מתי מתוק

גאומטריה אנליטית - פתרון בעיה בגרות 4 יחידות מתמטיקה חורף 2025

2025-09-23T11:14:00.000-07:00

שאלה 2 ממבחן בגרות במתמטיקה 4 יחידות חורף 2025

משולש ABE חסום במעגל שמרכזו M.

AB הוא קוטר במעגל (ראו סרטוט)

נתון : M(3, 1) , B(3, -4).

א. מצאו את שיעורי הקודקוד A .

המשך הצלע BE חותך את החלק החיובי של ציר ה־ x בנקודה C .

נתון: AB = AC.

ב. מצאו את שיעורי הנקודה C .

ג. מצאו את משוואת הישר AE .

דרך הנקודה M העבירו ישר המקביל לציר ה־ x וחותך את הצלע AE בנקודה D .

ד. חשבו את שטח המרובע MDEB.

פתרון

נתונים:

מרכז המעגל: M(3,1)
נקודה על המעגל: B(3,-4)
המשולש ABE חסום במעגל ו־AB הוא קוטר

רעיונות מרכזיים לתרגיל:

אם AB הוא קוטר, אז M הוא האמצע של AB, ולכן A סימטרית ל־B סביב M.
חישובי מרחקים בעזרת נוסחת המרחק בין נקודות.
שטח משולש = 1/2 × בסיס × גובה .

א) מציאת הנקודה A ומשוואת המעגל

כי AB הוא קוטר, M הוא האמצע. לכן A היא הסימטרית של B ביחס ל־M:

A = (2·3 − 3, 2·1 − (−4)) = (3, 6)

רדיוס המעגל: R = |MB| = √[(3−3)² + (1−(−4))²] = 5.

משוואת המעגל: (x − 3)² + (y − 1)² = 25.

ב) מציאת C על ציר ה־x כך ש־AC = AB

אורך AB = 10, לכן גם AC = 10. נסמן C = (x,0) ונפתור:

(x − 3)² + (0 − 6)² = 100 ⇒ (x − 3)² = 64 ⇒ x = 11

מכאן: C = (11, 0).

ג) מציאת E ומשוואת הישר AE

הישר דרך B(3,−4) ו־C(11,0):

שיפוע m = (0 − (−4)) / (11 − 3) = 4/8 = 1/2

y = (1/2)x − 11/2

חיתוך הישר הזה עם המעגל נותן את B ואת הנקודה השנייה על המעגל: E = (7, −2).

משוואת AE (דרך A(3,6) ו־E(7,−2)):

שיפוע = (−2 − 6) / (7 − 3) = −8/4 = −2 ⇒ y − 6 = −2(x − 3) ⇒ y = −2x + 12

ד) מציאת D ושטח המרובע MDEB

הישר המקביל לציר ה־x העובר דרך C הוא פשוט y = 0. חיתוך עם AE:

0 = −2x + 12 ⇒ x = 6 ⇒ D = (6, 0)

שטח המרובע באמצעות הבדלי שטחי משולשים

נחשב: S(MDEB) = S(△AEB) − S(△ADM).

1) שטח △AEB: נבחר בסיס AB = 10 (קטע אנכי). הגובה מהנקודה E אל הישר AB (שהוא x = 3) הוא המרחק האופקי של E מהקו: |7 − 3| = 4.

S(△AEB) = 1/2 · 10 · 4 = 20

2) שטח △ADM: נבחר בסיס AM = 5 (גם אנכי). הגובה מהנקודה D אל הישר AM (שהוא x = 3) הוא המרחק האופקי של D מהקו: |6 − 3| = 3.

S(△ADM) = 1/2 · 5 · 3 = 7.5

ולכן:

S(MDEB) = 20 − 7.5 = 12.5 = 25/2

סיכום קצר

A = (3, 6)
C = (11, 0)
E = (7, −2)
D = (6, 0)
ישר AE: y = −2x + 12
שטח המרובע MDEB: 12.5 יחידות שטח

בעיה בגאומטריה - מבגרות מתמטיקה 4 יחידות חורף 2025

2025-09-22T09:53:00.000-07:00

שאלה

נתון: מעגל שמרכזו O. המשולש ABC חסום במעגל כך ש-AC הוא קוטר במעגל. מן הנקודות B ו-C העבירו משיקים למעגל הנפגשים בנקודה F.

א. הוכיחו כי המרובע OCFB הוא דלתון.
ב. הוכיחו כי ∠CAB = ∠COF
ג. הוכיחו כי ΔAOB ~ ΔCFB.

נוסף: נתון כי שטח המשולש AOB גדול פי 4 משטח המשולש CFB. הנקודה E היא נקודת החיתוך של אלכסוני הדלתון OCFB. הוכיחו כי CB = OE.

פתרון

נתון: במעגל שמרכזו O המשולש ABC חסום כך ש‑AC הוא קוטר. מהנקודות B ו‑C נמתחו משיקים למעגל והם נפגשים בנקודה F. הנקודה E היא חיתוך האלכסונים של המרובע OCFB.

א. הוכיחו שהמרובע OCFB הוא דלתון

במעגל: כל הרדיוסים שווים ⇒ OB = OC.
שני משיקים היוצאים מנקודה חיצונית למעגל שווים ⇒ FB = FC.
יש לנו שתי זוגות של צלעות סמוכות ושוות — זו בדיוק ההגדרה של דלתון ⇒ OCFB דלתון.
בעקבות זאת: הקו OF הוא ציר סימטריה של הדלתון, מאונך ל‑CB וחוצה את הזוויות ב‑O וב‑F.

ב. הוכיחו ש‑ CAB = ∠COF∠

הזווית ∠CAB היא זווית היקפית הנשענת על הקשת CB ⇒ ∠CAB = ½∠COB.
ב‑דלתון, OF חוצה את ∠COB ⇒ ∠COF = ½∠COB.
ולכן: ∠CAB = ∠COF.

ג. הוכיחו ש‑ΔAOB ~ ΔCFB (דמיון משולשים)

כיוון ש‑AC קוטר ⇒ ∠ABC = 90°. בנוסף רדיוס למשיק מאונך למשיק ⇒ BO ⟂ BF.
לכן הזוויות ב‑B שוות: ∠ABO = ∠CBF (זוויות בין ישרים מאונכים).
הזווית בין המשיקים CF ו‑BF שווה לזווית המרכזית המתאימה ⇒ ∠CFB = ∠COB.
ומצד שני: ∠AOB משלימה ל‑180° את ∠COB. לכן מתקבל זוג נוסף של זוויות שוות.
שני זוגות זוויות שוות ⇒ ΔAOB ~ ΔCFB.

ד. נתון: שטח ΔAOB גדול פי 4 משטח ΔCFB. הוכיחו: OE = CB

בדמיון: יחס הדמיון יסומן k. יחס השטחים הוא k². מהנתון: k² = 4 ⇒ k = 2.
מכאן מתקבל AB = 2·CB.
נסמן α = ∠AOB. אז ∠COB = 180° − α.
נוסחת מיתר במעגל (לא חובה לדעת בעל‑פה, אך מועילה):
AB = 2R·sin(α/2), CB = 2R·cos(α/2).
מהיחס AB = 2·CB נקבל tan(α/2) = 2.
המרחק מהמרכז אל המיתר CB הוא OE, והוא שווה R·sin(α/2) (כי OE הוא גובה למשולש המרכזי על המיתר).
לעומת זאת CB = 2R·cos(α/2). מן הזהויות שמתקבלות (כאשר tan(α/2)=2) מתקבל בדיוק: OE = CB.

רעיון מרכזי: הדמיון נתן יחס אורכים 1:2, ומתוך זה הגענו לשוויון בין המרחק מהמרכז למיתר לבין אורך המיתר עצמו.

סיכום: הראינו שהמרובע דלתון, הזוויות ∠CAB ו‑∠COF שוות, המשולשים דומים, ולבסוף גם ש‑OE = CB כאשר נתון יחס השטחים.

בעיה בטריגונומטריה - מבגרות מתמטיקה 4 יחידות חורף 2025

2025-09-22T04:17:00.000-07:00

שאלה

נתון משולש חד זוויות ABC . הנקודה D נמצאת בתוך המשולש' כך ש : זוית BDC שווה 120 מעלות (ראו סרטוט).

נתון: DB = 3 , DC = 4

א. מצאו את אורך הצלע BC .

נתון: רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABC גדול פי 1.3

מרדיוס המעגל החוסם את המשולש DBC .

ב מצאו את גודל הזווית BAC

נתון: AB = 7.5

ג. מצאו את אורך הצלע AC .

ד. חשבו את שטח המרובע BACD .

פתרון:

במשולש ABC נמצאת נקודה D כך ש-∠BDC = 120°.
DB = 3, DC = 4.

טיפ: כשיש לנו שתי צלעות וזווית ביניהן – נוח להשתמש בכלל הקוסינוסים.

א. מוצאים את BC

נחשב לפי כלל הקוסינוסים במשולש DBC:

BC² = DB² + DC² − 2·DB·DC·cos(120°)

BC² = 3² + 4² − 2·3·4·cos(120°) = 9 + 16 + 12 = 37

BC = √37 ≈ 6.0828

תשובה: BC = √37 (בערך 6.0828).

ב. מוצאים את הזווית A (= ∠BAC)

נתון שרדיוס המעגל החוסם של המשולש הגדול גדול פי 1.3 מהקטן. נוסחת הרדיוס: R = a / (2·sin(α)).

sin A = sin(120°) / 1.3 = (√3/2)/1.3 = 5√3/13 ≈ 0.6662

A ≈ 41.7724°

תשובה: ∠A ≈ 41.7724°.

ג. נתון AB = 7.5. מוצאים את AC

נחזור לכלל הקוסינוסים במשולש ABC:

BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos A

פותרים עבור AC (מציבים את הערכים):

37 = 7.5² + AC² − 2·7.5·AC·cos(41.7724°)

cos A ≈ 0.7458

AC ≈ 9.0629

תשובה: AC ≈ 9.0629.

ד. שטח המרובע BACD

זהו השטח של המשולש הגדול פחות השטח של המשולש הקטן:

S(BACD) = S(ABC) − S(DBC)

שטח ABC:

S = ½·AB·AC·sin A = ½·7.5·9.0629·0.6662 ≈ 22.6405

שטח DBC:

S = ½·3·4·sin(120°) ≈ 5.1962

S(BACD) ≈ 17.4444

תשובה: ≈ 17.4444 יחידות שטח.

