Tecnologico de Tijuana

Integración por sustitución,Integration by substitution

2012-01-13T18:54:00.000-08:00

integración por partes

Cuando se puede determinar fácilmente la primitiva de una función determinada, que puede pasar con un cambio inteligente de las variables (a veces sutiles) para evitar la dificultad. No funciona todo el tiempo (debido a que algunas funciones no estén formalmente organizados), pero vale la pena intentarlo antes de recurrir a la computadora.
Una vez más, le damos la forma general del método. Es el papel de los maestros en las escuelas para llevar a los estudiantes a comprender y dominar esas técnicas. Además, los capítulos sobre las ciencias de la página (física, ciencias de la computación, la astrofísica, la química, ...) están llenos de ejemplos de uso de esta técnica y, por tanto implícitamente ejercicios de estilo.
O para calcular la integral (sin límites por ahora):

aunque no sabemos calcular directamente la primitiva de la función f (x) (por lo menos nos imaginamos estar en esta situación), se sabe (de una forma u otra) que es (se trata sin embargo, de integrales impropias en este nivel).
La técnica es entonces en este integral para hacer el cambio de variable:

donde es una función continua y sus derivados, y asumiendo una función inversa. Entonces , Muestran que en este caso la igualdad:

Integracion por partes Queremos decir aquí que la variable t se sustituirá después de la integración en su derecho-la expresión en términos de x. Para justificar la igualdad en este sentido, basta con demostrar que las dos cantidades que se consideran, cada uno de los cuales se define como una constante arbitraria tienen la misma derivada con respecto a x. La derivada de la izquierda es la siguiente:

Se deriva el respeto a los derecho-con x, teniendo en cuenta que t es una función de x. Sabemos que:

Por lo tanto:

Las derivadas con respecto a x de ambos lados de partida iguales son iguales.

Obviamente, la función deben elegirse de modo que sabemos para calcular la integral indefinida en el lado derecho de la igualdad.

Nota: A veces es mejor elegir el cambio de variable en lugar de debido a que una alta tendencia a simplificar la longitud de la ecuación en lugar de acostarse.

Integration by substitution

When we can easily determine the primitive of a given function, we can get by with a clever change of variables (sometimes subtle) to circumvent the difficulty. It does not work every time (because some functions are not formally integrated) but it is worth trying before resorting to the computer.
Again, we give the general form of the method. It is the role of teachers in schools to lead students to understand and master such techniques. In addition, the chapters on the site sciences (physics, computer science, astrophysics, chemistry, ...) are full of examples using this technique and are thus implicitly exercises in style.
Or to calculate the integral (unbounded for now):

although we do not know directly calculate the primitive of the function f (x) (at least we imagine to be in this situation) we know (in one way or another) it is (we are dealing yet of improper integrals at this level).
The technique is then in this integral to make the change of variable:

where is a continuous function and its derivative, and assuming an inverse function. Then , Show that in this case the equality:

is satisfied.
We mean here that the variable t will be replaced after integration on the right-its expression in terms of x. To justify the equality in this sense, it suffices to show that the two quantities considered, each of which is defined as an arbitrary constant have the same derivative with respect to x. The derivative of the left-hand side is:

We derive the right-with respect to x, taking into account that t is a function of x. We know that:

We therefore:

The derivatives with respect to x of both sides of equal departure are equal.

Obviously, the function must be chosen so that we know to calculate the indefinite integral on the right side of equality.

Note: Sometimes it is best to choose the change of variable as instead of because that a large tendency to simplify the length of the equation rather than lie down.

Ecuaciones diferenciales de primer orden

2012-01-12T19:47:00.000-08:00

Ecuaciones diferenciales de 1er orden

Una ecuación diferencial de primer orden es un servicio de urgencias que implica sólo la primera derivada y '.
Definición: Una ecuación diferencial de la primera , se le llama un fin de Ed de variables independientes si se puede escribir como:

Esta ecuación diferencial se puede integrar con facilidad. De hecho, escribimos:

A continuación, simbólicamente:

Nota: escriba aquí de forma explícita la constante de integración arbitraria (Lo que está implícito en las integrales indefinidas) para no olvidar!

