جدوع

تطبيق و تمرين محلول للقيمة المطلقة في حل المعادلات

noreply@blogger.com (khoukhi) — Tue, 13 Oct 2015 14:07:00 -0700

القيمة المطلقة لعدد حقيقي نكتبها بين عارضتين عموديتين، مثلا القيمة المطلقة للعدد الحقيقي x نكتبها | x | و هي تساوي x إذا كان x موجبا و تساوي x- إذا كان x سالبا. في هذا الدرس نعطي تعريفا للقيمة المطلقة ونذكر بمفهوم مسافة عدد عن الصفر ثم نستعرض خاصية هامة يتم توظيفها في حل المعادلات التي تتضمن القيمة المطلقة.

القيمة المطلقة لعدد حقيقي - مسافة عدد عن 0 :

1- ترميزات + تعريفات وخاصيات + أمثلة :

تعريف :

القيمة المطلقة لعدد حقيقي موجب x هي x نفسه : x | = x |

مثال : 3 = | 3 | و 9.81 = | 9.81 |

القيمة المطلقة لعدد حقيقي سالب x هي مقابل x | = -x : x |

مثال : 5- = | 5- | و 13- = | 13-|

نتائج هامة :

1) القيمة المطلقة لعدد حقيقي تكون دائما موجبة :

لكل x من IR لدينا : 0 ≤ | x |

2) x عدد حقيقي :
إذا كان 0 ≥ x فإن : x | = -x |
إذا كان 0 ≤ x فإن : x | = x |

ملاحظـــة هامة : x- هو إذن عدد موجب.
يجب أن نفهم أنه إذا كان مثلا x = -3 فإن 3 = (x = - (-3- أي أن x > 0-.

2- مفهوم المسافة عن الصفر :

تعريف :

على المسقيم المدرج، القيمة المطلقة لعدد حقيقي تساوي مسافة هذا العدد عن الصفر
نرمز لمسافة عدد حقيقي a عن الصفر ب (d(0 ; a ونكتب | d(0 ; a) = | a

أمثلــــة :

نكتب: 4.5 = | d(0 ; 4.5) = | 4.5

نكتب : 2.5 = | d(0 ; -2.5) = | -2.5

نكتب : 3 =| 3 - | = | d(0 ; 3) = d(0 ; -3) = | 3

جرب بنفسك ( أسحب النقطة الحمراء )

ملاحظـــة هامة : عددان متقابلان لهما نفس المسافة عن الصفر أي أن :| x | = | -x | لكل x عدد حقيقي.

خاصية :

x و y عددان حقيقيان :

مثــــال :
3.8 = | x | تعني أن x = 3.8 أو x = -3.8
3.8 = | x | هي معادلة بمجهول x و مجموعة حلولها تتضمن العددين 3.8 و 3.8-.

3- تطبيق على حل المعادلات التي تتضمن القيمة المطلقة

تمرين :

حل في IR المعادلات التالية :

الحــــل :

إذن حلي هذه المعادلة هما : 17/2 و 11/2- و نكتب { 17/2 ; 11/2- } = S حيث S هي مجموعة حلول هذه المعادلة.

إذن حلي هذه المعادلة هما : 8- و 2/5- و نكتب { 8- ; 2/5- } = S حيث S هي مجموعة حلول هذه المعادلة.

مجموعة حلول هذه المعادلة فارغة لأن القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة ( أنظر نتيجة رقم 2 )

إذن هذه المعادلة تقبل حلا و حيدا هو : 8- و نكتب { 8- } = S حيث S هي مجموعة حلول هذه المعادلة.

تطبيقات و تمرين محلول على الأعداد الزوجية و الأعداد الفردية

noreply@blogger.com (khoukhi) — Sun, 13 Sep 2015 06:25:00 -0700

في هذا الدرس جميع الأعداد المستعملة هي صحيحة طبيعية ( 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ...). سنميز بين نوعين من هذه الأعداد : الزوجية منها و الفردية، ثم نستعرض خاصيات العمليات الأربع على الأعداد الزوجية و الفردية مشفوعة بأمثلة تطبيقية وبراهين و تمرين محلول :

1- تعريفات و خاصيات أساسية :

1.1- العدد الزوجي - العدد الفردي :

تعريف 1:

تعريف 1 :

العدد الزوجي هو عدد من مضاعفات العدد 2.

بتعبير أخر : ﻧﻘﻮل إن اﻟﻌﺪد اﻟﺼﺤﻴﺢ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ a ﻋﺪد زوﺟﻲ
إذا وﻓﻘﻂ كان ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻃﺒﻴﻌﻲ k ﺣﻴﺚ a = 2k

(عدد صحيح ) × 2 = عددزوجي .

أمثلة 1:
0 ، 2 ، 4 ، 6 ، 34 ، 20648 ... هي أعداد زوجية.

3 × 2 = 6 ، 17 × 2 = 34 ، 10324 × 2 = 20648

العدد الزوجي حتما ينتهي ب 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8.

تعريف 2:

تعريف 2 :

العدد الفردي هو عدد غير زوجي.

بتعبير أخر : ﻧﻘﻮل إن اﻟﻌﺪد اﻟﺼﺤﻴﺢ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ b ﻋﺪد فردي
إذا وﻓﻘﻂ كان ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻃﺒﻴﻌﻲ n ﺣﻴﺚ 1 +b = 2n

1 + (عدد صحيح ) × 2 = عدد فردي .

أمثلة 2:
1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 29 ، 8641 ... هي أعداد فردية.

1 + 0×2 = 1 ، 1 + 3×2 = 7 ، 1 + 14×2 = 29

العدد الفردي حتما ينتهي ب 1 أو 3 أو 5 أو 7 أو 9.

هام :

دراسة زوجية عدد تعني : تحديد هل العدد زوجي أم فردي

عددان لهما نفس الزوجية يعني إما هما فرديان معا أو زوجيان معا.

1.2- جمع الأعداد الزوجية و الفردية

ينتج عن عملية الجمع أو الطرح بين عددين لهما نفس الزوجية، عدد زوجي.
عدد زوجي + عدد زوجي = عدد زوجي، مثال : 10 = 4 + 6
عدد فردي + عدد فردي = عدد زوجي، مثال : 8 = 3 + 5
ينتج عن عملية الجمع أو الطرح بين عددين ليس لهما نفس الزوجية، عدد فردي.
عدد فردي + عدد زوجي = عدد فردي، مثال: 9 = 4 + 5
عدد زوجي+ عدد فردي = عدد فردي، مثال: 15 = 13 + 2

خاصية 1:

خاصية 1 :

مجموع عددين صحيحين طبيعيين لهما نفس الزوجية هو عدد زوجي.
مجموع عددين صحيحين طبيعيين مختافي الزوجية هو عدد فردي.

يمكن أن نلخص هذه الخاصية في الجدول التالي :

فردي	زوجي	+
فردي	زوجي	زوجي
زوجي	فردي	فردي

1.3- ضرب الأعداد الزوجية و الفردية

ينتج عن عملية الضرب بين عددين زوجيين، عدد زوجي.
عدد زوجي × عدد زوجي = عدد زوجي، مثال : 16 = 2 × 8
ينتج عن عملية الضرب بين عددين فرديين، عدد فردي.
عدد فردي × عدد فردي = عدد فردي، مثال : 21 = 3 × 7
ينتج عن عملية الضرب بين عدد زوجي و أخر فردي، عدد زوجي.
عدد فردي × عدد زوجي = عدد زوجي، مثال: 20 = 4 × 5 و 26 = 13 × 2

خاصية 2 :

خاصية 2 :
الحالة الوحيدة التي يكون فيها جداء عددين صحيحين طبيعيين فرديا هي عندما يكونان معا فرديان .

يمكن أن نلخص ذلك في الجدول التالي :

فردي	زوجي	×
زوجي	زوجي	زوجي
فردي	زوجي	فردي

البرهان على الخاصية 1 و 2

ليكن a و b عددان صحيحان طبيعيان.
إذا كان a و b زوجيان فإنه يوجد عددان صحيحان طبيعيان k و 'k حيث :

a = 2k و ' b = 2k

('a + b = 2k + 2k' = 2×(k+k

'a × b = 2k × 2k' = 2×kk

إذن a + b و ab عددان زوجيان.

