Математика для чайников

Блог переехал!

2012-02-02T03:24:00.000-08:00

Вся новая информация только на сайте limodor.ru!

Трапеция

2010-05-10T10:00:00.000-07:00

*Пока данный раздел развивается, теорию можно прочитать на Википедии*

Примеры:
Задача о двух основаниях и средней линии трапеции

Задача о двух основаниях и средней линии трапеции

2010-05-10T09:58:00.000-07:00

Одно из оснований трапеции больше другого на 8 см, а средняя линия равна 14 см. Найдите основания трапеции.

Как гласит одно из свойств трапеций: "Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме". Так то!

В нашей задаче основание А = B + 8см. Исходя из вышеприведённого свойства трапеции, (A+B)/2 = длина средней линии = |подставляем выраженное значение A и длину средней линии| = (B+B+8)/2 = 14
2B + 8 = 28
2B = 20
B = 10

Значит, A = B + 8 = 10 + 8 = 18

Ответ: 18 и 10 см

Разложение на множители

2010-05-10T08:59:00.000-07:00

С помощью комбинаций различных приемов разложить на множители:
1) 7m² + 14mn + 7n²
2) a² - 8a - 9

1) Если посмотреть внимательно, то в этом примере легко увидеть формулу квадрата суммы: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
В нашем случае:
7m² + 14mn + 7n² = (корень(7)*m)² + 2*(корень(7)*m)*(корень(7)*n) + (корень(7)*n)² = (корень(7)*m + корень(7)*n)^2
Вот и всё разложение на множители!

2) Немного труднее. Похоже на квадрат разности ((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2), но это не он... Как же быть? Если гора не идёт к Магомеду... Придётся делать квадрат разности своими силами!
a² - 8a - 9 = a² - 2*a*4 - 9

Отсюда видно, что b = 4, значит квадрат b = 16, а у нас стоит -9... Хм... Придётся добавить 16 и отнять 16, чтобы ничего не изменилось!
a² - 8a - 9 = a² - 2*a*4 - 9 = (a² - 2*а*4 + 16) - 16 - 9 = (а - 4)² - 25

А знаете ли Вы, что 25 - это квадрат числа 5? Да и вообще, весьма заметно, что этот пример ещё не до конца разложен на множители... Хорошо, что у нас есть формула для разности квадратов! (не путать с квадратом разности):
a² - b² = (a + b)*(a - b)

Значит,
(а - 4)² - 25 = (а - 4)² - 5² = (а - 4 - 5)*(а - 4 + 5) = (а - 9)*(а + 1)

Дроби

2010-05-10T08:06:00.000-07:00

Задача на дроби

2010-05-10T08:05:00.000-07:00

Наборщица набрала рукопись за 3 дня.В первый день она набрала 4/11 рукописи,во второй в 1целую 1/2раза больше чем в первый.Сколько страниц в рукописи если за первый и третий дни было набранно 100 стр?

Пускай все страницы рукописи - это х. Составим для наглядности таблицу:

Первый день	Второй день	Третий день
(4/11)*x	(4/11)x(1 целую 1/2)	y*х

Ну а, кроме того, мы знаем, что (4/11)*х + у = 100 стр.

Для начала давайте вычислим количество страниц во второй день:
(4/11)*x*(1 целую 1/2) = (4/11)*x*((2/2) + (1/2)) = (4/11)*x*(3/2) = (6/11)*х
Замечательно!

Первый день	Второй день	Третий день
(4/11)*x	(6/11)*x	y*х

Ага! Так как книга целая, то сумма за три дня должна составлять х, точнее, 1*х.
(4/11)*x + (6/11)*x + y*х = 1*х
|вынесем х в левой части за скобку|
х*((4/11) + (6/11) + у) = 1*х
|разделим обе части на х|
(4/11) + (6/11) + у = 1
(10/11) + у = 1
у = 1 - (10/11)
у = (11/11) - (10/11) = (11-10)/11 = 1/11

