E-geom

Atualizacoes do blog

2012-02-25T18:04:00.000-08:00

Atualizações e Ferramentas do Blog

Hoje vou dar dar uma dica muito legal que já estou usando no meu blog mais antigo, o "Matemática Na Veia".

É um novo sistema de comentários que vai tornar o blog "Egeom" mais atraente, mais profissional. As ferramentas que este sistema oferece são espetaculares, e o que é melhor, é grátis e muito fácil de instalar. Ainda não ativei nem 10% das funcionalidades. Com o tempo vou aprendendo a “fuçar” no código e a melhorá-lo ainda mais. O nome deste novo sistema de comentários é DisqUS . O sistema também tem um script "Top Comentaristas" , que pretendo ativar em breve. Fica aí a dica para quem tem blog ou site.

Só uma observação para os desavisados de plantão:

Os comentários são todos moderados, logo nem pensar comentar com palavras de baixo calão, xingamentos, ofensas e outras “coisinhas” do gênero.

É isso aí, divirtam-se, e deixem seus comentários. É rápido, não dói e ajuda muito na indexação do blog pelo “Profeta” Google.

Por enquanto ficamos por aqui. Em breve mais atualizações, aguarde!
Se você quer cooperar com dicas, indicar algum blog legal de matemática, programas legais que conhece, artigos, trabalhos de escola. Fique a vontade. Mande um e-mail para caco36@ibest.com.br ,ou comente aqui mesmo. Agradeço antecipadamente, comentários, dicas, criticas e sugestões.

Reta e Plano

2012-01-17T09:38:00.000-08:00

RETA E PLANO

"Ensinar Geometria é muito mais do que apresentar as diferentes formas geométricas à turma ... é preciso que entrem no jogo dedutivo. Cabe a você propor atividades desafiadoras, que explorem a capacidade de planejar e antecipar a solução de problemas..."

Uma reta e um plano podem ter as seguintes posições relativas:

Reta contida no plano.

Uma reta está contida num plano quando todos os pontos da reta pertencem ao plano [ Veja Postulado da Inclusão ]

Reta e Plano concorrentes [ou Secantes]

Uma reta e um plano são concorrentes ou secantes quando os dois têm um único ponto P em comum.

Observe que o ponto P é denominado traço de r no plano α.

Reta e plano paralelos

Uma reta r e um plano α são paralelos quando não têm pontos em comum.

[a reta r é paralela ao plano α (alfa), se e somente se, a interseção entre r e α é vazia.]

Teorema importante: Paralelismo entre reta e plano.

Se uma reta a não está num plano α e é paralela a uma reta b do plano, então ela é paralela ao plano.

Assine aqui, o Feed do Egeom , e receba por e-mail os artigos do blog. Fique por dentro das novidades, e curiosidades da Geometria.

Veja também outras Aulas de Geometria diponíveis no blog.

Em breve mais atualizações, aguarde!

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REFERÊNCIAS:

Matemática: Volume único / Gelson Iezzi...[et al.]. – São Paulo: Atual, 2002.
Bezerra, Manoel Jairo,1920- Matemática para o ensino médio: Volume único/Manoel Jairo

http://revistaescola.abril.com.br/geometria/

A origem da Geometria

2011-12-30T08:17:00.000-08:00

A Origem Da Geometria e seus Ramos

A matemática surgiu de necessidades básicas, em especial da necessidade econômica de contabilizar diversos tipos de objetos. De forma semelhante, a origem da geometria (do grego geo =terra + metria= medida, ou seja, "medir a terra") está intimamente ligada à necessidade de melhorar o sistema de arrecadação de impostos de áreas rurais, e foram os antigos egípcios que deram os primeiros passos para o desenvolvimento da disciplina.

Todos os anos o rio Nilo extravasava as margens e inundava o seu delta. A boa notícia era a de que as cheias depositavam nos campos de cultivo lamas aluviais ricas em nutrientes, tornando o delta do Nilo a mais fértil terra arável do mundo antigo. A má notícia consistia em que o rio destruía as marcas físicas de delimitação entre as possessões de terra. Dessa forma, nasciam daí conflitos entre indivíduos e comunidades sobre o uso dessa terra não delimitada.

