Matemática

Forma Práctica para racionalizar

2014-04-18T20:45:00.001-07:00

Racionalización

El proceso de eliminar radicales del denominador de una fracción se denomina:
racionalización del denominador.

Racionalización de fracciones cuyo denominador es un monomio.
Para racionalizar una fracción cuyo denominador es un monomio,se multiplican el numerador y el denominador

por un factor adecuado que elimine la raíz del denominador.Así para racionalizar :
,donde n>m,se hace

, con lo cual la expresión queda racionalizada.
Repasemos de vuelta,lo que debemos hacer es utilizar el factor pintado en rojo ( que corresponde a colocar la
raiz con el mismo Índice del denominador "n" y la misma cantidad subradical:"x" y cuyo exponente sea igual al
índice menos el exponente de la cantidad subradical inicial.
¡Con lo cual queda resuelto nuestro ejercicio!

Aqui tenemos un cuadro resumen de los casos para racionalizar y los factores que debemos utilizar para eliminar la raíz del denominador.

Bienvenidos

2014-01-13T20:12:00.000-08:00

EN EL BLOG SE EXPLICA COMO APLICAR METODOS ALTERNATIVOS PARA RESOLVER
EJERCICIOS MATEMATICOS,QUE NO SE EXPLICAN EN EL AULA.

METODOS QUE RESULTAN VALIDOS.

Determinantes de orden superior a 3

2013-08-25T09:26:00.000-07:00

En el caso de determinantes de orden superior a 3 (es decir, asociados a matrices de tamaño nxn con n>3) ,la expresión resultante tiende a complicarse, por lo que recurriremos al método de desarrollo de adjuntos para su cálculo.

Para calcular el determinante de una matriz 4x4 (o superior) se debe hacer:

1) Elegir aquella fila que tenga el mayor número de ceros( si ninguna línea tiene ceros, se coge una línea cualquiera)

Fijémonos en el siguiente ejemplo:

En este caso elegimos la 1º columna

2) Cada uno de los elementos de la línea dará lugar a un sumando, el cual se obtendrá como se explica en el paso siguiente.

3) Para cada elemento de la línea seleccionada, éste se multiplica por su correspondiente determinante adjunto(aquel determinante resultante de eliminar la fila y la columna a las que pertenece el elemento seleccionado.

Antes de hallar los sumandos debemos fijarnos en la siguiente disposición de signos siguientes:

Según la tabla de disposición de signos, nuestro determinante quedaría así:

Entonces,para el 1º elemento,en este caso el nº 1se tendría el primer sumando así:

Para el 2º elemento,el número 2, se tiene el segundo sumando:

Para el 3º elemento,el nº 3,se tiene el tercer sumando:

Para el 4º y último elemento, el nº 1,se tendría el siguiente sumando:

Luego la disposición de los sumandos sería esta:

Calculamos los determinantes de orden 3,utilizando la regla de Sarrus.

Sustituyendo los valores de los determinantes de orden 3 en:

Quedaría así

El valor del determinante de orden 4 ,entonces es 15!

Método de Multiplicación Egipcia

2013-01-08T10:12:00.000-08:00

Este método lo consideré bastante interesante y fácil de aprender,por ello les explicaré paso a paso para que lo puedan aplicar con éxito.

Para comenzar tenemos los números que queremos multiplicar:

43x92

Tenemos una tabla con dos columnas en una de ellas está escrito el código (vemos que empezando por el nº1 se va multiplicando por 2) y en la otra los sucesivos productos del 2º factor que en este caso es el 92 con el nº 2

Código Doble(x2)

1 92

2 92x2=184

4 184x2=368

8 368x2=736

16 736x2=1472

   32                             1472x2=2944
   64
  128

Ya que 64 > 43, no es necesario ir más allá de los 32.

Debes sumar los números de la "columna código" que nos de en total 43:

32 + 8 + 2 + 1 = 43

Ahora sume los números correspondientes en la columna de 92:(al 1 le corresponde el 92;al 2 le corresponde el 184;al 8 le corresponde el 736;al 32 le corresponde el 2944)

92 + 184 + 736 + 2944 = 3956

Por lo tanto, 43 x 92 = 3956

Observen el video,les será de mucha utilidad.

EL TRABAJO MARCHA ATRÁS.

2013-01-07T13:14:00.001-08:00

Método para resolver Problemas.

