para ello del tipo 4k+1, ya que los contrarios, de forma 4k+3 no admiten esta descomposición.

Gauss estudió el tema y aportó una fórmula para conocer en cuántas sumas de cuadrados se descompondría un número concreto, y que resultó depender del número de factores primos de un tipo y otro que figuraran en la descomposición.

Puedes consultar esa fórmula, por ejemplo, en

https://hojaynumeros.blogspot.com/2024/03/potencias-equidistantes-de-cuadrados.html.

En ella el factor 2 en un número no influye en el número de descomposiciones esperadas, sino de los tipos 4k+1 y 4k+3 presentes.

Lo que explico en el párrafo anterior nos hace ver que si N se descompone en dos cuadrados, también lo hará 2N, ya que la presencia del 2 no influye en el resultado. Por ejemplo:

850=2*5²*17=3²+29²=11²+27²=15²+25²

Si lo multiplicamos por 2, deberían aparecer también tres sumas de cuadrados, y así es:

1700=2²*5²*17=10²+40²=16²+38²=26²+32²

Si ahora divido las igualdades correspondientes a 2N entre 2, resultarán las formas de expresar N en promedios de dos cuadrados:

850=(10²+40²)/2=(16²+38²)/2=(26²+32²)/2

En realidad, estamos ante una situación algebraica, ya que si N=a²+b², se tendrá que (a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²)=2N

En efecto: 13+25=40, 25-15=10, que son las primeras soluciones para el promedio, 27-11=16 y 27+11=38, las segundas, y, por último, 29-3=26, 29+3=32.

Estos razonamientos sugieren que basta descomponer 2N en dos cuadrados para que aparezca una solución de promedios para N y que el número de soluciones será el mismo. No es difícil encontrar una función que realice este trabajo. Otra orientación es la de buscar todos los cuadrados C menores que N y ver si N+C es cuadrado. No se tienen en cuenta los promedios en los que los dos sumandos son iguales, lo que se considera solución trivial.

Como aquí se trata de comprender y practicar, copio las dos posibilidades:

Buscar si N+C es cuadrado:

Function entredos$(n)

Dim i, r, a, b, m

Dim s$

s = "" 'La solución se expresa como texto

m = 0 ‘Contador de soluciones

r = Int(Sqr(n)) 'Primer valor a ensayar

i = r - 1

While i > 0 'Descendemos valores de cuadrados

b = n - i ^ 2 'Diferencia entre potencia y cuadrado

a = n + b 'A la potencia le sumamos la diferencia

If escuad(a) Then m = m + 1: b = Sqr(a): s = s + " = (" + ajusta(i) + "^2+" + ajusta(b) + "^2)/2" ‘Si es cuadrado, hay una solución nueva

i = i - 1

Wend

If s = "" Then s = "NO" Else s = ajusta(m) + " : " + s

entredos = s 'Si no hay solución, la respuesta es “NO”

End Function

Descomponer 2N en suma de dos cuadrados

Public Function entredos2(n) As String

Dim x, p, m, c

Dim s$

s$ = "": m = 0’ Contenedor y contador

For x = 1 To Sqr(2 * n - 1)

c = x * x ‘Primer cuadrado para 2N

p = 2 * n – c ‘Posible segundo cuadrado

If escuad(p) And p <= c Then

s$ = s$ + "=(" + ajusta$(x) + "^2+" + ajusta$(Sqr(p)) + "^2)/2": m = m + 1 ‘Hay solución y avanza el contador

End If

Next x

If s$ = "" Then s$ = "NO" Else s$ = ajusta(m) + "::" + s$

entredos2 = s$ ‘Presentación de resultados

End Function

En la siguiente tabla se puede observar la concordancia entre los dos métodos, en un rango elegido al azar:

Evidentemente, faltan aquellos números que no admiten descomposición, por contener factores primos del tipo 4k+3 elevado a exponente impar. Son ejemplos 135=3³*5, 151, primo tipo 4k+3, o 144=2⁴*3², en el que, al ser cuadrado presentaría la solución trivial

(12²+12²)/2.

Los primeros números que admiten ser iguales a un promedio de cuadrados son:

5, 10, 13, 17, 20, 25, 26, 29, 34, 37, 40, 41, 45, 50, 52, 53, 58, 61, 65, 68, 73, 74, 80, 82, 85, 89, 90, 97, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 122, 125, 130, 136, 137, 145, 146, 148, 149, 153, 157, 160, 164, 169, 170, 173, 178, 180, 181, 185, 193, 194, 197, 200, …

Con otra definición equivalente están publicados en https://oeis.org/A004431, y en un comentario aparece el promedio de dos cuadrados. Son interesantes los comentarios y alguna programación en PARI.

Diferencias prefijadas

Las diferencias entre las bases de los cuadrados que sean solución, han de ser pares, para que su suma sea par, ya que su resultado es 2N.

Podemos seleccionar entre las soluciones aquellas que posean una diferencia determinada, a la que llamaremos 2D por ser par. Conociendo ese dato, es fácil dar un criterio para saber si N admite ser promedio de dos cuadrados cuyas bases se diferencien en 2D. Comenzaríamos así:

Sería k²+(k+2d)²=2N

2k²+4dk+4d²=2N

k²+2dk+2d²=N, es decir, la ecuación de segundo grado en k: k²+2dk+(2d²-N)=0

En la página enlazada se sirven de esta fórmula para definir estos números.

Para que exista solución entera, el discriminante d²-2d²+N=N-d² deberá ser cuadrado. Ese sería el criterio.

Un número N admitirá ser promedio de dos cuadrados diferenciados en 2d si N-d²es cuadrado

Por ejemplo, en la tabla se observa que 130 admite las diferencias 6 y 14, y esto es porque 130-3²=121, cuadrado de 11, y 130-7²=81, cuadrado de 9. Implemento en un buscador, con un rango similar y obtengo: 113, 130, 149, 170, 193, …Los números 130 y 149 son los que presentan diferencia 14 en la tabla.

La expresión N=k²+2dk+2d² nos permite encontrar las mismas soluciones para números que sean promedio de dos cuadrados. Basta plantear un doble bucle con k y d. Esta es la versión en PARI:

for(n=1,10,for(m=1,10,p=n^2+2*m*n+2*m^2;print1(p,", ")))

Si la ejecuto en la página oficial de PARI/GP obtengo la solución

5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 10, 20, 34, 52, 74, 100, 130, 164, 202, 244, 17, 29, 45, 65, 89, 117, 149, 185, 225, 269, 26, 40, 58, 80, 106, 136, 170, 208, 250, 296, 37, 53, 73, 97, 125, 157, 193, 233, 277, 325, 50, 68, 90, 116, 146, 180, 218, 260, 306, 356, 65, 85, 109, 137, 169, 205, 245, 289, 337, 389, 82, 104, 130, 160, 194, 232, 274, 320, 370, 424, 101, 125, 153, 185, 221, 261, 305, 353, 405, 461, 122, 148, 178, 212, 250, 292, 338, 388, 442, 500, …

Como era de esperar, aparecen las soluciones desordenadas. Si las ordeno en una hoja de cálculo, coinciden con las obtenidas por otros procedimientos.

