Μαθηματικά

BEAUTY OF MATHEMATICS (Vimeo)

2014-01-30T11:09:00.001+02:00

BEAUTY OF MATHEMATICS from PARACHUTES.TV on Vimeo.

Η αξία της γνώσης!!

2013-04-25T19:08:00.001+03:00

Ένας τεχνικός ηλεκτρονικών υπολογιστών κλήθηκε να επισκευάσει ένα πολύπλοκο κομπιούτερ. Ένα κομπιούτερ που άξιζε πάνω από 12.000.000 €. Ο τεχνικός, κάθισε μπροστά στην οθόνη, πάτησε μερικά πλήκτρα, μουρμούρισε κάτι στον εαυτό του και έσβησε τον Η/Υ. Μετά έβγαλε από την τσέπη του ένα μικρό κατσαβίδι και γύρισε κατά μιάμιση στροφή μια μικροσκοπική βίδα. Ύστερα άνοιξε τον Η/Υ και διαπίστωσε ότι λειτουργούσε τέλεια.

Ο πρόεδρος της εταιρίας απόλυτα ικανοποιημένος από τον τεχνικό δέχεται να τον πληρώσει και τον ρωτά:

- "Πόσα σας οφείλω για τις υπηρεσίες σας;"

- "Είναι 1000 €" απάντησε ο τεχνικός.

- "1000 ευρώ!! 1000 € για λίγα λεπτά δουλειάς, 1000 € για να γυρίσετε μια βίδα; Καταλαβαίνω πως ο Η/Υ αξίζει 12.000.000 €, όμως 1000 € για μια ολιγόλεπτη εργασία μου φαίνονται πάρα πολλά. Θα τα πληρώσω μόνο όταν μου στείλετε αναλυτικό λογαριασμό που να δικαιολογεί τόσα χρήματα."

Ο τεχνικός συμφώνησε και έφυγε.

Το επόμενο πρωί, ο πρόεδρος λαμβάνει το τιμολόγιο, το διαβάζει προσεχτικά, κουνάει το κεφάλι του και το εξοφλεί αμέσως, χωρίς διαμαρτυρίες.

Το τιμολόγιο έγραφε:

Παροχές υπηρεσιών:

Στρίψιμο βίδας: 1 €
Γνώση του ποια βίδα ήθελε στρίψιμο: 999 €

Το παραπάνω είναι διασκευή από πραγματικό γεγονός με τον Steinmetz (1865 - 1923). Ήταν ο πρώτος που εισήγαγε τη χρήση μιγαδικών αριθμών στην επίλυση προβλημάτων με εναλλασσόμενο ρεύμα. Προσελήφθη στην εποχή του να διορθώσει κάποιο μεγάλο και πολύπλοκο σύστημα...έκανε μια γρήγορη μελέτη των σχεδίων, ανέβηκε μια σκάλα και σημείωσε ένα "Χ" πάνω σε μια μεταλλική πλάκα, και είπε: "...εκεί, οίτα εκεί...". Όταν έστειλε το λογαριασμό 1000 € και του ζητήθηκε η αναλυτική κατάσταση, η απάντηση ήταν:

1 $ για σημάδεμα της μεταλλικής πλάκας και 999 $ επειδή ήξερε που να σημαδέψει.

ΠΗΓΗ: http://antikleidi.com

Μερικά προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού

2013-04-18T19:51:00.001+03:00

Ο γραμμικός προγραμματισμός είναι ένα σημαντικό εργαλείο Στην "Επιχειρησιακή Έρευνα" ένα σχετικά νέο κλάδο της μαθηματικής επιστήμης. Βέβαια, στα μαθηματικά, δεν εννοούμε τον προγραμματισμό με την έννοια που έχει στην πληροφορική. Με τον όρο προγραμματισμό εννοούμε την ανακάλυψη αλγορίθμου για τη βελτιστοποίηση ενός προβλήματος κέρδους (κέρδος με την ευρύτερη έννοια, όχι μόνο χρηματικό) ή ελαχιστοποίησης για προβλήματα ζημιών (με την ευρύτερη έννοια της ζημίας, όχι μόνο χρηματική). Συχνά οι μαθητές στις εξετάσεις αντιμετωπίζουν προβλήματα όπου καλούνται να σχηματίσουν μια εξίσωση. Ομαθητής πρέπει πρώτα να μεταφράσει τις συνθήκες του προβλήματος από τη φυσική γλώσσα στη μαθηματική και στη συνέχεια να λύσει τις προκύπτουσες εξισώσεις και ανισώσεις. Μέσα από την κατάσταση που περιγράφει το πρόβλημα, ο μαθητής πρέπει να βρει κάποιες συγκεκριμένες ποσότητες έχοντας σαν δεδομένες κάποιες άλλες. Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε τον τρόπο λύσης τέτοιων προβλημάτων τα οποία εμφανίζονται πολύ συχνά στη βιομηχανία και την οικονομία, όπου χρειάζεται να γνωρίζουμε συγκεκριμένους δείκτες, να υπολογίζουμε ποσότητες, να αναλύουμε την κατάσταση μιας εταιρείας, κ.λ.π.. Μια τέτοια ανάλυση μας βοηθά να κατανοήσουμε καλύτερα την τρέχουσα κατάσταση. Το επόμενο βήμα είναι να σχεδιάσουμε τις μελλοντικές δραστηριότητες. Εδώ υπάρχουν πολυάριθμες εναλλακτικές δυνατότητες, αλλά πρέπει να είμαστε σε θέση να επιλέξουμε τη βέλτιστη από αυτές ανάλογα με το αποτέλεσμα που επιθυμούμε να επιτύχουμε. Η διατύπωση και η λύση τέτοιων εξισώσεων αποτελεί το αντικείμενο του μαθηματικού προγραμματισμού.

Μερικά προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού

Επιλογή της θέσης των λουτρών

Μία κωμόπολη έχει 100 κατοίκους και το γειτονικό χωριό 50. Επιλέξτε μια θέση για την κατασκευή των λουτρών πάνω στο δρόμο που συνδέει τις δύο κοινότητες, έτσι ώστε η απόσταση που θα διανύουν οι 150 κάτοικοι για να πάνε στα λουτρά να είναι η ελάχιστη.

Στη γλώσσα των μαθηματικών: Έστω ότι η απόσταση μεταξύ των δύο χωριών είναι α Km και ότι τα λουτρά βρίσκονται σε απόσταση x Km από την κωμόπολη. Επομένως, ισχύει 0 ≤ x ≤ α . Οι 100 κάτοικοι της κωμόπολης πρέπει να περπατήσουν 100x km για να πάνε στα λουτρά ενώ οι κάτοικοι του χωριού 50(α - x) Km. Επομένως, η συνολική απόσταση που διασχίζουν οι κάτοικοι είναι:

s = 100 x + 50 (α − x).

Άρα αρκεί να βρούμε την ελάχιστη τιμή της εξίσωσης s = 100 x + 50 (α − x), όταν

0 \leq x \leq α, όπου το α είναι σταθερό.

Παρατηρούμε ότι το s παίρνει την ελάχιστη τιμή όταν παίρνει την ελάχιστη τιμή το x, άρα για x = 0, το

s = 50α, δηλαδή τα λουτρά θα χτιστούν στην κωμόπολη.

$Ο καλύτερος τρόπος για να φτάσετε στο σταθμό$

Ο κύριος Σμιθ πρέπει να φτάσει στο σιδηροδρομικό σταθμό το συντομότερο δυνατό. Έχει τη δυνατότητα είτε να καλέσει ταξί το οποίο θα έρθει σε 24 min και θα τον μεταφέρει στο σταθμό με ταχύτητα 30 Km/h είτε να περπατήσει με ταχύτητα 6 Km/h. ποια μέθοδος είναι προτιμότερη αν ο σταθμός απέχει: (α) 2 Km , (β) 3 Km , (γ) 5 Km ;

Για να συγκρίνουμε καλύτερα την κίνηση του πεζου και του αυτοκινήτου, θα εισάγουμε στο πρόβλημά μας ακόμη ένα πρόσωπο, τη σύζυγο του κ. Σμιθ. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι ο κ. Σμιθ άρχισε να περπατα για το σταθμό και ότι, μόλις βγήκε από το σπίτι, η σύζυγος του πρόσεξε ότι είχε ξεχάσει το εισητήριο του. Τότε, κάλεσε αμέσως ταξί, περίμενε να έρθει και ξεκίνησε να συναντήσει το σύζυγό της. Ας υπολογίσουμε το χρόνο που χρειάζεται για να τον προλάβει. Τη χρονική στιγμή t μετά την αναχώρισή του, ο κ. Σμιθ θα βρίσκεται σε απόσταση 6t Km από το σπίτι του. Αν t > 24 min = 2/5 h, το ταξί θα διανύσει 30(t - (2/5)) Km. Το ταξί θα προλάβει τον κ. Σμιθ όταν

6t = 30(t - (2/5)), δηλαδή όταν t = 1/2 h.

Αν το περπάτημα μέχρι το σταθμό διαρκέσει λιγότερο από 1/2 h, η σύζυγος του κ. Σμιθ δεν θα τον προλάβει. Διαφορετικά, θα τον συναντήσει και θα τον πάει στο σιδηροδρομικό σταθμό. Ο κ. Σμιθ μπορεί να περπατήσει 3 Km σε 1/2 h. Συνεπώς καταλήγουμε στο εξής συμπέρασμα:

Αν η απόσταση του σταθμού είναι μικρότερη των 3 Km (περίπτωση (α)), ο κ. Σμιθ είναι προτιμότερο να περπατήσει. Αν η απόσταση ισούται με 3 Km, το περπάτημα και η μετακίνηση με ταξί είναι ισοδύναμα, ενώ στην περίπτωση (γ) είναι προτιμότερο να πάρει ταξί.

Κατά τη λύση του προβλήματος πραγματοποιήσαμε ορισμένες σιωπηλές παραδοχές: η κίνηση του πεζού και του ταξί είναι ομαλές, η κλήση και η αναχώριση του ταξί είναι στιγμιαίες, κ.τ.λ. Επιπλέον, υποθέσαμε ότι ο σημαντικότερος πόρος για τον κ. Σμιθ είναι ο χρόνος. Για να επιλέξουμε μία από τις ισοδύναμες επιλογές του κ. Σμιθ στην περίπτωση (β) πρέπει να συνυπολογίσουμε και το κόστος μετακίνησης ή την άνεση οπότε πράττουμε αναλόγως.

Συζήτηση στρογγυλής τραπέζης πάνω στα μαθηματικά...

2013-04-14T22:54:00.000+03:00

Η μαθηματική επιστήμη δίνει πάντα αφορμές για γόνιμες συζητήσεις για διάφορα πεδία των μαθηματικών καθώς επίσης και για διάφορα μαθηματικά μοντέλα και θεωρήματα. Βέβαια, αυτό πολλές φορές προκαλεί διενέξεις, αντιρρήσεις και διαφωνίες. Ας παρακολουθήσουμε παρακάτω μία υποτειθέμενη σύγχρονη συζήτηση στρογγυλής τραπέζης γύρω από τα μαθηματικά με πρωταγωνιστές τον Σωκράτη, τον Ιππία, τον Τίμαιο και τον Θεαίτητο. Ο Σωκράτης νομίζω δεν χρειάζεται συστάσεις. Ο Ιππίας ήταν από τους σπουδαιότερους σοφιστές, διάσημος για την πολύπλευρη και ευρύτατη μόρφωση του. Ο Τίμαιος ενδιαφερόνταν κυρίως για την αστρονομία και τη φύση του σύμπαντος. Ο Θεαίτητος ήταν μαθητής, όπως και ο Πλάτων, του μεγάλου μαθηματικού Θεοδώρου του Κυρηναίου. Ήταν νέος με εξαιρετική ευγένεια και θαυμαστή ευφυϊα.

Διάλογος Στρογγυλής Τραπέζης:

- Σωκράτης: Νά 'μαστε λοιπόν, όλοι μαζί, εδώ, στο στέκι μας, εσύ Τίμαιε, που μου έμαθες κάποτε τα πολύεδρα με τα οποία ο Δημιουργός οργάνωσε τον κόσμο και τα τέσσερα στοιχεία, εσύ Θεαίτητε, ο μαθητής που ξεπέρασες τους δασκάλους σου και μπόρεσες να αποδείξεις με γενικό τρόπο και όχι με μεμονωμένες περιπτώσεις ότι οι τετραγωνικές ρίζες είναι άρρητοι και εσύ σοφέ Ιππία. Ας μου πει ο καθένας σας το λόγο για τον οποίο πρέπει να διδάσκουμε μαθηματικά στα παιδιά.

- Ιππίας: Μα, διότι η υπεροχή στη μαθηματική επιστήμη είναι η αναντίρρητη απόδειξη της υπεροχής του πνεύματος.

- Τίμαιος: Διότι η μαθηματική σκέψη είναι αιώνια, καθολική, επειδή είναι η πρώτη και η βασίλισσα των επιστημών.

- Θεαίτητος: Μα, επειδή τα μαθηματικά είναι όμορφα.

- Σωκράτης: Ιππία όταν ήσουν νέος, έμαθες να τρέχεις στο στάδιο;

- Ιππίας: Βεβαίως, Σωκράτη, όπως και όλοι οι νεαροί Αθηναίοι.

- Σωκράτης: Πιστεύεις, λοιπόν, ότι η υπεροχήστον αγώνα δρόμου είναι η αναντίρρητη απόδειξη της ευκινησίας στα πόδια;

- Ιππίας: Σίγουρα, ο νικητής στο ολυμπιακό άθλημα είναι εκείνος που υπερέχει από όλους τους ανθρώπους σε ό,τι αφορά την ευκινησία στα πόδια.

- Σωκράτης: Και ο νικητής στο ακόντιο δεν είναι εκείνος που υπερέχει στην τένχη ρίψης του ακοντίου;

- Ιππίας: Έτσι νομίζω.