Первый день	Второй день	Третий день
(4/11)*х	(6/11)*x	(1/11)*х

Что нам ещё известно? "за первый и третий дни было набранно 100 стр"
Значит, (4/11)*х + (1/11)*х = 100
|выносим х в левой части за скобку|
х*((4/11) + (1/11)) = 100 = х*(5/11)
х = 100/(5/11) = 100*(11/5) = 1100/5 = 220 страниц
Та-дам, мы нашли х! А именно он - количество страниц во всей книге!
Ответ: 220 страниц

Карта сайта

2010-05-10T07:26:00.000-07:00

Блоговедение

Алгебра

Геометрия

Системы уравнений

2010-05-10T07:24:00.001-07:00

Примеры:
Задача про яблони и груши

Средняя скорость

2010-05-10T07:17:00.001-07:00

Задача на нахождение средней скорости

Расцветали яблони и груши...

2010-05-09T08:07:00.000-07:00

Число яблонь в саду относится к числу груш как 2:5.
Определите, сколько яблонь и груш растет в саду, если яблонь на 48 меньше, чем груш.

Обозначим яблони через х, а груши - через у. Тогда, из условия, у нас получится пропорция:
х/у = 2/5

Так как яблонь на 48 меньше, чем груш, количество груш = количество яблок + 48
у = х + 48

Из этих двух уравнений составим систему:
х/у = 2/5
у = х + 48

Из первого уравнения выразим количество груш:
х/у = 2/5
5х = 2у
у = 5х/2

Подставим найденный у во второе уравнение системы:
у = х + 48 = 5х/2
(умножим обе части уравнения на 2, чтобы привести их к общему знаменателю)
2х + 96 = 5х
(перенесём неизвестные в одну часть, известные - в другую)
96 = 5х - 2х = 3х
х = 96/3 = 32

Вот и найдено количество яблонь! Значит, груш на 48 больше:
у = х + 48 = 32 + 48 = 80

Ответ: яблонь 32, груш 80

Задача на сложные проценты

2010-05-08T04:55:00.000-07:00

Нажми, чтобы узнать, что такое сложные проценты
Пусть с величины а за год (или за какой-либо другой промежуток времени) нарастает p%. Если доход в конце года не изымается, а доход за новый год исчисляется с наращенной суммы, то за t лет величина a превратиться в величину

b = a ( 1 + p/100 ) ^t

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если выставленный на продажу за 8000 рублей, он через два года был продан за 6480 рубля.
Каждый год, 31-го декабря, мы с друзьями снижаем цену на холодильник :) Выглядит это примерно так:

Рассмотрим эту ситуацию подробно.
Этап 1 - холодильник стоит 8000 р., 8000 - это 100%.
Этап 2 - цену на холодильник снизили на х%. Теперь он стоит разницу между первоначальной ценой и х% от первоначальной цены: 8000 - х% от 8000, теперь именно эта цифра становится 100%.
Этап 3 - цену на холодильник снизили ещё на х%. Теперь он стоит разницу между ценой на этапе 2 и х% от цены на этапе 2: (8000 - х% от 8000) - х% от (8000 - х% от 8000), ну а из условия нам известно, что кроме всего прочего это ещё и 6480 р.

Как же найти эти х% от 8000? Составим пропорцию:
8000 р. - 100%
у р. - х%

Из неё видно, что х% от 8000 рублей составляет у рублей. Выразив у, получим:
у = х*8000/100

Итак, на этапе 2: 8000 - 8000х/100 = |вынесем 8000 за скобки| = 8000 (1 - х/100)

А какой процент будет на этапе 3?
8000 (1 - х/100) - 100%
у - х%
=> у = (х*8000*(1-х/100))/100 = (х/100)*8000(1 - х/100)

Значит, в итоге, на этапе 3: 8000(1 - х/100) - (х/100)*8000(1 - х/100) = |вынесем за скобки множитель 8000(1 - х/100)| = 8000(1 - х/100)*(1 - х/100) = 8000(1 - х/100)² = 6480

На самом деле, можно не мучаться каждый раз с вычислением процентов - есть специальная формула: b = a ( 1 + p/100 ) ^t, где p - процент за промежуток времени (если со временем цена увеличивается, то он положительный, если уменьшается - то отрицательный, как в нашем случае), a - начальная цена, х - итоговая цена, t - количество лет (или дней, или часов - в зависимости от условия). Сравните то, что получилось у нас, с этой формулой:
6480 = 8000(1 - х/100)²
b = a ( 1 + p/100 ) ^t