אפשר לבדוק היגיון: השטח של המרובע חייב להיות קטן מהמשולש הגדול וגדול מאפס – וזה אכן קורה.

בעיה בהסתברות - מבגרות 4 יחידות מתמטיקה חורף 2025

2025-09-21T23:10:00.000-07:00

שאלה

בשכבת י"א בבית ספר מסוים לומדים בנים ובנות. לחלקם יש רישיון נהיגה ולשאר אין.

25% מתלמידי השכבה הם בנים שאין להם רישיון נהיגה.

ל- 1/3 מן הבנים בשכבה יש רישיון נהיגה.

א. מצאו את אחוז הבנים בשכבה.

ההסתברות לבחור באקראי מן השכבה בן שיש לו רישיון נהיגה שווה להסתברות לבחור באקראי מן השכבה בת שיש לה רישיון נהיגה.

ב. ידוע שנבחר באקראי תלמיד (בן או בת) מן השכבה שאין לו רישיון נהיגה. מהי ההסתברות שהתלמיד שנבחר הוא בן?

בשכבה זו יש 69 בנים.

ג. מצאו כמה תלמידים יש בשכבה סך הכול.

לשכבה הצטרפו 26 תלמידים חדשים (בנים ובנות).

בוחרים באקראי שני תלמידים מן השכבה בזה אחר זה (הוצאה ללא החזרה).

ההסתברות ששני התלמידים שנבחרו הם בנים היא 2/15.

ד. מצאו כמה בנים הצטרפו לשכבה.

פתרון

סימון המאורעות

נגדיר: \(A\) — "בן"; \(\bar A\) — "בת"; \(B\) — "יש רישיון"; \(\bar B\) — "אין רישיון".

נתונים: (1) \(P(A\cap \bar B)=0.25\). (2) אצל בנים: \(P(B\mid A)=\tfrac{1}{3}\) ולכן \(P(\bar B\mid A)=\tfrac{2}{3}\). (3) \(P(A\cap B)=P(\bar A\cap B)\). ידוע גם שיש 69 בנים.

א. מציאת שיעור הבנים \(P(A)\)

מהנתון (1) עם (2):

\[ P(A\cap \bar B)=P(A)\,P(\bar B\mid A)=P(A)\cdot \tfrac{2}{3}=0.25 \ \Rightarrow\ P(A)=\tfrac{3}{8}=37.5\% \]

בנוסף: \(P(A\cap B)=\tfrac{1}{8}\). לכן \(P(\bar A\cap B)=\tfrac{1}{8}\), ומכאן \(P(B)=\tfrac{1}{4}\).

ב. הסתברות מותנית \(P(A\mid \bar B)\)

\[ P(A\mid \bar B)=\frac{P(A\cap \bar B)}{P(\bar B)}=\frac{0.25}{1-0.25}=\tfrac{1}{3} \]

ג. מספר התלמידים הכולל

אם \(P(A)=\tfrac{3}{8}\) ויש 69 בנים:

\[ N=69/(3/8)=184 \]

ד. מספר הבנים שהצטרפו

לאחר הצטרפות 26 תלמידים: \(N'=210\). נסמן \(B'\) — מספר הבנים החדש.

\[ \frac{B'}{210}\cdot\frac{B'-1}{209}=\tfrac{2}{15} \]

מכאן \(B'=77\). קודם היו 69, לכן נוספו 8.

תשובות סופיות:

א) 37.5% ב) \(1/3\) ג) 184 ד) 8 בנים נוספו.

בעיית תנועה - בגרות מתמטיקה 4 יחידות חורף 2025

2025-09-21T12:29:00.000-07:00

בעיית תנועה - שאלון בגרות מתמטיקה 4 יחידות חורף 2025

שאלה

המרחק בין היישוב A ליישוב B הוא 28 ק"ביום ראשון רכבה נועה על אופניים מיישוב A ליישוב B במהירות קבועה, ויורם הלך מיישוב B ליישוב A במהירות קבועה.

שניהם יצאו באותה השעה ונפגשו לאחר שעה ו־ 10 דקות.

נתון כי ביום זה הגיע יורם לאמצע הדרך 4 שעות לאחר שהגיעה נועה לאמצע הדרך.

א. מצאו את מהירות הרכיבה של נועה ואת מהירות ההליכה של יורם.

גם ביום שני רכבה נועה מיישוב A לכיוון יישוב B באותה המהירות שבה רכבה ביום ראשון, ויורם הלך מיישוב B לכיוון

יישוב A באותה המהירות שבה הלך ביום ראשון.

ביום זה יצאה נועה לרכיבה בשעה 8:00 , ויורם יצא להליכה 32 דקות לאחר מכן.

ב. מצאו באיזו שעה נפגשו יורם ונועה ביום שני.

פתרון

נתונים

מרחק בין היישובים: D = 28 ק”מ.
ביום ראשון נועה ויורם יצאו בו־זמן ונפגשו לאחר 1 שעה ו־10 דקות = 7/6 שעות.
נועה – רוכבת במהירות vN (קמ”ש), יורם – הולך במהירות vY (קמ”ש).
יורם הגיע לאמצע הדרך 4 שעות אחרי שנועה הגיעה לאמצע.

א. מציאת המהירויות

מהמפגש ביום ראשון:

(vN + vY) * 7/6 = 28 ==> vN + vY = 24

זמן עד אמצע הדרך (14 ק”מ):

14 / vY = 14 / vN + 4 ==> 1 / vY = 1 / vN + 2 / 7

פתרון המערכת נותן:

vN = 21

vY = 3

תשובה (א): מהירות הרכיבה של נועה 21 קמ”ש; מהירות ההליכה של ירום 3 קמ”ש.

ב. מפגש ביום שני (הפרשי זמנים)

נועה יצאה ב־08:00; יורם יצא 32 דקות אחריה 15 / 8 שעות.

מפגש מתקיים כשסכום הדרכים שנסעו שווה ל־28 ק”מ:

21t + 3(t - 8 / 15)

24t - 24 / 15 =‎ 28

t = 37 / 30

כלומר 1 שעה ו־14 דקות אחרי 08:00.

תשובה (ב): נועה ויורם נפגשו בשעה 09:14.

הסתברות - פתרון תרגיל

2025-01-21T07:08:00.001-08:00

שאלה

רבים מתושבי ישראל חלו בחורף בשפעת. בסקר שנערך בקרב קבוצה גדולה של תושבים בוגרים בחורף האחרון, נמצא כי 40% מבין הנבדקים שחלו היו נשים.

מספר הנבדקים בסקר שלא חלו בשפעת גדול פי k ממספר הנשים שחלו בשפעת.

א. בטא באמצעות k את ההסתברות שנבדק (גבר או אישה) שנבחר באקראי חלה בשפעת.

ב. ידוע שהמאורעות ״נבחרה אישה״ ו- ״נבחר נבדק (גבר או אישה) שחלה בשפעת״ הם מאורעות בלתי תלויים. חשב את ההסתברות שנבדק שנבחר באקראי הנו גבר.

ג. נתון כי 2/13 מבין הנבדקים היו נשים שחלו בשפעת.

1) מצא את k.

2)נבחר באקראי גבר שהשתתף בסקר. מה סביר יותר, שהוא חלה בשפעת או לא חלה בשפעת?

ד. נבחר באקראי 5 נבדקים שהשתתפו בניסוי. מה ההסתברות שרובם היו גברים שחלו בשפעת?

פתרון

נניח נבדקו סך הכל n אנשים. ומספר הנשים שנדבקו בשפעת הוא w.

מאחר ו- 40% מבין הנבדקים שחלו בשפעת היו נשים, מספר סך הכל שנדבקו בשפעת גברים ונשים הוא :

100 / 40 * w = 2.5w

מספר הנבדקים שלא חלו בשפעת הוא:

k * w

מספר סך הכל הנבדקים, אלו שחלו בשפעת ואלו שלא הוא :

n = kw + 2.5w = w(k + 2.5)

א. נבחר באקראי אדם. ההסתברות שהוא חולה בשפעת הוא סך הכל הנדבקים לחלק לסך הכל הנבדקים, כלומר:

P(B) = 2.5w / [w(k + 2.5)] = 2.5 / (k + 2.5)

ב. נדרש לחשב את ההסתברות שנבדק שנבחר באקראי הוא גבר.

נסמן:

A - מאורע נבחרה אישה

B - נבחר חולה בשפעת

Ȧ - מאורע נבחר גבר.

נדרש לחשב את P(Ȧ).

ידוע ש- 40% מהנבדקים שחלו בשפעת הן נשים כלומר :

P(A/B) = 40% = 0.4

מאחר ש A ו- B הם מאורעות בלתי תלויים אזי:

P(A/B) = P(A)

כלומר

P(A)= 0.4

P(Ã) = 1 - P(A) = 0.6

ההסתברות שאדם שנבחר באקראי הוא גבר היא 0.6.

ג.

(1) חישוב k

2/13 מבין הנבדקים שחלו בשפעת היו נשים:

P(A∩B) = 2/13

נפתח

P(A∩B) = P(A) * P(B) = 0.4 * 2.5 / (k + 2.5) = 2/13

0.4 * 2.5 / (k + 2.5) = 2/13

13 * 0.4 * 2.5 = 2k + 5

k = 4

לכן

p(B) = 2.5 / (k + 2.5) = 2.5 / (4 + 2.5) = 5 / 13

(2) בוחרים באקראי גבר, מה ההסתברות שהוא חולה בשפעת

מאחר ו- A ו- B בלתי תלויים אזי גם Ã ו- B הם בלתי תלויים:

ההסתברות שגבר חולה בשפעת:

P(Ã∩B) = P(Ã) * P(B) = 0.6 * 5/13 = 3 / 13

מאחר ו- A ו- B בלתי תלויים אזי גם Ã ו- Ḃ הם בלתי תלויים:

ההסתברות שגבר לא חולה בשפעת:

P(Ã∩Ḃ) = P(Ã) * P(Ḃ) = 0.6 * 10/13 = 6 / 13

סביר יותר שהגבר אינו חולה בשפעת.

ד.

ההסתברות שהנבחר הוא גבר שחלה בשפעת הוא 3/13 וההסתברות שנבחר הוא לא גבר שחלה בשפעת הוא 10/13.

לכן אם בוחרים 5 באקראי, ההסתברות שרובם גברים שחלו בשפעת

תרגיל פתור גאומטריה אנליטית.

2025-01-01T13:32:00.000-08:00

שאלה

נתונים הישרים שמשוואותיהם:

l1 : 4y - 3x - 20 = 0

l2 : x = -4

א. מצאו את המשוואות המתארות את המקום הגאומטרי של כל הנקודות הנמצרות במרחקים שווים מן הישרים l1, ו- l2.

