Números y hoja de cálculo

Funciones definidas para tipos de números (3)

2026-05-28T19:56:00.001+02:00

Esta entrada cierra el estudio de funciones definidas para ciertos tipos de números, así como de sus funciones inversas. En esta tercera se estudiarán las definidas por recurrencia.

Funciones sobre recurrencias

Son aquellas que se definen mediante los términos iniciales, y además, expresan a(n+1) en función de los anteriores términos. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci se define como a(1)=1, a(2)=1, y para el resto, a(n+1)=a(n)+a(n-1). Si esta última relación sólo usa el término a(n) se llama de primer orden, y así, se pueden plantear de segundo, tercero o más órdenes.

Recurrencias de primer orden

Cada función de este tipo deberá estar definida por dos parámetros, a(1) y otro según la definición, que puede ser DIFERENCIA en las progresiones aritméticas, RAZÓN en las geométricas, o bien cualquier otra relación entre a(n+1) y a(n). No existen ejemplos populares concretos para definir funciones.

Recurrencias de segundo orden

Existen muchas recurrencias de segundo orden, como la ya citada de Fibonacci. Las más simples son las llamadas Horadam, y se caracterizan porque la relación de recurrencia es lineal. Vemos las más importantes.

Caso particular: sucesiones Horadam

Son aquellas que están definidas por cuatro parámetros, a1, a2, c1 y c2, de la forma a(1) = a1, a(2) =a2, a(n) = a(n-2)*c1+a(n*1)*c2. Así, tenemos muchos ejemplos concretos de este tipo de sucesiones recurrentes de segundo grado:

Horadam(1,1,1,1): Números de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5

Horadam(2,1,1,1): Números de Lucas: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, …

Horadam(1,2,1,2): Potencias de 2:1, 2, 4, 8, 16, 32, …

Horadam(0,1,2,1): Números de Pell: 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, …

Horadam(1,1,2,1): Números de Pell-Lucas: 1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, …

Horadam(2,3,3,-2): Sucesión de Pisot (2ⁿ+1): 2, 3, 5, 9, 17, 33, …

Horadam(0,1,1,2): Sucesión de Jacobsthal: 2, 3, 5, 9, 17, 33, …

Son muy sencillas de programar, y su búsqueda suele ser rápida. Para encontrar un término general hay que usar los cuatro parámetros citados más el número de orden n.

En lenguaje PARI

horadam(n,a1, a2, c1, c2) = {my(i,f,t,v,u); if(n==1,f=a1); if(n==2,f=a2);if(n>2,v=a1;t=a2;for(i=3,n,u=c1*t+c2*v;v=t;t=u);f=u);f}

En Vbasic

Function horadam(n, a1, a2, c1, c2)

Dim i, f, v, u

If n = 1 Then horadam = a1: Exit Function

If n = 2 Then horadam = a2: Exit Function

v = a1: t = a2

For i = 3 To n

u = c1 * t + c2 * v: v = t: t = u

Next i

horadam = u

End Function

Si se dispone de estas dos funciones, podemos definir las funciones FIBONACCI(N), PELL(N), LUCAS(N) y demás, igualando su definición a la de Horadam. Por ejemplo, LUCAS(N) se definirá así:

Lucas(n)=horadam(n, 2,1,1,1)

Así tendremos que lucas(10)=horadam(10,2,1,1,1)=76, como puedes ver en cualquier descripción de estos números. Imagina que puedes definir así todas estas sucesiones.

El autor lleva años usando FIBONACCI(N) en sus cálculos.

La función ORDEN se puede construir de similar a la que usamos para Primos o capicúas. Puede ser esta:

Function eshoradam(n, a1, a2, c1, c2) As Long

Dim v, u, k, t As Long

Dim es As Long

If n = a1 Then eshoradam = 1: Exit Function

If n = a2 Then eshoradam = 2: Exit Function

v = a1: t = a2: k = 2

While t <= n

If t = n Then

es = k

ElseIf t > n Then

es = 0

End If

u = c1 * t + c2 * v: v = t: t = u: k = k + 1

Wend

eshoradam = es

End Function

Nos devuelve el orden k si es un término de la sucesión, o un cero si no lo es.

El autor usa en su hoja de cálculos diarios esta versión, que le permite averiguar si un número dado es de uno de los tipos populares de esta sección:

Function estipohoradam$(n)

Dim s$

Dim es As Long

s = ""

es = eshoradam(n, 1, 1, 1, 1): If es <> 0 Then s = s + " Fibonacci " + " & " + ajusta(es)

es = eshoradam(n, 2, 1, 1, 1): If es <> 0 Then s = s + " Lucas " + " & " + ajusta(es)

es = eshoradam(n, 0, 1, 2, 1): If es <> 0 Then s = s + " Pell " + " & " + ajusta(es)

es = eshoradam(n, 1, 1, 2, 1): If es <> 0 Then s = s + " Pell-Lucas " + " & " + ajusta(es)

es = eshoradam(n, 2, 3, 3, -2): If es <> 0 Then s = s + " Pisot " + " & " + ajusta(es)

es = eshoradam(n, 0, 1, 1, 2): If es <> 0 Then s = s + " Jacobsthal " + " & " + ajusta(es)

es = eshoradam(n, 2, 1, 1, 2): If es <> 0 Then s = s + " Jacobsthal-Lucas " + " & " + ajusta(es)

If s = "" Then s = "No es de ningún tipo"

estipohoradam = s

End Function

Así, por ejemplo, estipohoradam(76) nos devuelve Lucas & 10, y estipohoradam(81), No es de ningún tipo.

Podemos seguir recorriendo tipos de sucesiones recurrentes, como las de Perrin y otras, pero no suelen demandar nuestros trabajos unas funciones directas como las que aquí se han presentado.

Otras recurrencias

El contenido de esta entrada nos ayuda si necesitamos definir una función para sucesiones que no sean de Horadam, pero el procedimiento para encontrar funciones de este tipo es el mismo, salvo la fórmula de recurrencia.

Funciones definidas para tipos de números (2)

2026-05-21T19:51:00.001+02:00

En la anterior entrada de esta serie se estudiaron funciones del tipo TRIANGULAR(N) o OBLONGO(N), que se caracterizan por poseer una fórmula, y sólo hay que buscar la función inversa u ORDEN, En esta segunda entrada se incluirán funciones sin fórmula, que necesitan la ayuda de una búsqueda.

Funciones basadas en búsqueda

Es el caso de la función PRIMO(N). Se necesita otra función, llamemos ESPRIMO, que indique si un número es del tipo dado o no, y después habrá que contar los casos que indique su orden N para llegar a a su valor. Lo vemos según el tipo, tomando los números primos como ejemplo para los siguientes:

Función PRIMO(N)

Necesitaremos la función ESPRIMO, descargable desde este blog, por ejemplo, en https://hojaynumeros.blogspot.com/2009/03/primos-reversibles-primo-omirp.html

El siguiente código, adaptable a cualquier lenguaje de programación, encuentra el primo de orden n. Servirá de modelo para otros ejemplos, cambiando la línea que se señala.

Function primo(n)

Dim p, c, i

'encuentra el primo cuyo número de orden es n

c = 0: i = 1

While c < n

If esprimo(i) Then c = c + 1: p = i ‘Esta línea se cambiará en otros ejemplos

i = i + 1

Wend

primo = p

End Function

Por ejemplo, ¿cuál es el número primo de orden 1000? La respuesta sería 7919. Lo comprobamos con PARI, que ya tiene implementada la función PRIME:

? print(prime(1000))

7919

Volveremos a esta estructura de función.

Función inversa, ORDENPRIMO

También aquí nos servirá de modelo para otros casos.

Function ordenprimo(a) As Long

Dim p, c As Long

If not esprimo(a) Then ordenprimo = 0: Exit Function

c = 0

For p = 1 To a

If esprimo(p) Then c = c + 1 ‘línea que cambiará según ejemplos

Next p

ordenprimo = c

End Function

Se entiende bien. Se van recorriendo los números del mismo tipo hasta llegar al que nos interesa. Por experiencia se sabe que es útil que, si el número no es primo, la función devuelva un cero. De ahí la inclusión de la primera línea.

Así, ordenprimo(100)=0 y ordenprimo(101)=27, ya que primo(27)=103

En PARI no están implementados órdenes, pero esta sencilla línea lo resuelve:

ordenprimo(a)=my(c=0,p);for(p=1,a,if(isprime(p),c+=1));c*isprime(a)

Aquí, la solución para que dé un cero si no es primo se encuentra al final. Al multiplicar por isprime(a), anula el resultado si no es primo, porque vale cero. En este recorte se observa la aplicación de esta función al 100 y al 103:

Este modelo se usará más adelante si se ve conveniente.

Una función similar es PRIMOSOPHIE(N), que devuelve el enésimo primo de Sophie Germain. Basta añadir a esprimo(n) la función esprimo(2*n+1)

Así, cambiaríamos la línea a If esprimo(p) and esprimo(2*n+1) Then c = c + 1

Lo dejo como ejercicio. Debe dar, por ejemplo:

primosophie(7)= 41, y ordenprimosophie(233)=16

Función SEMIPRIMO(N)

Los semiprimos son aquellos números compuestos que equivalen al producto de dos primos. Como 4=2*2 y 62=2*31. La función SEMIPRIMO es sencilla si se posee la BIGOMEGA, que es el número de factores primos de un número. En PARI sí existe, con lo que los semiprimos son aquellos en los que bigomega vale 2.

Sería essemiprimo(n)=bigomega(n)==2

En la imagen observamos dos resultados.

En el caso de VBASIC es preferible dedicarle un código especial. Consiste en buscar dos primos tales que su producto sea el número dado. Puede ser este:

Public Function essemiprimo(n) As Boolean

Dim a, r

Dim es As Boolean

es = False 'Al principio suponemos que no es semiprimo

a = 2 'La variable a recorrerá los números primos

r = Sqr(n) ‘Tope de búsqueda

While a <= r And Not es

If n / a = n \ a And esprimo(a) And esprimo(n / a) Then es = True

‘La variable a debe ser divisor, primo, y su cociente con N también primo

If a = 2 Then a = a + 1 Else a = a + 2 'Se busca el próximo primo

Wend

essemiprimo = es

End Function

Ahora basta sustituir, en la función PRIMO(N), la línea

If esprimo(i) Then c = c + 1: p = I por

If essemiprimo(i) Then c = c + 1: p = i

Tendremos así formada la función SEMIPRIMO(N)

Como comprobación se dan algunos valores: SEMIPRIMO(13)=35, SEMIPRIMO(100)=314 y SEMIPRIMO(1000)=3595

Igualmente podemos adaptar la función ORDENPRIMO a ORDENSEMIPRIMO. Se deja como ejercicio. Esta es la comprobación de los semiprimos del párrafo anterior:

Función CAPICUA(N)

Los números capicúas (o palindrómicos) son los que presentan simetría en sus cifras (nos limitaremos a base 10), y tienen un orden predecible, pero es más cómodo considerar que aparecen de forma aleatoria. Por eso se incluyen aquí. Como en anteriores tipos, necesitamos una función ESCAPICUA. En VBASIC de Excel y Calc ya está resuelta en este blog

(ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2017/10/suma-de-cuadrado-y-capicua.html)

No tiene en cuenta los números de una cifra.

En PARI es sencilla:

ispal(n)=n==eval(concat(Vecrev(Str(n))))

Ya se ha explicado en este blog que significa “convertir en texto, invertir sus cifras como vector, reunirlas y calcular su valor”. Es bastante ingenioso.

Como en los otros casos, se cambia la línea adecuada en el código y resulta la función.

Un ejemplo de búsqueda sería, por ejemplo: Encontrar dos capicúas consecutivos cuya suma sea un número primo. Introduciremos en un Buscador esta condición:

If ESPRIMO(CAPICUA(N)+CAPICUA(N+1))

Las primeras soluciones son:

Dos de las sumas son “palprimos”, primo y capicúa, pero la central es número primo, pero no palindrómico. Si les adjuntamos sus órdenes, observamos tres situaciones distintas:

En la primera, al sumar capicúas se suman también sus órdenes, porque no hay arrastre de cifras. En la segunda hay un cero porque no es capicúa, y en la tercera no se suman los órdenes.

Este tipo de funciones nos proporciona más posibilidades en las búsquedas.

Otras funciones

Podíamos seguir con el tema de funciones que necesitan una búsqueda previa. Algunas posibles serían:

INTERPRIMO(N): buscaría números que son promedio entre dos primos consecutivos.

ESFENICO(N): para números que son producto de tres primos distintos.

LIBREDECUADRADOS(N): cuando ningún factor primo posee un exponente mayor que uno.

CUADPRIMO(N): cuadrado de un primo.

Con los estudiados ya se puede tener una idea.

Funciones definidas para tipos de números (1)

2026-05-14T15:00:00.001+02:00

Introducción

En algunos cálculos se desea poder usar funciones definidas del tipo PRIMO(N), PELL(N), que se puedan integrar en expresiones, como 2*PRIMO(6) o (FIBONACCI(7))^2. En ellas llamaremos orden al contenido del paréntesis. Así, PRIMO(7) poseería orden 7, que correspondería con el número de primos menores o iguales al dado.

El objetivo de esta entrada es la construcción de estas funciones en los casos más populares, así como las complementarias para encontrar el orden, según ellas, de un número dado. Así, por ejemplo, PRIMO(6)=13 y ORDENPRIMO(13)=6. Algunas de ellas se han usado en este blog, por lo que sólo se enlazarán cuando llegue su turno.

Veremos tres clases de situaciones:

1) El tipo de número posee fórmula (se comprende que debe ser sencilla). Es el caso de TRIANGULAR(N)=N(N+1)/2. Entonces existirá un procedimiento algebraico no muy difícil.

2) No existe fórmula alguna. Los números primos y los libres de cuadrados, por ejemplo, se encuentran por búsqueda. En ese caso será imprescindible un bucle respecto a una variable para encontrarlos. Se necesita un lenguaje de programación.

3) Son elementos de una sucesión recurrente. Aunque suelen existir fórmulas para todos ellos, su complicación no los aconseja, y es más sencilla la programación en un lenguaje. Como caso particular se verán las sucesiones del tipo Horadam.

Existe otra posibilidad, y es que posean una función generatriz. Este procedimiento se ha usado mucho en este blog, pero no entra en el objetivo de esta entrada.

Dedicaremos tres entradas a esta cuestión

Funciones con fórmula

Muchas de ellas se han utilizado aquí ya. Las más importantes son las de números figurados, como TRIANGULAR(N), HEXAGONAL(N) O PIRAMIDAL(N,K). Elijo algunos ejemplos con cierto interés:

TRIANGULAR(N)

La fórmula directa, TRIANGULAR(N)=N*(N+1)/2, no necesita explicación, pero para hallar la de su orden hay que recordar que, dado un triangular cualquiera, T(N), la expresión 8T(N)+1 es un cuadrado. De ahí podemos sacar su orden. Una versión podría ser el siguiente:

Function ordentriang(n)

Dim a

a = Int((Sqr(8 * n + 1) - 1) / 2)

If a * (a + 1) = 2 * n Then ordentriang = a else ordentriang = 0

End Function

Una situación similar es la de la función OBLONGO(N)=N(N+1), sólo que aquí la propiedad básica es que cuatro veces un oblongo más la unidad es un cuadrado, así que sustituyendo en la función anterior un 8 por un 4 obtenemos la expresión de ORDENOBLONGO(N).

En la práctica, es mucho más útil

ORDENOBLONGO(N)=ENTERO(RAIZ(n))

No es difícil razonarlo.

Por ejemplo, resolvemos la cuestión de si existen oblongos que sean consecutivos a un triangular. Para ello se inserta en un buscador la condición

If escuad(8 * i + 1) And escuad(4 * (i + 1) + 1) Then

El escaso resultado era previsible, ya que se exige una condición difícil de cumplir, pero se encuentran tres soluciones entre los primeros cincuenta mil números, 1 con 2, 55 y 56, y el par 1891, 1892:

El resto de soluciones está publicado en https://oeis.org/A217758

Un atajo:

Si usamos el álgebra, obtenemos:

Es n(n+1)/2+1=k(k+1), n²+n+2=2k²+2k, 4n²+4n+8=8k²+8k,

(2n+1)²+7=2(2k+1)²-2 y hago X=2n+1 Y=2k+1

X²-2y²=-9, luego (X²+9)/2 es cuadrado

Le inserto esta condición al buscador y obtengo los triangulares publicados:

Siempre hay que acudir al Álgebra cuando se pueda.

POLIGONAL(N;K)

Fórmula directa

Los números poligonales poseen una fórmula general, que he desarrollado en mi publicación Números poligonales:

Su traducción es inmediata:

En VBASIC:

Function poligonal(n, k)

poligonal = n * (n * (k - 2) - (k - 4)) / 2

End Function

Fórmula del orden

El problema inverso es algo complicado. Lo puedes consultar en el apartado de Caracterización de los poligonales, en la publicación enlazada más arriba.

Su desarrollo en VBASIC es

Function ordenpoligonal(n, k)

Dim d, e, m

m = 0

d = (k - 4) ^ 2 + 8 * n * (k - 2)

If escuad(d) Then

m = (k - 4 + Sqr(d)) / 2 / (k - 2)

If esentero(m) Then e = m Else e = 0

End If

espoligonal = e

End Function

Esta función devuelve un cero si el número no es poligonal, y su orden si lo es. Las funciones ESCUAD Y ESENTERO se pueden buscar en este blog, o sustituirlas por cálculos más directos.

Estas dos funciones poseen una traducción sencilla a PARI, por lo que no se incluye.

Con ellas podemos buscar relaciones entre poligonales. Por ejemplo ¿Para qué órdenes la suma de un cuadrado con un triangular del mismo orden da una suma hexagonal?

Se buscaría que poligonal(i,3)+poligonal(i,4)=poligonal(k,6)

Con un buscador he encontrado estas dos primeras soluciones, con comprobación de la relación de suma entre ellas:

Otros poligonales

En mi calculadora de números figurados CALCUPOL, en su código VBASIC, puedes consultar todas las funciones disponibles para poligonales centrados, piramidales 3D y piramidales 4D. Es un tema tan extenso, que es preferible dejarlo como complemento para las personas interesadas.

(https://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#figurados)

Unas recurrencias muy útiles

2026-05-04T12:11:00.001+02:00

Quienes usamos a menudo los números poligonales nos encontramos con esta relación de recurrencia de tercer orden:

x_n= 3x_n-1-3x_n-2+x_n-3

El origen de esta presencia es que se pueden generar con ella los números naturales, sus cuadrados y, evidentemente, las constantes:

Números naturales

Se pueden generar mediante

x₁=1, x₂=2, x₃=3, x_n= 3x_n-1-3x_n-2+x_n-3

En efecto, aquí x_n es n, x_n-1, n-1, luego

3(n-1)-3(n-2)+n-3=3n-3-3n+6+n-3=n

Esto demuestra que la recurrencia con estos coeficientes es verdadera.