Existen situaciones donde el camino es más sencillo de recorrer si lo hacemos desde el fianl hasta el comienzo.Esta estrategia es la que puede describir como considerar el problema resuelto.

Se utiliza en casos donde se conoce el objetivo o resultado final y el problema consiste en determinar la secuencia correcta de operaciones que nos llevará desde el estado inicial hasta el objetivo.

Al imaginar el problema resuelto,ya que este es el punto de partida,aparecen los datos y las relaciones más próximos a lo que buscamos y más fácilmente encontramos el camino,desde donde nos encontramos hasta donde queremos llegar.

Esta clase de problemas se comienza por el fin y se van haciendo operaciones inversas a las indicadas en el problema.

Veamos un ejemplo:

Pedro asistió a una apuesta,en el 1º día, duplicó su dinero y gastó 30$

el 2º día, triplicó y gastó 54$ y en el 3º día cuadriplicó y gastó 72$,si Pedro se quedó con 48$ con que dinero comenzó a apostar?

En el 3º día

:Para resolverlo debemos tomar el 48 y sumar con 72 ( puesto que dice gastó que equivale a restar)

Lo que nos da :72+48=120

como dice cuadriplicó hacemos 120/4=30

En el 2º día

dice gastó 54$ entonces hacemos: 30 +54=84

como Pedro triplicó su dinero debemos dividir entre 3,así 84/3=28

En el 1º día
gastó 30$ que es :28+30=58 y duplicó su dinero que es :58/2=29
Por lo tanto tenemos que Pedro comenzó a apostar con 29$

Veamos otro Ejemplo

Si a un número añado 23,resto 41 de esta suma y la diferencia la multiplico por 2,obtengo 132
¿Cuál es el número?

1º) 132/2=66

2º) 66+41=107

2º) 107-23=84

Pues el número buscado es el 84.

Aquí van dos ejercicos de manera a aplicar lo aprendido.

1)Tenía cierta cantidad de dinero.Pagué una deuda de 86$;entonces recibí una cantidad igual a la que me quedaba y después presté 20$ a un amigo.Si ahora tengo 232 $¿Cuánto tenía al principio? R:212$

2)El Lunes perdí 40 $;el martes gané 125$;el miércoles gané el doble de lo que tenía el martes,y el jueves,después de perder la mitad de lo que tenía,me quedan 465$¿Cuánto tenía antes de empezar a jugar? R:225$

Forma Práctica de recordar los valores del seno y coseno de angulos notables.

2013-01-07T09:58:00.002-08:00

En primer lugar debemos colocar uno detrás del otro ( en fila horizontal) los números 0,1,2,3 y 4
Luego en la siguiente fila horizontal,dividir estos números entre el número 4
Después,en la siguiente fila extraer la raíz cuadrada de la división indicada.,
Y por último tenemos el valor del seno de los ángulos.
Debemos proceder así:

SENO.

0º         30º          45º      60º          90º

0           1               2          3              4

0/4        1/4           2/4        3/4           4/4

Al extraer la raíz cuadrada nos queda:

0           1/2         1,41        0,86           1

que son los valores de 0º,30º,45º,60º y 90º (de izquierda a derecha)

Bueno para obtener los valores del coseno de los ángulos notables,¡pues son los mismos valores pero (de derecha a izquierda)!,así

COSENO

0º          30º         45º          60º           90º

1           0,86         1,41          1/2            0

Aunque el proceso es bastante fácil,

El siguiente video de seguro servirá para fijar mejor el procedimiento para hallar los valores de los ángulos.

MÉTODO TABULAR DE INTEGRACIÓN POR PARTES.

2012-12-12T10:25:00.002-08:00

En algunos casos la integrales de productos de polinomios con funciones trascendentes involucran polinomios de grados altos,que conllevan cálculos demasiado laboriosos al aplicar la fórmula de la integral por partes.En tales casos se utiliza una técnica conocida como integración tabular,que consiste en:

Derivar la funciones polinómicas hasta llegar a cero,y a su vez integrar la funciones trascendentes tantas veces como se derivó la otra función.Colocando las derivadas e integrales correspondientes lado a lado en una tabla,realizamos los productos de cada derivada con la Integral del siguiente renglón,cambiando alternativamente el signo de cada producto.La suma de estos productos es el resultado de la Integral correspondiente.Este método funciona bien con funciones exponenciales,hiperbólicas,senos y cosenos.