מעגל שמרכזו M משיק לישרים l1 , l2 , המעגל משיק לישר l1 בנקודה A שבה x = 4.

המרכז M נמצא ברביע הראשון ( ראה שרטוט).

ב. מצאו את שיעור הנקודה M.

הישר l2 הוא מדריך של פרבולה קנונית.

ג. האם הישר l1 משיק בנקודה A לפרבולה זו? נמקו את תשובתכם.

ד. מצאו את משוואת המעגל המשיק לפרבולה זו בשתי נקודות.

פתרון

א.

המקום הגאומטרי של הנקודות הנמצאות במרחקים שווים בין שני ישרים החוצים זה את זה הוא חוצי הזוויות של הישרים.

משוואת חוצה זווית בין שני ישרים נתונים במערכת צירים

נציב עבור המשוואות הנתונות בשאלה:

4y - 3x - 20 = 0

x + 4 = 0

עבור המשוואה הראשונה

A1 = -3

B1 = 4

C1 = -20

עבור המשוואה השניה

A2 = 1

B2 = 0

C2 =‏⁨ 4

משוואות חוצי הזווית

(4y - 3x - 20) / √(4² + 3²) = (x + 4)√(1² + 0²)

(4y - 3x - 20) / √(4² + 3²) = - (x + 4)√(1² + 0²)

(4y - 3x - 20) / 5 = (x + 4)

(4y - 3x - 20) / 5 = - (x + 4)

0.8y - 0.6x - 4 = x + 4

0.8y - 0.6x - 4 = -x - 4

0.8y - 1.6x - 8 = 0

0.8y + 0.4x = 0

y - 2x - 10 = 0

2y + x = 0

ב. מציאת שיעורי הנקודה M

מוצאים את שיעור הנקודה A על הישר L1.

מוצאים את משוואת MA המאונך לישר L1 בנקודה A .

שיעור הנקודה הוא חיתוך הישרים MA עם חוצה הזווית y - 2x - 10 = 0 (ששיפועו חיובי).

שיעור הנקודה A:

ה- x של נקודה A הוא 4 .

נקודה Aנמצאת על הישר L1:

4y - 3x - 20 = 0

לכן ה- y של נקודה A הוא 8.

(8, 4) A

משוואת MA המאונך לישר L1 בנקודה A

ג. האם הישר l1 משיק בנקודה A לפרבולה

נמצא את משוואת הפרבולה הקנונית שהישר x = - 4 מדריך שלה.

אם פרבולה קנונית שמשוואת המדריך שלה הוא x = -0.5p אז משוואת הפרבולה היא y² = 2px

במקרה שלנו p = 8 לכן משוואת הפרבולה הקנונית היא y² = 16x

לבדיקה האם הפרבולה משיקה לישר L1 בנקודה A נדרשים 2 תנאים:

- הפרבולה עוברת בנקודה A

- שיפוע הפרבולה בנקודה A שווה לשיפוע הישר L1 בנקודה A.

בדיקה האם הפרבולה עוברת בנקודה (8, 4) A :

נציב במשוואת הפרבולה x = 4

y² = 16x

y² = 16 ᐧ 4 = 64

y = 8

הפרבולה עוברת דרך נקודה (8, 4) A

בדיקת שיפוע הפרבולה בנקודה (8, 4) A :

לפנינו פונקציה סתומה, נגזור לפי x בשני האגפים:

y² = 16x

2yᐧ y' = 16

y' = 16 / (2y) = 16 / 16 = 1

בדיקת שיפוע הישר L1

4y - 3x - 20 = 0

שיפוע הישר L1 הוא 0.75.

שיפועי הפרבולה והישר אינם זהים בנקודה A לכן הפרבולה לא משיקה לישר בנקודה A.

ד. מציאת מעגל משיק לפרבולה y² = 16x בשתי נקודות שאחת מהן היא (8, 4) A .

מטעמי סימטריה קודקוד המעגל המשיק נמצא על ציר x.

שיפוע הרדיוס מקודקוד המעגל לנקודה A הוא אנך לשיפוע הפרבולה בנקודה A.

לכן שיפוע רדיוס זה הוא 1-.

משוואת הרדיוס:

y - 8 = -(x - 4)

נציב y = 0 כי קודקוד המעגל על ציר x ונקבל: x = 12.

שיעור קודקוד המעגל הוא (0 , 12)

רדיוס המעגל R הiא המרחק מהמרכז המעגל לנקודת ההשקה A

R² = ((12 - 4)² + (0 - 8)² = 128

משוואת המעגל היא :

(x - 12)² + y² = 128

נבדוק על ידי פתרון עם משוואת הפרבולה :

y² = 16x

(x - 12)² + 16x = 128

x² - 24x + 144 + 16x = 128

x*2 - 8x + 16 = 0

למשוואה זו פתרון יחיד x = 4 . נציב x = 4 הן במשוואת הפרבולה והן במשוואת המעגל נקבל 2 פתרונות בלבד y = ±8

כלומר הפרבולה והמעגל משיקים בנקודות (8 , 4) , (8- , 4)

דוגמא פתרון תרגיל חזקה ולוגריתמים

2024-07-30T04:50:00.000-07:00

(5√2)^(x-y) = 50

(3³√2)^(x+y) = 54

משתמשים בלוג לפי בסיס כלשהו

log (5√2)^(x-y)= log(50)

log (3³√2)^(x+y) = log(54)

(x-y) ᐧ log (5√2) = log 50

(x+y) ᐧ log (3³√2) = log 54

x - y = log 50 / log (5√2)

x + y = log 54 / log (3³√2)

חישוב לוג לפי בסיס טבעי e :

x - y = 3.91 / 1.956

x+ y = 3.99 / 3.64

x - y = 2

x + y = 1.096

2x = 3.096

x = 1.548

y = x - 2 = -0.452

חקירת פונקציה - מבגרות מתמטיקה 5 יחידות 2024

2024-06-03T05:02:00.000-07:00

שאלה 6 - מבחן 1 - בגרות מתמטיקה 5 יחידות קיץ 2024

שאלה

נתונה הפונקציה: a > 0 , f(x) = x / (2√x - a) .

א. הביעו את תשובותיכם באמצעות a לפי הצורך:

1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

2) מצאו אסימפטוטות לגרף הפונקציה המאונכות לצירים, אם יש כאלה.
3) מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה .

4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ב. נתונה הפונקציה k > 0 , g(x) = | f(x) | - k . הנקודה (0.5- , 16) היא נקודת המינימום של הפונקציה g(x) .

1) מצאו את a ואת k.

2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x) .

3) הראו שגרף הפונקציה g(x) חותך את ציר ה- x בנקודות (0 , 36) , (0 , 9) , (0 , 2.838).

ג. נתונה גם הפונקציה

s(x) = ∫ g(t)dt

המוגדרת בתחום 5 < x.

מצאו את שיעורי ה- x של נקודות הקיצון של הפונקציה s(x) וקבעו את סוג הקיצון.

פתרון

א. 1) תחום הגדרה של הפונקציה f(x).

ניתן לראות כי יש שני הגבלות לתחומי הגדרה לפונקציה f(x) = x / (2√x - a) , a > 0.

הגבלה ראשונה היא הביטוי x√ במכנה הפונקציה המחייב : x ≥ 0 , כי שורש מספר שלילי לא מוגדר.

הגבלה שניה היא מכנה הפונקציה שונה מאפס:

2√x - a ≠ 0

2√x ≠ a

√x ≠ a / 2

x ≠ a² / 4

לפנינו 2 הגבלות לתחום ההגדרה של f(x) :

x ≥ 0 , x ≠ a² / 4, לכן תחום ההגדרה של f(x) הוא:

{ x | 0 ≤ x ≤ a² / 4 , x ≥ a² / 4}

א. 2) מציאת אסימפטוטות של f(x)

אסימפטוטה של פונקציה (ממשית) היא קו ישר המתקרב לגרף הפונקציה באופן כזה שהמרחק ביניהם שואף לאפס כאשר מתרחקים מראשית הצירים לאינסוף.

האסימפטוטה היחידה הנוצרת היא כאשר המכנה 2√x - a שואף ל- 0. נוצרת אסימפטוטה אנכית:

2√x - a = 0

√x = a / 2

x = a² / 4

כאשר x שואף מהכיוון החיובי (צד ימין) ל-a² / 4נ( x+ --> a² / 4) , הפונקציה f(x) , תשאף לפלוס אינסוף.

כאשר x שואף מהכיוון השלילי (צד שמאל) ל-a² / 4נ( x- --> a² / 4) , הפונקציה f(x) , תשאף למינוס אינסוף.

בצורה גרפית f(x) באזור האסימיפטוטה תראה כך:

אסימפטוטה לפונקציה f(x)

א. 3) נקודות קיצון של f(x) וסוגן.

למציאת נקודות קיצון של הפונקציה f(x) , גוזרים את הפונקציה ומשווים לאפס.

f(x) = x / (2√x - a)

f '(x) = [(2√x - a) - 2 ᐧ 1/2 ᐧ 1/√x ᐧ x] / (2√x - a)²

f '(x) = [(2√x - a) - x/√x ] / (2√x - a)² = 0

2√x - a - x/√x = 0

כופלים כל האגפים ב- x√ :

2x - a√x - x = 0

x - a√x = 0

√x ᐧ (√x -a) = 0

√x = 0, a

x = 0 , a²

f(0) = 0

f(a²) = a² / (2√a² - a) = a² / a = a

נקודות הקיצון של הפונקציה הן: (0 , 0) , (a² , a).

לפי הסקיצה בסעיף א.2) ניתן להסיק כי נקודת הקיצון (0 , 0) הנמצאת משמאל לאסימפטוטה היא נקודת מקסימום מאחר והפונקציה שואפת ל- ∞- בצד שמאל של האסימפטוטה.

באותו אופן ניתן להסיק כי נקודת הקיצון (a² , a) הנמצאת מימין לאסימפטוטה היא נקודת מינימום מאחר והפונקציה שואפת ל- ∞+ בצד ימין של האסימפטוטה.

לכן:

(0 , 0) - נקודת מקסימום.

(a² , a) - נקודת מינימום.

א.4) סקיצה של גרף הפונקציה f(x)

נתון :

(0 , 0) - נקודת מקסימום, נקודת חיתוך עם ראשית הצירים.

(a² , a) - נקודת מינימום. (0 > a)

x = a² / 4 - אסימפטוטה אנכית.