Números cuadrados

En ellos también es válida esta recurrencia. Lo vemos:

x_n+1=(n+1)²=n²+2n+1=x_n+2n+1

x_n+2=(n+2)²=(n+1)²+2(n+1)+1=x_n+1+2n+3

Luego, despejando:

x_n+2- x_n+1= x_n+1- x_n+2

x_n+2= 2x_n+1- x_n+2

De igual forma

x_n+3= 2x_n+2- x_n+1+2

Restamos las dos igualdades y agrupamos:

x_n+3- x_n+2= 2x_n+2- x_n+1+2 -2x_n+1+ x_n-2

Despejando:

x_n+3= 3x_n+2-3x_n+1+ x_n

Con esto se demuestra la validez de la recurrencia. Por ejemplo:

11²=121=3*10²-3*9²+8²=300-243+64=364-243=121

También nos vale un desarrollo directo:

(n+3)²=3(n+2)²-3(n+1)²+n²=3n²+12n+12-3n²-6n-3+n²

n²+6n+9=n²+6n+9

Identidad que demuestra la recurrencia.

Constantes

Una constante K sometida a esa recurrencia sigue teniendo el valor de K: 3*K-3*K+K=K

Números oblongos

Siguen la fórmula n(n+1)=n²+n, y al ser la recurrencia propuesta de tipo lineal, también será válida en esa suma de un cuadrado con un natural.

Lo podemos comprobar con los primeros oblongos: 2, 6, 12, 20, 30, 42, …Por ejemplo, 30=3*20-3*12+6=60-36+6=24+6=30

Números triangulares

Al tener un número triangular la fórmula n(n+1)/2=(n²+n)/2, es la mitad de un oblongo, luego admitirá la misma recurrencia. Lo vemos con un ejemplo tomado de la sucesión de números triangulares:

1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21, 28 , 36 , 45 , 55, …

45=3*36-3*28+21=108-84+21=129-84=45

Polinomios de segundo grado

También se generarán de la misma forma, porque cuadrados, números naturales y constantes lo siguen. Lo vemos con P(x)=2x²-3x+2:

P(1)=1, P(2)=4, P(3)=11, P(4)=22, P(5)=37, P(6)=56 y P(7)=79

Observamos que P(7)=3*56-3*37+22=168-111+22=190-111=79

Números poligonales

Todo número poligonal es suma de triangulares. Basta ver la imagen:

Esta descomposición hace válida la recurrencia en ellos. En mi publicación sobre estos números se incluye una demostración con la fórmula general, que es un polinomio de segundo grado: P(n,k)=((k-2)n²-(k-4)n)/2

https://www.hojamat.es/publicaciones/poligonales.pdf

En esa publicación figuran otras recurrencias que a veces son más rápidas que la propuesta.

También siguen esta recurrencia los poligonales centrados, de fórmula POLC(n,k)=(kn²-kn+2)/2 , por ser también polinomio de segundo grado.

Números piramidales

Las sucesiones recurrentes de orden h se pueden sumar mediante la siguiente fórmula, también recurrente, que procede de la publicación Sucesiones recurrentes de A.I.Markushevich – Editorial Mir. La demostración de ella no es difícil, pero resulta larga para este estudio:

s_n+h+1=(1+a₁)s_n+h+(a₂-a₁) s_n+h-1+ … +(a_h-a_h-1) s_n+1-a_hs_n

Si a esta recurrencia que estamos estudiando le aplicamos la fórmula de la suma, nos permitirá encontrar una recurrencia para números piramidales, que son sumas de poligonales consecutivos.

Tomamos a₁=3, a₂=-3 y a₃=1 para aplicarlo a la fórmula de la suma

s_n+h+1=(1+a₁)s_n+h+(a₂-a₁) s_n+h-1+ … +(a_h-a_h-1) s_n+1-a_hs_n

s_n+4=4s_n+3-6s_n+2+4s_n+1-s_n

Lo aplicamos a los números piramidales pentagonales, 1, 6, 18, 40, 75, 126, 196, 288, 405, 550, ....

550=4*405-6*288+4*196-126=550

Tal como se advirtió en los poligonales, en este caso existen recurrencias que pueden ser más simples según el tipo de piramidal.

Piramidales de más dimensiones

Al igual que se pueden estudiar los piramidales como suma de poligonales consecutivos, se extiende este proceso a piramidales de más dimensiones, que son suma de piramidales consecutivos del orden inferior. Se deja como propuesta de estudio.

Números primos de Pierpont y sus relacionados

2026-04-20T17:59:00.001+02:00

Hay ya bastantes publicaciones e ideas sobre los primos de Pierpont. A pesar de ello, aún se puede volver a estudiarlos desde la forma de trabajar en este blog y las herramientas disponibles. Además, son interesantes los números directamente relacionados con ellos, como los de Mersenne, Fermat o Proth

Definición y primeras consecuencias

Un número primo de Pierpont es un número primo de la forma 2^u3^v+1, donde u y v han de ser enteros no negativos. Esto nos lleva a consideraciones muy sencillas:

El exponente u no puede ser cero, pues la expresión sería par y, por tanto, no representaría a un número primo. De hecho, si v=0, deberá ser potencia de 2. La razón está en que una suma de potencias impares es divisible entre la suma de sus bases. Por ejemplo, (X⁵+y⁵)/(x+y)=x⁴-x³y+x²y²-xy³+y⁴. Si el exponente poseyera un factor primo distinto de 2, podríamos descomponer la potencia como “potencia de potencia”, y aislar el número impar. Por ejemplo 2¹² se podría expresar como 2² y luego elevado a 3, con lo que construiríamos una suma de potencias impares, y no podría ser primo. Todo este razonamiento nos lleva a que si v=0, los primos de Pierpoint serían también de Fermat. Más adelante regresaremos a esta idea.

El exponente v, si no es nulo, como también lo es u, convertiría al primo de Pierpoint en uno del tipo 6k+1, y posible elemento mayor de un par de primos gemelos. Otra vía para desarrollar más adelante.

Obtención de estos primos

Con las herramientas que se suelen usar en este blog es relativamente fácil encontrar los primeros primos de Pierpont. La primera idea es construir una tabla de doble entrada, una para 2^u y otra para 3^v, y combinarlas:

Por motivos como este sigo usando las hojas de cálculo, porque toda la tabla se genera con la fórmula siguiente y sus extensiones a derecha y abajo:

=SI(ESPRIMO(2^D$3*3^$C4+1);2^D$3*3^$C4+1;"")

Esta concurrencia entre dos potencias también se puede lograr con mi herramienta CARTESIUS

(https://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius)

Su gestión no es fácil a veces, por lo que no acudo mucho a ella en lo que publico, pero en este caso demuestra su versatilidad. Basta darle las condiciones siguientes:

XTOTAL=2
XT=0..10
VALOR(2^X1*3^X2+1):PRIMO

Nota: Es posible que cuando se publique esta entrada aún no se haya implementado la condición VALOR, que es una mejora del año 2026.

Vienen a significar que combinaremos dos variables de 0 a 10, y que exigiremos que la expresión del paréntesis abajo (definición de primo de Pierpoint) debe ser un número primo. Su respuesta es (solo los primeros casos):

Aparecen los primos pedidos, pero desordenados. Por eso es preferible el procedimiento que elegiré en el siguiente apartado.

Caracterización de estos números

La segunda idea que se nos puede ocurrir es la de anidar dos bucles, uno con potencias de 2 y otro con las de 3, y filtrar los resultados con la condición ESPRIMO. Tendría el inconveniente de resultar un proceso largo y poco eficiente si deseamos manejar rangos de números grandes. Es preferible pensar en una función que nos determine si un número concreto es o no primo de Pierpont.

Para abordar esta función es bueno recordar el concepto de valuación de un número respecto a otro (ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2012/12/volvemos-visitar-al-mayor-divisor-impar.html), y es el número de veces consecutivas que un número puede ser dividido por otro. Por ejemplo, VALUACIÓN(162,3)=4, porque 162 es divisible entre 3⁴.

En este caso, si P es de Pierpont, la valuación de P-1 para el 2 es el exponente u y la del 3 el v. Así, el criterio para saber si un número primo es de este tipo se podría expresar como

P-1=2^valuacion(P,2)*3^valuación(P,3)

En el lenguaje PARI ya viene implementada como valuation, y el criterio total sería:

p-1==(2^valuation(p-1,2))*(3^valuation(p-1,3))&&isprime(p)

Lo escribimos como un bucle con inicio y final y así logramos identificar los primos deseados dentro de un rango (inicio, final)

inicio=1;final=10000;for(p=inicio,final,if(p-1==(2^valuation(p-1,2))*(3^valuation(p-1,3))&&isprime(p),print1 (i,", ")))

Con él se consiguen fácilmente los primeros primos de Pierpont:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, …

Están publicados en https://oeis.org/A005109, y en esa página se pueden consultar variantes de esta idea.

Se conjetura que existen infinitos números de este tipo, pero no se ha demostrado.

Búsqueda con hoja de cálculo

En una hoja se pueden desarrollar varios aspectos, y quedan muy claros los detalles. Poseo una sencilla versión en VBASIC de la valuación:

Function valuacion(n, x) 'halla el exponente de la máxima potencia de x que divide a n

Dim s, v

s = n

v = 0

While esmultiplo(s, x): s = s / x: v = v + 1: Wend

valuacion = v

End Function

La función ESMULTIPLO se puede sustituir por s/x=s\x, que es equivalente

Con ella se puede construir una tabla más extensa de resultados, introduciendo líneas similares a las siguientes en un buscador:

a = valuacion(i - 1, 2)

b = valuacion(i - 1, 3)

If i - 1 = potencia(2, a) * potencia(3, b) And esprimo(i) Then

Añadiendo detalles, el resultado sería:

Algunos del tipo 6k+1 son primos gemelos con sus anteriores, como 5, 7, 13 o 19.

La ventaja de este método es que podemos ir a un rango más alto. Estos son los primeros primos de Pierpont a partir de 1000:

La aparición de los números de Fermat da lugar a un curioso paralelismo, que no desarrollaré porque ya ha sido bien explicado en otros lugares. Los de Fermat influyen en la construcción de un polígono con regla y compás, mientras los de Pierpoint lo hacen si se usan dobleces de un papel. En Wikipedia se explica de forma clara y breve.

(https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_de_Pierpont)

Como anuncié en los primeros párrafos, sólo desarrollaré aspectos en los que sean útiles mis herramientas usuales. El resto de cuestiones es muy accesible con una buena búsqueda.

Números afines a los primos de Pierpoint

Ya se ha visto su relación con los números de Fermat. También tienen una definición parecida los siguientes:

Primos de Proth

Tienen como definición el ser números primos de la forma k2ⁿ+1, con k impar y menor que 2ⁿ. Se deduce que algunos de este tipo también serán de Pierpoint, como 3¹*2²+1=13. Cambiando las instrucciones en un buscador de hoja de cálculo tendríamos:

a = valuacion(i - 1, 2)

c = potencia(2, a)

b = (i - 1) / c

If b = Int(b + 0.00001) And b < c And i = b * c + 1 And esprimo(i) Then

Resultado:

Serán también primos de Pierpoint aquellos en los que K sea potencia de 3 (incluido el 1).

Están publicados en https://oeis.org/A080076

Es muy fácil encontrar sus propiedades.

Primos de Pierpoint de segunda clase

Podemos cambiar la definición de los primos de Pierpoint caracterizándolos como 2^u3^v − 1.

La caracterización de estos números pasaría por usar la valuación respecto a 2 o a 3 del número p+1 en lugar de p-1.

Como ya están publicados en https://oeis.org/A005105, es trabajo inútil volver a repetir cálculos ya conocidos. Los primeros son:

2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 383, 431, 647, 863, 971, 1151, 2591, 4373, 6143, 6911, …

En este listado, los elementos con v distinto de cero, serán del tipo 6k-1. Si v=0, no es aquí necesario que u sea potencia de 2, y así , podemos encontrar entre ellos primos de Mersenne, del tipo 2^k-1 con k primo. En el listado podemos identificar 3, 7, 31 y 127.

Se podría pensar aquí también en los números del tipo 6ⁿ-1, pero son todos múltiplos de 5, lo que nos lleva a que u ha de ser distinto de v.

Solución única

2026-04-07T12:00:00.001+02:00

En mis cálculos diarios y búsquedas en este blog no ha sido frecuente encontrar solución única a algunas de las cuestiones. En general, aparecen varias o ninguna, pero pocas veces una sola solución. Un ejemplo que busco a diario es el de descomponer un número como suma de un primo y un cuadrado distinto de cero. Normalmente aparecen tantas soluciones que no caben en pantalla, y sólo en contados casos, obtengo tres o cuatro nada más. Son números de cuatro a seis cifras, y era esperable esa cantidad. Sin embargo, con números menores se obtienen frecuentemente soluciones únicas.

Suma de cuadrado y primo

Estos son algunos ejemplos de solución única con cuadrados y primos:

19=4^2+3, 22=3^2+13, 24=1^2+23, 26=3^2+17, 29=4^2+13, 36=5^2+11

¿Hasta dónde llegará esa posibilidad? Lo iré viendo en algunos casos. Normalmente van escaseando las soluciones de una búsqueda, y. a veces, los autores terminan con una conjetura: “Para números mayores que 10^17 no se observan soluciones…”. Se queda ahí la cuestión hasta que alguien pueda demostrarlo. Eso haré en esta entrada si es necesario.

He comenzado con hoja de cálculo, y hasta el 70000 aparecen soluciones únicas con una frecuencia mínima, pero apreciable. Estos son los casos entre 50000 y 70000:

A partir de aquí, deberé ensayar con PARI, que, como ya es sabido, maneja mejor los números grandes. He construido este código:

primomascuad(n)=my(s=List(),m=0,r=sqrt(n),p);for(i=1,r,p=n-i^2;if(isprime(p),m+=1;listput(s,i);listput(s,p)));s

for(i=50000,70000,s=primomascuad(i);if(#s==2,print(i,", ",s)))

La primera parte imita una función antigua que poseo para hoja de cálculo. Recorre todos los cuadrados menores que el número y busca aquellas diferencias que sean número primo. Las que lo son se incorporan a una lista, formada por cada base de cuadrado y cada primo. En la última línea, la igualdad #s==2, admite sólo aquellas listas con una sola solución (dos números). En el rango 50000 a 70000 coincide con VBASIC, en otro formato de presentación:

Es de esperar que en rangos mayores vayan escaseando las soluciones, pero me ha sorprendido que no parecen desaparecer.

Del 10000 al 20000 aparecen 28, y llama la atención 10000=99²+199.

En los siguientes rangos del mismo tamaño van disminuyendo las frecuencias a 9, 12, 9, 7, 6, 5, 6, 7, 6, 4, 3, 3, 5, 2, 4, 3, 4, 4, … hasta llegar al 200000-210000 en el que aparecen 2.

Estoy acostumbrado a estos resultados, similares a los de los “sucesos raros” en Estadística, y puede ocurrir que lleguemos a intervalos con ningún resultado. Por ejemplo, en el rango 2000000-2100000, que es diez veces más amplio, obtenemos 9.

Si alguien tiene más paciencia que yo, es posible que llegue a una potencia de 10 en la que ya no aparezcan casos. Siempre será una conjetura lo que descubra.

Suma de cuadrado y capicúa

También esta búsqueda la emprendo casi a diario. Suele proporcionarme de dos a cuatro soluciones, y sería interesante encontrar números con solución única. Basta leer mi entrada https://hojaynumeros.blogspot.com/2017/10/suma-de-cuadrado-y-capicua.html para entender que deberemos fijar en 1 el número de soluciones. En la tabla que he elaborado he suprimido los capicúas de una sola cifra, porque restan interés a la búsqueda, por su abundancia. Contiene los primeros números con esta propiedad a partir del 2000:

Suma de dos simétricos

Este es un ejemplo similar a los anteriores, en el que no hay una teoría que nos respalde, y es inevitable acudir a la búsqueda. En este blog hemos usado la función CIFRAINVER, que devuelve el simétrico de un número (ver, por ejemplo, https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/04/relaciones-entre-numeros-con-cifras.html)

Para que la búsqueda no esté contaminada por ejemplos triviales, se exigirá que el número no sea múltiplo de 10, para evitar que el simétrico pierda una cifra. También deberá ser el primer sumando mayor que el segundo, y así evitar que una suma aparezca dos veces. Son condiciones que no son necesarias, pero pulen un poco los resultados.

Usaré esta función:

Function dossimetricos$(n)

Dim i, m

Dim s$

s = ""

m = 0 ‘Contenedor s y contador m

For i = 1 To n

p = cifrainver(i)

If i + p = n And i > p And i Mod 10 <> 0 Then m = m + 1: s = s + " = " + ajusta(i) + "+" + ajusta(cifrainver(i)) ‘Hay solución

Next i

If s = "" Then s = "NO" Else s = ajusta(m) + ": " + s

dossimetricos = s

End Function

Al comenzar la salida de la función con el número de soluciones, es fácil identificar los números que poseen una. Para mi uso diario basta con este código, pero en esta búsqueda, para que sea interesante, desecharé las soluciones en las que ambos sumandos simétricos sean iguales.

Los primeros que aparecen con estas condiciones son:

Observamos que presentan una frecuencia apreciable.

Resultados ciertos

En los anteriores ejemplos, la aparición de números con una sola descomposición se dejó en simple posibilidad para rangos de un número grande en adelante. En otros ejemplos se tiene la certeza de los números que presentan un solo resultado. Repaso brevemente algunos estudiados en este blog.

Primos del tipo 4k+1

Son los llamados también primos pitagóricos. Se estudiaron aquí (ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2025/11/primos-pitagoricos.html) y se explicó que sólo admiten una descomposición en una suma de cuadrados. Por ejemplo, 12037 es primo de este tipo, y sólo admite la descomposición 12037=74²+81²

Una sola ocasión de ser hipotenusa

Estudiamos este tema en la entrada https://hojaynumeros.blogspot.com/2025/10/en-cuantas-ternas-pitagoricas-1.html

Según lo visto en ella, los números que contengan un solo factor primo del tipo 4k+1 y el resto (salvo el 2, que no influye) elevados a una potencia par, son los únicos que podrán ser hipotenusas en una terna pitagórica. Como en la terna figura al cuadrado, la condición de exponente par no influye. Así nos queda como condición que exista solo un factor del tipo 4k+1.

En la tabla siguiente figuran soluciones a partir de 1200 y se puede comprobar que solo presentan un factor del tipo 4k+1 elevado a 1:

Una sola ocasión de ser cateto

Esta cuestión también puede producir resultados seguros, sin conjeturas para números grandes. Puedes leer mis entradas

https://hojaynumeros.blogspot.com/2025/10/en-cuantas-ternas-pitagoricas-2.html

https://hojaynumeros.blogspot.com/2017/01/numero-de-descomposiciones-en.html

En ellas se explica que todo depende de las formas de descomponer N² en productos de la misma paridad. Remito a ellas. Un caso particular es el de los primos impares. En la tabla siguiente observamos las soluciones en el mismo rango del párrafo anterior:

Resultan primos y semiprimos con el factor 2, pero lo que nos interesa es que existe un procedimiento seguro. Siempre es preferible a la necesidad de acudir a una búsqueda.

Números que son promedio de dos cuadrados

2026-03-12T14:30:00.001+01:00

Hace años que vengo publicando estudios y búsquedas en las que es necesario descomponer un número en dos cuadrados. Desde Fermat conocemos la condición de que un número primo deba ser para ello del tipo 4k+1, ya que los contrarios, de forma 4k+3 no admiten esta descomposición.

Gauss estudió el tema y aportó una fórmula para conocer en cuántas sumas de cuadrados se descompondría un número concreto, y que resultó depender del número de factores primos de un tipo y otro que figuraran en la descomposición.

Puedes consultar esa fórmula, por ejemplo, en

https://hojaynumeros.blogspot.com/2024/03/potencias-equidistantes-de-cuadrados.html.

