Números y hoja de cálculo

No hay que dejarse llevar por la admiración

2012-01-30T07:37:00.001+01:00

El otro día “retwiteé” esta igualdad. Me gustó, la enlacé y no le di más importancia.

(1+3)/(5+7) = (1+3+5)/(7+9+11)= (1+3+5+7)/(9+11+13+15)= ... = 1/3

Al día siguiente volví a verla y esta vez sí la analicé y me di cuenta de que era algo trivial:

Los numeradores son sumas de impares, y por tanto equivalen a n². Los denominadores equivalen a duplicar el número de elementos de arriba y después restárselos, es decir (2n)²-n² = 3n². Simplificamos y nos da un tercio. Se acabó el misterio y la admiración. Tenía que dar 1/3 tomes los elementos que tomes.

¿Lo quieres más fácil? Estudia estas dos imágenes

En la primera figura el numerador 1+3+5+7+9 como un cuadrado en el que cada número impar viene representado por el mismo color (un gnomon), adosado a la suma 11+13+15+17+19, también formado por gnomones de distinto color hasta completar un cuadrado de 100.

En la segunda hemos separados los cuatro cuadrados, con lo que se percibe que 1+3+5+7+9 sólo ocupa un cuadrado y 11+13+15+17+19 tres, luego su cociente es 1/3

Un asombro parecido y creo que injustificado produjeron entre algunos amigos mis dos desarrollos sobre los años 2011 y 2012. En el primero la clave estuvo en que por aquellos días yo había estado experimentando con diferencias entre potencias de 2 y números primos.

Vi que 2011=2^11-37. Como recordé que 37=111/3, mi cerebro se llenó de unos, y me vino a la imaginación el desarrollo de la imagen.

Fue una feliz intersección de caminos. Este tipo de curiosidades surge por encuentros entre dos líneas matemáticas.

Con el 2012 me ocurrió algo similar. No me era posible buscar unos de la misma forma, pero al factorizar 2012 apareció el número 503, que por proximidad me hizo pensar en el 504, que a su vez recordaba al factorial de 7. De ahí vino la idea de que 9*8*7=504 y que había que seguir las cifras hasta el cero.

Otro caso de feliz intersección de dos caminos. No hay nada admirable en este desarrollo.

En una entrada anterior de este blog comentábamos la casualidad de que la expresión M=3*5²ⁿ⁺¹+2³ⁿ⁺¹ sea siempre múltiplo de 17, pero con algún truco afortunado no sólo se podía demostrar, sino que era fácil inventarse casos parecidos.

Así que antes de admirarnos debemos analizar las cosas.

¿Qué opinas de esta serie de igualdades?

(1+5)/(1+7)=(1+3+9+11)/(1+3+13+15)=(1+3+5+13+15+17)/(1+3+5+19+21+23)=…

¿Son verdaderas? ¿Se pueden prolongar indefinidamente?¿Cuál es su valor común?

Intenta responder usando técnicas algebraicas y gráficas.

La hoja resuelve problemas de Combinatoria

2012-01-23T18:12:00.000+01:00

(Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas 2.X, organizado en esta ocasión por Resistencia Numantina)

Combimaq 2

Sí, eso es posible, dentro de ciertas condiciones. Para ello creamos hace años el programa Combimaq y ahora presentamos su versión 2 para hojas de cálculo. La idea de este programa es resaltar que muchos planteamientos de problemas combinatorios en las enseñanzas medias se pueden reducir al análisis de unas pocas condiciones. Por ejemplo, estudiemos este problema de probabilidades:

Tiramos un dado tres veces consecutivas. ¿Qué probabilidad tiene el suceso de obtener al menos un 6, pero no en primer lugar?

Hemos comenzado con un problema de cierta dificultad para estas edades. Pues bien, para Combimaq 2, el planteamiento se reduce a estas condiciones:

Las cuatro primeras son fáciles de interpretar: Un dado tiene 6 caras, se tira 3 veces ordenadamente y como es un dado, los resultados se pueden repetir (lo de CUENTA lo dejamos por ahora).

Las siguientes comienzan con FAV, luego podemos sospechar que marcan las condiciones favorables para la probabilidad. En efecto, la primera exige que aparezca el 6 y la segunda, algo complicada, que no lo haga en primer lugar. Si descargas la hoja desde Hojamat (versiones Excel y OpenOffice)

http://hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm

observarás que puedes escribir esas condiciones en su rango correspondiente y después pulsar sobre el botón “Máquina”. Obtendrás 216 casos posibles (6*6*6) y 55 favorables (6^3-5^3-6^2 ¿por qué?) y una probabilidad de 0,2546.

Hemos comenzado con un problema no trivial para mostrar la potencia de cálculo de la “máquina de combinar”, pero si descargas el Manual de uso

http://hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/Combimaq%202.pdf

Podrás seguir paso a paso la forma de usar la hoja, la sintaxis de las condiciones y numerosos ejemplos de uso. Más adelante publicaremos colecciones de problemas clasificados por dificultad.

No es este el sitio para desarrollar el funcionamiento de la herramienta que proponemos. Por eso sólo resolveremos tres problemas para mostrar las distintas formas de plantear:

¿Cuántos subconjuntos tres elementos extraídos de {A, B, C, D, E, F, G} no contienen la letra B pero sí la A?

El planteo sería

El conjunto tiene 7 elementos y los subconjuntos 3. En los conjuntos no se tiene en cuenta el orden ni se repiten elementos. En las condiciones favorables hemos exigido que aparezca A pero no B. Por último, se ha concretado que lo que se combinan son letras y que sólo deseamos que se vean los casos favorables.

Resultado de todo ese planteamiento es la visión de todos los subconjuntos pedidos, que son 10, porque coinciden con C_5,2

Tiramos al azar diez monedas sobre una mesa. ¿Qué probabilidad existe de que resulten exactamente cinco caras y cinco cruces?

En total son dos elementos, CARA y CRUZ, que se toman 10 veces con orden y repetición. Se declara CARA-CRUZ para que aparezcan los símbolos O y +. En los favorables se exige que la cuenta del primer símbolo sea 5 y por último se elige ver sólo los favorables.

El resultado sería

1024 proviene de 2^10, variaciones con repetición. 252 equivale a las formas de ordenar cinco caras y cinco cruces: 10!/(5!*5!)=252. Así, en contra de la impresión que tienen muchas personas, es una probabilidad más bien pequeña.

Ordenamos de todas las formas posibles las letras de la palabra BARBARA. ¿Cuántas de ellas comienzan y terminan con A?

Este el típico caso de permutaciones con repetición. En estos casos hay que aportar información sobre los símbolos que se combinan y el número de veces que se ha de repetir cada uno, que es lo que llamaremos CUENTA. Hay dos rangos en la hoja en os que se puede escribir esto, y después acudir a la orden de SIMBOLOS para que los lea Combimaq. En nuestro ejemplo sería así:

El resto de la programación de este experimento sería dar como números total y parcial el 7, por ser permutaciones, exigir orden, repetición y cuenta y, por último, la condición para favorables. Quedaría:

Obtendríamos este resultado:

El 210 proviene de 7!/(2!2!3!)=210 y si exigimos que primero y último sean ambos el símbolo A, nos quedaría 5!/(2!2!)=30, luego la máquina ha trabajado bien.

El listado de favorables obtenido es:

Esto es sólo una presentación. Para verlo con más detalle puedes descargar la Guía desde la dirección indicada arriba.

Alfabeto Braille

2012-01-21T07:39:00.001+01:00

Ideas para un estudio en clase:

Es difícil motivar los temas de Combinatoria en clase, salvo los de conteos triviales. Los ejemplos usados no siempre son cercanos a la realidad de nuestros alumnos. El estudio del alfabeto Braille puede servir para lograr esa motivación si se le da un enfoque lo más interdisciplinar posible. Enunciamos a continuación algunas ideas aisladas sobre objetivos que se pueden lograr con este alfabeto. Se recomienda el trabajo por grupos.

(1) Búsquedas en Internet:

* Qué es el alfabeto Braille. Cómo se lee:

Tras una breve introducción se inicia una búsqueda libre en Internet con la obligación de recopilar información. Es imprescindible obtener una imagen o varias con letras y números:

Esas imágenes se deben almacenar e imprimir para su posterior estudio.

* Escribir un resumen histórico del alfabeto en no más de 15 ó 20 líneas:

Con el material almacenado, y pata evitar el uso de un simple copiar y pegar, se exigirá un resumen escrito del nacimiento y utilidad del alfabeto, de no más de 20 líneas. Si algún equipo lo desea puede ampliar el texto con otro documento complementario.

* Completar las búsquedas en la Red

Con otras en el entorno más próximo, como las teclas de los ascensores, una visita a la delegación de la Organización Nacional de Ciegos o cualquier otra cercana al alumnado.

* Sería conveniente que alguna frase de los documentos producidos se escribiera en Braille

(2) Para repasar Combinatoria:

* Conteo en la celda básica de 2 por 3.

Por los procedimientos que cada grupo elija, se debe llegar al total de 2^6=64 símbolos posibles. Si se ve conveniente, se puede interpretar el resultado como total de conjuntos, o variaciones de (0,1) o combinaciones de seis casillas tomadas de uno en uno, de dos en dos,…

* Repaso del producto cartesiano:

Investigación de los prefijos, Número total de símbolos usando prefijos: 64*64=4096. Estudio especial de los números del 0 al 9. ¿Siguen alguna pauta de orden? Investigar.

(3) Para trabajar con Hoja de Cálculo:

Se puede confeccionar un traductor de símbolos Braille a letras. Para no complicar el trabajo se puede restringir el estudio a la célula básica sin prefijos. Se podría dividir el diseño en tres etapas:

(a) Traducir el esquema de seis puntos a un número binario

En la imagen se ha preparado, ajustando altura y anchura de las celdas, la célula básica del alfabeto en el rango B2:C4. Como punto se ha usado la letra “o”, pero puede servir cualquier otro.

La traducción a binario se consigue con la función SI. Copiamos a continuación la fórmula implementada en E2, que se ha extendido después al rango E2:F4:

=SI(B2="o";1;0)

Por último, se han asignado los valores 32, 16, 8, 4, 2 y 1 a cada una de las seis celdas. En el ejemplo se ha seguido el orden E2, F2, E3, F3, E4 y F4, para llegar a la fórmula

=E2*32+F2*16+E3*8+F3*4+E4*2+F4

Con ella conseguimos la traducción del símbolo Braille a un código comprendido entre 0 y 63 (64 posibilidades)

(b) Traducir el binario a símbolo Braille

Esta es la parte más pesada del trabajo, y por eso se aconseja el trabajo en equipo. Ahora, para cada letra se generará el código numérico correspondiente y se confeccionará una tabla de traducción. Mientras unos escriben los símbolos Braille en el primer rango otros toman nota del código generado y unos terceros van confeccionando la tabla traductora. Si se ve que falta tiempo, se pueden considerar sólo las diez o quince primeras letras.

