Ενοποίηση της σταθεράς του Αρχιμήδη π,της χρυσής τομής φ,του αριθμού Euler e και του φανταστικού αριθμού i

2021-10-07T13:59:00.016-07:00

1.Βασικές μαθηματικές σταθερές

1.1 Σταθερά του Αρχιμήδη π

Εισαγωγή

Η σταθερά του Αρχιμήδη π είναι μια μαθηματική σταθερά που εκφράζει τον λόγο της περιφέρειας C προς τη διάμετρο του δ ενός κύκλου. Συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα π από τα μέσα του 18ου αιώνα. Αναφέρεται ως σταθερά του Αρχιμήδη γιατί η μέθοδος προσδιορισμού του π αποδίδεται στον Έλληνα Μαθηματικό Αρχιμήδη από την περίμετρο Pn ενός κανονικού πολυγώνου με n πλευρές που περιγράφουν έναν κύκλο με διάμετρο δ. Ο αριθμός π είναι ένας άρρητος και υπερβατικός αριθμός.

Σταθερά του Αρχιμήδη π.

Εμφανίζεται σε πολλούς τύπους σε όλους τους τομείς των Μαθηματικών και της Φυσικής,όπως και σε πολλούς τύπους της Τριγωνομετρίας και της Γεωμετρίας,ειδικά όσον αφορά κύκλους,ελλείψεις ή σφαίρες. Βρίσκεται επίσης και σε διάφορους τύπους από άλλους κλάδους της επιστήμης,όπως η Κοσμολογία,η Θεωρία των αριθμών,η Στατιστική,τα Fractals,η Θερμοδυναμική,η Μηχανική,και ο Ηλεκτρομαγνητισμός. Ο καθολικός χαρακτήρας του π τον καθιστά μια από τις πιο ευρέως γνωστές μαθηματικές σταθερές,τόσο εντός όσο και εκτός της επιστημονικής κοινότητας και έχει αποτελέσει θέμα λογοτεχνικών βιβλίων. Ο αριθμός π γιορτάζεται την «ημέρα του π» και ρεκόρ υπολογισμού των ψηφίων του π συχνά αναφέρονται σε τίτλους ειδήσεων. Αρκετοί άνθρωποι προσπάθησαν να απομνημονεύσουν την τιμή του π με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια,οδηγώντας σε ρεκόρ απομνημόνευσης πάνω από 67.000 ψηφία.

Ιστορία της σταθεράς του Αρχιμήδη π

Η σταθερά π είναι γνωστή για σχεδόν 4.000 χρόνια. Οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι υπολόγισαν την έκταση ενός κύκλου λαμβάνοντας 3 φορές το τετράγωνο της ακτίνας του,το οποίο έδωσε μια τιμή π=3. Ένας βαβυλωνιακός δίσκος την περίοδο 1.900–1.680 π.Χ. υποδεικνύει μια τιμή π=3,125. Μια πάπυρος την περίοδο 1.650 π.Χ. μας δίνει μια εικόνα για τα μαθηματικά της αρχαίας Αιγύπτου. Οι Αιγύπτιοι υπολόγισαν την περιοχή ενός κύκλου με έναν τύπο που έδωσε την κατά προσέγγιση τιμή π=3,1605. Ο πρώτος υπολογισμός του π έγινε από τον Αρχιμήδη των Συρακουσών (287-212 π.Χ.),έναν από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του αρχαίου κόσμου. Ο Αρχιμήδης προσέγγισε την περιοχή ενός κύκλου χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα για να βρει τις περιοχές δύο κανονικών πολυγώνων. Ο Αρχιμήδης ήξερε ότι δεν είχε βρει την τιμή του π αλλά μόνο μια προσέγγιση εντός αυτών των ορίων. Με αυτόν τον τρόπο,ο Αρχιμήδης έδειξε ότι 3+10/71<π<3+1/7. Μια παρόμοια προσέγγιση χρησιμοποιήθηκε από τον Zu Chongzhi (429–501),έναν λαμπρό Κινέζο μαθηματικό και αστρονόμο. Ο Zu Chongzhi υπολόγισε την τιμή της αναλογίας της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρο του να είναι 355/113. Οι μαθηματικοί άρχισαν να χρησιμοποιούν το ελληνικό γράμμα π το 1.700. Παρουσιάστηκε από τον William Jones το 1.706,η χρήση του συμβόλου διαδόθηκε από τον Leonhard Euler,ο οποίος το υιοθέτησε το 1.737. Ο Γάλλος μαθηματικός Georges Buffon του δέκατου όγδοου αιώνα επινόησε έναν τρόπο υπολογισμού του π βάσει της πιθανότητας.

Ορισμός

Η σταθερά π ορίζεται ως:

π=C/δ

C η περιφέρεια C ενός κύκλου,

δ η διάμετρο ενός κύκλου.

Αυτός ο ορισμός του π είναι έγκυρος μόνο σε επίπεδη Ευκλείδεια Γεωμετρία,ενώ αν επεκταθεί σε κυρτές Μη-Ευκλείδειες Γεωμετρίες ο λόγος δεν παραμένει σταθερός. Υπάρχουν άλλοι ορισμοί του π με βάση τον απειροστικό λογισμό ή την Τριγωνομετρία που δεν βασίζονται σε κύκλο.

Αριθμητική τιμή

Η αριθμητική τιμή του π στα πρώτα ενενήντα δεκαδικά ψηφία του είναι:

π=3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534...

Τον Ιανουάριο του 2.020,ο Timothy Mullican ανακοίνωσε τον υπολογισμό των 50 τρισεκατομμυρίων ψηφίων σε διάστημα 303 ημερών.

Ακριβείς τύποι της σταθεράς του Αρχιμήδη π

Ένας ακριβής τύπος για την σταθερά π από τις αντίστροφες εφαπτομένες των κλασμάτων μονάδας είναι ο τύπος του Machin:

π=16·tan-1(1/5)-4·tan-1(1/239)

Γενικευμένοι τύποι Machin:

π=20·tan-1(1/7)+8·tan-1(3/79)

π=4·tan-1(1/√2)+2·tan-1(1/√8)

Μια ασήμαντη μονοδύναμη φόρμουλα τύπου Machin δίνεται από την ταυτότητα:

π=4·tan-11

Επίσης ο τύπος του Euler Machin:

π=4·tan-1(1/2)+4·tan-1(1/3)

Επίσης ο τύπος του Hermann:

π=8·tan-1(1/2)-4·tan-1(1/7)

Ακόμα ο τύπος του Hutton:

π=8·tan-1(1/3)+4·tan-1(1/7)

Τρεις όροι τύπου Machin τύπου περιλαμβάνουν τον τύπο Gauss's Machin:

π=48·tan-118+32·tan-157-20·tan-1239

Επίσης ο τύπος του Strassnitzky:

π=4·tan-12-4·tan-15+4·tan-18

Άλλοι τύποι Machin είναι:

π=24·tan-18+8·tan-157+4·tan-1239

π=16·tan-15-4·tan-170+4·tan-199

π=32·tan-110-4·tan-1239-16·tan-1515

π=20·tan-17+16·tan-153+8·tan-14.443

π=12·tan-14+28·tan-1239+4·tan-11.985

Τέλος άλλοι τύποι Machin από τους Borwein και Bailey είναι:

π=48·tan-149+128·tan-157-20·tan-1239+48·tan-1110.443

π=176·tan-157+28·tan-1239-48·tan-1682+96·tan-11.296

Προσέγγισεις της σταθεράς π

Οι 68 αριθμητικές προσέγγισεις της σταθεράς π είναι:

1) π≃22/7=3,14...........

Αυτή η προσέγγιση ήταν γνωστή στον Αρχιμήδη.

2) π≃√2+√3≃3,14...........

3) π≃311/3=3,141...........

4) π≃19·√2/16=3,141...........

5) π≃(4/5)-4+7/10=3,141...........

6) π≃9/5+9/51/2=3,141...........

7) π≃(7/3)·(1+√3/5)=3,141.........