הסקיצה:

סקיצה של f(x)

ב. 1, 2) חישוב a, k וסקיצה של הפונקציה g(x)

נתונה הפונקציה k > 0 , g(x) = | f(x) | - k . הנקודה (0.5- , 16) היא נקודת המינימום של הפונקציה g(x) .

הגרף של | f(x) | כולו מעל ציר x, מאחר וערך מוחלט מחזיר תמיד ערך חיובי. לכן הגרף של | f(x) | זהה לגרף של f(x) בחלקים חיוביים, ומוכפל ב- (1-) בחלקים שלילים של f(x).

לקבלת הגרף של g(x) = | f(x) | - k , k > 0 , מסיטים הגרף מרחק k לכיוון שלילי של ציר y.

לכן הגרף של g(x) נראה כך:

נקודת המינימום של g(x) היא: (a² , a - k) .

הנקודה (0.5- , 16) היא נקודת המינימום של הפונקציה g(x) כלומר:

(a² , a - k) = (16, -0.5)

a² = 16

a - k = -0.5

מאחר ו- 0 < a הפתרון הוא :

a = 4

4 - k = -0.5

k = 4.5

ב. 3) נקודות חיתוך גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה- x

נדרש להראות שגרף הפונקציה g(x) חותך את ציר ה- x בנקודות (0 , 36) , (0 , 9) , (0 , 2.838).

הפונקציה g(x) היא:

g(x) = | f(x) | - k

f(x) = x / (2√x - a)

a = 4

k = 4.5

g(x) = | x / (2√x - 4) | - 4.5

נבדוק כל אחת מנקודות חיתוך עם הציר x:

בדיקת נקודה (0 , 36) :

g(36) = | 36 / (2√36 - 4)| - 4.5 = | 36 / (12 - 4)| - 4.5 = | 36 / 8 - 4.5 | = 4.5 - 4.5 = 0

בדיקת נקודה (0 , )9

g(9) = | 9 / (2√9 - 4)| - 4.5 = | 9 / (6 - 4) | - 4.5 = | 9 / 2 - 4.5 | = 4.5 - 4.5 = 0

בדיקת נקודה (0 , 2.838)

g(2.838) = | 2.838 / (2√2.838 - 4)| - 4.5 = | 2.838 / (3.37 - 4)| - 4.5 = | 2.838 / (-0.63)| - 4.5 =

4.5 - 4.5 = 0

ג. שיעורי ה- x של נקודות הקיצון של הפונקציה s(x) וסוגן.

נתונה גם הפונקציה

s(x) = ∫ g(t)dt

המוגדרת בתחום 5 < x.

נגזרת הפונקציה s(x) היא g(x), לכן ה- x של נקודות הקיצון שלs(x) הם כאשרg(x) שווה לאפס. נקודות אלו נתונות לנו בסעיף ב. 3). עבור התחום שבו 5 < x הנקודות הן: x = 36, 9.

לבדיקת סוג נקודת הקיצון של s(x) נתבונן בכל נקודה בפונקציית הנגזרת g(x).

בנקודה x = 9 פונקציית הנגזרת g(x) יורדת. זה אומר מעבר משיפוע חיובי לשלילי בפונקציה s(x) ולכן זוהי נקודת מקסימום.

בנקודה x = 36 פונקציית הנגזרת g(x) עולה. זה אומר מעבר משיפוע שלילי לחיובי בפונקציה s(x) ולכן זוהי נקודת מינימום.

משוואה עם ערך מוחלט

2024-06-01T12:14:00.000-07:00

פתרון משוואה עם ערך מוחלט מורכב משני חלקים:

חלק ראשון - הביטוי בתוך הערך המוחלט גדול או שווה ל- 0. במצב זה פעולת הערך המוחלט אינה משפיעה על סימן הביטוי. ופותרים את המשוואה עם הביטוי כמו שהוא.

חלק שני - הביטוי בתוך הערך המוחלט קטן מ- 0. במצב זה פעולת הערך המוחלט הופכת את סימן הביטוי (כדי שיהיה חיובי) ולכן יש לקבוע סימן מינוס לפני הביטוי , זוהי פעולת הערך המוחלט על הביטוי הקטן מאפס בתוכו, ופותרים.

דוגמא: פתור את משוואת הערך המוחלט

| x + 5 | = 3

פתרון

חלק ראשון - הביטוי בתוך הערך המוחלט גדול או שווה ל- 0.

x + 5 ≥ 0

x ≥ -5

x + 5 = 3

x = 3 - 5

x = -2

פתרון חלק ראשון:

x ≥ -5 --> x = -2

חלק שני - הביטוי בתוך הערך המוחלט קטן מ- 0

x + 5 < 0

x < -5

-(x + 5) = 3

-x - 5 = 3

-x = 3 + 5

-x = 8

x = -8

פתרון חלק חלק שני:

x < -5 --> x = -8

למשוואה x + 5 | = 3| שני פתרונות: x = -2 , x = -8

בדיקה עבור הפתרון x = -2 :

| -2 + 5 | = |3| = 3

בדיקה עבור הפתרון x = -8:

| -8 + 5 | = | -3 | = 3

שתי הבדיקות מוצלחות.

חצי מעגל חסום במשולש ישר זוית

2024-05-31T10:00:00.000-07:00

שאלה

במשולש ישר-זווית A = 90 ( ABC )⦠ חסום חצי מעגל שמרכזו M הנמצא על הצלע AB .

הצלע AC משיקה לחצי המעגל בנקודה A והצלע BC משיקה לחצי המעגל בנקודה D (ראו סרטוט).

אורך רדיוס המעגל הוא R .

א. סמנו: BM = x ובטאו בעזרת R את הערך של x עבורו שטח המשולש ABC מינימלי.
ב. כאשר שטח המשולש ABC מינימלי, שטח המרובע ACDM הוא 3√25 . מצאו את R .

פתרון

נסמן את x ואת R בשרטוט:

משולשים BDM, ABC דומים. לכן:

sqrt - שורש ריבועי.

AC / AB = MD / BD

AC / (x + R) = R / sqrt(x² - R²)

AC = R*(x + R) / sqrt(x² - R²)

שטח המשולש S:

S = AC ᐧ AB / 2

S = 1/2 * Rᐧ (x + R)^2 / sqrt(x² - R²)

נגזור את S לפי x לבדוק עבור אילו ערכים של x מתקבל ערכים מינימלי ( או מקסימלים) ל- S

נמחק ביטויים קבועים (שאינם משתנה x) משום שהם מצטמצמים, קיבלנו:

f(x) = (x + R)² / sqrt(x² - R²)

f '(x) = [2(x + R) * sqrt(x² - R²) - x(x + R)² / sqrt(x² - R²)] / (x² - R²)

2(x + R) ᐧ sqrt(x² - R²) - x(x + R)²/sqrt(x² - R²) = 0

2sqrt(x² - R²) - x(x + R)/sqrt(x² - R²) = 0

2(x² - R²) = x(x + R)

2(x + R)(x - R) = x(x + R)

2(x - R) = x

2x - 2R = x

x = 2R

ב. מציאת R

שטח המרובע ACDM הוא הפרש שטחי המשולשים ABC ו- BDM:

נרשום צלעות המשולשים:

x = 2R
AB = x + R = 3R
AC = AC = R*(x + R) / sqrt(x² - R²) = 3R² / (R√3) = R√3
BD = sqrt(x² - R²) = sqrt(3R²) = R√3
DM = R

S_ADCM = S_ABC - S_BDM = AB ᐧ AC / 2 - BD * DM /2 = 3R ᐧ R√3 / 2 - R√3 ᐧ R / 2 = 25√3

S_ADCM = 3√3 / 2 ᐧ R² - R²√3/2 = R²√3 = 25√3
R² = 25

R = 5

מרובע עם אלכסונים חסום במעגל - מבגרות 5 יחידות 2024

2024-05-31T08:29:00.000-07:00

שאלה 5 - מבחן 2 - בגרות מתמטיקה 5 יחידות קיץ 2024

שאלה

הנקודות C , B , A ו- D נמצאות על היקפו של מעגל . נתון :

AE = k , CAD = 20° , BAD = α , AB|| CD .

א. 1) הביעו באמצעות α את זוויות המשולש ACE.

2) הביעו באמצעות k ו- α את אורכי הקטעים AB ו- CD.

ב. נתון: שטח המשולש ABE גדול פי 6.41147 משטח המשולש CDE . נתון: 20° < α . חישבו את α.

ג. אורך התיכון לצלע CD במשולש ACD הוא 22.44 . מצאו את k .

פתרון

א. 1)הבעת באמצעות α את זוויות המשולש ACE

מחשבים את כל הזוויות במשולשים תוך שימוש במקבילות הקטעים AB|| CD, ושימוש בזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת במעגל שוות.

1. זווית BAD ז= 𝜶 - נתון

2. זווית BCA ז= 𝜶 - נשענת על אותה קשת BD כמו זווית BAD ז= 𝜶

3. זווית ABC ז= 𝜶 - פנימית מתחלפת עם זווית BCA ז= 𝜶 .

4. סכום זוויות במשולש ABC שווה: 𝜶 + 𝜶 + 20° + β = 180°

5. β = 160° - 2𝜶 = זווית ACE

6. AEC = 180° - β - 20° = 160° - (160° - 2𝜶) = 2𝜶 זווית

א. 2) הביעו באמצעות k ו- α את אורכי הקטעים AB ו- CD.

נשרטט שוב המעגל עם הנתונים

משולש ABE שווה שוקיים AE = BE - זוויות בסיס שוות 𝜶.

ב.ע - מורידים גובה EO החוצה גם את הבסיס כך ש: AO = BO (גובה במש״ש חוצה את הבסיס).

OA = AEᐧ sin𝜶 = kᐧcos𝜶

AB = 2ᐧOA = 2kᐧcos𝜶

באותה דרך נחשב את CD , אך קודם נחשב את CE לפי משפט הסינוסים במשולש ACE/

CE / sin 20° = AE / sin β

CE / sin 20° = k / sin(160° - 2𝜶)

CE = k ᐧ sin 20° / sin(160° - 2𝜶)

CD = 2 ᐧ CE ᐧ cos𝜶 = 2k ᐧ sin 20° ᐧ cos𝜶 / sin(160° - 2𝜶)

ב. חישוב 𝜶

הזוויות במשולשים ABE, CDE שוות ולכן המשולשים דומים.

היחס בין שטחי משולשים דומים הוא ריבוע יחס הצלעות.

