Tito Eliatron Dixit

¿Cuánto vale la parte entera de -1'65?

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Fri, 25 May 2012 07:16:38 PDT

Una de las funciones que más quebraderos de cabeza traen a estudiantes de matemáticas de (casi) todos los niveles es la función Parte Entera. Esta función está definida sobre todos los números reales y nos devuelve siempre un número entero, pero ¿qué número nos devuelve? Vamos a tratar de definirla correctamente y a ver por qué esta definición y no la que todos piensan: ¿Por que la parte entera de es ?

En primer lugar... ¿cómo se define la parte entera de un número, desde el punto de vista matemático? Pues de la siguiente forma.

En primer lugar, vamos a dibujar la recta real, con todos sus números ~~naturales~~ enteros (bueno, los que nos caben en el dibujo).

Seguidamente, vamos a dividir la recta en una cantidad infinita de intervalos disjuntos (que no se cortan entre sí):

Lo que hemos hecho es poner
Y ahora ya está. Si tomamos cualquier número real resulta que estará en un único intervalo de la forma donde es un número entero. Pues bien, precisamente ese número entero es lo que se denomina Parte Entera de y se denota por o bien .

En resumen, la parte entera de un número real es el mayor número entero que es menor o igual que .

Y entonces... ¿dónde está el problema? Pues el problema está en que en los números positivos es extremadamente fácil calcular la parte entera (y de hecho, de ahí viene el nombre de parte entera). sI es un número real, su parte entera consiste en quitar los decimales del número. Es decir, la parte entera de es ; la parte entera de es ; y así con todos.

Ya vale, pero... ¿dónde está el problema? Pues que en los números negativos esta regla no funciona, lo que suele provocar muchos errores.

Todo esto está muy bien, pero... ¿cuánto vale la parte entera de ? Vamos a calcularlo.

Para ello, tenemos que ver en qué intervalo de la forma (con entero) está incluido este número. Si la parte entera fuese quitar los decimales, debería ser y el intervalo sería el . Pero es evidente que . Por lo tanto . ¿Cual es, entonces su parte entera? pues vamos a ver poner el número en la recta y veamos en qué intervalo cae:

Pues está claro. Como resulta que su parte entera es . Así que para los números negativos la regla no es tan sencilla como parece. En ellos hay que quitar los decimales y restar 1.

Definida de esta forma, la representación gráfica de esta función es la de una escalera cuyos peldaños tienen una anchura de 1 unidad y entre peldaño y peldaño la altura es también 1 unidad.

¿Qué pasaría si definimos una función Parte Entera Alternativa que consista en quitar los decimales a cualquier número? Pues que la representación gráfica sería algo diferente:

El peldaño central, el que contiene al origen de coordenadas, sería el doble de ancho que los demás, haciendo, de esta forma, que la nueva función posea una simetría impar.Por ceirto, esta nueva función es la que el programa Mathematica y Wolfram Alpha ejecuta con la orden IntegerPart.

Finalmente, sólo me resta decir que lo que nosotros (o yo, en concreto) hemos definido como Parte Entera, también se suele denotar por Función Suelo. En cualquier caso, a mi me parece más natural esta definición.

Tito Eliatron Dixit

Este post participa en la Edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Gaussianos.

Soy matemático

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Fri, 25 May 2012 04:04:36 PDT

Soy matemático porque no veo árboles ni nubes, veo fractales.
Soy matemático porque no veo neumáticos ni rosquillas, veo toros.
Soy matemático porque no veo los números de los edificios, veo progresiones aritméticas.
Soy matemático porque cada vez que veo un número de una matrícula, lo factorizo

Soy matemático porque cuando me alojo en un hotel, miro si el número de la habitación que me han dado es primo o es un cuadrado perfecto.
Soy matemático porque siempre hago la cuenta de cabeza, antes que el comerciante con la calculadora.
Soy matemático porque no veo agujeros, veo singularidades.
Soy matemático porque siempre tiran más 2θ que dos carretas.
Soy matemático porque me encanta mirar un buen par de senos.
Soy matemático porque no veo cajas, veo paralelepípedos.
Soy matemático porque siempre respondo depende cuando me preguntan cuánto son 2+2.
Soy matemático porque 2+1=3.
Soy matemático porque cuando veo una red, pienso en coordenadas cartesianas.
Soy matemático porque deshacer un nudo no es más que aplicar la topología.
Soy matemático porque veo más allá de algunas señales de tráfico
Soy matemático porque sé como repartir una pizza.
Soy matemático porque tenía calculados todos los números que tenían que salir en el sorteo para que mi hijo entrara en el colegio elegido.
Soy matemático porque la tecla más desgastada de mi teclado es la x.
Soy matemático porque en mi tesis y en los artículos que escribo, aparecen más números en la numeración de las páginas que en el cuerpo del texto.
Soy matemático porque cuando veo un puente me pregunto si el arco es una parábola o una catenaria.
Soy matemático porque veo raíces cuadradas por todos lados a mi alrededor.
Soy matemático porque hasta en Semana Santa pienso en Gauss.
Soy matemático porque siempre me bastaban 4 colores para pintar los mapas en el colegio.
Soy matemático porque cuando voy a la peluquería siempre pienso en paradojas.
Soy matemático porque cuando miro un friso, trato de encontrar el grupo de simetría al que pertenece.
Soy matemático porque me gusta buscar calles con nombres de matemáticos allá por donde voy.
Soy matemático porque es más divertido serlo cuando das la mano en una reunión.
Soy matemático porque elegir calcetines es más fácil con el axioma de elección.
Soy matemático porque no me extraña que el día más corto no coincida con el que anochece antes.
Soy matemático porque siempre, en cualquier conversación, acabo hablando de matemáticas.
Soy matemático porque hasta en los chiringuitos de las playas pienso en matemáticas.
Soy matemático porque yo también construí el poliedro de Csázár.
Soy matemático porque disfruto haciendo todo esto y mucho más.
Soy matemático porque me encanta contar estas cosas en mis clases.

¿Y tú? ¿Por qué eres matemático? ¿Por qué quieres ser matemático? ¿Por qué te gustan las matemáticas?

Tito Eliatron Dixit

Este post participa en la Edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Gaussianos.

Edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas: del 21 al 27 de mayo

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Fri, 18 May 2012 04:00:01 PDT

Bueno, bueno, bueno. Que se me había olvidado anunciar la próxima edición de nuestro querido Carnaval de Matemáticas.

Y es que el tiempo pasa muy rápido y las calores del mes de mayo hacen estragos en este pobre bloguero.

No, no me voy más por las ramas. Os anuncio que la Edición 3.1415 correspondiente al mes de Mayo de 2012 tendrá lugar la semana próxima, es decir, entre el 21 y el 27 de mayo. Y en esta ocasión tenemos anfitrión de enjundia, ni más ni menos que Gaussianos.
Para participar, hay que seguir haciendo lo mismo de siempre:

Puede participar cualquier personas que escriba un post, en su blog, cuyo contenido esté relacionado con las matemáticas.
Si no tienes blog y quieres participar también puedes hacerlo. Para ello debes registrarte en la web del Carnaval de Matemáticas y escribir tu artículo allí. Cuando se reciba el artículo se te dará de alta en la web como autor y tu artículo aparecerá allí.
Debes indicar en tu artículo que es una contribución con esta edición del Carnaval colocando en algún lugar del mismo un enlace a la web del Carnaval y otro al blog anfitrión, Gaussianos en este caso. Por ejemplo, algo así

Este post participa en la Edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Gaussianos.
Para que el anfitrión se entere de que has escrito un artículo participando en el Carnaval debes avisar de ello de alguna de esta tres maneras:
- Escribiendo una reseña de tu entrada en la propia web del Carnaval (también te tendrás que dar de alta como autor, pero no tienes que preocuparte de eso, solamente de registrarte en la web del Carnaval).
- Escribiendo una reseña de tu entrada en la página de Facebook del Carnaval.
- Escribiendo un tweet con el enlace a tu artículo y el hashtag #CarnaMatMayo.