8) π≃333/106=3,1415.........

9) π≃[(40/3)-√12)])1/2=3,1415.........

10) π≃ (3/14)4·(193/5)2=3,1415...........

11) π≃(553/312)2=3,1415...........

12) π≃77/49=3,1415...........

13) π≃437/23=3,1415...........

14) π≃3+[1/5·[(2/5)1/10+1/2]=3,14159...........

15) π≃ln2.198/√6=3,14159...........

16) π≃(296/167)2=3,14159...........

17) π≃992/2.206·√2=3,141592...........

18) π≃4-(106/166)1/3=3,141592...........

19) π≃(689/396)/ln(689/396)=3,141592...........

20) π≃(99/80)·[7/(7-3·√2)]=3,141592...........

21) π≃(663+862)/553=3,141592...........

22) π≃(473+203)/303-1=3,141592...........

23) π≃689/396·ln(689/396)=3,141592.........

24) π≃[(1503/2-1)/6]1/5=3,141592...........

25) π≃355/113=3,141592...........

Με ακρίβεια σφάλματος 8·10-8. Αυτή η προσέγγιση είναι η πιο σημαντική γιατί εκφράζεται με απλό κλάσμα και έχει σχετικά καλή ακρίβεια.

26) π≃(66·√2)/(33·√29-148)=3,1415926...........

27) π≃2+[1+(413/750)]1/2=3,1415926...........

28) π≃(13/4)1.181/1.216=3,1415926...........

29) π≃(2300/6·7103)1/5=3,1415926...........

30) π≃(2.143/22)1/4=3,14159265...........

31) π≃(77.729/254)1/6=3,14159265...........

32) π≃(9/67)1/2·ln(5.280)=3,14159265...........

33) π≃103.283/32.876=3,14159265...........

34) π≃3·ln(5.280)/√67=3,14159265...........

35) π≃[92+(192/22)]1/4 =3,14159265...........

36) π≃[97+(9/22)]1/4=3,14159265...........

37) π≃ln(π+20-9·10-40)=3,14159265...........

38) π≃97272/1.087=3,14159265...........

39) π≃(3/√67)·ln(5.280)=3,14159265...........

40) π≃103.993/33.102=3,141592653...........

41) π≃22/17+37/47+88/83=3,141592653...........

42) π≃(63/25)+(17+√5)/(7+√5)=3,141592653...........

43) π≃(63/25)·[(17+15·√5)/(7+15·√5)=3,141592653...........

44) π≃[31+(622+14)/282]1/3=3,141592653...........

45) π≃312.689/99.532=3,141592653...........

46) π≃3+(1/7)-1/[790+(5/6)]=3,141592653...........

47) π≃[31+(25/3.983)]1/3=3,141592653...........

48) π≃ln[23+(1/22)+(2/21)]=3,141592653...........

49) π≃427/596+405/167=3,141592653...........

50) π≃(48/23)·ln(60.318/13.387)=3,1415926535...........

51) π≃(125/123)·ln(28.102/1.277)=3,1415926535.........

52) π≃{(19/60)+[1/(3·123.499)1/2]}-1=3,1415926535.........

53) π≃[(19/60)+(3·123.449)-1/2]-1=3,1415926535...........

54) π≃2+22/41·(75.757/1.329)1/41=3,14159265358...........

55) π≃(355/113)-[1/(444+533)]=3,1415926535897...........

56) π≃(3·√3/10)·{5-[10/13-6·(9)1/3]1/2}-1=3,1415926535897...........

57) π ≃{[7+ln(7/12)]1/3+1}4-64=3,1415926535897...........

58) π≃(355/113)·[1-(3·10-4/3.533)]=3,14159265358979...........

59) π≃(24/√142)·ln[(10+11·√2)1/2+(10+7·√2)1/2/2]=3,14159265358979......

60) π≃(12/√130)·ln[(3+√13)·(√8+√10)/2]=3,14159265358979...........

61) π≃357.377/(784+1055/2) =3,14159265358979...........

62) π≃(3/1631/2)·ln(640.320)=3,14159265358979...........

63) π≃[(7+ln7/12)1/3+1]4-64=3,14159265358979...........

Mε ακρίβεια σφάλματος 2×10-16. Μια σχετικά απλή και πολύ ακριβής έκφραση.

64) π≃ln(262.537.412.640.768.744)/√163=3,141592653589793.........

65) π≃(12/√190)·ln[(3+√10)·(√8+√10)/2]=3,141592653589793...........

66) π≃2+[(276.694.819.753.963/56.647)1/158/21/79]=3,1415926535897932....

67) π≃ln(640.3203+744)/1631/2=3,14159265358979323846264338327.....

68) π≃ln[(640.3203+744)2-2·196.884]/(2·1631/2)

Με αριθμητική τιμή:

π=3,1415926535897932384626433832795028841971693993.........

Αστρονομική προσέγγιση

Mια περίεργη αστρονομική προσέγγιση είναι:

π≃(1/w)·[(13·y-6·w)/13·y)+3·w]

όπου:

w=1 εβδομάδα,

y=1 χρόνος.

Για y=365 ημέρες:

π=3,1415926......

Είναι ακριβής στα πρώτα 7 δεκαδικά ψηφία. Για y=365,2425 ημέρες,που είναι ο μέσος όρος του Γρηγοριανού έτους:

π=3,14159......

Είναι ακριβής στα πρώτα 5 δεκαδικά ψηφία.

Προσεγγιστικές ανισότητες

Επίσης η μαθηματική σταθερά π μπορεί να προσεγγιστεί από τις ανισότητες:

3+10/71<π<3+1/7

Αυτή την προσέγγιση την απέδειξε ο Αρχιμήδης χρησιμοποιώντας ένα πολύγωνο με 96 πλευρές.

1.2 Χρυσή τομή φ

Εισαγωγή

Στα μαθηματικά,δύο ποσότητες έχουν αναλογία χρυσής τομής φ αν ο λόγος του αθροίσματος τους προς τη μεγαλύτερη ποσότητα είναι ίσος με το λόγο της μεγαλύτερης ποσότητας προς τη μικρότερη.

Το διάγραμμα περιλαμβάνει πολλές εμφανίσεις του χρυσού ορθογωνίου και του τριγώνου του Kepler.

Η χρυσή τομή ή χρυσός λόγος,επίσης γνωστός ως θεϊκή αναλογία,χρυσός μέσος όρος είναι ένας αριθμός που συναντάται συχνά κατά τη λήψη των αναλογιών αποστάσεων σε απλά γεωμετρικά σχήματα όπως το πεντάγωνο,το πεντάγραμμα,το δεκαγώνο και το δωδεκάεδρο. Ο αριθμός φ είναι ένας υπερβατικός αριθμός.