إذا كان a و b فرديان فإنه يوجد عددان صحيحان طبيعيان k و 'k حيث :

1 + a = 2k و 1 +' b = 2k

1 +('a + b = 2k + 1 + 2k' + 1= 2×(k+k

a × b = (2k+1)(2k'+1) = 4kk' + 2k + 2k' + 1 = 2×(2kk' + k + k') + 1

إذن a + b و ab عددان فرديان.

إذا كان أحد العددين فرديا و الأخر زوجيا، مثلا :

1 + a = 2k و b = 2n

1 +(a + b = 2k + 1 + 2n= 2×(k+n

(a × b = 2n(2k+1) =2×( 2nk + n

إذن a + b فردي و ab زوجي.

1.4 مربع عدد زوجي أو فردي

مربع عدد زوجي هو عدد زوجي، مثال : 16 = 4²

مربع عدد فردي هو عدد فردي ، مثال : 9 = 3²

خاصية 3:

خاصية 3 :

n عدد صحيح طبيعي:

إذا كان n فرديا فإن n² فرديا و إذاكان n زوجيا فإن n² زوجيا.

1.5 عددان متتابعان

عددان صحيحان متتابعان يكون فرقهما هو 1، فمثلا إذا كان n هو العدد الأول فإن العدد الذي يليه هو n +1 و العدد الذي يسبقه هو n-1.


		تابعه	العدد	سابقه
....	n + 2	n + 1	n	n - 1	n - 2	...

خاصية 4:

خاصية 4 :

مجموع عددين صحيحين طبيعيين متتابعين هو عدد فردي.
جداء عددين صحيحين طبيعيين متتابعين هو عدد زوجي.

البرهان على الخاصية 3 و 4 :
المربع : ليكن n عدد صحيح طبيعي.
إذا كان n زوجيا فإن n يكتب على شكل n = 2k حيث k عدد صحيح طبيعي.

(n² = (2k)² = 4k² = 2 × (2k²

إذن n عدد زوجي.
إذا كان n فرديا فإن n يكتب على شكل n = 2p+1 حيث p عدد صحيح طبيعي.

1 +(n² = (2p+1)² = 4p² + 4p + 1= 2 × (2p²+p

إذن n عدد فردي.
عددان متتابعان : ليكن n عدد صحيح طبيعي.

n + (n + 1) = 2n + 1

n (n + 1) = n² + n

في حالة الجمع لدينا مجموع العددين المتتابعين يكتب على شكل 2n + 1 و بالتالي فهو عدد فردي، أما في حالة الضرب لدينا العددان n و n² لهما نفس الزوجية ( أنظر خاصية رقم 3 ) إذن n² + n سيكون زوجيا (أنظر خاصية رقم 1 ).

تمرين محلول :

نص التمرين :
n عدد صحيح طبيعي
1) بسط العدد A حيث : A = (n + 1 )² - n²
2) أدرس زوجية العدد A
3) إستنتج أن كل عدد فردي يمكن كتابته على شكل فرق مربع عددين متتابعين.
4) أكتب 5 و 13 و 21 على شكل فرق مربع عددين متتابعين.
5) أحسب المجموع S حيث :

S = 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 2011 + 2013 + 2015

الجواب :

حل التمرين :

1) نبسط العدد A :

يمكنك أيضا تبيسط A عن طريق التعميل كمايلي :

2) زوجية العدد A :
العدد A يكتب على شكل 2n + 1 إذن فهو عدد فردي ( أنظر تعريف عدد فردي ).
3) الإستنتاج :
ليكن k عدد صحيح طبيعي فردي إذن يوجد عدد صحيح طبيعي n حيث : k = 2n + 1 أي أن n = (k - 1)/2
بإستعمال نتيجة السؤال السابق و علما أن k فردي إذن يمكن كتابته على شكل فرق مربع عددين متتابعين :

لاحظ أن k +1)/2) و k - 1)/2) هما عددان صحيحان طبيعيان ( لأن k فردي و بالتالي العدد الذي سيليه k+1 سيكون زوجي أي أن k+1 يقبل القسمة على 2، ... الأمر نفسه بالنسبة ل k-1 ).
أيضا يمكنك ملاحظة أن العددين k +1)/2) و k - 1)/2) متتابعين (نحسب الفرق و نجده يساوي 1) :

4) كتابة 5 و 13 و 21 على شكل فرق مربع عددين متتابعين :
5 يكتب على شكل 1 + 2 × 2 أي أن n = 2 إذن حسب ما سبق لدينا :

5 = ( 2 + 1 )² - 2² = 3² - 2² ( Vérification : 3² - 2²= 9 – 4 = 5 )

13 يكتب على شكل 1 + 6 × 2 أي أن n = 6 إذن حسب ما سبق لدينا :

5 = ( 6 + 1 )² - 6² = 7² - 6² ( Vérification : 7² - 6²= 49 – 36 = 13 )

21 يكتب على شكل 1 + 10 × 2 أي أن n = 10 إذن حسب ما سبق لدينا :

5 = ( 10 + 1 )² - 10² = 11² - 10² ( Vérification : 11² - 10²= 121 – 100 = 21 )

5) حساب المجموع : S = 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 2011 + 2013 + 2015
لدينا

1 = 1² - 0²

3 = 2² - 1²

5 = 3² - 2²

7 = 4² - 3²

….

2011 = 1005² - 1004² ( car 2011 = 2 x 1005 + 1 )

2013 = 1006² - 1005² ( car 20013 = 2 x 1006 + 1 )

2015 = 1007² - 1006² ( car 2015 = 2 x 1007 + 1 )

نجمع المتساويات طرف بطرف فنجد أن :

S=(1² - 0²)+(2² - 1²)+(3² - 2²)+(4² - 3²)+ …+(1005² - 1004²)+(1006² - 1005²)+(1007² - 1006² )

بعد إزالة الأقواس نحصل على :

S = 1² - 0²+ 2² - 1² + 3² - 2² + 4² - 3² + …… + 1005² - 1004² + 1006² - 1005² + 1007² - 1006²

نختزل الحدود المتقابلة ( 1² و 1²- ثم 2² و 2²- حتى ..... 2006² و 2006²- ) فنحصل على :

S = - 0²+ 1007²
S = 1007²
S = (1000 + 7)²
S = 1000² + 2×7×1000 + 7²

S = 1 000 000 + 14 000 + 49
S = 1 014 049

كيف نتعرف على الأعداد الأولية تمارين وحلول

noreply@blogger.com (khoukhi) — Tue, 8 Sep 2015 17:23:00 -0700

لقد كانت الأعداد هي أول ما ظهر من علوم الرياضيات لكونها أقرب هذه العلوم إلى واقع الإنسان ، و تمتلك بعض الأعداد خصائص سحرية و غريبة جعلتها تجذب بال العلماء و الرياضيين و منها الأعداد الأولية

تمتلك الأعداد الأولية خصائص فريدة من نوعها من حيث كونها غير منتظمة وبالتالي عدم إمكانية التخمين بها ، و لكونها أصل جميع الأعداد حسب النظرية الأساسية في الحساب. في هذا الدرس تذكيرسريع حول الأعداد الأولية مرفوق بتمارين و حلول :

1- ماهو العدد الأولي و كيف نتعرف عليه ؟

1.1 تعريف :

تعريف :

نقول عن عدد صحيح طبيعي n أنه أولي إذا وفقط إذا كان له قاسمان مختلفان فقط.

أمثلة :
* 2 عدد أولي لأن له قاسمان فقط هما 1 و 2 .
* 6 ليس عددا أوليا لأن له أكثر من قاسمين وقواسمه هي : 1٬2٬3٬6 .
* 1 ليس عددا أوليا لأن له قاسم واحد فقط هو 1.
* 0 ليس عددا أوليا لأنه يقبل القسمة على كل عدد طبيعي.
* 17 عدد أولي لأن له قاسمان فقط هما 1 و 17.