Esto es por lo tanto, los primeros en encontrar primitivas F y G, de F y G, y luego expresarlo en términos de x (y C):

La constante de integración se establece cuando una solicitud de dado, tenemos un valor dado de . A esto le llamamos el "problema de valor inicial."

Ecuaciones diferencialesl,Differential equations,

2012-01-12T19:38:00.000-08:00

Ecuaciones diferenciales

Differential equations

Definición: En matemáticas, una ecuación diferencial (ED) es una relación entre una o más funciones desconocidas y sus derivados a fin de n. el fin de una ecuación diferencial corresponde al grado máximo de diferenciación que las funciones de un desconocido se ha presentado.
En comparación con nuestro objetivo de tratar de ver cómo las matemáticas describen la realidad, las ecuaciones diferenciales son muy exitosos, pero también la fuente de muchos problemas. En primer lugar, las dificultades de los modelos (ver por ejemplo el sistema de ecuaciones diferenciales de los problemas de la relatividad general ...), las dificultades de resolución (no hay un método general!) Y matemáticas en sentido estricto, por último dificultades relacionadas con el hecho de que algunas ecuaciones diferenciales no son estables en la naturaleza y dar soluciones caótica (ver el capítulo sobre la dinámica de la población para ejemplos flagrantes de simple!).
Nota: Las ecuaciones diferenciales se utilizan para construir los modelos matemáticos de fenómenos físicos y biológicos, tales como el estudio de la radiactividad y la mecánica celeste. Por lo tanto, las ecuaciones diferenciales representan un vasto campo de estudio, tanto en matemáticas puras y aplicadas
La ecuación diferencial de orden n de la general, la mayoría siempre se puede escribir como:

(10.1)

Que hacemos en este sitio que si x y el valor y en . Una solución a este ED en el intervalo es una función (Una de las funciones que es n veces continuamente diferenciable) tal que para todo , Tenemos:

R1. Por razones que se verá más adelante, también decimos "integrar el servicio de urgencias" en lugar de "encontrar una solución a la disfunción eréctil."

R2. Desde todo el sitio web está llena de ejemplos de ecuaciones diferenciales y los métodos de resolución en los capítulos de la mecánica, la física atómica, la cosmología, la econometría, secuencias y series, etc., Nosotros hay ejemplos aquí y se centrará, por tanto, que el mínimo teórico.

Definition: In mathematics, a differential equation (ED) is a relationship between one or more unknown functions and their derivatives up to order n. The order of a differential equation corresponds to the maximum degree of differentiation which an unknown functions has been submitted.
Compared with our goal to try to see how mathematics describe reality, the differential equations are very successful, but also the source of many troubles. First, the difficulties of modeling (see for example the system of differential equations of general relativity problems ...), resolution (there is no general method!) And strictly mathematical difficulties, finally difficulties related to the fact that some differential equations are not stable in nature and give chaotic solutions (see the chapter on population dynamics for simple examples blatant!).
Note: The differential equations are used to construct mathematical models of physical and biological phenomena, such as the study of radioactivity and celestial mechanics. Therefore, the differential equations represent a vast field of study, both pure and applied mathematics
The differential equation of order n the most general can always be written as:

We do on this site that if x and y value in . A solution to this ED on the interval is a function (A function which is n times continuously differentiable) such that for all , We have:

R1. For reasons that will be developed later, we also say "integrate the ED" instead of "finding a solution to the ED."

R2. Since the entire website is full of examples of differential equations and methods of resolutions in the chapters on mechanics, atomic physics, cosmology, econometrics, sequences and series, etc.., We will no examples here and will focus, therefore, that the theoretical minimum.

Derivadas elevadas a una potencia / Raised to a power derived

2012-01-11T20:42:00.000-08:00

Derivadas elevadas a una potencia

Vamos a demostrar aquí los derivados de la más frecuente (alrededor de treinta) que podemos cumplir en la física teórica y matemática, así como algunas de sus propiedades. La lista no es exhaustiva en el momento pero las manifestaciones se han generalizado, se pueden aplicar a muchos otros casos (que se aplicará / conocer a través de este sitio).
1. Derivados de la :
Primera apertura de un caso particular, la derivada de :
Por consiguiente, es un verdadero un conjunto, entonces:

El número obtenido por una función cúbica es .