En ella el factor 2 en un número no influye en el número de descomposiciones esperadas, sino de los tipos 4k+1 y 4k+3 presentes.

Lo que explico en el párrafo anterior nos hace ver que si N se descompone en dos cuadrados, también lo hará 2N, ya que la presencia del 2 no influye en el resultado. Por ejemplo:

850=2*5²*17=3²+29²=11²+27²=15²+25²

Si lo multiplicamos por 2, deberían aparecer también tres sumas de cuadrados, y así es:

1700=2²*5²*17=10²+40²=16²+38²=26²+32²

Si ahora divido las igualdades correspondientes a 2N entre 2, resultarán las formas de expresar N en promedios de dos cuadrados:

850=(10²+40²)/2=(16²+38²)/2=(26²+32²)/2

En realidad, estamos ante una situación algebraica, ya que si N=a²+b², se tendrá que (a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²)=2N

En efecto: 13+25=40, 25-15=10, que son las primeras soluciones para el promedio, 27-11=16 y 27+11=38, las segundas, y, por último, 29-3=26, 29+3=32.

Estos razonamientos sugieren que basta descomponer 2N en dos cuadrados para que aparezca una solución de promedios para N y que el número de soluciones será el mismo. No es difícil encontrar una función que realice este trabajo. Otra orientación es la de buscar todos los cuadrados C menores que N y ver si N+C es cuadrado. No se tienen en cuenta los promedios en los que los dos sumandos son iguales, lo que se considera solución trivial.

Como aquí se trata de comprender y practicar, copio las dos posibilidades:

Buscar si N+C es cuadrado:

Function entredos$(n)

Dim i, r, a, b, m

Dim s$

s = "" 'La solución se expresa como texto

m = 0 ‘Contador de soluciones

r = Int(Sqr(n)) 'Primer valor a ensayar

i = r - 1

While i > 0 'Descendemos valores de cuadrados

b = n - i ^ 2 'Diferencia entre potencia y cuadrado

a = n + b 'A la potencia le sumamos la diferencia

If escuad(a) Then m = m + 1: b = Sqr(a): s = s + " = (" + ajusta(i) + "^2+" + ajusta(b) + "^2)/2" ‘Si es cuadrado, hay una solución nueva

i = i - 1

Wend

If s = "" Then s = "NO" Else s = ajusta(m) + " : " + s

entredos = s 'Si no hay solución, la respuesta es “NO”

End Function

Descomponer 2N en suma de dos cuadrados

Public Function entredos2(n) As String

Dim x, p, m, c

Dim s$

s$ = "": m = 0’ Contenedor y contador

For x = 1 To Sqr(2 * n - 1)

c = x * x ‘Primer cuadrado para 2N

p = 2 * n – c ‘Posible segundo cuadrado

If escuad(p) And p <= c Then

s$ = s$ + "=(" + ajusta$(x) + "^2+" + ajusta$(Sqr(p)) + "^2)/2": m = m + 1 ‘Hay solución y avanza el contador

End If

Next x

If s$ = "" Then s$ = "NO" Else s$ = ajusta(m) + "::" + s$

entredos2 = s$ ‘Presentación de resultados

End Function

En la siguiente tabla se puede observar la concordancia entre los dos métodos, en un rango elegido al azar:

Evidentemente, faltan aquellos números que no admiten descomposición, por contener factores primos del tipo 4k+3 elevado a exponente impar. Son ejemplos 135=3³*5, 151, primo tipo 4k+3, o 144=2⁴*3², en el que, al ser cuadrado presentaría la solución trivial

(12²+12²)/2.

Los primeros números que admiten ser iguales a un promedio de cuadrados son:

5, 10, 13, 17, 20, 25, 26, 29, 34, 37, 40, 41, 45, 50, 52, 53, 58, 61, 65, 68, 73, 74, 80, 82, 85, 89, 90, 97, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 122, 125, 130, 136, 137, 145, 146, 148, 149, 153, 157, 160, 164, 169, 170, 173, 178, 180, 181, 185, 193, 194, 197, 200, …

Con otra definición equivalente están publicados en https://oeis.org/A004431, y en un comentario aparece el promedio de dos cuadrados. Son interesantes los comentarios y alguna programación en PARI.

Diferencias prefijadas

Las diferencias entre las bases de los cuadrados que sean solución, han de ser pares, para que su suma sea par, ya que su resultado es 2N.

Podemos seleccionar entre las soluciones aquellas que posean una diferencia determinada, a la que llamaremos 2D por ser par. Conociendo ese dato, es fácil dar un criterio para saber si N admite ser promedio de dos cuadrados cuyas bases se diferencien en 2D. Comenzaríamos así:

Sería k²+(k+2d)²=2N

2k²+4dk+4d²=2N

k²+2dk+2d²=N, es decir, la ecuación de segundo grado en k: k²+2dk+(2d²-N)=0

En la página enlazada se sirven de esta fórmula para definir estos números.

Para que exista solución entera, el discriminante d²-2d²+N=N-d² deberá ser cuadrado. Ese sería el criterio.

Un número N admitirá ser promedio de dos cuadrados diferenciados en 2d si N-d²es cuadrado

Por ejemplo, en la tabla se observa que 130 admite las diferencias 6 y 14, y esto es porque 130-3²=121, cuadrado de 11, y 130-7²=81, cuadrado de 9. Implemento en un buscador, con un rango similar y obtengo: 113, 130, 149, 170, 193, …Los números 130 y 149 son los que presentan diferencia 14 en la tabla.

La expresión N=k²+2dk+2d² nos permite encontrar las mismas soluciones para números que sean promedio de dos cuadrados. Basta plantear un doble bucle con k y d. Esta es la versión en PARI:

for(n=1,10,for(m=1,10,p=n^2+2*m*n+2*m^2;print1(p,", ")))

Si la ejecuto en la página oficial de PARI/GP obtengo la solución

5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 10, 20, 34, 52, 74, 100, 130, 164, 202, 244, 17, 29, 45, 65, 89, 117, 149, 185, 225, 269, 26, 40, 58, 80, 106, 136, 170, 208, 250, 296, 37, 53, 73, 97, 125, 157, 193, 233, 277, 325, 50, 68, 90, 116, 146, 180, 218, 260, 306, 356, 65, 85, 109, 137, 169, 205, 245, 289, 337, 389, 82, 104, 130, 160, 194, 232, 274, 320, 370, 424, 101, 125, 153, 185, 221, 261, 305, 353, 405, 461, 122, 148, 178, 212, 250, 292, 338, 388, 442, 500, …

Como era de esperar, aparecen las soluciones desordenadas. Si las ordeno en una hoja de cálculo, coinciden con las obtenidas por otros procedimientos.

5, 10, 13, 17, 20, 25, 26, 29, 34, 37, 40, 41, 45, 50, 52, 53, 58, 61, 65, 65, 68, 73, 74, 80, 82, 85, 85, 89, 90, 97, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 122, 125, 125, 130, 130, 136, 137, 145, 146, 148, 149, …

Se observan dos hechos, como son la existencia de repetidos, (65 y 85), y también la falta de alguno en el listado, simplemente porque “tarda más en aparecer”. Por eso, prefiero siempre algoritmos que devuelvan las soluciones ordenadas.

La suma de potencias de cifras es otra potencia

2026-02-26T18:00:00.001+01:00

En este blog se han desarrollado muchas curiosidades similares, y ahora deseo estudiar en qué números se cumple que una suma de potencias de sus cifras se convierte en otra potencia. Por ejemplo, en el 34, 3²+4²=5², porque es una terna pitagórica, o en 123 se cumple que 1³+2³+3³=6²

Para jugar un poco con esta cuestión necesitamos dos funciones, que son SUMACIFRAS, que nos sume potencias de cifras, y ESPOTENCIA, que determine si un número es potencia entera o no. La primera, en su versión completa con exponentes, la puedes encontrar desarrollada en este blog, por ejemplo, en

https://hojaynumeros.blogspot.com/2024/01/un-numero-y-sus-cifras-1-niven.html.

Posee dos parámetros, el número a descomponer en cifras y el exponente.

La función ESPOTENCIA admite variantes, pero su última versión es algo complicada de desarrollar. Está presentada en la entrada

https://hojaynumeros.blogspot.com/2025/11/un-numero-como-diferencia-entre.html

Si no te apetece entrar en esas explicaciones en VBASIC, con el lenguaje PARI quedan muy simples:

sumacifras(n,k)=sum(i=1, #n=digits(n), n[i]^k)
espotencia(n)=ispower(n)

Función espotsumcifraspot$(n,tope)

Uniremos las dos funciones en una sola, para determinar qué números cumplen la propiedad pedida. Le indicaremos el número y el tope máximo de búsqueda con exponentes, porque los resultados pueden tener una magnitud tan grande que no sean exactos en VBASIC. Por cada solución que se obtenga aparecerán también los números anagramáticos con ella. Por ejemplo, si 115 es solución (1²+1²+5²=3³), también lo serán 151 y 511.

Public Function espotsumcifraspot$(n,tope)

Dim s, I,e

Dim ss$

ss = ""

For i = 2 To tope ‘Se prueba con varios exponentes de cifras

s = sumacifras(n, i)’Sumacifras con un exponente

e= espotencia(s)

If e > 1 Then ss = ss + " E1: " + Str$(i)+ “ E2: “+str$(e)

‘Si la suma es potencia, tenemos solución nueva, E1 exponente de las cifras y E2 el de la suma

Next i

If ss = "" Then ss = "NO"

espotsumcifraspot = ss

End Function

Hay que advertir que el valor de E2 no es único, porque, por ejemplo, el número 64 es cuadrado, cubo y sexta potencia. La función te da un valor, para afirmar que es potencia, pero no tiene que coincidir con el esperado.

Otra advertencia es que la existencia de cifras nulas puede también producir resultados no esperados. Si se quiere matizar más se puede añadir la condición de que no existan ceros en su representación en base 10. Esta sencilla función devuelve VERDADERO si no existen cifras nulas:

Function sinceros(n) As Boolean

Dim h, i, m

Dim sin As Boolean

h = n

sin = True

While h > 9 And sin

i = Int(h / 10)

m = h - i * 10

If m = 0 Then sin = False

h = i

Wend

If h = 0 Then sinceros = False Else sinceros = sin

End Function

Es optativo añadirle esa condición al principio de la función. Con la función PRODUCIFRAS basta con exigir que el producto no sea nulo.

La puedes encontrar en

https://hojaynumeros.blogspot.com/2018/09/permutacion-de-cifras-al-sumar-su.html

Así lo haremos en PARI: sinceros(n)=vecprod(digits(n))<>0

Números con la propiedad esperada

Con la advertencia de que puede faltar alguno por la existencia de un tope, la siguiente tabla contiene los primeros números sin cifras nulas que cumplen la propiedad. Llaman la atención los resultados de 22, 44 y 88, que no caben en la imagen (algo fácil de razonar con potencias de 2), y el hecho ya explicado, de que aparecerán como solución todos los números anagramáticos con la primera, como 21 con 12 o 132 con 123.

La tabla está confeccionada con tope 10 para los exponentes, pero si uso el 20 aparecen resultados falsos. Ya se sabe lo que se debe hacer: pasar a PARI. Se puede usar este código:

sumacifras(n,k)=sum(i=1, #n=digits(n), n[i]^k)

producifras(n)=vecprod(digits(n))

espotsumcifraspot(n,tope)=my(ss=List(),i,e,s,p=producifras(n));for(i=2,tope,s=sumacifras(n, i);e=ispower(s);if(e>1&&p>0,listput(ss,"E1:");listput(ss,i);listput(ss,"E2: ");listput(ss,e)));ss

for(i=11,135,s=espotsumcifraspot(i,30);if(#s<>0,print1(i,", ")))

Si aumento el tope a 30 coinciden los resultados, luego puedo confiar en que estos sean válidos:

12, 21, 22, 34, 36, 43, 44, 48, 63, 68, 84, 86, 88, 115, 122, 123, 126, 132,

Aumentando el rango:

12, 21, 22, 34, 36, 43, 44, 48, 63, 68, 84, 86, 88, 115, 122, 123, 126, 132, 148, 151, 162, 168, 184, 186, 212, 213, 216, 221, 231, 236, 244, 261, 263, 269, 296, 312, 321, 326, 333, 345, 354, 355, 362, 366, 418, 424, 435, 442, 447, 453, 474, 481, 488, 511, 534, 535, 543, 553, 568, 586, 612, 618, 621, 623, 629, 632, 636, 658, 663, 667, 676, 681, 685, 692, 744, 766, 814, 816, 841, 848, 856, 861, 865, 884, 926, 962, 999, …

Observamos que presentan una frecuencia alta de aparición, en parte por la existencia de anagramáticos. Por eso se puede plantear un filtro según el exponente usado en las cifras. Cambiando la variable que devuelve la función es posible realizar ese filtro. Para eso he modificado ligeramente el código. Por ejemplo, con resultado cubo aparecen:

115, 151, 345, 354, 355, 435, 453, 511, 534, 535, 543, 553, 568, 586, 658, 685, 856, 865, 1134, 1143, 1156, 1165, 1314, 1341, 1413, 1431, 1516, 1561, 1615, 1651, 2234, 2243, 2324, 2342, 2423, 2432, 2667, 2676, 2766, 3114, 3141, 3224, 3242, 3411, 3422, 3468, 3486, 3648, …

Por ejemplo, 3648 es solución porque 3²+6²+4²+8²=5³

Los he comprobado con dos procedimientos.

También podemos buscar exponentes de las cifras. Por ejemplo, buscamos los que sean mayores o iguales que 5, y conseguimos el listado:

22, 44, 88, 333, 999, 1111, 1224, 1242, 1339, 1393, 1422, 1933, 2124, 2142, 2214, 2222, 2241, 2412, 2421, 2448, 2484, 2844, 3139, 3193, 3319, 3333, 3391, 3913, 3931, 4122, 4212, 4221, 4248, 4284, 4428, 4444, 4482, 4669, 4696, 4824, 4842, 4966, 5555, 6469, 6496, 6649, 6666, 6694, 6946, 6964, 7777, 8244, 8424, 8442, 8888, 9133, 9313, 9331, 9466, 9646, 9664, 9999, …

Nos encontramos con soluciones especiales por la repetición de cifras. Por ejemplo, 3913: 3⁵+9⁵+1⁵+3⁵=244²

También podemos fijar qué exponentes deseamos, siempre que adaptemos el código. Por ejemplo, con exponentes 3 y 3 y con cifras crecientes tenemos estos dos casos:

345: Es un resultado clásico: 3³+4³+5³=6³

1156: 1³+1³+5³+6³=7³

Con exponentes con bastante diferencia:

Con cifras elevadas a 7, el número 57888 y sus anagramáticos cumple:

5⁷+7⁷+8⁷+8⁷+8⁷=2682²

Tenemos las herramientas para seguir investigando, pero vendrían bien unos equipos más potentes para llegar a siete u ocho cifras.

Sucesiones completas

2026-02-16T15:30:00.001+01:00

En esta entrada abordaré un tema interesante, y es el de la posibilidad de que los elementos de una sucesión de números naturales, finita o infinita, generen otros números, a partir de sumas, con o sin repetición.

Ya traté ese tema en algunas entradas antiguas, como

https://hojaynumeros.blogspot.com/2010/02/frobenius-y-los-mcnuggets.html

“Frobenius y los mcnuggets”, en la que trataba el problema de las monedas necesarias para alcanzar una cantidad y el número de Frobenius.

https://hojaynumeros.blogspot.com/2012/11/descomposicion-de-un-numero-segun-una.html

En esta entrada se trataba de generar un número a partir de una lista de ellos.

En ambos casos las sucesiones eran finitas, y al sumar los elementos se podían repetir los sumandos.

También se relacionaba algo con lo que pretendo presentar ahora, la entrada sobre algoritmos voraces o codiciosos:

https://hojaynumeros.blogspot.com/2024/09/algoritmos-codiciosos-para-sumas.html

Sucesión completa

Desarrollaré aquí el tipo de sucesión más eficaz para generar todos los números naturales, el de sucesión completa.

Una sucesión de números naturales se llama completa cuando cualquier otro número natural se puede escribir como suma de elementos de esa sucesión sin repetir ninguno.

El ejemplo básico más popular es el de las potencias de 2, que da lugar al sistema binario de representación de los números. En efecto, la sucesión 1, 2, 4, 8, 16, … permite representar cualquier número como suma de algunos términos, sin repetición. La forma de conseguirlo es similar a la de los algoritmos codiciosos que traté en la entrada referenciada más arriba.

Vemos un ejemplo: representar el número 53:

Buscamos el término de la sucesión más cercano a 53 y menor que él, que es el 32, tomamos nota y restamos: 53-32=21. Reiteramos: 21-16=5, 5-4=1, con lo que obtenemos 53=32+16+4+1, que da lugar a la representación binaria 110101.

Este ejemplo nos abre camino para caracterizar las sucesiones completas. Podemos dar tres condiciones para que una sucesión sea de este tipo:

· El primer término ha de ser 1, a₁=1

· Aunque no es imprescindible, pero sí algo operativo, la sucesión debe presentar un orden creciente.

· Si llamamos s_n a la suma de los n primeros términos de la sucesión, se debe cumplir: s_n-1≥ a_n-1 para todo n ≥ 1

La primera condición es imprescindible para poder generar todos los números y que los algoritmos tengan parada. Por ejemplo, los números pares no son completos, pues nunca pueden generar un impar.

La segunda se incluye para que tengan sentido los algoritmos.

La tercera es fundamental, porque garantiza que se pueda avanzar en descubrir sumandos hasta llegar, si es necesario al 1.

Seguimos el proceso del 53 visto más arriba. Dado el número N, deberemos encontrar el mayor elemento de la sucesión que sea menor que N, en el ejemplo 32. La diferencia 21 se ha de poder tratar del mismo modo, con lo que s_n-1ha de ser suficiente para ello, es decir, s_n≥ a_n-1. Piénsese en el caso 63, en el que 63-32=31, y debe poder ser generado por los elementos anteriores, es decir por s_n-1, y de ahí la condición s_n≥ a_n-1.

Si no se cumple esta condición, la sucesión no es completa. Por ejemplo, la sucesión de potencias de cuatro, 1, 4, 16, 64, …no la cumple, y, por ejemplo, no puede generar el número 70, porque 70-64=6, y 6 no se puede formar con 1 y 4. Aquí la suma 1+4+16 no es suficiente.

La sucesión de potencias de 2 la cumple, porque s_n=2ⁿ-1, y da lugar a la representación binaria. Esto se logra porque no se admiten repeticiones en los sumandos. También es minimal, pues si eliminamos un término de ella, habrá números naturales que no se puedan representar. Por ejemplo, si elimino el 4, no podré representar el 6. Otra característica es que la representación es única, algo que no se contempla en las definiciones.

Existe una condición suficiente que puede sustituir a la tercera, y es que 2a_k ≥ a_k+1para k≥1. El ejemplo de las potencias de 2 la cumple, pero falta ver su suficiencia. Lo razonamos con el ejemplo del N=53. La primera operación fue buscar el término menor que 53 más cercano a él, y fue el 32. Restamos y nos resultó 21 para proseguir. Lo vemos en general:

N estará entre a_k y a_k+1, peroa_k+1 estará entre a_k y 2a_k, luego tendremos: a_k ≤ N ≤ a_k+1≤ 2a_k. Restando a_k se verificará:

0 ≤ N - a_k ≤ a_k

Por tanto, la siguiente diferencia (en el ejemplo, el 21) será menor que a_k, y se podrá seguir el algoritmo con un término menor, hasta llegar a 1.