Ιστορία της χρυσής τομής

Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί μελέτησαν για πρώτη φορά την χρυσή τομή φ,λόγω της συχνής εμφάνισής της στη γεωμετρία. Ο μαθηματικός Ίππασος τον 5ο αιώνα π.Χ. ανακάλυψε ότι η χρυσή αναλογία δεν ήταν ούτε ακέραιος αριθμός ούτε κλάσμα. Η χρυσή αναλογία είναι σημαντική στη γεωμετρία των κανονικών πενταγράμμων και πενταγώνων. Η αντίληψη αυτή αποδίδεται συνήθως στον Πυθαγόρα και τους ακολούθους του και λέγεται ότι η σχετική θεωρία διατυπώθηκε για πρώτη φορά από την πυθαγόρεια φιλόσοφο Θεανώ. Ο χρυσός λόγος ήταν γνωστός στους Πυθαγόρειους. Στο μυστικό τους σύμβολο,την πεντάλφα,ο χρυσός λόγος εμφανίζεται στις πλευρές τους αστεριού καθώς και στο πηλίκο του εμβαδού του κανονικού πενταγώνου με κορυφές τις άκρες της πεντάλφα προς το εμβαδόν του κανονικού πενταγώνου που σχηματίζεται εντός του αστεριού. Ο Φειδίας (500 π.Χ.-432 π.Χ.),ο Έλληνας γλύπτης και μαθηματικός εφάρμοσε την χρυσή τομή φ στο σχεδιασμό γλυπτών για τον Παρθενώνα. Ο Πλάτωνας (περίπου το 428 π.Χ.-347 π.Χ.),στις απόψεις του για τη φυσική επιστήμη και την κοσμολογία που παρουσιάστηκε στο «Τίμαιο» θεώρησε το χρυσό τμήμα ως το πιο δεσμευτικό όλων των μαθηματικών σχέσεων και το κλειδί για τη φυσική του κόσμου. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη παρέχουν τον πρώτο γραπτό ορισμό αυτού που σήμερα ονομάζουμε χρυσή τομή. Ο Ευκλείδης παραθέτει μια για το χώρισμα της γραμμής σε άκρο και μέσο λόγο. Σε όλα τα Στοιχεία αρκετές προτάσεις και οι αποδείξεις τους εμπεριέχουν τον χρυσό λόγο. Από τον 20ό αιώνα,η χρυσή τομή παριστάνεται με τον ελληνικό γράμμα φ,από το αρχικό γράμμα του γλύπτη Φειδία ο οποίος λέγεται ότι ήταν από τους πρώτους που τον χρησιμοποίησε στα έργα του. Η χρυσή αναλογία μελετήθηκε περιφερειακά κατά την επόμενη χιλιετία. Ο Abu Kamil (850–930) το χρησιμοποίησε στους γεωμετρικούς υπολογισμούς των πενταγώνων και δεκαγώνων. Τα γραπτά του επηρέασαν αυτό του Fibonacci (1.170–1.250),ο οποίος χρησιμοποίησε την αναλογία σε συναφή προβλήματα γεωμετρίας,αν και δεν το συνέδεσε ποτέ με τη σειρά αριθμών που πήρε το όνομά του. Οι μαθηματικοί του 18ου αιώνα Abraham de Moivre,Daniel Bernoulli και Leonhard Euler χρησιμοποίησαν έναν τύπο με βάση τη χρυσή αναλογία που βρίσκει την αξία ενός αριθμού Fibonacci με βάση την τοποθέτησή του στην ακολουθία.

Σχέσεις της χρυσής τομής φ

Στον Τίμαιο,ο Πλάτωνας θεωρούσε την χρυσή τομή φ ένωση όλων των μαθηματικών σχέσεων και το κλειδί για τη φυσική του Κόσμου.Η χρυσή τομή φ είναι μια ρίζα του 2ου βαθμού πολυωνύμου:

P(x)=x2−x−1

Τόσο η χρυσή τομή όσο και οι συζυγείς του είναι ρίζες της 4ου βαθμού εξίσωσης:

x4−2∙x3−x2+2∙x+1=0

Για την χρυσή τομή φ ισχύει η βασική αριθμητική σχέση:

φ=(√5+1)/2

Άλλες ισοδύναμες αριθμητικές σχέσεις για την χρυσή τομή φ είναι:

φ=[(√5+3)/2]1/2

φ=[(5+√5)/(5-√5)]1/2

Επίσης ισχύουν οι σχέσεις:

φ=1+φ-1

φ=1+1/φ

φ=(2+φ-1)1/2

φ-1=(2-φ-1)1/2

φ2=φ+1

φ=1+{[1/[1+(1/φ)]}

Επίσης για την χρυσή τομή φ ισχύουν οι τριγωνομετρικές σχέσεις:

φ=-2·sin(666)

φ=-2·cos(144)

φ=-2·cos(6∙6∙6)

φ=-cos(6∙6∙6)-sin(666)

Επίσης η χρυσή τομή φ ικανοποιεί την σχέση επανάληψης:

φ2n=φ2n-1+φ2n-2,n ∈ N+

Για τη χρυσή τομή φ ισχύουν οι σχέσεις:

1=φ1-φ-1=φ3-φ-3-φ2-φ-2=φ2-φ=φ-3+2∙φ-2=(1/2)∙φ-5+(5/2)∙φ-2=1

2=2∙φ1-2∙φ-1=φ1+φ-2=φ2-φ-1=φ-5+5∙φ-2=2

3=φ2+φ-2=φ4+φ-4-φ3+φ-3=5∙φ-1-φ-5=3

4=φ3-φ-3=φ5-φ-5-φ4-φ-4=4∙φ1-4∙φ-1=2∙φ1+2∙φ-2=2∙φ2-2∙φ-1=2∙φ-5+10∙φ-2=4

5=(2·φ-1)2=(φ2+1)·(φ-2+1)=φ2+φ1+2∙φ-2=5

6=2·φ2+2·φ-2=φ4+φ-4-φ1+φ-1=6

7=φ4+φ-4=φ2+φ-2+φ3-φ-3=7

8=φ7-13·φ=5·φ-φ-5=φ1-φ-1+φ4+φ-4=8

9=2∙φ1-2∙φ-1+φ4+φ-4=φ5-φ-5-φ1-φ-2=φ5-φ-5-φ2+φ-1=9

10=2∙(2·φ-1)2=2∙(φ2+1)·(φ-2+1)=10

11=φ5-φ-5=φ7-φ-7-φ6-φ-6=11

12=φ1-φ-1+φ5-φ-5=12

18=φ6+φ-6=φ8+φ-8-φ7+φ-7=18

29=φ7-φ-7=φ9-φ-9-φ8-φ-8=29

47=φ8+φ-8=φ10+φ-10-φ9+φ-9=47

76=φ9-φ-9=φ11-φ-11-φ10-φ-10=76

123=φ10+φ-10=φ12+φ-12-φ11+φ-11=123

199=φ11-φ-11=φ13-φ-13-φ12-φ-12=199

322=φ12+φ-12=φ14+φ-14-φ13+φ-13=322

521=φ13-φ-13=φ15-φ-15-φ14-φ-14=521

843=φ14+φ-14=φ16+φ-16-φ15+φ-15=843

1.364=φ15-φ-15=φ17-φ-17-φ16-φ-16=1.364

2.207=φ16+φ-16=φ18+φ-18-φ17+φ-17=2.207

3.571=φ17-φ-17=φ19-φ-19-φ18-φ-18=3.571

5.778=φ18+φ-18=5.778

9.349=φ19-φ-19=9.349

271.443=φ26+φ-26=271.443

3.010.349=φ31-φ-31=3.010.349

12.752.043=φ34+φ-34=12.752.043

Επίσης για την χρυσή τομή φ ισχύουν οι σχέσεις:

φ-10=89-55·φ=φ-11+φ-12=φ-8-φ-9

φ-9=34·φ-55=φ-10+φ-11=φ-7-φ-8

φ-8=34-21·φ=φ-9+φ-10=φ-6-φ-7

φ-7=13·φ-21=φ-8+φ-9=φ-5-φ-6

φ-6=13-8·φ=φ-7+φ-8=φ-4-φ-5

φ-5=5·φ-8=φ-6+φ-7=φ-3-φ-4=5·φ2-13=(2+φ)2-13=(φ2+1)2-13=[(φ2+1)2-2]1/2

φ-4=5-3·φ=φ-5+φ-6=φ-2-φ-3

φ-3=2·φ-3=φ-4+φ-5=φ-1-φ-2

φ-2=2-φ=φ-3+φ-4=1-φ-1

φ-1=φ-1=φ-2+φ-3=φ2-2=(2-φ)1/2

φ0=1=0+1=φ-1+φ-2=φ-φ-1

φ1=φ=φ+0=1+φ-1

φ2=φ+1=φ-1+2

φ3=2·φ+1=φ2+φ=2·φ2-1=φ5-φ4

φ4=3·φ+2=φ3+φ2=φ6-φ5

φ5=5·φ+3=φ4+φ3=(φ+2)2-2

φ6=8·φ+5=4·φ3+1=φ5+φ4

φ7=13·φ+8=φ6+φ5

φ8=21·φ+13=7·φ41=φ7+φ6=3·φ5+2·φ4=3·φ4+5·φ3+2·φ2=8·φ3+5·φ2

φ10=55·φ+34=φ9+φ8

φ11=89·φ+55=φ10+φ9

φ12=144·φ+89=φ11+φ10

φ13=233·φ+144

φ14=377·φ+233

φ15=610·φ+377

φ16=987·φ+610

φ17=1.597·φ+987=φ18-φ16

φ18=2.584·φ+1.597

φ19=4.181·φ+2.584

φ20=6.765·φ+4.181

Αριθμητική τιμή της χρυσής τομής φ

Η αριθμητική τιμή της χρυσής τομής φ στα πρώτα ενενήντα δεκαδικά ψηφία του είναι:

φ=1,61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544862270526046281890244970720720.......