1.2 مبرهنة :

مبرهنة :

كل عدد صحيح طبيعي n غير أولي (n يخالف 0 , n يخالف 1 ) يقبل على الأقل قاسما أوليا d بحيث : d² أصغرمن أو يساوي n

البرهان :

بما أن n غير أولي ويختلف عن 1 وعن 0 فإنه يقبل على الأقل قاسما يختلف عن n وعن 1 .
ليكن d أصغر هذه القواسم: كل قاسم للعدد d هو قاسم للعدد n وهو أصغر من d وبالتالي لا يمكن أن يكون للعدد d أي قاسم أصغر من d ماعدا 1، إذن العدد d أولي.
بوضع : n = dq، العدد q قاسم للعدد n وهو يختلف عن 1 وعن n :
إذن : d ≤ q أي أن d² ≤ dq ومنه d² ≤ n

1.3 البحث عن الأعداد الأولية :

من المبرهنة السابقة نستنتج ما يلي :

نتيجة :

إذا كان n عددا طبيعيا أكبر من 1 وكان لا يقبل أي قاسم أولي d حيث d² ≤ n فإن n أولي.

مثال :

هل العدد 191 أولي ؟
نقوم بقسمة العدد 191 على كل من الأعداد الأولية d ثم نحسب d² في كل مرة كما يلي :

d	2	3	5	7	11	13	17
d²	4	9	25	49	121	169	289
قابلية القسمة	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل

بمأن : 191 < 17² و 17 لا يقسم 191 فإن 191 عدد أولي.

1.4 ماهو التفكيك الأولي ؟ و كيف نفككك (أو نحلل) عدد إلى جداء عوامل أولية ؟

الشرح و الأمثلة تجدها في هذه الصفحة :

الأعداد الأولية و طريقة التفكيك إلى جداء عوامل أولية

في البرمجية التالية يمكنك أن تختار أي عدد تريد، سنخبرك إن كان عددا أوليا أو نعطيك التفكيك الأولي إلى جداء عوامل أولية في حالة العكس . جرب :

2 - تمارين محلولة حول الأعداد الأولية

2.1 التمرين الأول :

نص التمرين :

1) أدرس أولية الأعداد التالية :

97 ، 111 ، 259

2) حل في مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية المعادلة التالية :

x² - y² = 97

الحل :

هل العدد 97 أولي ؟
نقوم بقسمة العدد 97 على كل من الأعداد الأولية d ثم نحسب d² في كل مرة كما يلي :

d	2	3	5	7	11
d²	4	9	25	49	121
قابلية القسمة	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل

بمأن : 97 < 11² و 11 لا يقسم 97 فإن 97 عدد أولي.
هل العدد 111 أولي ؟
العدد 111 يقبل القسمة على 3 ( لأن : 3 = 1+1+1 ) إذن لائحة قواسمه تتضمن أثر من قاسم و بالتالي العدد 111 غير أولي.

هل العدد 259 أولي ؟
نقوم بقسمة العدد 259 على كل من الأعداد الأولية d ثم نحسب d² في كل مرة كما يلي :

d	2	3	5	7	11	13	17
d²	4	9	25	49	121	169	289
قابلية القسمة	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل

بمأن : 259 < 17² و 17 لا يقسم 259 فإن 259 عدد أولي.
نحل المعادلة : x² - y² = 97
المعادلة السابقة تكافئ : x - y )( x + y ) = 97)
بمأن x - y < x + y فإن x + y = 97 و x - y = 1
وبجمع طرفي المعادلتين نحصل على 2x = 98 أي أن x = 49 و منه y = 48
حل المعادلة السابقة هو : ( 48 ; 49 )

2.2 التمرين الثاني :

نص التمرين :

1) فكك إلى جداء عوامل أولية مايلي :

C = 45×100 ، B = 80×77 ، A = 44×50

2) إستنتج قاسمهم المشترك اﻷكبر و مضاعفهم المشترك الأصغر.

3) أثبت أن :

الحل :

ملاحظة : في السؤال رقم 2 إعتمدنا القاعدة التالية

قاعدة :

اﻟﻘﺎﺳﻢ اﻟﻤﺸﺘﺮك اﻷكبر ﻟﻌﺪدﻳﻦ هﻮ ﺟﺪاء اﻟﻌﻮاﻣﻞ اﻷوﻟﻴﺔ اﻟﻤﺸﺘﺮكة ﺑﻴﻦ ﺗﻔﻜﻴﻜﻲ هﺬﻳﻦ اﻟﻌﺪدﻳﻦ و اﻟﻤﺮﻓﻮﻋﺔ إﻟﻰ أﺻﻐﺮ أس.
المضاعف اﻟﻤﺸﺘﺮك الأصغر ﻟﻌﺪدﻳﻦ هﻮ ﺟﺪاء اﻟﻌﻮاﻣﻞ اﻷوﻟﻴﺔ اﻟﻤﺸﺘﺮكة و الغير المشتركة ﺑﻴﻦ ﺗﻔﻜﻴﻜﻲ هﺬﻳﻦ اﻟﻌﺪدﻳﻦ و اﻟﻤﺮﻓﻮﻋﺔ إﻟﻰ أكبر أس.

يمكنك مراجعة مثال على القاعدة السابقة من هنا.

الحساب المتجهي في المستوى : مجموع متجهتين

noreply@blogger.com (khoukhi) — Fri, 7 Nov 2014 01:58:00 -0800

في هذا الدرس نتعرف على الجمع المتجهي من خلال طريقتين لإنشاء مجموع أو فرق متجهتين بإستعمال علاقة شال و قاعدة متوازي الأضلاع. نتناول كذلك تطبيقات تتضمن إختبار معلومات و تمرين محلول و تمارين للإنجاز الفردي :

مجموع متجهتين :

قبل البدء، يمكنك مراجعـــة صفحة : تساوي متجهتين

1) علاقـــــة شال - Relation de Chasles

ميشال فلوريال شال

ميشال فلوريال شال هو عالم رياضيات فرنسي ولد في الخامس عشر من نوفمبر عام 1793 وتوفي في الثامن عشر من ديسمبر عام 1880.درس في المدرسة المتعددة التقنيات في باريس. في عام 1865، حصل على وسام كوبلي.

المتساوية السابقة تعرف بعلاقة شال.

في البرمجية التالية يمكنك تتبع مراحل إنشاء مجموع متجهتين بإستعمال علاقة شال. إضغط زر تشغيل، في أي لحظة يمكنك إيقاف التشغيل و تتبع مراحل الإنجاز من خلال مؤشر المزلقة بلون أحمـــر :

2) قاعدة متوازي الأضلاع

تتبع مراحـــل إنشاء مجموع متجهتين بإعتماد طريقة متوازي الأضلاع، إضغط زر تشغيل :

تمارين تطبيقية :

1) إختبار معلومات :

2) تمرين محلول :

تمرين 1 :
ABCD متوازي الأضلاع، I و J منتصفي القطعتين [AB] و [DC] على التوالي و K نقطة من المستقيم (AD) بين أن :

الجواب :

3) تمارين للإنجاز الفردي :

الحساب المتجهي في المستوى : تساوي متجهتين

noreply@blogger.com (khoukhi) — Sun, 2 Nov 2014 09:49:00 -0800

في الرياضيات، وبشكل خاص في التحليل الاتجاهي، المُتجــهــة هو سهم يتجه من نقطة إلى أخرى. تتحدد كل متجة بعناصر هي : نقطة التأثير وهي النقطة التي تنطلق منها المتجهة، المنظم وهو كمية قياسية تُمَثًّل بطول المتجهة، المنحى ويكون من نقطة إنطلاق السهم إلى نقطة النهاية، الإتجاه و يعبر عن صنف التوازي الذي يتضمن المتجهة.

المثال المشهور للمتجهة هو القوة الفيزيائية، فإن له مقدارًا واتجاهًا في فضاء ثلاثي الأبعاد ونقطة تأثير، كما تتبع قاعدة جمع المتجهات (حسب قاعدة متوازي الأضلاع) عندما نريد جمع قوى متعددة.