Además, si escribes la reseña en la web del Carnaval de Matemáticas automáticamente aparecerá en el Timeline de @CarnaMat. Eso sí, te recomiendo que el nombre del usuario de la web del Carnaval de Matemáticas coincida con el de Twitter para que te llegue la mención a ti también.

Y si no queréis esperar, podésis pasar un buen rato (pero bueno bueno) reviviendo las ediciones anteriores del Carnaval de Matemáticas:

Primer Año:

Primera Edición(15/02/2010) en Tito Eliatron Dixit.
Segunda Edición (15/03/2010) en Juan de Mairena [v.2.71828] (Parte 1 y Parte 2).
Tercera Edición (19/04/2010) en Geometría Dinámica.
Cuarta Edición (17/05/2010) en Zurditorium.
Quinta Edición (21/06/2010) en Ciencia por Barcedavid.
Sexta Edición (27/09/2010) en el Blog de Sangakoo.
Séptima Edición (25/10/2010) en El Máquina de Turing.
Octava Edición (21/11/2010) en Los Matemáticos no son Gente Seria.
Novena Edición (20/12/2010) en Rescoldos en la Trébede.
Décima Edición (31/01/2011) en La Ciencia de la Mula Francis.

Segundo Año:

Edición 2.1 (21/02/2011) en Tito Eliatron Dixit.
Edición 2.2 (28/03/2011) en Gaussianos
Edición 2.3 (21/04/2011) en Los Matemáticos no son gente seria
Edición 2.4 (27/05/2011) en Seis palabras
Edición 2.5 (02/07/2011) en Juegos Topológicos
Edición 2.6 (26/09/2011) en La Vaca Esférica
Edición 2.7 (25/10/2011) en La Aventura de la Ciencia
Edición 2.8 (29/11/2011) en Ciencia Conjunta
Edición 2.9 (26/12/2011) en Que no te aburran las M@tes.
Edición 2.X (30/01/2012) en Resistencia Numantina.

Tercer Año

Edición 3.1 (28/02/2012) en Scientia Potentia Est.
Edición 3.14 (26/03/2012) en Hablando de Ciencia
Edición 3.141 (04/05/2012) en DesEquiLIBROS.

Tito Eliatron Dixit

Premio Carnaval de Matemáticas: Abril 2012

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Fri, 18 May 2012 01:42:27 PDT

Como ya sabréis, cada vez que tiene lugar una edición del Carnaval de Matemáticas, automáticamente se convoca el Premio a la mejor entrada. En esta ocasión, la Edición 3.141 tuvo lugar entre el 23 y el 29 de abril en el blog DesEquiLIBROS y ya se publicó su resumen. Para votar se tuvo de plaza hasta ayer mismo y ya tenemos recuento y ganador.

Y el ganador de esta edición, con 5 votos es el artículo El Efecto Mariposa: vaya ¿timo? que un servidor de ustedes escribió para Amazings. Aquí dejo el distintivo del ganador, que orgullosamente luciré en este blog.

Pero es que en esta edición la calidad de los artículos ha sido altísima. Y la prueba de ello es el número de votos que han conseguido los otros artículos nominados. Así, en segundo lugar con 4 votos (el empate con el ganador se deshizo en el último momento) se coloca el artículo Los números de De Moivre (artículo al que le di mi voto); en tercer lugar tenemos un empate entre otros dos de los participantes asiduos, con 2 votos, Cuéntame cómo cuento (III) y Algunas recomendaciones matemáticas para el día del libro; finalmente, con 1 voto, queda clasificado Buscando libros con ingenio.

Para mí es todo un orgullo haber podido (al fin) obtener este galardón que yo mismo instauré allá por la Edición 2.1. El artículo ganador, lo confieso, no es para todos los niveles. Se trata de explicar que una de las propiedades más conocidas del caos, el efecto mariposa, no es, en realidad, una parte fundamental del propio caos, en el sentido de que no entra en la definición. Bueno, mejor os animo a que lo leáis y espero que disfrutéis de él al menos lo mismo que yo disfruté escribiéndolo.

Y no me quiero despedir sin recordaos que la próxima edición del Carnaval de matemáticas, la Edición 3.1415, comienza la semana que viene en Gaussianos.

Tito Eliatron Dixit

Última semana para poder adquirir el nº2 de la Revista Amazings

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Mon, 14 May 2012 01:50:29 PDT

Allá por finales de Febrero, anunciábamos que se ponía en marcha el crowdfunding para financiar el nº 2 de la revista Amazings. Un mes después (aproximadamente) se consiguió cubrir con el presupuesto mínimo indispensable y se garantizó su publicación definitiva en papel.

Pues bien, os recuerdo que solamente queda 1 semana para que puedas adquirirla. Sí, amiguitos, cuando finalice el plazo dado en la plataforma Lanzanos, ya no se podrá volver a comprar este número (al menos en papel).

¿Y por qué motivo lo vamos a comprar? Pues porque se trata de una revista que incluye 10 artículos sobre divulgación científica y sólo esos 10 artículos: sin publicidad y a todo color. Los títulos y los escritores los tienes aquí mismo:

Profecías estelares, por el astrofotógrafo Paco Bellido
¡Estos médicos están locos!, por el doctor Julián Palacios
La vida secreta de los números, por el un servidor de ustedes
Virus jugando al escondite en nuestro interior, por la doctora Esther Samper
Por qué le gusta la armonía a tu cerebro, por Almudena M. Castro
Avances en genética, por el divulgador y bioquímico Pere Estupinya
Energía negra. La energía del futuro, por el astrofísico Miguel Santander
¿Como maneja el cerebro la información?, por el neurocientífico Xurxo Mariño
Extinciones masivas y rayos cósmicos, por el biólogo Antonio José Osuna
Codigos secretos y criptografía. La máquina enigma en España, por el físico Arturo Quirantes

De entre todos ellos, quiero destaca, aparte de mi propio artículo, el de un Profe de Física muy particular. Os recomiendo encarecidamente que cuando la tengáis en vuestro poder, no dejéis de leer el artículo de Arturo Quirantes sobre códigos secretos y la historia de la máquina Enigma en España. Además de encontrar lo básico acerca del funcionamiento, vais a penetrar en una interesantísima historia que tiene como protagonistas a la España en Guerra Civil, a la Alemania Nazi y a Gran Bretaña.

Asimismo, otro gran artículo, con una cierta relación con las matemática, es el de Almudena Castro sobre la armonía y el cerebro. Un magnífico entrelazado (cuántico) entre música (armonía y teoría musical) y la física y fisiología del oído.

El resto de artículos, por supuesto, tienen un nivel espectacular. De hecho, a veces me siento como un minúsculo insecto dentro de un grupo de grandes animales de la divulgación. Simplemente no hablo de ellos, pues su contenido está ya más alejado de las matemáticas. Pero no por ello dejan de ser interesantes.

Desde estas líneas os animo a que adquiráis el nº 2 de la revista Amazings y os adentréis en un maravilloso mundo de divulgación y ciencia.

Porque ya lo sabéis, ¿no?