5, 10, 13, 17, 20, 25, 26, 29, 34, 37, 40, 41, 45, 50, 52, 53, 58, 61, 65, 65, 68, 73, 74, 80, 82, 85, 85, 89, 90, 97, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 122, 125, 125, 130, 130, 136, 137, 145, 146, 148, 149, …

Se observan dos hechos, como son la existencia de repetidos, (65 y 85), y también la falta de alguno en el listado, simplemente porque “tarda más en aparecer”. Por eso, prefiero siempre algoritmos que devuelvan las soluciones ordenadas.

La suma de potencias de cifras es otra potencia

2026-02-26T18:00:00.001+01:00

En este blog se han desarrollado muchas curiosidades similares, y ahora deseo estudiar en qué números se cumple que una suma de potencias de sus cifras se convierte en otra potencia. Por ejemplo, en el 34, 3²+4²=5², porque es una terna pitagórica, o en 123 se cumple que 1³+2³+3³=6²

Para jugar un poco con esta cuestión necesitamos dos funciones, que son SUMACIFRAS, que nos sume potencias de cifras, y ESPOTENCIA, que determine si un número es potencia entera o no. La primera, en su versión completa con exponentes, la puedes encontrar desarrollada en este blog, por ejemplo, en

https://hojaynumeros.blogspot.com/2024/01/un-numero-y-sus-cifras-1-niven.html.

Posee dos parámetros, el número a descomponer en cifras y el exponente.

La función ESPOTENCIA admite variantes, pero su última versión es algo complicada de desarrollar. Está presentada en la entrada

https://hojaynumeros.blogspot.com/2025/11/un-numero-como-diferencia-entre.html

Si no te apetece entrar en esas explicaciones en VBASIC, con el lenguaje PARI quedan muy simples:

sumacifras(n,k)=sum(i=1, #n=digits(n), n[i]^k)
espotencia(n)=ispower(n)

Función espotsumcifraspot$(n,tope)

Uniremos las dos funciones en una sola, para determinar qué números cumplen la propiedad pedida. Le indicaremos el número y el tope máximo de búsqueda con exponentes, porque los resultados pueden tener una magnitud tan grande que no sean exactos en VBASIC. Por cada solución que se obtenga aparecerán también los números anagramáticos con ella. Por ejemplo, si 115 es solución (1²+1²+5²=3³), también lo serán 151 y 511.

Public Function espotsumcifraspot$(n,tope)

Dim s, I,e

Dim ss$

ss = ""

For i = 2 To tope ‘Se prueba con varios exponentes de cifras

s = sumacifras(n, i)’Sumacifras con un exponente

e= espotencia(s)

If e > 1 Then ss = ss + " E1: " + Str$(i)+ “ E2: “+str$(e)

‘Si la suma es potencia, tenemos solución nueva, E1 exponente de las cifras y E2 el de la suma

Next i

If ss = "" Then ss = "NO"

espotsumcifraspot = ss

End Function

Hay que advertir que el valor de E2 no es único, porque, por ejemplo, el número 64 es cuadrado, cubo y sexta potencia. La función te da un valor, para afirmar que es potencia, pero no tiene que coincidir con el esperado.

Otra advertencia es que la existencia de cifras nulas puede también producir resultados no esperados. Si se quiere matizar más se puede añadir la condición de que no existan ceros en su representación en base 10. Esta sencilla función devuelve VERDADERO si no existen cifras nulas:

Function sinceros(n) As Boolean

Dim h, i, m

Dim sin As Boolean

h = n

sin = True

While h > 9 And sin

i = Int(h / 10)

m = h - i * 10

If m = 0 Then sin = False

h = i

Wend

If h = 0 Then sinceros = False Else sinceros = sin

End Function

Es optativo añadirle esa condición al principio de la función. Con la función PRODUCIFRAS basta con exigir que el producto no sea nulo.

La puedes encontrar en

https://hojaynumeros.blogspot.com/2018/09/permutacion-de-cifras-al-sumar-su.html

Así lo haremos en PARI: sinceros(n)=vecprod(digits(n))<>0

Números con la propiedad esperada

Con la advertencia de que puede faltar alguno por la existencia de un tope, la siguiente tabla contiene los primeros números sin cifras nulas que cumplen la propiedad. Llaman la atención los resultados de 22, 44 y 88, que no caben en la imagen (algo fácil de razonar con potencias de 2), y el hecho ya explicado, de que aparecerán como solución todos los números anagramáticos con la primera, como 21 con 12 o 132 con 123.

La tabla está confeccionada con tope 10 para los exponentes, pero si uso el 20 aparecen resultados falsos. Ya se sabe lo que se debe hacer: pasar a PARI. Se puede usar este código:

sumacifras(n,k)=sum(i=1, #n=digits(n), n[i]^k)

producifras(n)=vecprod(digits(n))

espotsumcifraspot(n,tope)=my(ss=List(),i,e,s,p=producifras(n));for(i=2,tope,s=sumacifras(n, i);e=ispower(s);if(e>1&&p>0,listput(ss,"E1:");listput(ss,i);listput(ss,"E2: ");listput(ss,e)));ss

for(i=11,135,s=espotsumcifraspot(i,30);if(#s<>0,print1(i,", ")))

Si aumento el tope a 30 coinciden los resultados, luego puedo confiar en que estos sean válidos:

12, 21, 22, 34, 36, 43, 44, 48, 63, 68, 84, 86, 88, 115, 122, 123, 126, 132,

Aumentando el rango:

12, 21, 22, 34, 36, 43, 44, 48, 63, 68, 84, 86, 88, 115, 122, 123, 126, 132, 148, 151, 162, 168, 184, 186, 212, 213, 216, 221, 231, 236, 244, 261, 263, 269, 296, 312, 321, 326, 333, 345, 354, 355, 362, 366, 418, 424, 435, 442, 447, 453, 474, 481, 488, 511, 534, 535, 543, 553, 568, 586, 612, 618, 621, 623, 629, 632, 636, 658, 663, 667, 676, 681, 685, 692, 744, 766, 814, 816, 841, 848, 856, 861, 865, 884, 926, 962, 999, …

Observamos que presentan una frecuencia alta de aparición, en parte por la existencia de anagramáticos. Por eso se puede plantear un filtro según el exponente usado en las cifras. Cambiando la variable que devuelve la función es posible realizar ese filtro. Para eso he modificado ligeramente el código. Por ejemplo, con resultado cubo aparecen:

115, 151, 345, 354, 355, 435, 453, 511, 534, 535, 543, 553, 568, 586, 658, 685, 856, 865, 1134, 1143, 1156, 1165, 1314, 1341, 1413, 1431, 1516, 1561, 1615, 1651, 2234, 2243, 2324, 2342, 2423, 2432, 2667, 2676, 2766, 3114, 3141, 3224, 3242, 3411, 3422, 3468, 3486, 3648, …

Por ejemplo, 3648 es solución porque 3²+6²+4²+8²=5³

Los he comprobado con dos procedimientos.