نفس المنحى : A نحو B هو نفسه C نحوD.
نفس المنظم : AB = CD
نفس الإتجاه : (AB) // (CD).

تساوي متحهتين :

تعريف :
لتكن A و B و C وD أربع نقط من المستوى (P). حيث A تخالف B وC تخالف D.
نقول إن للمتجهتين AB وCDمتساويتان و نكتب AB=CDإذاكان :
* لهما نفس الإتجاه
* لهما نفس المنحى
* لهما نفس المنظم

خاصية 1 :

خاصية :
A وB و C و D أربع نقط من المستوى.
AB=DC يعني أن ABCD متوازي الأضلاع

قم بمسك و تحريك النقط بلون أصفر :

خاصية 2 :

خاصية :
لكل متجهة u ولكل نقطة من المستوى(P) توجد نقطة B وحيدة حيث u=AB.

نتائـــج :

AB=AN تعنـــي أن M = N
AM=0 تعنـــي أن M = A
0 تسمى المتجهة المنعدمة

طريقة حل المعادلة المثلثية من النوع sinx=a

noreply@blogger.com (khoukhi) — Fri, 28 Feb 2014 07:19:00 -0800

طريقة حل هذه المعادلة لا يختلف كثيرا عن طريقة حل المعادلة من النوع cosx = a ،يمكنك مراجعتها على هذه الصفحة : المعادلة من النوع cosx = a.

في هذا الدرس نشرح كيفية حل المعادلة sin x = a بإستعمال الدائرة المثلثية و نرفقها بأمثلة تطبيقية و تمارين محلولة و أخرى للإنجاز الفردي :

حلول المعادلة يكون مرتبط بقيمة العدد a و بالتالي يسهل حل المعادلة sin x = a في الحالات من 1 إلى 3 :

مثلا : مجموعة حلول المعادلة sin x = 2 هي فارغة لان (a=2) أكبر قطعا من 1.

في الحالة الرابعة حيث يكون العدد a محصور قطعا بين 1- و 1 نتبع المراحل التالية :

1. نكتب المعادلة السابقة على شكل : sin X = sin Y
2. نطبق القاعدة التالية :

3. نجد الحلول وفق المجموعة المرجعية.

أمثلة وحلول :

مثال 1 : حل في IR ثم في [ π ; 3π- [ المعادلة التالية :
2sinx = 1

الجواب :
أ - حلول المعادلة في IR :

ب- حلول المعادلة في [ π ; 3π- [ :
كي نجد الحلول في المجال [ π ; 3π- [ يكفي ان نجد قيم العدد الصحيح النسبي k و ذلك من خلال تأطير الحلين العامين بين π- و3π :

مثال 2 : حل في IR ثم في [ π ; π- [ المعادلة التالية :

الجواب :

مثال 3 : حل في IR المعادلة التالية :

الجواب :

تمارين للإنجاز الفردي :

تساوي دالتين : كيف نبين أن دالتين متساويتين ؟

noreply@blogger.com (khoukhi) — Tue, 18 Feb 2014 10:29:00 -0800

ﺗﻜﻮن دالتان عدديتان f و g ﻣﺘﺴﺎوﻳﺘﻴﻦ اذا وﻓﻘﻂ اذا كان ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ D و ﻟﻜﻞ x ﻣﻦ D لدينا (f(x) = g(x. في هذا الدرس نتناول طريقة تبيان دالتين عدديتين متساويتين من خلال أمثلة مشروحة و تمارين محلولة :

يمكنك مراجعة كيفية تحديد حيز تعريف دالة على هذه الصفحة : تحديد مجموعة التعريف

تعريف :

ﺗﻜﻮن دالتان عدديتان f و g ﻣﺘﺴﺎوﻳﺘﻴﻦ اذا وﻓﻘﻂ اذا كان ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ D و ﻟﻜﻞ x ﻣﻦD لدينا (f(x) = g(x

طريقة و منهجية :
لكي نبين أن دالتين f و g متساويتين نثبت أن:

ل f و g نفس مجموعة التعريف D
لكل x من مجموعة التعريف : (f(x) = g(x.

أمثلة وحلول :

ﻗﺎرن اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻌﺪدﻳﺘﻴﻦ f و g ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ :

الجواب :

تمرين للإنجاز الفردي

ﻗﺎرن اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻌﺪدﻳﺘﻴﻦ f و g ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻓﻲ الحالات التالية :

تمارين محلولة حول المعادلة المثلثية من النوع cos(x)=a

noreply@blogger.com (khoukhi) — Sun, 16 Feb 2014 14:08:00 -0800

في هذا الدرس أمثلة و تمارين محلولة للمعادلة المثلثية من النوع cos(x) = a. يمكنك مراجعة الدرس و التعرف على طريقة حلها من خلال أمثلة و معادلات بسيطة على هذه الصفحة : المعادلة من النوع cos x = a.
لحل هذا النوع من المعادلات نتبع المراحل التالية :

نكتب المعادلة السابقة على شكل : cos X = cos Y
نطبق القاعدة التالية :
نجد الحلول وفق المجموعة المرجعية

أمثلة محلولة :

مثال 1 : حل في IR ثم في [ π ; π- [ المعادلة التالية :
cos 3x = 0

الجواب :

مثال 1 : حل في IR المعادلة التالية :
cos x/2 = - cos 2x

الجواب :

مثال 3 : حل في IR المعادلة التالية :
2cos² 2x - cos 2x - 1 = 0

الجواب :

طريقة حل معادلة لا جدرية يؤول حلها إلى حلها إلى معادلة من الدرجة الأولى أو الثانية بمجهول واحد

noreply@blogger.com (khoukhi) — Mon, 27 Jan 2014 12:18:00 -0800

في هذا الدرس نشرح عن طريق مجموعة من الأمثلة و التمارين المحلولة كيفية حل معادلة لا جدرية يؤول حلها إلى حلها إلى معادلة من الدرجة الأولى أو الثانية بمجهول واحد.

نقصد بمعادلة لا جدرية كل معادلة يتضمن أحد طرفيها (أو هما) معا جدرا مربعا بداخله المجهول x : سنبين طريقة حل معادلات من النوع (A(x) =B(x√ و (A(x) =√B(x√.

1- المعادلة (A(x) =√B(x√

منهجية و طريقة :

لحل هذا النوع من المعادلات نتبع المراحل التالية :

نحدد D مجموعة تعريف المعادلة : "تكون هذه المعادلة معرفة إذا و فقط إذا كان A(x) ≥ 0 و B(x) ≥ 0."
نرفع طرفي المعادلة إلى المربع للتخلص من الجدر التربيعي.
نبسط المعادلة ثم نحلها في IR.
نكتب S مجموعة الحلول بمراعاة مجموعة التعريف المحددة سلفا.

مثال تطبيقي :

حل في IR المعادلة :

الجـــــواب :
نحـــــل في IR المعادلة (e) :

2- المعادلة (A(x) =B(x√

منهجية و طريقة :

لحل هذا النوع من المعادلات نتبع المراحل التالية :

نحدد D مجموعة تعريف المعادلة
نرفع طرفي المعادلة إلى المربع للتخلص من الجدر التربيعي.
نبسط المعادلة ثم نحلها في IR.
نكتب S مجموعة الحلول بمراعاة مجموعة التعريف المحددة سلفا.

مثال تطبيقي :

حل في IR المعادلة :

الجـــــواب :
نحـــــل في IR المعادلة (f) :

طريقة حل المتراجحة من الدرجة الثانية بإستعمال المميز و جدول الإشارة

noreply@blogger.com (khoukhi) — Sun, 26 Jan 2014 11:38:00 -0800

في درس سابق تعرفنا على طريقة دراسة إشارة ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية على مجموعة الأعداد الحقيقية IR، سنستغل هذه الطريقة لحل متراجحات من الدرجة الثانية بمجهول واحد.