SIN CIENCIA NO HAY FUTURO

Tito Eliatron Dixit

Jungla de Cristal 3: La venganza... matemática

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Fri, 11 May 2012 00:30:00 PDT

Hoy, por ser viernes, traemos algo fresquito y sencillo. Se trata de una parodia de la gran pareja humorística Cruz y Raya sobre una escena de la película La Jungla de Cristal 3: la venganza. En ella se plantea el clásico problema de calcular una cierta cantidad de litros de agua disponiendo de un cubo de 5 litros y otro de 3 litros.

Os dejo con el vídeo, que no tiene desperdicio alguno.

Y ya que estamos, con los cubos de la parodia y suponiendo una cantidad infinita de agua... ¿seríais capaces de conseguir 1 litro de agua? ¿y 2 litro? ¿y 4, 6, 7, 9, 10,...? ¿Hasta dónde podríamos llegar?

Tito Eliatron Dixit

...como las enfermedades infantiles

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Mon, 07 May 2012 00:29:00 PDT

Las matemáticas son como las enfermedades infantiles: cuanto más joven las cojas, mejor.

Arnol Sommerfeld, vía Pat's Blog

En la cita, por enfermedades infantiles, creo, hay que entender a las clásicas enfermedades infecciosas que todos hemos pasado de niños: sarampión, varicela, paperas... Y en ese sentido me parece una comparación acertadísima, más aún cuando las matemáticas suelen ser vilipendiadas por muchos padres delante de sus hijos. cuanto antes se empiece a tener un contacto (de verdad) con las matemáticas, antes podremos despojarlas de sus mitos.

¿Qué creéis vosotros?

Tito Eliatron Dixit

Conferencia: Jugando con la geometría flexible y la topología

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Thu, 03 May 2012 01:36:43 PDT

Al igual que hiciéramos el año pasado, y otra vez gracias al Programa de Actividades de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla, tenemos la oportunidad de organizar una conferencia de divulgación de las matemáticas.

La conferencia se titula Jugando con la geometría flexible y la topología y el conferenciante es, ni más ni menos, que José Luis Rodríguez Blancas, más conocido como Mago Moebius, profesor de la Universidad de Almería y autor del blog Juegos topológicos y Polifieltros3D. El día es el próximo miércoles 9 de mayo, el lugar es el Aula 1.2 de la Facultad de Matemáticas y la conferencia-taller comenzará a las 13:00 horas.

En esta charla-taller se mostrarán algunos de los objetos geométricos y topológicos que han elaborado alumnos y alumnas de Matemáticas de la Universidad de Almería. Se realizarán también bonitas superficies de jabón que aparecen en nudos y otras estructuras de alambre. Y, como colofón, los asistentes podrán jugar con los Polifieltros 3D, un nuevo juego que permite montar figuras geométricas tridimensionales, a partir de su desarrollo plano de una o varias piezas flexibles de fieltro.

Aquí os dejo el cartel anunciador de la charla

Me parece que se trata de una bonita oportunidad de apreciar el valor artístico de las Matemáticas de la mano de uno de los grandes divulgadores del momento.

Por cierto, esto es el miércoles, pero es que el Jueves, José Luis estará en la Feria de las ciencias de Sevilla, por si quieres pasarte.

Ah, y ya que estamos, ésta no será la única conferencia que organicemos. En Junio tenemos preparado algo mágico. Ya os contaré.

Tito Eliatron Dixit

Las matemáticas son...

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Wed, 02 May 2012 03:56:23 PDT

Aprovechando las funcionalidades de autocompletar de Google, se me ha ocurrido hacer algunas búsquedas acerca de las matemáticas. He aquí los resultados, algunos de ellos, ciertamente sorprendentes.

El primer intento ha sido con la frase "Las matemáticas son ".

Lo más curioso, aparte de la clásica cita de Galileo, es que los adjetivos que salen son positivos o neutros: divertidas, perfectas, exactas... No aparecen calificativos como "difíciles" "tediosas" o similares.

En segundo lugar, habida cuenta del nivel ortográfico general, he optado por omitir la tilde de "matemáticas". Así que he optado por buscar "Las matematicas son " y aquí la cosa mejora.

Ahora ya empiezan a aparecer adjetivos negativos como "aburridas". Sin embargo, me sigue llamando la atención que aparezca "fáciles" y, sobre todo, me intriga la búsqueda "Las matematicas son como las mujeres". Fascinante.

Para finalizar, me he animado a hacer un post políglota (bíglota, si se me permite el palabro) y he añadido la búsqueda en inglés de "mathematics are ". Aquí tenéis los resultados.

Bien, como veis, para nuestros amigos anglosajones, las matemáticas son divertidas, pero aburridas; aunque también son bonitas y universales. Además, están inteligentemente diseñadas, pero están todas mal. Todo un compendio de oxímoron (al parecer, éste es un plural aceptado de oxímoron, el otro es oxímoros).

Tito Eliatron Dixit

El efecto mariposa: una condición superflua del caos

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Fri, 27 Apr 2012 00:52:36 PDT

Hace un par de días, publiqué en Amazings la entrada titulada El Efecto Mariposa: vaya ¿timo? que os animo a que leáis. En ella, cuento una curiosa y poco conocida propiedad del Caos en relación con el efecto mariposa. El efecto mariposa es una condición superflua del caos.

En el presente artículo, vamos a recuperar los conceptos necesarios del anteriormente citado y vamos a presentar la demostración de que, efectivamente, el efecto mariposa no es necesario para definir el caos. La demostración de este hecho no es difícil y tan sólo requiere conocimientos básicos de topología. Pero claro, estamos ya hablando de un nivel de estudios universitarios.

Vamos a recordar algunas cuestiones. Te recomiendo que antes de continuar, leas el artículo El Efecto Mariposa: vaya ¿timo? y también le eches un vistazo a Caos lineal: ¿una paradoja?.

En primer lugar, el concepto de caos, aunque estaba en el acervo matemático, no tenía una definición clara hasta que Robert L. Devaney la introdujera en 1986. Según este matemático, un sistema dinámico, es decir, una aplicación continua de un espacio métrico en sí mismo, es caótica si cumple a la vez, las tres propiedades siguientes:

Dependencia sensible respecto de las condiciones iniciales (efecto mariposa).
Existe una órbita densa.
Existe un conjunto denso de puntos con órbita periódica.

Veamos qué significa cada una de estas tres propiedades.

Antes de empezar, dado un punto , su órbita es el conjunto , donde .

es sensible respecto de las condiciones iniciales siempre que exista una constante de sensibilidad (que sólo depende de ) tal que para cada y cada existe y tales que y . Es decir, no importa cómo de cerca busquemos, que siempre encontraremos un punto de forma que más tarde o más temprano, su órbita se aleja de la de una cierta constante prefijada .

La segunda condición nos dice que existe un punto tal que para cada punto y cada , existe tal que .

Finalmente, la tercera condición nos dice que para cada punto y cada existe un punto periódico , tal que . Recordemos que un punto es periódico (o tiene una órbita periódica) cuando existe tal que .

Bien, pues ahora que sabemos todo lo que hay que saber, vamos a demostrar nuestro resultado.

Teorema: Sea un espacio métrico sin puntos aislados. Si posee un punto con órbita densa y un conjunto denso de puntos periódicos, entonces es sensible respecto de las condiciones iniciales.

Demostración: Antes de empezar, si es un espacio métrico sin puntos aislados, tenemos que si existe un punto con órbita densa, entonces existe un conjunto denso de puntos con órbita densa. En efecto, sabemos que es densa, pero para cada se tiene que y este conjunto sigue siendo denso, pues sólo hemos quitado una cantidad finita de puntos a un conjunto denso (para que esto sea cierto, es para lo que es necesario que no haya puntos aislados). Resumiendo, sabemos que hay un conjunto denso de puntos con órbitas densas.

