Tito Eliatron Dixit

Premio #CarnaMatAbril 2013

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Tue, 21 May 2013 13:16:38 PDT

Con un poco de retraso, traemos el fallo (¿por qué se llamará fallo a la decisión de un jurado?) del jurado popular del Premio Carnaval de Matemáticas en su Edición de Abril de 2013.

Y el ganador, con 18 puntos repartidos en 3 votos de 4 puntos y otros 3 de 2 puntos, es

Meridianas, analemas e hipopedes

del blog Revista Digital de Matemáticas Sacit Ámetam

Aquí os dejo con el distintivo del ganador.

Completan el podio la entrada El gran desafío de los increíbles, mucho más fácil de lo que parece, que ha quedado en 2º lugar con 14 puntos (4+4+4+1+1); y Salvando Arquímedes, que ha sido 3ª con 11 puntos (4+4+2+1).

El resto de entradas votadas son las siguientes:

Con 10 puntos y 5 votos (4+2+2+1+1): Números Redondos.
Con 8 puntos y 3 votos (4+2+2): Thíndar y los números elares.
Con 4 puntos y 1 voto: Covering a float with 3D polyfelt.
Con 2 puntos y 2 votos (1+1): Mi casa contiene más de 200.000 cubos de Rubik
Con 2 puntos y 1 voto:

Con 1 punto y 1 voto:

También quiero destacar al blog ZTFNews que ha sido el único en esta edición que ha logrado más de una entrada votada, en concreto, la 8ª, 9ª y 12ª.

Para concluir, quiero decir que el premio de esta edición de abril es meramente honorífico. Sin embargo esto cambia en la próxima edición de Mayo (que ya está en marcha) y en la que habrá premios físicos (libros) para los 3 primeros clasificados de la edición.

Enhorabuena al ganador y ya sabes, participar en la Edición 4.1231 puede tener premio. ¿Vas a perder la oportunidad de conseguirlo?

Tito Eliatron Dixit

Brevemáticas V: 1089

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Mon, 20 May 2013 00:00:01 PDT

Escribe en un papel un número de 3 cifras, que no sea capicúa. Justo debajo, escribe el mismo número pero del revés (es decir, si has escrito el 752, pon debajo el 257). Ahora réstalos (si has sido tan listo como para no tener en cuenta cual de los 2 es mayor... toma el valor absoluto de dicha diferencia). Siguiendo con el ejemplo anterior, 752-257=495. Ahora debajo del resultado, vuelve a escribirlo... pero del revés (en nuestro ejemplo, como la diferencia era 495, escribimos debajo 594) Ah!, ojo, si te sale un número de 2 cifras, entendemos que la centena es 0 y la tenemos en cuenta. Ahora súmalos y verás como te ha salido... el mismo número del título del post: 1089.

Bueno, vamos a acudir a la típica frase: No lo llames magia, llámalo MATEMÁTICAS. Vamos a ver por qué funciona este pequeño truco, que a los más pequeños de las casas suele dejar alucinados.

Elijo un número de 3 cifras que no sea capicúa, es decir, tal que . Nuestro número, en realidad es . Si ahora lo escribimos del revés, tomaremos el número .

Vamos a restar estos dos número. Para ello, sin pérdida de generalidad, supondremos , o lo que es lo mismo, el número mayor de los dos es el primero que hemos escrito y no el revertido (si fuese al revés, es decir, , basta tener en cuenta que si revertimos el número revertido, volvemos a obtener el número original).

Al lío, restemos. . Pero ojo, que esto no quiere decir que el número elegido sea el que tiene por centenas a , por decenas al y por unidades al . No. Y la respuesta es que NO porque . Así que veamos qué número es en realidad.

Muy sencillo, basta con ir llevándose de 1 en 1 para obtener una unidad positiva. Me explico:
.
Y ahora sí que podemos decir que el resultado es el que tiene por centenas a , por decenas al 9 y por unidades a .

Sigamos con el truco. Revirtamos el número: y sumémoslo al otro:

Y se acabó. Como veis, el resultado siempre sale 1089. Y el caso en que lo hemos salvado diciéndole a la persona a la que le hacemos el truco que tenga en cuenta el 0 de las centenas, si al hacer la diferencia le sale un número de 2 cifras.

Por cierto, si el número que tomamos como origen fuese capicúa, entonces el revertido coincide y la diferencia nos saldría 000... y el truco deja de funcionar. Por eso pedimos que no sea de este tipo. Otra posibilidad para hacérselo a varias personas, es decir que cada una de ellas piense un número del 0 al 9 diferente y formar un número con ellos y tomar ese como original.

Tito Eliatron Dixit

Referencias: Ruiz Domínguez, Xuxo (Mago Xuxo), Educando con magia.

PD: Esta entrada participa en la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matemáticas Interactivas y Manipulativas.

Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas: 20-26 de mayo

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Fri, 17 May 2013 00:45:57 PDT

Pues ya estamos en Mayo y, aunque con un poco de retraso, el anuncio de la nueva edición del Carnaval de Matemáticas ya está aquí.... y con sorpresas.

En esta ocasión, estamos ante la Edición 4.1231 que albergará el blog Matemáticas Interactivas y Manipulativas durante la próxima semana, es decir, del 20 al 26 de mayo.

La forma de participar es la habitual. Basta con escribir una entrada sobre algo relacionado con las matemáticas durante los días en que esta Edición 4.1231 está abierta y añadir a tu post un link a la web del Carnaval de Matemáticas y otro al blog anfitrión, v en esta ocasión. Un ejemplo sería lo siguiente:

Esta entrada participa en la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matemáticas Interactivas y Manipulativas.

Si no tienes blog, recuerda que, previo registro, siempre puedes escribir tu artículo en la web del Carnaval de Matemáticas. Además, allí podrás escribir una reseña de tu artículo (si lo publicas en tu propio blog). De esta forma, cualquier entrada que se publique en la web del Carnaval de Matemáticas, automáticamente aparecerá referenciada en la cuenta oficial de twitter (@CarnaMat) y en la página oficial de Facebook (CarnaMat en Facebook). En twitter utilizaremos el hashtag #CarnaMatMayo.

Pero como hemos dicho antes, esta Edición del Carnaval de Matemáticas trae sorpresas 1.0. Como viene siendo habitual desde el segundo año de vida, al final de cada edición se convocan el Premios a la Mejor Entrada de cada edición. Hasta ahora, se trataba de algo mermamente honorífico, pues el ganador recibía un emblema (diseñado por Carolina -@OKInfografia- de Ok Infografía) y una mención especial en la web del Carnaval de Matemáticas.

Pero esta edición vamos a cambiar. Y cambiamos gracias a una magnífica amiga: MATI (las de las mateaventuras) y su alter ego unopuntocerosil, Clara Grima, quien nos ha conseguido varios ejemplares de su último y flamante libro Hasta el Infinito y más allá, ilustrado por Raquel Garcia Ulldemolins.

Pues lo dicho, que esta edición inauguramos las Ediciones Patrocinadas del Carnaval de Matemáticas. Y el patrocinio consiste en que los 3 autores de las entradas más votadas en la presente edición, recibirán como premio un ejemplar del libro Hasta el Infinito y más allá, firmado y dedicado por la autora, Clara Grima.

Una vez que se produzca la votación, los autores de las 3 entradas más votadas (entendemos que son si hay 2 entradas del mismo autor, pasaremos a la siguiente, para que el libro tenga la máxima difusión posible... Vamos, que un mismo autor no recibirá 2 ejemplares, aunque tenga 2 entradas entre las más votadas) deberán ponerse en contacto con el Carnaval de Matemáticas (a través del formulario de contacto) para indicarnos una dirección de correo de España (no garantizamos que podamos enviarla fuera de España) en la que recibirá su ejemplar firmado.

Pues ya está todo dicho. Bueno, no todo. Os anuncio también, que esta no será la única edición patrocinada, y que esta idea va a seguir, al menos en 2 ediciones más (con total seguridad) y trataremos de conseguir más patrocinios.

Y para acabar, os dejo con la relación de todas las ediciones anteriores.

Primer Año

Primera Edición (15/02/2010) en Tito Eliatron Dixit.
Segunda Edición (15/03/2010) en Juan de Mairena [v.2.71828].
Tercera Edición (19/04/2010) en Geometría Dinámica.
Cuarta Edición (17/05/2010) en Zurditorium.
Quinta Edición (21/06/2010) en Ciencia por Barcedavid.
Sexta Edición (27/09/2010) en el Blog de Sangakoo.
Séptima Edición (25/10/2010) en El Máquina de Turing.
Octava Edición (21/11/2010) en Los Matemáticos no son Gente Seria.
Novena Edición (20/12/2010) en Rescoldos en la Trébede.
Décima Edición (31/01/2011) en La Ciencia de la Mula Francis.

Segundo Año

Edición 2.1 (21/02/2011) en Tito Eliatron Dixit
Edición 2.2 (28/03/2011) en Gaussianos
Edición 2.3 (24/04/2011) en Los matemáticos no son gente seria
Edición 2.4 (26/05/2011) en Seis Palabras Claras
Edición 2.5 (02/07/2011) en Juegos Topológicos
Edición 2.6 (26/09/2011) en La Vaca Esférica
Edición 2.7 (15/10/2011) en La Aventura de la Ciencia
Edición 2.8 (29/11/2011) en Ciencia Conjunta
Edición 2.9 (26/12/2011) en Que no te aburran las M@tes
Edición 2.X (30/01/2012) en Resistencia Numantina

Tercer Año

Edición 3.1 (28/02/2012) en Scientia Potentia Est
Edición 3.14 (26/03/2012) en Hablando de Ciencia
Edición 3.141 (04/05/2012) en DesEquiLIBROS
Edición 3.1415 (29/05/2012) en Gaussianos
Edición 3.14159 (29/06/2012) en Scientia
Edición 3.141592 (01/10/2012) en ZTFNews.org
Edición 3.1415926 (29/10/2012) en Series Divergentes
Edición 3.14159265 (02/12/2012) en Pimedios
Edición 3.141592653 (27/12/2012) en Que no te aburran las M@tes
Edición 3.1415926535 (30/01/2013) en La Aventura de la Ciencia.

Cuarto Año

Edición 4.1 (26/02/2013) en Tito Eliatron Dixit.
Edición 4.12 (25/03/2013) en High Ability Dimension
Edición 4.123 (01/05/2013) en Eulerianos.

Así que recuerda, participar en la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas puede tener premio. ¿Vas a perder la oportunidad de ganarlo?

Tito Eliatron Dixit

Posible prueba de la Conjetura débil de Goldbach

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Wed, 15 May 2013 00:48:37 PDT

Posible prueba de la conjetura impar de Goldbach arxiv.org/abs/1305.2897 por H. Helfgott
— Antonio Rojas (@AntonioRoLe) 14 de mayo de 2013

Gracias a este tuit (de Antonio Rojas, un compañero -y amigo- de la Facultad) que os dejo arriba, me acabo de enterar de que el matemático Harald Andrés Helfgott afirma haber demostrado la Conjetura Débil de Goldbach. Esta conjetura asevera que todo número impar mayor que 5 se puede escribir como suma de 2 3 primos, o equivalentemente, todo impar mayor que 7 puede escribirse como suma de 3 primos impares.

Esta conjetura no es la conocida Conjetura (fuerte) de Goldfbach (todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos), pero si ésta es cierta, entonces la débil también.

En esta ocasión, hay que otogar un cierto grado de fiabilidad a la afirmación, pues el Prof. Helfgott es un matemático de reconocido prestigio con 15 artículos recensionados en MathSciNet (link disponible bajo suscrpción) el último de los cuales es ni más ni menos que con Terence Tao. En ArXiv, se obtiene 25 resultados.

Por cierto, que en julio tendremos la oportunidad de ver al Prof. Helfgott en Sevilla en las Quintas jornadas de Teoría de Números en donde es conferenciante plenario. Esperemos que apreveche la ocasión para contar algo al respecto.

ACTUALIZACIÓN: Gracias a Gaussianos hemos podido saber que Terry Tao dio también la noticia, lo que, en mi opinión, aporta más credibilidad aún al anuncio.

Tito Eliatron Dixit

Referencias: H.A.Helfgott, Major arcs for Goldbach's theorem (arXiv:1305.2897 [math.NT])

Megacatástrofes y eventos de extinción [Charla]

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Tue, 14 May 2013 01:24:57 PDT

Los mayas creyeron* que el fin del mundo sería el 21 de diciembre del año 2012, pero se equivocaron. La megacatástrofe, el evento de extinción tendrá su particular Big Bang en Sevilla el próximo 28 de mayo.

Bueno, vale, voy a dejarme de virales y adivinanzas para dejar paso a la verdadera noticia que os traigo hoy. Y es que el próximo 28 de mayo (martes) a las 17:00 h. en el Salón de Actos de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla, tendremos el inmenso placer de contar con un divulgador sin pelos en la lengua, Sergio L. Palacios (autor del difunto blog Física en la Ciencia Ficción) quien nos va a hablar sobre Megacatástrofes y Eventos de Extinción.

En esta charla, se revisarán distintos escenarios apocalípticos que potencialmente podrían ser la causa de extinciones globales en la Tierra e incluso conducir al final del universo.

¿Y tú te lo quieres perder? Eso sí que sería una verdadera megacatástrofe.

Esta charla se enmarca dentro del ciclo de conferencias La Ciencia desde el ojo matemático que hemos venido desarrollando a lo largo del presente curso académico (Paseo matemático por los medios de comunicación -vídeo-, Cuando la criptografía falla -vídeo-, Los números de la conquista lunar -vídeo-, Agujeros negros -vídeo-, Ciencia, matemáticas y publicidad: el caso de las bebidas energéticas -vídeo-, Matemáticos del mundo, ¡uníos! -sin vídeo, lamentablemente- y Matemáticas desde la biblioteca -sin vídeo, aún-). En esta ocasión, y al igual que la anterior conferencia del ciclo, tenemos que agradecer la financiación al Programa de Actividades de la Facultad de Matemáticas y al IMUS, sin los que esta charla hubiese sido imposible. También hay que agradecer a Sergio que aceptara la invitación, en las condiciones que han sido y que no son las más deseables. De nuevo, GRACIAS.

Además, si no ocurre ningún inconveniente, esta charla será grabada y posteriormente puesta a disposición del público en general gracias a nuestro amigo y colaborador @Raven_Neo y su
video-blog CID Labs.

Tras los éxitos de las dos anteriores charlas de Sergio aquí en Sevilla (Einstein vs. Predator -vídeo- y ¿La física? un juego de niños... -vídeo-), mucho me temo que esta va ser todo un apoteósico cierre a esta particular trilogía (que no tiene por qué ser sólo de 3 conferencias, claro). Además... algo me dice por ahí que no será el único lugar en donde podamos aprender algo sobre Megacatástrofes y Eventos de Extinción.

