高校生と塾講師（家庭教師）のための数学

数A：組合せ：部屋割り②空き部屋の有無し

2022-04-18T20:21:00.000+09:00

数A【空き部屋の問題】

（1）８人が3つの部屋に入る通りは何通り？空き部屋が出ても良い。

（2）８人が3つの部屋に入る通りは何通り？空き部屋が出てはいけない。

Q1: ６人が2つの部屋に分かれる。次の場合は何通り？

①空き部屋が出ても良い。

②空き部屋が出てはいけない。

Q2: ６人が4つの部屋に分かれる。次の場合は何通り？

①空き部屋が出ても良い。

②空き部屋が出てはいけない。

動画で解説しました。見てね！

数A：組合せ：部屋割り①

2022-04-18T20:13:00.005+09:00

（1）8人を松部屋に２人、竹部屋に４人、梅部屋に２人入れる方法は何通り？

（2）８人を２人、２人、４人の組に分ける方法は何通り？ただしそれぞれがどの部屋に入るかは考えない。

（3）８人を２人、２人、２人、２人に分ける方法は何通り？

詳しくは動画で解説しています！

数A：重複を許してつくる組合せ：整数解の個数　◯ | ◯ ◯ | ◯ ◯

2022-04-13T02:27:00.001+09:00

数A：重複を許してつくる組合せ：整数解の個数　◯ | ◯ ◯ | ◯ ◯

（1）x,y,zを正の整数とする。

x+y+z=10を満たす、x,y,zの組みは何通り？

（2）x,y,zをx≧0,y≧0,z≧0を満たす整数とする。

x+y+z=10を満たす、x,y,zの組みは何通り？

（3）x+3y+z=10(x≧0,y≧0,z≧0)を満たす、整数x,y,zの組合せは何通り？

詳しくはこちらの動画で解説しています！

見てね☆

そしてyoutubeのチャンネル登録もよろしくお願いします！

数ⅡB：群数列：マスターへの道その②　群数列の項数が等差数列をなす（a2022は、第何群の何番目か？）

2022-01-13T23:45:00.004+09:00

数2B：問題：群数列{an}が以下のように与えられている。

2,4 | 6,8,10,12 | 14,16,18,20,22,24| …|ak , ak+1, …,am|

第1群｜　　第2群　　｜　　　　　　第3群　　　　　｜　…｜　第x群　　｜　

（1）{an}の第x群の最後の項のamのmを求めよ。

（2）{an}の第x群の最初の項のakのkを求めよ。

（3）{an}の第x群の最初の項のakを求めよ。

（4）a2022は、第何群の何番目か？

戻る＜＜数ⅡB：群数列：マスターへの道その①群数列の考え方

解説）

（1）{an}の第x群の最後の項のamのmを求めよ。

第1群、第2群、、、第x群のそれぞれに含まれる項数をならべてみよう。

第1群：2,4 ・・・2個

第2群：6,8,10,12・・・4個

第3群：14,16,18,20,22,24・・・6個

・

第x群：ak , ak+1, …,am ・・・2x個

よって、

第2群の12は第一群から数えて6番目（2個＋4個）のa6 だから、

第x群の最後の項のamのmは、

第1群から第x群までの項数の和となる。

だから、

m＝2＋4＋6＋…＋2x

になるね。

mは等差数列で、初項a=2,　末項ℓ＝2x, 項数n=x(個）なので、

　S＝n(a+ℓ)2

の等差数列の和の公式に代入すると、

m＝x(2+2x)2

m=x(x+1)

でした。

（2）{an}の第x群の最初の項のakのkを求めよ。

第（xー1）群の最後の項apの次が第x群の最初の項akになるね。

| …,ap|ak , ak+1, …,am|

|第(x-1)群｜第 x 群 |

pの次がk つまり、

p+1＝k

だから

ap+1=ak

なので、まずは第（xー1）群の最後の項apのpを考えてみよう。

（1）で第x群の最後の項amは、

m=x(x+1)

と求めたね。

なので、第(x-1)群の最後の項apのpは、xに(x-1)を代入して、

p=(x-1)(x-1+1)