En primer lugar, elijamos dos puntos periódicos diferentes y . Como sus respectivas órbitas y son periódicas, han de ser finitas. Sea , es decir, la distancia entre ambas órbitas. Ahora, fijado un punto , es claro que o bien o bien , en cualquier caso, hemos probado lo siguiente:

Existe tal que para cada existe un punto periódico de forma que .

Pues bien, vamos a demostrar que es sensible respecto de las condiciones iniciales y con constante de sensibilidad . A por ello.

Sea y (podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que ). Como el conjunto de puntos periódicos es denso, existe un punto periódico tal que .

Tal y como hemos visto, dado existe un punto periódico tal que .

Ahora, sea el periodo de , y sea , donde es la bola de centro y radio , es decir, . Como es continua, se tiene que es una intersección finita de conjuntos abiertos (una aplicación es continua si la preimagen de un abierto es un abierto), por lo tanto, es un abierto. Además, es obvio que , pues para cada se tiene que . Por lo tanto, existe un número tal que .

Ahora, sabemos que existe un conjunto denso de puntos con órbita densa, por lo tanto, existe un punto con órbita densa tal que . Como es densa, existe un tal que , de donde deducimos que . Y esto significa que para cada se tiene que .

Ya estamos casi a punto. Sea la parte entera de . De esta forma, se tiene que y, por lo anterior, .

Ahora ya sólo nos queda darnos cuenta de que, como es el periodo de , se cumple que y aplicando la desigualdad triangular tenemos que:

Por un lado, sabemos que ; por otro ; y finalmente, como y , se tiene que . En resumen, tenemos que .

Y ya llegamos al final. Usando la desigualdad triangular, se tiene que o bien o bien Pero como y , en cualquiera de los dos casos hemos demostrado la existencia de un punto y un natural (en realidad ) tales que y . Por lo tanto, es sensible respecto de las condiciones iniciales y con constante de sensibilidad .

Y aquí acaba la demostración.

Bueno, sé que no ha sido fácil para muchos de vosotros, pero de vez en cuando hay que ir metiendo un poco de nivel. Como ya eh dicho antes, esta demostración, en realidad, utiliza muy poca batería de conocimientos matemáticos: una distancia y el concepto de densidad. Creo que está al alcance de cualquier estudiante de primero de matemáticas e, incluso, de primer curso de ingenierías y física. Y si hay algo que no entiendes, pues ya sabes qué tienes que tratar de aprender.

Tito Eliatron Dixit

PD1: La referencia principal de esta demostración es la que aparece en J. Banks y otros, On Devaney’s definition of chaos, Amer. Math Month.99 4 (1992), 332-334. http://dx.doi.org/10.2307/2324899 Aunque la demostración no es exactamente la misma, sino que la he modificado lo suficiente como para no tener que introducir el concepto de transitividad topológica que es mucho menos intuitivo que el de existencia de órbita densa.

PD2: Esta entrada participa en la Edición 3.141 (Abril) del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog DesEquiLibros.

Fundamentos y ambigüedades

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Mon, 23 Apr 2012 01:14:59 PDT

Las preguntas que se refieren a los fundamentos de las matemáticas, a pesar de haber sido tratadas por muchos en los últimos tiempos, carecen todavía de una solución satisfactoria. La dificultad tiene su origen principal en la ambigüedad del lenguaje.

Giuseppe Peano, vía Pat's Blog

Interesante reflexión la de Peano, más aún teniendo en cuenta que él abordó uno de los problemas fundamentales (en el sentido más estricto de la palabra) de las matemáticas, como es el concepto de Número. Ahora que lo pienso, esta cita va muy en la línea de la que aparece en el último número del Boletín de la RSME (si no funciona el enlace, esperad, que es que todavía no habrán subido el último boletín, pero la url es la correcta).
Así a botepronto, quizás los problemas que dieron lugar al Cálculo diferencial (como el de la catenaria), esos problemas que se carteaban gente como Huygens, Jakob Bernoulli, Newton... pueden ser un ejemplo de esta situación. Hasta que no se tuvo la herramienta adecuada para tratar el problema, no se pudo resolver.

¿Se os ocurren a vosotros otros ejemplos?

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 3.141 de abril del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog DesEquiLIBROS.

Sobre la irracionalidad de las raíces de los naturales

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Thu, 19 Apr 2012 01:00:00 PDT

Creo que de todos es conocido el hecho de que es irracional. Incluso muchos de vosotros seríais capaces de darme una demostración. Los griegos clásicos, coetáneos de Pitágoras, fueron capaces de demostrar que todas las raíces de números naturales entre 2 y 17 (excepto 4, 9 y 16) eran números irracionales. El motivo por el que pararon en 17 no se sabe con certeza, pero parece que la demostración usada (por Teodoro de Cirene) tenía un carácter geométrico que impedía ir más allá. A lo mejor, la Espiral de Teodoro puede tener algo que ver.

En el presente post vamos a demostrar que la raíz cuadrada de un número natural que no sea un cuadrado perfecto, debe ser irracional. Y lo vamos a probar usando métodos que hasta el propio Pitágoras podría haber conocido. Vamos allá.

Tomemos un número natural que no sea un cuadrado perfecto. Supongamos, por reducción al absurdo, que es racional, es decir, donde y son naturales (con , por si eres de los que cuenta el cero entre los naturales). Como no es un cuadrado perfecto, es claro que no es natural, por lo que podemos encontrar de forma que , luego .

Como , elevando al cuadrado y quitando denominadores se consigue que . Si ahora restamos en ambos miembros y sacamos factor común llegamos a que , y de aquí es fácil deducir que .

Sabemos que , por lo tanto, , de donde .

Por otro lado, como , se tiene que . Pero ya sabemos que , por lo que o lo que es lo mismo, .

Si llamamos y , lo que acabamos de probar es lo siguiente. Si con y , entonces existen otro par de naturales tales que , y . Repitiendo este proceso, partiendo de , encontraremos otro par de naturales tales que , y .Como podéis imaginar, este proceso lo podemos repetir ad infinitum... y encontraríamos sucesiones infinitas de naturales estrictamente decrecientes, lo que es una clara contradicción, pues los números naturales tienen un primer elemento.

Por consiguiente, la hipótesis de partida ha de ser falsa y nunca podremos encontrar números naturales tales que , o dicho de otro modo, es irracional.

Este método de demostración, en realidad, es una variante de la inducción que se conoce como descenso infinito y fue desarrollado por Pierre de Fermat. De hecho es posible que hayas visto antes otra demostración por descenso infinito... la de la irracionalidad de basada en la paridad. Y si tienes un poco de paciencia... quizás te enseñe alguna que otra curiosa demostración en este mismo blog.

Fuentes:
Infinite descent en Wikipedia (En).
Y. Sagher, What Pythagoras could have done, Amer. Math. Monthly 95 (1988), 117.

Tito Eliatron Dixit

Premio Carnaval de Matemáticas: Marzo de 2012

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Mon, 16 Apr 2012 00:30:00 PDT

Ya han concluido las votaciones del Premio Carnaval de Matemáticas en su Edición 3.14 de Marzo de 2012 y tenemos un destacado ganador.

Con 5 votos, se trata del artículo Frikismo matemático plasmado en exámenes del blog Gaussianos.

En este artículo, el bueno de ^DiAmOnD^ hace una amplísima y genial recopilación de exámenes de matemáticas en donde sale a la luz la vena friki de todo profesor de esta asignatura. Sinceramente me he quedado con las ganas de poder entrar en esta lista, y prometo que algún día entraré.