¿Vas a perder la oportunidad de vivir en primera persona cómo la persona que dio una charla al revés te cuenta diferentes formas en que el universo puede acabar?

Tito Eliatron Dixit

(*) Basado en la famosa leyenda urbana. Todos deberíamos saber que lo más que predecían era el final de una de sus ciclos de calendario.

¿Parábola o Catenaria? el "culo-o-codo" matemático

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Wed, 08 May 2013 03:02:18 PDT

Hace no mucho tiempo, en una cadena de televisión no tan lejana, hubo un programa en el que se puso de moda un juego muy curioso en el que los espectadores miraban una foto y tenían que decidir si se trataba de la foto de un culo o de un codo.

Pues bien, hoy les propongo algo similar... pero con un toque más matemático. Os presento el juego "Catenaria-o-Parábola", es decir, el "Culo-o-Codo" matemático.

En este blog, ya hemos hablado largo y tendido sobre la catenaria. Se trata de la curva que forma una cadena que cuelga de dos puntos situados a igual altura. La similitud aparente entre esta figura y la clásica parábola hizo que el propio Galileo conjeturara allá por ~~1938~~ 1638 que, en realidad, eran la misma curva. Sin embargo un jovenzuelo insolente de 17 años llamado Christiaan Huygens hizo todo un Zas en toda la boca al demostrar en ~~1946~~ 1646 que la catenaria no era una parábola. Por lo visto, hubo otro matemático que lo demostró antes, un tal Joachim Jung, pero su demostración se publicó de forma póstuma en 1669. Cerca se quedó el joven Huygens de ver qué ecuación era la de la catenaria, pero no lo logró entonces. Fue unos años después, en 1691, cuando 3 grandes matemáticos encontraran la fórmula independientemente: Johann Bernoulli, Leibniz y el propio Huygens. La catenaria tiene la forma del Coseno Hiperbólico.

Y tras un breve repaso a la historia, queda claro el por qué de este juego. Si el propio Galileo confundió (¿realmente confundió?) parábola y catenaria, nosotros, simples mortales, estamos absueltos de tan leve pecado. Así que os voy a dejar una serie de imágenes, y ustedes tendréis que decir si son Parábolas o Catenarias.

Algunas sé a ciencia cierta qué curva es, pero advierto que de otras... no tengo ni la más remota idea.


Extraída de Naukas.com

Pues ahí os dejo unas cuantas para que probéis. Si os apetece, podéis enviarme más fotos vuestras con las que ampliaremos la colección.

Tito Eliatron Dixit

PD: La inspiración de esta entrada se la debo a Clara Grima y a una charla que tuvimos en Amazings Bilbao 2011 y de la que también salió la entrada Estoy contraída y tensa, pero todavía estable.

Elemento neutro de un grupo: el monólogo de Clara Grima

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Thu, 02 May 2013 12:27:02 PDT

¿Te gustan los grupos? ¿Te gustan las matemáticas? si has respondido que sí a alguna de las preguntas anteriores, e incluso si no lo has hecho, el siguiente vídeo que ha hecho la inigualable Clara Grima (sí, vamos, la Mati) en el que, en clave monologuista y utilizando símiles musicales, te explica claramente lo que es un elemento neutro de un grupo. Y desde luego que no te dejará indiferente.

Por cierto... ¿y tú? ¿cuántos elementos neutros has sumado en tu vida? Ah! ¿que no sabes de qué te hablo? Pues eso es porque has llegado hasta aquí sin ver el vídeo de Clara. Anda y corre ya a darle al Play.

Tito Eliatron Dixit

PD: Con este vídeo, Clara participa en el concurso de monólogos de ciencia de FameLab. Si no la eligen, ya sabremos quienes son unos elementos neutros.

En promedio, ¿de cuántas formas se puede expresar un número como suma de dos cuadrados perfectos?

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Wed, 24 Apr 2013 01:01:24 PDT

Hace un mes, leí la siguiente cita en el blog Futility Closet:

Every now and again one comes across an astounding result that closely relates two foreign objects which seem to have nothing in common. Who would suspect, for example, that on the average, the number of ways of expressing a positive integer n as a sum of two integral squares, x²+y²=n , is π?

De vez en cuando uno se encuentra con resultados sorprendentes que relacionan estrechamente dos objetos extraños que no parecen tener nada en común. ¿Quién podría sospechar, por ejemplo, que en promedio, el número de formas de expresar un entero positivo n como suma de dos cuadrados enteros, x²+y²=n, es π?

Ross Honsberger

Esta cita me cautivó, sobre todo, por el ejemplo que proponía. Parecía tan sencillo... así que me puse a buscar referencias. Prácticamente en todos los sitios que miraba, lo daban como un hecho elemental que, probablemente, se deba a Ramanujan, pero en ningún lugar encontraba una prueba. Así que me fui a preguntar un compañero experto en Teoría de Números para que me diera alguna referencia. Sin embargo me dio algo mucho mejor. Me propuso enseñarme una prueba in situ en su pizarra... y acepté. Tanto la explicación como la propia prueba me fascinó por su simplicidad y su belleza. Así que he decidido mostrarla a todos mis lectores para que todos os podáis deleitar con ella. Allá vamos.

Antes de empezar vamos a centrar un poco las ideas. En el fondo, nos estamos preguntando por las formas que hay de expresar un número natural como la suma de dos cuadrados de números enteros. Por ejemplo, , , pero no hay forma de expresar el 7 como suma de 2 cuadrados. Además, si nos ponemos quisquillosos y tomamos en cuenta signos y orden, podríamos decir que

¿Y por qué vamos a hacer esto? Pues porque en realidad estamos buscando soluciones enteras de la ecuación para y todos los pares anteriores son soluciones diferentes de la ecuación para .

Pues vamos a ponerle nombres a las cosas. Vamos a llamar al número de formas de expresar el número como suma de 2 cuadrados de números enteros; y en esta forma vamos a tener en cuenta lo anterior, es decir, que nos importará el orden y el signo. Visto así, podemos afirmar que , que , que o que (si quieres, puedes ver los primeros valores de en la sucesión Sloane's A004018).

Con esta notación, lo que la cita afirma es lo siguiente:

¿Que no lo ves? pues vamos poquito a poco. Como hay infinitos números naturales, si queremos hacer la media de todos los valores, tendríamos que hacer una suma infinita (serie) y dividir entre el número de sumandos (infinitos)... lo que, en mi modesta opinión, puede acarrear algunos problemillas. No, así no podemos hacerlo. Así que mejor tomar los primeros valores de (desde hasta ), los sumamos y dividimos entre el número de sumandos: . Ahora, basta con hacer que el número de sumandos sea cada vez mayor y mayor, o como decimos los matemáticos, hacemos que .

Pues vamos a calcular ese límite. Lo primero que podríamos pensar es conseguir una fórmula exacta para calcular . A este respecto, existen varios resultados: por ejemplo, Fermat demostró que si es un número primo, entonces es expresable como suma de cuadrados si y sólo si ó , lo que nos lleva a que si en otro caso, se tendría que (como ocurre para o ). Existe una formulación exacta para calcular , pero escribirla es demasiado complicada. Si quieres, puedes encontrarla en [1, Theorem 4.4].

Así que el método "a lo bestia" de calcular todos los valores implicados y sumar, se nos va al traste. Vámonos a dar un paseo por la geometría a ver si nos ayuda.

Tomemos el plano real y tracemos el mallado entero, es decir, todas las rectas de la forma e con . Los puntos de corte de dicha malla son, precisamente todos los puntos con ambas coordenadas enteras. Pero mejor mirad el dibujo:

Sobre esta malla, vamos a dibujar la circunferencia centrada en el origen y de radio

Ahora nos fijamos en los puntos del mallado que caen DENTRO de esta circunferencia:

Los puntos marcados son todos los puntos con ambas coordenadas enteras y tales que ; pero como resulta que por lo que el número de puntos dentro del círculo de radio coincide precisamente con , es decir, todas las formas que hay de escribir los números menores (estrictos) que , como suma de dos cuadrados de enteros.

Pero claro, si ahora queremos estimar o calcular el número de puntos dentro de un círculo, nos enfrentamos a un problema bastante complicado. Así que vamos a hacer lo siguiente. Cada punto del mallado está en 4 cuadrados (arriba izquierda, arriba derecha, abajo izquierda y abajo derecha), así que a cada punto le haremos corresponder el cuadrado que está arriba y a la derecha de dicho punto.

Bien, ahora hay que darse cuenta de que el área de cada uno de dichos cuadrados es, exactamente 1, por lo que para contar los puntos de la malla que hay dentro del círculo, basta con calcular el área de todos los cuadrados. Sería muy interesante que el área de los cuadrados coincidiese con la del círculo... pero lamentablemente no tiene por qué ser así (hay cuadrados que se salen del círculo y partes del círculo que no están cubiertos por cuadrados). Sin embargo, sí que vamos a poder acotar el área de los cuadrados. Veamos cómo.

Por un lado, ¿cuánto puede salirse un cuadrado del círculo? En el peor de los casos sería , es decir, la diagonal de un cuadradito:

por lo que podemos asegurar que todos los cuadrados quedarán dentro de la circunferencia de centro el origen y radio

Ahora bien, un punto que esté fuera de la circunferencia original (la de radio ) pero casi casi pegado a ella, dejará casi todo su cuadrado superior derecho dentro de la circunferencia y no será parte de los cuadrados sombreados. En el peor de los casos, la distancia que dicho cuadrado se puede meter dentro de nuestra circunferencia original vuelve a ser ,

por lo que podemos asegurar que la circunferencia de centro el origen y radio caerá siempre dentro del área encerrada por los cuadrados sombreados.

Así que podemos garantizar que la zona sombreada contiene al círculo azul y está contenido en el círculo rojo. Pero resulta que el área de la zona sombreada era y que las áreas de esos círculos las sabemos calcular, por lo tanto tenemos las siguientes desigualdades:

de donde se deduce que

por lo que, dividiendo entre en todos los miembros se concluye que

Ahora basta aplicar la famosa Regla del Sandwich para concluir que

y que, precisamente, nos dice que, en promedio, el número de formas de escribir un número natural como suma de cuadrados (teniendo en cuenta orden de sumandos y signos) es, justamente, .

Para vosotros os dejo que penséis qué ocurre si queremos olvidarnos de signos (en cuyo caso bastaría con quedarnos con la construcción anterior pero únicamente en el primer cuadrante) o qué pasaría si, además, queremos olvidarnos del orden (en cuyo caso... la cosa se pone muy interesante). A este respecto, deciros que, por cada par de naturales con tale que hay 4 variaciones para incluir signos (siempre que ninguno de ellos sea, precisamente 0) y otras 4 de orden (siempre y cuando no sean los 2 iguales... pero ahora que lo pienso... ¿ESO ES IMPOSIBLE!). Así que por cada pareja de números, hay o bien 4 o bien 8 variaciones triviales... y por ahí podéis empezar a pensar.

Tito Eliatron Dixit

Referencias:
[1] Bhaskar, J. "Sum of two squares", disponible en http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2008/REUPapers/Bhaskar.pdf

[2] Weisstein, E.W. "Sum of Squares Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html

PD: Esta entrada participa en la Edición 4.123 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Eulerianos.

Premio #CarnaMatMarzo 2013

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Wed, 17 Apr 2013 02:27:59 PDT

El pasado día 13 de abril finalizó el plazo para otorgar las puntuaciones a la mejor entrada de la Edición 4.12 (Marzo de 2013) del Carnaval de Matemáticas. Y con un poco de retraso vamos a proceder a la proclamación del ganador.

En esta ocasión, es un placer anunciar que la entrada ganadora es

Cómo calculan la hipotenusa un matemático y un ingeniero del blog Cifras y Teclas.

Aquí os dejo la imagen que distingue al ganador:

La verdad es que, en esta ocasión, el ganador ha sido por una gran diferencia ya que ha conseguido 13 puntos repartidos entre 3 votos de 4 puntos y 1 de 1 punto. En segunda posición ha quedado la entrada Rodando voy con 6 puntos (4+2) y compartiendo la tercera posición, dos entradas de un mismo blog con 1 voto de 4 puntos cada una: Longitud de la cicloide y de la cardioide y Un asunto de jóvenes.

El resto de entradas votadas son las siguientes:

Con 3 puntos (2+1): 3=2+1 Anamorfismos.
Con 2 puntos y 1 voto:

Con 1 punto (y 1 voto):

Quiero destacar que los blogs Cifras y Teclas, Guirnalda Matemática y ZTFNews han sido votados con más de una entrada cada uno de ellos.

Mi más sincera enhorabuena al ganador (al que yo mismo otorgué 4 puntos) y al resto de nominados. Y recordaros que la Edición 4.123 comenzará la semana que viene en el blog Eulerianos.

Tito Eliatron Dixit

Matemáticas en la biblioteca [Conferencia]

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Mon, 15 Apr 2013 15:12:45 PDT

Es para mí todo un honor y un placer anunciar que el Ciclo de Conferencias La Ciencia desde el ojo matemático puede continuar su andadura; esta vez gracias (a partes iguales) al Programa de Actividades de la Facultad de Matemáticas y al IMUS.

En esta ocasión contaremos con la presencia de una de las mujeres que más ha hecho por la divulgación en nuestro país, Marta Macho Stadler. Marta es profesora del Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencia y Tecnología de la Universidad del País Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea y su currículo es digno de mirar y admirar por todos (más de 20 artículos de investigación, más de 120 publicaciones de divulgación, participación en numerosos congresos y conferencias tanto de investigación como divulgativas, organización de eventos de divulgación...).

Tras haber sido partícipes de conferencias como (Paseo matemático por los medios de comunicación (vídeo), Cuando la criptografía falla (vídeo), Los números de la conquista lunar (vídeo), Agujeros negros (vídeo), Ciencia, matemáticas y publicidad: el caso de las bebidas energéticas (vídeo) y Matemáticos del mundo, ¡uníos! (de la que, lamentablemente, no tenemos vídeo), el próximo Jueves 2625 de abril a las 11:30h. en el Salón de Actos de la Facultad de Matemáticas, Marta nos enseñará Matemáticas desde la Biblioteca.

Desde la época de los trovadores hasta la actual, desde la combinatoria hasta la topología, desde la poesía hasta la novela de aventuras, la literatura y las matemáticas se cruzan con frecuencia. En esta conferencia pasearemos por la biblioteca, eligiendo libros de diferentes épocas y estilos, fijándonos en las matemáticas de sus letras y sus formas.