Raised to a power derived

We will demonstrate here the derivatives the most frequent (around thirty) that we can meet in theoretical and mathematical physics as well as some of their properties. The list is not exhaustive at the moment but the demonstrations are widespread, they may apply to many other cases (that we will apply / meet throughout this site).
1. Derived from :
First start of a particular case, the derivative of :
Is therefore a real one any set, then:

The number derived by a cubic function is

Ecuaciones diferenciales, en general,Differential equations, general

2012-01-11T19:33:00.000-08:00

Ecuaciones diferenciales, en general:

El concepto de diferencial de Leibniz permite resolver ecuaciones funcionales (la incógnita es una función) que aparecen como la variable x de la función y = f (x) y / o algunos de sus derivados "y = (X), y "= (X) la función derivada de Y así sucesivamente.

El más básico es de la forma A (x) = y'B (y) por separación de variables: el diferencial promedio, y 'se puede escribir como dy / dx y tal ecuación es de la forma:

A (x) dx = B (y) dy

por lo tanto, la ecuación diferencial nombre. Mediante la integración de ambos lados:

Una ecuación como A (x) y '+ B (x) y = 0 es un caso especial de la ecuación lineal

Differential equations, general:

The concept of differential allows Leibniz to solve functional equations (the unknown is a function) which appear as the variable x the function y = f (x) and / or some of its derivative y '= (X), y "= (X) function derived from And so on.

The most basic is of the form A (x) = y'B (y) by separation of variables: the average differential, y 'can be written as dy / dx and such an equation is of the form:

A (x) dx = B (y) dy

hence the name differential equation. By integrating both sides:

An equation such as A (x) y '+ B (x) y = 0 is a special case of elementary linear equation

Fundamental theorem of calculus Teorema fundamental del cálculo

2012-01-11T18:30:00.000-08:00

Teorema fundamental del cálculo:

Leibniz enuncia el teorema que une el área bajo la curva con la función primitiva y teniendo en cuenta el proceso de la "suma", como inverso de la "diferenciación", y tiene la expresión "moderna" de cálculo de un volumen de la revolución:

utiliza implícitamente por su ilustre predecesores Arquímedes (método de agotamiento) y Cavalieri (método de indivisibles).

Fundamental theorem of calculus:

Leibniz enunciated the theorem linking the area under the curve with primitive function and considering the process of "summation" as reciprocal of the "differentiation", and he has the wording "modern" of calculating a volume of revolution:

used implicitly by his illustrious predecessors Archimedes (method of exhaustion) and Cavalieri (method of indivisibles).

analysis mathematics análisis matemáticas

2012-01-11T18:02:00.000-08:00

El análisis de las matemáticas es el desarrollo de conceptos y resultados fundamentales del cálculo. Este último ya había enriquecido y diversificado las manos de los matemáticos del siglo ^XVIII, sobre todo, Euler y Lagrange. Desde 1800, esta diversificación está creciendo de nuevo y se acompaña de un nuevo espíritu. Vamos a tratar en este artículo, para dar una visión general de los acontecimientos ocurridos durante el siglo ^XIX y principios del ^XX, en referencia a los detalles de los artículos. Es difícil de describir en una frase el "análisis moderno", la culminación de esta evolución, tomando en su sentido más amplio, podemos decir que hemos hecho el análisis en el cálculo de los conceptos de limitar o continuidad, por lo que hay partes muy poco de las matemáticas, donde interviene el análisis de una forma u otra.
Pero lo que distingue el análisis matemático actual es, en primer lugar, que en lugar de limitar las áreas descritas por los valores de las "variables" y las funciones para abrir en el espacio R ⁿ se puede considerar Si estas áreas son los colectores de diferencial y, en segundo lugar, se basa en gran medida de los resultados generales del álgebra y la topología que forman la columna vertebral de la teoría de los espacios funcionales.