Quiero también hacer mención a que con éste son 3 las ocasiones en las que Gaussianos ha conseguido el premio Carnaval de Matemáticas. Todo un récord sólo al alcance de pocos privilegiados ¿verdad Clara Grima?

Pero además de la genialidad de Gaussianos, hay otros artículos que han sido votados 1 vez. Se trata de El fabuloso arte del origami computacional, De la multiplicación rusa a la exponenciación modular, Teorema de la semana: el de Szemerédi, El juego de la serpiente de Rubik y el teorema triangulación, La curva de Hilbert y Cuéntame un cuento (II).

Enhorabuena al magnífico ganador, a todos los nominados y a todos los que participaron. Y animaros, de nuevo, a participar en la Edición 3,141 que se celebrará del 23 al 29 de abril en DesEquiLibros.

Tito Eliatron Dixit

Carnaval de Matemáticas. Edición 3.141: 23-29 Abril

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Thu, 12 Apr 2012 00:52:11 PDT

Ya llegó la primavera y con ella el ~~mes de mayo~~ Carnaval de Matemáticas en su edición 3.141 del mes de Abril.

¿Edición 3.141? ¿Eso qué es lo que es? Pues muy fácil. Tal y como ya dijera en el anuncio de la edición anterior, las diferentes ediciones del tercer año del Carnaval de Matemáticas las vamos a ir enumerando según los decimales de . Así, la primera edición del tercer año fue la Edición 3.1; la segunda edición del tercer año fue la 3.14; y claro, la tercera edición del tercer año es la 3.141. ¿Imaginas qué numeración tendrá la siguiente edición? Una pista, no será la 3.1416.

Bueno que no me enrollo más que todo esto es para anunciaros que ya está convocada la Edición 3.141 de Abril de 2012 y que se celebrará del 23 al 29 de abril en el blog DesEquiLIBROS.

La dinámica será la habitual (nada de Efectos Mariposas ni cosas así). Para participar bastará con publicar un artículo que tenga alguna relación (por vaga que ésta sea) con las Matemáticas en tu propio blog, o bien si no lo tienes, en la web del Carnaval de Matemáticas. Eso sí, dentro del post has de incluir un enlace a la web del Carnaval de Matemáticas y otro al blog anfitrión, en este caso DesEquiLIBROS. Una opción sería escribir, al final o al principio del artículo, algo como lo que sigue:

PD: Esta entrada participa en la Edición 3.141 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog DesEquiLIBROS.

Una vez que lo publiques, siempre entre las fechas indicadas en la edición correspondiente, debes hacérselo saber al anfitrión. Las opciones son varias: por mail al blog anfitrión (tienes el correo en el propio blog DesEquiLIBROS), bien dejando un comentario en el anuncio de la edición.

También podéis dejar una reseña de vuestra aportación en la web del Carnaval, o en la página de Facebook del Carnaval, o enviar al Twitter del Carnaval @CarnaMat un tweet con el enlace correspondiente y el hashtag #CarnaMatAbril.

Si escribes la reseña en la web del Carnaval de Matemáticas automáticamente aparecerá en el Timeline de @CarnaMat. Eso sí, te recomiendo que el nombre del usuario de la web del Carnaval de Matemáticas coincida con el de Twitter para que te llegue la mención a ti también.

Y si no queréis esperar, podésis pasar un buen rato (pero bueno bueno) reviviendo las ediciones anteriores del Carnaval de Matemáticas:

Primer Año:

Primera Edición(15/02/2010) en Tito Eliatron Dixit.
Segunda Edición (15/03/2010) en Juan de Mairena [v.2.71828] (Parte 1 y Parte 2).
Tercera Edición (19/04/2010) en Geometría Dinámica.
Cuarta Edición (17/05/2010) en Zurditorium.
Quinta Edición (21/06/2010) en Ciencia por Barcedavid.
Sexta Edición (27/09/2010) en el Blog de Sangakoo.
Séptima Edición (25/10/2010) en El Máquina de Turing.
Octava Edición (21/11/2010) en Los Matemáticos no son Gente Seria.
Novena Edición (20/12/2010) en Rescoldos en la Trébede.
Décima Edición (31/01/2011) en La Ciencia de la Mula Francis.

Segundo Año:

Edición 2.1 (21/02/2011) en Tito Eliatron Dixit.
Edición 2.2 (28/03/2011) en Gaussianos
Edición 2.3 (21/04/2011) en Los Matemáticos no son gente seria
Edición 2.4 (27/05/2011) en Seis palabras
Edición 2.5 (02/07/2011) en Juegos Topológicos
Edición 2.6 (26/09/2011) en La Vaca Esférica
Edición 2.7 (25/10/2011) en La Aventura de la Ciencia
Edición 2.8 (29/11/2011) en Ciencia Conjunta
Edición 2.9 (26/12/2011) en Que no te aburran las M@tes.
Edición 2.X (30/01/2012) en Resistencia Numantina.

Tercer Año

Edición 3.1 (28/02/2012) en Scientia Potentia Est.
Edición 3.14 (26/03/2012) en Hablando de Ciencia.

Para finalizar, recordaros que aún estáis a tiempo de votar la mejor entrada de la Edición 3.14 para los Premios Carnaval de Matemáticas.

Tito Eliatron Dixit

El matemático definitivo

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Mon, 09 Apr 2012 03:28:49 PDT

Un matemático es una persona que encuentra analogías entre teoremas; un mejor matemático es aquél que puede ver analogías entre las demostraciones y el mejor matemático puede encontrar analogías entre las teorías. Uno puede imaginar que el matemático definitivo es aquél que puede ver analogías entre analogías.

Stehan Banach, matemático definitivo.
vía Pat's Blog

Para mí, que trabajo con operadores en espacios... de Banach, este matemático ~~francés~~ polaco (gracias @rrostfel y que Gauss me perdone) que desarrollara su trabajo a principios del siglo XX, no puede ser menos que un matemático definitivo. Creo que hay claros ejemplos de este tipo de matemáticos a lo largo del tiempo: Euclides, Gauss, Euler, Hilbert, Gödel,...

Pero creo que podríamos intentar hacer una bonita lista entre todos. Ya os he dejado algunos ejemplos, vosotros sois libres de ampliarlos o eliminarlos. Pero más que nada me gustaría saber las razones por las que los incluís o quitáis de la lista.

Tito Eliatron Dixit

El universo matemático de los cuasicristales: el vídeo

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Tue, 03 Apr 2012 00:25:00 PDT

El pasado 11 de noviembre tuvo lugar la conferencia El universo matemático de los cuasicristales,en la que César Tomé, autor del blog Experientia Docet y colaborador de Amazings nos habló del último premio Nobel de Química y de su impresionante relación con las matemáticas.

La charla fue de un nivel impresionante, tanto por el contenido como por la calidad del conferenciante (aunque para mí, siempre preferiré la sobremesa de ese día). Si no la pudiste ver, aquí os la dejo para que podáis disfrutar de ella.

Como en anteriores ocasiones, quiero agradecer a @Raven_Neo y @maculamorbida por haber hecho posible tanto la emisión como la grabación y edición de esta charla. Así que si la calidad de la imagen o del sonido no es todo lo buena que querrías que tuviera, piensa que lo hacen con medios propios y de forma totalmente desinteresada.

Tito Eliatron Dixit

Cocientes, L'Hôpital y más allá.