La verdad es que cuando Marta me propuso dar esta charla no pude más que aceptar encantado, pues es uno de esos temas que siempre me ha atraído: ver cómo la literatura es capaz de enseñarnos matemáticas. Tengo muchas expectativas puestas en esta charla que, seguro, las va a saciar todas.

Si no ocurre ningún inconveniente, esta charla sí que será grabada y posteriormente puesta a disposición del público en general gracias a nuestro amigo y colaborador @Raven_Neo y su
video-blog CID Labs.

Tito Eliatron Dixit

Edición 4.123 del Carnaval de Matemáticas: 22-28 abril

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Wed, 10 Apr 2013 01:54:46 PDT

Ya llegó la primavera otra vez a nuestro Carnaval de Matemáticas. Carnaval que alcanza su Edición 4.123 que tendrá lugar en el blog Eulerianos entre el 22 y el 28 de abril.

Os recordamos, que durante este año, vamos a ir numerando las ediciones según propuso nuestro amigo David Orden en su post Primos, raíces y una propuesta irracional para numerar el carnaval: añadiendo en cada una un decimal más del número 4.1231056256... ¿Y por qué ese número? pues lee el post de David y lo averiguarás

La forma de participar en el Carnaval de Matemáticas es la habitual. Basta con escribir una entrada sobre algo relacionado con las matemáticas durante los días en que esta Edición 4.123 está abierta y añadir a tu post un link a la web del Carnaval de Matemáticas y otro al blog anfitrión, v en esta ocasión. Un ejemplo sería lo siguiente:

Esta entrada participa en la Edición 4.123 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Eulerianos.

Pero lo más importante es que el anfitrión sepa que participas en la Edición 4.123 para que al final, referencie tu entrada en el resumen. Para ello además de los métodos anteriores, puedes escribiendo un tuit mencionando al anfitrión de esta ocasión (@carxs8710) y con el enlace a tu publicación; también puedes dejar un comentario con el enlace de la aportación en el anuncio oficial de la Edición 4.123, o incluco escribiendo un correo al anfitrión (ver anuncio oficial en Edición 4.123).

Antes de despedirme, os dejo con todas las ediciones anteriores para ir abriendo boca.

Primer Año

Primera Edición (15/02/2010) en Tito Eliatron Dixit.
Segunda Edición (15/03/2010) en Juan de Mairena [v.2.71828].
Tercera Edición (19/04/2010) en Geometría Dinámica.
Cuarta Edición (17/05/2010) en Zurditorium.
Quinta Edición (21/06/2010) en Ciencia por Barcedavid.
Sexta Edición (27/09/2010) en el Blog de Sangakoo.
Séptima Edición (25/10/2010) en El Máquina de Turing.
Octava Edición (21/11/2010) en Los Matemáticos no son Gente Seria.
Novena Edición (20/12/2010) en Rescoldos en la Trébede.
Décima Edición (31/01/2011) en La Ciencia de la Mula Francis.

Segundo Año

Edición 2.1 (21/02/2011) en Tito Eliatron Dixit
Edición 2.2 (28/03/2011) en Gaussianos
Edición 2.3 (24/04/2011) en Los matemáticos no son gente seria
Edición 2.4 (26/05/2011) en Seis Palabras Claras
Edición 2.5 (02/07/2011) en Juegos Topológicos
Edición 2.6 (26/09/2011) en La Vaca Esférica
Edición 2.7 (15/10/2011) en La Aventura de la Ciencia
Edición 2.8 (29/11/2011) en Ciencia Conjunta
Edición 2.9 (26/12/2011) en Que no te aburran las M@tes
Edición 2.X (30/01/2012) en Resistencia Numantina

Tercer Año

Edición 3.1 (28/02/2012) en Scientia Potentia Est
Edición 3.14 (26/03/2012) en Hablando de Ciencia
Edición 3.141 (04/05/2012) en DesEquiLIBROS
Edición 3.1415 (29/05/2012) en Gaussianos
Edición 3.14159 (29/06/2012) en Scientia
Edición 3.141592 (01/10/2012) en ZTFNews.org
Edición 3.1415926 (29/10/2012) en Series Divergentes
Edición 3.14159265 (02/12/2012) en Pimedios
Edición 3.141592653 (27/12/2012) en Que no te aburran las M@tes
Edición 3.1415926535 (30/01/2013) en La Aventura de la Ciencia.

Cuarto Año

Edición 4.1 (26/02/2013) en Tito Eliatron Dixit.
Edición 4.12 (25/03/2013) en High Ability Dimension.

Por cierto, aún podéis votar (hasta el 13 de abril) por la mejor entrada de la Edición 4.12.

Tito Eliatron Dixit

Matemáticas para dibujar caras

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Mon, 08 Apr 2013 00:47:32 PDT

Sí señores. Las matemáticas, esa ciencia tan árida que apenas si tiene aplicaciones prácticas (modo ironic off), pueden tener una utilidad artística como hacedora (¿existe este palabro?) de caricaturas. Los chicos de Wolfram Alpha disponen de una galería de 138 personajes (y 142 imágenes) a los que han realizado caricaturas a través de las matemáticas, más concretamente, mediante ecuaciones paramétricas, en las que las variables dependientes son (las coordenadas planas tradicionales) que dependen de una tercera variable que se va moviendo.

Pero lo mejor es mirar algunos de los ejemplos más... espectaculares. En concreto, os presento a los dos únicos representantes españoles en tan elitista lista (muy a nuestro pesar): Mariano Rajoy y José Luis Rodríguez Zapatero:

Pero bueno, esto es un blog de Matemáticas, así que vamos a poner a la pareja de matemáticos que más ha dado que hablar en la historia: Newton y Leibniz:

Pero si vamos a hablar de personajes que han dado mucho que hablar en las matemáticas en general y en este blog en concreto, ese es Chuck Norris:

x(t)=((-35/17 sin(35/23-7 t)-111/11 sin(61/39-6 t)-3974/33 sin(47/30-2 t)+397/24 sin(t+41/26)+274/51 sin(3 t+80/17)+94/25 sin(4 t+75/16)+158/53 sin(5 t+41/26)+32503/89) theta(107 pi-t) theta(t-103 pi)+(-29/38 sin(59/38-7 t)-119/52 sin(53/34-5 t)-39/4 sin(39/25-3 t)-7/13 sin(71/46-2 t)-7129/62 sin(47/30-t)+172/35 sin(4 t+19/12)+71/32 sin(6 t+49/31)-7797/34) theta(103 pi-t) theta(t-99 pi)+(1957/10 sin(t+85/54)+5/13 sin(2 t+77/18)+3823/43) theta(99 pi-t) theta(t-95 pi)+(-1131/212 sin(36/23-2 t)+7267/95 sin(t+11/7)+130/31 sin(3 t+63/40)+67/32 sin(4 t+146/31)+149/41 sin(5 t+11/7)+30/23 sin(6 t+146/31)+49/33 sin(7 t+69/44)+9593/28) theta(95 pi-t) theta(t-91 pi)+(-1/7 sin(5/4-119 t)-14/25 sin(55/42-118 t)-2/13 sin(25/24-115 t)-38/45 sin(56/43-114 t)-7/15 sin(47/36-102 t)-19/23 sin(262/175-97 t)-26/25 sin(45/29-95 t)-6/37 sin(22/21-93 t)-23/16 sin(23/15-89 t)-13/18 sin(56/37-85 t)-87/56 sin(57/37-77 t)-399/92 sin(36/23-73 t)-212/85 sin(20/13-69 t)-78/41 sin(25/16-65 t)-40/17 sin(91/58-53 t)-51/20 sin(55/36-47 t)-204/29 sin(45/31-31 t)-1013/217 sin(209/139-28 t)-554/35 sin(45/29-27 t)-44/19 sin(80/53-22 t)-846/37 sin(45/29-19 t)-79/28 sin(43/33-16 t)-581/47 sin(53/36-15 t)-9505/297 sin(20/13-12 t)-5429/40 sin(58/37-8 t)+9958/19 sin(t+11/7)+6019/43 sin(2 t+146/31)+3217/28 sin(3 t+36/23)+857/7 sin(4 t+25/16)+437/5 sin(5 t+11/7)+2456/29 sin(6 t+47/30)+257/17 sin(7 t+41/26)+4506/53 sin(9 t+80/17)+1091/42 sin(10 t+34/21)+450/37 sin(11 t+174/37)+6550/111 sin(13 t+41/26)+143/3 sin(14 t+85/54)+1157/31 sin(17 t+43/27)+2011/134 sin(18 t+146/31)+280/37 sin(20 t+49/31)+421/37 sin(21 t+21/13)+121/32 sin(23 t+27/19)+181/29 sin(24 t+39/25)+19/96 sin(25 t+70/33)+54/29 sin(26 t+25/14)+61/15 sin(29 t+27/17)+547/58 sin(30 t+109/68)+77/20 sin(32 t+197/42)+4/9 sin(33 t+19/5)+307/43 sin(34 t+46/29)+49/18 sin(35 t+199/43)+110/41 sin(36 t+17/11)+35/24 sin(37 t+83/51)+131/23 sin(38 t+117/25)+128/19 sin(39 t+56/37)+185/42 sin(40 t+30/19)+244/43 sin(41 t+118/71)+25/21 sin(42 t+7/5)+136/19 sin(43 t+345/74)+51/26 sin(44 t+107/24)+85/64 sin(45 t+31/7)+74/27 sin(46 t+106/23)+50/31 sin(48 t+130/29)+237/32 sin(49 t+136/29)+18/55 sin(50 t+83/18)+65/19 sin(51 t+189/41)+36/35 sin(52 t+77/18)+167/45 sin(54 t+144/31)+79/27 sin(55 t+147/32)+29/37 sin(56 t+114/29)+7/5 sin(57 t+75/17)+101/45 sin(58 t+89/19)+172/115 sin(59 t+228/53)+41/32 sin(60 t+69/17)+37/14 sin(61 t+164/35)+55/16 sin(62 t+116/25)+55/83 sin(63 t+51/20)+37/21 sin(64 t+39/22)+45/67 sin(66 t+77/18)+84/31 sin(67 t+73/16)+61/29 sin(68 t+95/21)+25/43 sin(70 t+211/105)+53/37 sin(71 t+193/43)+32/29 sin(72 t+255/58)+74/53 sin(74 t+193/42)+12/25 sin(75 t+38/11)+11/8 sin(76 t+64/35)+76/43 sin(78 t+127/28)+23/45 sin(79 t+312/125)+36/29 sin(80 t+49/29)+1/41 sin(81 t+17/10)+55/31 sin(82 t+14/9)+17/18 sin(83 t+68/39)+13/66 sin(84 t+131/38)+1/23 sin(86 t+4)+15/46 sin(87 t+175/41)+5/41 sin(88 t+118/35)+30/37 sin(90 t+127/27)+23/20 sin(91 t+243/52)+16/21 sin(92 t+73/45)+12/37 sin(94 t+17/14)+7/24 sin(96 t+127/34)+11/40 sin(98 t+44/53)+19/21 sin(99 t+46/29)+109/49 sin(100 t+13/8)+7/15 sin(101 t+76/61)+43/72 sin(103 t+59/35)+25/23 sin(104 t+68/45)+8/29 sin(105 t+59/37)+2/13 sin(106 t+1/11)+7/33 sin(107 t+54/37)+19/24 sin(108 t+192/41)+29/23 sin(109 t+37/24)+29/44 sin(110 t+19/15)+8/63 sin(111 t+22/21)+27/82 sin(112 t+20/19)+30/91 sin(113 t+61/34)+4/31 sin(116 t+94/73)+15/16 sin(117 t+41/25)+1/9 sin(120 t+13/21)-1797/28) theta(91 pi-t) theta(t-87 pi)+(-4/19 sin(73/55-29 t)-140/43 sin(14/9-28 t)-19/9 sin(3/2-25 t)-52/21 sin(45/31-24 t)-62/37 sin(22/15-18 t)-31/28 sin(7/5-15 t)-119/43 sin(35/23-13 t)-206/65 sin(73/49-12 t)-257/47 sin(53/34-10 t)-355/41 sin(69/44-5 t)+3134/21 sin(t+47/30)+377/35 sin(2 t+55/36)+689/72 sin(3 t+369/79)+1875/67 sin(4 t+155/33)+1894/101 sin(6 t+36/23)+693/29 sin(7 t+179/38)+29/27 sin(8 t+50/13)+1039/51 sin(9 t+197/42)+577/43 sin(11 t+96/61)+198/31 sin(14 t+52/33)+42/25 sin(16 t+48/31)+9/34 sin(17 t+37/28)+47/17 sin(19 t+66/41)+11/50 sin(20 t+62/17)+128/15 sin(21 t+108/23)+32/33 sin(22 t+173/39)+119/23 sin(23 t+99/62)+61/22 sin(26 t+58/35)+27/38 sin(27 t+143/32)+59/16 sin(30 t+64/41)+3125/62) theta(87 pi-t) theta(t-83 pi)+(-17/5 sin(48/31-23 t)-58/27 sin(36/23-22 t)-75/26 sin(26/17-21 t)-58/31 sin(102/65-19 t)-31/92 sin(51/35-18 t)-67/39 sin(47/30-17 t)-77/37 sin(59/38-16 t)-43/30 sin(58/37-15 t)-465/61 sin(45/29-12 t)-107/37 sin(57/37-11 t)-231/16 sin(47/30-8 t)-149/67 sin(25/16-7 t)-1001/100 sin(77/50-5 t)-9801/19 sin(69/44-2 t)+1275/14 sin(t+41/26)+6892/179 sin(3 t+193/41)+253/17 sin(4 t+11/7)+107/22 sin(6 t+95/61)+228/53 sin(9 t+212/45)+86/39 sin(10 t+36/23)+31/11 sin(13 t+146/31)+17/44 sin(14 t+145/32)+9/34 sin(20 t+26/17)+38/35 sin(24 t+359/77)+43/20 sin(25 t+113/24)-670/9) theta(83 pi-t) theta(t-79 pi)+(-28/27 sin(41/28-14 t)-119/26 sin(48/31-12 t)-26/37 sin(190/127-11 t)-187/20 sin(73/47-9 t)-133/24 sin(59/38-6 t)-338/35 sin(58/37-2 t)+347/34 sin(t+80/17)+1448/15 sin(3 t+52/33)+1405/54 sin(4 t+63/40)+1016/107 sin(5 t+19/12)+493/31 sin(7 t+30/19)+433/54 sin(8 t+19/12)+568/21 sin(10 t+19/12)+347/39 sin(13 t+35/22)+21/13 sin(15 t+127/27)+300/43 sin(16 t+35/22)+23/13 sin(17 t+53/34)-30262/41) theta(79 pi-t) theta(t-75 pi)+(-23/57 sin(14/17-14 t)-789/158 sin(113/75-13 t)-367/59 sin(48/31-11 t)-43/23 sin(14/9-10 t)-397/32 sin(102/65-8 t)-289/27 sin(25/16-5 t)+443/42 sin(t+47/30)+719/74 sin(2 t+14/9)+747/23 sin(3 t+11/7)+147/17 sin(4 t+25/16)+154/43 sin(6 t+50/31)+164/39 sin(7 t+103/22)+129/26 sin(9 t+57/35)+1046/37 sin(12 t+49/31)+157/8 sin(15 t+47/30)+299/30 sin(16 t+59/38)+122/15 sin(17 t+31/20)+10547/18) theta(75 pi-t) theta(t-71 pi)+(-253/95 sin(106/71-22 t)-83/17 sin(35/24-18 t)-98/37 sin(32/25-17 t)-335/21 sin(350/233-13 t)-55/39 sin(19/14-11 t)-837/65 sin(35/23-10 t)+2133/29 sin(t+41/26)+113/32 sin(2 t+107/23)+427/71 sin(3 t+93/58)+19/7 sin(4 t+145/31)+503/30 sin(5 t+53/33)+535/51 sin(6 t+5/3)+11/6 sin(7 t+57/31)+224/41 sin(8 t+61/37)+215/23 sin(9 t+59/37)+53/10 sin(12 t+34/23)+132/13 sin(14 t+27/16)+187/16 sin(15 t+33/19)+37/21 sin(16 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t+19/12)+21/41 sin(16 t+12/7)+9389/25) theta(63 pi-t) theta(t-59 pi)+(-6/29 sin(41/27-11 t)-3/4 sin(81/52-9 t)+75/2 sin(t+63/40)+1462/41 sin(2 t+52/33)+118/23 sin(3 t+212/45)+430/41 sin(4 t+41/26)+27/14 sin(5 t+108/23)+20/37 sin(6 t+43/29)+242/145 sin(7 t+55/34)+62/29 sin(8 t+46/29)+21/52 sin(10 t+69/43)+24/19 sin(12 t+53/33)-977/34) theta(59 pi-t) theta(t-55 pi)+(-38/33 sin(37/24-12 t)-68/11 sin(17/11-6 t)-179/22 sin(31/20-4 t)-109/12 sin(31/20-3 t)+1744/19 sin(t+41/26)+193/21 sin(2 t+27/17)+12/49 sin(5 t+60/49)+33/38 sin(7 t+57/37)+15/32 sin(8 t+172/37)+36/35 sin(9 t+45/29)+194/195 sin(10 t+80/17)+57/40 sin(11 t+67/42)-97/13) theta(55 pi-t) theta(t-51 pi)+(-29/31 sin(65/42-17 t)+1164/13 sin(t+58/37)+1359/13 sin(2 t+47/30)+313/8 sin(3 t+36/23)+108/13 sin(4 t+96/61)+118/11 sin(5 t+65/41)+243/29 sin(6 t+80/17)+611/18 sin(7 t+118/75)+585/28 sin(8 t+174/37)+13/23 sin(9 t+189/44)+709/59 sin(10 t+113/72)+133/24 sin(11 t+39/25)+147/40 sin(12 t+207/44)+111/50 sin(13 t+46/29)+43/21 sin(14 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sin(97 t+101/76)+128/27 sin(99 t+151/33)+145/37 sin(100 t+16/11)+19/44 sin(101 t+83/37)+109/26 sin(102 t+173/37)+92/43 sin(103 t+25/17)+92/39 sin(104 t+88/19)+5/16 sin(105 t+47/16)+15/22 sin(107 t+35/19)+94/63 sin(108 t+75/16)+13/25 sin(109 t+157/34)+112/33 sin(110 t+59/38)+7/20 sin(112 t+33/28)+77/50 sin(113 t+46/35)+11/20 sin(114 t+74/21)+15/17 sin(117 t+28/9)+20/39 sin(118 t+11/29)+28/41 sin(119 t+17/16)-28588/37) theta(91 pi-t) theta(t-87 pi)+(-11/18 sin(16/11-22 t)-29/14 sin(65/42-13 t)-106/13 sin(161/107-5 t)-73/18 sin(29/20-3 t)+133/9 sin(t+59/38)+2037/26 sin(2 t+36/23)+2040/37 sin(4 t+36/23)+894/23 sin(6 t+64/41)+82/35 sin(7 t+15/11)+369/44 sin(8 t+59/38)+62/33 sin(9 t+42/25)+58/13 sin(10 t+108/23)+68/35 sin(11 t+31/20)+397/61 sin(12 t+45/29)+15/29 sin(14 t+55/29)+115/58 sin(15 t+131/28)+137/28 sin(16 t+38/25)+117/23 sin(17 t+103/69)+229/47 sin(18 t+50/33)+107/39 sin(19 t+193/41)+33/65 sin(20 t+136/33)+11/18 sin(21 t+35/8)+37/36 sin(23 t+25/17)+135/52 sin(24 t+67/43)+43/60 sin(25 t+211/45)+7/19 sin(26 t+695/149)+11/18 sin(27 t+146/31)+107/53 sin(28 t+49/32)+48/55 sin(29 t+58/43)+23/17 sin(30 t+43/30)-16160/29) theta(87 pi-t) theta(t-83 pi)+(-81/19 sin(39/25-25 t)-9/16 sin(35/24-24 t)-23/27 sin(42/29-22 t)-395/76 sin(17/11-21 t)-81/65 sin(67/45-17 t)-267/31 sin(14/9-11 t)-633/17 sin(36/23-7 t)-21148/133 sin(36/23-3 t)+3711/23 sin(t+107/68)+7619/60 sin(2 t+63/40)+6225/32 sin(4 t+52/33)+1461/26 sin(5 t+74/47)+340/27 sin(6 t+52/33)+397/30 sin(8 t+46/29)+107/15 sin(9 t+59/37)+267/16 sin(10 t+19/12)+65/41 sin(12 t+17/11)+33/34 sin(13 t+41/25)+328/25 sin(14 t+27/17)+18/7 sin(15 t+131/82)+77/37 sin(16 t+54/35)+160/17 sin(18 t+27/17)+607/135 sin(19 t+101/63)+79/29 sin(20 t+80/51)+177/68 sin(23 t+108/23)-25989/19) theta(83 pi-t) theta(t-79 pi)+(-101/21 sin(49/32-16 t)-123/38 sin(53/34-15 t)-334/29 sin(53/34-13 t)-1233/22 sin(25/16-7 t)-243/19 sin(64/41-6 t)-1253/40 sin(39/25-5 t)-1204/15 sin(47/30-3 t)-394/15 sin(80/51-2 t)-284/13 sin(69/44-t)+1213/36 sin(4 t+63/40)+533/64 sin(8 t+30/19)+565/22 sin(9 t+27/17)+73/8 sin(10 t+41/26)+40/9 sin(11 t+21/13)+121/29 sin(12 t+74/47)+31/9 sin(14 t+41/26)+81/26 sin(17 t+13/8)-27970/33) theta(79 pi-t) theta(t-75 pi)+(-464/37 sin(45/29-12 t)-199/16 sin(14/9-9 t)-201/28 sin(14/9-6 t)-1789/24 sin(69/44-t)+743/15 sin(2 t+118/75)+21/4 sin(3 t+43/28)+689/36 sin(4 t+36/23)+367/56 sin(5 t+36/23)+16/9 sin(7 t+103/22)+56/67 sin(8 t+46/27)+91/25 sin(10 t+41/26)+409/62 sin(11 t+74/47)+25/4 sin(13 t+21/13)+119/39 sin(14 t+125/27)+971/40 sin(15 t+113/24)+398/29 sin(16 t+174/37)+229/47 sin(17 t+136/29)-1465/26) theta(75 pi-t) theta(t-71 pi)+(-97/39 sin(87/61-22 t)-93/26 sin(232/155-20 t)-73/19 sin(45/31-18 t)-71/95 sin(53/54-17 t)-51/26 sin(52/35-16 t)-129/28 sin(57/37-13 t)-51/10 sin(98/65-10 t)-29/24 sin(32/25-9 t)-99/16 sin(40/27-8 t)-1715/156 sin(46/31-7 t)-177/13 sin(139/93-6 t)-533/35 sin(95/63-5 t)-227/24 sin(32/21-4 t)-353/30 sin(47/30-t)+103/23 sin(2 t+19/12)+1/26 sin(3 t+37/18)+13/29 sin(11 t+53/31)+56/15 sin(12 t+31/19)+25/7 sin(14 t+38/23)+4/5 sin(15 t+74/43)+87/41 sin(19 t+53/35)+24/37 sin(21 t+21/19)-181/30) theta(71 pi-t) theta(t-67 pi)+(-32/33 sin(20/13-23 t)-49/36 sin(14/9-20 t)-9/7 sin(35/23-19 t)-82/25 sin(80/51-16 t)-78/37 sin(57/37-8 t)-486/35 sin(36/23-5 t)+1272/41 sin(t+11/7)+304/23 sin(2 t+74/47)+295/23 sin(3 t+113/24)+553/43 sin(4 t+69/44)+37/18 sin(6 t+30/19)+1093/156 sin(7 t+113/24)+271/21 sin(9 t+80/51)+544/39 sin(10 t+146/31)+74/47 sin(11 t+49/31)+40/29 sin(12 t+23/15)+21/22 sin(13 t+174/37)+31/44 sin(14 t+202/43)+107/45 sin(15 t+11/7)+85/39 sin(17 t+80/17)+71/44 sin(18 t+37/24)+12/5 sin(21 t+146/31)+7/23 sin(22 t+38/25)-563/9) theta(67 pi-t) theta(t-63 pi)+(-24/11 sin(58/37-3 t)+1021/31 sin(t+47/30)+5923/103 sin(2 t+47/30)+527/28 sin(4 t+174/37)+85/6 sin(5 t+174/37)+77/39 sin(6 t+61/38)+7/17 sin(7 t+53/35)+23/19 sin(8 t+145/31)+146/43 sin(9 t+169/36)+10/47 sin(10 t+53/30)+67/41 sin(11 t+136/29)+119/52 sin(12 t+75/16)+11/10 sin(13 t+14/3)+17/20 sin(14 t+131/28)+49/54 sin(15 t+177/38)+8/13 sin(16 t+131/28)-7502/43) theta(63 pi-t) theta(t-59 pi)+(-47/34 sin(57/37-10 t)-7/4 sin(37/24-9 t)-7/25 sin(31/20-7 t)-76/41 sin(45/29-6 t)-151/88 sin(67/43-5 t)-201/37 sin(67/43-4 t)-1477/36 sin(47/30-t)+53/4 sin(2 t+41/26)+45/7 sin(3 t+49/31)+19/23 sin(8 t+8/5)+1/78 sin(11 t+128/29)+2/23 sin(12 t+53/33)-7571/44) theta(59 pi-t) theta(t-55 pi)+(-17/20 sin(77/51-12 t)-25/32 sin(35/24-11 t)-13/9 sin(65/42-8 t)-8/17 sin(67/47-7 t)-57/22 sin(20/13-6 t)-436/97 sin(32/21-5 t)-417/34 sin(48/31-4 t)-65/36 sin(46/31-3 t)-2465/53 sin(39/25-2 t)+727/18 sin(t+63/40)+16/23 sin(9 t+31/20)+1/29 sin(10 t+65/23)+764/31) theta(55 pi-t) theta(t-51 pi)+(-6/5 sin(49/32-13 t)-14/31 sin(68/47-11 t)-157/34 sin(31/20-8 t)+5295/47 sin(t+69/44)+237/11 sin(2 t+39/25)+103/14 sin(3 t+113/24)+601/24 sin(4 t+127/27)+1150/63 sin(5 t+47/10)+1003/70 sin(6 t+245/52)+151/11 sin(7 t+39/25)+131/40 sin(9 t+179/38)+29/10 sin(10 t+47/30)+13/24 sin(12 t+74/49)+122/37 sin(14 t+80/51)+53/29 sin(15 t+89/19)+32/31 sin(16 t+201/43)+103/69 sin(17 t+74/47)-9148/33) theta(51 pi-t) theta(t-47 pi)+(-65/81 sin(10/11-12 t)+18672/107 sin(t+75/17)+2477/86 sin(2 t+84/19)+437/44 sin(3 t+57/22)+781/46 sin(4 t+103/25)+175/26 sin(5 t+77/54)+158/19 sin(6 t+83/23)+97/30 sin(7 t+37/32)+63/20 sin(8 t+133/39)+137/46 sin(9 t+46/29)+93/92 sin(10 t+176/39)+91/34 sin(11 t+55/31)-11433/32) theta(47 pi-t) theta(t-43 pi)+(-59/33 sin(4/29-11 t)-349/52 sin(30/61-7 t)-769/57 sin(3/19-6 t)-4967/62 sin(49/73-2 t)-8336/41 sin(26/19-t)+503/25 sin(3 t+16/63)+794/21 sin(4 t+209/46)+841/28 sin(5 t+57/37)+16/11 sin(8 t+145/31)+110/29 sin(9 t+12/5)+206/39 sin(10 t+22/29)+37/24 sin(12 t+354/77)+59/26 sin(13 t+73/31)+31/33 sin(14 t+43/34)+15/19 sin(15 t+42/11)-13301/25) theta(43 pi-t) theta(t-39 pi)+(-1/6 sin(17/21-12 t)-5/51 sin(1/3-10 t)-21/34 sin(37/24-6 t)-9/16 sin(17/26-4 t)+101/39 sin(t+7/16)+39/8 sin(2 t+81/26)+35/9 sin(3 t+53/21)+15/17 sin(5 t+71/31)+5/26 sin(7 t+25/18)+1/25 sin(8 t+61/26)+3/23 sin(9 t+36/11)+7/41 sin(11 t+83/28)-2286/11) theta(39 pi-t) theta(t-35 pi)+(-15/2 sin(1/31-t)+82/13 sin(2 t+149/39)+297/85 sin(3 t+79/26)+72/35 sin(4 t+209/47)+25/42 sin(5 t+23/33)+14/23 sin(6 t+120/31)+17/39 sin(7 t+5/33)+17/43 sin(8 t+48/17)+13/51 sin(9 t+9/50)+3/28 sin(10 t+121/28)+5/29 sin(11 t+19/30)+5/31 sin(12 t+272/71)-3908/25) theta(35 pi-t) theta(t-31 pi)+(-698/21 sin(3/14-t)+39/10 sin(2 t+59/18)+91/22 sin(3 t+3/26)-5904/37) theta(31 pi-t) theta(t-27 pi)+(-83/50 sin(28/33-3 t)-1327/40 sin(6/19-t)+26/17 sin(2 t+70/19)+21/29 sin(4 t+87/22)-2719/13) theta(27 pi-t) theta(t-23 pi)+(-41/18 sin(13/42-4 t)-169/22 sin(25/26-2 t)+537/14 sin(t+13/23)+253/48 sin(3 t+49/39)+60/31 sin(5 t+19/18)+3/35 sin(6 t+111/26)+5/9 sin(7 t+21/26)+9/26 sin(8 t+87/28)+13/20 sin(9 t+13/23)+23/93 sin(10 t+245/61)+13/37 sin(11 t+11/19)+14/51 sin(12 t+445/127)-4609/28) theta(23 pi-t) theta(t-19 pi)+(-10/23 sin(42/31-12 t)-1/19 sin(15/19-10 t)-3/11 sin(17/26-3 t)+757/21 sin(t+79/27)+255/16 sin(2 t+219/59)+63/23 sin(4 t+65/18)+63/23 sin(5 t+79/39)+11/17 sin(6 t+191/64)+86/53 sin(7 t+73/45)+23/33 sin(8 t+244/65)+15/13 sin(9 t+23/37)+17/30 sin(11 t+11/21)-9799/47) theta(19 pi-t) theta(t-15 pi)+(-8/13 sin(81/71-9 t)-37/35 sin(53/38-5 t)+1615/33 sin(t+18/23)+149/39 sin(2 t+124/41)+211/53 sin(3 t+13/24)+113/43 sin(4 t+196/45)+73/24 sin(6 t+87/28)+94/39 sin(7 t+7/11)+2/3 sin(8 t+106/33)+13/23 sin(10 t+47/10)+9/25 sin(11 t+21/25)+44/53 sin(12 t+23/15)-47955/56) theta(15 pi-t) theta(t-11 pi)+(-41/27 sin(1/10-15 t)-113/39 sin(109/219-12 t)-299/48 sin(38/39-11 t)-349/37 sin(13/31-8 t)-55/3 sin(44/31-7 t)-329/52 sin(19/31-6 t)-753/32 sin(10/37-5 t)-277/14 sin(21/23-4 t)-5968/13 sin(13/24-t)+1567/24 sin(2 t+149/41)+1010/9 sin(3 t+181/42)+119/13 sin(9 t+7/40)+52/9 sin(10 t+35/34)+99/28 sin(13 t+28/37)+87/22 sin(14 t+35/22)+28/23 sin(16 t+15/19)+18/17 sin(17 t+15/7)-5437/15) theta(11 pi-t) theta(t-7 pi)+(-57/28 sin(9/28-26 t)-229/61 sin(61/50-24 t)-247/64 sin(8/9-23 t)-126/17 sin(2/23-16 t)-40/13 sin(14/13-13 t)-53/19 sin(37/29-9 t)-225/19 sin(17/27-8 t)-257/22 sin(5/13-7 t)-391/21 sin(7/11-6 t)-6663/31 sin(24/43-2 t)+9547/30 sin(t+199/56)+7322/67 sin(3 t+52/43)+656/27 sin(4 t+121/32)+779/24 sin(5 t+19/10)+409/31 sin(10 t+11/25)+771/67 sin(11 t+37/16)+210/37 sin(12 t+178/47)+248/29 sin(14 t+78/19)+181/33 sin(15 t+160/39)+125/19 sin(17 t+8/23)+314/45 sin(18 t+5/23)+113/32 sin(19 t+7/17)+31/22 sin(20 t+55/26)+163/35 sin(21 t+64/31)+15/23 sin(22 t+2/13)+127/52 sin(25 t+193/45)+69/55 sin(27 t+37/28)+57/34 sin(28 t+9/7)+72/43 sin(29 t+10/19)+38/51 sin(30 t+17/37)+15/38 sin(31 t+89/25)+4/19 sin(32 t+526/117)+16757/37) theta(7 pi-t) theta(t-3 pi)+(-80/27 sin(4/7-15 t)-151/54 sin(47/70-14 t)-110/7 sin(16/29-10 t)-1280/39 sin(30/31-6 t)+6319/23 sin(t+130/71)+3300/29 sin(2 t+144/37)+10544/41 sin(3 t+43/37)+1557/29 sin(4 t+117/73)+1167/17 sin(5 t+7/29)+1247/48 sin(7 t+63/29)+243/20 sin(8 t+43/50)+815/48 sin(9 t+31/29)+26/5 sin(11 t+1269/317)+46/15 sin(12 t+59/18)+107/39 sin(13 t+38/33)+41/11 sin(16 t+119/26)+519/20) theta(3 pi-t) theta(t+pi)) theta(sqrt(sgn(sin(t/2))))