Se pueden organizar en una tabla de dos columnas. Por dar comodidad al resto del diseño, situaremos a la izquierda el código y a su derecha la letra correspondiente:

32    a
40    b
48    c
52    d
36    e
56    f
60    g

(c) Traducción de código numérico a símbolo

Una vez confeccionada la tabla, que la suponemos situada en el rango B8:C24, por ejemplo, bastaría con usar la función BUSCARV para que consiguiéramos la escritura del símbolo a la derecha del código en la celda K4:

=BUSCARV(H4;B8:C14;2)

En la imagen puedes ver completa la traducción de la letra c:

(4) Trabajos complementarios

Para atender a la diversidad y al trabajo voluntario individual, se pueden proponer también:

* Traductor para números
* Estudio e interpretación de los prefijos
* Búsqueda de información sobre el Braille Unicode
* Concurso de microrelatos en Braille.
* Cualquier otro trabajo propuesto por el alumnado

La Grecia clásica

2012-01-16T08:06:00.001+01:00

Este blog va de números y hoja de cálculo, pero a veces es un imperativo tratar temas de más amplitud cultural. En estos tiempos de predominio del poder del dinero y de la adoración de los juguetes electrónicos se echa de menos el estudio reposado de nuestra cultura clásica.

Nuestro colaborador Rafael Parra Machío, preocupado, según sus palabras, por el deterioro de la actual comunidad griega y el olvido de lo que fue su civilización, ha rescatado un estudio suyo sobre la historia de la Civilización Griega.

Deseamos ofrecerlo en estos primeros días del año como un recordatorio de la necesidad de la vuelta a las fuentes en estos tiempos de desconcierto.

Lo podéis descargar en esta dirección

http://hojamat.es/parra/grecia.pdf

Números de Aquiles (3) Damos otra vuelta

2012-01-14T08:35:00.001+01:00

Segunda vuelta

Emparedado de Aquiles

El conjunto de divisores de un número de Aquiles N que también sean aquileanos no es vacío, luego tendrá un máximo, eventualmente el mismo N. El de múltiplos también tendrá un mínimo. Para que sea más útil consideraremos el mínimo múltiplo con la condición de que sea distinto de N, y el máximo divisor, si es posible, que también lo sea. Llegaremos así a “emparedar” N, en el sentido que ya le dimos a los “emparedados de cuadrados”, de encerrarlo entre dos congéneres. He aquí los resultados

Cociente	Máx Div. Aq.	Aquiles	Mín. Múlt. Aq.	Cociente	Holgura	Factores
1	72	72	288	4	4	2 2 2 3 3
1	108	108	432	4	4	2 2 3 3 3
1	200	200	800	4	4	2 2 2 5 5
4	72	288	864	3	12	2 2 2 2 2 3 3
1	392	392	1568	4	4	2 2 2 7 7
4	108	432	864	2	8	2 2 2 2 3 3 3
1	500	500	2000	4	4	2 2 5 5 5
6	108	648	1944	3	18	2 2 2 3 3 3 3
1	675	675	2700	4	4	3 3 3 5 5
4	200	800	3200	4	16	2 2 2 2 2 5 5
2	432	864	2592	3	6	2 2 2 2 2 3 3 3
1	968	968	3872	4	4	2 2 2 11 11
9	108	972	1944	2	18	2 2 3 3 3 3 3
1	1125	1125	4500	4	4	3 3 5 5 5
4	288	1152	3456	3	12	2 2 2 2 2 2 2 3 3
1	1323	1323	5292	4	4	3 3 3 7 7
1	1352	1352	5408	4	4	2 2 2 13 13
1	1372	1372	5488	4	4	2 2 7 7 7
4	392	1568	6272	4	16	2 2 2 2 2 7 7
9	200	1800	5400	3	27	2 2 2 3 3 5 5
2	972	1944	3888	2	4	2 2 2 3 3 3 3 3

En negrita hemos destacado los números de Aquiles N, en cursiva, a izquierda su mayor divisor que también es de Aquiles. Para que no deje de existir hemos permitido que no sea un divisor propio. A su derecha el mínimo múltiplo de N también de Aquiles.

Más a los lados figuran los cocientes entre N y sus “emparedadores”. Si multiplicamos esos cocientes nos dará la “holgura”, el espacio por el que puede mover N antes de llegar al siguiente número de Aquiles.

Finalmente, en la última columna tenemos la explicación de todo, los factores primos de N. Invitamos al cálculo de la holgura manualmente, sin ayuda de hoja de cálculo, para ver cuánto se aprende sobre los números de Aquiles.

Un ejemplo es el número 1800=2*2*2*3*3*5*5=2^3*3^2*5^2. Es de Aquiles porque sus exponentes son primos entre sí y todos mayores que la unidad. Probemos a ir suprimiendo factores: el 2 no podemos suprimirlo, pues se igualarían los exponentes y obtendríamos una potencia. Un 3 o un 5 tampoco, porque daría exponente 1. Luego habrá que probar a suprimir dos factores. Como 2*2 no se puede (¿por qué?), probamos la solución mínima, 3*3, que si deja un divisor igual a 200=2*2*2*5*5=2^3*5^2, que coincide con la tabla. Otra solución sería suprimir 5*5, pero ya nos daría un divisor más pequeño.

Con el múltiplo nos ocurriría lo mismo. Omitimos los pasos. La solución mejor es aumentar un 3 y llegar al múltiplo 5400=2*2*2*3*3*3*5*5=2^3*3^3*5^2. Queda así comprobado que la holgura de 1800 es 27: dos veces el 3 para conseguir el divisor y una vez para el múltiplo.

Puedes intentar razonar la holgura de otros números de la tabla o fuera de ella. Aprenderás mucho.
Si en un número N de Aquiles presenta un mayor divisor propio también de Aquiles, tendrá un cociente por la izquierda equivalente a un número primo (¿por qué?). Los números que tienen esa propiedad son estos:

864 1944, 3888, 4000, 5400, 6912, 9000, 10584, 10800, 10976, 17496, 18000, 21168, 21600, 24696, 25000, 26136, 30375, 31104, 32000, 34992, 36000, 36504, 42336, 42592, 43200, 48600, 49000, 49392, 50000…(los hemos publicado en http://oeis.org/A203662)

En ellos se cumplen dos propiedades que podrías intentar justificar:

El exponente del menor factor primo de cada uno de ellos es mayor que 2.
Todos tienen los mismos factores primos (salvo los exponentes) que su mayor divisor propio.

Un ejercicio muy interesante es tomar los primeros primos 2, 3, 5, … y combinar sus potencias para formar números de Aquiles, procurando que la primera tenga al menos exponente 3, y que al suprimir el factor más pequeño siga resultando un número de Aquiles. Por ejemplo: 2*2*2*2*3*3*3*3*3 es de Aquiles y si suprimimos un 2, queda 2*2*2*3*3*3*3*3, también de Aquiles. Si calculas descubrirás que se trata de 1944, que ya está en la tabla.

La cuestión inversa es mucho más fácil, porque el mínimo múltiplo de un número es su doble. Así que sólo habrá que buscar números de Aquiles cuyo doble también lo sea. Son estos:

432, 972, 1944, 2000, 2700, 3456, 4500, 5292, 5400, 5488, 8748, 9000, 10584, 10800, 12348, 12500, 13068, 15552, 16000, 17496. 18000, 18252... (http://oeis.org/A2036623)

Otro emparedado

Podemos emparedar un número de Aquiles N mediante potencias, una que sea el mínimo múltiplo de N que sea potencia perfecta y el otro el máximo divisor con ese carácter.

Los resultados serían estos

a/d	divipot	Aquiles	Multipot	m/a
2	36	72	144	2
3	36	108	216	2
2	100	200	400	2
2	144	288	576	2
2	196	392	784	2
2	216	432	1296	3
4	125	500	1000	2
2	324	648	1296	2
3	225	675	2025	3
2	400	800	1600	2
4	216	864	1728	2
2	484	968	1936	2
3	324	972	2916	3
5	225	1125	3375	3
2	576	1152	2304	2
3	441	1323	3969	3
2	676	1352	2704	2
4	343	1372	2744	2
2	784	1568	3136	2
2	900	1800	3600	2
6	324	1944	5832	3
2	1000	2000	8000	4
2	1156	2312	4624	2
2	1296	2592	5184	2
3	900	2700	8100	3
2	1444	2888	5776	2
7	441	3087	9261	3
2	1600	3200	6400	2
3	1089	3267	9801	3
2	1728	3456	13824	4
2	1764	3528	7056	2
2	1936	3872	7744	2
3	1296	3888	7776	2
4	1000	4000	8000	2

Es interesante la parte derecha, porque el cociente da una pista sobre los números de Aquiles que pueden estar intercalados, como ocurre con el número 10584. Sólo incluimos la tabla para que puedas analizarla y buscar explicaciones.

	N	Es de Aquiles
1	10584	VERDADERO	2 2 2 3 3 3 7 7
2	21168	VERDADERO
3	31752	VERDADERO
4	42336	VERDADERO
5	52920	FALSO
6	63504	FALSO

Números de Aquiles (2) Damos unas vueltas

2012-01-12T16:59:00.000+01:00

Primera vuelta

Jerarquía entre aquileanos

En una entrada anterior definimos los números de Aquiles como números poderosos que no pueden representarse como potencias perfectas y vimos que se podían escribir como N=a²b³ con a y b naturales y mayores que 1.

¿Es posible que algún divisor propio de un número de Aquiles también tenga esa propiedad?

Basta pensar un poco en ello y descubrir que sí es posible: Toma dos números primos entre sí mayores que 1, como el 2 y el 5. Añade a ellos otro que forme un trío de números también primos entre sí (no hace falta que lo sean dos a dos). En nuestro ejemplo podría ser el 6. Con el conjunto 2,5,6 como signatura formamos un número de Aquiles mediante tres primos p,q,r. Así: N=p²q⁵r⁶, Si ahora dividimos entre r⁶, nos quedará p²q⁵, que es divisor propio de N y también es de Aquiles.