حل في مجموعة الأعداد الحقيقية متراجحة من الدرجة الثانية بمجهول واحد، يعني تحديد مجموعة القيم العددية التي يحقق فيها المجهول المتفاوتة المعطاة. فيما يلي مجموعة من الأمثلة المحلولة تشرح طريقة حل هذا النوع من المتراجحات بإستعمال المميز و جدول الإشارة :

تعريف :

تعريف : نعتبر ثلاثية الحدود : P(x) = ax² + bx + c
كل متفاوتة على الشكل : P(x) < 0 أو P(x) > 0 أو P(x) ≥ 0 أو P(x) ≤ 0 تسمى متراجحة من الدرجة الثانية.

بصفة عامة :

دراسة إشارة ثلاثية الحدود : ax² + bx + c

أمثلة تطبيقية :

حل في IR المتراجحات التالية :

(1) : لنحل في IR المتراجحة : 3x² - 2x - 8 > 0

(2) : لنحل في IR المتراجحة : x² - 2x + 15 ≤ 0

(3) : لنحل في IR المتراجحة (3) :

إشارة ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية : جدول إشارة ax²+bx+c

noreply@blogger.com (khoukhi) — Sat, 25 Jan 2014 10:42:00 -0800

في الرياضيات، دراسة إشارة ثلاثية الحدود في IR يعني تحديد إشارة التعبير ax² + bx + c تبعا لقيم المجهول x عندما يتغير في مجموعة الأعداد الحقيقية. هذه الدراسة يمكن تلخيصها في ما يسمى بجدول إشارة ثلاثية الحدود.

في هذا الدرس نشرح طريقة بناء جدول إشارة ثلاثية الحدود إعتمادا على مميزها ( دلتا ) و الذي يمكن أن يكون على ثلاث حالات من خلاله ندرس و نناقش الإشارة بحسب القيم العددية المحتملة للمجهول x :

1- في الحالة العامة :

2 - أمثلة تطبيقية :

أدرس في إشارة التعابير التالية :

الجواب :
دراسة إشارة (A(x :

دراسة إشارة (B(x :

دراسة إشارة (C(x :

دراسة إشارة (D(x :

طريقة إكمال المربع لحل معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد

noreply@blogger.com (khoukhi) — Tue, 21 Jan 2014 12:20:00 -0800

هذه الطريقة تستعمل لحل المعادلات من الدرجة الثانية بمجهول واحد و أيضا لتعميل ثلاثيات الحدود. الشكل في هذه التقنية هو كتابة المعادلة التربيعية على الصورة : x² + bx = c و المبدأ هو إكمال المربع في العدد x² + bx و بالتالي الحصول على مربع كامل في الطرف الأيسر من المعادلة و على عدد أخر في الطرف الأيمن من خلاله نناقش حلول المعادلة :

شرح طريقة إكمال المربع :

بصفة عامة :

نعتبر التعبير x² + bx حيث x يوجد في حدي المجموع، كيف يمكنك أن تكتبه على شكل مجموع أو فرق لمربع كامل و عدد تابث ؟

هندسيا، يمكن أن نفكر هكذا :

كما تلاحظون يمكن ترتيب التعبير x² + bx في مربع مساحته x+b/2)²) منقوص منه المربع الصغير ذو المساحة b/2)²).

يمكن أن نكتب : x² + bx = ( x + b/2 )²- ( b/2 )² أي أن :

x + b/2)²)	=		b/2)²) +		x² + bx
			"إكمال المربع"

جبريا، يمكن أن نتصرف هكذا :

x² + bx = x² + bx + (b/2)² - (b/2)²

= (x + b/2 )² - (b/2)²

خلاصة : لكي نكمل المربع في تعبير من النوع ... + x² + bx نضيف و نطرح منه مربع نصف العدد b.

مثال تطبيقي :

أكمل المربع في التعبير : x² + 6x + 7

في هذا التعبير لدينا b = 6 ، نضيف و نطرح منه مربع نصف العدد 6 :

نعمل بإستعمال المتطابقة الهامة رقم 1 و نحسب الحدين التابثين :

نحصل إذن، على : x² + 6x + 7 = (x+3)² - 2

أمثلة محوسبة :

قم بمسك و تحريك النقطتين بلون أحمر و أزرق :

حل معادلة من الدرجة الثانية بإستعمال طريقة إكمال المربع :

سنستغل التقنية السابقة لحل معادلات من الدرجة الثانية بمجهول واحد، فقط إتبع المراحل التالية :

مثال : حل في IR المعادلة التالية : 5x² – 4x – 2 = 0
إستعمل طريقة إكمال المربع

الجواب :
أولا : إقسم طرفي المعادلة على معامل الحد من الدرجة الثانية أي على 5 :

x² – 0.8x – 0.4 = 0

a = 1 ; b = -0.8 ; c = -0.4

ثانيــا : قم بتنقيل الحد التابث (0.4-) إلى الطرف الأيمن من المعادلة :

x² – 0.8x = 0.4

ثالثا : أضف الى طرفي المعادلة الأخيرة مربع نصف العدد ، في هذه الحالة لدينا b = -0.8 :

(b/2)² = (-0.8/2)² =(- 0.4)² = 0.16

x² – 0.8x + 0.16 = 0.4 + 0.16

x – 0.4)² = 0.56)

رابعا : حل المعادلة x - 0.4 )² = 0.56 )

المعادلة x - 0.4 )² = 0.56 ) تعني أن : x - 0.4 = √0.56 أو x - 0.4 = - √0.56
تعني أن : x = √0.56 + 0.4 أو x = -√0.56 + 0.4

للمعادلة حلين نكتب : { S = { -√0.56 + 0.4 ; √0.56 + 0.4

المزيد من الأمثلة و الشروحات في البرمجية و الفيديو التاليين : إمسك وحرك النقطة السوداء على مؤشر المزلقة ، تتبع مراحل الإنجاز لطريقة حل المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد بإستخدام إكمال المربع :
طريقة إكمال المربع فيديو :

طريقة المميز لحل معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد

noreply@blogger.com (khoukhi) — Mon, 20 Jan 2014 08:05:00 -0800

المميز هو عدد ثابت نرمز له ب Δ ، و يحسب إنطلاقا من معاملات المعادلة التربيعية ( المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد ) أو ثلاثية الحدود ذات الشكل النموذجي : ax² + bx + c .

بحساب القيمة العددية للمميز يمكن أن نحل المعادلات من النوع ax² + bx + c = 0، و سنميز بين ثلاث حالات ممكنة للعدد Δ :

إذاكان Δ سالبا قطعا فإن المعادلة ax² + bx + c = 0 لا تقبل أي حل في IR .
إذاكان Δ منعدما فإن المعادلة ax² + bx + c = 0 تقبل حلا وحيدا في IR.
إذاكان Δ موجبا قطعا فإن المعادلة ax² + bx + c = 0 تقبل حلين في يسميان جدري المعادلة IR .

في هذا الدرس نشرح طريقة المميز لحل معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد عن طريق مجموعة من الأمثلة و التمارين المحلولة :

معارف أساسية :

تعريف و خاصية :

بإستعمال المبيان :

تمارين تطبيقية + الحلول :

حل في IR المعادلات التالية :

حل المعادلة رقم 1 :

حل المعادلة رقم 2 :

حل المعادلة رقم 3 :

حل المعادلة رقم 4 :

حل المعادلة رقم 5 :

طريقة كرامر لحل نطمة معادلتين من الدرجة الأولى بمحجهولين (بإستعمال المحددات)

noreply@blogger.com (khoukhi) — Sun, 19 Jan 2014 10:56:00 -0800

نظمة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين هي مجموعة من معادلتين خطيتين، تضمان نفس المتغيرين على سبيل المثال x و y. حل نظمة معادلتين يعني إعطاء قيمة عددية لكل من المتغيرين حيث تتحقق المعادلتين في آن واحد.

وقد استخدم الرياضي كرامر (Gabriel Cramer (1704-1752 المحدِّدات في إيجاد الحلول لجملة معادلات خطية ذات عدد من المجاهيل يساوي عدد المعادلات. في هذا الدرس نشرح طريقة كرامر لحل نظمة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين :

معلومات أساسية :

1- الشكل العام لنظمة معادلتين من الدرجة الأولى بمحجهولين :

تسمى نظمة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين x وy حيث a و b و c و 'a و'b و 'c أعداد حقيقية .