Προσεγγίσεις της χρυσής τομής φ

Οι 27 αριθμητικές προσέγγισεις της χρυσής τομής φ είναι:

1) φ≃13/8=1,6...........

2) φ≃144/89=1,61...........

3) φ≃89/55=1,618...........

4) φ≃377/233=1,6180...........

5) φ≃521/322=1,6180...........

6) φ≃843/521=1,6180...........

7) φ≃1.597/987=1,61803...........

8) φ≃1.364/843=1,61803...........

9) φ≃4.181/2.584=1,61803...........

10) φ≃5.778/3.571=1,61803...........

11) φ≃2.207/1.364=1,618033...........

12) φ≃3.571/2.207=1,618033...........

13) φ≃2856/1.233=1,618033...........

14) φ≃9.349/5.778=1,6180339...........

15) φ≃10.946/6.765=1,6180339...........

16) φ≃(5.778)1/18=1,6180339...........

17) φ≃(3.571)1/17=1,61803398...........

18) φ≃(9.349)1/19=1,61803398...........

19) φ≃46.368/28.657=1,618033988...........

20) φ≃121.393/75.025=1,618033988...........

21) φ≃317.811/196.418=1,6180339887...........

22) φ≃(1.860.498)1/30=1,618033988749...........

23) φ≃(2.537.720.636)1/45=1,618033988749894...........

24) φ≃(3.461.452.808.002)1/60=1,618033988749894...........

25) φ≃(4.721.424.167.835.364)1/75=1,618033988749894...........

26) φ≃(6.440.026.026.380.244.498)1/90=1,618033988749894...........

27) φ≃7.778.742.049/4.807.526.976=1,6180339887498948482...........

Επίσης η χρυσή τομή φ μπορεί να προσεγγιστεί από τις ανισότητες:

8/5<φ<81/50

Συζυγής Φ της χρυσής τομής

Ο συζυγής Φ της χρυσής τομής φ ισούται με τις σχέσεις:

Φ=1/φ

Φ=φ-1

Φ=φ2-2

Φ=(2-φ)1/2

Ο συζυγής Φ της χρυσής τομής φ έχει τιμή:

Φ=(√5-1)/2=2/(√5+1)

Η αριθμητική τιμή του Φ στα πρώτα ενενήντα δεκαδικά ψηφία του είναι:

Φ=0,61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544862270526046281890244970720720.......

Για το συζυγή Φ της χρυσής τομής φ ισχύουν:

Φ3+2∙Φ2=1

Φ5+5∙Φ2=2

1.3 Σταθερά e

Εισαγωγή

Ο αριθμός e είναι σημαντική μαθηματική σταθερά,η οποία αποτελεί τη βάση του φυσικού λογαρίθμου. Είναι το όριο της ακολουθίας (1+1/n)n όσο το n πλησιάζει το άπειρο,μια έκφραση που προκύπτει από την μελέτη των σύνθετων τόκων. Αναφέρεται επίσης ως αριθμός Euler και μερικές φορές είναι γνωστή ως σταθερά του Napier. Όπως και ο αριθμός π,έτσι και ο αριθμός e είναι ένας άρρητος δηλαδή δεν είναι λόγος ακεραίων και υπερβατικός αριθμός δηλαδή δεν είναι ρίζα κάθε μη-μηδενικού πολυώνυμου με ρητούς συντελεστές.

Η τιμή του (1+1/n)n πλησιάζει το e καθώς το n γίνεται όλο και μεγαλύτερο.

Ο αριθμός e έχει εξέχουσα σημασία στα μαθηματικά,παράλληλα με τα 0,1,π και i. Και οι πέντε από αυτούς τους αριθμούς παίζουν σημαντικούς και επαναλαμβανόμενους ρόλους στα μαθηματικά και αυτές οι πέντε σταθερές εμφανίζονται σε μια διατύπωση της ταυτότητας του Euler. Ο αριθμός του Euler έχει πολλές πρακτικές χρήσεις,ιδιαίτερα σε μαθηματικά υψηλότερου επιπέδου όπως ο λογισμός,οι διαφορικές εξισώσεις,η τριγωνομετρία,η σύνθετη ανάλυση,η στατιστική κ.α. Από την ταυτότητα του Euler μπορεί να προκύψει η παρακάτω σχέση της μαθηματικής σταθεράς e:

e=i-2i/π

Ιστορία

Η ιστορία της μαθηματικής σταθεράς e ξεκινά από τον John Napier (1.550-1.617) ο οποίος καθόρισε λογάριθμους μέσω μιας διαδικασίας που ονομάζεται δυναμική αναλογία. Ωστόσο,αυτό δεν περιείχε την ίδια τη σταθερά,αλλά απλώς μια λίστα λογαρίθμων που υπολογίστηκε από τη σταθερά. Υποτίθεται ότι ο πίνακας γράφτηκε από τον William Oughtred. Η πρώτη γνωστή χρήση της σταθεράς,που αντιπροσωπεύεται από το γράμμα β,ήταν η αλληλογραφία από τον Gottfried Leibniz προς τον Christiaan Huygens το 1.690 και το 1.691. Όμως η ανακάλυψη της ίδιας της σταθεράς e πιστώνεται στον Jacob Bernoulli το 1.683 όταν μελετούσε τους σύνθετους τόκους. Ο Leonhard Euler εισήγαγε το γράμμα e ως βάση για τους φυσικούς λογάριθμους,γράφοντας σε μια επιστολή προς τον Christian Goldbach την 25 Νοεμβρίου 1.731. Ο Leonhard Euler (1.707-1.783) που έδωσε στη σταθερά το γράμμα του την ονομασία e και ανακάλυψε πολλά από αυτές τις αξιοσημείωτες ιδιότητες.

Αριθμητική τιμή

Η αριθμητική τιμή της μαθηματικής σταθεράς e στα πρώτα ενενήντα δεκαδικά ψηφία του είναι:

e=2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217....

Προσεγγίσεις

Οι 26 αριθμητικές προσέγγισεις της σταθεράς e είναι:

1) e≃19/7=2,71................

2) e≃87/32=2,718................

3) e≃193/71=2,718................

4) e≃1.264/465=2,7182.............

5) e≃878/323=2,7182.............

6) e≃(5/931/π)6=2,71828.............

7) e≃31/2+4-1/100=2,71828.............

8) e≃(355/113)-(69/163)=2,71828.............

9) e≃2.721/1.001=2,718281.............

10) e≃(1/7)-[8∙ln(4/5)/ln2]=2,718281.............

11) e≃3-(5/63)1/2=2,718281.............

12) e≃16332/163=2,718281.............

13) e≃23.225/8.544=2,7182818.............

14) e≃2+(542+412)/802=2,7182818.............

15) e≃(1+5∙61/5)/3=2,7182818.............

16) e≃(1+1/802)∙(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8)=2,7182818.............

17) e≃(1+9-9)387.420.489=2,71828182.............

18) e≃49.171/18.089=2,718281828.............

19) e≃271.801/99.990=2,718281828.............

20) e≃517.656/190.435=2,7182818284.............

21) e≃[150-(873+125)/833]1/5=2,7182818284.............

22) e≃(37/613)∙[45+(35/991)]=2,7182818284.............

23) e≃[8/(9.112.7741/4-52)]=2,71828182845.............