A dimensão desses conflitos pode ser apreciada na repercussão que se encontra no Livro dos Mortos do Egito, onde uma pessoa que acabada de falecer teria de jurar aos deuses que não enganou o vizinho, roubando-lhe terra. Era um pecado que terminava com o coração do infrator arrancado e comido por uma besta horrível chamada o “devorador”. Roubar a terra do vizinho era considerado uma ofensa tão grave como quebrar um juramento ou assassinar alguém. Sem marcos fronteiriços, os agricultores e administradores de templos, palácios e demais unidades produtivas fundadas na agricultura não tinham referência clara do limite das suas possessões para poderem cultivá-la e pagarem os impostos devidos na medida da sua extensão aos governantes.

Os antigos faraós resolveram passar a nomear funcionários, os agrimensores, cuja tarefa era avaliar os prejuízos das cheias e restabelecer as fronteiras entre as diversas posses. Foi assim que nasceu a geometria. Estes agrimensores, ou esticadores de corda (assim chamados devido aos instrumentos de medida e cordas entrelaçadas concebidas para marcar ângulos retos), acabaram por aprender a determinar as áreas de lotes de terreno dividindo-os em retângulos e triângulos.

Acredita-se em geral que a origem da geometria se situa no Egito, o que é natural, pois, para a construção das pirâmides e outros monumentos desta civilização, seriam necessários conhecimentos geométricos. Estudos mais recentes contrariam esta opinião e referem que os egípcios foram buscar aos babilônios muito do seu saber.

Os diversos Campos da Geometria:

A geometria moderna é um tema bastante extenso, e muito ainda está por ser descoberto. Esta área ainda promete muito para os próximos anos, um exemplo é a geometria fractal. A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e comportamento dos fractais. O termo foi criado em 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático francês nascido na Polônia, que descobriu a geometria fractal na década de 70 do século XX, a partir do adjetivo latino fractus, do verbo frangere, que significa quebrar.

Veja outros tópicos sobre geometria no Wikipédia:

Geometria euclidiana
Geometria não euclidiana
Geometria afim
Geometria projetiva
Geometria algébrica
Geometria analítica
Trigonometria
Geometria diferencial

REFERÊNCIAS:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria

Dois Planos

2011-11-25T16:42:00.001-08:00

AULAS DE GEOMETRIA - DOIS PLANOS

No espaço, dois planos podem ter as seguintes posições relativas:

Coincidentes - Iguais

Dois planos são coincidentes quando equivalem a um mesmo plano.

[O plano alfa é igual ao plano beta se e somente se a interseção entre alfa e beta é igual ao plano beta]

Concorrentes ou Secantes

- Dois planos são secantes [ou concorrentes] quando são distintos e têm interseção não vazia.

- A interseção de dois planos secantes é uma reta r.

- A reta comum a dois planos secantes é a interseção deles ou o traço de um deles no outro.

α e β são concorrentes quando têm somente uma reta comum.

[A interseção entre o plano alfa e o plano beta é igual à reta r]

Nota: Se dois planos distintos α e β têm um ponto P comum, então têm também uma reta r comum, à qual P pertence.

Paralelos

- Dois planos são paralelos quando não têm ponto em comum.

[O plano alfa é paralelo ao plano beta se e somente se a interseção entre alfa e beta é vazia]

Teorema importante: paralelismo entre planos.

Se um plano β contém duas retas concorrentes, a e b, ambas paralelas a outro plano, α,então esses planos são paralelos.

Em breve mais atualizações, aguarde!

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REFERÊNCIAS:

Matemática: Volume único / Gelson Iezzi...[et al.]. – São Paulo: Atual, 2002.
Bezerra, Manoel Jairo,1920- Matemática para o ensino médio: Volume único/Manoel Jairo Bezerra. – São Paulo: Scipione, 2001. – (Série Parâmetros)
Tizziotti, José Guilherme, 1944 – Matemática: 2º grau/ José Tizziotte, Damian Schor. – São Paulo : Ática, 1980.