Es posible, pero no necesario. De hecho, existen números de Aquiles cuyos divisores propios no son de ese tipo, como el 72. ¿Qué caracteriza a esos números? Vamos a demostrar que son aquellos cuya signatura prima es (2,3), es decir, que son de la forma p²q³ con p y q ambos primos.

Son números de Aquiles minimales los que tienen la forma p²q³ con p y q ambos primos.

Vimos en la anterior entrada sobre este tema que todo número de Aquiles se puede expresar como N=a²b³ con a y b naturales y mayores que 1. Si uno de ellos es compuesto, por ejemplo a, sea a=a’*k con a’ mayor que 1 y N se puede expresar como N=(a’*k)²b³ = (a’²*b³)*k². El paréntesis es un número de Aquiles y divisor de N, luego es necesario que a y b sean primos para que N sea minimal.

Inversamente, si a y b son primos mayores que 1, los únicos divisores propios de N estarían en este conjunto: 1, a, b, a², b², b³, ab, ab², a²b, ab³, a²b², y ninguno cumple lo exigido a un número de Aquiles.

Según esto, los números de Aquiles minimales son los contenidos en la secuencia
https://oeis.org/A143610

72, 108, 200, 392, 500, 675, 968, 1125, 1323, 1352, 1372, 2312, 2888, 3087, 3267, 4232, 4563, 5324, 6125, 6728, 7688, 7803, 8575, 8788, 9747, 10952, 11979, 13448...

Esta secuencia de OEIS no recogía en principio el carácter de número de Aquiles minimal, por lo que hemos propuesto su inclusión mediante este comentario:

Every a(n) is an Achilles number (A052486). They are minimal, meaning no proper divisor is an Achilles number. [Antonio Roldán, Dec 27 2011]

A la inversa ¿Qué múltiplos de un número de Aquiles también lo son? En principio, adivinarás que infinitos. Se pueden ir añadiendo potencias de primos de forma que sus exponentes sean primos entre sí en su conjunto.

Proponemos una demostración sencilla: Todo número de Aquiles posee un divisor (no necesariamente propio) que tiene el carácter de número de Aquiles minimal

Ya tenemos una jerarquía completa de divisores y múltiplos de números de Aquiles, que comienzan en los minimales y no están acotados.

Otro día, otra vuelta.

Números y hoja de cálculo III

2012-01-09T19:15:00.000+01:00

Otro año más publicamos el resumen de las entradas de este blog aparecidas en el pasado curso.

Mientras contemos con material y nos queden fuerzas para ello, aparecerá un tomo nuevo de la colección en los primeros meses de cada año.

Con el título de Números y hoja de cálculo III se recogen en una sola publicación las entradas del curso 2010-11, revisadas, ampliadas y con soluciones a las cuestiones planteadas. Como en ocasiones anteriores la estructura en capítulos viene dada por el contenido previo. Según esto, no debe tomarse este resumen como un manual, pues no se desarrollan exhaustivamente los temas y se pasa de unos a otros sin ninguna pretensión de orden lógico.

Como en años anteriores se ofrece la descarga gratuita y la compra del ejemplar impreso.

Descarga directa desde Hojamat

http://hojamat.es/publicaciones/hojanum3.pdf

Descarga gratuita y compra de la copia impresa desde Lulu.com

http://www.lulu.com/spotlight/aroldanmart

Números de Aquiles (1)

2012-01-04T09:44:00.001+01:00

Un número natural se llama poderoso cuando todos los exponentes de sus factores primos son mayores o iguales a 2. Expresado de otra manera: si N es poderoso y un número p primo divide a N, entonces p² también divide a N.

Esta definición tiene una consecuencia muy curiosa: todos los números poderosos se pueden expresar así: N=a²b³ con a y b naturales. ¿Te atreves a demostrarlo? Antes de que te pongas a ello, recuerda que no hemos dicho que a y b tengan que ser primos.

Los números de Aquiles son números poderosos que no pueden representarse como potencias perfectas, es decir, no equivalen a m^n con m y n naturales. Esto significa que el máximo común divisor de los exponentes ha de ser 1. En efecto, si en la descomposición de un número los exponentes tuvieran un factor común se podría efectuar la siguiente transformación:

Esto convertiría N en una potencia, en contra de lo supuesto.

Por ejemplo, el número 2700 es de Aquiles, porque equivale a 2²*5²*3³. El m.c.d de los exponentes es 1. Son coprimos, aunque no dos a dos.

La descomposición N=a²b³ que vimos más arriba exige que en el caso de los números de Aquiles ni a ni b sean iguales a la unidad.

Los primeros números de Aquiles son

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800,… (http://oeis.org/A052486)

Se han descubierto interesantes propiedades de estos números. Por ejemplo:

* 3087 y 7803 son ambos de Aquiles y sus cifras ordenadas en orden inverso

* Los números de Aquiles consecutivos más pequeños son

5425069447 = 7³ × 41² × 97²
5425069448 = 2³ × 26041²

* Hay números de Aquiles “fuertes”, en los que ellos son de Aquiles y su indicatriz de Euler también.

Son estos:

500, 864, 1944, 2000, 2592, 3456, 5000, 10125, 10368, 12348, 12500, 16875, 19652, 19773,...(https://oeis.org/A194085)

Ya los tienes presentados. Dentro de unos días daremos unas vueltecitas a estos números

Saludamos al 2012

2011-12-27T19:38:00.000+01:00

Saludamos al año nuevo con una sola expresión:

2012=(9*8*7 - 6 + 5)*4 - 3 + 2 + 1 + 0

Las diez cifras bien ordenaditas de mayor a menor.

El 2012 como inspiración

2011-12-26T09:12:00.003+01:00

Con motivo de la entrada del 2012, nuestro colaborador y amigo Rafael Parra Machío nos obsequia con otro de sus interesantes documentos. Con base en las propiedades de este año nos recorre varios temas de Matemáticas Recreativas, propiedades de los números y diversas representaciones del 2012.

Lo podéis descargar desde

http://hojamat.es/parra/prop2012.pdf

Os regalará un buen tiempo de aprendizaje y recreo.

Yo ya sabía que saldría el 58268

2011-12-22T17:34:00.000+01:00

(Mi pequeña broma sobre el Gordo)

Era fácil: Intuí que en el año 2011 el Gordo saldría pronto, exactamente cuando yo cumpliera 70 años, 21 días y 7 horas. Bastaba sumar años con años, aparte sumar también las otras dos medidas y multiplicar ¡Sencillo!:

(2011+70)*(21+7)=58268

No podía ser otro.

Como no iba a ir hasta Huesca, me compré otro parecido y he obtenido 6 € por euro. Otro año me aplicaré más.

Cuando éramos niños esta mañana del 22 marcaba el inicio de la Navidad, antes de que las multinacionales y ayuntamientos la adelantaran un mes. Es un buen día para desearos feliz Nochebuena y que, si hay suerte, os visite la mágica ilusión de la niñez.

El algoritmo de Moessner

2011-12-21T10:21:00.010+01:00

(Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas 2.9, cuyo anfitrión es el blog "Que no te aburran las M@TES")

Presentamos hoy una curiosidad matemática a base de cribados: toma la lista de los primeros números naturales.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Tacha después uno de cada cuatro, comenzando con el mismo 4:
1 2 3 5 6 7 9 10 11 13 14

Después escribe la lista de sus sumas parciales.
1 3 6 11 17 24 33 43 54 67 81

Y ahora tachas de tres en tres, sumando después de nuevo.
1 3 11 17 33 43 67 81
1 4 15 32 65 108 175 256

Después tachas de dos en dos
1 15 65 175

Y sumas
1 16 81 256

El resultado es la serie de las potencias cuartas de los naturales. Recuerda que hemos comenzando tachando de cuatro en cuatro. ¿Funcionará con el tres?

Lo escribimos sin explicaciones:

1 2 4 5 7 8 10 11 13 14 16 17
1 3 7 12 19 27 37 48 61 75 91 108
1 7 19 37 61 91
1 8 27 64 125 216

Resultan los cubos. Prueba de dos en dos y obtendrás los cuadrados. ¿Funcionará esto siempre? Este algoritmo lo propuso Alfred Moessner y fue demostrada su validez para cualquier valor natural por Oskar Perron en 1951 usando la inducción matemática.

Nuestro objetivo hoy es reproducir este algoritmo con hoja de cálculo, que por cierto no es nada fácil. Contiene una verdadera trampa, que es la posible confusión entre valores y posiciones. Lo vemos:

En la celda A9 escribimos la amplitud de los saltos. En la imagen está preparado para que resulten las cuartas potencias. La hoja se encarga de ir restando una unidad hacia abajo y dejar de escribir cuando se llegue a 1. El modelo está preparado para llegar a 5, pero si lo descargas puedes ampliarlo a tu gusto.

La fila 7 contiene la serie de números naturales. Después se van repitiendo hacia abajo tres filas:

Primera: Es un artificio, pues la hoja debe buscar el elemento a tachar cada vez más lejos, y dependiendo del valor de A9. Esto lo hemos resuelto con la fórmula (usamos la contenida en C8)

=SI(ESNUMERO($A12);SI(RESIDUO(C$7-1;$A12)=0;B8+1;B8);"")

En primer lugar verifica si aún quedan saltos por dar con ESNUMERO($A12). Después encuentra el residuo del número de arriba respecto al salto y hace avanzar el contador (B8) si ese número es múltiplo del salto. Así medimos el alejamiento del elemento que debemos tachar. Observa que van aumentando los valores cada tres (representan los tres supervivientes después de tachar)

Segunda: Aquí se eligen los números entre los de arriba, saltando los que ocupan un lugar múltiplo de 3. Después, con la función DESREF se dirigen a la celda adecuada para copiar el número:

=SI(ESNUMERO($A12);DESREF(C9;-2;C8);"")

DESREF se dirige a dos filas más arriba (-2) y salta según indica el valor de arriba (C8). Como esta contiene los saltos adecuados, cada vez que cambie su valor se tacha un número. Es lo que queríamos. No es fácil de entender y cuesta encontrar el procedimiento.

Tercera: Se limita a acumular sumas, y al llegar al nivel 1 produce las potencias deseadas.
Aunque esto no pasa de una curiosidad, la construcción del algoritmo es apasionante. Este que ofrecemos no usa macros, y lo puedes descargar en dos versiones desde

hojamat.es/blog/moessner.zip

Emparedado de cuadrados (4)

2011-12-15T08:43:00.000+01:00

¡Que quedan flecos sueltos!

Después de tres entradas sabrás ya mucho sobre los cuadrados que rodean a un número natural. Demuéstralo:

(a) Si A divide a B, ¿crees que la parte cuadrada de A dividirá a la de B?