También podemos buscar exponentes de las cifras. Por ejemplo, buscamos los que sean mayores o iguales que 5, y conseguimos el listado:

22, 44, 88, 333, 999, 1111, 1224, 1242, 1339, 1393, 1422, 1933, 2124, 2142, 2214, 2222, 2241, 2412, 2421, 2448, 2484, 2844, 3139, 3193, 3319, 3333, 3391, 3913, 3931, 4122, 4212, 4221, 4248, 4284, 4428, 4444, 4482, 4669, 4696, 4824, 4842, 4966, 5555, 6469, 6496, 6649, 6666, 6694, 6946, 6964, 7777, 8244, 8424, 8442, 8888, 9133, 9313, 9331, 9466, 9646, 9664, 9999, …

Nos encontramos con soluciones especiales por la repetición de cifras. Por ejemplo, 3913: 3⁵+9⁵+1⁵+3⁵=244²

También podemos fijar qué exponentes deseamos, siempre que adaptemos el código. Por ejemplo, con exponentes 3 y 3 y con cifras crecientes tenemos estos dos casos:

345: Es un resultado clásico: 3³+4³+5³=6³

1156: 1³+1³+5³+6³=7³

Con exponentes con bastante diferencia:

Con cifras elevadas a 7, el número 57888 y sus anagramáticos cumple:

5⁷+7⁷+8⁷+8⁷+8⁷=2682²

Tenemos las herramientas para seguir investigando, pero vendrían bien unos equipos más potentes para llegar a siete u ocho cifras.

Sucesiones completas

2026-02-16T15:30:00.001+01:00

En esta entrada abordaré un tema interesante, y es el de la posibilidad de que los elementos de una sucesión de números naturales, finita o infinita, generen otros números, a partir de sumas, con o sin repetición.

Ya traté ese tema en algunas entradas antiguas, como

https://hojaynumeros.blogspot.com/2010/02/frobenius-y-los-mcnuggets.html

“Frobenius y los mcnuggets”, en la que trataba el problema de las monedas necesarias para alcanzar una cantidad y el número de Frobenius.

https://hojaynumeros.blogspot.com/2012/11/descomposicion-de-un-numero-segun-una.html

En esta entrada se trataba de generar un número a partir de una lista de ellos.

En ambos casos las sucesiones eran finitas, y al sumar los elementos se podían repetir los sumandos.

También se relacionaba algo con lo que pretendo presentar ahora, la entrada sobre algoritmos voraces o codiciosos:

https://hojaynumeros.blogspot.com/2024/09/algoritmos-codiciosos-para-sumas.html

Sucesión completa

Desarrollaré aquí el tipo de sucesión más eficaz para generar todos los números naturales, el de sucesión completa.

Una sucesión de números naturales se llama completa cuando cualquier otro número natural se puede escribir como suma de elementos de esa sucesión sin repetir ninguno.

El ejemplo básico más popular es el de las potencias de 2, que da lugar al sistema binario de representación de los números. En efecto, la sucesión 1, 2, 4, 8, 16, … permite representar cualquier número como suma de algunos términos, sin repetición. La forma de conseguirlo es similar a la de los algoritmos codiciosos que traté en la entrada referenciada más arriba.

Vemos un ejemplo: representar el número 53:

Buscamos el término de la sucesión más cercano a 53 y menor que él, que es el 32, tomamos nota y restamos: 53-32=21. Reiteramos: 21-16=5, 5-4=1, con lo que obtenemos 53=32+16+4+1, que da lugar a la representación binaria 110101.

Este ejemplo nos abre camino para caracterizar las sucesiones completas. Podemos dar tres condiciones para que una sucesión sea de este tipo:

· El primer término ha de ser 1, a₁=1

· Aunque no es imprescindible, pero sí algo operativo, la sucesión debe presentar un orden creciente.

· Si llamamos s_n a la suma de los n primeros términos de la sucesión, se debe cumplir: s_n-1≥ a_n-1 para todo n ≥ 1

La primera condición es imprescindible para poder generar todos los números y que los algoritmos tengan parada. Por ejemplo, los números pares no son completos, pues nunca pueden generar un impar.

La segunda se incluye para que tengan sentido los algoritmos.

La tercera es fundamental, porque garantiza que se pueda avanzar en descubrir sumandos hasta llegar, si es necesario al 1.

Seguimos el proceso del 53 visto más arriba. Dado el número N, deberemos encontrar el mayor elemento de la sucesión que sea menor que N, en el ejemplo 32. La diferencia 21 se ha de poder tratar del mismo modo, con lo que s_n-1ha de ser suficiente para ello, es decir, s_n≥ a_n-1. Piénsese en el caso 63, en el que 63-32=31, y debe poder ser generado por los elementos anteriores, es decir por s_n-1, y de ahí la condición s_n≥ a_n-1.

Si no se cumple esta condición, la sucesión no es completa. Por ejemplo, la sucesión de potencias de cuatro, 1, 4, 16, 64, …no la cumple, y, por ejemplo, no puede generar el número 70, porque 70-64=6, y 6 no se puede formar con 1 y 4. Aquí la suma 1+4+16 no es suficiente.

La sucesión de potencias de 2 la cumple, porque s_n=2ⁿ-1, y da lugar a la representación binaria. Esto se logra porque no se admiten repeticiones en los sumandos. También es minimal, pues si eliminamos un término de ella, habrá números naturales que no se puedan representar. Por ejemplo, si elimino el 4, no podré representar el 6. Otra característica es que la representación es única, algo que no se contempla en las definiciones.

Existe una condición suficiente que puede sustituir a la tercera, y es que 2a_k ≥ a_k+1para k≥1. El ejemplo de las potencias de 2 la cumple, pero falta ver su suficiencia. Lo razonamos con el ejemplo del N=53. La primera operación fue buscar el término menor que 53 más cercano a él, y fue el 32. Restamos y nos resultó 21 para proseguir. Lo vemos en general:

N estará entre a_k y a_k+1, peroa_k+1 estará entre a_k y 2a_k, luego tendremos: a_k ≤ N ≤ a_k+1≤ 2a_k. Restando a_k se verificará:

0 ≤ N - a_k ≤ a_k

Por tanto, la siguiente diferencia (en el ejemplo, el 21) será menor que a_k, y se podrá seguir el algoritmo con un término menor, hasta llegar a 1.

Ejemplo reciente

En una entrada anterior vimos la sucesión “catering perezoso”, formada por los términos de fórmula

Sus primeros términos son 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, 232, 254, 277, 301, 326, 352, 379, …https://oeis.org/A000124

Es evidente que cumple 2a_k ≥ a_k+1.

2a_k - a_k+1 = 2(k(k+1)/2+1)-(k+1)(k+2)/2-1 = (k+1)(k-(k+2)/2)+1 =(k+1)(k/2-1)+1, y esta diferencia es positiva o cero para k>1

Podemos afirmar que esta sucesión es completa, como se afirma en la página en la que está publicada. Según esto, cualquier número natural es suma de algunos de sus términos tomados sin repetición. He efectuado sencillas comprobaciones con mi hoja de cálculo partlista

(Ver https://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#reprenum)

He elegido el número 62 al azar, y deseo generarlo con los términos de esta sucesión 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37. He concretado en la hoja que no se repitan sumandos, y me ha devuelto estos resultados:

No es de extrañar que resulten siete soluciones, porque en estos procesos no tiene que existir solución única.

Sucesión de Fibonacci

Esta sucesión es claramente completa. Basta recordar que es creciente y en ella a_k+1= a_k+a_k-1, luego a_k+1< a_k+a_k= 2a_k, que es condición suficiente para la completitud.