p=(x-1)x

第x群の最初の項akのkは、pの右隣なので1を足して、

p+1＝k　なので、

k=p+1=(x-1)x+1

ak=a(x-1)x+1

となるね。

つまり、答えは・・・

k＝x²-x+1

でした！

（3）{an}の第x群の最初の項のakを求めよ。

まずは、第1群や第2群、第3群の最初の項がどうなっているのかをみてみよう。

第1群：2,4 ・・・2

第2群：6,8,10,12・・・6

第3群：14,16,18,20,22,24・・・14

ぱっと見て法則性を見つけるのは難しそう。

（2）で第x群の最初の項akのk＝x²-x+1だったね。

第2群の最初の項はどうだろう？

k＝2²-2+1＝4-2+1=3

第2群の最初の項はa3で、

a3＝3×2＝6

第3群の最初の項はこうなるね。

k＝3²-3+1＝9-3+1=7

第3群の最初の項はa7で、

a7＝7×2＝14

kを2倍している！！

つまり、今回の数列は

ak＝2k

だね！

第x群の最初の項は、

k＝x²-x+1

なので、第x群の最初の項はax²-x+1で、

ax²-x+1＝(x²-x+1)×2=2x²-2x+2

答えは、

{an}の第x群の最初の項 ak＝2x²-2x+2

でした！

（4）a2022は、第何群の何番目か？

今回の数列は、

akのk＝x²-x+1

になっていたね。

2022に一番近くなりそうなxはなんだろう？

x²-x+1＝x(x-1)+1≒x²

だから、

x²

で、2022 に近い数を考えてみると、

いや、簡単のため 2000に近い数を考えてみると、

x²＝2000=20×100＝400×5

x=20√5≒20×2.2=44

だから、第44群にあるのかな？

第44群の最初の項akのkは、

k=44²-44+1=1936-44+1=1893

第44群の最初の項はa1893だね。

じゃあ、第45群の最初の項akのkはいくつだろう？

k=45²-45+1=2025-45+1=1981

第45群の最初の項はa1981だね。

第44群に含まれる項数は、1981-1893+1=89

なので、

第45群の最後の項はa1981＋89＋αとなり、kは2022を突破しているはず。

よって、第45群にa2022は含まれてるはずだね。

一応第46群の最初の項を調べてみると、

k=46²-46+1=2116-46+1=2071

で、

第46群の最初の項はa2071とやっぱり突破してた。

だから、第45群にa2022は含まれてる！！

第45群の最初の項はa1981だったね。

例として、第45群の第3項の3はどうやって求められるかな？

第45群の第1項：a1981

第45群の第2項：a1982

第45群の第3項：a1983

だから、

1983-1981+1=2+1=3

この3は第3項、つまり3番目ということなんだね。

では、

第45群の第1項：a1981

…

第45群の第y項：a2022

だから、yは・・・

y=2022-1981+1=42

42は第42項、つまり42番目ということなんだね。

だから、a2022は、

第45群の42番目

なんだ！！

お疲れ様でした！

戻る＜＜数ⅡB：群数列：マスターへの道その①群数列の考え方

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数ⅡB：群数列：マスターへの道その① 群数列の考え方

2022-01-13T17:23:00.012+09:00

数2B:問題：{an}の群数列が以下のように与えられている。第x群の最後の項のamのmを求めよ。

a1　 |a2 , a3| a4 , a5 , a6|・・・|・・・|ak , ak+1, ・・・,am|

第1群｜第2群　｜　第3群　　｜　・・・　｜　・・・　｜　　　　第x群　　　　｜　

次へ＞＞数ⅡB：群数列：マスターへの道その②　群数列の項数が等差数列をなす

何じゃこの群数列！？難しい！って思いますか？

一つ一つみていきましょう！

解説）

これは、第1群、第2群、・・・、に含まれるものを並べるとこうなるね。

第1群：a1・・・1個

第2群：a2 ,a3 ・・・2個

第3群：a4 ,a5 ,a6・・・3個

・

第x群：ak, ak+1, …,am・・・x個

次に、第x群の最後の項のmの数字を知るために、

まず具体的に考えてみよう。

第3群の最後の項は”a6”だけど、この6はどこからきているのかな？

それは、

（第1群の項数）＋（第2群の項数）＋（第3群の項数）

＝1＋2＋3＝6

と、第1群から第3群の項数の和から来ているね。

では、第x群の最後の項amのmの数はどうやって求められるかな？

同じように、

（第1群の項数）＋（第2群の項数）＋・・・・＋（第x群の項数）

＝1＋2＋3＋・・・＋（x - 1)＋x　= m　　

だね。

つまり、

第x群の最後の項のamのmは、

（第1群の項数）から（第x群の項数）までの和

となるんだ！！

今回は群数列の区切りかたが、等差数列になっているね。（別の数列の区切り方もある）

では、mを求めてみよう。

　m = 1＋2＋3＋・・・＋（x - 1)＋ x　

だから、

mは、初項a＝1、末項ℓ＝x、項数n＝x　の等差数列の和

等差数列の和の公式は、

S＝ n(a+ℓ) 2

なので、代入すると

m＝x(1＋ℓ)2

となるんだね。

お疲れ様でした。

次へ＞＞数ⅡB：群数列：マスターへの道その②　群数列の項数が等差数列をなす

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数ⅠＡ：命題：必要条件、十分条件のマスターへの道（その③『数直線』：「ｘ＜１０」は「ｘ≦２」のＯＯ条件）

2013-07-03T15:50:00.008+09:00

必要条件、十分条件のマスターへの道（その③『数直線』：「ｘ＜１０」は「ｘ≦２」のＯＯ条件）

さてさて、必要十分条件シリーズも３回目になり、そろそろ慣れてきたかな？

２つ戻る＜＜必要条件、十分条件のマスターへの道（その①『基本的な理解』：「お菓子」は「プリン」のＯＯ条件）

戻る＜＜必要条件、十分条件のマスターへの道（その②『実践編』：「２で割れる数」は「４で割れる数」のＯＯ条件）
今回は、数直線の範囲とベン図の関係に注目して問題を解いていこう。

問題：「ｘ＜１０」は「ｘ≦２」のＯＯ条件

<ポイント>数直線とベン図を描く
-----------------------------------------------
１．数直線とベン図を描く
２．ベン図から必要条件か十分条件かを読み取る
３．答え
------------------------------------------------
１．数直線とベン図を描く

まず初めに、
Ｐ＝｛ｘ＜１０｝
Ｑ＝｛ｘ≦２｝

と置いて数直線を描いてみよう。

２．ベン図から必要条件か十分条件かを読み取る

問題は、
Ｐ「ｘ＜１０」（外側）は、Ｑ「ｘ≦２」（内側）にとってのＯＯ条件。

つまり、
「お菓子」（外側）という属性は、「プリン」（内側）であるために、必ず必要な条件だったので、

今回の答えは、

３．答え
「ｘ＜１０」は、「ｘ≦２」にとっての必要条件

ということだね！！

お疲れ様でした☆（＾-＾）ｖ

２つ戻る＜＜必要条件、十分条件のマスターへの道（その①『基本的な理解』：「お菓子」は「プリン」のＯＯ条件）

戻る＜＜必要条件、十分条件のマスターへの道（その②『実践編』：「２で割れる数」は「４で割れる数」のＯＯ条件）

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数ⅠＡ：命題：必要条件、十分条件のマスターへの道（その②『実践編』：「２で割れる数」は「４で割れる数」のＯＯ条件）

2013-07-03T01:38:00.004+09:00

必要条件、十分条件のマスターへの道（その②『実践編』：「２で割れる数」は「４で割れる数」のＯＯ条件）

さてさて、前回のベン図の図式はばっちりかな！？

戻る＜＜必要条件、十分条件のマスターへの道（その①『基本的な理解』：「お菓子」は「プリン」のＯＯ条件）

次へ＞＞必要条件、十分条件のマスターへの道（その③『数直線』：「ｘ＜１０」は「ｘ≦２」のＯＯ条件）

今回は、実践編。

問題：「２で割れる数」は「４で割れる数」のＯＯ条件

について、考えるよ。
----------------------------------------------
＜ポイント＞
・よくわからないものは、別の言葉に置き換える。
-----------------------------------------------
１．問題を別の言葉に置き換える
２．大きいくくりを見分ける

３．具体的な数字を入れて正しいベン図を見分ける

４．日本語に置き換えて図を理解してみる

５．答え

１．問題を別の言葉に置き換える

さっそく、置き換えてみよう！

「２で割れる数」→「２の倍数」

「４で割れる数」→「４の倍数」

つまり、問題は・・・

「２の倍数」は「４の倍数」のＯＯ条件。

という問題にかわるね。

２．大きいくくりを見分ける

次に、①、②の真偽を考えるよ。反例があるかを考えてね。

①「２の倍数」→「４の倍数」：「２の倍数」なら何を選んでも「４の倍数」になる。という意味！
②「２の倍数」←「４の倍数」：「４の倍数」なら何を選んでも「２の倍数」になる。という意味！

　　　「どっちも正しいような・・・＾＾；」

　「よくわからないな～」

そんな時は、反例を考えてみよう！！

3.具体的な数字を入れて正しいベン図を見分ける

偶数を考えてみよう。

2,4,6,8,10

これらで、

「６」などは、ポイントだね！

「６」は「２の倍数」だけれど、「４の倍数」では無いからだよ。
では、
反例：「６」はどちらの図式が正しいかな？

①は「６」は「２の倍数」だけど、「４の倍数」でない。

②は「６」は「４の倍数」だけど、「２の倍数」でない。

「なるほど！！」＾０＾//

それなら、正しいのは・・・

①だね。

　　「まあ、それはわかったけどこれは、必要条件なの？十分条件なの？」

そう思うよね。＾＾

ちなみに問題は、

「２の倍数」は「４の倍数」のＯＯ条件。

だったね。（主語：「２の倍数」）

４．日本語に置き換えて図を理解してみる

図ではこうだったね＾-＾/

ではでは、日本語の例に置き換えてみましょう。＾＾ｖ

これは、「お菓子」と「プリン」でいうと、

「お菓子」＝「２の倍数」

「プリン」＝「４の倍数」

主語：
「お菓子」
「２の倍数」

なので、この場合に文が正しいのを２つ選べば・・・
①「お菓子」という属性は、「プリン」を十分満たしている。
②「お菓子」という属性は、「プリン」にとって必ず必要な条件。
③「プリン」は、「お菓子」という属性を十分満たしている。
④「プリン」は、「お菓子」という属性にとって必ず必要な条件。