- Σωκράτης: Άρα, λοιπόν, οι νικητές στις ολυμπιάδες των μαθηματικών δεν είναι οι ικανότεροι στο να λύνουν γρήγορα μαθηματικά προβλήματα;

- Ιππίας: Ακριβώς έτσι το εννοώ, Σωκράτη.

- Σωκράτης: Όμως ο λόγος για τον οποίο γίνεται ο αγώνας δρόμου είναι πράγματι ολυμπιακός συναγωνισμός; Ή μήπως είναι ο λόγος που ο Αθηναίος που δεν ξέρει να τρέχει θεωρείται αδύναμος, όπως επίσης και αυτός που ρίχνει ακόντιο;

- Ιππίας: Πού θέλεις να καταλήξεις, Σωκράτη;

- Τίμαιος: Νομίζω ότι ο Σωκράτης υπαινίσσεται ότι ο λόγος ύπαρξης της μαθηματικής επιστήμης δεν είναι να παράγει πρωταθλητές σε μαθηματικούς διαγωνισμούς, είτε σε μαθηματικές ολυμπιάδες, είτε στο διαγωνισμό του Θαλή - Ευκλείδη (Ε.Μ.Ε.), είτε στο διαγωνισμό του "Καγκουρό" (http://www.kangaroo.gr/). Το να ασχολείσαι με τα μαθηματικά είναι μια καλή άσκηση του πνεύματος, χρήσιμη για όλους τους νέους, αγόρια και κορίτσια.

- Σωκράτης: Καλά το έθεσες, Τίμαιε. Μπορείς να μας εξηγήσεις, κατά τη γνώμη σου, τα μαθηματικά είναι καθολικά και αιώνια;

- Τίμαιος: Θυμίσου λίγο, Σωκράτη, αυτό που σου είπα κάποτε για τον άνθρωπο, τα ζώα, τη φύση και τη ζωή. Όλα είναι ψεύτικα, η επιστήμη τα κατάργησε όλα αυτά, και καταργεί και τον εαυτό της κάθε μέρα. Το μόνο που μένει σταθερό είναι τα τρίγωνα, οι κύκλοι, οι σφαίρες, τα πολύεδρα. Κοίταξε τον τύπο που γράφω: 2 + 2 = 4. Το σημαντικό δεν είναι αν αυτό είναι αλήθεια ή ψέμα, το σημαντικό είναι ότι και στη Αθήνα και στην Αίγυπτο και στο Πεκίνο, παντού, γίνεται αντιληπτό με τον ίδιο τρόπο.

- Σωκράτης: Ε, λοιπόν, το ξέρεις, Τίμαιε, ότι για μένα το 2 + 2 = 4 είναι κάτι το καινούργιο; Παλιά δεν μετρούσαμε έτσι. Και αυτό που μας δυσκόλευε κάποτε με τον δικό μας τρόπο γραφής φαντάζει εύκολο στα σημερινά παιδιά. Χειρίζονται εκπληκτικά μεγάλους ή μικρούς αριθμούς σαν να είναι παιχνιδάκι (αριθμομηχανή). Μέσα στο διάστημα μερικών δυνάμεων του 10, μπορούν να εξετάσουν οτιδήποτε συμβαίνει, από τα στοιχειώδη σωματίδια μέχρι τα γαλαξιακά νέφη. Και ισχυρίζεσαι ότι τίποτε δεν αλλάζει στα μαθηματικά;

- Θεαίτητος: Μου επιτρέπεις να πω δυο λόγια, Σωκράτη;

- Σωκράτης: Εμπρός παιδί μου. Και μη ξεχάσεις να μας πεις αν τα μαθηματικά είναι το ίδιο όμορφα τώρα όπως ήταν παλιότερα, στην εποχή του Ευκλείδη.

- Θεαίτητος: Λες, Σωκράτη, ότι τα μαθηματικά αλλάζουν. Δεν αλλάζουν, εκρήγνυνται! Μόνο το 1990 συντάχθηκαν 100.000 νέα άρθρα μαθηματικών. Στην ιαπωνική μαθηματική εγκυκλοπαίδεια δεν είδα ούτε την αστρονομία ούτε τη μουσική, και είναι κρίμα. Είδα όμως όλους τους πολιτισμούς που ακολούθησαν από τη Βαβυλώνα, την Κίνα, τις Ινδίες, την Αραβία, την Ευρώπη. Είδα να γεννιέται η άλγεβρα και η ανάλυση, είδα τη γεωμετρία να αλλάζει πρόσωπο, τις πιθανότητες να γίνονται θεωρία, να διερευνώνται στα ίδια άρθρα τα αυτόματα και οι γλώσσες και η ανάλυση ενός αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων να γίνεται ζήτημα στρατηγικής σημασίας. Υπάρχουν εργαλεία ικανά να απομνημονεύουν και να επεξεργάζονται τεράστια πλήθη στοιχείων βάσει μαθηματικών μοντέλων. Ο ευκλείδης πέρασε και το έργο του είναι αθάνατο. Ωστόσο, οι σύγχρονοι άνθρωποι χρειάζονται, μέσω παραδειγμάτων που τους ενδιαφέρουν, να κατανοήσουν πως κινούνται τα πράγματα στα μαθηματικά.

- Σωκράτης: Να, λοιπόν, που με τη φλόγα της νιότης τους μας κάνεις ολόκληρη διάλεξη ενώ ήθελες να πεις μόνο δυο λόγια. Και δεν είπες ακόμη που έγκειται η ομορφιά των μαθηματικών. Πείτε μου, φιλοί μου, αν τα μαθηματικά είναι όμορφα όπως μία ωραία γυναίκα, ή όμορφα όπως ο Παρθενώνας, ή όμορφα όπως ένα γραφικό τοπίο.

- Ιππίας: Όμορφα όπως μια ωραία γυναίκα.

- Θεαίτητος: Όμορφα όπως ένα γραφικό τοπίο.

- Τίμαιος: Όμορφα όπως ο Παρθενώνας.

- Σωκράτης: Φυσικά. Θεωρούμε όμορφο αυτό που αγαπάμε. Θεαίτητε, μας είπες λιγό πριν ότι πρέπει να διδάσκουμε τα μαθηματικά διότι είναι όμορφα. Πρέπει, λοιπόν, να τα διδάσκουμε μόνο στους μαθητές που τα βρίσκουν όμορφα και τα αγαπούν;

- Θεαίτητος: Δεν είχα ακριβώς αυτό στο νου μου, Σωκράτη.

- Σωκράτης: Έτσι, λοιπόν, θέλεις να διδάξεις μαθηματικά σε μαθητές που δεν τα αγαπούν.

- Θεαίτητος: Ναι, χωρίς αμφιβολία, αλλά με τρόπο ώστε να τους κάνω να τα αγαπήσουν και να ανακαλύψουν τις ομορφιές τους.

- Σωκράτης: Να μαστε, λοιπόν, στη δεύτερη ερώτηση: πώς πρέπει να διδάσκουμε τα μαθηματικά; Ας καταλήξουμε όμως σε ένα συμπέρασμα με την πρώτη. Όπως είπε ο Τίμαιος, τα μαθηματικά είναι παγκόσμια γλώσσα και θα πρέπει όλα τα παιδιά να μάθουν να τη διαβάζουν και να τη γράφουν, επειδή θα τη συναντήσουν να χρησιμοποιείται παντού και όποιος δε γνωρίζει να τη χρησιμοποιεί θα είναι ένα είδος αναλφάβητου. Όπως μας βοήθησε να καταλάβουμε ο Ιππίας, τα μαθηματικά είναι μια άσκηση του πνεύματος. Όπως ενθουσιωδώς διακήρυξε ο Θεαίτητος, είναι μια ζωντανή επιστήμη που εξελίσσεται ραγδαία και συνεχώς. Και ο πολίτης που βλέπει να εφαρμόζεται στις εργασίες της ειρήνης και του πολέμου πρέπει να μένει ενημερωμένος, τουλάχιστον σε γενικές γραμμές. Αυτά σας φαίνονται σωστά;

- Ιππίας, Τίμαιος, Θεαίτητος (όλοι μαζί): Πιο σωστά δε γίνεται, Σωκράτη.

- Σωκράτης: Και όμως, κάτι με προβληματίζει. Δεν είπες, Τίμαιε, ότι τα μαθηματικά είναι η πρώτη και η βασίλισσα των επιστημών; Θά 'θελες να μας το εξηγήσεις;

- Τίμαιος: Η πρώτη μέσα στο χρόνο, Σωκράτη, είναι ξεκάθαρο, το εξήγησα ήδη. Γιατί η βασίλισσα; Μα διότι τα στοιχεία των μαθηματικών ξεφεύγουν από το τυχαίο και το απατηλό, που είναι η μοιρά όλων των άλλων επιστημών. Τα στοιχεία των μαθηματικών είναι ακριβώς αυτά που βρίσκονται έξω από το σπήλαιο που ζούσαμε, και που ο φιλόσοφος, ο οποίος αρχικά είναι έκπληκτος, έχει το χρέος να τα περισυλλέξει και να τα φέρει μέσα στο σπήλαιο.

- Ιππίας: Ναι, ναι, αυτό μας το δίδαξε ήδη ο Πλάτων καλύτερα από σένα, και γνωρίζουμε πλέον ότι οι ομάδες και οι πρώτοι αριθμοί αποτελούν μια πραγματικότητα έξω από τον άνθρωπο, μαι πραγματικότητα περισότερο "πραγματική" από εκείνη του φυσικού κόσμου.

- Σωκράτης: Έτσι, κατά τη γνώμη σου, οι ομάδες υπήρχαν ανέκαθεν, και οι μαθηματικοί αρκούνταν να τις ατενίζουν τόσο καιρό, ενώ ήταν τόσο απλό να τις ορίσουν και ενώ τις βρίσκουμε παντού;

- Ιππίας: Ακριβώς, Σωκράτη.

- Σωκράτης: Αφού λοιπόν είναι τόσο εύκολο να ορίσει κανείς τις ομάδες, και αφού είναι τα πρωτεύοντα στοιχεία, πρέπει να τα διδάσκουμε στους μαθητές ήδη από το νηπιαγωγείο;

- Ιππίας: Γιατί όχι, Σωκράτη;

- Σωκράτης: Ξέρεις όμως ότι το προσπαθήσαμε, και οδήγησε σε οικτρή αποτυχία. Τι λες γι αυτό, Θεαίτητε; Γιατί ο ορισμός μιας ομάδας -τόσο ξεκάθαρος, τόσο σύντομος- να είναι τόσο δυσνόητος;

- Θεαίτητος: Η διαλεκτική στα μαθηματικά "φωλιάζει" στους ορισμούς. Πριν από τη διατύπωση του ορσμού, δηλαδή πριν από τη διαμόρφωση της έννοιας, προηγείται μια ολόκληρη συσσωρευμένη εμπειρία και μια εκτενής ιστορία. Υπάρχουν αποτελέσματα που ονομάζονται θεωρήματα, εργαλεία που λέγονται λήμματα, μέθοδοι που τις λέμε θεωρίες, αναλογίες και απλοποιήσεις, γενικεύσεις και συνθέσεις, λήμματα που γίνονται θεωρήματα, θεωρήματα που γίνονται θεωρίες, μια ολόκληρη επεξεργασια πολύ μακρόχρονη, που γεννά μια σαφή έννοια και έναν καλό ορισμό τού τι είναι ομάδα, μέτρο, πιθανότητα. Από τη στιγμή που διαμορφώνεται η έννοια και διατυπώνεται ο ορισμός δημιουργείται θεωρούνται αφορμή για νέες θεωρίες που απορροφούν τισ παλιές. Είναι αυτό που λέγεται διδακτική μετάθεση. Το πιο δυσνόητο πράγμα στα μαθηματικά είναι το σημείο εκκίνησης μιας νέας θεωρίας.

- Σωκράτης: Πιστεύεις πραγματικά ότι αυτό είναι ίδιον των μαθηματικών; Είναι τόσο απλό στο να τα περιγράφει κανείς και τόσο δύσκολο στο να τα κατανοήσει. Εσύ που κατέχεις τόσο καλά όλες τις επιστήμες, Τίμαιε, πες μας τη γνώμη σου.

- Τίμαιος: Αυτό που ο Θεαίτητος ονομάζει διδακτική μετάθεση υπάρχει βέβαια σε όλες τις επιστήμες. Αλλά κάθε επιστήμη έχει το δικό της διαφορετικό αντικείμενο. Το ίδιον των μαθηματικών είναι ότι το αντικείμενο τους βρίσκεται έξω από αυτά που κατέχουμε και κατανοούμε και αποτελείται από καθαρές αφαιρέσεις, αιωνίως ζώσες: τέτοιες είναι τα τρίγωνα, οι κύκλοι, οι ομάδες.

- Σωκράτης: Πιστεύεις πραγματικά ότι ένα τρίγωνο είναι πιο αφηρημένο από ένα κουάρκ ή από τη θεωρία της εξέλιξης; Δεν είναι αλήθεια ότι κάθε επιστήμη επεξεργάζεται τις δικές της αφαιρέσεις;

- Τίμαιος: Σωκράτη, καταθέτω τα όπλα μου. Συνέχισε λοιπόν με τον Θεαίτητο, αν αυτός είναι σε θέση να εξηγήσει ότι δεν είναι η αφαίρεση εκείνη που διακρίνει τα αντικείμενα των μαθηματικών.