24) e≃4-[(3004-1004-1.2912+92)/915]=2,718281828459.............

25) e≃[1.097-(555+3113-113)/685]1/7=2,718281828459045.............

26) e≃848.456.353/312.129.649=2,71828182845904523.............

Επίσης η σταθερά e μπορεί να προσεγγιστεί από τις ανισότητες:

2+7/10<e<2+3/4

1.4 Φανταστικός αριθμός i

Εισαγωγή

H φανταστική μονάδα i είναι μια λύση στην τετραγωνική εξίσωση x2+1=0. Αν και δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός με αυτήν την ιδιότητα,μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να επεκτείνει τους πραγματικούς αριθμούς σε αυτούς που ονομάζονται σύνθετοι αριθμοί. Παρά το παραπλανητικό τους όνομα,οι φανταστικοί αριθμοί είναι όχι μόνο υπαρκτοί αλλά και πολύ χρήσιμοι,με εφαρμογή στον ηλεκτρισμό,στην επεξεργασία σημάτων και σε πολλές άλλες εφαρμογές. Χρησιμοποιούνται ευρύτατα στην ηλεκτρονική,για την αναπαράσταση εναλλασσόμενων ρευμάτων,στην κυματική και γενικά στη μελέτη των περιοδικών φαινομένων.

Ιστορία

Αν και ο Έλληνας μαθηματικός και μηχανικός Ήρωας της Αλεξάνδρειας είναι ο πρώτος που έχει συλλάβει φανταστικούς αριθμούς,ήταν ο Rafael Bombelli που έθεσε για πρώτη φορά τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των πολύπλοκων αριθμών το 1.572. Η ιδέα εμφανίστηκε σε έντυπη μορφή νωρίτερα,όπως στην εργασία του Gerolamo Cardano. Εκείνη την εποχή,οι φανταστικοί αριθμοί και οι αρνητικοί αριθμοί ήταν ελάχιστα κατανοητοί και θεωρούνταν από μερικούς ως φανταστικούς ή άχρηστους όπως ήταν το μηδέν κάποτε. Πολλοί άλλοι μαθηματικοί καθυστέρησαν να υιοθετήσουν τη χρήση φανταστικών αριθμών,συμπεριλαμβανομένου του René Descartes. Η χρήση φανταστικών αριθμών δεν έγινε ευρέως αποδεκτή μέχρι το έργο των Leonhard Euler (1.707–1.783) και Carl Friedrich Gauss (1.777–1.855). Η γεωμετρική σημασία των σύνθετων αριθμών ως σημεία σε ένα επίπεδο περιγράφεται για πρώτη φορά από τον Caspar Wessel (1.745-1.818). Το 1.843,ο William Rowan Hamilton επέκτεινε την ιδέα ενός άξονα φανταστικών αριθμών στο αεροπλάνο σε έναν τετραδιάστατο χώρο τεταρτημορίων,όπου τρεις από τις διαστάσεις είναι ανάλογες με τους φανταστικούς αριθμούς στο περίπλοκο πεδίο.

Σχέσεις

H φανταστική μονάδα i έχει την ιδιότητα:

i2=−1

Η τετραγωνική ρίζα του i είναι:

√i=±(i+1)/2

Για την φανταστική μονάδα i ισχύει:

i4n=1

i4n+1=i

i4n+2=-1

i4n+3=-i

το η είναι οποιοσδήποτε ακέραιος.Επίσης ισχύει:

cosi=(e+1/e)/2=e2+1/2∙e

sini=(e-1/e)∙i/2=(e2-1)∙i/2∙e

1.5 Άλλοι αριθμοί

Σταθερά του Gelfond

Η σταθερά του Gelfond,στα μαθηματικά είναι ο αριθμός eπ,που είναι ο αριθμός e υψωμένος στη δύναμη π. Όπως και τα e και π,αυτή η σταθερά είναι ένας υπερβατικός αριθμός. Πήρε το όνομα του από τον Σοβιετικό μαθηματικό Aleksandr Gelfond. H σταθερά του Gelfond eπ ξεχωρίστηκε στο 7ο πρόβλημα του Hilbert ως παράδειγμα αριθμών των οποίων η υπέρβαση ήταν ένα ανοιχτό πρόβλημα.

eπ=(eiπ)-i=(-1)-i

Η αριθμιτική τιμή της σταθεράς του Gelfond είναι:

eπ≃23,14069263277926900572..........

Οι 17 αριθμητικές προσέγγισεις της σταθεράς του Gelfond είναι:

1) eπ≃2∙(4∙π-1)=23,1.....

2) eπ≃23+π1-e=23,1.......

3) eπ≃20+π=23,14..... με ακρίβεια σφάλματος 0,005%

4) eπ≃162/7=23,14.....

5) eπ≃π2∙[3+(4+√5)1/2])1/2=23,140.........

6) eπ≃302∙π/41=23,140......

7) eπ≃3.241∙π/440=23,1406......

8) eπ≃[29/42+(9.507)1/2]=23,14069......

9) eπ≃30+(1+√2)-345/7=23,140692......

10) eπ≃ln3+(159/5)∙ln2=23,14069263......

11) eπ≃7∙π+1+(-e2+28∙e+189/634∙e)=23,1406926327......

12) eπ≃6.112.351∙π/829.816=23,140692632779......

13) eπ≃7∙π+(365.455/317.913)=23,140692632779......

14) eπ≃17+√3+(172))1/4+ln(ln9)=23,1406926327792......

15) eπ≃20+π+1/[1.111+1/(11+1/√2)]=23,1406926327792......

16) eπ≃(421∙π-133∙φ-316)/(-176∙π+539∙φ-285)=23,14069263277926.........

17) eπ≃(-381∙π+363∙φ+469∙e+127)/(44∙π+11∙φ+88∙e-361)

eπ=23,140692632779260057.........

Αριθμός ii

Ο αριθμός ii ισούται:

ii=(eiπ/2)i=e-π/2=(eπ)-1/2

Η δεκαδική επέκταση του ii είναι:

ii≃0,20787957635076190854......

Αριθμός πe

Η δεκαδική επέκταση του πe είναι:

πe≃22,45915777183610454734.........

Δεν είναι γνωστό εάν αυτός ο αριθμός είναι υπερβατικός. Για την σταθερά του Gelfond eπ και τον αριθμό πe ισχύει:

eπ/πe+πe/eπ≃2=2,000893…......

Αριθμός eπ-πe

Η δεκαδική επέκταση του eπ-πe είναι:

eπ-πe≃0,68153491441822353230........

Άλλοι αριθμοί

φφ≃2,178457567938..........

φπ≃4,53475716116............

φe≃3,69902532658..........

πφ≃6,37951853648..........

eφ≃5,04316564336...........

φφ∙φπ≃9,8787760564777..........

φe∙eπ≃85,59800812326............

φπ∙πe≃101,84682653935...........

φπ∙eπ≃104,93742163059...........