¿No te lo crees? Mira que te dividirá entre 0.

Si quieres, puedes entretenerte en buscar otros matemáticos en la lista. Yo he descubierto a Gauss y a Ramanujan, ¿y tú?

Tito Eliatron Dixit

PD: Si alguien conoce cómo, a partir de una imagen, obtener estas ecuaciones paramétricas, por favor que lo indique en los comentarios.

PD2: Vía FayerWayer a través de puntogeek.

La ecuación de segundo grado: encontrando la fórmula general o cómo completar cuadrados

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Thu, 04 Apr 2013 01:14:32 PDT

Para un alumno de secundaria (de primer ciclo), uno de los primeros problemas (digámoslo así) serios a los que se enfrenta es la resolución de ecuaciones de segundo grado. Todos sabemos que existe una fórmula general para calcular las soluciones, pero... ¿realmente sabemos de dónde sale? En este artículo vamos a ver someramente cómo se llega a dicha fórmula y algunas versiones más sencillas en casos muy especiales.

En primer lugar, ¿qué es una ecuación de segundo grado? pues algo con el siguiente aspecto:

con .

Antes de continuar, siempre podemos conseguir que ya que si el coeficiente de es negativo, multiplicamos toda la ecuación por y obtenemos otra equivalente, pero con el coeficiente de positivo.
Ahora, para llegar a la solución general, vamos a ir resolviendo, previamente, los casos más simples.
Cuando sólo hay un término.
Este es el caso más sencillo, pues al haber un único término, éste debe ser, forzosamente, el término cuadrático, por lo que la ecuación quedaría . Pero como debe ser , entonces la única opción es que . Y esta última ecuación tiene como única solución a (solución doble).

Este caso siempre tiene una única solución: doble.

Cuando falta el término independiente.

Este caso tampoco tiene mayor complicación, sin más que recordar un hecho fundamental: si el producto de dos términos es 0, entonces al menos uno de ellos debe ser 0. En efecto, al faltar el término independiente, la ecuación queda así: (con para no estar en el caso anterior). En el primer término, podemos sacar factor común para convertirla en , de donde o bien o bien , en cuyo caso, .

Este caso siempre tiene 2 soluciones diferentes: y .

El caso crucial: cuando falta el término en .

Aquí las cosas comienzan a ponerse divertidas. La ecuación que tenemos que resolver es (con , para no estar en el primer caso), de donde resulta que . Uno podría pensar que esto nunca tiene solución (real) pues y el segundo miembro tiene un signo negativo. Bien, eso es cierto, siempre que (recordad que antes de empezar nos hemos asegurado de que ); pero si entonces y extrayendo raíz cuadrada se obtienen 2 soluciones .

En este caso:

Si no hay solución (real).
Si hay dos soluciones: .

El caso general: completando cuadrados.

Por fin, llegamos a la ecuación completa . Para resolverla, vamos a reducirnos al caso anterior; sí, ese en el que falta el término en . Y para ello, vamos a recurrir a un método particular, un método que se conoce como Completar Cuadrados. Bien, para ello, coge tu tangram y... que no, que es broma! El método de completar cuadrados se basa en que la expresión cuadrática siempre se puede expresar como .

Una forma sencilla de ver quiénes son y es desarrollar la expresión anterior e igualar coeficientes.en efecto, , pero esta expresión debe ser igual a por lo que se debe cumplir que y , de donde es fácil despejar y obtener que

Pero entonces, para resolver nuestra ecuación completa, basta resolverla escrita con y . Y esto es lo mismo que el caso anterior (o incluso el primero).

Si , entonces , por lo que y tenemos que .

Vaya, parece que tenemos siempre 2 soluciones. Pero esto no es así.

Si , como , resulta que la ecuación no tiene solución (real), pues .
Si , entonces la ecuación tiene una única solución (doble)
Si , entonces la ecuación tiene dos soluciones:

La fórmula de la ecuación de segundo grado.

Con lo anterior, basta con escribir quién es y quién es para obtener la archiconocida fórmula.

Recordemos que , luego y ; y por otro lado .

Así que poniendo todo junto, las soluciones de la ecuación de segundo grado es

Y por cierto, como y , resulta que , por lo que:

Si , la ecuación de segundo grado no tiene solución.
Si , la ecuación tiene una única solución (doble) .
Si , la ecuación tiene dos soluciones dadas por la fórmula clásica.

Espero que este post haya sido útil par aquéllos que nunca se habían preguntado el origen de la fórmula de la ecuación de segundo grado.

Tito Eliatron Dixit

¿Puede algún número armónico ser natural?

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Tue, 19 Mar 2013 01:10:01 PDT

p>Una de las sucesiones numéricas más interesantes es la de los inversos de los naturales . La suma de todos estos número, la serie numérica, se conoce como serie armónica y no es demasiado complicado (es un ejercicio de primero de carrera científica) comprobar que esta serie es divergente, es decir, que su suma es infinita.

Para estudiar una serie, lo que se suele mirar es su sucesión de sumas parciales, es decir, vamos viendo cuál es la suma de los primeros términos. En el caso de la serie armónica, esta suma parcial es y habitualmente se la conoce como el enésimo número armónico.

Una vez hechas las presentaciones de los protagonistas, vamos a presentar el problema. Es evidente que , pero ¿habrá algún otro número natural tal que sea, de nuevo, un número natural? Os adelanto la respuesta: NO.

En el presente artículo vamos a demostrar este hecho y comprobaremos que se trata de uno de esos problemas que son muy sencillos de plantear, pero cuya solución es más complicada de lo que a priori se podría pensar.

En realidad, vamos a ver 3 demostraciones.

La primera demostración utiliza el Postulado de Bertrand, que asegura (en su formulación más débil) que si entonces existe un número primo entre y . Aplicando este Postulado, dado cualquier natural , siempre se puede encontrar un primo entre y (para el caso hace falta considerar como número primo). Así en aparecerá el sumando pero no ; dicho de otra forma, cualquier número entre y no es divisible entre . Así que vamos a separar de el sumando y a agrupar el resto, es decir,

donde el denominador no es divisible entre .

Supongamos, ahora, por reducción al absurdo, que . Multiplicando la expresión anterior por tendríamos que tendría que estar en (pues y serían números naturales). Pero esto entra en contradicción con el hecho de que no es divisible entre , con lo que nuestra hipótesis debe ser falsa.

Claro, esta demostración no es complicada, pero utiliza un resultado que es bastante potente como es el Postulado de Bertrand y que no todo el mundo tiene por qué conocer. Así que vamos a buscar otra prueba.

Vamos ahora con la segunda demostración. Para ello, vamos a fijarnos en los primeros números armónicos:

Si nos fijamos, vemos que todos son de la forma Impar/Par. Si esto fuese siempre cierto, en particular, demostraríamos que nunca puede ser natural. La demostración de este hecho se debe a Taeisinger y data de 1915.

Sea el mínimo común múltiplo de . Como , es claro que debe ser par. Además, para cada número entre y existirá tal que , o lo que es lo mismo, . Así pues, tenemos que

Como , existe alguna potencia (no nula) de entre y ; sea la mayor de estas potencias. Dicho de otro modo, elegimos el único de forma que . De esta forma, el único natural entre y que es divisible entre es el propio (puesto que ) y podemos asegurar que para algún número impar . Pero como , tenemos que para cada es .
Ahora bien, si , resulta que es impar. Sin embargo, si , como no puede ser divisible entre y sí que lo es, debe ocurrir que sea par.
Resumiendo, en el numerador de la expresión de (que recordemos era ) todos los sumandos son pares excepto 1 de ellos que es impar, por lo tanto, toda la suma debe ser impar.

Esta es la demostración original y tiene la particularidad que es posible generalizarla (y de hecho así lo hizo Kurshchak en 1918) para demostrar que con .

La tercera demostración... bueno, esa no os la voy a hacer. Os la dejo para que vosotros la intentéis y sería utilizar los mismos argumentos que la Primera demostración, pero utilizando potencias de 2 (como se hace en la segunda demostración) en lugar de números primos.

Tito Eliatron Dixit

PD1: Esta entrada participa en la Edición 4.12 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es High Ability Dimension.

PD2: Este problema lo conocí gracias a Nahuel Nehuen.

Referencias:

StackExchange.
The p-adic growth of harmonic sums (PDF), de Keith Conrad.

Premio #CarnaMatFebrero 2013

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Thu, 04 Apr 2013 01:19:15 PDT

Tal y como viene siendo habitual en el Carnaval de Matemáticas desde hace ya unas cuantas ediciones, una vez que finaliza una, en este caso, la Edición 4.1 celebrada en este mismo blog, se abre el periodo de votaciones para dar el Premio a la mejor entrada de dicha edición. El plazo para votar finalizó ayer mismo y ya tenemos el ganador.

En esta edición, en que nuestro Carnaval de Matemáticas cumple 3 años, el post ganador, con un total de 20 puntos repartidos en cuatro votos de 4 puntos y dos votos de 2 puntos, es

El año en que (matemáticamente) saldremos de la crisis, del blog Tito Eliatron Dixit.

Aquí os dejo el distintivo para el ganador.

En segunda posición, con 14 puntos (4+4+2+2+1+1), ha quedado el post Melancolía de Durero y las matemáticas; mientras que completa el podio, con 13 puntos (4+4+2+2+1), el artículo que ha inspirado la numeración de las próximas ediciones, Primos, raíces y una propuesta irracional para numerar el carnaval.

El resto de artículos votados han sido los siguientes:

Con 10 puntos (4+4+2) El triángulo de Morley: otra maravilla geométrica.
Con 7 puntos (4+2+1) De los triangulares alojados a los primos de Sophie Germain.
Con 6 puntos y 4 votos (2+2+1+1) Una curiosa propiedad del 123.
Con 6 puntos y 2 votos (4+2) Cómo explicar a tus amigos que a veces 2+2 no es 4.
Con 4 puntos y 1 voto:

Con 3 puntos y 3 votos (1+1+1) Simetrías ocultas en lacerías de la Alhambra.
Con 3 puntos y 2 votos (2+1) Un modelo de juguete, una bolsa y Bendfor.
Con 2 puntos y 1 voto Pinta un eje.
Con 1 punto:

Quiero destacar que 4 blogs diferentes han sido votados con 2 entradas diferentes: Tito Eliatron Dixit (1º y 8º), Revista Sacit Ámetam 2º y 4º, Cifras y Teclas 3º y 7º y Gaussianos 6º y 12º.