לכן היחס בין צלעות המשולשים ABE, CDE הוא (6.41147)√ = 2.532

לכן:

AB / CD = 2.532

AB / CD = 2kᐧcos𝜶 / [2k ᐧ sin 20° ᐧ cos𝜶 / sin(160° - 2𝜶)]

AB / CD = 2kᐧcos𝜶 ᐧ sin(160° - 2𝜶) / 2k ᐧ sin 20° ᐧ cos𝜶

AB / CD = sin(160° - 2𝜶) / sin 20° = 2.532

sin(160° - 2𝜶) = 0.866

160° - 2𝜶 = 60°

𝜶 = 50°

סדרה חשבונית - מציאת האיבר הראשון, ההפרש וסכום הסדרה

2024-05-19T22:25:00.000-07:00

תרגיל - סדרה חשבונית

סדרה חשבונית יש ששה איברים, ידוע כי האיבר הרביעי מקיים:

a₄ = - 16ᐧa₁

כמו כן ידוע כי האיבר השלישי שווה ל- 31.

א. מצא את האיבר הראשון ואת הפרש הסדרה.

ב. חשב את סכום כל איברי הסדרה הנ"ל.

פתרון תרגיל - סדרה חשבונית:

א. מציאת האיבר הראשון והפרש הסדרה

האיבר ה- nי בסדרה חשבונית נתון בנוסחה:

a_n = a₁ + d(n - 1)

נרשום משוואת האיבר הרביעי בסדרה:

a₄ = a₁ + d(4 -1)

a₄ = a₁ + 3d

נתון כי:

a₄ = - 16ᐧa₁

לכן:

- 16ᐧa₁ = a1 + 3d

- 17ᐧa₁ = 3d

האיבר השלישי שווה ל- 31:

a₃ = a₁ + d(3 - 1) = a₁ + 2d = 31

a₁ + 2d = 31

קיבלנו שתי משוואות בשני נעלמים:

- 17ᐧa₁ = 3d

a₁ + 2d = 31 ---> a₁ = 31 - 2d

-17(31 - 2d) = 3d

-572 + 34d = 3d

31d = 572

d = 17

האיבר הראשון בסדרה:

a₁ = 31 - 2d = 31 - 34 = -3

הפרש הסדרה d = 17 והאיבר הראשון a₁ = -3 .

ב.חישוב סכום הסדרה.

בסדרה 6 איברים, האיבר הראשון שווה 3- והפרש הסדרה שווה 17.

n = 6

a₁ = -3

d = 17

סכום סדרה חשבונית נתון בנוסחה:

S_n= n ᐧ [2a₁ + d(n - 1)] / 2

S₆ = 6 ᐧ [2 ᐧ (-3) + 17(6 - 1)] / 2

S₆ = 6(-6 + 17 * 5) /2

S₆ = 3 ᐧ 79

S₆= 237

סכום הסדרה החשבונית שווה 237.

משוואה אלגברית עם נעלם אחד - דוגמא פתורה

2024-05-19T21:55:00.000-07:00

פתור את המשוואה

(1 - 2x) / 3 + (x + 10) / 6 = 2x - (7x + 4) / 2

פתרון

(1 - 2x) / 3 + (x + 10) / 6 = 2x - (7x + 4) / 2

מכפילים כל האיברים ב- 6

2(1 - 2x) + x + 10 = 12x - 3(7x + 4)

2 - 4x + x + 10 = 12x -21x -12

12 - 3x = -9x - 12

6x = -24

x = -4

סדרה חשבונית - מבגרות 5 יחידות.

2024-04-27T23:26:00.000-07:00

שאלה

נתונה סדרה חשבונית בעלת מספר זוגי של איברים. סכום האיברים במקומות הזוגיים בסדרה הוא 174, וסכום האיברים במקומות האי-זוגיים הוא 150.

האיבר האחרון בסדרה פחות האיבר הראשון שווה 44.

א. מצא את האיבר הראשון בסדרה ואת הפרשה.

מוסיפים לסדרה איבר נוסף אחרי האיבר האחרון.

ב. מצא מהו האיבר שהוסיפו ומהו האיבר האמצעי בסדרה.

מכפילים איברים במקומות הזוגיים בסדרה ב- (1-) .

ג. האם הסדרה החדשה שהתקבלה היא סדרה חשבונית? מצא את סכומה.

פתרון

א. האיבר הראשון בסדרה והפרשה

אפשר לראות את הבעיה כ - 3 סדרות חשבוניות. הסדרה המקורית בעלת n איברים ואיבר ראשון a1 והפרש d. סדרת האיברים במקומות האי זוגיים והזוגיים בעלות מספר איברים איבר ראשון והפרש על פי הטבלה:

סדרה	איבר ראשון	מספר איברים בסדרה	הפרש
מקורית	a1	n	d
איברים במקומות זוגיים	a1 + d	n / 2	2d
איברים במקומות איזוגיים	a1	n / 2	2d

נפתח 3 משוואות על פי נתוני השאלה:

סכום האיברים במקומות הזוגיים בסדרה הוא 174 = SE

SE = n / 2 ᐧ [2 ᐧ (a1 + d) + 2d ᐧ (n / 2 - 1)] / 2 = 174

סכום האיברים במקומות הזוגיים בסדרה הוא 150 = SO

SO = n / 2 ᐧ [2 ᐧ a1 + 2d ᐧ (n / 2 - 1)] / 2 = 150

האיבר האחרון בסדרה פחות האיבר הראשון שווה 44.

a1 + d ᐧ (n - 1) - a1 = 44

נפשט המשוואות:

SE = n / 2 ᐧ [(a1 + d) + d ᐧ (n / 2 - 1)] = n / 2 ᐧ (a1 + d) + n / 2 ᐧ d ᐧ (n / 2 - 1)] = 174

SO = n / 2 ᐧ [ a1 + d ᐧ (n / 2 - 1)] = n / 2 ᐧ a1 + n / 2 ᐧ d ᐧ (n / 2 - 1)] = 150

d ᐧ (n - 1) = 44

נפחית משוואת שניה מראשונה:

SE - SO = n / 2 ᐧ d = 24. ==> d ᐧ n = 48

d ᐧ (n - 1) = d ᐧ n - d = 44

d ᐧ n - d = 48 - d = 44

d = 4

מספר האיברים בסדרה n :

n = 48 / d = 48 / 4 = 12

n = 12

למציאת האיבר הראשון בסדרה a1 נציב במשוואת סכום האיברים במקומות האי זוגיים:

SO = n / 2 ᐧ [ a1 + d ᐧ (n / 2 - 1)] = 12 / 2 ᐧ [a1 + 4 ᐧ (12 / 2 - 1)] = 150

SO = 6 ᐧ ( a1 + 20) = 150

a1 = 5

ב. האיבר שהוסיפו בסוף הסדרה והאיבר האמצעי:

בסעיף א קיבלנו סדרה שאיברה הראשון 5 = a1 והפרשה 4 = d בעלת 12 איברים מהצורה:

5 , 9 , 13 , 17 , 21 ....

נוסיף איבר בסוף הסדרה ונקבל סדרה בת 13 איברים , שאיברה הראשון 5 = a1 והפרשה 4 = d.

נמצא את האיבר ה - 7 בסדרה שהוא האיבר האמצעי, ואת האיבר ה - 13 שהוא האיבר האחרון שהוספנו:

האיבר האמצעי בסדרה a7 :

a7 = 5 + 4 ᐧ (7 - 1) = 5 + 4 ᐧ 6 = 5 + 24 = 29

a7 = 29

האיבר האחרון בסדרה a13 :

a13 = 5 + 4 ᐧ (13 - 1) = 5 + 4 ᐧ 12 = 5 + 48 = 53

a13 = 53

ג. האם הסדרה החדשה חשבונית? מציאת סכום הסדרה

מכפילים איברים במקומות הזוגיים בסדרה ב- (1-) .

ומקבלים סדרה חדשה:

5 , -9 , 13 , -17 , 21 , -25 , 29 , -33 , 37

נבדוק האם הסדרה חשבונית:

a2 - a1 = -9 - 5 = -14

a3 - a2 = 13 - (-9) = 22

ניתן לראות כי הפרש הסדרה אינו קבוע ולכן הסדרה אינה חשבונית.

סכום הסדרה

ניתן לראות כי הסדרה מורכבת משתי סדרות חשבוניות. סדרה אחת של האיברים במקומות האי זוגיים, וסדרה שניה של האיברים במקומות הזוגיים.

סדרה	איבר ראשון	מספר איברים בסדרה	הפרש הסדרה
איברים במקומות זוגיים	9-	7	8-
איברים במקומות איזוגיים	5	6	8

מאידך ניתן לראות כי סדרת האיברים במקומות האי זוגיים חשבונית שאיברה הראשון הוא 5, הפרשה 8, ומספר האיברים 7.

לכן סכום האיברים במקומות האי זוגיים הוא:

SO = 7 ᐧ [2 ᐧ 5 + 8 ᐧ (7 - 1)] / 2 = 7 ᐧ (10 + 8 ᐧ 6) = 7 ᐧ 58 = 406

באופן דומה ניתן לראות כי סדרת האיברים במקומות הזוגיים חשבונית שאיברה הראשון הוא 9-, הפרשה 8-, ומספר האיברים 6.

SE = 6 ᐧ [2 ᐧ (-9) + (-8) ᐧ (6 - 1)] / 2 = 6 ᐧ (-18 - 8 ᐧ 5) = 6 ᐧ (-58) = -348

SO + SE = 406 - 348 = 58

סכום הסדרה בסעיף ג הוא 58.

סדרה חשבונית מבגרות 5 יחידות חורף 2020

2024-04-23T12:33:00.000-07:00

שאלה

a_n היא סדרה חשבונית .

k ו- p הם מספרים טבעיים k < p .

נתון: a_k = p , a_p = k

א. (1) הוכח שהפרש הסדרה a_n הוא 1- .
(2) הבע את a₁ באמצעות k ו-p.

הסדרה c_n מוגדרת כך: c_n = a_n - n

נתון כי סכום 6 האיברים הראשונים בסדרה c_n הוא 0 .

ב. (1). מצא את a₁ .
(2). מה הם ערכי k ו- p ? מצא את כל האפשרויות.

ג.חשב את הסכום

(c₁ - c₂)² + (c₃ - c₄)² + . . . + (c₉₉ - c₁₀₀)²

נמק.