- Θεαίτητος: Θα έλεγα, Τίμαιε, ότι είναι περισσότερο η γενικότητα. Η έννοια της ομάδας είναι κοινή στην άλγεβρα, τη γεωμετρία και τη φυσική. Η θεωρία πληροφοριών προέρχεται από τις τηλεπικοινωνίες, και ενσωματώθηκε στη μοριακή βιολογία. Θα μπορούσα να βρω, νομίζω, πολλά παραδείγματα μαθηματικών θεωριών που να προέρχονται από μια επιστήμη και να εφαρμόζονται απροσδόκητα σε κάποια άλλη. Μου φαίνεται ότι από αυτό ακριβώς απορρέει η μονιμότητα και η αποτελεσματικότητα των μαθηματικών εννοιών. Εκεί δεν έγκειται, Τίμαιε, το νόημα που θα πρέπει να δώσουμε στη δική σου θεωρία για την αιωνιότητα και την καθολικότητα των μαθηματικών; Όσο για τη γενική ομολογία ότι είναι η πρώτη και η βασίλισσα των επιστημών, δεν είναι από πολλές πλευρές η θεραπαινίδα τους;

- Σωκράτης: Ας μείνουμε εκεί. Μόλις μας έδωσες έναν ακόμη λόγο, πολύ σημαντικό μάλιστα, για τον οποίο πρέπει να διδάσκουμε ευρέως τα μαθηματικά. Αυτό που διακρίνει τα μαθηματικά από ένα καθαρά πνευματικό παιχνίδι φαίνεται πως είναι ο ενοποιητικός χαρακτήρας τους. Ένας μαθηματικός συλλογισμός δημιουργείται με βάση μια πλούσια επιστημονική εμπειρία, της οποίας συγκεντρώνει τα κύρια στοιχεία. Αλλά η δύναμή τους ξεπερνά αυτό το σημείο, και προχωρεί σε άλλα πεδία της γνώσης. Αν δεν αφομοιώσουμε αυτή τη δύναμη και δε γίνουμε κάτοχοί της, θα χαθεί. Αυτό θα πρέπει να είναι το κριτήριο που θα χρησιμοποιήσουμε στη δύσκολη εκλογή των θεμάτων που διδάσκουμε. Τι να διδάξουμε; Πώς να το διδάξουμε; Εσύ που είσαι επαγγελματίας, Ιππία, πες μας τι σκέφτεσαι.

- Ιππίας: Το επαγγελμά μου, Σωκράτη, ήταν να διδάσκω το άνθος της αθηναϊκής αριστοκρατίας και όχι τον όχλο που παραμένει στάσιμος, στο βούρκο. Τι να διδάξεις στους μαθητές του Λυκείου; Ό,τι τους χρειάζεται για να τους κάνει να διακριθούν και να επιτύχουν στους διαγωνισμούς. Πώς να το διδάξεις; Με ικανότητα και κύρος, όπως το έκανα πάντα.

- Τίμαιος: Ξέρεις, Ιππία, ότι ο Πλάτων ήδη διαμαρτυρόταν για το ότι, όσον αφορά τους αριθμούς και τα σχήματα, τα παιδιά της Αθήνας ήξεραν λιγότερα και από το τελευταίο παιδί των Αιγυπτίων. Το σύστημά σου ξεπεράστηκε, και δε δίνει λύση στις ανάγκες που μας θύμισε ο Σωκράτης. Εσύ ο ίδιος, Σωκράτη, δεν είχες διδάξει ένα θεώρημα γεωμετρίας στο δούλο του Μένωνα;

- Σωκράτης: Να έχω διδάξει; Όχι. Να τον έχω οδηγήσει να ανακαλύψει; Ναι. Ήθελα να είμαι μόνο ο οδηγός, ο "μαιευτήρας". Καθένας μπορεί να ασχοληθεί με τα μαθηματικά. Αυτή ήταν και είναι πάντα η γνώμη μου.

- Τιμαίος: Πόσο συμφωνώ με αυτό που μόλις μας είπες, Σωκράτη! Εγώ προσωπικά θα ήθελα να δω τα μαθηματικά να διδάσκονται σε συμφωνία με τις άλλες σύγχρονες επιστήμες, που μας παρέχουν τόσα κίνητρα και υπολογισμούς. Στο πανεπιστημιακό επίπεδο επιλέγουμε την ύλη που θα διδάξουμε. Υπάρχουν πολλοί τρόποι να μπεις στη μαθηματική επιστήμη, ακι δεν είναι οι ίδιοι για τους μέλλοντες βιολόγους, ή για τους μέλλοντες μηχανικούς, ή για τους μέλλοντες οικονομολόγους.

- Σωκράτης: Η συζήτηση μας εδώ έλαβε τέλος. Ευχαριστώ για την κουβέντα αγαπητοί μου φίλοι. Ελπίζω να ήταν γόνιμη και όλοι μας να βγάλουμε χρήσιμα συμπεράσματα.

Επιστημονικός Αναφαλβητισμός...

2013-03-12T23:43:00.001+02:00

Όπου και να έχει πάει κανείς σήμερα έχει διαπιστώσει ότι οι σημαντικότερες ειδήσεις προέρχονται από τον χώρο της επιστήμης και της τεχνολογίας. Συναρπαστικά θέματα από την αστρονομία και την αστροφυσική κοσμούν συχνά διάφορες στήλες των εφημερίδων και των περιοδικών. Συχνά φωτογραφίες από το διαστημικό τηλεσκόπιο Hubble κερδίζουν τη θέση τους στα εξώφυλλα εξειδικευμένων και μη περιοδικών και αφισών. Οι εξελίξεις στον τομέα της ιατρικής είναι ραγδαίες. Νέες θεραπείες και φάρμακα λανσάρονται στην αγορά για να θεραπεύσουν, να περιορίσουν ή να προλάβουν ασθένειες. Η πλήρης αποδικωποίηση του ανθρώπινου γονιδιώματος (DNA) έφερε καινούργιες γνώσεις και θεραπείες. Εξωσωματικές γονιμοποιήσεις χαρίζουν το θαύμα της ζωής σε πολλά ζευγάρια που διαφορετικά θα έμεναν άτεκνα. Εικόνες από το εσωτερικό εμβρίων οργανισμών πλημμυρίζουν την τηλεόραση και ο προγεννητικός έλεγχος σώζει κυριολεκτικά ζωές. Αλλά, και στο χώρο της τεχνολογίας τα επιτεύγματα είναι αξιοθαύμαστα. Όλο και ταχύτεροι Η/Υ βοηθάνε και περιπλέκουν ταυτόχρονα την καθημερινότητα μας. Οι μικροεπεξεργαστές αποτελούν σημαντικό και αναπόσπαστο στοιχείο των σπιτιών, των αυτοκινήτων και των συσκευών μας.

Από τον τομέα της έρευνας, τα νέα είναι ακόμη πιο εντυπωσιακά. Ερευνητές κατάφεραν να εισχωρήσουν και να κατανοήσουν εν μέρει τις πιο απόκρυφες ποεριοχές του ανθρώπινου εγκεφάλου, της συνείδησης και της νοημοσύνης. Γίνεται προσπάθεια αποκωδικοποίησης των ανθρώπινων πρωτεϊνών (παν. Stanford) ώστε να συμβάλλουν στη θεραπεία πολλών και ανίατων ασθενειών όπως το Πάρκινσον, το Αλτσχάϊμερ, τη νόσο Χάντιγκτον και πολά είδη καρκίνων. Τα τελευταία 100 χρόνια ανακαλύφθηκαν και αποδείχθηκαν σπουδαία θεωρήματα στα μαθηματικά. Στη φυσική γίνεται προσπάθεια για την ένωση της Κβαντικής Θεωρίας και της Κοσμολογίας σε μια ενιαία Θεωρία των Πάντων και είναι πολύ κοντά σ΄αυτό οι ερευνητές. Πραγματικά, τα επιτεύγματα και οι ανακαλύψεις σ΄ όλους τους τομείς της επιστήμης όπου και να έχει πάει κανείς σήμερα έχει διαπιστώσει ότι οι σημαντικότερες ειδήσεις προέρχονται από τον χώρο της επιστήμης και της τεχνολογίας. Συναρπαστικά θέματα από την αστρονομία και την αστροφυσική κοσμούν συχνά διάφορες στήλες των εφημερίδων και των περιοδικών. Συχνά φωτογραφίες από το διαστημικό τηλεσκόπιο Hubble κερδίζουν τη θέση τους στα εξώφυλλα εξειδικευμένων και μη περιοδικών και αφισών. Οι εξελίξεις στον τομέα της ιατρικής είναι ραγδαίες. Νέες θεραπείες και φάρμακα λανσάρονται στην αγορά για να θεραπεύσουν, να περιορίσουν ή να προλάβουν ασθένειες. Η πλήρης αποδικωποίηση του ανθρώπινου γονιδιώματος (DNA) έφερε καινούργιες γνώσεις και θεραπείες. Εξωσωματικές γονιμοποιήσεις χαρίζουν το θαύμα της ζωής σε πολλά ζευγάρια που διαφορετικά θα έμεναν άτεκνα. Εικόνες από το εσωτερικό εμβρίων οργανισμών πλημμυρίζουν την τηλεόραση και ο προγεννητικός έλεγχος σώζει κυριολεκτικά ζωές. Αλλά, και στο χώρο της τεχνολογίας τα επιτεύγματα είναι αξιοθαύμαστα. Όλο και ταχύτεροι Η/Υ βοηθάνε και περιπλέκουν ταυτόχρονα την καθημερινότητα μας. Οι μικροεπεξεργαστές αποτελούν σημαντικό και αναπόσπαστο στοιχείο των σπιτιών, των αυτοκινήτων και των συσκευών μας.

Από τον τομέα της έρευνας, τα νέα είναι ακόμη πιο εντυπωσιακά. Ερευνητές κατάφεραν να εισχωρήσουν και να κατανοήσουν εν μέρει τις πιο απόκρυφες ποεριοχές του ανθρώπινου εγκεφάλου, της συνείδησης και της νοημοσύνης. Γίνεται προσπάθεια αποκωδικοποίησης των ανθρώπινων πρωτεϊνών (παν. Stanford) ώστε να συμβάλλουν στη θεραπεία πολλών και ανίατων ασθενειών όπως το Πάρκινσον, το Αλτσχάϊμερ, τη νόσο Χάντιγκτον και πολά είδη καρκίνων. Τα τελευταία 100 χρόνια ανακαλύφθηκαν και αποδείχθηκαν σπουδαία θεωρήματα στα μαθηματικά. Στη φυσική γίνεται προσπάθεια για την ένωση της Κβαντικής Θεωρίας και της Κοσμολογίας σε μια ενιαία Θεωρία των Πάντων και είναι πολύ κοντά σ΄αυτό οι ερευνητές. Πραγματικά, τα επιτεύγματα και οι ανακαλύψεις σ΄ όλους τους τομείς της επιστήμης, της τεχνολογίας και της έρευνας είναι αμέτρητα και οι εξελίξεις είναι ραγδαίες!!

Αφού, λοιπόν, η επιστήμη εξελίσσεται με ταχείς ρυθμούς και η τεχνολογία αναδιαρθρώνει την παγκόσμια οικονομία, γιατί γίνεται τόσος λόγος για τη θλιβερή κατάσταση της επιστημονικής παιδείας; Αφού, η επιστήμη και η τεχνολογία είναι παρούσες σ' όλες τις πτυχές της ζωής μας, γιατί λέγεται, συχνά, ότι επικρατεί επιστημονικός αναφαλβητισμός; Και για να ανφερθώ στο δικό μου τομέα, στα μαθηματικά, γιατί οι ειδικοί της παιδείας επισημαίνουν ότι οι μαθητές δεν κατανοούν αυτό που νομίζουμε ότι τους διδάσκουμε, παρόλο που βαθμολογούνται καλώς και περνούν την τάξη;

Μπορεί ως επιστήμονες να είμαστε γοητευμένοι από των ενθουσιασμό που επικρατεί στο σύνολο των επιστημών. Ως πολίτες να χαιρόμαστε και να καλοδεχόμαστε κάθε νέο επιστημονικό αντικείμενο που θα διευκολύνει τη ζωή μας και θα βελτιώσει το βιοτικό μας επίπεδο. Ωστόσο, ως δάσκαλοι ανησυχούμε που οι περισσότεροι συμπολίτες μας αγνοούν βασικά και στοιχειώδη πράγματα για την επιστήμη και την τεχνολογία, από τις οποίες η κοινωνία μας εξαρτάται σε όλο και μεγαλύτερο βαθμό. Φυσικά και δεν μπορούμε να έχουμε την απαίτηση να γίνουν όλοι επιστήμονες εφόσον δεν έχουν την υπομονή και τη διάθεση να μάθουν πολλά πράγματα για την ποσοτική πλευρά της επιστήμης. Όμως, η κοινότητα των εν ενεργεία αλλά και εκκολαπτόμενων επιστημόνων των θετικών επιστημών οφείλει να καλλιεργεί συνεχώς το ενδιαφέρον των πολιτών για τα επιστημονικά ζητήματα. Δεν είναι δυνατόν, δυστυχώς για πολλούς, ο πολίτης του μέλλοντος να μη γνωρίζει τα στοιχειώδη για την επιστήμη και την τεχνολογία, ακόμη και αν δε θέλει να γίνει επιστήμονας.

Το κενό ανάμεσα στον περιορισμένο αριθμό επιστημόνων που καινοτομούν και ανακαλύπτουν και τον αριθμό των πολιτών που αγνοούν την επιστήμη και την τεχνολογία στις οποίες στηρίζεται η καθημερινή ζωή τους είναι ήδη αρκετά μεγάλο. Ας ελπίσουμε το κενό αυτό να μη γίνει αγεφύρωτο χάσμα! Αν οι πολίτεςδεν είναι ενημερωμένοι σχετικά με θέματα της επιστήμης και της τεχνολογίας, η κοινωνία μας θα αλλοτριώνεται συνεχώς από τις επιστημονικές και τεχνολογικές δυνάμεις που προσδιορίζουν το μέλλον μας. Έτσι, μια κοινωνία αποξενωμένη από την επιστήμη και την τεχνολογία δεν μπορεί να έχει ούτε επιστήμη υψηλών αξιώσεων ούτε ελπιδοφόρο μέλλον. τήμης, της τεχνολογίας και της έρευνας είναι αμέτρητα και οι εξελίξεις είναι ραγδαίες!!