Hasta aquí el post en que se anuncia el ganador.

A partir de aquí comienza el post de agradecimiento. Agradecimiento por la participación en la Edición, por la participación en las votaciones y, sobre todo, por la confianza que habéis depositado en este blog, otorgándole el premio a la mejor entrada de la Edición de Febrero de 2013.

Para mí es todo un honor y un orgullo recibir este premio, más si cabe cuando se trata de la Edición en la que nuestro Carnaval de Matemáticas cumple 3 años de existencia. No es la primera vez que gano este premio, ya que también gané para Naukas (entonces aún Amazings) el premio a la mejor entrada de Abril de 2012. Sin embargo sí que es la primera vez que este blog, vuestro blog, Tito Eliatron Dixit, gana este premio. Y teniendo en cuenta que es lugar en donde naciera el Carnaval de Matemáticas, este premio adquiere una mayor relevancia personal.

Gracias a todos y nos vemos en la Edición 4.12 la próxima semana en High Ability Dimension.

Tito Eliatron Dixit

Es que soy de letras

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Fri, 08 Mar 2013 11:43:48 PST

Hoy os traigo un comic que acabo de ver y que, a partir de ahora, formará parte inseparable de este blog. Porque, a partir de ahora "Es que soy de letras" dejará, definitivamente, de ser la excusa de los necios. Y si no te lo crees, mira:

Vía Tuittoons.

Tito Eliatron Dixit

PD: Ojo al EPIC FAIL a la hora de escribir 36 (trentaiseis en vez de treinta y seis). Gracias Anónimo.

Edición 4.12 del Carnaval de Matemáticas: 18-24 marzo

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Thu, 07 Mar 2013 00:15:00 PST

Todavía me siento resacoso con el ajetreo de la pasada edición, cuando ya se nos echa encima el mes de marzo y con él la Edición 4.12 de nuestro Carnaval de Matemáticas.

En esta ocasión el anfitrión es el blog High Ability Dimension y albergará la edición del mes de marzo entre los días 18 y 24 del mismo mes.

Os recordamos, que durante este año, vamos a ir numerando las ediciones según propuso nuestro amigo David Orden en su post Primos, raíces y una propuesta irracional para numerar el carnaval: añadiendo en cada una un decimal más del número 4.1231056256... ¿Y por qué ese número? pues lee el post de David y lo averiguarás.

La forma de participar en el Carnaval de Matemáticas es la habitual. Basta con escribir un artículo sobre cualquier tema que esté relacionado de alguna forma con las matemáticas y publicarlo, bien en tu propio blog, bien en la web del Carnaval de Matemáticas. Eso sí, no olvides incluir un enlace a la web del Carnaval de Matemáticas y otro al blog anfitrión, en este caso, High Ability Dimension. Algo así como

Este post participa en la Edición 4.12 del Carnaval de Matemáticascuyo anfitrión es el blog High Ability Dimension.

Para facilitar la labor del anfitrión, conviene advertir también de la publicación de tu post. Para ello, se deberá enviar el enlace del post a la dirección de correo electrónico: hadimension@gmail.com.

También puedes escribir una reseña de tu entrada en la propia web del Carnaval de Matemáticas. Si lo haces así, aparecerá un enlace en la nueva página en Facebook: CarnaMat en Facebook. Asimismo, aparecerá un tuit en la cuenta @CarnaMat, con el link a la reseña, el título de la misma, el hashtag #CarnaMatMarzo y mención al autor (ojo, la mención se hará así: @Autor, donde "Autor" es el nombre de usuario que se tenga puesto en la web del Carnaval de Matemáticas).

Y para que vayáis abriendo boca, os dejo con el enlace a todas y cada una de las 31 ediciones anteriores.

Primer Año

Primera Edición (15/02/2010) en Tito Eliatron Dixit.
Segunda Edición (15/03/2010) en Juan de Mairena [v.2.71828].
Tercera Edición (19/04/2010) en Geometría Dinámica.
Cuarta Edición (17/05/2010) en Zurditorium.
Quinta Edición (21/06/2010) en Ciencia por Barcedavid.
Sexta Edición (27/09/2010) en el Blog de Sangakoo.
Séptima Edición (25/10/2010) en El Máquina de Turing.
Octava Edición (21/11/2010) en Los Matemáticos no son Gente Seria.
Novena Edición (20/12/2010) en Rescoldos en la Trébede.
Décima Edición (31/01/2011) en La Ciencia de la Mula Francis.

Segundo Año

Edición 2.1 (21/02/2011) en Tito Eliatron Dixit
Edición 2.2 (28/03/2011) en Gaussianos
Edición 2.3 (24/04/2011) en Los matemáticos no son gente seria
Edición 2.4 (26/05/2011) en Seis Palabras Claras
Edición 2.5 (02/07/2011) en Juegos Topológicos
Edición 2.6 (26/09/2011) en La Vaca Esférica
Edición 2.7 (15/10/2011) en La Aventura de la Ciencia
Edición 2.8 (29/11/2011) en Ciencia Conjunta
Edición 2.9 (26/12/2011) en Que no te aburran las M@tes
Edición 2.X (30/01/2012) en Resistencia Numantina

Tercer Año

Edición 3.1 (28/02/2012) en Scientia Potentia Est
Edición 3.14 (26/03/2012) en Hablando de Ciencia
Edición 3.141 (04/05/2012) en DesEquiLIBROS
Edición 3.1415 (29/05/2012) en Gaussianos
Edición 3.14159 (29/06/2012) en Scientia
Edición 3.141592 (01/10/2012) en ZTFNews.org
Edición 3.1415926 (29/10/2012) en Series Divergentes
Edición 3.14159265 (02/12/2012) en Pimedios
Edición 3.141592653 (27/12/2012) en Que no te aburran las M@tes
Edición 3.1415926535 (30/01/2013) en La Aventura de la Ciencia.

Cuarto Año

Edición 4.1 (26/02/2013) en Tito Eliatron Dixit.

Ya sólo me queda animaros a volver a participar en Carnaval de Matemáticas y a que votéis a las mejores entradas de la Edición 4.1, que el plazo para participar estará abierto hasta martes 13 de marzo... vamos, el martes que viene.

Tito Eliatron Dixit

Un resumen de carnaval (Edición 4.1)

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Tue, 26 Feb 2013 00:08:40 PST

Han sido un total de 55 entradas, repartidas entre 27 blogs las que han participado en la 31ª edición.

No puedo más que aplaudir a todos y cada uno de los que habéis hecho posible que, 3 años y 1 mes después, haya tanta gente que siga interesada en el Carnaval de Matemáticas. Y lo mejor de todo es que el ritmo de producción de esta iniciativa parece que no decrece con el tiempo, ni se diluye ni se extravía. Cambiarán los blogs y quienes escriben, pero la cantidad se mantiene (si no aumenta) y la calidad de las participaciones ha adquirido niveles googloplexísticos. Pero más impresionante resulta el hecho de que tengamos anfitriones comprometidos durante todo el año 2013.

Sólo me sale una palabra: GRACIAS.

Y sin más dilación, paso a haceros el resumen de entradas que han participado en esta edición.

Lunes 18 de febrero del año de nuestro señor Gauss de 2013.

Tras mi periplo por las aguas infinitas de este mar, he llegado por fin a una isla. Pero es una isla extraña. Lo primero que me he encontrado es una extraña publicidad en algo llamado "metro de londres" que no logro de descifrar. Pero cuando aún no me había recuperado del shock, me encuentro con una buena mujer que se pasa el día contando bacterias, en concreto las de su propio organismo, junto con su compañero que se lleva un buen rato hablando sobre qué hace hoy un matemático. Por ahora, sigo sin descifrar qué significa esa palabra tan extraña para mí: matemático. Harto de tanta palabrería sin sentido, logré adentrarme más en la isla, para toparme de frente con la entrega del Premio Carnaval de Matemáticas. Creo que esa palabra (matemática) debe ser muy importante en esta isla. Por fin hallé un refugio donde resguardarme de la noche que acechaba, pero la habitación que encontré parecía ocupada, pues alguien me dijo que era la habitación de Voronoi, sin embargo, tras elegir las palabras adecuadas pude convencer al tal Voronoi que me dejara pasar la noche con él. Sólo tuve que darle un modelo de juguete, una bolsa y a Benford, mi fiel amigo durante mi travesía.

Martes 19 de febrero del año de nuestro señor Gauss de 2013.

El señor Voronoi me despertó pronto por la mañana para contarme cómo explicar a mis amigos que a veces 2 y 2 no son 4. Una extraña forma de amanecer tiene aquí la gente, pues lo siguiente que me encuentro es a alguien hablando de criterios de divisibilidad. Tantos números por la mañana no deben ser buenos... ¿a ver si van a tener algo que ver con esa extraña palabra de ayer? Me despedía de ambos y puse rumbo al sur. Me encontré con lo que parecía ser la casa de una bruja, pero cuando me acerqué, la señora Maria GAetana Agnesi era algo más que su mal llamada bruja. Fue todo un descubrimiento hablar con ella, ya que me contó una curiosa historia sobre la sucesión de Thue-Morse y su aparición en diferentes contextos matemáticos (otra vez esa palabra). Pero en esos momentos yo ya no la atendía, pues me había llamado la atención un cuadro en la pared, una imagen titulada Teoría de Grafos que a mí, personalmente, me recordaba más a un antiguo set de telefonista. Me acerqué a verlo mejor, pero justo debajo del cuadro encontré lo que parecía un mensaje oculto. Un mensaje en un papel que hablaba de cómo pintar un eje. Traté de seguir sus instrucciones, pero todo lo que conseguí fue hacerme un lío olímpico, pero no de unas olimpiadas cualesquiera, sino (según me dijo Agnesi) de las Olimpiadas Matemáticas (no, si al final le voy a coger gusto al vocablo de marras). Tal fue el lío, que acabé de bruces contra otro cuadro: Pi, en donde números y fórmulas se entrelazaban para formar una antigua letra griega. Todo esto me hizo reflexionar y pedí quedarme allí mismo a dormir. Como no podía conciliar el sueño, rebusqué en un baúl algo que leer y di con Una crítica de platón a Eudoxo, con lo que el poco sueño que tenía me abandonó hasta bien entrada la madrugada.

Miércoles 20 de febrero del año de nuestro señor Gauss de 2013.

Al día siguiente, me ofrecieron ir de nuevo al mar, pero aunque me hubiese encantado ir de pesca si los peces fueran así como me los describieron, tuve que declinar la oferta. Eso sí, lo que no puede rechazar fue cortar la tarta en 6 trozos y repartirla entre los 2, a ver quién comía más. No pude con la tarta entera, pero lo que sí me llevé de aquella casa fue una perla de sabiduría sobre algo llamado Estadística. Proseguí mi camino y fui de los triangulares adosados a los primos de Sophie Germain. Los primos de esta tal Sophie resultaron ser unos expertos en algo llamado Computación Cuántica (tema sobre el cual me dejaron una interesante cinta magnetofónica), pero me dejaron boquiabierto con un curioso truco con el número 123. De pronto me entró frío, mucho frío. Tanto que los primos de Sophie me acompañaron a su casa donde me dejaron una manta de almazuela, que en mi tierra se llama patchwork. Para terminar de entrar en calor, me estuvieron comentando que para ellos las matemáticas manipulativas eran aptas para todos los públicos, pero por más que hablaban, yo sólo pensaba en la dichosa palabra: matemáticas. La manta que me dieron parecía que se hacía cada vez más pequeña, por lo que tuve que acudir a las partes de un centímetro para cerciorarme de que no menguaba, pero como no pude demostrarlo me tuve que acercar al taller de álgebra geométrica para conseguirlo. Una vez satisfecha mi curiosidad, puede conciliar el sueño. Mañana sería otro día.

Jueves 21 de febrero del año de nuestro señor Gauss de 2013.

Al despertar, no había nadie en la casa, pero encima de la mesa me habían dejado un regalo: un ejemplar de los "Fundamentos de la Literatura según David Hilbert" de Raymond Queneau. No lo conocía, pero prometía ser interesante. Aunque interesante fue la escena de la película que ponían en la tele y que vi antes de irme. Se llamaba El Indomable Will Hunting y hablaba de árboles irreducibles, pero allí sólo se veían dibujos muy raros que nada tenían que ver con los frondosos y verdes árboles del bosque. Me quedé maravillado con todo aquello. Pero la maravilla se hizo inmensa cuando al salir me encontré con el famoso Triángulo de Morley. Embriagado por tan magna aparición, que ocurrió en la concurrencia de perpendiculares no pude más que volver a entrar en la casa para dormir, no sin antes volver a poner la tele y ver una de esas series que sirven para todo, la serie de Fourier. Qué curioso ese tal Fourier, tan pronto te hace una serie de televisión que te monta un transformador ¿o era transformadora? Ah! no, claro, transformada, Transformada de Fourier. Con estos pensamientos caí en los brazos de Morfeo, quien me retuvo hasta que llegó la mañana del siguiente día.

Viernes 22 de febrero del año de nuestro señor Gauss de 2013.

Por la mañana me desperté con un collar entre mis dedos ¿otro regalo? No lo sé. Pienso que no, pues el collar estaba deshecho pero al lado había unas breves instrucciones para montarlo y devolverlo a sus enamorados dueños. Era el collar de los enamorados. De camino a la casa de estos enamorados tropecé con un señor que mataba moscas a cañonazos. Pero lo hacía tan bien tan bien... que tuve que preguntarle por aquella maravillosa herramienta. Me contó que en realidad ni eran moscas ni cañones, sino que sólo trataba de usar el el Teorema de Fermat-Wiles para probar la irracionalidad de la raíz enésima de 2. Crípticas pero sabias palabras me parecieron, pero más críptico aún fue su forma de despedirse, mediante tres productos y todos los dígitos. La fotografía geométrica con que me obsequió, sacó de mi cabeza cualquier atisbo de duda: la locura se había apoderado de él. Tras un centenar de pasos alejándome de allí, sólo pude atisbar cómo contaba con las dedos en hexadecimal. Mi paseo continuó, pero no por entre los árboles, no, me fui a dar un paseo por los medios de comunicación. El paseo me llevó a un congreso, pero resultó que no era un congreso de matemáticas (qué raro, con lo que gusta aquí esta palabra), sino que versaba sobre la melancolía de Durero... y las matemáticas (claro, ¿de qué otra cosa podría ser aquí?). El congreso comenzó con un vídeo de la inauguración de las olimpiadas matemáticas y continuó con una oda al Teorema del Valor medio. La tarde pasó entre charla y café hasta que por la noche nos llevaron excursión para encontrar simetrías ocultas en lacerías de la alhambra. Todo lo que viví ese día me sirvió para desarrollar mi competencia para aprender. Y con esa alegría, concilié el sueño, a la luz de las estrellas.