The analysis mathematics is the development of concepts and fundamental results of calculus. The latter had already greatly enriched and diversified the hands of the mathematicians of the ^eighteenth century, above all Euler and Lagrange. From 1800, this diversification is growing again and is accompanied by a new spirit. We will try in this article, to give an overview of these developments during the ^nineteenth century and early ^twentieth century, referring for details to the articles.
It is difficult to describe in one sentence the "modern analysis", the culmination of this evolution by taking it in its broadest sense, we can say that we made the analysis when calculating the concepts of limit or continuity, so there is very little parts of mathematics where the analysis intervenes in one form or another.
But what distinguishes the current mathematical analysis is, firstly, that instead of limiting the areas described by the 'variables' values and functions to open in the space R ⁿ can consider If these areas are any differential manifolds and, secondly, it relies largely on the overall results of algebra and topology that form the backbone of the theory of functional spaces.

Differential equations of second order

2012-01-11T16:40:00.000-08:00

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Sólo las ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales con coeficientes constantes con RHS que realmente nos interesa, o .
Los resultados de la linealidad
En cuanto al segundo término, corrió a casos reales, como una constante, un poder polinomio de x, o una combinación lineal de coseno y seno del grupo .
Buscamos, respectivamente, para la solución particular, una constante, un polinomio de grado 2 en el poder de x, una combinación lineal de coseno y seno del grupo .
es la ecuación diferencial sin segundo miembro para el cual se buscan soluciones en forma .
Sustituyendo, se forma la ecuación característica que tiene dos soluciones y . La solución se escribe .
Al explicar los siguientes valores ,

Differential equations
Only the differential equations of second order linear with constant coefficients with RHS we're really interested, or .
The linearity results
Regarding the second term, he ran to real cases, as a constant, a polynomial power of x or a linear combination of cosine and sine of the group .
We search respectively, for the particular solution, a constant, a polynomial of degree 2 in power of x, a linear combination of cosine and sine of the group .
is the differential equation without second member for which solutions are sought in the form .
Substituting, we form the characteristic equation which has two solutions and . The solution is then written .
By explaining the following values ,

Higher order differential,Diferenciales de orden superior

2012-01-10T20:58:00.000-08:00

Diferenciales de orden superior Hemos visto que el diferencial de y = f (x) dy = y dx donde dx es tan pequeño como queramos, pero fijo.
Buscamos el diferencial dy es decir, d (dy) que denotamos (Se pronuncia "dos de ellos").
Por definición, = (Derivada de dy). Dx (derivada de dy) = (y'dx) = y''dx

También se

Higher order differential
We saw that the differential of y = f (x) dy = y dx where dx is as small as we want but fixed.
We seek the differential dy ie d (dy) which we denote (Pronounced "two of them").
By definition, = (Derived from dy). Dx (derived from dy) = (y'dx) = y''dx

It would also

Logarithmic differential,Diferencial logarítmica

2012-01-10T20:53:00.000-08:00

Diferencial logarítmica
Ejemplo:

Logarithmic differential
Example:

Differential parametric functions , Diferencial de funciones paramétricas

2012-01-10T20:42:00.000-08:00

Diferencial de funciones paramétricas

Differential parametric functions

Some simple applications of differential, Algunas aplicaciones sencillas de diferencial

2012-01-10T20:30:00.000-08:00

Algunas aplicaciones sencillas de diferencial
Calentar un disco de metal y su radio está creciendo a un ritmo de 1 mm por segundo. Calcular la velocidad con que aumenta la superficie S del disco si el radio R cm?

Some simple applications of differential
Heat a metal disc and its radius is growing at a rate of 1 mm per second. Calculate the rate at which increases the surface S of the disk if the radius R = 10 cm?