2- شرح طريقة كرامر:

ملاحظة : إذا كان D = 0 , فقد لا يكون للنظمة أي حل و قد يكون لها مالا نهاية من الحلول.

3- مبيانيا وجبريا :

في البرمجية يمكنك ملاحظة أننا أنشأنا التمثيل المبياني لمستقيمين على التواي معادلتيهما هما x + 2y = 7 و 4x - 5y = 2 . المستقيمان يتقاطعان في النقطة A ، زوج إحداتيثي النقطة A يوافق الحل المتوصل إليه بطريقة كرامر.

في البرمجية التالية يمكنك حل مجموعة من نظمات معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين : قم ببرمجة المعاملات على الأعداد التي تريد وذلك بمسك و تحريك النقط ( الحمراء و الزرقاء ) على مؤشر المزلقة و قارن الحلول المتوصل إليها جبريا و مبيانيا :

مثال تطبيقي لحل نظمة معادلتين بإستعمال طريقة كرامر:

تمرين : حل IR² في النظمة التالية

الجواب :

طريقة حل المتراجحة الجدرية بإستعمال جدول الإشارة

noreply@blogger.com (khoukhi) — Thu, 16 Jan 2014 08:19:00 -0800

المتراجحة الجدرية ( بمجهول واحد : x مثلا )، هي متراجحة كسرية يتضمن مقامها على الأقل مرة واحدة المجهول x. هذه المتراجحة يكون لها معنى (نقول : معرفة) إذا وفقط إذا كان مقامها (أومقاماتها) التي تتضمن عبارات جبرية تحتوي المجهول x مخالفة للصفر.

لحل هذه المتراجحة يكون لزاما علينا في مرحلة أولى معالجة المقام أو المقامات التي تتضمن عبارات جبرية تحتوي المجهول x، و تسمى هذه المرحلة تحديد مجموعة تعريف المتراجحة، وفي مرحلة ثانية نقوم بحل المتراجحة وفق المجموعة المحددة في المرحلة الأولى.

أمثلة و تمارين محلولة :

تمرين 1 : حل في IR المتراجحة :

الجواب :
1- نحدد مجموعة تعريف المتراجحة (E) :
هذه المتراجحة تتضمن عبارة جبرية تحتوي المجهول x في المقام : هي 1 + x
تكون المتراجحة (E) معرفة إذاكان :

مجموعة تعريف هذه االمتراجحة هي : {IR-{-1
2- نحل المتراجحة (E) :
في مرحلة أولى سنكتب المتراجحة على شكل بسط ومقام في الطرف الأيسر ونترك 0 في الطرف الأيمن من المتراجحة حتى تتيسر لنا دراسة الإشارة :

ندرس إذن إشارة كل من 1+ x و 3x - 1- على IR ثم نلخص هذه الدراسة في جدول الإشارة :

جدول الإشارة :

مجموعة حلول المتراجحة هي :

ملاحظــــة : 1- لا ينتمي إلى مجموعة تعريف المتراجحة (E) لهذا فتحنا المجال على يمينه للدلالة على أنه لا ينتمي إلى مجموعة حلول المتراجحة (E) .

تمرين 2 : حل في IR المتراجحة :

الجواب :
1- نحدد مجموعة تعريف المتراجحة (F) :
هذه المتراجحة تتضمن ثلاث عبارات جبرية تحتوي المجهول x في المقام : هي (x(x + 1 و x + 1 و x
المتراجحة (F) معرفة إذاكان :

2- نحل المتراجحة (F) :

جدول الإشارة :

مجموعة حلول المتراجحة (F) هي :

كيفية حل المعادلة الجدرية التي يؤول حلها إلى معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد

noreply@blogger.com (khoukhi) — Tue, 14 Jan 2014 05:35:00 -0800

المعادلة الجدرية ( بمجهول واحد : x مثلا )، هي معادلة كسرية يتضمن مقامها على الأقل مرة واحدة المجهول x. هذه المعادلة يكون لها معنى (تكون معرفة) إذا وفقط إذا كان مقامها (أومقاماتها) التي تتضمن عبارات جبرية تحتوي المجهول x مخالفة للصفر.

لحل هذه المعادلة يكون لزاماعلينا في مرحلة أولى معالجة المقام أو المقامات التي تتضمن عبارات جبرية تحتوي المجهول x، و تسمى هذه المرحلة تحديد مجموعة تعريف المعادلة، وفي مرحلة ثانية نقوم بحل المعادلة وفق المجموعة المحددة في المرحلة الأولى.

أمثلة و تمارين محلولة :

تمرين 1 : حل في IR المعادلة :

الجواب :
1- نحدد مجموعة تعريف المعادلة (1) :
هذه المعادلة تتضمن عبارتين جبريتين تحتويان المجهول x في المقام : هما x - 1 و x + 3
تكون المعادلة (1) معرفة إذاكان :

مجموعة تعريف هذه المعادلة هي جميع الأعداد الحقيقية بإستثناء 1 و 3-.
2- نحل المعادلة (1) :

تمرين 2 : حل في IR المعادلة :

الجواب :
1- نحدد مجموعة تعريف المعادلة (2) :
هذه المعادلة تتضمن ثلاث عبارات جبرية تحتوي المجهول x في المقام : هي x - 2 و x + 2 و x² - 4
المعادلة (2) معرفة إذاكان :

2- نحل المعادلة (2) :

معادلات للإنجاز الفردي :

طريقة حل متراجحة تتضمن القيمة المطلقة

noreply@blogger.com (khoukhi) — Mon, 6 Jan 2014 11:05:00 -0800

القيمة المطلقة لعدد حقيقي هي المسافة بين النقطة التي أفصولها هذا العدد الحقيقي و النقطة التي أفصولها هو 0. عندما يقال لك حل متراجحة تتضمن القيمة المطلقة فالمطلوب منك في مرحلة أولى التخلص من رمز القيمة المطلقة بإعتماد التعريف و من تم حل المتراجحة إذا كانت تقبل حلولا.في مايلي تذكير وتمارين محلولة لمتراجحات تتضمن القيمة المطلقة :

معلومات أساسية :

أمثلة و تمارين محلولة :

1. حــــل المتراجحة

جبريا :

[S = [ 1 ; 3

مبيانيا :

نمثل على مستقيم مدرج مجموعة الأعداد الحقيقية التي مسافتها عن 2 أصغرمن أو تساوي 1 :

x - 2 = 0 => x = 2

حلول هذه المتراجحة هي جميع الأعداد الحقيقية المعبر عليها باللون الأحمر : [S = [ 1 ; 3

2. حــــل المتراجحة

جبريا :

مبيانيا :

نمثل على مستقيم مدرج مجموعة الأعداد الحقيقية التي مسافتها عن 2 أكبر من أو تساوي 1 :

x - 2 = 0 => x = 2

حلول هذه المتراجحة هي جميع الأعداد الحقيقية المعبر عليها باللون الأحمر.

3. حــــل المتراجحة

جبريا :

لكي نحل هذه المتراجحة يجب أن نتخلص من رمز القيمة المطلقة في الطرف الأيسر من المتراجحة و ذلك بدراسة إشارة كل من 2x + 3 و3x - 2 ثم نلخص النتائج المحصل عليها في جدول إشارة للتعبير الذي يوجد في الطرف الأيسر من المتراجحة :

2 / 2x + 3 = 0 => x = -3 و 3 / 3x - 2 = 0 => x = 2

نحصل على ثلات حالات :

لدينا :

طريقة حل معادلة تتضمن القيمة المطلقة

noreply@blogger.com (khoukhi) — Sun, 5 Jan 2014 12:40:00 -0800

القيمة المطلقة لعدد حقيقي هي المسافة بين النقطة التي أفصولها هذا العدد الحقيقي و النقطة التي أفصولها هو 0. عندما يقال لك حل معادلة تتضمن القيمة المطلقة فالمطلوب منك في مرحلة أولى التخلص من رمز القيمة المطلقة بإعتماد التعريف و من تم حل المعادلة إذا كانت تقبل حلولا . فيما يلي تذكير سريع بتعريف القيمة المطلقة مرفوق بتمارين محلولة تتضمن القيمة المطلقة :

أمثلة لمعادلات تتضمن القيمة المطلقة في حالات بسيطة :

تذكير :

أمثلة لمعادلات من النوع : abs( ax + b) = c

ملاحظات أساسية

القيمة المطلقة دائما تكون موجبة.
يكون عددان حقيقيان لهما نفس القيمة المطلقة إذا و فقط إذاكانا متقابلين.
القيمة المطلقة لعدد سالب هي مقابل هذا العدد.
القيمة المطلقة لعدد موجب هي العدد نفسه.