Αφού, λοιπόν, η επιστήμη εξελίσσεται με ταχείς ρυθμούς και η τεχνολογία αναδιαρθρώνει την παγκόσμια οικονομία, γιατί γίνεται τόσος λόγος για τη θλιβερή κατάσταση της επιστημονικής παιδείας; Αφού, η επιστήμη και η τεχνολογία είναι παρούσες σ' όλες τις πτυχές της ζωής μας, γιατί λέγεται, συχνά, ότι επικρατεί επιστημονικός αναφαλβητισμός; Και για να ανφερθώ στο δικό μου τομέα, στα μαθηματικά, γιατί οι ειδικοί της παιδείας επισημαίνουν ότι οι μαθητές δεν κατανοούν αυτό που νομίζουμε ότι τους διδάσκουμε, παρόλο που βαθμολογούνται καλώς και περνούν την τάξη;

Μπορεί ως επιστήμονες να είμαστε γοητευμένοι από των ενθουσιασμό που επικρατεί στο σύνολο των επιστημών. Ως πολίτες να χαιρόμαστε και να καλοδεχόμαστε κάθε νέο επιστημονικό αντικείμενο που θα διευκολύνει τη ζωή μας και θα βελτιώσει το βιοτικό μας επίπεδο. Ωστόσο, ως δάσκαλοι ανησυχούμε που οι περισσότεροι συμπολίτες μας αγνοούν βασικά και στοιχειώδη πράγματα για την επιστήμη και την τεχνολογία, από τις οποίες η κοινωνία μας εξαρτάται σε όλο και μεγαλύτερο βαθμό. Φυσικά και δεν μπορούμε να έχουμε την απαίτηση να γίνουν όλοι επιστήμονες εφόσον δεν έχουν την υπομονή και τη διάθεση να μάθουν πολλά πράγματα για την ποσοτική πλευρά της επιστήμης. Όμως, η κοινότητα των εν ενεργεία αλλά και εκκολαπτόμενων επιστημόνων των θετικών επιστημών οφείλει να καλλιεργεί συνεχώς το ενδιαφέρον των πολιτών για τα επιστημονικά ζητήματα. Δεν είναι δυνατόν, δυστυχώς για πολλούς, ο πολίτης του μέλλοντος να μη γνωρίζει τα στοιχειώδη για την επιστήμη και την τεχνολογία, ακόμη και αν δε θέλει να γίνει επιστήμονας.

Το κενό ανάμεσα στον περιορισμένο αριθμό επιστημόνων που καινοτομούν και ανακαλύπτουν και τον αριθμό των πολιτών που αγνοούν την επιστήμη και την τεχνολογία στις οποίες στηρίζεται η καθημερινή ζωή τους είναι ήδη αρκετά μεγάλο. Ας ελπίσουμε το κενό αυτό να μη γίνει αγεφύρωτο χάσμα! Αν οι πολίτεςδεν είναι ενημερωμένοι σχετικά με θέματα της επιστήμης και της τεχνολογίας, η κοινωνία μας θα αλλοτριώνεται συνεχώς από τις επιστημονικές και τεχνολογικές δυνάμεις που προσδιορίζουν το μέλλον μας. Έτσι, μια κοινωνία αποξενωμένη από την επιστήμη και την τεχνολογία δεν μπορεί να έχει ούτε επιστήμη υψηλών αξιώσεων ούτε ελπιδοφόρο μέλλον.

Το θεώρημα του Μενέλαου

2013-03-12T03:47:00.001+02:00

Το θεώρημα αυτό αποτελεί ένα μικρό διαμάντι των μαθηματικών της αρχαιότητας. Αναφέρεται σε μια ευθεία η οποία είναι δυνατόν να τέμνει και τις τρεις πλευρές ενός τριγώνου και θα λέγεται διατέμνουσα του τριγώνου. Προφανώς, δεν είναι δυνατόν και τα τρία σημεία να ανήκουν στο εσωτερικό των πλευρών του τριγώνου, οπότε ένα από αυτά θα ανήκει στην προέκταση μιας πλευράς του τριγώνου. Για την απόδειξη θα χρησιμοποιήσουμε προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα, δηλαδή θα ισχύει:

, όπου ΑΒ ένα ευθύγραμμο τμήμα.

Η διατύπωση του θεωρήματος είναι η εξής:

Έστω ότι μία διατέμνουσα του τριγώνου ABC τέμνει τις πλευρές του στα σημεία

, , (Σχήμα 1). Τότε λαμβάνοντας υπόψη και τους προσανατολισμούς θα είναι:

Από τις τρεις κορυφές φέρνουμε προς τη διατέμνουσα τρία παράλληλα μεταξύ τους τυχαία ευθύγραμμα τμήματα. Με αυτόν τον τρόπο δημιουργείται ένα πλήθος όμοιων τριγώνων. Από τα όμοια τρίγωνα:

και    του Σχήματος 1, έχουμε:

Από τα όμοια τρίγωνα και    , έχουμε:

Από τα όμοια τρίγωνα       και      , έχουμε:

Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες και λάβουμε υπόψη τους προσανατολισμούς, έχουμε:

Οπότε το θεώρημα αποδείχτηκε!!

Το θεώρημα του Μενέλαου υπάρχει σε μια αραβική μετάφραση του έργου "Σφαιρικά" του Μενέλαου του Αλεξανδρινού (1ος αι. μ.Χ.), όπου διατυπώνεται χωρίς απόδειξη. Υπάρχει με απόδειξη στη "Μέγιστη Σύνταξη" του Πτολεμαίου.

Η πιο όμορφη μαθηματική εξίσωση στον κόσμο

2013-03-12T01:00:00.000+02:00

Αν και το θέμα της ομορφιάς είναι, σύμφωνα με πολλούς, υποκειμενικό υπάρχουν μαθηματικές οντότητες όπως οι εξισώσεις που είναι αντικειμενικά όμορφες. Ένας μαθηματικός ή και κάποιος επιστήμονας των θετικών επιστημών μπορεί να αντιληφθεί την ομορφιά μέσα σε μια απόδειξη, σ' έναν κομψό τύπο, στο χάος και την φαντασία που κρύβεται στα μορφοκλασματικά σχήματα, στην απλότητα ενός θεωρήματος που κρύβει μέσα του τα πιο πολύπλοκα και δυσνόητα νοητικά κατασκευάσματα του ανθρώπινου νου.

Κατά κοινή αποδοχή η πιο όμορφη εξίσωση στον κόσμο είναι η παρακάτω:

.

Και είναι η πιο όμορφη επειδή περιέχει ταυτόχρονα τη μονάδα των πραγματικών αριθμών, τη μονάδα των φανταστικών αριθμών, το μηδέν, τον αριθμό π και τον αριθμό e. Πώς όμως προκύπτει η παραπάνω εξίσωση;

Έχουμε την εξίσωση του Euler:

Αν θέσουμε χ = π τότε προκύπτει:

Με αυτήν την εξίσωση μπορούμε να υπολογίσουμε αριθμούς όπως οι:

, όπου ο α είναι πραγματικός και ο i η μονάδα των φανταστικών αριθμών

, όπου i η μονάδα των φανταστικών

Μάθε να συγκεντρώνεσαι στις λύσεις...όχι στα προβλήματα!!

2013-01-17T02:46:00.000+02:00

Πολλές φορές στη διάρκεια της ζωής μας έχουμε να αντιμετωπίσουμε και να λύσουμε διάφορα προβλήματα. Τα μαθηματικά έχουν και αυτά με τη σειρά τους τα δικά τους προβλήματα που προσπαθούμε άλλοτε εύκολα και άλλες φορές με πολύ κόπο και περίπλοκες διαδικασίες να λύσουμε. Κάποιες φορές η λύση ενώ είναι μπροστά στα μάτια μας προσπαθούμε να βρούμε τον πολυπλοκότερο και πιο δυσνόητο τρόπο για να αποδείξουμε ή να λύσουμε κάποιο πρόβλημα. Ωστόσο, οι λύσεις βρίσκονται συχνά με απλή σκέψη και κοινή λογική. Η απορρόφηση του προβλήματος μας εμποδίζει να διακρίνουμε μία απλή και κατανοητή λύση! Παρακάτω αναφέρουμε κάποια χαρακτηριστικά παραδείγματα:

Πρόβλημα 1ο

Η NASA πραγματοποιώντας τις πρώτες αποστολές αστροναυτών στο διάστημα διαπίστωσε ότι οι στυλογράφοι δεν μπορούσαν να γράψουν λόγω της έλλειψης βαρύτητας, αφού η μελάνη δεν κατέβαινε στη μύτη του στυλογράφου (βαρύτητα μηδέν).

Λύση (Α)

Μετά από έξι χρόνια και ξοδεύοντας $12.000.000 σε έρευνες, δημιούργησαν ένα στυλογράφο που μπορούσε να γράψει σε βαρύτητα μηδέν, μέσα στο νερό, ανάποδα, σε οποιαδήποτε επιφάνεια και σε θερμοκρασίες πολλών βαθμών ύπο του μηδενός μέχρι τους 300 βαθμούς Κελσίου.

Λύση (Β)

Και οι Ρώσοι κοσμοναύτες; Τι έκαναν...;

...χρησιμοποίησαν μολύβια!!

Πρόβλημα 2ο

Μία μεγάλη εταιρεία καλλυντικών στην Ιαπωνία δέχθηκε παράπονα από πελάτη ότι το κουτί με το σαπούνι που αγόρασε ήταν άδειο...Ύστερα από έλεγχο το πρόβλημα εντοπίστηκε στο αυτοματοποιημένο σύστημα πακεταρίσματος και αποστολής. Για κάποιο λόγο με το υπάρχον σύστημα κάποιο κουτί μπορούσε να περάσει κενό, χωρίς το προϊόν.

Οι υψηλά ιστάμενοι της εταιρείας ζήτησαν από τους μηχανικούς την πιο άμεση και αποτελεσματική λύση.

Λύση (Α)

Οι μηχανικοί δούλεψαν επί ώρες και κατασκεύασαν μία ανιχνευτική μηχανή ακτίνων Χ με οθόνες υψηλής ευκρίνειας που τις προσέχανε δύο άτομα. Σκοπός τους ήταν να μην αφήσουν να περάσει άδειο κουτί.

Λύση (Β)

Το ίδιο πρόβλημα παρουσιάστηκε και σε μια μικρή εταιρεία. Ωστόσο, δεν κατασκεύασε ένα τόσο πολύπλοκο και ακριβό μηχάνημα αλλά αγόρασε έναν ισχυρό ανεμιστήρα τον οποίο τοποθέτησε με τέτοιο τρόπο ώστε όλα τα κουτιά να διέρχονται από μπροστά του. Όσα από αυτά ήταν άδεια είχαν χαμηλότερο βάρος και έβγαιναν από τη γραμμή πακεταρίσματος...πετώντας...!!

Πρόβλημα 3ο

Ένας ιδιοκτήτης ξενοδοχείων πολυτελείας ταξίδεψε στις Ινδίες. Επισκέφθηκε μία πόλη που είχε παέι και πριν δύο χρόνια και κατέλυσε στο ίδιο ξενοδοχείο που είχε μείνει και τότε. Το ξενοδοχείο αυτό ήταν πολύ κατώτερης κατηγορίας από τα δικά του και είχε αφήσει την προηγούμενη φορά ένα αξιοσέβαστο ποσό. Η υπάλληλος υποδοχής τον καλωσόρισε χαμογελαστή, λέγοντας:

'' Καλωσήρθατε και πάλι, κύριε! Τιμή κι'ευχαρίστησή μας να σας ξαναδούμε στο ξενοδοχείο μας!''

Τρομερά εντυπωσιασμένος από την υποδοχή αλλά και το ότι η υπάλληλος τον θυμήθηκε μετά δύο χρόνια, σκέφτηκε πως αυτό θα ήταν πολύ καλός τρόπος προβολής για τα ξενοδοχεία του.

Μόλις επέστρεψε, έβαλε τους υπαλλήλους του να δουλεύουν για να πραγματοποιήσουν την επιθυμία του.

Λύση (Α)

Με ένα κόστος $2.500.000 αγόρασε τα καλύτερα προγράμματα αναγνώρισης φυσιογνωμίας, χρονολογίας, ειδικές κάμερες τμήσεως χρόνου σε μικροδευτερόλεπτα, υπολογισμού ικανότητας υπαλλήλων, κ.τ.λ. κ.τ.λ....

Λύση (Β)

Ο ιδιοκτήτης ταξίδεψε πάλι στη συγκεκριμένη πόλη στις Ινδίες και πήγε στο ίδιο ξενοδοχείο. Προσέφερε στην υπάλληλο ένα μεγάλο ποσό για να του αποκαλύψει την τεχνολογία που χρησιμοποιούσαν αυτοί. Η υπάλληλος αρνήθηκε ευγενικά την δωροδοκία και του είπε:

''Κοιτάξτε, κύριε, έχουμε κάνει μιά συμφωνία με τους ταξιτζήδες να ερωτούν τους πελάτες που μας φέρνουν αν έχουν ξαναέρθει στο ξενοδοχείο μας και, σε καταφατική περίπτωση, όταν ο ταξιτζής φέρνει εδώ τις βαλίτσες μας κάνει ένα σινιάλο και κερδίζει ένα δολλάριο...''

ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΟΜΨΟΤΗΤΑ...

2012-12-31T15:59:00.002+02:00

Κάθε μηχανικός κατανοεί την μαθηματική σχέση σύμφωνα με την οποία το άθροισμα δύο πραγματικών αριθμών, για παράδειγμα

1 + 1 = 2

Μπορεί να γραφτεί μ' ένα τρόπο πολύ απλό. Χωρίς αμφιβολία όμως βλέπουμε πως του λείπει παντελώς το στυλ.