②と③で、
主語が「お菓子」なのは、
②。

これを、
「お菓子」＝「２の倍数」、「プリン」＝「４の倍数」に置き換えると・・・

②「お菓子」という属性は、「プリン」にとって必ず必要な条件。
②「２の倍数」という属性は、「４の倍数」にとって必ず必要な条件。

だから、
答えは・・・

５．答え

「２で割れる数」は「４で割れる数」の必要条件

なんだね！！＾　＾

どうかな？これで、バッチリ！？
（慣れてくるとベン図を見ただけで、必要条件か十分条件か見分けられるようになるよ。）

戻る＜＜必要条件、十分条件のマスターへの道（その①『基本的な理解』：「お菓子」は「プリン」のＯＯ条件）

次へ＞＞必要条件、十分条件のマスターへの道（その③『数直線』：「ｘ＜１０」は「ｘ≦２」のＯＯ条件） ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

数ⅠＡ：命題：必要条件、十分条件のマスターへの道（その①『基本的な理解』：「お菓子」は「プリン」のＯＯ条件）

2013-07-03T00:13:00.006+09:00

数ⅠＡ：命題：必要条件、十分条件のマスターへの道（その①『基本的な理解』）

次へ＞＞必要条件、十分条件のマスターへの道（その②『実践編』：「２で割れる数」は「４で割れる数」のＯＯ条件）

次の次へ＞＞必要条件、十分条件のマスターへの道（その③『数直線』：「ｘ＜１０」は「ｘ≦２」のＯＯ条件）

必要条件、十分条件ってよくわからないよね（＾＾；）

苦手な君も大丈夫！
一緒にステップアップしていけば、センター試験の問題も解けるようになるよｖ

まずは、『日本語』でこの関係をみてみよう＾－＾

問題１：「お菓子」は「プリン」にとってＯＯ条件
----------------------------------------------------------
１．「お菓子」と「プリン」の関係を考えてみよう！
２．「お菓子」と「プリン」の関係をベン図に描いてみよう。
３．では次に矢印の方向の真偽を確認しておこう。
４．主語（主体）がどちらかで、必要条件か十分条件かが変わる！
５．答え
６．補足
７．ベン図の絶対
----------------------------------------------------------
＜考え方＞

１．「お菓子」と「プリン」の関係を考えてみよう！

どちらが、大きいくくりかな？

　　Ａ：「お菓子」というおおきなくくりの中に、「プリン」や「あめ」などがあるね。

２．「お菓子」と「プリン」の関係をベン図に描いてみよう。

「お菓子」の方が「プリン」の外側の意味だね。

３．では次に矢印の方向の真偽を確認しておこう。

①と②正しいのはどっちかな？

①「お菓子」であれば「プリン」しかない。
②「プリン」は「お菓子」である。

正解は・・・

②だね。
①は、なぜ間違いかな？
「お菓子」であっても「プリン」以外が存在するから。「お菓子」であれば「あめ」もある。
この「あめ」を反例などというよ。

さて、これを真偽の矢印で表すと・・・

４．主語（主体）がどちらかで、必要条件か十分条件かが変わる！

今回の問題は・・・

「お菓子」は「プリン」のＯＯＯ条件。
だったね。

では、どの文章が正しいかな？

③「お菓子」であることは、「プリン」を十分に満たしている。
④「お菓子」という属性は、「プリン」であるために必ず必要な条件である。
⑤「プリン」であることは、「お菓子」を十分に満たしている。
⑥「プリン」という属性は、「お菓子」であるために必ず必要な条件である。

正しい文章は・・・

④と⑤だね。

そして今回の問題の主語は、

「お菓子」は「プリン」のＯＯＯ条件。

とあるように、「お菓子」が主語。

なので、 ④と⑤のどちらを選ぶかというと、

④「お菓子」という属性は、「プリン」であるために必ず必要な条件である。
の「お菓子」が主語になっている方を選ぶよ。

５．答え

「お菓子」は「プリン」の必要条件。

６．補足

「プリン」は「お菓子」にとってのＯＯ条件

と言われれば、

⑤「プリン」であることは、「お菓子」を十分に満たしている。
なので、

「プリン」は「お菓子」にとっての十分条件。
だよ。

７．ベン図の絶対

内側から外側への矢印が真

外側から内側への矢印は偽

Q⊂P
（Ｑ＜Ｐ）Ｑの方が含まれているから小さいイメージ！

これで、だいたいのイメージはつかめたかな　＾-＾☆

では、次に実践問題をやってみよう！
次へ＞＞必要条件、十分条件のマスターへの道（その②『実践編』：「２で割れる数」は「４で割れる数」のＯＯ条件）

次の次へ＞＞必要条件、十分条件のマスターへの道（その③『数直線』：「ｘ＜１０」は「ｘ≦２」のＯＯ条件）

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数ⅠＡ：不等式を満たす整数解：１＜ｘ＜a+２のとき、ｘが整数解を３つ含むようにaの範囲を定めよ。

2013-06-29T01:09:00.006+09:00

数ⅠＡ：不等式を満たす整数解：

１＜ｘ＜a+２のとき、ｘが整数解を３つ含むようにaの範囲を定めよ。

大抵は、連立不等式を解くと、この形がでてくるね。
図をどうやって描けばいい？？
ま、じっくり見ていきましょう＾＾

ポイント：数直線を描く！

だめ：

1＜x＜4 だと

整数は、2と3の2つ

オッケー：
1＜x＜5だと
整数は、2、3、4の3つ

でも、

1＜x＜4.1なら

整数は、2、3、4の3つ含める

また、

1＜x＜5.1だと

整数は、2、3、4、5の4つになっちゃう

答えは・・・

a+2≠４からa+2=5　の間をとるので、

４＜a+2≦５

全体から　ー２　をして、

2＜a ≦ 3

でした！

＞＞4+√７の整数部分をaと小数部分をbとするときのa,b
///////////////////////////////

数ⅠＡ：因数分解①（複二次式x^4,x^2,定数）：9ｘ＾４-16ｘ＾２+4の因数分解。

2013-06-29T00:05:00.006+09:00

数ⅠＡ：因数分解①（複二次式x⁴ ,x² ,定数）：9ｘ⁴ -16ｘ² +4の因数分解。

xの４乗、xの２乗、定数の形（複２次式）

問題：9ｘ^４-16ｘ^２+4を因数分解せよ。

point:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
⑴４乗と定数項に注目する。　　　　　　　　　　
⑵（４乗と定数項で作る式）^２-（残りの物）^２