Calculation of differential Application of the definition,Cálculo de la diferencial Aplicación de la definición

2012-01-10T20:24:00.000-08:00

El diferencial de La pequeñez de su tamaño es relativo. En comparación con un tiempo de un minuto es muy pequeño, pero en comparación con un minuto un segundo es muy grande.
En el cálculo, que llamamos dx variación muy pequeña dado a la variable x más o menos. Se puede tomar tan poco como desee, pero es fijo y no se trata de hacer oferta a 0 como D x.
dx tiene un carácter algebraico.

De hecho, vamos a por ejemplo,

Aplicar la fórmula de Taylor

Llama diferencial de y o f (x) la cantidad o y'dx dy = df = f '(x) dx
dy tiene un carácter algebraico.
Cálculo de la diferencial
Aplicación de la definición

The differential
The smallness of size is relative. Compared to a one minute time is very small, but compared to one minute one second is very large.
In calculus, we call a very small variation dx given to the variable x more or less. It can take as little as you like, but it is fixed and there is no question of making tender to 0 as D x.
dx has an algebraic character.

Indeed, let for example,

Apply the Taylor formula

Called differential of y or f (x) the amount or y'dx dy = df = f '(x) dx
dy has an algebraic character.
Calculation of differential
Application of the definition

Cálculo diferencial Definición,Differential Calculus Definition

2012-01-10T20:18:00.000-08:00

Cálculo diferencial El cálculo fue inventado por Newton y Leibniz en el siglo ^XVII como resultado de una gran cantidad de trabajo matemático que condujo al estudio de los derivados, tangentes a curvas y lo infinitamente pequeño. Este cálculo fue desarrollada posteriormente por varios matemáticos (Euler, Laplace, Cauchy, ...), que dio su forma actual.
Ya era el álgebra antes de Cristo y el famoso Arquímedes sabía cómo resolver ciertas ecuaciones ^de 2 º grado, uno debe aceptar que, siempre y cuando no fue hasta la llegada de Leibnitz y Newton, tres cien años solamente, es que este cálculo es sutil y trascendente, y un nivel superior a las matemáticas elementales.
Lo infinitamente pequeño. Una infinitesimal es una cantidad variable que tiende a 0.
Ejemplos

cuando x tiende a 0 cuando tiende a 0, por lo que este es un infinitamente pequeño

cuando x tiende a 0 cuando tiende a 0, por lo que este es un infinitamente pequeño.

Decimos que son equivalentes si el límite infinitesimal de la relación tiende a 1 cuando tienden a 0.
Se verá, por ejemplo, que lo infinitamente pequeño es equivalente a la x muy pequeños, o de lo infinitamente pequeño es equivalente a

differential calculus

The calculation was invented by Newton and Leibniz in the seventeenth century as a result of a lot of mathematical work that led to the study of derivatives, tangents to curves and the infinitely small. This calculation was further developed by several mathematicians (Euler, Laplace, Cauchy, ...), which gave its present form.
It was the algebra BC and the famous Archimedes knew how to solve certain equations of grade 2, one must accept that as long as it was not until the arrival of Leibnitz and Newton, three hundred years alone, is that this calculation is subtle and transcendent, and a higher level of elementary mathematics.

The infinitely small. An infinitesimal is a variable quantity tends to 0.

Derived compositions (composite function) Composiciones derivadas (función compuesta)

2012-01-09T18:55:00.000-08:00

Derived compositions (composite function)
Composiciones derivadas (función compuesta)

Derivative of inverse function
Derivada de la función inversa

The logarithmic derivative f
La derivada logarítmica de f

Differentiation of arithmetic combinations, Differential,La diferenciación de combinaciones aritméticas ,Diferencial

2012-01-09T18:49:00.000-08:00

Diferencial
Differential

La diferenciación de combinaciones aritméticas
Differentiation of arithmetic combinations

(U, V, W - funciones diferenciables, - Permanente

Definición de la derivada,Unilateral derivados,Función diferenciable ,Definition of the derivative, unilateral derivatives, differentiable function

2012-01-08T19:51:00.000-08:00

Definición de la derivada
Definition of the derivative

Unilateral derivados
unilateral derivatives

Función diferenciable en x ₀
differentiable function

Calculo de la integral doble,Calculation of double integral

2012-01-08T19:25:00.000-08:00

Calculo de la integral doble,Calculation of double integral
Observamos aquí que la integración de la función z (x, y) con respecto a x, así como para diferenciar, por ejemplo y = const y las reglas de uso ordinario de cálculo de la integral. En este caso, los límites de integración y puede depender de (pero no en x).
Del mismo modo, se puede integrar la función de y en la gama, en función de x (o constantes).
Ejemplos
1.
.