Posicoes Relativas:Duas Retas

2011-11-25T16:39:00.001-08:00

4. POSIÇÕES RALATIVAS

DUAS RETAS

Duas retas do espaço podem guardar entre si as seguintes posições relativas: Coincidentes, concorrentes, paralelas e reversas.

1 - Coincidentes. [ Iguais ]

Duas retas são coincidentes quando equivalem a uma única reta.

2 - Concorrentes.

Duas retas são concorrentes quando têm um único ponto em comum. r ∩ s = {P}

3 - Paralelas.

Duas retas distintas são paralelas quando são coplanares e não têm ponto em comum.

4 - Reversas.

Duas retas distintas são reversas quando não existe plano que as contenha.

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REFERÊNCIAS:

Exemplos e Exercicios

2011-11-25T16:38:00.000-08:00

EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA COM EXEMPLOS

Nesta aula vamos fazer alguns comentários e praticar alguns exercícios para assimilar o conteúdo visto até aqui. Vamos resolver e comentar um teste para elucidar alguns termos.

Exemplo 1.

a) Três pontos distintos determinam um único plano.

b) Os vértices de um triângulo são coplanares.

c) Se três pontos são coplanares, então eles são colineares.

Respostas e justificativas:

a) Falsa. Três pontos distintos podem estar numa mesma reta e nesse caso eles não determinam um único plano. [Fig. 1]. Os três pontos precisariam não ser colineares para que ficasse determinado um único plano [Fig. 2].

b) Verdadeira. Os vértices de um triângulo são três pontos não colineares.
Eles determinam um plano que contém o triângulo [Fig. 2].

c) Falsa. Três pontos podem ser coplanares sem estarem na mesma reta [Fig. 2].

Exemplo 2.

Vejamos quantos são os planos determinados por três retas, duas a duas concorrentes, todas passando num mesmo ponto.

Sendo a,b e c as retas, há duas possibilidades: ou as retas estão num mesmo plano α [ Fig. 1 ] ou os planos α = (b,c) , β = (a,c) e γ = (a,b) estão determinados [ Fig. 2 ] .

Logo, as três retas determinam um ou três planos.

Exercícios:

1 - Classifique cada sentença como verdadeira ou falsa:

a) Dado um ponto, existe uma única reta passando por ele.

b) Dado um ponto, existe uma reta passando por ele.

c) Dado um ponto, existem infinitas retas que o contêm.

d) Dados dois pontos distintos, existe um plano que os contém.

e) Três pontos não alinhados determinam três retas.

f) Três pontos não alinhados determinam um plano.

g) Três retas determinam um plano.

h) Um ponto e uma reta que não o contém determinam um plano.

2 – Quatro pontos, A, B, C, D não são coplanares. Quantos planos eles determinam? Quais são?

3 – É comum encontrarmos mesas com quatro pernas que, mesmo apoiadas em um piso plano, balançam, obrigando a colocação de um calço em uma das pernas. Com base no que você estudou até aqui, explique por que isso acontece.

4 - Quantos planos são determinados por três retas distintas, duas a duas concorrentes e que não passam por um mesmo ponto?

5- Quantos são os planos determinados por três retas distintas, duas a duas paralelas?

BAIXE O ARQUIVO COM O GABARITO DOS EXERCÍCIOS DAS PRIMEIRAS AULAS DE GEOMETRIA. GABARITO:

Determinando Retas e Planos.

2011-11-25T16:34:00.000-08:00

3 – Determinação de Retas e Planos.

Retas.

Além da maneira indicada no item “a” do 2º postulado [ da Determinação], uma reta pode ser determinada por um ponto e uma direção. Para determinar a reta r, basta que tenhamos um ponto P ∈ r e a direção de r, dada por uma reta s, paralela a r.

Planos

Um plano pode ser determinado de quatro modos, a saber:

1ºPor três pontos não colineares[item b do 2ºpostulado]

Assim α=(A,B,C)

2ºPor uma reta e um ponto fora dela.

Basta tomar em r dois pontos distintos A e B, e o plano α = (A, B, P) é o plano determinado por r e P, isto é α = (r, P).