2.Ακριβείς σχέσεις μεταξύ μαθηματικών σταθερών

2.1 Ακριβείς σχέσεις μεταξύ φ και π

Οι 47 ακριβείς σχέσεις μεταξύ της χρυσής τομής φ και της σταθεράς π είναι:

1) φ=2∙cos(π/5)

2) φ=2∙sin(3∙π/10)

3) φ=1/2∙cos(2π/5)

4) φ=1/2∙sin(π/10)

5) φ=-2∙cos(4∙π/5)

6) φ=1-2∙cos(3∙π/5)

7) φ=(1/2)∙sec(2∙π/5)

8) φ=(1/2)∙csc(π/10)

9) φ=sin(3∙π/10)/sin(π/6)

10) φ=sin(π/6)/sin(π/10)

11) φ=sin(2∙π/5)/sin(π/5)

12) φ=sin(5π/6)/sin(π/10)

13) φ=sin(7∙π/10)/sin(π/6)

14) (3-φ)1/2=2∙sin(π/5)

15) (φ∙√5)1/2=2∙cos(π/10)

16) cos(π/1+φ)+cos(π/φ)=0

17) φ=[π+(5∙π2)1/2]/2∙π

18) (2-φ)1/2=2∙cos(2∙π/5)

19) [2-(1/φ)]1/2=2∙cos(3∙π/10)

20) [2+(1/φ)]1/2=2∙cos(π/5)

21) (2+φ)1/2=2∙cos(π/10)

22) (2-φ)1/2=2∙sin(π/10)

23) (2-φ-1)1/2=2∙sin(π/5)

24) (2+φ-1)1/2=2∙sin(3∙π/10)

25) (2+φ)1/2=2∙sin(2∙π/5)

26) [2+(2+φ)1/2]1/2=2∙cos(π/20)

27) [2+(2+φ-1)1/2]1/2=2∙cos(π/10)

28) [2+(2-φ-1)1/2]1/2=2∙cos(3∙π/20)

29) [2+(2-φ)1/2]1/2=2∙cos(π/5)

30) [2-(2-φ)1/2]1/2=2∙cos(3∙π/10)

31) [2-(2-φ-1)1/2]1/2=2∙cos(7∙π/20)

32) [2-(2+φ-1)1/2]1/2=2∙cos(2∙π/5)

33) [2-(2+φ)1/2]1/2=2∙cos(9∙π/20)

34) [2+(2+φ)1/2]1/2=2∙sin(9∙π/20)

35) [2+(2+φ-1)1/2]1/2=2∙sin(2∙π/5)

36) [2+(2-φ)1/2]1/2=2∙sin(7∙π/20)

37) [2+(2-φ)1/2]1/2=2∙sin(3∙π/10)

38) [2-(2-φ)1/2]1/2=2∙sin(π/5)

39) [2-(2-φ-1)1/2]1/2=2∙sin(3∙π/20)

40) [2-(2+φ-1)1/2]1/2=2∙sin(π/10)

41) [2-(2+φ)1/2]1/2=2∙sin(π/20)

43) φ-1+(3∙φ∙√5)1/2=4∙cos(π/15)

44) (φ∙√5)1/2=2∙cos(π/10)

45) φ+(3∙φ-1∙√5)1/2=4∙cos(2∙π/15)

46) -φ-1+(3∙φ∙√5)1/2=4∙cos(4∙π/15)

47) -φ+(3∙φ-1∙√5)1/2=4∙cos(7∙π/15)

2.2 Ακριβείς σχέσεις μεταξύ φ και e

Oι 11 ακριβείς σχέσεις μεταξύ φ και e είναι:

1) e=(2∙φ-1)2/ln(5)

2) φ=(1+eln5/2)/2

3) φ=e(1/2)ln(φ/φ-1)

4) e-[ln(φ)+ln(1-φ)]+1=0

5) φ=eln(-1)/5+e-ln(-1)/5

6) eln5/2=2∙e(1/2)ln(φ/φ-1)-1

7) eln5/2=2∙eln(-1)/5+2∙e-ln(-1)/5-1

8) e(1/2)ln(φ/φ-1)=eln(-1)/5+e-ln(-1)/5

9) φ=e[ln(φ)+ln(1-φ)]/5+e-[ln(φ)+ln(1-φ)]/5

10) e(1/2)ln(φ/φ-1)=e[ln(φ)+ln(1-φ)]/5+e-[ln(φ)+ln(1-φ)]/5

11) e[ln(φ)+ln(1-φ)]/1+φ+e-[ln(φ)+ln(1-φ)]/1+φ+e[ln(φ)+ln(1-φ)]/φ+e-[ln(φ)+ln(1-φ)]/φ=0

2.3 Ακριβείς σχέσεις μεταξύ π και e

Οι 8 ακριβείς σχέσεις μεταξύ της σταθεράς π και της σταθεράς e είναι:

1) eln5/2=4∙cos(π/5)-1

2) eln5/2=4∙sin(3∙π/10)-1

3) eln5/2=1-4∙cos(3∙π/5)

4) eln5/2=sec(2∙π/5)-1

5) eln5/2=csc(π/10)-1

6) 2∙sin(π/5)=[3-(1+eln5/2)/2)]½

7) cos[π/1+(1+eln5/2)/2)]+cos[2∙π/(1+eln5/2)]=0

8) eln5/2={[π+(5∙π2)1/2]/π}-1

2.4 Ακριβείς σχέσεις μεταξύ π και i

Οι 3 ακριβείς σχέσεις της σταθεράς π και της φανταστικής μονάδας i είναι:

1) π=2∙lni/i

2) π=2∙i∙log(1-i/1+i)

3) π=-i∙ln(-1)

2.5 Ακριβείς σχέσεις μεταξύ φ και i

Οι 12 ακριβείς σχέσεις μεταξύ της χρυσής τομής φ και της φανταστικής μονάδας i είναι:

1) φ1/2+i∙φ-1/2=(1+2∙i)1/2

2) φ3/2+i∙φ-3/2=2∙[1+(i/2)]1/2

3) 2∙sin(i∙lnφ)=i

4) sin2(i∙lnφ)=-1/4

5) φ=[ln(cosφ+i∙sinφ)]/i

6) 2∙sin(i∙lnφ)=e-lnφ-elnφ/i

7) 2∙sin(i∙lnφ)=-i∙[(1/φ)-φ]

8) φ=2∙cos(2∙lni/5∙i)

9) φ=2∙sin(3∙lni/5∙i)

10) φ=1-2∙cos(6∙lni/5∙i)

11) φ=(1/2)∙sec(4∙lni/5∙i)

12) φ=(1/2)∙csc(lni/5∙i)

13) 2∙sin(2∙lni/5∙i)=(3-φ)1/2

14) cos(2∙lni/i∙(1+φ)+cos(2∙lni/i∙φ)=0

2.6 Ακριβείς σχέσεις μεταξύ e και i

Οι 11 ακριβείς σχέσεις μεταξύ της της σταθεράς e και της φανταστικής μονάδας i είναι:

1) cosi=(e+1)/2∙e

2) sini=(e-1)∙i/2∙e

3) e2-1=2∙i∙e∙sini

4) sini=e-1-e/2∙i

5) e-1-e=2∙i∙sini

6) eln5/2=4∙cos(2∙lni/5∙i)-1

7) eln5/2=4∙sin(3∙lni/5∙i)-1

8) eln5/2=1-4∙cos(6∙lni/5∙i)

9) eln5/2=sec(4∙lni/5∙i)-1

10) eln5/2=csc(lni/5∙i)-1

11) 2∙sin(2∙lni/5∙i)=[3-(1+eln5/2)/2]1/2

2.7 Ακριβείς σχέσεις π,φ και i

Οι 4 ακριβείς σχέσεις μεταξύ της σταθεράς π,της χρυσής τομής φ και της της φανταστικής μονάδας i είναι:

1) sin[(π/2)-i∙lnφ]=√5/2

2) i∙π=ln(φ)+ln(1-φ)

3) π=-5∙i∙log{(1/2)∙[φ+i∙(4-φ2)1/2]}

4) φ=(2∙φ-1)2iπ/5ln(5)+(2∙φ-1)-2iπ/5ln(5)

2.8 Ακριβείς σχέσεις μεταξύ φ,e και i

Οι 3 ακριβείς σχέσεις μεταξύ της χρυσής τομής φ,της σταθεράς e και της της φανταστικής μονάδας i είναι:

1) eiφ=cosφ+i∙sinφ

2) φ=e2lni/5+e-2lni/5

3) eiφ=cos(e2lni/5+e-2lni/5)+i∙sin(e2lni/5+e-2lni/5)

2.9 Ακριβείς σχέσεις φ,π και e

Οι 3 ακριβείς σχέσεις μεταξύ της σταθεράς π,της χρυσής τομής φ και της σταθεράς e είναι:

1) 2∙cos(π/5)=e(1/2)ln(φ/φ-1)