Από τα πρώτα χρόνια των μαθητικών μας χρόνων γνωρίζουμε ότι:

$1 = ln ℮$

Και επίσης ότι:

$1 = \sin^{2} (p) + \cos^{2} (p)$

Επιπλέον όλοι γνωρίζουμε ότι:

$2 = \sum_{n = 0}^{\infty} ({\frac{1}{2})}^{n}$

Για αυτό το λόγο η έκφραση:1 + 1 = 2

Μπορεί να γραφεί μ' έναν τρόπο πιο κομψό:

$\ln (℮) + \sin^{2} (p) + \cos^{2} (p) = {\sum ({\frac{1}{2})}^{n}}_{n = 0}^{\infty}$

Η οποία, όπως εύκολα μπορεί να παρατηρηθεί, είναι πολύ πιο επιστημονική.

Είναι γνωστό ότι:

1 = cosh⁡ ( q ) · ρίζα (1 - tanh⁡ ^ 2 ( q ))

Και ότι ισχύει:

$℮ = lim_{z \to \infty} (1 + {\frac{1}{z})}^{z}$

Από όπου εξάγεται:

$\ln (℮) + \sin^{2} (p) + \cos^{2} (p) = {\sum ({\frac{1}{2})}^{n}}_{n = 0}^{\infty}$

Που μπορεί να γραφεί με τον παρακάτω πολύ πιο ξεκάθαρο και κατανοητό τρόπο:

$\ln [lim_{z \to \infty} (1 + {\frac{1}{z})}^{2}] + \sin^{2} (p) + \cos^{2} (p) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\cosh (q) \cdot \sqrt{1 - \tanh^{2} (q)}}{2^{n}}$

Λαμβάνοντας υπόψη ότι:0! = 1

Και ότι η αντίστροφη ορίζουσα της μεταθετικής οριζούσης είναι ίδια με την μεταθετική

ορίζουσα της αντίστροφης οριζούσης (σύμφωνα με την υπόθεση του μονοδιάστατου χώρου),

λαμβάνουμε την παρακάτω απλοποιημένη μορφή (λόγω διανυσματικής γραφής):

({{\bar{x}}^{Τ})}^{- 1} - ({{\bar{x}}^{-1})}^{Τ} = 0

Εάν ενοποιήσουμε τις απλοποιημένες σχέσεις:

$0! = 1$

και({{\bar{x}}^{Τ})}^{- 1} - ({{\bar{x}}^{-1})}^{Τ} = 0

Λαμβάνουμε:(

({{\bar{x}}^{Τ})}^{- 1} - ({{\bar{x}}^{-1})}^{Τ})! = 1

Εφαρμόζοντας τις πιο πάνω απλοποιήσεις, εξάγεται πως από την εξίσωση:

$\ln (lim_{z \to \infty} (1 + {\frac{1}{z})}^{2}) + \sin^{2} (p) + \cos^{2} (p) = ⅀_{n = 0}^{\infty} \frac{\cosh (q) \cdot \sqrt{1 - \tanh^{2} (q)}}{2^{n}}$

Λαμβάνουμε τελικά μ' έναν τρόπο πολύ κομψό,νομοτελή, και ευνόητη για όλους, την εξίσωση:

$\ln (lim_{z \to \infty} ((({\bar{x}}^{Τ})^{-1} - ({\bar{x}}^{-1})^{Τ})! + {\frac{1}{z})}^{2}) + \sin^{2} (p) + \cos^{2} (p) = ⅀_{n = 0}^{\infty} \frac{\cosh (q) \cdot \sqrt{1 - \tanh^{2} (q)}}{2^{n}}$

η οποία πρέπει να παραδεχτούμε ότι είναι πολύ πιο επαγγελματική από την άξεστη

αρχική εξίσωση1 + 1 = 2.

Υ.Γ. ---> Για τους φίλους δικηγόρους και ίσως οικονομολόγους για να γνωρίζουν πως και εμείς της
θετικής - πρακτικής εκπαίδευσης μπορούμε να περιπλέκουμε τα πράγματα στο άπειρο!!

Η συγκεκριμένη ανάρτηση περιγράφει τα πράγματα με χιούμορ και δε θίγει ούτε ειρωνεύεται κανέναν!!

Beauty of Mathematics

2012-12-15T23:32:00.003+02:00

Μια στιγμή για πάντα...Το τανγκό των Χριστουγέννων...

2012-12-15T23:28:00.001+02:00

Μαθηματικός τύπος για το τέλεια στολισμένο δέντρο!!

2012-12-13T20:21:00.000+02:00

Τα Χριστούγεννα βρίσκονται πολύ κοντά πλέον και πολλοί είναι αυτοί που διερωτώνται αν το δέντρο τους είναι όμορφο και αν είναι σωστά στολισμένο. Αρκετοί δεν στολίζουν σωστά το δέντρο τους ή δεν γνωρίζουν πόσα στολίδια να βάλλουν ή πόσες κορδέλες, φωτάκια κ.α. ώστε να έχουν ένα όμορφο και εντυπωσιακό αποτέλεσμα. Βέβαια, όλα αυτά εξαρτώνται και από το ύψος του δέντρου και πόσο πυκνό είναι. Η κατάσταση γίνεται πιο σοβαρή αν θέλει κάποιος να στολίσει δέντρο για διαφήμιση ή για τον επιχειρηματικό του χώρο, επειδή εκεί θα ήθελε πράγματι να εντυπωσιάσει και να κερδίσει από αυτό.

Τα καλά νέα όπως και τις περισσότερες φορές έρχονται από τον κόσμο των μαθηματικών και από ανθρώπους που θέλουν να αγγίξουν την τελειότητα. Αυτή, λοιπόν, την τελειότητα ήθελε να φτάσει και ο υπεύθυνος του πολυκαταστήματος Debenhams. Έτσι, απευθύνθηκε στη μαθηματική εταιρεία του Πανεπιστημίου του Sheffield,
στη Βρετανία. Η πρόκληση του πολυκαταστήματος προς την μαθηματική εταιρεία ήταν πως θα μπορούσε να διακοσμήσει ένα Χριστουγεννιάτικο δέντρο με τέτοιο τρόπο ώστε το πράσινο του δέντρου και τα στολίδια μαζί με τα φωτάκια και τις γιρλάντες να βρίσκονται σε αρμονική αναλογία.

Η Nicole Wrightham, μία εκ των φοιτητών που κατασκεύασαν τον μαθηματικό τύπο είπε: "Ο τύπος μας πήρε περίπου 2 ώρες για να ολοκληρωθεί. Ελπίζουμε τα Χριστούγεννα να γίνουν πιο εύκολα για όλους"!

Και ιδού ο μαθηματικός τύπος.....

Αριθμός από στολίδια: Πάρε την τετραγωνική ρίζα του 17, διαίρεσέ την δια 20 και πολλαπλασίασέ την με το ύψος του δέντρου σε εκατοστά. (Χ √17 / 20, όπου Χ το ύψος του δέντρου σε εκ.)

Μήκος γιρλάντας: Πολλαπλασίασε το 13 με το π (=3,1415), διαίρεσέ το με 8 και πολλαπλασίασε με το ύψος του δέντρου σε εκατοστά. (13 Χ π / 8, όπου Χ το ύψος του δέντρου σε εκ.)

Μήκος απο φωτάκια: Πολλαπλασίασε το π με το ύψος του δέντρου σε εκατοστά. (π Χ, όπου Χ το ύψος του δέντρου σε εκ.)

Ύψος αστεριού (ή οτιδήποτε) στην κορυφή του δέντρου: Διαίρεσε το ύψος του δέντρου δια 10. (Χ / 10, όπου Χ το ύψος του δέντρου σε εκατοστά).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Το δέντρο έχει ύψος 300cm.

Αριθμός από στολίδια: 300*(√17 / 20) = 61,84658438426491 ~ 62
Άρα θα χρειαστώ 62 στολίδια.

Μήκος γιρλάντας: (13 * 300 * 3,1415) / 8 = 1531,48125 ~ 1531
Άρα θα χρειαστώ 1531 cm γιρλάντας.

Μήκος από φωτάκια: 3,14 * 300 = 942
Άρα θα χρειαστώ 942 cm φωτάκια.

Ύψος αστεριού: 300 / 10 = 30
Άρα για το τέλειο δέντρο χρειάζομαι ένα αστέρι με ύψος 30 cm.

ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ ΣΕ ΟΛΟΥΣ!!

Alan Mathison Turing (1912 - 1954)

2012-10-29T22:50:00.002+02:00

Ο Άγγλος μαθηματικός Alan Mathison Turing γεννήθηκε στο Λονδίνο στις 23 Ιουνίου 1912. Το 2012 η ακαδημαϊκή και ερευνητική κοινότητα γιορτάζει τα 100 χρόνια από τη γέννηση του με μια σειρά επιστημονικών εκδηλώσεων. Ποιος ήταν όμως ο Alan Turing και τι σημαντικό προσέφερε, ώστε 100 χρόνια μετά τη γέννηση του, στην εποχή των φορητών υπολογιστών και των κινητών τηλεφώνων τελευταίας τεχνολογίας που ενσωματώνουν τα πιο πρόσφατα επιτεύγματα της Πληροφορικής, να χαρακτηρίζεται ως ο "Πατέρας των σύγχρονων υπολογιστών"; Πώς ένας μαθηματικός κατάφερε να επηρεάσει την εξέλιξη των υπολογιστικών μηχανών;

Ο Touring από μικρός είχε επιδείξει έφεση στην "έρευνα" ασχολούμενος με "πειράματα" Χημείας ενώ δήλωνε γοητευμένος με το πιο κοινό πράγμα στη φύση που απαιτούσε τη λιγότερη κατανάλωση ενέργειας προαισθανόμενος τη ζωή του αφιερωμένη στην αναζήτηση απαντήσεων σε θεμελιώδη ερωτήματα που απασχολούσαν τους επιστήμονες. Το 1931 ξεκίνησε τις προπτυχιακές του σπουδές στο King' s College στο πανεπιστήμιο του Cambridge. Η μελέτη, το 1932, της πρόσφατης τότε εργασίας του J. von Neumann για τη λογική θεμελίωση της Κβαντομηχανικής, καθώς και του τρίτομου έργου Principia Mathematica των A. Whitehead και B. Russel ένα χρόνο αργότερα, τον επηρέασαν σημαντικά καθώς τον βοήθησαν να κατανοήσει την έννοια της αυστηρής μαθηματικής έρευνας και παράλληλα τον εισήγαγαν στον κόσμο της Μαθηματικής Λογικής. Το 1934 αποφοίτησε από το Cambridge με εξαιρετικό βαθμό κερδίζοντας έτσι μια υποτροφία για να συνεχίσει εκεί τις σπουδές του. Σε ένα μάθημα του M.H.A. Newman το 1935 μαθαίνει για το περίφημο Entscheidung' s problem, δηλαδή το πρόβλημα της αποφασισιμότητας, που έθεσε ο Hilbert το 1928. Το πρόβλημα αυτό συνίσταται στην εξής ερώτηση: "Υπάρχει μία καθορισμένη μέθοδος ή αποτελεσματική διαδικασία με την οποία μπορούμε να αποφασίσουμε αν κάθε μαθηματική πρόταση μπορεί να αποδειχθεί ή όχι"; Για να απαντήση κανείς σ' αυτήν την ερώτηση θα πρέπει καταρχήν να ορίσει τι είναι "καθορισμένη μέθοδος" ή "αποτελεσματική διαδικασία". Αυτό ακριβώς ήταν το πρώτο βήμα του Touring για να απαντήσει στο Entscheidung' s problem. Και για να το πετύχει δεν έκανε τίποτε άλλο παρά να παρατηρήσει και να περιγράψει τον τρόπο με τον οποίο ο άνθρωπος εκτελεί μια συγκεκριμένη διαδικασία. Η περιγραφή του ήταν "μηχανική" δηλαδή προσομοίωσε τη διαδικασία που κάνει ο ανθρώπινος νούς όταν εκτελεί μία διαδικασία με μία μηχανή. Ο Touring στην προσπάθεια αυτή δεν είχε στο μυαλό του κάποια από τις υπολογιστικές μηχανές, που ήδη υπήρχαν -έστω σε πρωτόγονη μορφή- αλλά ένα παιδί με ένα τετράδιο ασκήσεων χωρισμένο σε τετράγωνα στα οποία μπορούσε να γράφει ή να σβήνει ένα γράμμα σε κάθε τετράγωνο. Η μηχανή του Touring είναι ένα μαθηματικό μοντέλο· την εποχή εκείνη δεν τον ενδιέφερε ακόμη η κατασκευή υπολογιστών και εξάλλου δεν είχε νόημα η υλοποίηση της. Το θεωρητικό αυτό μοντέλο που λίγο αργότερα ονομάσθηκε Turing μηχανή (Turing machine διεθνώς) έμελλε να σημαδέψει την εξέλιξη των υπολογιστικών μηχανών.

Διαισθητικά, μια Turing μηχανή απτελείται από μια ταινία (άπειρου μήκους) που είναι χωρισμένη σε τετράγωνα. Κάθε τετράγωνο περιέχει ένα γράμμα από το αλφάβητο, π.χ. το δυαδικό {0,1}. Η μηχανή είναι εφοδιασμένη με μια κεφαλή ανάγνωσης/εγγραφής που έχει τη δυνατότητα να διαβάζει το περιεχόμενο ενός τετραγώνου κάθε χρονική στιγμή, να σβήνει το γράμμα γράφοντας στη θέση του κάποιο άλλο και να κινείται στο επόμενο τετράγωνο δεξιά ή αριστερά. Η "συμπεριφορά" της κεφαλής προκύπτει από τις "οδηγίες" με τις οποίες είναι εφοδιασμένη η μηχανή, δηλαδή μια συνάρτηση που εξαρτάται από την κατάσταση της μηχανής, και το περιεχόμενο του τετραγώνου που διαβάζει η κεφαλή.