Note que os três pontos A, B, P são não-colineares

3ºPor duas retas concorrentes.

Basta tomar um ponto A em r e um ponto B em s, ambos distintos de P, e o plano α = (A, B, P) é o plano determinado por r e s, isto é, α = (r, s).

4ºPor duas retas paralelas e distintas.

Basta notar que duas retas distintas paralelas são coplanares; portanto estão num plano. Para perceber que o plano é único, tomamos dois pontos distintos, A e B, numa das retas e um ponto C na outra. Assim, o plano α = (A, B, C) é o plano determinado por r e s, isto é, α = (r, s).

REFERÊNCIAS:

Postulados e Teoremas

2011-11-24T14:56:00.001-08:00

postulados e teoremas.

Para desenvolver a geometria, além dos conceitos primitivos vistos na primeira aula, precisamos fixar também os postulados [axiomas] e teoremas. Nesta aula veremos também o significado de cada termo e um pouco da história que envolve estes entes geométricos.

As propriedades da geometria apresentadas a seguir, são chamadas postulados e relacionam as noções de ponto, reta, plano e espaço.

- Postulados são proposições que não se demonstram e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.

O significado raiz da palavra "postular" é "exigir"; por exemplo, Euclides exige que nós concordemos que certas coisas podem ser feitas, ex: quaisquer dois pontos podem ser unidos por uma linha reta, etc.

A palavra "axioma" vem da palavra grega ἀξίωμα [axioma], um substantivo verbal do verbo ἀξιόειν [axioein], que significa "considerar válido", mas também "requerer", que por sua vez vem da palavra ἄξιος [axios], que significa "estar em equilíbrio", e, portanto "ter (o mesmo) valor (de)", "válido", "apropriado". Entre os filósofos da Grécia Antiga um axioma era uma afirmação que poderia ser vista como verdade sem nenhuma necessidade de provas.

Os antigos geômetras mantiveram alguma distinção entre axiomas e postulados. Ao comentar os livros de Euclides, Proclo adverte que "Geminus considerou que este [4º] Postulado não deve ser classificado como um postulado e sim como um axioma, já que, diferente dos três primeiros Postulados, ele não declara a possibilidade de alguma construção, mas sim expressa uma propriedade essencial". Boécio traduziu "postulado" como “petitio” e chamou os axiomas de “notiones communes”, mas em manuscritos posteriores esse uso nem sempre foi estritamente mantido.

- Teoremas são preposições que necessitam de demonstração e complementam o desenvolvimento da teoria.

Teorema é um termo introduzido por Euclides, em "Elementos", para significar "afirmação que pode ser provada". Em grego, originalmente significava "espetáculo" ou "festa". Atualmente, é mais comum deixar o termo "teorema" para apenas certas afirmações que podem ser provadas e de grande importância matemática, o que torna a definição um tanto quanto subjetiva.

Observação: Os postulados estão descritos de duas formas diferentes.

Os postulados descritos dentro dos colchetes [ ] em Laranja (Retas) e Azul (Planos) mostram uma destas formas diferentes de interpretação destes postulados.

Existem várias maneiras de interpretar um mesmo fato (acontecimento), procure focar no modo que mais se adapta aos seus estudos.

1º - Postulado da existência

a) Existe reta, e numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.

[P_r1: Uma reta contém infinitos pontos]

b) Existe plano, e num plano, bem como fora dele, há infinitos pontos.

[P_p1: Um plano contém infinitos pontos]

2º - Postulado da Determinação

a) Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.

[P_r2: Dois pontos distintos determinam uma reta]

b) Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.

[P_p2: Três pontos não-colineares determinam um plano]

3º - Postulado da inclusão

Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então ela está contida no plano. [P_p3: Uma reta está contida num plano, se dois de seus pontos pertencem ao plano]

Na figura abaixo, temos:

4º - Postulado das paralelas

Por um ponto P, situado fora de uma reta r, passa uma única reta paralela à reta dada.

Na figura, dada à reta r, temos: P ∈ s, s // r, s é única.