まずｘ^２＝Ａってするよね。（しなくてもＯＫ）

９Ａ ^２-16Ａ+４　２次式みたい！だから、複２次式っていうんだ（＾0＾）!
９Ａ ^２　と　+４　に注目して（　　　）^２　の形を作ろう！

たすき掛けで
３Ａ　-2　｜-６Ａ
３Ａ　-2　｜-６Ａ
だから

９Ａ ^２-１２Ａ+４-４Ａ　　これは、-１６Ａを-１２Ａと-４Ａにバラしたんだよ。-１２Ａがほしかったからね。

＝（３Ａ-２） ^２-４Ａ

ｘ^２＝Ａを代入して元に戻すよ。

＝（３ｘ^２-２） ^２-４ｘ^２

＝（３ｘ^２-２） ^２-（２ｘ）^２

＝｛（３ｘ^２-２）-（２ｘ）｝｛（３ｘ^２-２）+（２ｘ）｝　　　あの（a） ^２-（b）^２の公式だよ

＝（３ｘ^２-２-２ｘ）（３ｘ^２-２+２ｘ）　　　　　　　　　中かっこをはずして・・・

＝（３ｘ^２-２ｘ-２）（３ｘ^２+２ｘ-２）　　　　　　　　　こっちの方が並びがいいかな！？

おしまい。　
お疲れ様でした☆

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数ⅡB：ω（オメガ）の発展②：a=(1+√３i)/2、のとき、(1)a^3 (2)a^2-a+1を求めよ。

2013-04-18T00:48:00.002+09:00

数ⅡB：ω（オメガ）の発展②：

a=、のとき、

(1)a³
(2)a²-a+1

を求めよ。

ωの正体覚えてる？
（忘れた人は『ωの問題』をチェック！！）

x³＝１の解は、１,ω,ωだったね。

x³-１＝（ｘ－１）（x²+x+１）　＝０　で、

この（二次方程式）＝x²+x+１　の解は、解の公式を使うと・・・

ω＝

?ωの形とaの形似てない？？

って気づけたら、なかないいセンス！！

ω＝

の両辺に-1をかけると、

a=

になるね。

そう、

a＝－ ω

ってことなんだよ。

簡単のため、

a＝－ ω

として、計算するよ。

それでは、解いてみよう！

(1)a³

a³＝（－ ω）³＝－ω³＝－１
（∵ω³＝１）

(2)a²-a+1

ω²＝ -ω-１
だったね。
これに、 ω＝－aを代入して、
（－a)²＝ -(-a)-１
a²＝ a-１　　・・・①

（与式）
＝a²-a+1
に①を代入して

＝（a-１）-a＋１
＝０

お疲れ様でした☆

前へ＜＜『ωの問題』

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数ⅠA：図形の性質：円：次の三点の三角形の外心を求めよ。O（0,0),A(2,6),B(4,-4)

2013-04-17T23:54:00.005+09:00

数ⅠA：図形の性質：円：次の三点の三角形の外心を求めよ。O（0,0),A(2,6),B(4,-4)

外心は、外接円の中心だね。

外接円の特徴は覚えているかな？

～外接円の特徴～
弦の垂直二等分線は円の中心を通る（中３の作図）

このことと、

・中点の座標

・直角に交わる二直線の傾きの積は、-1。（m・ｎ＝－１）

の考えを使って解くよ。

では解いてみましょう！

答え）

OAの中点をMとし、

OAとMが垂直に交わる直線をjとします。

OBについても、OBの中点をNとし、
OBとNが垂直に交わる直線をｋとします。

１．まず、OAの中点MとOBの中点Nを求めよう。

M（｛０＋２｝÷２,{０＋６｝÷２）
＝M（１，３）

N(｛０＋４｝÷２,{０－４｝÷２）
＝N（２,－２）

２．次に、直線jとｋの傾きを求めよう。

（傾き）＝（ｙの増加量）÷（ｘの増加量）

OAの傾き＝ 6/2=3

(jの傾き）・３＝－１
jの傾き＝－１/3

OBの傾き＝－４／４＝－１

（ｋの傾き）・（－１）＝－１
ｋの傾き＝１

３．ｊの式を傾き-1/3と、点M（１，３）を使い、
　　ｋの式を傾き１と、点N（２,－２）を使い求めよう。

ｙ＝ax+bより

ｊの式：
　
　３＝（－１／３）・１＋ｂ
　
　ｂ＝１０／３

ｊ：　ｙ＝（－１／３）ｘ＋１０／３

ｋの式：

　－２＝１・２＋ｑ
　
　ｑ＝－４

ｋ：ｙ＝ｘ－４

４、最後に、ｊとｋの交点を連立方程式で求め、その解が外心C（ｘ,ｙ）となるよ！

ｊ：　ｙ＝（－１／３）ｘ＋１０／３
ｋ：　ｙ＝ｘ－４

（－１／３）ｘ＋１０／３＝ｘ－４
３倍して

- ｘ＋１０＝３ｘ－１２

４ｘ＝２２

ｘ＝２２／４

ｋの式に代入して、

ｙ＝（２２／４）－４

ｙ＝（２２－１６）／４＝６／４＝３／２

よって
外心C（ｘ,ｙ）＝（２２／４　,３／２）
となるね。

∴外心（２２／４　,３／２）

お疲れ様でした☆

＜＜前へ　線分ＡＢを直径とする円上の点ＣからＡＢに下した垂線をＣＤとするとき、ＣＤ＾２＝ＡＤ・ＤＢを座標を用いて証明せよ。
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思春期のニキビから大人ニキビまで。薬用アクネクリアローション

数ＩＡ：図形の性質：線分ＡＢを直径とする円上の点ＣからＡＢに下した垂線をＣＤとするとき、ＣＤ＾２＝ＡＤ・ＤＢを座標を用いて証明せよ。

2013-04-17T18:14:00.001+09:00

数ＩＡ：図形の性質：線分ＡＢを直径とする円上の点ＣからＡＢに下した垂線をＣＤとするとき、ＣＤ＾２＝ＡＤ・ＤＢを座標を用いて証明せよ。

CD ²　＝ＡＤ・ＤＢ

は相似を使って証明しよう。

一つの鋭角と直角がそれぞれ等しいから、

『二つの角がそれぞれ等しい』という相似の条件を使って、

⊿ＡＣＤ∽⊿ＡＢＣ（円周角と中心角の関係から∠Ｃ＝９０°）
⊿ＡＢＣ∽⊿ＣＢＤ

∴⊿ＡＣＤ∽⊿ＣＢＤ

これより、
ＡＤ：ＣＤ＝ＣＤ：ＤＢ

よって、

CD ²　＝ＡＤ・ＤＢ

証明終了！

いかがでしたか？

お疲れ様でした☆

次＞＞三点を通る⊿OABから外接円の中心をもとめる。

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メディユースホワイトフレッシュピーリングジェル

ＩＡ：降べきの順②『x^2+y^2+2xy-ax+2x-2ay-2a』をｘについて降べきの順に並べよ。また、次数と係数を言え。yについても降べきの順にならべよ。

2013-04-13T00:39:00.007+09:00

ＩＡ：降べきの順②『x^2+y^2+2xy-ax+2x-2ay-2a』をｘについて降べきの順に並べよ。また、次数と係数を言え。yについても降べきの順にならべよ。

xについて降べきの順に並べてみよう！
ｘ二乗のものと、ただのｘとそれ以外にわけてみよう。

x²+y²+2xy-ax+2x-2ay-2a
= x²　　+2xｙ-ax+2x　　+y²-2ay-2a
ｘについて因数分解できるところはするよ。
= x²　　+(2ｙ-a+2)x　　+(y²-2ay-2a)
ｘ二乗の係数は１
ｘの係数は(2ｙ-a+2)
なにもついていない”定数項”は(y²-2ay-2a)