פתרון

א. (1) הוכח שהפרש הסדרה 1-

נתון: a_k = p , a_p = k

נחשב את האיברים ה- k , וה- p ונציב:

a_k = a₁ + dᐧ(k - 1) = p

a_p = a₁ + dᐧ(p - 1) = k

a₁ = p - d(k - 1)

a₁ = k - dᐧ(p - 1)

p - dᐧ(k - 1) = k - dᐧ(p - 1)

p - k = dᐧ(k - 1) - dᐧ(p - 1)

p - k = dᐧk - d - dᐧp + d = dᐧk - dᐧp

p - k = -dᐧ(p - k)

-d = (p - k) / (p - k) = 1

d = -1

א. (2) הבע את a₁ באמצעות k ו-p.

על פי הפיתוח לעיל נציב d = -1 :

a₁ = p - dᐧ(k - 1)

a₁ = p - (-1)(k - 1) = p + (k - 1) = p + k -1

a₁ = p + k - 1

ב. (1). מצא את a₁

הסדרה c_n מוגדרת כך: c_n = a_n - n
נתון כי סכום 6 האיברים הראשונים בסדרה c_n הוא 0 .

השיטה: נציב סכום 6 האיברים הראשונים בסדרה c_n הוא 0 , ונקבל ערך מספרי של הסכום p + k , ומכאן נחשב את a_{1 .}

c_n = a_n - n

נחשב תחילה את a_n :

a_n = a1 + d(n - 1) = (p + k - 1) + (-1)ᐧ(n - 1) = p + k - 1 - n + 1 = p + k - n

a_n = p + k - n

נחשב את c_n :

c_n = a_n - n = (p + k - n) - n = p + k - 2n

c_n = p + k - 2n

ניתן להוכיח בקלות כי הסדרה c_n היא חשבונית שהפרשה 2- (המקדם של n) , ואיברה הראשון p+k-2 ולחשב סכום 6 איברים ראשונים לפי נוסחה.

אולם נחשב ״ידנית״ סכום ששת האיברים הראשונים בסדרה c_n:

c_n = p + k - 2n

c₁ = p + k - 2
c₂ = p + k - 4
c₃ = p + k - 6
c₄= p + k - 8
c₅ = p + k - 10
c₆= p + k - 12

c₁ + c₂ + ... + c₆ = 0

c₁ + c₂ + ... + c₆ = p + k - 2 + p + k - 4 +. .... + p + k - 12 = 6(p + k) - 42 = 0

6(p + k) = 42

p + k = 7

a₁ = p + k -1 = 7 - 1 = 6

a₁ = 6

ב. (2) ערכי k ו- p האפשריים

מצאנו לעיל כי p + k = 7 ונתון כי k ו- p הם מספרים טבעיים וכן: k < p .
האפשרויות הקיימות הן:

p = 6 , k = 1

p = 5 , k = 2

p = 4 , k = 3

ג. מציאת הסכום :

(c₁ - c₂)² + (c₃ - c₄)² + . . . + (c₉₉ - c₁₀₀)²

נבדוק אם הסדרה c_n חשבונית ומהו הפרשה.

כפי שמצאנו לעיל:

c_n = p + k - 2n

p + k = 7

לכן:

c_n = 7 - 2n

c_n = 5 + 2 - 2n = 5 -2(n - 1)

c_n = 5 -2(n - 1)

זהו ביטוי של סדרה חשבונית מהצורה c_n = c₁ + d(n-1) שהפרשה 2- = d (ואיברה הראשון 5 = c₁).

מכאן ש -c_n סדרה חשבונית שהפרשה d = -2.

כלומר :

(c1 - c2)² + (c3 - c4)² + . . . + (c99 - c100)² = 2² + 2² ..... + 2² = 50 ᐧ 2² = 200

מרחק בין שתי נקודות במערכת צירים

2024-04-22T20:43:00.000-07:00

המרחק d בין שתי נקודות ששיעורן (x1, y1) , (x2 , y2) נתון בנוסחה:

d = sqrt[(x1 - x2)² + (y1 - y2)²]

לדוגמה :

המרחק בין הנקודות (1,3) ו- (4, 6) הוא:

d = sqrt((1 - 6)² + (3 - 4)²) = sqrt((-5)² + (-1)²) = sqrt(25 + 1) = √26 = 5.10

מחשבון לחישוב מרחק בין שתי נקודות

מרחק בין שתי נקודות במערכת צירים נקודה 1 (x1, y1):

נקודה 2 (x2, y2):

סדרה המקיימת את כלל נסיגה - מבגרות מתמטיקה 5 יחידות.

2024-04-17T12:01:00.000-07:00

שאלה

נתונה סדרה מקיימת את כלל הנסיגה: a_n+1 = 6n - 1 - a_n, a₁ = k

א. 1) הבע בעזרת k את האיברים a₂ , a₃ , a₄ , a_{5 .}

2) הוכח כי לכל n טבעי, הסדרות . . . . a₁ , a₃ , a₅ , a₇, a₉ , a₁₁ ו- . . . . a₂ , a₄, a₆ , a₈ , a₁₀

הן סדרות חשבוניות.

3) מצא את הערך של k עבורו גם הסדרה . . . . a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , a₅, a₆ היא סדרה חשבונית.

ב. בסדרה זו ישנם 4n - 1 איברים. סכום 2n האיברים האחרונים בסדרה גדול ב- 1140 מסכום 2n האיברים הראשונים בסדרה.

1) מצא את מספר איברי הסדרה.

2) חשב את סכום האיברים שנמצאים במקומות האי זוגיים בסדרה.

פתרון

נתונה סדרה מוגדרת בצורת נסיגה:

a_n+1 = 6n - 1 - a_n

א.(1) חמשת האיברים הראשונים בסדרה

a₁ = k

עבור n = 1

a₂= 6 ᐧ 1 - 1 - a₁= 5 - k

עבור n = 2

a₃ = 6 ᐧ 2 - 1 - a₂ = 11 - (5-k) = 6 + k

a₄ = 6 ᐧ 3 - 1 - a₃ = 17 - (6 + k) = 11 - k

a₅ = 6 ᐧ 4 - 1 - a₄ = 23 - (11 - k) = 12 + k

(2) הסדרות במקומות הזוגיים או האי זוגיים הן חשבוניות.

נוכיח כי הפרש בין 2 איברים עוקבים במיקום הפרש שניים הוא קבוע, כלומר:

a_n+2- a_n = d

a_n+1 = 6n - 1 - a_n

a_n+2 = 6(n+1) - 1 - a_n+1

a_n+2 - a_n = [6(n+1) - 1 - a_n+1] - a_n = [6(n+1) - 1 - (6n - 1 - a_n)] - a_n

= 6n + 6 - 1 - 6n + 1 + a_n- a_n= 6

ניתן לראות כי הפרש בין 2 איברים בסדרה נמצאים בהפרש מיקום 2 הוא 6. לכן הסדרות במקומות הזוגיים או האי זוגיים הן חשבוניות שהפרשן 6.

(3) הערך של k שעבורו הסדרה חשבונית

מאחר שהפרש הסדרות הזוית והאי זוית הוא 6. הפרש הסדרה עצמה צריך להיות 3 כדי שתהה חשבונית.

נבדוק ערך של kעבור איברים 1,2:

a₂ - a₁ = (5-k) - k = 3

5 - 2k = 3

2k = 2

k = 1

עבור k = 1 הסדרה חשבונית שאיבריה:

1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16....

ב. (1) מספר איברי הסדרה

בסדרה 4n - 1 איברים, שזהו מספר אי זוגי. לכן האיבר האמצעי בסדרה הוא במיקום 2n.

סכום 2n האיברים הראשונים:

a₁ = 1

d = 3

S_2n = 2n(2a1 + d(2n - 1)) / 2 = n(2 + 3(2n-1)) = n(2 + 6n -3) = n(6n - 1) = 6n² - n

סכום 2n האיברים האחרונים:

a₁ = a_2n = a₁ + d(2n - 1) = 1 + 3(2n - 1) = 1 + (6n - 3) = 6n - 2

d = 3

S_2n = 2n(2a₁ + d(2n - 1)) / 2 = n(2ᐧ(6n-2) + 3(2n-1)) = n(12n - 4 + 6n - 3) = n(18n-7) = 18n² - 7n

נתון כי סכום 2n האיברים האחרונים בסדרה גדול ב- 1140 מסכום 2n הראשונים:

(18n² - 7n ) - (6n² - n) = 1140

12n² - 6n - 1140 = 0

n = 10, -9.5

הפתרון הnתאים הוא n = 10 .

בסדרה 4n - 1 איברים כלומר 4ᐧ10 - 1 = 39 , בסדרה 39 איברים

(2) סכום האיברים במקומות האי זוגיים:

a₁ = 1

d = 6

n = 20

S_n = n(2a₁ + d(n - 1)) / 2 = 20(2 +6(20 -1)) / 2 = 10(2 + 120 - 6) = 10 ᐧ 116 = 1160

סכום האיברים במקומות האי זוגיים בסדרה הוא 1160.

משוואת שני משיקים למעגל היוצאים מנקודה אחת

2024-04-16T12:49:00.000-07:00

נתון

מעגל O (a , b) שרדיוסו r, ונקודה A (c, d) מחוץ למעגל.

מנקודה Aיוצאים שני משיקים למעגל O בנקודות B, C.

שני משיקים למעגל היוצאים מנקודה אחת

נדרש

מצא את משוואות המשיקים AC , AB.

פתרון

נסמן :

L = AO - הישר מנקודה A למרכז המעגל O.

𝜶 - הזוית שיוצר AO עם ציר x.

β - הזוית הנוצרת בין כל אחד מהמשיקים AB, AC לקטע AO.

m - שיפוע ישר AO

m1 - שיפוע הישר AB

m2 - שיפוע הישר

השיטה:

נחשב את שיפוע הקטע AO , ואת זוית β בין כל אחד מהמשיקים לקטע AO. נחשב את שיפועי המשיקים על פי שיפוע AO (זוית 𝜶) וזוית β. נחשב את משוואות המשיקים על פי שיפועם ונקודה A ממנה הם יוצאים.