Recibida en la misma función pueden ser integradas en la segunda límites variables y constantes:
3.
Integral, calculado en el último ejemplo es otra vez la integral y escribir pasó de la siguiente manera:
Problemas y desafíos
n1. Calcular las integrales, si es posible:
a) B) C)
n2. Calcular las integrales iteradas:
a) B)
Tareas de formación práctica
Evaluar la integral doble sobre la región delimitada por dichas líneas:
1. 2. ;
3. 4.
Cambiar el orden de integración:
5. 6. ;
7. 8.
Calcular:
9.
10.
11.
12.

La integración de las diferencias del binomio Sustitución trigonométrica. The integration of the differences of the binomial Trigonometric substitution.

2012-01-08T19:17:00.000-08:00

La integración de las diferencias del binomio
Sustitución trigonométrica.
The integration of the differences of the binomial
Trigonometric substitution.

Ejemplo:

La integración de las fracciones elementales.The integration of elementary fractions

2012-01-08T19:11:00.000-08:00

La integración de las fracciones elementales
The integration of elementary fractions

Un ejemplo.

Integral de funciones inversas,Integral of inverse functions

2012-01-08T18:43:00.000-08:00

Integral de funciones inversas
Integral of inverse functions
La función L es continua y reversible, con la función inversa . Intuitivamente se confirma fácilmente en el dibujo

b	f +	f (b)	= B · f (b) - a · f (a)	Fórmula integral la función inversa

un		f (a)

En la siguiente prueba, los argumentos que se han completado:
Si además f es L-diferenciable, es

	b	f (x) dx =	b	1 · f (x) dx = [x · f (x)]		b un	-	b	x · f '(x) dx =

	un		un					un
=				b · f (b) - a · f (a) -	b	(F (x) · f '(x)) dx

					un
=				b · f (b) - a · f (a) -	f (b)		(Z) dz,

					f (a)

por lo tanto la fórmula anterior se demuestra.
EJEMPLO:

Ejemplo:

16	4	dy = 16 · 1.2 · 1 -	2	⁴ x dx =	4 5	· 31,

1			1

lo que fácilmente se puede comprobar esto por integración directa. La fórmula de integración funciona incluso si no está explícitamente asignable.

Integración por partes / Integration by Parts

2012-01-08T18:31:00.000-08:00

Integración por partes
integration by parts

Los productos generalmente se puede convertir en

uv '= uv - u' v

donde u y v son funciones con derivada continua en un intervalo [a | b] son.
A continuación, las integrales existen en ambos lados en [a | b]

b	u · v = [u · v]	b un	-	b	* u 'v

un				un

Estado de
integración parcial

Ejemplo:

Supongamos que queremos

ln x dx.

v '

Escribir

ln x dx =

dx = [x · ln x]

b un

x ·

1
x

dx = b ln b - a ln a - (b - a)

En x

También puede utilizar la regla, por supuesto, omitiendo los límites de integración para la determinación de las funciones ordinarias. En el ejemplo

ln x dx =

1 · ln x dx = x * ln x -

x ·

1
x

dx = x * ln x - 1 + C

Ejemplo:

x · sen x dx

Se trata de u (x) = x y v '= sen x, entonces u' (x) = 1 y v (x) = - cos x. De ello se desprende:

x · sen x dx = - x cos x -

1 · (- cos x) dx = - x + cos x sen x + C

Otros métodos de integración,other methods of integration

2012-01-08T18:25:00.000-08:00

Otros métodos de integración
other methods of integration
Diferenciación en general, corresponden a las reglas de integración que han de ser cubiertos aquí.
La sustitución de la regla

Sustitución de la regla (primera versión)

La función g es la L-diferenciable en [a | b] y
La función f es de al menos g [a | b] = I L-continuo. Entonces

b	F g * g '=	g (b)	F

un		g (a)

o en otra notación

b	f (g (x)) · g '(x) dx =	g (b)	f (z) dz

un		g (a)

Prueba:
F es una primitiva de f. (¿Por qué tiene una función f primitivos?)
Entonces f G-derivada de f g * g ', porque después de la regla de la cadena es

(F g) '= F' g · g = f g * g '.