Ejemplo

S(X^3+X^2+X+1) e^x dx

Solución

Elegimos u= X^3+X^2+X+1 y v=e^x ,y realizamos las derivaciones e integraciones indicadas.

En la tabla se muestran los resultados de esto.

De lo obtenido en la tabla mencionada y haciendo los productos de u(x) y sus derivadas con

v(x) y sus integrales,encontramos que

S(X^3+X^2+X+1) e^x dx= (x^3-2x^2+x)e^x+C

Bueno en este video les va otro ejemplo para resolverlo por el Método Tabular.Por cierto es bastante
explicativo.

Regla mnemotécnica ALPES para Integrar por partes.

2012-12-07T11:15:00.000-08:00

INTEGRACIÓN POR PARTES.

Para recordar la parte de la fórmula de la derecha podemos utilizar la siguientes frases:

Un Día Vi Una Vaca Vestida De Uniforme

Un Día Vi Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme

Sentado Un Día Vi Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme

Susana Un Día Vio Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme

Unamuno Dice Verdades: Una Verdad menos integra Verdaderas Dudas Universales

Solo Un Día Vi Una Vaca menos flaca Vestida De Uniforme

Un Día Vi Una Vaca sin corbata Vestida De Uniforme

La integral de Un Día Vi es igual a Una Vaca menos la integral de Vestida De Uniforme

Un Día Vi Un Viajero Sobre su Volkswagen De Uranio

Luego de que ya sabemos la fórmula,porque utilizamos algunas de las frases arriba mencionadas,debemos sortear otro inconveniente, ¿qué uso para determinar cómo asignar y de forma correcta? Pues ahí aparece la regla ALPES.

¿En qué consiste esta regla? Primero descubramos qué significado tienen cada una de las letras de esta alpina palabra:

A: funciones Arco (arco seno, arco coseno, arco tangente)

L: Logaritmos

P: Potencias (de exponente numérico)

E: Exponenciales

S: Seno y coseno

Bien, ¿cómo usamos todo esto? Muy sencillo:

Convendrá utilizar el método de integración por partes cuando tengamos enfrente una integral de una función arco solamente, un logaritmo solamente o un producto de dos funciones que pertenezcan a dos de esos cinco tipos.

En el primero caso, sólo una función arco, llamaremos a esa función arco y al resto ( en este caso); en el segundo caso, sólo un logaritmo, llamaremos al logaritmo y al resto (también ); y en el tercer caso, el más interesante, el del producto, llamaremos a la función cuyo tipo aparezca primero en ALPES y al resto (que ahora será la otra función por ).

Por ejemplo, la integral

es un producto de , que pertenece a P, y , que entra en L. Como en ALPES la L aparece antes que la P, la asignación será:

A partir de ellos calcularemos (derivando lo que hemos llamado ) y (integrando lo que hemos llamado ), y aplicaremos la fórmula base del método (sí, la de la vaca, el soldadito o el uranio). Se entiende que la integral que nos quedará por resolver será sencilla. Generalmente será inmediata o susceptible de aplicarle de nuevo integración por partes.

En inglés, este método se denomina LIATE

Logarithmic functions

Inverse trigonometric functions

Algebraic functions

Trigonometric functions

Exponential functions)

y al parecer fue propuesto por Herbert Kasube, profesor de la Universidad de Bradley

Extraido de :

.http://gaussianos.com/cuando-y-como-usar-integracion-por-partes-la-regla-de-los-alpes-y-otras-ayudas-mnemotecnicas/

REGLAS MNEMOTÉCNICAS

2012-12-07T10:45:00.003-08:00

¿Qué son?

El término mnemotecnia proviene de «Mnemósine», la diosa de la memoria, esposa de Zeus y madre de las nueve musas.

Etimológicamente, la mnemotecnia es el "arte" del que "se acuerda". Bajo ese nombre se agrupan una serie de técnicas que consisten en aumentar y potenciar el uso de la memoria.

El principio de estas técnicas de memorización consiste en que todo lo nuevo que se fija en nuestra mente se realiza por medio de la asociación con algo ya conocido.

Se trata de crear acrósticos (palabras o "frases gancho" ) en las que la inicial o primera sílaba de cada una de ellas sea también la inicial o primera sílaba de los ítems que vamos a memorizar.

Reglas Mnemotécnicas de Matemática

- Para recordar el «Número Pi» (3,14159265358979323846264338327950288419...):

Sol y luna y cielo proclaman al Divino Autor del Cosmo.