(b) ¿Ocurrirá lo mismo con los menores múltiplos cuadrados?

(c) Si A divide a B y son distintos, ¿cuándo se dará que PC(A)=PC(B)?

(d) ¿Podemos relacionar de igual forma la parte libre de A con la de B?

(e) Considera el máximo común divisor de la parte cuadrada y la libre de un número natural N ¿qué podremos afirmar de él? ¿Se comportará como una función multiplicativa?

Emparedado de cuadrados (3)

2011-12-13T09:32:00.001+01:00

En esta entrada comprobaremos la potencia del concepto de función multiplicativa. Usaremos fundamentalmente dos propiedades:

(1) Según vimos en la entrada correspondiente a las funciones multiplicativas, si g(x) es una función multiplicativa, entonces, la función f(n) definida por

en la que el sumatorio recorre todos los divisores de n, también es multiplicativa.

(2) Debemos recordar también que la definición de una función multiplicativa basta hacerla para los factores primarios p^e de un número, siendo p un factor primo y e su exponente.

Estudiaremos esas sumas que recorren todos los divisores en las funciones multiplicativas estudiadas en la entrada anterior

Suma de las partes cuadradas de los divisores de N SPC(N)

Es una función multiplicativa

Si la parte cuadrada de un número es multiplicativa, su suma a lo largo de los divisores del número también lo será. Una forma rápida de encontrar esa suma se consigue con el Buscador de Naturales, usando estas condiciones y consultando después la suma en el evaluador. Observa cómo lo hemos conseguido para el número 252= 2*2*3*3*7

Se ha definido una búsqueda entre 1 y 252, con las condiciones DIVISOR DE 252 y EVALUAR PARTECUAD(N) y nos da un resultado de 132.

Así que la suma de esas partes cuadradas (SPC(N)) para 252 es 132.

Esta función está publicada en http://oeis.org/A068976 y ahí se dan fórmulas y desarrollos para el cálculo de la misma. Es claro que es multiplicativa y por eso la fórmula de Vladeta Jovovic que se propone en esa página sólo define la función para un factor primario p^e.

La escribimos de forma algebraica aplicada a p^e:

Si e es par:

Si e es impar:

¿Cómo demostrarlo? Te damos una idea.

Considera todos los divisores del número p^e:

1 p p² p³ p⁴ p⁵ p⁶ … p^e-1 p^e

Si les aplicamos la función “parte cuadrada” PC deberemos truncar los exponentes al máximo número par que contienen.

Si e es par quedaría:

1 1 p² p² p⁴ p⁴ p⁶ … p^e-2 p^e que se puede descomponer en dos sumas:

SPC(pe)=( 1 + p² + p⁴ + p⁶ … p^e )+( 1 + p² + p⁴ + p⁶ … p^e-2 ) que al final desembocan en la suma propuesta

Si es impar las dos sumas serían iguales, luego

SPC(pe)=2( 1 + p² + p⁴ + p⁶ … p^e-1 ) que también nos lleva a la fórmula propuesta arriba.

Aplicamos estas fórmulas a 252= 2²*3²*7, en el que aplicaría el caso par para el 2 y el 3 y el impar para el 7:

SPC(252)=(15/3+3/3)(80/8+8/8)(2*48/48)=6*11*2=132, como era de esperar.

Si practicas estos cálculos con otros números, tanto manualmente como con el Buscador o las fórmulas aprenderás mucho.

Suma de partes libres SPL(N)

Es también multiplicativa

Con los mismos procedimientos y propiedades podemos intentar sumar las partes libres de los divisores de un número.

Con el Buscador podemos encontrar esa suma para 1102, por ejemplo:

Las condiciones usadas son DIVISOR DE 1102 y EVALUAR N/PARTECUAD(N), ya que esa es una definición de parte libre. Recorremos los números del 1 al 1102 y el evaluador nos da una solución de 180.

En la página http://oeis.org/A069088 puedes ver la lista de los primeros valores de esta función (1, 3, 4, 4, 6, 12, 8, 6, 5, 18, 12, 16, 14, 24…) y la definición ligeramente distinta a la nuestra. Lo que no ofrece es una fórmula para la evaluación directa. La ofrecemos nosotros para p^e, como en los casos anteriores:

Si e es par:

Si e es impar

La demostración también se basa en el conjunto

1 p p² p³ p⁴ p⁵ p⁶ … p^e-1 p^e

Al aplicarle la función “parte libre” PL las potencias pares se convertirán en 1 y las impares en p, por lo que la suma de las partes libres será

1+p+1+p+1+p+1+p+…. Que terminará en 1 o en p según el exponente sea par o impar. El resto de la demostración es trivial, sacando factor común el factor (1+p) hasta donde se pueda.

Aplicamos la fórmula a 2200=2³*5²*11: SPL(2200)=(2+1)*4/2*((5+1)*2/2+1)(11+1)*2/2=3*2*7*12=504

Lo hemos comprobado con el Buscador y coincide.

Suma de los mínimos múltiplos cuadrados de los divisores de N SMMC(N)

Otra multiplicativa

Si ahora, en lugar de N/PARTECUAD(N) usamos N*N/PARTECUAD(N) en el Buscador (¿Por qué? Revisa la propiedades vistas en las entradas anteriores ) obtendremos la suma de MMC(N)

Esta función multiplicativa la hemos publicado en OEIS, pues en la fecha de su creación permanecía inédita (ver https://oeis.org/A198286). Sus primeros valores son

1, 5, 10, 9, 26, 50, 50, 25, 19, 130, 122, 90, 170, 250, 260…

Podemos usar una fórmula similar a las anteriores. No es difícil que la puedas justificar si entendiste las primeras.

Si e es par

Si e es impar

Lo vemos con un número compuesto, el 12=2²*3

En primer lugar aplicamos la definición de SMMC y para cada primo sumamos el mínimo múltiplo cuadrado de cada una de sus potencias: SMMC(12)=(1+4+4)(1+9)=9*10=90, como puedes ver en la lista general.

Ahora aplicamos la fórmula:

SMMC(22) (caso par) = 1+2((16-4)/(4-1))=1+2*4=9, que era lo esperado

SMMC(3) (caso impar) = (1+9)((9-1)/(9-1))=10*1=10, que con el 9 anterior da 90.

Proponemos una cuestión:

(a) La suma de las partes cuadradas de los divisores de un número coincide con esta suma:

¿Sabrías demostrarlo? Se consigue como en las anteriores, comenzando a considerar el conjunto 1 p p² p³ p⁴ p⁵ p⁶ … p^e-1 p^e

Emparedado de cuadrados (2)

2011-12-08T09:17:00.000+01:00

Relaciones entre los cuadrados que rodean a un número

Según lo definido en la entrada anterior, para conseguir el mínimo múltiplo cuadrado de N sólo tendremos que multiplicar N por su parte libre. En efecto, esa parte libre contiene los factores primos de N elevados al residuo de cada exponente módulo 2. Más claramente: contiene los números primos elevados a 1 si su exponente era impar. Pero si los multiplicamos por N todos esos exponentes se harán pares, con lo que hemos conseguido el MMC(N).

Lo repasamos con un ejemplo:

Sea 11400=5²*2³*3*19. Su parte cuadrada contendrá los factores con exponente truncado a par: PC(1140)= 5²*2² = 100. Su parte libre estará formada por el resto de factores, es decir, PL(1140)=2*3*19=114. Es evidente pues que:

PC(N)*PL(N)=N (1)

Pero si ahora volvemos a multiplicar por PL(N), todos los exponentes se harán pares y el producto se habrá convertido en MMC(N):

1140*PL(1140)= 5²*2³*3*19*2*3*19=5²*2⁴*3²*19²=1299600=MMC(11400)

Hemos razonado que

N*PL(N)=MMC(N) (2)

Uniendo (1) con (2) llegamos a una conclusión muy elegante: N es la media geométrica entre el mayor cuadrado que lo divide y su menor múltiplo cuadrado.

Es así porque N²=PC(N)*MMC(N), según (1) y (2)

En nuestro ejemplo 11400²=100*1299600.

Como los factores del segundo miembro son cuadrados, podemos considerar sus raíces cuadradas. Así definiremos:

(a) Raíz interna de N es la raíz cuadrada de su parte cuadrada. En el ejemplo sería 10. La representaremos como RI(N). En este caso RI(11400)=10

(b) Raíz externa de N es la raíz cuadrada de su menor múltiplo cuadrado. En el caso de 11400 podríamos escribir RE(11400)=1140, que es la raíz cuadrada de MMC(11400)

Un resumen también muy elegante:

Todo número natural equivale al producto de sus dos raíces enteras, interna y externa

En efecto: 11400=10*1140

Podemos representar todo lo anterior gráficamente. Observa esta imagen:

Representa los cuadrados correspondientes al número 180=2²*3²*5.

El cuadrado rojo de la esquina es su parte cuadrada PC(180)= 2²*3²=36, que son los cuadritos que contiene. Su raíz cuadrada es RI(180)=6, que se representa por el lado del cuadrado.

La parte libre de 180 es 5. Si copiamos el cuadrado rojo cinco veces a la derecha nos resultará un rectángulo (el separado por la línea gruesa roja) de 180 cuadros, o sea, el número considerado. Esto es así porque N=PC(N)*PL(N).

Si ese rectángulo que contiene 180 cuadros lo trasladamos cinco veces hacia arriba nos resultan 900 cuadros, que es precisamente el menor múltiplo cuadrado. Esto funciona porque N*PL(N) =MMC(N). El lado de ese cuadrado, 30, será la raíz cuadrada externa de 180.

¿Qué hemos visualizado?:

Todo número se puede representar por un rectángulo de base su raíz externa y de altura la interna.
Si el interior de ese rectángulo lo descomponemos en tantos trozos iguales como indique la parte libre obtendremos la parte cuadrada.
Si ese rectángulo lo adosamos consigo mismo por su base tantas veces como indique la parte libre, formaremos un cuadrado que será su menor múltiplo de ese tipo.

¡Se completó el emparedado!

Y lo mejor, como todas las funciones que hemos usado son multiplicativas, dados dos números coprimos, sus esquemas de este tipo se pueden fundir en uno solo multiplicando uno a uno los datos que han intervenido: PC, PL, RI,…

Todo esto no pasa de ser un divertimento, pero te ayuda a aprender conceptos.