次数は多項式の一番高い次数。つまりｘ二乗なので、
次数：２

次に、
ｙについても、降べきの順に並べてみよう。

x²+y²+2xy-ax+2x-2ay-2a

=y² +2xy-2ay +x²+-ax+2x-2a

= y² +(2x-2a)y +(x²-ax+2x-2a)

最後の(　)は、定数項が見やすいだけで、なくてもＯＫ！

お疲れ様＾＾☆
＞＞因数分解①複２次式を見る

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動画の解説も見てね！

数ⅡB：ベクトルの軌跡：三角形ABCで、ベクトルPA＋PB＋PCの大きさが６のときの、動点Pの軌跡を求めよ。

2013-02-05T00:17:00.001+09:00

ベクトルの軌跡：

三角形ABCで、ベクトルPA＋PB＋PCの大きさが６のときの、

動点Pの軌跡を求めよ。

☆解説☆

｜PA＋PB＋PC｜＝６
から
起点ベクトルPからの重心のイメージが沸くね。

□G＝（□A＋□B＋□C）÷３

□が起点ベクトルの文字。今回はPだね。

すると・・・

つまり、中心Gで半径｜PG｜＝２　の円ができる！

だから答えは、

三角形ABCの重心Gを円の中心とする、
半径２の円周上の動点がP 。

でした。
お疲れ様でした＾＾ｖ
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GOM Cam(ゴムカム)

数ⅠA：組み合わせ：道順（最短経路）：縦３マス横４マスを左下Aから右上Bまでいく、最短経路は何通りあるか？また、縦１横３のポイントCを必ず通過する場合は何通りか？

2013-01-23T20:32:00.006+09:00

数ⅠA：組み合わせ：道順（最短経路）

動画での解説もチェックしてね！

（１）縦３マス横４マスを左下Aから右上Bまでいく、最短経路は何通りあるか？
（２）また、縦１横３のポイントCを必ず通過する場合は何通りか？
（３）下図でDを経由しないでBへ行く最短経路は何通りか？

ポイント
・右、上　にしか進まない。（戻らない：左、下は無い）
・右に行ける回数、上に行ける回数は決まっている。
・何回目に上に行くかを決めれば、そのほかは自動的に右。

それでは、解いてみましょう＾＾/

（１）縦３マス横４マスを左下Aから右上Bまでいく、最短経路は何通りあるか？

まず、何回上に行けるでしょうか？

　３回ですね。

では、何回右に行けるでしょうか？

　４回ですね。

合計何回移動するでしょうか？

　７回ですね。

１回目を①、２回目を②、・・・・、７回目を⑦とすると、
例えば・・・

最初に一番上までいって、右まで行くなら、
①②③④⑤⑥⑦
上上上右右右右

最初に一番右まで行って、最後に上に３回進むなら、

①②③④⑤⑥⑦
右右右右上上上

となりますね。

つまり、何回目が上か？という組み合わせなんですね。
例えば、②回目と⑤回目と⑥回目に上に行くのであれば、あとは、全部右しかないのです。
①②③④⑤⑥⑦
□上□□上上□

だから、
７回のうち３回を選んでそこに上を入れる組み合わせ。
（＝７回のうち４回を選んでそこに右を入れる組み合わせ。）
①②③④⑤⑥⑦
□☆□□☆☆□
　↑　　　↑↑　　
　上　　　上上
□には自動的に右。
7C3＝（７・６・５）/(３・２・１）=７・５＝３５通り

（２）また、縦１横３のポイントCを必ず通過する場合は何通りか？

これは、AからC、そしてCからBと分けて考え、
同時に起こるのでそれらの積と考えるよ。

では、AからCは合計何回進み、上は何回でしょうか？

　合計：１+3＝4回
　上：１回

だから、nCrを使って、

4C1=4通り　　だね。

同じように、CからBを考えると、

　合計：2+1＝3

３C2＝３通り

これらの積がC経由の最短距離だから、

３×４＝１２通り

（３）下図でDを経由しないでBへ行く最短経路は何通りか？

これは、（全体）－（Dを通る場合）で求められるんだ。

Dを通る場合は、どう考えようか？
下のポイントE,Fを通る場合の積だよ。

では、最初にDを通る場合の数を考えてみよう。
これは（２）と同じ考えだね。

AからEは
２C1=２通り

EからFは、
１通り

FからBは
４C1＝４通り

　だから、これらは同時に起こるので積なので、

２×１×４＝８通り

　これがDを経由する場合の数だね。

ではDを通らない場合の数を求めてみよう。
これは、
（全体）－（D経由）
だったね。

（全体）の場合の数は、（１）で求めたね。（AからBまでの最短経路）

全体：３５通り

よって、
（全体）－（D経由）
＝３５－８
＝２７通り

でした！

お疲れ様でした☆

＞ⅠA:順列：辞書式配列：『P,O,W,E,Rを辞書式に配列したとき、POWERは何番目？』(高１）
_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/

動画での解説もチェックしてね！

ⅠA：2次不等式の範囲

2013-01-22T02:47:00.007+09:00

ⅠA：2次不等式の範囲　

題：ax²+bx+4>0の解が-1<x<2のとき、a,b求めよ。

　　　☆ポイント☆　　　
・α＜ｘ＜βの範囲は、（ｘ－α）（ｘ－β）＜０　　
・ｘ＜α,　β＜ｘの範囲は（ｘ－α）（ｘ－β）＞０
　のどちらかを展開して近づけていき、　　　　　
係数比較をする。　　　　　　　　　　　　　　　　

　今回の問題は-1<x<2　なので、この形。

　上の図の形から、

－１＜ｘ＜２　は、
（ｘ＋１）（ｘ－２）＜０

　展開して、

x²　-ｘ　-2　＜０

　 ax²+bx+4>0の不等号の向きから
　”－１”をかけると、

-x²　+ｘ　+2　＞０

　定数項が２だが、 ax²　+bx　+4　>0　の定数項に合わせるためには、
　×”２”をする。

-2x²　+2ｘ　+4　＞０

　ax²　+bx　+4　＞０　と係数比較をすると、

a = -2
b = 2

でした。

お疲れ様でした＾＾ｖ

＞＞不等式を満たす整数解へ
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ⅠA:数と式：整数部分と小数部分：4+√７　の整数部分をa、小数部分をb　として表せ。

2013-01-22T02:03:00.004+09:00

整数部分と小数部分の問題。

問題：4+√7の整数部分をa、小数部分をb　として表せ。

ポイント
・ルートの数を平方数（二乗された数）ではさむ。
・問題の式に近づけていく。　　　　　　　　　　

今回は、√7のおおよその数を知りたい。覚えていなくても大丈夫！

一番近い平方数ではさむと、

√4＜√7＜√9

２＜√7＜３

　　　√７は２と３の間の数、２．○○なんだね。

それぞれに４を足して問題の式に近づけると・・・

4+２＜4+√7＜4+３

６＜４+√7＜７

　
　４+√7　は、６と７の間の数、６．○○なんだね。

だから、
整数部分は、

a=6

小数部分は、

６．○○ - ６　＝0.○○　となるので、

b = (４+√7) - 6
b = - 2 +√7

整数部分　a=6

小数部分　b = - 2 +√7

お疲れ様でした。

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【FIXIT　DAILY BASIC ホエイプロテイン】