Ejemplo reciente

En una entrada anterior vimos la sucesión “catering perezoso”, formada por los términos de fórmula

Sus primeros términos son 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, 232, 254, 277, 301, 326, 352, 379, …https://oeis.org/A000124

Es evidente que cumple 2a_k ≥ a_k+1.

2a_k - a_k+1 = 2(k(k+1)/2+1)-(k+1)(k+2)/2-1 = (k+1)(k-(k+2)/2)+1 =(k+1)(k/2-1)+1, y esta diferencia es positiva o cero para k>1

Podemos afirmar que esta sucesión es completa, como se afirma en la página en la que está publicada. Según esto, cualquier número natural es suma de algunos de sus términos tomados sin repetición. He efectuado sencillas comprobaciones con mi hoja de cálculo partlista

(Ver https://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#reprenum)

He elegido el número 62 al azar, y deseo generarlo con los términos de esta sucesión 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37. He concretado en la hoja que no se repitan sumandos, y me ha devuelto estos resultados:

No es de extrañar que resulten siete soluciones, porque en estos procesos no tiene que existir solución única.

Sucesión de Fibonacci

Esta sucesión es claramente completa. Basta recordar que es creciente y en ella a_k+1= a_k+a_k-1, luego a_k+1< a_k+a_k= 2a_k, que es condición suficiente para la completitud.

Existe una descomposición basada en esta propiedad, y es la de Zeckendorf, que consiste en ir restando a un número N el mayor número de Fibonacci posible. Es interesante, y acudo a ella con frecuencia. Puedes profundizar en el tema leyendo mi entrada https://hojaynumeros.blogspot.com/2020/09/representacion-de-zeckendorf.html y descubrir en qué consiste la multiplicación de Fibonacci.

Por ejemplo, esta es la representación de Zeckendorf del número 75:

75 = F(10)+F(7)+F(5)+F(3) = 55+13+5+2

No es el único desarrollo. Con nuestra herramienta Cartesius (https://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius) se puede conseguir otro. Estas son las condiciones:

xrango=5

xt=1..55

xt=filtro(fibonacci)

suma=75

creciente

no repite

Y este el resultado:

Nos devuelve el ya conocido, 2+5+13+55, que es el desarrollo minimal, pero nos ofrece otro: 75=34+21+13+5+2

Números primos con la unidad

Si a la sucesión de números primos le adjunto a(1) = 1, resulta una sucesión completa. Es creciente, comienza en 1 y cumple que 2p(k) ≥ p(k+1). Esta afirmación se basa en el Postulado de Bertrand, que afirma, entre otras formulaciones, esta desigualdad. Por ejemplo, con la hoja partlista, podemos generar el número 35 con esta sucesión, y resulta:

Es evidente que esta descomposición da lugar a muchas soluciones distintas.

Se pueden encontrar más ejemplos de sucesiones completas, pero con estos se comprende bien el concepto. Otros que he encontrado son demasiado particulares y no son muy interesantes.

El catering perezoso

2026-02-06T16:30:00.003+01:00

El título es libre traducción de la sucesión “Lazy Caterer's Sequence” publicada en https://oeis.org/A000124 con el título Central polygonal numbers, que se refiere al máximo número de porciones que se puede obtener en una tarta si la sometemos a n cortes. Su referencia a los números de Hogben, ya tratados en este blog

(https://hojaynumeros.blogspot.com/2021/11/numeros-de-hogben.html)

me ha llevado a estudiarla, sólo en los aspectos que trata normalmente este blog.

Fórmula de la sucesión

Si solo nos interesan los números máximos de piezas resultantes, deberemos suponer que cada corte posee intersección con todos los anteriores, evitando paralelismos, por lo que se cumplirá que c(n+1)=c(n)+n. Como c(1)=2, ya que el primer corte produce dos piezas, es fácil ver que la sucesión será: 2, 2+2,2+2+3, 2+2+3+4 ,… pero en OEIS se considera siempre c(0), que aquí sería 1 (ningún corte), por lo que resultaría al final 1, 2, 4, 7, 11, 16, …, que es la publicada.

El hecho de que la suma de los primeros números naturales sea un número triangular, n(n+1)/2, nos da directamente la fórmula de estos números:

En la imagen vemos la generación de c(4), porque de los tres cortes existentes, el cuarto produce 4 nuevos, y el resultado es 4*5/2+1=11

Si la fórmula de c(n) es n(n+1)/2+1, la de c(n-1) será, desarrollando (n²-n+2)/2, y podemos identificar el numerador con un número de Hogben aumentado en una unidad. Esto relaciona las dos sucesiones, pues si añadimos una unidad a la Hogben y dividimos entre 2 nos resulta la que estamos estudiando.

Si emparejamos índices, se comprueba esta relación:

Hogben: 1, 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, 91

Lazy Caterer's: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46

(13+1)/2=7, (21+1)/2=11, (31+1)/2=16, …

Los números de Hogben, según es fácil de demostrar, se generan con la recurrencia h(n+1)=h(n)+2n, ajustando bien el índice inicial. Es otra forma de razonar la relación entre las dos sucesiones.

Si repasamos mi estudio de estos números, podemos descubrir que los c(n) son la cuarta parte de la suma de dos de h(n) diferenciados en dos órdenes:

2=(1+7)/4, 4=(13+3)/4, 7=(21+7)/4, 11=(31+13)/4, …

Los primeros términos de la sucesión c(n) son:

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, 232, 254, 277, 301, 326, 352, 379, …

https://oeis.org/A000124

Basta aplicar la formula a los primeros números naturales para conseguirla.

Algunas curiosidades

En la página citada se proponen varias propiedades y curiosidades, pero sin desarrollar. Estudiaremos algunas.

Todo proceso en el que el término enésimo produzca el siguiente al sumarle n puede interpretarse como número del tipo C(n).

Un ejemplo que se propone que el de contar los términos de la expresión (x+y)*(x²+y²)*(x³+y³)*...*(xⁿ+yⁿ).

For n >= 1 a(n) is the number of terms in the expansion of (x+y)*(x^2+y^2)*(x^3+y^3)*...*(x^n+y^n). - Yuval Dekel (dekelyuval(AT)hotmail.com), Jul 28 2003

La justificación es la siguiente: Los primeros términos la cumplen, porque c(0)=1, c(1)=2 y c(2)=4, como fácilmente se comprueba. Los siguientes deberán incrementar los términos en n elementos, porque, por ejemplo, la expresión segunda x³+x²y+xy²+y³ se convertiría en x³*(x³+x²y+xy²+y³)+y³*(x³+x²y+xy²+y³), aparentemente ocho términos, pero se pierde uno al sumar los dos términos del tipo x³y³, con lo que se suman sólo tres términos, quedando 7, que es c(3). Lo vemos con wxMaxima:

ratsimp((x+y)*(x^2+y^2)*(x^3+y^3));

y^6+x*y^5+x^2*y^4+2*x^3*y^3+x^4*y^2+x^5*y+x^6

Siete términos, c(3)=7

Se razonaría de igual forma para grado 4. Lo comprobamos:

ratsimp((x+y)*(x^2+y^2)*(x^3+y^3)*(x^4+y^4));

y^10+x*y^9+x^2*y^8+2*x^3*y^7+2*x^4*y^6+2*x^5*y^5+2*x^6*y^4+2*x^7*y^3+x^8*y^2+x^9*y+x^10

Once términos, c(4)=11

Otra forma de ver las curiosidades es la relación con técnicas de elegir dos elementos en un conjunto. La propuesta de nuestro compatriota Arregui aprovecha ese detalle:

Number of interval subsets of {1, 2, 3, ..., n} (cf. A002662). - Jose Luis Arregui (arregui(AT)unizar.es), Jun 27 2006

Para fijar un intervalo en el conjunto {1, 2, 3, ..., n} bastará elegir un inicio y un final, pero existen n(n-1)/2 formas de efectuar la elección, y añadimos el intervalo vacío, obtendremos los términos C(n). Por ejemplo, {1} sólo posee el intervalo vacío (), {1, 2} los intervalos (), (1,2), (2,3), (1,3), que son c(2)=4, {1, 2, 3} tendría estos: intervalos (), (1,2), (2,3), (1,3) (1,4), (2,4), (3,4), en total c(3)=7.

Cualquier otro proceso de este tipo, ajustando los índices, se puede representar con los números c(n)

Termino con dos propiedades triviales:

Numbers m such that 8m - 7 is a square. - Bruce J. Nicholson, Jul 24 2017

En efecto, si T(n) es triangular, 8T(n)+1 es un cuadrado, según una popular propiedad, luego 8C(n)-7=8T(n)+8-7=8T(n)+1, que es un cuadrado.

a(n) is the sum of the first three entries of row n of Pascal's triangle. - Daniel T. Martin, Apr 13 2022

En efecto, los tres primeros términos son 1, n y n(n-1)/2 y su suma 1+(n²-n+2n)/2=1+n(n+1)/2=c(n). Por ejemplo, para n=4 queda 1+4+6=11=c(4)

Recurrencia lineal

Las sucesiones dependientes de cuadrados suelen presentar esta recurrencia: a(n+3) = 3*a(n+2) - 3*a(n+1) + a(n). En nuestro caso los términos iniciales son 1, 2, 4. Con mi herramienta de recurrencias se puede comprobar.

(https://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2)

Rellenamos las condiciones iniciales:

Pedimos ver la sucesión:

Como era de esperar, obtenemos C(n)

Como los números de Hogben también dependen de un cuadrado, se obtendrán con una recurrencia idéntica, pero iniciando en 1, 1, 3:

Pedimos ver la sucesión y obtenemos H(n):

En nuestra entrada de blog sobre estos números se explica el fundamento de que esta recurrencia sea válida para expresiones de segundo grado.

Por una unidad, no son de Fibonacci (2)

2026-01-26T09:30:00.001+01:00

En la entrada anterior repasamos las recurrencias lineales no homogéneas, alterando la definición de la sucesión de Fibonacci, ya sea sumando o restando una unidad y cambiando las condiciones iniciales.

En esta segunda entrada restaremos una unidad a la definición clásica, y fijaremos a(1)=1 y a(2)=k, número que variaremos para ver qué ocurre. La recurrencia será a(n)=a(n-1)+a(n-2)-1. Tomaremos k=4 para comenzar. Como en la anterior entrada, generaremos la sucesión directamente en columnas de hoja de cálculo:

Procedemos a encontrar la solución homogénea, y vemos la diferencia entre ambas. Se puede consultar la entrada anterior para seguir este proceso.

Pantalla de la hoja recurre_lineal:

Copio la sucesión de la recurrencia homogénea junto a la obtenida para la no homogénea. Creo una tabla en la que al leer de izquierda a derecha desembocaremos en la expresión definitiva:

En primer lugar figuran los índices de las sucesiones. Aquí comenzamos con 1. Después emparejamos las soluciones homogéneas con las que no lo son, y se puede descubrir que su diferencia es 1-F(0), con lo que quiero expresar que es el número de Fibonacci correspondiente al índice de su fila. En la siguiente columna situamos la solución para la homogénea, deducida de mi hoja recurre_lineal, y, por último, sumo 1-F(0). Al final (ver celda naranja) quedamos con 3F(-1)+1. Por cuestiones de índices, en OEIS usan FIBONACCI(N)+1. Al final da igual donde comencemos.

Se puede comprobar con PARI:

Observa el código tan simple que figura arriba.

Estos resultados coinciden con los publicados en https://oeis.org/A187893

Lo interesante del proceso que hemos seguido es que es válido para cualquier otro valor de K, y la sucesión vendría dada por (k-1)*FIBONACCI(N)+1

Por ejemplo, para k=3 obtenemos 1, 3, 3, 5, 7, 11, 17, 27, 43, 69, 111, 179, 289, 467, 755, 1221, … que sigue la expresión 2*FIBONACCI(N)+1.

Para k=6 obtenemos 1, 6, 6, 11, 16, 26, 41, 66, 106, 171, 276, 446, … definida por 5*FIBONACCI(N)+1:

for(n=0,20,print1(5*fibonacci(n)+1,", "))

1, 6, 6, 11, 16, 26, 41, 66, 106, 171, 276, 446, 721, 1166, 1886, 3051, 4936, 7986, 12921, 20906, 33826, …

La mayoría de casos para k están sin publicar, como era esperable.

Casos más simples

Si las complicaciones de la recurrencia, otra forma de añadir una unidad a la sucesión de Fibonacci es realizarlo una vez esta formada. Nos resultan dos sucesiones sencillas:

Fibonacci más una unidad

Usaré PARI, que nos está viniendo muy bien en este tema:

for(n=0,20,print1(fibonacci(n)+1,", "))

1, 2, 2, 3, 4, 6, 9, 14, 22, 35, 56, 90, 145, 234, 378, 611, 988, 1598, 2585, 4182, 6766, …

Está publicada en https://oeis.org/A001611

En esa página destacan que tres elementos pueden formar triángulo, porque cada uno es menor que la suma de los dos anteriores y mayor que su diferencia. También se afirma que los únicos números primos presentes son el 2 y el 3. Podemos añadir algo más:

Entre los primeros términos sólo hay tres cuadrados: 1, 4 y 9.

for(n=0,2000,a=fibonacci(n)+1;if(issquare(a),print1(a,", ")))

1, 4, 9, …

Aparecen cuatro triangulares (observa el código, que se basa en que 8T+1 es cuadrado):

? for(n=0,2000,a=fibonacci(n)+1;if(issquare(8*a+1),print1(a,", ")))

1, 3, 6, 378, …

También contamos con oblongos (tipo N(N+1)):

? for(n=0,2000,a=fibonacci(n)+1;if(issquare(4*a+1),print1(a,", ")))

2, 2, 6, 56, 90, …

Fibonacci menos una unidad

Con la experiencia adquirida todo es más fácil, y me limitaré a resultados:

? for(n=1,30,a=fibonacci(n)-1;print1(a,", "))

0, 0, 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, 54, 88, 143, 232, 376, 609, 986, 1596, 2583, 4180, 6764, 10945, 17710, 28656, 46367, 75024, 121392, 196417, 317810, 514228, 832039, …

Publicada en https://oeis.org/A000071, donde se desarrollan múltiples propiedades.

Los únicos primos presentes entre los primeros son 2 y 7:

? for(n=1,3000,a=fibonacci(n)-1;if(isprime(a),print1(a,", ")))

2, 7, …

Cuadrados sólo aparecen 0, 1 y 4

Triangulares 0, 1 y 1596

Oblongos 0, 2, 12 y 20.

Hasta aquí llega el recorrido de este tema. El resto se lo dejo a quien me lea.

Por una unidad, no son de Fibonacci (1)

2026-01-16T16:00:00.001+01:00

La sucesión de Fibonacci, definida como a(1) = 1, a(2) = 1, a(n) = a(n-1) + a(n-2), da lugar a otras muchas sucesiones que mantienen básicamente la misma fórmula de recurrencia o bien cambian las condiciones iniciales. Hoy nos vamos a dedicar a estudiar aquellas sucesiones definidas mediante a(n)=a(n-1) + a(n-2) ± 1. Respecto a las condiciones iniciales, elegiré aquellas que estén publicadas o alguna otra que sea afín, porque el objetivo no es descubrir ada nnuevo, sino practicar con las herramientas que suelo usar y explicar lo que se descubra.

Una unidad más

En primer lugar, estudiaré a(n) = a(n-1) + a(n-2) + 1, con a(1) = 0 y a(2) = 2. (Ver https://oeis.org/A001610)

Con una hoja de cálculo se construyen perfectamente las sucesiones definidas por recurrencia. Escribimos a(1), en la celda de abajo a(2), y en las siguientes la fórmula de recurrencia. No hay más dificultad. Es conveniente situar a su izquierda una columna de índices. Por ejemplo, en este caso obtendríamos:

Coinciden los términos con los publicados en https://oeis.org/A001610

0, 2, 3, 6, 10, 17, 28, 46, 75, 122, 198, 321, 520, 842, 1363, 2206, 3570, 5777, 9348, 15126, 24475, 39602, 64078, 103681, 167760, …

Recurrencia lineal no homogénea

Si deseamos profundizar algo más sobre esta sucesión es conveniente tratarla como recurrencia no homogénea. En estos casos se suele resolver la homogénea y después tratar aparte el sumando no lineal, que aquí sería el 1.

La parte homogénea se resuelve mediante la ecuación característica. La base teórica la tienes en cualquier texto o página web, como

https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_recurrencia

Poseo una herramienta descargable para resolver estas ecuaciones con las limitaciones propias de una hoja de cálculo

(https://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2)

Le suministro los datos de la parte homogénea del problema, que aquí sería la de números de Fibonacci con las condiciones iniciales 0 y 2.

Pulso el botón Resolver para ver la ecuación característica:

La hoja de cálculo no es simbólica, por lo que hay que saber interpretar estos coeficientes en función del número áureo o de la raíz cuadrada de 5:

Aparecen dos soluciones reales, que dan lugar a la expresión de más abajo:

Sería:

Esta fórmula daría lugar a la parte homogénea, que nos da la sucesión que presenta la herramienta usada:

La parte no homogénea es un 1, y según la teoría, habría que someterla a las mismas condiciones que la homogénea, y después encontrar el coeficiente adecuado.

En nuestro caso esta es la situación:

Valores de la homogénea: 0 2 2 4 6 10 16 26 42

Valores encontrados: 0 2 3 6 10 17 28 46 75

Diferencias: 0 0 1 2 4 7 12 20 33

Las diferencias equivalen a los números de Fibonacci clásicos menos una unidad, y las soluciones de la homogénea son el doble de los mismos de Fibonacci con un índice una unidad menor. Con esta consideración nos liberamos de cálculos algebraicos.

Así, la solución buscada por recurrencia se puede expresar de esta forma, que da el valor directamente:

A(n)=2*F(n-1)+F(n)-1=F(n+1)+F(n-1)-1

Podríamos expresarlo en función de la raíz de 5 en una fórmula demasiado larga. Es preferible expresarla usando la función FIBONACCI(N). Así se puede encontrar con PARI:

for(i=1,40,a=2*fibonacci(i-1)+fibonacci(i)-1;print1(a,", "))

La web de PARI (https://pari.math.u-bordeaux.fr/gpwasm.html), nos ofrece las mismas soluciones que las publicadas en OEIS, que en las fórmulas incluyen F(n+2)+F(n)-1, porque suelen usar el 0 como primer índice. En la programación en PARI, G. C. Greubel usa una expresión similar a la obtenida aquí.

0, 2, 3, 6, 10, 17, 28, 46, 75, 122, 198, 321, 520, 842, 1363, 2206, 3570, 5777, 9348, 15126, 24475, 39602, 64078, 103681, 167760, 271442, 439203, 710646, 1149850, 1860497, 3010348, 4870846, 7881195, 12752042, 20633238, 33385281, 54018520, 87403802, 141422323, 228826126, …

Se descubren varios números primos en el listado. Podemos modificar nuestra búsqueda para encontrarlos:

for(i=1,100,a=2*fibonacci(i-1)+fibonacci(i)-1;if(isprime(a),print1(a,", ")))

Estos serían los primeros números primos:

2, 3, 17, 103681, 10749957121, 115561578124838522881

No he encontrado cuadrados, pero si se encuentran números que son una potencia más una unidad:

10, 17, 28, 122, 842, 5777, 39602, 271442, 1860497, 12752042, 87403802, …

Este ha sido un estudio que abre caminos a otras técnicas matemáticas. Es sólo un inicio para quienes deseen profundizar. En la siguiente entrada se completará con algún caso más.