1. حل المعادلة :

هذه المعادلة لا حل لها لأن العدد 1- سالب و (القيمة المطلقة دائما تكون موجبة). و منه :

2. حل المعادلة :

بمأن 3 عدد موجب : سنقوم إذن بحل المعادلتين x + 2 = 3 و x + 2 = -3 .

3. حل المعادلة :

أمثلة و تمارين محوسبة :

في البرمجية التالية يمكنك معاينة مجموعة من المعادلات من هذا النوع، ضع عامة صح في الخانة أو أطلب معادلة جديدة :

أمثلة لمعادلات تتضمن القيمة المطلقة في حالة الجمع :

حل المعادلة :

لكي نحل هذه المعادلة المطلوب التخلص من رمز القيمة المطلقة في حدي الفرق في الطرف الأيسر من المعادلة، لهذا سنقوم بما يلي :

ندرس إشارة كل من x + 3 و x - 1 على مجموعة الأعداد الحقيقية.
نلخص النتائج المتوصل إليها في جدول للإشارة.
نحل المعادلات المتحصل عليها حسب الحالات.

لدينا ثلاث حالات لكتابة التعبير :

نحل المعادلات التالية حسب إنتماء المجهول x إلى المجال المناسب .

x - 5 = 2 مع x من المجال [3- ; -[ : تعني أن x = 7 لا يمكن
3x + 1 = 2 مع x من المجال [1 ,3-[ : تعني أن x = 1/3 يمكن
x + 5 = 2- مع x من المجال ] + ; 1[ : تعني أن x = 3 يمكن

خلاصة :

طريقة القسمة الإقليدية لتعميل الحدوديات

noreply@blogger.com (khoukhi) — Sun, 5 Jan 2014 06:27:00 -0800

عندما نحسب قيمة عدد a بحدودية و نجد الناتج منعدما، نسمي a جدرا للحدودية و بالتالي قسمتها على x - a ستكون مضبوطة ( أي الباقي مساويا لصفر). في هذا الدرس سنستغل طريقة القسمة الإقليدية لتعميل حدوديات من درجات مختلفة على شكل جداء لحدوديات أبسط و من درجات أقل :

معلومات أساسية :

مثال :

نعتبر الحدودية (P(x حيث أن : P(x) = 5.x³ + 7.x² - 2.x + 8

بين أن 2- هو جدر للحدودية (P(x
أنجز القسمة الإقليدية ل (P(x على x + 2
إسنتتج تعميلا ل (P(x

1. بين أن 2- هو جدر للحدودية (P(x

P(-2) = 5.(-2)³ + 7.(-2)² - 2.(-2) + 8

P(-2) = -40 + 28 + 4 + 8

P(-2) = -40 + 40

P(-2) = 0

2. القسمة الإقليدية ل (P(x على x + 2

3. إسنتتج تعميلا ل (P(x

تمارين للإنجاز الفردي

طريقة مطابقة الحدود لتعميل الحدوديات

noreply@blogger.com (khoukhi) — Sat, 4 Jan 2014 03:31:00 -0800

هذه الطريقة تستعمل لتعميل لتعميل الحدوديات من درجات مختلفة على شكل جداء لحدوديات أبسط ومن درجة أقل و تستعمل أيضا لتفكيك تعابير جدرية من شاكلة (f(x)/g(x . و غالبا ما تصادف هذه الطريقة في أسئلة من النوع : حدد الأعداد الحقيقية a و b و c حيث أن ...= (P(x :

تذكير سريع :

تعريف
ﺗﻜﻮن ﺣﺪودﻳﺘﺎن ،ﻣﺨﺘﺼﺮﺗﺎن ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺘﻴﻦ ، ﻣﺘﺴﺎوﻳﺘﻴﻦ إذا كانت ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﺪرﺟﺔ و كانت ﻣﻌﺎﻣﻼت ﺣﺪودهما ﻣﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﺪرﺟﺔ ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ

مثال : حالة حدودية من الدرجة الثانية

'ax² + bx + c = a'x² + b'x + c

تطبيق رقم 1 : تعميل حدودية من الدرجة 3

في التمرين الموالي سنقوم بتعميل حدودية من الدرجة الثالثة و ذلك بإعتماد طريقة مطابقة الحدود :

تمرين رقم 1 :
نعتبر الحدودية P حيث أنه لكل عدد حقيقي x :

حدد الأعداد الحقيقية a و b و c إذا علمت انه لكل عدد حقيقي x :

الجواب :

تطبيق رقم 2 : تفكيك كسور جدرية

في التمرين الموالي سنقوم بتفكيك تعبير جدري على شكل مجموع تعبيرين بسيطين و ذلك بإعتماد طريقة مطابقة الحدود :

تمرين رقم 2 :
ليكن التعبير E حيث أنه لكل عدد حقيقي x يخالف 2- :

حدد الأعداد الحقيقية a و b و c إذا علمت انه لكل عدد حقيقي x يخالف 2- :

الجواب :

تمارين للإنجاز الفردي :

تأطير جداء عددين حقيقين

noreply@blogger.com (khoukhi) — Sun, 10 Nov 2013 03:57:00 -0800

في الرياضيات تأطير تعبير حقيقي يعني حصره بين عددين حقيقين في متفاوتة مزدوجة تفيد بأنه مكبور و مصغور في نفس الأن. في هذا الدرس نعطي خاصية تأطير جداء عددين حقيقين ,نتناول مجموعة من الأمثلة التطبيقية التي تشرح طريقه الإنجاز :

تأطير جداء

خاصية :

a و b و c و d أعداد حقيقية موجبة ، إذاكان :

تأطيرين للعددين x و y على التوالي ، فإن :

تأطيرللعدد xy.

ملاحظـــة : في الخاصية الأعداد الحقيقية a و b و c و d موجبة
في ما يلي ثلاثة تمارين محلولة تتناول تأطير جداء في ثلاث حالات مختلفة : (موجبان معا، سالبان معا، أحدهما سالب و الأخر موجب)

تمرين رقم 1 :
إذا علمت أن :

أعط تأطير لكل من العددين 2a +1 و ab + 5 :

الجواب :

تمرين رقم 2 :
إذا علمت أن :

أعط تأطير ل ab :

الجواب :
لدينا a محصور بين عددين سالبين : سنقوم بـتأطير a- للحصول على أعداد موجبة :

تمرين رقم 3 :
إذا علمت أن :

أعط تأطير ل ab :

الجواب :

لدينا a محصور بين عدد سالب وعدد موجب، هذا يعني أن a محصور بين 1- و 0 أو بين 0 و 2 :

تمارين حول مقارنة تعبيرين حقيقين بإستعمال التعريف

noreply@blogger.com (khoukhi) — Wed, 6 Nov 2013 06:12:00 -0800

بعد أن تعرفنا على طرق و تقنيات مقارنة عددين حقيقين بإستعمال قواعد الترتيب في مجموعة الأعداد الحقيقية. في مايلي ثلاثة تمارين محلولة تتناول مقارنة تعبيرين حقيقين بإستعمال التعريف :

إختبار معلومات

تعريف :

A و B عددان حقيقيان

تمارين محلولة :

تمرين رقم ( 1 ) :

تمرين رقم 9 صفحة 58 كتاب النجاح في الرياضيات للجدع مشترك علوم

نص التمرين :
نعتبر العددين x و y حيث

1). بين أن :7√x - y = 4√2 - 2
2). قارن x و y

الجواب :
1). بين أن :7√x - y = 4√2 - 2

2). لدينا : 32 = 2 . 16 = ² (2√4) و 14 = 7 . 2 = ² (7√2)
بمأن 32 > 14 فإن ² (2√4) > ² (7√2) أي أن 2√4 > 7√2 ومنه x - y > 0 و بالتالي x > y.