Existe una descomposición basada en esta propiedad, y es la de Zeckendorf, que consiste en ir restando a un número N el mayor número de Fibonacci posible. Es interesante, y acudo a ella con frecuencia. Puedes profundizar en el tema leyendo mi entrada https://hojaynumeros.blogspot.com/2020/09/representacion-de-zeckendorf.html y descubrir en qué consiste la multiplicación de Fibonacci.

Por ejemplo, esta es la representación de Zeckendorf del número 75:

75 = F(10)+F(7)+F(5)+F(3) = 55+13+5+2

No es el único desarrollo. Con nuestra herramienta Cartesius (https://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius) se puede conseguir otro. Estas son las condiciones:

xrango=5

xt=1..55

xt=filtro(fibonacci)

suma=75

creciente

no repite

Y este el resultado:

Nos devuelve el ya conocido, 2+5+13+55, que es el desarrollo minimal, pero nos ofrece otro: 75=34+21+13+5+2

Números primos con la unidad

Si a la sucesión de números primos le adjunto a(1) = 1, resulta una sucesión completa. Es creciente, comienza en 1 y cumple que 2p(k) ≥ p(k+1). Esta afirmación se basa en el Postulado de Bertrand, que afirma, entre otras formulaciones, esta desigualdad. Por ejemplo, con la hoja partlista, podemos generar el número 35 con esta sucesión, y resulta:

Es evidente que esta descomposición da lugar a muchas soluciones distintas.

Se pueden encontrar más ejemplos de sucesiones completas, pero con estos se comprende bien el concepto. Otros que he encontrado son demasiado particulares y no son muy interesantes.

El catering perezoso

2026-02-06T16:30:00.003+01:00

El título es libre traducción de la sucesión “Lazy Caterer's Sequence” publicada en https://oeis.org/A000124 con el título Central polygonal numbers, que se refiere al máximo número de porciones que se puede obtener en una tarta si la sometemos a n cortes. Su referencia a los números de Hogben, ya tratados en este blog

(https://hojaynumeros.blogspot.com/2021/11/numeros-de-hogben.html)

me ha llevado a estudiarla, sólo en los aspectos que trata normalmente este blog.

Fórmula de la sucesión

Si solo nos interesan los números máximos de piezas resultantes, deberemos suponer que cada corte posee intersección con todos los anteriores, evitando paralelismos, por lo que se cumplirá que c(n+1)=c(n)+n. Como c(1)=2, ya que el primer corte produce dos piezas, es fácil ver que la sucesión será: 2, 2+2,2+2+3, 2+2+3+4 ,… pero en OEIS se considera siempre c(0), que aquí sería 1 (ningún corte), por lo que resultaría al final 1, 2, 4, 7, 11, 16, …, que es la publicada.

El hecho de que la suma de los primeros números naturales sea un número triangular, n(n+1)/2, nos da directamente la fórmula de estos números:

En la imagen vemos la generación de c(4), porque de los tres cortes existentes, el cuarto produce 4 nuevos, y el resultado es 4*5/2+1=11

Si la fórmula de c(n) es n(n+1)/2+1, la de c(n-1) será, desarrollando (n²-n+2)/2, y podemos identificar el numerador con un número de Hogben aumentado en una unidad. Esto relaciona las dos sucesiones, pues si añadimos una unidad a la Hogben y dividimos entre 2 nos resulta la que estamos estudiando.

Si emparejamos índices, se comprueba esta relación:

Hogben: 1, 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, 91

Lazy Caterer's: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46

(13+1)/2=7, (21+1)/2=11, (31+1)/2=16, …

Los números de Hogben, según es fácil de demostrar, se generan con la recurrencia h(n+1)=h(n)+2n, ajustando bien el índice inicial. Es otra forma de razonar la relación entre las dos sucesiones.

Si repasamos mi estudio de estos números, podemos descubrir que los c(n) son la cuarta parte de la suma de dos de h(n) diferenciados en dos órdenes:

2=(1+7)/4, 4=(13+3)/4, 7=(21+7)/4, 11=(31+13)/4, …

Los primeros términos de la sucesión c(n) son:

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, 232, 254, 277, 301, 326, 352, 379, …

https://oeis.org/A000124

Basta aplicar la formula a los primeros números naturales para conseguirla.

Algunas curiosidades

En la página citada se proponen varias propiedades y curiosidades, pero sin desarrollar. Estudiaremos algunas.

Todo proceso en el que el término enésimo produzca el siguiente al sumarle n puede interpretarse como número del tipo C(n).

Un ejemplo que se propone que el de contar los términos de la expresión (x+y)*(x²+y²)*(x³+y³)*...*(xⁿ+yⁿ).

For n >= 1 a(n) is the number of terms in the expansion of (x+y)*(x^2+y^2)*(x^3+y^3)*...*(x^n+y^n). - Yuval Dekel (dekelyuval(AT)hotmail.com), Jul 28 2003

La justificación es la siguiente: Los primeros términos la cumplen, porque c(0)=1, c(1)=2 y c(2)=4, como fácilmente se comprueba. Los siguientes deberán incrementar los términos en n elementos, porque, por ejemplo, la expresión segunda x³+x²y+xy²+y³ se convertiría en x³*(x³+x²y+xy²+y³)+y³*(x³+x²y+xy²+y³), aparentemente ocho términos, pero se pierde uno al sumar los dos términos del tipo x³y³, con lo que se suman sólo tres términos, quedando 7, que es c(3). Lo vemos con wxMaxima:

ratsimp((x+y)*(x^2+y^2)*(x^3+y^3));

y^6+x*y^5+x^2*y^4+2*x^3*y^3+x^4*y^2+x^5*y+x^6

Siete términos, c(3)=7

Se razonaría de igual forma para grado 4. Lo comprobamos:

ratsimp((x+y)*(x^2+y^2)*(x^3+y^3)*(x^4+y^4));

y^10+x*y^9+x^2*y^8+2*x^3*y^7+2*x^4*y^6+2*x^5*y^5+2*x^6*y^4+2*x^7*y^3+x^8*y^2+x^9*y+x^10

Once términos, c(4)=11

Otra forma de ver las curiosidades es la relación con técnicas de elegir dos elementos en un conjunto. La propuesta de nuestro compatriota Arregui aprovecha ese detalle:

Number of interval subsets of {1, 2, 3, ..., n} (cf. A002662). - Jose Luis Arregui (arregui(AT)unizar.es), Jun 27 2006

Para fijar un intervalo en el conjunto {1, 2, 3, ..., n} bastará elegir un inicio y un final, pero existen n(n-1)/2 formas de efectuar la elección, y añadimos el intervalo vacío, obtendremos los términos C(n). Por ejemplo, {1} sólo posee el intervalo vacío (), {1, 2} los intervalos (), (1,2), (2,3), (1,3), que son c(2)=4, {1, 2, 3} tendría estos: intervalos (), (1,2), (2,3), (1,3) (1,4), (2,4), (3,4), en total c(3)=7.