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Fri, 30 Mar 2012 00:15:00 PDT

Si has seguido un curso básico de cálculo o si tus profesores de bachillerato han dado todo lo que debían dar, o incluso si alguna vez te has encontrado con un límite complicadete, seguro que conoces la Regla de L'Hôpital, y si no la conoces o bien quieres conocer una curiosa historia sobre ella, te recomiendo leer la entrada ¿La regla de L'Hôpital o la regla de Bernoulli?.

Pero claro, esta regla sólo es válida, y esto lo suelen olvidar a menudo muchos alumnos, cuando nos encontramos con una indeterminación del cociente ó , y no existe algo similar para el resto de indeterminaciones (del producto: , de la diferencia o de la potencia , e ).
La razón de esta ausencia es que cualquiera de las indeterminaciones anteriores puede convertirse, más o menos fácilmente, en una indeterminación del cociente.

El caso más sencillo es el del producto. Si , entonces basta con enviar una de las funciones al denominadorpara obtener una indeterminación del cociento. En efecto, si mando la primera, resulta que y como se tiene que , por lo que el cociente anterior es una indeterminación del tipo . De forma análoga, si se manda la segunda función, obtenemos que y la función del cociente ya que , por lo que este segundo cociente es de la forma . En cualquiera de los dos casos, podemos aplicar la Regla de L'Hôpital. Por ejemplo, y en este segundo límite, podemos aplicar L'Hôpital y obtener que .

En el caso de las indeterminaciones de las potencias,basta con tomar logaritmos y utilizar que éste es una función continua, por lo que se intercambia con el símbolo límite. Por ejemplo, si es una de las 3 indeterminaciones, en lugar de calcular el límite lo que hacemos es calcular . Y hemos transformado una potencia en un producto. Lo curioso del caso es que si es una indeterminación de potencia, es una indeterminación del producto (y viceversa): se convierte en se convierte en e se convierte en . Por cierto, si crees que es una indeterminación, ten en cuenta que al tomar logaritmos se convierte en , que no es una indeterminación.

En cualquiera de los 3 casos, nos hemos reducido al caso de una indeterminación del producto, y ésta la sabemos convertir en un cociente para aplicar L'Hôpital. Por cierto, suele ser recomendable no pasar al cociente el logaritmo.

Para concluir, vamos a tratar la indeterminación de la diferencia, es decir un límite del tipo donde . Esta es ya algo más complicada y hay que jugar un poco con la expresión:

Y ahora, ¿qué le ocurre a esta última expresión? Pues que es una indeterminación del tipo . En efecto, como , se tiene que , luego el numerador tiende a 0. Además, es claro que por lo que el denominador también tiende a 0.

En teoría, todo esto que os he contado está muy bien, pero resulta que en la práctica, este método puede resultar muy complicado, por lo que se suelen utilizar otros. Uno de los más usados, en especial cuando hay radicales de por medio, es multiplicar por el (mal llamado) conjugado, es decir, multiplicar y dividir por la expresión . De esta forma, creamos un denominador que tiende a y en el numerador nos encontramos con una expresión notable: suma por diferencia, que es igual a la diferencia de cuadrados. De esta forma, si hay raíces cuadradas implicadas, desaparecen y quizás (sólo quizás), pueda conseguirse un numerador sencillo que tienda bien a un número (con lo que desaparecería la indeterminación), bien a (con lo que tendríamos una indeterminación del tipo y podríamos aplicar L'Hôpital).

Bueno, si has llegado hasta aquí, espero no haberte aburrido demasiado y que hayas aprendido (o recordado) algunos truquitos para calcular límites.

Tito Eliatron Dixit

Una legítima posibilidad matemática

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Tue, 27 Mar 2012 08:22:08 PDT

Conjeturo que no existe un buen algoritmo para el Problema del Viajante. Mis razones son las mismas que para cualquier conjetura matemática: (1) Se trata de una legítima posibilidad matemática, y (2) no lo sé.

Jack Edmonds, vía The Math Kid.

Hace tiempo que no incluía una cita en el blog y esta semana en la que ando muy ajetreado, me parece un buen momento. Además, me sirve para introducir el tema de las conjeturas en matemáticas. ¿Son todas las conjeturas legítimas? ¿o quizás hay que aportar datos a favor de una cierta posición en un problema? Evidentemente, la fuerza de una conjetura también reside en la reputación de quien la propone. No es lo mismo que un servidor conjeture que la Hipótesis de Riemann es falsa, que lo haga Terry Tao, por ejemplo.

¿Qué opináis vosotros?

Tito Eliatron Dixit

Las matemáticas de la vida (gracias a la química): el vídeo de la charla.

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Fri, 23 Mar 2012 07:37:13 PDT

Hace ya 3 meses que tuvo lugar la conferencia Las Matemáticas de la Vida (gracias a la Química) con la que nos deleitó Francisco Villatoro Machuca, autor del blog La Ciencia de la Mula Francis y colaborador de Amazings, y que ya se emitió en directo a través de Amazings.

Pero si te perdiste esta charla, o bien te quedaste (como yo) embelesado con ella y quieres revivir esos momentos, ahora tienes la oportunidad.

Aquí os dejo el vídeo de la charla (quizás no con la calidad de sonido deseada).

Quiero agradecer, otra vez, a @Raven_Neo y @maculamorbida por haber hecho posible tanto la emisión como la grabación y edición de esta charla. Todo ello con medios propios y de forma totalmente desinteresada. Chicos, sois la leche.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Hablando de Ciencia.

Caos lineal ¿una paradoja?

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Thu, 26 Apr 2012 04:06:43 PDT

Según una opinión muy extendida, el caos sólo puede ocurrir dentro de un sistema no lineal. Sin embargo, el caos lineal existe. Y el desconocimiento de este fenómeno se puede explicar fácilmente.

El efecto mariposa

A finales del siglo XIX, los matemáticos se esforzaban por comprender la naturaleza del caos. Un fenómeno que a menudo se asocia a este concepto es el conocido como Efecto Mariposa

El simple aleteo de las alas de una mariposa en Brasil puede provocar un tornado en Texas.

Imagen obra de Francisco Manuel

Dicho de otro modo, una perturbación mínima podría tener consecuencias importantes a largo plazo. En matemáticas, se habla de dependencia sensible respecto de las condiciones iniciales.

Otra característica del caos es la existencia de condiciones iniciales que conducen a cualquier configuración posible del sistema: Una nave espacial que parta de un lugar privilegiado acabará visitando cada rincón del espacio. En la jerga matemática, su trayectoria recibiría el nombre de órbita densa.

El caos en matemáticas

En 1986, el matemático norteamericano R. Devaney [1] propuso una definición de caos que, a primera vista, impone condiciones muy fuertes. Según él, un sistema dinámico es caótico si se verifican, a la vez, las tres propiedades siguientes:

Dependencia sensible respecto de las condiciones iniciales.
Existe una órbita densa.
Cerca de cada punto, siempre pasa una órbita periódica.

Las dos últimas condiciones implican que, cerca de cada punto, siempre podemos encontrar una órbita densa y una órbita periódica.

Sistemas Dinámicos
Un Sistema Dinámico (discreto) viene dado por una función de un conjunto en sí mismo, es decir, .
Si llamamos al estado inicial, los siguientes estados se calculan utilizando la fórmula , con , donde se interpreta como el tiempo. La órbita de un punto viene dada por la sucesión .

Dependencia sensible respecto de las condiciones iniciales: una mesa de billar con obstáculo.
Dos bolas lanzadas con ángulos similares, pero con comportamientos muy diferentes.


Una órbita periódica: el cometa Halley Este cometa gira alrededor del sol en una órbita elíptica. Su periodo es de 75 años.	Una órbita densa dentro de un anillo

Un ejemplo sencillo.