Propiedades del 2026

2026-01-02T13:00:00.001+01:00

No todos los años publico las propiedades de un año nuevo, porque lo hago en otros medios, pero en este los he terminado ya de compartir, por lo que no viene mal recogerlos aquí. Los números de orden se corresponden con los conjuntos de propiedades publicados cada día. Feliz año nuevo.

2026 es un número semiprimo, pues 2026=2×1013 y es del tipo n²+1, ya que 2026=45²+1. Es el semiprimo número 582 en el orden natural. Si le suprimimos cualquier cifra, sigue siendo semiprimo: 026=2×13, 226=2×113, 206=2×103 y 202=2×101

2026, aunque se diferencia en 1 del cuadrado 45² , sus cuadrados se diferencian en un número primo:

2026²-45⁴=4104676-4100625=4051, que es primo.

Una escala de cifras ascendente y otra descendente para 2026:

2026=1×2×(34×5×6-7)

2026=9×(8+7+6+54)×3+2-1

2026 es capicúa en tres bases de numeración, 13, 14 y 45:

2026 (10 = 11, 12, 11 (13 = 10, 4, 10 (14 = 1, 0, 1 (45

Y concatena N//N+6: 2026=20//26

Una curiosidad:

2026=INT(LN(5)^16)

2026 se puede formar de estas dos formas con los primeros números primos:

2026=(2+3!+5)×7×(11+13)-(17+19+23+29+31)-37+41-43

2026=2×((3+5)×(7+11+13)×17-19-23-29×(31+37+41))

2026 es el promedio de dos semiprimos consecutivos con él:

2026=2×1013=(2021+2031)/2=(43×47+3×677)/2

También es promedio de dos anteriores y dos posteriores: 2019, 2021, 2031 y 2033

En el año 2026 no podían faltar las cifras simétricas:

2026=2×(1×1001+12)

2026=(3-1)×(0+1)×1013

2026=2021+1+2+0+2

2026=1×2×(505+3+505)×(2-1)

2026 presenta, entre otras, estas sumas de consecutivos:

Compuestos: 2026 =505+506+507+508

Enteros: 2026=505+506+507+508

Semiprimos: 2026=237+247+249+253+254+259+262+265

Pares: 2026=1012+1014

La suma de las funciones SIGMA y PHI en 2026 coincide con la de 2027

2026 2027

SIGMA 3042 2028

PHI 1012 2026

SUMA 4054 4054

SIGMA es la suma de divisores y PHI cuenta los coprimos menores que el número.

2026 presenta estas dos generaciones mediante factoriales:

2026=2!×(6!+(5!+4!)×2!+2!)+3!

2026=(6!×2!+2!)×2!-6!-4!-5!+3!

2026 es diferencia entre dos números triangulares (tipo N(N+1)/2):

2026=508×509/2-504×505/2

Las funciones PHI y SIGMA que vimos ayer, cumplen en 2026 lo siguiente:

PHI(PHI(2026)+SIGMA(2026))=PHI(1012+3042)=PHI(4054)=2026

2026 no es un número intocable, porque equivale a la suma de las partes alícuotas de 2366: 2026=1183+338+182+169+ 91+26+14+13+7+2+1

(ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/05/regresos-3-numeros-intocables.html)

También lo es de 2510 y 2692.

2026 equivale a sumas de tres potencias con algún alto exponente:

2026=35^2+2^9+17^2

2026=37^2+23^2+2^7

2026=37^2+5^4+2^5

2026=43^2+2^7+7^2

2026 equivale a nueve sumas de siete cubos cada una:

1+1+27+27+512+729+729

8+27+64+343+343+512+729

8+64+64+216+216+729+729

1+1+8+8+8+1000+1000

1+8+8+64+216+729+1000

1+125+125+216+216+343+1000

8+27+216+216+216+343+1000

1+27+27+64+64+512+1331

1+1+8+8+64+216+1728

2026 equivale a estas expresiones palindrómicas:

2026=2×3×3×7×7+262+7×7×3×3×2

2026=2+8+2+2002+2+8+2

2026=5+12×8×21+5

2026=2×3×2+2002+2×3×2

2026=3×5×3+22×4×22+3×5×3

2026=131+12×7×21+131

Y ahora, pandigitales con resultado 2026:

2026=(1024-8-3)×(9-7)×(6-5)

2026=3+7×(6+5+4+2)×(8+9)×(1+0)

2026=4×3×(8+5)×(6+7)-2×1+9×0

Hoy me dedicaré a los desarrollos de una sola cifra para 2026, comenzando del 1 al 3:

2026=(1111-111+11+1+1)×(1+1)

2026=(2×22+2)×2×22+2

2026=(3×3^3+3-3×3)×3^3+3/3

2026 expresado con monocifras de 4, 5 y 6:

2026=(4+4)×(4^4)-4!+(4+4)/4

2026=(5!+5+5+5)×(5+5+5)+5/5

2026=6!+6!+6!-66-66-(6+6)/6

Por último, las cifras 7, 8 y 9 generan el 2026

2026=(7!-77+7)/7+777+77×7

2026=8!/(8+8)-8×8×8+8+8+(8+8)/8

2026=((999+9)×(9+9)+9)/9+9

2026 se genera con la siguiente recurrencia:

a(0)=a(1)=0, a(2)=2; y para n >= 3, a(n) = a(n-1) + 4×a(n-3)

Visto en https://oeis.org/A122946

Comprobado con una columna de Excel.

2026 es un número feliz, porque reiterando la suma de los cuadrados de sus cifras se llega a la unidad:

2^2+0^2+2^2+6^2=44

4^2+4^2=32

3^2+2^2=13

1^2+3^2=10

1^2+0^2=1

2026 es hipotenusa de una terna pitagórica y cateto en otra. Este segundo ha costado encontrarlo:

Como hipotenusa: 2026^2=90^2+2024^2

Como cateto: 2026^2=1026170^2-1026168^2

Visto en https://oeis.org/A350130:

Si a 2026 le aplicamos la función X^2+1 reiteradamente seis veces resulta otro número terminado en 2026

Lo he comprobado con PARI, pero no cabe aquí.

Como tantos números, 2026 también participa en una igualdad entre fracciones egipcias:

1/2026=1/2022-1/1024143

2026 se puede expresar con tres cuadrados con signo. Estas son algunas posibilidades:

2026=11^2+193^2-188^2

2026=9^2+197^2-192^2

2026=154^2-9^2-147^2

2026=150^2-5^2-143^2

2026=117^2+1^2-108^2

10)

2026 es divisor del número de Fibonacci de orden 2028. Posee muchas cifras. Se puede comprobar en PARI con el código

k=fibonacci(2028)/2026

print(k-truncate(k))

Resultará un cero.

2026 es promedio de dos cuadrados :

2026=(44^2+46^2)/2

O bien 2026=44^2+44×2+2

Y también 2026=22×44+23×46

2026 es suma de cinco elementos de la sucesión de Fibonacci: 2026=F(17)+F(14)+F(9)+F(7)+F(5)=1597+377+34+13+5

11)

2026 es la suma de los cuadrados de los primeros números libres de cuadrados, desde 1 hasta 21:

2026=1^2+2^2+3^2+5^2+6^2+7^2+10^2+…19^2+21^2

2026 es suma de los cuadrados de dos números triangulares:

2026=T(1)^2+T(9)^2=(1×2/2)^2+(9×10/2)^2

2026 equivale sumas de cuadrados con primos y también con capicúas

2026=3^2+2017=15^2+1801=27^2+1297=33^2+937

2026=39^2+505=42^2+262=45^2+1

12)

2026 es suma del número primo de orden 215 con el semiprimo que tiene el mismo orden

2026=PRIMO(215)+SEMIPRIMO(215)=1319+707=1319+7×101

No ha sido fácil encontrarlos

Todo número es suma, a lo más, de tres números triangulares. En el caso del 2026 pueden ser:

2026=10+2016=595+1431=1+990+1035=3+253+1770=6+190+1830

Según el teorema de Javier Cilleruelo, todo número es suma de tres capicúas o menos. En el 2026 he elegido una pequeña muestra:

2026=8+1221+797=9+686+1331=9+1331+686=11+464+1551=11+1551+464=22+343+1661

Con ellos termina mi bienvenida al 2026.

Divisorial

2025-12-22T18:07:00.001+01:00

Llamaremos divisorial de un número al producto de sus divisores, (según OEIS WIKI, sin revisar). Su cálculo es muy sencillo, porque los divisores de N se presentan por pares cuyo producto es N. Por ejemplo, en 45 se da que 45*1=15*3=9*5=45. El producto total, o divisorial, será 45^3=91125.

Si TAU(N) es el número de sus divisores, se tendrá que el número de pares será TAU(N)/2 si TAU es par y (TAU(N)+1)/2 si es impar, porque este último caso se dará en los cuadrados, y la RAIZ(N) se contaría repetida. Por ejemplo, el divisorial de 36 será 36*18*12*9*6*4*3*2*1=10077696, pero si lo ordenamos por pares, la raíz cuadrada estaría repetida:

Nos resultaría un producto seis veces mayor. Habría que suprimir el 6 sobrante, con lo que resultaría ese 6 multiplicado por los pares restantes, que forman TAU(N). Tendríamos 6*36*36*36*36=36^9/2

Por tanto, en el caso par y en el caso impar la fórmula adecuada es

Hemos seguido la nomenclatura usual de π(n) para el divisorial.

En el caso de 45 nos daría 45^6/2=45³=91125

En el caso de 36 existen 9 divisores, luego tendríamos 36^9/2= 10077696.

Los resultados del divisorial no se repiten, es decir, a números distintos les corresponden divisoriales distintos (ver la demostración de T.D. Noe en

http://www.sspectra.com/math/DivisorProduct.pdf)

Encontrar π(n) sin usar la función TAU es muy simple. Basta recorrer los números menores o iguales a N y multiplicar tan solo los divisores. En la práctica solo hay que llegar a N/2 y después multiplicar por N. En Visual Basic puede quedar así:

Function proddivi(n)

Dim p, i

p = n ‘Comenzamos el producto con n

For i = 2 To n / 2

If n / i = n \ i Then p = p * I ‘Si es divisor, se multiplica

Next i

proddivi = p

End Function

Con esta función podemos crear la primera tabla de divisoriales:

Están publicados en https://oeis.org/A007955

En el lenguaje PARI está implementada la función TAU con el nombre de numdiv, luego el divisorial se puede encontrar con

π(n)=n^(numdiv(n)/2)

En la imagen se ha pedido el valor de los 50 primeros:

En color azul figura la instrucción en PARI usada.

Casos particulares

N es primo

En ese caso TAU(N)=2, luego π(n)=n^2/2=n

Es lógico, porque el único producto de divisores es 1*n y el divisorial de n coincide con el número n

Potencia de primo

Si N=p^k, TAU(N)=k+1, porque los divisores serán (1, p, p², … p^k) , luego el divisorial será p^(k+1)/2.

Entre ellos, los divisoriales de cubos de primos serán cuadrados.

Semiprimo no cuadrado

Si N=p*q, con p≠q, poseerá cuatro divisores, 1, p, q y pq, luego TAU(N)=4 y su producto de divisores π(n)=n^4/2=n². Lo vemos en el listado anterior con 6 y 10.

Resultado cuadrado

Si el divisorial es una potencia, encontraremos muchos de ellos que sean cuadrados. Ya hemos visto que aparecen en los cubos de primos y en semiprimos no cuadrados, pero existen más. Estos son los primeros:

Entre ellos están los esfénicos, números del tipo p*q*r con los tres primos distintos. En ellos los divisores son: 1, p, q, r, pq, pr, rq y pqr, es decir ocho divisores, luego el producto de divisores será una potencia cuarta, también cuadrada.

En https://oeis.org/A048943 puedes consultar un razonamiento más completo.

Resultado cúbico

Es fácil razonar que las quintas potencias de un primo poseen un divisorial que será un cubo, ya que π(n)=n^(5+1)/2=n³

También producen un cubo los números, como el 12, que tienen la forma pq², pues TAU(n)=(1+1)(2+1)=6, luego π(n)=n^6/2=n³

Estos son los primeros:

Puedes buscar más casos particulares, que no serán complicados de razonar.

Pandigitales inesperados

2025-12-11T18:26:00.001+01:00

Hay varias acepciones de la palabra pandigital. Aquí nos referiremos a los pandigitales completos sin repetición, es decir, que consideraremos pandigitales a aquellos números de 10 cifras en las que figuren todas del 0 al 9 en cualquier orden y sin repetir ninguna. No se admite cero inicial. Excel lo suele suprimir, pero habrá que tener cuidado en otros lenguajes de programación.

Con esta definición es sencillo calcular por Combinatoria cuantos pandigitales de este tipo puede haber. Inténtalo.

Función para detectar pandigitales

Para esta detección se crea un vector de 10 elementos, ci(10), y en cada uno se cuentan las apariciones de una cifra determinada del número. Para que sea pandigital, todos los elementos han de ser iguales a 1. En cualquier otro caso, no lo será.

Función pandigital

Public Function pandigital(a) As Boolean

'han de estar todas las cifras sin repetición y sin cero inicial

Dim ci(10)’ Contenedor de cifras

Dim i

Dim t As Boolean

t = True ‘En principio suponemos que es pandigital

n = numcifras(a) ‘Se puede conseguir también sumando 1 a su logaritmo decimal

If n <> 10 Then pandigital = False: Exit Function ‘No tiene diez cifras

For i = 0 To 9: ci(i) = 0: Next I ‘Contadores a cero

For i = 1 To n

ci(cifra(a, i)) = ci(cifra(a, i)) + 1’ Se cargan las cifras encontradas

If ci(cifra(a, i)) > 1 Then pandigital = False: Exit Function ‘Si hay repetidas, no es pandigital

Next i

s = 0

For i = 0 To 9

If ci(i) = 0 Then t = False ‘Si falta una cifra, no es pandigital

Next i

pandigital = t ‘Devuelve VERDADERO o FALSO

End Function

Resultados inesperados

La idea de hoy es buscar pandigitales en distintas circunstancias u operaciones. Predominarán productos y potencias, como ejemplos favorables a encontrar pandigitales, pero sólo serán ejemplos de uso para facilitar a los lectores la búsqueda en otros casos similares. Se pueden abordar muchos.

Vemos algunos ejemplos con nuestro buscador:

Multiplicar un número por otro relacionado

A partir de este ejemplo hay que tener en cuenta que los pandigitales están comprendidos entre 10^9=1000000000 y 10^10=10000000000. Sería inútil buscar fuera de este intervalo.

Multiplicamos N por N+1

En este primer ejemplo, podemos comenzar la búsqueda por RAIZ(10^9)-1, para que N(N+1) entre en ese intervalo. La salida puede ser RAIZ(10^10)+1. Esto no es demasiado importante. Se puede ampliar algo el rango. Nuestro buscador nos da 52 soluciones. Estas son las primeras:

No esperaba tantos resultados. Se ve que el producto de consecutivos tiene características favorables. He probado con N(N+2) y resultan 34. Con N(N+3), 99. Como era de esperar, es algo que resulta aleatorio en la práctica. Con otras diferencias se obtienen números similares.

Un número multiplicado por su doble produce resultados parecidos.

Uso de potencias

Cuadrado de N

Si lo reducimos a su cuadrado, es decir un número por sí mismo, está publicado en https://oeis.org/A054038 con otros planteamientos, pero coincide mi buscador para pandigitales sin repetición, que resultan ser 87.

Estos son los primeros:

Podíamos operar N con N², a ver qué ocurre.

Con suma aparecen bastantes resultados. Uno es:

40508+40508^2=1640938572

Con cubos no he obtenido ningún pandigital.

Otras potencias

Para las potencias es preferible usar el lenguaje PARI, porque maneja las cifras con más soltura que Excel.

El criterio para saber si un número es pandigital puede ser este:

vecsort(digits(n))==[0..9] &&n>=10^9

Se interpreta fácilmente: se ordenan los dígitos de n en un vector y ha de coincidir con [0..9]. Además, no puede tener cero inicial, ha de ser mayor o igual que 10⁹.

Con estas líneas de PARI podemos investigar potencias. Están adaptadas a cuadrados para probar, escribiendo k=2. Cambiando k se pueden investigar otras potencias.

pandigital(n)=vecsort(digits(n))==[0..9]&&n>=10^9

k=2

a=truncate(10^(9/k))

b=truncate(10^(10/k))

for(i=a,b,m=i^k;if(pandigital(m),print(i," , ",m)))

Este es un recorte de pantalla para k=2 en la web de PARI:

Observamos que coincide con el resultado de Excel.

No he encontrado pandigitales en los exponentes del 3 al 10, pero nos ha servido para iniciar el uso de PARI.

Otras búsquedas

Número por su simétrico en cifras

Aquí sí tendremos éxito. En Excel uso mi función CIFRAINVER y en PARI mi función REVERSE. Elijo este porque lo tengo desarrollado más brevemente. Podríamos usar lo siguiente:

pandigital(n)=vecsort(digits(n))==[0..9]&&n>=10^9

reverse(n)=eval(concat(Vecrev(Str(n))))

a=2

b=1000

for(i=a,b,m=i*reverse(i);if(pandigital(m),print(i," , ",m)))

Definimos pandigital y reverse y después multiplicamos el número por su reverso:

Si multiplicas cualquier número de la primera columna por su simétrico, obtendrás el pandigital de la segunda.

Otros ejemplos sin desarrollar

Un número multiplicado por su doble:

Por ejemplo. 22887*45774=1047629538

Cuadrado de N menos N

Así, 44028^2-44028=1938420756

Todos terminarán en 0, 2 o 6.

Y hasta aquí llega el tema. Quedan muchas posibilidades, e incluso eligiendo las primeras cifras de un número real, pero aquí sólo se estudian los enteros.

Un número como diferencia entre potencias (2)

2025-12-03T18:20:00.001+01:00

En la anterior entrada sobre este tema se usó la descomposición en factores primos de un número. Esto supone declarar los vectores primo() y expo() de forma global y puede resultar un poco técnico. En esta segunda entrada consideraré otras alternativas.

Si no te quieres complicar con factores primos, puedes usar esta función, que te da las primeras soluciones y resulta rápida:

Function dospoten$(n)

Dim i, p, q, a, b, c, x

Dim s$

s$ = ""

x = n

For p = 2 To 12 ‘Se buscan potencias de exponentes del 2 al 12. ‘Esto se puede cambiar

a = Int(x ^ (1 / p)) + 1 ‘Posible raíz p-nésima

For i = a To 10 * a

b = i ^ p – n ‘Se halla la diferencia con N

For q = 2 To 20

c = Int(b ^ (1 / q) + 0.000001) ‘Se identifica como potencia

If c ^ q = b Then ‘Si todo va bien, se publica

s$ = s$ + "# " + ajusta(i) + "^" + ajusta(p) + "-" + ajusta(c) + "^" + ajusta(q) ‘Si no se cuenta con la función AJUSTA, se puede usar Str$

End If

Next q

Next i

Next p

If s = "" Then s = "NO"

dospoten = s$ ‘Publica la lista de diferencias de potencias

End Function

Con alguna limitación, es útil, y yo la uso en mis cálculos diarios. Puede que no llegue a alguna solución, pero suele funcionar bien.