Cualquier otro proceso de este tipo, ajustando los índices, se puede representar con los números c(n)

Termino con dos propiedades triviales:

Numbers m such that 8m - 7 is a square. - Bruce J. Nicholson, Jul 24 2017

En efecto, si T(n) es triangular, 8T(n)+1 es un cuadrado, según una popular propiedad, luego 8C(n)-7=8T(n)+8-7=8T(n)+1, que es un cuadrado.

a(n) is the sum of the first three entries of row n of Pascal's triangle. - Daniel T. Martin, Apr 13 2022

En efecto, los tres primeros términos son 1, n y n(n-1)/2 y su suma 1+(n²-n+2n)/2=1+n(n+1)/2=c(n). Por ejemplo, para n=4 queda 1+4+6=11=c(4)

Recurrencia lineal

Las sucesiones dependientes de cuadrados suelen presentar esta recurrencia: a(n+3) = 3*a(n+2) - 3*a(n+1) + a(n). En nuestro caso los términos iniciales son 1, 2, 4. Con mi herramienta de recurrencias se puede comprobar.

(https://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2)

Rellenamos las condiciones iniciales:

Pedimos ver la sucesión:

Como era de esperar, obtenemos C(n)

Como los números de Hogben también dependen de un cuadrado, se obtendrán con una recurrencia idéntica, pero iniciando en 1, 1, 3:

Pedimos ver la sucesión y obtenemos H(n):

En nuestra entrada de blog sobre estos números se explica el fundamento de que esta recurrencia sea válida para expresiones de segundo grado.

Por una unidad, no son de Fibonacci (2)

2026-01-26T09:30:00.001+01:00

En la entrada anterior repasamos las recurrencias lineales no homogéneas, alterando la definición de la sucesión de Fibonacci, ya sea sumando o restando una unidad y cambiando las condiciones iniciales.

En esta segunda entrada restaremos una unidad a la definición clásica, y fijaremos a(1)=1 y a(2)=k, número que variaremos para ver qué ocurre. La recurrencia será a(n)=a(n-1)+a(n-2)-1. Tomaremos k=4 para comenzar. Como en la anterior entrada, generaremos la sucesión directamente en columnas de hoja de cálculo:

Procedemos a encontrar la solución homogénea, y vemos la diferencia entre ambas. Se puede consultar la entrada anterior para seguir este proceso.

Pantalla de la hoja recurre_lineal:

Copio la sucesión de la recurrencia homogénea junto a la obtenida para la no homogénea. Creo una tabla en la que al leer de izquierda a derecha desembocaremos en la expresión definitiva:

En primer lugar figuran los índices de las sucesiones. Aquí comenzamos con 1. Después emparejamos las soluciones homogéneas con las que no lo son, y se puede descubrir que su diferencia es 1-F(0), con lo que quiero expresar que es el número de Fibonacci correspondiente al índice de su fila. En la siguiente columna situamos la solución para la homogénea, deducida de mi hoja recurre_lineal, y, por último, sumo 1-F(0). Al final (ver celda naranja) quedamos con 3F(-1)+1. Por cuestiones de índices, en OEIS usan FIBONACCI(N)+1. Al final da igual donde comencemos.

Se puede comprobar con PARI:

Observa el código tan simple que figura arriba.

Estos resultados coinciden con los publicados en https://oeis.org/A187893

Lo interesante del proceso que hemos seguido es que es válido para cualquier otro valor de K, y la sucesión vendría dada por (k-1)*FIBONACCI(N)+1

Por ejemplo, para k=3 obtenemos 1, 3, 3, 5, 7, 11, 17, 27, 43, 69, 111, 179, 289, 467, 755, 1221, … que sigue la expresión 2*FIBONACCI(N)+1.

Para k=6 obtenemos 1, 6, 6, 11, 16, 26, 41, 66, 106, 171, 276, 446, … definida por 5*FIBONACCI(N)+1:

for(n=0,20,print1(5*fibonacci(n)+1,", "))

1, 6, 6, 11, 16, 26, 41, 66, 106, 171, 276, 446, 721, 1166, 1886, 3051, 4936, 7986, 12921, 20906, 33826, …

La mayoría de casos para k están sin publicar, como era esperable.

Casos más simples

Si las complicaciones de la recurrencia, otra forma de añadir una unidad a la sucesión de Fibonacci es realizarlo una vez esta formada. Nos resultan dos sucesiones sencillas:

Fibonacci más una unidad

Usaré PARI, que nos está viniendo muy bien en este tema:

for(n=0,20,print1(fibonacci(n)+1,", "))

1, 2, 2, 3, 4, 6, 9, 14, 22, 35, 56, 90, 145, 234, 378, 611, 988, 1598, 2585, 4182, 6766, …

Está publicada en https://oeis.org/A001611

En esa página destacan que tres elementos pueden formar triángulo, porque cada uno es menor que la suma de los dos anteriores y mayor que su diferencia. También se afirma que los únicos números primos presentes son el 2 y el 3. Podemos añadir algo más:

Entre los primeros términos sólo hay tres cuadrados: 1, 4 y 9.

for(n=0,2000,a=fibonacci(n)+1;if(issquare(a),print1(a,", ")))

1, 4, 9, …

Aparecen cuatro triangulares (observa el código, que se basa en que 8T+1 es cuadrado):

? for(n=0,2000,a=fibonacci(n)+1;if(issquare(8*a+1),print1(a,", ")))

1, 3, 6, 378, …

También contamos con oblongos (tipo N(N+1)):

? for(n=0,2000,a=fibonacci(n)+1;if(issquare(4*a+1),print1(a,", ")))

2, 2, 6, 56, 90, …

Fibonacci menos una unidad

Con la experiencia adquirida todo es más fácil, y me limitaré a resultados:

? for(n=1,30,a=fibonacci(n)-1;print1(a,", "))

0, 0, 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, 54, 88, 143, 232, 376, 609, 986, 1596, 2583, 4180, 6764, 10945, 17710, 28656, 46367, 75024, 121392, 196417, 317810, 514228, 832039, …

Publicada en https://oeis.org/A000071, donde se desarrollan múltiples propiedades.

Los únicos primos presentes entre los primeros son 2 y 7:

? for(n=1,3000,a=fibonacci(n)-1;if(isprime(a),print1(a,", ")))

2, 7, …

Cuadrados sólo aparecen 0, 1 y 4

Triangulares 0, 1 y 1596

Oblongos 0, 2, 12 y 20.

Hasta aquí llega el recorrido de este tema. El resto se lo dejo a quien me lea.

Por una unidad, no son de Fibonacci (1)

2026-01-16T16:00:00.001+01:00

La sucesión de Fibonacci, definida como a(1) = 1, a(2) = 1, a(n) = a(n-1) + a(n-2), da lugar a otras muchas sucesiones que mantienen básicamente la misma fórmula de recurrencia o bien cambian las condiciones iniciales. Hoy nos vamos a dedicar a estudiar aquellas sucesiones definidas mediante a(n)=a(n-1) + a(n-2) ± 1. Respecto a las condiciones iniciales, elegiré aquellas que estén publicadas o alguna otra que sea afín, porque el objetivo no es descubrir ada nnuevo, sino practicar con las herramientas que suelo usar y explicar lo que se descubra.

Una unidad más

En primer lugar, estudiaré a(n) = a(n-1) + a(n-2) + 1, con a(1) = 0 y a(2) = 2. (Ver https://oeis.org/A001610)

Con una hoja de cálculo se construyen perfectamente las sucesiones definidas por recurrencia. Escribimos a(1), en la celda de abajo a(2), y en las siguientes la fórmula de recurrencia. No hay más dificultad. Es conveniente situar a su izquierda una columna de índices. Por ejemplo, en este caso obtendríamos:

Coinciden los términos con los publicados en https://oeis.org/A001610

0, 2, 3, 6, 10, 17, 28, 46, 75, 122, 198, 321, 520, 842, 1363, 2206, 3570, 5777, 9348, 15126, 24475, 39602, 64078, 103681, 167760, …

Recurrencia lineal no homogénea

Si deseamos profundizar algo más sobre esta sucesión es conveniente tratarla como recurrencia no homogénea. En estos casos se suele resolver la homogénea y después tratar aparte el sumando no lineal, que aquí sería el 1.