ⅠA:不等式と方程式：絶対値の場合分け：P=|2x-1|+|x-2|を絶対値記号を使わずに表せ。

2013-01-22T01:17:00.003+09:00

ⅠA:不等式と方程式：絶対値の場合分け：P=|2x-1|+|x-2|

絶対値の外し方はどうするのでしょうか？

　ポイント　
・絶対値の中が0になるｘを考える
・そのｘの範囲で区切って場合分けする。

問題：
P=|2x-1|+|x-２|を絶対値を使わずに表せ。

今回の場合は、
ｘ＝ 1 2 ,2
が絶対値の中身が0になる値ですね。

その範囲で区切ると、

( i ) ｘ＜12　
( ii ) 1 2 ≦x ＜2
( iii ) 2 ≦ｘ
の範囲に分けられますね。

～イコールはどこにつけるの？～
　　　　この不等号のイコールのつけ方は、
　　　単に未満と以上の言葉にあわせているだけです。
　　　　全部にイコールがついていても間違いではないです。
　　　重複して含むことになるので、どちらかに含ませるのが普通ですが、。
　　　　イコールを全部につけないのは間違いです。
　　　どこかに境目の値（ 1 2 や2)は含めないと２の場合は？となるからです。

では、さっそく解いてみましょう。

( i ) ｘ＜ 1 2 　のとき、

P=|2x-1|+|x-2|
　　は、
　　　例えばｘ＜ 1 2 を満たすｘの値、
　　０でも、-10でも何でもいいのですが、代入してみると

　　 |2x-1|=|0-1|=|-1|
　　のように必ず絶対値の中がマイナスになりますね。
　　なので、いつもプラスにするためマイナスをかけると、 |2x-1|は
　　-(2x-1)　となります。

　　 |x-2|＝|0-2|=|-2|
より、いつもプラスにするためマイナスをかけます。
　　 -(x-2)です。

よって、
　　 P=|2x-1|+|x-2|
　　　＝｜（-）｜　+　｜（-）｜

P= -(2x-1) - (x-2) ・・・（ｘ＜ 1 2 ）

( ii ) 1 2 ≦ x ＜2　のとき

P=|2x-1|+|x-2|
　　は、
　　　例えば) 1 2 ≦x ＜2　を満たすｘの値、
　　１などを、代入してみると、
　　P＝｜2-1｜+｜1-2｜
＝ | 1 | + | -1 |
＝｜（+）｜　+　｜（-）｜

P＝(2x-1) - (x-2)　・・・（ 1 2 ≦x ＜2）

( iii ) 2 ≦ｘ　のとき

あとは、
最初に、P=|(-)| + |(-)|
　次に、　P=|(+)| + |(-)|
　ときたので、P=|(+)| + |(+)|　しかないとわかるのですが、

　同じように　２≦ｘ　の具体的な数字を代入してみると、
　例えば　１０など。
　P=｜２０－１｜+｜１０－２｜＝｜１９｜+｜８｜＝｜(+)｜ + ｜(+)｜
　よって、

P = (2x-1) + (x-2) ・・・　（２≦ｘ）

（ i )～（ iii )より、
P＝-(2x-1) - (x-2) ・・・（ｘ＜ 1 2 ）
P＝ (2x-1) - (x-2)　・・・（ 1 2 ≦x ＜2）
P＝ (2x-1) + (x-2) ・・・　（２≦ｘ）

お疲れ様でした☆（^ - ^ )
_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/

年間２万人が買取サービスを利用！トレカ専門通販サイト、カーナベル

PC:galleriaのwebカメラが無いと思ってたら・・・

2012-12-25T05:13:00.003+09:00

先日、ドスパラでPrimのgalleriaのノートパソコンを買ったのですが、
『webカメラ』が使えない！！

ドライバもインストールしなおしたり・・・

デバイスの表示すらない・・・

とあきらめてたら、

ありました。

キーボードをよーく見てみると、[Fn]+[F6]のところに、
カメラマークが（＾＾）

つきました！！！(^0^)/
これでSkypeのカメラ機能が使える！！

PCによっては、電源ボタンの隣にあったりもするみたいですね。

同じ問題で悩んでいる人のお役に立てたら幸いです＾＾ｖ

数ⅡB:微分積分：３次関数が異なる３つの解を持つ条件。y=x^3-12a^2x+16が異なる３つの解をもつaの範囲。

2012-12-18T03:40:00.004+09:00

数ⅡB:微分積分：３次関数が異なる３つの解を持つ条件。

問題：y=x³-12a²x+16が異なる３つの解をもつaの範囲。

解き方：　　　　　　　　　　
（極大値）×（極小値）＜０
が範囲。　　　　　　　　　

???????????????????????????????????????????????????
そもそも、なんで、極値の積が負なら、
異なる３つの解をもつ条件になるのでしょうか。

また、”＝”が、付かないのはなんで？
???????????????????????????????????????????????????
解が３つはこんな感じ↓↓↓

　

このように、x軸が極値に重ならずに、極大と極小の間にあれば、
３つの解をもつことになるよね。
（極大）＞０かつ（極小）＜０
もしくは、
（極大）＜０かつ（極小）＞０
と極値が異符号のとき、すなわち、

（極大値）×（極小値）＜０　は解が３つの条件

ということなんです。

解が２つは、
このｘ軸が、極値と重なっていたら、解は２つしかないね。

（ⅰ）は、（極大）＝０　かつ　（極小）＜０　になって、
（ⅱ）は、（極大）＞０　かつ　（極小）＝０　だから、
どちらも、　
（極大）×（極小）＝０
解き方で等号がない理由はここにあるんだよ。
（極大）×（極小）＝０は解が２つの条件

解が１つしかないのは次の２つ。

極値が、どちらも正：ｘ軸より上に極値がある

｛（極大）＞０｝× ｛（極小）＞０｝＞０
（極大）×（極小）＞０
になるね。

また、
極値が、どちらも負：ｘ軸より下に極値がある

これも、
｛（極大）＜０｝× ｛（極小）＜０｝＞０
（極大）×（極小）＞０
になるね。
（極大）×（極小）＞０は解が１つの条件

解説）

問題：y=x³-12a²x+16が異なる３つの解をもつaの範囲。

まずは、微分して極値を出そう。

　　 y'=3x²-12a²=0

　　 y'=3(x²-4a²)=3(x-2a)(x+2a)=0

　　∴x=±2a

f(x)=x³ -12a²x +16　とおくと、
（極大値）×（極小値）＜０

より、(どっちが極大、極小なのかは関係ない）

f(2a)×f(-2a)＜0

{(2a)³ -12a²(2a) +16}{(-2a)³ -12a²(-2a) +16}＜0

　　　{8a³ -24a³ +16}{-8a³ +24a³ +16}＜0

　　　(-16a³ +16) (16a³ +16)＜0

(a³ -1) (a³ +1)＞0

(a-1)(a² +a +1) (a+1)(a² -a +1)＞0

　　ここで、(a² +a +1) と (a² -a +1) は、

　　　　a² ±a +1= (a±1/2)²-1/4+4/4 = (a±1/2)²+3/4 ＞0

と、aの値に関係なく正になるので、

aの範囲は,

(a-1) (a+1)＞0

しか、関係してないね。

だから、aの範囲は、

　　∴-1＜a, a＜1　

となるよ！

お疲れ様でした☆ ☆☆

数IA:確率:10枚のカードに0から9までの数字が書かれている。三枚同時に抜き出したとき、３つの和が３の倍数である確率

2012-12-11T03:06:00.004+09:00

数IA:確率:
10枚のカードに0から9までの数字が書かれている。
三枚同時に抜き出したとき、３つの和が３の倍数である確率。

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
の数字を、
三つに分類してみよう！

①3の倍数
{ｘ＝3n：0,3,6,9｝

②3の倍数＋１
{y＝3n+1：1,4,7}

③3の倍数＋２
{z＝3n+2：2,5,8}

では、
１０枚の中から引かれた３枚をa,b,cとすると、

(a,b,c)　　となるわけだけど、

a+b+c=３m となるには、

x,y,zをどう組み合わせればいいかな？

ⅰ）①＋②＋③のパターン
(a,b,c)=(x,y,z)=(3n,3n+1,3n+2)
だと、
a+b+c=3n+(3n+1)+(3n+2)=9n+3=3(3n+1)=3m
と、３の倍数になるので、