تمرين رقم ( 2 ) :

نص التمرين :
ليكن a و b عددان حقيقيان حيت أن a > b و b > -1/2 :

قارن A و B

الجواب :

تمرين رقم ( 3 ) :

تمرين رقم 102 صفحة 64 ( بتصرف ) كتاب النجاح في الرياضيات للجدع مشترك علوم

نص التمرين :
x عدد حقيقي موجب قطعا
1). بين أن :

2). إستنتج أن :

الجواب :

التأطير و الجمع - التأطير و الفرق

noreply@blogger.com (khoukhi) — Tue, 5 Nov 2013 14:13:00 -0800

في الرياضيات تأطير تعبير حقيقي يعني حصره بين عددين حقيقين في متفاوتة مزدوجة تفيد بأنه مكبور و مصغور في نفس الأن. في هذا الدرس نعطي خاصية تأطير مجموع (أو فرق) عددين حقيقين ونتناول مجموعة من الأمثلة التطبيقية التي تشرح الطريقة :

التأطير و الجمع - التأطير و الفرق :

بالنسبة للعدد π، على الألة الحاسبة نرى : ....π = 3,1415926

الكتابة π ≤ 3,15 ≥و3,14 تسمى تأطيرا للعدد π بسعة 0,01 = 3,14 - 3,15

إذاكان :
تأطيرين للعددين x و y فإن :

تأطيران للعددين x + y و x - y .

مثال رقم 1 :
إذا علمت أن :

أعط تأطير لكل من العددين a + b و b - a :

الجواب :

مثال رقم 2 :
إذا علمت أن :

أعط تأطير لكل من العددين 5 + 13√ و 13√ - 5 :

الجواب :

تقنيات و طرق مقارنة عددين حقيقين : تمارين و حلول

noreply@blogger.com (khoukhi) — Mon, 4 Nov 2013 13:13:00 -0800

فيما يلي نستعرض بعض تقنيات أو طرق مقارنة عددين حقيقين بإعتماد خاصيات الترتيب في مجموعة الأعداد الحقيقية. نضع بين أيديكم ثلاث طرائق بتمارين محلولة في المقارنة و الترتيب مسبوقة بإختبار معلومات في نفس الموضوع و بتذكير لخاصيات الترتيب بعلاقة مع العمليات :

بطاقة معلومات + إختبار معلومات

إختبار معلومات :

فيما يلي أختبار معلومات حول مكتسباتك بخصوص خاصيات وقواعد الترتيب الأعداد الحقيقية : ( يمكنك مراجعة هذه القواعد في صفحة ترتيب الأعداد الحقيقية ).

a و b و c و d أعداد حقيقية

1- تعريف :

a و b عددين حقيقين :

2- الترتيب و الجمع :

3- الترتيب و الضرب :

4- الترتيب و المقلوب :

تقنيات و طرق مقارنة عددين حقيقين

الطريقة الأولى :

في هذه الطريقة نعتمد على التعريف الواراد في الفقرة السابقة حيث أنه لمقارنة عددين حقيقين نحسب فرقهما و بعدها ندرس إشارة هذا الفرق فإذا كان موجبا يكون العدد الأول أكبر من العدد الثاني و إذا كان سالبا نأخد العكس :

كي نقارن عددين حقيقين a و b :

1). نحسب الفرق a - b

نص التمرين :

x عدد حقيقي، نضع :

بين أن :

حل التمرين :
نبين أنه لكل عدد حقيقي :
يكفي أن نبين أن A(x) -1≤ 0 و أن A(x) +1 ≥ 0 :
ليكن x عدد حقيقي لدينا :

بمأن 2x² ≤ 0- و x² +1 ≥ 0 فإن : A(x) -1≤ 0 أي أن : A(x) ≤ 1 ( أ )

بمأن 0 ≤ 2 و x² +1 ≥ 0 فإن : A(x) + 1 ≥ 0 أي أن : A(x) ≥ -1 ( ب )
من ( أ ) و ( ب) نستنتج أن :

الطريقة الثانية :

نعتمد هذه الطريقة إذا كان للعددين الحقيقين المراد مقارنتهما نفس الإشارة و يحتويان مثلا على الجدر المربع : هنا نقوم برفع العددين إلى المربع ثم من بعدها نقارن مربعيهما.

كي نقارن عددين حقيقين a و b لهما نفس الإشارة نقارن مربعيهما :

نص التمرين :

x عدد حقيقي حيث x ≥ -2 ، نضع :

بين أن : (f(x) ≥ g(x لكل عدد حقيقي x حيث x ≥ -2

حل التمرين :
نبين أنه : (f(x) ≥ g(x لكل عدد حقيقي x حيث x ≥ -2
ليكن x عدد حقيقي حيث x ≥ -2 لدينا : f(x) ≥ 0 و g(x) ≥ 0

بمأن x² ≥ 0 فإن : ²[(f(x)]² ≥ [g(x] أي أن : (f(x) ≥ g(x

الطريقة الثالثة:

نعتمد هذه الطريقة إذا كان العددان الحقيقيان المراد مقارنتهما موجبان قطعا حيث أننا نحسب خارجهما و نقارنه ب 1 :

كي نقارن عددين حقيقين a و b موجبان قطعا نحسب خارجهما a/b و نقارنه ب 1 :

نص التمرين :

n عدد صحيح طبيعي ، نضع :

بين أن : An < Bn لكل عدد صحيح طبيعي n.

حل التمرين :
نبين أنه : An < Bn لكل عدد صحيح طبيعي n.
نحسب خارج العددين An و Bn :

بمأن n - 1< n فإن : An < Bn

مختلف أنواع الأعداد

noreply@blogger.com (khoukhi) — Wed, 9 Oct 2013 09:27:00 -0700

العدد هو كائن رياضي يستعمل في العد وفي القياس و يمكن تقسيم الأعداد إلى مجموعات تدعى بالأنظمة العددية. في هذا الدرس سنتعرف على مختلف أنواع الأعداد و نصنفها إلى مجموعات حسب طبيعتها :

1- مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية :

مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية

مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية هي الأعداد الخالية من أي كسور. تتكون من الأعداد الطبيعية (بما في ذلك الصفر) (0, 1, 2, 3, ...) ويرمز لها بالرمز IN و نكتب :

3 هو عنصر من عناصر المجموعة IN نقول أن 3 ينتمي إلى IN و نكتب :

3,25 هو ليس بعنصر من عناصر المجموعة IN نقول أن 3,25 لا ينتمي IN إلى و نكتب :

2- مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية :

مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية

مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية هي الأعداد الخالية من أي كسور. تتكون من الأعداد الصحيحة الطبيعية (بما في ذلك الصفر) (0, 1, 2, 3, ...), بالإضافة إلى مقابل الأعداد الصحيحة الطبيعية غير المساوية للصفر (1-, 2-, 3-, ...). على سبيل المثال، 21 و4 و2048- هي أعداد صحيحة بينما 9,75 هو عدد غير صحيح.

عادة ما يرمز إلى مجموعة الأعداد الصحيحة بالحرف اللاتيني Z والذي يأتي من كلمة Zahlen في اللغة الألمانية (تعني العدد). تنقسم مجموعة الأعداد الصحيحة إلى ثلاثة أقسام وهي : مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة Z+ ومجموعة الأعداد الصحيحة السالبة Z- والصفر . و نكتب :

3- ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﺸﺮﻳﺔ اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ :

ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﺸﺮﻳﺔ اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ

4 - ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺠﺬرﻳﺔ :

ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺠﺬرﻳﺔ

5- ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ :

ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