Funciones multiplicativas. Emparedado de cuadrados (1)

2011-12-03T05:31:00.001+01:00

Comentábamos en una entrada anterior los conceptos de parte cuadrada y parte libre de un número. Ahora tomaremos estos conceptos para usarlos como ejemplo de funciones multiplicativas. Antes añadiremos otra definición. Repasamos:

Parte cuadrada PC(N): Es el mayor divisor cuadrado de N (Ver http://oeis.org/A008833)

Parte libre PL(N): Equivale al cociente entre N y su parte cuadrada (http://oeis.org/A007913)

Radical RAD(N): Es el mayor divisor de N que está libre de cuadrados (http://oeis.org/A007947)

Y añadimos otra

Menor múltiplo cuadrado MMC(N): Como indica su nombre, es el menor cuadrado divisible entre N
(http://oeis.org/A053143)

Así que el número N está emparedado entre dos cuadrados.

Uno es el mayor divisor cuadrado PC(N) y el otro es el menor múltiplo de esa clase MMC(N).

Lo aclaramos con un ejemplo

Si consideramos el número 126, sus factores primos son 2*3*3*7, luego
PC(126)=9 porque es el único cuadrado que podemos formar con 2,3,3,7. El exponente de 3 es par, como cabía esperar.
PL(126)=126/9=14, que equivale al producto de 2*7, ambos elevados a 1
RAD(126)=2*3*7=42 Está formado por todos los factores primos elevados a 1.
MMC(126)=2²*3²*7²=1764. Se consigue este número completando los exponentes de sus factores primos a un número par.

Así que, como veremos, cualquier número está comprendido entre dos cuadrados de este tipo. A continuación estudiaremos su cálculo y carácter multiplicativo, dejando para la siguiente entrada sus relaciones.

Parte cuadrada PC

Es evidente que para calcularlo bastará sustituir cada exponente de los factores primos por el mayor número par contenido en cada uno de ellos. Por ejemplo, si N=2³*7²*11=4312, su parte cuadrada se obtendrá truncando cada exponente al máximo número par que contiene, es decir: PC(N)= 2²*7²*11⁰=196

Vimos en la primera entrada de las funciones multiplicativas que estas quedaban caracterizadas por su acción sobre los factores primarios de N. De esta forma, la definición de parte cuadrada podía quedar como

Es decir, que a cada exponente se le resta su resto al dividirlo entre 2. Por este tipo de actuación sobre factores primarios de forma independiente, multiplicando después los resultados, ya sabemos que la parte cuadrada es multiplicativa.

Intenta reproducir esta comprobación:

En ella vemos que 1617 y 2000 son coprimos y que el producto de sus partes cuadradas 49 y 400 coincide con la parte cuadrada del producto 3234000=1617*2000. Tendrás que trabajar un poquito, pero aprenderás mucho.

Parte libre

Para no alargar el tema, tan sólo destacaremos que su definición para factores primarios puede ser:

Esto quiere decir que los factores pares desaparecerán en la parte libre y que los impares se convertirán en 1. Al actuar sobre los factores primarios de forma independiente, esta función es también multiplicativa.

Te proponemos una comprobación de su carácter multiplicativo:

Repasa los cálculos y recuerda que ahora se trata de la parte libre.

Mínimo múltiplo cuadrado

Con todo lo que ya llevamos, su definición te vendrá a la mente al momento. Es esta:

Era de esperar. El número N está “emparedado” entre dos cuadrados: el que resulta de restar un 1 o un 0 a los exponentes y el que se calcula sumando ese 1 a los impares y un 0 a los pares.

Por ejemplo:

PC(2400)= =2⁴*5²=400; 2400= =2⁵*5²*3; MMC(2400)=14400= =2⁶*5²*3²

Esta función es multiplicativa por la misma razón que las anteriores.

(Continuará)

Pasito a pasito hacia la complejidad (ampliación)

2011-11-29T20:15:00.000+01:00

Después de publicar las dos entradas anteriores referentes a “pasito a pasito hacia la complejidad” nuestro amigo Claudio Meller nos escribió destacando propiedades muy parecidas. En concreto:

47 primo
46 = 2 x 23
45 = 3 x 3 x 5

107 primo
106 = 2 x 53
105 = 3 x 5 x 7
104 = 2 x 2 x 2 x 13

71999 primo
71998 = 2 x 35999
71997 = 3 x 103 x 233
71996 = 2 x 2 x 41 x 439
71995 = 5 x 7 x 11 x 11 x 17

En este blog si nos dan un empujoncito salimos corriendo a descubrir cosas nuevas. Así que Claudio ha sido en este caso el motor de arranque de nuevas búsquedas.

Pasitos hacia atrás

En efecto, los pasos no tienen que ser necesariamente hacia un crecimiento. Pueden decrecer, como en los ejemplos propuestos por nuestro amigo. Investigando en OEIS y con nuestros buscadores podemos presentar lo siguiente:

Primos p con p-1 semiprimo

5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467,…

https://oeis.org/A005385

Como en la entradas anteriores, p-1 ha de ser múltiplo de 2 y de otro primo q=(p-1)/2 Por tanto ese nuevo primo q sería del tipo de Sofie Germain.

(Ver http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_de_Sophie_Germain
y http://oeis.org/A005384)

Primos p con p-1 semiprimo y p-2 3-casiprimo

47, 107, 167, 263, 347, 359, 467, 479, 563, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1907, 2039, 2063, 2099, 2447, 2819, 2879,…

En ellos p-1 es par, p-2 múltiplo de 3 y p es del tipo 12k-1

Esta sucesión estaba inédita en OEIS y la acabamos de publicar incluyendo a Claudio Meller como “sugeridor”. Está en http://oeis.org/A201147

Con tres pasos

107, 263, 347, 479, 863, 887, 1019, 2063, 2447, 3023, 3167, 3623, 5387, 5399, 5879, 6599, 6983, 7079, 8423, 8699, 9743, 9887,…

En ellos p-1 es par, p-2 múltiplo de 3, p-3 múltiplo de 4 y p es del tipo 12k-1

También la acabamos de publicar con la cita correspondiente a Claudio en http://oeis.org/A201220

Más pasos

Los primeros números naturales que inician sucesiones similares son

2, 5, 47, 107, 71999, 392279, 4533292679...

http://oeis.org/A093552

Por ejemplo, tenemos:

4533292679=4533292679
4533292678=2*2266646339
4533292677=3*251*6020309
4533292676=2*2*11*103029379
4533292675=5*5*17*1871*5701
4533292674=2*3*3*41*661*9293
4533292673=7*7*13*13*29*43*439

Si a alguien se le ocurre otro tipo de pasito a la complejidad no tiene más que avisarnos.

Pasito a pasito hacia la complejidad (Soluciones)

2011-11-25T18:06:00.001+01:00

(Con esta entrada y la anterior participamos en el 2.8 Carnaval de Matemáticas, organizado en esta ocasión por Ciencia Conjunta)

Soluciones a las cuestiones planteadas en la entrada anterior:

(a) Si N es primo y N+1 semiprimo, como N+1 es par, ha de ser múltiplo de 2, luego (N+1)/2 ha de ser primo para que se cumpla que N+1 sea semiprimo. Recíprocamente: si (N+1)/2 es primo, N+1 es semiprimo, pues N+1=2p con p primo.

(b) El directo es muy sencillo, pues sigma(N)=1+N por ser primo, luego sigma(N)/2 es primo. El recíproco hay que verlo con más cuidado: si sigma(N)/2 es primo, sigma(N)=2p con p primo. Pero la fórmula de sigma(N) se compone de varios factores del tipo 1+q+q²+q³+… con q factor primo de N. En este caso sólo puede haber un factor primo, ya que 1+q>2, luego el 2 se ha producido como factor de 1+q+q²+q³+…Para que 1+q+q²+q³+…=2p ha de reducirse a 1+q. En efecto, si la potencia mayor es impar, la suma de potencias 1+q+q²+…sería impar y no podría ser múltiplo de 2. Si la mayor es par, se puede descomponer en (1+q)+q(1+q)+q²(1+q)+…=(1+q)(1+q+q²+…) y ambos factores serían mayores que 2, lo que no es lo supuesto.

(c) Si N=4k+3 entonces N+1=4(k+1) con lo que no podría ser semiprimo.

(d) N es primo, luego no será múltiplo de 3. N+1 es del tipo 2p con p primo. Ese primo no puede ser 3, porque entonces N+1=6 y N=5 y hemos afirmado que es mayor. Si no es 3, no será tampoco múltiplo de 3, pues entonces N+1 no sería semiprimo. Por tanto, N+1 no es múltiplo de 3, Como los múltiplos de 3 aparecen de 3 en 3 números, N+2 sí tendrá que serlo.

(e) Si N es primo, su resto módulo 12 sólo puede ser 1, 5, 7 u 11. Por tanto los restos que producirá N+2 serán 2, 6, 8 o 0 y los de N+2 3, 7, 9 y 1. Hay que desechar estos:
11- Si el resto es 11, N+1 sería múltiplo de 12, y no podría ser semiprimo.
5- N+2 sería del tipo 12k+7, lo que impediría que fuera múltiplo de 3.
7- N+1 sería del tipo 12k+8=2*2*(3k+1) y no sería semiprimo
Luego sólo nos queda que el resto sea 1.

(f) Porque N+1 es múltiplo de 2, N+2 de 3, N+3 de 4, y así sucesivamente, luego N ha de tener resto 1 para 2, 3, 4, 5… y por tanto también para su MCM.

Pasito a pasito hacia la complejidad

2011-11-21T16:16:00.000+01:00

(Con esta entrada y la siguiente participamos en el 2.8 Carnaval de Matemáticas, organizado en esta ocasión por Ciencia Conjunta)

Toma el número 807905281, que es primo. Súmale una unidad y lo habrás convertido en un semiprimo múltiplo de 2:

807905282 = 2*403952641

Una unidad más y ahora será un 3-casiprimo (tres factores primos) múltiplo de 3:

807905283 = 3*15733*17117

Pero sigue de uno en uno. Descubrirás que cada vez tendremos un factor primo más y que será múltiplo de 4, 5, 6, 7, … Observa:

807905284 = 2*2*1871*107951
807905285 = 5*11*43*211*1619
807905286 = 2*3*3*3*37*404357
807905287 = 7*7*7*7*29*41*283

Pero hasta aquí llegamos, pues con una unidad más se disminuye el número de primos. En efecto, 807905288 = 2*2*2*53*1905437

¿Es frecuente este avanzar de unidad en unidad a estructuras más complejas? Pues sí y no. Muy frecuente no es, pero si nos conformamos con menos pasos, existen muchos ejemplos, ya publicados, y que puedes reproducir fácilmente con un par de funciones. Aprovecharemos estos ejemplos para que razonemos un poco. Las soluciones aparecerán en una próxima entrada.