Después de que el principal teorema del calculo integral es

b	F g * g '=

un

F (g (b)) - F (g (a)) y

g (b)	f =

g (a)

F (g (b)) - F (g (a)).

Por lo tanto votar en las integrales coinciden en ambos lados de la ecuación. Ejemplo:

2	· (4 x - 1) dx =	6	dz = [	2 3	]	6 1	= 9,13,

1		1

de aquí es: f (z) = , G (x) = 2 x ² - x, g '(x) = 4 x - 1, g (1) = 1 y g (2) = 6. Incluso con mayor frecuencia, la regla de sustitución en sentido inverso se aplica, donde su nombre es entonces plausible.
Es en las mismas condiciones que el anterior, la función g invertible con la función inversa Así

Sustitución de la regla (segunda versión)

b	f (x) dx =	f (g (z)) · g '(z) dz

un

Para la prueba se necesita sólo la primera Modificada por la regla de sustitución de derecha a izquierda. El siguiente ejemplo ilustra la aplicación de la norma.

Determinar	1	x ·	dx.

	0

Solución: Sustituyendo 1 + 2 x = z = (X). Entonces

x =	1 2	z -	1 2	= G (z),
g '(z) =			1 2	F (g (z)) =	1 2	(Z - 1) ×
así como (0) = 1 y (1) = 3.
Así es

1	x ·	dx =	3	1 2	(Z - 1)	·	1 2	dz

0			1

	=	1 4		3	(Z		-		) Dz =	1 4	· [	2 5	z ^{5 / 2} -	2 3	z ^{3 / 2]}	3 1	=	2 5		-	1 15

Derivatives of Inverse Functions,Logarithmic Differentiation.Diferenciación logarítmica, Derivadas de funciones inversas

2012-01-08T16:26:00.000-08:00

Derivadas de funciones inversas Si y = f (x) y x = ƒ -1 (y) son diferenciables las funciones inversas, y luego sus derivados son recíprocos:
Diferenciación logarítmica
A menudo es ventajoso el uso de logaritmos para diferenciar determinadas funciones.
1. En tomar de ambas partes
2. Diferenciar
3. Resolver y '
4. Y sustituto de
5. Simplificar

Ejercicio:	Encontrar de y =

	ln y = [Ln (x 2 + 1) - ln (x 2 - 1)]
	=
	y '=
	y '=

Derivatives of Inverse Functions
If y = ƒ(x) and x = ƒ-1(y) are differentiable inverse functions, then their derivatives are reciprocals:



Logarithmic Differentiation
It is often advantageous to use logarithms to differentiate certain functions.
1. Take ln of both sides
2. Differentiate
3. Solve for y'
4. Substitute for y
5. Simplify

Exercise:

for y =

ln y = [ln(x2 + 1) - ln(x2

=

y' =

y' =

Derivadas de orden mayor,Higher Order Derivatives

2012-01-08T16:10:00.000-08:00

Derivadas de orden mayor Estas son las derivadas sucesivas de f (x). Usando la notación de primera, la segunda derivada de f (x), ƒ''(x), es la derivada de f '(x). La notación numérica de las derivadas de orden superior está representada por:
Higher Order Derivatives
These are successive derivatives of ƒ(x). Using prime notation, the second derivative of ƒ(x), ƒ''(x), is the derivative of ƒ'(x). The numerical notation for higher order derivatives is represented by:

ƒ (n) (x) = y (n) La segunda derivada es también señalado por .

Ejercicio:	Buscar la tercera derivada de y = x 5.

	y '= 5 x 4
	y''= 20 x 3
	y'''= 60 x 2