Для решения задачи, выразим х из полученного уравнения:
6480/8000 = (1 - х/100)²
0.81 = (1 - х/100)²
1 - х/100 = корень из 0.81 = 0.9
0.1 = х/100
х = 100*0.1 = 10

Ответ: 10%

Теорема Пифагора

2010-05-06T00:20:00.000-07:00

*Этот материал ещё будет доработан*

В чём же заключается эта знаменитая теорема? Цитирую: "В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов".
Думаю, тем, кто не знает ничего о катетах и гипотенузах, формулировка не понравилась :)

Пока данная тема находится в доработке, вы можете подробно прочитать про теорему на Википедии, а заодно и узнать, что такое Пифагоровы штаны и почему они во все стороны равны.

Примеры:
Задача на теорему Пифагора

Задача на теорему Пифагора

2010-05-06T00:07:00.000-07:00

Найдите высоту, опущенную на гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 3 см и 5 см.

Для того, чтобы решить эту задачу, необходимо нарисовать треугольник, причём непременно прямоугольный. Для удобства дальнейшего решения, я нарисую его лежащим на гипотенузе.

Теперь проведём высоту. Что это вообще такое? Это линия, опущенная из угла треугольника на противоположную сторону, и образующая с этой стороной прямой угол.

Откуда взялась цифра корень из 34 см? Найти гипотенузу треугольника с известными катетами очень легко по теореме Пифагора: (квадрат одного катета)+(квадрат второго катета)=(квадрат гипотенузы) = 9 + 25 = 34.
Гипотенуза = корень из квадрата гипотенузы = корень из 34 см.

После проведения высоты появилось два внутренних треугольника. В нашей задаче, собственно, обозначение буквами ни к чему, но для наглядности:

Итак, был треугольник ABC, в нём опустили высоту BD на гипотенузу AC. Получилось два внутренних прямоугольных треугольника: ADB и BDC. Мы не знаем, как высота поделила гипотенузу, поэтому обозначим меньшую неизвестную часть - AD - через х, а большую - DC - через разность AC и х, т.е. (корень из 34)-х см.

Обозначим искомую высоту через y. Теперь, по теореме Пифагора, из двух внутренних прямоугольных треугольником составим систему уравнений:
x^2 + y^2 = 9
((корень из 34)-х)^2 + y^2 = 25

Выразим у^2 из первого уравнения: y^2 = 9 - x^2
Подставим, предворительно упростив второе уравнение: ((корень из 34)-х)^2 + y^2 = 34 - 2*(корень из 34)*х + x^2 + y^2 = 34 - 2*(корень из 34)*х + x^2 + 9 - x^2 = 43 - 2*(корень из 34)*х = 25
2*(корень из 34)*х = 18
x = 9/(корень из 34)

Ура! Почти готово! Теперь опять же, по теореме Пифагора, из треугольника ABD:
(квадрат гипотенузы)-((найденный х) в квадрате) = квадрат искомой высоты
AB^2 - x^2 = 9 - 81/34 = 225/34 = h^2
h = 15/(корень из 34)

Отдельное спасибо ("список литературы")

2010-05-05T23:49:00.000-07:00

По сути, этот блог является учебником. А какой может быть учебник без списка использованной литературы? Только в нашем случае, в списке будут не только книги, но и сайты, и люди.
Итак, автор выражает бесконечную благодарность проектам:
Ответы@Mail.ru
Википедия

*список будет дополняться*

Задача на проценты

2010-05-05T10:20:00.000-07:00

Каменщик и его ученик заработали 12168 р. Каменщик работал 12 дней,а его ученик только 50% этого времени.Сколько денег получил каждый, если дневной заработок каменщика на 45% больше заработка его ученика?