La parte homogénea se resuelve mediante la ecuación característica. La base teórica la tienes en cualquier texto o página web, como

https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_recurrencia

Poseo una herramienta descargable para resolver estas ecuaciones con las limitaciones propias de una hoja de cálculo

(https://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2)

Le suministro los datos de la parte homogénea del problema, que aquí sería la de números de Fibonacci con las condiciones iniciales 0 y 2.

Pulso el botón Resolver para ver la ecuación característica:

La hoja de cálculo no es simbólica, por lo que hay que saber interpretar estos coeficientes en función del número áureo o de la raíz cuadrada de 5:

Aparecen dos soluciones reales, que dan lugar a la expresión de más abajo:

Sería:

Esta fórmula daría lugar a la parte homogénea, que nos da la sucesión que presenta la herramienta usada:

La parte no homogénea es un 1, y según la teoría, habría que someterla a las mismas condiciones que la homogénea, y después encontrar el coeficiente adecuado.

En nuestro caso esta es la situación:

Valores de la homogénea: 0 2 2 4 6 10 16 26 42

Valores encontrados: 0 2 3 6 10 17 28 46 75

Diferencias: 0 0 1 2 4 7 12 20 33

Las diferencias equivalen a los números de Fibonacci clásicos menos una unidad, y las soluciones de la homogénea son el doble de los mismos de Fibonacci con un índice una unidad menor. Con esta consideración nos liberamos de cálculos algebraicos.

Así, la solución buscada por recurrencia se puede expresar de esta forma, que da el valor directamente:

A(n)=2*F(n-1)+F(n)-1=F(n+1)+F(n-1)-1

Podríamos expresarlo en función de la raíz de 5 en una fórmula demasiado larga. Es preferible expresarla usando la función FIBONACCI(N). Así se puede encontrar con PARI:

for(i=1,40,a=2*fibonacci(i-1)+fibonacci(i)-1;print1(a,", "))

La web de PARI (https://pari.math.u-bordeaux.fr/gpwasm.html), nos ofrece las mismas soluciones que las publicadas en OEIS, que en las fórmulas incluyen F(n+2)+F(n)-1, porque suelen usar el 0 como primer índice. En la programación en PARI, G. C. Greubel usa una expresión similar a la obtenida aquí.

0, 2, 3, 6, 10, 17, 28, 46, 75, 122, 198, 321, 520, 842, 1363, 2206, 3570, 5777, 9348, 15126, 24475, 39602, 64078, 103681, 167760, 271442, 439203, 710646, 1149850, 1860497, 3010348, 4870846, 7881195, 12752042, 20633238, 33385281, 54018520, 87403802, 141422323, 228826126, …

Se descubren varios números primos en el listado. Podemos modificar nuestra búsqueda para encontrarlos:

for(i=1,100,a=2*fibonacci(i-1)+fibonacci(i)-1;if(isprime(a),print1(a,", ")))

Estos serían los primeros números primos:

2, 3, 17, 103681, 10749957121, 115561578124838522881

No he encontrado cuadrados, pero si se encuentran números que son una potencia más una unidad:

10, 17, 28, 122, 842, 5777, 39602, 271442, 1860497, 12752042, 87403802, …

Este ha sido un estudio que abre caminos a otras técnicas matemáticas. Es sólo un inicio para quienes deseen profundizar. En la siguiente entrada se completará con algún caso más.

Propiedades del 2026

2026-01-02T13:00:00.001+01:00

No todos los años publico las propiedades de un año nuevo, porque lo hago en otros medios, pero en este los he terminado ya de compartir, por lo que no viene mal recogerlos aquí. Los números de orden se corresponden con los conjuntos de propiedades publicados cada día. Feliz año nuevo.

2026 es un número semiprimo, pues 2026=2×1013 y es del tipo n²+1, ya que 2026=45²+1. Es el semiprimo número 582 en el orden natural. Si le suprimimos cualquier cifra, sigue siendo semiprimo: 026=2×13, 226=2×113, 206=2×103 y 202=2×101

2026, aunque se diferencia en 1 del cuadrado 45² , sus cuadrados se diferencian en un número primo:

2026²-45⁴=4104676-4100625=4051, que es primo.

Una escala de cifras ascendente y otra descendente para 2026:

2026=1×2×(34×5×6-7)

2026=9×(8+7+6+54)×3+2-1

2026 es capicúa en tres bases de numeración, 13, 14 y 45:

2026 (10 = 11, 12, 11 (13 = 10, 4, 10 (14 = 1, 0, 1 (45

Y concatena N//N+6: 2026=20//26

Una curiosidad:

2026=INT(LN(5)^16)

2026 se puede formar de estas dos formas con los primeros números primos:

2026=(2+3!+5)×7×(11+13)-(17+19+23+29+31)-37+41-43

2026=2×((3+5)×(7+11+13)×17-19-23-29×(31+37+41))

2026 es el promedio de dos semiprimos consecutivos con él:

2026=2×1013=(2021+2031)/2=(43×47+3×677)/2

También es promedio de dos anteriores y dos posteriores: 2019, 2021, 2031 y 2033

En el año 2026 no podían faltar las cifras simétricas:

2026=2×(1×1001+12)

2026=(3-1)×(0+1)×1013

2026=2021+1+2+0+2

2026=1×2×(505+3+505)×(2-1)

2026 presenta, entre otras, estas sumas de consecutivos:

Compuestos: 2026 =505+506+507+508

Enteros: 2026=505+506+507+508

Semiprimos: 2026=237+247+249+253+254+259+262+265

Pares: 2026=1012+1014

La suma de las funciones SIGMA y PHI en 2026 coincide con la de 2027

2026 2027

SIGMA 3042 2028

PHI 1012 2026

SUMA 4054 4054

SIGMA es la suma de divisores y PHI cuenta los coprimos menores que el número.

2026 presenta estas dos generaciones mediante factoriales:

2026=2!×(6!+(5!+4!)×2!+2!)+3!

2026=(6!×2!+2!)×2!-6!-4!-5!+3!

2026 es diferencia entre dos números triangulares (tipo N(N+1)/2):

2026=508×509/2-504×505/2

Las funciones PHI y SIGMA que vimos ayer, cumplen en 2026 lo siguiente:

PHI(PHI(2026)+SIGMA(2026))=PHI(1012+3042)=PHI(4054)=2026

2026 no es un número intocable, porque equivale a la suma de las partes alícuotas de 2366: 2026=1183+338+182+169+ 91+26+14+13+7+2+1

(ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/05/regresos-3-numeros-intocables.html)

También lo es de 2510 y 2692.