מציאת m - שיפוע AO

הישר AO מחבר בין מרכז המעגל O(a , b) , לבין הנקודת A(c, d) . לכן השיפוע שווה:

m = (b - d) / (a - c)

𝜶 היא הזוית שיוצר AO עם ציר x , לכן:

tan(𝜶) = m

מציאת L = AO

L הוא המרחק בין נקודה O (a , b) ונקודה A (c, d) , לכן:

L^2 = (a - c)² + (b - d)²

L = sqrt((a - c)² + (b - d)²)

מציאת זוית β

sin(β) = OB / OA = r / L

נחשב את טנגנס:

tan(β) = sin(β) / sqrt(1 - (sin(β))²) = ( r / L) / sqrt(1 - (r/L)²)

= ( r / L) / sqrt(1 - r²/L² ) = ( r / L) / (sqrt(L² - r²) / L)

tan(β) = r / sqrt(L² - r²) = n

מציאת שיפועי המשיקים:

m1 = tan(𝜶 + β)

m2 = tan(𝜶 - β)

לחישוב m1 , m2 נשתמש בזהות:

m1 = tan(𝜶 + β) = (tan(𝜶) + tan(β)) / (1 - tan(𝜶)ᐧtan(β))

m2 = tan(𝜶 - β) = (tan(𝜶) - tan(β)) / (1 + tan(𝜶)ᐧtan(β))

נציב

tan(𝜶) = m

tan(β) = n

נקבל:

m1 = (m + n) / (1 - mᐧn)

m2 = (m ᐧ n) / (1 + mᐧn)

מציאת משוואות המשיקים:

שיפועי המשיקים הם m1 , m2 והם עוברים דרך נקודה A (c, d) , לכן משוואות המשיקים:

y - d = m1(x - c)

y - d = m1ᐧx - m1ᐧc

נקודות חיתוך המשיקים עם ציר y:

n1 = d ᐧ m1 ᐧ c

n2 = d ᐧ m2 ᐧ c

y = m1ᐧx + n1

באופן דומה משוואת המשיק השני:

y = m2ᐧx + n2

דוגמא:

נתון מעגל O (5 , 5) שרדיוסו 1, ונקודה A (1, 1) מחוץ למעגל

חשב את משוואות המשיקים מנקודה A למעגל O.

פתרון

נרשום את הנתונים ונציב בנוסחאות לעיל.

a = 5

b = 5

r = 1

c = 1

d = 1

m = (b - d) / (a - c) = (5 - 1) / (5 - 1) = 1

L² = (a - c)² + (b - d)² = (5 -1)² + (5 - 1)² = 32

n = r / sqrt(L² - r² ) = 1 /sqrt(32 - 1) = 0.1796

שיפועי המשיקים:

m1 = (m + n) / (1 - m*n) = (1 + 0.1796) / (1 - 1ᐧ0.1796) = 1.4379

m2 = (m - n) / (1 + m*n) = (1 - 0.1796) / (1 + 1ᐧ0.1796) = 0.6955

נקודות חיתוך המשיקים עם ציר y:

n1 = d - m1ᐧc = 1 - 1ᐧ1.4379 = -0.4379

n2 = d - m2ᐧc = 1 - 0.6955*1 = 0.3045

משוואות המשיקים:

y = 1.4379 ᐧ x - -0.4379

y = 0.6955 ᐧ x + 0.3045

להלן סקיצה של המעגל והמשיקים:

משוואת משיק למעגל בשיפוע נתון

2024-04-14T11:32:00.000-07:00

שאלה

נתון לנו מעגל שמרכזו בנקודה (a, b) ורדיוסו r . משוואת המעגל:

(x - a)² + (y - b)² = r²

נתון לנו ישר בעל שיפוע m, ונקודת חיתוך n עם ציר y. משוואת הישר:

y = mᐧx + n

עבור אילו ערכים של n הישר y = mx + n משיק למעגל?

פתרון

נשרטט את הבעיה

ישר בשיפוע נתון משיק למעגל

1. תחילה נמצא את הישר c העובר דרך מרכז המעגל (a, b) ושיפועו m . הישר c חותך את ציר y בנקודה c.

שיפועו הישר c הוא m ועובר דרך נקודה (a, b) לכן משוואתו :

y - b = mᐧ(x - a)

y - b = mᐧx - mᐧa

y = mᐧx + (b - mᐧa)

נקודת חיתוך הישר c עם ציר y:

c = b - mᐧa

2. הישרים המשיקים למעגל מקבילים לישר c וחותכים את ציר y בנקודות n1, n2 , הנצאות במרחק L מנקודה c (ראה שרטוט לעיל).

כלומר:

n1 = c - L

n2 = c + L

נחשב את L:

L = r ᐧ (1/cos(𝜶))

tan(𝜶) = m

1/cos(𝜶) = sqrt(1 + (tan𝜶)²)

L = r ᐧ (1/cos(𝜶)) = r ᐧ sqrt(1 + (tan𝜶)²) = r ᐧ sqrt(1 + m²)

n1 = c - L = c - r ᐧ sqrt(1 + m²)

n2 = c + L = c + r ᐧ sqrt(1 + m²)

נציב c = b - mᐧa ונקבל:

n1 = b - ma - r ᐧ sqrt(1 + m²)

n2 = b - ma + r ᐧ sqrt(1 + m²)

משוואות הישרים המשיקים למעגל הם:

y = mx + b - ma - r ᐧ sqrt(1 + m²)

y = mx + b - ma + r ᐧ sqrt(1 + m²)

דוגמא:

נתון מעגל שמשוואתו :

(x - 1)² + (y-1)² = 25

מצא משוואות הישרים המשיקים למעגל לעיל ושיפועם m = 1.

פתרון

ניתן לראות כי שיעור מרכז המעגל הוא (1, 1) ורדיוס המעגל הוא 5.

נציב

a = 1

b = 1

r = 5

m = 1

c = b - mᐧa = 1 - 1ᐧ1 = 0

L = r ᐧ sqrt(1 + m²) = 5 ᐧ sqrt(1 + 1) = 5√2

נקודות חיתוך הישרים n1 , n2 עם ציר y:

n1 = c - L = 0 - 5√2 = -7.071

n2 = c + L = 0 + 5√2 = 7.071

משוואות הישרים:

y = mᐧx + n

y = x - 7.071

y = x + 7.071

גרף המעגל והישרים:

גרף המעגל והישרים המשיקים

נקודות חיתוך מעגל וישר - מחשבון

2024-04-13T21:52:00.000-07:00

ישר ומעגל במערכת צירים

1. משוואת המעגל שמרכזו בנקודה (a ,b) ורדיוסו r :

(x - a)² + (y - b)² = r²

2. משוואת הישר ששיפועו m ונקודת חיתוך n עם ציר y הוא : y = mᐧx + n

ישנם שלשה מצבים אפשריים בין הישר למעגל:
1. הישר אינו חותך את המעגל באף נקודה ולמשוואות 1, 2 לעיל אין פתרון.
2. הישר משיק למעגל (נקודת חיתוך אחת) ולמשוואות 1, 2 לעיל פתרון אחד
3. הישר חותך את המעגל בשתי נקודות ולמשוואות 1, 2 שתי פתרונות.

מחשבון לחישוב נקודות חיתוך ישר עם מעגל

המחשבון מקבל כקלט את השיפוע mונקודת חיתוך n עם ציר y של הישר y = mᐧx + n .
המחשבון מקבל כקלט גם את נקודת מרכז המעגל (a, b) והרדיוס r של המעגל. המחשבון מציג כמה נקודות חיתוך יש לישר עם מערכת הצירים (0, 1, 2) ומציג אותן. המחשבון מציג שרטוט סכמטי של הישר והמעגל במערכת צירים.

Line-Circle Intersection

שיעורי נקודות חיתוך ישר - מעגל

ערכי פרמטרים m, n של הישר y = mx + n

הכנס את הערך של m (שיפוע):

הכנס את הערך של n (נק׳ חיתוך עם ציר y ):

ערכי פרמטרים (a , b) - מרכז , r - רדיוס , של המעגל

הכנס ערך a (שיעור x של מרכז המעגל):

הכנס ערך b (שיעור y של מרכז המעגל):

הכנס ערך r (רדיוס המעגל):

נקודות חיתוך ישר ומעגל במערכת צירים

2024-04-13T06:49:00.000-07:00

נתון ישר במערכת צירים, משוואת הישר:

y = mᐧx +n

נתון מעגל ששיעור מרכזו (x1, y1) ורדיוסו r, משוואת המעגל:

(x - x1)² + (y - y1)² = r²

נפתור:

y = mᐧx +n

(x - x1)² + (y - y1)² = r²

נציב y = mᐧx +n במשוואת השניה :

(x - a)² + (mx +n - b)² = r²

x² - 2ᐧaᐧx + a² + m² ᐧ x² + 2ᐧmᐧnᐧx + n² - 2ᐧbᐧmᐧx - 2ᐧbᐧn + b² = r²

x² ᐧ (1 + m²) + x(-2ᐧa + 2ᐧmᐧn - 2ᐧbᐧm) + (a² + n² + b² - r²) = 0

קיבלנו משוואה ריבועית מהצורה:

a1 ᐧ x² + b1 ᐧ x + c1 = 0

כאשר:

a1 = (1 + m²)

b1 = (-2a + 2ᐧmᐧn - 2ᐧbᐧm)

c1 = (a² + n² + b² - r²)

אנחנו יכולים לחלץ את x לפי נוסחת המשוואה הריבועית:

x 1,2 = [-b1 ± sqrt(b1² - 4 ᐧ a1 ᐧ c1)] / (2ᐧa1)

ועבור כל x נחשב את ה- y המתאים במשוואה הראשונה:

y = mᐧx +n

חקירת פונקציית פולינום במונה ובמכנה - מבגרות מתמטיקה 4 יחידות חורף 2024

2024-04-08T22:08:00.000-07:00

שאלה

הפונקצייה f(x) מוגדרת בתחום 3 ± ≠ x

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f'(x) , המוגדרת באותו התחום.

גרף פונקציית הנגזרת f'(x) חותך את ציר ה- x בנקודה (0 , 0).

א. מצאו את שיעור ה־ x של נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x) , וקבעו את סוגה.

ב. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x) .

נתון כי לפונקצייה f(x) יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה היא y = 2.

אחד מן הביטויים III–I שלפניכם מייצג את הפונקצייה f(x) .

ג. קבעו איזה מן הביטויים III–I מייצג את הפונקצייה f(x) . נמקו את קביעתכם.

ד. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f'(x) , על ידי ציר ה- x ועל ידי הישר x = 2.

פתרון

א. שיעור ה־ x של נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x) , וסוגה

נתון כי גרף פונקציית הנגזרת f'(x) חותך את ציר ה- x בנקודה (0 , 0). בנוסף ניתן לראות כי משמאל לנקודת חיתוך של f'(x) עם ציר x גרף הנגזרת חיובי כלומר f(x) עולה ומימין לנקודת החיתוך גרף הנגזרת שלילי , כלומר f(x) יורדת.