Un paso

Es el caso más simple, el de N primo y N+1 semiprimo. Lo cumplen estos primos: 3, 5, 13, 37, 61, 73, 157, 193, 277, 313, 397, 421, 457, 541, 613, 661, 673, 733,… y está publicado en https://oeis.org/A005383

(a) Un razonamiento sencillo: Una condición equivalente para todos los primos N de la lista es que (N+1)/2 sea también primo. ¿Descubres la causa?
(b) Otro más difícil: Estas condiciones también equivalen a que sigma(N)/2 sea un número primo. ¿Por qué?
(c) Salvo el 3, todos los demás son primos del tipo 4k+1. Piensa en resto que debería tener N+1 con módulo 4.

Dos pasos

Existen primos N en los que N+1 es semiprimo y N+2 tiene 3 factores primos. Son estos:
61, 73, 193, 277, 397, 421, 613, 661, 757, 1093, 1237, 1453, 1657, 2137, 2341, 2593,… https://oeis.org/A112998

Es evidente que forman un subconjunto de los anteriores, y esto nos va ocurrir en cada paso que demos.
Piensa un poco: (d) Si N>5 (y todos lo son) N+2 ha de ser múltiplo de 3

Y otro poco más: (e) Todos los primos de la sucesión presentan resto 1 al dividirlos entre 12: 61=5*12+1; 73=6*12+1,…Razónalo (lo tienes en inglés en A112998. Lo aclararemos en la próxima entrada)

Tres pasos

También los conocemos: 193, 421, 661, 1093, 1657, 2137, 2341, 2593, 6217, 7057, 8101, 9817, 12421, 12853,…https://oeis.org/A113000 Subconjunto de los anteriores y con las mismas propiedades.

En ellos N+1 es par, N+2 múltiplo de 3 y N+3 múltiplo de 4. Si has desarrollado las cuestiones anteriores, no te costará entenderlo.

Más pasos

Para seguir jugando a esto necesitas las funciones ESPRIMO y BIGOMEGA, que es la función que cuenta los factores primos con multiplicidad (Ver su código en http://hojaynumeros.blogspot.com/2011/01/redondez-de-un-numero.html)

Para crear un código de búsqueda puedes tener en cuenta que para el caso de k pasos, el número primo inicial ha de tener resto 1 tomando como módulo el MCM de los números 1,2,3…k
(f) Si has entendido todo lo anterior sabrás la razón.

En Basic puedes intentar algo así:

Input k Escribimos el número de pasos
Input mcm Para dar más velocidad, escribimos ya calculado el MCM
Input n Final de búsqueda. Generalmente un número grande.

For i = 1 To n Step mcm Los saltos de mcm en mcm ahorran muchos pasos de cálculo
a = 0
If esprimo(i) Then
For p = 1 To k
If bigomega(i + p) = p + 1 Then a = a + 1 La línea fundamental
Next p
If a = k Then Msgbox(i)
End If
Next i
End Sub

Por ejemplo, para k=4, bastante tiempo y paciencia, llegarías a esta sucesión:

15121, 35521, 52321, 117841, 235441, 313561, 398821, 516421, 520021, 531121, 570601, 623641,… http://oeis.org/A113008

Para comprobar tu código y ahorrar tiempo, aquí tienes el primer número primo de cada caso:
2, 3, 61, 193, 15121, 838561, 807905281, 19896463921, 3059220303001, 3931520917431241,… https://oeis.org/A072875

Y para ampliar y asombrarte con el trabajo de algunos, estudia esta página:

http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_425.htm

Las soluciones de las cuestiones (a) a (f) las tendrás en la próxima entrada de este blog

Mi pequeño homenaje al 11/11/11

2011-11-10T20:46:00.001+01:00

111111 se descompone en los factores primos 3, 7, 11, 13, 37. Si los concatenamos en ese orden resulta otro bonito número primo: 37111337 (Ver http://oeis.org/A046411) Si los sumamos, también: el 71

Y si expresamos 111111 en base 8: 331007₍₈, usa todas las cifras de la descomposición anterior.

656²-565²=111111 El curioso efecto de sustituir entre sí 6 y 5.

Como sólo quedan unas horas, no me da tiempo de buscar más.

El conjunto de los divisores

2011-11-08T09:41:00.001+01:00

Aunque el conjunto de los divisores de un número aparece en muchas cuestiones y en este blog hemos hecho bastantes referencias a él, conviene, para entender algunas cuestiones sobre funciones multiplicativas, que le demos un repaso.

Consideremos, por ejemplo, el conjunto de los divisores de 240=24*3*5:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240

Lo primero que hay que considerar es que es un conjunto finito. Eso parece una trivialidad, pero nos evita preocuparnos por sumas o productos infinitos.

Orden

Los divisores presentan un orden total respecto a su valor absoluto, y además, cada divisor d está asociado a N/d mediante una correspondencia biunívoca que invierte ese orden. Si multiplicamos en la tabla siguiente dos divisores en columna siempre nos resulta 240:

240 120 80 60 48 40 30 24 20 16 15 12 10 8 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 16 20 24 30 40 48 60 80 120 240

Por tanto, d y N/d recorren el mismo conjunto con órdenes opuestos.

Como todo tipo de divisores, los de N presentan también un orden parcial respecto a la relación divisor-múltiplo. En el siguiente esquema representamos el retículo correspondiente a los divisores de 240:

No se han representado todas las relaciones, para no complicar el esquema, pero cada dos divisores tiene un elemento minimal que es su MCD y otro maximal, su MCM. Obsérvese que al recorrer el esquema de arriba abajo va aumentando el número de divisores primos de las descomposiciones factoriales.

Número

Desde las enseñanzas secundarias sabemos que si un número N se descompone en factores primos como

El número de divisores, o función Tau, viene dado por

D(N)=(1+a₁ )*(1+a₂ )…(1+a_k )

Y el conjunto de divisores coincide con los términos del producto

Esto ya es algo sabido. Sólo hay que destacar que el número de divisores depende de la signatura prima, que es el conjunto de exponentes, y no de los factores primos.

La fórmula anterior se traduce en un producto cartesiano formado eligiendo una potencia de un factor primo cada vez. Este producto cartesiano que forman los términos de la expresión (1) es fundamental para entender más tarde cómo se comportan las funciones multiplicativas sobre el conjunto de divisores.

El conjunto de divisores de un número es uno de los mejores ejemplos que existen de concurrencia entre cuestiones combinatorias y de divisibilidad.

Divisores libres de cuadrados

Si sólo consideramos los factores libres de cuadrados obtendremos un esquema similar al del Binomio de Newton. Esto nos será muy útil para algunas funciones multiplicativas.

Los divisores libres de cuadrados poseen factores primos distintos. De esta forma, para engendrar uno de estos divisores bastará elegir algunos de los factores primos, pero una sola vez cada uno. Así desembocamos en un problema de combinaciones. Lo vemos para el caso del 240, para el que el número de factores primos distintos es 3:

Divisores sin ningún factor primo: El 1. Hay en total C3,0
Divisores con un factor: 2, 3, 5. En total C3,1
Con dos factores distintos: 6, 10 y 15: C3,2
Con tres factores: 30, es decir C3,3

Así que en total hay 8. Si recuerdas el desarrollo del binomio, esto ocurre porque C_3,0+ C_3,1+ C_3,2+ C_3,3 = 23 = 8

Generalizando:

El número de divisores libres de cuadrados en un número que posee k factores primos distintos es 2^k

Esta clasificación la usaremos en una próxima entrada. Hemos recorrido los ocho números libres de cuadrados 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30.

Por tanto, el número de divisores no libres de cuadrados será:

D(N)=(1+a₁ )*(1+a₂ )…(1+a_k )- 2^k

En el caso de 240 sería: 5*2*2-8=12, que son estos: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 40, 48, 60, 80, 120, 240

Divisores del producto

Si tomamos dos números A y B primos entre sí y los multiplicamos, sus conjuntos de divisores quedarán multiplicados término a término, todos los de A con cada uno de B.

Por ejemplo, si 240, con 20 divisores, lo multiplicamos por 119=7*17, que posee 4 divisores, 1, 7, 17 y 119, resultará 28540, con estos 80 divisores:

No sólo eso, sino que cada divisor de 28540 será el producto de uno de 240 por otro de 119, como puedes ver en esta otra forma de presentar los divisores:

Esto es así porque al ser primos entre sí A y B aportan factores primos distintos sin que se mezclen los de uno con los del otro.

Por tanto, los divisores de un producto AB en el que A y B son coprimos, están formados por todos los productos posibles dd’ en los que d divide a A y d’ a B

Y con esto llegamos a donde queríamos. Es fácil ya ver lo siguiente:

Si f es multiplicativa y se define F como

Entonces F es también multiplicativa

Ya que las multiplicativas actúan por separado sobre los factores primos y hemos visto que estos se combinan totalmente en el producto.

Este teorema hace que las funciones sigma y tau sumadas a lo largo de sus divisores sean multiplicativas, pero ya volveremos sobre ello. Por ahora lo comprobaremos para la tau mediante un ejemplo:

La suma de la función Tau para el número 77 recorriendo todos sus divisores es 9, la correspondiente a 12, coprimo con 77, es 18. Si los multiplicamos resulta 77*12=924, cuya suma de Tau es 162, producto de 9 con 18.

Al complicar se simplifica

2011-10-30T06:18:00.003+01:00

El uso conjunto de las operaciones de sumar y multiplicar en los temas de Teoría de Números da lugar a resultados aparentemente paradójicos. Los conceptos de divisor y múltiplo, de número primo, compuesto, abundante o deficiente se basan en la operación de multiplicar, pero nos empeñamos en sumarlos. A veces lo que logramos con esto es que al complicar una situación lo que logramos es una estructura menos compleja.

Un ejemplo claro es el de sumar números compuestos de varios divisores y que el resultado resulte ser un número primo. Así, 60=2²*3*5 y 931=7²*19 y sin embargo su suma 991 es un número primo. La operación de sumar ha significado una pérdida de complejidad.

Otro ejemplo: En una entrada anterior (http://hojaynumeros.blogspot.com/2011/06/un-par-de-abundantes.html) vimos que todo número par mayor que 46 es suma de dos abundantes. Esta operación también puede suponer una pérdida de complejidad. Así, 18 y 40, ambos abundantes, con su suma producen el número 58, que es deficiente.

Estudiaremos con detenimiento otro ejemplo: La función sigma (http://hojaynumeros.blogspot.com/2011/03/la-familia-de-las-sigmas-2.html) suma todos los divisores de un número. Es una operación que requiere varios pasos y bastantes operaciones. ¿Podrá producir resultados primos o semiprimos?