Unos ejemplos:

60=8^2-2^2# 16^2-14^2# 4^3-2^2# 4^4-14^2# 2^6-2^2# 2^8-14^2

112=# 11^2-3^2# 12^2-2^5# 16^2-12^2# 29^2-27^2# 29^2-9^3# 29^2-3^6# 8^3-20^2# 4^4-12^2# 2^7-4^2# 2^7-2^4# 2^8-12^2# 2^9-20^2# 2^11-44^2

13# 7^2-6^2# 16^2-3^5# 17^3-70^2# 4^4-3^5# 2^8-3^5

Uso de la herramienta CARTESIUS

Mi máquina de construir productos cartesianos condicionados también nos puede ayudar a encontrar diferencias de potencias dentro de un nivel elemental. En ella se puede exigir que las columnas a combinar sean potencias, lo que facilita su uso en esta cuestión. La puedes descargar desde

https://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius

El problema es que la actualizo a veces, pero no la versión publicada, pero aquí valdrá.

La programación de esta búsqueda sería esta, concretada para el número 28:

xtotal=2

xt=1..100

xt=etiq(potencia)

ES x1-x2=28

Declara que se combinarán dos columnas (X1 y X2)

En ellas se escribirán 100 datos (pueden ser más a costa del tiempo de proceso)

Cada columna contendrá las primeras potencias.

Se deberá cumplir que X1 menos X2 sea 28 (esto es un ejemplo)

Al pulsar sobre el botón Iniciar se construirán las columnas de potencias:

En la siguiente página Producto obtendremos las primeras diferencias de potencias que equivalen a 28.

Esto es un simple complemento, para comprobar otros resultados y para conocer una posibilidad alternativa. No tiene más importancia.

Esta sería la solución para 28 con las anteriores herramientas:

# 6^2-2^3# 8^2-6^2# 4^3-6^2# 8^3-22^2# 37^3-225^2# 37^3-15^4# 2^5-2^2# 2^6-6^2# 2^7-10^2# 2^9-22^2

Las soluciones de Cartesius están contenidas en esta lista.

Uso del Buscador de Naturales

Mi herramienta Buscador de Naturales posee la función POTENCIA, tanto de forma booleana, como True o False como actuando sobre un parámetro. Esto nos permite plantear una búsqueda de diferencia de potencias de forma sencilla. Basta condicionar N a que sea potencia y después volverla a usar pero con parámetro N+K.

Lo vemos más claramente con el número 24 como ejemplo:

Las condiciones han sido:

POTENCIA: Busca los números que son potencias

ES POTENCIA(N+24): La partícula ES anuncia que se exigirá una condición complementaria mediante expresiones o funciones. Aquí es que N+24 sea también potencia.

EVALUAR: Indica qué se escribirá en la segunda columna. Aquí hemos pedido que sea N, una coma, y N+24

Puedes descargar esta herramienta desde

https://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#buscador

No resulta muy lento. Le hemos exigido tratar el 28 hasta un tope de 20000 y no ha tardado demasiado:

Coincide con anteriores planteamientos:

28 =2^5-2^2=6^2-2^3=2^6-6^2=2^7-10^2=2^9-22^2

Se han creado dos columnas que después se pueden copiar en otra parte de Excel y añadirles detalles:

Despedida simplista

¿No queremos seguir con algoritmos? Pues podemos construir una tabla de doble entrada en la que figuren las potencias ordenadas tanto en filas como en columnas, y usar las búsquedas de Excel para localizar el número deseado. Se podía comenzar el tema por aquí, y el trabajo pesado que da puede justificar el pensar en algoritmos.

Aquí se pueden localizar algunos de los ejemplos que se han usado. Los he destacado en rojo:

Un número como diferencia entre potencias (1)

2025-11-24T18:00:00.001+01:00

Antecedentes

En este blog se han estudiado varios tipos de diferencias de potencias. Por ejemplo, ya hemos visto aquí las diferencias de cuadrados, como puedes buscar en

https://hojaynumeros.blogspot.com/

También se han tratado las de cubos:

https://hojaynumeros.blogspot.com/2024/09/diferencias-de-cubos-enteros-positivos.html

O bien de cubos menos cuadrados y también el caso en el que los dos exponentes son iguales:

https://hojaynumeros.blogspot.com/2025/01/regresos-13-diferencia-de-potencias.html

Por último, algunas curiosidades sobre diferencias de potencias, como, por ejemplo. Acercamientos entre potencias

https://hojaynumeros.blogspot.com/2018/10/acercamiento-entre-potencias.html

En mi reciente publicación “Números y potencias” están contenidas varias cuestiones interesantes (descargable desde

https://www.hojamat.es/publicaciones/numpot.pdf)

Diferencias entre potencias de distinto exponente

No he abordado nunca (creo que es así, porque a mi edad la memoria falla), la diferencia entre dos potencias de distinto exponente. Aprovecharé el tema para presentar varias alternativas.

Función ESPOTENCIA

Hay varias formas de identificar una potencia perfecta. La más directa es la de descomponer el número en factores primos y encontrar el MCD de sus exponentes. Si este es mayor que 1, estaremos ante una potencia. Por ejemplo, 576=2⁶*3². EL MCD de 6 y 2 es 2, luego 576 es un cuadrado. Esta técnica nos da el mayor exponente si el número es multipotencia, como el 64, que lo catalogará como sexta potencia. Para la cuestión actual lo que nos interesa es que sea verdaderamente una potencia.

Para sacar los factores primos disponemos de nuestra función SACAPRIMOS, que la puedes encontrar en

https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/06/numeros-con-cifras-crecientes-o_02105820646.html

Esta función te devuelve los factores primos en el vector primo() y sus exponentes en expo(), además de indicar el número de esos factores en NUMOMEGA.

Esas variables se han de declarar de forma global en VBasic:

Global primo(50), expo(50)

Global numomega

Esta es la función ESPOTENCIA:

Public Function espotencia(n)

Dim i, j, s, p

If n = 1 Or n = 0 Then espotencia = 1: Exit Function

p = n

j = sacaprimos(p) ‘Explicado en el párrafo anterior

s = expo(1) ‘El vector expo está también explicado

If j > 1 Then

For i = 2 To j

s = mcd(s, expo(i)) ‘Calcula el MCD

Next i

End If

If s = 1 Then s = 0 ‘Si MCD es 1, no es potencia

espotencia = s ‘Devuelve el exponente o un cero

End Function

Búsqueda de diferencias con la función ESPOTENCIA

Haré uso de mi función ESPOTENCIA y de la correspondiente ISPOWER del lenguaje PARI. Esta última me permitirá llegar a números grandes con más facilidad.

La idea para buscar diferencias de potencias que coincidan con N será la de recorrer todos los números K hasta un tope prefijado, y estudiar si K y K+N son potencias. En caso afirmativo, habremos dado con una solución. Se les halla la raíz exacta y se incorporan al resultado.

La función quedaría así:

Function difepote$(n, tope)

Dim b, m, p, q, r, t

Dim s$

s = "" ‘Contenedor de soluciones

m = 0 ‘Contador de soluciones

For b = 1 To tope – n ‘El tope es parámetro prefijado

q = espotencia(b) ‘Daría cero o un exponente

p = espotencia(b + n) ‘Daría cero o un exponente

If p > 0 And q > 0 Then ‘Si no dan cero, es que son potencias

r = raiz_exacta(b + n, p)

t = raiz_exacta(b, q)

m = m + 1 ‘Nueva solución

s = s + "=" + ajusta(r) + "^" + ajusta(p) + "-" + ajusta(t) + "^" + ajusta(q)

End If

Next b

If s = "" Then s = "NO" Else s = ajusta(m) + ": " + s

difepote = s

End Function

La función RAIZ_EXACTA también se basa en los vectores PRIMO y EXPO. Para quien tenga interés, adjunto su código sin comentarios:

Function raiz_exacta(n, k)

Dim p, r, i

If n = 1 Or n = 0 Then raiz_exacta = n: Exit Function

p = espotencia(n)

If p Mod k = 0 Then

r = 1

For i = 1 To numomega

r = r * primo(i) ^ (expo(i) / k)

Next i

End If

If r = 1 Then r = 0

raiz_exacta = r

End Function

Un ejemplo del uso de esta función DIFEPOTE lo vemos con el número 28 y tope 200000:

Difepote(28;200000)=7:=2^5-2^2=6^2-2^3=2^6-6^2=2^7-10^2=2^9-22^2=37^3-15^4=2^17-362^2

Nos indica que ha encontrado siete soluciones y escribe sus desarrollos.

No es un algoritmo rápido. En el caso del 28 sí devuelve el resultado en pocos segundos, pero con un tope mayor puede tardar.

Elijo ahora el número 120 para destacar dos resultados que pueden resultar:

120=11^2-1^1=2^7-2^3=13^2-7^2=17^2-13^2=31^2-29^2

Una de las bases puede ser 1 (en ese caso tendrá exponente 1) y las dos bases pueden ser iguales, como en 2^7-2^3. Es normal que esto ocurra.

Versión en PARI

Para lograr más rapidez y llegar a números más grandes, he traducido la función DIFEPOTE al lenguaje PARI. No necesita explicación, salvo que en él es preferible presentar los resultados como lista y no como cadena de texto.

Una novedad en este lenguaje es que ISPOWER, además de devolver el exponente, guarda la base en una variable. Así, ispower(343,,&k) devolverá 3, porque es un cubo, y guardará la base 7 en la variable k. Tiene el inconveniente de que no maneja bien al caso del 1, pues lo considera siempre potencia de exponente cero. Esto se puede ignorar o intentar corregirlo en el código. He elegido esta última posibilidad, aunque el código se alarga demasiado. Es este:

difepote(n,tope)={my(b,b1,s=List(),r1,r2);p=ispower(n+1,,&r1);if(p>0,listput(~s,r1);listput(~s,p);listput(~s,1);listput(~s,1);listput(~s,"#"));for(b=2,tope-n,q=ispower(b,,&r2);b1=b+n;p=ispower(b1,,&r1);if(p<>0&&q<>0,listput(~s,r1);listput(~s,p);listput(~s,r2);listput(~s,q);listput(~s,"#")));s}

print(difepote(132608,2000000))

Aquí se trocea en líneas, pero hay que escribirlo sin saltos de línea. Este es el resultado en la web de PARI:

He elegido este ejemplo porque en él se destaca la mayor potencia de cálculo de PARI, ya que Excel tardaría más. Una solución más restringida, con un tope menor, es

4: =372^2-76^2=52^3-20^3=387^2-131^2=408^2-184^2

Si llegamos a un tope de 2000000, tarda sus buenos minutos en Excel, y al final devuelve:

10:=372^2-76^2=52^3-20^3=387^2-131^2=408^2-184^2=522^2-374^2=582^2-454^2=648^2-536^2=933^2-859^2=1068^2-1004^2=1212^2-34^4

El mismo resultado, pero con más lentitud.

Es una preferencia personal el pasar o no a PARI en esta cuestión.

Seguiré con el tema en la siguiente entrada.

Polidivisibles

2025-11-14T18:57:00.001+01:00

Un número se llama polidivisible (aquí se limitará el estudio a base 10) cuando al recorrer sus cifras de izquierda a derecha, las dos primeras forman un múltiplo de 2, las tres primeras, de 3, las cuatro de 4, y así sucesivamente. Por ejemplo, 126006 es polidivisible, porque 12=2*6, 126=3*42, 1260=4*315, 12600=5*2520, 126006=6*21001. Se supone que no se han escrito ceros a la izquierda, o lo que es lo mismo, que la primera cifra es no nula.

Puedes comprobar la afirmación de Wikipedia de que 381654729 es polidivisible.

Si se entiende bien el troceado de cifras, no es difícil crear una función que determine si un número es polidivisible. Propongo esta para VBasic de Excel, fácilmente traducible a otros lenguajes:

Function polidivisible(n) As Boolean ‘Devuelve verdadero o falso

Dim m, i, t

Dim es

m = numcifras(n)’Función contenida en mi blog “Números y hoja de cálculo”. Es fácil de copiar.

If m < 2 Then polidivisible = False: Exit Function ‘Caso de una cifra

i = 2 ‘Número de cifras primeras a considerar

es = True ‘Suponemos que sí es polidivisible

While i <= m And es ‘Recorremos las primeras cifras

t = Int(n / potencia(10, m - i)) ‘Trozo de cifras

If t / i <> t \ i Then es = False ‘Ha de ser múltiplo de su número de cifras

i = i + 1

Wend

polidivisible = es

End Function

Esta función te devuelve VERDADERO si el número es polidivisible. Con ella y un buscador podemos encontrar los primeros números polidivisibles. En la lista se descubren los comprendidos entre 100 y 200:

102, 105, 108, 120, 123, 126, 129, 141, 144, 147, 162, 165, 168, 180, 183, 186, 189

Los puedes comprobar en https://oeis.org/A144688. Allí se les llama “magic”. Su definición sugiere que si un número es polidivisible, también lo son los trozos de cifras que nos han servido para la definición. Eso ocurre con 20445, que 20, 204 y 2044 también son polidivisibles. Más adelante estudiaremos el proceso contrario, extender un polidivisible a más cifras.

Versión en PARI

Excel no es útil para números enteros de muchas cifras, ya que pasa automáticamente al formato científico. Por ello es conveniente el uso de una función en PARI. La de arriba se traduce fácilmente a esta otra:

k=381654729

polidivisible(n)={my(m=#digits(n),i=2,es=1,t);while(es==1&&i<=m,t=truncate(n/10^(m-i));if(t%i<>0,es=0);i+=1);es}

print(polidivisible(k))

Escribimos un valor de k en la primera línea y nos devolverá un 1 si k es polidivisible o un 0 si no lo es. Lo he probado en la web de PARI:

Nos devuelve un 1 porque 381654729 sí es polidivisible.

Añadiendo un bucle podremos buscar polidivisibles en un rango. En la imagen figuran los primeros a partir de 2000000:

Mentalmente se puede comprobar alguno de ellos.

En https://en.wikipedia.org/wiki/Polydivisible_number puedes encontrar un procedimiento sencillo para extender la definición a cualquier base b.

Extensión de un número polidivisible

Si N lo es, podemos intentar añadirle otra cifra más y probar si también es polidivisible. Si N posee k cifras, el siguiente polidivisible estará entre 10*N y 10*N+9 y deberá ser múltiplo de k+1. Si k no es mayor que 10, siempre existirá un múltiplo en ese rango. En valores superiores no se puede garantizar la extensión.

Uso PARI para garantizar un buen número de cifras:

polidivisible(n)={my(m=#digits(n),i=2,es=1,t);while(es==1&&i<=m,t=truncate(n/10^(m-i));if(t%i<>0,es=0);i+=1);es}

extenpoli(n)={my(g=#digits(n),nn=0,i=0,es=0);while(i<=9&&es==0,nn=i+n*10;if(polidivisible(nn),es=1);i+=1);nn*(es==1)}

print(extenpoli(126006))

En primer lugar, vuelvo a definir la función polidivisible. Después, extenpoli, que, como vemos, recorre una cifra adicional (i+n*10) para encontrar un nuevo polidivisible. Si no lo encuentra, devuelve un cero.

En el caso de 126006 nos devuelve un múltiplo de 7. Lo vemos en la web de PARI:

Sería 1260063 el siguiente polidivisible, divisible entre 7. Si proseguimos, el siguiente resulta ser 12600632, divisible entre 8. Seguirían 126006327, 1260063270, 12600632704, 126006327048. Aquí se detiene la secuencia, porque al añadir otra cifra no se logra un múltiplo de 13.

Todo esto funciona si el primer número es polidivisible con seguridad. Si no, llegaríamos a resultados erróneos. Estas secuencias de extensiones no tienen que ser únicas. Un polidivisible puede dar lugar a dos o más cuando se le añade una cifra, ya que en un rango de 10 puede haber dos o más múltiplos del número de cifras.

Secuencia de extensiones

Si usamos una lista, es posible lograr que PARI nos devuelva el conjunto de extensiones (o uno de ellos). Bastará añadir otra función nueva que descubra extensiones mientras sea posible. Todo el conjunto quedaría así:

polidivisible(n)={my(m=#digits(n),i=2,es=1,t);while(es==1&&i<=m,t=truncate(n/10^(m-i));if(t%i<>0,es=0);i+=1);es}

extenpoli(n)={my(g=#digits(n),nn=0,i=0,es=0);while(i<=9&&es==0,nn=i+n*10;if(polidivisible(nn),es=1);i+=1);nn*(es==1)}

secuenpoli(n)={my(m=n,s=List());while(m<>0,listput(~s,m);m=extenpoli(m));s}

print(secuenpoli(126006))

Nos daría el mismo resultado para 126006 en forma de lista:

List([126006, 1260063, 12600632, 126006327, 1260063270, 12600632704, 126006327048])

Otros ejemplos:

N=62765

List([62765, 627654, 6276543, 62765432, 627654321, 6276543210, 62765432103, 627654321036, 6276543210366, 62765432103668])

N=180402

List([180402, 1804026, 18040264, 180402642, 1804026420, 18040264209, 180402642096, 1804026420963, 18040264209632])

N=747

List([747, 7472, 74720, 747204, 7472045, 74720456, 747204561, 7472045610, 74720456107, 747204561072])

Ejemplo de los primeros párrafos:

N=381654729

List([381654729, 3816547290, 38165472906, 381654729060, 3816547290608])

Con esto terminamos la introducción a este tipo de números. Quedan muchas curiosidades, que puedes encontrar en las dos webs enlazadas más arriba. Aquí nos quedamos con las que son fácilmente tratables con VBasic y PARI.

Primos pitagóricos

2025-11-03T18:05:00.001+01:00

Después de dos entradas publicadas sobre ternas pitagóricas, es útil completarlas con las hipotenusas más simples, que son los primos pitagóricos, es decir, los del tipo 4K+1. Estos primos se caracterizan por poder ser expresados mediante una suma de dos cuadrados de forma única. Este tema ha aparecido tanto en mis publicaciones que lo doy por sabido.

Por ejemplo, 13=4*3+1=2²+3²

Relacionando estos números con el estudio reciente sobre el número de ternas pitagóricas de las que un número es hipotenusa, podemos afirmar que estos primos sólo pueden ser hipotenusa de una sola terna. Así, el ejemplo del 13 se traduce en la terna única 13²=12²+5².

Los primeros primos pitagóricos están publicados en https://oeis.org/A002144, y son sencillos de identificar. La terna que producen es siempre primitiva, pues su carácter de primos impide su simplificación.

Según lo aprendido en las anteriores entradas, sus potencias serán hipotenusas de tantas ternas como indique su exponente. Por ejemplo, 13^5=371293 lo es de las cinco siguientes:

371293=3107²+371280²=139932²+343915²=142805²+342732²=145668²+341525²=261443²+263640²

Propiedades

Una propiedad interesante de estos primos es que poseen un resto cuadrático igual a -1. Su justificación requiere teoría de nivel algo superior al que se mantiene en este blog, pero podemos efectuar comprobaciones. Por ejemplo, el primo 29=7*4+1 presenta el resto 28, que equivale a -1. En la siguiente captura de pantalla se observa su presencia:

El cuadrado de estos primos será promedio de otros cuadrados. Con lo aprendido en las dos últimas entradas es fácil comprobarlo:

Tomamos N=2(4K+1)², que según Gauss se podrá descomponer en suma de cuadrados dos veces. Una de ellas es trivial, pues sería (4K+1)²+(4K+1)², pero la otra convertirá a N² en promedio de dos cuadrados.

(Ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2024/03/potencias-equidistantes-de-cuadrados.html)

Por ejemplo, 73 es primo del tipo 4K+1, luego su cuadrado deberá ser promedio de dos cuadrados. Descomponemos 2*73² en cuadrados:

2*73²=7²+103²=73²+73²

De ahí se deduce la propiedad:

73²=(7²+103²)/2

Estos valores se pueden lograr también con la función ENTREDOS contenida en el enlace de más arriba.

También estos primos, sin elevar al cuadrado, son promedios de dos cuadrados. Basta recordar que si p es del tipo 4K+1, 2p sólo se descompone en una suma de cuadrados, como ocurre con el número 41:

41*2=82=1²+9², luego 41=(1²+9²)/2

41²*2=3362=31²+49², luego 41²=(31²+49²)/2

Tanto los primos pitagóricos como sus cuadrados son promedios de otros cuadrados.

Pasamos a la posibilidad de estos números de actuar como catetos.

Los primos pitagóricos como catetos de una terna

Este tema ya está resuelto anteriormente, pues si p es primo impar, su cuadrado se puede descomponer en dos factores de la misma paridad impar, aparte del trivial p*p, como serían p² y 1. Por tanto, se cumple:

p²=((p²+1)/2)²-((p²-1)/2)²

Por ejemplo:

73²=2665²-2664²

Es fácil ver que el primo pitagórico es la raíz cuadrada de la suma de los catetos, que siempre es un cuadrado perfecto.

También, todo número del tipo (p²+1)/2 es posible hipotenusa que sea una unidad mayor que un cateto, aunque p no sea primo.

En cuantas ternas pitagóricas (2)

2025-10-20T17:53:00.001+02:00

En la entrada anterior se discutió la posibilidad de que un número fuera hipotenusa de varias ternas pitagóricas. Continuará aquí el tema calculando de cuantas ternas puede ser cateto un número dado N.

Se tratará de buscar soluciones a la ecuación

N²=a²-b²

Estamos suponiendo implícitamente que a es mayor que b, luego podemos descomponer la diferencia de cuadrados de esta forma, llamando a=b+k

N²=(a+b)(a-b)=(b+k+b)(b+k-b)=k(2b+k)

Esto nos lleva a que la diferencia k entre a y b ha de ser divisor de N², al igual que 2b+k. Es claro que

N²=k(2b+k)>k², luego k<N

Estas consideraciones nos llevan a un protocolo para encontrar ternas con un cateto dado N.

Recorremos todos los divisores de N, sean K.

Para cada K estudiamos N²/K-K, que ha de ser un número par positivo. Su mitad será el número b, el otro cateto. La hipotenusa se calculará como b+K.

Este procedimiento lo plasma la siguiente función para VBasic:

Function escateto$(n)

Dim s$

Dim k, b, m, a, nn

s = "" ‘Contenedor de soluciones

m = 0 ‘Número de soluciones

nn = n * n’ Cuadrado de n

For k = 1 To n

If nn / k = nn \ k Then ‘Es un divisor del cuadrado

b = (nn / k - k) / 2 ‘Posible valor del otro cateto

If b > 0 And b = Int(b + 0.000001) Then ‘Solución válida

m = m + 1’Aumenta el contador

a = b + k ‘Hipotenusa

s = s + "+" + ajusta(a) + "^2-" + ajusta(b) + "^2" + " " ‘Se incorpora la solución

End If

Next k

s = ajusta(m) + ":: " + s ‘Toma nota del número de soluciones

escateto = s

End Function

Esta función es razonablemente rápida, y eso que pueden aparecer más de 20 soluciones frecuentemente.

Un ejemplo: ¿De cuántas ternas pitagóricas es cateto el número 812?

Resultan trece ternas con cateto 812:

13:: +164837^2-164835^2 +82420^2-82416^2 +41213^2-41205^2 +23555^2-23541^2 +11788^2-11760^2 +5915^2-5859^2 +5713^2-5655^2 +3413^2-3315^2 +2900^2-2784^2 +1780^2-1584^2 +1537^2-1305^2 +1037^2-645^2 +1015^2-609^2

Se puede comprobar alguna, y la diferencia de cuadrados deberá ser 659344, el cuadrado de 812.

Es evidente que el posible cateto deberá ser un número tal que su cuadrado sea compuesto y que sea producto de un par de divisores de la misma paridad, como veremos más adelante. Esta condición la cumplen todos los números enteros positivos. Por esa razón todos pueden ser catetos.

En esta captura de pantalla de un rango elegido al azar se observa que todos los números naturales pueden ser catetos, pero que los números primos sólo lo son una vez:

Llaman la atención las 40 soluciones de 2208.

Otro procedimiento

El protocolo elegido es el más rápido, pero se puede usar un argumento sencillo y popular para encontrar las soluciones.

La idea es muy simple:

Si N²=a²-b²=(a+b)(a-b), los paréntesis han de ser de la misma paridad, llamémosles m y n respectivamente, ya que a=(m+n)/2 y b=(m-n)/2, y ambos han de ser enteros. Entonces la búsqueda de soluciones se reduce a encontrar productos de dos factores, ambos pares o ambos impares, con resultado N².

Esta idea daría lugar a otra función parecida a la anterior:

Function escateto2$(n)

Dim s$

Dim k, b, m, a, nn, kk

s = ""

m = 0

nn = n * n

For k = 1 To nn

If nn / k = nn \ k Then

kk = nn / k

If k > kk And (k - kk) Mod 2 = 0 Then ‘Aquí se exige misma paridad

a = (k + kk) / 2: b = (k - kk) / 2

m = m + 1

s = s + "+" + ajusta(a) + "^2-" + ajusta(b) + "^2" + " "

End If

Next k

s = ajusta(m) + ":: " + s

escateto2 = s

End Function

Probamos la función con el anterior ejemplo, 812:

13:: +1015^2-609^2 +1037^2-645^2 +1537^2-1305^2 +1780^2-1584^2 +2900^2-2784^2 +3413^2-3315^2 +5713^2-5655^2 +5915^2-5859^2 +11788^2-11760^2 +23555^2-23541^2 +41213^2-41205^2 +82420^2-82416^2 +164837^2-164835^2

Obtenemos los mismos trece resultados.

Casos particulares

Primos impares

Los números primos impares presentarán siempre un resultado, pues, si llamamos p al primo, su cuadrado p² tendrá tres divisores, 1, p y p², con lo que el único par a, b con a>b y de la misma paridad será 1 y p². Las soluciones serán, pues, a=(p²+1)/2 y b=(p²-1)/2. En la siguiente imagen se observa esto en un pequeño rango de primos:

Semiprimos impares no cuadrados

Los números de este tipo son producto de dos primos impares distintos, p₁ y p₂. Sus divisores serán 1, p₁, p₂ y p₁p₂. Los divisores de su cuadrado serán 1, p₁, p₂, p₁p_2,p₁², p₂², p₁p₂², p₂p₁², p₁²p₂², nueve divisores, que dan lugar a cuatro pares de productos con factores distintos de igual paridad. Por ejemplo, 15 y 35 se descomponen así:

15 4:: +113^2-112^2 +39^2-36^2 +25^2-20^2 +17^2-8^2

35 4:: +613^2-612^2 +125^2-120^2 +91^2-84^2 +37^2-12^2

Dejo como ejercicio sencillo razonar que los semiprimos no cuadrados pares presentan una descomposición:

14 1:: +50^2-48^2

26 1:: +170^2-168^2

Los semiprimos cuadrados se descomponen de una forma el 4 y de dos los impares.

4 1:: +5^2-3^2

49 2:: +1201^2-1200^2 +175^2-168^2

169 2:: +14281^2-14280^2 +1105^2-1092^2

Las potencias de un primo tienen tantas descomposiciones como indique su exponente:

3 1:: +5^2-4^2

9 2:: +41^2-40^2 +15^2-12^2

27 3:: +365^2-364^2 +123^2-120^2 +45^2-36^2

81 4:: +3281^2-3280^2 +1095^2-1092^2 +369^2-360^2 +135^2-108^2

243 5:: +29525^2-29524^2 +9843^2-9840^2 +3285^2-3276^2 +1107^2-1080^2 +405^2-324^2

Hay que recordar que se debe razonar sobre el cuadrado del número propuesto.

Esta función de número de descomposiciones no es multiplicativa, por lo que no es útil descomponer N en factores y contar uno por uno para luego multiplicar.

Un ejemplo:

4 1:: +5^2-3^2

9 2:: +41^2-40^2 +15^2-12^2

36 7:: +325^2-323^2 +164^2-160^2 +111^2-105^2 +85^2-77^2 +60^2-48^2 +45^2-27^2 +39^2-15^2

Dejo aquí los casos particulares

Fórmula general

Lo que sigue es una adaptación de mi estudio contenido en https://hojaynumeros.blogspot.com/2017/01/numero-de-descomposiciones-en.html

En él se explican todos los casos de descomposición en diferencia de cuadrados, pero al no ser hipotenusa y cateto, se admite el caso en el que b=0. Bastará restar una unidad a la fórmula general para cuadrados, o, preferiblemente, corregir la función que se propone, restando 1 al final. Se copia a continuación:

Public Function numcatetos(n)

Dim p, q, r, s, t, nm

q = n * n: p = 0

While q Mod 2 = 0: q = q / 2: p = p + 1: Wend 'Extraemos la potencia de 2

If p = 1 Then nm = 0: Exit Function 'Caso imposible

'q es la parte impar

If q = 1 And p > 1 Then nm = Int((p - 1) / 2) + (p - 1) Mod 2

'Es potencia de 2 pura

If p = 0 And q > 1 Then t = fsigma(q, 0): nm = Int(t / 2) + t Mod 2

'Es un número impar

If p > 1 And q > 1 Then t = fsigma(q, 0): nm = t * Int((p - 1) / 2) + ((p - 1) Mod 2) * (Int(t / 2) + t Mod 2)

numcatetos = nm - 1

'Tiene parte par y parte impar

End Function

Con esta función doy por terminado el tema del número de ternas pitagóricas que produce un número dado, tanto como hipotenusa como siendo un cateto.

¿En cuantas ternas pitagóricas? (1)

2025-10-07T18:29:00.001+02:00

No todos los números naturales pueden ser hipotenusas o catetos en una terna pitagórica. Por ejemplo, el 23 no es ni uno ni otro. Otros números pertenecen a varias ternas distintas, como ocurre, por ejemplo, con el número 27925, que es hipotenusa en siete ternas y cateto en una:

Como hipotenusa: 27925^27=2004^2+27853^2=5875^2+27300^2=7819^2+26808^2=11680^2+25365^2=13284^2+24563^2=16755^2+22340^2=18315^2+21080^2

Como cateto: 27925^2=72605^2-67020^2

¿De qué depende esto?

Lo veremos por separado, ya que necesitamos teorías distintas.

Un número como hipotenusa

Estudio teórico

En entradas anteriores de mi blog se ha estudiado bien la descomposición de un número en suma de cuadrados. Recientemente he encontrado un documento que lo explica claramente:

https://www.math.purdue.edu/~jlipman/MA598/sums-of-two-squares.pdf

En nuestro caso, el número a descomponer es el cuadrado de la hipotenusa, por lo que se le puede aplicar tres criterios contenidos en el mismo. Si descomponemos N en sus factores primos resultará:

El factor 2 no influye en el número de cuadrados y se puede ignorar. La razón, según se explica en el documento, es la igualdad

(x+y)²+(x-y)² = 2(x²+y²)

La primera suma es par, luego los dos cuadrados tienen la misma paridad, lo que justifica que se puedan expresar como suma y diferencia de dos números naturales. Según el segundo miembro, su mitad también será una suma de cuadrados. Así que podemos dividir el número a estudiar entre 2 todas las veces que deseemos, porque el número de sumas de cuadrados no cambiará.

Los factores primos del tipo 4k+3, que suelen impedir la descomposición en dos cuadrados, figurarán todos con exponentes pares, por ser un cuadrado, por lo que, según la teoría, tampoco impiden la descomposición, y tampoco aportan nuevas soluciones. Se pueden ignorar.

Los factores del tipo 4K+1 son los que facilitan la descomposición en suma de dos cuadrados, y según el documento citado (siguiendo a Gauss) producirán un número de resultados dado por la fórmula

(La imagen es un recorte del documento)

Nos interesa el caso inferior, aplicable a cuadrados. En la fórmula, e_r es el exponente de un factor primo del tipo 4K+1, únicos que nos interesan.

Sólo serán hipotenusas de ternas pitagóricas los números que contengan factores del tipo 4k+1.

El número de ternas de las que puede ser hipotenusa un número dado sólo depende de la signatura prima (conjunto de exponentes) y no de los números primos presentes (si son del tipo 4K+1)

Lo aplicamos al ejemplo 27925. Su descomposición factorial es 5²*1117. Ambos primos son del tipo 4K+1, luego nos interesan los exponentes de su cuadrado, que serían 4 y 2 respectivamente. Luego, por la fórmula de la imagen de más arriba:

S(n)=((4+1)(2+1)-1)/2=14/2=7

Ese fue el número de sumas de dos cuadrados (y por tanto ternas pitagóricas) que figuran al principio de este estudio.

Probaremos con otro ejemplo: 1980=2²*3²*5*11.

En su cuadrado no influirán los factores 2, 3 ni 11 (el 2 y los del tipo 4K+3), luego sólo usaremos los exponentes del cuadrado de 5, es decir:

S(1980)=((2+1)-1)/2=1

En efecto, usando una función que se presentará más adelante se obtiene el resultado

1:: =1188^2+1584^2

Obtención de las sumas de cuadrados

La siguiente función en VBasic resuelve la búsqueda de esas sumas. En ella se va formando un cuadrado como suma de impares, la variable k.

Function espitag(n) As String

Dim k, p, d, m

Dim s$

s = "" ‘Contenedor de soluciones

m = 0 ‘Contador de sumas

k = 1: p = 3 ‘Inicio de los cuadrados mediante suma de impares

While k < n * n / 2 ‘Probamos el primer cuadrado de la suma

d = n * n – k ‘Posible segundo cuadrado

If escuad(d) Then ‘Nueva solución para la suma de cuadrados

m = m + 1

s = s + "=" + ajusta(Sqr(k)) + "^2+" + ajusta(Sqr(d)) + "^2"

End If

k = k + p: p = p + 2 ‘Siguiente cuadrado

Wend

espitag = ajusta(m) + ":: " + s

End Function

Esta función te devuelve el listado de soluciones. Lo vemos con un ejemplo:

1950=2*3*5^2*13

Si le aplicamos la función nos devuelve

S(1950)=7::216^2+1938^2=480^2+1890^2=546^2+1872^2=750^2+1800^2=990^2+1680^2=1170^2+1560^2=1224^2+1518^2=2*3*5^2*13

Son siete sumas de cuadrados. Según la teoría, la justificación es el cálculo S(1950)=((4+1)(2+1)-1)/2=14/2=7

Hemos ignorado el 2 y el 3, y usado los exponentes del cuadrado de 5^2 y 13.

La ventaja de la función es que nos da el número de sumas y el listado de las mismas.

¿Qué números pueden resultar al contar ternas?

Según lo visto, cualquier número natural puede ser el resultado de contar ternas. Esto es así por la forma de calcularlo.

Sea un número cualquiera K. Si lo multiplicamos por 2 y añadimos 1, nos resultará un número impar, que se podrá igualar al producto de paréntesis de la fórmula empleada. Como trabajamos con exponentes, bastará usar bases del tipo 4K+1. Lo vemos con un ejemplo:

¿Qué números producirán trece ternas distintas?

Multiplicamos 13 por 2 y añadimos 1, con lo que obtenemos 27, que se puede descomponer en 3*3*3. Esos factores provienen de exponentes del cuadrado (que serían 2), por lo que basta multiplicar tres números primos del tipo 4K+1, por ejemplo, 5*13*17=1105. Le aplicamos la función y queda:

S(1105) 13:: =47^2+1104^2=105^2+1100^2=169^2+1092^2=264^2+1073^2=272^2+1071^2=425^2+1020^2=468^2+1001^2=520^2+975^2=561^2+952^2=576^2+943^2=663^2+884^2=700^2+855^2=744^2+817^2

Otro ejemplo: ¿Cuándo resultarán ocho ternas?:

8*2+1=17, que es primo, luego la única posibilidad es que se trate de la potencia octava de un primo del tipo 4K+1. Usamos las más pequeña, 5^8=390625, con el resultado de ocho ternas:

S(390625) 8:: =29625^2+389500^2=80620^2+382215^2=109375^2+375000^2=137500^2+365625^2=164833^2+354144^2=210000^2+329375^2=234375^2+312500^2=257400^2+293825^2

Primos del tipo 4K+1

Un caso especial lo constituyen los números que son primos del tipo 4K+1, también llamados primos pitagóricos. Como son muy interesantes, les dedicaré un estudio especial cuando se termine el tema actual.

Catetos de una terna

Esta entrada se ha alargado algo, y continuaré en la siguiente con el tema de los catetos y algún otro.

Simétricos de un esfénico

2025-09-22T19:01:00.002+02:00

En esta entrada estudiaremos la relación entre los factores primos de un número esfénico y los de su simétrico, el que posee cifras simétricas a las de ese número en el sistema de numeración decimal.

Números esfénicos

Los números esfénicos son los que poseen tres factores primos distintos, como se explica en este mismo blog.

(Ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/09/blog-post.html)

En muchos lenguajes de programación se define la función OMEGA como el total de factores primos distintos que posee un número, y BIGOMEGA, al mismo total si se cuentan los primos repetidos. Esto nos da un criterio para conocer si un número N es esfénico, y es que OMEGA(N)=3 y BIGOMEGA(N)=3. Así se “prohíbe” que se repitan primos. Lo expresamos en lenguaje PARI:

print(omega(42)==3&&bigomega(42)==3)

En el caso del 42=2*3*7, no se cumple la propiedad que buscamos en el simétrico, porque 24=2*2*2*3. Sin embargo, 165=3*5*11 daría lugar a 561=3*11*17, con lo que el simétrico es también esfénico.

Aquí ya se ha usado la función ESFENICO, que detecta si un número es de esta clase:

Public Function esfenico(n) As Boolean

Dim a, b, c, d, m

m = 0

a = 2

While a <= n / 2 And m = 0

If esprimo(a) And n Mod a = 0 Then

b = n / a

If Not esprimo(b) Then

c = a + 1

While c <> a And c <= b / 2 And m = 0

If esprimo(c) And b Mod c = 0 Then

d = b / c

If esprimo(d) And d <> c And d <> a And a <> c Then m = 1

End If

c = c + 1

Wend

End If

a = a + 1

Wend

If m = 1 Then esfenico = True Else esfenico = False

End Function

Con esta función podemos detectar qué números siguen siendo esfénicos al invertir sus cifras. No consideraremos los capicúas. Basta usar la condición

ESFENICO(N) AND ESFENICO(CIFRAINVER(N)) AND NOT ESCAPICUA(N)

Con ella descubrimos los esfénicos cuyo simétrico también lo es. Los recogemos en esta tabla:

En los corchetes, el 1 es el exponente del primo correspondiente.