Η Turing μηχανή αποτελεί το μαθηματικό μοντέλο αυτού που σήμερα αποκαλούμε πρόγραμμα του υπολογιστή (software) ενώ η καθολική Touring μηχανή (universal Touring machine) αποτελεί το μαθηματικό μοντέλο του υπολογιστή με την έννοια που σήμερα τον γνωρίζουμε. Η καθολική Touring μηχανή είναι εφοδιασμένη με οδηγίες ικανές να διαβάσουν τις οδηγίες άλλων Touring μηχανών και στη συνέχεια να προσομοιάζει τη λειτουργία αυτών των μηχανών· ακριβώς όπως ένας υπολογιστής "διαβάζει διάφορα προγράμματα και τα εκτελεί". Ίσως στη σημερινή εποχή αυτό φαντάζει ιδιαίτερα απλό και λογικό, αλλά μπορεί κανείς να αναλογισθεί τη σημασία των Touring μηχανών το 1936 όταν η έννοια "πρόγραμμα" ήταν άγνωστη. Για παράδειγμα ο ENIAC ο πρώτος ευρέως γνωστός ως ηλεκτρονικός υπολογιστής του οποίου η κατασκευή ολοκληρώθηκε το 1946, δεν είχε τη δυνατότητα αποθήκευσης προγραμμάτων. Μπορούσε μόνο να υπολογίσει πίνακες με τα στοιχεία των στόχων του αμερικανικού πυροβολικού, ο λόγος για τον οποίο κατασκευάστηκε. Για να κάνει κάτι διαφορετικό έπρεπε να γίνει αλλαγή στο σχεδιασμό των κυκλωμάτων του.

Ο Touring στην περίφημη εργασία του On Computable Numbers, with an application to Entscheidung' s problem το 1936, απάντησε αρνητικά στο πρόβλημα του Hilbert χρησιμοποιώντας τις Touring μηχανές. Ανεξάρτητα, την ίδια χρονιά ένας άλλος διάσημος μαθηματικός, ο Alonzo Church στην Αμερική έδωσε κι αυτός τη δική του λύση στο ίδιο πρόβλημα με διαφορετικό τρόπο. Μάλιστα η δημοσίευση της δουλειάς του Church προηγήθηκε, γιατί ο Touring είχε μάθει για αυτή και περίμενε τη δημοσίευση της για να βεβαιωθεί ότι η αντιμετώπιση του προβλήματος στις δύο εργασίες ήταν διαφορετική. Η Touring μηχανή δεν ήταν μόνο το κατάλληλο εργαλείο για τη λύση του προβλήματος του Hilbert αλλά θεμελίωσε και την έννοια της υπολογισιμότητας. Σύμφωνα με τη θέση των Church και Touring (Church - Touring thesis) ένα πρόβλημα είναι υπολογίσιμο, δηλαδή υπάρχει για αυτό μια συγκεκριμένη διαδικασία επίλυσής του αν και μόνο αν μπορεί να κωδικοποιηθεί στις οδηγίες μιας Turing μηχανής. Παρόλο που η θέση των Church και Touring θεωρείται αξίωμα, όλα τα νέα υπολογιστικά μοντέλα (π.χ. DNA, κβαντικοί υπολογιστές) αποδεικνύονται ισοδύναμα με τις Touring μηχανές.

Το 1938 ο Touring εργάστηκε στο Bletchley Park το κυβερνητικό κέντρο κρυπτογραφίας. Ήταν ακριβώς το διάστημα που οι διάφορες χώρες της συμμαχίας κατά των Γερμανών προσπαθούσαν να αποκρυπτογραφήσουν τα μηνύματα του γερμανικού στρατού. Για την κωδικοποίηση των μηνυμά των τους οι Γερμανοί χρησιμοποιούσαν τις μηχανές με το όνομα Enigma. Ο Touring βελτιώνοντας σημαντικά την υπολογιστική μηχανή Bombe των Πολωνών κατόρθωσε στα τέλη του 1940 να εφοδιάσει τους Άγγλους με μια μέθοδο αποκρυπτογράφησης των μηνυμάτων της Luftwaffe. Εντούτοις, η αποκρυπτογράφηση μηνυμάτων του γερμανικού ναυτικού, που χρησιμοποιούσε μια πολυπλοκότερη μηχανή τύπου Enigma, έγινε εφικτή μόλις το Μάρτη του 1943 με εξελιγμένες τεχνικές που χρησιμοποίησε ο Touring. Πολλή θεωρούν τη συμβολή του Touring καθοριστικής σημασίας στην έκβαση του Β' Παγκοσμίου πολέμου. Ως το τέλος της ζωής του ο Touring προσέφερε μυστικά τις πολύτιμες συμβουλές στο Bletchley Park σε θέματα κρυπτογραφίας. Παράλληλα μελετούσε την πρακτική υλοποίηση της καθολικής Touring μηχανής, στην ουσία του πρώτου ψηφιακού υπολογιστή. Ήδη από το 1944, είχε την πεποίθηση ότι οι σύγχρονοι υπολογιστές θα βασίζονταν στο μαθηματικό μοντέλο της καθολικής Touring μηχανής, στην ταχύτητα και την αξιοπιστία της τεχνολογίας των ηλεκτρονικών και στη δυνατότητα εκτέλεσης διάφορων εργασιών από έναν υπολογιστή με τη χρήση αντίστοιχων προγραμμάτων.

Τον Νοέμβριο του 1948 μετακινήθηκε στο πανεπιστήμιο του Μάντσεστερ όπου συμμετείχε στην παραγωγή κώδικα μηχανής για ηλεκτρονικό υπολογιστή. Παράλληλα ασχολήθηκε με μια ιδέα που του κέντριζε το ενδιαφέρον για αρκετά χρόνια, την "νοημοσύνη" των υπολογιστών. Η εργασία του Computing Machinery and Intelligence το 1950 θεωρείται πολύ σημαντική συμβολή στο πεδίο της επιστήμης που ονομάσθηκε "Τεχνητή Νοημοσύνη" (Artificial Intelligence). Πέθανε στις 8 Ιουνίου 1954 από δηλητηρίαση. Την εποχή εκείνη μελετούσε προβλήματα Βιολογίας με τη βοήθεια των Μαθηματικών.

Δουλεύοντας από το σπίτι σου...

2012-09-01T22:07:00.000+03:00

Μία ανάρτηση διαφορετική από το θέμα του blog μου, αλλά άκρως ενδιαφέρουσα!!
Παρακάτω σας παρέχω ένα σύνδεσμο όπου μπορείτε να δείτε και να ακούσετε την προσωπική ιστορία ενός νέου επιστήμονα (Πληροφορικό - Προγραμματιστή), ο οποίος βγάζει "τα προς το ζειν" και
κάτι περισσότερο δουλεύοντας από το σπίτι του. Παρακολουθήστε προσεκτικά όλα τα βίντεο της ιστοσελίδας του και τα συμπεράσματα είναι δικά σας...
Απλά χρειάζεται τόλμη, ανοιχτό μυαλό, φαντασία και πολύ καλή γνώση του αντικειμένου εργασίας!!

Το μέλλον είναι εδώ μην μένετε στο παρόν...έχει ήδη περάσει...

pameekso.gr

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

2012-09-01T21:47:00.002+03:00

Ύστερα από πολλή εργασία και κόπο σας παρουσιάζω το περιοδικό:

"ΤΡΕΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ".

Ένα περιοδικό που ασχολείται και παρουσιάζει πρωτότυπα αλλά και ιστορικά μαθηματικά άρθρα, πληροφορίες για το εκπαιδευτικό μας σύστημα και την εκπαίδευση γενικότερα και πολλά ψυχαγωγικά ενδιαφέροντα άρθρα που θα κεντρίσουν το ενδιαφέρον σας και θα γεμίσουν τον ελεύθερο χρόνο σας. Η διανομή του είναι ελεύθερη και μπορεί να κατεβαστεί και να εκτυπωθεί, ωστόσο απαγορεύεται η αλλοίωσή του και η αλλαγή των στοιχείων του. Τέλος απαγορεύεται η διανομή του με σκοπό την εμπορική χρήση του. Παρακαλώ, να με ειδοποιήσετε για τυχόν θέματα ή αλλαγές που θα θέλατε να δείτε στα μελλοντικά τεύχη.

Παρακάτω υπάρχει σε μορφή pdf αλλά και σε μορφή flipping book....

Μορφή pdf: ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ "ΤΡΕΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ"

Μορφή flipping book: trelos mathimatikos.exe

ή να το διαβάσετε online στη σελίδα:

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ "ΤΡΕΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ - ΤΕΥΧΟΣ 1ο , ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2012"

Πλατφόρμες διαδραστικής τηλεκπαίδευσης, ανταλλαγής απόψεων, συζήτησης

2012-07-25T19:51:00.001+03:00

Η εξέλιξη στην εκπαίδευση είναι τα "Συστήματα Διαχείρισης Μαθησιακών Δραστηριοτήτων" (CMS ή LMS), τα οποία είναι διαδυκτιακές πλατφόρμες για ανέβασμα εργασιών - ασκήσεων από εκπαιδευτικούς, συζήτηση και ανταλλαγή απόψεων για μαθησιακά και άλλα θέματα, ανέβασμα βιντεοπαρουσιάσεων και τηλεκπαίδευση. Τα μέλη χωρίζονται στους εκαπιδευτικούς (educators) και τους μαθητές (students).

Οι πρώτοι ανεβάζουν υλικό - παρουσιάσεις - ασκήσεις και παράλληλα μπορούν να ελέχουν και να βαθμολογούν την ορθότητα των λύσεων - απαντήσεων των μαθητών τους από τον πίνακα ελέγχου της εφαρμογής. Οι μαθητές μπορούν να διαβάζουν λυμμένες ασκήσεις, να προτείνουν λύσεις, να παρακολουθούν online μαθήματα, να παραθέτουν απόψεις τους και να κάνουν κριτικές.

Η διαδυκτιακές εφαρμογές με στόχο την εκπαίδευση έχουν προχωρήσει και αναπτυχθεί αρκετά, ιδίως με το web 2.0. Η πρόοδος συνεχίζεται με το web 4.0 και το web 5.0 (σε ερευνητικό στάδιο ακόμη). Όσοι εκπαιδευτικοί έχουν θέληση, δημιουργικότητα, χρόνο και νέες ιδέες μπορούν να ανακαλύψουν πολλά χρήσιμα πράγματα στις πλατφόρμες αυτές. Αν τις χρησιμοποιήσουν σωστά μπορούν να κερδίσουν πολλά σε διάφορα επίπεδα.

Οι μαθητές μπορούν να βρουν ένα πιο διασκεδαστικό και δημιουργικό τρόπο μάθησης, ο οποίος συμπληρώνει το μάθημα που γίνεται μέσα στην τάξη και δημιουργεί νέες δυνατότητες.

Πλατφόρμες Διαδραστικής Τηλεκπαίδευσης

Sakai

.LRN

Blackboard

Moodle

LAMS

Μερικά προγράμματα μαθηματικών 3

2012-07-16T10:45:00.001+03:00

Geogebra ----> Είναι ένα λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας. Με απλό τρόπο και με τη βοήθεια δομημένων ασκήσεων από τον εκπαιδευτικό, οι μαθητές μπορούν να πειραματιστούν με τα εργαλεία του συγκεκριμένου λογισμικού ώστε να κατανοήσουν βασικές έννοιες και όρους της γεωμετρίας καθώς και σχέσεις ανάμεσα στις γωνίες.

Maxima ----> Το Maxima είναι ένα υπολογιστικό μαθηματικό σύστημα. Υποστηρίζει μαθηματικούς υπολογισμούς όπως παραγώγιση, ολοκλήρωση, σειρές taylor, μετασχηματισμούς laplace, συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, συστήματα γραμμικών εξισώσεων, πολυώνυμα, διανύσματα, μητρώα, τανυστές κλπ.

Modellus ----> Απαραίτητο εργαλείο για την ανάπτυξη μαθηματικών μοντέλων και την επεξεργασία τους μέσα από γραφικές παραστάσεις, πίνακες και animations. Είναι ένα λογισμικό πολύ εύκολο στην εκμάθηση και τη χρήση του και άμεσα προσαρμόσιμο στις ανάγκες της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.

Yenka Mathematics Coordinates ----> To Yenka Coordinates είναι ένα νέο δωρεάν εργαλείο μοντελοποίησης για τη διδασκαλία σχετικά με 2d και 3d συντεταγμένες. Εισάγει καρτεσιανούς άξονες αφήνοντας σας να παίξετε παιχνίδια όπου μπορείτε να βρείτε τα σημεία ή να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες τους με 3d σχήματα.

Graphing Calculator 3D ----> Ένα καταπληκτικό δωρεάν πρόγραμμα κατηγορίας graphing calculator, με δυνατότητες σχεδιασμού γραφικών παραστάσεων 2d και 3d συναρτήσεων, υπολογισμού ολοκληρωμάτων, επίλυσης εξισώσεων και άλλων. Ειναι αρκετά εύκολο στον χειρισμό και τη λειτουργία του και έχει πολλές δυνατότητες.

C.a.R. ----> Πρόγραμμα προσομοίωσης γεωμετρικών σχημάτων και κατασκευών. Δημιουργείστε γεωμετρικές κατασκευές και διαχειριστείτε τις δυναμικά. Κάνετε μετακίνηση, περιστροφή, αυξομείωση, ανάκλαση και απόκρυψη του αντικειμένου. Διατηρεί τις μαθηματικές σχέσεις μεταξύ αυτού και των άλλων αντικειμένων που συσχετίζεται.