分子は、
{ｘ＝3n：0,3,6,9｝から 1つ
4C1=4通り
と、
{y＝3n+1：1,4,7}から 1つ
3C1=3通り
と、
{z＝3n+2：2,5,8}から 1つ
3C3=3通り
が、同時に起こる。

分母は、10C3=(10・9・8)/(3・2・1)=5・3・8=120通り

4・3・3 120 ＝ 36 120

ⅱ）①×３ or ②×３ or　③×３のパターン

(a,b,c)=(x,x,x)=(3n,3n,3n)
a+b+c=3n+3n+3n=3(3n)=3m
or
(a,b,c)=(y,y,y)=(3n+1,3n+1,3n+1)
a+b+c=(3n+1)+(3n+1)+(3n+1)=3(3n+1)=3m
or
(a,b,c)=(z,z,z)=(3n+2,3n+2,3n+2)
a+b+c=(3n+2)+(3n+2)+(3n+2)=3(3n+2)=3m
なので、

(x,x,x)は、
{ｘ＝3n：0,3,6,9｝から 3つ
4C3=4C1=4通り
より、
4 120

(y,y,y)は、
{y＝3n+1：1,4,7}から 3つ
3C3=1通り
1 120

（z,z,z)は、
{z＝3n+2：2,5,8}から 3つ
3C3=1通り
1 120

(a,b,c)が、同時に(x,x,x)と(y,y,y)と(z,z,z)にならないから、

4 120 ＋ 1 120 ＋ 1 120 ＝ 6 120

ⅰ）とⅱ）から、

36 120 ＋ 6 120 ＝ 42 120 ＝ 7 20

でした！！
お疲れ様！（^0^)/

//////////////////////////////////////

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ⅡＢ：ベクトルの和（足し算）をかく

2012-10-23T02:48:00.001+09:00

aベクトルとｂベクトルの和はどうかくのでしょう？

　ベクトルの矢印の方の終点と、別のベクトルの始点をあわせて、
始点から終点に向かって引くよ！

　または、ベクトルどうしの始点をあわせるなら、
平行四辺形をかいた、対角線がベクトルの和になるよ！

じゃあ、二点以上のベクトルを結ぶときは、

どうすればいいかな？

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数ⅡＢ：等比数列：二つの和がわかっている問題：『（１）Ｓ6とＳ3のようにｎが二倍の関係、（２）Ｓ３とＳ２がわかっている』（高２）

2012-05-18T22:09:00.002+09:00

数ⅡＢ：等比数列：二つの和がわかっている問題：
『（１）Ｓ₆とＳ₃のようにｎが二倍の関係、（２）Ｓ₃とＳ₂がわかっている』

まず、等比数列の公式を見てみよう。

初項a,公比r (r≠1)
一般項:a_n=ar^r-1
和：

(1)ポイント
大抵のように割るとうまくいくよ。
そして、分子を因数分解して分母と同じ因数を分子に作り出して、分子を無くすんだ。

実際に見てみよう。

(1)Ｓ₆=84,Ｓ₃=3のときの初項aと公比rを求めよ。

後述のために、約分して消えるので、と置くよ。

すると、となるね。
また、だね。

だから、
ここで、a²-b²=(a-b)(a+b)の因数分解を使うために、

r⁶=(r³)²だから、

分子は、
1-r⁶=1²-(r³)²=(1-r³)(1+r³ ) となり、

S₆=84,Ｓ₃=3だから、

と、このように、大抵の問題は割り切れるようにつくられています^^;

で、移行すると、
1+r³=28
r³=27
と、累乗根も計算できるように作られています^^;

よって、
r=3。

あとは、簡単な方のＳ₃に代入して、初項aを求めるよ。

13a=3より、
でした！

（２）Ｓ₃=7,Ｓ₂=3のときの、初項aと公比rをもとめよ。

ポイント

同じように、と割るんだけど、
この場合の因数分解して残ったｒの式は、二次方程式(解ｒ：-（α+β）＝αβ）になるよ！
つまり、一次と定数項の係数が一緒ってこと。

先ほどのように、
約分して消えるので、と置くよ。

Ｓ₃=X(1-r³)
S₂=X(1-r²)　とすると、

因数分解三乗の公式
(a³-b³)=(a-b)(a²+ab+b²)　より
(1-r³)=(1-r)(1+r+r²)

また、因数分解二乗の公式より
(1-r²)=(1-r)(1+r)

だから、

Ｓ₃=7=X(1-r³)=Ｘ(1-r)(1+r+r²)
S₂=3=X(1-r²)=Ｘ(1-r)(1+r)