Выводы, которые нужно сделать по ходу чтения условия:
1) 12168 р = (заработок каменщика за все дни) + (заработок ученика за все дни)
2) Для решения нужно узнать, кто сколько дней работал
3) Придётся вводить неизвестное для заработка

Составим для удобства таблицу:

	Каменщик	Ученик
Дни	12	50% от 12
Заработок	х + 45% от х	x

Итак, пункт 3) исполнен - введена неизвестная х, соответствующая заработку ученика. Ну, а так как дневной заработок каменщика на 45% больше заработка его ученика, значит, это сам заработок ученика и ещё 45% от него, т.е. х+45% от х.

1) Вычислим количество рабочих дней
Для каменщика они и так известны - это 12. Для ученика - 50% от 12, т.е. половина, значит 6 дней.

	Каменщик	Ученик
Дни	12	6
Заработок	х + 45% от х	x

2) Кто там что заработал?
Ученик - х, а каменщик какое-то странное число - х + 45% от х.
х - 100%
45% от х - 45%
искомое число (45% от х) - это 45*х/100 = 0.45*х. А, значит, заработок каменщика = х+0.45*х = 1.45*х

	Каменщик	Ученик
Дни	12	6
Заработок	1.45х	x

3) Составляем уравнение
Умножаем рабочие дни на зарплату за день и складываем, благо, общая сумма нам известна, а в уравнении только одно неизвестное:
(Рабочие дни каменщика)*(зарплата каменщика за день) + (Рабочие дни ученика)*(зарплата ученика за день) = 12*1.45*х + 6*х = 23.4*х = 12168
Отсюда х = 12168/23.4 = 520

Ура! Самое главное нашли!
Значит, зарплата ученика - 520 рублей в день...

4) Вычисление ответа
Зарплата каменщика за день = 1.45 * х = 1.45 * 520 = 754

	Каменщик	Ученик
Дни	12	6
Заработок	754	520

Всего каменщик заработал = (рабочие дни) * (зарплата за день) = 12 * 754 = 9048 руб
Всего ученик заработал = (рабочие дни) * (зарплата за день) = 6 * 520 = 3120 руб

Проценты

2010-05-05T09:35:00.000-07:00

Проценты - это крайне полезная штука! Они обозначают долю чего-либо по отношению к целому. Только очень хитро) Положим, читатель, что у меня есть одна конфета. Но цифра 1 сама по-себе как-то удручает, поэтому я предпочитаю считать, что у меня 100% конфеты, так немножко веселее. Поделиться с тобой? Ладно, я не жадная, забирай половину!

Половина, это 1/2 = 0.5 или 100%/2 = 50%. Но, с другой стороны, пол конфеты - это тоже 100%! Если, конечно, забыть о её целом прошлом)

Хорошо-хорошо, я наврала - я жадная. На самом деле, у меня не одна конфета, а целая коробка из 10 конфет. И если забыть о том, что каждая конфета индивидуальна, у меня 100% коробки. А сколько от доли коробки составляет одна конфета? 100% делить на 10 конфет, получаем 10%. Как же так, ведь в первом абзаце считалось, что одна конфета - это 100%? Просто всё зависит от того, что брать за целое. Если коробку, то на долю одной конфеты придётся 10%, а если конфету, то в коробке получится 100% * 10 = 1000% конфет! Вот она, занимательная математика)

Люди издавна привыкли всё округлять, и вот, почему-то, число 100 им наиболее приглянулось, поэтому принято считать, что целое - это 100%. Как же посчитать долю? Вернёмся к нашей сто процентной конфете. Я обещала отдать от неё половину, но, знаете, раз уж я такая жадная, то лучше отдам только четверть. Вот так. Нечего людям, не знающим о процентах, есть много сладкого! Условие:
1 конфета - 100%
1/4 конфеты - ?
Если вместо знака вопроса поставить всемилюбимый х, то получим пропорцию:
1 конфета - 100%
1/4 конфеты - х%
Это в контексте данного примера. На самом деле, мы должны представлять картину вот так:
целое - 100%
доля - х%
Решается всё элементарно просто! Выражаем х через пропорцию, т.е. приравниваем перемноженные по диагонале числа: х% * целое = доля * 100%, и из этого выражения получаем х% = (доля * 100%) / целое.
Для конфет: х% = (100 * 1/4) / 1 = 25%

Просто? Не то слово! Теперь можно и деньги в банк положить под проценты ;)

Примеры:
Задача на проценты
Задача на сложные проценты

Задача на нахождение средней скорости

2010-05-05T05:21:00.000-07:00

*Данная запись сделана на скорую руку, просто для демонстрации. В будущем весь материал будет тщательно подобран, "оттеорен" и снабжён большим количеством примеров*

Катер прошёл от одной пристани до другой 240 км и вернулся обратно. Найдите среднюю скорость катера на всем пути если его собственная скорость 18 км\ч, а скорость течения 2 км\ч.