Sábado 23 de febrero del año de nuestro señor Gauss de 2013.

Al parecer, en esa isla no estaba bien visto lo de dormir a la intemperie. Por ese motivo me hicieron prisionero. Pero esta gente era muy rara, ya que me plantearon una pregunta de lo más simple de responder para ser libre. Ellos la llamaban el Dilema del prisionero, pero para mi fue matemáticamente trivial (anda! si al final voy a comenzar a cogerle el gustito a esta palabra!). No contentos con este dilema, aún me propusieron uno más, el Problema del monje budista, pero tampoco fue difícil resolverlo. En fin, que me tuvieron que dejar en libertad. La experiencia de ser prisionero no fue, a pesar de todo, de mi agrado y por eso decidí volver a hacerme a la mar. Para ello, tuve que desandar lo andado y preguntar lo despreguntado. Pero lo que más me sirvió fueron los Diagramas de Venn para los estados químicos, que me ayudaron a centrarme y a encontrar el camino de vuelta por los diferentes estados de esta isla. Acampé allí mismo (esta vez, dentro de una tosca tienda de campaña) y me quedé pensando en lo raro que era todo allí y que a mi regreso tendría que escribir un poco sobre la definición formal de normalidad y rareza.

Domingo 24 de febrero del año de nuestro señor Gauss de 2013.

Mi aventura llegaba a su fin. Han sido 7 días de números, 7 días en los que aprendí cosas muy prácticas. Tanto, que hasta tuve tiempo de hacer una conjetura sobre números prácticos, de pensar una bonita forma de llevar todo esto a un videojuego. Ya era hora de salir de esta isla, de esta crisis en la que he estado estos últimos 7 días. Días que me han parecido años. ¿En qué año saldré (matemáticamente) de esta crisis? Espero que el mismo en el que entré. Antes de partir, miré hacia atrás y vi a todos los habitantes de la isla en pie junto a la orilla. Estaban despidiéndose de mi. Y me ofrecían una propuesta irracional para numerar el carnaval ¿Qué carnaval? les pregunté. El Carnaval de Matemáticas, nuestra isla. Me respondieron. Por fin supe el significado de esa maravillosa palabra. Era el nombre de su isla. Pero no sólo me ofrecieron esa propuesta sino que me hicieron otro regalo, una fotografía matemática con la arquitectura de la isla, en la que destacaba unas superficies muy especiales, las superficies de Sherck, así como unos increíbles triángulos.

Fueron 7 días extraños, pero 7 días inolvidables. Justo al zarpar mi barco, los habitantes de Carnaval de Matemáticas me sacaron una promesa del alma. Volver allí otra vez y volver a pasar otros 7 días con todos ellos. Lo prometo. Lo volveré a hacer.

Hasta aquí el resumen literario. Como siempre, vamos a convocar el Premio Carnaval de Matemáticas a la mejor entrada de esta edición. Vamos a dar hasta el 13 de marzo, miércoles para que todos hagáis vuestras votaciones de la forma habitual las últimas ediciones: 4 puntos a la entrada más interesante, 2 puntos a la siguiente y 1 punto a la tercera.

Y para facilitar las votaciones, aquí os dejo el listado numerado con todas las entradas participantes:

Os ruego que, junto con el nombre de la entrada, indiquéis su número para hacer más sencillo el recuento.

Mucha suerte a todos y nos veremos en la Edición 4.12, que se celebrará en el blog High Hability Dimension, ya que, según ha propuesto (y yo acepto) David Orden en su post Primos, raíces y una propuesta irracional para numerar el carnaval, vamos a numerar las sucesivas ediciones del carnaval bajo el número 4.1231056256...

Tito Eliatron Dixit

PD: Si he olvidado alguna entrada, por favor, házmelo saber en los comentarios, indicando el día en que se publicó. Así será incluida en la versión literaria y en el listado para votaciones.

Brevemáticas IV: el año en que (matemáticamente) saldremos de la crisis

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Sun, 24 Feb 2013 14:08:52 PST

Ya sabemos que tipos de números hay muchos: primos, compuestos, pares, impares... y hasta hay números buenos y números malos. Por si no lo sabéis (y si ya lo sabéis, así lo recordáis), se llama número bueno al número 1 y a cualquier otro número que sea el producto de una cantidad par de números primos distintos; mientras que un número malo es todo aquél número que sea el producto de un número impar de primos distintos. Por ejemplo, es bueno, pero es malo. ¿Y el 12? Pues como resulta que no es ni bueno ni malo, sino todo lo contrario.

¿Y qué mejor forma de aplicar estos conceptos tan sencillos que a los años? Pues vamos allá.

Ahora mismo estamos en el año 2013. Pero resulta que , por lo que, amigos míos, siento deciros que este año será malo. Teniendo en cuenta la actual situación de crisis, este dato resulta, cuando menos, curioso; y si esto lo lee algún conspiranoico, nos monta un nuevo fin del mundo.

Pero vamos a darle aún más en lo que pensar: los dos próximos años también serán malos. En efecto, y . Así que agarraos los machos, que ni Mariano, ni Alfredo ni la mare que los parió (cada una al suyo), nos va a sacar de la crisis. Lo dicen las MATEMÁTICAS (léase con voz de ultratumba y alargando las dos últimas "A" de la palabra).

Pero bueno, entonces... ¿cuándo saldremos de esta crisis? El año 2016 no es ni bueno ni malo (), 2017 es un año primo, por lo que también será malo. Finalemente, el próximo año bueno será 2018 (), ¿será ese año el que salgamos de la crisis? Si no es éste, será el 2019, que también será bueno ().

Amigo lector, aquí te dejo una herramienta para factorizar números, que te permitirá averiguar si el año en que naciste fue bueno o malo. En mi caso, 1977 fue un año bueno ()... ¿y el tuyo?

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 4.1 del Carnaval de Matemáticas que alberga Tito Eliatron Dixit.

PD2: Por supuesto, esta entrada se ha escrito en tono de HUMOR. Los números buenos y malos se definen de esta forma, pero el hecho de que un año se represente por un número bueno o malo, por supuesto que no tiene nada que ver con la bondad o maldad de dicho año. Sólo por si las moscas.

No son congresos de matemáticas

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Fri, 22 Feb 2013 12:32:28 PST

No son congresos de matemáticas, ese cuerpo de conocimiento altamente especializado, sino congresos de matemáticos, esos individuos altamente caóticos que crean y conservan las matemáticas.

Oswald Veblen, ICM 1954.

Con esta cita comenzó Guillermo Curbera su conferencia sobre historias de los ICM. La frase fue pronunciada por el matemático estadounidense Oswald Veblen, quien fue Presidente de la American Mathematical Society en la década de los 20 del siglo pasado. Por cierto, Oswald Veblen es el responsable del Teorema de la Curva de Jordan.

Con esta cita, Guillermo quiso poner de manifiesto que los ICM, tal y como su propio nombre indica, no son congresos de matemáticas, sino de matemáticos. Más concretamente, se trata del lugar de encuentro de las mejores mentes matemáticas de todo el mundo. Un evento sin igual en cualquier otra ciencia, pues en estos congresos se habla de Matemáticas en general.

Pero personalmente me llama la atención la definición que todo un ilustre matemático da de sus compañeros de profesión: individuos altamente caóticos. ¿De verdad somos así? (la verdad es que me da un poco de vergüenza incluirme en un grupo en el que están incluídos Hilbert, Poincaré, Kolmogorov, Wiles o Terence Tao), ¿tan difícil es conocer de verdad qué hace o qué piensa un matemático? Yo lo veo desde dentro, pero quizás vosotros podáis darme un visión externa.

En cualquier caso, os animo a seguir disfrutando con el fruto de nuestro caos.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 4.1 del Carnaval de Matemáticas que alberga Tito Eliatron Dixit.

60 grados, 3 cortes y 1 tarta

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Wed, 20 Feb 2013 00:24:17 PST

El problema que os presento hoy data de 1994. En la revista Mathematics Magazine, en el número de octubre, los profesores Larry Carter (IBM Watson Research Center, Yorktown Heights, New York), John Duncan (University of Arkansas, Fayetteville, Arkansas) y Stan Wagon (Macalester College, St. Paul, Minnesot) proponen el siguiente problema que, desde aquí vamos a dulcificar un poco.

Supongamos que tenemos una tarta perfectamente circular. Con un cuchillo suficientemente grande realizamos 3 cortes a la tarta de forma que:

todos los cortes pasan por un mismo punto;
ese punto no es el centro geométrico de la tarta;
los 3 cortes forman ángulos de 60º entre sí.

Vamos, que tenemos un dibujo como el que veis a continuación:

Pues ahora resulta que hay dos comensales que comienzan a comer, alternativamente, un trozo cada uno. Por si no te queda claro, en el siguiente dibujo, un comensal come la zona blanca y el otro la verde:

El problema consiste en demostrar (a ser posible sin utilizar fórmulas ni cálculos), que el comensal que se zampa la parte verde (la que contiene el centro geométrico de la tarta) sale ganando.

¿Qué dices? ¿Que esto te recuerda a algo? Pues claro. Si en vez de tarta, hubiese dicho pizza muchos de vosotros os hubieseis acordado de la Conjetura de la Pizza (bueno, Teorema ya) de la que ya hablamos aquí. O incluso puede que creas que esto ya lo publicó Gaussianos en uno de sus desafíos (ver también la solución), pero te equivocas, ya que allí sólo eran 2 los cortes hechos.

Bueno, creo que ya te he dejado un ratito para ir pensando en la solución, así que vamos a ir desvelando qué ocurre.

Vamos a irnos a un caso extremo en el que uno de los cortes pasa por el centro geométrico de la tarta, es decir, que en vez del dibujo verdecito de antes tenemos uno algo más amarillento:

Es claro que ese corte en concreto, resulta ser un diámetro de la tarta, por lo que por simple simetría, resulta que ambos comensales comen exactamente lo mismo.

Pero Tito, eso es trampa, esa no es la situación que tú nos habías dibujado antes.

No, claro que no. Pero es que esta situación parecida nos va a ayudar a resolver nuestro problema.

ATENCIÓN, SI QUIERES ENCONTRAR POR TI MISMO LA SOLUCIÓN,

NO SIGAS LEYENDO

Bueno, si estás aquí es que quieres que te cuente cómo resolver este tinglado. Volvamos a nuestra situación inicial, que te recuerdo a continuación:

Si te fijas, sean como sean los cortes, girando un poco la tarta, siempre voy a poder tener un corte horizontal y por encima del centro geométrico de la tarta. De hecho, siempre puedo conseguir que el corte horizontal no sea el que esté más alejado del centro.

En realidad, como el punto de intersección de los 3 cortes, es el único punto que equidista de las 3 rectas, por lo tanto dado cualquier otro punto (el centro geométrico de la tarta, por ejemplo) siempre podemos quedarnos con 2 cortes de forma que las distancias al centro de la tarta no sean iguales; así que pongo en horizontal el corte que diste menos del centro y no pierdo de vista el otro corte que dista del centro más que el horizontal. En nuestro dibujo, ese corte que dista más que el horizontal es el corte pequeñito. Mirad el siguiente dibujo:

¿Queda ya claro? Bueno pues ahora vamos a trazar una paralela al corte horizontal, que pase por el centro. Y a la misma distancia exacta, una paralela al corte pequeñito. La situación nos queda como se puede ver en el siguiente dibujo:

Si ahora nos quedamos con los cortes C₁, C₂ y C₃, estamos en la situación en la que 1 corte pasa por el centro, es decir, el dibujo que de abajo:

en el que las zonas amarillas y blancas tienen la misma área.

Vamos a solapar ambos dibujos: el verde y el amarillo... y a ver qué ocurre.

como vemos en el dibujo, al solapar ambos casos, hay una parte que queda AZUL, que es la que comparten ambos casos. Así que esta parte la podemos ignorar. Centrémonos entonces en las 2 bandas que se ven. Un es horizontal y los colores son VERDE-AZUL BLANCO-VERDE. La otra es la que está girada, cuyos colores son AMARILLO-AZUL-BLANCO-AMARILLO.

Por construcción, ambas bandas tienen la misma anchura, por lo que la primera de ellas, la horizontal, abarcará más área que la segunda (ya que la primera está pegada al centro de la pizza y la segunda está alejada de él). Por tanto, como la parte azul y blanca en ambas bandas coinciden, se deduce que la parte verde debe ser mayor que la parte amarilla.

Como consecuencia, tenemos que la parte verde completa (verde+azul) será mayor que la amarilla completa (amarilla+azul). Pero recordad que la parte amarilla completa representaba exactamente la mitad de la tarta; por tanto se deduce que la parte verde completa es mayor que la mitad de la tarta, por lo que quien la coma, saldrá ganando.

Esta demostración, la verdad, es que tiene su chiste. Personalmente me gusta el hecho de tener que basarte en un caso muy particular para poder demostrar el caso más general.

Antes de concluir, deciros que esta idea no es mía... pero sinceramente, no recuerdo de dónde la saqué. Si en algún momento lo encuentro, pondré los créditos oportunos.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 4.1 del Carnaval de Matemáticas que alberga Tito Eliatron Dixit.

Premio Carnaval de Matemáticas Enero 2013

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Mon, 18 Feb 2013 00:30:03 PST

Hoy, lunes 18 de febrero, el Carnaval de Matemáticas cumple 3 años de vida. Y hemos pensado que la mejor forma de celebrarlo es otorgar el Premio a la mejor entrada de la Edición de Enero de 2013. Así que vamos al lío.

La verdad es que en esta ocasión la cosa ha estado tremendamente reñida entre 2 entradas. Tan reñida ha estado la cosa que el ganador se ha decidido en la última votación y, lo más curioso, es que el autor de dicha votación también es el autor de la entrada que ha quedado, finalmente, en segundo lugar.

Bueno, no me enrollo más. El ganador del Premio a la mejor entrada de la Edición de Enero de 2013 es
¿Tienen que ser paralelas las sombras con luz del sol? del blog Zurditorium.

El ganador ha obtenido la nada despreciable cantidad de 18 puntos, repartidos en 4 votaciones de 4 puntos y 1 votación de 2 puntos. Adjunto dejo el distintivo del ganador.

En segunda posición y, como he dicho, en cabeza hasta la última votación, ha resultado la entrada Libro de fractales y Kirigami con 16 puntos repartidos en 3 votos de 4 puntos y 2 de 2 puntos. El podio lo completa la entrada Sam Lloyd, ¿genio o embaucador? con 8 puntos (4+2+1+1).