Podríamos intentar una búsqueda simple con hoja de cálculo: recorreríamos todos los números en un cierto rango, calculando su sigma y viendo si es prima o semiprima. El resultado sería el siguiente (para números menores que 1000):

Número N	Sigma	Tipo	Factores de N	Factores de Sigma(N)
3	4	Semiprimo	3	2 2
4	7	Primo	2 2	7
5	6	Semiprimo	5	2 3
8	15	Semiprimo	2 2 2	3 5
9	13	Primo	3 3	13
13	14	Semiprimo	13	2 7
16	31	Primo	2 2 2 2	31
18	39	Semiprimo	2 3 3	3 13
25	31	Primo	5 5	31
36	91	Semiprimo	2 2 3 3	7 13
37	38	Semiprimo	37	2 19
49	57	Semiprimo	7 7	3 19
50	93	Semiprimo	2 5 5	3 31
61	62	Semiprimo	61	2 31
64	127	Primo	2 2 2 2 2 2	127
73	74	Semiprimo	73	2 37
81	121	Semiprimo	3 3 3 3	11 11
100	217	Semiprimo	2 2 5 5	7 31
121	133	Semiprimo	11 11	7 19
144	403	Semiprimo	2 2 2 2 3 3	13 31
157	158	Semiprimo	157	2 79
169	183	Semiprimo	13 13	3 61
193	194	Semiprimo	193	2 97
225	403	Semiprimo	3 3 5 5	13 31
256	511	Semiprimo	2 2 2 2 2 2 2 2	7 73
277	278	Semiprimo	277	2 139
289	307	Primo	17 17	307
313	314	Semiprimo	313	2 157
361	381	Semiprimo	19 19	3 127
397	398	Semiprimo	397	2 199
400	961	Semiprimo	2 2 2 2 5 5	31 31
421	422	Semiprimo	421	2 211
457	458	Semiprimo	457	2 229
529	553	Semiprimo	23 23	7 79
541	542	Semiprimo	541	2 271
576	1651	Semiprimo	2 2 2 2 2 2 3 3	13 127
578	921	Semiprimo	2 17 17	3 307
613	614	Semiprimo	613	2 307
625	781	Semiprimo	5 5 5 5	11 71
661	662	Semiprimo	661	2 331
673	674	Semiprimo	673	2 337
729	1093	Primo	3 3 3 3 3 3	1093
733	734	Semiprimo	733	2 367
757	758	Semiprimo	757	2 379
841	871	Semiprimo	29 29	13 67
877	878	Semiprimo	877	2 439
961	993	Semiprimo	31 31	3 331
997	998	Semiprimo	997	2 499

Se ve que en algunos casos, como el del 576, la pérdida de complejidad es notable.

Concretemos un poco, y supongamos que N es semiprimo: N=p*q con p y q ambos primos. ¿Cuándo su sigma resultaría ser prima o semiprima?

Podemos razonar que p ha de ser igual a q: si son ambos iguales a 2, se cumple, porque 4=2*2 y sigma(4)=1+2+4=7 que es primo. En caso contrario, uno de ellos, supongamos que sea p, ha de ser impar, con lo que sigma(N)=(1+p)(1+q)=2h(1+q), con al menos tres factores, por lo que no puede ser primo ni semiprimo. En resumen: N ha de tener la forma de N=p² con p primo. Puedes comprobarlo en la tabla anterior, pues todos los valores de N que presentan dos factores son cuadrados de primos (aunque no están todos)

Número N	Sigma	Factores de sigma
4	7	7
9	13	13
25	31	31
49	57	3 19
121	133	7 19
169	183	3 61
289	307	307
361	381	3 127
529	553	7 79
841	871	13 67
961	993	3 331

En efecto, no están todos los cuadrados de primos, y además, los factores que aparecen en sigma(N) son el 3 y números primos del tipo 6m+1. ¿Por qué? Aclararemos algo a continuación. Repasaremos con ello la teoría de los restos cuadráticos:

Para este tipo de números sigma(N)=1+p+p². Como el caso de p=2 está resuelto, podemos suponer que p>2 y por tanto impar, N será impar y sigma(N) también. Por tanto, si poseen divisores h, estos serán mayores que 2. Llamemos k a un posible divisor de sigma(N). Al ser primo impar, podremos aplicar la teoría de los restos cuadráticos (ver Parra Restos cuadráticos y Ley de reciprocidad cuadrática http://hojamat.es/parra/restocuad.pdf)

(NOTA: Por razones tipográficas usamos el signo = en las congruencias).

Si k es un divisor, se ha de cumplir que 1+p+p²=0 (mod k). Si multiplicamos por 4 quedará:

4+4p+4p²=(2p+1)²+3=0 (Mod k) (1)

Esta congruencia puede darse en dos situaciones:

(a) Que sea k=3. Con ello se cumpliría (1) siempre que 2p+1=0 (mod 3), 2p=2 (mod 3), p=1 (mod 3) (se puede dividir entre 2 porque es primo con k), es decir que p ha de ser de la forma 3m+1. Esta es condición necesaria para que k=3, pero no suficiente.

(b) Que k no sea 3. En ese caso el número -3 ha de ser resto cuadrático respecto a k (Ver Parra http://hojamat.es/parra/restocuad.pdf). Para que esto se cumpla, k ha de tener la forma k=6m+1. Esto completa el razonamiento: k ha de ser 3 o del tipo 6m+1, como puedes comprobar en la tabla anterior.

Una vez determinada la naturaleza de los factores (que sean el 3 u otro primo de la forma 6m+1), debemos tener en cuenta que sigma(N) puede tener un sólo factor y por tanto ser primo, o bien dos, pasando a ser semiprimo.

(A) Sigma(N) es primo

Para el caso de sigma prima puedes consultar https://oeis.org/A023194. Es interesante que leas algunos comentarios, pero ten en cuenta que aquí solo hemos estudiado el caso en el que N era el cuadrado de un primo. Por tanto, nuestra secuencia de estos primos

2, 3, 5, 17, 41, 59, 71, 89, 101, 131, 167, 173, 293, 383, 677, 701, 743, 761, 773, 827, 839, 857, 911, 1091, 1097, 1163, 1181, 1193, 1217…

es una subsecuencia de https://oeis.org/A055638 y coincide con https://oeis.org/A053182 en la que figura un comentario de nuestro amigo Claudio Meller.

Todos sus elementos, salvo los primeros 2 y 3, son números primos de la forma 6m-1.

(A) Sigma(N) es semiprimo

En este caso los resultados son:

Primo p	Sigma(p*p)	Factores de Sigma
7	57	3 19
11	133	7 19
13	183	3 61
19	381	3 127
23	553	7 79
29	871	13 67
31	993	3 331
43	1893	3 631
47	2257	37 61
53	2863	7 409
73	5403	3 1801
83	6973	19 367
97	9507	3 3169
103	10713	3 3571
113	12883	13 991
127	16257	3 5419
157	24807	3 8269
179	32221	7 4603
197	39007	19 2053
199	39801	3 13267
223	49953	3 16651
227	51757	73 709

Como se ve, los factores primos de Sigma sólo pueden ser el 3 o los del tipo 6m+1

Funciones multiplicativas 1 - Definiciones

2011-10-18T09:02:00.002+02:00

(Con esta entrada participamos en la edición 2.7 del Carnaval de Matemáticas, organizado en esta ocasión por el blog La aventura de la Ciencia)

Coincidiendo con la publicación en Hojamat.es del documento Funciones especiales y carácter de Dirichlet de Rafael Parra Machío, y como producto de una feliz casualidad, pues no ha habido acuerdo previo con dicho autor, iniciamos hoy una serie de entradas que de forma espaciada y algo periódica tratarán el tema de las funciones multiplicativas a lo largo de este curso.

Este tema está muy bien tratado en muchos manuales y páginas web, entre ellas la referida más arriba. Por eso, en estas entradas no nos limitaremos a repetir el tratamiento teórico, sino que abordaremos los temas mediante esquemas, cálculos, búsquedas o curiosidades. Los lectores no deben buscar en ellas los fundamentos teóricos, porque sólo aparecerán sintetizados. Así constituyen una invitación a la profundización teórica.

Comenzamos con unas definiciones:

Funciones aritméticas

Son funciones reales o complejas definidas sobre el conjunto de los números naturales.

Por tanto, toda función aritmética admite una representación como una sucesión de números (enteros, reales, complejos…)

Por ejemplo, la sucesión siguiente (representada como una correspondencia con los naturales) representa a la función “mayor divisor propio”. En efecto, repasa la tabla y observarás que los números de abajo son los máximos divisores propios de los de arriba.

Con frecuencia usaremos esta notación u otra similar para representar funciones aritméticas.

Funciones multiplicativas

Una función aritmética es multiplicativa cuando para todo par a y b de números naturales primos entre sí se cumple que

F(a*b)=F(a)*F(b) (si (a,b)=1, siendo (a,b) el MCD de ambos números)

Si esto se cumple aunque los números no sean coprimos, llamaremos a la función completamente multiplicativa. Por ahora no las consideraremos.

Hoy lo explicaremos con un ejemplo sencillo: la función Tau, que es la que cuenta los divisores de un número, y que por comodidad tipográfica designaremos por D(n), ya que es parte de la familia de las funciones divisor o sigmas

(ver http://hojaynumeros.blogspot.com/2011/02/la-familia-de-las-sigmas-1.html)

Así, D(15)=4, porque admite los divisores 1, 3, 5 y 15. De igual forma, D(28)=6, ya que dividen a 28 los números 1, 2, 4, 7, 14 y 28

Pues bien, como 15 y 28 son coprimos, resulta que D(15*28)=24, como puedes comprobar. Más tarde lo razonaremos en general.

A partir de ahora podremos publicar tablas de doble entrada en las que puedas practicar y hacer comprobaciones con las funciones multiplicativas. Aquí tienes la primera, dedicada a la función Tau:

En la tabla sólo aparecen los valores de los productos cuando los dos factores son primos entre sí. Se ha elegido el rango de 20 a 30 porque en el mismo disponemos de gran variedad de números: primos, semiprimos, cuadrados…

Repasa algunos valores, calcúlalos si lo deseas y comprueba el carácter multiplicativo de Tau.

Propiedades de las funciones multiplicativas

(1) Si una función es multiplicativa se dará que F(a*1)=F(a)*F(1), luego deberá ser F(1)=1

A veces esta propiedad no está clara en alguna función, porque puede que no acabe de tener mucho sentido aplicarla a la unidad. En ese caso se suele definir directamente: F(1)=1.