Самое главное, что нужно помнить при нахождении средней скорости - это то, что она средняя, а не средняя арифметическая. Конечно, взглянув на задачу хочется сразу сложить две скорости - по течению и против, а потом разделить на 2. Это самая распространённая ошибка для задач такого типа! Данный способ годится только для нахождения среднего арифметического, а средняя скорость равна среднему арифметическому от скоростей тела во время движения только в том случае, когда тело двигалось с этими скоростями одинаковые промежутки времени. Можно подумать, что путь туда и путь обратно - равные промежутки времени, но на самом деле это только равные расстояния, но не время. Итак, средняя скорость - это весь пройденный путь делённый на всё затраченное время.

*Надеюсь, все знают формулу скорости? Запомнить её очень легко, если подумать о транспорте. "С какой скоростью тут можно ехать? - 60 километров в час!" - с одной стороны, этот диалог напоминает нам о безопасной езде)) А с другой - о формуле скорости! Километров в час. В километрах измеряется расстояние, в часах - время, а предлог "в" заменяет черту дроби. Так чему равна скорость? Расстояние делить на время!

Как же решить задачу?
1) Найти весь пройденный путь
2) Найти всё затраченное время
3) Разделить 1) на 2)

1) Читаем в условии "Катер прошёл от одной пристани до другой 240 км и вернулся обратно". Значит, он прошёл два раза одно и то же расстояние, один раз - до пристани, второй раз - обратно. Следовательно, S = 240*2 = 480 км.

2) А вот с общим временем будет сложнее - оно в условии не задано. Придётся находить его из значений скорости! "Собственная скорость катера 18 км\ч, а скорость течения 2 км\ч".

a) Раз катер плавал туда-обратно, значит один раз он шёл по течению, а второй раз - против течения.
По течению - скорости течения и объекта складываются, т.к. они движутся в одну сторону!
Против течения - от скорости объекта отнимается скорость течения, т.к. течение мешает, отбирает скорость у объекта.
В итоге: скорость по течению = 18 + 2 = 20 км/ч,
скорость против течения = 18 - 2 = 16 км/ч.

б) Из формулы скорости (см. чуть выше о том, как её запомнить) находим время. Время = расстояние / скорость.
Время поездки по течению = 240 / 20 = 12 ч
Время поездки против течения = 240 / 16 = 15 ч.
--------------------------------------------------------
Общее время = время поездки по течению + время поездки против течения = 12 + 15 = 27 ч

3) Средняя скорость - весь пройденный путь делённый на всё затраченное время.
480 / 27 = 17,(7) км/ч

Ответ: 17,(7) км/ч

Первый пост

2010-05-05T04:59:00.000-07:00

Я завидую современным детям. Да, завидую! Потому что они знакомы с компьютером с рождения, их родители умеют пользоваться интернетом и могут обучить этому своих чад. Когда я ходила в школу, интернет использовался лишь для нахождения рефератов (ну это, конечно, имеются ввиду учебные цели). Только в 10-ом классе я узнала, что в Яндексе можно искать (и находить!) сделанные упражнения по русскому языку, на Википедии хранится огромное количество интересных биографий, а на проекте Ответы. мэил ру добрые люди могут сделать за тебя домашку по физике.

До сих пор меня мучает вопрос: изменилась ли бы моя жизнь, если бы я знала обо всех этих чудесах раньше? Наверняка. Поэтому в данный момент я хочу помочь всем школьникам и другим добрым людям, у которых проблемы с математикой. На сайте будут выкладываться полезные, интересные и совсем не скучные материалы по темам, непременно будет разбор задач и примеров, причём в изложении для чайников. Возможно в будущем ресурс пополнит и высшая математика, но пока не будем торопиться :)