לכן ל- f(x) נקודת מקסימום בנקודה x = 0 .

ב. תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x)

בנקודה שבה הנגזרת f'(x) חיובית זה אומר שהשיפוע של f(x) בנקודה זו חיובי כלומר f(x) עולה. בהתאם, בנקודה שבה הנגזרת f'(x) שלילית זה אומר שהשיפוע של f(x) בנקודה זו שלילי כלומר f(x) יורדת.

על פי גרף הפונקציה של f'(x) ניתן לראות כי f'(x) שלילית כאשר x < 0 וחיובית כאשר f'(x) > 0 . לכן הפונקציה f(x) עולה כאשר x>0 ויורדת כאשר x<0, למעט הנקודות בהן f(x) אינה מוגרדת: 3 ± .

ג. איזה מן הביטויים III–I מייצג את הפונקצייה f(x)

הביטוי המתאים לפונקציה f(x) הוא ביטוי III. ביטוי זה מתאר פונקציה שאינה מוגדרת

עבור ערך x = ±3, וזה מתאים לנתוני השאלה.

בנוסף ניתן לראות שכאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף ערך הביטוי שואף ל- 2, וזה מתאים לנתון כי לפונקצייה f(x) יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה היא y = 2.

ד. שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים

נתונה הפונקציה

f(x) = x² / (x² - 9) + 1

נקודות חיתוך עם ציר y

כאשר x = 0 :

f(0) = 0² / (0² - 9) +1 = 1

נקודת החיתוך : (1 , 0)

נקודות חיתוך עם ציר x

כאשר y = 0

f(x) = 0

f(x) = x² / (x² - 9) + 1 = 0

x² / (x² - 9) = -1

x² = - (x² - 9)

x² = - x² + 9

2x² = 9

x² = 4.5

x = ± 2.121

נקודות החיתוך: (0 , 2.121) , (0 , 2.121-)

ה. סקיצה של f(x)

תחום הגדרה אסימפטוטות :

לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה היא y = 2 - נתון.

הפונקציה אינה מוגדרת עבור ערך x = ±3, מאחר ומכנה יש ביטוי (x^2 - 9). ככל ש- x מתקרב לערכים ±3 , המכנה שואף ל- 0 וזה מגדיל את ערך הפונקציה f(x) = x² / (x² - 9) + 1 . לכן לפונקציה אסימפטוטות עבור x = ±3 .

נקודות חיתוך עם הצירים: (0 , 2.121) , (0 , 2.121-) , (1 , 0)

נקודות קיצון: כפי שעושה בסעיף א לפונקציה נקודת מקסימום עבור x = 0, נחשב את ערך הפונקציה בנקודה זו: f(0) = 1. כלומר לפונקציה נקודות מקסימום (1 , 0).

תחומי עליה / ירידה : הפונקציה עולה עבור x חיובי ויורדת עבור x שלילי , למעט הנקודות x = ±3.

סקיצת הפונקציה : f(x) = x² / (x² - 9) + 1

ו. השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f'(x) , על ידי ציר ה- x ועל ידי הישר x = 2

השטח המוגבל המבוקש הוא מנקודת חיתוך שמאלית x = 0 ועד x = 2 בין גרף הנגזרת f'(x) לציר x.

S = ∫ f'(x)dx = f(2) - f(0) = -4/5 +1 -(0+1) = -4/5

השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f'(x) , על ידי ציר ה- x ועל ידי הישר x = 2 הוא 4/5

משולש שווה צלעות חסום במעגל - מבגרות מתמטיקה 4 יחידות חורף 2024

2024-04-07T12:54:00.000-07:00

שאלה

משולש ABC הוא משולש שווה צלעות החסום במעגל שרדיוסו 17 .

הנקודה D נמצאת על המשך הצלע BC , כמתואר בסרטוט.

א. מצאו את אורך הצלע AC .

נתון: CD = 16

ב. מצאו את אורך הקטע AD .

ג. מצאו את גודל הזווית CAD .

הנקודה F היא נקודת החיתוך של הקטע AD עם המעגל.

ד. מצאו את אורך המיתר BF .

ה. (1) מהו גודל הזווית FBC ?

(2) מצאו את שטח המשולש FBD .

פתרון

א. אורך הצלע AC

נניח מרכז המעגל הנקודה O.

OB = OC = 17 - מרחק נקודה ממרכז המעגל את המעגל שווה לרדיוס.

∠BOC = 120⁰ -

מטעמי סימטריה כל זוית ממרכז המעגל לקודקודי משולש שווה צעות שווה 120 מעלות

לפי משפט הקוסינוסים נחשב את אורך צלע המשולש BC:

BC² = OB² + OC² - 2ᐧOBᐧOCᐧcos(120⁰)

BC² = 17² + 17² - 2ᐧ17ᐧ17ᐧ(-1/2)

BC² = 867

BC = 29.44

מאחר ומשולש ABC הוא שווה צלעות , אורך הצלע AC = BC = 29.44

ב. אורך הקטע AD

נתבונן במשולש ABD :

AB = 29.44 - צלע במשולש שווה צלעות שחושב ב- א.

∠ABD = 60° - זווית במשולש שווה צלעות

BD = BC + CD = 29.44 + 16 = 45.44 - נתון CD , ו - BC היא צלע במשולש שווה צלעות ABC

נמצא את AD על פי משפט הקוסינוסים במשולש ABD.

AD² = AB² + BD² - 2ᐧABᐧBDᐧcos(60⁰) =

AD² = 867 + 2064.8 - 29.44ᐧ45.44 = 1594

AD = 39.92

ג. גודל הזווית CAD

נחשב קודם את גודל הזווית BAD לפי משפט הסינוסים במשולש BAD. אחר-כך נחסר מזוית BAD את זווית BAC השווה 60⁰ . ונקבל את הזווית המבוקשת CAD.

AD / sin(∠ABD) = BD / sin(∠BAD)

39.92 / sin 60⁰ = 45.44 / sin(∠BAD)

sin(∠BAD) = 45.44 ᐧ sin 60⁰ / 39.92

sin(∠BAD) = 0.985

∠BAD = 80.3⁰

∠CAD = ∠BAD - ∠BAC = 80.3⁰ - 60⁰ = 20.3°

ד. אורך המיתר BF

לחישוב אורך המיתר BF נתבונן במשולש ABF.

∠ACB = 60⁰ - זוית במשולש שווה צלעות שווה 60 מעלות

∠AFB =∠ACB = 60⁰ - זויות היקפיות הנשענות על אותה קשת במעגל שוות

∠FBC =∠FAC = 20.3⁰ - זויות היקפיות הנשענות על אותה קשת במעגל שוות

∠ABF = ∠ABC - ∠ABF = 60⁰ - 20.3⁰ = 39.7⁰

∠BAF = 180 - ∠ABF - ∠AFB = 180⁰ - 39.7⁰ - 60⁰ = 80.3°

לפי משפט הסינוסים במשולש ABF :

BF / sin(∠BAF) = AB / sin(∠AFB)

BF / sin(80.3⁰) = 29.44 / sin(∠60⁰)

BF = 29.44 ᐧ sin(80.3⁰) / sin(∠60⁰)

BF = 33.51

ה. (1) גודל הזוית FBC

גודל הזוית FBC חושב בסעיף הקודם.

∠FBC =∠FAC = 20.3⁰ - זויות היקפיות הנשענות על אותה קשת במעגל שוות

(2) שטח המשולש FBD

שטח משולש שווה לnjmh, מכפלת שתי צלעות בסינוס הזוית ביניהן. לכן למציאת שטח משולש FBD נכפיל:

S_FBD = FB ᐧ BD ᐧ sin(∠FBC) / 2 =

S_FBD = 33.51 ᐧ 45.44 ᐧ sin(20.3⁰) / 2 = 264.1

משולש חסום במעגל - מבגרות מתמטיקה 4 יחידות חורף 2024

2024-04-07T01:53:00.000-07:00

שאלה

משולש ABC חסום במעגל. הצלע BC היא קוטר במעגל.

הנקודה G נמצאת על המשך הצלע CA , כמתואר בסרטוט.

דרך הנקודה C העבירו משיק למעגל, החותך את המשך הצלע BA בנקודה E .

נתון : AC = AG .

א. הוכיחו: BG = BC

ב. הוכיחו: זוית ABG = זוית ECA

ג. הוכיחו: משולש ABG ~ משולש ACE

נתון : AB ᐧ AE = 12.25

ד. מצאו את אורך הקטע AC .

פתרון

א. הוכחת BG = BC

נוכיח שוויון BG = BC על ידי חפיפת משולשים : ABC, ABG.

הצלע BC היא קוטר במעגל - נתון.

(1). זוית BAC ישרה - זוית BAC היא זוית היקפית במעגל הנשענת על קוטר BC ולכן ישרה.

(2). זוית BAG ישרה - צמודה לזוית BAC ישרה ולכן ישרה גם היא.

(3) זוית BAG = זוית BAC - שתי זויות ישרות שוות.

(4) AC = AG - נתון.

(5) AB - צלע משותפת

משולש ABG ≌ משולש ABC - נובע מ: 3, ,4, 5.

מהחפיפה נובע: BG = BC

מ.ש.ל

ב. הוכחת: זוית ABG = זוית ECA

(1) EC - משיק למעגל - נתון.

(2) זוית ABC = זוית ECA - זוית בין מיתר (AC) למשיק למעגל (EC בנקודה C), שווה לזוית היקפית (זוית ABG) הנשענת על אותו מיתר (AC).

(3) זוית ABC = זוית ABG - הוכחנו בסעיף א כי משולש ABG ≌ משולש ABC , נובע מהחפיפה.

(4) זוית ABG = זוית ECA - נובע מ- 2,3 לעיל.

מ.ש.ל

ג. הוכחת: משולש ABG ~ משולש ACE

כדי להוכיח דמיון בין המשולשים נוכיח שוויון 2 זויות ביניהם.

(1) זוית CAE = זוית BAG. - קודקודיות

(2) זוית ABG = זוית ECA - הוכח בסעיף ב

(3) משולש ABG ~ משולש ACE - נובע מ- 2, 3 אם בשני משולשים מתקיים שיוויון 2 זויות ביניהם, אזי המשולשים דומים .

מ.ש.ל

ד. מציאת את אורך הקטע AC .

מהדמיון נובע: AC / AE = AB / AG

אך: AG = AC - נתון

לכן : AC / AE = AB / AC

AC^2 = AB * AE = 12.25

AC = 3.5

מ.ש.ל