En nuestro ejemplo D(1)=1 porque 1 sólo tiene un divisor.

(2) Si una multiplicativa está definida para cada potencia de un primo, lo estará para todo número natural, pues aplicando la función a la factorización

Por su carácter multiplicativo se tendrá

Puedes seguir los detalles en los documentos teóricos. En ellos también se demuestra lo siguiente, que es fundamental para manejar funciones multiplicativas:

Si una función aplicada a N actúa de igual forma e independientemente para cada factor de N del tipo p^r, siendo p un factor primo de N y r su exponente (factor primario de N), y después multiplica los resultados, esa función será multiplicativa

Si recuerdas la Teoría de la Divisibilidad, la función Tau tiene un desarrollo muy sencillo, que es el producto de los exponentes en la factorización aumentados en una unidad:

D(N)=(1+a₁ )*(1+a₂ )…(1+a_k )

Sólo por este desarrollo ya se habría adivinado que es multiplicativa.

(3) El producto de dos multiplicativas también es también multiplicativo
Consúltalo, pero con un poquito de Álgebra comprenderás esta propiedad.

(4) En esta propiedad hay que detenerse un poco, aunque no la demostraremos (busca, busca…):

Si g(x) es una función multiplicativa, entonces, la función f(n) definida por

en la que el sumatorio recorre todos los divisores de n, también es multiplicativa.

Omitiendo detalles, la base de esta propiedad está en que los divisores de un producto de dos números coprimos M y N son productos de dos divisores, uno de M y otro de N, y al final la suma de productos coincidirá con el producto de sumas. ¿Es difícil de entender? Pues busca el desarrollo en cualquier manual o página que lo explique.

Nosotros lo comprobaremos en el caso de la tau para dos números concretos. Esto no demuestra nada, pero te ayudará a crearte una idea del proceso.

Ves que arriba hemos escrito los divisores de 105 y debajo de cada uno su número de divisores. Nos dan una suma de 27. Hemos efectuado la misma operación con 22 y nos suman 9. El producto de ambos (nótese que son coprimos) es 2310, que tiene 32 divisores (era de esperar ¿no?) y sus divisores suman 243, que es precisamente el producto de 27 por 9, luego en este caso el proceso ha sido multiplicativo. Pero no generalices. Hay que demostrar las cosas.

Lo dejamos por hoy. Otros días veremos algunos ejemplos de funciones multiplicativas interesantes.

Distancia binaria entre primos

2011-10-12T15:37:00.001+02:00

La historia se repite

En una entrada anterior “¿Alguien sabe algo de esto?” nos planteábamos si dado un primo p cualquiera, existe otro q tal que la suma de ambos sea una potencia de 2. Después de algo de reflexión y ayudas externas llegamos a la conclusión de que esta posibilidad fallaba, quizás en el número 1871.

Al revisar la entrada para integrarla en una publicación se me ocurrió usar la diferencia entre primos en lugar de la suma: dado un número primo p, ¿existe siempre un exponente k entero tal que p+2^k sea primo? Al mínimo valor posible de este exponente le llamaremos “distancia binaria entre ambos primos” o DISTBIN.

Podíamos interpretar ese número k como el lugar donde podríamos sumar 1 a la expresión binaria de p para que se convirtiera en otro número primo, el menor posible.

Por ejemplo, el número primo 61 tiene como expresión binaria 111101 y su función distbin vale 8. Esto quiere decir que en el orden 8 de su expresión binaria hay que añadir un 1 (tomamos como 0 la primera posición): 100111101, que equivale al número primo 317.

En los primeros números primos el cálculo de distbin es sencillo:

Primo P	Distancia binaria	Primo Q
2	0	3
3	1	5
5	1	7
7	2	11
11	1	13
13	2	17
17	1	19
19	2	23
23	3	31
29	1	31
31	4	47
37	2	41
41	1	43
43	2	47
47	5	79
53	3	61
59	1	61
61	8	317

Tienes los datos de q en http://oeis.org/A139758 y los de k en http://oeis.org/A094076

Como en el caso anterior de p+q=2^n, hay primos en los que el cálculo de esta distancia desborda la capacidad de una hoja de cálculo. Destacan los siguientes:

El 773

Se tiene que distbin(773)=955, con lo que el otro primo presenta 288 dígitos:

304541062856249971261043199621099634714882089299843985214622076787904646586450815702050470808812820600790778632231520880733099058287596688955562103009770419360352428123639782183462176734064176511024987296225574339802674935168589842054573862983405175400866837597008673346307143437247316741

Imagina que su expresión binaria estará formada por un 1, más de novecientos ceros y después la expresión del 773.

El 1627

Distbin: 127 q: 85070591730234615865843651857942054491

El 2131

Bloquea las herramientas que hemos usado. En http://oeis.org/A094076. se afirma que se ha probado el 2131 para k<30000

Si deseas practicar con el tema, te ofrecemos los códigos de búsqueda que se han usado:

Basic

Definición de DISTBIN

Function distbin(a)
Dim c, p, p2, i

c = 0
If a > 2 And esprimo Then
p = 0
p2 = 1
i = 1
Do Until esprimo(p2)
i = i * 2
p2 = a + i
p = p + 1
If esprimo(p2) Then c = p
Loop
End If
distbin = c
End Function

Wxmáxima

Imagen del cálculo de distbin(1627)

Calculadora Wiris

Imagen del cálculo de distbin(773). En ella no entra todo el resultado.

Con ellas puedes tener una idea de los algoritmos usados. Puedes usarlos para continuar las búsquedas.

Buscador de números naturales 2.1

2011-10-03T16:49:00.000+02:00

Este blog, según consta en su cabecera, es complementario de la página web hojamat.es. Por eso se recoge en él de forma ocasional las novedades y actualizaciones de la misma. Hoy presentamos la nueva versión del Buscador de números naturales, que es una de las herramientas que figuran desde su creación.

Puedes descargar la versión para Excel en http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/hojas/buscador_2.xlsm y para Calc en http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/hojas/buscador_2.ods

Antecedentes

El Buscador fue creado a principios de los años noventa para su uso en las clases de Matemáticas, Informática y talleres. La idea del mismo era la obtención de una lista de números naturales que cumplieran determinadas condiciones, como ser primos, divisores de otros o capicúas. La primera versión se construyó en Pascal y como programa ejecutable, pasando posteriormente al Visual Basic. La especialización del autor en hojas de cálculo hizo natural el traspaso del mismo a Excel y Calc y su publicación en Hojamat.es.

Esta versión publicada heredó todos los botones y controles de la anterior, lo que hizo un poco complicado su uso. Lo que pretende la nueva versión que presentamos es la eliminación de tantas variantes y opciones, unificando el formato de las condiciones.

Estructura

En la nueva versión sólo hay que indicar el inicio y el final de la búsqueda, así como las condiciones, que se escribirán en un lenguaje cercano al natural mediante una palabra reservada y unos parámetros. Por ejemplo, para obtener los múltiplos de 18 y de 44 de cuatro cifras que terminen en 6 bastará concretar la búsqueda como se observa en la imagen

Se han escrito las condiciones MULTIPLO 18 44 y TERMINA EN 6, concretando los límites 1000 y 9999 para encontrar cuatro soluciones: 2376, 4356, 6336 y 8316.

Las búsquedas son así de simples: Inicio, final y condiciones escritas en un lenguaje muy directo.

Algunos ejemplos

Números de Ore

Son aquellos en los que la media armónica de sus divisores es entera
(Ver http://hojaynumeros.blogspot.com/2010/11/numeros-de-ore.html).
En el Buscador basta escribir esta condición algo compleja para obtenerlos:

ES ENTERO(N*NUMDIV(N)/SUMDIV(N))

En la imagen aparece el resultado, que coincide con http://oeis.org/A001599

Esta búsqueda se lentifica bastante en Calc al llegar a 1000. En Excel va más rápida.

Comprobación de un teorema

Se sabe desde Fermat que los números primos de la forma 4k+3 no se pueden descomponer en suma de cuadrados.

Si exigimos las condiciones PRIMO, LINEAL 4 3, SUMA C C (suma de dos cuadrados) observaremos que no aparece ninguna solución:

Números de Ruth-Aaron

En ellos la suma de divisores primos de un número coincide con la suma de los del siguiente
(Ver http://hojaynumeros.blogspot.com/2011/03/parientes-de-ruth-y-aaron.html)
Se buscan también con una sola condición: ES SUMDIVPRIM(N)=SUMDIVPRIM(N+1), resultando la secuencia http://oeis.org/A006145

Limitaciones

Este modelo de hoja de cálculo está dirigido a su uso por parte de profesores y alumnos de enseñanzas secundarias y de quienes se inicien en los estudios de la Teoría de Números. No tiene nivel universitario ni la potencia de otros programas especializados en cálculos matemáticos. En concreto, presenta limitaciones en el rango de los números considerados, que está marcado por las de Excel y Calc, y una excesiva lentitud al llegar a números grandes con ciertas condiciones. Está concebido para un entretenimiento matemático sin más pretensiones.

Tratamiento de errores

No se ha realizado un control exhaustivo de los errores. Es demasiado costoso para una herramienta de estas características (y para la edad del autor, que todo cansa). Cualquier persona con cierta habilidad matemática o informática lo pondrá en apuros. Si eso ocurre, se cierra y se comienza de nuevo. Aquí no hay nada trascendente.

Tampoco es total la validación de datos. Entre Excel y Calc existen pequeñas diferencias en los tipos de datos y donde uno da un mensaje de error el otro lo admite. Así que si comenzamos a escribir decimales o números negativos pueden producirse resultados engañosos.

Documentos

Esta versión viene acompañada de dos documentos:

Guía de uso

Describe una a una las condiciones admitidas por el Buscador, con la sintaxis correcta y un ejemplo, así como las funciones usadas en el módulo interno de cálculo. Se descaga en http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/Buscador de números naturales_2.pdf

Uso en la enseñanza

Recoge, ampliadas y corregidas, las propuestas que el autor usó en clase. Son las de nivel mínimo, aunque el Buscador permite propuestas más complejas. Su dirección es http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/Buscador_2.pdf

Si el tiempo disponible lo permite, se incluirá más adelante un documento con propuestas algo más complejas, que tenga más carga teórica. También en este blog a partir de hoy podrán aparecer búsquedas realizadas con la herramienta que presentamos.

Esperamos que la nueva versión del Buscador sea más útil que la anterior. Si no, ya pensaremos en la tercera.