¿Son demasiado fuertes las condiciones impuestas por Devaney? Al contrario. Estas condiciones las verifica un sistema dinámico muy simple: el descrito por la función con . Por ejemplo, si elegimos como estado inicial, no encontramos con que , después y . Como coincide con , se deduce que la órbita de viene dada por . El punto tiene una órbita periódica de periodo 3.

Es fácil encontrar otras órbitas periódicas. De hecho, cerca de cada punto se puede encontrar otro punto con órbita periódica. La tercera condición de caos según Devaney es, por tanto, verificada por este sistema.

Con respecto a la dependencia sensible de las condiciones iniciales, vamos a ilustrarlo con un ejemplo, que se muestra en la tabla de más abajo. Para el estado inicial , se obtiene que , mientras que para el estado inicial , ligeramente diferente, se obtiene que bastante alejado de .

	Órbita original	Órbita perturbada
	0.16	0.17
	0.32	0.34
	0.64	0.68
	0.72	0.64
	0.56	0.72
	0.88	0.56
	0.24	0.88

Si bien esto es más difícil de ver, también se puede demostrar que este sistema tiene órbitas densas. El sistema dinámico dado por la función es caótico en el sentido de Devaney. Éste es un ejemplo muy simple de sistema no lineal de dimensión finita, pero ¿qué pasa con los sistemas lineales?

Sistemas no lineales
El sistema definido por la función es no lineal. En efecto, si fuera lineal, se tendría que para cada par de puntos e , sería .
Sin embargo, si e , sería ., mientras que y, por lo tanto, .

Existencia de caos lineal

En 1991, G. Godefroy y J.H. Shapiro [2] proponen aceptar la definición de caos en el sentido de Devaney, también para sistemas lineales. Tenían en mente un resultado clásico de G.R. MacLane de 1952 [3].

Este último afirmó que el operador de derivación que asocia a cada función derivable su derivada , posee una órbita densa. La órbita de una función indefinidamente derivable bajo este operador viene dada por sus sucesivas derivadas . Por lo tanto, según MacLane, existe una función indefinidamente derivable tal que para cualquier otra función , podemos encontrar una derivada -ésima de que aproxima a : . Por otra parte, es fácil encontrar puntos periódicos de este sistema. Por ejemplo, dado que , la función exponencial es un punto de periodo 1. La función seno, por su parte, es un punto de periodo 4. Estudiando más en profundidad el operador derivación, Godefroy y Shapiro fueron capaces de demostrar que posee un conjunto denso de puntos periódicos y que es, por tanto, caótico en el sentido de Devaney.

El caos lineal, por tanto, existe.

Y sorprendentemente, y como prueba el operador de derivación, no es ni siquiera necesario construir operadores de una gran complejidad para observar este fenómeno.

Un sistema lineal.
El sistema dinámico definido por el operador derivación es lineal.
Si y son dos funciones derivables y es un número real cualquiera, se tiene que y .

¿De dónde proviene el desconocimiento del caos lineal?

Imponer la linealidad a un sistema, constituye, a pesar de todo, una restricción importante: el caos lineal sólo puede ser observado en sistemas en espacios de dimensión infinita, como por ejemplo, el espacio de todas las funciones indefinidamente derivables. Es probable que la imposibilidad del caos lineal en dimensión finita sea la base de este desconocimiento. Sin embargo, una vez que esta barrera se cruza, todo es posible. Un resultado de N. Feldman de 2001 [4] muestra que un sistema lineal de dimensión infinita puede adoptar cualquier comportamiento irregular observado en un sistema no lineal.

Un espacio de dimensión infinita.
El espacio de las funciones infinitamente derivables es de dimensión infinita, ya que tiene un número infinito de funciones básicas con las que se pueden representar a todas las demás funciones de este espacio.
Por ejemplo, los monomios , con forman un conjunto infinito e independiente: ningún monomio se puede expresar como una combinación lineal de otros monomios. Sin embargo, para llegar a una base, ¡todavía es necesario añadir otras funciones!

Una teoría en plena expansión…

El trabajo de Godefroy y Shapiro ha sido un verdadero desencadenante en la investigación sobre caos lineal. Hoy en día, numerosos equipos de todo el mundo estudian este fenómeno. En 2004, dos jóvenes matemáticos franceses, S. Grivaux y F. Bayart [5], observaron un comportamiento sin precedentes: existen órbitas, llamadas frecuentemente recurrentes, que son densas y, sin embargo, muestran un fuerte aspecto de periodicidad. Más concretamente, si nos fijamos en un punto cualquiera del espacio, existe un tiempo tal que la órbita pasa cerca de ese punto al menos una vez antes del instante , al menos dos veces antes del instante y así sucesivamente.

Intentemos imaginar por un momento el comportamiento de una nave dentro de nuestro universo que siga una trayectoria con esta propiedad. Si por ejemplo, para el Sol tenemos que años, la nave pasaría cerca del Sol al menos 1 vez en 10 años, al menos dos veces en 20 años, al menos tres veces en 30 años, y así sucesivamente. Además, la nave visitaría, de igual modo, cada estrella del universo con un periodo diferente. La existencia de tales órbitas es difícilmente concebible.

… y de cuestiones todavía abiertas

Si bien un comportamiento como éste no había sido observado previamente para un sistema no lineal, Grivaux y Bayart demostraron que el operador de derivación posee una órbita frecuentemente recurrente. Por tanto, parece natural preguntarse si cualquier sistema caótico posee una tal órbita. Nadie sabe aún la respuesta a esta pregunta. El caos lineal todavía no nos ha contado todos sus secretos

Tito Eliatron Dixit

Bibliografía (por orden de aparición):
[1] L.R.Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems, Benjamin/Cumings, Menlo Park, CA, 1986.
[2] G.Godefroy y J.H.Shapiro, Operators with dense, invariant, cyclic vector manifolds, J. Funct. Anal. 98 (1991), 229-269.
[3] G.R.MacLane, Sequences of derivatives and normal families, J. Analyse Math. 2 (1952/53), 72-87.
[4] N.Feldman, Linear Chaos? (2001) PDF disponible en http://home.wlu.edu/~feldmann/pdffiles/LinearChaos.pdf
[5] F.Bayart y S.Grivaux, Hypercyclicité: le rôle du spectre ponctuel unimodulaire, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 338 (2004), 703-708.

Nota de Tito Eliatron: El presente artículo es una traducción de un original de K.G.Grosse-Erdmann y su alumno Quentin Menet publicado en Interstices el 24 de febrero. El primer autor ha dado permiso a este blog para su traducción. Las imágenes que no tenían copyright, han sido extraídas del propio artículo original.

PD: Esta entrada participa en la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Hablando de Ciencia.

Salchichas, panes y algo de matemáticas

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Thu, 22 Mar 2012 01:32:52 PDT

Vamos a recordar un acertijo que ha traído de cabeza a las mentes más preclaras de la humanidad, desde su aparición en la película "El Monje" (Bulletproof Monk):

¿Por qué las salchichas vienen en paquetes de 10 y los panecillos en paquetes de 8?

Si habéis visto la película, la respuesta que se da al final, no os satisfará (Aviso, la calidad del vídeo que he encontrado es peor que mala... pero es la única)

Yo os traigo una respuesta mucho mejor, dónde va a parar. ¿Quieres averiguarla?

Vale, pues la razón de que las salchichas vengan en paquetes de 10 y los panecillos en paquetes de 8 es para que los profesores de matemáticas tengan la oportunidad de enseñar el Mínimo Común Múltiplo a sus alumnos.