(3, 1415926535)

(El número de letras de cada palabra representa la secuencia ordenada de las primeras once cifras)

Soy y seré a todos definible; mi nombre tengo que daros: cociente diametral siempre inmedible soy, de los redondos aros.

(3.1415926535897932384)

(Autor: Manuel Golmayo)

(El número de letras de cada palabra representa la secuencia ordenada de las primeras veinte cifras)

Soy π, lema y razón ingeniosa, de hombre sabio, que serie preciosa valorando enunció magistral. Por su ley singular bien medido el grande orbe, por fin reducido fue al sistema ordinario usual.

(3.1415926535897932384626433832795)

(Autor: Rafael Nieto París)

(El número de letras de cada palabra representa la secuencia ordenada de las primeras treinta y dos cifras)

- Para recordar el «Número e», base de los logaritmos naturales:

El trabajo y esfuerzo de recordar e revuelve mi estómago, pero podré acordarme. Será fácil si leo todas las frases. La repetida canción será cantada y así verás el número huevón.

(2,71828182845904523536028747135266)

(El número de letras de cada palabra representa la secuencia ordenada de las primeras 33 cifras. Cada punto corresponde a un cero)

- Para recordar el valor de algunos números romanos:

Laca de mamá

L, C, D, M

Números Romanos

L 50

C 100

D 500

M 1000

Visitar:

http://www.taringa.net/posts/info/1009790/Reglas-mnemotecnicas.html

Método para factorizar un trinomio de la forma ax2+bx+c

2012-10-16T08:09:00.005-07:00

Metodo Cruzado.

Veamos el siguiente ejemplo: 3x2-2x-5

Primero, debemos buscar dos factores que nos deen el primer término así: (3x)(x)

Segundo,buscar dos factores del tercer término: (-5)(1) ó (5)(1)

Tercero,buscar la combinación de todos los posibles factores,tal que,cuando se multiplican cruzado y luego se sumen esos productos,el resultado sea el segundo término:

(3x)(5)+(x)(-1)=15x+(-x)=14x,lo descartamos pues el resultado no es el 2º término

(3x)(-5)+(x)(1)=-15x+(x)=-14x,lo descartamos pues el resultado no es el 2º término

(3x)(-1)+(x)(5)=-3x+5x=2x,lo descartamos pues el resultado no es el 2º término

(3x)(1)+(x)(-5)=3x-5x=-2x

,Observa que la última combinación de factores es la que reproduce el término
del medio.

Observa el siguiente video,espero que sea de utilidad para mejorar la comprensión del método.

Deducción de la fórmula para resolver ecuaciones de la forma x^2+mx+n=0

2012-07-13T16:12:00.000-07:00

Fórmula General Cuadrática.

Las ecuaciones de la forma como x^2+5x+6=0 se caracterizan porque el coeficiente del término en x^2 es 1.Estas ecuaciones pueden resolverse por la fórmula general:

Con sólo suponer en ésta que a=1,pero existe para ella una fórmula particular,que vamos a deducir,

La ecuación es
x^2+mx+n

1º) Transponiendo n: x^2+mx=-n

2º) Sumando (m^2)/4 a los dos miembros:

x^2+mx+(m^2)/4=(m^2)/4-n

3º) Descomponiendo el primer miembro que es un trinomio cuadrado perfecto:

(x+m/2)^2=(m^2)/4-n

4º) Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros:
   x+m/2=±√( (m^2)/4-n)

5º) Transponiendo   m/2   :         x=-m/2 ± √((m^2)/4-n)

Ejemplo: Resolver    3x^2-2x(x-4)=x-12   por la fórmula particular

Simplificando la ecuación          3x^2-2x^2+8x=x-12
                                               x^2+7x+12=0

Aquí m=7, n=12, luego aplicando la fórmula particular:
x=-m/2±√(m^2)/4-n)

x=-7/2±√((7^2)/4-12)

x=-7/2±√(49/4-12)

x=-7/2±√(1/4)

x=-7/2±1/2
x=-7/2+1/2=-6/2=-3 x=-7/2-1/2=-8/2=-4

Convengamos que hubiéramos podido calcular las raíces de la ecuación a través de la factorización

x^2+7x+12=0
(x+4)(x+3)=0
(x+4)=0 (x+3)=0

x=-4 x=-3

Pero esta fórmula nos simplifica el trabajo cuando los números son muy grandes y para resolver por el método de factorización debemos descomponerlo en sus factores primos, lo que nos lleva mucho tiempo, lo que no sucede utilizando la fórmula particular: x=-m/2±√((m^2)/4-n) y realizando la sustitución correspondiente.