2026 equivale a sumas de tres potencias con algún alto exponente:

2026=35^2+2^9+17^2

2026=37^2+23^2+2^7

2026=37^2+5^4+2^5

2026=43^2+2^7+7^2

2026 equivale a nueve sumas de siete cubos cada una:

1+1+27+27+512+729+729

8+27+64+343+343+512+729

8+64+64+216+216+729+729

1+1+8+8+8+1000+1000

1+8+8+64+216+729+1000

1+125+125+216+216+343+1000

8+27+216+216+216+343+1000

1+27+27+64+64+512+1331

1+1+8+8+64+216+1728

2026 equivale a estas expresiones palindrómicas:

2026=2×3×3×7×7+262+7×7×3×3×2

2026=2+8+2+2002+2+8+2

2026=5+12×8×21+5

2026=2×3×2+2002+2×3×2

2026=3×5×3+22×4×22+3×5×3

2026=131+12×7×21+131

Y ahora, pandigitales con resultado 2026:

2026=(1024-8-3)×(9-7)×(6-5)

2026=3+7×(6+5+4+2)×(8+9)×(1+0)

2026=4×3×(8+5)×(6+7)-2×1+9×0

Hoy me dedicaré a los desarrollos de una sola cifra para 2026, comenzando del 1 al 3:

2026=(1111-111+11+1+1)×(1+1)

2026=(2×22+2)×2×22+2

2026=(3×3^3+3-3×3)×3^3+3/3

2026 expresado con monocifras de 4, 5 y 6:

2026=(4+4)×(4^4)-4!+(4+4)/4

2026=(5!+5+5+5)×(5+5+5)+5/5

2026=6!+6!+6!-66-66-(6+6)/6

Por último, las cifras 7, 8 y 9 generan el 2026

2026=(7!-77+7)/7+777+77×7

2026=8!/(8+8)-8×8×8+8+8+(8+8)/8

2026=((999+9)×(9+9)+9)/9+9

2026 se genera con la siguiente recurrencia:

a(0)=a(1)=0, a(2)=2; y para n >= 3, a(n) = a(n-1) + 4×a(n-3)

Visto en https://oeis.org/A122946

Comprobado con una columna de Excel.

2026 es un número feliz, porque reiterando la suma de los cuadrados de sus cifras se llega a la unidad:

2^2+0^2+2^2+6^2=44

4^2+4^2=32

3^2+2^2=13

1^2+3^2=10

1^2+0^2=1

2026 es hipotenusa de una terna pitagórica y cateto en otra. Este segundo ha costado encontrarlo:

Como hipotenusa: 2026^2=90^2+2024^2

Como cateto: 2026^2=1026170^2-1026168^2

Visto en https://oeis.org/A350130:

Si a 2026 le aplicamos la función X^2+1 reiteradamente seis veces resulta otro número terminado en 2026

Lo he comprobado con PARI, pero no cabe aquí.

Como tantos números, 2026 también participa en una igualdad entre fracciones egipcias:

1/2026=1/2022-1/1024143

2026 se puede expresar con tres cuadrados con signo. Estas son algunas posibilidades:

2026=11^2+193^2-188^2

2026=9^2+197^2-192^2

2026=154^2-9^2-147^2

2026=150^2-5^2-143^2

2026=117^2+1^2-108^2

10)

2026 es divisor del número de Fibonacci de orden 2028. Posee muchas cifras. Se puede comprobar en PARI con el código

k=fibonacci(2028)/2026

print(k-truncate(k))

Resultará un cero.

2026 es promedio de dos cuadrados :

2026=(44^2+46^2)/2

O bien 2026=44^2+44×2+2

Y también 2026=22×44+23×46

2026 es suma de cinco elementos de la sucesión de Fibonacci: 2026=F(17)+F(14)+F(9)+F(7)+F(5)=1597+377+34+13+5

11)

2026 es la suma de los cuadrados de los primeros números libres de cuadrados, desde 1 hasta 21:

2026=1^2+2^2+3^2+5^2+6^2+7^2+10^2+…19^2+21^2

2026 es suma de los cuadrados de dos números triangulares:

2026=T(1)^2+T(9)^2=(1×2/2)^2+(9×10/2)^2

2026 equivale sumas de cuadrados con primos y también con capicúas

2026=3^2+2017=15^2+1801=27^2+1297=33^2+937

2026=39^2+505=42^2+262=45^2+1

12)

2026 es suma del número primo de orden 215 con el semiprimo que tiene el mismo orden

2026=PRIMO(215)+SEMIPRIMO(215)=1319+707=1319+7×101

No ha sido fácil encontrarlos

Todo número es suma, a lo más, de tres números triangulares. En el caso del 2026 pueden ser:

2026=10+2016=595+1431=1+990+1035=3+253+1770=6+190+1830

Según el teorema de Javier Cilleruelo, todo número es suma de tres capicúas o menos. En el 2026 he elegido una pequeña muestra:

2026=8+1221+797=9+686+1331=9+1331+686=11+464+1551=11+1551+464=22+343+1661

Con ellos termina mi bienvenida al 2026.

Divisorial

2025-12-22T18:07:00.001+01:00

Llamaremos divisorial de un número al producto de sus divisores, (según OEIS WIKI, sin revisar). Su cálculo es muy sencillo, porque los divisores de N se presentan por pares cuyo producto es N. Por ejemplo, en 45 se da que 45*1=15*3=9*5=45. El producto total, o divisorial, será 45^3=91125.

Si TAU(N) es el número de sus divisores, se tendrá que el número de pares será TAU(N)/2 si TAU es par y (TAU(N)+1)/2 si es impar, porque este último caso se dará en los cuadrados, y la RAIZ(N) se contaría repetida. Por ejemplo, el divisorial de 36 será 36*18*12*9*6*4*3*2*1=10077696, pero si lo ordenamos por pares, la raíz cuadrada estaría repetida:

Nos resultaría un producto seis veces mayor. Habría que suprimir el 6 sobrante, con lo que resultaría ese 6 multiplicado por los pares restantes, que forman TAU(N). Tendríamos 6*36*36*36*36=36^9/2

Por tanto, en el caso par y en el caso impar la fórmula adecuada es

Hemos seguido la nomenclatura usual de π(n) para el divisorial.

En el caso de 45 nos daría 45^6/2=45³=91125

En el caso de 36 existen 9 divisores, luego tendríamos 36^9/2= 10077696.

Los resultados del divisorial no se repiten, es decir, a números distintos les corresponden divisoriales distintos (ver la demostración de T.D. Noe en

http://www.sspectra.com/math/DivisorProduct.pdf)

Encontrar π(n) sin usar la función TAU es muy simple. Basta recorrer los números menores o iguales a N y multiplicar tan solo los divisores. En la práctica solo hay que llegar a N/2 y después multiplicar por N. En Visual Basic puede quedar así:

Function proddivi(n)

Dim p, i

p = n ‘Comenzamos el producto con n

For i = 2 To n / 2

If n / i = n \ i Then p = p * I ‘Si es divisor, se multiplica

Next i

proddivi = p

End Function

Con esta función podemos crear la primera tabla de divisoriales:

Están publicados en https://oeis.org/A007955

En el lenguaje PARI está implementada la función TAU con el nombre de numdiv, luego el divisorial se puede encontrar con

π(n)=n^(numdiv(n)/2)

En la imagen se ha pedido el valor de los 50 primeros:

En color azul figura la instrucción en PARI usada.