2) 2∙cos(π/5)=e[ln(φ)+ln(1-φ)]/5+e-[ln(φ)+ln(1-φ)]/5

3) φ=e{ln[2cos(π/5)]+ln(2φ-1)}/5+e-iπ{ln[2cos(π/5)]+ln(φ-1)}/5

2.10 Ακριβείς σχέσεις μεταξύ π,e και i

Θα παρουσιάσουμε 10 ακριβείς σχέσεις μεταξύ π,e και i. Στα μαθηματικά,η ταυτότητα του Euler,γνωστή και ως εξίσωση Euler είναι η ισότητα:

1) eiπ+1=0

Άλλες ισοδύναμες ταυτότητες του Euler είναι οι ισότητες:

2) e2iπ-1=0

3) e=i-2i/π

4) ii=(eiπ/2)i

5) ii=e-π/2

6) ii =(eπ)-1/2

7) eiπ=cosπ+i·sinπ

8) e-π=(-1)i

9) eπ=i-2i

10) e2iπ/5-e4iπ/5-e6iπ/5+e8iπ/5=√5

2.11 Ακριβείς σχέσεις μεταξύ π,φ,e και i

Οι 16 ακριβείς σχέσεις που συνδέουν την χρυσή τομή φ,την σταθερά π,την σταθερά e και την φανταστική μονάδα i είναι:

1) eiπ+φ=φ-1

2) eiφ=ei(φ+2π)

3) eiφ=eiφ+2iπ

4) eiφ=cos(φ+2∙π)+i∙sin(φ+2∙π)

5) φ=eiπ/5+e-iπ/5

6) φ=i∙[(eiπ/10)/(1-e-iπ/5)]

7) eiπ/10-e-iπ/10=i/φ

8) 2∙eiπ/5=φ+i∙(3-φ)1/2

9) 2∙eiπ/5=φ+i∙(√5/φ)1/2

10) φ=2∙eiπ/5-2∙i∙sin(π/5)

11) eiπ/10=(i/2∙φ)+(1-1/4∙φ2)1/2

12) φ=(e2iπ/5-e4iπ/5-e6iπ/5+e8iπ/5+1)/2

13) φ2=(eiπ/5+e-iπ/5)2

14) φ2=(e2iπ/5+2+e-2iπ/5)2

15) φ2=-(e4iπ/5+e-24iπ/5)2+1

16) φ2=(eiπ/5+e-iπ/5)+1

Οι σχέσεις αυτές είναι οι πιο σημαντικές στα μαθηματικά γιατί συνδέουν τις τέσσερις βασικές μαθηματικές σταθερές.

2.12 Ακριβής Μαγική σχέση που συνδέει έξι βασικές μαθηματικές σταθερές 0,1,π,φ,e και i

Η παρακάτω σχέση συνδέει έξι βασικές μαθηματικές σταθερές,τον αριθμό 0,τον αριθμό 1,τον αριθμό π,τον αριθμό φ,τον αριθμό e και τον φανταστικό αριθμό i:

eiπ/1+φ+e-iπ/1+φ+eiπ/φ+e-iπ/φ=0

3.Προσεγγιστικές σχέσεις μαθηματικών σταθερών

3.1 Προσεγγιστικές σχέσεις μεταξύ φ και π

Οι 25 προσεγγιστικές σχέσεις μεταξύ της χρυσής τομής φ και της σταθεράς π είναι:

1) π≃φ(π+φ)/2=3,14..........

2) φ≃2∙(logφπ)-π=1,61.........

3) π≃4/√φ=3,14..........

με ακρίβεια σφάλματος 0,01%.

4) π≃6∙φ5/(2∙φ5-1)=3,141.........

5) φ≃(π/2π-6)1/5=1,618...........

6) π≃3∙(φ-3+5)/5=3,141.........

7) π≃6∙φ2/5=3,141.........

με ακρίβεια σφάλματος 0,0001%.

8) φ≃(5∙π/6)1/2=1,6180........

με ακρίβεια σφάλματος 1,2×10-5.

9) (12/7)∙logπ-2∙logφ≃1=0,99997044..........

10) [2∙φ-2-φ-3]-[(√2-1)∙4/π]≃0=0,000470957..........

11) π≃(6/5)∙log2+(24/5)∙logφ=3,14159.........

12) π≃(48∙φ-37)/8∙φ=3,141592.........

13) φ≃37/(48-8∙π)=1,6180339..........

14) π≃[(802∙φ-801)/(602∙φ-601)]4=3,1415926.........

με ακρίβεια σφάλματος 0,0000001%.

15) π≃(27∙52∙4.463/9.181∙φ)1/6=3,1415926.........

16) φ≃27∙52∙4.463/9.181∙π6=1,6180339..........

17) π≃(9.764.064φ+4.867.832/944.055φ+566.433)1/2=3,141592653.............

18) φ≃4.867.832-566.433∙π2/944.055∙π2-9.764.064=1,618033988........

19) φ≃ln(3∙π∙223/35)/ln[(111∙π2/8)+(2/21)]=1,61803398874...........

20) φ≃(355/113∙π)4/565∙93492/35=1,61803398874...........

21) π≃(35/3∙223)·[360·φ-2-2·φ-3+(3∙φ)-5]φ=3,141592653.............

22) π≃(14.212.169/126)-φ=3,1415926535897..............

23) φ≃(14.212.169/126)-π=1,6180339887498...........

24) φ≃151.837.964∙π/294.810.267=1,6180339887498948482...........

25) φ≃11∙(40∙π2+23∙π-70)/(502∙π2-659∙π-185)

φ=1,6180339887498948482...........

3.2 Προσεγγιστικές σχέσεις μεταξύ π και e

Οι 45 προσεγγιστικές σχέσεις μεταξύ της σταθεράς π και της σταθεράς e είναι:

1) π≃2∙e/√3=3,1..........

2) π≃128/15∙e=3,1..........

3) π≃7∙ecos(5/2)=3,14..........

4) π≃(163)1/2/(e)1/3-6=3,14.........

5) Π≃(4∙e-1)1/2=3,14..........

με ακρίβεια σφάλματος 0,01%.

6) e≃9-2∙π=2,71.........

με ακρίβεια σφάλματος 0,01%

7) π≃e+tan(2/5)=3,141.........

8) π≃3/sin(3∙e)=3,141...........

9) π≃(2∙e3+e8)1/7=3,141.........

με ακρίβεια σφάλματος 0,001%

10) π≃[e/(π-e)3/2]1/2=3,141.........

με ακρίβεια σφάλματος 0,00006%

11) e≃(π+1)/π1/e=2,718...........

12) Π9/e8≃10=9,999838798..........

με ακρίβεια σφάλματος 0,002%

13) eπ-π≃20=19,999099979..........

με ακρίβεια σφάλματος 0,005%

14) 3(π+e)/4≃5=4,999973083............

με ακρίβεια σφάλματος 0,000538%

15) e6-Π4-Π5≃0=0,000017673.........

με ακρίβεια σφάλματος 0,000005%

16) (π+e+163)1/2≃13=12,994609439...........

17) eπ-π1-e≃23=23,00081238..........

18) eπ-2∙(4∙π-1)≃0=0,007951404.........

19) (163/e)+(e/163)+(π/163)-60=0,000299061.........

20) eπ≃π2∙[3+(4+√5)1/2])1/2=23,140406827........

21) eπ/πe+πe/eπ≃2=2,000893….......

22) π≃2∙7/(5-e/5)=3,1415.........

23) π≃ln[(7-e2)/2]=3,14159.........

24) e≃(5/931/π)6=2,71828.............

25) π≃[(2+ee)1/2/e]e=3,14159..........

26) π≃(e2/3)+(19/28)=3,14159..........

27) π≃(69/163)+e=3,14159..........

28) π≃(920/157)-e=3,14159........

29) π≃ln[e∙ln(4.979)]=3,141592........

30) π≃[lnln(97+7/5)]e=3,141592.........

31) π≃e75.709/66.137=3,1415926..........

32) π≃2+e709/5.354=3,1415926........

33) e≃42∙π∙[(π/2)-ln(3∙π/2)]=2,71828182..........