Método de los coeficientes a determinar o Método de DESCARTES.

2012-07-13T15:46:00.002-07:00

Vamos a aplicar D=d.q+r para la determinación del cociente y del resto de una división de Polinomios; esta técnica de división que estudiaremos ahora es denominada:
Método de los coeficientes a determinar o Método de Descartes.
Ejemplo: Determinar el cociente y el resto de la división de:

D=x^4+x^3-7x^2+9x-1 por d=x^2+3x+2
Resolución

Por el Algoritmo de la división tenemos:
D=d.q+r
Y el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

gr(q)=gr(D)-gr(d)
gr(q)=4º-2º
gr(q)=2º

Por lo tanto el cociente q=ax^2+bx+c

El resto, r=0 ó gr(r) <gr (d), por lo tanto el grado máximo de r es 1 r=dx+e
Entonces tenemos
D=d.q+r
x^4+x^3-7x^2+9x-1=(x^2+3x+2)(ax^2+bx+c)+dx+e
x^4+x^3-7x^2+9x-1=ax^4+(b+3a) x^3+(c+3b-2a) x^2+(3c-2b+d)x+(-2c+e)
Por lo tanto tenemos el sistema de ecuaciones:
a=1
b+3a=1 →b+3(1)=1 → b=1-3→ b=-2
c+3b-2a=-7 → c+3(-2)-2(1)=-7 →c-6-2=-7→ c-8=-7→
c=-7+8→ c=1
3c-2b+d=9 →3(1)-2(-2)+d=9→ 3+4+d=9→ 7+d=9→d=9-7→
d=2
-2c+e=-1 →-2(1)+e=-1→-2+e=-1→e=-1+2→ e=1

Si q=ax^2+bx+c ,entonces q=x^2-2x+1
(Se sustituye el valor de a,b y c)

Si r=dx+e ,entonces r=2x+1
(Se sustituye el valor de d y e)
Luego, el cociente es: q=x^2-2x+1 y el resto: r=2x+1

Multiplicación de polinomios por coeficientes separados

2012-05-11T12:48:00.001-07:00

La multiplicación de polinomios por coeficientes separados abrevia la operación y se aplica en los dos casos siguientes:
1) Multiplicación de dos polinomios que contengan una sola letra y estén ordenados en el mismo orden con relación a esa letra.
Ejemplo:( 3x^3-2x^2+5x-2) por (2x^2+4x-3)
Escribimos solamente los coeficientes con sus signos y efectuamos la multiplicación:
                               3-2+5-2
                               2+4-3

                               6-4+10-4
                                  12-8+20-8
                                 -9+6-15+6

                               6+8-7+22-23+6
Como el primer témino del multiplicando tiene x^3 y el primer término del multiplicador tiene x^2,el primer término del producto tendrá x^5,y como en los factores el exponente de x disminuye una unidad en cada término,en el producto el exponente de x disminuirá también una unidad en cada término,luego el producto será:
                    6x^5^+8x^4-7x^3+22x^2-23x+6
2) Multiplicación de dos polinomios homogéneos que contengan solo dos letras comunes y estén ordenados en el mismo orden con relación a una de las letras.
Un Polinomio es homogéneo cuando todos sus térmminos son homogéneos,es decir,cuando la suma de los exponentes de las letras en cada término es una cantidad constante.
El producto de dos polinomios homogéneos es otro polinomio homogéneo.
Ejemplo:
(a^4-5a^3m+7a^2m^2-3m^4) por (3a^2-2m^2)

                                          1-5+7+0-3
                                          3+0-2

                                    3-15+21+0-9
                                                       -2+10-14+0+6

                                              3-15+19+10-23-0+6
El primer término del producto tendrá a^6 y,como el producto es homogéneo,la suma de los exponentes de las letras en cada término será 6.
Como en los factores el exponente de a disminuye una unidad en cada término y el de m aumenta una unidad en cada término,en el producto se cumplirá la misma ley,luego el producto será:
      3a^6-15a^5m+19a^4m^2+10a^3m^3-23a^2m^4+6m^6

Aquí va este video que explica con detalles este método.