El resto de entradas nominadas son:

Con 8 puntos y 4 votos (2+2+2+2): Superficies topológicas en el arte.
Con 6 puntos y 2 votos (4+2):

Con 4 puntos y 4 votos (1+1+1+1): Un número para el Carnaval.
Con 4 puntos y 1 voto:

Con 3 puntos y 2 votos (2+1):

Con 2 puntos y 2 votos (1+1): Esculturas anamórficas de Jonty Hurwitz.
Con 2 puntos y 1 voto: Aritmética urbana.
Con 1 punto y 1 voto:

Quiero destacar los blogs que han sido nominados con 2 o más entradas. En este caso son Gaussianos (5º y 7º puesto) y ZTFNews (9º y 11º puesto).

Os recuerdo que, en caso de empate a puntos, prima el número de votos obtenidos y, caso de mantenerse el empate, el número de votos de mayor puntuación. Es el caso del desempate entre la 3ª y 4ª entrada, ya que empatan a puntos y votos, pero la 3ª tiene 1 voto de 4 puntos por ninguno de la que ha quedado en 4º lugar.

Quiero dar la enhorabuena a Carlos Angosto, autor de la entrada ganadora y de todo el blog, quien, además de ser un magnífico matemático, quizás pronto lo veamos sumergido en una piscina resolviendo a ciegas un cubo de Rubik. Enhorabuena y ánimo, campeón.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 4.1 del Carnaval de Matemáticas que alberga Tito Eliatron Dixit.

Matemáticos del mundo: ¡Uníos! [Conferencia]

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Mon, 11 Feb 2013 02:01:51 PST

Ha pasado más de un mes desde que tuviera lugar la última conferencia de divulgación del ciclo La Ciencia desde el Ojo Matemático (Paseo matemático por los medios de comunicación -y vídeo-, Cuando la criptografía falla -y vídeo-, Los números de la conquista lunar -y vídeo-, Agujeros negros -y vídeo-, y Ciencia, matemáticas y publicidad: el caso de las bebidas energéticas -y vídeo-). Pero tras un periodo complicado para alumnos y profesores de universidad, con el comienzo del nuevo cuatrimestre volvemos a la carga con una nueva charla divulgativa.

En esta ocasión tenemos el inmenso placer de contar con Guillermo Curbera Costello, Catedrático de Universidad del Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de Sevilla, quien impartirá la conferencia Matemáticos del mundo: ¡Uníos! el próximo martes 19 de febrero a las 12:00 en el Salón de Actos de la Facultad de Matemáticas.

Es difícil imaginar que en la historia de los Juegos Olímpicos de las Matemáticas (los "International Congress of Mathematicians") haya algo de interés o que pueda conmover; pero lo hay. La serie de los 26 congresos internacionales celebrados hasta ahora (desde el primero en Zurich en 1897 hasta el último en Hyderabad, India, en 2010) está repleta de enseñanzas sobre la matemática, sobre la ciencia, sobre la sociología de la ciencia, y también sobre las taras nacionales de cada país, sobre el curso de la historia, y sobre el espíritu humano. En esta charla desvelaremos parte de ese oculto iceberg de sorpresas.

Desde el punto de vista personal, se trata de una charla muy emotiva, por el hecho de ser un compañero de Departamento, además de uno de los profesores que mejor me ha enseñado a lo largo de mi estancia como alumno en la Facultad de Matemáticas.

Guillermo, además, es autor del libro Mathematicians of the World, Unite!: The International Congress of Mathematicians--A Human Endeavor (Matemáticos del mundo, ¡Uníos!, en español) en el que se basa la presente conferencia y en el que se recogen numerosas anécdotas e historias que han ocurrido al abrigo de los Congresos Internacionales de Matemáticas.

Tito Eliatron Dixit

El Carnaval vuelve a casa por su cumpleaños: 18-24 febrero

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Thu, 07 Feb 2013 08:39:03 PST

Fue allá por 2010 que uno tuvo una ideas locas. Una de esas ideas en las que nos involucramos personalmente, pero que no sabemos si calará entre los demás. Hoy, casi 3 años después, no puedo menos que estar orgulloso de lo que la comunidad bloguera matemática ha conseguido.

El Carnaval de Matemáticas ya es un acontecimiento que todos esperan ansiosos 1 vez al mes. Con una participación entorno a los 40 artículos por edición, la loca idea de una persona se ha convertido en una de las formas de divulgación de las matemáticas más interactivas del panorama.

Y con motivo del Tercer Cumpleaños de la criatura, ésta vuelve a sus orígenes, a este humilde blog que la vio nacer y que tan orgullosamente albergará, como anfitrión la Próxima Edición del Carnaval de Matemáticas.

Así que me es grato anunciarles que por la presente convoco a todos los matemáticos del mundo, a todo aquel que alguna vez se haya preguntado por qué 2 y 2 son 4, a todo aquel que haya hecho una cuenta antes que el dependiente, a todo aquel que vea en los números a sus amigos, a todo aquel que sienta verdadera pasión por las matemáticas, a todo aquel que utilice las matemáticas de forma cotidiana... en fin, a TODO EL MUNDO, a que participe la semana del 18 al 24 de febrero, mes carnavalero por excelencia, en la Edición 4.1 del Carnaval de Matemáticas de habla hispana.

La forma de participar es la habitual en las ediciones anteriores. Basta con escribir un artículo en tu propio blog en el que las matemáticas aparezcan de la forma que sea: sobre un concepto, una demostración, una aplicación al aula, una imagen, una canción, un poema... lo que se te ocurra, pero que de alguna manera esté relacionado con las matemáticas. En el artículo (normalmente lo solemos poner al final del mismo) deberás incluir un link a la web del Carnaval de Matemáticas y otro link al blog anfitrión, que en esta edición es Tito Eliatron Dixit. Por ejemplo, algo como lo que sigue puede valer:

Esta entrada participa en la Edición 4.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

Cuando finalice la edición, un servidor recopilará todas las entradas participantes y escribirá un resumen mencionando a todas ellas y convocando el Premio a la mejor entrada.

¿Y qué pasa si quiero participar y no tengo blog? Fácil. Ante todo, te animo a que abras uno, pero si no te acabas de decidir, tienes dos opciones. La primera es escribir la entrada directamente en la web del Carnaval de Matemáticas (previo registro, claro); y la segunda es publicar la entrada en este mismo blog (por supuesto, sin perder la autoría de la entrada) como colaboración especial.

Y para facilitar la labor de recopilación de entradas, es muy recomendable que nos hagas llegar tu aportación. Te dejo varias formas.

La primera es mediante un tuit con el hashtag #CarnaMatFebrero y con mención a mi propia cuenta @eliatron y/o a la del Carnaval @CarnaMat, en el que incluyas el link a tu aportación.
También puedes dejar un comentario en esta misma entrada con un link a tu aportación.
Otra opción es dejando una reseña de tu entrada participante en la propia web del Carnaval de Matemáticas.
Y como novedad, para esta Edición estrenamos página en Facebook: CarnaMat en Facebook. En ella también podrás dejar un link a tu aportación.

Bien pues como veis, desde esta edición, vamos a ir abandonando el antiguo grupo del Carnaval y vamos a actualizarnos y pasar a escribir en CarnaMat en Facebook ¿Y por qué este cambio? Pues muy sencillo. Porque con una página es mucho más sencillo automatizar publicaciones en Facebook que con un grupo de usuarios; ni más ni menos.

Pues lo dicho. Por cierto, que si escribís una reseña de vuestra aportación en la web del Carnaval de Matemáticas, a partir de esta edición ocurrirán 2 cosas:

Se publicará un tuit en la cuenta @CarnaMat, con el link a la reseña, el título de la misma, el hashtag #CarnaMatFebrero y mención al autor (ojo, la mención se hará así: @Autor, donde "Autor" es el nombre de usuario que se tenga puesto en la web del Carnaval de Matemáticas).
Aparecerá una publicación en CarnaMat en Facebook con link a la reseña, su título y su autor.

Bueno, pues eso es todo.

Espero que la Edición 4.1 del Carnaval de Matemáticasen la que celebramos el Tercer Cumpleaños de la criaturita sea un éxito de participación igual que lo fueron sus 30 ediciones anteriores.

Muchas gracias a todos por haber dado pábulo a este loco y sus locuras.

FELIZ CARNAVAL DE MATEMÁTICAS.

Tito Eliatron Dixit

Por qué 2 y 2 son 4.

noreply@blogger.com (José Antonio Prado Bassas) — Thu, 31 Jan 2013 08:09:40 PST

Esto es verdad, como que 2 y 2 son 4

Si de algo se tacha a las matemáticas en la sociedad es de ser completamente exactas; de decir verdades como puños, vamos. Y si de verdades matemáticas hablamos, la primera que nos viene a la cabeza es lo que todos aprendemos de pequeños: 2+2=4.

Pero claro... cuando dices que eres matemático, una de las primeras cosas que te suelen preguntar es ¿y por qué 2+2=4? Para dar respuesta a esta intrigante pregunta está este pequeño post. Para que no se diga que los matemáticos dejamos cosas sin explicar. Eso sí, amigo. Para demostrar, habrá que pagar un precio. ¿Estás dispuesto a ello?

Para comenzar, hemos de establecer las bases más profundas del saber matemático: la construcción de los números naturales. El establecimiento de estos cimientos, se pude realizar de varias formas, pero aquí vamos a elegir una de las más naturales (bajo mi peculiar punto de vista): la Axiomática de Peano (si te interesa, también se puede axiomatizar los naturales a partir de la Teoría de Conjuntos).

Por si no estás muy puesto en esta terminología, te recuerdo que un axioma es un principio fundamental en el que se basa una teoría y que se acepta sin demostración. Habitualmente, se trata de postulados lógicamente evidentes, aunque, a veces, algunos axiomas son necesarios, pero para nada evidentes (véase el V postulado de Euclides). Para entendernos, los axiomas son los diferentes tipos de ladrillos con los que se levanta una teoría matemática (o científica).

Dar consistencia a las matemáticas fue algo que, durante mucho tiempo, preocupó a matemáticos de gran importancia. Y para establecer esas bases, lo primero que se debía hacer es dotar de fuerza a lo más íntimo de las matemáticas: los números naturales.

En lo que sigue, vamos a suponer que existe un cierto conjunto, que llamaremos Conjunto de Números Naturales y que denotaremos por . Le vamos a dar contenido, vamos a definir algún concepto sencillo auxiliar. Definiremos qué entendemos por suma y, finalmente, comprobaremos que, con estas premisas, 1+1=2. Como corolario, obtendremos nuestro pretendido resultado.

Comencemos con los ladrillos, es decir, los Axiomas de Peano.
     P1.- El 1 es un número natural ()
   P2.- Todo número natural tiene un sucesor .
   P3.- El 1 no es el sucesor de ningún otro número natural.
   P4.- Si entonces .
   P5.- Si y dado un elemento cualquiera , se tiene que , entonces .

Con estos axiomas ya tenemos uno de los ingredientes necesarios de nuestro teorema, el número 1. También tenemos otro ingrediente importante, como es el concepto de sucesor de un número natural. Gracias a este concepto, vamos a poder definir lo que entendemos por suma. Pero antes, nos conviene demostrar alguna que otra cuestión.

Proposición1: para cada .

Demostración. Sea . Por el axioma P3, se tiene que , por lo que . Además, si se tiene que . En efecto, si , entonces pero entonces, por el Axioma P4 se tendría que llegando a contradicción con que .
Por lo tanto, podemos aplicar el Axioma P5 a nuestro conjunto para concluir que .

Proposición2: Si con , entonces existe tal que .
Demostración. Sea .
Por definición, . Además, si , es obvio que (basta tomar ). Por lo tanto, por el Axioma P5 se tiene que y se concluye la prueba.

Definición: Sean .

Se define .
Si y suponemos conocido , entonces .

Por cierto, que la Proposición2 me garantiza que esta definición abarca la suma de cualquier par de números naturales. En efecto, fijadas , si es claro que ; pero si , por la Proposición2 se tiene que existe con , por lo que .

Además, el Axioma P4 garantiza que la suma es única, mientras que el Axioma P2 nos asegura que la suma es una operación interna de los naturales, es decir, que la suma de naturales vuelve a ser otro número natural.

De todas las propiedades buenísimas que posee la suma (sí chicos, ésta es la definición de la suma de toda la vida), sólo vamos a necesitar, para nuestros propósitos, una: la conmutatividad. De hecho, tan sólo vamos a necesitar demostrar que el 1 conmuta con cualquier otro natural.

Proposición3: Para cada se tiene que .
Demostración. Por la definición de suma, sabemos que . Veamos la otra igualdad, es decir, .
Para ello (y para variar un poco), vamos a volver a usar el Axioma P5. Sea . Es obvio que (vamos, por la primera parte de la definición de suma). Supongamos que , entonces . Ahora aplicamos la segunda parte de la definición de suma para conseguir: . Pero , por lo que y se tendría que .
Ahora dejamos trabajar al Axioma P5 para deducir el resultado.

¿Ya? ¿Ya tenemos todo? ¿Ya podemos demostrar nuestro resultado? No. Aún no. De hecho, ni siquiera podemos entender nuestro resultado, ya que no hemos definidio qué entendemos por 2. Así que allá vamos.

Definición: Llamaremos .

Ahora sí que sí. Ya tenemos todo... Que sí, que sí, que no me mires con cara rara, que por el Axioma P2 sabemos que y, por la Proposición1 también sabemos que (claro, 2 es el sucesor de 1 y ningún número es igual a su sucesor). Así que vamos a probar nuestro resultado principal.

Teorema: 1+1=2.
Demostración: Por la primera parte de la definición de SUMA, se tiene que 1+1=1*=2.

Si ahora llamamos , obtenemos como corolario, nuestro preciado resultado.

Corolario: 2+2=4.
Demostración. Por la definición de 2 y la de SUMA, se tiene que . Por la Proposición3, sabemos que y, de nuevo por la definición de suma, conseguimos que . Ahora, tan sólo hace falta escribir todo junto y aplicar el Teorema anterior para conseguir que:

Que es justamente lo que queríamos probar.

Pues hala, cuando alguien os pregunte que por qué demonios 2 y 2 son 4, ya tenéis a dónde acudir o a dónde enviar al cuestionador (nooooooooo!!!! a la mierda noooooo, sr. Fernán Gómez!): a este artículo. Y ya os podéis olvidar de dar respuestas tan extrañas como depende del espacio en donde sumes y cosas por el estilo que no harán más que liar a vuestro amado interlocutor... ¿o quizás no?

Tito Eliatron Dixit

PD: Fuente original MathForum a la que llegué a través de un tuit de @pickover. También usé parte de mis viejos apuntes de Álgebra así como mi puto cerebro matemático.