Hala, ¿cómo te has quedado? Pues sí. Me parece una forma curiosa de aplicar este concepto matemático. Para el que no lo recuerde, el mínimo común múltiplo de dos números y es el menor de los múltiplos comunes de ambos. Dicho de otro modo, es el mínimo común múltiplo de y (y se escribe ) si existen otros enteros tales que y, además, es el más pequeño de todos los números que cumplen esto.

¿Y qué tiene que ver esto con lo de los panes y las salchichas? Pues muy sencillo. ¿Cuántos paquetes de salchichas y de panecillos hay que comprar para poder hacer perritos calientes y que no sobre ni salchichas ni panecillos? Para ello, basta calcular el y hacer una simple división: paquetes de salchichas y paquetes de panecillos.

En general, si las salchichas vienen en paquetes de salchichas y los panecillos en paquetes de , basta comprar paquetes de salchichas y paquetes de panecillos.

Y ahora os dejo otro acertijo. ¿Qué pasa si soy un glotón y pongo 2 salchicas en cada panecillo? ¿Y si pongo salchichas por panecillo? Hala, ya tenéis en qué pensar.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión en esta ocasión es el blog Hablando de Ciencia.

Premio Carnaval de Matemáticas: Febrero 2012

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Fri, 16 Mar 2012 03:04:25 PDT

Pues ya han concluido las votaciones del Premio Carnaval de Matemáticas en su Edición 3.1 de Febrero de 2012 y tenemos un destacado ganador.

Con 5 votos, se trata del artículo En las matemáticas todos somos importantes del blog Los matemáticos no son gente seria, de nuestro amigo y 2 veces anfitrión Juan Martínez Tébar. Ene este artículo hace una interesantísima reflexión sobre la situación de la enseñanza de las matemáticas, desde todos los niveles. En cada uno de ellos, parece que el culpable de cómo llegan los alumnos siempre es el profesor del nivel anterior, pero quizás haya que ver las cosas desde otro punto de vista. Si quieres saber algo más, te recomiendo que leas el artículo de Juan en el que, por cierto, aparece nombrado un servidor.

Aquí les dejo el distintivo ganador:

En esta ocasión, también hay otros artículos nominados, pero todos con 1 voto. Se trata de Cómo obtener ecuaciones multigrados, Sobre los cristales de sal y Estadística Falaz (o más bien fálica).

Desde aquí quiero dar la enhorabuena al ganador y animaros a participar en la próxima edición del Carnaval de Matemáticas, la Edición 3.14.

Tito Eliatron Dixit

Ahora en serio: Feliz día de τ/2

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Wed, 14 Mar 2012 02:58:57 PDT

Ya está bien de idolatrar al número π y recordemos que, en realidad, π está mal.Os dejo, a continuación, un vídeo del Michel Hartl, autor del Manifiesto Tau, en el que nos explica sus motivos para abandonar la π-dolatría y adoptar la τ-tandad. La charla la ofreció el pasado día de Tau (28 de junio ó 6/28 en su forma anglosajona) en el California Institute of Technology. Os dejo con él.

Que lo disfrutéis y Feliz día de τ/2

Tito Eliatron Dixit

Paradox: Feliz día de Pi

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Wed, 14 Mar 2012 01:15:01 PDT

Como ya viene siendo habitual en la blogosfera geek y en este blog en particular, hoy, 14 de marzo, se celebra el día de π, aunque algunos dirán que, en realidad, hoy se celebra el día de τ/2. Y para celebrarlo os dejo eta maravilla de vídeo que he encontrado en youtube y que se titula PARADOX.

Que ustedes lo disfruten.

Tito Eliatron Dixit

Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas: del 19 al 25 de marzo

noreply@blogger.com (Tito Eliatron) — Mon, 12 Mar 2012 02:43:08 PDT

¿Cómo? ¿Edición 3.14? Este Tito Eliatron está π-rado.

Pues un poco sí, para qué engañarnos. Pero es que marzo es un mes muy especial. Es el mes en que se celebra el día de π. Y bueno, ya que estamos en las ediciones 3.xxx, vamos a imitar a Donald Knuth con el MikTeX y vamos a ir nombrando las nuevas ediciones de nuestro Carnaval de Matemáticas con los sucesivos decimales de π.

Así que la segunda edición de este año, será la Edición 3.14 y ya tiene anuncio y anfitrión, que será Hablando de Ciencia.

Las instrucciones para participar siguen siendo igual de sencillas que la primera vez. Y desde el blog anfitrión tienen una forma muy fibonaccera de contárnoslo:

1º Piensen en aquello que siempre quisieron decir sobre las matemáticas pero nunca se atrevieron a contar.

1º Cuéntenlo.

2º Si tienen un blog, publíquenlo en él durante la semana del 19 al 25 de marzo, incluyendo un enlace a la página del Carnaval de Matemáticas (http://carnavaldematematicas.bligoo.es/) y otro a este mismo blog.

3º Si no lo tienen, pueden enviar su artículo por correo electrónico a hablandodeciencia@gmail.com para que lo publiquemos en su nombre en la página del Carnaval.

5º Avisen a los organizadores de la publicación del artículo en la misma cuenta de correo, en la página del Carnaval de Matemáticas o en el grupo de Facebook “Carnaval de Matemáticas”.

8º Aguarden pacientemente hasta el martes 27 de marzo, día en el que publicaremos en Hablando de Ciencia el resumen de esta edición del Carnaval.

13º No se olviden de disfrutar.

Y recordad que todos los que hagáis una reseña en la web del Carnaval de Matemáticas, tendréis automáticamente un enlace en la cuenta twitter del Carnaval @CarnaMat con el el hashtag #CarnaMat314. Además, procuraremos hacer RT de todas las entradas que nos vayan llegando.

Y si no queréis esperar, podésis pasar un buen rato (pero bueno bueno) reviviendo las ediciones anteriores del Carnaval de Matemáticas:

Primer Año:

Primera Edición(15/02/2010) en Tito Eliatron Dixit.
Segunda Edición (15/03/2010) en Juan de Mairena [v.2.71828] (Parte 1 y Parte 2).
Tercera Edición (19/04/2010) en Geometría Dinámica.
Cuarta Edición (17/05/2010) en Zurditorium.
Quinta Edición (21/06/2010) en Ciencia por Barcedavid.
Sexta Edición (27/09/2010) en el Blog de Sangakoo.
Séptima Edición (25/10/2010) en El Máquina de Turing.
Octava Edición (21/11/2010) en Los Matemáticos no son Gente Seria.
Novena Edición (20/12/2010) en Rescoldos en la Trébede.
Décima Edición (31/01/2011) en La Ciencia de la Mula Francis.

Segundo Año:

Edición 2.1 (21/02/2011) en Tito Eliatron Dixit.
Edición 2.2 (28/03/2011) en Gaussianos
Edición 2.3 (21/04/2011) en Los Matemáticos no son gente seria
Edición 2.4 (27/05/2011) en Seis palabras
Edición 2.5 (02/07/2011) en Juegos Topológicos
Edición 2.6 (26/09/2011) en La Vaca Esférica
Edición 2.7 (25/10/2011) en La Aventura de la Ciencia
Edición 2.8 (29/11/2011) en Ciencia Conjunta
Edición 2.9 (26/12/2011) en Que no te aburran las M@tes.
Edición 2.X (30/01/2012) en Resistencia Numantina.

Tercer Año

Edición 3.1 (28/02/2012) en Scientia Potentia Est

Así que ya sabéis, otro mes más a disfrutar de las Matemáticas con nuestro Carnaval de Matemáticas.

Tito Eliatron Dixit