Este postulado, conhecido também como “Axioma de Euclides” [300 a.C.], é a propriedade que caracteriza a Geometria Euclidiana. Numa histórica obra chamada “Elementos”, Euclides organizou a geometria de modo a poder deduzir os teoremas a partir dos postulados que ele estabeleceu no início da exposição. A geometria que estamos estudando agora é denominada Euclidiana em homenagem a esse matemático grego.

Note que o “Postulado de Euclides” afirma a unicidade da paralela.

5º - Postulado da separação

Toda reta r de um plano α separa-o em duas partes na quais ela está contida; qualquer segmento de reta com um extremo em cada parte e nenhuma nesta reta de separação intercepta-a em um único ponto.

[P_P4: Uma reta r de um plano α separa-o em dois semiplanos α₁ e α₂e a origem dos semiplanos é a reta dada ]

Observação: α₁ e α₂ são semiplanos opostos de α.

Assim α₁ ∩ α₂ = r e α₁∪ α₂ = α

REFERÊNCIAS:

Matemática: Volume único / Gelson Iezzi...[et al.]. – São Paulo: Atual, 2002.

Bezerra, Manoel Jairo,1920- Matemática para o ensino médio: Volume único/Manoel Jairo Bezerra. – São Paulo: Scipione, 2001. – (Série Parâmetros)

Tizziotti, José Guilherme, 1944 – Matemática: 2º grau/ José Tizziotte, Damian Schor. – São Paulo : Ática, 1980.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Axioma

http://geomdesc.no.sapo.pt/

www.colegiointeractivo.com.br/

Ponto,Reta e Plano: Conceitos Primitivos

2011-11-20T14:58:00.001-08:00

GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO

Vários matemáticos da antiguidade baseados em estudos e observações do cotidiano [vida real], como Euclides de Alexandria [Grego Antigo - Εὐκλείδης Eukleidēs; 360 a 295 a.C.] estabeleceram entes matemáticos com os quais construíram a geometria. Três desses entes destacam-se por serem conhecidos intuitivamente. São eles: o ponto, a reta e o plano.

Nesta aula estudaremos estes entes geométricos, tratando apenas de suas posições. Para tanto, vamos estabelecer conceitos e propriedades.

2 – Noções Primitivas e Postulados.

As primeiras noções, na geometria, chamadas primitivas, são as de ponto, reta e plano conhecidas intuitivamente, ou seja, são aceitas sem definição.

Representação, [notação]

Pontos serão representados por letras latinas maiúsculas; ex: (A,B,C)

A noção de ponto pode ser-nos dada intuitivamente pelo menor grão de areia desprovido de espessura, ou então pela marca deixada no papel pela ponta de um lápis. Um ponto não tem dimensão e é usualmente representado por um pequeno circulo e identificado com uma letra latina maiúscula.

Retas serão representadas por letras latinas minúsculas; ex: (a,b,c)

Vamos imaginar [supor] que a sua caneta se prolongue infinitamente e que seja desprovida de espessura. Esta suposição conduz-nos à noção de reta. Poderíamos fazer outras comparações, como por exemplo, um cordão "infinitamente" grande e bem esticado ou os cabos de eletricidade. Uma reta é constituída por uma infinidade de pontos. Uma reta tem dimensão um, isto é, apenas possui dimensão linear, o comprimento. É representada por uma "linha" e identificada por uma letra latina minúscula.

Planos serão representados por letras gregas minúsculas;ex:(α,β,γ)

Assim como o ponto e a reta, existem situações do quotidiano que nos tornam possível descrever um plano, tais como, o chão de uma sala, o teto, ou a superfície de um lago. Qualquer deles nos ajuda a visualizar um plano, pois são superfícies planas que podemos imaginar desprovidas de espessura e prolongadas infinitamente.

Um plano tem dimensão dois isto é, possui comprimento e largura. É representado por um paralelogramo e usualmente identificado por uma letra minúscula do alfabeto grego.

Para desenvolver a geometria, necessitamos, além dos conceitos primitivos, fixar também outros conceitos mais comos postulados ou axiomas e teoremas.

Na próxima aula estudaremos os conceitos de Postulados e Teoremas.