どこが、約分されるかな？

両辺に　3(1+r)　をかけると、

３（１＋ｒ＋r²）＝７（１＋ｒ）
３r²＋３ｒ＋３＝７ｒ＋７

３r²-４ｒ-４＝０
（３ｒ＋２）（ｒ－２）＝０

∴

初項aはｒをS₂に代入して求めよう！

r=2のとき

3a=3
a=1

のとき

よって、

a=9

答えはまとめると、

r=2のとき,a=1
のときa=9

でした！

因みに、ｒの式は、二次方程式(解ｒ：-（α+β）＝αβ）になる理由は、

を満たすｋが存在しなければならない。
すると、

r²+r+1=k(1+r)
r²+r-kr+1-k=0
r²+(1-k)r+(1-k)=0

　解をα、βとしたときの二次方程式は、
　(r-α)(r-β)=0
　r²-(α+β)r+αβ=0

係数比較して、
(1-k)=-(α+β)
(1-k)=αβ
より

-(α+β)=αβ
となるのです！

なるほど～

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全国菓子博覧会栄誉大賞受賞

ブログと数式：HTMLで、数列の下付文字を書く、∴よって、ゆえにの記号をだす。

2012-05-15T02:13:00.000+09:00

下付文字は<sub>を使おう！

a₁₀
のような下付文字は、

a<sub>10</sub>

と書くよ！

∴の記号は、

”ゆえに”を変換すると出るよ。
”記号”を変換して頑張って探しても出ます＾＾；

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オシャレなオトコの最先端ファッション

高校生と塾講師（家庭教師）のための数学

数A：組合せ：部屋割り②空き部屋の有無し

数A：組合せ：部屋割り①

数A：重複を許してつくる組合せ：整数解の個数 ◯ | ◯ ◯ | ◯ ◯

数ⅡB：群数列：マスターへの道その② 群数列の項数が等差数列をなす（a2022は、第何群の何番目か？）

数ⅡB：群数列：マスターへの道その① 群数列の考え方

数ⅠＡ：命題：必要条件、十分条件のマスターへの道（その③『数直線』：「ｘ＜１０」は「ｘ≦２」のＯＯ条件）

必要条件、十分条件のマスターへの道（その③『数直線』：「ｘ＜１０」は「ｘ≦２」のＯＯ条件）

数ⅠＡ：命題：必要条件、十分条件のマスターへの道（その②『実践編』：「２で割れる数」は「４で割れる数」のＯＯ条件）

必要条件、十分条件のマスターへの道（その②『実践編』：「２で割れる数」は「４で割れる数」のＯＯ条件）

２．大きいくくりを見分ける

数ⅠＡ：命題：必要条件、十分条件のマスターへの道（その①『基本的な理解』：「お菓子」は「プリン」のＯＯ条件）

数ⅠＡ：命題：必要条件、十分条件のマスターへの道（その①『基本的な理解』）

数ⅠＡ：不等式を満たす整数解：１＜ｘ＜a+２のとき、ｘが整数解を３つ含むようにaの範囲を定めよ。

数ⅠＡ：不等式を満たす整数解：

１＜ｘ＜a+２のとき、ｘが整数解を３つ含むようにaの範囲を定めよ。

数ⅠＡ：因数分解①（複二次式x^4,x^2,定数）：9ｘ＾４-16ｘ＾２+4の因数分解。

数ⅠＡ：因数分解①（複二次式x4 ,x2 ,定数）：9ｘ4 -16ｘ2 +4の因数分解。

xの４乗、xの２乗、定数の形（複２次式）

数ⅡB：ω（オメガ）の発展②：a=(1+√３i)/2、のとき、(1)a^3 (2)a^2-a+1を求めよ。

数ⅠA：図形の性質：円：次の三点の三角形の外心を求めよ。O（0,0),A(2,6),B(4,-4)

数ＩＡ：図形の性質：線分ＡＢを直径とする円上の点ＣからＡＢに下した垂線をＣＤとするとき、ＣＤ＾２＝ＡＤ・ＤＢを座標を用いて証明せよ。

ＩＡ：降べきの順②『x^2+y^2+2xy-ax+2x-2ay-2a』をｘについて降べきの順に並べよ。また、次数と係数を言え。yについても降べきの順にならべよ。

数ⅡB：ベクトルの軌跡：三角形ABCで、ベクトルPA＋PB＋PCの大きさが６のときの、動点Pの軌跡を求めよ。

三角形ABCで、ベクトルPA＋PB＋PCの大きさが６のときの、

動点Pの軌跡を求めよ。

☆解説☆

数ⅠA：組み合わせ：道順（最短経路）：縦３マス横４マスを左下Aから右上Bまでいく、最短経路は何通りあるか？また、縦１横３のポイントCを必ず通過する場合は何通りか？

数ⅠA：組み合わせ：道順（最短経路）

（１）縦３マス横４マスを左下Aから右上Bまでいく、最短経路は何通りあるか？

（２）また、縦１横３のポイントCを必ず通過する場合は何通りか？

ⅠA：2次不等式の範囲

ⅠA：2次不等式の範囲

題：ax2+bx+4>0の解が-1<x<2のとき、a,b求めよ。

ⅠA:数と式：整数部分と小数部分：4+√７ の整数部分をa、小数部分をb として表せ。

ⅠA:不等式と方程式：絶対値の場合分け：P=|2x-1|+|x-2|を絶対値記号を使わずに表せ。

ⅠA:不等式と方程式：絶対値の場合分け：P=|2x-1|+|x-2|

PC:galleriaのwebカメラが無いと思ってたら・・・

数ⅡB:微分積分：３次関数が異なる３つの解を持つ条件。y=x^3-12a^2x+16が異なる３つの解をもつaの範囲。

問題：y=x3-12a2x+16が異なる３つの解をもつaの範囲。

解説）

問題：y=x3-12a2x+16が異なる３つの解をもつaの範囲。

まずは、微分して極値を出そう。

y'=3x2-12a2=0

y'=3(x2-4a2)=3(x-2a)(x+2a)=0

∴x=±2a

f(x)=x3 -12a2x +16 とおくと、（極大値）×（極小値）＜０

より、(どっちが極大、極小なのかは関係ない）

f(2a)×f(-2a)＜0

{(2a)3 -12a2(2a) +16}{(-2a)3 -12a2(-2a) +16}＜0

{8a3 -24a3 +16}{-8a3 +24a3 +16}＜0

(-16a3 +16) (16a3 +16)＜0

(a3 -1) (a3 +1)＞0

(a-1)(a2 +a +1) (a+1)(a2 -a +1)＞0

ここで、(a2 +a +1) と (a2 -a +1) は、

a2 ±a +1= (a±1/2)2 -1/4+4/4 = (a±1/2)2 +3/4 ＞0

と、aの値に関係なく正になるので、

aの範囲は,

(a-1) (a+1)＞0

しか、関係してないね。

だから、aの範囲は、

∴-1＜a, a＜1

となるよ！

お疲れ様でした☆ ☆☆

数IA:確率:10枚のカードに0から9までの数字が書かれている。三枚同時に抜き出したとき、３つの和が３の倍数である確率

ⅡＢ：ベクトルの和（足し算）をかく

数ⅡＢ：等比数列：二つの和がわかっている問題：『（１）Ｓ6とＳ3のようにｎが二倍の関係、（２）Ｓ３とＳ２がわかっている』（高２）

ブログと数式：HTMLで、数列の下付文字を書く、∴よって、ゆえにの記号をだす。

数A：重複を許してつくる組合せ：整数解の個数　◯ | ◯ ◯ | ◯ ◯

数ⅡB：群数列：マスターへの道その②　群数列の項数が等差数列をなす（a2022は、第何群の何番目か？）

数ⅠＡ：因数分解①（複二次式x⁴ ,x² ,定数）：9ｘ⁴ -16ｘ² +4の因数分解。

ⅠA：2次不等式の範囲　

題：ax²+bx+4>0の解が-1<x<2のとき、a,b求めよ。

ⅠA:数と式：整数部分と小数部分：4+√７　の整数部分をa、小数部分をb　として表せ。

問題：y=x³-12a²x+16が異なる３つの解をもつaの範囲。

問題：y=x³-12a²x+16が異なる３つの解をもつaの範囲。

　　 y'=3x²-12a²=0

　　 y'=3(x²-4a²)=3(x-2a)(x+2a)=0

　　∴x=±2a

f(x)=x³ -12a²x +16　とおくと、
（極大値）×（極小値）＜０

{(2a)³ -12a²(2a) +16}{(-2a)³ -12a²(-2a) +16}＜0

　　　{8a³ -24a³ +16}{-8a³ +24a³ +16}＜0

　　　(-16a³ +16) (16a³ +16)＜0

(a³ -1) (a³ +1)＞0

(a-1)(a² +a +1) (a+1)(a² -a +1)＞0

　　ここで、(a² +a +1) と (a² -a +1) は、

　　　　a² ±a +1= (a±1/2)²-1/4+4/4 = (a±1/2)²+3/4 ＞0

　　∴-1＜a, a＜1　