FreeMat ----> Είναι μια ικανή και δωρεάν εφαρμογή πλήρως ανταγωνιστική του εμπορικού Matalb. Έχει καταφέρει να το ξεπεράσει, αφού παρέχει χαρακτηριστικά εκεί που το Matalb σταματάει. Είναι εύκολο πρόγραμμα στο χειρισμό και τη λειτουργία του, επίσης ειναι διαθέσιμο για όλα τα σύγχρονα λειτουργικά συστήματα.

JMathLib ----> Εργαλείο που αποσκοπεί στην κατανόηση των μαθηματικών λειτουργιών που πρέπει να χρησιμοποιηθούν για την αξιολόγηση σύνθετων εκφράσεων και εμφάνισης γραφικών αποτελεσμάτων. Χρησιμοποιηείται διαδραστικά μέσα από ένα τερματικό όπως πχ. ένα παράθυρο, αλλά και για να ερμηνεύσει τα αρχεία δέσμης ενεργειών.

Octave ----> Είναι μια υψηλού επιπέδου μαθηματική γλώσσα που προορίζεται κυρίως για αριθμητικούς υπολογισμούς. Είναι πλήρως συμβατή με όλα τα εμπορικά πρόγραμμα μαθηματικών. Έχει εκτενή και χρήσιμα εργαλεία για επίλυση αριθμητικών προβλημάτων, είναι επεκτάσιμο και εύκολα προσαρμόσιμο από τον χρήστη.

Genius Maker ----> Ειναι ένα πολύ καλό δωρεάν και βραβευμένο λογισμικό για τα μαθηματικά κυρίως αλλά και όλες τις επιστήμες. Απευθύνεται σε μαθητές, σε φοιτητές αλλά και σε εκπαιδευτικούς όλων των βαθμίδων. Είναι ένα απαραίτητο εργαλείο για την προετοιμασία των εργασιών στο σπίτι, καθώς και εξάσκηση πριν τις εξετάσεις για μαθητές.

SpeQ Mathematics ----> Πρόκειται για μια μαθηματική αριθμομηχανή πολύ εύκολη στη χρήση. Σας επιτρέπει να προσθέσετε, να επεξεργαστείτε και να εκτελέσετε υπολογισμούς σε λίγα δευτερόλεπτα και υποστηρίζει όλες τις κοινές λειτουργίες που απαιτούνται από μια αριθμομηχανή. Είναι πολύ δημοφιλές και χρησιμοποιείται σε πολλές χώρες.

Geonext ----> Είναι ένα δυναμικό λογισμικό βασισμένο σε java και απευθύνεται σε μαθητές και καθηγητές με στόχο την διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών. Επιτρέπει την αυτόνομη και συνεργατική εκμάθηση των μαθηματικών στην τάξη και ενθαρρύνει μια ενεργό εξερευνητική προσέγγιση στη μαθηματική σκέψη.

Αβάκιο ----> Αβάκιο - Ταξινομούμε - Χελωνόκοσμος. Στα λογισμικά συμβολικής έκφρασης διατυπώνεται με τη μορφή πολύ απλών εντολών προγραμματισμού η μαθηματική έννοια και γίνεται αναπαράστασή της σε γραφικό περιβάλλον. Έτσι, αλλάζουν οι τιμές των μεταβλητών μεγεθών με αποτέλεσμα να προκύπτουν εικασίες, έλεγχοι, γενικεύσεις.

Free UMS Equation Solver ----> Δωρεάν πρόγραμμα που λύνει αλγεβρικές εξισώσεις. Οι εξισώσεις μπορεί να είναι ορθολογική, παράλογη, λογαριθμική, εκθετική, με απόλυτη τιμή και με παραμέτρους, γενικά οποιαδήποτε αλγεβρική εξίσωση οποιουδήποτε επιπέδου πολυπλοκότητας. Όλες οι λύσεις συνοδεύονται από περιγραφές.

Gnuplot ----> Το Gnuplot είναι ένα πρόγραμμα για τη σχεδίαση δεδομένων και συναρτήσεων από τη γραμμή εντολών. Το Gnuplot ενδείκνυται στο να συμπεριληφθεί με άλλο πρόγραμμα που διαβάζει ή παράγει δεδομένα. Μπορεί να αναπαριστάνει δισδιάστατες αλλά και τρισδιάστατες γραφικές παραστάσεις.

K3DSurf ----> Ενα πρόγραμμα οπτικοποίησης και χειρισμού πολυδιάστατων επιφανειών οι οποίες παράγονται με τη χρήση μαθηματικών εξισώσεων. Υποστηρίζει όλες τις τυποποιημένες μαθηματικές συναρτήσεις, ενώ ο χρήστης μπορεί με το ποντίκι να περιστρέψει το απεικονιζόμενο αντικείμενο ή να το φέρει πιο κοντά.

OpenEuclide ----> Tο OpenEuclide ειναι ένα δωρεάν και χρήσιμο εργαλείο για την γεωμετρία. Πρόκειται για πρόγραμμα που χρησιμοποιείται για την παρασκευή δισδιάστατων γεωμετρικών σχημάτων και μπορεί να εφαρμοστεί στα πλαίσια μαθημάτων γεωμετρίας. Απλό στην χρήση και εύκολο στην κατανόηση του.

KSEG ----> Εκπαιδευτικό λογισμικό για την ευκλείδεια γεωμετρία, σχεδιασμένο για ευρεία κλίμακα χρηστών. Εμπνεύστηκε από το Sketchpad, αλλά υπερβαίνει την λειτουργία του και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την διδασκαλία στην τάξη, για προσωπική εξερεύνηση της γεωμετρίας ή την παραγωγή σχημάτων υψηλής ποιότητας.

GraphCalc ----> Πρόγραμμα που συνδυάζει όλα τα χαρακτηριστικά ενός επαγγελματικού πακέτου μαθηματικών με απλότητα και ευκολία στο χειρισμό του. Είναι ένα graphing galculator που εκτός από πράξεις μπορεί να σχεδιάζει 2d και 3d γραφικές παραστάσεις, να λύνει εξισώσεις, να υπολογίζει ολοκληρώματα και να μετατρέπει μονάδες.

Δέκα αποφθέγματα μαθηματικών που πιθανότατα δεν ακούσατε ποτέ!!

2012-06-05T19:41:00.004+03:00

Οι μαθηματικοί είναι σαν τους manager. Θέλουν βελτίωση χωρίς αλλαγή – Henri Poincare
Οι μαθηματικοί μπορούν να περηφανεύονται πως κατέχουν νέες ιδέες, τις οποίες οι περισσότεροι άνθρωποι αδυνατούν ακόμα και ναεκφράσουν – James C. Maxwell
Οι μαθηματικοί στηρίζονται ο ένας στους ώμους του άλλου – Carl Friedrich Gauss
Δώσε μου έναν αρκετά μεγάλο μοχλό και έδαφος να σταθώ και θα κινήσω τον κόσμο – Αρχιμήδης
Αισθάνομαι σαν παιδί που παίζει στην αμμουδιά, ενώ μπροστά του βρίσκονται ατελείωτοι και ανεξερεύνητοι ωκεανοί – Isaac Newton
Δεν πιστεύω πως ο Fermat είχε βρει τη λύση. Πιστεύω ωστόσο, πως κορόιδεψε τον εαυτό του ότι την είχε βρει – Andrew Wiles
Μία μηχανή θα μπορούσε να αποκαλείται έξυπνη, αν ήταν σε θέση να πείσει έναν άνθρωπο πως είναι και αυτή άνθρωπος – Alan Turing
Κανείς μπορεί να φαντάζεται τον απόλυτο μαθηματικό, σαν αυτόν που μπορεί να βλέπει αναλογίες ανάμεσα σε αναλογίες – Stefan Banach
Αν μπορούσα να κοιμηθώ και να ξυπνήσω μετά από χίλια χρόνια, το πρώτο πράγμα που θα ρωτούσα θα ήταν: Αποδείχθηκε η υπόθεση του Riemann; - David Hilbert
Στα μαθηματικά, η τέχνη του να διατυπώνεις σωστά το ερώτημα, βρίσκεται ψηλότερα από το να δίνεις σωστά την απάντηση – Georg Cantor

ΠΗΓΗ: http://www.i-math.gr

Η μαθηματική Εξίσωση του...Batman...!!

2012-04-07T14:02:00.000+03:00

Ένα διασκεδαστικό θέμα με εξισώσεις που δημιουργούν το λογότυπο της γνωστής παιδικής σειράς κινουμένων σχεδίων - ταινιών...Batman...

Πηγή: http://clopyandpaste.blogspot.com/2011/07/batman.html#axzz1rLpWy8Zx

Το π = 3,14 σε μουσική

2012-04-06T23:15:00.001+03:00

Η απόδειξη της εικασίας του Poincare

2011-09-25T22:39:00.002+03:00

Henri Poincare

Ο Henri Poincare (1854 - 1912) ήταν Γάλλος μαθηματικός που ασχολήθηκε με τη σταθερότητα των νόμων που διέπουν την κίνηση των πλανητών ενός ηλιακού συστήματος. Προσπάθησε να εξηγήσει, με μαθηματικό τρόπο, την ενδεχόμενη αλλαγή στην κίνηση ενός πλανήτη που θα μπορούσε είτε να ξεφύγει έξω από τα όρια του γαλαξία στον οποίο βρίσκεται, είτε να συγκρουστεί με κάποιον άλλον πλανήτη. Στην προσπάθεια του αυτή εισήγαγε, ένα νέο τότε πεδίο, την τοπολογία με σκοπό τη μελέτη των επιφανειών. Το 1904 διατύπωσε την περίφημη εικασία του, η οποία αποδείχθηκε ένα από τα δυσκολότερα προβλήματα της μαθηματικής επιστήμης. Με την εικασία του Poincare ασχολήθηκαν, χωρίς επιτυχία, πολλοί διάσημοι μαθηματικοί. Επαληθεύτηκε τελικά, 100 χρόνια αργότερα, από το Ρώσο μαθηματικό Grigoriy Perelman.

Η εικασία του Poincare

Για λόγους καθαρά εποπτικούς θα περιγράψουμε αρχικά το πρόβλημα, που θέτει η εικασία του Poincare, στις 2-πολλαπλότητες δηλαδή στις επιφάνειες του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου. Μια 2-πολλαπλότητα ονομάζεται απλώς συνεκτική αν κάθε κλειστή καμπύλη που βρίσκεται πάνω σε αυτή μπορεί να "συρρικνωθεί", παραμένοντας πάνω στη επιφάνεια, σε ένα μόνο σημείο. Για παράδειγμα, η επιφάνεια της γνωστής μας σφαίρας (μπάλας) είναι απλώς συνεκτική 2-πολλαπλότητα.

Δε συμβαίνει όμως το ίδιο και με τον τόρο δηλαδή την επιφάνεια του "ντόνατ". Πράγματι υπάρχουν κλειστές καμπύλες στον τόρο οι οποίες δεν μπορούν να συρρικνωθούν σε σημείο κρατώντας την επαφή τους με την επιφάνεια.

Όλες οι απλώς συνεκτικές 2-πολλαπλότητες, με όρους της τοπολογίας, είναι όμοιες μεταξύ τους. Η επιφάνεια ενός αβγού για παράδειγμα είναι τοπολογικά όμοια με την επιφάνεια της σφαίρας.
Ο Poincare έθεσε το 1904 το ίδιο ερώτημα για τις απλώς συνεκτικές 3-πολλαπλότητες. Με άλλα λόγια σύμφωνα με την εικασία του Poincare:

"Κάθε απλώς συνεκτική 3-πολλαπλότητα (δηλαδή απλώς συνεκτική επιφάνεια στον τετραδιάστατο ευκλείδειο χώρο) είναι τοπολογικά όμοια με την 3-σφαίρα, δηλαδή την επιφάνεια της σφαίρας στον τετρασιάστατο ευκλείδειο χώρο."

Τα επόμενα χρόνια αρκετοί διάσημοι μαθηματικοί προσπάθησαν, χωρίς επιτυχία, να απαντήσουν καταφατικά ή αρνητικά στην εικασία του Poincare. Οι προσπάθειες αυτές βέβαια είχαν σαν αποτέλεσμα την κατανόηση σε βάθος της θεωρίας των πολλαπλοτήτων, αλλά η εικασία του Poincare αναδείχθηκε ως ένα από τα δυσκολότερα μαθηματικά προβλήματα. Το 1960 ο Stephen Smale από το University of California στο Berkeley (σήμερα στο City University of Hong Kong) κατόρθωσε να απαντήσει θετικά στο αντίστοιχο πρόβλημα της εικασίας του Poincare για n-πολλαπλότητες με n > 4. Στην περίπτωση αυτή η συνθήκη "απλώς συνεκτική" αντικαταστάθηκε με μια ισχυρότερη. Είκοσι δύο χρόνια αργότερα ο Michael Freedman από το Uninersity Of California, San Diego (σήμερα στο Microsoft Research Station Q) απάντησε επίσης θετικά στο αντίστοιχο πρόβλημα της εικασίας του Poincare για απλώς συνεκτικές 4-πολλαπλότητες. Ο Smale και ο Freedman, για τα αποτελέσματά τους αυτά, τιμήθηκαν με το βραβείο Fields Medal (βραβείο για τη μαθηματική επιστήμη, αντίστοιχο του Nobel) το 1966 και 1986, αντίστοιχα. Παρόλα αυτά η εικασία του Poincare παρέμενε αναπάντητη.

Το 1982 ο William Thurston από το University of Colorado, Boulder (σήμερα στο Cornell University) διατύπωσε μια νέα εικασία σύμφωνα με την οποία κάθε 3-πολλαπλότητα μπορεί να διασπασθεί σε κομμάτια που έχουν μια απλή γεωμετρική δομή. Οι γεωμετρικές αυτές δομές του Thurston είναι οκτώ. Η εικασία του Poincare ήταν τώρα μια ειδική περίπτωση της εικασίας του Thurston. Για αυτό ακριβώς το λόγο οι ερευνητές θεώρησαν ότι η επαλήθευση ή όχι αυτής της νέας εικασίας θα μπορούσε να προσργγισθεί πολύ αργότερα, ίσως τον 22ο αιώνα! Ο Thurston επαλήθευσε την εικασία του μόνο για κάποιες ειδικές περιπτώσεις 3-πολλαπλοτήτων.