Casos particulares

N es primo

En ese caso TAU(N)=2, luego π(n)=n^2/2=n

Es lógico, porque el único producto de divisores es 1*n y el divisorial de n coincide con el número n

Potencia de primo

Si N=p^k, TAU(N)=k+1, porque los divisores serán (1, p, p², … p^k) , luego el divisorial será p^(k+1)/2.

Entre ellos, los divisoriales de cubos de primos serán cuadrados.

Semiprimo no cuadrado

Si N=p*q, con p≠q, poseerá cuatro divisores, 1, p, q y pq, luego TAU(N)=4 y su producto de divisores π(n)=n^4/2=n². Lo vemos en el listado anterior con 6 y 10.

Resultado cuadrado

Si el divisorial es una potencia, encontraremos muchos de ellos que sean cuadrados. Ya hemos visto que aparecen en los cubos de primos y en semiprimos no cuadrados, pero existen más. Estos son los primeros:

Entre ellos están los esfénicos, números del tipo p*q*r con los tres primos distintos. En ellos los divisores son: 1, p, q, r, pq, pr, rq y pqr, es decir ocho divisores, luego el producto de divisores será una potencia cuarta, también cuadrada.

En https://oeis.org/A048943 puedes consultar un razonamiento más completo.

Resultado cúbico

Es fácil razonar que las quintas potencias de un primo poseen un divisorial que será un cubo, ya que π(n)=n^(5+1)/2=n³

También producen un cubo los números, como el 12, que tienen la forma pq², pues TAU(n)=(1+1)(2+1)=6, luego π(n)=n^6/2=n³

Estos son los primeros:

Puedes buscar más casos particulares, que no serán complicados de razonar.

Pandigitales inesperados

2025-12-11T18:26:00.001+01:00

Hay varias acepciones de la palabra pandigital. Aquí nos referiremos a los pandigitales completos sin repetición, es decir, que consideraremos pandigitales a aquellos números de 10 cifras en las que figuren todas del 0 al 9 en cualquier orden y sin repetir ninguna. No se admite cero inicial. Excel lo suele suprimir, pero habrá que tener cuidado en otros lenguajes de programación.

Con esta definición es sencillo calcular por Combinatoria cuantos pandigitales de este tipo puede haber. Inténtalo.

Función para detectar pandigitales

Para esta detección se crea un vector de 10 elementos, ci(10), y en cada uno se cuentan las apariciones de una cifra determinada del número. Para que sea pandigital, todos los elementos han de ser iguales a 1. En cualquier otro caso, no lo será.

Función pandigital

Public Function pandigital(a) As Boolean

'han de estar todas las cifras sin repetición y sin cero inicial

Dim ci(10)’ Contenedor de cifras

Dim i

Dim t As Boolean

t = True ‘En principio suponemos que es pandigital

n = numcifras(a) ‘Se puede conseguir también sumando 1 a su logaritmo decimal

If n <> 10 Then pandigital = False: Exit Function ‘No tiene diez cifras

For i = 0 To 9: ci(i) = 0: Next I ‘Contadores a cero

For i = 1 To n

ci(cifra(a, i)) = ci(cifra(a, i)) + 1’ Se cargan las cifras encontradas

If ci(cifra(a, i)) > 1 Then pandigital = False: Exit Function ‘Si hay repetidas, no es pandigital

Next i

s = 0

For i = 0 To 9

If ci(i) = 0 Then t = False ‘Si falta una cifra, no es pandigital

Next i

pandigital = t ‘Devuelve VERDADERO o FALSO

End Function

Resultados inesperados

La idea de hoy es buscar pandigitales en distintas circunstancias u operaciones. Predominarán productos y potencias, como ejemplos favorables a encontrar pandigitales, pero sólo serán ejemplos de uso para facilitar a los lectores la búsqueda en otros casos similares. Se pueden abordar muchos.

Vemos algunos ejemplos con nuestro buscador:

Multiplicar un número por otro relacionado

A partir de este ejemplo hay que tener en cuenta que los pandigitales están comprendidos entre 10^9=1000000000 y 10^10=10000000000. Sería inútil buscar fuera de este intervalo.

Multiplicamos N por N+1

En este primer ejemplo, podemos comenzar la búsqueda por RAIZ(10^9)-1, para que N(N+1) entre en ese intervalo. La salida puede ser RAIZ(10^10)+1. Esto no es demasiado importante. Se puede ampliar algo el rango. Nuestro buscador nos da 52 soluciones. Estas son las primeras:

No esperaba tantos resultados. Se ve que el producto de consecutivos tiene características favorables. He probado con N(N+2) y resultan 34. Con N(N+3), 99. Como era de esperar, es algo que resulta aleatorio en la práctica. Con otras diferencias se obtienen números similares.

Un número multiplicado por su doble produce resultados parecidos.

Uso de potencias

Cuadrado de N

Si lo reducimos a su cuadrado, es decir un número por sí mismo, está publicado en https://oeis.org/A054038 con otros planteamientos, pero coincide mi buscador para pandigitales sin repetición, que resultan ser 87.

Estos son los primeros:

Podíamos operar N con N², a ver qué ocurre.

Con suma aparecen bastantes resultados. Uno es:

40508+40508^2=1640938572

Con cubos no he obtenido ningún pandigital.

Otras potencias

Para las potencias es preferible usar el lenguaje PARI, porque maneja las cifras con más soltura que Excel.

El criterio para saber si un número es pandigital puede ser este:

vecsort(digits(n))==[0..9] &&n>=10^9

Se interpreta fácilmente: se ordenan los dígitos de n en un vector y ha de coincidir con [0..9]. Además, no puede tener cero inicial, ha de ser mayor o igual que 10⁹.

Con estas líneas de PARI podemos investigar potencias. Están adaptadas a cuadrados para probar, escribiendo k=2. Cambiando k se pueden investigar otras potencias.

pandigital(n)=vecsort(digits(n))==[0..9]&&n>=10^9

k=2

a=truncate(10^(9/k))

b=truncate(10^(10/k))

for(i=a,b,m=i^k;if(pandigital(m),print(i," , ",m)))

Este es un recorte de pantalla para k=2 en la web de PARI:

Observamos que coincide con el resultado de Excel.

No he encontrado pandigitales en los exponentes del 3 al 10, pero nos ha servido para iniciar el uso de PARI.

Otras búsquedas

Número por su simétrico en cifras

Aquí sí tendremos éxito. En Excel uso mi función CIFRAINVER y en PARI mi función REVERSE. Elijo este porque lo tengo desarrollado más brevemente. Podríamos usar lo siguiente:

pandigital(n)=vecsort(digits(n))==[0..9]&&n>=10^9

reverse(n)=eval(concat(Vecrev(Str(n))))

a=2

b=1000

for(i=a,b,m=i*reverse(i);if(pandigital(m),print(i," , ",m)))

Definimos pandigital y reverse y después multiplicamos el número por su reverso:

Si multiplicas cualquier número de la primera columna por su simétrico, obtendrás el pandigital de la segunda.

Otros ejemplos sin desarrollar

Un número multiplicado por su doble:

Por ejemplo. 22887*45774=1047629538

Cuadrado de N menos N

Así, 44028^2-44028=1938420756

Todos terminarán en 0, 2 o 6.

Y hasta aquí llega el tema. Quedan muchas posibilidades, e incluso eligiendo las primeras cifras de un número real, pero aquí sólo se estudian los enteros.