Están publicados en https://oeis.org/A270175

En esa sucesión les llaman Cinehps numbers, buscando la palabra simétrica a la de sphenic. En español podrían llamarse ocinefse, pero es una palabra poco atractiva, por lo que no la usaré.

Dentro de esta sucesión podríamos extraer ejemplos múltiplos de un semiprimo determinado, como sería el 15. Observaremos que no son escasos:

Esta tabla nos sugiere que cada semiprimo posee una lista de primos, aquí 11, 19, 29, …, que le hacen poseer la propiedad que estamos tratando. Parece que todos los semiprimos la poseerán, pero dejamos esta posibilidad para quien desee estudiarla.

En los comentarios a esa sucesión se hace notar que un múltiplo de 10 sólo pertenecería a ella si el primo N/10 es simétrico de un esfénico. Esto nos abre una puerta a otros casos.

Primos simétricos de esfénicos

Podemos cambiar la exigencia de que el número sea esfénico por el de que sea primo. Sería un pequeño cambio fácil de realizar, y seguiríamos sin contar con los capicúas. El resultado sería:

Están publicados en https://oeis.org/A271799

Por ejemplo, si 269 lo multiplicamos por 10, lo convertiremos en esfénico, y su simétrico, 0962=962, también lo sería.

Ya puestos a buscar casos, podríamos emparejar semiprimos con esfénicos.

Semiprimos simétricos de esfénicos

Como ejemplo de las búsquedas que se pueden desarrollar buscamos los números semiprimos que se convierten en esfénicos al invertir sus cifras. Un sencillo cambio de definición los consigue. El resultado es

No parecen estar publicadas las dos sucesiones.

Antidivisores

2025-09-09T16:00:00.002+02:00

Todo número entero positivo N (he excluido los negativos porque no tienen interés en este estudio) posee divisores. Si es primo, serán el 1 y él mismo, y, en otro caso, presentará todo un conjunto de divisores (ver mi entrada de blog

https://hojaynumeros.blogspot.com/2011/11/el-conjunto-de-los-divisores.html).

Siempre existirán números enteros positivos menores que N que no sean divisores de él (salvo el caso de 2). A estos números les llamamos no divisores de N, como sería, por ejemplo, N-1.

Podemos considerar un divisor de N como un número K tal que al conjunto K, 2K, 3K, 4K, ... pertenece N. Esto parece trivial, pero si aplicamos la idea a un no divisor, esa sucesión sobrepasará N, y alguno de los múltiplos de K será el más cercano a N. Unos quedarán muy “cerca” de N, como, por ejemplo, si N=21, su no divisor 5, acercará un múltiplo a una unidad de él, ya que 21=4*5+1.

Un antidivisor K de N se define como el no divisor que se “acerca” a N dejando intervalos iguales entre N y dos múltiplos consecutivos de K. Por ejemplo, 10 es un antidivisor de 55, porque no es divisor de él, pero 55 equidista de dos de sus múltiplos: 50<55<60, con 55-50=60-55. Una ligera reflexión nos indica que si K es impar, no es posible la equidistancia, y se permite una diferencia de 1.

La aproximación intuitiva anterior se puede concretar en la siguiente definición, que se aplica de forma distinta si K es par o si es impar:

Si K es par y no divisor de N, será antidivisor si N MOD K=K/2

Si K es impar, diremos que es antidivisor de N si N MOD K=(K±1)/2

Por esta simetría en los dos intervalos, también se llama no divisores insesgados a los antidivisores.

Unos ejemplos: 14 es antidivisor de 147, porque los múltiplos de 14 140 y 154 rodean a 147 con 7 unidades a cada lado: 147-14*10=14*11-147. Más directo, 147 MOD 14=14/2

El número impar 7 es antidivisor de 25, porque lo rodea con un intervalo de 3 y otro de 4: 25-7*3=4 y 7*4-25=3. También; 25 MOD 7 = INT(7+1).

Los antidivisores como divisores

Las ideas anteriores se pueden expresar mediante otras expresiones.

En el caso par podemos considerar que N=K(m+1/2), siendo m un número natural apropiado. Multiplicando por 2, obtenemos: 2N=K(2m+1), lo que nos lleva a que K no es divisor de N pero sí de su doble. En el ejemplo de 10 como antidivisor de 55 obtendríamos que 2*55=10*11, con lo que 10 divide a 2*55

En el caso impar, N=Km+(K+1)/2 o bien N=Km+(K-1)/2, lo que nos lleva a que 2N-1=K(2m+1) o bien 2N+1=K(2m+1). Por ejemplo, en el caso de 7 como antidivisor de 25, quedaría 2*25-1=7*7, lo que confirma a 7 como divisor de 2*25-1. Si tomáramos 17 como antidivisor de 25 (ya que 25 está comprendido entre 17*1 y 17*2=34 con las diferencias 25-17=8 y 34-25=9), este sería divisor de 2*25+1=51=17*3.

Los párrafos anteriores nos permiten definir los antidivisores de otra forma:

Un número K es antidivisor de N cuando no es divisor del mismo, pero sí lo es de 2N o 2N+1 o 2N-1.

Es otra de definición sin acudir a la Aritmética Modular.

Vemos un ejemplo: más adelante sabremos que los antidivisores de 13 son 2, 3, 5 y 9. Es fácil encontrarlos, pues recorremos los no divisores de 13 y nos quedamos con los que dividen a 26, o 27 o 25: 2 divide a 26, 3 divide a 27, 5 a 25 y 9 a 27. Hemos desechado el 4, porque no divide a ninguno de los tres, y también al 6, al 7 y a todos los que faltan.

Un sencillo criterio

Según lo anterior, bastará comprobar que K no divide a N, pero sí a uno de los tres siguientes, 2N, 2N+1 o 2N-1.

Con este criterio es fácil encontrar los antidivisores de un número.

Si usamos la función MOD, para encontrar restos, el criterio se puede expresar así:

n Mod k <> 0 And ((2 * n) Mod k = 0 Or (2 * n + 1) Mod k = 0 Or (2 * n - 1) Mod k = 0)

Si se desea integrarlo en una celda de hoja de cálculo, bastará usar la función RESIDUO.

Este criterio permite encontrar todos los antidivisores de un número mediante esta función tipo string:

Function antidivisores$(n)

Dim i, m

Dim s$

s$ = " "’ Contenedor de antidivisores

m = 0 ‘Contador

For i = 2 To n – 1 ‘Rango de antidivisores

If n Mod i <> 0 And ((2 * n) Mod i = 0 Or (2 * n + 1) Mod i = 0 Or (2 * n - 1) Mod i = 0) Then ‘Criterio

m = m + 1

s = s + Str$(i) ‘Un nuevo antidivisor

End If

Next i

s = ajusta(m) + ": " + s ‘Se añade contador

antidivisores = s

End Function

Podemos aplicar esta función a cualquier número entero positivo, y el primer número será el contador. Por ejemplo, aplicado al 63 nos devuelve

ANTIDIVISORES(63)= 7: 2 5 6 14 18 25 42

Indica que posee siete antidivisores y añade su listado. Puedes comprobarlo en OEIS, con la búsqueda “anti-divisors”.

Con esta herramienta podemos buscar números con un número determinado de antidivisores. Bastará leer los primeros dígitos. Vemos unos ejemplos:

Con un antidivisor:

Resultan muy escasos, porque siempre se esperan más antidivisores. Puedes consultar https://oeis.org/A066466 para más detalles sobre estos números. El siguiente es 393216. Se les puede llamar antiprimos.

Con dos

Tampoco son frecuentes. Los primeros son:

Puedes consultar https://oeis.org/A066467

El mayor antidivior

Ya sabemos que el antidivisor no debe ser divisor de N, pero sí de uno de los tres 2N, 2N+1 o 2N+2. Para que D sea el mayor antidivisor, el cociente respecto a uno de los tres deberá ser pequeño. El mejor candidato es el 3. Así, si D divide a 2N, su valor máximo será 2N/3. Si no divide a 2N, lo hará a 2N+1 o 2N+2, con lo que podemos afirmar que

El mayor antidivisor de un número N se situará en las cercanías de 2N/3.

Si modificamos la función ANTIDIVISORES, es sencillo encontrar el mayor antidivisor de un número. Podría ser esta:

Function max_antidivisor(n)

Dim i, m

m = 1

For i = 2 To n - 1

If n Mod i <> 0 And ((2 * n) Mod i = 0 Or (2 * n + 1) Mod i = 0 Or (2 * n - 1) Mod i = 0) Then m = i

Next i

max_antidivisor = m

End Function

Se puede comprobar formando una tabla de cocientes D/N. En la siguiente tabla se ha recorrido un rango de número elegido al azar:

Todos los cocientes son cercanos a 2N/3.

¿De qué números soy antidivisor?

Podemos plantearnos una búsqueda inversa, y es que dado un número entero positivo K, es posible construir una lista de los números de los que es antidivisor. La solución es trivial:

Si K es par, será antidivisor de aquellos números N que cumplan N=K(m+1/2), y si es impar, de los que cumplan, N=Km+(K+1)/2 o bien N=Km+(K-1)/2. Esto tiene dos consecuencias sencillas:

El conjunto de números con el mismo antidivisor K será una progresión aritmética si K es par, y contendrá elementos consecutivos si es impar. En ambos casos será un conjunto infinito.

Por ejemplo:

Para K=8, el conjunto será {12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 76, 84, 92, 100, 108, 116, 124, 132, 140, 148, 156, …}

Para K=7, tendremos {10, 11, 17, 18, 24, 25, 31, 32, 38, 39, 45, 46, 52, 53, 59, 60, 66, 67, 73, 74, 80, 81, 87, 88, 94, 95, 101, 102}

Funciones sobre el conjunto de antidivisores

Al igual que con divisores, se pueden definir sumas y cuentas sobre el conjunto de antidivisores, que serían A_SIGMA, A_TAU, A_SIGMA2, …

Por ejemplo, la suma de antidivisores se podría programar así:

Function a_sigma(n)

Dim i, m

m = 0 'sumador

For i = 2 To n - 1 'Rango de antidivisores

If n Mod i <> 0 And ((2 * n) Mod i = 0 Or (2 * n + 1) Mod i = 0 Or (2 * n - 1) Mod i = 0) Then m = m + i

Next i

a_sigma = m

End Function

Así, a_sigma(63)=112

A partir de esa función se pueden definir números antiperfectos, como son 5, 8, 41, 56, 946.

De igual forma se definiría a_tau y otras.

Regresos 15 - Generaciones con cifras y potencias

2025-06-10T17:24:00.001+02:00

En una entrada antigua de este blog se invitaba a buscar igualdades similares a la siguiente:

88²+33²=8833

En aquella ocasión se dio más protagonismo a seguidores del blog, pero los tiempos han cambiado y ahora es preferible ampliar el tema algorítmicamente, ya que existen menos interacciones en el mismo que entonces.

Por otra parte, puede ser una buena ocasión para ampliar las búsquedas de este tipo de casualidades. En la entrada antigua sugeríamos la existencia de otra solución de cuatro cifras, pero pedíamos buscarla con más. También, por otra parte, a partir del año 2025 nos interesan las igualdades del tipo (20+25)²=2025. Unificaremos ambas cuestiones.

Usaremos una función que admita como parámetros el número a buscar, los exponentes a los que se elevan los trozos y el tipo de descomposición, si es a^k+b^k o bien (a+b)^k.

Función de búsqueda

En el listado que sigue usamos la función AJUSTA en lugar de STR$ para eliminar el espacio en blanco que Excel puede añadir a las cadenas.

A la primera versión de la función la denominaremos CIFRAS_POTE2, para indicar que el número se descompone en dos trozos. Ya se verá en qué direcciones se puede generalizar.

Function cifras_pote2(n, tope, tipo)
'El tope es el maximo exponente - El tipo es si se toma a^k+b^k+...o bien (a+b+c...)^k

Dim i, k, a, b, t
Dim s$, v$

s = ""
v = ajusta(n) ‘Convertimos n en texto
t = Len(v$) ‘Número de cifras
For i = 1 To t – 1 ‘Punto de corte
a = Val(Left(v, i)) ‘Los dos trozos
b = Val(Right(v, t - i))
For k = 2 To tope ‘Distintos exponentes
If tipo = 1 Then ‘Tipo 1: a^k+b^k
If potencia(a, k) + potencia(b, k) = n Then s = s + "## " + ajusta(a) + "^" + ajusta(k) + "+" + ajusta(b) + "^" + ajusta(k)
Else ‘Tipo 2: (a+b)^k
End If
Next k
Next i
cifras_pote2 = s
End Function

Si usamos esta función con tope 2 y tipo 1 obtendremos la solución conocida y otra más de cuatro cifras:

Si usamos el tipo 2, obtenemos otras expresiones, una de ellas la popular del 2025:

Con tres cifras se obtienen

Con el segundo tipo sólo existe (10+0)^2=100

Con cinco cifras sólo se encuentran ejemplos triviales en el tipo 1:

En el tipo 2 sí aparece este ejemplo: 88209=(88+209)^2

Por completar, hay que destacar que el único ejemplo de dos cifras es del tipo 2: (8+1)^2=81

Con cubos, además de las trivialidades, es interesante el ejemplo 407=4^3+0^3+7^3

No parece que el tema dé más de sí. Teniendo la herramienta, con un poco de paciencia se pueden explorar otros números de cifras y exponentes.

Descomposición en todas las cifras

Es interesante también la búsqueda de las igualdades entre un número y potencias de todas sus cifras, como la ya conocida 407=4^3+0^3+7^3.

Para encontrar estos casos cambiaremos un poco la estructura de la función. Ahora basta con que devuelva el valor del número, pues la descomposición será siempre la misma. Se propone esta función:

Function cifras_pote(n, exponente, tipo)
‘El tipo es idéntico al de la versión anterior

Dim i, a, b, t, c
Dim s$, v$
s = "" ‘Soluciones
v = ajusta(n) ‘El número como texto
t = Len(v$)
b = 0
For i = 1 To t
a = Val(Mid$(v, i, 1)) ‘Se recorren las cifras
‘Solución según el tipo (suma de potencias o potencia de la suma)
If tipo = 1 Then b = b + potencia(a, exponente) Else b = b + a
Next i
c = 0
If tipo = 1 And b = n Or tipo = 2 And potencia(b, exponente) = n Then c = n
cifras_pote = c ‘Devuelve el número o cero si no hay solución
End Function

Con esta función se descubren más ejemplos interesantes. Vemos algunos:

Y he seguido jugando con el tema:

54748=5^5+4^5+7^5+4^5+8^5

92727=9^5+2^5+7^5+2^5+7^5

93084=9^5+3^5+0^5+8^5+4^5

17576=(1+7+5+7+6)^3

19683=(1+9+6+8+3)^3

Repitunos y progresiones geométricas

2025-05-26T17:54:00.001+02:00

Existen números, como el 31, que equivalen simultáneamente a dos o más sumas distintas de las primeras potencias de un número natural. En este caso son:

31=1+2+4+8+16
31=1+5+25

Estas igualdades se pueden interpretar como que 31 tiene como expresión un “repituno” en las bases 2 y 5:

31(10 = 11111(2 = 111(5

Ya he usado estos números en entradas antiguas, pero hoy buscaremos los que, como el 31, presentan esta propiedad en dos o más bases distintas.

Equivalencia de sumas de primeras potencias

Este tema se puede tratar de forma algebraica, pero parece preferible la algorítmica, porque además de descubrir qué números son de este tipo se pueden contar las sumas a las que equivalen. Usaré esta función:

Function essumapot$(n) ‘Función string

Dim tope, i, k, m, r

Dim s$

tope = Int((Sqr(4 * n - 3) - 1) / 2) ‘Este tope se basa en el caso a=2

r = 0 ‘Número de soluciones

For i = 2 To tope ‘Posibles bases de potencias

k = 1 ‘Primer exponente a probar

m = 1 + I ‘Primera suma de potencias

Do Until m > n

k = k + 1 ‘Siguiente exponente

m = m + potencia(i, k) ‘Siguiente suma

If m = n Then s = s + " # " + ajusta(i) + ", " + ajusta(k): r = r + 1 ‘Hay una solución

Loop

Next i

If s <> "" Then s = ajusta(r) + " ## " + s ‘Se construye la solución

essumapot = s

End Function

Con esta función se determina qué números son “repitunos” en alguna base y de cuántas formas. Los primeros detectados son estos:

Se observa que el 31 es suma de potencias de 2 hasta la cuarta y del 5 hasta el cuadrado, como ya sabíamos. La inclusión del número de soluciones al principio nos facilitará las búsquedas.

Están publicados en https://oeis.org/A053696

Todos son “números brasileños”, como puedes comprobar en la entrada de este blog dedicada a esos números.

https://hojaynumeros.blogspot.com/search?q=brasile%C3%B1os

Lo que nos interesa aquí es la existencia de soluciones múltiples, como en el caso del 31. Bastará buscar las soluciones en las que el primer carácter tenga un valor superior a 1.

Tal como se podía sospechar por anteriores trabajos sobre temas afines, sólo se encuentran dos soluciones, 31 y 8191, ambos primos de Mersenne (31=2^5-1 y 8191=2^13-1. No existen más entre los números menores de 2^44.

Puedes ampliar el tema en https://oeis.org/A119598

Progresiones geométricas múltiples

Estos dos números, 31 y 8191 pueden sea base para encontrar los primeros elementos de progresiones geométricas con el mismo término inicial. Basta elegir un múltiplo de cualquiera de ellos dos.

Por ejemplo, elegimos 31 por 13, es decir, 403. Tomamos 13 como término inicial de una progresión geométrica, y desarrollamos 31 de dos formas distintas, como ya sabemos:

403=13*31=13*(1+2+4+8+16)=13+26+52+104+208

403=13*31=13*(1+5+25)=13+65+325

Hemos expresado el 403 como suma de dos progresiones geométricas. Podemos efectuar idénticas operaciones con múltiplos de 8191. Por tanto:

Existen infinitos números naturales que se pueden expresar como dos sumas distintas de progresiones geométricas con el mismo término inicial.

Coincidencia de dos progresiones en general

Si eliminamos la condición de igualdad del término inicial en las progresiones geométricas, el problema sería totalmente distinto, con muchos más parámetros a considerar. En mis cálculos diarios encuentro muchos casos de varias progresiones geométricas que coinciden en su suma. Si quieres experimentar, esta función detecta estas progresiones para razones entre 2 y 9

Function pg$(n) 'Es suma de una o más progresiones geométricas

Dim i, j, a, s

Dim ss$

ss = "" ‘Contenedor de soluciones

For i = 2 To 9 ‘Razón de la progresión

j = 1

s = 1 ‘Inicios

While j < 10 And s <= n

s = s + i ^ j ‘Se suma la progresión

a = n / s ‘Posible inicio de la progresión

If a = Int(a) And j > 1 Then ss = ss + "##" + Str$(j + 1) + " sumandos " + Str$(i) + " razón " + Str$(a) + " Inicio"

j = j + 1 ‘Número de sumandos

Wend

Next i

pg = ss

End Function

Con él se pueden detectar sumas múltiples para cualquier número, si es que existen. Por ejemplo, el número 1001 es suma de tres progresiones geométricas distintas:

1001 ## 3 sumandos 2 razón 143 Inicio## 3 sumandos 3 razón 77 Inicio## 3 sumandos 9 razón 11 Inicio

En efecto:

1001=143+143*2+143*4
1001=77+77*3+77*9
1001=11+11*9+11*81

Es claro que cambia el término inicial en cada suma.