Το 1982 ο Richard Hamilton από το Cornell Umiversity (σήμερα στο Columbia University) εισήγαγε τη διαφορική εξίσωση, που ονόμασε Ricci flow. Αυτή η εξίσωση είναι, στα πλαίσια της γεωμετρίας, αντίστοιχη της εξίσωσης θερμότητας του Fourier. Με την εξίσωση αυτή ο Hamilton θεώρησε ότι θα μπορούσε να μετασχηματίσει σταδιακά κάθε απλώς συνεκτική 3-πολλαπλότητα σε σφαίρα, και έτσι ήλπιζε ότι θα μπορούσε να απαντήσει στην εικασία του Poincare. Αυτό όμως στάθηκε αδύνατον, διότι ο μετασχηματισμός της 3-πολλαπλότητας δεν ήταν πάντα μια ομαλή διαδικασία. Ανάλογα με τη μορφή της 3-πολλαπλότητας μπορεί να υπάρχουν περιοχές που ονομάζονται ανωμαλίες, όπου ο μετασχηματισμός δεν μπορεί να προχωρήσει με τον αναμενόμενο τρόπο. Ήταν πολύ δ΄θσκολο να κατανοηθεί ακόμη και η ίδια η φύση αυτών των ανωμαλιών και συνεπώς, να βρεθούν τρόποι να ξεπεραστούν τα εμπόδια που έθεταν στη διαδικασία του μετασχηματισμού.

Εξίσωση Ricci flow

Το 2000 το Clay Mathematics Institute (CMI) των Η.Π.Α. θέσπισε τη λίστα των Millennium Prize Problems, μια λίστα με επτά από τα δυσκολότερα άλυτα, ως τότε προβλήματα, της μαθηματικής επιστήμης. Για τη λύση του κάθε προβλήματος το Millennium Prize θα συνοδευόταν από χρηματικό έπαθλο $1.000.000. Η εικασία του Poincare βρισκόταν στη λίστα αυτή.

Το 2002 και 2003 ο Ρώσος μαθηματικός Grigoriy Perelman από το Stelkov Mathematical Institute της Αγίας Πετρούπολης, που γεννήθηκε στις 13 Ιουνίου 1966, με τρεις εργασίες που δημοσίευσε στον δικτυακό τόπο http://ArXiv.org ανακοίνωσε την επαλήθευση όχι μόνο της εικασίας του Poincare αλλά και της εικασίας του Thurston! Ο Perelman κατόρθωσε να κατανοήσει τη φύση των ανωμαλιών που προκύπτουν στη εξίσωση Ricci flow και να κατασκευάσει μοντέλα που εξηγούσαν το σχηματισμό τους. Μετά τη δημοσίευση των εργασιών του, ο Perelman έδωσε μια σειρά από διαλέξεις στα πανεπιστήμια Priceton, MIT, SUNY Stony Brook και Pennsylvania των Η.Π.Α. Ως το 2006 διάφορες ερευνητικές ομάδες σε όλο τον κόσμο προσπαθούσαν να κατανοήσουν τη δουλειά του Perelman και να ελέγξουν την ορθότητα τωναποτελεσμάτων του. Κανένα σημαντικό λάθος που θα αναιρούσε τη σπουδαιότητα της δουλειάς του δε βρέθηκε!
Ο Perelman τιμήθηκε με το βραβείο Fields Medal το οποίο αρνήθηκε να παραλάβει.

Grigoriy Perelman

Στις 18 Μαρτίου 2010, το Clay Mathematics Institute ανακοίνωσε τη απόφαση για την απονομή του πρώτου Millennium Prize στον Perelman, για την επαλήθευση της εικασίας του Poincare. Τον Ιούλιο του 2010, ο Perelman αρνήθηκε και το βραβείο αυτό διαφωνώντας με την απόφαση του CMI! Θεώρησε ότι η δουλειά του δεν ήταν σημαντικότερη από αυτήν του Hamilton, ο οποίος εισήγαγε και μελέτησε πρώτος την εξίσωση Ricci flow. Ο Perelman αρνήθηκε επίσης διάφορες θέσεις, που του προτάθηκαν από κάποια απο τα καλύτερα πανεπιστήμια του κόσμου! Σήμερα έχει παραιτηθεί και από το Stelkov Mathematical Institute εγκαταλείποντας την επαγγελματική ενασχόληση με τα μαθηματικά.

Παρακάτω υπάρχουν οι δημοσιεύσεις του Perelman για την εικασία του Poincare, δηλαδή η απόδειξή της, όπως και η απόδειξη της εικασίας του Thurston που είναι η γενίκευση της εικασίας του Poincare. Οι δημοσιεύσεις είναι στα αγγλικά. Όποιος έχει το σχετικό υπόβαθρο στα μαθηματικά και καλή γνώση αγγλικής γλώσσας μπορεί να τις μελετήσει.

G. Perelman, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications

G. Perelman, Ricci flow with surgery on three-manifolds

G. Perelman, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds

That's Greece vs That's Not Greece

2011-09-25T20:58:00.003+03:00

Η ακολουθία Fibonnacci σε όλη της την ομορφιά...!!

2011-09-02T23:20:00.004+03:00

Τα μαθηματικά της Θεωρίας των χορδών

2011-08-30T22:39:00.003+03:00

Η θεωρία των υπερχορδών είναι μία προσπάθεια εξήγησης της ύπαρξης όλων των μορίων και των θεμελιωδών δυνάμεων της φύσης σε μία και μοναδική θεωρία. Το συγκεκριμένο μοντέλο θεωρεί την ύπαρξη απειροελάχιστων μικροσκοπικών υπερσυμμετρικών χορδών ως τα δομικά στοιχεία των κουάρκ. Προσέξτε στο επίπεδο που κατεβαίνουμε:
τα κουάρκ είναι τα δομικά στοιχεία των πρωτονίων και των νετρονίων, εν συνεχεία τα σωματίδια αυτά (κουάρκ) αποτελούνται από τις χορδές αυτές!!
Το δυσκολότερο πρόβλημα στη θεωρητική φυσική είναι η εναρμόνιση της θεωρίας της Γενικής Σχετικότητας, η οποία περιγράφει τη δύναμη της βαρύτητας και ισχύει για μεγάλης κλίμακας δομές (π.χ. αστέρες, γαλαξίες, συστοιχίες γαλαξιών), με τη θεωρία της Κβαντομηχανικής, η οπόια περιγράφει τις άλλες τρεις θεμελιώδεις δυνάμεις (ηλεκτρομαγνητισμός, ισχυρή πυρηνική δύναμη, ασθενής πυρηνική δύναμη) που δρουν σε ατομική κλίμακα. Η ενοποίηση αυτών των δύο θεωριών θα μας δώσει μία και μοναδική θεωρία που θα περιγράφει ολόκληρο το σύμπαν και το μικρόκοσμο και από αυτή θα μπορούμε θεωρητικά να κατανοήσουμε σχεδόν τα πάντα στο φυσικό μας κόσμο.

Τα μαθηματικά

Η πιο σημαντική μοναδική εξίσωση στη θεωρία των χορδών είναι η N-σημείων εύρους διασποράς. Αυτή μεταχειρίζεται τις εισερχόμενες και εξερχόμενες χορδές σαν σημεία, τα οποία στη θεωρία χορδών είναι ταχυόνια με ορμή k_i, τα οποία συνδέουν μία παγκόσμια επιφάνεια χορδών με μία επιφάνεια σημείων z_i . Δίνεται από το ακόλουθο συναρτησιακό ολοκλήρωμα το οπόιο ενσωματώνει αθροίσματα από όλες τις πιθανές ενσωματώσεις αυτής της 2-στατης επιφάνειας στις 27 διαστάσεις.

Το συναρτησιακό ολοκλήρωμα μπορεί να πάρει τη μορφή:

Αυτό ενσωματώθηκε πάνω από τα διάφορα σημεία z_i. Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται επειδή δύο μέρη της μιγαδικής περιοχής μπορεί να αντιπροσωπεύουν το ίδιο σημείο στη 2-στατη επιφάνεια και δεν θέλουμε να ενσωματώνονται δύο φορές. Επίσης, πρέπει να σιγουρευτούμε ότι δεν ενσωματώθηκε πολλαπλές φορές από διαφορετικές παραμετρικοποιήσεις της επιφάνειας. Όταν όλα αυτά τα λάβουμε υπ' όψιν μπορούμε να υπολογίσουμε το 4-σημείο εύρους διασποράς (το 3-σημείο διασποράς είναι απλά μια συνάρτηση Δέλτα):

Το οποίο είναι μια συνάρτηση Βήτα (δηλ. ολοκλήρωμα Euler πρώτου είδους). Ήταν αυτή η συνάρτηση Βήτα που προφανώς βρέθηκε πριν αναπτυχθεί η πλήρης θεωρία των χορδών. Με υπερχορδές οι εξισώσεις περιέχουν όχι μόνο τις 10-διάστατες χωροχρονικές συντεταγμένες Χ αλλά επίσης και τις συντεταγμένες του Grassmann, θ. Επειδή υπάρχουν ποικίλοι τρόποι για να βρεθούν οδήγησαν αντίστοιχα σε διαφορετικές θεωρίες χορδών.
Όταν ενσωματώθηκαν πάνω από επιφάνειες όπως ο τόρος, καταλήξαμε σε εξισώσεις από την πλευρά των συναρτήσεν Θ και των ελλειπτικών συναρτήσεων όπως η συνάρτηση η του Dedekind. Αυτή είναι λεία παντού μόνο όταν υψωθεί στη 24η δύναμη, κάτι το οποίο έπρεπε να γίνει για να υπάρχει φυσικό νόημα. Αυτή είναι η προέλευση των απαραίτητων 26 διαστάσεων του χωροχρόνου για την Μποσονική θεωρία των χορδών. Οι επιπλέον δύο διαστάσεις προκύπτουν ως βαθμοί ελευθερίας της επιφάνειας χορδών.

Τόρος

D-branes

Οι D-branes είναι μεμβράνες - αντικείμενα στην 10-διάστατη θεωρία χορδών. Μπορείται να τις φανταστείτε (σαν εμφάνιση) ως αποτέλεσμα συμπαγοποίησης του Kaluza - Klein της 11-διάστατης Μ-θεωρίας, που περιέχει μεμβράνες. Οι Kaluza και Klein συνέβαλλαν με το έργο τους στη σύλληψη και κατανόηση ως ένα μέρος της θεωρίας χορδών. Επειδή η συμπαγοποίηση της γεωμετρικής θεωρίας παράγει επιπλέον διανυσματικά πεδία οι D-branes μπορούν να συμπεριληφθούν προσθέτοντας ένα επιπλέον U(1) σιανυσματικό πεδίο στη δράση των χορδών.

Στον τύπο 1 της θεωρίας των ανοιχτών χορδών, το τελείωμα των ανοιχτών χορδών προσαρμόζεται πάντα στις D-branes επιφάνειες. Μία θεωρία χορδών με περισσότερα μετρήσιμα πεδία, όπως το SU(2) μετρήσιμο πεδίο, θα αντιστοιχούσε σε συμπαγοποίηση μερικών υψηλότερης διάστασης θεωριών, πάνω από 11 διαστάσεις, το οποίο δε φαίνεται να είναι πιθανό μέχρι σήμερα.

Παρακάτω υπάρχει ένα πολύ διαφωτιστικό βίντεο για τη θεωρία χορδών. Πατήστε το play και στη συνέχεια επιλέξτε για υπότιτλους τα ελληνικά. Ελπίζω να το βρείτε ενδιαφέρον. Η θεωρία χορδών ακομή και εάν δεν αποδειχθεί πειραματικά από τον επιταχυντή σωματιδίων στο Cern της Ελβετίας αξίζει το θαυμασμό μας και μόνο από το γεγονός ότι προσπάθησε να ξεπεράσει τα πλαίσια της ήδη υπάρχουσας γνώσης και να πάει ένα βήμα παραπέρα την έρευνα και κατ' επέκταση τη γνώση και την επιστήμη...

Τρίγωνο Penrose (Το αδύνατο τρίγωνο)

2011-08-17T21:23:00.004+03:00

To τρίγωνο Penrose είναι ένα τρίγωνο που έχει τρεις ορθές γωνίες!!! Σχεδιάστηκε απο τον Σουηδό καλλιτέχνη Oscar Reutersvärd το 1934 . Ο μαθηματικός Roger Penrose το ανακάλυψε το 1950 σαν "αδυνατότητα στην πιο καθαρή μορφή".

Όπως όλοι γνωρίζουμε δεν υπάρχει τρίγωνο με τρεις ορθές γωνίες. Το τρίγωνο Penrose είναι ουσιαστικά μία οφθαλμαπάτη.

Η οφθαλμαπάτη αποκαλύπτεται. To τρίγωνο Penrose στις τρεις διαστάσεις από τρεις διαφορετικές οπτικές γωνίες. Perth Αυστραλίας: 1, 2, 3
Το τρίγωνο Penrose στην τέχνη του Escher:

Waterfall (3 τρίγωνα Penrose δίνουν στο θεατή την ψευδαίσθηση ότι το νερό ανεβαίνει)

Ascending and Descending (2 τρίγωνα Penrose στο πάνω μέρος του κτιρίου μας κάνει να πιστέψουμε ότι οι σκάλες ταυτόχρονα ανεβαίνουν και κατεβαίνουν)

Τετράγωνο και Πεντάγωνο του Penrose

Εξάγωνο και Οκτάγωνο του Penrose

Πηγές:

http://eisatopon.blogspot.com/2011/01/penrose.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_triangle
http://alikos.blogspot.com/2011/07/penrose.html