με ακρίβεια σφάλματος 0,00000003%

34) e≃2.100∙(10/629)1/2/Π4=2,71828182..........

35) π≃10∙tanh(28∙π/15)-(Π9/e8)≃0=0,0000000006005..........

36) eπ-ln3-(159/5)∙ln2≃0=0,00000000023..........

37) e≃(1,000924472)∙[2∙(4/π)8](π/4)4=2,718281828............

38) (3.730∙π5/e)-(879∙e3/π4)-419.736≃0=0,0000000001622...........

39) e-π/9+e-4π/9+e-9π/9+e-16π/9+e-25π/9+e-36π/9+e-49π/9+e-64π/9-1≃0=0,0000000000010504.....

40) eπ-7∙π-1-(-e2+28∙e+189/634∙e)≃0,000000000000377311.......

41) eπ-7∙π-(365.455/317.913)≃0=0,00000000000002805671.......

42) eπ-{20+π+1/[1.111+1/(11+1/√2)]}≃0=0,000000000000063..........

43) eπ-[17+√3+(172))1/4+ln(ln9)]≃0=0,000000000000025...........

44) e≃[π-(12/ln889)2]-1/4=2,7182818284590...........

με ακρίβεια σφάλματος 2×10-19.

45) π≃(12/ln889)2+e-4=3,14159265358979............

με ακρίβεια σφάλματος 2×10-19. Αυτές οι σχετικά απλές σχέσεις παρατηρούμε ότι έχουν καταπληκτική ακρίβεια.

3.3 Προσεγγιστικές σχέσεις μεταξύ φ και e

Οι 11 προσεγγιστικές σχέσεις μεταξύ της χρυσής τομής φ και της σταθεράς e είναι:

1) φ≃(5∙e+4)/4∙e=1,61..........

2) e≃4/(4∙φ-5)=2,71...........

3) e≃φ2+φ-5+φ-10+φ-13=2,7182.........

4) e≃φ4/(φ+1)∙21/(φ+1)=2,7182.........

5) φ≃(26/e-4)-1=1,6180.............

6) e≃6⋅7⋅φ/52=2,7182........

7) φ≃52∙e/6⋅7=1,6180.............

8) 1/e+1/φ+1/71≃1=0,999997937...........

9) 1/√e+1/φ2+1/87≃1=0,999990924............

10) φ≃[√63∙(3-e)+1]/2=1,61803.........

11) φ≃(711∙e2-906∙e-487)/(175∙e2-56∙e+283)=1,6180339887498948482.......

3.4 Προσεγγιστικές σχέσεις μεταξύ π και i

Η 1 προσεγγιστική σχέση μεταξύ της σταθεράς π και της φανταστικής μονάδας i είναι:

1) (π+20)i≃-1

3.5 Προσεγγιστικές σχέσεις μεταξύ φ,π και e

Οι 28 προσεγγιστικές σχέσεις μεταξύ της σταθεράς π,της χρυσής τομής φ και της σταθεράς e είναι:

1) e≃(φ/eπ-Πe)π/e=2,71........

με ακρίβεια σφάλματος 0,07%

2) φ≃357∙π-412∙e=1,61.........

3) e≃3∙φ-π+1=2,71.........

4) (φ2+e2)/π2-(3/2)12/27≃0=0,000286948..........

5) φ≃e-(π)1/12=1,618..........

6) e≃π+φ+(1-π∙φ)/2=2,718........

7) π≃[(6∙e∙φ3)/7]1/2=3,141..........

8) π≃[φ2+e2-(1/e)2]1/2=3,141.......

με ακρίβεια σφάλματος 0,02%

9) π≃5∙φ∙e/7=3,141.......

με ακρίβεια σφάλματος 1,5×10-5

10) e≃π12/7/φ2=2,7182........

11) e≃[(2∙π2+2∙π-φ-1)/3]-π∙φ=2,7182..........

12) e≃7∙π2/6∙φ3=2,7182...........

13) φ≃[7∙π2/6∙e]1/3=1,6180........

14) φ≃7∙π/5∙e=1,6180.......

με ακρίβεια σφάλματος 1,5×10-5

15) e≃7∙π/5∙φ=2,7182........

με ακρίβεια σφάλματος 1,5×10-5

16) e≃(6∙φ-2∙π+2∙π∙φ)/5=2,71828........

17) φ≃[5∙(1+π)/e]-6=1,6180339........

με ακρίβεια σφάλματος 1×10-6

18) π≃[e∙(φ+6)/5]-1=3,1415926.........

19) φ≃14∙(e19/102∙π22)1/5=1,6180339.........

20) π≃(2∙e/(e-1)-[(2∙φ-1)/(100-36/10−5)]=3,1415926535.........

με ακρίβεια σφάλματος 1×10-9

21) φ≃14∙(e19/102∙π22)1/5∙(10∙e8/π9)1/531=1,6180339887..........

22) (φ+e)314.393.388.446.503/π402.909.889.100.000≃1,0000000000000018..........

23) (φ+e))314.393.388.446.503/402.909.889.100.000≃π=3,14159265358979.........

24) φ≃(1.967.981∙π-314.270∙e)/3.293.083=1,618033988749894...........

με ακρίβεια σφάλματος 2×10-16

25) e≃1.400∙φ-2.410∙π+1.082/906∙φ-1.016∙π+172=2,71828182845904523..........

26) φ≃-π2+2∙π-3∙e-13+√2-log2-log3/-3∙π3-π-e+7∙√2+7∙√3-3∙log2

Με αριθμητική τιμή για την χρυσή αναλογία φ=1,618033988749894848...........

27) φ≃(1/42)∙[22∙π2-56∙e2+50∙π-34∙e-5∙(1+e2)1/2+7∙(1+e)1/2+20∙(1+π2)1/2-24∙(1+π)1/2-1]

Με αριθμητική τιμή για την χρυσή αναλογία φ=1,6180339887498948482...........

28) e≃(45.483∙φ-2.961∙π-18.765)/16.748

Αυτή η προσεγγιστική σχέση έχει την μεγαλύτερη ακρίβεια με αριθμητική τιμή για την σταθερά e=2,718281828459045235360........

3.6 Προσεγγιστική σχέση μεταξύ i,π και e

Η 1 προσεγγιστική σχέση που συνδέει την χρυσή τομή φ,την σταθερά π,την σταθερά e και την φανταστική μονάδα i είναι:

1) πie-1≃2=1,99977658867.............

3.7 Προσεγγιστική σχέση μεταξύ φ,i,π και e

φ2+e2+(i/e)]2≃π2

με ακρίβεια σφάλματος 0,02%

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

[1] www.en.wikipedia.org/

[2] www.wolframalpha.com/

[3] www.math.stackexchange.com/

[4] www.mathworld.wolfram.com/

[5] www.numberempire.com/

[6] http://www.contestcen.com/pi.htm

[7] https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/p/p303.htm

[8] https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/e/e001.htm

[9] https://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_050.htm

[10] Panagiotis Stefanides http://www.stefanides.gr/Html/pi.html

[11] Frank Michael Jackson Extending Euler's identity to include Phi, the golden ratio

www.researchgate.net/publication/292983417_Extending_Euler's_identity_to_include_Phi_the_golden_ratio

[12] Binh Ho On the Approximate Relationship between Pi, Euler’s Number, and the Golden Ratio Constant

DOI: 10.13140/RG.2.2.17490.91843

[13] William H. Press Seemingly Remarkable Mathematical Coincidences Are Easy to Generate

https://web.archive.org/web/20120312092311/http://www.nr.com/whp/NumericalCoincidences.pdf

[14] Michele Nardelli,Antonio Nardelli On the Ramanujan’s Fundamental Formula for obtain a highly precise Golden Ratio: mathematical connections with Black Holes Entropies and Like-Particle Solutions https://vixra.org/pdf/1909.0456v1.pdf

PHYSIC LESSONS

ΑΡΧΙΚΗ

Ενοποίηση της σταθεράς του Αρχιμήδη π,της χρυσής τομής φ,του αριθμού Euler e και του φανταστικού αριθμού i